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Libro de matematica
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ddddaassss
MMaattteeee
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MMMMaaateem
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pplliifificcaaddaassMMMM
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MMaateem
áátticcaaassssssiimmppllliiiifificcaaddddaassMMaateeemmmmáátticcaasssssssiimmpplliififificccaaaaaddddaassMMMMMaaaaattteeemm
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ppplliififi
ccccaaadddaa
ss
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ssssiimmmmmppppll
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ddddaaaassss
MMMMaattee
máátiiccaass ssimpplifificcaaddaass MMaateemááttiiccaass ssiimpplliifificcaaddaass
MMMMaaaateemm
áááátiiiccaaassssii mm
pplliificcaaddddaaaassMMMMMMMM
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aaaaddddaaasss
CAPÍTULO 4 LA DERIVADA
Rese
ñaHISTÓRICA
E n un periodo de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolu-
cionarios en matemática, óptica, física y astronomía.
Mientras Newton estaba en casa (debido a una peste que cerró la Universidad de Cambridge) estableció las bases del cálcu-
lo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era el procedimiento inverso de su derivación.
Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes de-sarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacio-nados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impre-so hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736.
Sir Isaac Newton (1643-1727)
das Matemáppll
aas
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1210
Definición
Sea f (x) una función, se define a su derivada f (x), como:
f (x) límx
f x x f x
x0
( ) ( )
Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por:
y , f (x), dy
dx o Dxy
Interpretación geométrica
El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.Donde:
x: incremento en xy: incremento en y
x x + Δx
Δx
P(x, f(x))
L t
y = f (x)L
Q (x + Δx, f(x +Δx))
f (x)
f (x + Δx)
X
Y
f(x + Δx) – f(x)
En la gráfica se observa que la pendiente de la recta L es:
mt y
x
f x x f x
x
( ) ( )
Si x tiende a cero, la recta L coincide con Lt, entonces la pendiente de Lt será el límite de mt.
límx
tm0
límx
y
x0 lím
x
f x x f x
x0
( ) ( )
Por definición, la derivada es:
dy
dx lím
x
f x x f x
x0
( ) ( )
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1211
Regla de los cuatro pasos
Sea una función y f (x), entonces:
1. y y f x x( )
2. y f x x f x( ) ( )
3. y
x
f x x f x
x
( ) ( ) (razón de cambio)
4. dy
dx
y
x
f x x f x
xx xlím lím
0 0
( ) ( ) (derivada de la función)
Encuentra la derivada de la función f (x) 5x 6
Solución
Se aplica la regla de los cuatro pasos y se obtiene:
1. y y 5 6( )x x
2. y ( ) ( )5 5 6 5 6x x x
3. y
x
( ) ( )5 5 6 5 6x x x
x
5 5 6 5 6x x x
x
5 x
x 5
4. dy
dx lím
x
y
x0 lím
x 05 5 (derivada de la función)
Este resultado se obtiene también cuando se utiliza la definición, como sigue:
límx
x x x
x0
5 6 5 6[ ( ) ] ( ) lím
x
x x x
x0
5 5 6 5 6 lím
x
x
x0
5 lím
x 05 5( )
Por tanto, la derivada de la función f (x) 5x 6 es: f (x) 5
Aplica la definición y determina la derivada de y 7x2 5x 9
Solución
dy
dx lím
x
x x x x x x
x0
2 27 5 9 7 5 9[ ( ) ( ) ] ( )
dy
dx lím
x
x x x x x x x x0
2 2 27 2 5 5 9 7 5 9( ( ) ( ) )
x
dy
dx lím
x
x x x x x x x x
x0
2 2 27 14 7 5 5 9 7 5 9
dy
dx lím
x
x x x x
x0
214 7 5 lím
xx x
014 7 5( ) 14x 5
Por consiguiente, la derivada es:dy
dx 14x 5
Ejem
plos
EJEMPLOS1
2
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1212
Encuentra la derivada de la función f (x) 2 1
5
x
x, aplica la definición.
Solución
dy
dx lím
x
x x
x x
x
x
x0
2 15
2 15
( )
dy
dx lím
x
x x
x x
x
x
x0
2 2 15
2 15
dy
dx lím
x
x x x x x x
x x0
5 2 2 1 2 1 5( )( ) ( )( )( 55 5)( )x
x al simplificar,
dy
dx lím
x
x
x x x x0
11
5 5( )( ) lím
x x x x0
11
5 5( )( ) se resuelve el límite
dy
dx f (x)
11
5 2( )x
¿Cuál es la derivada de la función y x 2 ?
Solución
dy
dx lím
x
x x x
x0
2 2 se racionaliza la expresión
dy
dx lím
x
x x x
x
x x x
x x x0
2 2 2 2
2 2
dy
dx lím
x
x x x
x x x x0
2 22 2
2 2 lím
x
x x x
x x x x0
2 2
2 2
dy
dx lím
x
x
x x x x0 2 2 lím
x x x x0
1
2 2
De tal manera que, al resolver el límite se obtiene:
dy
dx f (x)
1
2 2x
3
4
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1213
Deriva las siguientes funciones, utiliza la definición.
1. y 3x 2 11. f (x) 3
2x
2. y 2a bx 12. f (x) x
x
2
2
1
1
3. y x2 13. f (x) x 2
4. f (x) 3x2 5x 14. f (x) x2 4
5. y ax2 bx c 15. y 2 13 x
6. y x3 16. y 2
x
7. y x3 x2 17. y x3
8. y 4 16
2
2x
x 18. y
2
13 x
9. y 2
1
x
x 19. y
x
x
1
3
10. y (x 1)(x2 x 1) 20. y xn
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
EJERCICIO 28
Fórmulas para determinar la derivada de una función algebraica
La forma directa de obtener la derivada de una función algebraica es la aplicación de las siguientes fórmulas:
1. d
dxc 0 7.
d
dxv
n v
dv
dxn
nn
11
2. d
dxx 1 8.
d
dxv
v
dv
dx
1
2
3. d
dxcv c
dv
dx 9.
d
dxuv u
dv
dxv
du
dx( )
4. d u v w
dx
du
dx
dv
dx
dw
dx 10.
d
dx
u
v
vdu
dxu
dv
dxv
2
5. d x
dxnx
nn( ) 1 11.
d
dx
c
v
c
v
dv
dx2
6. d
dxv nv
dv
dxn n 1 12.
d
dx
v
c c
dv
dx
1
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1214
¿Cuál es la derivada de la función y x3 2x2 4x 5?
Solución
Al aplicar las fórmulas respectivas se obtiene:
dy
dx
d
dxx x x( )3 22 4 5
d
dxx
d
dxx
d
dxx
d
dx( ) ( ) ( ) ( )3 22 4 5
d
dxx
d
dxx
d
dxx
d
dx( ) ( ) ( ) ( )3 22 4 5
3x2 2(2x) 4(1) 3x2 4x 4
Deriva la función y x23
Solución
Aplicamos el hecho de que amn am
n y posteriormente a n 1
an
dy
dx
d
dxx
d
dxx23
23
2
3
23
1x
2
3
13x
2
313x
2
3 3 x
Calcula la derivada de la función s 1
5 t
Solución
ds
dt
d
dt t
d
dtt
15
15
1
5
15
1t
1
5
65t
1
565t
1
5 65 t
pero t 65 t t55 t t5 , por tanto ds
dt
1
5 5t t
Obtén la derivada de la función y 4
x
Solución
dy
dx
d
dx x
d
dxx
44 1( ) 4 1d
dxx( ) 4 1 1 1( )x 4 2x
42x
Determina la derivada de la función y 273 xx
Solución
dy
dx
d
dxx x2 7
13
12
d
dxx
d
dxx2 7
13
12 2 7
13
12
d
dxx
d
dxx
21
37
1
2
13
112
1x x
2
3
7
2
23
32x x
2
3
7
223 x x x
Ejem
plos
EJEMPLOS1
2
3
4
5
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1215
¿Cuál es la derivada de la función y ( )3 2 7x x ?
Solución
Se aplica la fórmula d v
dxnv
dv
dx
nn( ) 1 y se obtiene:
dy
dxx x
d
dxx x7 3 32 6 2( ) ( ) 7 3
32 62
( )x xd x
dx
dx
dx 7 3 6 12 6( ) ( )x x x
( )( )42 7 3 2 6x x x
Encuentra la derivada de la función s 8 4 33 t t
Solución
ds
dt
d
dtt t( )8 4 3
13
1
38 4 8 43
13
1 3( ) ( )t td
dtt t
1
38 4 4 33
23 2( ) ( )t t t
4 3
3 8 4
2
323
t
t t( )
4 3
3 8 4
2
3 2
t
t t 3 ( )
Deriva la función y 5
3x x
Solución
dy
dx
d
dx x x
53
d
dxx x5
3 5
3d
dxx x
5 34
x xd
dxx x
15 x xd
dxx
d
dxx
4
15 1
214
x x x
15 1 2
24x x
x
x
15 1 2
24
x
x x x
6
7
8
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1216
Calcula la derivada de la función y x x 1
Solución
Se aplica la fórmula d
dxuv u
dv
dxv
du
dx( )
dy
dx
d
dxx x 1 x
d
dxx x
dx
dx1 1 x
xx
1
2 11
x
xx
2 11
x x
x
2 1
2 1
( )
x x
x
2 2
2 1
3 2
2 1
x
x
Por consiguiente, dy
dx
x
x
3 2
2 1
Obtén la derivada de la función f (x) x
x
2
2
5
1 3
Solución
Se aplica la fórmula d
dx
u
v
vdu
dxu
dv
dxv2 y se obtiene:
f (x) ( )( ) ( )( )
( )
1 3 2 5 6
1 3
2 2
2 2
x x x x
x
2 6 6 30
1 3
3 3
2 2
x x x x
x( )
28
1 3 2 2
x
x( )
9
10
Deriva las siguientes funciones:
1. y 10 12. f (x) 4x3
2. y 5 13. s (t ) 1
54t
3. f (x) a2 14. y x92
4. s (t ) b2 15. f (x) x43
5. y 6x 16. y 632x
6. y 3
4x 17. f (x) x
25
7. f (x) ax 18. f (x) 414x
8. s (t ) b2t 19. f (x) x
9. f (x) 5x 2 20. s (t ) t4
10. y ax b 21. f (x) 5 x5
11. f (x) x5 22. f (x) x5
7
EJERCICIO 29
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1217
23. f (x) x4
9 44. f (x) 2
5
2
4
3
32
12
32x x x
24. s (t ) t
a
3
45. f (x) 8 9 423 32x x x
25. f (x) 5
4x 46. f (x) ax bxn n 1
26. f (x) 2
6x 47. f (x)
x x2
3
5
7
8
5
27. f (x) x
2 48. f (x) a x b xn 3
28. s (t ) t3
5 49. y
1
2 323
54
xx
29. f (x) 4
x 50. f (x)
2 1 354 1
x x x
30. s (t ) 5
4 t 51. f (x)
7 52 3x x
31. f (x) 4
3 x 52. f (x)
3 522x x
x
32. f (x) 7 3 3 123 2x x x 53. f (x) 3 5 82
3
x x
x
33. f (x) x4 5x3 8x2 x 6 54. y x xx
1 3
34. f (x) 5 4 4 22x x mn 55. y ( )3 4 5x
35. f (x) 3ax4 4ax3 5bx2 7cx 56. y ( )2 4 3x
36. f (x) x x x3 2
6
3
5
4
9
1
5 57. y ( )3 26 4 4x x
37. s (t ) t t t t t5 4 3 2
6 5 4 7 9
2
3 58. y 4 2
32
12
3
x x
38. f (x) x
a b
x
a
c
b
2
2 2 59. y 5 3 2x
39. s (t ) 4 5 9
52t t 60. y x33 2
40. f (x) 5 6 7 3 1
54 3 2x x x x 61. y x
x
11
41. s (t) t
t t
3
25
2 6 3
5 62. y
2
32 62x x
42. f (x) x
x
3
35
3 63. y
xx
36
3
43. f (x) x x x x
x
4 3 23 6 3 2 64. f (x) x44 2
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1218
65. f (x) ( )x x2 35 3 83. f (t ) b
aa t2 2
66. y ( )2 3 23 x 84. f (r ) r
r
2
2
3
4
67. y 4 3x 85. f (t ) 6 3
5 8
t
t
68. f (x) 1
32
3
x 86. f (z) 6 3
5 6
z
z
69. y 2 1
2
12
x x 87. f (x)
ax b
ax b
70. f (z) z2 4 88. f (x) 2 3
3x
x
71. y x x63 3 89. f (t ) 1 2
1 2
t
t
72. y 41
29 82x x x( ) 90. f (w)
w
w
3
2
2
73. y ( )5 3 43
x xx
91. f ( ) 6 2
3 2
3( )
74. y x x3 3 1( ) 92. f (s) s
s s
2
2
2
6
75. f (x) x x2 1 93. f (x) 5
2
2
2 2
x
b x
76. y x
x3
2 1 3( ) 94. f (t ) ( )
( )
9 6
27 3
3
2
t
t
77. y x x2 1 95. f (x) 4
2 6
xb
a x
78. f (x) ( ) ( )3 5 2 12 4 2 3x x 96. f (x) 2 4 2x x
79. f ( ) ( ) ( )2 3 3 21 2 97. y 2
4 4x a
80. s 4 3
1
t
t 98. y
x
x
3
23 3
81. s (t ) tt t
32
22 3
99. y ( )2 3 32x x x
82. f (x) 6
2 4x 100. y
x x
x
1
1
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1219
101. y x
x
2 9
3 104. y
x
x
nm
nm 1
102. y x
x
3
33
1
1 105. y
x x
x
2 1
4 5
103. y x
x
n
n
1
1 106. y 2
2 1
2 1
3
33x
x
x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Regla de la cadenaSea y g (u), u f (x), entonces la derivada de y (g f )(x) g ( f (x)), se define:
dy
dx
d
dx (g ° f )(x)
d
dxg f x( ( ))
dy
du
du
dx
Encuentra dy
dx si y u2 9; u x2 1
Solución
Por definición dy
dx
dy
du
du
dx, entonces
dy
duu2 y
du
dxx2 , por tanto:
dy
dx
dy
du
du
dxu x ux( )( )2 2 4 4(x2 1)x 4x (x2 1)
Obtén d
dx (y u v), si y u3, u
v
v
1
1, v x2 1
Solución
Cuando hay más de dos funciones, la derivada es:
dy
dx
dy
du
du
dv
dv
dx
Luego:
dy
du 3u2,
du
dv v
2
1 2( ) y
dv
dx
x
x2 1
Por consiguiente, el resultado es:
d
dx(y u v) 3
2
1 12
2 2u
v
x
x( )
6
1 1
2
2 2
u x
v x( )
6 1 1
1 1 1
22
24
2
x x
x x
Ejem
plos
EJEMPLOS
1
2
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1220
Deriva la función y x x3 23 2 8 , utilizando la regla de la cadena.
Solución
Al tomar u x x3 22 8 , entonces y u3 , luego:
dy
du u
1
3 23 y
du
dxx x3 42
Al utilizar la regla de la cadena, se obtiene como resultado:
dy
dx
dy
du
du
dx
1
33 4
23
2
ux x
3 4
3
2
23
x x
u
3 4
3 2 8
2
3 2 23
x x
x x( )
3
Determina dy
dx, para las siguientes funciones:
1. y u2 u, u 1
x 7. y
x
x
3
3
1
1
2. y u
u
1
1, u x 8. y
u
u
1
1, u
v
v
2
2, v x2 1
3. y 2 33u u , u x2 1 9. y u 1 , u v
v
2
2 1, v x
4. y 3 2
3 2u u, u x 1 10. y
1
u, u
v
v
1
1, v (x2 3)2
5. y u
u2 1, u x3 6x2 8x 11. y u2 1, u v , v
x
x
1
1
6. y ( ) ( )2 1 2 15 3x x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
EJERCICIO 30
Derivadas de funciones trascendentes
Se clasifican en funciones trigonométricas directas e inversas, logarítmicas y exponenciales, por ejemplo:
y sen 3 x y tan(e x ln x)
y ln 2 1x y 3 x x2
y e cos x y arc sen(x 2)
Ú Trigonométricas
d
dxv v
dv
dxsen cos
d
dxv v
dv
dxcot csc 2
d
dxv v
dv
dxcos sen
d
dxv v v
dv
dxsec sec tan
d
dxv v
dv
dxtan sec 2
d
dxv v v
dv
dxcsc csc cot
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1221
Ú Inversas trigonométricas
d
dxv
v
dv
dxarcsen
1
1 2
d
dxv
v
dv
dxarc cot
1
1 2
d
dxv
v
dv
dxarc cos
1
1 2
d
dxv
v v
dv
dxarc
sec
1
12
d
dxv
v
dv
dxarc tan
1
1 2 d
dxv
v v
dv
dxarc
csc
1
12
Ú Logarítmicas
d
dxv
v
dv
dxln
1
d
dxv
e
v
dv
dxbblog
log
Ú Exponenciales
d
dxe e
dv
dxv v
d
dxa a a
dv
dxv v ln
d
dxu v u
du
dxu u
dv
dxv v v1 ln
Derivadas de funciones trigonométricas
Determina la derivada de las siguientes funciones:
y sen 5x2, y tan 6x, y csc 4x3
Solución
Se aplican las fórmulas d
dxv v
dv
dxsen cos ,
d
dxv v
dv
dxtan sec 2 ,
d
dxv v v
dv
dxcsc csc cot a cada una de
las funciones:
dy
dx
d
dxxsen 5 2 cos5 52 2x
d
dxx cos 5x2(10x) 10x cos 5x2
dy
dx
d
dxx x
d
dxx xtan sec sec ( ) s6 6 6 6 6 62 2 eec2 6x
dy
dx
d
dxx x x
d
dxxcsc csc cot c4 4 4 43 3 3 3 ssc cot ( ) csc cot4 4 12 12 4 43 3 2 2 3 3x x x x x x
Deriva la función y 4 cos(x2 1)
Solución
Se aplica la fórmula d
dxv v
dv
dxcos sen , con v x2 1
dy
dx
d
dxx
4 12cos( ) 4
12d x
dx
cos( ) 4 1
122
sen(xd x
dx)
( ) 4 1 22sen(x x)
por tanto, dy
dx 8x sen(x2 1)
Ejem
plos
EJEMPLOS1
2
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1222
Encuentra la derivada de la función y sen
sen
x x
x x
cos
cos
Solución
Primero se aplica la fórmula del cociente de funciones:
d
dx
u
v
vdu
dxu
dv
dxv2
dy
dx
( cos )( cos )
( cossen sen
sen x xd x x
dxx x))
( cos )
( cos )
d x x
dxx x
sen
sen 2
Se derivan las funciones con las fórmulas para la función seno y coseno:
dy
dx
( cos )cos
(sen sen
sen x xd x
dx
d x
dxx cos )
cos
( cos )
xd x
dx
d x
dxx x
sen
sen 22
dy
dx
( cos )(cos ) ( cos )(cossen sen sen sx x x x x x x een
sen
x
x x
)
( cos )2 ( cos ) ( )
( cos )
sen cos sen
sen
x x x x
x x
2 2
2
dy
dx
sen sen sen sen2 2 22 2x x x x x x xcos cos cos cos 22
2
2 22x
x x
x x
x x( cos )
( cos )
( cos )sen
sen
sen 22
Se aplica la identidad trigonométrica sen2 x cos2 x 1 y se obtiene como resultado:
dy
dx
22( cos )sen x x
Determina la derivada de la función r tan3
Solución
Se expresa tan tan33
y se aplica la fórmula d
dxv nv
dv
dxn n 1
dr
d
d
d
tan3
d
d
tan3
32
tantand
d
Se deriva la tangente con la fórmula d
dxv v
dv
dxtan sec2 y se simplifican los resultados:
dr
d 3 2 2 tan sec
d
d
dr
d 3
1
212 2tan sec 3
1 2
22 2tan sec
dr
d
3 6
22 2tan sec
3
4
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1223
Deriva la función s cos 2t sen 4t
Solución
Se aplica la fórmula para derivar un producto d
dxuv u
dv
dxv
du
dx( )
ds
dt
d t t
dt
(cos )2 4sen cos
cos2
44
2t
d t
dtt
d t
dt
sensen
Se deriva el seno y coseno con sus respectivas fórmulas y se obtiene el resultado:
ds
dt cos cos
( ) ( )2 4
44 2
2t t
d t
dtt t
d t
dsen sen
tt cos cos2 4 4 4 2 2t t t t sen sen
ds
dt 4 cos 2t cos 4t 2 sen 2t sen 4t
¿Cuál es la derivada de la función y 1
sen x?
Solución
Se aplica la fórmula d
dx
u
v
vdu
dxu
dv
dxv
2
dy
dx
d
dx x
1
sen
sen sen
sen
xd
dx
d x
dx
x
( )11
2
Se realizan las respectivas derivadas:
d
dx
( )10 y
d x
dx x
d x
dx xx
xsen
sen
sen
sen s
1
2
1
2 2(cos )
cos
een x
Se sustituyen y se obtiene como resultado:
dy
dx
sensen
sen
xx
x
x
( )cos
0 12
cos x
xx
2
1
sen sen
cos x
x x2 sen sen
5
6
EJERCICIO 31
Deriva las siguientes funciones trigonométricas:
1. y sen 8x 5. f (x) cot 4x3
2. f (x) cos 3x2 6. f (x) csc 9x
3. f (x) tan x3 7. f (x) cos ax
4. s (t ) sec 6t 8. s (t ) tan bt2
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1224
9. f (x) 6 sec x2 31. f (x) tan4 3x2
10. f (x) 1
2 csc
x
4 32. f (x) sen 4x
11. f (x) a cos 3x 33. f (x) sec5 2x
12. f (x) cot(3x 5) 34. f (x) 3 23 tan x
13. f (x) 2 sen x
2 35. f (x) x sen x
14. f (x) cos 52
x 36. f (x) x2 cos x2
15. s (t ) tan(at ) 37. f (x) sen 3x
x
16. f (x) sen x cos x 38. f (t ) cos5 2
2
t
t
17. s (t ) sen t 39. y sen(ax2)
18. f (x) cot x3 40. y a cos (3x)
19. f (x) sen1
x 41. y tan x
20. s (t ) cos13t
42. y 1
63 2sec x
21. f (x) sec1
x 43. y
1
2
2
3csc
x
22. f (x) tan 3x 3x 44. y x xx
2 31
sen
23. f (x) ax cot ax 45. y 3 1 2cot ) ( x
24. f (x) sen(x 1)2 46. y 2
3
1
1sen
x
x
25. s (t ) cos(3t2 2)3 47. y sen2(2 bx)
26. f (x) 4 cot x 1 48. y tan4(2x 1)3
27. f (x) tanx
x
1
1 49. y sec 2x
28. f (x) secax b
ax b 50. y 3 23 tan x
29. f (x) sen2 5x 51. y x cos3 4x
30. f (x) cos3 bx 52. y x
ax
2
sen
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1225
53. y x xcsc2 64. y x x x
x
( sen sen
1 1)( )
cos
54. y cos mx
nxsen 65. y 2 sen x cos x
55. y 1
1 sen x 66. y
csc tan
cos
x x
x
56. y x cos x sen x 67. y 1
2
cos x
57. y tan
tan
x
x
1
1 68. y cos2(3x 1) sen2(3x 1)
58. y x2 sen 2x 4x cos 2x sen 2x 69. y 1 2
2
sen x
x
59. y cos(2x 1) tan(1 2x) 70. y ( tan )
sec
1 2
x
x
60. y x2 sec( x) 71. y 1
313sen sen x x
61. y 3
3 1
3x x
x
sen 72. y 2 cos x 2x sen x x2 cos x
62. y cosx
x
1
1 73. y
3
8
1
84
1
648x x xsen sen
63. y 1 2tan
sec
x
x x
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
Derivadas de funciones inversas trigonométricas
Deriva la función y arc sen x2
Solución
Se aplica la fórmula d
dxv( )arcsen
1
1 2v
dv
dx
dy
dx
d
dxx( )arcsen 2
1
1 2 2
2
( )
)
x
d x
dx
(
1
12
4xx( )
2
1 4
x
x
Por consiguiente, la derivada de la función es y 2
1 4
x
x
Ejem
plos
EJEMPLOS1
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1226
¿Cuál es la derivada de la función y arc tan x 1 ?
Solución
Se aplica la fórmula d
dxv
v
dv
dxarc tan
1
12
dy
dx
d
dxxarc tan 1
1
1 1
12
x
d x
dx
1
1 1
1
22x x
dy
dx
1
2 1 12
x x
dy
dx
1
2 2 2x x x
Obtén la derivada de la función r 2 arc sec
Solución
dr
d 2
2d
d
d
darc arc sec sec 2
2
1
12
d
darc ( )sec
2 1
2 arc sec
Determina la derivada de la función y arc sen x
x
Solución
dy
dx
xd
dxx x
dx
dxx
arcsen arcsen
2
xx
dx
dxx
x
1
1 2
2
arcsen
dy
dx
x
xx
x
1 2
2
arcsen
x
x x
x
x2 2 21
arcsen
1
1 2 2x x
x
x
arcsen
2
3
4
EJERCICIO 32
Determina la derivada de las siguientes funciones:
1. y arc sen 5x 5. f (x) arc sec x2
2. f (x) arc cos 4x2 6. f (x) arc csc 3x2
3. f (x) arc tan 3x 7. f (x) arc cos x
b
4. y arc cot x3 8. f (x) arc sen x
4
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1227
9. f (x) arc tan x
a 27. f (r) arc sen(r 2)
10. f (x) 2 arc sec x 28. y 1
4
2 1
2arc tan
x
11. y arc sen(3 x2) 29. y 42
24 2arc sen
xx x
12. y arccos 1 2x 30. y 62
2
6 4
2
2
arccsc( )
x
x x x
13. y x2 arc tan x 31. y x
x x x1
22
1
212 arc sen ( )
14. y x x x arcsen 1 2 32. s (t) 3 9 23
2tt
arc sen
15. y 816 16
2
2 2
arccotx
x
x x 33. 6y 25 arc sen
3
53 25 9 2x
x x
16. y x xx
xarc arccsc( ) tan1
21 34. w 2 2 2
2
2 arc tan
17. y x
xx2 1
2 2 arc tan 35. y
2
3
1
3 2arc tan tan
x
18. arc csc 2 1 36. y x x
3
5
62
2arc tan tan
19. y x
x x2
1 41
422 arc sen 37. y arc sen cos
x
3
20. y x
xx
x3 2
2
3
2
91arc sen 38. y x arc cot(tan x)
21. f (r) b r br
b2 2 arcsen 39. y
arc (sec )2
4 12
x
x
22. y x arc tan x 40. y arc sec sec22
x
23. y arc ( arc sentan )21 2
xx
x 41. y 4
2 4
3 2arc sen
x
x
24. y arc sen x 42. s t2 arc cos(1 t) 2t
25. y xx
arc cos1
43. y arc cos(a x)
26. y arc sen(4ax 4x2)
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1228
Derivadas de funciones logarítmicas y exponencialesA continuación se enlistan las propiedades de los logaritmos, las cuales, al aplicarlas, simplifican la función al momento de obtener su derivada.
1. loga AB log loga aA B 4. logan A
1
nAalog
2. loga
A
B log loga aA B 5. logn
a A (log )anA
3. loganA n Aalog
Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales.
Ejem
plos
EJEMPLOS1
2
Encuentra la derivada de la función y ln x2
Solución
Al aplicar la fórmula d v
dx
ln
1
v
dv
dx, se obtiene:
dy
dx
d x
dx
ln 2
1
2
2
x
dx
dx
122x
x( ) 2
x
Por consiguiente, la derivada de la función es dy
dx
2
x
¿Cuál es la derivada de y ln2(x2 x)?
Solución
Se expresa la función como: ln2(x2 x) [ln(x2 x)]2 y se aplica d
dxv nv
d
dxvn n 1
dy
dx
d
dxx x[ln )]( 2 2 2 2
2
( (
ln )ln )
x xd x x
dx 2
122
2
ln )( )
(x xx x
d x x
dx
dy
dx 2
12 12
2 (ln ) ( )x xx x
x
dy
dx 2
2 122 (ln )x xx
x x
dy
dx
2 2 1 2
2
( x x x
x x
) ln ( )
4 22
2x
x xx xln ) (
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1229
Obtén la derivada de y x2 ln(mx)2
Solución
Se utiliza la fórmula del producto duv
dxu
dv
dxv
du
dx
dy
dx
d
dxx mx( ln( ) )2 2 x
d
dxmx mx
d
dxx2 2 2 2ln ) ln )( (
dy
dx x
mx
d
dxmx mx x2
22 21
2( )
( ) ln( ) ( )
dy
dx x
mxmx m x mx2
221
2 2( )
( ) ln( ) 2x 2x ln(mx)2
Utilizando loga An n loga A, se obtiene:
dy
dx 2x 2x (2 ln(mx)) 2x 4x ln(mx) 2x[1 2 ln(mx)]
Determina la derivada de la función y ln(sen x)
Solución
Se deriva la función y mediante identidades trigonométricas se obtiene:
dy
dx
d
dxxln )(sen
1
sensen
x
d
dxx( )
1
sen xxcos
cos x
xsen cot x
Deriva y ln1
1
sen
sen
x
x
Solución
Al aplicar las propiedades de los logaritmos se obtiene: y ln(1 sen x) ln(1 sen x) Se deriva la función:
y d
dxx
d
dxxln ) ln )( sen ( sen1 1
1
11
1
1sensen
senx
d
dxx
x
d
dx11 sen x
y 1
1
1
1sen senxx
xx(cos ) ( cos )
cos cosx
x
x
x1 1sen sen
y cos ) cos )
( )( )
x x x x
x x
( sen ( sen
sen sen
1 1
1 1
cos cos cos cos
( )( )
x x x x x x
x x
sen sen
sen sen1 1
y 2
1 2
cos x
xsen
22
cos
cos
x
x
2
cos x 2
1
cos x 2 sec x
¿Cuál es la derivada de la función y e2x 1?
Solución
Se aplica la fórmula d
dxev e
dv
dxv y se obtiene:
dy
dx e
d
dxxx2 1 2 1( ) e2x 1 2 2e2x 1
pero y e2x 1 por tanto dy
dx 2e2x 1 2y
3
4
5
6
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1230
Determina la derivada de la función y 3 e xcos
Solución
La función se puede expresar como y 312( )cose x 3
12e
xcos, se deriva:
dy
dx
d
dxe
x3
12
cos 3
1
2
12e
d
dxx
xcoscos 3
1
2
12e x
xcos( )sen
3
2
12sen x e
xcos
dy
dx
3
2sen x e xcos
Obtén la derivada de y x e x3
Solución
Se utiliza la fórmula del producto duv
dxu
dv
dxv
du
dx
dy
dx
d
dxx e x3 x
d
dxe e
d
dxxx x3 3 x e
d
dxx e xx x3 23( )
dy
dx x e
xx ex x3 21
23
1
232 2x x e x ex x
dy
dx
1
262x e xx
¿Cuál es la derivada de y 5x2 5x 7?
Solución
Se aplica la fórmula d
dxa a a
dv
dxv v ln
dy
dx
d
dxx x( )5
2 5 7 5 5 5 72 5 7 2x x d
dxx xln ( )
5 5 2 52 5 7x x xln ( )
( ) ln2 5 5 52 5 7x x x
Encuentra la derivada de la función y (sen x)ex
Solución
Se aplica la fórmula d
dxuv v u
du
dxu u
dv
dxv v1 ln
dy
dx e x
d
dxx x x
d
dxx e ex x
( ) ( ) ln( ) ( )sen sen sen sen 1 (( )ex
dy
dx e x x x x xx e ex x
( ) ( ) (cos ) ln( ) ( ) (sen sen sen sen1 eex )
dy
dx e x
x
xx xx e ex
( )cos
ln( ) ( )sen
sen sen sen
xx
ex( ) ex(sen x)ex cot x e x(sen x)e x ln(sen x)
dy
dx e x x xx ex
(sen (sen) [cot ln )]
7
8
9
10
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1231
Obtén la derivada de las siguientes funciones:
1. y ln x3 25. y ln x33 8
2. f (x) ln 4x2 26. y ln ( )2 x
3. f (x) ln(3x2 5x 2) 27. y ln[(6x 4)(3x2 2)]
4. f (x) ln x 28. y log3
1 2
1 2
x
x
5. f (x) log x6 29. y log ) (5 33bx x
6. f (x) log 5x3 30. y x ln(e x cos x)
7. f (x) log3 x 31. y ln(sen2 x)
8. f (x) log4 x3 32. y x ln x
9. f (x) ln4 x 33. y ln(sec2 2x cos3 2x)
10. f (x) ln3 5x 34. y ln x
11. y x2 ln x 35. y ln(sec x tan x)
12. y x ln x2 36. y ln 1 2sen x
13. y ln x
x 37. y ln(x sen x)
14. f (x) ln x
x
2
38. y x3 ln x2
15. y ln b ax 39. y ln tan x3
16. f (x) ln x x2 23 1 40. y log x
17. f (x) ln ax ax b2 41. y 2x2 5x
18. y ln3 5
2 1
x
x 42. f (x) b x
19. y lncx b
cx b 43. y 3ln x
20. y ln sen x 44. y 5x sen x
21. y ln cos 5x 45. y x 2ln x
22. y ln(x2 4) 46. y x 5x
23. y ln 3 4x 47. y e x2
24. y ln2 3
2 3
x
x 48. y e3x2 2x 1
EJERCICIO 33
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1232
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
49. y e x3 12
70. y e arc tan x
50. y e x tan x 71. y ln xe x2
51. y b
e ex
b
x
b
2
2 2
72. y xe ln x2
52. y e e
e e
x x
x x
2 2
2 2 73. y e
x
x
1
53. f (x) e4x 74. y xe
x
x
ln 2
54. f (x) e5x2 75. y
ln
ln
x
x
1
1
55. f (x) e3x 1 76. y e
e
x
x
sen
sen
1
1
56. f (x) ex
5 77. y ln(ln sen2 ax)
57. f (t) et3 78. y e e xxln sen
58. f (x) ex4 79. y x2 e sen x
59. f (x) e x
12
80. y ln senx x
x
60. f (x) e x 81. y ln 3 42 2ax x
61. f ( ) e sen2 82. y x x x2 29 3 9ln
62. f (x) e cos 2x 83. y 1
42 2
1
42 2sec tan ln(sec tan )x x x x
63. y e x sen x 84. y x x xarc tan ln 1 2
64. f (x) 53x 85. y x
x x x2
4 2 42 2ln
65. f (x) 72x 86. y x x x xarc sec ln 2 1
66. f (x) 5x2 87. y
1
12
2 3
2 3ln
x
x
67. y x2x 88. y x x xarc cot ln 1 2
68. y x cos x 89. y xx
x xarc csc ln2
2 42
69. y xx
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1233
Derivadas de funciones implícitas
Una función implícita es una relación que se expresa en términos de x y y, por ejemplo:
3x3 y 5x x2; sen x cos(x y); e x y x; ln(x y) x y
En una función implícita se derivan término a término los elementos de la igualdad respecto a la variable que se indica y al final se despeja la derivada.
¿Cuál es la derivada dy
dx de la función implícita 3x2 6xy y2 2x y?
Solución
Se derivan ambos miembros de la igualdad:
d
dxx xy y
d
dxx y( ) ( )3 6 22 2
d x
dx
d xy
dx
dy
dx
d x
dx
dy
dx
3 6 22 2
3 6 22 2dx
dx
dxy
dx
dy
dx
dx
dx
dy
dx
3 2 6 2 2 1( ) ( )x xdy
dxy
dx
dxy
dy
dx
dy
dx
6 6 6 2 2x xdy
dxy y
dy
dx
dy
dx
Se agrupan los términos que contienen dy
dx, y se despeja:
6 2 2 6 6xdy
dxy
dy
dx
dy
dxy x
dy
dxx y y x( )6 2 1 2 6 6
dy
dx
x y
x y
2 6 6
1 6 2
Por lo regular, el resultado de la derivada de una función implícita se expresa en términos tanto de x como de y.
Es común que en algunos casos la expresión dy
dx se represente como y .
Ejem
plos
EJEMPLOS
1
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1234
Determina la derivada y de la función x y x y
Solución
Al derivar ambos miembros de la igualdad se obtiene:
d
dxx y
d
dxx y( )
d
dxx y
x y
dx
dx
dy
dx
( )
2
dx
dx
dy
dxx y
dy
dx21
Se despeja y de la igualdad 1
2
y
x y 1 y , y el resultado es:
1 y 2 x y 2y x y y 2y x y 2 1x y
y 1 2 x y 2 1x y
y 2 1
1 2
x y
x y
Obtén la derivada y de la función y e x y
Solución
Se derivan ambos miembros de la igualdad:
dy
dx
d
dxex y y e
d
dxx yx y ( ) y e yx y (1 )
Se despeja y de la igualdad:
y e x y y e x y y y e x y e x y y (1 e x y) e x y
Donde:
y e
e
x y
x y1 o y
y
y1
Encuentra la derivada y de la función implícita sen(x y) x
Solución
d
dxx y
dx
dxsen( ) cos(x y)(1 y ) 1 cos(x y) y cos(x y) 1
y cos(x y) 1 cos(x y)
Donde, la derivada
y 1 cos )
cos )
(
(
x y
x y
1
cos( )
cos( )
cos( )x y
x y
x y sec(x y) 1
2
3
4
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1235
Obtén la derivada dy
dx de la función implícita x ln y ln x
Solución
d
dxx y( ln )
d
dxx(ln )
dx
dx
d y
dx
ln
d x
dx
ln 1
1
y y
1
x
Se despeja la derivada de la igualdad:
1
y y
11
x
1
y y
1 x
x y
xy y
x
Determina la derivada respecto a x de la función cos(x y) sen(x y)
Solución
d
dxx ycos )(
d
dxx ysen( )
sen(x yd
dxx y) ( ) cos( ) ( )x y
d
dxx y
sen(x y) (1 y ) cos(x y) (1 y )
sen(x y) y sen(x y) cos(x y) y cos(x y)
Se despeja la derivada:
y cos(x y) y sen(x y) cos(x y) sen(x y)
y [cos(x y) sen(x y)] cos(x y) sen(x y)
y cos ) )
cos ) )
( sen(
( sen(
x y x y
x y x y
Encuentra la derivada de la siguiente función implícita x y a2
Soluciónd
dxx y
d
dxa( ) ( )2
1
2
1
2x y y 0 y
2
2
y
x
y y
x
5
6
7
Deriva las siguientes funciones implícitas respecto a x:
1. x2 y2 4 5. 3x2 2xy 6y2 1
2. 2xy 1 6. (x 1)2 (y 1)2 5
3. y2 8x 0 7. x y
x yx
4. x2 2y2 5x 2y 1 0 8. x
a
y
b
2
2
2
2 1
EJERCICIO 34
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1236
9. xy3 2 30. xe yy 0
10. y xy x y x y y3 2 3 2 22 5 31. e xyyln 2
11. 3 2 5 33 2x x y xy y x 32. sen(e e xx y x y)
12. y x y x 33. e x cos y 3x
13. x y xy 34. sen(x a) cos(y b) ab
14. xx y
x y
2 3
2 3 35. y cos x sen y
15. x y x2 36. sen2(4x) cos2(4y) 8
16. y x yln 37. e cos x e sen y sen y
17. x2y2 e ln(xy) 38. sen(xy x) 2 3
18. ln(sen(e y)) x 39. sen x ycos 3 0
19. e
e
y
x 13 40. e xycos cos
20. lny
x2 11 41.
1
1
sen
sen
x
yx
21. x y x yln )( 42. x y yarc tan 0
22. e e
x y
x y2 2
2 2 1 43. y x yln )][sen(
23. 3 12 2x y 44. 2 3 0y x
24. xy 2 45. e xy yysen 2 0
25. yx
yarc tan 46. x yy x 0
26. y x x y ln ln 2 0 47. 2 sen( (x y y x y) cos )
27. y x y2 ln ln )( 48. y
xyx
tan2
28. ln(1 e y) e x 49. y x xarc cot 2 0
29. ln lnx xy 0 50. y e yxarc cos ) cos(
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1237
Derivadas de orden superior
Las derivadas de orden superior se obtienen al derivar una función y f (x), tantas veces como lo indique el orden requerido.
La derivada de una función se llama primera derivada y se denota con y dy
dx
La derivada de la derivada se llama segunda derivada y se denota con y d y
dx
2
2
El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas.
La enésima derivada de una función se denota con yd y
dxf xn
n
nn( ) ( ) ( )
Encuentra la segunda derivada d y
dx
2
2 de la función y cos3 x
Solución
Se obtiene la primera derivada de la función:
dy
dx
d x
dx
cos3
3 cos2 x sen x
Finalmente, se deriva el resultado anterior para obtener la segunda derivada:
d y
dx
2
2 d
dxx x( cos )3 2 sen 3 cos3 x 6 sen2 x cos x
Determina d y
dx
3
3 de la función y ln x
Solución
Se obtiene la primera derivada:
dy
dx
d x
dx
(ln )
1
x
Se encuentran la segunda y tercera derivadas:
d y
dx
2
2 d
dx x
1
12x
d y
dx
3
3 d
dx x
12
23x
Finalmente, el resultado es: d y
dx
3
3 2
3x
Encuentra d y
dx
4
4 de la función f (x) x3 2x2 x
Solución
Se deriva sucesivamente la función, hasta llegar a la cuarta derivada:
f (x) x3 2x2 x f (x) 3x2 4x 1 f (x) 6x 4
f (x) 6
f 4(x) 0
Ejem
plos
EJEMPLOS
1
2
3
4 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
1238
¿Cuál es el resultado de d y
dx
2
2 de x2 3xy y 1?
Solución
Se obtiene la primera derivada implícita: d
dxx xy y( )2 3
d
dx( )1 2 3x x
dy
dxy
dy
dx 0
2 3 3x xdy
dxy
dy
dx 0
dy
dxx( )1 3 3y 2x
dy
dx
3 2
1 3
y x
x
La segunda derivada es: d y
dx
2
2 d
dx
y x
x
3 2
1 3
d y
dx
2
2
( ) ( )( )
( )
1 3 3 2 3 2 3
1 3 2
xdy
dxy x
x
d y
dx
2
2
( ) ( )( )1 3 33 21 3
2 3 2 3xy x
xy x
(( )1 3 2x
d y
dx
2
2 3 3 2 2 1 3 3 2 3
1 3 2
( ) ( ) ( )( )
( )
y x x y x
x
d y
dx
2
2 9 6 2 6 9 6
1 3 2
y x x y x
x( )
d y
dx
2
2 18 6 2
1 3 2
y x
x( )
Determina d y
dx
2
2 de x2 xy y2 2
Solución
Se obtiene la primera derivada:
d
dxx xy y( )2 2
d
dx( )2 2x x
dy
dxy 2y
dy
dx 0
2x xdy
dx y 2y
dy
dx 0
dy
dx(2y x) y 2x
dy
dx
y x
y x
2
2
Se obtiene la segunda derivada: d y
dx
2
2 d
dx
y x
y x
2
2
d y
dx
2
2 ( ) ( )
(
2 2 2 2 1
2
y xdy
dxy x
dy
dxy x)2
d y
dx
2
2 ( ) ( )
(
23
22
32
y xy
y xy x
x
y x
22 2y x)
al simplificar se obtiene: d y
dx
2
2 6
2
2 2
3
( )
( )
x xy y
y x
pero x2 xy y2 2 d y
dx
2
2 6 2
2
12
23 3
( )
( ) ( )y x y x
4
5
CAPÍTULO 4 CÁLCULO DIFERENCIAL La derivada
1239
Realiza lo que se te indica:
1. Determina d y
dx
4
4 , si f (x) x4 2x3 4x2 5x 2
2. Obtén d y
dx
3
3 , si y 4x2 6x 2
3. Determina d y
dx
2
2 , si y 4 1
5 3
x
x
4. Determina d y
dx
2
2 , si y ax b
ax b
5. Obtén d y
dx
3
3 , si y (ax b)4
6. Determina d y
dx
4
4 , si y sen x cos x
7. Determina d y
dx
2
2 , si y ln(sen x)
8. Obtén d y
dx
3
3 , si y 3
1 2( )x
9. Encuentra d y
dx
2
2 , si y tan e x
10. ¿Cuál es la d y
dx
2
2 , si x 3xy 2y 0?
11. Obtén d y
dx
2
2 , si y 9 2x
12. Determina d y
dx
2
2 , si x2 y2 16
13. Obtén d y
dx
4
4 , si y x ln x
14. Calcula la d y
dx
2
2 , si sen x cos y 0
15. Si y x2 sen x, obtén d y
dx
3
3
16. Si y x
x
1
1, obtén
d y
dx
3
3 ; d y
dx
n
n
17. Encuentra y de xy y 1 0
18. Si y ln(cos x), determina d y
dx
3
3
19. Si f (x) 1
1 sen x, obtén
d y
dx
2
2
20. Determina y y y de x2 xy y2 2
Ú Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
EJERCICIO 35