PARTE A. GRUPAL. (Contacte su compañero de grupo)

La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive (abajo mencionados) y resolverlo recreando el contexto. Donde  por recrear entendemos complejizar así:

agregando dos nodos o vértices involucrados  (que pueden ser personas, objetos, ciudades, etc.), 

agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.), realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al

modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la guía, que esa operación da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y contestarla usando la operación matricial.

También, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente ¿cuadradas? ¿Simétricas? ¿Invertibles? Fundamente.

Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris y OnLineMSchool.  Capture imágenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar.

Interprete la información dada por cada una de las matrices (generadas ya se con información de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma más específica una entrada genérica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.

Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelización matemática de la situación contextual planteada.

Puntaje máximo: 25 puntos.

Modelos para la PARTE A.

Modelo 1. Ejemplos 5, 21,  25 y 26 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde las matrices y los escalares, según corresponda,  se suman, restan, multiplican para obtener nuevas matrices que brindan la información requerida. 

Modelo 2. Ejemplos 16, 17 y 18 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matriz fila o columna de unos para obtener nuevas matrices que brindan la información requerida. Aparece la matriz de adyacencia y también  la matriz de dominación.

Modelo 3. Ejemplos 19 y 20 del material de lectura obligatorio, responden al mismo modelo donde las matrices y sus potencias se suman, pre o post multiplican por una matriz fila o columna de unos para obtener nuevas matrices que brindan la información requerida. Aparece la matriz de probabilidades.

Modelo 4. Ejemplos 22, 23 y 24, responden al mismo modelo donde las matrices se multiplican para obtener nuevas matrices que brindan la información requerida. Aparece el Modelo o Proceso de Markov.

Para este desarrollo se seleccionó el MODELO 2 Ejemplo 18.

Para complejizarlo se agregaron las personas X7 y X8 , con tres relaciones de influencias. El grafico es el siguiente:

Las personas están representadas por x1 ,x2,x3,x4,x5,x6,x7 y x8 e indicadas en el grafico.

Cada flecha representa la dirección de la influencia. Por ejemplo x5 influencia a x6 y a su vez es influenciada por x2

Se construye entonces la matriz de dominación directa (conexiones directas)

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

0 1 1 0 0 0 0 0 x1

0 0 1 1 1 0 0 0 x2

0 0 0 0 0 1 1 0 x3

D=

0 0 0 0 0 1 0 0 x4

0 0 0 0 0 1 0 0 x5

0 0 0 0 0 0 0 1 x6

0 0 0 0 0 0 0 1 x7

0 0 0 0 0 0 0 0 x8

dij vale 1 si la persona de la fila i domina o influencia a la persona de la columna j.

Por ejemplo, d24 indica que la persona x2 influencia a la persona x4. Se considera nulo el valor de la diagonal ya que i=j y representa la dominación entre la misma persona, es decir, indicaría que la persona se domina o influencia a si misma, y esto no es posible.

Interprete cada entrada de la primera columna de D.

En el caso de la primer columna de D , se está representando a las personas que influencian a x1, son nulos todos los valores ya que ninguna persona influencia a x1 (ver gráfico).

Interprete la información que condensa la cuarta fila de D.

Indica todas las personas que influencia x4, solamente lo hace una vez y es a x6

¿Qué entrada indica si x5 es dominada por x4 ?

La entrada que indica si x5 es dominada por x4 es d45

¿Qué entrada indica si x5 domina a x4 ?

La entrada que indica si x5 domina a x4 es d54

Para saber cual es el individuo con mas poder dentro del grupo se suman los elementos de cada renglón realizando la multiplicación DU.

Siendo U=[11111111]T de tamaño U81 para que las matrices sean compatibles y poder multiplicar.

DU =

0 1 1 0 0 0 0 0 1 20 0 1 1 1 0 0 0 1 30 0 0 0 0 1 1 0 1 20 0 0 0 0 1 0 0 x 1 = 10 0 0 0 0 1 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Como se puede observar, la persona x2 es la que más personas domina directamente y la persona x8 es la que menos domina, ya que no domina a nadie.

¿En este contexto, qué interpretación le daría a la suma de los elementos de una columna o equivalentemente a cada elemento de la matriz UTD ?

La suma de los elementos de una columna , se interpretaría como la cantidad de personas que dominan a la persona correspondiente a dicha columna, por ejemplo en la columna perteneciente a x3 , el valor de la suma de sus elementos es 2 y en el grafico se puede observar que x3 es influenciada o dominada por x1 y x2

Para obtener las influencias indirectas a través de un intermediario se realiza D2, obteniendo:

La suma de los renglones de D2 muestra la cantidad de dominaciones ejercidas por una persona en forma indirecta , con un intermediario. El número de intermediarios se obtiene haciendo n-1 , siendo n la potencia a la que se está elevando la matriz.

Realizamos D2U:

Se puede observar que x1 domina 5 veces de forma indirecta , con un intermediario,x2 4 veces , x3 2 , x4 y x5 de una sola forma, por ultimo x6,x7 y x8 no dominan a nadie indirectamente.

¿En cuántas formas, directas y/o indirectas, xi domina o influye a xj ?

Pare responder esta pregunta , se realiza el calculo (D+ D2)U. Donde D representa las influencias directas, D2 las indirectas con un intermediario y U permite obtener la suma de los valores de cada fila.

( D + D2 ) U =

Se puede observar entonces que , X3 domina de forma directa 2 veces, y de forma indirecta con un intermediario otras dos veces.

La matriz (D+ D2)U muestra que x3 domina de 4 formas distintas.

¿A cuántos integrantes del grupo dominan respectivamente x2 , x4 , x5 , x6 ? ¿de cuántas maneras? Describa cada una.

X1 Domina 7 veces en total:

2 veces de forma directa a x2 y x3

5 veces de forma indirecta a x3, x4, x5, x6, x7.

X2 Domina 7 veces en total:

3 veces de forma directa a x3, x4, x5

4 veces de forma indirecta a x6(tres formas distintas)y x7 .

X3 domina 4 veces en total:

2 veces de forma directa a x6 y x7

2 veces de forma indirecta a x8.

X4 domina 2 veces en total:

1 vez de forma directa a x6

1 vez de forma indirecta a x8.

X5 domina 2 veces en total:

1 vez de forma directa a x6

1 vez de forma indirecta a x8.

X6 domina 1 vez en total:

1 vez de forma directa

Ninguna de forma indirecta.

X7 domina 1 vez en total:

1 vez de forma directa

Ninguna de forma indirecta.

X8 no domina a ninguna persona de ninguna forma.

¿Cuál es la persona más dominada por el resto? ¿Alguna persona no recibe influencia del resto?

Para responder a esto se realiza el calculo U T (D + D2 ) el cual muestra la suma de los elementos correspondientes a cada columna.

Se puede observar que la persona más dominada por el resto directa o indirectamente con un intermediario es x5 ya que tiene valor 7, le sigue x8 con 6 veces y luego x3 y x7 con 3.

X1 no recibe influencia del resto.

La información dada por (D + D2 )U y por U T (D + D2 ) ¿coinciden cualitativamente? Reflexione, haga cálculos y responda.

La información que dan (D + D2 ) U y por U T (D + D2) no coinciden cualitativamente porque una indica la suma de elementos correspondientes a cada fila (cantidad de influencias por persona) , y otra la suma de elementos correspondientes a cada columna (cantidad de influencias recibidas por persona), significando diferentes cosas. Los cálculos son los que se realizaron en puntos anteriores.

Para obtener el hombre que ejerce mayor dominación, se siguen calculando potencias:

D3 = (0 0 0 0 0 3 1 20 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

)D3 nos da información referida a influencias indirectas de ¿cuántas etapas? Nos da información referida a influencias indirectas de 3 etapas, con 2 intermediarios.

Interprete la matriz D3U .

Indica la cantidad de dominaciones de cada persona en tres etapas ,con dos intermediarios.Se puede observar que x1 influencia de 6 formas distintas y x2 de 4 formas distintas. Ninguna de las otras personas realiza dominación de este tipo.

Interprete D4 .

Indica cuantas dominaciones de forma indirecta en 4 etapas con 3 intermediarios realiza cada persona, como se puede observar, solo la persona x1 domina de 4 formas distintas.

D5 es nula , por lo tanto indica que no hay más de 3 intermediarios en las relaciones.

Para obtener la totalidad de influencias posibles, directas e indirectas se realiza: T= D + D2 + D3 + D4

Y luego:TU=

Se observa entonces que x1 influencia a 7 personas de 17 formas distintas directa e indirectamente, le sigue x2 influenciando a 6 personas de 11 formas distintas directa, e indirectamente y luego x3 influenciando a 3 personas de 4 formas distintas.X8 es la persona que no influencia de ninguna forma.

Haciendo UT T se obtiene la cantidad de influencias que recibe determinada persona:

Mostrando asi que la persona x8 es la mas sumisa, ya que es influenciada de 16 formas distintas, le sigue x6 con 10 y luego x7 con 4. X1 no es influenciada por nadie.

PARTE B. GRUPAL.

La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace  la matriz T de la Guía de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la acción que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformación

D= matriz de coordenadas.

TD=H=nueva matriz del transformado por T.

¿Qué matriz calcularía y cómo la usaría con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, ¿cómo procedería, operando con matrices, para obtener las coordenadas de  la letra original?

Dibuje. Realice los cálculos con los  ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallas.

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S,  y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

Nuevos nombres identificatorios:

S= nueva matriz de transformación

H= nueva matriz de coordenadas.

SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrás de otro y estudiar como cambia de posición la letra N (esto es, hacer una composición).  Así se trabajan las imágenes en una pantalla.

Puntaje máximo: 20 puntos.

Teniendo la matriz D que contiene las coordenadas graficadas, las cuales forman la letra N:

D= (0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 60 0 0 1.58 6.42 8 8 8)

6

y coordenada

x coordenada

8 7

3 2 1

6 5

Y utilizando la matriz T : ,  ,Las cuales pueden ser multiplicadas ya que son compatibles (dando por resultado una matriz de 2 filas y 8 columnas)

Modificamos las coordenadas de la siguiente forma dándole a k el valor 2, k=2

TD=H

H=

Pasando las nuevas coordenadas al grafico:

Se puede observar como la letra se ha ensanchado.

Para volver las coordenadas a su valor original se opera de la siguiente forma:

Verificamos que T tenga inversa haciendo T. T-1 = I: Luego:TD=HT-1(TD)= T-1H(T-1T)D= T-1HID = T-1HD= T-1 H

Calculamos:

Obteniendo así:

D =

Tomando ahora como matriz de coordenadas a H volvemos a calcular utilizando a S como matriz transformación:

Siendo S :

H:

SH = J

J=

Graficamente se observa un movimiento de reflexion :

Una vez más, para volver las coordenadas a su valor original, hacemos:

Verificamos que S tenga inversa haciendo S. S-1 = I:

Luego:

SH=JS-1(SH)= S-1J(S-1S)H= S-1JIH = S-1JH= S-1 J

Resulta entonces:

H =