LE.S. SOL DE PORTOCARRERO

, MATEMATICAS

••

E.IlTdOS PARA AVANZAR

Cómo se representan los números enteros en la recta numérica ";' ". ~ <.:\·c /,:::.,," ',.'.! :, ':':'~":"'~";:" ,::~é"\" .,.,::>·~_:~I~\;'~:·::»;<~'::, .'.:•.. :-::;:'. ," ::-:.

numeros enteros sobre una recta se representan hacia la derecha los números positivos.

I I I I I I -6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6

• Dos de los números representados en esta recta numérica están mal situados con respecto a los demás.

-3 -2 1 3 7 9

a) ¿De qué números se trata? ....................................................._

b) ¿Qué números deberían situarse en su lugar? ..........................................................

• Indica qué valor debe tomar cada una de las letras. Para ello sitúa primero el cero, que se encuentra tres lugares a la derecha de la letra F.

A BCD E F G H I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

-21•• •>

•

• Sabiendo que la letra H representa en la siguiente recta al número +17:

F A B e E D G H I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

a) ¿Qué valores representan las demás letras?

A= 8= c= 0= E= F= G=

b) ¿Entre qué dos letras se encontrará situado el número O?

• Indica qué números deben situarse a la derecha ya la izquierda de cada una de las letras.

A B o e D I I I I I I I I I 1 I I I I 1 I I I I I I I I I I I

>A la derecha de A se sitúa -6 y a la izquierda -8.

...

-}­

•••••••••••

Qué es el valor absoluto y el opuesto de un número entero

número natural que resulta al supri~i;;~¡signo. Ejemplo: 1-101 = 1+101 = 10

Cuando dos números enteros distintos tienen el mismo valor absoluto se dice que son opuestos. Al representarlos en la recta numérica, están a la misma distancia del cero.

1+41 =1-41 =4

• I I I I I I I • -4, -3 • ___:-3_~ __ -1 /0, 1 2 3 4 ~~

• Completa las siguientes frases:

a) El valor absoluto de -5 es ..........................

b) El valor absoluto de -125 es ........•...m

e) los números .......................... y .......................... tienen valor absoluto 8.

d) El valor absoluto de +3 y de -3 es ..........................

• Completa las siguientes expresiones:

al 1-161= O d) 1+ 01 = 110

b) 1+01=4 e) 1- 01 = 13

cl 1- 01= 9 f) 1+ 46 1= O • Completa las siguientes frases:

a) El opuesto de --17 es ..........................

b) El opuesto de .......................... es +34.

e) El opuesto del número situado 11 lugares a la izquierda del cero es ..........................

d) El opuesto del número situado 3 lugares a la derecha del cero es ..........................

• Indica cuáles son los números que están a la misma distancia del cero y separados por 12 unidades.

• En la siguiente recta sitúa los opuestos de los números que hay señalados.

I I J I I J J I I I I I ¡ I I I I I 1 J I I J 1 -4 -3 ° 5 10

al ¿Cuál es el número que has señalado más cercano al cero? ...................................

b) ¿Cuál es el número que has señalado más alejado ilel cero? ............._...............-..

-2­

I

Cómo se ordenan los números enteros

I I I II~I I 1~1-11 -3 o 1

-11 < -3 -? -11 es menor que -3 porque está más a la izquierda en la recta.

Si son dos números negativos, es menor el que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo: -11 < -9 ya que 1-11 1> 1-91

Si un número es positivo y el otro negativo, es menor el número negativo.

Ejemplo: -17 < +9 ya que +9 es positivo

y -17 es negativo

Si son dos números positivos, es menor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplo: + 12 < + 15 ya que 1+ 121 < 1+ 151

• Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros representándolos en la recta numérica:

+5 -11 +7 +4 -3 O +9 -7 +2 -9 -1

• Escribe los números enteros que faltan:

-5 < -4 < O < O < -1 < O < +1 < O < O

• Completa las siguientes series de números enteros:

a) -12 < -10 < -8 < -6 < < < <O <O O O O b) +10 > +7 > +4 > >O

• Escribe el signo < o > según corresponda:

a) -12 O -13

b) -10 0-9

e) +10 -55

d) +30 -300

O > > >O O O

e) +80 0-80

f) -90 O +5

g) -880-8

h) -60-7

• Razona si los siguientes apartados son verdaderos o falsos:

>a) -2 < -13. Es falso, -2 > -13 ya que son dos números negativos y el valor absoluto de -13 es mayor que • el de -2.-.

b) +1 > +5 ..........................~.................................._.......................................................................................................................................................

e) + 30 > - 300 .................................................................................................................................................................................................._.......... .

-3­

Cómo se suman y restan más de dos números enteros

Se suman y restan los números sucesivamente de izquierda a derecha.

Ejemplo: -17 + 15 + 8 - 6 + 9 - 4 = -2 + 8 - 6 + 9 - 4 = + 6 - 6 + 9 - 4 = O + 9 -4 = ~

Se suman, por un lado, los positivos, por otro los valores absolutos de los negativos, y se restan los resultados.

Ejemplo: -17 + 15 + 8 - 6 + 9 - 4 = (+ 15 + 8 + 9) - (17 + 6 + 4) = +32 -27 = ~

• Efectúa las siguientes operaciones de izquierda a derecha de una en una:

a) -14 + 6 ­ 4 + 12 - 18 ­ 9 =

b) +2 ­ 9 + 18 -2 + 7 -17 =

el -13 ­ 5 + 10 - 2 + 9 -3 =

• Efectúa las siguientes operaciones agrupando primero los números de igual signo:

a) +6 ­ 2 ­ 9 + 13 ­ 4 ­ 15 =

b) 18 + 26 ­ 7 - 3 ­ 12 + 9 ­ 14 =

e) -2+15-24-6+18-9-11=

• Calcula el resultado de las siguientes operaciones resolviendo en primer lugar los paréntesis:

>a) 2 - (13 - 7) + (28 - 32) = : = 2 - 6 + (-4) = : = 2 - (6 + 4) = e e. = 2 - 10 = -8

b) -10 + (17 - 10 - 6) =

e) (5-7-8)+(18+4)-(16-6)=

d) -(-6 - 11 - 5) - (-3 + 15) - (7 - 8) =

e) (6 - 19) + (7 - 17) - (3 - 6) =

f) (12+12-11)-2-(3+7-17)=

-4­

PARA AVANZAR

Cómo se multiplican dos números enteros

<.0 Se multiplican sus valores absolutos.

positivo: si los dos tienen el mismo signo.

o El resultado obtenido tiene signo

negativo: si los dos tienen signo diferente.

-3 x (- 4) = @] 3 x (- 4) = 1-121 -3 x 4 = 1-121

• Efectúa las sigu¡entes operaciones:

a) (+2) x (+3) =

b) (+9) x (-7) =

e) (-11) x (+8) =

d) (-7) x (-7) =

e) (+5) x (-4) =

t) (-10) x (+3) =

g) (-2) x (-6) =

h) (+9) x (+3) =

• Averigua qué número falta para hacer ciertas las siguientes expresiones:

a) (+ 2) x D = t) D =+14 x (- 7) + 14

b) D x (-1) = +8 g) (+3) x D = -27

e) (+7) x D = -21 h) D x (+3) = +6

d) -3 x D ,= 27 i) 9 x D = -45

e) D x (-9) = 9 j) 8 x D = 64

• Razona si cada una de las igualdades es verdadera o falsa:

>a) -6 x (-3) = 18. Es verdadera ya que, al multiplicar dos números negativos, el resultado es positivo.-. b) 5 x (-4) = 20.........._............................-.........................................................m _.....................; .................... ......................................................... .

e) (-3) x 10 = 30............................................................................................................................................................................................................

d) 9 x 4 = -36........................................................................._.....................................................................................................................................

• Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué número hay que multiplicar -7 para obtener 49? ................................._..........................................

b) ¿Qué número hay que multiplicar por -8 para obtener -80? ..............................................................................

e) ¿Por qué número hay que multiplicar -3 para obtener -9? ..............................................................................

- 5­

••

Cómo se dividen dos números enteros

< .0 Se dividen sus valores absolutos.

positiva: si los dos tienen el mismo signo.

o El resultado obtenido tiene signo . ••. (-rl:J:6~/:'~¡t:·Ji)0\-negativo: si tienen signo diferente. (-):(¿-1= __ ··

(+).~ (-)::: + -18: (-3) = [}] ...!!. = '-6l-3 ~

• Efectúa las siguientes divisiones de números enteros:

a) -30: (-6) =

b) ...!!. = -7

e) 21 : (-3) =

d) -15 = 3

-18e)-=

-6

f) 25 : (-5) =

-30a) O = - 6

24b) -=-3

O e) -24:0 =-3

d) 33: 0= 11

• Contesta a las siguientes preguntas:

• Averigua qué número falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de números enteros:Oe) : (-4) = 9

g) -SO: 0= 5

h) 28: 0=-7

a) ¿Cuál es el número que dividido entre 6 da -1? ..........-..............__....m .................__.......

. b) ¿Entre qué número hay que dividir -54 para que dé -6? ............__........................-. .-........__..

el ¿Por qué número hay que dividir -70 para obtener 7? .........-....................................................

d) ¿Qué número hay que dividir entre -8 para obtener de cociente 2? ......................................._.....................

• Justifica por qué las siguientes igualdades son falsas:

>a) (-12) : (-2) = -6. Falsa, ya que al dividir dos números negativos, el resultado es positivo.

b) (-28) : (+ 14) = + 2...............................................................................................................................................................................................­

22e) -11 = 2........................................................................................................................- ..._........................................................................................

- b­

••

Cómo se dividen dos números enteros

.0 Se dividen sus valores absolutos. ". Regla ,de.,, ' los signos "',

< positivo: si los dos tienen el mismo signo. '. ' '

, (+1 : (:f"):::i' +o El resultado obtenido tiene signo :<~+}::'X7)"e'+negativo: si tienen signo diferente. (-) : (+l=~

.(';r~{~)==+ -18: (-3) = ~ J!. = r-=¡l

-3 ~

• Efectúa las siguientes divisiones de números enteros:

a) -30: [-6) =

b) Ji. = -7

e) 21 : (-3) =

-30a) D = - 6

b) 24 = - 3

e) - 24 : = -3

d) 33 : = 11

• Contesta a las siguientes preguntas:

d) -15 = 3

-18e)-=

-6

f) 25 : (-5) =

• Averigua qué número falta para hacer ciertas las siguientes divisiones de números enteros:De) : (-4) = 9

f) -=4D -4

g) -50: =5

h) 28: D =-7

a) ¿Cuál es el número que dividido entre 6 da -1? .~_._._..._.__............_._......_......-....

b) ¿Entre qué número hay que dividir -54 para que dé -67 .....................-.........................-.............

e) ¿Por qué número hay que dividir -70 para obtener 77 ..._.....m ................_ ...............................

d) ¿Qué número hay que dividir entre -8 para obtener de cociente 27 ......._.-......._....._......_...-...................

• Justifica por qué las siguientes igualdades son falsas:

>a) (-12) : (-2) = -6. Falsa, ya que al dividir dos números negativos, el resultado es positivo.

b) (-28) : (+14) = +2...................___.................._.................................................................................................................................................­

22e) -11 = 2. .....................- ............................................................................................................................................................................................... .

- 6­

Cómo se quitan paréntesis

n:llrpnf'PCIIi: hay un signo + se elimina el paréntesis:

Ejemplo: -12 + (-6 - 2 + 5) = -12 - 6 - 2 + 5

Si delante de un paréntesis hay un signo - se elimina el paréntesis y se eambia el signo de eada uno de los números que hay dentro del paréntesis:

Ejemplo: -12 - (-6 - 2 + 5) = -12 + 6 + 2 - 5

• Efectúa las siguientes operaciones quitando paréntesis: a) 22 + (13 - 17) = e) -15 - (-5 - 15 - 5) - (-15 - 5) - (5 - 15) =

b) -2 + (-17 - 20) - 16 = d) -(10 + 3 - 9) - (7 - 17) - (17 - 7) =

• Efectúa las siguientes operaciones: a) (5 - 25) + (-18 + 8) + (6 + 6) = e) -(18 + 12 - 21) - 2 - (8 + 7 - 19) =

b) 2 + (13 - 7) + 4 = d) -4 - (-5 + 6 - 7) - (8 - 9) + (20 - 15) =

-'7­

• Efectúa las siguientes operaciones:

a) 20 - (17 - 20) - 16 = e) -(2 + 6 - 9) + (18 - 18) - (17 - 7) + 16 =

b) -(15 - 25) + (7 - 18) - (16 + 9) = d) (-12 + 2 - 1) - 12 + (10 + 17 - 27) =

• Efectúa las siguientes operaciones:

a) -(12 - 8) - (27 - 36) - (-9 + 52) = e) -(-22 + 16 - 19) + (17 - 7) - (-8 - 28) =

. b) -(- 5 - 20) + (17 - 28) - (-16 + 10) = d) (-32 + 29 - 10) - 12 - 4 + (27 - 38) =

-~-

- En qué orden se realizan las operaciones con números enteros

[(-6 - 2 + 5) x (- 2)] x (12 - 2) : (-6) - (4 x 3) = = [(-3) x (-2)] x 10: (- 6) - 12 =

o Multiplicaciones y divisiones = 6 x 10 : (-6) - 12 = 60 : (-6) - 12 =

= -10 - 12 = 1-221

el mismo paso se pueden realizar varias operaciones, siempre que se respete el orden de preferencia.

dos operaciones tienen igual preferencia, se realiza primero la que se encuentra más a la izquierda.

• Realiza las siguientes operaciones:

a) 8 + 8 : 4 = d) -24: 4 x 3 =

b) -18 - 3: 3 = e) 21 : (-7 + 4) =

e) -8 - 3 + 3 x 4 = t) 7 x (-7 + 4) =

• Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

. a) 6 + (-18) : (-3) x (-2) = ellO: 2 x (-3) + 6 =

b) 32 - 7 - 25 x 4 = d) 36: 4 - 2 x (-2) =

- 9­

• Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) (16 - 10) : (-3) x (-2) == e) 20: 2 x (-8 + 6) =:=

b) 12 - (7 - 15) x 4 = d) 18: 2 - (2 x (-9)) =

• Realiza las siguientes operaciones:

a) -22 - 2 x (1 - 7) : [(-2) x (-3)] == e) 6 x [5 x (-12 + 4) - (5 - 13)] : (-2) =

b) 8 - [(-7 - 2) x (1 - 11)] + 6 x (-4) = d) (18 - 14): [(17 - 12) + (5 - 6)] x 10 =

-JO­

••

11. POTENCIAS Y RAíCES)

Potencias. Propiedades

• PARA EMPEZAR

Qué es una potencia

< Base: Número que se repite

formada por:

Exponente: Número de veces que se repite la base

'::lernrnlO: El producto 7 x 7 x 7 x 7 x 7 se escribe en forma de potencia como siendo 7 la base y 5 el exponente. Se lee Isiete elevado a la quintal.

• Escribe las potencias que tienen los siguientes términos:

a) Base = 34 Yexponente .,;, 3 ..................................... d) Exponente = 4 Y base = 3 ...................__................

b) Exponente = 5 Y base = 7 ........................................ e) Base = 10 Yexponente = 5 .......................................

e) Base = 5 Y exponente = 10 ....................__........... t) Exponente = 8 Y base = 7 .........-..............................

• Escribe cómo se leen las siguientes potencias e indica cuál es la base y el exponente en cada una de ellas:

>a) 32 Base: 3 Exponente: 2 •• Se lee tres al cuadrado

24b) Base: ._....__......... Exponente: ...__................

Se lee ...................................................................._..............

e) 67 Base: ........................ Exponente: ........................

Se lee ............................................................................._.....

d) 86 Base: ........................ Exponente: .._._............_..

Se lee .................................................................................._

• Indica cómo se escriben las siguientes potencias y cuál es la base y el exponente en cada una de ellas:

a) Tres al cuadrado ......................... Base = ......................... Exponente = .........................

b) Cinco a la cuarta ......................... Base = ......................... Exponente = .........................

el Dos al cubo ......................... Base = ......................... Exponente = .........................

d) Tres a la cuarta ......................... Base = ......................... Exponente = .........................

e) Cuatro al cubo ......................... Base = ......................... Exponente = .........................

f) Cuatro al cuadrado .......................... Base = ......................... Exponente = .........................

-lJ­

••

• Expresa en forma de potencia las siguientes multiplicaciones:

al 2 x 2 = e)

b) 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = f)

e) 100 x 100 = g)

d) 200 x 200 x 200 = h)

• Desarrolla como producto las siguientes potencias:

a) 122 = e)

f)

el 94 = g)

3 x 3 x 3 x 3 =

12x12x12=

5 x 5 x 5 x 5 x 5 =

16 x 16 x 16 =

10Q2 =

74 =

24 =

• Desarrolla las siguientes potencias y calcula su resultado:

62>al = 6 x 6 = 36 el 42 = •

32b) = f) 23 =

el 53 = g) 33 =

24d) 103 = h) =

• ¿tuál es el único número, distinto de cero, que da igual resultado al hacer su doble que al hacer su cuadrado?

• ¿Cuál de estos números es mayor, el triple de 3 o el cubo de 3?

-J2­

PARA AVANZAR

Cuál es el signo de una potencia ~lttí

< esu

signo del resultado de una potencia depende de:

Si su exponente es par o impar

• Expresa en forma de potencia las siguientes multiplicaciones e indica, sin resolverlas, el signo que tiene

• Desarrolla como producto las siguientes potencias e indica, sin resolverlas, el signo que tiene

• Relaciona mediante flechas cada potencia con su nombre, su desarrollo en forma de producto y el signo de su resultado: .

[-2)3 Menos cuatro al cubo (-3) x (-3) Negativo

Menos dos al cuadrado 3x3x3 Positivo

Menos tres a la cuarta (-4) x {-4} x (-4) Positivo

Menos dos al cubo ~ (-3) x (-3) x (-3) x (-3) ~ Negativo

Menos tres al cuadrado ~ (-2) x (-2) x (-2) ~ Positivo

Tres al cubo (-2) x (-2) Positivo

-/3­

el resultado en cada caso:

a) (-2) x (-2) x (-2) = Signo ..«<__._.........

b) (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = Signo ...........__......

e) (-100) x (-100) = Signo ......_....._ .....

el resultado en cada caso:

a) (-2)2 = Signo_.............

b) (-5)3 = Signo _.~....._ .....

e) (-3}4 = Signo ..........._...........

d) (-3) x (-3) = Signo ..............._ .....

e) (+ 12) x (+ 12) x (+ 12) = Signo ............__....

f) (+5) x (+5) x (+5) x (+5) x (+5) = Signo .........__........

d) (-7)5 = Signo ........................

e) (+4)2 = Signo ....._.................

t) (+5)5 = Signo ..................__

••

• Indica el signo del resultado de las siguientes potencias sin hallar su valor:>a) (-12)2 Signo +

b) -24

e) (-31)2

d) 10003

e) (+5)6

f) (-10)5

• Completa las siguientes igualdades:

a) (-2)0 = 4

3

b) O =8

e) (-4)0 = 16

d) 100 = 100

e) 0 3

=27

5

f) O = -32

• Completa las siguientes frases:

g) (-lOOP

25h)

i) (-27P

j) (-10)4.

k) (-14P

1) 107

g) 0 3

= 1000

h) (-2)0 = 16

i) 0 3

= -27

j) 0 3

=-8

0 4

k) = 16

1) (-5)0 = 25

a) Con cualquier exponente, si la base es positiva el resultado es .......................................

b) Con la base negativa y el exponente ....................................... el resultado es negativo.

e) Un resultado positivo se obtiene con una base ....................................... y un exponente par.

d) Con un exponente impar la base debe ser ....................................... para obtener un resultado negativo.

e) Con la base positiva y el exponente impar se obtiene un resultado ..~....................................

• Razona si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:

>a) El resultado de (-3)3 es un número positivo. ~. Es falsa ya que al elevar un número negativo a un número impar, el resultado es un número negativo.

b) Al elevar -4 a la cuarta se obtiene un número positivo.

e) Al elevar -2 a la quinta se obtiene -32.

- 14­

••

• ••

= Cómo se multiplican potencias de igual base ~~~~r~}1~'J~i~~:~~~~~~~~}~nf~~:~2):~?~~Z~t~}~~~';~~~~~;~~~:t:~1~~~"..::::~~l~:' o,'.

ra multIplicar potencias de igual base se deja

jemplos:

g2 x 92 X gJ = (9 x 9) x (9 x 9) x (9 x 9 x 9)(-T (-3~X l-3Jf= (-TP= [(-3)"[

. . 'h' >i', .CO,.;, ',>" .,".~'¡ ,;

a misma

= + 2 + 3 = ~92

• Desarrolla cada una de las siguientes potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia:

23>a) 22 x 2' = (2 x 2) x 2 = 22+1 =

e) (-5)4 X (-5)2 =

d) (-75) x (-75)3 x (-75) =

• Expresa el resultado en forma de una sola potencia:

33b) x 3 =

e) (-2)3 X (-2)3 = g) (-6)3 x (-6)3 X (-6)3 X (-6)3 =

h) (-5)3 x (-5) x (-5) x (-2)1 =

• Escribe los térmi.nos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) 55 x 5 x DO X 54 = 5'5 d) (-3)1 x DO = (-3)9

e) DO x (-12)5 = (-12)13b) [-5)4 x DO x (-5) = (-5)n

, e) DO x (-a) x (-8)2 x (-a)6 = (-a)12

• Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

x 62>a) 62 = -64• Es falsa ya que la base del resultado debe ser la misma que la del producto.

-410b) (-4)5 x (-4)3 X (-4)2 = ................................................. _ .................-................................................................................................... .

33 39e) x 35 X 3 = ........................................................................................................................-............................................................................... .

- 15­

Cómo se dividen potencias de igual bas.,e,

, .

• D~sarrolla cada una de las siguientes potencias y expresa ef resultado en forma de una sola potencia:>a)95 ;92 =9x9X9X9X9;9'X9";;93 el (-13)5:(-13)3= '

• Expresa el resultado en forma de una sola potencia:

• Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:

• Justifica por qué son falsas las siguientes igualdades: ___

(-12P 9 'L­

a) (-12)2 = (-12) .........-..........m ............................_ ..............................-...-..........................._ ••_ ......................................._ ••_....................... ~

(-9P 5 , ­b) (-9)2 = 9 ........................._--..............................-.........................-_...............-......._--........................-.............................................._ .............

-}6­

e. (-22)3

b) (-22)2 =

e) 2tr: 202 =

d) (-16)3 = (-16)

a) (-4)6:(-4)+=

256

b) 25+ =

( -2)10 e) (-2)6 =

d) lod': 1005 =

a) 96 : 00 =9+

b) ¡s = 73

" 0° el 00: (-50)5 =

g) (-36)5: (-36) =

108

e) 105 =

fl (-5)8: (-5)+ =

g) (-9)5: (-9)2 =

(-50)2

d) 0° = 10'105

0°, ( )5fl (-13)+ = -13 '

x

Cómo se halla la potencia de una potencia-,-ra- elevar uná potencia a otra potencia se deja la misma base yse multiplican los exponentes.

jem los:

( 1 2 1-=_10__X_l_0_ 110'1 11-61 Hl' x H)' = H)'" = 1-srt= IHrl2 X_l0_2_=_1_~_+_2_+_2_=_1_)(..J = =

• Desarrolla cada una de las siguientes potencias y expresa el resultado en forma de una sola potencia:

a) ((-12)~4 =

b) ((-10)3)5 =

C) (24)4 =

d) ((_7)4)3 =

e) ((-100P)2 =

• Expresa el resultado en forma de una sola potencia: a) ((-2)2)2 = e) ((-9)3)4 =

b) ((_8)4)6 =

C) ((-4)5)2 = g) (104)4 =

d) ((-3)2)3 =

• Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) ((-2)2)0 = (~2)8 f) ((_4}0)6 = (0)24

18b) ((0)6)4 = (-12)0 g) (46)0 = 0

• Razona si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades:

a) ((_4)3)3 = (-4)6 .................................................................................................................................................m ......... ..........................................__ .

b) _(22)3 = (-2)6 ...............................................-.............................................................................................................................................................

-J"t­

Cómo se halla la potencia de un producto

• Expresa en forma de producto de potencias: a) ((-2) x 4)2 =

b) (6 x (-5))4=

e) ((-3) x (-5))12 =

d) ((-8) x 9)5 =

e) (5 x (-6) x (-7))8 =

t) ((-2) x (-2) x (-2))1 =

h) (11 x (-8) x 2)9 =

• Expresa en forma de producto de potencias e indica cuál es el signo de cada uno de los factores y del resultado:

>al ((-3) x 7)3 = (-3)3 X 73

• El signo de (-3)3 es negativo. •: El signo de 73 es positivo. '!.. El resultado es negativo.

b) (4x(-4))4=

e) (5 x (-6))4 =

d) ((-9) x (-9))1 =

• Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) (O x 3)3 =(-7)3 X 33

e) ((-9) x (-4))2 =O

d) ((-15) x 19)1 = (-15)7 x 00

e) ((-18) x (-23))1 = x (-23)100 errE" 7;

-)8­

••

~ Cómo se halla la potencia de un cociente

( -9)2 (-9)23 =31

• Expresa en forma de cociente de potencias:

(15)4 e) (a: (-3))1 =a) T =

b) (12: 7)3 =

g) (3 : 4)8 =

d) (9 : 10)10 = h) (~~r =

• Expresa en forma de cociente de potencias e indica cuál es el signo de cada uno de los factores y del resultado:

e) ((-17) : (-5))' =?al (~4r = : El signo de (-4)3 es negativo.• : El signo de 53 es positivo• •• El resultado es negativo•

b) (6: (-4))4 = d) (!y =

• Escribe los términos que faltan para que se cumplan las siguientes igualdades:

aJ (0)'==-0 e) (O:50

d{-~)' ==-ODb) (O : (-a)r = 4

50

...------------".-­

••

••

Raíces

PARA EMPEZAR

Qué es la raíz cuadrada exacta de un número

• Escribe la raíz cuadrada equivalente a los siguientes cuadrados de números:

62>a) = 36 • V36 = 6 d) 402 = 1 600 •

72 e) 102 = 100 -----'.....

t) lf = 121 -----'",....

b) = 49 ----i",....

• Escribe las potencias equivalentes a las siguientes raíces cuadradas:

252>a) y625 = 25 ", = 625

•

b) V100 = 10 ----¡.....

e) y'i4.4 = 12 --",....

d) yI12'1 = 11 ",

e) V16 = 4 ----¡",....

t) v4 = 2 ----i.....

• Escribe qué número multiplicado por sí mismo da como resultado:

>a) 81 • 9 d) 49 ,.. ••

b) 9 --..... e) 100 --)lo""

e) 64 --..... t) 25 -----'"....

• Escribe los números que faltan para que las siguientes igualdades sean ciertas:

al Jo = 2 dl y'i6 = O b) V36= O eJD=13

t)Va1=Oe) D=3 - oG-V­

• •

PARA AVANZAR -'

Qué es la raíz cuadrada entera de un número

mayor

:jemplo: la raíz cuadrada entera de 27 es 5 porque 52 < 27 < 62•

e llama resto a la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera, de forma que se cumple que:

Radicando =(Raíz cuadrada enterp)2 + Resto

:jemplo: Resto = 27 - 52 = 27 - 25 = 2. Se cumple que: 27 = 52 + 2

Se escribe Vii = 5 Yresto 2 .

• Halla el resto de cada una de las siguientes raíces cuadradas enteras:

al V6s = 8 ; resto: d) y3s = 5 ; resto:

b) V75 = 8 ; resto: el y'iOs' = 10 ; resto:

cl yI150 = 12 ; resto: f) y'a8 = 9 ; resto:

• Completa las siguientes expresiones referidas a raíces cuadradas enteras:

a) 62 < 39 < 72 y'39 = D Resto: ~ -62 = 3

/0=9 Resto: 99 - =

/0=

~~D

Resto: 148 - =

Resto: D -202 = 10

• Asigna a cada número su .raíz cuadrada entera y después calcula el resto en cada caso.

Raíces cuadradas: 22 11 10 15

> 102111 10 111 - = 11

•• ,~-----¡r-------------~--------------~ 234

500

122

- 21­

Las fracciones

l. NÚMEROS FRACCIONARIOS)

• PARA EMPEZAR

Qué es una fracción y cómo se llaman sus términos

Una fra~ci6~"~~ una~p~~s'ió~'riuméd~~fci~m~~'~tg>dristérmi~os: .! ...... Numerador: Las partes iguales que tomamos de la unidad. 8 ...... Denominador: Las partes iguales en que se ha dividido la unidad.

Una fracción nos puede indicar:

" '. Las partes de un todo • El cociente de dos nú meros • Un operador que se aplica

8"3 = 3: 8 = 0,375 .! de 24 ~ 24 x 3 = 9

8 8 Tres octavas partes Valor numérico j(Tres partes de ocho)

• En estas figuras representa ~. b)a) e)

• Calcula el valor numérico de estas fracciones: 3 10

a) - = b) - = 5 10

• Utilizando la función de operador, calcula:

>' 3 75a) "'5 de 75 = ..;,...:;...:.:...::==- =

e e.

12 d) 11 =e) -= 4 22

13b) - de 90=18 " ,

• Une las fracciones que tienen el mismo valor numérico (aunque tengan distintos términos). ~ 5 24

1. ¡ al 15

10 20 2. 25 b) 16

3. 58 e) 20

7

35 d) 1.4. 100 5

-22­

••

Cómo se obtienen fracciones equivalentes

. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte del todo y tienen el mismo valor numérico,

Partes del todo Valor numérico

! = 0,75 } ~ 1 3 = 61 .§..=075 4 8 8 '

"-' iPara obtener fracciones equivalentes a una dada, se multiplican o dividen sus términos por el mismo número.

12 x 2 24 12 24 12: 3 4 12 4 •Ejemplos: 15 x 2 =30 ~ 15 = 30 15 : 3 = 5 ~ 15 =5

',Una fracción es irreducible cuando sus términos son números primos entre si y no pueden simplificarse.

' I 4 1 9 f ' 'd 'blE:jemp os: 5'"6'"7 son racclOnes Irre UCI es

• Entre estas parejas de fracciones coloca los signos = o =1= según sean o no equivalentes:

2 D 24al 5 60

b) 1L D B.12 22

7 D 11c) 5 "8

d) 2- D J210 90

• Simplifica estas fracciones hasta averiguar la fracción irreducible eqlJivalente a cada una.

>a) !~ = !~ ~ ~ =

40b) -= 72

• En cada serie de fracciones equivalentes hay un término incorrecto. Localízalo y escribe a continuación 'Ia fracción correcta.

1 3 7 8 12 a) "2="6=13= 16 = 24

4 8 12 20b) -=-=-=­9 18 24 45

7 15 35 70c) -=-=-=­8 16 40 80

-23­

• ••

lit PARA AVANZAR

Cómo se reducen fracciones a común denominador

• Multiplica los términos de estas fracciones por 2,3,4, 5, 6, ...• hasta que encuentres dos fracciones equivalentes a cada una de ellas con los mismos denominadores.

2a)-=­9

5bl -=-=­6

• Escribe los numeradores que faltan para que se cumplan las equivalencias.

3 7 9D D Dal 4 =20 b) 5=20 el 10 = 20

• Reduce a común denominador estas fracciones ampliando sus términos. 5 7 1 9 7 5

a) 3'4'2 b) 10'15'6

5 -=-= 3

7 -= 4

1 -= 2

,> • Multiplica o divide los términos de la fracción dada por el número indicado para buscar fracciones : equivalentes:••

x 4 x6 : 2 :4 x5 x 2 :30•• • ~ ~ ~ ~ ~• 2~8~• - = -=- = - = - =-=- ­• = • 3 '-#'12 '-#' '-#' '-#' '-#' '-#'• x 4 x 6 : 2 : 4 x5 x 2 ;3t

- 24­

• •

• • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••

por

siguientes pasos: 5 11. • d . d"9 y U a comun enomma or

.0 Se calcula el m.Com. de los denominadores. 9 = 32 Y 12 = 22 X 3

m.c.m.(9 y 12) = 22 X 32 = 4 x 9 = 36

o Se divide el m.c.m. por cada denominador. 36: 9 = 4

36: 12 = 3

o Se multiplican los términos de cada fracción por el cociente obtenido. .§. = 5 x 4 = f*1 9 9 x 4 36

..!l.=11X3=f*1 12 12 x 3 36

> • Reduce estas tres fracciones a común denominador por el método del m.c.m. siguiendo los pasos indicados:

: 1 7 8 : ~~~

• 5 = 5' 6 = 15 = • ~ .• 1.0 Se calcula el m.c.m. de (5, 6, 15)

{••• • Om. c. m.(5. 6.15) =

'" .•••• -- .

2.° Se divide el m.c.m. por cada denominador

-'-" . .••

•

' ­

•

- . r Se multiplica por los cocientes

'"' .

-= 5

7 = 6

8 -= 15

• Reduce a mmlmo comun,..enomlna or 18 y 24'• ' '''¡' d 11

0:5

0: 6 =

=

0: 15 =

5 x =

13

Cómo se ordenan fracciones

. "un;~r~ín~'~i'~~J;aánu~:~r~dor o'd~~om¡g~dor). .

El mismo denominador El mismo numerador

Es mayor la de mayor numerador Es mayor la de menor denominador

5 5.§.>±7 7 9" >""12

Cuando tienen ambos términos diferentes se reducen a común denominador y se comparan después.

345 Ordena de menor a mayor 4' 6' '8

(4 = 22; 6 = 2 x 3; 8 = 23) => m.c.m.(4, 6, 8) = 23 X 3 = 8 x 3 = 24

5 15 -=­8 24

• Escribe el signo> o <, según corresponda en cada caso.

8 O 6 c) ~O 30 e) -3 O -3a) 15 15 40 40 10 14 .

90 9 14 9

17 O 21d)~O~ t)b) "7 ""12 100 100

7 2 9 1 • Ordena de menor a mayor W' S' 20' 4·

• Coloca los numeradores y los denominadores indicádos:

O O O a) -1-5- < -1-5- < -1-5- (numeradores: 4, 7 Y 14)

b) O< O< O(donominadores: 5, 9 Y 1SJ

-2G­

·· f' 345 8.Odr ena de mayor a menor las siguientes racclOnes: 4; 5; 6; 9"

• Un premio de lotería se reparte entre tres socios. Al primero le corresponden los ! del total, al segundo

~ y al tercero el 1~ restante. Establece un orden de mayor a menor en las cantidades cobradas.

• En unos entrenamientos, los tiempos empleados por distintos vehículos de carreras en dar una vuelta a un 5

circuito medidos en minutos han sido los siguientes: ~, ~, 12' Indica cuál ha sido el vehículo más rápido.

• Cuatro niños deben repartirse una determinada cantidad de caramelos. Al primero le corresponden ~ . del total, al segundo ~ del total, al tercero :1 del total y al cuarto los 5~ restantes. Indica un orden

creciente en el número de caramelos que cada niño ha recibido.

-2-:;­~------- ...__...._--_...

Operaciones con fracciones

• PARA EMPEZAR

Cómo se suman y restan fracciones con el mismo denominador

>Para sumar oréStarfr~cciol1es con 'denominador,

mismo denominador, se suman o reshinlos numeradores y se

'Ejemplos: Suma Resta

5 + 3 + l = 5+ 3 + 7 = 1151 = .§. 14 _ ~ = 14 - 6 = lal 12 12 12 12 12 4 9 9 9 9

+ +simplificada

... , '.,' ;, .

• Calcula el resultado de estas operaciones combina.das, Simplifica el resultado que puedas,

a) ~ - (~ + l) = e) .± + (~ - .§.) = 15 15 15 7 7 7

Cómo se multiplica un número por una fracción

. Para multipÍicar un número entero por una fr~cción,se multiplica por el numerador yse deja 'el mismo de~ominador.

E:j'emplos: 7 x .± = 7 x 4 = 111 ~ x 19 = 3 19 '= 5 5 5 10 10

• Calcula mentalmente el factor que falta.

9 72al D x1.=~ c)ZxD=~ e) 20 x =­4 4 8 8 20

2 10 2 14 12 48b) D x-=- d) 15x = f)9 9 15 x 25 = 25

- 2'8­

- Qué es la fracción inversa

qu¿tie;~~n~~sté~;"inos ~'~;bi~a~i.~'¡>" 13y­3

1-yaa

• Coloca el factor que falta.

30 06 oa) -x--= 1 c)--X-=l e) 12 x -- = 140 0 5

x 0=' d) O x 4= 1 f)-' XO=lb) -'10 15O

• Escribe la fracción que falta en cada operación combinada.

a} 5 x (2. -O) = d) (O + ~\1 x É- = , 5 15) 13O

- bl B x(! +:) =1 <l (O -;}) x14 =1 '...­

el (~- O)x L 1 nBX(!+~)=1. 9 2 !

'v

• Entre estas fracciones inversas coloca> o <. según proceda.

a) !O ; e} ,96 O ~6 '"

25d) ~ 25 13

-2Cf­

Calcula estas operaciones combinadas y simplifica el resultado (fracción irreducible).

1144 1al 3 x (~ + ~) = 3 x 2. = 1.l = W el (l§. + J!..) x 6 =li x 6 = 9 9 9 9 lIJ 35 35 35 35

b) 5X(J.!-~)=5X 15=2§.=1 15 1 d) (24_~)X7=~X7= 105=1 21 120 20 20 20 4 45 45 45 45 9

• Si tienes 6 euros para el fin de semana y el sábado te gastas los ~, ¿cuánto dinero te queda para el domingo?

• Juan, Luis y Marta están leyendo el mismo libro. Si Juan ha leído los ~, Luis los : y Marta los ~, ¿quién ha leido menos y quién ha leído más?

. 3 4 • Un agricultor contrata a tres obreros para recoger los tomates de su huerta. Uno recoge los 9' otro 1"'2

y el tercero los 1~' Al final les paga a los tres por igual. ¿Está bien hecho el pago? ¿Por qué?

• Coloca el signo >, < o = que corresponda en la siguiente operación.

2x(.!.+1)D(.2..-~)x4.. 5 5 10 10

-30­

• • ••

PARA AVANZAR

~ Cómo se suman y restan fracciones con distinto denominador

Resta

7 al+'§' -- ­a 6 6 9

1.° m.c.m.(a, 6) = 24 1.0 m.c.m.(6, 9) = 18

2.° Se reducen a común denominador 2.° Se reducen a común denominador y se suman los numeradores. y se restan los numeradores.

3 5 9 20 1291 7 a 21 16 W "8 + 6 = 24 + 24 = 24 6-9=18- 18 = uru

• Realiza estas operaciones simplificando los resultados si es posible.

>al '§'+2+~=__ + __ + __ =

~ 436 000 m.c.m.(4, 3. 6) =

11 4b) ---= 15 10

• Para empaquetar los libros de mi estantería tengo tres cajas de diferente tamaño. En una guardo los ~. yen otra !. ¿Qué fracción del total de libros me queda para la tercera caja?

• Un depósito de agua está lleno hasta los ~. Como tiene una fuga, por la noche se \'ierte ~ de su

capacidad. ¿Qué fracción queda en el depósito? 'IJ

-31­

Cómo se multiplican y dividen fracciones ~~~~~~••~~~~~~;~~~~~,~.~;

Multiplicación División

1.° Se multiplican los numeradores. 1.° Se multiplica el dividendo por la 2.° Se multiplican los denominadores. fracción inversa del divisor.

=[1[= '; simplificada

• Calcula los productos y cocientes, simplificando los resultados que se puedan.

• De una tarta nos hemos comido ! el primer día, y el día siguiente ~ de lo que quedaba.

¿Qué parte de la tarta nos queda aún?

• Una almazara elabora 3615 litros de aceite de oliva que envasa en botellas

de ! de litro. ¿Cuántas botellas se necesitarán?

al : x ~ x ; =

4 8bJ 3 x - x - = 7 9

7e) ¡: 3 =

d) 8: 9"5 =

e) 2 x (~ : ~) =

h) (1. x i) .(~ x i) = 4 2' 10 3

-32.­

••

Cómo se eleva una fracción a una potencia "._... _." _:-:;:/~; .~} '/;'... :. ::~-~:'~i:~;%::~~:~?;;~-,:~~:_~~'~-~:, ":,: :_~ :;?~}~}~:.~~~- ~~~~: ;;'::::~;.:.~:_~-::.:< :'~:"~J<~~ :~:_ ~~·r)/··~~j: ~,:-'~;.-: ',' .?>:r.-¿" ,": ,:,.__ . ._ -: ":.~ _~i I~? '. :~t:;~>t::.::.:~;__ .:::'i-;~:~:-.;;- ..';;. :L:; ',', :;_::.\:~i ~-.""~:; ~~~; ..l1:~'·:':'-'>'-_ ":' ..•.

una potencia de una fracción, se elevan al exponente el numerador y el denominador por separado.

~)4 _~ ~ ~ ~ _2 x 2 x 2 x 2 -..r. _r;fil 34( 3 - 3 x 3 x 3 x 3 - 3 x 3 x 3 x 3 - - ~

• Escribe en forma de potencia o producto estas operaciones, según corresponda.

>a) .1. x l x .1. = (l)3555 5

•

4 4 444b) - + - + - + - + - = 7 7 777

2 2 2 2el -x-x-x-=9 9 9 9

d) .1. x l x l x .1. x l x .1. = 2 2 222 2

7 7e) x- = 8 8

• Coloca entre estas parejas de fracciones = o ::f=, según proceda.

a) ( 1~ rD 1goo d) ~ : 5 D (~r

b) (~r D 2~ e) cr D (!Y

• Escribe la fracción que falta para que se cumpla la igualdad.

a) (-y = ~ , e) (-y = ~ e) ( -4 16

) = 10000

d) (_)3 =_8 f) (-y = ~!125

-33­

••

••

Cómo se calcula la raíz cuadrada de una fracción

Para calcular la raíz cuadrada de una fracción, se calcula la raíz del numerador y del denominador por separado.

\Ejemplos: ¡2s=~=m .y~ ~ L!lJ

> • Calcula las siguientes raíces cuadradas:

a) Jl00 = ~ = • 49 V49

b) (81 = d) [i=.y 16 .y 36

• Completa el ejercicio conforme el modelo:

Cálculo Comprobación

>a) #S=~ (;Y =~ 25 5•

[iib) .y100 = =>

e) [i = .y~

• Une las raíces con las potencias que den el mismo resultado.

[í61 . .ya,

2. /J¡ b) (:Y

3. J,o~o e) (~y

4. 256 d) Grfi[s

5. J2!6 el (,~r

-34­

••

En qué orden se hacen las operaciones con fracciones

Enoperacio~es combinadas debesseg'uir este orden en las operac'iones:

{9 . (2 + 1.) - !.. x 1..V-¡, 2 4 5

.. 1.0 Se resuelven las operaciones del paréntesis. {9 . .§.. - !.. x 1..V-¡· 4 4 5

3 5 7 2.2.° Se calculan las potencias y raíces. 2:-¡--¡x S

12 143.° Se realizan las multiplicaciones y divisiones. W - 20

24 14 104.° Se resuelven las sumas y restas. 20 - 20 = 20

5.0 Se simplifica el resultado (si es posible). ~ = 1; I

• Resuelve paso a paso estas operaciones combinadas, simplificando si es posible el resultado final.

+ D) = 6' D = 6 x _1_5 =>a) 6 : (~ + ;~) = 6 : ( D15 15 . 15•

• Si es necesario, ¿dónde pondrías el paréntesis para que el resultado sea correcto?

. 9 531 a) 10 -10 + 10 = 10

..

8 6 1 3b) -----=­5 5 5 5

5 1 3e) - - - x 2 =­7 7 7

5 1 8d) - - - x 2 =­7 7 7

-3s­

Cómo se representan los nljmeros decimales sobre la recta

rep iguales y representar sobre ellas los números.

0,4 0,9 1,3 1,7 2,5 2,8 3,1 3,6 4,2 4,7

O I [""""1""""'1""""'1""""'1""""'11 234 5

1,52 1,59 1,65 1,72 1,78 1,83 1,88l' , , , , , , , '1' , , , , , , , , l' , , , , , , , , l' " , , , , , , l' , , " , , , , I 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

número es menor cuanto más a la izquierda esté situado en la recta: ',72 < ',78

• Representa estos números sobre la recta y escríbelos ordenados debajo de menor a mayor, según su situación en ella.

al 6,8; 5,4; 3,2; 4,3; 6,'; 3,6; 5,9; 4,5.

l' , , , , , , , , 1" , , , , , , , l' , , , , , , , , l' , , , , , , , , I 3 4 5 6 7

b) 0,'3; 0,42; 0,26; 0,35; 0,48; 0,'9; 0,2'; 0,30.

l' , , , , , , , , l' , , , , , , , '1' , , I , , , , , l' , , '" , , , l' , , , , , , , , I O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

e) ',283; ',252; ',264; ',272; ',258; ',269; ',276; ',28.

l' , , , , , , , , l' , , " , , , , l' , , , , , , , , l' , , , , , , , , I 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29

• Completa estas afirmaciones:

a) Cuanto más cerca del punto O, el número decimal es ......................~.............................................

b) Diez décimas forman una ....................................................................

e) Diez milésimas forman una ....................................................................

dl Cien diezmilésimas es igual que una ....................................................................

el Treinta centésimas es lo mismo que ............................... décimas.

_._-----~ ------ ­-.3b­

• •

PARA AVANZAR

Cómo se ordenan los números decimales

--7 25,01 > 13,98

parte entera es igual, se ordenan por las décimas. --7 8,63 > 8,49

son iguales las décimas, se ordenan por las centésimas. --7 3,65 > 3,614

iguales hasta las centésimas, se ordenan por las milésimas. --7 0,374 > 0,3712

• Ordena de menor a mayor estos decimales.

>a) 2,5; 0,17; 3,8; 4,92; 3,75; 1,316; --7 0,17 < ............ < ............ < ............ < ............ < ............ •-­

b) 1,73; 1,712; 1,719; 1,724; 1,78,1,729--7

e) 0,38; 0,05; 0,19; 0,24, 0,02; 0,11 --7

• Coloca el signo> o < que sea adecuado.

a) 0,03 D 0,031 d) 2,173 D 2,1731 g) 29,1 D 29,096

b) 2,7 D 2,69 e) 0,002 D 0,01 h) 8,5346 D 8,5247

e) 12,04 D 11,97 t) 0,264 D 0,2639 i) 74,1 D 74,11

• Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones y ordénalas de menor a mayor según esos valores.

6 83 4 36a) - = e) -= d) .1± = e) -=b) 100 =5 6 15 37

Ordenación:

, • Calcula el valor numérico de las siguientes fracciones y ordénalas de menor a mayor según esos valores.

95 7 e) 24 =e) -= d) ~=>a) ! = b) 100 = 8 15 25•

-: O d .. 3: r enaelon:"4 < ........................ < ........................ < ........................ < ........................ ••-.

-3:; ­

0,10 < ............. Intercala números decimales entre cada dos, de manera que se mantenga el orden:

< 1,1' < ............. < 1,'2 < .._......... < 1,13

Basta con intercalar números que contengan unidades de un orden inferior a la última del número anterior:

I 0,10 < 0,105 < ',11 < 1,115 < 1,12 < 1,125 < 1,13 I

• Coloca un número decimal entre cada dos, de manera que se mantenga el orden.

a) ',2 < _............... < 1,22 d) 0,32 < ................. < 0,321

b) 0,17 < ................. < 0,18 e) 16,5 < ................. < 16,51

e) 2,45 < ................. < 2,456 f) 96,19 < ................. < 96,20

• Intercala números decimales entre cada dos, de manera que se mantenga el orden.

a) 1,20 < ............ < 1,21 < .._........ < 1,22 < ............ < 1,23

b) 0,17 < ............ < 0,18 < m ......... < 0,19 < ............ < 0,20

e) 2,45 < ............ < 2,456 < ............ < 2,4567 < ............ < 2,45678

•

•

Califica las siguientes frases como correctas o incorrectas.

a) Treinta diezmilésimas es mayor que dos milésimas.

b) El número 1,20001 es mayor que el número 1,19999.

e) 345 unidades es menor que 2567 décimas.

d) El número decimal más pequeño es el que contiene más diezmilésimas.

,

Dados los siguientes números decimales, ordénalos de mayor a menor:

8 '1 151,145; 9; 1,367; 13"; 1',3678; 18

-38'­

••

Cómo se multiplica un número decimal por la unidad seguida de ceros

0,36 x 10 = 3,6• • 0,36 x 100 = 36

LJ 0,36 x 1 000 = 360

• •2 lugares 3 lugares (añadimos un 01

• Calcula los productos.

a) 5,367 x 10 =

b) 5,367 x 100 =

e) 5,367 x 1 000 =

d) 5,367 x 10000 =

e) 0,008 x 10000 =

fl 235,7 x 100 =

g) 0,0025 x 1 000 =

h) 4,384 x 10 =

• Un litro de aceite pesa aproximadamente 0,956 kg. Un camión cisterna transporta 3 tanques de 1000 litros cada uno. Calcula el peso del aceite que lleva.

• En una vaquería han recogido hoy 200 litros de leche. La mitad la venden a 0,24 euros el litro, y la otra mitad.a 0,38 euros. ¿Cuánto han recaudado con la venta de la leche?

• Completa estas multiplicaciones con el factor que falta.

>a) 52,4 x 100 = 5240 •

b) 0,03 x........................ =..;300

e) 6,5 x........................ = 65

d) 18,425 x........................ = 1 842,5

el 0,0369 x........................ = 36,9

f) ......................... x 100 = 16,3

g) ........................ x 10 = 0,7

hl ........................ x 1 000 = 23

i) ........................ x 100 = 738.4

j) ........................ x 10 000 = 3 680

Cómo se divide un número decimal por un número natural

2 decimales

2 4 3, 7~ O 8 3 1 5,23

O 3 O

O, 3

4 decimales

+ 17 l6 8 9

1 8 0,0527 4 9

O

• Realiza estas divisiones:

a) 5,369: 8 = b) 1,9635: 4 = e) 6317,5 : 25 =

• Una casa tiene 6 ventanas iguales con dos cristales cada una. Poner todos los cristales ha costado 386,52 euros. ¿Cuánto ha costado cada cristal?

• Calcula mentalmente estos productos y cocientes.

a) 0,8 x 3 =

b) 1,5 x 4 =

,e) 2,6 x 2 =

d) 0,09 x 9 =

e) 25 x 0,3 =

t) 0,82 : 2 =

g) 3,6: 3 =

h) 0,12: 4 =

i) 7,2 : 9 =

j) 0,042: 7 =

- 40­

• •

••

• • • •

Cómo se divide un número decimal por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número decimal por 10,1'00, 1000, etc., se desplaza la comah~cia rai~quierda tantos lugares como . ceros acompañan a la unidad. Si es necesario se añaden ceros.

Ejemplos:

16,4: 10 = 1,64 16,4 : 1 00 = 0,164 16,4 : 1000 = 0,0164

1 lugar 2 lugares (se añade un O) 3 lugares (se añaden dos O)

• Calcula los resultados.

>al 253,2 : 10 = 25,32 e) 0,84: 10 = •

b) 253,2 : 100 = f) 59,6: 1000 =

c) 253,2 : 1000 = g) 1238,4: 100 =

d) 253,2 : 10000 = h) 345,9 : 1000 =

• Para ayuda humanitaria se van a envasar 3,50 m3 de agua potable en bidones de 100 litros. ¿Cuántos bidones se necesitarán?

• Se está comprobando el consumo de un coche en la pista de pruebas. En el depósito lleva 70 litros de gasolina. Cuando ha recorrido 1000 km aún le quedan en el depósito 8,3 litros. ¿Cuál es el consumo por cada 100 kilómetros?

el) Escribe el término que falta (dividendo o divisor).

a) 45,4: ............ = 4,54 g) ............ : 100 = 0,062 , b) 132,2: ............ = 0,1322 h) ............ : 10 = 3,584

el 0,7 : ............ = 0,007 i) ............ : 1 000 = 0,0638

d) 6345,2: ............ = 63,452 j) ............ : 100 = 1,9632

e) 136,9: ............ = 13,69 k) ............ : 10 = 0,531

f) 74,5: ....._.... = 0,745 1) ............ : 1000 = 0,0085

-41­

PARA AVANZAR

Cómo se multiplican dos números decimales

_ ___.....::~'-'..;;..~I_; J~ ~:~~S3 3 7 5

7 5 o 1 O, 8 7 5 3 cifras

• Realiza estas multiplicaciones.

a) 39,5 x 0,017 = b) 4,836 x 2,08 =

• Un campesino tiene dos cerezales. En uno de ellos recoge 183,25 kg yen el otro 168,6 kg. Ha desechado 36,75 kg por estar en mal estado. Las buenas las ha vendido a 2,4 euros el kilo. Calcula el importe de la venta.

• Calcula los resultados de estas operaciones combinadas.

a) (18,5 + 37,24) x 0,76 = e) 0,38 x (1,316: 2) =

. b) 2,5 x (97.12 - 48,361) = d) (0,2 + ',6+ 3,71) x 4,9 =

,

• Calcula mentalmente estos productos.

a) 0,2 x 0,5 = e) 0,9 x 0,08 = e} 0,05 x 0,07 =

b} 1,5 x 2 = d) 2,5 x 0,4 = f) ',2 x 0,03 =

- 42­

••

Cómo se dividen dos números decimales

12,6 0,34 2,638, , , x 100 x 100 xlO, , , 1260 34 26,38

1,4, x 10,

14

• Siguiendo el proceso descrito, realiza las siguientes divisiones:

e) 8,1063 : 0,024 =>a) 9,365: 0,8 = 93,65 : 8

: 93,65 ~

b) 473,9 : 1,25 = d) 0,92675: 3,06 =

• Completa la tabla:

4,8 1,2

0,06 0,2

5.4 0,6

0,25 0,05

3,9 0,03

• Resuelve estas operaciones combinadas.

a) (9,25 + 13,6) : 0.7 = b) 7,2: (1,2 x 0,3) =

Cómo se aproxima por redondeo un número decimal

.0 Se toma como referencia la cifra siguiente a la que se quiere redondear (por ejemplo, si se quiere redondear a las décimas, la de referencia es la cifra de las centésimas).

Si la cifra de referencia es> 5 se redondea hacia arriba; si es < 5 se redondea hacia abajo.

Si la cifra de referencia es 5, se puede redondear hacia arriba (por exceso) o hacia abajo (por defecto).

Redondeo a la décima Redondeo a la centésima

Número Décima más próxima Número Centésima más próxima

2,638 -7 2,6 2,638 -7 2,64

1,492 -7 1,5 1,492 -7 1,49

0,755 -7 0,7 ó 0,8 0,755 -7 0,75 ó 0,76

t tCifras de referencia

• Completa las frases y redondea los números decimales indicados.

1) Para redondear a las unidades, la cifra de referencia es la de las ...........................................

Redondea a las unidades: a) 7.94-7 b) 23,1 -7

2) Para redondear a las centésimas, la cifra de referencia es la de las ............._............................

Redondea a las centésimas: a) .0,378 -7 b) 5,972-7

3) Para redondear a las décimas. la cifra de referencia es la de las ...........................................

Redondea a las décimas: a) 17,925-7 b) 0,834-7

• Dados los siguientes números:

1) Representa en esta recta 8,32; 8,37; 8,41 Y8,46, Y redondéalos a la décima más próxima.

II III I I I I I 1I III I I I I ! I 8.3 8.4 8.5

a) 8,32-7 b) 8.37-7 e) 8,41 -7 d) 8,46-7

2) Representa en esta recta 4,3; 4,9; 5,4; Y5.6, Y redondéalos a la unidad más próxima.

1I I I I I II I I 1I I II I I I I I I 456

a) 4.3-7 b) 4,9-7 e) 5,4-7 d) 5,6-7

- 4J.¡­

••

e una ,"v••r ••,,"" :;lInl"nr::l

tlDel'aCI(meS indicadas.

:/enro/O; Para hallar el valor numérico de la expresión 7xm 2 para x = 5 Y m = 3 se sustituyen las letras por los números y se opera: 7 • 5 • 32 = 315.

I El valor numérico es 315 I

• Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para b = 3:

a) 9b =

b) 5b + 8 =

b4c) - 50 =

d) 3(b2 + 42b - 8) =

• Calcula el valor numérico de la expresión 5~ + 3x - 9:

>a) Para x = -2: 5' (-2)2 + 3 • (-2) - 9 =

b) Para x= -1:

c) Para x = O:

d) Para x = 3:

• Calcula los val~res numéricos de las expresiones algebraicas para los valores de my n que se indica~:

(m + n)2

• Calcula los valores numéricos de las expresiones algebraicas para los valores de b y e que se indican:

(b ­ e)2

(b + el (b ­ el

PARA AVANZAR

Cómo se resuelve una ecuación

.0 Se aplica la regla de la suma tantas veces como sea necesario para que en el primer miembro queden solo los términos que tienen x y en el segundo miembro los que no la tienen.

o Se aplica la regla del producto para aislar o Mdespejar- el valor de la incógnita.

o Se opera y se obtiene la solución.

• Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 14 = x + 22

b) 5x + 6 = 4x - 2

e) -7 = 10 - x - 5

4x - 5 = 2x + 11

4x - 5 + 5 = 2x + 11 + 5 => 4x = 2x + 16

4x - 2x = 2x + 16 - 2x => 2x = 16

2x 16 -=­2 2

d) 1-2x-9=5-3x-6

e) 8x - 6 = 4 + 9x - 2x

f) 12x + 3.-5x - 9 = 1 + 6x

~~---------------------

.. Resuelve las siguientes ecuaciones:

. a) 5x - 2 =2x + 7

b) 4x + 5 - 1 = 2x

e) 9 + 3x = 13 + 4x

d) 7x + 4 =3x + 9 - 1

e) 2 + 3x - x = 5x + 5

. -:.

f) 6x + 8 - 5x = 9x - 5 - 3

g) 8x = 4x - 1 + 2x - 5

h) 11 - 3x + 9 = 6x - 10 - 4x

i) 2 - 4x + 5 = 13 + 2x - 5x

j) 14x - 8 - 4x + 8 = 9 + 23x - 9x + 11

-'f:¡.~__ _______--___

"'1

Cómo se resuelven ecuaciones con paréntesis

.0 Se quitan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

o Se resuelve la ecuación resultante:

3· x + 3 • 2 = 21 :::::::> 3x + 6 = 21

3x + 6 ­ 6 = 21 - 6 :::::::> 3x = 15

3x =~:::::::> IX=513 3

• Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5(x - 8) = x - 24

b) 5 - 14x = 4(3 - 7x) + 7

e) 3x+.2(4':" xl = 11 + 4x

d) 24x - 12 = 1 + 7(3x + 5)

el 3(x - 6) = 4(x + 3)

f) 5x + 8 - 2x - 8 = 6(x + 7) - 5x

g) 2x + 5 - x - 4 == 9(x + 3) - 6x

h) 3{x - 2) + 7(x - 2) = 9(1 + xl + 4

.... - .....----..... 48­

Resuelve la siguiente ecuación 10

Primera se quitan los paréntesis y se opera: 10

En este caso es preciso aplicar dos veces la regla de la suma y una vez la regla del producto para aislar la incógnita:

- (4 - 3x) + 5x = S(2x - 1) + 8

- 4 + 3x + 5x = 12x - 6 + 8 => 6 + 8x = 12x + 2

6 + ax - 6 = 12x + 2 - 6 => ax = 12x - 4;

ax- 12x= 12x- 4-12x => -4x=-4 - 4x - 4 r:-::-:;l -4 =-4 =>~

• Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 5x - (1 + 3x) = 7 + x

b) 10 - (2x - 6) + 3 = 5 - 4x

e) 4(x - 2) - 3 = 11 x - (x - 1)

d) 5(x - 1) + 6 = 13x - (x - a)

e) 5(3x - 1) = 26x - 10(x + 2)

f) a(x + 1) - 4(6 + x) = 5x + 1

g) 10 - (4 - 3x) + 5x = 6(2x - 1) + a

h) 9(2 - x) + 3(x + 5) = a - 5(4 + 3x)

-·4'1­

I

Resolución de problemas con ecuaciones

PARA EMPEZAR

-Có'mo se pasa del lenguaje ordinario al len

:/ernIDIO: Lenguaje ordinario ,Un número, ,aumentado I ,en cuatro unidades, ,da I ,veinte.,

! ! ! !! Lenguaje algebraico + 4 = 20

Por tanto, la ecuación que corresponde a ese enunciado es: Ix + 4 = 20 I

• Traduce las siguientes expresiones al lenguaje algebraico:

>a) El doble de un número: 2x ••0.

b) El triple de un número: ..•__........_.................._ ..••_ ................................................................

el La mitad de un número: _.............._.__..........u.............................................................._ .............

d) La quinta parte de un número: ...._................................................................................................

e} El quíntuplo de un número: ............................................................................................................

f) El cuadrado de un número: .............._..._.....................................................................-............__.

g) El cubo de un número: ..._..............._..............................................................................................

h) La décima parte de un número: ................................................................................~...................

i) Las dos terceras partes de un número: ..........................................................._........_ ......_ .....

j} Un número aumentado en siete unidades: ............................................................................._...

k) Un número disminuido en cinco unidades: ,..............................u...............................................

1} Un número al que se le añaden dos unidades: ..........................................................................

-.---.-------- ·--------__ ~5"- _

• • ••

• • ••

• Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

>a) A un número se le restan ocho unidades: x - 8

b) A un número se le añaden diez unidades: _.hO•._......__......._..__.._..••._ ••....._._......_____H.__......m ••__...._ •••••

e) A las dos quintas partes de un número se le restan siete unidades: ._......_...................._......._...._..•._.........__•

d) La suma entre la tercera y la cuarta parte de un número: •.•.........•..•••___._._.._._............................_••_••.••...•_._••

e) Se añaden cinco unidades a las tres cuartas partes de un número:

f) Al triple de un número se le añade su cuarta parte: ........•••••._...____........_._....._ ..___..._...................._ ••__•••

g) La diferencia entre el doble de un número y su sexta parte: ........_......_..._....................___••_....................._._.•

h) A un tercio de un número se le restan dos unidades: ...._._..~_.-......_-...................---...-.-..........-.-..............

• Escribe en el lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

>- a) Un número aumentado en trece unidades da treinta y uno: x + 13 = 31

b) Un número disminuido en siete unidades da veintiocho: .....................__.__....._.•....._.•_.__.._..._..................__

e) El doble de un número es catorce: ..........................__•___..........................__._..................__•__......_.•_....._....

d) La mitad<de un número es doce: ............___......._.••._........................._......................__..._.................._ ...___...........

el El doble de un número aumentado en nueve unidades da treinta y cinco: ........__..................___.........._;..._._.

f) Si se añaden cinco unidades al triple de un número, resulta el número disminuido en una unidad: ................................................_................_._.._......_.........................

g) La mitad de un número disminuida en cuatro unidades da siete:

h) Si a un número le resto cinco da el doble de quince: ..........................._............................_.........................................

i) Si a siete se le añade un número, se obtie~e la tercera parte de once: ................._........._....................._ ..._ .....

j) La tercera parte de la suma de seis y otro número es ocho: ......................_-_........._........_....._........................._..._.......

-5'­

.0

PARA AVANZAR

Cómo se resuelven problemas con ecuaciones

Se lee atentamente el enunciado: Un número multiplicado por tres ydisminuido en cuatro unidades da dos. ¿Qué número es?

o Se busca lo que pide el problema, La incógnita en este caso es el número buscado. Se le asigna la incógnita, y se le asigna una letra. la letra x.

Se traduce el enunciado del problema El número multiplicado por tres: 3x al lenguaje algebraico. Disminuido en cuatro unidades: -4

~d~ =2

Ecuación: 3x - 4 = 2

o Se resuelve la ecuación. 3x - 4 = 2; 3x = 6; Ix:: 21 o Se comprueba la solución. Si se sustituye el 2 en ambos miembros de la ecuación, se

el mismo resultado.

• Si a Yolanda le damos dieciocho cromos tendrá noventa y dos cromos. ¿Cuántos cromos tiene Yolanda? ­

.. El doble de la edad de Juan aumentado en doce da cuarenta y dos. ¿Cuántos años tiene Juan?

• ¿Qué número cumple que al sumar ocho a su triple da diecisiete?

---------------------sz- --------------------------------­

..Ángel dona una cantidad de euros a una ONG y dedica el doble a comprar un regalo a su abuelo. Si en total ha gastado 9 euros, ¿cuánto le ha costado el regalo?

,~ ,

• Si restamos ocho euros al doble de la cantidad de euros que tiene Eva resulta lo mismo que si sumamos ocho euros a la cantidad de' euros de Eva. ¿Cuántos eúros tiene Eva?

• Un número aumentado en seis unidades es igual al mismo número multiplicado por cuatro. ¿Qué número es? , .

• En mi clase hay cuatro chicas más que chicos. ¿Cuántas chicas y chicos hay si en total somos veintiséis?

La ecuación x ­ 1 = 1 cuya solución es x =

Qué es una solución de una ecuación

Una solución de una ecuación es el núm~ro que, sustituido en lugar de la incógnita, d~ el mismo result~doenlo~d~s .'. "miembros de la ecuación. Las ecuaciones que tienen la misma solución se llaman equivalentes •

. ,Ejemplo: La solución de la ecuación 5x - 2 = 10 - x es 2 porque, sustituyendo, queda:

Primer miembro: 5 . 2 - 2 = 8

Segundo miembro: 10 - 2 = 8

El resultado es 8 en los dos miembros, así quelroe'""':l-n'""':ú-m-e-ro-2-es-so-:"lu-c-:'io:-"'n-d-:'e-I:-a-e-c-ua-c-:-¡o:-'n'l.

2 es equivalente a la anterior.

• Completa la tabla:

5x= 35 7

3x- 1 = 6x- 4 2

8 + 3x= 5 + 4x -3

• Averigua si 3 es solución de las ecuaciones:'

a} 6t + 2 = 7t - 1 el 2r+ 8 = 3r- 4

b} 43 - 3m = 34 d) 4x - 11 = x - 2

• Para los siguientes valores de x: a) Averigua cuál es solución de cada ecuadóñ.

1-x+ 5 = 3x- 152

7 + 4x = -11 - 5x

36x+ 12 = --x- 182

b) ¿Cuáles de estas ecuaciones son equivalentes?

5 7 ---x = 5x+ 82 2

- S'LJ­

.0

Cómo se resuelven ecuaciones con varios paréntesis

Se desarrollan los paréntesis, cada uno por separado. 9 . 2x + 9 . 3 = 3 . 7x - 3 . 8

o Se resuelve la ecuación que resulta. 18x+ 27 = 21x- 24

18x- 21x= -24 - 27

-3x= -51

x= -51 = 17 -3

• Resuelve las ecuaciones:

a) 4(x + 8) + 3(6 - 3x) = O d) 3 + 6(x - 2) = 5x - 4(2x + 7) + 1

e) 1 - 4(5x- 1) = 6 + 7(12 - 10x)b) 6(12 - 5x) - 2(3x+ 2) + 2x= O

e) 3(4 - x) - (5x + 1) + 6x = O f) 9 + 2(3x- 1) = 8x- (4x+ 9) + 2

• Resuelve las ecuaciones:

a) -3(4x+ 5) + 10 = 4(3x- 6) - 5 e) 8x- 2 + 3(6x- 2) = 2(6x+ 3,5) - x

b) 3(2x - 4) = 4 - 3(5x - 2) d) -4 + 8(5x+ 3) = 11(2x- 8) + 18

-55­

Cómo se resuelven ecuaciones con denominadores

3x +.!.. = .!.. + 22 4 3 6

Q Se calcula el m.c.m. de los denominadores. m.c.m.(4, 3, 6) = 12

1 2 • 3x + 12x = 12x + 1 2 • 22Se multiplica la ecuación por el m.c.m.Q 4 3 6

Q Se simplifica y se hacen las operaciones. 9x+ 4x= 2x+ 264

Q Se resuelve la ecuación que resulta. 9x+ 4x- 2x= 264 => 11x= 264

x = 21~ = 24 => Ix = 24 I

• Resuelve las ecuaciones:

a) 3x = .!.. + 5 b) 3x - 5 = .!.. + 1. 4243 4

..·.Ejercicio resuelto

., x+ 3 5 + x 3x+ 4ResueIve Ia ecuaclon -6- - ­2 12

Primero se calcula el m.c.m. de los denominadores, que es m.c.m.(6, 2,12) = 12. Se multiplica la ecuación por 12:

12(x+ 3) _ 12(5 + xl _ 12(3x+ 4) . rfi 6 2 - 12 Yse slmp I Ica.

Par último, se resuelve la ecuación que resulta: 2(x + 3) - 6(5 + xl = 3x + 4

2x + 6 - 30 - 6x = 3x + 4

-4x- 24 = 3x+ 4 => -7x= 28 =>

=> x = -=-~ = - 4 => 1x = - 41

• Resuelve las ecuaciones: 10x + 8 x + 5 )e + 6 x-1 2-x x-6b)----=-­a) ---=-­

10 2 5 10 6 15

-5b­

--

La mitad de la edad de una persona incrementada en 5 años es igual a la edad de la persona. Determina dicha edad.

A la edad se la llama x. Se calcula su mitad y se le añade 5 años: ; + 5

De acuerdo con el enunciado se escribe la ecuación: ; + 5 = X I que se resuelve de este modo:

x+ 10 = 2X; 2x- x= 10 =} x= 10

I La edad de la persona es 10 años I

• Un número incrementado con su doble resulta igual a su mitad incrementada en 20 unidades. Determina el número.

• El número de alumnos de un aula incrementado en 30 unidades es igual al triple de los alumnos del aula. Calcula cuántos alumnos son.

• Qué edad tiene una persona si al sumar i 2 años a la que tiene actúa1mente se obtiene el doble de la que tiene.

- S::¡.­

• • • • • • • • • • • • • • • • • ••

111 PARA AVANZAR

Cómo se resuelven problemas con ecuaciones i'~~;Y;}~~f~~~~~?~~'::f12~::~~~:~::~~t~~\:~;~f:, -: :::}~.:;·;;-,.~~:~·~~\\<,-;:2;,~;~~V';i~>t;t~~~,{-:~ ~fit~~y:;>:,~~~~~~;~':}'((~~~~;~:flt~;:~L,::-:} ~:::(:~t.';:.::;'~ .~-_.;,-;

erto ha pagado 7 euros por 5 refrescos y3 bocadillos. Cada bocadillo "c(:;¡il"'nrln refresco y cada bocadillo?

.0 Se identifica y da nombre a las cantidades que se piden.

o Se escribe las cantidades que intervienen.

° Se busca en el enunciado una relación entre las cantidades y se escribe una ecuación.

o Se resuelve la ecuación.

o Se escribe la solución del problema.

Precio del refresco: x

Precio del bocadillo: x + 1

Ha gastado en refrescos: 5x Ha gastado en bocadillos: 3(x + 1)

Ha pagado 7 euros. Ecuación: 5x + 3(x + 1) = 7

5x+ 3x+ 3 = 7; 8x= 4 => x= 0.5

Cada refresco vale 0.50 €. Cada bocadillo vale 1.50 € .

• Halla un número tal que si lo multiplicas por 5 resulta el triple que si le sumas 12.

> 1.° Identifica y da nombre a las cantidades que te piden.

Un número: x

2.° Escribe las cantidades que intervienen. Se multiplica por 5:

Se le suma 12:

3.° Busca en el enunciado una relación entre las cantidades y escribe una ecuación.

El primero es el triple que el segundo.

Ecuación:

4.° Resuelve la ecuación.

5.° Escribe la solución del problema.

• Dos hermanos se llevan tres años. Entre los dos tienen 33 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?

,

• ¿Cuántos años tiene Jorge si el triple de su edad aumentado en 7 años es 43?

• Ana tiene un libro que va a terminar en 20 días, leyendo diariamente el mismo número de p~ginas. Si leyera dos páginas más cada día tardaría en leerlo 8 días menos. ¿Cuántas páginas lee cada día?

• Un coche hace un viaje de 1100 km en dos tramos, de forma que el segundo mide 50 km más que el otro. ¿Cuánto recorrió en el primer tramo? .

• ¿Cuánto miden los lados de este rectángulo si su perímetro es 26 centímetros?

X+l~ 2x

• Andrés tiene 55 años y su hijo 20 años. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la edad del padre sea doble de la del hijo?

• Averigua qué nrjmero si +e sumas 9 resulta el doble que si le restas 3.

-5'1­

l. PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA )

Razones, proporciones y porcentajes

• PARA EMPEZAR

Qué es una razón y qué es una proporción

Se llama .razón de dos números, a y b, al cociente entre ellos b' Se puede expresar como cociente indicado o como cociente efectuado.

Ejemplo: La razón entre 7 y 4 es ~ , o también 1,75.

Cuatro números, a, b, e y d, forman una proporción si la razón entre a y b es igual a la razón entre e y d. 'b a eSe escrI e: b = d

Ejemplo: Los números 3, 2, 6 Y 4 forman una proporción ya que: ~ = : = 1,5.

La constante de proporcionalidad es 1,5.

Los extremos son 3 y 4 Y los medios son 2 y 6.

• Calcula el valor de las letras en las siguientes razones:

• Averigua cuáles de las siguientes series de números forman una proporción, y escribe la proporción cuando la formen:

al 12, 3, 60 Y15 cl 21, 3, 56 Y 8

bl 15, S, 30 Y 15 d) 40, 8, 35 Y 5

xal -= 2 x=D13

b) ± = k k=D5

• Observa la proporción: ~ = 2~

Los extremos son: ............................. y

Los medios son: ............................. y .............................

24cl - = 06 y=DY ,

dl ~ = 24 z=Dz '

_.~_._----~

- bO­

lit PARA AVANZAR

Cuál es la propiedad fundamental de las proporciones

~-.E... ::::} a'd=b'c .. 512 256 b - d

. En la proporclon 64 = 3'2 se cumple que 512· 32 = 64 . 256.

se conocen tres términos de una proporción, se puede hallar el cuarto término aplicando la propiedad fundamental e las proporciones.

.. 12 48 I 816 I I . En a I proporclon"'1'7 = x se cump e que 12· x = 48· 17; 12x = 816; x= 12; x = 68

• Averigua si los números 684,486, 342 Y243 forman una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones.

• Indica si cada una de las siguientes proporciones es verdadera o falsa: 8 72

a) "9 = 81

b) ~ =.1§.14 16

200 1800 c) 31 = 279

d) 313 = 414 212 313

• Calcula los valores de las letras en las siguientes proporciones, aplicando la propiedad fundamental.

)~=~ ~~=~ a 42 28 60 Y

• Calcula los valores de las letras en las siguientes proporciones para que la constante de proporcionalidad de ambas sea 2,5.

a) .E.. = ~ b) ..!Q = ~ 4 12 m 6

-bJ­

es una del Ofo.

. 90 15 f.¡emplo: El 15 Ofo de 600 es 90 porque 600 = 100'

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica la cantidad por el número decimal equivalente al "l'\r."... ,,·~'3''''

Ejemplo: El 8 Ofo de 340 es:

T Tanto

por ciento

340· 1~o = 340 . 0,08 = 27,2

T T Razón Número

equivalente decimal equivalente

• Escribe los siguientes porcentajes:

a) Siete por ciento: .............................

• Indica cómo se leen los siguientes porcentajes:

a) 4 010: ..........m •••••m .............................._....................................

• Calcula los siguientes porcentajes:

a) 13 Ofo de 470

b) 16010 de 38

b) Cincuenta y cuatro por ciento: .......m ...................

b) 135 010: ......................................................................................................

e) 32 Ofo de 514

d) 125010 de 86

> • Al aplicar un determinado porcentaje a 1500 se obtiene 630. ¿Qué porcentaje se ha aplicado? •• x• 1500, 100 = 630; x=• ee.

• El 23 OJo de una cantidad da 144,67. ¿De qué cantidad se trata?

- {;2­

Cómo se calculan aumentos y disminuciones porcentuales

disminución porcentual consiste en quitar a una cantidad un cierto porcentaje de ella.

la cantidad que resulta sí a 365 euros le aplicamos:

al Un aumento del 18 %.

b) Una disminución del 14 %.

a) 18 oto de 365 =0,18' 365 = 65,70; cantidad que resulta: 365 + 65,70 = I 430,70 euros I

• Calcula la cantidad final si a 875 euros le aplicamos:

al Un aumento porcentual del 24%. b) Una disminución porcentual del 32 oro.

• Al efectuar la compra de un jersey nos han hecho un descuento del 15 0/0. Si el precio que marcaba el jersey era de 30 euros, ¿cuánto hemos pagado finalmente?

• Para la compra de un coche, Teresa pidió un préstamo de 10230 euros, a pagar en varios años, y le cobran por ello un recargo del 8010. ¿Cuánto va a pagar al final por el coche?

• La cantidad de 500 euros, aumentada en un determinado porcentaje, da 580 euros. ¿En qué porcentaje se aumentó la cantidad de 500 euros?

• Una cierta cantidad de euros aumentada en un 6010 da un total de 710,20. ¿De qué cantidad se trataba?

-63­

Magnitudes proporcionales

• PARA EMPEZAR

Cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales ~~~~~~~;Ii~

La siguiente tabla proporciona el coste en euros de unas fresas según el número de kilogramos que se compren.

6 12 15 18 2 3 4 5 6

El coste es directamente proporcional al número de kilogramos ya que al dividir las cantidades. 6 9 12 15 18 3 l" I d· . ·I·d d d'- = 3 = ="5"" = 6 = ,e cociente es siempre 3, que es a constante e proporcIOna I a ¡recta.

• Para cada una de las siguientes tablas, estudia si representan valores de magnitudes directamente proporcionales, y cuando sea así indica cuál es la constante de proporcionalidad.

~ W

• Completa las siguientes tablas para que representen valores de mqgnitudes directamente proporcionales. Escribe la constante de proporcionalidad en cada caso.

a) b)

;=0 ~=o

10 18 34

9 13

3 15

4 12 48

• Completa la tabla, para que represente valores de magnitudes directamente proporcionales, de co~stante de proporcionalidad!!!.. = 3,5.n

14 105

2 12

--'""

- 6L1­

PARA AVANZAR

Cómo se aplica la reducción a la unidad

7 entradas que compré para un concierto me costaron 36,40 euros. ¿Cuánto me costarán 13 entradas?

Reducción a la unidad: 1 entrada ha costado 36.40 : 7 = 5,20 euros

13 entradas costarán 13 . 5.20 = I 67.60 euros

• Pablo ha estudiado 22 horas durante 5 días. Si sigue así, ¿cuántas horas de estudio habrá hecho al cabo de 30 días?

• Dos pintores han tardado 4 días en pintar 220 metros cuadrados de un piso. ¿Cuántos días tardarán en '-' pintar 715 metros cuadrados?

• Un trabajador recibió 180 euros por 6 días de trabajo. ¿Cuánto recibirá por 21 días de trabajo?

• En la elaboración de un pastel para 4 personas se emplean 240 gramos de azúcar. ¿Cuántos gramos de azúcar serán necesarios en la fabricación de un pastel para 7 personas?

• En una etapa contrarreloj, un ciclista tarda 30 minutos en recorrer los primeros 25 km. Si sigue a esta misma velocidad, ¿cuánto tardará en recorrer los 15 km siguientes?

Cómo se aplica la regla de tres simple directa ," ,j , ".. ".. -, " ..~ ,. '"--'>". ,,"\- ­

'~~:~;~~~';~i~~í~'d¡,~;~~;i¿;6úo mPTnnn

3 kilogramos de fruta hemos pagado 7,80 euros. ¿Cuánto habríamos pagado por 11 kilogramos?

construye u~n3e:;uema con los datos del :'~~blema}Y se resuel;e de la siguiente manera:

x ~ 11 .;,80 ~ 28,60 H-a-b-ría-m-o-s-p-ag-a-d-0-2-8,-SO-€"'I'1

11k _ x

• Unos amigos han pagado 13,60 euros por 8 refrescos. ¿Cuánto hubieran pagado si se hubieran tomado 13 refrescos?

• La pared de mi cuarto. que mide 3.2 metros. está representada en un plano en 2 centímetros. ¿En cuántos centímetros está representada la pared del salón. que mide 5.6 metros?

• Un puesto de prensa ha recaudado 28 euros por la venta de 35 ejemplares de un periódico deportivo. ¿Cuánto habría recaudado por la venta de 73 ejemplares?

• Jaime ha comprado 12 libros de una serie de aventuras en una librería de "segunda mano" por 19,20 euros. ¿Cuánto habría tenido que pagar si hubiera comprado 31 libros?

• Un automóvil gasta 22 litros de gasolina cada 250 km. Si continúa con este gasto. ¿cuántos litros consumirá al recorrer 700 kilómetros?

- -- 6'6­

Cómo se hacen repartos directamente proporcionales

X, y, z a las cantidades que corresponden a cada uno, respectivamente.

3 2

x y z

que el reparto sea directamente proporcional se tiene que cumplir: 1= f = f = 4~0 = 80 folios

x = 80 . 3 = 240

y = 80 . 2 = 160

z = 80·1 = 80

A Berta le corresponden 240 folios.

A Álvaro le corresponden 160 folios.

• Reparte 3600 euros de forma directamente proporcional a:

a) 2,3 Y 4 b) 2,4,5 Y 7

• Juan ha trabajado durante 14 días en una obra. Rosa ha trabajado durante 6 días. Por su trabajo, han recibido 1000 euros conjuntamente. ¿Cuánto corresponde a cada uno, si han decidido repartírselo en proporción directa al número de días trabajados?

• Ester, Miguel y Antonio presentan al Ayuntamiento un proyecto de urbanización de 880 pisos. Son propietarios, cada uno, de terrenos de 20, 35, Y 55 hectáreas, respectivamente. ¿Cuántos pisos corresponde construir en cada terreno, si deben hacerlo en proporción directa al número de hectáreas?

• Javier decide dedicar a la paga de sus hijos 18 euros semanalmente, en proporción directa a sus edades. ¿Cuánto dará a cada uno, si tienen 13, 10 Y 7 años?

-c:¡­

11. FUNCIONES)

Gráficas y funciones

• PARA EMPEZAR

Qué es una gráfica

los ejes. Estas rectas cortan a los punto.

lee primero el número del eje horizontal, la abscisa, y después el del vertical, ordenada.

Ejemplo: Las coordenadas del punto Pson (-5, 2). La abscisa es -5 y la ordenada es 2.

:'Una gráfica cartesiana está formada por un conjunto de puntos representados en ,'unos ejes de coordenadas. Estos puntos a menudo se unen formando una linea.

• Dados los siguientes puntos: A(2, 4),8(-2,3). C(-4, 3), 0(-2, -1) Y E(O, -3).

a} Dibuja la gráfica formada por ellos.

bl ¿Cuáles tienen la misma ordenada? ...........................................

el ¿Cuáles tienen la misma abscisa? ...........................................

d) ¿En qué cuadr~nte se encuentra el punto A? ...........................................

• Sobre esta gráfica se han señalado algunos puntos. Se pide:

al las coordenadas de A y 8: ...........................................

b} ¿Qué puntos tienen la misma abscisa? ...........................................

c} ¿Qué puntos tienen la misma ordenada? ...........................................

d) ¿En qué cuadrante se encuentra B? ...........................................

• Escribe las coordenadas de [os puntos cuyas coordenadas figuran en la siguiente tabla de valores y representa la gráfica correspondiente.

A........................................... D...........................................

8 ........................................... E...........................................

C........................................... F...........................................

Pun':.,----:,."'!.-­ "

A 8 -2 O e -1 -2 o O -3 E 1 -2 F 3

-b8­

Cómo se representa la gráfica de una función

por una

1.° Se representan los pares de valores de la tabla en los ejes de coordenadas.

2.° Se unen los puntos si el problema permite suponer que hay valores intermedios.

Si la función viene dada por una fórmula:

1.° Se dan valores a la variable x en la fórmula y se deducen los correspondientes de la variable y.

2.° Se forma una tabla de valores y se siguen los pasos anteriores.

'emplo: Para representar la función dada por la fórmula y = x: - 1, donde x e y representan cualquier número, se forma una tabla de valores en la que dando valores a x se obtienen los valores -1 correspondientes de y. O -1

Se unen los puntos porque a la x se le puede dar cualquier valor intermedio. 2

O 3

• La tabla siguiente proporciona el número de hijos que han tenido 20 matrimonios encuestados.

O 2

5 2 8

3 2

4

5

a) Representa gráficamente la tabla en los ejes de coordenadas.

b) ¿Es una función? ....................................................................................................................................................................................

e) ¿Se deben unir los puntos? .................................................................................................................................................................

• Representa en unos ejes de coordenadas la tabla de valores siguiente y une los puntos formando la gráfica correspondiente.

-4 -3 -2 -1

1

3

3 O -3 -1

2 3

, ·0 i ¡ Xi

~-~.]' ! -1--+-+-¡--1'-+-'

(±~L .. ~'......._e•._'-..._.·,_"__,·

• Representa en unos ejes de coordenadas la tabla de valores siguiente y une los puntos formando la gráfica correspondiente.

• Representa las funciones definidas por las siguientes fórmulas:

a) y = 3x + 2

-1

o

b) Y= 2x2 - 3

• Marta dio un paseo en bicicleta el domingo y la distancia que recorrió y el tiempo empleado se encuentran _ representados en la siguiente gráfica. Completa la tabla de valores con los puntos representados.

) ·Es f .. 7a ¿ una unclon ........ _ .._._..........................

b) ¿Por qué están unidos los puntos? ..............................................................._........................................

C) ¿Qué distancia recorrió Marta en los primeros 20 minutos? ....................................m ............

-1-0­

Funciones de primer grado

~ • PARA EMPEZAR

Qué es una función de

funiciones de proporcionalidad directa son las definidas por una fórmula del tipo y = mx.

gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. la constante de proporcionalidad, m, es la pendiente la recta y nos da una idea de su grado de inclinación.

,prnn,o· Para representar la función de proporcionalidad directa dada por la fórmula y y = 2x, se construye la tabla de valores correspondiente. r--+-t--t--t-.:·+-t-....-+--r--i

la constante de proporcionalidad o pendiente es 2 .

• Representa las siguientes funciones de proporcionalidad directa e indica el valor de la pendiente en cada caso:

a) y= 3x b) y= -x

• Representa en los ejes coordenados las funciones de proporcionalidad directa que pasan por el origen de coordenadas y de pendientes:

1a) m =-4 b) m=­2

i

¡

¡ i ¡

i ¡

y ._-,-_.,

, ¡ I •-

O , 'X

f J .J

-:;z/­

. mplo: La función de ecuación y = en el origen 1.

PARA AVANZAR

Cómo son las funciones de ecuación = mx + n

s funciones definidas por una ecuación del tipo y = asa por el origen de coordenadas y en la que:

mx + n se representan por una recta que no necesariamente

• m es la pendiente de la recta.

abscisa es O • • n es la ordenada en el origen, esto es, la ordenada del punto de la recta cuya

2x + 1 es una recta de pendiente 2 y ordenada

• Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:

a) y = 18x - 12 e) y=x+3 m= n=m=O n=O

d) y= -x- 5 n=b) y= -35x+ 41 n=m= O m=O

• Representa las siguientes funciones:

a) y= 3x - 1 b)y=-2x+2

y

-O X

I I

• Representa en los siguientes ejes coordenados las funciones de pendiente y ordenada en el origen:

a) m = -4; n = 3

- - -:;2­

PARA AVANZAR

Cómo se representa un diagrama de barras

e frecuencias absolutas. Sus bases, todas iguales, se sitúan en el eje de abscisas, y en ellas se colocan los datos. frecuencias absolutas proporcionan la longitud de las alturas.

hace una encuesta en una clase sobre el número de horas semanales que dedican al deporte. Construye diagrama de barras que representa 105 resultados de la encuesta:

ttz~~~~~ZZt~~~Z~~~~~Z~~~~4

construye la tabla de frecuencias y se representan los datos del número de horas de deporte en el eje abscisas y las frecuencias, esto es, el número de compañeros en el eje de ordenadas.

<D '1:)

- e al E

3 ""z

2 5

3 14

4 4

• Representa mediante un diagrama de barras la siguiente tabla de frecuencias:

2

63

35

57

49

• Construye la tabla de frecuencias correspondiente a este diagrama de barras:

Datos

Cómo se representa un diagrama de sectores ~ ': ~ ···~;·,':"·"\;;~,::·~·.«.:,r:·'~'~'"·:'~·, ~ .':,~.;';:' .1.i· '. i:~&':..::'E·':'· .' " . , .':.,'

de sectores es un gráfico estadístico compuesto por sectores dé uñ' mismo círculo, que frecuencias absolutas. Sus ángulos son proporcionales a las frecuencias absolutas.

equipo de fútbol ha ganado 21 partidos, empatado 6 y perdido 9. Construye Ja tabla de frecuencias absolutas representarla mediante un diagrama de sectores.

calcula el valor de los ángulos según su proporcionalidad con las frecuencias.

Ganados 21

Empatados 6

Perdidos 9

Total 36

• Representa en un diagrama de sectores las siguientes tablas de frecuencias:

a)

A 24

B 30

18C

Total

b)

M 18

60

22

20

Total

-

Medidas estadísticas

• PARA EMPEZAR

Cómo se calcula la media aritmética

&..1\;;.'lIJJ'V. Las estaturas de los cinco jugadores más altos de un equipo de baloncesto son:

1,97 m 2,05 m 2,12 m 1,98 m 2,08 m

La estatura media de esos jugadores será: 1,97 + 2,05 + 2,~ 2 + 1,98 + 2,08 = 1°520 = 12,04 mi

• Calcula la media aritmética de las siguientes series de datos:

a) 13 15 11 17 el 128 234 561 739 821 903

b) 28 37 51 62 84 d) 8,92 3,06 5,84 9,37 12,38

• Dos jugadores de fútbol, en los partidos que han jugado, han marcado los siguientes goles:

Jugador A: 2,1,3,2,1,2,3,1. Jugador B: 3,2,1,2,1,3.

¿Cuál de los dos tiene mejor media de goles por partido jugado?

• El corredor de coches español de fórmula " Fernando Alonso, en sus primeras cinco carreras de la temporada 2002-2003 consiguió las siguientes posiciones: 2.°,6.°, 6.°, 3.° Y 8.Q ¿Cuál era en ese momento la posición media de Fernando Alonso?

• La asistencia media a un museo, durante los 27 días en que estuvo abierto el pasado mes de mayo, fue de 2395 personas diarias. ¿Cuántas personas visitaron el museo durante todo el mes de mayo?

-1-5­

Cómo se calcula la moda ·····\,.,~_:·.·:-.";.f'. ~...:. ;~_:;;.<.(:>.:._>, 't.:­

-'ti mod~ de~n conj~nto d~datos es el dato de mayorfrecuenéi~ absolut~...

• Si hay dos o más datos cuya frecuencia es igual y mayor que los demás, entonces todos y cada uno de esos datos son la moda.

• Si todos los datos tienen la misma frecuencia, entonces esos datos no tienen moda.

edades de los estudiantes de un centro que componen el equipo de atletismo son las siguientes: 13 17 15 12 15 16 16 12 17 14 15 14 17 15 15 13 14 14 18 17 15 12 14 13

una tabla de frecuencias y calcula la moda.

12 13 14 15 16 17

3 3 5 6 2 4

La mayor frecuencia es 6, que corresponde al dato 15, por lo que la moda es 15.

• Halla la moda de cada una de las siguientes tablas de frecuencias:

al

1 2

3 6

5 3

7 8

9 4

b)

2 3

4 5

6 5

8 2

a) Moda: ........_......................... b) Moda: ....................................

• En sucesivos lanzamientos de un dado se obtienen las siguientes puntuaciones:

36452 ~ 1 242 5 6

a) Añade la puntuación que falta si sabemos que esta serie tiene dos modas.

b) ¿Cuáles son las modas de la serie? .............................._..............................................................

2 4

• En una votación a la Alcaldía de un municipio los candidatos obtuvieron los siguientes votos:

A 8 e o E

102

106 ¿Cuál es la moda? ....................................

103

98 194

• En un estudio sobre el color del jersey de los alumnos y alumnas de una clase se obtuvieron los siguientes resultados:

6

4 ¿Cuál es el color de moda en los jerseys? ....................................

6 2

3

Blanco Rojo

Negro Azul

Verde

'.......... -16­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula la media aritmética utilizando frecuencias

o Se multiplican todos los datos por sus respectivas frecuencias.

o Se suman los productos obtenidos.

Q Se divide el resultado entre el número de datos.

¡eH/U/U. Para hallar la media aritmética de los datos de la siguiente tabla de frecuencias:

3 6 9 12 15 18

34 51 62 74 38

Se multiplican los datos por sus frecuencias y se suman:

3·34 + 6' 51 + 9 . 62 + 12·74 + 15·38 + 18' 45 = 3234

Se divide el resultado entre el número total de datos:

• • l' 3· 34 + 6·51 + 9· 62 + 12·74 + 15·38 + 18· 45 3234 Media antmetlca = 34 + 51 + 62 + 74 + 38 + 45 = 304 = 10,64

• Calcula la media aritmética de los datos de las siguientes tablas de frecuencias:

~

1

3

5

7

9

Total

b)

12

26

13

38

54

d

2

4

6

8

10

Total

d)

43

95

35

42

72

16 57

20 81

Total

27,5 11

28,3 12

20,1 11

17,9 23

15,4 14

Total

-11­

• Las temperaturas máximas en una ciudad durante el mes de abril fueron las siguientes:

12 12 16 13 14 19 17 14 19 16 18 18 17 14 12 14 18 18 17 19 18 17 14 13 12 14 13 18 19 17

a) Forma la tabla de frecuencias absolutas.

b) Halla la temperatura media de las máximas.

e) ¿Cuál es la moda?

• Los 16 alumnos de una clase han obtenido las siguientes notas en Matemáticas:

8 3 547 625 9737654

a) Forma la tabla de frecuencias absolutas.

b) Calcula la nota media de la clase.

e) ¿Cuál es la moda?

• En una encuesta realizada a la salida de un cine sobre la edad de los asistentes se obtuvieron los siguientes datos agrupados por sus frecuencias:

555020 4525 30 35

27262212 15 24 2012

a) ¿Cuál es la edad media de los asistentes al cine?

b) ¿Cuál es la moda?

-1<g­

Cómo se calcula la mediana

un conju'~to'd~dat~s es un va¡~~ tal que el~úmero de datos mayore~'que es i~~~:¡;al nú~~rod~ menores que él.

calcular la mediana. se ordenan los datos de menor a mayor:

• Si el número de datos es impar. la mediana es el valor central.

• Si el número de datos es par. la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales .

..........n."· Para hallar la mediana en cada una de estas series de valores:

al 2, 7, 6. 4. 2

En primer lugar se ordenan: 2, 2, 4, 6, 7.

Como el número de datos es impar se elige el valor central:

2,2,4.6,7

La mediana es 4

• Halla la mediana de las siguientes series de datos:

b) 4. 6, 3, 3, 11, 2, 9, 8

En primer lugar se ordenan: 2,3,3,4,6,8,9,11.

Como el número de datos es par, se calcula la media aritmética de los dos valores centrales:

't" d 4 6 4 + 6M d ' e y : -2- = 5e la an metica

I La mediana es 5 I

al 8,4,9,6,5,8,3,4,9 e) 17,24.14,16,13,17

b) 7,2,4,3,6,8, 7, 3 d) 31,45,30,42,69,69,31

• En una empresa. cinco de sus empleados tienen los siguientes sueldos mensuales:

720 600 840 650 3 500

a) Calcula el sueldo medio de los cinco empleados,

b) Calcula la mediana de los sueldos.

el Los sueldos de los empleados, ¿de quién están más próximos, de la media o de la mediana?

• Las estaturas de seis amigos en centímetros son: 168 150 166 170 164 166 a) Calcula la estatura media.

b) Calcula la mediana.

e) ¿De cuál de estas dos medidas están más próximas las estaturas de los amigos?

d) Halla la moda.

• Dada la siguiente tabla de datos:

2 3 4 5 6

45 36 87 65 41 85

7

39

8

26

a) Calcula la media aritmética de los datos.

b) Calcula la moda.

• Se ha medido el coeficiente de inteligencia de 20 personas y el resultado ha sido: 110 120 95 120 110 115 90 95 130 115 100 80 90 100 115 120

a) Completa la siguiente tabla de datos y frecuencias.

110 90

120 100

b) Calcula el coeficiente medio de inteligencia de las 20 personas.

e) Calcula la mediana.

d) Calcula la moda.

l. MEDIDA DE ÁNGULOS)

··0· Unidades de medida de ángulos

• PARA EMPEZAR

~ Cómo se miden los ángulos

>Ja unidad principal de medida de ángulos es el grado que se representa con el símbolo 0. Unidades menores que el;] grado son el minuto (') y el segundo ("J. La equivalencia entre estas unidades es la siguiente:

1 grado =60 minutos 1° =60'

x60

I Grado Minuto I ~. 60 I Segundo I:60I .. .......f---~......,..:___..J. :'.. ~:"'

.:::·Para .. "precisar solo los grados que mide el ángulo.

medir un ángulo se puede emplear el semicírculo graduado o transportador de ángulos, con el que se pueden

• Con ayuda de un transportador de ángulos mide los siguientes ángulos:

De

• Pasa cada una de estas medidas de ángulos a la unidad que se indica.

a) 45 grados a minutos g) 4800 minutos a grados 45° = 4800' =

b) 30 grados a segundos h) 8160 minutos a grados 30° = 8160' =

e) 119 grados a minutos i) 3240 segundós a minutos 119° = 3240" =

d) 12 grados a segundos j) 19200 segundos a minutos: 12° = 19200" =

e) 125 minutos a segundos k) 75600 segundos a grados 125' = 75600" =

f) 87 minutos a segundos 1) 324000 segundos a grados 87' = 324000" =

-BJ­

PARA AVANZAR

Cómo se puede expresar un ángulo

• Forma compleja: empleando varias unidades. Ejemplo: 1340 45' 23"

• Forma incompleja: empleando una sola unidad. Ejemplo: 485123"

1340 45' 23" en forma incompleja.

1340 x 60 x 60 = 482400"

45' x 60 = 2700"

+ 23"

485123"

134° 45' 23" =

Expresa 485123" en forma compleja

48 5 1 2 3" c...;:6c...;:0__

512 8085' ~ 3 2 3 2 O 8 . 1 3 4°

23" 285

4 S'

485123" = 1134045' 23" 1

• Expresa las siguientes medidas de ángulos en forma incompleja en segundos.

d) 24° 9' 3"a) 75° 26"

e) 36° 52' 44"b) 83° 12'

f) 225° 13' 14"e) 48° 42"

• Expresa las siguientes medidas de ángulos en forma compleja:

a) 3497" e) 217815"

b) 648000" d) 59377"

• El ángulo A mide 53° 49' Y el ángulo 8 mide 193740". ¿Cuál es mayor?

- 82­

Operaciones con medidas de ángulos

~ • PARA EMPEZAR

Cómo se suman ángulos

en que con grados, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos y se suma cada columna por separado.

o Si los segundos pasan de 60, se convierten en minutos (60" = 1 ') Y se añaden a los minutos obtenidos.

o Si los minutos pasan de 60, se convierten en grados (60' = 1°) Y se añaden a los grados obtenidos .

• Realiza las siguientes sumas:

al 64° 33' + 15° 16'

b) 36° 50'

+ 45° 43'

• Realiza las siguientes sumas:

. al 72° 50' 48"

+ 26° 46' 34"

~ 67° 18' 33" + 50° 30' 10"

32° 5' 15"

el 33° 26' 42" + 45° 31' 12"

d) 30° 16' 53"

+ 5° 4' 40"

e) 64° 15' 30"

+ 12° 8' 12"

39° 27' 40"

d) 33° 26' 11"

+ 28° 18' 22"

50° 35' 17"

- 83­

PARA AVANZAR

Cómo se restan ángulos

en que minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

o Si en la columna de los segundos, la cantidad superior es menor que la inferior, se convierte un minuto en segundos (1' = 60"), de modo que ya se puedan restar.

52"

o Si en la columna de los minutos la cantidad superior es menor que la inferior, 26° 83' 111" se convierte un grado en minutos (1° = 60'), de modo que ya se puedan restar.

• Realiza las siguientes restas:

a) 43° 39' - 18° 20'

b) 35° 20' - 15° 45'

e) 40° 29' - 28° 51'

18° 36' 59"

18° 47' 52"1

d) 61° 52' 38" - 48° 15' 22"

e) 27° 82' 35" - 8° 31' 57"

f) 108° 8' 25" - 36° 45' 32"

• Calcula el valor del ángulo que se resta para que el resultado sea el indicado:

a) e)

b)· 84° 35' 57" d) 52° 48' 15"

21 ° 35' 20" 14° 20' 35"

- fJt.¡­

Unidades de medida del tiempo

'- • PARA EMPEZAR

1 siglo = 100 años 1 década = 10 años 1 año = 365 días

1 mes = 30 días 1 semana = 7 días , día = 24 horas

1 semestre = 6 meses 1 hora = 60 minutos 1 trimestre = 3 meses 1 minuto = 60 segundos

transformar medidas de tiempo en horas (h).minutos (min) y segundos (s) se puede utilizar el siguiente esquema equivalencias:

I x 60

L....-__.....J. 4IE

x 60 .... Minuto I ......t--_....:,l;Qj60""""l_S_e_gu_n_d_0 ..JHora

• Cada cuatro años, el año tiene 366 días en lugar de 365; a ese año se le llama bisiesto. Si el año 2000 fue bisiesto, ¿cuántos años bisiestos hubo entre 1950 y 20007

• Pasa cada una de las siguientes medidas a la unidad que se indica:

390

27

86400

a) Horas a minutos

3 h =

b) Minutos a segundos

13 min =

e) Horas a segundos

4h=

• Completa la siguiente tabla:

d) Minutos a horas

600 min =

el Segundos a minutos

1080s =

f) Segundos a horas.

7200 s =

- '85­

PARA AVANZAR

• Forma incompleja: empleando una sola unidad. Ejemplo: 12594 s

¡"vn,r""",,,, 3 h 29 min 54 s en forma incompleja. Expresa 12594 s en forma compleja

3h x 60 x 60 = 10800 s 1 2594 s 16 O 29 min x 60 = 1740 s 5 4 s '-'2-0-9-m-¡-n ~

+ 54 s 2 9min 3 h

12594 s 12594 s = 13 h 29 mi n 54 s I 3 h 29 min 54 s= 112594 si

• Expresa las siguientes medidas de tiempo en forma incompleja en segundos.

a) 18 h

b) 6 h 41 min

e) 8,5 h 36 min

d) 5 h 48 min 15 s

e) 4 h 17 min 59 s

f) 6 h 52 min 20 s

• Expresa las siguientes medidas de tiempo en forma compleja.

a) 73 min d) 69877 s

b) 140 min e) 72752 s

e) 28200 s f) 486996 s

• Un tren realiza el trayecto desde La Coruña a Vigo en 3 h 10 min 35 s y un camión realiza el mismo . trayecto en 11500 s. ¿Cuál tarda más?

-86­

Operaciones con medidas de -tiempo

• PARA EMPEZAR

Cómo se suman y se restan tiempos

3." Si se obtienen más de 60 minutos se pasan a horas y se suman a las horas anteriores.

Para restar tiempos: 5 h 31 min 19 s

1." Se colocan en columna de modo que coincidan las horas con las horas, - 2 h 43 min 50 s los minutos con los minutos y los segundos con los segundos.

2." Si en la columna de los segundos, la cantidad superior es menor que la inferior, se convierte un minuto en segundos (1 min = 60 s), para que se puedan restar.

1.° Se colocan en columna de modo que coincidan las horas con las horas, los minutos con los minutos y los segundos con los segundos y se suma cada columna. .-__________11~h7~minI7Isl

70 s = 1 min + 10 s

r Si se obtienen más de 60 segundos se pasan a minutos y se suman a los minutos anteriores.

112 h 13 min 10s1

4 h 90 min 79 s - 2 h 43 min 50 s

3.° Si en la columna de los minutos la cantidad superior es menor que la inferior, 12 h 47 min 29 sise convierte una hora en minutos (1 h = 60 min), para que se puedan restar.

• Realiza las siguientes operaciones:

a) 3 h 7 min 46 s b) 19 h 21 min 7 s - 10 h 6 min 22 s+ 8 h 19 min 32 s

• Un ciclista empleó 5 h 31 min 11 s en recorrer la primera etapa de una carrera. En la segunda etapa tardó 6 h 2 min 54 s. ¿Cuánto tiempo lleva empleado después de las dos etapas?

• Raquel ha grabado una película de 2 h 18 min 24 s en una cinta de 4 horas. ¿Cuánta cinta le queda disponible para seguir grabando?

-~-

PARA AVANZAR

Cómo se multiplica se divide un tiempo por un número natural

1.° Se multiplican por separado las horas, los minutos y los segundos por dicho número.

2.° Si en el resultado hay más de 60 segundos se convierten en minutos, y si hay más de 60 minutos se convierten en horas.

Para dividir un tiempo por un número:

1.0 Se dividen las horas entre el divisor. Si hay resto, se pasa a minutos y se añaden a los minutos que hay.

2.° Se divide el total de minutos entre el divisor. Si hay resto, se pasa a segundos y se añade a los segundos que hay.

3.° Se divide el total de segundos entre el divisor.

• Realiza las siguientes operaciones:

a) 3 h 17 min 38 s x 6

'-----------i..... 25 h 57 min Os

6 h 29 min 15 s x 4 = 125 h 57 min Os 1

25 h 57 min Os L ....-____---, .... E--___rThl-l1 6h h

1 h = 60 min r.... T '----t::=~)o.... 24 h 117 min O s 1-14____

1 h 37 min 6 h 29 min

1 min = 60 s 1 ...

c;:::: 25 h 117 min 60 s 14'----- ­1 h 37 min 20 s 6 h 29 min 15 s

Os

25 h 57 min Os : 4 =16 h 29 min 15 si

b) 51 h 14 min 18 s : 6

• Una colección de vídeos se compone de 18 películas. Cada una dura 1 h 27 min 15 s.¿Cuánto tiempo dura la colección completa?

• Una tenista entrena de lunes a viernes 18 h 31 mino Si todos los días entrena el mismo tiempo, ¿cuánto tiempo entrena cada día?

- g~-

111. TEOREMA DE PITAGORAS )

.~~.-.. Triángulos y paralelogramos~,

• PARA EMPEZAR

Cómo se clasifican los triángulos

• Según sus lados:

Equilátero Isósceles Escaleno

Tiene los tres lados iguales. Tiene dos lados iguales. Tiene los tres lados distintos.

• Según sus ángulos:

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Tiene un ángulo obtuso.

• Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y según sus ángulos:

e

?A: Isósceles y acutángulo-. B: ................................................................ E: ................................................................

C: ................................................................ F: ..............................................................:.

D: ................................................................ 6: ................................................................

.. ¿Puede un triángulo equilátero ser obtusángulo?

-~-

• ••

PARA AVANZAR

Cómo se clasifican los paralelogramos ,': ';",',!:-.!." --;~.:: '~-,:: ~. ~~ '¡..~-,

con dos pares'd~'fados~paráleíos y se

Rectángulo Rombo

Los cuatro lados iguales Los lados paralelos Los cuatro lados iguales Los lados paralelos y los cuatro ángulos iguales y los cuatro y los ángulos opuestos iguales y los ángulos

iguales. ángulos iguales. iguales. opuestos iguales.

• Clasifica los siguientes paralelogramos:

D

A: ................................................................ D: ....••.••.••.••••.••.....•••..........••.••...••••.•••..........

B: ................................................................ E: ................................................................

C: ................................................................ F. ...............................................................

• Compara cada pareja de paralelogramos e indica en qué se parecen y en qué se diferencian.

>Cuadrado y rectángulo: Tienen los cuatro ángulos iguales pero se diferencian en los lados.

Cuadrado y rombo: ........................................................................................................................................................:...........................

Cuad rado y romboide: ...................................................-...........................................................................................................................

Rectángulo y rombo: ..................................................................................................................................................................................

Rectángulo y romboide: ............................................................................................................................................................................

Rombo y romboide: ....................................................................................................................................................................................

• La siguiente afirmación: «Un rombo es un cuadrado que se ha girado», ¿es verdadera o falsa? ¿Por qué?

-qo­

--• • • • • • • • ••

Cómo se calcula el área de un paralelogramo , " " .",'. " ..-- ~

¿ .'CUalq~i~rpar~l~l;~;:~~;o se multiplicando las medidas de la base y de la altura, expresadas la misma unidad.

Cuadrado Rectángulo Romboide ....... ------¡

, +-:

,

,, .. ______ J,

A = b· h A =b· h

Rombo El área del rombo también se puede calcular usando las diagonales:

D·dA=-- A =b· h2

Siendo D la diagonal mayor y d la diagonal menor.

• Calcula el área de los siguientes paralelogramos:

>a) e)

•• cm

...;

A = 7 X 7 = 49 cm2

-'

b) d) cm../

• ¿Cuál de estos rectángulos tiene 1440 cm2 de área?

10dm dm 0,48dm

Teorema de Pitágoras

ij

~ PARA EMPEZAR '1I Qué es un triángulo rectángulo y cuáles son sus elementos .~ M ¡

ti ¿Cuáles de los siguientes triángulos son rectángulos?

A B e D E

F G H

.. Observa estos triángulos e indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

8cm

15 cm

al En el triángulo A. los catetos son 3 cm y 5 cm y la hipotenusa 4 cm. ___....:_.__.._.•....__......_____ . _____ ~

b) En el triángulo A, los catetos son 4 cm y 3 cm y la hipotenusa 5 cm...... _ ..__._____.._..._.________..__......_

e) En el triángulo 8, los catetos son 6 cm y 8 cm y la hipotenusa 10 cm. __.-.....- ..__.._ ..__..._-...._-..__... ­

d) En el triángulo 8, los catetos son 10 cm y 6 cm y la hipotenusa 8 cm. _.__.____.____......_...._.__.___......._.

e) En el triángulo C. los catetos son 15 cm y 12 cm y la hipotenusa 9 cm. _____..___..__....:..._..._. .....:_..... __'

f) En el triángulo -C, los catetos son 9 cm y 12 cm y la hipotenusa 15 cm..______.___...................__._.____......... _

30m

PARA AVANZAR

Qué dice 'el teorema de _........,..,

que en triángulo rectángulo, el cuadrado de

hipotenusa (al es igual a la suma los cuadrados de los catetos (b y Cj•

• ¿Cuánto mide la hipotenusa de cada uno de estos triángulos?

b)>a)

18 7,2

24 cm

2a = 182 + 242

•• a = V182 + 242 =

• ¿Cuánto mide el cateto que falta en cada uno de estos triángulos?

~ ~~ ~

cm

Olas catetos de un triángulo rectángulo miden 154 cm y 70 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

70 cm

..Una escalera está apoyada sobre una pared y llega hasta una altura de 4 metros. El pie de la escalera está a 2,5 metros de la pared. ¿Cuánto mide la escalera?

) '--!

-'13­

• • • • • ••

• • • • • ••

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

PARA EMPEZAR

Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras

• Calcula el valor de la hipotenusa de cada uno de estos triángulos rectángulos.

0 2 = b2 + e2 el>al • = 52 + 82

9cm•• 5cm 0 2

02 = 25 + 64 = 89

a=y89 0= 9,4 em

b) d)

7cm 30 cm

• Calcula el valor del cateto que falta en cada uno de estos triángulos rectángulos.

e2 0 2 b2= ­ e)>a) e2 72132= ­•• • 7 8cme2 = 169 - 49 = 120 e = Vi20

• e = 10,9 em

b) d)

b15

._.~

111 PARA AVANZAR

Cuál es el significado geométrico del teorema de Pitágoras

en un lose un cua o, comprueba que el área del cuadrado dibujado sobre la hipotenusa es igual a

a suma de las áreas de los otros dos cuadrados .

• Observa estos triángulos rectállgulos y completa la tabla.

cm12

A 9216 cm2 9360 cm2 9360 cm2

B

e

D

E

• Tres parcelas cuadradas están colocadas de manera que, entre ellas, se forma un triángulo rectángulo como se observa en la figura. ¿Cuánto mide el área de la parcela más grande y qué medida tiene su lado?

Cómo se calculan distancias en polígonos

;~"EI teorema de Pitágoras también se utiliza para calcular distancias en ~~:O~riángulo rectángulo que tenga dos lados conocidos y el otro desconocido.

~~~Se puede hallar, por ejemplo, la diagonal de un cuadrado o rectángulo, la altura de un triángulo, el lado de un rombo f~;:p la apotema de un hexágono.

i e

;~'~Ejemplo: Calcular el valor de la diagonal de un rectángulo. conocidos su base (14 cm) y su altura (6 cm), 'es "Hl: a calcular el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma.

~~ 6cm~ 14 cm

• Halla la medida que se pide en cada figura.

al la diagonal del cuadrado

0,m 9cm

b) la base del rectángulo

lS]25,m b

e) la altura del triángulo equilátero

~ Ll!

10 cm

d) la altura del triángulo isósceles

It\tg

ro 10 cm

e) El lado del rombo

~ t) la apotema del hexágono

_.~

• Halla el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 16 cm.

16 cm

• Calcula el área de un círculo cuyo centro es el centro de un cuadrado de lado 6 cm y cuyo diámetro es la diagonal del cuadrado.

• El siguiente poste se encuentra anclado al suelo por dos cables que forman un triángulo isósceles. __' ¿Cuánto mide la altura de este poste?

-- • Calcula el lado a del siguiente trapecio rectángulo.

5cm

15 cm

lit PARA AVANZAR

Cómo se clasifican los cuerpos geométricos

• Poliedros: cuerpos geométricos con caras planas formadas por polígonos.

En todos ellos se observan elementos como:

- Caras: polígonos que limitan el poliedro.

- Aristas: cada uno de los lados comunes a dos caras.

- Vértices: puntos donde concurren tres o más caras.

• Cuerpos redondos: cuerpos geométricos con alguna superficie lateral curva•.

poliedro regular es aquel que tiene todas las caras iguales y en cada vértice concurre el mismo número de aristas. cinco poliedros regulares.

Tetraedro: 4 caras Cubo: 6 caras Octaedro: 8 caras Dodecaedro: 12 caras

• Clasifica los siguientes cuerpos geométricos en poliedros o cuerpos redondos:

A B e D E

Poliedros: ................................................................ Cuerpos redondos: ................................................................

• Completa la tabla.

• Bases: dos caras iguales y paralelas que son polígonos.

• Caras laterales: son paralelogramos.

• Altura: distancia que hay entre las bases.

Un prisma recto es aquel cuyas caras laterales son rectángulos.

Un prisma recto es regular si tiene como bases polígonos regulares.

Según cuáles sean los polígonos que forman las bases los prismas se clasifican en: prisma triangular, prisma cuadrangular, prisma pentagonal, etcétera.

Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.

• Un prisma tiene 18 aristas.

a) ¿Cuántos lados tendrán los polígonos que forman sus bases? .................................................................

b) ¿Cuántas caras laterales tiene? .................................................................

. b 'b" I . ?C) ¿Que nom re recl Ira e prisma ..................................................................

• Dibuja un prisma pentagonal.

a) ¿Cuántas aristas laterales tiene?, ¿y aristas en total? .................................................................

b) ¿Cuántos vértices tiene? .................................................................

c) ¿Es un paralelepípedo? .................................................................

• a) ¿Cuál es el menor número de aristas que puede tener un prisma?, ¿cómo se llamará el prisma?

b) ¿Qué nombre recibe el prisma que tiene todas las caras iguales?, ¿qué forma tienen esas caras?

• Dados los siguientes objetos, indica cuáles son paralelepípedos: una caja de zapatos, un libro, un vaso, una cometa y un dado.

Qué es una pirámide

• Base: que es un polígono.

• Caras laterales: que son triángulos.

• Vértice: punto en el que se unen las caras laterales.

s medidas en una pirámide son:

• Altura. h: distancia de la base al vértice.

• Apotema de la base. as: segmento que une el centro de la base con el punto medio de un lado.

• Apotema de la pirámide. a,:. altura de una cara lateral.

relación entre las apotemas aB, ap y la altura h está dada por el teorema de Pitágoras: (as)2 + fl = (ap)2

pirámide regular es aquella que tiene como base un polígono regular.

el polígono de la base, las pirámides se clasifican en: pirámide triangular, pirámide cuadrangular, pirámide pen­etcétera.

• Una pirámide está formada por 7 polígonos. ¿Qué nombre recibe está pirámide? Explica tu respuesta.

• Dada la siguiente pirámide, ¿cuántos vértices tiene su base?, ¿cuántas aristas tendrá la pirámide?

• ¿Cuál es el menor número de polígonos necesario para poder construir una pirámide? ¿Qué clase de polígonos son?

• En una pirámide regular, la apotema de la base mide 9 m y la apotema de la pirámide 15 m. Calcula la altura de la pirámide.

Qué es un cilindro

es un cuerpo

• Dos bases iguales: son círculos.

• Altura: distancia entre las bases.

• Generatriz: recta que une puntos de las circunferencias que forman las bases y es perpendicular a ellas.

n cilindro se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Desarrollo plano del cilindro<;:i)

I I I

• ¿Por qué no podemos decir que los cilindros son poliedros?

• Un cilindro tiene la altura igual al radio de su base. ¿Qué figura geométrica se ha hecho girar alrededor del eje del cilindro para engendrarlo?

• Dibuja un cilindro y su desarrollo sabiendo que el radio de la base mide 1 cm y la altura 3 cm. ¿Qué figuras planas forman el desarrollo del cilindro?

• En un cilindro, el radio de la base mide 12 cm y la altura 14 cm, ¿qué dimensiones tiene el rectángulo que forma el desarrollo del cilindro?

-101­

Qué es un cono

--+

Desarrollo plano del cono

• Base: es un círculo.

• Altura: distancia de la base al vértice.

• Generatriz: recta que une un punto de la circunferencia de la base y el vértice.

:¡;¡e de giro

relación entre el radio rde la base, la generatriz 9 y la altura hes: r 2 + h2 =9 2

• Señala en el cono de la figura: la base, el radio de la base, la altura y la generatriz.

• En la figura puedes observar un cono y su desarrollo:

. a) Señala el vértice del cono en el desarrollo.

b) Indica cuál es la base y la superficie lateral del cono en el desarrollo del mismo.

el ¿A qué medida de la base del cono será igual el arco?

• En un cono, el radio mide 5 cm y la altura mide 12 cm. ¿Cuánto mide la generatriz?

-)Oz­

Qué es una esfera

:E,je giro• Centro: es el centro del semicírculo.

• Radio: es el radio del semicírculo, distancia del centro a un punto cualquiera de la superficie esférica. --+

• Diámetro: segmento que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro de la esfera.

cortar con uno o dos planos una esfera se pueden obtener las siguientes figuras geométricas:

Casquete esférico Semiesfera Huso esférico Zona esférica

El plano corta por el centro y determina

dos semiesferas.

Parte comprendida entre dos planos

paralelos.

Cada parte resultante Parte comprendida entre al cortar la esfera dos planos que pasan

con un plano. por el centro.

• ¿Tiene la superficie de la esfera desarrollo plano?

• En la esfera de la figura señala el centro, el diámetro y el radio. Traza un plano que corte a la esfera formando dos cí3squetes esféricos.

• Indica cuáles de los siguientes objetos tienen forma esférica o semiesférica.

Naranja TazOn Pelota Vaso Huevo Casco

-103­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula el área de un paralelogramo y de un triángulo

A =b· h

El área (A) de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base (b) por su altura (h), expresadas ambas en la misma unidad.

A = b· h 2

• Calcula el área de un cuadrado de 23 cm de lado.

• ¿Cuánto mide la base de un rectángulo de 12 m de altura y cuya área es 168 m2?

• Una ventana tif;!ne un cristal de 90 cm de alto y 60 cm de ancho. ¿Cuánto costará reponer un cristal cuando se rompa si el precio de cada metro cuadrado de cristal es 24 euros?

• Un triángulo es isósceles y rectángulo. Si sus catetos miden 18 cm, ¿cuánto medirá su área?

• Un triángulo mide 42 m2 de superficie y su altura es 7 m. ¿Cuánto mide su base?

-~- - /0'1-­

Cómo se calcula el área de un trapecio. de un círculo y sus recintos

A=B+b. h 2

B

El área (A) de un círculo es igual al producto de 'IT' por el radio (r) al cuadrado.

Corona circular Sector circular

A = ..;,;'n';",..._,_2_._n 360

• Calcula el área de un trapecio cuyas bases miden 18 cm y 12 cm, y cuya altura mide ! de la base menor.

• Calcula el área de un círculo de 12 dm de diámetro.

• Calcula el área d'e la superticieque hay entre los dos círculos, sabiendo que el mayor tiene un radio de 8 m, y que el radio del círculo menor es 4 m.

• Calcula el área del siguiente sector circular:

5cm

-70:5­

-' Cómo se calcula el área de polígonos regulares y de polígonos irregulares

; h";;:"j",,,',,;';'::;;'::"":;;:,',:';':/ :";~;, .~ \; ~; ·~':~':r.:;;i' ~j~~,"~~~!v. \~~:~ ~:_r;~ :,~l-~~;::F "~~" ~!;~ ~ ~i"~\d' .~ ._\ : ' ~~r,':?" ~cl ~ ,~ I~ es la mitad del producto del perímetro (p) por la apotema (a),

A=P...:....!!... 2

El área de un polígono irregular se calcula sumando las áreas de las figuras planas que resultan de descomponerlo.

Ejemplo: Para calcular el área de la figura se puede descomponer en un cuadrado y en un triángulo, luego su área será:

b-hA =Al + A2 =/- /+ - ­2

La altura del triángulo es: h = 8 - 4 = 4 m 4cm

La base del triángulo es: b = V25 - 16 = 3 m

A = 4 . 4 + 3 ; 4 = 16 + 6 ~ I A = 22 m2 1

• Calcula el área de un pentágono regular de 10 cm de lado y 6,88 cm de apotema.

• Calcula el área de la parte de la figura coloreada, sabiendo que el lado del hexágono es 12 cm, su apotema mide 10,39 cm y la base del rectángulo es 33 cm.

• Calcula el área de la siguiente figura:

-/OG­

, , . Areas de los cuerpos geometrlcos

• PARA EMPEZAR

Cómo se calcula el área de un prisma regular

,

• Área lateral:

• Área de la base: As

• Área tata 1:

¡endo p el perímetro de una de las bases, h la altura del prisma y B la apotema.

~!B'jt=lemDlD: En el prisma pentagonal de la figura, el lado de la base mide 6 m y la apotema 4,13 m. Sabiendo que la altura del prisma es 12 m, el área total del prisma será:

h = 12 m } AL = P • h = 30 . 12 = 360 m 2

}

P = 6 • 5 = 30 m A I 21 . 30 . 4 13 AT = AL + 2 8 = 360 + 2 . 61,95 => Ar = 483,9 m o = 4 13 m A8 = .E:.-E.. = = 61 95 m2

, 2 2 I '

• Halla el área de un prisma que tiene 22 cm de altura, y cuyas bases son rectángulos de lados 10 cm y 12 cm.

• En un prisma dé base cuadrada se sabe que el lado de la base es 5 m y que la altura del prisma es 12 m. Halla el área total del prisma.

m

12m

• Un prisma tiene base hexagonal de lado 4 dm y apotema 3,46 dm. La altura del prisma es 90 cm. Calcula:

a) El área de la base.

b) El área lateral del prisma.

e) El área total del prisma.

-jOr­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula el área de un cilindro

I area total de un cilindro

• Área lateral: AL =2 • 'ir' ,. h

• Área de la base: AB ='ir • r2

• Área total: Ar =AL + 2AB =2 • 'n' • ,. h + 2 • 'ir • r2

¡endo , el radio de la base y h la altura del cilindro.

jemplo: El área total de un cilindro que mide 18 m de altura y cuya base tiene 6 m de radio es:

. Ar = AL + 2AB = 678.24 + 2 . 113,04 => lAr = 904,32 m21 A. = 2 . TI' • ,. h = 2 . 3,14 . 6 ·18 == 678,24 m2

}

AB = TI' • ,2 = 3.14 . 36 = 113,04 m2

• Un cilindro tiene 6 cm de radio y 16 cm de altura. Calcula:

al El área de la base.

bl La superficie lateral.

el La superficie total.

• Un depósito cilíndrico tiene 678,24 cm 2 de superficie lateral y su altura es 18 cm. Halla el radio de la base y calcula el área total del depósito.

• Un bote de refresco tiene 10 cm de diámetro y 20 cm de altura. ¿Qué superficie ocupa la etiqueta de papel que rodea al bote? ¿Qué superficie ocupa la tapadera del bote?

- -/1/8­

Cómo se calcula el área de una

• Área lateral: A -.P..:..3:.L­ 2

• Área de la base: AB

• Área tata 1:

endo p el perímetro de la base y aL la apotema lateral.

. la base de la pirámide pentagonal de la figura tiene lados que miden 14 cm y su apotema mide 9,63 cm. la apotema de la pirámide es 60 cm. El área total de la pirámide será:

p = 14 . 5 = 70 cm

A =.E...:....!!.!: = 70· 60 = 2100 cm2 }

L 2 2 Ar = AL + AB => lAr = 2437,05 cm2

J A -.l!..:.!!..u.. . 70· 9,63 - 33705 2

B - 2 = 2 - , cm

• Calcula el área lateral y el área total de una pirámide que tiene por base un cuadrado de 11 cm de lado y cuya apotema es 16 cm.

• Una pirámide tiene por base un hexágono regular cuyos lados miden 10 m y la apotema de la base mide 8,66 m. Sabiendo que la apotema de la pirámide es 44 m, calcula:

a) El área de la base.

b) El área lateral de la pirámide.

el El área total de la pirámide.

• Una pirámide tiene por base un cuadrado. Se sabe que su área total es 1248 cm2 y su área lateral mide 992 cm2

• Calcula lo que miden los lados de la base de la pirámide.

-j(JC¡­

Cómo se calcula el área de un cono

un cono se ca

• Área lateral:

• Área de la base: As = 'Ir • ¡z

• Área total:

ndo r el radio de la base y 9 la generatriz.

El área total de un cono cuya base mide 4 dm de radio y cuya generatriz mide 1.2 m es:

En primer lugar. se expresan las medidas en la misma unidad: 9 = 1,2 m = 12 dm

AL = 11' • ,. 9 = 3,14' 4' 12 = 150.72 dm2}

AT = 150,72 + 50,24 => IAT = 200.96 dm2 I As = 11' • ,2 = 3.14' 42 = 50,24 dm2

• Calcula el área lateral y el área total del cono de la figura.

• En un cono, el área total mide 602,88 m2 y el área lateral es 401,92 m2• Calcula:

a) El área de la base del cono.

b) El radio de la base del cono.

• Un cono tiene una base de 8 cm de radio y su área total es 452,16 cm2• Calcula:

a) El área lateral del cono.

b) La generatriz del cono.

-, - //() ­

iendo r la distancia del centro de la esfera a cualquier punto de la superficie esférica.

:jemplo~ El área de la superficie de una esfera de 8 m de radio es:

A = 4 . 'lT • ,2 = 4 • 'lT • 82 => I A = 803,84 m2 1

• Calcula el área de la superficie de una esfera de 14 cm de radio.

• Halla el área de una superficie esférica de 22 dm de diámetro.

• Un balón tiene 30 cm de diámetro. ¿Cuánto mide su superficie?

.la superficie de una esfera mide 2122,64 m2• Averigua el radio de la esfera.

• Un globo aerostático tiene un diámetro de 26 m cuando está totalmente hinchado de aire caliente. ¿Cuánto mide la superficie de tela del globo?

-jJJ,­

Resolución de problemas de áreas • Un rascacielos tiene base octogonal de 15 m de lado y la apotema dela base mide 18,10 m. La altura

del edificio es 80 m. Calcula:

a) El área de la base.

b) La superficie lateral del edificio.

e) Lo que cuesta pintar la superficie lateral si cada 10 m2 cuestan 3 euros.

d) El área total del rascacielos.

• Un estanque cilíndrico tiene 18 m de diámetro y 1,30 m de altura. ¿Cuánto costará pintarlo si cada metro cuadrado pintado cuesta 1,50 euros?

• La relación entre la altura de un cono, su generatriz y su radio viene dada por la fórmula: g2 = h2 + ,2. Sabiendo que e~ un cono la generatriz mide 5 m y la altura 4 m, calcula:

al El radio de la base del cono.

. b) El área total del cono.

• Un depósito de forma esférica tiene 4 m de radio. Está recubierto con un materialque cuesta 12 euros cada metro cuadrado. ¿Cuánto costará el recubrimiento total del depósito?

- /JZ­

Unidades de capacidad y de volumen

• PARA EMPEZAR

Cuáles son las unidades de capacidad

Unidades de capacidad menores que el litro: el mililitro (ml), el centilitro (cl) y el decilitro (dl).

Unidades de capacidad mayores que el litro: el decalitro (dal), el hectolitro (hl) yel kilolitro (kl).

relación que guardan las unidades de capacidad aparece en la siguiente figura:

• Relaciona la capacidad de cada magnitud con la unidad más adecuada para medirla:

El aire que cabe en los pulmones de una persona

Una piscina

Un bote de un refresco

Las gotas de un medicamento

ml

l

cl

kl

• Completa la tabla siguiente:

12,3

48

14

1700

0,6

• En una granja hay 57 vacas, cada una de las cuales da 32 litros de leche diariamente. Calcula cuántos litros de leche produce la granja en una semana. Expresa el resultado en hectolitros.

-/J:3­

-<

111 PARA AVANZAR

Cuáles son las unidades de volumen. Su relación con las de capacidad

unidad fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico (m3),

es el volumen de un cubo de 1 m de arista.

Unidades de volumen menores que el metro cúbico: el milímetro cúbico 1m(mm3

), el centímetro cúbico (cm3) y el decímetro cúbico (dm3

).

Unidades de volumen mayores que el metro cúbico: el decámetro cúbico (dam3), el hectómetro cúbico (hm3

)

y el kilómetro cúbico (km3).

X 1000 X 1000

relacionar las unidades de volumen y las unidades de capacidad, se tiene en cuenta que en un cubo de 1 dm3 de cabe exactamente 1 l de agua, esto es: 1 dm3 = 1 L

relaciones principales entre unidades de volumen y de capacidad son:

1 cm3 = 1 mL 1 dm3 = 1 L 1 m3 = 1 kL

• Completa la siguiente tabla:

750000

18000000

3,5

1,43

0,00000726

• Expresa en cm 3 las siguientes medidas de capacidad:

a) 22 l = c) 43 kl ==

b) 33 cl = d) 8000 dal =

• Expresa en litros las siguientes medidas de volumen:

a) 12345 m3 = c) 0,2 km3 =

b) 78 dm3 = d) 3200 dam3 =

------I/i¡­

Volúmenes de cuerpos geométricos

• PARA EMPEZAR

Cómo se calcula el volumen de un ortoedro y de un cubo

v= AB ' h :::::> V= a· b· e e

a

El volumen del cubo se calcula elevando la arista al cubo, puesto que se trata de un ortoedro con las tres aristas iguales.

v= a . a . a :::::> V=a3 a

• Calcula el volumen de los siguientes ortoedros:

a) b) I ,I 1,8 m,,,.

,-_Jol. ___ I _ _.____ _~"~

0,3 m 12 cm

• Calcula el volumen de la siguiente figura formada por cubos de 2 cm de arista.

,

2,5m

-jlS ­

• El volumen de una torre es 5400 m3• Sabiendo que mide 20 m de largo y 18 m de ancho, ¿cuánto mide

su altura?

El volumen de un cubo es 27 cm3• Determina su arista y su área total.

Como el volumen del cubo es: V = a3=> a = Vv = ffii = 13 cm31

Una vez obtenida la arista, se calcula el área de una cara (que es un cuadrado). El área total es seis veces el área de una cara:

AT = 6al = 6 • 32 = 6 . 9 = 1 54 cm2 1

• Sabiendo que la superficie total de un cubo es 96 cm3, determina su arista y su volumen.

• Un aula vacía tiene forma de ortoedro y unas dimensiones de 10 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de alto. Calcula el volumen de aire que contiene y da el resultado en dm3

•

• Un silo de trigo formado por dos grandes naves: una con forma de ortoedro, de 20 m de largo, 15 m de ancho y 10 m de alto, y otra con forma de cubo de 25 m de arista. Determina el volumen de grano que cabe en el silo y da el resultado en m3 y hL

- Jlb­

PARA AVANZAR

Cómo se calcula el volumen de un prisma regular

.-,..mln,r.- Para calcular el volumen del prisma de base pentagonal de la figura inferior, hay que hallar primero la apotema y el perímetro de la base:

a= './32 - 1,52= 2,6 cm

p=3'5=15cm

As = l!...:.J!.. = 15· 2,6 = 19 5 cm2

2 2 ' 1,5 m

V= As' h = 19,5' 10 ::::} ""',,I'"""V-=-1-9-5-cm-J

• Calcula el volumen de un prisma de 15 m de altura, sabiendo que su base es un cuadrado de 56 m de perímetro.

• Un edificio tiene forma de prisma de base hexagonal. El lado de la base es 16 m y la altura del edificio es 30 m. Calcula su volumen.

• Un prisma recto tiene por base un triángulo rectángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m. Su volumen es 36 m3•

Calcula su altura.

3

Cómo se calcula el volumen de un cilindro

Área de la base: As = 'iT • r2

Para calcular el volumen de un cilindro de 24 m de altura y cuya base mide 150 cm de radio, hay que tener en cuenta que todas las medidas deben expresarse en la misma unidad: r =:: 150 cm = 150 : 100 = 1,5 m

V= 1r' r· h = 3,14' 1,52• 24 => IV= 169,56 m3 1

• Calcula el volumen de un cilindro de 12 m de radio y 2000 cm de altura.

• Una columna cilíndrica tiene 1 m de diámetro en la base y 6 m de altura. Halla su volumen.

• El volumen de un cilindro es 1356,48 cm3 y su altura es 18 cm. Calcula el radio de su base.

• Una torre de un castillo tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide 6 m y su altura es 20 m. Calcula el área de la base y su volumen.

- Jl~~

Cómo se calcula el volumen de una pirámide

v=..!..· A • h3 B

~~~·~l~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~

:¡e:m'¡:J/o: El volumen de una pirámide pentagonal de 20 m de altura y cuya base tiene 10 m de lado y apotema a = 6,88 m se calcula a partir de estas cantidades:

p = 5 . 10 = 50 m; Ae =.E!..::.l!.. = 50· 6,88 = 172 m2

2 2

V = ~ . Ae . h = ~ . 172 • 20 ==> Iv = 1146,67 m3 1

• La mayor de las tres pirámides que hay en Gizeh (Egipto) es la de Keops. Su base es un cuadrado que mide 230 m de lado y su altura es 147 m. Halla el volumen de la pirámide.

• Calcula el volumen de una pirámide cuya base es un rectángulo que mide 16 m de largo por 12 m de ancho y tiene una altura de 14 m.

• Calcula el volumen de una pirámide cuya base hexagonal tiene 12 m de lado, sabiendo que la apotema de la base es 10,39 m y que la altura de la pirámide es 15 m.

• La base de una pirámide octogonal tiene 8 dm de lado y 9,66 dm de apotema. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su volumen es 103,04 dm3

•

-)1'1­

Cómo se calcula el volumen de un cono

:jemplo: El volumen de un cono de 12 cm de altura y cuya base tiene 2 cm de radio se calcula a partir de la superficie de la base:

AB = 1l" r = 3.14' 22 = 12.56 cm2

V= ~ . AB • h = ~ . 12,56 . 12 => I V= 50,24 cm3 1

• Calcula el volumen de un cono de 0,24 m de altura y cuya base tiene 5 cm de radio.

• Halla el volumen de un cucurucho de helado de 3 cm de radio y 12 cm de altura.

• Un gorro de fiesta tiene forma cónica. La circunferencia de la base tiene 58 cm de longitud y la altura del gorro es 30 cm. Halla el volumen del gorro.

• Un cono de 8 cm de radio tiene un volumen de 535,89 cm3• Calcula la altura del cono.

Cómo se calcula el volumen de una esfera

V=±''rr'r3

El volumen de una esfera de 6 cm de radio es:

v=;''rr.r=;'3,14'63 => IV=904,32cm3 1

• Calcula el volumen de una canica de 4 mm de radio.

• Calcula el volumen de aire caliente que cabe en un globo aerostático de forma esférica que cuando está totalmente hinchado tiene un diámetro de 18 m. Sabiendo que cada litro de aire caliente pesa 0,0002 g, ¿cuánto pesará el aire contenido en el globo cuando esté totalmente hinchado?

• Averigua cuánt~s metros cúbicos de agua caben en un depósito de forma esférica que tiene 14 m de diámetro.

• ¿Cuál será el volumen de la cúpula de un planetario que tiene forma de semiesfera de 26 m de diámetro?

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