Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATIKA II
ARIKETAK
2
AURKIBIDEA
Kalkulu diferentziala ................................................................................................................................. 3
Optimizazioa ........................................................................................................................................... 13
Integrazioa ............................................................................................................................................... 20
Erantzunak .............................................................................................................................................. 22
3
Kalkulu diferentzialeko ariketak
1.- Esan puntu hauek dagokien multzoko muga-puntuak diren.
a) (0,1) , (2, 2) eta (4,3) puntuak 2{( , ) / 0 4, 1 3}A x y x y multzoan.
b) (2, 0) , (0,0) eta (4, 2) puntuak 2 2 2{( , ) / ( 1) ( 2) 9}B x y x y multzoan.
c) (1,1) , ( 1, 1) eta (2,1) puntuak 2{( , ) / 1}C x y xy multzoan.
2.- Esan multzo hauek irekiak, itxiak, bornatuak, trinkoak edo ganbilak diren.
a) 1 { / 0 4}A x x , 2 / 1 2A x x , 3 / 1 2 .A x x
b) 2{( , ) / 0 4, 1 3} (0,4] [1,3]B x y x y .
c) 2 2 2{( , ) / 4, 0, 0}.C x y x y x y
d) 2 2 2{( , ) / ( 1) ( 2) 9}.D x y x y
e) 2 2 2 2{( , ) / 4, }E x y x y x y .
f) 2 2
2 ( 1) ( 2){( , ) / 1, }
9 4
x yF x y y x
.
g) 2{( , ) / 1}G x y xy .
h) 2{( , ) / 0 2, 1 1}.H x y x y
i) 2{( , ) / 2 5}I x y y x .
j) 2{( , ) / 0}J x y y .
k) [0,1] [0,1)K .
l) 2{( , ) / 0 1, }L x y x y x .
m) 2 2 2{( , ) / 4( 1) ( 2) 16, 2 }M x y x y y x .
n) 2 2 2{( , ) / 4( 1) ( 2) 16, 2 , 1}N x y x y y x y .
3.- Irudikatu 2 multzoan ( 2,1) eta (8,5) puntuak lotzen dituen segmentua. Esan (3,3) puntua puntu
horien konbinazio ganbila den. Eta (0, 2) puntua?
4.- Aurkitu eta irudikatu funtzio hauen existentzi eremuak, eta esan irekiak, itxiak, bornatuak, ganbilak edo
trinkoak diren.
a) ( , )f x y xy .
4
b) 1
( , )f x yxy
.
c) 2 2
( , )xy
f x yx y
.
d) 2 2
( , )y x
f x yx y
.
e) ( , ) ln( )f x y x y .
f) ( , ) ln( )f x y x y .
g) ( , )x y
f x yx y
.
h) 2
2
1( , )
1
xf x y
y
.
i) 2 2( , ) ex yf x y x y .
5.- Irudikatu funtzio hauen hiru sestra-kurba:
a) ( , ) 2f x y x y .
b) 2( , ) 1f x y x y .
c) 2( , ) 1f x y y x .
d) 2 2( , ) 4f x y x y .
e) 2 2( , ) ( 3)f x y x y .
f) 2 2( , ) 4f x y x y .
g) ( , ) ( 2)f x y x y .
h) 2( , ) ( 3)f x y x y .
i) ( , )f x y xy .
j) ( , ) ln( )f x y x y .
k) ( , ) ln( )f x y x y
l) ( , ) ex yf x y .
m) ( , ) min{2 ,3 }f x y x y .
6.- Aurkitu funtzio hauek jarraituak izateko multzoak.
a) 2 3( , ) 3 5 7f x y x y xy y .
5
b) 2
1( , )g x y
x y
.
c) 2 2( , ) lnh x y x y .
7.- Kalkulatu funtzio hauen lehen ordenako deribatu partzialak eta ordezkatu dagozkien puntuetan;
horretarako, erabili deribatu partzialaren definizioa (erabili limiteak):
a) 2 2( , ) 2f x y x xy y funtzioarenak haren existentzi eremuan.
b) 1
( , )f x yx y
funtzioarenak (1,0) puntuan.
8.- Demagun
1,
( , )
0,
x yx yf x y
x y
funtzioa dela.
Kalkulatu 1(2,1)f eta 2 (2,1)f .
Kalkulatu, existitzen badira, 1(0,0)f eta 2 (0,0)f .
9.- Demagun 2 2, ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xyx y
x yf x y
x y
funtzioa dela.
Kalkulatu 1(1,1)f eta 2 (1,1)f .
Kalkulatu, existitzen badira, 1(0,0)f eta 2 (0,0)f .
10.- Kalkulatu funtzio hauen lehen ordenako deribatu partzialak:
a) 2 3( , ) 3 5 7f x y x y xy y .
b) 2 2( , ) ( 1)f x y x y .
c) 2 3
( , )x y
f x yy x
.
d) 2 2
( , )y x
f x yx y
.
e) 2( , ) ln( )f x y x y y .
f) 2 3
e( , )
x y
f x yy
.
g) ( , ) 2xyf x y y .
6
h) 2 3( , ) sin(3 )f x y x x y .
i) 2 2 2( , ) ln(2 )f x y xy x y .
j) ( , )xy
f x yx y
.
k) 2 1
( , )1
xf x y
y
.
l) 2
( , ) cosx y
f x yy
.
m) 22( , ) ln( )f x y y x .
n) 2 2( , ) ex yf x y x y .
11.- Kalkulatu funtzio hauen lehen ordenako deribatu partzialak eta aztertu haien existentzi eremuan 1
klasekoak (C1) diren. Balioztatu deribatu partzialak eskatutako puntuetan.
a) ( , )f x y xy ; (2, 1) puntuan.
b) ( , )x
f x yy
; (2, 1) puntuan.
c) 2 2( , ) 3f x y x xy y ; (2, 1) puntuan.
d) /ex yz x ; (2, 1) puntuan.
e) ( , ) lnf x y xy ; (4,1) puntuan.
f) 2 24
2
x yz
y x ; (2, 1) puntuan.
g) 2 2( )( , ) e x yf x y ; (1,0) puntuan.
h) ( , ) e sin( )yf x y xy ; (1,0) puntuan.
i) 2 2( , ) 1f x y x y ; (1,0) puntuan.
j) ( , , ) e cos( )xf x y z y xz ; (1,0,0) puntuan.
k) ( , , ) e yzf x y z x ; (1,0,0) puntuan.
12.- Demagun 2:F funtzioa dela, ( , ) ( , )( , ) e f x y g x yF x y , 1 2, ( )f g C izanik. Kalkulatu (1,1)xF
deribatu partziala, ( , ) 2f x y , (1,1) 3g eta ( , ) ( , ) 2x xf x y g x y xy izanik.
7
13.- Kalkulatu funtzio hauen lehen eta bigarren ordenako deribatu partzialak eta aztertu bere existentzi
eremuan 2 klasekoak (C2) diren. Egiaztatu, kasu guztietan, Schwarz-en teorema betetzen dela.
a) 4 2 2 4( , ) 3f x y x x y y .
b) sin( )
( , ) ecos( )
x yf x y
y
.
c) 2
( , ) 2exyf x y .
d) ( , ) e ey xf x y x y .
e) 2 3 2( , , )f x y z x y xz y z .
14.- Demagun 2 21ln( )
2z x y funtzioa dela. Egiaztatu
2 2
2 20
z z
x y
betetzen dela.
15.- Erabili deribazio logaritmikoa funtzio hauen lehen ordenako deribatuak kalkulatzeko:
a) ( , ) ( )x yf x y xy , 0x eta 0y izanik.
b) 2 2(2 ) (1 )1
( , ) e e4
x y yf x y .
c) 2( , ) (1 )y yf x y x x , 0 1x izanik.
d) 2 2( , ) e ( )x y xf x y x y , x y izanik.
16.- 2 2
2
( ) ( )
( )
1 e e( , , , )
2 e
x y
zf x y z
funtzioa bada kalkulatu, deribazio logaritmikoa erabiliz, f funtzioaren
deribatu partziala -rekiko, hau da, ( , , , )f
x y z
.
17.- 1 1( , , ) (1 ) (1 )x x y yg x y p p p p p funtzioa bada ( 0 1p ) kalkulatu, deribazio logaritmikoa
erabiliz, g funtzioaren deribatu partziala p-rekiko, hau da, ( , , )g
x y pp
.
18.- 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2
1( , , , ) e e ex y zf x y z
funtzioa bada kalkulatu, deribazio logaritmikoa erabiliz, f
funtzioaren deribatu partziala -rekiko, hau da, ( , , , )f
x y z
.
8
19.- Deribazio logaritmikoa erabiliz, kalkulatu funtzioa hauen eskatutako deribatu partziala:
a) (1,0)f
x
, 2 2( , ) ( )x yf x y x y izanik.
b) 1
1,0,2
f
p
, ( , , ) (1 )x y xf x y p p p izanik.
c) (1,1,1)f
p
, 2 2 2 2 4( , , ) x p y p pf x y p x y p izanik.
20.- 2 2z u v v bada, sin( )u x eta exv izanik, katearen erregela erabiliz, kalkulatu dz
dx.
21.- z uvw bada, u x y , v x y eta 2w xy izanik, kalkulatu, katearen erregela erabiliz, z
x
eta z
y
.
22.- Katearen erregela erabiliz, kalkulatu funtzioa hauen lehen ordenako deribatu partzialak:
a) z g x y , 1( )g C izanik.
b) 3 2(2 )z y f x y , 1( )f C izanik.
c) 3 (2e )x yz x y g , 1( )g C izanik.
d) 3 xz y g
y
, 0y eta 1( )g C izanik.
e) 2 2( sin( ))z x f xy xy , 1( )f C izanik.
f) x y
z x f y gy x
, , 0x y eta 1, ( )f g C izanik.
g) (3 6 , )z g x y y xy , 1 2( )g C izanik.
h) (e ,cos( ))xyz f y , 1 2( )f C izanik.
i) 2
25 ,x
z f x yy
, 1 2( )f C izanik.
j) 22 2( 2 ,e )x yz xy f y xy , 1 2( )f C izanik.
23.- (3 sin( ))z f xy xy funtzioa da, 1( )f C eta (0) 2f izanik. Kalkulatu (1,0)z
x
eta (1,0)z
y
.
9
24.- 2 22 2( ,e )x yz f x y funtzioa da, 1 2( )f C izanik. Kalkulatu (1,1)
z
x
eta (1,1)z
y
deribatu
partzialak, 21(2,e ) 2f eta 2
2 (2, e ) 2f izanik.
25.- Demagun 2 2(4( ), )z y g x y y funtzioa dela, 1 2( )g C izanik. Kalkulatu (0,1)z
x
eta (0,1)z
y
deribatu partzialak, (4,1) 0g eta 1 2(4,1) (4,1) 1g g izanik.
26.- Demagun 2 22(3 , )
yz f xy g x y x y
x
funtzioa dela, 1( )f C , 1 2( )g C , (2) 1f ,
(2,0) 0g , 1(2,0) 1g eta 2 (2,0) 1g izanik. Kalkulatu (1,1)z
x
eta (1,1)z
y
.
27.- Demagun 2 2( , ) 3f x y x xy y funtzioa dela.
a) Kalkulatu funtzioaren existentzi eremua.
b) Kalkulatu (2,0)f
x
. h positiboa eta nahiko txikia hartuta, (2 ,0)f h zer da, (2,0)f baino
txikiagoa ala handiagoa?
28.- Demagun 2 2
( , ) ex yf x y xy funtzioa dela. Estudiatu, deribatu partzialak aztertuz, (1,1) puntuan aldagai
bakoitzaren banan banako aldaketa txikiak (handitze edo gutxitze) funtzioaren balioan duen eragina.
29.- Enpresa batek bi erregai mota ekoizten ditu. Lehenengo motako x tona eta bigarren motako y tona
ekoiztearen kostu-funtzioa ( , ) 32 175 205 1050C x y xy x y da. Kalkulatu kostu marjinalak, hau da
C
x
eta C
y
deribatu partzialak, 80x eta 20y direnean. Zerk du eragin handiagoa kostuan,
handitze txiki batek x-n ala y-n?
30.- Cobb-Douglas ekoizpen-funtzioa 3 25 5( , ) 100Q L K L K da.
a) Kalkulatu lanaren produktibitate marjinala, hau da, Q
L
deribatua, 1.000L eta 500K
direnean.
b) Kalkulatu kapitalaren produktibitate marjinala, hau da, Q
K
deribatua, 1.000L eta 500K
direnean.
10
c) Zerk du eragin handiagoa ekoizpenean, 1.000L eta 500K denean, handitze txiki batek L-n
ala K-n?
31.- Kalkulatu funtzio hauen deribatuak norabide eta puntu hauetan:
a) 2 2( , ) 3f x y x y funtzioarena (1,1) norabidean eta (1, 2) puntuan.
b) 2( , ) ( 1)f x y x y funtzioarena ( 1, 2) norabidean eta (1,3) puntuan.
c) 2 43
( , )2
x yf x y
y x funtzioarena (2,1) norabidean eta (1,1) puntuan.
d) ( , )x y
f x yx y
funtzioarena (1, 1) norabidean eta (2,1) puntuan.
e) 2( )
( , )x y
f x yx
funtzioarena ( 1,1) norabidean eta (1,0) puntuan.
f) 2 2( , ) ex yf x y x y funtzioarena (1, 1) norabidean eta (1,0) puntuan.
g) ( , , )f x y z xy yz zx funtzioarena (1,1, 1) norabidean eta (1, 2,1) puntuan.
h) 2 3( , ) 2f x y x y funtzioarena ardatz-jatorriaren norabidean eta (2,3) puntuan.
i) ( , )x
f x yx y
funtzioarena (2,3) -rantz doan norabidean eta (1,1) puntuan.
32.- 2 2( , ) 50Q L K L K ekoizpen-funtzioa da.
a) Kalkulatu funtzioaren deribatua (1,1) norabidean (2,1) puntuan.
b) Irudikatu (2,1) puntuaren inguruko sestra-kurbak.
c) Irudikatu eta kalkulatu (2,1) puntuan zein norabidetan den deribatua positiboa (hazkunde-
norabideak).
33.- Irudikatu ( , ) 3 4f x y x y eta 2 2( , ) 3g x y x y funtzioen hazkunde-norabideak, hurrenez hurren,
(5,0) eta (1, 2) puntuetan.
34.- Demagun 2 2( , ) 4f x y x y funtzioa dela.
a) Irudikatu (0, 2) puntutik igarotzen den f funtzioaren sestra-kurba.
b) Egiaztatu grafikoki f funtzioaren gradientea (0, 2) puntuan eta puntu horretan sestra-kurbaren
zuzen ukitzailea perpendikularrak direla.
c) Kalkulatu funtzioaren deribatu direkzionala (1, 1) norabidean eta (0, 2) puntuan.
11
35.- ( , ) ln( )f x y x y utilitate funtzioa da.
a) Kalkulatu gradientea (2,1) puntuan.
b) Irudikatu (2,1) puntuaren inguruko sestra-kurbak.
c) Irudikatu eta kalkulatu (2,1) puntuan zein norabidetan den deribatua positiboa (hazkunde-
norabideak).
d) Egiaztatu gradientea eta ln(3) sestra-kurbaren zuzen ukitzailea (2,1) puntuan perpendikularrak
direla.
e) Kalkulatu ln(3) sestra-kurbaren zuzen ukitzailearen malda (2,1) puntuan.
36.- Demagun ( , ) ( 2)f x y x y funtzioa dela.
a) Kalkulatu gradientea (2,1) puntuan.
b) Kalkulatu (2,1) puntutik igarotzen den sestra-kurbaren zuzen ukitzailearen malda.
c) (1,1) norabidea hazkunde-norabidea da (2,1) puntuan?
37.- Aurkitu, gradientea erabilita, 2 23 2 6 8 3x y x y maila-kurbaren zein puntutan den zuzen ukitzailea
horizontala.
38.- Demagun 2( , ) 3f x y x y funtzioa dela.
a) Kalkulatu gradientea (1,1) puntuan.
b) Kalkulatu funtzioaren deribatu direkzionala (1, 2) norabidean eta (1,1) puntuan.
c) Idatzi eta irudikatu bi hazkunde-norabide eta beste bi gutxitze-norabide (1,1) puntuan.
39.- Demagun 10x y sestra-kurba dela. Kalkulatu sestra-kurbaren zuzen ukitzailearen malda edozein
puntutan.
40.- Demagun 2 22 2 8x xy y sestra-kurba dela.
a) Aurkitu (2, 0) puntuan zuzen ukitzailearen ekuazioa.
b) Aurkitu ukitzailea horizontala duten sestra-kurbako puntuak.
41.- Aztertu funtzio hauek homogeneoak diren eta, horrela bada, eman homogeneotasun-maila:
a) ( , ) 2f x y x y .
b) 2 2( , )f x y x y .
12
c) ( , )x
f x yy
.
d) 2
( , ) 5x
f x yy
.
e) 2 2( , )f x y x y x .
f) 3 2( , ) 2f x y x y x .
g) ( , ) 2f x y xy .
h) 3 14 4( , ) 10f x y x y .
i) 1 13 3
3
( , )f x y x y .
j) 1
( , )f x yxy
.
k) 3( , )f x y x y .
l) ( , )x y
f x yx y
.
m) 2 2
( , )x y
f x yx y
.
n) ( , ) min{3 , 2 }f x y x y .
42.- Egiaztatu funtzio hauetan Euler-en teorema betetzen dela:
a) 2( , )f x y x xy .
b) 3
1( , )f x y
x y .
43.- Egiaztatu Euleren teorema betetzen dela Cobb-Douglas ekoizpen-funtzio hauetan ( 1 2 3, , 0x x x ) eta
eman euren homogeneotasun-maila.
a) 1/3 1/3 1/31 2 3 1 2 3( , , ) 2f x x x x x x .
b) 1/3 2/31 2 3 1 2 3( , , ) 2f x x x x x x .
13
Murrizketarik gabeko optimizazioko ariketak
1.- Kalkulatu funtzio hauen mutur lokalak:
a) 2 2( , ) ( 1)f x y x y .
b) 4 2( , ) 4f x y x y x .
c) ( , )f x y xy .
d) 2( , ) 2f x y x y .
2.- Kontsidera ditzagun hiru funtzio hauek:
a) 4 4( , )f x y x y .
b) 4 4( , )f x y x y .
c) 3 3( , )f x y x y .
Frogatu (0,0) puntua hiru funtzioentzako kritikoa dela eta hessiarra, puntu horretan, zero egiten dela.
Funtzioak zuzenean aztertuz, frogatu (0,0) puntua a) kasuan maximoa dela, b) kasuan minimoa eta c)
kasuan ez dela ezer.
3.- Kalkulatu funtzio hauen mutur globalak:
a) 2 2( , ) 2 2 2 36 42 158f x y x xy y x y .
b) 2 2( , ) 6 8 35f x y x y x y .
4.- Demagun 3 4( , ) 3 4f x y x x y y funtzioa dela.
a) Kalkulatu funtzioaren mutur lokalak.
b) Lortutako mutur lokaletatik, baten bat globala da?
Optimizazioko ariketak berdintza-murrizketekin
5.- Kalkulatu dagozkien murrizketei baldintzatutako funtzio hauen mutur lokalak:
a) ( , )f x y x y funtzioa 2 2 1x y ekuazioari baldintzatua.
b) 2 2( , )f x y x y funtzioa 2 1x y ekuazioari baldintzatua.
c) 2 2( , ) ( 2) ( 1)f x y x y funtzioa 0y ekuazioari baldintzatua.
d) 2 2( , ) ( 2)f x y x y funtzioa 2x y ekuazioari baldintzatua.
e) 2 2( , ) 10 8 2f x y x y x y funtzioa 4x y ekuazioari baldintzatua.
14
Optimizazioa multzoetan. Ariketak
6.- Kalkulatu funtzio hauen mutur globalak dagozkien multzoetan:
a) ( , ) 2f x y x y , 2 2{( , ) / 4, 0, 2 4}X x y x y x x y .
b) ( , )f x y x y , 2 2{( , ) / , 2}X x y y x x y .
c) 2 2( , ) ( 1) ( 2)f x y x y , 2{( , ) / 2 0, 3, 0}X x y x y x x y .
d) 2 2( , ) ( 1)f x y x y , 2 2{( , ) / 1, 3}X x y y x y .
e) 2 2( , ) 2 2f x y x y x , 2 2 2{( , ) / 1}X x y x y .
f) 2( , )f x y y x , 2 2 2{( , ) / 4, }X x y x y x y .
g) 2 2( , ) ( 2) ( 1)f x y x y , 2{( , ) / 0, }X x y x x y .
h) 2( , ) ( 1)f x y y x , 2{( , ) / 2 2, 2 2 2}X x y x x y .
i) ( , ) 4f x y x xy y , 2 2{( , ) / 2, 0}X x y x y x y .
j) 2( , )f x y xy , 2 2{( , ) / 1, 0, 0}X x y x y x y .
k) ( , ) ( 1)( 2)f x y x y , 2{( , ) / 3, 2 , 2 }X x y x y x y y x .
l) ( , ) ( 2)f x y x y , 2{( , ) / 6, 0, 0}X x y x y x y .
m) ( , )f x y xy , 2 2{( , ) / 4, 2}X x y x y x y .
n) ( , )f x y xy , 2 2{( , ) / 6, 1, 0}X x y x y x y .
Optimizazioaren aplikazioak. Ariketak
7.- Enpresa batek A eta B bi ondasun mota ekoizten ditu. A motako x unitate eta B motako y unitate
fabrikatzeko eguneroko kostua ( , )C x y funtzioak ematen du:
2 2( , ) 0,04 0,01 0,01 4 2 500C x y x xy y x y .
Enpresak ekoizten duen guztia saltzen du, A motako unitate bakoitza 15 eurotan eta B motako unitate
bakoitza 9 eurotan. Aurkitu enpresaren produkzioa mozkina maximizatu nahi badu.
8.- 1/2 1/2( , )y f K L K L enpresa baten ekoizpen-funtzioa da, K kapitala eta L lana izanik. Lanaren prezio
unitarioa 1Lw bada eta kapitalarena 4Kw bada, zenbat kapital eta lan unitate erabili beharko du
enpresaren helburua kostu txikienarekin 2 unitate produzitzea bada?
15
9.- Enpresa batek 1 eta 2 ondasunak ekoizten ditu. Salmenta-prezio unitarioak 1 200p € eta 2 360p €
dira, hurrenez hurren. Kostu funtzioa hau da:
2 21 2 1 1 2 2( , ) 2 2 10000C q q q q q q .
Kalkulatu ondasun bakoitzetik ekoiztu behar dituen 1q eta 2q kantitateak mozkina maximizatzeko.
10.- Enpresa batek 1 eta 2 faktoreak erabiltzen ditu ondasun bat ( , )z f x y xy produkzio-funtzioaren
bitartez ekoizteko, x eta y produkzioan erabilitako faktore kopuruak (kilogramotan) eta z ekoiztutako
ondasun kopurua (kilogramotan) izanik. 1 faktorearen prezioa 30 € kilogramoko eta 2 faktorearena 10
€ kilogramoko dira eta enpresaren aurrekontua 12000 eurokoa da.
a) Aurkitu enpresak erabili behar dituen 1 eta 2 faktoreen kantitateak produkzioa maximizatzeko
aurrekontua gainditu gabe.
b) Merkatuaren arazoak direla eta, enpresak ezin badu 2 faktoretik 300 kg baino gehiago erabili, zein
izango litzateke soluzioa?
11.- Kontsumitzaile batek 1 eta 2 ondasunak eros ditzake. 1 ondasunaren prezioa unitateko 2 eurokoa da eta
2 ondasunarena 4 eurokoa. Ondasun hauek erosteko aurrekontua 112koa da. 1x eta 2x 1 eta 2
ondasunetatik kontsumitutako kantitateak dira, hurrenez hurren. Ondasun bakoitzetik zenbat gastatuko
du kontsumitzaileak, 2 21 2 1 2 1( , ) 2 1U x x x x x funtzioak neurtzen duen baliagarritasuna maximizatu
nahi badu?
12.- Kontsumitzaile batek 1 eta 2 ondasunak eros ditzake. Haren baliagarritasun funtzioa 1 2 1 2( , )U x x x x da.
1 ondasunaren prezio unitarioa 2 da eta 2 ondasunarena 3. Bi ondasunen artean, gehienez, 360 euroko
aurrekontua gasta dezake. 1 ondasunaren unitate bat kontsumitzeko ordu bat behar du, eta 2 ondasunaren
unitate bat gastatzeko, aldiz, 4 ordu; guztira 280 ordu du ondasunak kontsumitzeko. Kalkulatu ondasun
bakoitzetik erositako 1x eta 2x kantitateak baliagarritasuna maximizatzeko.
2
1 2 1 2( , )U x x x x baliagarritasun-funtzio berria bada, aztertu soluzio hoberena aldatzen den.
13.- Mea baten ekoizlea den herrialde bat, urtero, 2000 tona mea baino gehiago eta 4000 tona baino gutxiago
esportatzera behartuta dago. Produktuaren salmenta nazioarteko merkatuan egin daiteke, non tonako
prezioa 2000 eurokoa den, edo bestela, ondoan dagoen herrialde batean sal dezakete, non tonako prezioa
5000p x den, x herri horretan saldutako tonak izanik. Herrialdeko gobernuak jakin nahi du
ekoiztutako meatik zein kantitate salduko duen nazioarteko merkatuan (y) eta zein kantitate ondoko
herrialdean (x), helburua sarrerak maximizatzea bada.
16
Programazio lineala
14.- Gatza saltzen duen enpresa bat bi gatzaga desberdinetik hornitzen da. Hilero, gehienez, A gatzagatik 600
tona gatz eta B gatzagatik 1400 tona gatz har dezake; gatz hauek nahasiz, kalitate desberdineko bi gatz-
mota lor daitezke: lehen mailako gatzak 0,25 €/kg. balio du merkatuan eta bigarren mailakoak, ordea,
0,2 €/kg. Lehen mailako 1 tona gatz, A motako 0,2 tona eta B motako 0,8 tona gatz nahasiz lortzen da;
eta 2. mailako 1 tona gatz, A motako 0,4 tona eta B motako 0,6 tona gatz nahasiz.
Aurkitu hilero prestatu behar diren 1. eta 2. mailako gatzen kantitateak sarrerak maximizatzeko.
15.- Abere batzuen janaria A, B, C eta D lau osagaiek osatzen dute. Abere bakoitzak egunero, gutxienez, 0,4
kg A osagai, 0,6 kg B osagai, 2 kg C osagai eta 1,7 kg D osagai behar ditu. Merkatuan, osagai hauek
dituzten M eta N produktuak aurki daitezke non 1 kg M-k, 0,1 kg A, 0,1 kg C eta 0,2 kg D dituen, eta 1
kg N-k, 0,1 kg B, 0,2 kg C eta 0,1 kg D dituen. M produktuaren prezioa kilogramoko 10 eurokoa da eta
N-rena 4 eurokoa da.
Aurkitu M eta N produktuen kantitateak eguneko eta abereko, abereen beharrak asetzen dituen kostua
minimizatzeko.
16.- Enpresa inkestatzaile batek ikerketa bat kontratatuta du eskakizun hauekin: gutxienez, 1000 elkarrizketa
egin behar dituzte (telefonoz edo pertsonalak). Hauetatik, gutxienez, 300ek pertsonalak izan behar dute.
Gutxienez 500 (pertsonalak edo telefonoz eginak) gauez egin behar dira. Egunez egindako
elkarrizketetatik gutxienez %60 telefonoz egin behar dira. Elkarrizketen kostuak hauek dira: eguneko
elkarrizketa pertsonala, 8 €; gaueko elkarrizketa pertsonala, 8,4 €; telefonoz eginiko eguneko
elkarrizketa, 4 € eta telefonoz eginiko gaueko elkarrizketa, 4,8 €. Planifikatu elkarrizketak kostua
minimoa izan dadin.
17.- Petrolio banaketaz arduratzen den enpresa batek bi portu desberdinetan dauden G1 eta G2 gordelekuak
ditu, hauen edukiera 140 eta 40 tona, hurrenez hurren, izanik. B1 eta B2 bezeroen eskakizunak 100 eta
50 tona, hurrenez hurren, dira. B1 G1-etik 60 kilometrotara dago eta G2-tik 30 kilometrotara; B2 G1-etik
80 kilometrotara dago eta G2-tik 20 kilometrotara. Garraioaren kostua tonako eta kilometroko K
kantitate finkoa da. Nola banatuko dira eskakizunak kostua minimizatzeko?
18.- Artisau-enpresa batek zurezko markoak egiten ditu bi bukaera desberdinekin: kalitate arrunta eta kalitate
handia. Marko horiek azoketako postuetan saltzen ditu, kalitate arruntekoa 20 eurotan eta kalitate
handikoa 35 eurotan. Kalitate arrunteko marko bakoitzak 10 euroko kostua du (zura, pintura eta
eskulana) eta kalitate handikoak, aldiz, 20 eurokoa.
17
Marko guztiak bi lantegi desberdinetatik pasatzen dira: moldekatzea eta pintura. Ondoko taulan lantegi
bakoitzean marko bakoitzak ematen dituen orduak, hala nola lantegi bakoitzaren gehienezko
erabilgarritasuna dugu:
Kalitate arrunta Kalitate handia Erabilgarritasuna
Moldekatzea 2 ordu/marko 2 ordu/marko 60 ordu/aste
Pintura 1 ordu/marko 3 ordu/marko 60 ordu/aste
Gainera, eskaria dela eta, kalitate arrunteko markoen produkzioa, gehienez, asteko 24 unitatera murriztu
behar du enpresak eta, gutxienez, bi kalitatekoen artean 10 marko egin behar ditu.
a) Enpresak egiten duen guztia saltzen badu, formulatu eta ebatzi programazio linealeko problema
astean mota bakoitzeko zenbat marko produzitu behar dituen aurkitzeko, mozkina maximizatuz.
b) Interesatuko litzaioke enpresari moldekatze-lategian ordu erabilgarri gehiago edukitzea? Hala
bada, zenbat ordainduko luke, gehienez, aparteko ordu bakoitzarengatik?
c) Hasierako egoeran, kalkulatu noraino alda daitekeen kalitate handiko marko bakoitzaren kostua,
kalitate arrunteko markoen kostua aldatu gabe, a) atalean lortutako soluzioa hoberena izaten
jarraitzeko.
d) Kalkulatu mota bakoitzeko markoen produkzio-plangintza asteko kostua minimizatzeko.
19.- Fabrika batek aldagailuak eta motorrak egiten ditu. Fabrika hiru lantegitan zatituta dago. A lantegiak
makinen zati aktiboak egiten ditu, aldagailuko 3 ordu eta motorreko ordu erdia erabiliz. B lantegiak
makinen karkasak egiten ditu, aldagailuetarako nahiz motorretarako karkasako 4/3 ordu erabiliz. C
lantegiari azkeneko muntaia dagokio, aldagailuko 4/3 ordu eta motorreko 2/3 ordu erabiliz.
a) Aldagailu bakoitzeko mozkina 80 eurokoa eta motor bakoitzekoa 60 eurokoa badira, eta lantegi
bakoitzeko lanorduak astean, gehienez, 40 ordu badira, kalkulatu mozkina maximizatuko duen
asteroko aldagailuen eta motorren produkzioa.
b) Lortutako produkzio hoberenean hiru lantegien lanordu posible guztiak erabiltzen dira?
c) Aldagailuen mozkina 80 eurotan mantentzen badute, zenbatekoa izan beharko luke motor
bakoitzarenak, mozkin maximoa a)-n lortutako kantitateak eginez edo motorrak soilik eginez
lortzeko.
d) B lantegian lanorduen mugarik ez balitz, aparteko orduak sartuz, zein izango litzateke mozkina
maximizatuko duen asteko produkzioa?
20.- Enpresa batek, A eta B lehengaiak erabiliz, K1 eta K2 bi produktu konposatu egiten ditu. K1en tona bat
egiteko, tona bat A eta tona bat B behar du eta K2ren tona bat egiteko, tona bat A eta bi tona B. Enpresak,
egunero, 700 tona A eta 1200 tona B erabil dezake. Gainera, ekoizpen prozesuak ez du uzten K1en
18
produkzioa ekoizpen totalaren % 75 baino gehiago izaten. K1 produktu konposatuaren prezioa tonako
2000 euro da eta K2rena 3000 euro.
a) Formulatu eta ebatzi programazio linealeko problema, enpresak eguneroko sarrera maximizatu
nahi badu.
b) Aurreko atalean lortutako soluzio hoberena aldatu gabe, zein izan daiteke K1en preziorik
handiena? (problemaren beste datuak finkoak mantentzen dira).
c) Interesatuko litzaioke enpresari B lehengaiaren tona gehiago eskuratzea? Hala bada, B
lehengaiaren tona bakoitzeko, gehienez, zenbat ordainduko luke?
21.- Baserritar batek behi-ustiapenean dihardu. Behien elikadura alpapa eta erremolatxa da. Alpapa tona
bakoitzean A motako elikagaiaren 20 unitate eta B motako elikagaiaren 30 unitate daude eta erremolatxa
tona bakoitzean, A motako elikagaiaren 30 unitate eta B motako elikagaiaren 25 unitate. Baserrian,
egunero beharrezkoa den A motako elikagaiaren unitateak 600 dira eta B motako elikagaiarenak, 800.
Alpapa tona batek 250 balio du eta erremolatxa tona batek 200. Hauxe eskatzen da:
a) Baserritarrarentzako kostua minimoa izateko egunero erosi behar diren alpapa eta erremolatxa
tona kopurua.
b) Abereen dietan A motako elikagaia gehitu nahi bada, hasierako soluzio hoberena aldatu gabe,
zenbatetan egin daiteke?
c) Zein izango litzateke soluzio hoberena erremolatxaren prezioa 300ra garestitzen bada?
22.- Nekazari batek 1000 hektarea ditu garia eta garagarra landatzeko. Tona bat gari lortzeko 2 hektarea
behar ditu eta tona bat garagar lortzeko hektarea bat. Tona bat gari lortzeko, kostua ongarrietan, hazietan,
makinarian etab. 120 eurokoa da eta tona bat garagar lortzeko kostua, 30 eurokoa. Nekazariaren
aurrekontua 42000 eurokoa da. Bestalde, Administrazioak ez dio uzten 800 hektarea baino gehiago
erabiltzen garagarra landatzeko, eta prezioak garirako 200 eurotan tonako eta garagarrerako 130 eurotan
tonako finkatu ditu. Mozkin handiena lortzeko, zenbat hektarea utziko dio laborantza bakoitzari?
Interesatuko litzaioke nekazariari landa gehiago alokatzea? Hala bada, zenbat hektarea alokatuko luke
eta zein preziotan? Administrazioak haziak, ongarriak, etab. erosteko kostu txikiko maileguak
eskaintzen baditu, interesatuko litzaioke nekazariari eskatzea?, zergatik? Administrazioak gariaren
produkzioa handiagoa izatea nahi izango balu, garagarraren prezioa 60ra tonako jaistea, politika egokia
izango litzateke?, zergatik? Prezio berri hau finkatuko balu, interesatuko litzaioke nekazariari aipatutako
maileguak hartzea?
23.- Meatze enpresa batek lignitoa eta antrazita ekoizten ditu. Ekoiztutako guztia sal dezake. Saldutako
lignito tona bakoitzeko mozkina 20 eurokoa da eta antrazitakoa, berriz, 40 eurokoa. Ekoizpen prozesuak
19
hiru fase ditu: mearen mozketa, aukeraketa eta garbiketa. Lignito nahiz antrazita tona bat ekoizteko fase
bakoitzean dauden makinak erabiltzea ezinbestekoa da, hurrengo taulan jasotzen diren denboren arabera
(ordutan neurtuta). Bertan, makina bakoitzaren asteko edukiera (erabilgarritasun ordu kopuru maximoa)
ere ematen da:
Ebaketa Aukeraketa Garbiketa
Lignitoa 3 0 4 Antrazita 4 4 2
Edukiera 60 48 48
a) Enpresak mea bakoitzetik asteko zenbat tona ekoiztuko ditu helburua mozkinak maximizatzea
bada?
b) Antrazitaren tonako mozkina aldatzen ez badute, zenbatekoa izan beharko luke lignitoaren tona
bakoitzaren mozkina garbiketa faseko makineriaren edukiera agortzeko?
c) Enpresa prest legoke faseren batean duen ordu edukiera handitzeko? Horrela balitz, zenbat ordu
eta zer preziotan?
d) Eskaria kontuan hartuz, asteko lignitoaren tona kopuruak ezin badu antrazitarenak 4 tonatan baino
gehiagotan gainditu, zer gertatuko litzateke problemaren soluzio hoberenarekin?
24.- Demagun problema hau dela:
Max (20 )
2 50
34
2 0
0, 0
x ay
x y
x y
x y
x y
a) Kalkulatu problemaren soluzio hoberena 10a denean.
b) Kalkulatu problemaren soluzio hoberena 0a balio ezberdinetarako.
c) x astero A produktutik ekoiztutako tonak eta y astero B produktutik ekoiztutako tonak badira,
formulatu murrizketa hauek:
i) B-ren produkzioa, gehienez, produkzio totalaren %70 izan behar da.
ii) A-ren produkzioa, gutxienez, B-rena bezain beste izan behar da eta gehienez B-ren bikoitza.
20
Integrazioa
1.- Kalkulatu integral bikoitza hauek:
a) 2( 3 )R
y x xy dx dy , 0,1 1,3R izanik.
b) (1 )e y
R
x dx dy , R (0,0), (1,0), (1,1) eta (0,1) erpinak dituen errektangelua izanik.
c) 3ex y
R
dx dy , [0,1] [0,1]R izanik.
d) 2e x y
R
dx dy , [1, 2] [ 1,1]R izanik.
2.- Kalkulatu integral hauek:
a) 2 2( )R
x y dx dy , 2 2{( , ) / , 1 1, 0}R x y y x x y izanik.
b) 2R
xy dx dy , 2 2 2 2{( , ) / 2, , 0 1}R x y x y x y y izanik.
c) R
y dx dy , 2 2 2{( , ) / 0, 0, 4 9}R x y y x x y izanik.
d) R
xy dx dy , 2 2{( , ) / , 2 }R x y x y x y izanik.
e) 2R
dx dy , 2{( , ) / 2, 4 2, 2 4}R x y x y x y x y izanik.
3.- Kalkulatu ( , )z f x y azalera eta R barrutiaren arteko bolumena:
a) ( , )f x y x y eta 2{( , ) / 0, 0, 1}R x y x y x y .
b) ( , ) ex yf x y eta 2{( , ) / 1, 1, 1, 1}R x y x y x y x y x y .
c) 2 2( , )f x y x y eta 2{( , ) / 2 1, 2 }R x y x x y x .
d) 2( , )f x y x y eta 2{( , ) / , , 2}R x y x y x y y .
21
4.- Integral bikoitza erabiliz, kalkulatu multzo hauen azalera (kasu bakoitzean, adierazi grafikoki barrutia
eta integrala kalkulatzeko aukeratutako deskonposaketa):
a) 2 2 2{( , ) / / 2, , 2 }R x y y x y x y x .
b) 2 2 2{( , ) / 3 4 1, 1, 0 4, 0}R x y y x yx y x .
c) 2{( , ) / 0, 16, 8, 0}R x y y xy x x y .
d) 2 2{( , ) / , 2, 2}R x y x y y x y x .
22
Kalkulu diferentzialeko ariketak. Erantzunak
1.-
a) (0,1) fr( )A , (4,3) fr( )A , (2, 2) fr( )A .
b) (0,0) fr( )B , (4, 2) fr( )B , (2,0) fr( )B .
c) (1,1) fr( )C , ( 1, 1) fr( )C , (2,1) fr( )C .
2.-
a) A1 bornatua eta ganbila da. A2 itxia, bornatua, trinkoa eta ganbila da. A3 irekia, bornatua eta ganbila
da.
b) B bornatua eta ganbila da.
(0,1)
(2,2)
(4,3)
A
B
(2,0)
(4,2)
(0,0)
C
C
(1,1)
(1,1)
(2,1)
A1
A2
A3
( 0
] 4
[ 1
] 2
( 1
) 2
(4,3)
(4,1)
B
23
c) C itxia, bornatua, trinkoa eta ganbila.
d) D irekia, bornatua eta ganbila da.
e) E bornatua da.
f) F itxia, bornatua, trinkoa eta ganbila da.
g) G itxia da.
h) H bornatua eta ganbila da.
i) I itxia eta ganbila da.
C
(2,0)
(0,2)
D
(2,0) E
F (4,2)
(1,0)
G
G
(2,1)
(2,1)
H
I (0,5)
24
j) J itxia eta ganbila da.
k) K bornatua eta ganbila da.
l) L itxia eta ganbila da.
m) M bornatua eta ganbila da.
n) N bornatua eta ganbila da.
3.-
1 1(3,3) ( 2,1) (8,5) , .
2 2a b a b Konbinazio lineala da.
8 2(0, 2) ( 2,1) (8,5) , .
9 9a b a b Ez da konbinazio lineala.
J
(1,1)
K
(1,1)
L
M
(1,-2)
(-1,2)
N
(8,5)
(2,1)
(3,3) (0,2)
25
4.-
a) 2{( , ) / 0}E x y xy itxia da.
b) 2{( , ) / 0}E x y xy irekia da.
c) 2{( , ) / 0} {(0,0)}E x y xy .
d) 2{( , ) / , 0}E x y x y irekia da.
e) 2{( , ) / 0}E x y x irekia eta ganbila da.
f) 2{( , ) / 0, 0}E x y x y ganbila da.
g) 2{( , ) / 0, 0}E x y x y x y .
E
E
E
E
E (0,0) kenduta
E
E
E
E
E
E
26
h) 2 2{( , ) / 1} {( , ) / 1}E x y x x y x itxia da.
i) 2 2{( , ) / 0}E x y x y itxia eta ganbila da.
5.-
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
E E
E
+
+
++
++
+
+
+
+
x=2
++
++
x=3
27
i) j)
k) l)
m)
6.-
a) 2fE .
b) 2 2{( , ) / }gE x y x y .
c) 2 2 2 2{( , ) / 0} {(0,0)}hE x y x y .
7.-
a) 1 0
( , ) ( , )( , ) lim
h
f x h y f x yf x y
h
2 2 2 2
0
( ) 2( ) 2lim 2 2 .h
x h x h y y x xy yx y
h
2 0
( , ) ( , )( , ) lim
h
f x y h f x yf x y
h
2 2 2 2
0
2 ( ) ( ) 2lim 2 2 .h
x x y h y h x xy yx y
h
b) 10 0
11(1 ,0) (1,0) 1(1,0) lim lim 1.
h h
f h f hfh h
++
+
++
+
28
2 0 0
11(1, ) (1,0) 1(1,0) lim lim 1.
h h
f h f hfh h
8.- 1( (2,1))f C B da eta 1
( , ) (2,1) : ( , )x y B f x yx y
, beraz, 1 2
1( , )
( )f x y
x y
eta
2 2
1( , )
( )f x y
x y
dira eta 1(2,1) 1f eta 2 (2,1) 1f dira.
(0,0) puntuan definizioa erabili behar dugu:
1 20 0
( ,0) (0,0) 1(0,0) lim lim
h h
f h ff
h h
2 20 0
(0, ) (0,0) 1(0,0) lim lim
h h
f h ff
h h
9.- 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( )( , )
( ) ( )
y x y x y y y xf x y
x y x y
eta 1(1,1) 0f .
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 ( )( , )
( ) ( )
x x y xy x x yf x y
x y x y
eta 2 (1,1) 0f .
Baina (0,0) puntuan definizioarekin kalkulatu behar ditugu deribatuak:
1 0 0
( ,0) (0,0) 0(0,0) lim lim 0
h h
f h ff
h h
.
2 0 0
(0, ) (0,0) 0(0,0) lim lim 0
h h
f h ff
h h
.
10.-
a) 1( , ) 6 5f x y xy y eta 2 22 ( , ) 3 5 21f x y x x y .
b) 21( , ) 4 ( 1)f x y x x y eta 2
2 ( , ) 2( 1)f x y x y .
c) 3
1 2
2( , )
x yf x y
y x eta
2 2
2 2
3( , )
x yf x y
y x .
d) 1 3 2
2 1( , )
yf x y
x y eta 2 2 3
1 2( , )
xf x y
x y .
e) 2
1
ln( )( , )
2
yf x y
x y
eta
2
2
2ln( )( , )
2
x yyf x y
yx y
.
f) 2 3
1
2 e( , )
x yxf x y
y
eta 2 3 3
2 2
e (3 1)( , )
x y yf x y
y
.
29
g) 21( , ) ln(2) 2xyf x y y eta 2 ( , ) ln(2) 2 2xy xyf x y xy .
h) 3 2 31( , ) 2 sin(3 ) 3 cos(3 )f x y x x y x x y eta 2 2 3
2 ( , ) 3 cos(3 )f x y x y x y .
i) 2 4
2 2 21 2 2
2( , ) ln(2 )
2
x yf x y y x y
x y
eta
3 32 2
2 2 2
2( , ) 2 ln(2 )
2
x yf x y xy x y
x y
.
j) 2
1 2( , )
2 ( )
xy yf x y
xy x y
eta
2
2 2( , )
2 ( )
x xyf x y
xy x y
.
k) 1 2
1( , )
1 1
x yf x y
y x
eta
2
2
1 1( , )
2 2 1
xf x y
y y
.
l) 2
1
2( , ) sin
x x yf x y
y y
eta
2 2
2 2( , ) sin
x x yf x y
y y
.
m) 2
1 2
2 ln( )( , )
y xf x y
y x
eta
2
2 2
4 ln( )( , )
y y xf x y
y x
.
n) 2
2 21 2
e( , ) e
2
x yx yf x y x y
x y
eta
2
2 22 2
e( , ) 2 e
x yx y y
f x y y x yx y
.
11.-
a) 1( , )f x y y eta 2 ( , )f x y x funtzio jarraituak dira 2 -n, beraz, 1 2( )f C .
1(2, 1) 1f eta 2 (2, 1) 2f .
b) 1
1( , )f x y
y eta 2 2
( , )x
f x yy
.
2{( , ) / 0}fE x y y izanik, 1 2,f f jarraituak dira fE -n, beraz, 1( )ff C E .
1(2, 1) 1f eta 2 (2, 1) 2f .
c) 1( , ) 2 3f x y x y eta 2 ( , ) 3 2f x y x y funtzio jarraituak 2 -n, beraz, 1 2( )f C
1(2, 1) 7f eta 2 (2, 1) 8f .
d) / /e ex y x yx
xz
y eta
2/
2ex y
y
xz
y .
2{( , ) / 0}zE x y y izanik, ,x yz z jarraituak dira zE -n, beraz, 1( )zz C E .
2
1(2, 1)
exz eta 2
4(2, 1)
eyz .
e) 1
1( , )
2f x y
x eta 2
1( , )
2f x y
y .
2{( , ) / 0}fE x y xy izanik, 1 2,f f jarraituak dira fE -n, beraz, 1( )ff C E .
30
1
1(4,1)
8f eta 2
1(4,1)
2f .
f) 2
2
4x
x yz
y x eta
2
2
8
2y
x yz
y x .
2{( , ) / , 0}zE x y x y izanik, ,x yz z jarraituak dira zE -n, beraz, 1( )zz C E .
(2, 1) 3xz eta (2, 1) 6yz .
g) 2 2( )
1( , ) 2 e x yf x y x eta 2 2( )
2 ( , ) 2 e x yf x y y jarraituak 2 -n, beraz, 1 2( )f C .
1
2(1,0)
ef eta 2 (1,0) 0f .
h) 1( , ) e cos( )yf x y y xy eta 2 ( , ) e sin( ) e cos( )y yf x y xy x xy jarraituak dira 2 -n, beraz,
1 2( )f C da. 1(1,0) 0f eta 2 (1,0) 1f .
i) 1 2 2( , )
1
xf x y
x y
eta 2 2 2
( , )1
yf x y
x y
jarraituak dira 2 -n: 1 2( )f C .
1
1(1,0)
2f eta 2 (1,0) 0f .
j) 1( , , ) e cos( )xf x y z y z , 2 ( , , ) e sin( )xf x y z y eta 3( , , )f x y z x funtzio jarraituak dira 3
osoan, beraz, 1 3( )f C .
1(1,0,0) ef , 2 (1,0,0) 0f eta 3(1,0,0) 1f
k) 1( , , ) e yzf x y z , 2 ( , , ) e yzf x y z xz eta 3( , , ) e yzf x y z xy funtzio jarraituak dira 3 -n, beraz,
1 3( )f C .
1(1,0,0) 1f , 2 (1,0,0) 0f eta 3(1,0,0) 0f .
12.- ( , ) ( , )( , ) ( ( , ) ( , ))e f x y g x yx x xF x y f x y g x y .
(1,1) (1,1) 5(1,1) ( (1,1) (1,1))e 4ef g
x x xF f g .
13.-
a) 2 2
3 2 111
12
( , ) 12 6( , ) 4 6
( , ) 12
f x y x yf x y x xy
f x y xy
212 32 2
22
( , ) 12( , ) 6 4
( , ) 6 12
f x y xyf x y x y y
f x y x y
31
b) 11
1
12 2
( , ) e tan( )
( , ) e tan( ) e( , )
cos ( )
x
x x
f x y y
f x y yf x y
y
21 2
2 2
22 3
e( , )
cos ( )e( , )
cos ( ) 2e sin( )( , )
cos ( )
x
x
x
f x yy
f x yy y
f x yy
c)
2
2
2 2
4112
1 312
( , ) 2 e( , ) 2 e
( , ) 4 e 4 e
xyxy
xy xy
f x y yf x y y
f x y y xy
2 2
2
2 2
321
2 2 222
( , ) 4 e 4 e( , ) 4 e
( , ) 4 e 8 e
xy xyxy
xy xy
f x y y xyf x y xy
f x y x x y
d) 111
12
( , ) e( , ) e e
( , ) e e
xy x
y x
f x y yf x y y
f x y
212
22
( , ) e e( , ) e e
( , ) e
y xy x
y
f x yf x y x
f x y x
e) 11
3121
213
( , , ) 2
( , , ) 2( , , ) 2
( , , ) 3
f x y z y
f x y z xf x y z xy z
f x y z z
21
2222
23
( , , ) 2
( , , ) 2( , , ) 2
( , , ) 2
f x y z x
f x y z zf x y z x yz
f x y z y
231
2 23 32
33
( , , ) 3
( , , ) 3 ( , , ) 2
( , , ) 6
f x y z z
f x y z xz y f x y z y
f x y z xz
14.- 2 2
z x
x x y
eta
2 2
z y
y x y
.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( )
z x y x x y
x x y x y
.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( )
z x y y x y
y x y x y
.
32
15.-
a) ( , ) ln( ) ( )x yx
x yf x y xy xy
x
eta ( , ) ln( ) ( )x y
y
x yf x y xy xy
y
.
b) 2 2(2 ) (1 )( , ) (2 )e ex y y
xf x y x y eta 2 2(2 ) (1 )1
( , ) e e2
x y yyf x y x y
.
c) 22( , ) (1 )
1y y
x
y yf x y x x
x x
eta 2( , ) ln( ) 2 ln(1 ) (1 )y yyf x y x x x x .
d) 2 22
( , ) 1 2ln( ) e ( )x y xx
xf x y x y x y
x y
eta
2 22( , ) 2 e ( )x y x
y
xf x y y x y
x y
.
16.- 2 2
2
( ) ( )
( )
( )e e( , , , )
e
x y
z
f x y zx y z
.
17.- 1 12( , , ) (1 ) (1 )
1x x y yg x y x y
x y p p p p pp p p
.
18.- 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2
4 4 4 24( , , , ) e e ex y zf x y zx y z
.
19.-
a) 2 2 2 22 2
2 ( )( , ) ln( ) ( )x yf x x yx y x y x y
x x y
eta (1,0) 2
f
x
.
b) ( , , ) (1 )1
x y xf x y xx y p p p
p p p
eta
11,0, 4
2
f
p
.
c) 2 2 2 2 4( , , ) 2 ln( ) 2 ln( ) 4 ln( ) 4 x p y p pfx y p p x p y p x y p
p
eta (1,1,1) 4f
p
.
20.-
2 2 22 cos( ) ( 2 )e 2e sin( ) cos( ) e sin ( ) 2e .x x x xdz z du z dvuv x u v x x x
dx u dx v dx
x
33
21.-
2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 4
( )( ) ( )( ) ( )( )
3 .
z z u z v z wvw uw uvy x y xy x y xy x y x y y
x u x v x w x
x y xy x y xy x y y x y y
2 2
2 2 3 2 2 3 3 3 3 3
2 ( )( ) ( )( ) 2( )( )
2 2 2 4 .
z z u z v z wvw uw uvxy x y xy x y xy x y x y xy
y u y v y w y
x y xy x y xy x y xy x y xy
22.-
a) 1
'( )2
xz g x yx y
eta 1
'( )2
yz g x yx y
.
b) 3 22 '(2 )xz y f x y eta 2 2 4 23 (2 ) 2 '(2 )yz y f x y y f x y .
c) 2 33 (2e ) 2 e '(2e )x y x y x yxz x y g x y g eta 3 3(2e ) 2 e '(2e )x y x y x y
yz x g x y g .
d) 2 'x
xz y g
y
eta 23 'y
x xz y g xy g
y y
.
e) 2 2 2 2 2 2( sin( )) (1 cos( )) '( sin( ))xz f xy xy xy xy f xy xy eta
2 2 2 22 (1 cos( )) '( sin( ))yz x y xy f xy xy .
f) 2
2' 'x
x x x y yz f f g
y y y x x
eta 2
2' 'y
x x y y yz f g g
y y x x x
.
g) 1 23 (3 6 , ) (3 6 , )xz g x y y xy yg x y y xy eta
1 26 (3 6 , ) (1 ) (3 6 , )yz g x y y xy x g x y y xy .
h) 1e (e ,cos( ))xy xyxz y f y eta 1 2e (e ,cos( )) sin( ) (e ,cos( ))xy xy xy
yz x f y y f y .
i) 2 2
2 21 2
10, 10 ,x
x x xz f x y x f x y
y y y
eta
2 2 22 2
1 22
5, 5 ,y
x x xz f x y f x y
y y y
.
j) 2 2 22 2 2
1 22 ( 2 ,e ) 2 e ( 2 ,e )x y x y x yxz y y f y xy xy f y xy eta
2 2 22 2 21 22 (2 2 ) ( 2 ,e ) e ( 2 ,e )x y x y x y
yz xy y x f y xy x f y xy
x y
34
23.- (3 cos( )) '(3 sin( ))z
y y xy f xy xyx
eta (3 cos( )) '(3 sin( ))
zx x xy f xy xy
y
.
(1,0) 0
z
x
eta (1,0) 8
z
y
.
24.- 2 2 2 2 2 22 2 2 2
1 22 ( ,e ) 2 e ( ,e )x y x y x yzxf x y x f x y
x
.
2 2 2 2 2 22 2 2 21 22 ( ,e ) 2 e ( ,e )x y x y x yz
yf x y y f x yy
.
2 2 2 21 2(1,1) 2 (2,e ) 2e (2,e ) 4 4e
zf f
x
.
2 2 2 21 2(1,1) 2 (2,e ) 2e (2,e ) 4 4e
zf f
y
.
25.- 2 214 (4( ), )
zy g x y y
x
.
2 2 2 21 22 (4( ), ) 4 (4( ), ) 2 (4( ), )
zy g x y y y g x y y y g x y y
y
.
1(0,1) 4 (4,1) 4z
gx
.
1 2(0,1) 2 (4,1) 4 (4,1) 2 (4,1) 6z
g g gy
.
26.- 2 2 2 2 2 21 22
2 2' (3 , ) 3 (3 , ) 2 (3 , )
z y yf y g x y x y xy g x y x y x g x y x y
x x x
.
1 2(1,1) 2 '(2) (2,0) 3 (2,0) 2 (2,0) 3
zf g g g
x
.
2 2 2 2 2 2
1 2
2 2' (3 , ) (3 , ) 2 (3 , )
z yf x g x y x y xy g x y x y y g x y x y
y x x
.
1 2(1,1) 2 '(2) (2,0) (2,0) 2 (2,0) 1
zf g g g
y
.
27.-
a) 2fE .
b) ( , ) 2 3f
x y x yx
eta (2,0) 4
f
x
.
35
(2 ,0) (2,0) (2,0) 4 0f
f h f h hx
, beraz, (2 ,0) (2,0)f h f .
28.- 2 2 2 22( , ) e 2 ex y x yf
x y y x yx
eta (1,1) 3
f
x
.
2 2 2 22( , ) e 2 ex y x yfx y x xy
y
eta (1,1) 1f
y
.
Beraz, (1 ,1) (1,1) 0f h f eta (1,1 ) (1,1) 0f h f .
29.- ( , ) 32 175C
x y yx
eta ( , ) 32 205
Cx y x
y
dira eta beraz, (80, 20) 815
C
x
eta
(80,20) 2.765C
y
dira.
30.- a) 2 25 5( , ) 60
fL K L K
L
eta 2 25 5(1.000,500) 60 1.000 500 45, 47
f
L
.
b) 3 35 5( , ) 40
fL K L K
K
eta 3 35 5(1.000,500) 40 1.000 500 60,62
f
K
.
c) (1.000,500) (1.000,500)f f
L K
.
31.-
a) (1,1) 1 1,
2 2
(1, 2) (1, 2) 2D f D f
.
b) ( 1,2) 1 2,
5 5
4(1,3) (1,3)
5D f D f
.
c) (2,1) 2 1,
5 5
(1,1) (1,1) 2 5D f D f
.
d) (1, 1) 1 1,
2 2
(2,1) (2,1) 0D f D f
.
e) ( 1,1) 1 1,
2 2
2(1,0) (1,0)
4D f D f
.
f) (1, 1) 1 1,
2 2
3 2(1,0) (1,0) e
4D f D f
.
g) (1,1, 1) 1 1 1, ,
3 3 3
8(1, 2,1) (1, 2,1)
3D f D f
.
36
h) ( 2, 3) 2 3,
13 13
170(2,3) (2,3)
13D f D f
.
i) (1,2) 1 2,
5 5
1(1,1) (1,1)
4 5D f D f
.
32.-
1 2( )Q C da eta 21( , ) 100Q L K LK eta 2
2 ( , ) 100Q L K L K dira, eta ondorioz, 1(2,1) 200Q eta
2 (2,1) 400Q dira; beraz,
(1,1) 1 1,
2 2
(2,1) (2,1) 300 2D Q D Q
.
b) eta c)
33.- ( , ) (3, 4)f x y eta (5,0) (3, 4)f .
( , ) (6 , 2 )g x y x y eta (1, 2) (6, 4)g .
(2,3)
(0,0)
(2,3) bektorea
(2,3)
(1,1)
(1,2) bektorea
L
K
(2,1)
+
(1,1) norabidea
(1,2)
(5,0)
37
34.-
a) eta b)
2 2 20 {( , ) / 4}K x y x y .
c) (1, 1) 1 1,
2 2
(0,2) (0,2) 2 2D f D f
.
35.-
a) 1 1
(2,1) ,3 3
f
.
b) eta d)
c) 1 2
1 2( , ) 1 1 2 2 1 2(2,1) (2,1) (2,1) 0 0
3v v
v vD f v f v f v v
.
e) 1m .
36.-
a) (2,1) ( 1, 2)f .
b) 1
2m .
c) Bai.
37.- (1,1) eta (1,3) puntuak.
38.-
a) (1,1) (6,3)f .
b) (1, 2) 1 2,
5 5
(1,1) (1,1) 0D f D f
.
(0,2)
K0
(2,1)
Kln(3) Kln(4)
Kln(2)
(1,1) hazkunde-norabideak gutxitze-norabideak
38
c) Hazkunde-norabideak: (1,0), (0,1), (1,1)…
Gutxitze-norabideak: (0,1), (1,0), (1,1), …
39.- y
mx
.
40.-
a) (2,0) puntuan zuzen ukitzailearen malda: 1
2
(2,0)2
(2,0)
f
f .
Eta zuzen ukitzailearen ekuazioa: 2 4x y .
.
b) Horretarako 1( , ) 4 2 0 2f x y x y y x . Eta sestra-kurban ordezkatuz:
2 2 22 4 4 8 2x x x x . Puntuak: (2, 4) eta ( 2,4) .
41.-
a) 0 : ( , ) 2 (2 ) ( , )t f tx ty tx ty t x y tf x y . 1 mailako homogeneoa.
b) 2 2 2 2 20 : ( , ) ( , )t f tx ty t x t y t f x y . 2 mailako homogeneoa.
c) 0 : ( , ) ( , )tx
t f tx ty f x yty
. 0 mailako homogeneoa.
d) 2 2
0 : ( , ) 5t x
t f tx tyty
. Ez da homogeneoa.
e) 2 2 3 20 : ( , )t f tx ty t x t y x . Ez da homogeneoa.
f) 3 3 3 20 : ( , ) 2t f tx ty t x t y x . Ez da homogeneoa.
g) 2 20 : ( , ) 2 ( , )t f tx ty t xy t f x y . 2 mailako homogeneoa.
h) 3 14 40 : ( , ) 10 ( , )t f tx ty t x y tf x y . 1 mailako homogeneoa.
i) 1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3
3 3
0 : ( , ) ( , )t f tx ty t x t y t x y tf x y . 1 mailako homogeneoa.
j) 210 : ( , ) ( , )t f tx ty t f x y
txty . 2 mailako homogeneoa.
k) 1330 : ( , ) ( , )t f tx ty tx ty t f x y . 1/3 mailako homogeneoa.
l) 1/2
3/2
( )0 : ( , ) ( , )
t x yt f tx ty t f x y
t x y
. 2 mailako homogeneoa.
39
m) 3/2
1/22 2 2
0 : ( , ) ( , )( )
t x yt f tx ty t f x y
t x y
. 2 mailako homogeneoa.
n) 0 : ( , ) min{3 , 2 } min{3 , 2 } ( , )t f tx ty tx ty t x y t f x y . 1 mailako homogeneoa.
42.-
a) 1 2( , ) ( , ) ( , )xf x y yf x y f x y .
2(2 ) ( ) 2 2 2 ( , )x x y y x x xy f x y .
b) 1 2( , ) ( , ) ( , )xf x y yf x y f x y .
3 3 3
3 1 12 2 ( , )
2 2x y f x y
x x y y x y x y
.
43.-
a) 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 2 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x f x x x x f x x x x f x x x f x x x .
1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 22 ( , , )
3 3 3x x x x x x x x x x x x f x x x .
b) 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x f x x x x f x x x x f x x x f x x x .
1/3 2/3 1/3 2/3 1/3 1/3 1/3 2/31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 42 4 2 ( , , )
3 3x x x x x x x x x x x x f x x x .
40
Murrizketarik gabeko optimizazioko ariketak. Erantzunak
1.-
a) (1,0) puntua minimo lokala da.
b) (1,0) puntua minimo lokala da.
c) Funtzioak ez du mutur lokalik.
d) Funtzioak ez du mutur lokalik.
2.-
a) 2( , ) : ( , ) 0 (0,0)x y f x y f .
b) 2( , ) : (0,0) 0 ( , )x y f f x y .
c) (1,0) 1 0 (0,0) eta ( 1,0) 1 0 (0,0)f f f f .
3.-
a) (5,8) puntuan maximo globala lortzen da.
b) (3,-4) puntuan minimo globala lortzen da.
4.-
a) (1,1) minimo lokala da.
b) Ez da globala.
Optimizazioko ariketak berdintza murrizketekin. Erantzunak
5.-
a) 2 2
,2 2
puntua f-ren g murrizketarekiko maximo
lokala da eta 2 2
,2 2
minimo lokala.
+
41
b) (0,1) puntua f-ren g murrizketarekiko maximo lokala
da eta 1 1
,2 2
eta
1 1,
2 2
minimo lokalak.
c) (2,0) puntua f-ren g murrizketarekiko
minimo lokala da.
d) (2,0) puntua f-ren g murrizketarekiko
minimo lokala da.
e) (3,1) puntua f-ren g murrizketarekiko maximo lokala da.
Optimizazioa multzoetan. Erantzunak
6.-
a)
b)
+
(0,1)
+
(2,0)
(2,1)
+
(2,0)
X
(4,2)
(1,1)
+
(1/4,1/2)
(0,4)
(0,2)
X
+
(1,3)
42
c)
d)
e)
f)
g)
h)
X
(1/2,1/2)
+
X (2,0) (2,0)
(2,2)
(2,2)
+ (3/4,5/8) X
(0,0) (2,1)
+
(3/2,3/2)
X
(2,3) (2,3)
(0,1)
(0,1)
+
+
X
(3,3)
(3,3/2)
(0,0)
(3/2,3/2)
X
(1,0)
(1/2,0)
(1,0)
43
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Optimizazioaren aplikazioak. Erantzunak
7.- Mozkin-funtzioa hau da eta ahurra da:
2 2( , ) 15 9 ( , ) 0,04 0,01 0,01 11 7 500x y x y C x y x xy y x y .
Enpresak mozkina maximizatzen du 100 unitate x eta 300 unitate y ekoizten dituenean.
X
+
(0,0) (1,0)
(0,1)
X
(1,1)
(2,0)
(2,2)
(1,2)
(2,1)
(0,0)
+
(1,2)
X
(6,0)
(0,6)
(0,0)
(4,2)
(0,y)
+
(0,2)
X
(0,6)
(1,5)
+
+ ( 2, 4)
X
(5,3)
+
+
+
+
(,0)
8 23 3
( , )
X
44
8.- Kostu-funtzioa: ( , ) 4C K L K L .
2 unitate produzitu nahi badu: 1/2 1/2( , ) 2f K L K L .
( , ) (1, 4)K L .
9.- 20 unitate 1q eta 80 unitate 2q ekoizten dituenean lortzen du mozkin handiena.
10.-
a)
max( )
30 10 12000
0, 0
xy
x y
x y
Beraz, 1 faktoretik 200 kg eta 2 faktoretik 600 kg erabiliz, enpresak maximizatzen du ekoizpena
(120000 kg).
b) Kasu horretan, irudian ikusten denez, soluzioa (300,300) da.
11.- 1 2( , ) (56,0)x x .
12.- Aurrekontua: 1 22 3 360x x
Denbora: 1 24 280x x
1 2( , ) (120, 40)x x 1 2 1 2( , )U x x x x denean.
1 2( , ) (120, 40)x x 21 2 1 2( , )U x x x x denean.
K
L
(1,4)
(120,40)
(0,1200)
(400,0) X
(200,600)
(0,1200)
(400,0) X
(300,300)
45
13.- max [(5.000 ) 2.000 ]x x y
2.000 4.000
, 0
x y
x y
Maximoa: (1500, 2500) , hau da, ondoko herrialdean 2500 tona eta nazioarteko merkatuan 1500 tona
salduko ditu.
Programazio lineala. Erantzunak
14.- 1x 1. mailako gatza tonatan eta 2x 2. mailako gatza tonatan badira:
1 2
1 2
1 2
1 2
max 250 200
0,2 0,4 600
0,8 0,6 1400
0, 0
x x
x x
x x
x x
Soluzio hoberena (1000,1000) puntuan.
15.- x1 M produktua (kg) eta x2 N produktua (kg) badira,
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
min10 4
0,1 0,4
0,1 0,6
0,1 0,2 2
0,2 0,1 1,7
0, 0
x x
x
x
x x
x x
x x
Soluzio hoberena (4,9) da eta balio hoberena 76 euro.
(0,7000/3)
M1 M2
(1750,0) (3000,0)
(0,1500)
(1000,1000)
X
M1
M2
M3 M4
(4,9) (14/3,23/3)
(8,6)
X
+
(1500,2500)
(0,4000)
(4000,0)
(2000,0)
(0,2000)
(2500,0)
46
16.- x1: elkarrizketak telefonoz eta egunez
x2: elkarrizketak telefonoz eta gauez
x3: elkarrizketak pertsonalak eta egunez
x4: elkarrizketak pertsonalak eta gauez
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4
2 4
3 1
1 2 3 4
min 4 4,8 8 8,4
1000
300
500
0,6 0,4
0, 0, 0, 0
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x x x
17.- 11 1 1:x G B 12 1 2:x G B 21 2 1:x G B 22 2 2:x G B .
Gordelekuetan dauden tona kopuruak: 11 12 140 tonax x .
21 22 40 tonax x .
Bezeroek eskatzen dutena: 11 21 100 tonax x .
12 22 50 tonax x .
Helburu funtzioa: 11 21 12 22min (60 30 80 20 )k x x x x .
Problema horrela geratzen da:
11 21 12 22
11 12
21 22
11 21
12 22
11 12 21 22
min (60 30 80 20 )
140
40
100
50
0, 0, 0, 0
k x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
Eta 21 11100x x eta 22 1250x x direnez,
11 12
11 12
11 12
11 12
min (30 60 400)
140
110
0, 0
k x x
x x
x x
x x
47
18.- a) x kalitate arrunteko markoak eta y kalitate handiko markoak badira:
max (10 15 )
2 2 60 (1)
3 60 (2)
24 (3)
10 (4)
0, 0
x y
x y
x y
x
x y
x y
Soluzio hoberena (15,15) da. Hau da, enpresak 15 kalitate arrunteko marko eta 15 kalitate handiko
marko ekoiztuko ditu eta mozkina 375 € izango da.
b) 15
3,75 € / ordu4
.
Beraz, gehienez, 12 ordu gehiago hartuko ditu eta orduko, gehienez, 3,75 € ordainduko du.
c) Mozkina (20 10) (35 )x k y da, non 20k kalitate handiko markoen kostua den.
Kalitate handiko markoen kostua 5 eta 25 artean dagoen bitartean, soluzio hoberena (15,15) izango
da 5 25k .
d) min (10 20 )x y izanik, soluzio hoberen berria (10,0) da.
(0,20)
(0,10)
(10,0) (24,0)
(24,6)
(15,15)
(24,12)
(1)
(2)
(3)
(4)
X
+
(0,20)
(0,10)
(10,0) (24,0)
(24,6)
(15,15)
(1)
(2)
(3)
(4)
X
48
19.- x1: aldagailu kopurua
x2: motor kopurua
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max80 60
13 40
24 4
403 34 2
403 3
0, 0
x x
x x
x x
x x
x x
a) (10,20) soluzio hoberena da.
b) Ez, hirugarren lantegiaren ordu guztiak ez dira erabiltzen, lantegi honen orduak baliabide oparoa
da, lehen eta bigarren lantegien orduak, ostera, baliabide urriak dira.
c) mm motorren mozkina bada: 2
801f
m
m mm
; hau da, 80 €mm .
d) Irudian M2 desagertzen bada (sar ditzakegu nahi ditugun ordu kopurua) soluzio hoberen berria
(0,60) puntuan kokatzen da.
20.- a) x1 K1 produktuaren tona kopurua eta x2 K2 produktuaren tona kopurua badira,
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1 2
1 2
max(2000 3000 )
700
2 1200
3 [ 0,75( )]
0, 0
x x
x x
x x
x x x x x
x x
Soluzio hoberena (200,500). Hau da, enpresak 200 tona K1 eta 500 tona K2 ekoizten baditu, bere
sarrera maximizatzen du: (200,500) 1900000 €f .
b) K1 produktuaren preziorik handiena 3000 € da.
c) B lehengaiaren 200 tona, gehienez, eskuratuko du eta tonako 1000 €, gehienez, ordainduko du.
M1 M2 M3
(0,80)
(30,0)
(0,30)
(10,20)
(0,60)
(5,50)
X
(40/3,0)
(200,500) (0,600)
(0,700)
(700,0)
(525,175)
M1 M2
M3 X
49
21.- x1 alpapa tonak eta x2 erremolatxa tonak badira,
1 2
1 2
1 2
1 2
min 250 200
20 30 600
30 25 800
0, 0
x x
x x
x x
x x
a) Soluzio hoberena (0,32) da.
b) Soluzio hoberena ez da aldatuko eta dietan A motako elikagaiak presentzia handiagoa izango du:
600 unitatetik 960 unitatera.
c) Soluzio hoberena (22’5,5) izango da.
22.- 1x : garia tonatan
2x : garagarra tonatan
1 2
1 2
1 2
2
1 2
max80 100
2 1000
120 30 42000
800
0, 0
x x
x x
x x
x
x x
Nekazariak sarrerak maximizatu nahi baditu, 200 hektarea (100 tona) gariarekin eta 800 hektarea (800
tona) garagarrarekin landatuko du.
Landa gehiago alokatuko zuen? Interesatuko litzaioke 100 ha gehiago alokatzea eta gehienez 40 €/ha
ordainduko luke.
Aurrekontuaren murrizketa bigarrena da eta ez zaio batere interesatzen edozein motatako mailegurik
eskatu.
M1
M2
(22’5,5) (30,0)
(0,32)
X
M1 M2
(350,0) (500,0)
(200,600)
(0,800)
M3 (100,800)
X
M1
(150,800)
M2
(0,1000)
50
Garagarraren prezio berria 60 €/tona bada: helburu funtzio berria: 1 2 1 2( , ) 80 30f x x x x eta soluzio
hoberen berria (200,600) da.
Egoera berri horretan, mailegua eskatzea interesatu litzaioke: 18000 € gehiago eskatzea eta gehienez
%33 ordainduko luke.
23.- 1x lignito tonak eta 2x antrazita tonak.
1 2
1 2
2
1 2
1 2
max 20 40
3 4 60
4 48
4 2 48
0, 0
x x
x x
x
x x
x x
a) Soluzio hoberena (4,12) eta balio hoberena 560 €-koa da.
b) 3
40 4l
f
mm , hau da, 30lm denean ( lm lignitoren mozkina izanik).
c) Mozketaren fasean prest egongo litzateke 6 ordu sartzeko gehienez 20/3 euro orduko prezioan.
Aukeraketaren fasean prest egongo litzateke 12 ordu sartzeko gehienez 10/3 euro orduko prezioan
eta garbiketa fasean ez zaio interesatzen.
d) 1 2 4x x da M4 murrizketa berria, eta (4,12) puntuak soluzio egingarria izaten jarraitzen duenez,
berak izan behar du soluzio hoberena.
24.-
a) 10a bada, soluzio hoberena (16,18)(20,10)
segmentu osoan dago.
b) 20a bada, soluzio hoberena (0,34) da.
20a bada, soluzio hoberena (0,34)(16,18) da.
10 20a bada, soluzio hoberena (16,18) da.
10a bada, soluzio hoberena (16,18)(20,10) da.
10a bada, soluzio hoberena (20,10) da.
c) i) 0,7( ) 7 3 0y x y x y .
ii) x y eta 2x y .
(20,10)
(1) (2)
(3)
(16,18) X
(0,34)
+
M3
(0,15)
(4,12) (36/5,48/5)
(12,0) (16,0) M1
M2
M4
X
(0,12)
51
Integrazioa. Erantzunak
1.-
a) 2 38( 3 ) 2 3
3R
y x xy dx dy .
b) 3e 3
(1 )e2
y
R
x dx dy
.
c) 4 3
3 e e e 1e
3x y
R
dx dy .
d) 22 21e(e 1 e )
2x y
R
dx dy .
2.-
a) 2 2 32( )
105R
x y dx dy .
b) 7
212R
xy dx dy .
c) 19
3R
y dx dy .
(2,0) (3,0)
R
R R
R
52
d) 45
8R
xy dx dy .
e) 2 6R
dx dy .
3.-
a) 2
5R
x y .
b) 1e e e .x y
R
c) 49
2R
f .
R (1,0)
(0,1)
(1,1)
()
R
)
(1,0) (1,0) R
R
(1,1)
53
d) 64
.15R
f
4.-
a) 1 4.R
b) 25
19R
.
c) 1 8 16 ln(2)R
.
d) 7
13R
.
(1,1) R (1,1)
R
R
(8,0)
(4,4)
R
(1,1) R
(1/2,0)
(1/2,4)
