MATEMÁTICAS - · PDF fileMATEMÁTICAS 4ºACT IES “ANTONIO CALVÍN” 1 TEMA 6. ECUACIONES 1. IDENTIDADES Y ECUACIONES. En el conjunto de igualdades distinguimos tres tipos:

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IES “ANTONIO CALVÍN” 1

TEMA 6. ECUACIONES

1. IDENTIDADES Y ECUACIONES.

En el conjunto de igualdades distinguimos tres tipos:

✎ Identidad numérica es una igualdad cierta entre números:

3 + 4 +1 = 8

✎ Identidad literal es una igualdad que se verifica para cualquier valor que le

demos a las letras:

(x + 2)2 = x2 +4 + 4x

✎ Ecuación es una igualdad algebraica que se verifica o es cierta para algunos

valores de las letras que llamamos incógnitas

x2 – 1 = 0, es una ecuación ya que solo se cumple la igualdad para x=1 y x= -1.

La solución de la ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea

cierta.

2. DE PRIMER GRADO. RESOLUCIÓN.

Las ecuaciones de primer grado son aquellas en las que la incógnita está elevada a 1

Son de primer grado:

3x + 5 = 8 ; x - 2,5 = 4 ; 4

3x +7 = 4x - 2

No son de primer grado:

(3x + 5)2 = 8 ; 2

x - 3 = 8x ; 3x + 1 = 5x

la ecuaciones de primer grado tienen una única solución, que se obtiene

despejando la incógnita.

Pasos para resolver ecuaciones de 1er grado.

✎ Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de

la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su

m.c.m.

✎ Quitar paréntesis, si los hay.

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✎ Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.

✎ Simplificar cada miembro

✎ Despejar la x. Se obtiene, así, la solución.

✎ Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para

comprobar que coinciden los resultados.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) x-4 =1

2) x + 3 = 2

3) 10 = 7 + x

4) 8 – x = 5

5) 3 = 7 – x

6) 5x= 15

7) 4x = 6

8) -2 = 8x

9) 7 + 3x = 1

10) 5x + 3 = 8x + 2 -6x

11) 2 – 5x = x + 7 – 11x

12) 1 – 3(2x – 1) = 16

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13) (2x + 1) = 3(2 – x)

14) x

2 = 4

15) x

2 - 3 = 1

16) 2

2x+x= 6

17) x

2 + x = 6

18) 3

x−

2

3=

7

3

19) 2

1+3x=6+

2

5x

20) 5

9+2x=1

5

3x

21) 3=4

x+

2

x

22) x

3− 2=

x

5− 1

23) x−4

5=

2x

3− 1

24) x

2−

2

5=

x

5− 1

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25) 3

x+2=

9

5x

3

4x

26) 2

1

3

2x=

6

1+x

27) 2

x

5

4x=

10

1+

4

3xx

28) 3

1

2

x=

6

x+

4

1

2

x

29) 10+5

2x=x+

15

x

30) 9

4+x12=

3

1x+

9

32x+x

31) 12

25+

6

)1+4x(5=

2

5+3x+

4

)2+(x3

32) 3x=5

46x5

33) 9

13x=

2

1x

3

x

34) 11+9

7+4x=

6

7+x3x+

4

1x

35) 10

55x8=

15

72x+

5

x21

36) 3x=x4

)4(x3

37) 6

11=

5

x+

3

x

2

x

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3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES.

Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las

condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene

proceder de forma organizada, por lo que es útil dar los siguientes pasos:

✎ Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la

incógnita.

✎ Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo

desconocido.

✎ Resolver la ecuación.

✎ Interpretar la solución ajustándola al enunciado.

Por ejemplo:

1. Las tres cuartas partes de la edad de la madre de Ana exceden en 15 años a la

edad de esta. Hace cuatro años la edad de la madre era doble de la de la hija.

Hallar las edades de ambas.

HOY HACE 4 AÑOS

EDAD MADRE x x - 4

EDAD ANA

3

4x− 15

3

4x− 15 - 4

2( 15x4

3- 4)= x-4

19x4

3=

2

4x 3 x - 76 = 2x – 8 x = 68

La madre tendrá 68 años y Ana:

=1568·4

336 años.

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38. La suma de dos números consecutivos impares es 156. ¿Cuáles son?

39. En un rectángulo de base X y altura 5 cm sabemos que su perímetro es 16

cm. Calcula la longitud de la base.

40. En un zoo hay el doble número de chimpancés que de gorilas. Sin en total

hay 171 animales. ¿Cuántos hay de cada especie?

41.Israel le dice a su hijo Juan Francisco: “ Hace 7 años mi edad era 5 veces la tuya,

pero ahora es sólo el triple” ¿Cuál es la edad de cada uno?

42. Averigua el número que al sumarlo con su quinta parte nos dé 12.

43. Ana le dice Mª José: “Averigua mi edad si sólo tengo el triple de la edad que

tenía hace 8 años”

44. Pilar le dice a María: “Tengo 5 cuadernos menos que tú, si te doy 3 de mis

cuadernos, tendrás el doble que yo”. ¿Cuántos cuadernos tenemos?

45.Zuqueca le dice a Luís Carlos “ la mitad, el tercio y la cuarta parte de mis años

suman la edad que tengo más tres”. Averigua cual es la edad de Zuqueca.

46. Luis Carlos, María y Juan Francisco han ganado a la lotería 3200 € que deben

repartir del siguiente modo: Luis Carlos obtiene 200 € menos que María y Juan

Francisco 200 € menos que Luis Carlos. Calcular lo que han ganado cada uno de

ellos.

47. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años

han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre

48. La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 282. Halla esos números

49. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30€. El

videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el

helado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?

50. Con 12 € que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me

sobrarían 4,5 €. La entrada de la piscina cuesta 1,5 € menos que la del cine. ¿Cuánto

cuesta la entrada del cine?

4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Una ecuación de segundo grado es de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0

Para despejar la x se utiliza la siguiente fórmula:

x=− b ± b2− 4ac

2a

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4. 1. Número de soluciones:

La expresión ∆= b2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación. El número de

soluciones depende del signo de ∆:

✎ Si ∆>0, la ecuación tiene dos soluciones:

x1=

− b Δ

2ax

2=

− b− Δ

2a

✎ Si ∆=0, solo hay una solución:

x=− b

2a se llama solución doble

✎ Si ∆< 0 , La ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada de un número

negativo no existe

4.2 Cuando la ecuación de segundo grado es incompleta:

Si falta el término en x, se despeja la x2:

ax2 + c = 0 ⇒ x2 = -a

c±=x

a

c

Por ejemplo: x2- 9 =0 ⇒ x = 9± ⇒ x= -3 y x= 3

Si falta el término independiente se saca factor común:

ax2 + bx = 0 ⇒ x (ax + b) = 0

Por ejemplo: x2 + 2x = 0 ⇒ x(x+2) = 0 ⇒ x= 0

x + 2 = 0 ⇒ x = -2


1) x2 – 5x + 6 = 0

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2) –x2 +7x -10 =0

3) 2x2 -5x + 2 = 0

4) x2 – 9x + 14 = 0

5) 4x2 - 4x + 1= 0

6) x2 – 6x + 10 = 0

7) (x +1)2 -3x -3=0

8) x2 – x = 0

9) 2x2 = 0

10) 4x2 – 9 = 0

11) 3x2 – 12 = 0

12) 8x2 + 16x = 0

13) 3x2 – 4= 28 + x2

4.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO MÁS COMPLEJAS

Cuando una ecuación de segundo grado tiene una fisonomía más compleja,

debemos arreglarla antes de aplicar la fórmula.

Tendremos que quitar paréntesis (si los hay), quitar denominadores (si los hay),

agrupar términos y pasarlos todos al primer miembro.

Ejercicio resuelto:

Resolver la siguiente ecuación:

4

3+2+x1x=

4

2x2+x

2

1x 2

Quitamos los paréntesis:

4

3+2x+x=

4

4x

2

1+2xx 222

Quitamos los denominadores, multiplicando los dos miembros por el m.c.m.

de los denominadores:

m.c.m. (2, 4) = 4

3+84x+4x=4

)4(x4

2

)1+2x(x4 222

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2(x2 – 2x + 1) – (x2 – 4) = 4x2 + 4x – 5

2x2 – 4x + 2 – x2 + 4 = 4x2 + 4x – 5

Agrupamos los términos, pasándolos todos al primer miembro:

2x2 – 4x + 2 – x2 + 4 - 4x2 - 4x + 5 = 0

-3x2 – 8x + 11 = 0 donde a = - 3, b =- 8 y c =11

6

196±8=

6

132+64±8=x → x1= 1 y x2= −

11

3


a) (x – 1) (x + 1) + (x – 2)2 = 3

b) 0=3

1+

3

)1+(x

2

)3+x(x 2

c) (x + 2) (x – 3) + x = 3

d) (x + 1)2 – 2x(x + 2) + 14 = 0

e) x(2x + 1) - 3=2

)1+(x 2

f) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 2 = x2 + 6

4.4 OTRAS ECUACIONES

Para resolver ecuaciones que están factorizadas, igualamos a cero cada uno de los

factores.

Ejemplo 1

Resolver la ecuación: (x – 1) (x – 2) = 0

En el primer miembro tenemos dos factores y su producto es cero. Para que al

multiplicar dos números, el resultado dé cero, al menos uno de ellos ha de ser cero.

Por eso, podemos obtener así las soluciones:

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x – 1 = 0 → x1 = 1

(x – 1) (x – 2) = 0 x – 2 = 0 → x2 = 2

La ecuación tiene dos soluciones

Ejemplo 2

Resolver la ecuación: x(x – 1) (x2 – 5x + 6) = 0

x1 = 0 x – 1 = 0 → x2 = 1

x2 – 5x + 6 = 0 → x3= 2 y x4 = 3

Ejemplo 3

Para resolver una ecuación del tipo x4 – 5x2 + 4 = 0, vemos que es de 4º grado,

pero solo tiene términos de grado par.

Hacemos el siguiente cambio de variable: llamamos x2 = y. de esta forma , x4 = y2

y la ecuación queda:

y2 – 5y + 4 = 0 → y = 1 e y = 4

Los valores que buscamos son los de x, y sabemos que x2 = y:

Si y = 1 → x2 = 1 → x = 1± → x1= 1 , x2= -1

Si y = 4 → x2 = 4 → x = 4± → x3 = -2, x4 = 4

La ecuación tiene cuatro soluciones


a) (x – 4) (x – 6) = 0

b) (x + 2) (x – 3) = 0

c) x(x + 1) (x – 5) = 0

d) (3x + 1) (2x – 3) = 0

e) x4 – 10x2 + 9 = 0

f) x4 + 5x2 + 4 = 0

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ACTIVIDADES DEL TEMA


a) 8

x)1()1+(x3=

2

4x+

4

x12+1

b) 4

)3(x2

15

2=

10

1+4x

6

23x

c) 0=8

5+

6

x)3(2

4

)1(x3

6

32x

d) )3+(x4

31=)1+(x

2

1)3+(x

3

2

e) )23x(8

3

4

1x

4

33=

16

32x

8

1+x6

55. Las siguientes ecuaciones son de primer grado. Compruébalo y resuélvelas:

a) (x +1)2 + (x - 2)2 = (x + 2)2 + (x – 1)2

b) 4(x – 3) (x + 3) – (2x + 1)2 = 3

c) (x - 3)2 + 1 = (x + 2)2 – 4x – 3(x – 1)

d) 5(x – 3)2 + x2 – 46 = - (2x + 1) (1 – 3x)

e) (4x – 3) (7x + 2) – (3 – 4x)2 = 3x(4x – 5) - 2


a) 16

35=

16

)12x(

4

)3(x 22

b) 2+2

xx

4

1=

4

)1(x+

5

3+x 22

c) 6

4+x1=

9

2x1

d) 4

1+x=

8

25x+

10

14x

5

2+3x

e) (3x + 2)2 + 3(1 -3x)x = 2(x – 11)

d) (2x – 3)2 + (x - 2)2 = 3(x + 1) + 5x(x – 1)


a) 4x2-64 = 0

b) 3x2 – 9x = 0

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c) x2 – 2x – 3 = 0

d) 2x2 – 7x – 4 = 0

e) 3x(x +4) – x(x – 1) = 15

f) (x +4)2 – (2x – 1)2= 8x

g) 2x + 3(x – 4)2= 8x

h) 2x + 3(x – 4)2 = 37 + (x - 3) (x + 3)

i) (x – 3) (x + 3) + (x – 4) (x + 4) = 25

j) (x + 1) (x – 3) + (x – 2) (x – 3) = x2 – 3x - 1

k) 2x(x + 3) – 2(3x + 5) + x = 0

58. Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin

aplicar la fórmula general:

a) (3x + 1) (3x – 1) +1

2 (x - 2)2= 1 – 2x

b) 12

7+x1=

4

1+x

3

2+x 22

c) 3

x+

6

4+3x=

4

)2(x+

3

)1+2x)(12x( 22


a) x+6

4x=1

3

1+x 22

b) 2

2x+x=

4

4xx 22

c)x(x – 3) + (x + 4)(x – 4) = 2 – 3x

60. Di cuáles son las soluciones de estas ecuaciones:

a) (x – 2) (x + 3) (2x – 5) = 0

b) x2(x – 7) (4x – 1) = 0

c) (x + 2) (x2 +4) = 0

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