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Matemáticas financieras
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
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Sesión No. 2
Nombre: Fundamentos matemáticos
Contextualización
Para concluir con la unidad introductoria a las matemáticas financieras, en la que
estamos revisando los fundamentos matemáticos, repasaremos en esta sesión
el cálculo de logaritmos y las progresiones. Analizaremos cómo ambos temas se
relacionan con las matemáticas financieras. Si deseas activar tus conocimientos
previos, te invitamos a revisar el material de la asignatura de Álgebra, en donde
se analizaron dichos conceptos.
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Introducción al Tema
El logaritmo de un numero, para una base dada, es la potencia a la que se debe
elevarse la base para obtener ese numero. Hay logaritmos de casi cualquier
base aunque los logaritmos de base 10 que son las formas equivalentes a las
potencias 10, son los que sirven para calcular los logaritmos de otras bases.
Progresiones aritméticas, es una sucesión de términos, cada uno de los cuales
es igual al que le precede, mas un numero llamado razón o diferencia común o
diferencia común. Progresiones geométricas, Es una sucesión finita de números
llamados términos.
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Explicación
1.3 Cálculo de logaritmos
Igual que en el caso de los exponentes, los logaritmos corresponden a la forma y
operación inversa de la ecuación potencial Y = ax; en este caso el logaritmo se
define como la operación que permite calcular el valor del exponente x al cual se
está elevando la base a, de tal manera que su resultado sea Y.
La forma matemática en la cual se puede escribir la operación logarítmica es:
X = log a Y; que se lee “X” es igual al logaritmo base “a” de “Y”. La forma
potencial y la forma logarítmica son las dos operaciones inversas; en términos
matemáticos, tienen una definición y sentido específico. Habrá ocasiones que en
operaciones de interés compuesto cuya expresión matemática es M =C (1+r)n, y
en anualidades (las fórmulas a utilizar varían dependiendo del tipo de anualidad)
se quiera determinar el número de periodos o pagos “n”, necesarios para cubrir
el precio o monto total de, por ejemplo, una casa comprada a crédito.
En matemáticas financieras los logaritmos se aplican utilizando las propiedades
logarítmicas para los despejes, estas propiedades se enlistan a continuación:
1.4 Progresiones: aritméticas, geométricas e infinitas
En una progresión aritmética hay una diferencia entre cada término que se
obtiene restando los términos consecutivos entre sí; mientras que en las
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progresiones geométricas el número llamado razón se obtiene dividiendo cada
término entre su anterior.
Progresiones aritméticas
Para resolver progresiones aritméticas utilizamos las siguientes fórmulas:
El significado de las literales es el siguiente:
• a: se refiere al término y el subíndice marca el lugar que ocupa en la serie
numérica.
• d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica y, como ya se
dijo, se obtiene restando los términos.
• S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica.
• n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el
número de términos que tiene la sucesión.
Progresiones geométricas
Las progresiones geométricas se relacionan estrechamente con el
comportamiento de sumas de dinero invertidas a interés compuesto y que tienen
como característica distintiva que crecen o decrecen de manera acelerada.
Es posible calcular la suma de la progresión, el número de elementos que tiene
una progresión y el dato o número que corresponde a una serie y un lugar en
particular. Las ecuaciones con las cuales se trabajan estas series son:
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Las literales que aparecen son las mismas con excepción de la letra r. A
continuación se menciona la explicación de cada una:
a: se refiere al término y el subíndice marca el lugar que ocupa en la serie
numérica.
d: es la diferencia en la cual está variando la serie numérica
S: es la suma de todos los términos que integran la sucesión numérica.
n: es el subíndice que indica el lugar que ocupa cada término y también el
número de términos que tiene la sucesión.
r: que significa razón de cambio de la progresión numérica y se obtiene
dividiendo cada término entre su anterior.
Realicemos una aplicación de progresiones geométricas en un caso de finanzas.
Supongamos que una empresa ofrece a una persona un sueldo de $35,000 y
que éste aumentará durante los próximos 6 meses un 4% mensual. ¿Cuál será
su salario para el quinto mes?
En este caso empezaremos por identificar los datos que nos proporciona el
planteamiento:
a1 = 35,000
n = 5
La incógnita r es el valor que tendremos que determinar. Sin embargo,
recordemos que debemos tener por lo menos 2 términos así que tendremos que
determinar el segundo. Para ello, realicemos lo siguiente:
Pago primer mes = 35,000 pesos
Pago segundo mes = 35,000 + incremento del 4% sobre los 35,000 [es
decir: 0.04 × 35,000 = 1,400] = 36,400
Dividimos el segundo dato 36,400 entre el primero 35,000 y obtendrá el
valor de la razón 36,400/35,000 = 1.04 y éste el valor de la razón.
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Ahora se busca el valor del dato número 5 con la primera expresión:
Tras resolver la operación se obtiene: a5 = $40,945.04, es decir, lo que se
pagará en el quinto mes.
La segunda formula la explicaremos a continuación:
La cual también se puede escribir como:
Sirve para conocer la SUMA DE LA PROGRESION GEOMETRICA.
En el mismo ejemplo sería:
Mes 1 35000
Mes 2 35000(1.04)= 36400
Mes 3 35000(1.04)2=37856
Mes 4 35000(1.04)3=39370.24
Mes 5 35000(1.04)4=40945.04
Suma de la progresión
Geométrica Sn
189571.28
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Resolviéndolo con la formula.
NOTA. La diferencia de la suma de la tabla y la fórmula se debe a los decimales
por los que se multiplica 35,000
Progresiones infinitas
Hablamos de progresiones finitas cuando contienen un número limitado de
términos, es decir que tienen un último número. Cuando existen progresiones
que no tienen un número último, nos referimos entonces a las sucesiones
infinitas.
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Conclusión
Los logaritmos son importantes para las matemáticas financieras así como para
las organizaciones ya que nos ayudan a la simplificación de operaciones, así
como son de gran ayuda cuando no tenemos una calculadora cerca.
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada número
es igual al anterior multiplicado por una constante. La progresión geométrica
crece más rápidamente que la aritmética.
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Para aprender más
Explicación rápida de logaritmos.
Todas las operaciones tienen una operación contraria, la suma su contrario es la
resta, la multiplicación su contrario es la división, pero en cuando a
exponenciales muchos confunden el logaritmo como lo contrario a la
potenciación, pero es incorrecto, la operación contraria a la potenciación es la
radicación, aunque los logaritmos se clasifican como la operación inversa a la
potenciación.
Los logaritmos son la operación “contraria” pero a la forma
En los logaritmos lo que nos interesa conocer es el exponente que eleva a una
base “a” para que nos dé como resultado Y.
Los logaritmos son: Si y solo si
Se lee: Logaritmo con base “a” de Y es igual a X si y solo si, Y es igual a “a”
elevado a la x
EJEMPLOS:
Si y solo si ya que
Se lee: Logaritmo con base 2 de 8 es igual a 3 si y solo si 2 elevado a la 3 es
igual a 8
Si y solo si ya que
Se lee: Logaritmo con base 5 de 625 es igual a 4 si y solo si 5 elevado a la 4 es
igual a 625
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Si observan la base “a” indica que numero es que se elevara a alguna potencia,
el número que sigue es el resultado de la potencia, lo que los logaritmos buscan
es el realidad la potencia que eleva a la base.
OTRO EJEMPLO.
Si y solo si
Para poder resolver logaritmos cuyo resultado sea una fracción se recomienda
hacer una “pequeña trampa” se cambia el logaritmo cuyo valor de Y es fracción
por el número del denominador.
Entonces:
Se reescribe y resuelve como
Pero como Y es fracción, sabemos que cuando se eleva cualquier número a
una potencia negativa el resultado es una fracción, el resultado del logaritmo
“modificado” debe ser negativo.
Entonces:
Se reescribe como Regresando al original
En realidad los logaritmos en matemáticas financieras son de uso limitado, se
emplean para encontrar el tiempo cuando se tienen otros datos. Se explicara con
un ejercicio.
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EJEMPLO:
Una persona invirtió $1500 a una tasa anual de interés compuesto del 4.5%, al
finalizar el inversionista tiene $1788.78 en total ¿Cuánto tiempo estuvo invertido
su dinero?
La fórmula del monto en interés compuesto
es:
Algunos textos a lo Representan con
M
Al lo representan solo como C
A la tasa de interés r la representan con i
Como lo que interesa es encontrar el tiempo de la inversión (n) se debe hacer
un despeje en la formula.
DESPEJANDO
En esta parte se tiene la forma
Sin embargo vemos que Y es una fracción y “a” es una suma.
Usando las formulas 4) y 5)
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Despejando a “n”
Resolviendo (usa la calculadora OJO hay log y ln usa log):
Resultado.
La inversión de $1500 a una tasa del 4.5% capitalizable anualmente tuvo que
esperar 4 años para poder arrojar una cantidad de $1788.78.
Se le sugiere resolver los siguientes ejercicios del libro Matemáticas Financieras.
de M. Vidaurri (2004):
Progresiones aritméticas ejercicios: 6 • , 9, 14, 17, 21 y 23 páginas 98 y
99
• Progresiones geométricas ejercicios: 4, 6, 7, 13 y 16
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Actividad de Aprendizaje
Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, tendrás que realizar la siguiente actividad.
Instrucciones
Resuelve los siguientes ejercicios sobre logaritmos
¿Cuánto tiempo se necesita para que un capital de $2500 a una tasa del 5.6%
capitalizable anualmente de un total de $3282.91?
Realiza los cálculos y súbelo a la plataforma en algún documento.
Recuerda que esta actividad equivale al 5% de tu calificación final.
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Referencias
• Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA.
• Díaz, A. (1999). Matemáticas Financieras. México: McGraw Hill.
• Estrada, R. (2002). Matemáticas I. México: INITE, UNITEC.
