Matemáticas

MATEMÁTICAS.

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Sesión No. 3

Nombre: Ecuaciones cuadráticas y desigualdades

Contextualización Ahora nos toca estudiar las ecuaciones de segundo grado también conocida por

ecuaciones cuadráticas.

Las ecuaciones cuadráticas tienen distintos métodos para resolverse y llegar a

su solución tales como factorización y la fórmula cuadrática.

Extraído de: http://matematica-practica.wikispaces.com/file/view/funcio_cuadratica.gif/167487333/funcio_cuadratica.gif solo para fines educativos.

También introduciremos el concepto de desigualdad para aprender a resolver

desigualdades lineales y cuadráticas con una sola variable e introducir la

notación de intervalo.

Aprenderemos también a resolver ecuaciones y desigualdades que contengan

valor absoluto.

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Introducción al Tema Una ecuación cuadrática es una ecuación que puede ser escrita en forma

ax2 + bx + c, donde a, b, y c son constantes y a≠0.

Una ecuación cuadrática es de grado dos, ya que la potencia más grande que

aparece en ella es la segunda.

• ¿Cómo encontramos las raíces de una ecuación cuadrática?

• ¿Se podrá dar solución a una ecuación cuadrática con un simple despeje

de variable?

• ¿Qué es una desigualdad lineal?

• ¿Su solución será igual a la de una igualdad lineal?

Suponga que a y b son dos puntos sobre a recta de los números reales.

Entonces a y b coinciden, o a se encuentra a la izquierda de b o viceversa.

Los enunciados a>b y b<a son equivalentes.

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Explicación Ecuaciones cuadráticas.

Se tienen algunos métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado uno

de ellos es la factorización, a continuación explicaremos el uso de este método.

Factorización

Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas está basado en la

factorización como lo muestran los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1: Resolver

x2 -2x +3 = 0 a = 1 b = -2 c = 3

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

(x + ) (x - ) = 0 Hay que buscar dos números que multiplicados te

den el valor de c y sumados te den el valor de b

(x +1) (x – 3) = 0 1 y –3 1 + -3 = -2

1 · -3 = -3

x + 1 = 0 x – 3 = 0

x = 0 – 1 x = 0 + 3

x = -1 x = 3

Éstas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática, las llamadas raíces.

Algunas ecuaciones no cuadráticas pueden resolverse por factorización.

EJEMPLO 2: Resolución de ecuaciones de grado superior por factorización.

Resolver: 9x – 9x3 = 0.

Solución: ésta es una ecuación de tercer grado.

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9x – 9x3 = 0.

9x (1 – x2) = 0. Se saca de factor común el 9x

9x (1 – x) (1 + x) = 0. Se factoriza con binomios conjugados.

Haciendo cada factor igual a cero, se despeja la variable simple:

9x = 0 1 – x = 0 1 + x = 0

X = 0 x = 1 x = -1

Por lo tanto {0, 1, -1} son las raíces de la ecuación de tercer grado.

Formula cuadrática.

Las raíces de una ecuación cuadrática ax2 + bx +c = 0, en donde a, b y c son

constantes y a≠0, están dadas por:

𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

EJEMPLO 3: Utilizando la formula general, resuelve las siguientes ecuaciones

cuadráticas:

𝟑𝒘𝟐 − 𝟏𝟐𝒘 + 𝟏𝟐 = 𝟎

𝑥 =−(−12) ± �(−12)2 − 4(3)(12)

2(3)

𝑥 =12 ± √144 − 144

6

𝑥 =12 ± √0

6

𝑥1 =126

= 2 𝑥2 =126

= 2

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𝟔𝒔𝟐 + 𝟕𝒔 − 𝟓 = 𝟎

a= 6 b=7 c= -5

𝑥 =−7 ± �(7)2 − 4(6)(−5)

2(6)

𝑥 =−7 ± √49 + 120

12

𝑥 =−7 ± √169

12

x =−7 ± 13

12

𝑥1 =−7 + 13

12=

612

=12

𝑥2 =−7 − 13

12=−2012

= −53

Desigualdades y valor absoluto

Una desigualdad es un enunciado que establece que un número es menor que

otro. Los símbolos de desigualdad son:

“ < “ se lee menor que “ > “ se lee mayor que

“ ≠ “ se lee diferente “ ≥ “ se lee mayor o igual que

“ ≤ “ se lee menor o igual que

Definición de desigualdad lineal.

Un desigualdad lineal en una variable x es aquella que puede escribirse en la

forma ax+b<0, donde a y b son constantes y a≠0.

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Extraído de: http://1.bp.blogspot.com/_N13uQdQiL48/S-tOWn-hs7I/AAAAAAAAAJo/n9OTXA6sc_4/s320/inec_1_resuelto.jpg solo para fines educativos.

Tipos de intervalos

Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/_XvDbc0EeXYo/SN_YVBhJGJI/AAAAAAAAAAM/FxvgAW-yZq8/s400/intervalos.JPG solo para fines educativos

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Desigualdades cuadráticas.

Extraído de: http://4.bp.blogspot.com/_N13uQdQiL48/S-tP7kl0xvI/AAAAAAAAAKA/x_hu95TrIK0/s320/inec_prop.jpg solo para fines educativos.

Desigualdades con valor absoluto.

La siguiente tabla muestra un resumen de las soluciones:

Desigualdad (d >0) Solución

|x| < d -d < x < d

|x| ≤ d -d ≤ x ≤ d

|x| > d X < -d o x > d

|x|≥ d x≥ d o x ≤ d

Ejemplo:

|3 − 2x|≥ 4 3 − 2x ≥ 4 (-1)(-2x) ≥ 1(-1) x ≤ - 1/2

3 − 2x ≥ -4 (-1)(-2x) ≥ (-7)(-1) x ≤ 7/2

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Conclusión En esta sesión aprendimos que una ecuación cuadrática es de segundo grado y

tiene la forma ax2 + bx +c = 0, donde a≠0. Tiene dos raíces reales y diferentes,

exactamente una raíz real o bien no tiene raíces reales. Puede ser resuelta ya

sea por factorización o por medio de la formula cuadrática.

También aprendimos a solucionar desigualdades lineales y cuadráticas simples

dando la solución en notación de intervalo abierto o cerrado y además se incluyó

un ejemplo con valor absoluto. Todo esto con el uso de una sola variable.

En la siguiente sesión aprenderemos el uso de las Funciones algebraicas y sus

gráficas.

Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/-Q9zMrtOE_5Q/UL-BvFysmJI/AAAAAAAAATI/lKRANNoyxow/s1600/Funciones+Algebraicas.JPG solo para fines educativos.

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer

tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

• Math2me. (2010). Tipos de ecuaciones cuadráticas. Consultado el día 10

abril del 2014 de: https://www.youtube.com/watch?v=hAL4hx26n60

• (2013). Intervalos, definición y uso. Consultado el día 10 de abril del 2014

de : https://www.youtube.com/watch?v=E47WUl4XvKA

• (2013). Desigualdades de primer grado. Consultado el día 10 de abril del

2014 de : https://www.youtube.com/watch?v=SPlxEjqOxUQ

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá

desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de las ecuaciones cuadráticas,

desigualdades y valor absoluto, resuelve:

I.- Responde si la siguiente expresión es una ecuación cuadrática o no lo es:

a) 3x + 4 – x2 ___________________________________

b) 2x + 8x2+20xy ___________________________________

c) 2x2- x + 1 ___________________________________

d) x1/2 +4x + 4 ___________________________________

II.- Resuelve las siguientes desigualdades:

1. 2x – 3 < 4 + 7x

2. |x – 7| < 2

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la

plataforma.

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Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales

y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.