MATEMÀTIQUES CIÈNCIES SOCIALS APLICADES A LES 2 · PDF fileMatemàtiques aplicades a les ciències socials 2 · Batxillerat · Solucionari No és permesa la reproducció total o

BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACASGUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK - PANAMÀSAN JUAN - SANTA FE DE BOGOTÀ - SANTIAGO - SÃO PAULOAUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL

NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR

SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO

2S O L U C I O N A R I

Autors del llibre de l’alumne

Àngela Jané

Jordi Besora

Josep M. Guiteras

Revisió tècnica

Laura Sanz

Esmeralda Sánchez

MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS

Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2 · Batxillerat · Solucionari

No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográfi cos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra.

Drets reservats © 2009, respecte a la primera edició en català per:

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Edifi cio Valrealty, 1a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid)

ISBN: 978-84-481-7007-3Dipòsit legal: ????

Editora del projecte: Alícia AlmonacidTècnic editorial: Conrad AgustíDisseny de coberta: Quim Team! i Axioma ComunicacióDisseny d’interiors: Quin Team!Il.lustracions: Jordi Soto

IMPRÈS A ESPANYA - PRINTED IN SPAIN

3ÍNDEX

Unitat 0. Comencem

Activitats fi nals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Bloc 1. Matrius i sistemes

Unitat 1. Matrius

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Unitat 2. Determinants

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Unitat 3. Sistemes d’equacions lineals

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Bloc 2. Programació lineal

Unitat 4. Sistemes d’inequacions lineals

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Unitat 5. La funció objectiu

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Unitat 6. Problemes de programació lineal

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bloc 3. Funcions

Unitat 7. Límits i continuïtat de funcions

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Unitat 8. Derivades

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Unitat 9. Funcions contínues i derivades

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Unitat 10. Aplicacions de la derivada

Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


Avaluació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4 GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

j Guies didàctiques interactives McGraw-Hill A fi de facilitar-vos la tasca docent, hem complementat l’oferta del nostre llibre de Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2 amb una guia didàctica interactiva, que estem convençuts que us serà de gran ajut.

A continuació us en presentem els trets principals, tot i que, sens dubte, serà a mesura que l’aneu fent servir que en descobrireu totes les potencialitats. A més, incorpora una adreça de correu electrònic, on ens podeu fer arribar les vostres observacions i suggeriments.

Com veureu, és fàcil de fer anar, molt visual i intuïtiva, i no requereix cap mena d’instal.lació prèvia.

McGraw-Hill, avui, com sempre, qualitat al servei de l’educador.

A la pantalla principal apareix la barra de menú amb les opcions de navegació i de visualització de les guies digitals.

El vídeo de presentació explica com s’ha de treballar amb les guies didàctiques interactives de McGraw-Hill.

Prement en els ítems de l’índex de con-tinguts podeu accedir a material genè-ric de la matèria amb més informació i activitats extres.

Menú amb les accions

disponibles per als professors

Continguts addicionals

• Laboratoris Wiris

• Activitats resoltes

• Matemàtica quotidiana

• Galeria d’imatges

• Glossari

• Proves PAU

5GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

El menú mostra totes les opcions genèriques per navegar dins de les guies i per visualitzar les pàgines i els con-tinguts.

Pàgina anterior: prement aquest botó podeu navegar fi ns la pàgina anterior. Pàgina següent: amb aquesta opció podeu avançar fi ns a la pàgina següent.Inici de la guia: prement aquesta opció podeu anar al començament de la guia.Fi de la guia: podeu navegar fi ns a la darrera pàgina de la guia.Opció de lectura recomanada: permet ampliar el text i les imatges de la pàgina que s’està llegint.Opció cerca ràpida: aquesta opció us mostra en versió reduïda totes les pàgines de la guia.Cerca: us serveix per cercar paraules dins del text de la publicació.Ajuda: en qualsevol moment podeu visualitzar l’ajuda per fer servir adequadament la guia digital.Índex de continguts: l’índex de continguts està sempre accessible per navegar pels continguts addicionals més ràpidament.Sumari: índex de les unitats i dels continguts del llibre de l’alumne.

El sumari inclou l’índex

del llibre de l’alumne

Mostra l’índex dels

continguts addicionals

Dades de contacte

Inici de la guia

Fi de la guia

Pàgina anterior

Pàgina següent

Opció de lectura

recomanada

Opció de cerca

ràpida

Cerca

Índex sempre accessible de

tots els continguts genèrics

de la matèria

Índex d’unitats del

llibre de l’alumne

Opció de tancar

la visualització

Ajuda

6 GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

j Zones senyalitzadesMenú genèric sempre visible per als professors

Les zones on hi ha

informació extra,

mostren un efecte de

senyalització intermitent

per indicar que hi ha

més continguts

Textos emergents amb informació

addicional i complementària als temes

tractats al llibre de l’alumneReproducció de les planes

del llibre de l’alumne

Quan premeu una zona senyalitzada,

apareix informació complementària a aquesta

part del llibre.

Poden aparèixer vídeos, fotografi es, hipervincles,

adreces web, arxius adjunts amb exercicis

i comentaris, i també caixes de text

amb defi nicions de paraules, consells,

objectius didàctics i procedimentals, activitats,

comentaris, etc.

7GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

Visualització de doble pàgina:

Podeu visualitzar les planes

com si es tractés d’un llibre.

Requeriments tècnics:

L’ús d’aquestes guies interactives no requereix cap instal.lació especial, ja que funcionen amb el navegador d’Internet.

Tot i que no és necessari estar connectat a la Xarxa per fer-les anar, sí que hi ha continguts, com l’accés a pàgines web, que només es po-dran aprofi tar al 100 % si s’està on-line.

La major part d’equips ja incorporen el Flash Player, però si no fos el vostre cas, us el podeu descarregar gratuïtament des del web d’Adobe.

j Opcions de visualització

Opció de lectura recomanada:

Podeu ampliar les planes per veure

el text o les imatges més grans.

Opció cerca ràpida:

També podeu visualitzar totes les planes

en miniatura, a fi d’arribar ràpidament als

continguts desitjats.

9MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS 2 00

Unitat 0. Comencem

Activitats fi nals

1. Calcula:

a) 3 (fvvv 5 )2

3 (fvvv 5 )2 = 9 ? 5 = 45

b) (fvvvvv 10 )4

(fvvvvv 10 )4 = 102 = 100

c) (fvvv 5 + fvvv 3 ) (fvvv 5 – fvvv 3 )

(fvvv 5 + fvvv 3 ) (fvvv 5 – fvvv 3 ) = 5 – 3 = 2

d) (fvvv 7 )2 – (fvvv 2 )2

(fvvv 7 )2 – (fvvv 2 )2 = 7 – 2 = 5

2. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents:

a) fvvv 7 + fvvvvv 28 – fvvvvv 63

fvvv 7 + fvvvvv 28 – fvvvvv 63 = fvvv 7 + 2 fvvv 7 – 3 fvvv 7 =

= (1 + 2 – 3) ? fvvv 7 = 0

b) fvvvvvvv 121 + fvvvvvvv 169 – fvvvvvvv 225

fvvvvvv 121 + fvvvvvv 169 – fvvvvvv 225 = 11 + 13 – 15 = 9

c) fvvv a ? 3fvvvvv a2

fvvv a 3fvvvv a2 = a1—2 ? a

2—3 = a

7—6 = 6fvvvv a7 = a 6fvvv a

d) 4fvvvvv b3 : fvvv b

4fvvvvv b3 : fvvv b = b3—4 : b

1—2 = b

1—4 = 4fvvv b

3. Expressa en forma d’una sola arrel:

a) 3fvvv 3 ? 3fvvv 5

3fvvvvvvv 3 ? 5 = 3fvvvvv 15

b) 21—2 ? fvvv 5

fvvv 2 ? fvvv 5 = fvvvvv 10

3fvvvvv 12c) ——— 3fvvv 4

12 3fvvvv —— = 3fvvv 3 4

31—2 ? 6

1—2

d) ——— fvvvvv 15

fvvv 3 ? fvvv 6 fvvvvv 18 6 ———— = ——— = fvvv — fvvvvv 15 fvvvvv 15 5

e) (7fvvvv 23 )4

7fvvvvvvv 23 ? 4 = 7fvvvvv 212

f) 31—6 ? 3fvvv 3 ? 6fvvv 2

6fvvv 3 ? 6fvvvv 32 ? 6fvvv 2 = 6fvvvvvvvvv 33 ? 2 = 6fvvvv 54

g) (a + b)1—2 fvvvvvvvvvvv a – b

h)

i)

4. Si A(x) = 6x4 + 2x2 -- 4x + 6 i B(x) = x3 -- 2x + 1, calcula:

a) 2 . A(x)

Multipliquem els coefi cients per 2:

b) --3x . B(x)

Multipliquem els coefi cients per –3x:

c) A(x) : B(x)

quocient

c(x) = 6x

residu

r(x) = 14x2 -- 10x + 6

d) B(x) : (x + 1)

Apliquem la regla de Ruffi ni. Com que B(x) no té terme de grau dos, en el seu lloc hi posem un zero. El primer nom-bre de la segona fi la és –1, perquè dividim entre x + 1 can-

10 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE00

viant de signe el terme independent del binomi. El quocient queda determinat pels tres primers termes de la tercera fi la: 1,–1,–1 → x2 – x – 1. El residu és 2.

5. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffi ni quan sigui possible.

a) (x4 -- 2x2 + 1) : (x + 2)

Per Ruffi ni:

Quocient: x3 -- 2x2 + 2x -- 4

Residu: 9

b) (x6 + x3 -- x + 1) : (x -- 1)

Per Ruffi ni:

Quocient: x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1

Residu: 2

6. Factoritza els polinomis següents:

a) A(x) = 6x3 -- 20x2 + 6x

A(x) = 6x3 – 20x2 + 6x = 1

= x ? (6x2 – 20x + 6) = 6x (x – 3) 1x – —2 3

b) B(x) = x4 -- 3x3 -- 3x2 + 11 x -- 6

B(x) = x4 -- 3x3 -- 3x2 + 11x -- 6 = (x -- 1)2(x + 2)(x -- 3)

7. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis:

A(x) = 2x5 + 6x4 -- 8x2

A(x) = 2x2 (x -- 1)(x + 2)2

B(x) = x3 -- x

B(x) = x (x + 1)(x -- 1)

C(x) = x4 -- x3 -- x2 + x

C(x) = x (x -- 1)2(x + 1)

m.c.d. = (x -- 1)x

m.c.m. = 2x2 (x -- 1)2(x + 1)(x + 2)2

8. Calcula:

m.c.m. = x2 -- 1 = (x – 1) (x + 1)

x – 1 x + 1 x2 + 1–——— – ——— + ———— = x + 1 x – 1 x2 – 1

(x – 1) (x – 1) (x + 1) (x + 1) x2 + 1 –x2 – 1= –——————— – ——————— + ——— = ———— x2 – 1 x2 – 1 x2 – 1 x2 – 1

9. Donades les fraccions algèbriques següents:

A(x) i B(x)

calcula: A(x) . B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x)

A(x) . B(x) =

A(x) : B(x) =

B(x) : A(x) =

10. Resol els sistemes d’equacions lineals següents pel mètode que s’indica:

a) per reducció.

Multipliquem la primera equació per 2. D’aquesta manera, la x tindrà el mateix coefi cient en les dues equacions:

Restem les dues equacions per reduir-ne el nombre d’incòg-nites:

Substituïm aquest valor en qualsevol de les dues equacions (per exemple, en la primera) per trobar el valor de l’altra in-cògnita:

2x – 5 = 3 → 2x = 3 + 5

82x = 8 → x = — → x = 4 2

La solució del sistema és: (x, y) = (4, 5).

b) per substitució.

Aïllem una incògnita d’una de les equacions, per exemple la y de la segona equació:

x + y = –1 → y = –1 – x

Substituïm en la primera equació la y per (–1 – x):

2x + 3 (–1 – x) = 1


Substituïm en la 1a equació: x = 10 + 16 = 26.

Solució: (x, y) = (26, 10).

b)

Aïllem la y de la 2a, y = 7 -- x, substituïm en la 1a i resolem:

x (7 – x) = 10

7x – x2 = 10

–x2 + 7x – 10 = 0

a = --1, b = 7 i c = --10

Substituïm en l’equació aïllada:

Les solucions són: (x, y) = (2, 5); (x, y) = (5, 2).

c)

Per reducció. Restem les dues equacions:

Resolem l’equació:

x – 2x + 2 = 5 – x – 3 → x – 2x + x = 5 – 3 – 2 → x = 0

Arribem a una identitat, per la qual cosa les dues equacions són equivalents (gairebé són la mateixa). El sistema és com-patible indeterminat: té infi nites solucions. Si aïllem una de les incògnites d’una equació obtindrem una fórmula per trobar totes les solucions. Per exemple, la x de la primera equació:

x = --5 -- y

La solució és: (x, y) = (5 -- y, y)

Per a cada valor de y tindrem una solució del sistema. Exem-ples:

y = 1 → (4, 1) y = 0 → (5, 0) y = --3 → (8, --3)

12. a) Per a quins valors de m l’equació x2 -- mx + 4 = 0 té una solució?

El discriminant de la equació ( = b2 -- 4ac) ha de ser igual a zero:

Resolem la equació que apareix, que té una única incògnita:

2x + 3 (–1 – x) = 1 → 2x – 3 – 3x = 1

2x – 3x = 1 + 3 → –x = 4 → x = –4

Substituïm aquest valor en la igualtat en la qual hem aïllat la incògnita y:

y = –1 – (–4) → y = –1 + 4 → y = 3

La solució del sistema és: (x, y) = (–4, 3).

c) per igualació.

Aïllem una mateixa incògnita de les dues equacions, per exemple la x:

Igualem els membres de la dreta de les equacions:

Resolem l’equació que apareix, que té una única incògnita:

2 (5 –2y) = 3 (5 – 3y)

10 – 4y = 15 – 9y

–4y + 9y = 15 – 10 → 5y = 5

5y = — → y = 1 5

Substituïm aquest valor en qualsevol equació en la qual la x estigui aïllada, per exemple en la primera:

5 – 2 ? 1 5 – 2x = ———— = ——— = 1 3 3

La solució del sistema és: (x, y) = (1, 1).

11. Resol els sistemes d’equacions següents:

a)

Substituïm en la segona, i resolem l’equació:

y + 16 – 2 = 3 (y – 2)

y + 16 – 2 = 3y – 6

y – 3y = –6 – 16 + 2

–2y = –20

–20y = ——— → y = 10 2


a = 1, b = --m i c = 4

→

b) Per a quins valors d’m el sistema

té una solució única?

El sistema ha de ser compatible determinat, és a dir, ≠

→

≠

→ 1 ≠ --m → m ≠ --1

Per a tots els valors diferents de --1.

13. Sense resoldre’ls, classifi ca els sistemes següents:

a)

≠

Sistema compatible determinat → té una solució.

b)

= =

Sistema compatible indeterminat → té infi nites solucions.

c)

= ≠

Sistema incompatible → no té solució.

14. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents:

a) g(x) =

∈ ≠

b) k(x) =

∈ ≠ ≠

15. Siguin f(x) = i g(x) =

f a) Troba les funcions: (f + g) (x), (f ? g) (x), 1—2 (x), g

(f ° f) (x), (g ° g) (x), f–1 (x)

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =

(f . g)(x) = f(x) . g(x) =

(x) =

(f ° f)(x) = f(f(x))

,

,


(g ° g)(x) = g(g(x)) =

f(x) = y → xy + y = 2x -- 1 →

2x -- xy = y + 1 → x (2 -- y) = y + 1 →

x → f --1(x)

b) Troba el domini d’aquestes funcions.

Df + g = Df ? g = Df ° f =

= {x [ R | x ≠ 0, x + 1 ≠ 0} = R – {0, –1}

Df—g

= {x [ R | x2 – 1 ≠ 0} = R – {–1, 1}

Dg ° g = {x [ R | x ≠ 0, x2 – 1 ≠ 0} = R – {0, 1, –1}

Df –1 = {x [ R | 2 – x ≠ 0} = R – {2}

c) Comprova que f --1 (x) és la funció inversa de f (x).

(f --1 o f) (x) = f --1 ( f(x)) = f --1

(f o f --1) (x) =


Bloc 1. Matrius i sistemes

Unitat 1. Matrius

Activitats 1. Cada 100 g de producte d’un determinat aliment conté

0,06 g de vitamina A, 0,3 g de vitamina B i 0,2 g de calci. Anàlogament, un altre aliment conté 0,1 g de vitamina A, 0,2 g de vitamina B i 0,15 g de calci, també per cada 100 g. Escriu la matriu corresponent.

0 06 0 3 0 2

0 1 0 2 0 15

, , ,

, , ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. Donada la matriu A =

2−27

1

1−15

�

−53

−581

−30

−2

J

L

KKK

N

P

OOO

Indica'n:

a) L’ordre.

b) Els elements a11, a23 i a34.

c) La quarta columna.

d) La primera fi la.

a) Ordre(3,5) b) a11 = 2, a

23=-1, a34= 3

c) c4= -5

3

J

L

KKK

N

P

OOO d) f1= ]2 –5 1 –3g

3. En la matriu anterior troba ij tal que:

a) aij = π b) aij = 5

c) aij = 0 d) aij = 8

a) a14 b) a33 c) a25 d) a22

4. Escriu les matrius següents:

a) A = aij( )on i = 1,2,3,4; j = 1,2,3 per a aij = ji .

b) B = bij( ) 2,4( ),

bij = -1( )i+ -1( )j

.

sabent que:d’ordre

c) C = (cij) de tres fi les i tres columnes per a cij = j i.

a) A =

1 1/2 1/3

2 1 2/3

3 3/2 1

4 2 4/3

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

b) B =–2 0 –2 0

0 2 0 2

N

P

OOON

P

OO

c) C =

1 2 3

1 4 9

1 8 27

J

L

KKK

N

P

OOO

5. a) Escriu les matrius que s’obtenen de les de l’activitat anterior intercanviant les fi les per les columnes.

b) Indica l’ordre de cadascuna d’aquestes noves matrius.

a)

A' =

1 2 3 4

1/2 1 3/2 2

1/3 2/3 1 4/3

J

L

KKK

N

P

OOO

'B =

-2 0

0 2

-2 0

0 2

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

C ' =

1 1 1

2 4 8

3 9 27

J

L

KKK

N

P

OOO

b) A’ és d’ordre (3, 4), B ’ és d’ordre (4, 2) i C ’ és d’ordre (3, 3).

6. Escriu una matriu A d’ordre (3, 4).

a) Troba’n la matriu oposada i la matriu transposada. Com-prova que la matriu oposada de la transposada és igual a la matriu transposada de l’oposada.

b) Comprova que t tA] g= A.

Resposta oberta. Per exemple:

J

L

KKK

N

P

OOO

A =

-1

1

-1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

0

0

1

-1

1

1

1

-1

-1

1

1

-1

0

0

0

1

-1

-1

0

-1

-1

1

1

-1

1

-1

a)-A =

J

L

KKK

N

P

OOO

tA =

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

0

-1

1

1

0

1

1

-1

-1

1

-1

1

-tA] g=

t-A] g=

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

b)

t tA] g=

J

L

KKK

N

P

OOO

= A

-1

1

-1

-1

-1

1

1

-1

-1

1

0

0

7. Donades les matrius següents:

2x

x 2 yA 5 i3z2y

4yzB 5

2t3x 1 4

troba els valors de x, y, z i t sabent que A = B.

(1) 2x � 4y(2) 3z ��t(3) x� y � z

(4) 2y � 3x � 4

De (1) i (4)" x��2, y � �1, a (3)"z � �1, i substituint a (2)" t � 3

substituint

8. Escriu una matriu quadrada d’ordre 3 que sigui triangular superior. Calcula’n la traça.


A =

2 3 -1

0 -1 2

0 0 1

J

L

KKK

N

P

OOO

tA= 2 - 1 + 1 = 2


9. Escriu una matriu quadrada d’ordre 4 que sigui alhora si-mètrica i antisimètrica. Hi ha moltes matrius que tinguin aquesta característica?

La matriu quadrada nul·la d’ordre quatre. Només aquesta.

10. Qualsevol matriu diagonal és simètrica? I antisimètrica? Justifi ca les respostes.

Sí, ja que si A és una matriu diagonal tA = A → A és simè-trica.

No, perquè si és una matriu diagonal, els elements de la dia-gonal principal no són zero, i per tant no pot ser antisimè-trica.

11. Per què han de ser zero els elements de la diagonal princi-pal d’una matriu antisimètrica?

Perquè sigui una matriu antisimètrica, els elements de la dia-gonal principal han de verifi car que aii = −aii, d’on s’obté que aii = 0.

12. Tenim la matriu:

6 2 1 42 4 1 21 1 0 14 2 1 3

− −−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

a) Com és aquesta matriu?

b) Troba la matriu transposada de la matriu oposada.

c) Com són entre elles la matriu que has trobat a l’apartat anterior i la matriu inicial?

d) Es pot enunciar, en aquest sentit, alguna propietat ge-neral?

a) És una matriu simètrica.

b)

-6 -2 -1 -4

-2 -4 1 2

-1 1 0 -1

-4 2 -1 -3

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

c) Són oposades.

d) En una matriu simètrica, la transposada de l’opo sada coinci-deix amb la matriu oposada.

13. Donades les matrius

A =

2 -1 3 5

0 1 2 -1

3 0 -2 1

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

0 0 0 3

2 -2 5 1

3 2 -1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

Calcula 3A + 2B.

3 A + 2 B =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

58415

11614

21936

14. Multiplica les matrius ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

4208

6420·

6543

21 i digues quin

ordre té la matriu producte.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

54321048

3420632

148216

ordre (3, 4)

15. Donades les matrius

A =

1 0 22 3 -1

-3 1 5

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

3 -2 40 1 -11 2 -3

J

L

KKK

N

P

OOO

troba la matriu C en cadascun dels casos següents:

a) C = 2B − 3A.

b) C = AB.

a) C =

3 -4 2

-6 -7 1

11 1 -21

J

L

KKK

N

P

OOO

b) C =

5 2 -2

5 -3 8

-4 17 -28

J

L

KKK

N

P

OOO

16. Donades les matrius:

A =

-1 2 11 0 12 1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

1 1 -1

-2 1 30 2 2

J

L

KKK

N

P

OOO

C =

0 -3 13 1 21 -1 4

J

L

KKK

N

P

OOO

a) Comprova les propietats de la suma i del producte de matrius.

b) Prenent els valors k = 2 i h = −3, comprova les propietats del producte d’un nombre per una matriu.

c) Amb el mateix valor de k de l’apartat anterior, comprova les tres primeres propietats de la transposició de ma-trius.

a) Suma:

associativa: A + (B + C) = (A + B) + C =

0 0 1

2 2 6

3 2 6

J

L

KKK

N

P

OOO


17. Amb les matrius de l’activitat anterior, calcula:

a) 2A − 3B + 4C.

b) AB + C.

c) 3A − CB.

d) C(A − 2B).

e) A3.

f) (BC)2.

a)

-5 -11 9

20 1 1

8 -8 10

J

L

KKK

N

P

OOO b)

-5 0 10

4 4 3

1 2 5

J

L

KKK

N

P

OOO c)

-9 7 10

2 -8 -1

3 -5 -4

J

L

KKK

N

P

OOO

d) -13 3 11

0 -8 -4

0 -10 -8

J

L

KKK

N

P

OOO e)

-4 11 4

4 3 4

11 1 3

J

L

KKK

N

P

OOO

f) -10 -6 -26

132 10 186

112 -8 136

J

L

KKK

N

P

OOO

18. Troba x, y, z i w per tal que es verifi qui la igualtat:

22

1 33

4x yz w

xw

y xz w

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(1) 2x = –x + 3

(2) 2y = 2 + y – x

(3) 2z = 1 + z + w

(4) 2w = 3w + 4

De (1) → x = 1; substituint a (2) → y = 1; de (4) → w = − 4, substituint a (3) z = − 3.

19. Es diu que dues matrius A i B commuten quan AB = BA. Comprova, amb matrius quadrades d’ordre 3, que:

a) Una matriu diagonal commuta amb qualsevol matriu del seu mateix ordre.

b) Si I és la matriu unitat, IA = AI = A.

Respostes obertes. Per exemple:

a) A =

1 -1 1

-1 1 1

1 1 -1

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

J

L

KKK

N

P

OOO

La propietat és falsa.

AB =

2 -1 3

-2 1 3

2 1 -3

J

L

KKK

N

P

OOO i

BA =

2 -2 2

-1 1 1

3 3 -3

J

L

KKK

N

P

OOO no són iguals.

existència d’element neutre:

A + O = O + A =

-1 2 1

1 0 1

2 1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

= A

sent O la matriu quadrada nul·la d’ordre tres.

existència d’element simètric:

A + (-A)= (-A)+ A = 0, sent -A =

1 -2 -1

-1 0 -1

-2 -1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

commutativa: A + B = B + A =

0 3 0

-1 1 4

2 3 2

J

L

KKK

N

P

OOO

Producte:

associativa: AB] gC = A BC] g=

18 9 37

10 -1 11

10 2 10

J

L

KKK

N

P

OOO

distributiva: A B + C^ h = AB + AC =

2 7 16

2 -1 6

3 -2 5

J

L

KKK

N

P

OOO

distributiva: A + B^ h C = AC + BC =

9 3 6

7 0 17

11 -5 16

J

L

KKK

N

P

OOO

b) 2 A + B^ h = 2A + 2B =

0 6 0

-2 2 8

4 6 4

J

L

KKK

N

P

OOO

2 + (- 3)6 @ A =-A =

1 -2 -1

-1 0 -1

-2 -1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

2(- 3A)= 2(- 3)6 @ A = -6A =

6 -12 -6

-6 0 -6

-12 -6 0

J

L

KKK

N

P

OOO

1A =

-1 2 1

1 0 1

2 1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

= A

c) t(A + B)=tA +

tB =

0 -1 2

3 1 3

0 4 2

J

L

KKK

N

P

OOO

t2A] g= 2 tA] g=

-2 2 4

4 0 2

2 2 0

J

L

KKK

N

P

OOO

t AB] g=tB] g tA] g=

-5 1 0

3 3 3

9 1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

t A2] g=

tA] g2=

5 1 -1

-1 3 4

1 1 3

J

L

KKK

N

P

OOO


b) IA = AI=

1 -1 1

-1 1 1

1 1 -1

J

L

KKK

N

P

OOO

20. Calcula (tA)A i A(tA) essent:

A =

0 2

-1 1

3 5

J

L

KKK

N

P

OOO

tA] gA =10 14

14 30e o A tA] g=

4 2 10

2 2 2

10 2 34

J

L

KKK

N

P

OOO


A =3 5 -2

-1 7 4� i B =

8 5

-9 06 2

J

L

KKK

N

P

OOO

�

Calcula els productes AB i (tA) . (tB)

AB =-33 11

-47 3e o tA] g tB] g=

19 - 27 16

75 - 45 44

4 18 - 4

J

L

KKK

N

P

OOO

22. Donada la matriu:

A =a aa ae o

a) Calcula A2, A3 i A4.

b) Dedueix la llei general per An.

a) A2=

a aa a

2 2

2 22� �

A3= 22 a3a3

a3a3� � A4

= 23 a4 a4

a4 a4� �

b) A = 2 a aa a� �

n n

n n

n n - 1

23. Donada la matriu:

A=

5 -4 22 -1 1

-4 4 -1

J

L

KKK

N

P

OOO

comprova que A2 = 2A − I, essent I la matriu unitat d’ordre 3.

A2= 2A - I=

9 -8 4

4 -3 2

-8 8 -3

J

L

KKK

N

P

OOO

Activitats fi nals

1. Escriu dues matrius A i B que siguin quadrades d’ordre 3, de manera que es verifi quin les igualtats:

a) A + tA = 2A.

b) A + tB = 0, essent O la matriu quadrada nul.la d’ordre 3.

a) Qualsevol matriu A que sigui simètrica verifi ca la igualtat, ja que:

Si A és simètrica → tA = A → A + tA = A + A = 2A.

b) Qualsevol matriu B que sigui antisimètrica verifi ca la igualtat.

Si B és antisimètrica → tB = −B → B + tB = B − B = O.


A =

-1 1 31 0 22 -1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

; B =

4 -1 02 1 31 2 1

J

L

KKK

N

P

OOO

;

C =

1 2 2

-2 -1 03 2 -4

J

L

KKK

N

P

OOO troba, si existeix, la matriu X:

a) 2A − B + X = C. b) 12

3X B A C− = − .

a) 7 −1 −4 −2 0 −1 0 6 −5

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

b) 20 8 2

18 8 22

4 6 16

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

3. Siguin A i B dues matrius quadrades d’ordre 2, tals que:

A = (aij); a11 = a22 = 1, a12 = 2, a21 = 0

B = (bij); b11 = b22 = a12, b12 = b11 + 1, b21 = 0

a) Escriu les dues matrius.

b) Les matrius A i B commuten?

c) Comprova que A + B^ h A - B] g= A2- B

2.?

Per què creus que passa això? Justifi ca’n la resposta.

a) A =1 2

0 1e o B =

2 3

0 2e o

b) Si, ja que AB = BA =2 7

0 2e o

c) (A + B)(A - B) = A2- B2

=-3 -8

0 -3e o

Si commuten, vol dir que AB = BA, d’on tenim que:

(A + B)(A − B) = AA + BA − AB − BB = = A2 + BA − BA − B2 = A2 − B2

4. Calcula:

1 2 -1 0

3 1 1 -1e o $

1 4

2 3

0 1

1 -1

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

5 9

4 17e o

5. Les matrius:

eA =a b

-b ao i eB =

c d

-d co

commuten? Justifi ca’n la resposta.


Sí, ja que AB = BA =ac -bd ad + bc

-bc -ad -bd + ace o

6. Demostra que si A i B no commuten, aleshores:

(A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2

Si no commuten, tenim que AB ≠ BA, d’on:

(A + B)2 = (A + B)(A + B) = AA + BA + AB + BB = = A2 + BA + AB + B2 ≠ A2 + 2AB + B2

7. Siguin A,B i C matrius quadrades d’ordre 3 i no nul.les.

a) És possible que AB doni la matriu nul.la d’ordre 3?

b) Si es verifi ca que AB = AC, podem assegurar que B = C?

Justifi ca’n les respostes.

a) Sí, ja que el producte de dues matrius no nul·les pot donar la matriu nul.la.

b) No, AB = AC → AB − AC = 0 → A(B − C) = 0 i pot ser que A ≠ 0 i B − C ≠ 0 d’on B ≠ C.

8. En la matriu oeM =a11 a12

a21 a22

, l’element aij representa el nom-

bre d’articles del tipus j comprats pel client i (i, j valen 1 o 2).

Si a la matriu fi la P = (p1 p2), on pj és el preu unitari de l’article j, què representa la primera fi la de la matriu M(tP)?

La primera fi la de la matriu M(tP) és a11 p1 + a12 p2 i representa el preu total que haurà de pagar el client 1 per la compra d’articles del tipus 1 i 2.

9. Sigui A la matriu fi la A = (1 1 0) i B la matriu

columna B =

0

1

1

J

L

KKK

N

P

OOO, calcula les matrius AB i BA.

AB = (1)

BA

0 0 0

1 1 0

1 1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

=

10. Donada la matriu A =1 2

1 0e o, troba A2 i A3.

A2=

3 2

1 2e o

A3=

5 6

3 2e o

11. Troba una matriu X tal que verifi qui la igualtat:AB − X = A2, essent:

A =−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 1 01 0 11 0 0

i B =⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 0 10 1 11 1 0

X = AB - A2= A (B - A) =

1 0 1

0 2 1

0 1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

12. Sigui B = (bij) una matriu quadrada d’ordre 2, tal que b11 = b12 = 1 i b21 = b22 = x. Troba algun valor de x, per al qual es verifi qui la igualtat B2 = B.

B =

1 1

x x" B2

=1 + x 1 + x

x + x2 x + x2.� ��

Si B2 = B " 1 + x = 1 i x + x2 = x, d’on s’obté que x= 0.

13. Troba An si:

A =a 1 - a

1 + a - ae o

Si n és parell An = I, si n és senar An = A.

14. Calcula A5, essent A = 0 0 1

0 1 0

1 0 0

J

L

KKK

N

P

OOO .

com que A2 = I � A5 = A.A4 = A (A2)2 = A.I2 = A.I = A.

Avaluació

1. Perquè una matriu quadrada sigui ortogonal s’ha de com-plir el fet que, multiplicant-la per la seva transposada, en resulti la matriu unitat. Determina si les matrius següents són ortogonals:

A

B

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

0 11 0

1 0 10 1 00 0 1

La matriu A sí que és ortogonal, però la matriu B no ho és.

2. Resol les equacions matricials:

a) A + 2X = B.

b) X − B2 = AB.

essent A B=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 11 1

1 11 1−

a) X =−

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

12

1

0 1 b) X =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 3

2 2


4. Calcula les matrius A i B que són solucions del sistema següent:

3 22 15 4

21 32 0

A B

A B

+ =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ =−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ruwuq

A B=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 7

9 4

1 11

16 8−−

−

3. Calcula A3, per a a11 = a22 = a33 = a21 = a31 = a32 = 1 i a12 = a13 = a23 = 0. Com són les matrius A i A3?

A3

1 0 0

3 1 0

6 3 1

=⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

Són dues matrius triangulars inferiors.


Unitat 2. Determinants

Activitats

1. Troba el valor de s corresponent a la matriu

B =

7 2 45 3 23 5 1

J

L

KKK

N

P

OOO

s = −21 + 12 − 100 + 36 + 10 − 70 = −133

2. Calcula els determinants següents:

a) 2 - 1 2

2 2 + 1

b) e- x 11 e x

c) 1 -1 -1

-1 1 -1

-1 -1 1

d) 1 2 32 3 43 4 5

a) −1 b) 0 c) −4 d) 0


A =

1 3 -12 0 34 1 2

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

-2 1 41 -1 71 1 -3

J

L

KKK

N

P

OOO

C =

3 -5 12 -3 11 0 4

J

L

KKK

N

P

OOO

calcula |A|, |B|, |C| i |A + B + C|.

|A| = 19, |B| = 26, |C| = 2, |A + B + C| = 17.

4. Comprova les igualtats següents:

a) 2t - 10 t - 5

1 + t t= t - 1] g t - 5] g

b) 1 x

x 1= x + 1^ h 1 - x] g

c) a 1 1

1 a 1

1 1 a

= a - 1] g2

a + 2^ h

a) 2t - 101 + t

t - 5t = t2

- 6t + 5 = (t - 1)(t - 5)

b) 1 xx 1 = 1 - x2 = (x + 1)(1 - x)

c) a 1 11 a 11 1 a

= a3 - 3a + 2 = (a - 1)2 (a + 2)

5. Resol les equacions:

a) 1 + x 1 1

1 1 + x 1

1 1 1 + x

= 0

b) x - 1 x + 4

1 + x x= -10

c) 0 x 1

x 1 0

1 0 x

= 7

a) x3 + 3x2 = 0 → x = 0, x = −3

b) −6x − 4 = −10 → x = 1

c) −1 − x3 = 7 → x = −2

6. Calcula el valor numèric de P(−2) per a:

P xx x

xx

( ) =+

+

1 11 1

1 1 1

P(x) = −x3 + 2x − 1 → P(−2) = 3

7. Considerant la matriu A de l’exemple 2, calcula |A| i |A*|. Quina relació hi ha entre els dos determinants?

|A|= −14; |A*| = 196; |A*| = |A|2.

8. Sigui A = (aij) una matriu quadrada d’ordre 3, defi nida per aij = i − j + 1. Troba la matriu A* i comprova que t(A*) = (tA)*.

A) =

1 -2 1

-2 4 -2

1 -2 1

J

L

KKK

N

P

OOO

t A*] g= tA^ h*=

1 -2 1

-2 4 -2

1 -2 1

J

L

KKK

N

P

OOO

9. Sigui la matriu B =1 -1

2 1e o

a) Troba B*.

b) Les matrius B i B* commuten? Justifi ca’n la resposta.

c) Calcula |B|, |B*|, |BB*| i |B*B|

a) B*=1 -2

1 1e o


b) No, perquè BB* =0 -3

3 -3i B*B =

-3 -3

3 0� �� c) B = B* = 3, BB* = B*B = 9.

10. Calcula el determinant 3 1 -2

-1 3 52 1 0

a) Per la regla de Sarrus.

b) Desenvolupant-lo pels elements de la segona fi la.

c) Desenvolupant-lo pels elements de la tercera columna.

a) 10 + 2 + 12 − 15 = 9

b) −(−2) + 3 · 4 + 5(−1) = 2 + 12 − 5 = 9

c) −2(−7) + 5(−1) = 14 − 5 = 9

11. Desenvolupa, per la columna o la fi la més adequada, els determinats:

a) 3 -2 0

-3 9 56 5 0

b) 2 1 -63 -1 70 0 4

c) 3 -1 50 2 01 1 -1

a) 3a columna → −135

b) 3a fi la → −20

c) 2a fi la → −16

12. Comprova amb determinants d’ordre 3 i utilitzant la regla de Sarrus les propietats a), b), c), f) i g).


a) 1 1 1

1 -1 0

0 1 -1=

1 1 0

1 -1 1

1 0 -1= 3

b) 1 1 1

1 -1 0

0 1 -1= 3;

1 1 1

-1 1 0

1 0 -1=-3

c) 1 1 1

2 -2 0

0 1 -1= 6; 2 :

1 1 1

1 -1 0

0 1 -1= 2 : 3 = 6

f) 1 0 0

0 1 0

0 0 1= 1

g) 1 2 1

1 3 0

0 4 -1= 3

1 2 1

1 3 0

0 4 -1=

1 1 1

1 2 0

0 3 -1+

1 1 1

1 1 0

0 1 -1= 2 + 1 = 3

13. Troba els valors de a per tal que cadascun dels determinants següents sigui zero.

a) 1 2 51 -3 aa -2 -8

b) 1 2 2

-3 1 -132 a 13

a) 2a2 + 17a + 30 = 0 → a = −5/2, a = −6

b) 7a + 35 = 0 → a = −5

14. Calcula el determinant següent, calculant només un deter-minant d’ordre 2:

2 1 41 -1 2

-3 1 -2

Resposta oberta. Per exemple, deixant la primera fi la igual i canviant les altres dues per f2’ = f2 + f1 i f3’ = f3 − f1 i desenvo-lupant-lo pels elements de la segona columna nova queda:

-3 6

-5 -6= -12

15. Calcula el determinant de l’activitat anterior per la regla de Sarrus.

4 − 6 + 4 − 12 + 2 − 4 = −12

16. Troba el rang de les matrius següents:

A =

3 1 21 2 -11 1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

3 1 2 51 2 -1 21 1 0 1

J

L

KKK

N

P

OOO

C =

3 1 51 2 52 -1 05 2 1

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

D =

2 -1 11 -2 -13 1 0

J

L

KKK

N

P

OOO

Rang A = 2, rang B = rang C = rang D = 3.

17. Troba els valors de a pels quals rang A ≠ 3.

A =

1 a 1a + 1 1 -a

2 1 -1

J

L

KKK

N

P

OOO

|A| = 0 → −a2 + 3a − 2 = 0 → a = 1, a = 2

18. Sigui A una matriu quadrada regular. Demostra:

a) Si AX = B, aleshores X = A−1 B.

b) Si XA = C, aleshores X = CA−1.

c) Aplica-ho a les matrius:

A = 2 3

-1 5e o

B = -1 4 10 2 -1

e o


23. Considera les matrius:

A =

3 1 20 1 -11 1 2

J

L

KKK

N

P

OOO

; B =

0 0 10 1 01 0 0

J

L

KKK

N

P

OOO

Comprova que:

(BA)−1 = (A−1)(B−1) i (AB)−1 = (B−1)(A−1)

(BA)-1 = (A-1)(B-1)=

-1/2 0 1/2

1/2 2/3 -1/6

1/2 -1/3 -1/6

J

L

KKK

N

P

OOO

(AB)-1 = (B-1)(A-1)=

-1/6 -1/3 1/2

-1/6 2/3 1/2

1/2 0 -1/2

J

L

KKK

N

P

OOO

24. De les matrius següents indica’n una que tingui inversa i calcula aquesta inversa:

A =

1 0 00 1 02 4 1

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

1 2 31 -1 30 3 0

J

L

KKK

N

P

OOO

C =

3 -2 11 -4 -11 1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

Troba una matriu X tal que XA + B = 2C.

La matriu A, A−1 = 1 0 0

0 1 0

-2 -4 1

J

L

KKK

N

P

OOO

X = (2C − B) A−1 =7 -2 -1

11 13 -5

-2 -9 2

J

L

KKK

N

P

OOO

25. Donades dues matrius A = 3 12 1−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

i B = 0 12 1−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, esbrina

si existeix una matriu C que compleixi BC = A, si s’escau, calcula-la.

Sí, existeix.

C = B–1 . A = ⎛

⎝⎜⎜

52

0

3 1

⎞⎞

⎠⎟⎟

Activitats fi nals

1. Calcula el determinant d’una matriu quadrada A d’ordre 3, defi nida per les condicions:

aij = 3 (i = j), aij = 1 (i ≠ j)

C = 1 0

-2 -13 1

J

L

KKK

N

P

OOO

a) AX = B → A−1(AX) = A−1B → (A−1A) X = A−1B → IX = A−1B → X = A−1B

b) XA = C → (XA)A−1 = CA−1 → X (AA−1) = CA−1 → XI = CA−1 → X = CA−1

c) X = A-1 B =

-5/13 14/13 8/13

-1/13 8/13 -1/13

X = CA-1 =

5/13 -3/13

-11/13 4/13

16/13 -7/13

J

L

KKK

N

P

OOO

� �

19. De les matrius:

A =1 02 4e o ; B =

1 2 30 3 0e o ; C =

3 -2 11 1 1e o

a) Indica’n una que tingui inversa.

b) Troba aquesta inversa. Fes-ne la comprovació.

a) La matriu A.

b) A-1 =

1 0

-1/2 1/4� � AA-1 = A-1A =

1 0

0 1� �20. Amb les matrius de l’activitat anterior, troba una matriu X

tal que AX − B = C.

X = A-1 (B + C)=4 0 4

-7/4 1 -7/4f p

21. Troba la inversa de la matriu següent i comprova-la.

A =

1 2 3

-1 1 23 4 2

J

L

KKK

N

P

OOO

Calcula |A−1| i compara-la amb |A|. Què hi observes?

A-1 =

6/11 -8/11 -1/11

-8/11 7/11 5/11

7/11 -2/11 -3/11

J

L

KKK

N

P

OOO;

AA-1 = A-1A =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

J

L

KKK

N

P

OOO; A-1 =-

111

=1A

A = -11

22. Troba una matriu B, tal que BA = (1 2 0) essent A la matriu de l’activitat anterior.

B = −

⎛⎝⎜

1011

611

911

⎞⎞⎠⎟


A =

3 1 1

1 3 1

1 1 3

J

L

KKK

N

P

OOO" A = 20

2. Resol l’equació següent:

x 2 1 2 12 1 3 1 43 1 4 6 1

0x x

x x xx x x

+ ++ −− −

=

−6x2 + 3x = 0 → x = 0, x = 1/2

3. Demostra que les arrels del polinomi següent són 4, 8 i −12.

p x] g =

x 8 88 x 44 4 x

p(x) = x3 − 112x + 384 = (x − 4)(x − 8)(x + 12)

4. Troba el rang de les matrius següents:

A =

1 1 -1 13 2 1 15 3 3 2

J

L

KKK

N

P

OOO

B =

2 1

-3 -21 -11 2

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

C =

1 5 3 2 22 3 1 1 20 7 5 3 2

J

L

KKK

N

P

OOO

D =

1 1 11 1 11 1 - 11 -1 01 -1 0

J

L

KKKKKKK

N

P

OOOOOOO

Rang A = 3, rang B = 2, rang C = 2 i rang D = 3.

5. Calcula el rang de la matriu A =−

− − −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

1 1 0 21 1 1 13 1 1 5

A > 2.

Com que

−

− −=

−

− −=

1 1 0

1 1 1

3 1 1

0

1 1 2

1 1 1

3 1 5

16i , llavors rang A = 3.

6. Decideix, segons els valors de k, el rang de la matriu:

1 k k 2

1 2 41 3 9

J

L

KKK

N

P

OOO

k2 − 5k + 6 = 0 → k = 2, k = 3

Si k ≠ 2 i k ≠ 3, el rang és 3; i si k = 2 o k = 3, aleshores el rang és 2.


A =

-1 1 31 0 22 -1 1

J

L

KKK

N

P

OOO; B =

4 -1 02 1 31 2 1

J

L

KKK

N

P

OOO;

C =

1 2 2

-2 -1 03 2 -4

J

L

KKK

N

P

OOO troba, si existeix, la matriu X:

a) XB = C.

b) AX = B.

a) X = CB 1 =

-1/7 3/7 5/7

-3/7 2/7 -6/7

25/21 -47/21 19/7

J

L

KKK

N

P

OOO

b) X = A 1B =

-1 1 5

-3/2 0 8

3/2 0 -1

J

L

KKK

N

P

OOO

8. Comprova que la inversa de

A =a b

c df p és A–1 = ad - bc

1 d -b

-c af p

Demostra que A–1 =A1

A-1 A=

ad - bc] g2

1 d -b

-c a= =

ad - bc] g2

da - bc = ad - bc1

9. Sigui A = 3 4

-1 - 2f p troba una altra matriu quadrada B

d’ordre 2 tal que AB = 3A.

B = 3 I =

3 0

0 3f p

10. Troba les matrius inverses de:

A = 1 2 -30 1 20 0 1

J

L

KKKK

N

P

OOOO; B =

2 2 31 -1 0

-1 2 1

J

L

KKKK

N

P

OOOO;

C =

2 4 30 1 -

-

12 2 1

J

L

KKKK

N

P

OOOO

. Fes-ne la comprovació.

A−1 = 1 -2 7

0 1 -2

0 0 1

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

B−1 = 1 -4 -3

1 -5 -3

-1 6 4

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

C−1 =

-1/12 -5/6 7/12

1/6 2/3 -1/6

1/6 -1/3 -1/6

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO

AA-1 = A-1 A = BB-1 = B-1 B = CC-1 = C-1 C =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

J

L

KKKKK

N

P

OOOOO


11. Calcula la matriu inversa de A = 5 0 12 3 01 4 1− −

−

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

|A| = 10

A

At

*

( *)

=− −− −− −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

= − − −

3 2 5

4 6 20

3 2 15

3 4 3

2 6 2

− − −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

5 20 12

= − − −

− −

−

310

25

310

15

35

15

12

2

1A

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

32

12. Calcula el determinant de la matriu inversa de la matriu:

A =

2 -3 1

1 4 -1

1 -1 1

J

L

KKKK

N

P

OOOO

A–1 =A1

= 71

13. Té inversa la matriu B? Justifi ca la resposta.

B =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

J

L

KKKK

N

P

OOOO

No té matriu inversa perquè |B| = 0.

14. Tres de les matrius següents no tenen inversa.

A = 2 1 1

0 1 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ B = 2 -4

-1 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

C =

1 1 0

1 2 0

2 0 3

J

L

KKKK

N

P

OOOO D =

1 1 0

1 2 1

2 3 1

J

L

KKKK

N

P

OOOO

Digues quines són, calcula la matriu inversa de la que en té i fes-ne la comprovació.

Les matrius A, B i D.

C−1 = 2 -1 0

-1 1 0

-4/3 2/3 1/3

J

L

KKK

N

P

OOO C C−1 = C−1C =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

J

L

KKK

N

P

OOO

Avaluació

1. a) Calcula el determinant:

a a a

a + b a a

a a + c a

b) Resol l’equació: 2x + 2 x 2

2 2 - x 0

x + 1 0 x + 1

= 0

a) abc; b) x = −1, x = 0, x = 1

2. Donada la matriu A = 1 -2 3

1 1 2

-2 0 -1

J

L

KKKK

N

P

OOOO

Troba la matriu inversa de A i calcula el determinant de la inversa

A− =

− − −

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

1

111

211

711

311

511

111

211

411

311

⎞⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= =−A

A1 1 1

11

3. Resol l’equació X·A = B + C, sabent que

A B C=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 11 2

1 00 1

0 11 0

, i

X · A · A−1 = (B + C) · A−1 → X = (B + C)· A−1

B C

A A At

+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−

1 1

1 1

1;2 1

1 1

2 1

1* ( *)

11

2 1

1 1

1 1

1 1

2 1

1 1

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

⎛

−A

X⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 0

1 0

; ;

4. Estudia el rang de la matriu A = m 2 -33 0 12 m -1

J

L

KKK

N

P

OOO

Si m ≠ 1 i m ≠ −10, el rang és 3.

Si m = 1 o m = −10, el rang és 2.


Unitat 3. Sistemes d’equacions lineals

Activitats

1. Esbrina si (0, 1, 2) és la solució d’algun dels sistemes se-güents:

a)x - 2y + z = 0

3y - 2z = -1

5x + y - z = -1

Z

[

\

]]

]] b)

x - 2y = 0

3x + y = 1

2x - y + z = 2

Z

[

\

]]

]]

c)2x - 4y + 2z = 0

-2y + z = 0

-4x + y + z = 3

Z

[

\

]]

]]d)

3x + z = 2

x + 3y = 1

y + z = 0

Z

[

\

]]

]]

Substituim x = 0, y = 1 i z = 2 en cada una de les equacions de cada sistema. Si es verifi quen les tres alhora, és solució:

a) Sí b) No c) Sí d) No

2. Aplica les propietats de l’equivalència de sistemes fi ns a arribar a un d’esglaonat, per trobar la solució dels siste-mes següents:

a)

x + y + z = 0

2x - 3y + 2z = 1

x + y - 2z = -3

Z

[

\

]]

]] b)

-x + y + z = 2

3x - y + z = 0

-2x + 3y - 5z = -2

Z

[

\

]]

]]

c)x - y + z = 3

2x + y + 3z = 5

-x + y - 8z =-1

Z

[

\

]]

]]d)

8x - 4y + 4z = 0

3x + y + z = 1

x + y + z = 2

Z

[

\

]]

]]

a)x + y + z = 0

-5y = 1

3z = 3*

-x = 54

-y = 51

z = 1

Z

[

\

]]]

]]]

�

b)-x + y + z = 2

x + z = 1

9z = 9*

x =

y =

z = 1

01

Z

[

\

]

]]

�

c)x - y + z = 3

3x + 4z = 8

-7z = 2*

y = 21-5

x = 2164

z =- 72

Z

[

\

]]]

]]]

�

d)

x - y + z = 0

5x + 2z = 1

2x = -1

y = 43

z = 47

x = 2-1

Z

[

\

]]]

]]]

�

3. Aplica el mètode de Gauss per resoldre, si és possible, els sistemes següents. Explica en cada cas de quin tipus de sistema es tracta.

a)

3x - 3y + z = 0

x - 2y + 2z = 3

2x + 2y - 6z = -4

Z

[

\

]]

]] b) x - 2y + 2z = 3

2x + 2y - 3z = 6

Z

[

\

]]

]]

3x - 3y + z = 0

c)

3x - 3y + z = 0

x - 2y + 2z = 3

2x + 2y - 3z = -12

Z

[

\

]]

]]d)

x + y + z = 2

3x - y + 2z = 0

5x + y - z = 1

Z

[

\

]]

]]

a) Posem la segona equació en primer lloc i dividim la tercera per 2 per aplicar Gauss:

1 -2 2 3

3 -3 1 0

1 1 -3 -2

J

L

KKK

N

P

OOO

1 -2 2 3

0 3 -5 -9

0 3 -5 -5

J

L

KKK

N

P

OOO

1 -2 2 3

0 3 -5 -9

0 0 0 4

J

L

KKK

N

P

OOO

� �

el sistema és incompatible.

b) Posem la segona equació en primer lloc. Es pot esquema-titzar el procés representant les fi les de les successives matrius: F1, F2, F3 → F1, F '2 = F2 − 3F1, F '3 = F3 − 2F1 → F1, F '2, F3'' = F '3 − 2F '2 → Compatible determinat: (5, 7, 6)

c) Posar la segona equació en primer lloc. F1, F2, F3 → F1, F '2 = F2 − 3F1, F '3 = F3 − 2F1 → F1, F '2, F3'' = F '3 − 2F '2 → Compatible determinat: (−3, −3, 0)

d) F1, F2, F3 → F1, F '2 = F2 + F1, F '3 = F3 − F1 → F1, F '2, F3'' = F '3 − F '2 → Compatible determinat:

⎛⎝⎜

120

2720

35

⎞⎞⎠⎟

, ,

4. Si en un sistema de tres equacions i tres incògnites subs-titueixes una equació per la que resulta de sumar les tres, obtens un sistema equivalent? Raona la teva resposta.

Sí. La suma de les tres equacions és una combinació lineal d’elles i el sistema que en resulta és equivalent al donat.

5. Escriu dues equacions lineals amb tres incògnites. Afegeix una tercera equació de manera que el sistema format per aquesta i les altres dues sigui compatible indeterminat. Pots afegir una tercera equació perquè el sistema sigui incompatible?

Construïm un sistema de manera que la tercera equació sigui combinació lineal de les dues primeres:

Z

[

\

]]

]]

x 1 y 1 2 z 5 1

x 2 2 y 2 z 5 3

2 x 2 y 1 z 5 4

D'aquesta manera hem aconseguit un sistema compatible in-determinat. Ara canviem el terme independent de la tercera equació, i així obtenim un sistema incompatible.

6. Resol els sistemes que et proposem a continuació en cas que siguin compatibles:


a)2x + y + z = 4

3x + 4y - z = 4

x + 3y + 2z = 4

Z

[

\

]]

]] b)

3x - 5y + 3z = 1

x - 3y + 2z = 2

x + y - z =-3

Z

[

\

]]

]]

c)x - 2y = 15

-3x + 4y = 7* d)

12x - y = 10

14x + 5y = 1*

a) Posem la tercera equació en primer lloc: F1, F2, F3 → F1, F ’2 = F2 − 3F1, F ’3 = F3 − F1 → Compatible determinat:

7 1 1—, —, 12 5 5

b) Posem la segona equació en primer lloc: F1, F2, F3 → F1, F '2 = F2 − 3F1, F '3 = F3 − F1 → Compatible inde terminat ja que F '2 = F ’3. Les solucions expressades en funció de z, són:

z − 7 3z − 5 x = ———, y = ———, z. 4 4

c) Per reducció. Compatible determinat: x = −37 i y = −26

51 64d) Per reducció. Compatible determinat: x = —— i y = −——. 74 37

7. Aplica el teorema de Rouché als sistemes següents i troba la solució dels que siguin compatibles.

a)x - y + z = 7

x + y - z = 3

-x + y + z = 1

Z

[

\

]]

]] b) x - 2y + 2z = 3

2x + 2y - 3z = 6

Z

[

\

]]

]]

3x - 3y + z = 0

c)

2x + y - z = 15

5x - y + 5z = 16

x + 4y + z = 20

Z

[

\

]]

]]d)

3x - y = 0

x + y + z = 1

-x + 3y - z =-2

Z

[

\

]]

]]

a) M’ = 1 -1 1 7

1 1 -1 3

-1 1 1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

|M| = 4, rang M = rang M' = 3, per tant el sistema és com-patible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 2, 4).

b) |M| = 11, rang M = rang M' = 3, per tant el sis te ma és compa- 52 59 10 tible determinat. Es pot resoldre per Gauss: 1——, ——, ——2. 11 11 11

c) |M| = −63, rang M = rang M' = 3, per tant el siste ma és com-patible determinat. Es pot resoldre per Gauss: (5, 4, −1).

d) |M| = −12, rang M = rang M' = 3, per tant el siste ma és com-patible determinat. Es pot resoldre per Gauss:

1 1 4 1−——, −—, —2. 12 4 3

8. Comprova que els sistemes següents són incompatibles:

a)2x - y + z = 2

3x + 2y - 4z = 1

x + 3y - 5z = 4

Z

[

\

]]

]] b)

x + y - z = 0

2x - y - 2z = 1

3x - 3z = 2

*

a) |M| = 0. Hi ha un determinant de segon ordre di ferent de 0, per tant, rang M = 2 i rang M' = 3 ja que el determinant que s’obté en orlar amb la co lumna de termes independents és diferent de 0. El sistema és incompatible.

b) Rang M = 2 i rang M' = 3. Igual que l’apartat anterior.

9. Contesta si cadascuna de les afi rmacions següents és veri-tat o fals:

a) Un sistema de tres equacions i tres incògnites és sem-pre compatible determinat.

b) Un sistema compatible indeterminat té només dues solu-cions.

c) La matriu del sistema de dues equacions i tres incògni-tes és de rang 3.

d) Un sistema és incompatible quan té més equacions que incògnites.

e) En un sistema compatible determinat de tres equacions amb tres incògnites, la matriu ampliada és de rang 3.

f) Un sistema compatible indeterminat pot tenir tres so-lucions diferents.

a) És fals. Depèn dels rangs de les matrius M i M'.

b) És fals. Si és indeterminat té infi nites solucions.

c) És fals. Com a màxim és de rang 2, ja que només es pot considerar un determinant de segon ordre.

d) És fals. Que sigui incompatible només depèn dels rangs de les matrius.

e) És veritat. Coincideixen els rangs de les matrius i no hi ha cap determinant d’ordre superior a 3.

f ) És veritat. Té infi nites solucions i per tant, tres de diferents, com a mínim.

10. Escriu els sistemes següents en forma matricial i troba’n la solució, si són compatibles, utilitzant la matriu inversa:

a)

2x + y - z = 3

x + 3y + 2z = -1

3x - y + 5z = 7

Z

[

\

]]

]] b)

x + y + z = 6

3x - y + 2z = 7

2x + 3y - z = 5

Z

[

\

]]

]]

a)2 1 -1

1 3 2

3 -1 5

J

L

KKK

N

P

OOO

x

y

z

J

L

KKK

N

P

OOO

=

3

-1

7

J

L

KKK

N

P

OOO

|M| = 45, per tant existeix la matriu inversa i podem trobar la solució:

x

y

z

J

L

KKK

N

P

OOO

= 451

17 - 4 5

1 13 -5

-10 5 5

J

L

KKK

N

P

OOO

3

-1

7

J

L

KKK

N

P

OOO

=

2

-1

0

J

L

KKK

N

P

OOO

La solució és: (2, −1, 0)


14. Comprova que els sistemes següents són de Cramer i troba’n la solució utilitzant aquest mètode:

a)

x + y - z = 3

2x - 2y - 3z = 1

x + y -2z = 2

Z

[

\

]]

]] b)

3x - 4y - z = 1

2x + y - 6z = 1

x + y - 3z = 2

Z

[

\

]]

]]

c)

x + y + 2z = 1

2x + 3y + 3z = 1

3x - y + 5z = 2

Z

[

\

]]

]]d)

x - y + z = 1

-x + 3y = 2

2x + 2y + 5z = 8

Z

[

\

]]

]]

e)x + 3y = 6

x - 8y = 16* f)

x + y = 2

2x + 3y = 1*

Per comprovar si els sistemes següents són de Cramer, calcu-lem el determinant Δ de la matriu del sistema. Si és diferent de 0, es pot aplicar aquest mètode. Calculem els determinants corresponents a cada incògnita, tot i que per trobar la tercera incògnita, també podem substituir les altres dues en una de les equacions.

a) Δ = 4, Δx = 12, Δy = 4 i Δz = 4; x = Δx/Δ = 3, y = Δy/Δ = 1 i z = Δz/Δ = 1. La solució és: (3, 1, 1).

b) Δ = 8, Δx = 40, Δy = 24 i Δz = 16. La solució és: (5, 3, 2).

c) Δ = −5, Δx = 5, Δy = 0 i Δz = −5. La solució és: (−1, 0, 1).

5 3d) Δ = 2, Δx = 5, Δy = 3 i Δz = 0. La solució és: 1—, —, 02. 2 2

96 10e) Δ = −11, Δx = −96 i Δy = 10. La solució és: 1——, −——2. 11 11

f) Δ = 1, Δx = 5 i Δy = −3. La solució és: (5, −3).

15. Considera el sistema següent i mira si el pots resoldre pel mètode de Cramer.

2 x + 3 y - 5 z = 8

-x + 2 y - z = 5

5 x - 3 y - 2 z = -7

Z

[

\

]]

]]

Si considerem el sistema:

2x + 3y = 8 + 5z

-x + 2y = 5 + z*

el podem resoldre per Cramer ja que Δ = 7 ≠ 0.

1 18 La solució és: 1— + z, —— + z, z2. 7 7

16. Raona, i resol en cas que sigui possible, els sistemes se-güents pel mètode de Cramer.

a)

x + y + z = 0

2x - 3y + z = 0

5x + y - z = 0

Z

[

\

]]

]] b)

2x - y + 3z = 0

-x + 2y - 3z = 0

x + y = 0

Z

[

\

]]

]]

a) Δ = 26. Es pot resoldre per Cramer. Δx = Δy = Δz = 0 per tenir una columna de zeros. És compatible determinat i la solució és la trivial: (0, 0, 0).

b)1 1

-

1

3 -1 2

2 3 1

J

L

KKK

N

P

OOO

x

y

z

J

L

KKK

N

P

OOO

=

6

7

5

J

L

KKK

N

P

OOO

|M| = 13, per tant existeix la matriu inversa i podem trobar la solució:

x

y

z

J

L

KKK

N

P

OOO

= 131

-5 4 3

7 -3 1

11 -1 -4

J

L

KKK

N

P

OOO

6

7

5

J

L

KKK

N

P

OOO

=

1

2

3

J

L

KKK

N

P

OOO

La solució és: (1, 2, 3).

11. Escriu un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Posa’l en forma matricial. Té inversa, la matriu del sis-tema? És un sistema compatible i determinat? Raona les teves respostes.

Per exemple:3x + 2y + z = 1

x + y + z = 3*

En notació matricial:3 2 1

1 1 1e o

x

y

z

J

L

KKK

N

P

OOO

=1

3e o

La ma triu M és d'ordre (2, 3), no és quadrada i no té inversa. No es pot re soldre el sistema per aquest mètode. El sistema és compatible indeterminat. Les dues matrius són de rang 2.

12. Escriu en forma matricial el sistema:

2x - y 2z = 0

-x +

+

2y - z = 1

x + y + z = 1

Z

[

\

]]

]]

El pots resoldre utilitzant la matriu inversa? Raona la teva resposta.

2 -1 2

-1 2 -1

1 1 1

J

L

KKK

N

P

OOO

x

y

z

J

L

KKK

N

P

OOO

=

0

1

1

J

L

KKK

N

P

OOO

|M| = 0, per tant, M no té inversa i no es pot resoldre el siste-ma per aquest mètode.

13. Resol el sistema següent en forma matricial:

x - 3y = 2

2x + y = 3*

1 3

2 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

x

y

M

x

y

2

3

7

177

1 3

2 1

2

3

11717

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

11 1 La solució és: x = —— i y = −—. 7 7


b) Δ = 0 . Podem considerar el sistema:

2x - y =-3z

-x + 2y = 3z*

Δ' = 3;Δx =-3z -1

3z 2=-3z; Δy =

2 -3z

-1 3z= 3z; z l=''

compatible indeterminat i la solució és: (−λ, λ, λ).

17. Resol els sistemes homogenis següents:

a)

x - y + z = 0

2x + y - z = 0

y + z = 0

Z

[

\

]]

]] b)

x + y + z = 0

2x - y + 3z = 0

4x + y + 5z = 0

Z

[

\

]]

]]

c)x + y = 0

y + z = 0

x + z = 0

* d)3x + y - z = 0

-2x - y + 2z = 0

x + z = 0

*

e)

x - y - z = 0

3x + 5y + z = 0

-2x + 4y = 0

Z

[

\

]]

]]

a) Δ = 6, Δx = Δy = Δz = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).

1 3b) Δ = 0. Compatible indeterminat: 1λ, −— λ, −— λ2. 4 4

c) Δ = 2, Δx = Δy = Δz = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).

d) Δ = 0. Compatible indeterminat: (λ, −4λ, −λ).

e) Δ = −24, Δx = Δy = Δz = 0. Compatible determinat: (0, 0, 0).

18. Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els que siguin compatibles.

a)

x + y + z = 62x - y + 3z = 94x + y + 5z = 21

Z

[

\

]]

]] b)

2x - 3y + z = 94x + y - z =-16x - 2y = 8

Z

[

\

]]

]]

c)

2x + 3y = 0x + 3z = 3x + y + 3z = -7

Z

[

\

]]

]]d)

2x - 4y + 6z = 2y + 2z = -3x - 3y + z = 4

Z

[

\

]]

]]

e)

2x + 3y - z =-5x + 2y - z =-55x + y + z = 11

Z

[

\

]]

]] f)

2x - y =-7x + 2y = 45x + y =-73x + y =-3

Z

[

\

]]]

]]

a) |M| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es poden expressar: (9 − 4λ, λ, −3 + 3λ).

b) |M| = 0. Rang de M = 2 i rang M' = 2. El sistema és compati-ble indeterminat. Solucions:

1 3 3 191—— λ + ——, —— λ − ——, λ2 7 7 7 7

c) |M| = 12. Rang M = rang M' = 3. El sistema és compatible de-terminat. Es pot resoldre per Cramer perquè té ja Δ = |M| == 12; Δx = −36; Δy = 24; Δz = 24. La solució és: (−3, 2, 2).

d) |M| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat i es pot resoldre per Gauss. Les solucions es poden expressar: (−5 − 7λ, −3 − 2λ, λ).

e) |M| = −3. Rang M = rang M' = 3. El sistema és compatible determinat. La solució és: (2, −2, 3).

f) |M| = 5. Rang M = rang M' = 2. El sistema és compatible determinat. La solució és: (−2, 3).

19. Discuteix els sistemes següents segons els valors del parà-metre k:

a)

x - 2y + z = 1

2x + y - 3z = 2

kx - y - 2z = 3

Z

[

\

]]

]] b)

x + y + z = 0

x + y + 2z = 0

kx + 2y + z = 0

Z

[

\

]]

]]

c)x + y + z = 0

3x + 2y + kz = 5

2x + y - z = 3

Z

[

\

]]

]]d)

2x + y + z = 3

x - 3y + 8z = 2

3x + 5y + kz = 5

Z

[

\

]]

]]

e)2x + y + z = 1

kx + 2z = 2

4x + z = 0

* f)

x - ky = 1

2x + ky = k

x + y = 2

Z

[

\

]]

]]

a) Si fem |M| = 0 → k = 3. Per aquest valor, rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. Per a k ≠ 3 és com-patible determinat.

b) Si fem |M| = 0 → k = 2. Per aquest valor, rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. Per a k ≠ 2 és compa-tible determinat i té la solució trivial.

c) Si fem |M| = 0 → k = 0. Per a k = 0 el sistema és incompati-ble, ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per a k ≠ 0 és compatible determinat.

d) Si fem |M| = 0 → k = −6. Per a k = −6 el sistema és incompa-tible, ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per a k ≠ −6 és com-pa tible determinat.

e) Si fem |M| = 0 → k = 8. Per a k = 8 el sistema és incompati-ble, ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per a k ≠ 8 és compatible determinat.

f) Només serà compatible determinat si rang M = rang M' = 2. Això implica que |M'| = 0 → k = 2 ± √−

6 . Només és com-patible determinat per aquests dos valors de k. Per valors diferents d'aquests és incompatible.

20. En una granja hi ha porcs, vaques i cavalls; en total 54 ani-mals. El nombre de vaques representa 3

4 del nombre de

porcs, i el de cavalls, 23

del de vaques.

Quants animals hi ha de cada classe a la granja?

x: nombre de porcs, y: nombre de vaques, z: nombre de cavalls.


x + y + z = 54

y = 43 x

z = 32 y

Z

[

\

]]]

]]

Ho podem resoldre per substitució. La solució és: 24 porcs, 18 vaques i 12 cavalls.

21. La suma de les edats de tres persones és 100 anys. Troba l’edat de cadascuna d’elles si saps que la del mig té 10 anys més que la més petita, i que la més gran té tants anys com les altres dues juntes.

x: edat del més gran, y: edat del mitjà, z: edat del més petit.

x + y + z = 100

y = 10 + z

x = y + z

Z

[

\

]]

]

Ho podem resoldre per substitució.

La solució és: 50, 30 i 20 anys, respectivament.

22. En un nombre de tres xifres la suma d’aquestes és 10. La xi-fra de les desenes és 3 i quan s’inverteix l’ordre d’aquestes xifres, s’obté un altre nombre que excedeix el primer en 495 unitats. Troba aquest nombre.

xyz → 100x + 10y + z

x + y + z = 10

y = 3

100z + 10y + x - (100x + 10y + z) = 495

Z

[

\

]]

]

El nombre és 136.

23. L’edat d’en Pere és el doble de l’edat de la Maria. Fa 7 anys la suma de les edats era igual a l’edat actual d’en Pere. Troba les dues edats.

x: edat d’en Pere, y: edat de Maria.

x = 2y

x - 7 + y - 7 = x*

Solució: 28 i 14 anys, respectivament.

24. Les edats d’una nena, el seu pare i la seva àvia sumen 100 anys. Calcula aquestes edats sabent que la diferència entre l’edat del pare i la de la seva filla és la meitat de l’edat de l’àvia i que 14 vegades l’edat de la nena és el doble de l’edat del pare.

x: edat de la nena, y: edat del pare, z: edat de l’àvia.

x + y + z = 100

y - x = z/2

14x = 2y

Z

[

\

]]

]

Solució: 5, 35 i 60 anys, respectivament.

25. D’un nombre de tres xifres sabem que:

− Sumant la xifra de les centenes amb la de les unitats s’obté la xifra de les desenes.

− Les tres xifres sumen 10.

− Si s’inverteix l’ordre de les xifres, s’obté un altre nombre 297 unitats més gran.

Calcula el nombre.

xyz → 100x + 10y + z

x + z = y

x + y + z = 10

100z + 10y + x - (100x + 10y + z) = 297

Z

[

\

]]

]

El nombre és 154.

Activitats fi nals

1. Estudia la compatibilitat dels sistemes següents i resol els que siguin compatibles.

a)

x y zx y zx y z

+ + =+ + =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

22 3 5 11

5 6 29 b)

x y zy zx y

− + =+ =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

32 3 153 12

c)

x yy zx z

+ =+ =+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

1286

d)

x y zx y zx y z

+ − = −+ − = −− + = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 3 163 2 102 3 4

e)

3x + y - z = 3

-6x + 2y + z = 818x - 5y + 2z =-10

Z

[

\

]]

]] f)

x y zx y zx y z

+ − =− + =− − = −

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 92 4 42 6 1

g)2x - 5y + 3z =-123x + 2y - 5z = 17x - 4y + 2z = 0

Z

[

\

]]

]] h)

x + y + 3z = 0

x - y + z = 0

2x + y + 5z = 0

Z

[

\

]]

]]

i)

x + 1 - 3_ iy + 1 + 3_ iz = 1

1 + 3_ ix + y + 1 - 3_ iz = 1

1 - 3_ ix + 1 + 3_ i y + z = 1

Z

[

\

]]

]]

a) |M| = 23 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució és (1, −2, 3).

b) |M| = −18 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució és (3, 3, 3).

c) |M| = 2 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució és (5, 7, 1).

d) |M| = 14 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució és (1, 5, 9).

e) |M| = 63 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible 1 determinat. La solució és 1—, 4, 22. 3

f) |M| = 30 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible 1 determinat. La solució és 14, 6, —2. 2


5. Considera el sistema:

x + my + z = 4

x + 3y + z = 5

mx + y + z = 4

Z

[

\

]]

]]

Troba els valors de m pels quals el sistema no és de Cramer. Resol el sistema per aquest mètode quan m = −1.

No és de Cramer si Δ = 0 → m = 3 i m = 1. Per a m = −1, Δ = 8 i 1 1 el sistema és compatible determinat. La solució és 1—, —, 42. 4 4

6. Discuteix el sistema següent segons els valors de t i prova de resoldre’l quan sigui compatible:

5x - 11y + 9z = t

x - 3y + 5z = 2

2x - 4y + 2z = 1

Z

[

\

]]

]]

Per a t = 4, rang M = rang M' = 2 i el sistema és com pa tible in- −5 + 14λ −3 + 8λ determinat. Les solucions són 1—————, —————, λ2. Per a 2 2 t ≠ 4 és incompatible, ja que rang M = 2 i rang M' = 3.

7. Un antiquari compra tres peces d’art per dos milions d’eu-ros. Confi a a vendre-les amb uns guanys del 20%, del 50% i del 25%, respectivament, amb la qual cosa obtindria un benefi ci de 0,6 milions. Però en una subhasta ha aconse-guit uns guanys del 80%, del 90% i del 85%, respectiva-ment, fet que li ha representat un benefi ci de 1,7 milions. A quin preu va comprar cada peça?

x: preu 1a peça, y: preu 2a peça, z: preu 3a peça (en milions d’euros).

x + y + z = 2

1,2x + 1,5y + 1,25z = 2,6

1,8x + 1,9y + 1,85z = 3,7

Z

[

\

]]

]

Solució: 0,5, 0,5 i 1 milions, respectivament.

8. Resol el sistema següent i analitza’n la compatibilitat. Demostra que hi ha infi nites solucions que tenen els tres valors de les incògnites positius.

3x - y + z = 1

-5x + 5y + z = -1x + 8y + 7z = 2

Z

[

\

]]

]]

Compatible indeterminat, ja que rang M = rang M' = 2. Una ex-

pressió de les solucions és: 52 - 3l ,

51 - 4l , lb l.

Cal resoldre les inequacions que donen les solucions en nombres

positius. Pels valors de λ tal que 0 < λ < 14

les infinites solu-cions són positives.

9. Considera les equacions:

2x − y + z = 0 i 3x − 2y − z = 3

Escriu una tercera equació que, amb les dues anteriors, formi un sistema que sigui:

g) |M| = 95 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat. La solució és (2, 5, 3).

h) |M| = 0 → rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat. La solució és (−2λ, −λ, λ).

i) |M| = 27 → rang M = rang M' = 3 i el sistema és compatible determinat; es pot resoldre per reduc ció o Gauss. La solució és

1 1 1 1—, —, —2. 3 3 3

2. Raona per què tots els sistemes següents són compatibles. Expressa la solució dels indeterminats.

a)

x y zx y z

x y z

+ + =− − =

− − =

⎧⎨⎪

⎩⎪

02 3 2 0

0 b)

2 3 03 0

6 8 0

x y zx y zx y z

− − =− + − =− − + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

c)

x y zx y zx y z

+ − =+ − =− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

02 2 2 02 0

d)

x y zx y zx y z

− − =+ − =

− + + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

000

Són sistemes homogenis i tenen com a mínim la solució trivial. c) és compatible indeterminat ja que |M| = 0. Les solucions són (0, λ, λ).

d) és compatible indeterminat per la mateixa raó. Les solucions són (λ, 0, λ).

3. En una granja hi ha 1 300 caps de bestiar distribuïts en tres corrals de manera que la relació entre el nombre d’animals del primer corral i el del segon és 19/18 i la relació entre el nombre d’animals del segon i tercer és 6/5. Calcula quants animals hi ha en cada corral.

x: nombre de caps en el primer corral, y: nombre de caps en el segon, z: nombre de caps en el tercer.

x + y + z = 1300

xy =

1918

Z

[

\

]]]

]] y

z =65

Per substitució es resol fàcilment. La solució és 475, 450 i 375 caps de bestiar, respectivament.

4. Un constructor compra tres parcel.les i paga, respectiva-ment, 1500 €/m2, 1800 €/m2 i 2000 €/m2. Calcula la su-perfície de cada una sabent que entre les tres fan 1870 m2, que el preu total de l’operació és de 3360000 € i que el preu de la tercera parcel.la representa les tres quartes parts del preu de les altres dues juntes.

x: m2 1a parcel.la, y: m2 2a parcel.la, z: m2 3a parcel.la.

x + y + z = 1870

150x + 180y + 200z = 336 000

200z =34— 150x +180y_ i

Z

[

\

]]

]]

La solució és 500 m2, 650 m2 i 720 m2.


14. Donat el sistema d’equacions lineals següent:

x + y - z = 2x - y + 2z = 62x + 8y - 11z = -8

Z

[

\

]]

]]

a) Digues, raonadament, quantes solucions té.

b) Calcula, si és possible, una solució les tres components de la qual sumin 0.

a) El sistema és compatible indeterminat ja que:

rang M = rang M' = 2

Una expressió de les infinites solucions és:

28 - l ,

2-4 + 3l ,lb l

b) La suma de les expressions de les tres incògnites igualada a 9 7 0 dóna λ = −1, així una solució és: 1—, −—, −12. 2 2

15. Una fàbrica d’electrodomèstics té una producció setmanal fixa de 42 unitats. La fàbrica proporciona subministrament a 3 establiments que li adquireixen tota la producció. Una setmana, el primer establiment va sol.licitar tantes unitats com els altres dos plegats, mentre que la comanda del segon establiment va superar en un 20% la meitat del que va dema-nar el primer més la tercera part del que va demanar el ter-cer. Quants electrodomèstics va sol.licitar cada establiment?

x, y, z: electrodomèstics subministrats a cada establiment.

x + y + z = 42

x = y + z

y = 1,2 + 21

Z

[

\

]]

]]

x2

z3

La solució és 21, 15 i 6, respectivament.

16. Un alumne ha presentat tres exercicis de matemàtiques, ca-dascun dels quals ha estat qualificat sobre 20 punts pel seu professor. La suma de les tres notes obtingudes és de 33 punts; la primera nota és igual a la semisuma de les altres dues i la diferència entre les dues primeres notes és de 8 punts. Determina les tres qualificacions obtingudes per aquest alumne.

x, y, z: punts de cada exercici.

x + y + z = 33

2x = y + z

x - y = 8

Z

[

\

]]

]

La solució és 11, 3 i 19 punts, respectivament.

17. Amb 48 monedes fem tres munts. Si del primer munt pas-sem al segon tantes monedes com hi ha en aquest, del segon en passem al tercer tantes com n’hi ha al tercer i del tercer en passem al primer tantes com n’hi ha al primer, resulta que tenim el mateix nombre de monedes a cada munt. Com havíem distribuït les monedes al principi?

Nombre de monedes de cada munt: x, y, z

a) Compatible determinat.

b) Compatible indeterminat.

c) Incompatible.

Per exemple:

a) Resolem el sistema format per les dues equacions —que és indeterminat— i escrivim una tercera equa ció que verifi qui una solució particular: 5x + y − 5z = 9.

b) Qualsevol combinació lineal de les dues equa cions: 5x − 3y = 3.

c) Com l’anterior però amb el terme independent di ferent: 5x − 3y = 9.

10. Les tres xifres d’un nombre sumen 18. Si a aquest nombre li restem el que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, s’obté 594. Troba aquest nombre si sabem que la xifra de les desenes és la mitjana aritmètica de les altres dues.

x y z → 100x + 10y + z

x + y + z = 18

100x + 10y + z - (100z + 10y + x) = 594

y = 2x + z

Z

[

\

]]

]]

El nombre és 963.

11. Per la festa major, un noi va a tres espectacles diferents. El primer dia va dues vegades a l’espectacle x, una al y i l’altra al z, i es gasta 130 €. El segon dia va tres vegades al x i una al y i es gasta 180 €. El tercer dia va un cop a cada espectacle i es gasta només 80 €. Quin era el preu de cada espectacle?

x, y, z: preus dels espectacles, respectivament.

*

2

3

x

x + y + z = 130

x + y = 180

+ y + z = 80

La solució és x = 50 euros, y = 30 euros i z és gratis.

12. Troba l’edat de tres germans sabent que el triple de l’edat del primer menys el doble de l’edat del segon més l’edat del tercer fan 22 anys, l’edat del primer menys la del segon més el doble de la del tercer fan 8 anys, i el doble de la del primer més la del segon menys la del tercer fan 20 anys.

x, y, z: les tres edats.

3x - 2y + z = 22

x - y + 2z = 8

2x + y - z = 20

Z

[

\

]]

]

La solució és 9, 3 i 1 anys, respectivament.

13. Se sap que el gràfi c de la funció f(x) = ax2 + bx + c passa pels punts (3, −1), (2, 0) i (−1, 15). Calcula’n els coefi -cients a, b i c.

f(3) = 9a + 3b + c = −1

f(2) = 4a + 2b + c = 0

f(−1) = a − b + c = 15

La solució és f(x) = x2 − 6x + 8.


2. (Curs 2003-2004) En estudiar un sistema lineal depen-dent del paràmetre k pel mètode de Gauss, hem arribat a la matriu ampliada següent:

1 3 20 2 50 0 1

8120

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

kk

Discuteix el sistema en funció del paràmetre k.

Si Δ = 0 → k = 1 o k = 2. Per tant:

Si k ≠ 1 i k ≠ 2, Δ ≠ 0 i el sistema és compatible determinat, ja que rang M = rang M' = 3.

Si k = 1, rang M = rang M' = 2 i el sistema és compatible indeterminat.

Si k = 2, rang M = 2 i rang M' = 3, i el sistema és incompatible.

3. (Curs 2004-2005) Resol el sistema d’equacions següent:

x y zx y z

x y z

+ + =+ − =

− + = −⎫⎬⎪

⎭⎪ 12 3 4 9

1

Resolem per Gauss:

1 1 12 3 41 1 1

191

1 1 10 1 60 2 0

172

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

→ −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

→1 1 10 1 00 0 12

1112

1 1 10 1 00 0 11

111−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

d’on resulta (x, y, z) = (1, 1, −1)

4. (Curs 2003-2004) La Joana i la Mercè tenien 20 000 € cadascuna per invertir. Cadascuna d’elles fa la mateixa distribució dels seus diners en tres parts P, Q i R, i les porta a una entitat fi nancera. Al cap d’un any, a la Joana li han donat un 4% d’interès per la part P, un 5% per la part Q i un 4% per la part R, i a la Mercè li han donat un 5% per la part P, un 6% per la part Q i un 4% per la part R. La Joana ha rebut en total 850 € d’interessos, mentre que la Mercè n’ha rebut 950 €. De quants euros constava cadascuna de les parts P, Q i R?

x: valor en € de la part P.

y: valor en € de la part Q.

z: valor en € de la part R.

x + y + z = 20 000

4100

5100

4100

850

5100

6100

4100

950

x y z

x y z

+ + =

+ + =

Resolent el sistema obtenim x = 5 000 €, y = 5 000 € i z = 10 000 €.

2(x - y)= 16

2y - z = 16

2z - (x - y)= 16

Z

[

\

]]

]

La solució és 22, 14 i 12 monedes, respectivament.

18. En sumar de dues en dues les edats de tres persones s’obtenen 39, 43 i 46 anys. Troba l’edat de cadascuna d’aquestes per-sones.

Edats: x, y, z.

Z

[

\

]]

]

x + y = 39

y + z = 43

x + z = 46

La solució és 21, 18 i 25 anys, respectivament.

19. Un número consta de dues xifres que sumen 9. Esbrina de quin número es tracta sabent que, en dividir-lo pel que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, s’obté 2 de quocient i 18 de residu.

xy → 10x + y

x + y = 9

10x + y = 2(10y + x) + 18*

El número és 72.

20. En un garatge hi ha cotxes i motos. Si coneixem el nombre total de llums (dos cada cotxe i un cada moto) i el nombre total de rodes (quatre cada cotxe i dues cada moto), és possible determinar el nombre de cotxes i de motos que hi ha al garatge? Per què?

No és possible determinar els cotxes i les motos que hi ha en el garatge, ja que les dues condicions són equi valents. La segona és la primera multiplicada per 2.

21. Un pare vol repartir una heretat entre els seus fills. Si dóna 30 000 € a cadascun, li sobren 20 000 €, mentre que si dóna 35 000 € a cada fill, li’n falten 5 000 €. Troba el nombre de germans i el valor de l’heretat.

x: nombre de germans, y: import de l’herència.

30000x = y - 20000

35000x = y + 5000*

5 fi lls i 170 000 euros d’herència.

Avaluació

1. (Curs 2002-2003) Considera un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i amb coefi cients reals. És pos-sible que el sistema tingui exactament dues solucions? I exactament tres solucions? Justifi ca les respostes.

No és possible que tingui ni 2 ni 3 solucions exactament, ja que si un sistema lineal amb coefi cients reals té més d’una solució, és indeterminat i llavors té infi nites solucions.


Bloc 2. Programació lineal

Unitat 4. Sistemes d’inequacions lineals

Activitats

1. Esbrina si els números - 3, - 1,21, 2 i 5 són solució d’aques-

tes inequacions:

a) 3 x - 2] g+ 5 > 2x

b) x - 3 $ 2

c) 3

6x - 5 # 5x

Són solució:

a) x = 2 i x = 5

b) x = 5

c) x = 12

, x = 2, x = 5

2. Resol les inequacions següents:

a) 3 x - 5] g+ 7 > 2x - 3

b) 2 3x - 2] g # 3 2x + 1^ h

c) 5

2x - 3- 2

1 #2

x - 1

d) x + 3

4 > 2

a) 3x − 15 + 7 > 2x − 3 → x > 5 → S = (5, + ∞)

b) 6x − 4 ≤ 6x + 3 → −4 ≤ 3 → S = R

c) 4x − 6 − 5 ≤ 5x − 5 → −x ≤ 6 → x ≥ −6 → S = [−6, +∞)

d) Com que el resultat del quocient és 2, i 2 > 0, cal que x + 3 > 0 → x > −3. D’altra banda, com que x + 3 > 0, podem escriure: 4 > 2 (x + 3) → 4 > 2x + 6 → −2 > 2 x → x < −1

S’han de complir, doncs, dues condicions alhora:

x > −3 i x < −1 → S = (−3, −1).

3. Representa a la recta real el conjunt solució de cadascuna d’aquestes inequacions:

a) 2 3x - 1] g- 5 x + 2^ h < 3 x - 2] g

b) - 3x + 2^ h - 6 $ 2x - 9

c) 3

2x + 1 < x - 21 - x

d) 2x

- 42x - 1 $ 1 - 2

x - 3

a) 6x − 2 − 5x − 10 < 3x − 6 → −2x < 6 → x > −3

S = (−3, ∞)

−3

b) −3x − 2 − 6 ≥ 2x − 9 → −5x ≥ −1 → x ≤ 15

S = (−∞, 15 G

15

c) 4x + 2 < 6x −3 + 3x → −5x < −5 → x > 1

S = (1, +∞)

1

d) 2x − 2x + 1 ≥ 4 − 2x + 6 → 2x ≥ 9 → x ≥ 92

S = F 92 , +∞D

92

4. Escriu una inequació de primer grau amb una incògnita que:

a) No tingui solució.

b) El conjunt solució sigui R.

Justifi ca les respostes.


a) 4 (x + 1) < 4 x − 3

b) 3 (2 − x) ≥ 2 (x + 1) − 5x

5. Resol gràfi cament aquests sistemes d’inequacions:

a)x # 2

1

x > 37

Z

[

\

]]

] b)

x >- 21

x # -5*

c)3 > x

x $ -1) d)

x $ 31

x > 2*


a) 12

73

S = ø

b) 1− — 2

S = ø

−5

c) 3

−1S =[−1, 3)


9. Escriu la forma general que tenen les equacions implícita i explícita de qualsevol recta que passa per l’origen de co-ordenades.

C = 0 → Ax + By = 0 → equació implícita

By = −Ax → y = − AB x = mx → equació explícita

10. Quin és el valor del pendent de la recta que és bisectriu dels quadrants primer i tercer? I el de la recta que és bi-sectriu dels quadrants segon i quart?

Bisectriu quadrants primer i tercer: y = x

α = 45º → m = tg 45º = 1

Bisectriu quadrants segon i quart: y = −x

α = 135º → m = tg 135º = −tg 45º = −1

11. El punt P(−2, b) pertany a la recta que té com a equació 4x − 3y + 2 = 0. Calcula b.

4x − 3y + 2 = 0 P (−2, b) 4 · (−2) − 3 b + 2 = 0 → b = −2

12. Troba l’equació de cadascuna de les rectes següents i ex-pressa-la en forma explícita i en forma implícita:

a) La recta que passa pels punts P(−1,4) i Q(2,−5).

b) La recta de pendent −2 que conté el punt R(1,−3).

c) La recta que passa pel punt S(3,5) i forma un angle de 0º amb l’eix d’abscisses.

d) La recta que passa per l’origen de coordenades i forma un angle agut α amb l’eix OX considerat en sentit posi-

tiu tal que sin α = 35 .

a) m =2 - -1] g

-5 - 4= 3

-9=-3

y − 4 = −3 (x + 1) → y − 4 = −3 x − 3

equació implícita: 3x + y − 1 = 0

equació explícita: y = −3x + 1

b) y + 3 = −2(x −1) → y + 3 = −2x + 2

equació implícita: 2x + y + 1 = 0

equació explícita: y = −2x −1

c) m = tg 0º = 0

equació explícita: y = 5

equació implícita: y − 5 = 0

d) sin x = 35 → cos x = 1 - sin 2 x =

45 →

tg x = sin xcos x =

34 → M = tg x =

34

equació explícita: y = 34

x

equació implícita: y − 34 x = 0 → 3x − 4y = 0

d)

S = (2, + ∞)

13

2

6. Escriu, per cada cas, un sistema de primer grau amb una incògnita la solució del qual sigui:

a) S = Ø b) S = { −2 }

c) S = [3, +∞) d) S = (−∞, −1)


a)x + 2 # 0

x > 1) b) 2 x + 5^ h $ x + 8

3x - 5 # 2x - 7)

c)2x - 1 $ x + 2

5x - 3 > 2) d)

x + 3 < 2

23x - 2 + 2x < 2 x + 1^ h*

7. Resol aquests sistemes:

a)x + 1 > 0

2x - 1 < 3) b)

3 x - 1] g+ 2 # 2x - 3 1 - x] g

5x - 2 >- 1)

c)3

2x - 1 # x + 2

2x + 1 $ 3

x - 2

Z

[

\

]]

] d)

2 x + 1^ h- 3 $ 3x - 2 1 + x^ h

33x - 2 # 2

x - 1*

a )x + 1 > 0 " x >-1

2x - 1 < 3 " 2x < 4 " x < 2)

S = -1, 2^ h

b)3x - 3 + 2 # 2x - 3 + 3x " 2 # 2x " x $ 1

5x - 2 >- 1 " 5x > 1 " x > 51*

S = 1, + 36 h

c)2x - 1 # 3x + 6 " - 7 # x " x $ -7

3x + 3 $ 2x - 4 " x $ -7)

S = 7, +36 h-

d)2x + 2 - 3 $ 3x - 2 - 2x " x $ - 1

6x - 4 # 3x - 3 " 3x # 1 " x # 31*

S = -1, 31

: D

8. Quina és l’equació explícita de la recta de pendent − 23 i

ordenada a l’origen 2? I l’equació implícita?

y = − 23

x + 2 → equació explícita

3y = −2x + 6 → 2x + 3y − 6 = 0 → equació im plí cita


Recta t:

recta paral·lela a l’eix OX que passa, per exemple pel punt (0, −2)

m = 0 → y = −2

15. Indica el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que conté els punts (−2, 5) i (3,−1).

m = −1 − 53 − (−2) = −6

5

y − 5 = −65 (x + 2) → y = − 6

5 x − 125 + 5 →

y = − 65 x + 135

Pendent: m = − 65

Ordenada a l’origen: n = 135

16. Troba l’equació de la recta que talla els eixos de coordena-des en els punts (3, 0) i (0, −5).

m = −5−3 = 5

3

y = 53 (x −3) → y = 5

3 x − 5

17. Considera el punt P de coordenades (4, −3). Escriu l’equació de la recta que passa per P i és paral·lela a l’eix d’abscisses i la de la recta que passa per P i és paral·lela a l’eix d’orde-nades.

Recta paral·lela a l’eix OX → y = −3

Recta paral·lela a l’eix OY → x = 4

18. Justifi ca la validesa de l’afi rmació següent:

Si una recta és paral·lela a la recta 2x + 3y − 4= 0, se-gur que la seva equació es pot expressar en la forma 2x + 3y + C = 0, amb C ≠ −4.

Determina l’equació de la recta que passa pel punt (−1,4) i és paral·lela a la recta 2x + 3y − 4 = 0.

L’afi rmació és certa, ja que es compleix la condició de paral·lelisme:

22

= 33 ≠

−44

2x + 3y + C = 0 (−1, 4) −2 + 12 + C = 0 → C = −10

2x + 3y − 10 = 0

19. Les rectes 5x − 4y + 1 = 0 i 3x + By − 6 = 0 són paral·leles. Troba B.

53 =

−4B → 5B = −12 → B = −12

5

20. Escriu l’equació del feix de rectes paral·leles a la bisectriu del segon i quart quadrants.

m = −1 → y = −x + n, o bé, x + y = n

13. Representa gràfi cament en un mateix sistema de referèn-cia cartesià les rectes:

y = x − 4; 3x + 2y − 6 = 0; y − 5 = 0; x = −3

Necessiten dos punts qualssevol de cadascuna de les rectes.

y = x − 4 (0, −4)(4, 0)

3x + 2y − 6 = 0 (0, 3)(2, 0)

yy = 5

3x + 2y − 6 = 0

y = x

− 4

x =

−3

x

−4

42

5

3

−3 O

14. Determina l’equació explícita de cadascuna de les rectes r, s i t representades a la fi gura.

y

0

s r

t

Recta r:

pasa pels punts (0, 0) i (2, 4)

m = 42

= 2 → y = 2x

Recta s:

passa pels punts (−3, 5) i (4, 2)

m = 2 − 54 − (−3) = −3

7

y − 2 = −37 (x − 4) →

y = − 37 x + 127 + 2 →

y = − 37 x + 267


25. De totes les rectes del feix d’equació 2x + 5y = k, quina és l’equació de la que conté el punt (5, 6)?

2x + 5y = k (5, 6) 10 + 30 = k → k = 40

Equació de la recta:

2x + 5y = 40 → 2x + 5y − 40 = 0

26. Considera el feix de rectes d’equació 3x + y = k. Fes un estudi de la posició de les rectes del feix en relació amb la recta 3x + y = 0 quan augmenta el valor absolut de k. Considera les dues possibilitats: k > 0 i k < 0.

En augmentar el valor absolut de k, les rectes s’allunyen de la recta 3x + y = 0. Si k > 0, les rectes se situen en el semiplà superior dels dos semiplans que determina la recta que es considera. Si k < 0, les rectes del feix se situen en el semiplà inferior.

27. Se sap que la recta d’equació Ax + 2y − 3 = 0 pertany al feix

de rectes d’equació y = 43 x + n. Calcula el valor de A.

Ax + 2y − 3 = 0 → m = −A2

− A2 =

43 → A =

−83

28. Identifi ca tres punts del pla les coordenades dels quals verifi quin la inequació x − 3y > 9 i uns altres tres punts les coordenades dels quals no la verifi quin.


Verifi quen la inequació: (10, 0), (13, 1), (18, 2).

No la verifi quen: (0, 0), (−2, 1), (4, 5).

29. Resol:

a) x − 2y ≤ 8 b) x + y > 0

c) 4x + 5y < 20 d) −3x + 2y ≥ 12

e) 5x − y ≥ 10 f) −2x − 3y < 6

Representem les rectes associades a cadascuna de les inequa-cions i n’esbrinem el semiplà solució.

a)

x y

21. Representa, en un mateix sistema de coordenades carte-sianes, tres rectes que pertanyin al feix d’equació

y = −23 x + n i unes altres tres rectes que siguin del feix

x − 2y = k.

Resposta oberta. Per exemple,

y

y

y

x

x

x

y

x

xx

yy

22. Les expressions 5x − 2y = k i −10x + 4y = k, amb k ∈ �, són les equacions corresponents a un mateix feix de rectes paral·leles. Per què?

Els coefi cients de x i de y són proporcionals i, per tant, el pendent és el mateix:

m = 52

23. Determina l’equació del feix de rectes paral·leles que con-té la recta que passa pel punt (−2, 1) i pel punt intersecció de les rectes d’equacions 2x + y − 1 = 0 i x + 2y = −2.

El punt intersecció de les dues rectes es determina resolent el sistema:

2x + y - 1 = 0

x + 2y =-2*

La solució és x = 43 , y =

−53

El pendent de la recta que passa pels punts (−2, 1) i

34 , -3

5b l és:

m =

34 + 23

-5- 1

=

3103

-8= 5

-4

Equació del feix de rectes:

y = − 45 x + n, o bé, 4x + 5y = k

24. Determina l’equació del feix de rectes paral·leles al qual pertany la recta determinada pels punts (2,−4) i (−3,2).

El pendent d’aquesta recta és m = 2 + 4−3 − 2 = −6

5 Equació del feix de rectes:

y = −65 x + n → 6x + 5y = k


f)

30. Representa els punts del pla que verifi quen:

a) x > 0 b) y < 0 c) x ≤ 3

d) x ≥ 0 e) y < 0 f) x ≤ 3

Igual que l’anterior amb les rectes paral·leles als eixos.

a)

x > 0

b)

y < 0

c)

x ≤ 3

b)

x + y > 0

c)

4x + 5y < 20

d)

−3x + 2y ≥ 12

e)


5y = 2x − 10 → 2x − 5y = 10.

Les coordenades dels punts acolorits verifi quen la inequació 2x − 5y ≥ 10

Per al gràfi c b)

Equació de la recta frontera (els punts de la qual no són solu-ció):

m = tg x = 12 → y = 1

2 x → x − 2y = 0

Semiplà solució: x − 2y > 0

Per al gràfi c c)

La recta frontera passa per (3, 0) i (0, 4).

m = − 43 → y = − 43 (x − 3) →

y = − 43 x + 4 → 4x + 3y = 12

Semiplà solució: 4x + 3y ≤ 12

33. Resol els sistemes següents i troba, si s’escau, les coorde-nades dels vèrtex de les corresponents regions solució:

a)4x + 3y # 12

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]

]] b)

2x - y $ 4

-2x + y $ 0*

c)

x + y $ 3

-x - y # 2

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

d)

2x + 3y $ 10

5x + y $ 12

x $ 0

y $ 1

Z

[

\

]]]

]]

a)

S

S és una regió triangular tancada, els vèrtexs de la que són els punts de coordenades (0,0), (3,0) i (0,4).

b)

�

��

�

��

�

�

El sistema no té solució.

d)

y ≥ −2

e)

f)

31. Representa gràfi cament tots els parells de nombres reals positius la suma dels quals sigui més petita que 6.

Aquests nombres verifi quen la inequació: x + y < 6

32. Els gràfi cs següents mostren, acolorides, les solucions de tres inequacions de primer grau amb dues incògnites. Es-criu l’expressió de que correspon a cada gràfi c.

a) b) c)

Per al gràfi c a)

Equació de la recta que passa pels punts (5,0) i (0, −2)

m = −2−5 =

25 → y =

25 (x − 5) → y =

25 x − 2

22

05

x

y

0

x + y < 6

2x – y ≥ 4

–2x + y ≥ 0

4x + 3y = 12

0 1tg x 5 — 2

x

y

0 x

y

3

4


35. Escriu els sistemes d’inequacions la regió solució dels quals està representada en els gràfi cs de les fi gures:

a)

b)

Cal obtenir les equacions de les rectes frontera en cada cas, tot considerant els dos punts en què cadascuna d’elles talla els eixos de coordenades, i es tablir la desigualtat correspo-nent a cada semiplà solució.

Per a la fi gura a)

(5, 0) i (0, 2) → 2x + 5y = 10

(3, 0) i (0, −2) → 2x − 3y = 6

Sistema:

2x + 5y # 10

2x - 3y # 6*

Per a la fi gura b)

(4, 0) i (0, 5) → 5x + 4y = 20

(2, 0) i (0, 1) → x + 2y = 2

Sistema:

5x + 4y # 20

x + 2y $ 2

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

36. Resol el sistema:

a)

x $ 0

y $ 0

2x + 3y # 18

2x + y # 10

x + 3y $ 3

Z

[

\

]]]

]]]

b) Determina les coordenandes dels vèrtex de la regió so-lució S d’aquest sistema.

c) Pertany el punt P(3,2) a aquesta regió?

c)

S

S és una regió no acotada amb dos vèrtexs: (3, 0) i (0, 3).

d)

S és una regió no acotada amb tres vèrtexs:

72

1,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, (2, 2) i (0, 12).

34. La regió solució del sistema:

2x + by $ 1

ax - 3y $ 6*

té un sol vèrtex que es troba situat en el punt (3, −1). Tro-ba a i b i representa aquesta regió gràfi cament.

El punt (3, −1) és comú a les dues rectes. Per tant:

2x + by = 13, - 1^ h

6 - b = 1 " b = 5

ax - 3y = 6 3, - 1^ h

3a + 3 = 6 " a = 1

El sistema és:

2x + 5y $ 1

x - 3y $ 6*

I la regió solució està representada en la fi gura.

S

x + y = 3

–x – y = 2

5x + y = 12

2x + 3y = 10

y = 1

x – 3y = 6

2x + 5y = 1


Vèrtex 2, 4^ h " 3x - y = k2, 4^ h

k = 2

3x - y = 2

39. En l’exemple 11:

a) Podem prendre 700 g de cafè natural per fer la mescla?

b) I 550 g de cafè torrefacte? En aquest cas, amb quants grams de cafè natural hauríem de mesclar-lo?

c) Quin és el preu d’un quilogram de la mescla si prenem la mínima quantitat possible de cafè natural?

d) I si prenem la màxima quantitat possible de cafè natural?

a) No, ja que la quantitat de cafè natural no pot su perar els 600 g.

b) Sí, 450 g de cafè natural.

c) 0,35 · 5,71 + 0,65 · 4,21 = 4,74 €/kg

d) 0,6 · 5,71 + 0,4 · 4,21 = 5,11 €/kg

40. En l’exemple 13:

a) És possible que al magatzem hi hagi 710 capses de llapìs?

b) I 100 capses de bolígrafs? En aquest cas, quin és el nombre màxim de capses de llapis que pot haver al ma-gatzem?

c) Hi pot haver 500 capses de cada tipus?

d) Estableix una possible solució del problema i troba el tal de llapis i bolígrafs que hi hauria en aquest cas al magatzem.

a) No.

b) Sí. 650 capses de llapis com a màxim.

c) No.

d) 500 capses de bolígrafs i 400 capses de llapis. Un total de 6 500 unitats.

Activitats fi nals

1. Resol les inequacions següents:

a) 32 x + 1^ h

- 4x - 1 $

2x

+ 3x - 1

b)10

3 60

x −<

c) 3 2 1 2x y y x+ − ≤ − −( ) ( )

d) 33x - 1 >

22x + 5

a) 8x + 8 − 3x + 3 ≥ 6x + 4x − 4

15 ≥ 5x

x ≤ 3 → S = (−∞, 3]

a)

S

b) Els vèrtexs de la regió solució S són: (0, 1), (0, 6), (5, 0), (3, 0) i (3, 4).

c) El punt P(3, 2) pertany a la regió solució S, ja que les seves coordenades verifi quen totes i cadascuna de les inequa-cions que formen el siste ma.

37. Considera el feix de rectes d’equació x + y = k. Troba els valors de k per als quals les rectes d’aquest feix tallen la regió S de l’activitat anterior.

Els valors de k es troben entre les ordenades a l’ori gen de les rectes del feix que passen respectiva ment pels punts (0, 1) i (3, 4).

x + y = k0, 1^ h

k = 1

x + y = k3, 4^ h

k = 7

Per tant, 1≤ k ≤ 7.

38. a) Dibuixa la regió del pla les coordenades dels punts de a la qual verifi quen el sistema:

x + y $ 2

x # 2

-x + y # 2

Z

[

\

]]

]]

b) Troba l’equació de totes les rectes del feix d’equació 3x − y = k que tallen la regió anterior per un dels seus vèrtexs.

Vèrtex 2, 0^ h " 3x - y = k2, 0^ h

k = 6

3x - y = 6

Vèrtex 0, 2^ h " 3x - y = k0, 2^ h

k =-2

3x - y = 2-

2x + y = 10

x + 3y = 3

2x + 3y = 18

–x + y = 2

x + y = 2


c)

1 2 3 4 5 6–3 –2 –1

1

3

4

5

2

–2

–1

–3

x = y3x – y = 4

3x + 4y = 9

d)

1 2 3 4 5 6–3 –2 –1

1

3

4

5

2

–2

–1

2x – 3y = 1

3x – 1 = 0

2y = 3

x + y = 2

3. Determina els valors de x que verifi quen −4 ≤ 3x + 2 < 11. Observa que, en realitat, es tracta de resoldre el sistema format per les inequacions 3x + 2 ≥ −4 i 3x + 2 < 11.

Es tracta de resoldre el sistema:

*−4 # 3x + 23x + 2 < 11

−4 ≤ 3x + 2 → −6 ≤ 3x → x ≥ −2

3x + 2 < 11 → 3x < 9 → x < 3

S = [−2, 3)

4. Determina el pendent i l’ordenada a l’origen de cadascuna de les rectes següents. Després dibuixa totes les rectes en els mateixos eixos de coordenades.

a) La recta r que conté els punts P(1,−5) i Q(5,−2).

b) La recta s que forma un angle de 135º amb el sentit positiu de l’eix X i passa pel punt P(−3, 2).

c) La recta t d’equació 6x + 5y − 15 = 0.

d) La recta u que és paral·lela a l’eix X i passa pel punt P(1, −2).

a) Recta r

m = −2 + 55 − 1 =

34

b) Perquè el quocient doni negatiu, cal que el deno minador sigui negatiu. Per tant:

3x − 6 < 0 → x < 2 → S = (−∞, 2)

c) 3x + 2y − 2 ≤ y − x + 2 → 4x + y ≤ 4

d) 6x − 2 > 6x + 15 → −2 � 15

S = Ø

2. Troba la solució de cadascun dels sistemes d’inequacions següents:

a)

2 34

3 8

23

14

xx

xx

− ≤ +

− > −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b)2 3 2

2 30

x yx y

− ≥

− ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪

c)

x yx yx y

≥− ≤+ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪3 43 4 9

d)

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3x − 1 ≥ 02y ≥ 32x − 3y ≥ 1x + y ≥ 2

a) 2x − 3 ≤ 12x + 32 → x ≥ − 72

4x − 8 > 12x − 3 → x < −58

S = [− 72

, −58 )

b) 2x − 3y ≥ 2

3x − 2y ≥ 0

1 2 3 4–4 –3 –2 –11

3

4

2

–4

–2

–1

–3

2x – 3y = 2

3x – 2y = 0

r

sy

x


7. a) Escriu l’equació general del feix de rectes paral·leles a la recta que passa pels punts (6, −2) i (3, 4).

b) Troba l’equació de la recta que passa pel punt (−1, 5) i pertany al feix de l’apartat anterior.

a) El pendent de qualselvol de les rectes d’aquest feix és:

m = 4 + 23 − 6 =

6−3 = −2

I l’equació del feix, y = −2x + n

b) y = −2x + n (–1, 5) 5 = 2 + n → n = 3

y = −2x + 3

8. De totes les rectes del feix d’equació 6x − 5y = k, quina és l’equació de la que passa pel punt intersecció de les rectes y = 2x −1 i 3x + y = 9?

y = 2x - 1

3x + y = 9*

La solució d’aquest sistema és x = 2, y = 3

6x − 5y = k (2, 3) 12 − 15 = k → k = −3

6x − 5y = −3 → 6x − 5y + 3 = 0

9. Resol les inequacions següents com a regions del pla:

a) x −2y − 4 > 0 b) 4x − 2y ≤ 9

c) y ≥ −3x + 5 d) x < −y + 3

a)

b)

y = 34 x + n (1, −5) −5 =

34 + n →

−20 = 3 + 4n → n = − 234

m = 34 ; n =

−234

b) Recta s

m = tg 135º = −tg 45º = −1

y = −x + n (−3, 2) 2 = 3 + n → n = −1

m = −1; n = −1

c) Recta t

6x + 5y − 15 = 0 → 5y = − 6x + 15 → y= − 65 x + 3

m = − 65 ; n = 3

d) Recta u

α = 0º → m = tg 0º = 0

m = 0, n = −2

2

2

2

22242628210

24

26

28

210

4 6 8 10

4

6

8

10t 5 2 —x 1 3

s 5 2x 2 1

u 5 22

6

y 5 —x 2— —3

4 4

23

5

5. Troba l'equació de la recta que és paral·lela a la recta de 2 x − 5 y = 7 i que passa pel punt (2, 3).

2 x − 5 y = C (2, 3) 2 · 2 − 5 · 3 = C → 4 − 15 = C → C = −11

Per tant l'equació de la recta és:

2 x − 5 y + 11 = 0

6. Troba l’equació de la recta que és paral·lela a la recta 2x − 5y = 3 i que passa pel punt intersecció de les rectes − x + y = 0 i 3x − 7y + 4 = 0.

Busquem el punt d’intersecció de les dues rectes resolent el sistema.

-x + y = 0

3x - 7y + 4 = 0*

La solució és x = 1, y = 1.

L’equació de la recta que ens demanen és de la forma:

2x − 5y + D = 0 (1, 1) 2 − 5 + D = 0 → D = 3

Per tant, 2x − 5y + 3 = 0.


c)

-x + y # 2

2x + y # -2

5x + 6y # 30

x $ 0

Z

[

\

]]]

]]

d)

3x + 5y # 15

y - x # 0

x + 1 $ 0

*

a)

��

�

� �

�

�

b)

S

c)

S

d)

S

c)

d)

x < −y + 3

10. Els gràfi cs següents mostren les solucions de dues in-equacions de primer grau amb dues incògnites. Escriu la desigualtat que verifi quen les coordenades dels punts que pertanyen a cada semiplà solució.

a) b)

a) Equació de la recta que conté els punts

P(3, 1) i Q(1, 5) → M = 4

−2 = −2

y = −2x + n (3, 1) 1 = −6 + n → n = 7 → y = −2x + 7

Els punts de la recta verifi quen l’equació 2x + y = 7, i els del semiplà assenyalat, la inequació 2x + y ≥ 7.

b) Equació de la recta que passa pels punts

O(0, 0) i P(3, 2) → y = 23 x → 2x − 3y = 0

Semiplà assenyalat: 2x − 3y ≤ 0

11. Resol els sistemes següents:

a)

7x + 2y # 14

x $ 1

y $ 2

Z

[

\

]]

]] b)

2x - 3y # 12

y - 4x # 8*

7x + 2y = 14

y – 4 x = 8

2x – 3y = 12

–x + y = 2

2x + y = –2

5 x + 6 y = 30

x + 1 = 0

y – x = 0

3 x + 5 y = 15


Recta AB → 2x − 5y + 1 = 0

Recta BC → 4x − y − 25 = 0

Recta CD → x − 3y + 13 = 0

Recta DA → x + y − 3 = 0

La regió solució ve donada pel sistema:

2x - 5y # -1

4x - y # 25

x - 3y $ -13

x + y $ 3

Z

[

\

]]]

]]

14. a) Resol el sistema:

x + 5y $ 30

x $ 1

y $ 2

Z

[

\

]]

]]

5

4

x + 4y # 40

b) Considera el feix de rectes paral·leles d’equació 5x + y = k. Per a quins valors de k les rectes d’aquest feix tenen al-gun punt en comú amb la regió del sistema de l’apartat anterior?

a)

152

6

S

S’han de representar les rectes associades i com provar els punts.

b) Vèrtex 1, 526

b l

5x + y = k1 → 5 + 265 = k1 → k1 =

515

Vèrtex 5

32 ,2b l

5 x + y = k2 → 32 + 2 = k2 → k2 = 34

Per als valors de k que verifi quen:

515 ≤ k ≤ 34

15. a) Escriu les inequacions que verifi quen alhora les coorde-nades dels punts del triangle de vèrtexs A(2,3), B(5,6) i C(3,9).

b) Determina quines són les equacions de les rectes del feix −x + y = k que passen pels vèrtexs del triangle.

12. a) Troba les equacions de les rectes r, s i t de la fi gura.

b) Escriu el sistema d’inequacions que té per solució la regió del pla indicada en aquesta fi gura.

a) Recta r:

m = 42 = 2 → y = 2x → 2x − y = 0

Recta s:

m = −31 = −3

y = −3x + n (3, 1) 1 = −9 + n → n = 10

y = −3x + 10 → 3x + y = 10

Recta t:

m = −12

y = − 12 x + n (3, 1) 1 = − 32 + n → n =

52

y = − 12 x +

52 → 2y = − x + 5 → x + 2y = 5

b) Sistema d’inequacions:

2x - y $ 0

3x + y # 10

x + 2y $ 5

Z

[

\

]]

]]

13. Escriu les inequacions que componen el sistema la regió solució del qual pots veure en la fi gura.

Primer, determinem les equacions de les rectes que contenen els costats del polígon que delimita la regió solució.

5 x + 4 y = 40

y = 2

4 x + 5 y = 30

x = 1

C (8, 7)

B (7, 3)

A (2, 1)

D (–1, 4)

y

x0


17. Per participar en un concurs de matemàtiques s’han de contestar totes les preguntes d’un qüestionari de 25, i ob-tenir un mínim de 50 punts. La prova es puntua de la ma-nera següent: cada resposta encertada suma 5 punts i cada resposta errònia en resta 2. Quin és el nombre mínim de preguntes que s’han de contestar correctament per tal d’aconseguir la puntuació mínima exigida? Si un partici-pant té 14 respostes correctes, assoleix aquest mínim? Quina és la màxima puntuació possible?

Representem per x el nombre de respostes encertades. Cal que es verifi qui:

5x − 2 (25 − x) ≥ 50 → x ≥ 1007

Com que necessàriament x ha de ser un nombre na tural, el nombre mínim de respostes correctes és 15.

No, ja que 14 < 15.

Màxima puntuació possible: 5 · 25 = 125 punts.

18. La diferència entre l’edat d’una mare i la del seu fi ll és de 22 anys. Estableix en quin període de les seves vides l’edat de la mare excedeix en més de 6 anys el doble de l’edat del fi ll.

Si x representa l’edat del fi ll, l’edat de la mare s’ex pressa per x + 22, ambdues edats en anys. S’ha de verifi car:

x + 22 − 2x > 6 → x < 16

La condició que estableix l’enunciat d’aquest pro blema es compleix sempre que el fi ll tingui menys de 16 anys i la mare menys de 38.

19. Un adolescent necessita prendre setmanalment un mínim de 32 unitas de vitamina A i un màxim de 20 unitats de vitami-na C. Per terme mitjà, un tomàquet conté 5 unitats de vita-mina C i 2 de vitamina A, i una pastanaga 2 unitats de vi-tamina C i 4 de vitamina A. Quants tomàquets i quantes pastanagues és aconsellable que prengui a la setmana?

Representem per x el nombre de tomàquets i per y el nombre de pastanagues que menja cada setmana:

5x + 2y # 20

2x + 4y $ 32*

5x + 2y # 20

x + 2y $ 16*

La solució del sistema és una regió poligonal no acotada amb vèrtex en el punt (1, 7,5). Això signi fi ca que l’adolescent in-corporarà en el seu organis me les dosis límits de vitamina A i vitamina C si pren 1 tomàquet i 7,5 pastanagues a la setmana.

20. Dos nombres verifi quen que el doble del primer menys el triple del segon és més gran que el triple del primer més el doble del segon. Troba tres parells de nombres racionals que compleixen aquesta condició.

Si representem per x i y els dos nombres, s’ha de complir:

2x − 3y > 3x + 2y → −x − 5y > 0 → x + 5y < 0

c) Justifi ca el motiu pel qual en l’apartat anterior només has trobat dues rectes diferents quan el triangle en té tres, de vèrtexs.

a) Equacions de les rectes que contenen els costats del trian-gle:

Costat AB → x − y + 1 = 0

Costat BC → 3x + 2y − 27 = 0

Costat CA → 6x − y − 9 = 0

Sistema:

x - y # -1

3x + 2y # 27

6x - y $ 9

Z

[

\

]]

]]

b) Vèrtex A:

−x + y = �� k = 1 → −x + y = 1

Vèrtex B:

−x + y = �� k = 1 → −x + y = 1

Vèrtex C:

−x + y = �� k = 6 → −x + y = 6

c) Succeeix perquè la recta que conté els vèrtexs A i B és una recta del feix.

16. Dos nombres compleixen les condicions següents: la suma del doble del primer més el triple del segon dóna un nom-bre positiu i la seva suma és més gran que 1. Troba tots els valors que poden tenir aquests nombres.

Anomenem x i y als dos nombres. S’ha de verifi car:

2x + 3y > 0

x + y > 1*

Els nombres reals que són solució d’aquest sistema són els que hem representat a la fi gura. Determinen una regió poligonal no acotada amb vèrtex en el punt A(3, −2).

(2, 3)

(5, 6)

(3, 9)

x + y = 1

2 x + 3 y = 0



x = 5, y = 5; x = 6, y = 4; x = 4, y = 6

b) No es poden comprar 7 cintes i 7 caixes.

Sí que es poden comprar 5 cintes i 5 caixes.

5 · 4,51 + 5 · 5,41 = 49,60 €

Avaluació

1. Escriu l’equació de les tres rectes del pla que limiten la regió acolorida del dibuix i les tres desigualtats que deter-minen aquesta regió.

(2, 2)

(3, 0) (4, 0)

Busquem primer les rectes frontera.

• recta que passa per (2, 2) i (4, 0):

xy

x y

y x x y

−−

= −−

→ − − = −

+ = → + =

22

4 20 2

2 2 2 2

2 2 8 4

( ) ( )

• recta que passa per (2, 2) i (3, 0) → y + 2x = 6

• recta que passa per (4, 0) i (3, 0) → y = 0

Segons la regió solució, decidim el sentit de la desigualtat:

Recta x + y = 4 → (0, 0) pertany a la regió solució i de les dos desigualtats:

� x + y ≤ 4 � 0 + 0 ≤ 4x + y ≥ 4 � 0 + 0 < 4

la que ens verifi ca aquesta pertinença és: x + y ≤ 4.

Fent el mateix amb les altre dues recte trobem:

� y + 2x ≥ 6y ≥ 0

Solució:

�x + y ≤ 4y + 2x ≥ 6y ≥ 0

2. Siguin r i s les dues rectes del pla

r x y sx y

: :2 3 01

42

2− − = + = +


x = 0, y = −1; x = −3, y = −2; x = 12 , y = −4

21. Els alumnes de vídeo i els d’informàtica disposen d’un ajut econòmic de 54,10 € per a la compra de material auxiliar. Els primers necessiten cintes i els segons, caixes de dis-quets. El preu d’una cinta de vídeo és de 4,51 € i el d’una caixa de disquets, de 5,41 €. Es tracta d’esbrinar quantes cintes i quantes caixes poden adquirir amb els diners que tenen a la disposició.

a) Representa gràfi cament totes les solucions possibles i tria’n tres, procurant que siguin el màxim d’equita tives.

b) Es poden comprar 7 cintes i 7 caixes? I 5 cintes i 5 caixes? En aquest últim cas, calcula l’import de la compra.

a) Anomenem

x: nombre de cintes de video.

y: nombre de caixes de disquets.

S’ha de verifi car:

4, 51x + 4, 51y # 54, 1

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]

]]

amb x, y ∈ �

y

x12

10

2 4 6 8 10 1614–2

–2

2

–4

–4

4

6

8

14

12

4,51x + 4,51y = 54,1


Justifi cació:

Considerem, per exemple, la recta frontera que passa pels punts A i B; suposem que el semiplà solució de la seva inequa-ció és el de “sobre” d’ella. Evidentment cap punt del semiplà de sota formarà part de la solució. Pel contrari en el nostre dibuix hi ha un triangle que forma part de la solució del siste-ma i es troba en el semiplà no solució.

Si, en lloc de considerar la recta AB, prenguessim la CB, tin-dríem una situació igual.

Són les dues rectes que formen l’angle còncau del polígon. Amb els angles convexos aquestes situacions no es donen.

4. (Curs 2004−2005) En una empresa es fabriquen dos tipus de peces que anomenarem A i B. Per fabricar una peça ti-pus A es necessiten 2 kg d’un metall i per fer-ne una de tipus B, 4 kg del mateix metall. L’empresa disposa com a màxim de 100 kg de metall i no pot fabricar més de 40 pe-ces de tipus A ni més de 20 peces de tipus B.

a) Dóna un sistema d’inequacions que representi les res-triccions en la fabricació que té l’empresa.

b) Determina gràfi cament els punts del pla que verifi quen aquest sistema.

c) D’entre les solucions obtingudes, quins són els possi-bles valors de peces de cada tipus (han de ser enters) si es volen exhaurir els 100 kg de metall? Explica detalla-dament què fas per trobar-los.

a) Anomenem x al nombre de peces tipus A i y al nombre de peces tipus B:

Nombre de peces fabricades

kg de metall per peça

kg total

Peces A x menys de 40 2 2x

Peces B y menys de 20 4 4y

Màxim 100 kg

Les condicions es tradueixen el sistema següent:

2 4 100

0 40

0 20

x y

x

y

+ ≤≤ ≤≤ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

b) Representem la regió factible. Tenim 5 condicions, per tant, hem d’obtenir un polígon de 5 costats:

(0, 20)

y

(10, 20)

(40, 5)

(40, 0)

x = 40

y = 20

2x + 4y = 100

Calcula l’equació de la recta que passa pel punt d’inter-secció de r i s i que és paral·lela a la recta d’equació 3x + 5y − 1 = 0

Busquem primer el punt d’intersecció de les dues rectes, per això resolem el sistema:

2 3 0

14

22

2 3

2 4 61

x y

x yx y

x yy

− − =+ = +

⎧⎨⎪

⎩⎪

− =− =

⎧⎨⎩

= − , xx = 1� �

Ara cal buscar la recta paral·lela a 3x + 5y − 1 = 0 que passa per (1, −1):

−3x + 5y = k

−3 · 1 + 5 · (−1) = k → k = −2

La recta buscada és: 3x + 5y = −2, o bé 3x + 5y + 2 = 0

3. (Curs 2003−2004) Decideix si el polígon de vèrtexs conse-cutius A (0, 0), B (5, 2), C (7, 1), D (7, 6) i E (0, 6) és la regió factible d’un problema de programació lineal. Justifi ca la resposta.

Situem els punts indicats en uns eixos de coordenades:

B(5, 2)

A(0, 0)

C(7, 1)

E(0, 6) D(7, 6)

1

y

x

Podriem formar molts polígons diferents unint els punts, ara bé, l’enunciat indica consecutius. Aquest cas és únic:

B(5, 2)

A(0, 0)

C(7, 1)

E(0, 6) D(7, 6)

1

y

x

Obtenim una regió tancada còncava, una regió així no pot ser solució d’un sistema d’inequacions lineals.


Si anem augmentant el valor de y, el de x disminueix, sem-pre amb valors enters fi ns y = 20x = 10.

El possibles valors són: (40, 5), (38, 6), (36, 7),…(12, 19), (10, 20).

Les solucions són els punts del conjunt:

{(50 − 2n, n), n ∈ Z , 5 ≤ n ≤ 20}

c) Si volem exhaurir els 100 kg de metall el punt corresponent ha d’estar sobre el segment d’extrems (10, 20) i (40, 5) que pertanyen a la recta 2x + 4y = 100. Expressem una incòg-nita en funció de l’altra:

x = 50 − 2y

Si y = 5, aleshores x = 40.


Unitat 5. La funció objectiu

Activitats

1. Donada la funció F(x, y) = 3x + y, dibuixa en uns eixos de coordenades la recta que s’obté per a F(x, y) = 5. Digues les coordenades de tres punts que siguin d’aquesta recta i indica la imatge de cadascun.

x y

Resposta oberta, per exemple: A(1, 2), B(2, −1) i C(0, 5). F(1, 2) = F(2, −1) = F(0, 5) = 5

2. Representa gràfi cament la regió del pla que és solució de cadascun dels conjunts de restriccions següents:

a) x - y $ 0

0 # x # 3

y $ 0

Z

[

\

]]

]]

b) -x + 2y # 4

3x + 2y # 6

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

c) -x + y # 1

x + 2y # 6

2x + 3y $ 3

-3x + 8y $ 4

Z

[

\

]]]

]]

a)

3

b)

xy

AS

xy

C

B

O

c)

S

D

A

B

C

xy

xy

x y

xy

O

3. Troba les coordenades dels vèrtexs de cadascuna de les regions solució de l’activitat anterior.

a) O(0, 0), A(3, 3), B(3, 0)

1 9b) O(0, 0), A(0, 2), B�—, —� i C(2, 0) 2 4

4 7 20 11 12 17c) A(0, 1), B�—, —�, C�——, ——� i D�——, ——� 3 3 7 7 25 25

4. Dóna les coordenades de quatre punts enters que siguin solució del sistema:

x + 2y $ 4

x # 4

y # 2

Z

[

\

]]

]]

Resposta oberta, per exemple:

1 7 3 5 5 3 7 1A �—, —�, B �—, —�, C �—, —� i D �—, —�. 2 4 2 4 2 4 2 4

5. Troba les coordenades dels vèrtexs de cadascuna de les regions solució següents:

a) x + y $ 2

-x + y # 2x # 2* b)

3x - y # -3x + y # 5y $ 3

Z

[

\

]]

]]


a)

A(0, 2), B(2, 4), C(2, 0)

b)

1 9 A(0, 3), B�—, —� 2 2

6. Dibuixa en diferents eixos de coordenades cinc rectes del feix de rectes paral.leles de les funcions objectiu se-güents:

a) F x,y^ h= 3x + 6y b) F x,y^ h= x - 3y

c) F x,y^ h= 21x +

31y d) F x,y^ h= 4x - 3

2 y

a)

k

k

k

k

yx

b)

yx

k

k

k

k

c)

k

k

k

k

xy

d)

yx

k

k

k

k


F(x, y) pren el valor mínim 0, en el punt A.

F(x, y) pren el valor màxim 12, en el punt B.

b)

4

k

A B

C

k

k

yx

F(x, y) pren el valor mínim 4, en el punt C.

F(x, y) pren el valor màxim 16, en el punt B.

c) k

B

A C

D

xy

kk

k

F(x, y) pren el valor mínim 1, en el punt A.

8F(x, y) pren el valor màxim —, en el punt C. 3

d)

kk

k

xy

C

BA

F(x, y) pren el valor mínim −4, en el punt A.

F(x, y) pren el valor màxim 1, en el punt C.

9. En cadascun dels casos següents, troba els punts que op-timitzen la funció objectiu donada, sotmesa a les restric-cions que s’indiquen. Fes-ho de manera analítica i gràfi ca.

7. Dedueix, a partir de cada un dels feixos de rectes paral·leles següents, la funció objectiu corresponent.

a) y

x0

2

2

b) y

x0 3

2

c) y

x0 1

4

d) y

x0 2

3

a) F(x, y) = x + y

b) F(x, y) = 2x − 3y

c) F(x, y) = 4x − y

d) F(x, y) = 3x + 2y

8. Troba gràfi cament i analíticament en quins dels punts do-nats la funció objectiu indicada pren els valors màxim i mínim.

a) F(x, y) = 4x − 3y, en A(0, 0), B(3, 0) i C(4, 2).

b) F(x, y) = x + 4y, en A(0, 3), B(4, 3) i C(4, 0).

c) F(x, y) = 13 x + 1

2 y, en A(0, 2), B(1, 3), C(5, 2) i D(5, 0).

d) F(x, y)= x − y, en A(0, 4), B(2, 3) i C(2, 1).

a)

A B

C

k

k

xy


a) F(x, y) = 10x + 12y b) F(x, y) = 3x − 7y

2x + 3y $ 2

5x + 4y $ 3

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

5x + y $ 1

2x + 3y # -5

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

c) F(x, y) = x + y d) F(x, y) = 2x + 3y

3x + 4y # 12

2x + y $ 4

x $ 0

y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

x 4

0 6

14

#

#

y #

#x y+

x

Z

[

\

]]

]]

# y

58 1 4a) F(x, y) pren com a valor mínim —— en el punt �—, —�. 7 7 7 F(x, y) no es pot maximitzar en aquesta regió.

x y

x y

x y

b) El conjunt de restriccions no té solució.

x y

x y

x y

c) F(x, y) pren com a valor mínim 2 en el punt (2, 0).

F(x, y) pren com a valor màxim 4 en el punt (4, 0).

x y

x y

x y

d) F(x, y) pren com a valor mínim 8 en el punt (4, 0).


x y

x y

x

y

x

y

10. Troba de manera analítica el màxim i el mínim de les funcions objectiu F(x, y) = 4x + 5y i G(x, y) = 3x − 2y, sotmeses al conjunt de restriccions que té per regió solució:

a) Y

X0

(0, 3)

(2, 4)

(5, 2)

(5, 0)

b)

X

Y

0

(2, 3) (8, 3)

(6, 1)

(4, 5)

c) Y

X0

(3, 8)

(3, 1)

(0, 5)

d) Y

X0

(4, 5)

(9, 8)

(11, 2)

a) F(x, y) pren com a valor mínim 0 en el punt (0, 0).


G(x, y) pren com a valor mínim −6 en el punt (0, 3).

G(x, y) pren com a valor màxim 15 en el punt (5, 0).

b) F(x, y) pren com a valor mínim 23 en el punt (2, 3).


G(x, y) pren com a valor mínim 0 en el punt (2, 3).


c) F(x, y) pren com a valor mínim 17 en el punt (3, 1).

F(x, y) i G(x, y) no es poden maximitzar en aquesta regió.

G(x, y) pren com a valor mínim −10 en el punt (0, 5).

d) F(x, y) pren com a valor mínim 41 en el punt (4, 5).


G(x, y) pren com a valor mínim 2 en el punt (4, 5).



11. Esbrina gràfi cament els punts òptims de cada una de les funcions objectiu de l’activitat anterior.

a) x y

x y

F(x, y): mínim en (0, 0) i màxim en (5, 2).

G(x, y): mínim en (0, 3) i màxim en (5, 0).

b)

x y

x y



c)

x y

x y

F(x, y): mínim en (3, 1) i no té màxim.

G(x, y): mínim en (0, 5) i no té màxim.

d) x y

x y



12. A partir de les dades següents, determina i classifi ca la solució màxima i mínima:

a) F x, y^ h= 2x - 3y

x $ 0, y $ 0x $ 2yx - y $ 5

Z

[

\

]]

]]

b) F x, y^ h= x 2y

x $ 0, y $ 0x + 2y # 10x - 2y $ 7

Z

[

\

]]

]]

+

c) F x, y^ h= 3x 4y

0 # x # yx + y - 2 $ 0

*

+ d) F x, y^ h= 2x + y

x $ 0, y $ 0x + y # 32x + y $ 7

Z

[

\

]]

]]

e) F x, y^ h= 3x + 2y

x $ 0, y $ 0x + 2y $ 15x + 4y $ 102x + y $ 2

Z

[

\

]]]

]]

f) F x, y^ h= x + y

0 # x # 30 # y # 3x $ y

Z

[

\

]]

]]

a) F(x, y) pren com a valor mínim 5 en el punt (10, 5): solució única.

F(x, y) no es pot maximitzar: solució no acotada.

b) F(x, y) pren com a valor mínim 7 en el punt (7, 0): solució única.

F(x, y) pren com a valor màxim 10 en tots els punts del segment d’extrems (17/2, 3/4) i (10, 0): solució múltiple.

c) F(x, y) pren com a valor mínim 7 en el punt (1, 1): solució única.


d) Solució no factible.


x - 2y $ -4

x + y # 5

2x - y # 7

4x + 7y $ 14

Z

[

\

]]]

]]

5. Optimitza gràfi cament les funcions objectiu següents, sot-meses al conjunt de restriccions de l’activitat anterior. Indica, en cada cas, el tipus de solució.

a) F(x, y) = 2x + 2y

b) F(x, y) = x − y

a) F(x, y) pren com a valor mínim 4 en el punt (0, 2): solució única.

F(x, y) pren com a valor màxim 10 en els punts del segment d’extrems (2, 3) i (4, 1): solució múltiple.

b) F(x, y) pren com a valor mínim −2 en el punt (0, 2): solució 7 7 única. F(x, y) pren com a valor màxim — en el punt �—, 0�: 2 2 solució única.

6. Donada la funció objectiu F(x, y) = x + 3y i els vèrtexs de la regió solució A(1, 3), B(2, 1) i C(x, y) per a x ≥ 0, y ≥ 0, indica unes possibles coordenades del punt C per tal que:

a) El valor màxim de la funció objetiu s’assoleixi en el punt C.

b) El valor mínim de la funció objectiu s’assoleixi en el punt C.

c) El valor mínim de la funció objectiu s’assoleixi en qual-sevol punt del segment BC.

F(1, 3) = 1 + 9 = 10, F(2, 1) = 2 + 3 = 5

a) C(x, y) tal que x ≥ 0, y ≥ 0 i x + 3y > 10. Per exemple C(2, 3).

b) C(x, y) tal que x ≥ 0, y ≥ 0 i x + 3y < 5. Per exemple C(1, 1).

c) C(x, y) tal que x ≥ 0, y ≥ 0 i x + 3y = 5. Per exemple C(5, 0).

7. Considerem la funció objectiu per maximitzar F(x, y) = 4x + 7y, sotmesa a les restriccions:

x $ 0 , y $ 0

6x + 8y # 48

5x + 10y # 50

Z

[

\

]]

]]

El problema que consisteix a minimitzar la funció objectiu G(x, y) = 48x + 50y, sotmesa a les restriccions següents:

x $ 0 , y $ 0

6x + 5y $ 4

8x + 10y $ 7

Z

[

\

]]

]]

s’anomena problema dual del primer. Resol-los tots dos.


1 1G(x, y) pren com a valor mínim 37 en el punt �—, —�. 4 2

e) F(x, y) pren com a valor mínim 5 en el punt (0, 5/2): solu-ció única.


f) F(x, y) pren com a valor mínim 0 en el punt (0, 0): solució degenerada.

F(x, y) pren com a valor màxim 6 en el punt (3, 3): solució degenerada.

Activitats fi nals

1. El polígon de vèrtexs O(0, 0), A(4, 0), B(5, 1), C(3, 1), D(3, 3) i E(0, 3) pot ser la regió solució d’un problema de programació lineal amb dues variables? Justifi ca’n la res-posta.

No, perquè no és un polígon convex.

2. Dibuixa les rectes del feix determinat per la funció objec-tiu F(x, y) = 5x + 3y, per:

F(x, y) = 1, F(x, y) = 2, F(x, y) = −3 i F(x, y) = −4.

kkk

k

3. Esbrina si els punts A(1, 1), O(0, 0), B(2, 3), C(−1, 6) i D(−2, 4) són de la regió solució del conjunt de restric-cions:

2x + y $ 3

x + 2y $ 3*

Els punts A, B i C són de la regió solució, però els punts O i D no ho són.

4. El polígon de la fi gura és la regió solució d’un sistema d’in-equacions lineals amb dues incògnites. Troba el conjunt de restriccions.

O x

(0, 2)

(2, 3)

(4, 1)

1 2

y

, 072


Troba el màxim i el mínim de la funció objectiu

F(x, y) = 12

x + y en aquesta regió. Indica el tipus de

solució que presenta cadascun dels punts òptims.

x y x y

El valor mínim de F(x, y) és 4 i s’assoleix en tots els punts del segment d’extrems (8, 0) i (2, 3), és per tant una solució múl-tiple.

No hi ha cap punt on F(x, y) assoleixi el valor mà xim, és una solució no acotada.

13. En cadascun dels casos següents, calcula analíticament si existeixen els valors màxim i mínim de la funció objectiu donada, sotmesa a les restriccions que s’indiquen. Indica també els punts en què la funció assoleix aquests valors òptims.

a) F(x, y) = 6x − 5y

x $ 0, y $ 0

x - y # 2

3x + y $ 8

3x + 2y # 6

Z

[

\

]]]

]]

b) F(x, y) = 3x + 3y

x $ 0, y $ 0

x + y # 5

2x + y $ 2

x + 2y $ 2

Z

[

\

]]]

]]

c) F(x, y) = 3x + 2y

x $ 0, y $ 0

3x + y $ 6

2x + 3y $ 11

x + 4y $ 8

Z

[

\

]]]

]]

a) Solució no factible. 2 2b) F(x, y) pren com a valor mínim 4 en el punt �—, —�: solu- 3 3 ció única. F(x, y) pren com a valor màxim 15 en tots els

punts del segment d’extrems (5, 0) i (0, 5): solu ció múl tiple.

c) F(x, y) té com a valor mínim 9 i l’assoleix en el punt (1, 3), és per tant una solució única. F(x, y) no es pot maximitzar, per tant, el màxim és una solució no acotada.

8. Tenint en compte l’activitat anterior, escriu el problema dual del qual es tracta de maximitzar la funció objectiu F(x, y) = ax + by, sotmesa al conjunt de restriccions:

x $ 0, y $ 0px + qy # crx + sy $ d

Z

[

\

] ]

] ]

Minimitzar la funció objectiu G(x, y) = cx + dy sot mesa al con-junt de restriccions:

x $ 0, y $ 0

px + ry $ a

qx + sy # b

Z

[

\

]]

]]

9. Troba el mínim de la funció F(x, y) = x + 2y entre el con-junt de punts que compleixen:

4x + 2y $ 14

2x + 2y $ 10

x + 3y $ 7

x $ 0, y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

Indica algun punt en què s’assoleixi aquest mínim.

El mínim de F(x, y) és 6. L’assoleix en el punt (4, 1).

10. Troba el màxim de la funció F(x, y) = x + 5y entre el con-junt de punts que compleixen:

-x + 5y # 305x + 3y # 46

-2x + 3y $ -10x $ 0, y $ 0

Z

[

\

]]]

]]

Indica també algun punt en què s’assoleixi aquest màxim.

El valor màxim de F(x, y) és 40. L’assoleix en el punt (5, 7).

311. Considera la funció objectiu F(x, y) = — x + y en el conjunt

2de restriccions:

x yx yx y

≥ ≥+ − ≥+ − ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

0 03 2 2 03 4 12 0

,

Comprova que aquesta funció pren el seu valor mínim en més d’un punt, i el seu valor màxim en un sol punt.

El valor mínim de F(x, y) és 1 i s’assoleix en tots els punts del 2 2segment d’extrems (0, 1) i �—, 0�, ja que F(0, 1) = F�—, 0� = 1. 3 3

El màxim de F(x, y) és 6 i s’assoleix en el punt (4, 0), ja que F(4, 0) = 6.

12. Dibuixa la regió solució del sistema següent:

x $ 0, y $ 0

x + y $ 5

x + 2y $ 8

Z

[

\

]]

]]


15. Troba analíticament i gràfi cament el valor màxim que pren la funció objectiu F(x, y) = 2x − 3y en el conjunt de res-triccions:

x $ 0, y $ 0x + y $ 42x + 3y # 10

Z

[

\

]]

]]

F(x, y) assoleix el seu valor màxim en el punt (5,0) i val F(5, 0) = 10.

x y

x y

x y

16. Donada la regió del pla defi nida per les inequacions:

x + y - 1 $ 0

0 # x # 3

0 # y # 2

Z

[

\

]]

]]

Per a quins valors (x, y) de la regió és mínim el valor de la funció objectiu F(x, y) = 5x + 2y? I màxim?

F(0, 1) = 2, F(0, 2) = 4, F(3, 2) = 19, F(3, 0) = 15 i F(1, 0) = 5.

El valor mínim l’assoleix en el punt (0, 1). El valor màxim l’as-soleixen el punt (3, 2).

17. Dibuixa la regió solució del sistema d’inequacions següent i determina en quin punt de la regió la funció objectiu F(x, y) = 2x + y pren el valor màxim.

5x + 7y $ 35

6x - y # 42

3x + 2y # 36

-2x + 3y # 15

Z

[

\

]]]

]]

14. En l’activitat anterior, dedueix gràfi cament els punts en què la funció objectiu assoleix els valors màxim i mínim.

a) x y

x y

x y

Solució no factible.

b)

x yx y

x y

x y

A B

C

2 2 Valor mínim en el punt A�—, —�. Valor màxim en tots els 3 3 punts del segment BC.

c)

x y

x y

x y

x y

D

CB

AO

Valor mínim en C(1, 3). No hi ha cap punt de la regió solu-ció on la funció objectiu assoleixi el valor màxim, per tant no es pot maximitzar.


Avaluació

1. Dibuixa la regió factible determinada per les desigualtats següents i calcula el valor mínim de la funció z = x − y en aquesta regió.

x yx y

xy

+ ≤− ≤

≥≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

13 3

00

(0, 1)

y

(0, 0)(1, 0)

(0, –3)

y = –x + 1 3x – y = 3

1

1 x

z pren el valor –1 en el vèrtex (0, 1).

z pren el valor 0 en el vèrtex (0, 0).

z pren el valor 1 en el vèrtex (1, 0).

Per tant, el mínim s’assoleix en el punt (0, 1), amb el valor –1.

2. Escriu un sistema de quatre inequacions (amb dues varia-bles x i y) de manera que la regió del pla que determini aquest sistema sigui la regió ombrejada del dibuix de la fi gura:

1

4

y

x1 2 3 4

F(x, y) = 2x + y pren el seu valor màxim 22 en el punt (8, 6).

18. Donada la funció objectiu F(x, y) = 5x + 5y i el conjunt de restriccions:

0 # x # 3

0 # y # 2

x + y $ 2

x - 2y + 1 $ 0

Z

[

\

]]]

]]

comprova que el punt on s’assoleix el valor màxim de la funció objectiu és una solució degenerada.

El valor màxim és 25, i l’assoleix en el punt (3, 2). És una so-lució degenerada perquè en aquest punt hi incideixen tres rectes: y = 2, x = 3 i x − 2y + 1 = 0.

19. En l’activitat anterior, comprova gràfi cament que la solu-ció que fa mínim el valor de la funció objectiu és múltiple.

x y

x y

x

y

El valor mínim s’assoleix en qualsevol punt del segment deter-minat pels punts (2, 0) i (1, 1), és per tant una solució múl-tiple.


f(3, 3) = 3 + 3 · 3 = 12

f(5, 3) = 5 + 3 · 3 = 14

f(5, −1) = 5 + 3 · (−1) = 2

f(2, 0) = 2 + 3 · 0 = 2

Els valors màxim i mínim s’assoliran en els vèrtex del quadri-làter: A(3, 3) B(5, 3) C(5, −1) D(2, 0).

Valorem la funció en aquests punts:

a) El valor màxim d’aquesta funció és 14. El valor mínim d’aquesta funció és 2.

b) El punt on s’assoleix el màxim és únic i es tracta de B(5, 3). El valor mínim no s’assoleix en un únic punt, formen part d’aquesta solució tots els punts del segment CD.

4. Un pastisser té 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 26 kg de mantega per fer dos tipus de pastissos. Es necessiten 3 kg de farina, 1 kg de sucre i 1 de mantega per fer una dotze-na de pastissos tipus A, mentre que les quantitats per una dotzena del tipus B són, respectivament, 6 kg, 0,5 kg i 1 kg. Si el benefi ci que s’obté per la venda d’una dotzena de pastissos del tipus A és de 20 € i per una dotzena del tipus B és de 30 €, trobeu el nombre de dotzenes de pas-tissos de cada tipus que ha de produir per maximitzar el seu benefi ci.

Ordenem les dades en forma de taula:

kg farina dotzena

kg sucre dotzena

kg mantega dotzena

benefi ci quantitat de dotzenes

12 pastissos tipus A

3 1 1 20 x

12 pastissos tipus B

6 0,5 1 30 y

màxim 150 22 26

Les restriccions són

3 6 150

0 5 22

26

0

0

x y

x y

x y

x

y

+ ≤+ ≤+ ≤≥≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

,

També podríem expressar

x y

x y

x y

x

y

+ ≤+ ≤

+ ≤≥≥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

2 50

2 44

26

0

0

La funció benefi ci és f (x, y) = 20x + 30y.

Regió solució:

recta x + 2y = 50 → punts (0, 25), (50, 0).

recta 2x + y = 44 → punts (0, 44), (22, 0).

recta x + y = 26 → punts (0, 26), (26, 0).

Primer donem noms als vèrtex i costats del polígon:

1E

4

y

x1 2 3 4AB

CD c

b

a

d

e

És un polígon de 5 costats, per tant, hem de buscar 5 rectes, és a dir, 5 inequacions:

e → recta eix d’ordenades: equació x = 0, x ≥ 0.

a → recta eix d’abscisses: equació y = 0, y ≥ 0.

b → recta que passa pels punts B(4, 0) i C(3, 4): equació y = −4x + 16 → y + 4x ≤ 16.

c → recta paral·lela eix d’abscisses que passa C(3, 4) i D(1, 4): equació y = 4, y ≤ 4.

d → recta que passa pels punts D(1, 4) i E(0, 1) equació y = 3x + 1, y − 3x ≤ 1.

x

y

y

y x

y x

x

y

y

≥≥≤+ ≤− ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

→

≥≤ ≤+

0

0

4

4 16

3 1

0

0 4

4xx ≤− ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

16

y 3x 1

3. (Curs 2003-2004) El quadrilàter ABCD és la regió d’un sis-tema d’inequacions lineals. Els costats del quadrilàter també formen part de la regió solució.

a) Troba el valor màxim i el valor mínim de la funció f(x, y) = x + 3y en aquesta regió.

b) En quins punts d’aquesta regió solució la funció de l’apar-tat anterior assoleix el màxim i en quins punts el mínim?

1

4

y

x1

2

3

5

A B

D

C


C és el punt d’intersecció de les rectes x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

26

2 44

D és el punt d’intersecció del sistema x y

x y

+ =+ =

⎧⎨⎩

26

2 50

Resolem aquests sistemes aplicant la funció objectiu sobre els vèrtexs:

A(0, 0) → f (A) = 0 + 0 = 0

B(22, 0) → f (B) = 20 . 22 + 0 = 440

C(18, 8) → f (C) = 20 . 18 + 30 . 8 = 600

D(2, 24) → f (D) = 20 . 2 + 30 . 24 = 760

E(0, 25) → f (E) = 0 + 30 . 25 = 750

El màxim benefi ci s’obté quan es produeixen 2 dotzenes de pastissos del tipus A i 24 dotzenes de pastissos del tipus B.

En els eixos cada quadricula correspondrà a 20 unitats.

2x + y = 44

y

x + y = 26

x + 2y = 50A B

CDE

Vèrtexs del polígon solució del sistema:

A, B i E es troben sobre els eixos i són fàcils de calcular.


Unitat 6. Problemes de programació lineal

Activitats

1. Comprova si els parells de valors següents verifi quen les instruccions donades pel metge i calcula, en cada cas, les calories que aporten:

a) 100 g de A i 60 g de B

b) 90 g de A i 50 g de B

c) 25 g de A i 25 g de B

Quants parells de valors de les quantitats de A i de B es poden trobar?

a) No verifi ca la primera condició, 160 > 150.

b) Sí que les verifi ca. Aporten 480 calories.

c) Sí que les verifi ca. Aporten 150 calories.

Es poden trobar molts parells de valors que verifi quin les con-dicions donades.

2. Un fabricant té 750 m de roba de cotó i 1 000 m de teixit sintètic per confeccionar xandalls i jaquetes. Per a la con-fecció de cada xandall es necessiten 1 m de cotó i 2 m de sintètic, i per a cada jaqueta, 1,5 m de cotó i 1 m de sin-tètic. Un xandall es ven a 50 € i una jaqueta, a 40 €. Si x és el nombre de xandalls i y el nombre de jaquetes que s’han de confeccionar, escriu el sistema d’inequacions i la funció objectiu de la venda corresponent a aquest enun-ciat.

x + 1,5y # 750

2x + y # 1000 F (x, y) = 50x + 40y*

3. Planteja el sistema d’inequacions que resulta de l’enunciat següent:

La suma de dos nombres no pot excedir de 20. El primer dels nombres és d’una xifra i no és més gran que l’altre. Els dos nombres són positius. Hi ha cap parell de nombres naturals que verifi qui aquestes condicions? Quants? Quins són? Poden ser un parell de nombres racionals no natu-rals?

x + y # 20

x # y, x < 10, x > 0, y > 0*

Hi ha força parelles de nombres naturals que veri fi quen aques-tes condicions: (2, 3), (2, 18)... N’hi ha 99. No poden ser un parell de nombres racionals ja que un d’ells ha de ser d’una xifra.

4. Escriu una taula de contingència i el sistema d’inequacions corresponent del problema següent:

Es necessita una dieta que proporcioni a un animal un mí-nim de 3 000 calories i 80 unitats de proteïnes per dia. Es disposa de dos aliments bàsics que es poden fer servir per preparar la dieta. L’aliment A conté 600 calories i 2 uni-tats de proteïnes, i el B conté 50 calories i 8 unitats de pro teïnes.

Representa per x els quilograms d’aliment A i per y els de l’aliment B.

Calories Unitat de proteines

x kg aliment A 600x 2x

y kg aliment B 50y 8y

3000 80

600x + 50y $ 3000

2x + 8y $ 80*

5. Un farmacèutic disposa de 80 litres d’un producte α i 120 litres d’un altre β, amb els quals prepara dos compos-tos A i B. El compost A s’aconsegueix amb tres parts de β i una de α; en el compost B, la proporció és del 50%. Ven els preparats en garrafes de 4 litres, la de A a 50 € i la de B a 60 €.

Escriu una taula de contingència, el sistema d’inequacions corresponent i la funció objectiu que determina la venda.

α β Venda

x: litres de A x 3x504

x

y: litres de B 2y 2y604

y

Total 80 120504

x + 604

y

x + 2y # 80

3x + 2y # 120 F (x, y) = 450 x + 4

60 y*

6. A la llibreria del barri, per tal de fer disminuir un estoc de 1 000 carpetes i 1 500 bolígrafs, creen dos tipus de lots: el lot principiant, format per una carpeta i un bolígraf, i el lot dibuixant, per una carpeta i tres bolígrafs. Els guanys són de 0,70 € per cada lot principiant i d’1 € per cada lot dibuixant. Calcula quants lots de cada un els convé prepa-rar per tal d’obtenir el màxim de guanys. Troba la solució gràfi cament.


Carpetes Bolígrafs Venda

Principiant: x x x 0,70x

Dibuixant: y y 3y 1y

1 000 1 500 0,70x + y

x + y # 1000

x + 3y # 1500 F (x, y) = 0,70x + y*

Per obtenir el màxim de guanys han de preparar 750 lots de principiant i 250 de dibuixant.

7. En una merceria els ha quedat de la temporada anterior 12 samarretes, 8 mocadors de coll i 7 bufandes. Ho posen a la venda en dos tipus d’ofertes, en la primera dues samar retes i una bufanda, a 12 €, i la segona amb una samarreta, dos mocadors i una bufanda, a 14 €. Quants paquets de cada oferta haurien de vendre per tal d’obtenir el màxim benefi ci? Troba la solució de manera gràfi ca.

7

7

Samarretes Mocadors Bufandes

Paquets 1a: x 2x x

Paquets 2a: y y 2y y 14y

12 8 7 12x + 14y

2x + y # 12

2y # 8

x + y # 7 F (x, y) = 12x + 14y

Z

[

\

]]

]]

El màxim benefi ci correspon a la venda de 3 pa quets de la pri-mera oferta i 4 de la segona.

8. En un laboratori, disposen de 80 litres d’un producte α i 120 litres d’un β, amb els quals es preparen dos compostos A i B. En el compost A hi ha tres parts de β i una de α, en el B la proporció és del 50 %. El laboratori ven els compos-tos en fl ascons de 4 litres, el de A a 50 € i el de B a 60 €.

a) Quants litres ha de preparar de cada compost per tenir una venda màxima?

b) Quin és el valor d’aquesta venda?

40

60

40 80

3

y

α β Benefi ci

x litres de A x 3x504

x

y litres de B 2y 2y604

y

80 120504

x + 604

y

x + 2y # 80

3x + 2y # 120 F (x, y) = 450 x + 4

60 y*

a) Ha de preparar 20 L del compost A i 30 L del B.

b) El benefi ci és F(20, 30) = 700.

9. Una fàbrica produeix dos tipus de motocicletes A i B. Cada motocicleta, abans de sortir al mercat, és comprovada i posada a punt. Aquestes comprovacions requereixen 8 ho-res per a cada moto del tipus A i 4 hores per a cada moto del tipus B. A més, cada moto, independentment del tipus que sigui, requereix 100 € de material. Per cada moto del tipus A s’obté un benefi ci de 300 €, i per cadascuna del tipus B s’obtenen 200 € de benefi ci. Quantes motos haurem de re-visar per tal d’obtenir el màxim benefi ci si disposem de 400 € en material i 24 hores per poder-ne fer les revisions?


x: pinso P1 (g)

y: pinso P2 (g)

500x + 400y $ 3000

300x + 200y $ 800

200x + 400y $ 700

Z

[

\

]]

]]

F (x, y) =7x

1000+

8,5y1000

��

��

�

��

La solució és: x = 600 i y = 0. Només agafaríem 600 g del pin-so P1.

12. Considera la funció z = 32 x + y en el conjunt següent:

x $ 0, y $ 0

3x + 2y - 2 $ 0

3x + 4y - 12 # 0

Z

[

\

]]

]]

Comprova que aquesta funció pren el seu valor mínim en més d’un punt.

Si z = 1, 3x + 2y − 2 = 0 és la recta associada a la se gona in-equació. En els punts del segment d’aquesta recta que siguin solució del sistema, la funció pren el seu valor mínim.

Activitats fi nals

1. Una empresa fabrica dues classes de cargols, A i B. En la producció diària, se sap que el nombre de cargols de la classe B no supera el nombre de cargols de la classe A més 1 000 unitats, que entre les dues classes no superen les 3 000 unitats, i que els de la classe B no baixen de 1 000 unitats. Sabent que els cargols de la classe A valen 0,20 € la unitat i que els de la classe B en valen 0,15 €, calcula els costos màxim i mínim que pot valer la produc-ció diària, i amb quants cargols de cada classe s’aconse-gueixen aquest màxim i aquest mínim.

x: cargols A, y: cargols B.

y # x + 1000

x + y # 3000y $ 1000 F (x, y) = 0,20x + 0,15y

Z

[

\

]]

]]

Hores comprovació

Euros de material

Benefi ci

Motos A: x 8x 100x 300x

Motos B: y 4y 100y 200y

24 400 300x + 200y

8x + 4y # 24

100(x + y) # 400 F (x, y) = 300x + 200y*

La intersecció de les dues rectes associades dóna el punt (2, 2). Per tant cal revisar dues motos de cada tipus.

10. Considera la funció F(x, y) = 3x + 2y. Troba’n els màxims i els mínims sabent que:

x $ 0y $ 02y # -3x + 6

Z

[

\

]]

]]

La recta associada a la 3a inequació és: y = − 32

x + 3

La recta associada a la funció objectiu és:

y = −32

x + k que és paral·lela a l’anterior i pren el valor mínim

en el punt (0, 0) i els valors màxims en tots els punts de la

recta y = −32

x + 3 que són de la regió solució; és a dir, entre

el punt (0, 3) i el punt (2, 0).

3

2

11. En una granja d’aviram es disposa de dos tipus de pinso, P1 i P2. Cada pinso té hidrats de carboni (H), greixos (G) i substàncies minerals (M) en les quantitats per quilogram que indica el quadre següent:

H G M

P1 500 g 300 g 200 g

P2 400 g 200 g 400 g

Sabent que els animals han de menjar un mínim de 3 000 g d’hidrats de carboni, 800 g de greixos i 700 g de substàn-cies minerals, calcula quina quantitat de cada tipus de pinso cal agafar perquè el cost sigui mínim si un quilo-gram del pinso P1 val 7 € i un quilogram del pinso P2 val 8,50 €.


2 000 cargols tipus A i 1 000 cargols tipus B; cost màxim 550 €.

Cap del tipus A i 1000 del tipus B; cost mínim 150 €.

2. Les 20 noies i els 10 nois d’un mateix curs fan una feina a les tardes i els contracten de dues maneres diferents: per parelles d’una noia i un noi, i per equips de tres noies i un noi. Els paguen a 120 €/tarda la parella i 200 €/tarda l’equip.

Com es distribuiran per tal de guanyar el màxim possible?

x: nombre de parelles, y: nombre d’equips.

x + y # 10

x + 3y # 20 F (x, y) = 120x + 200y*

Per guanyar al màxim han de fer 5 parelles i 5 equips.

3. Un magatzem de confecció que disposa de 70 samarretes, 120 camises i 110 pantalons fa liquidació d’existències. Vol posar-ho a la venda en dos tipus de lots: el lot A, for-mat per 2 camises, un pantaló i una samarreta, es vendrà a 120 € cadascun; el lot B, format per una camisa, 2 panta-lons i una samarreta es vendrà a 140 € cadascun.

Calcula quants lots els convè fer de cada classe per obtenir el màxim guany i quants diners ingressaran.

x: lots A, y: lots B.

x + y # 70

2x + y # 120

x + 2y # 110 F (x, y) = 120x + 140y

Z

[

\

]]

]]

Convé fer 30 lots A i 40 lots B i ingressaran 9 200 €.

4. Un estudiant dedica part del seu temps lliure a repartir propaganda publicitària. L’empresa A li paga 0,10 € per cada imprès repartit, i l’empresa B, amb fulletons més grans, li paga 0,14 € per imprès. L’estudiant porta dues bosses: una per a impresos A, on n’hi caben 120, i una al-tra per a impresos B, on n’hi caben 100. Ha calculat que cada dia és capaç de repartir 150 impresos com a màxim. El que l’estudiant es pregunta és: quants impresos haurà de repartir de cada classe per tal que el seu benefi ci diari sigui màxim?

x: nombre d’impresos A, y: nombre d’impresos B.

x + y # 150

x # 120

y # 100 F (x, y) = 0,10x + 0,14y

Z

[

\

]]

]]

Haurà de repartir 50 impresos A i 100 de B.

5. Una companyia fabrica dos tipus de productes, A i B, a partir de tres metalls diferents. Els quilograms de metall utilitzats en la fabricació de cada producte, com també les restriccions de disponibilitat diària de metall, s’indiquen en la taula següent. Si sabem que el quilogram de produc-te A es ven a 1,50 €, i el de producte B es ven a 2,50 €, calcula quina quantitat diària de cada producte cal fabri-car per obtenir el màxim guany possible.

Metall Producte A Producte B Existències totals de metalls

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

x: kg de A, y: kg de B.

x # 4

2y # 12

3x + 2y # 18

Z

[

\

]]

]]

F (x, y) = 1,50x + 2,50y

Cal fabricar 2 kg de l’A i 6 kg del B.

6. Un camioner que disposa de 20 000 € pot carregar el seu camió amb 25 tones de pomes i taronges. El cost de les pomes és de 1 000 €/t i ell les vendrà després a 1 300 €/t. El cost de les taronges és de 600 €/t i el preu de venda serà de 800 €/t.

a) El camioner, que vol treure’n el màxim de benefi ci, es troba davant d’un problema de programació lineal. Amb quantes variables? Quines restriccions han de complir aquestes variables?

b) Quin carregament li reportarà més benefi ci? Quin serà aquest benefi ci?

a) Dues variables. x: tones de pomes, y: tones de ta ronges.

x + y # 25

1000x + 600y # 20000*

b) El carregament que li reportarà més benefi ci és de 12,5 to-nes de pomes i 12,5 tones de taronges. El benefi ci serà de 6 250 €.

7. Una escola vol dur d’excursió 400 alumnes. L’empresa de transport té 8 autocars de 40 places i 10 de 50 places, però només disposa de 9 conductors. El lloguer d’un auto-car gran val 160 € i el d’un de petit 120 €.

a) Calcula quants autocars de cada mena s’han d’utilitzar perquè l’excursió resulti la més econòmica possible per a l’escola.

b) Identifi ca en aquest enunciat les variables, les restric-cions i la funció que cal optimitzar.

a) 4 autocars grans i 5 de petits.

x + y # 9

x # 10

y # 8

50x + 40y $ 400

Z

[

\

]]]

]]

F (x, y) = 160x + 120y

b) Dues variables. x: autocars grans i y: autocars petits.


8. Una fàbrica d’automòbils produeix dos tipus de vehicles: de luxe i utilitaris. Cada vehicle ha de ser comprovat i po-sat a punt abans de sortir al mercat. La comprovació de cada vehicle de luxe requereix 4 hores i la de cada utili-tari, 2. A més, cada vehicle requereix accessoris per valor de 1 000 €. Per cada vehicle de luxe s’obté un benefi ci de 400 €, i per cada utilitari, un benefi ci de 300 €.

Quants vehicles de cada tipus s’han de revisar diàriament per tal d’obtenir el màxim benefi ci si només podem gastar 4 000 € diaris en accessoris i no podem sobrepassar les 12 hores de feina?

x: vehicles de luxe, y: vehicles utilitaris.

4x + 2y # 12

1000(x + y) # 4000*

F (x, y) = 400x + 300y

Ha de revisar diàriament 2 vehicles de cada tipus.

9. En un magatzem hi ha 100 caixes del tipus A i 100 caixes del tipus B. La taula que segueix ens informa del pes, el volum i el valor de cadascuna:

Tipus Pes (kg) Volum (dm3) Valors (€)

A 100 30 750

B 200 40 1 250

Una camioneta pot carregar 10 000 kg i un volum màxim de 2 400 dm3. Troba com cal carregar-la per tal que el valor de les caixes que porti sigui com més elevat millor.

x: caixes A, y: caixes B.

100x + 200y # 10000 x # 100

30x + 40y # 2400 y # 100*

F (x, y) = 750x + 1250y

Ha de carregar-la amb 40 caixes del tipus A i 30 del B.

10. Un plat que ha de contenir com a mínim 20 g de proteïnes i 60 g d’hidrats de carboni s’elabora amb dos ingredients A i B. Un gram de l’ingredient A conté 0,18 g de proteïnes i 0,4 g d’hidrats de carboni i aporta 1,7 calories, mentre que un gram de l’ingredient B conté 0,17 g de proteïnes, 0,6 g d’hidrats de carboni i aporta 2,2 calories. Calcula la composició menys calòrica i determina quantes calories conté.

x: grams de A, y: grams de B.

0,18x + 0,17y $ 20

0,4x + 0,6y $ 60*

F (x, y) = 1,7x + 2,2y

Amb 45 g de A i 70 g de B s’aconsegueix la composició menys calòrica, 230,5 calories.

11. A principi de curs uns grans magatzems fan una promoció de material escolar. Tenen en estoc 600 llibretes, 500 car-petes i 400 bolígrafs. Fan dos tipus de lots. En el primer, dues llibretes, una carpeta i dos bolígrafs, en el segon, tres llibretes, una carpeta i un bolígraf. El primer lot el venen a 2,50 € i el segon, a 3,75 €.

Quants lots de cada tipus caldrà vendre per obtenir el màxim benefi ci?

x: lots del primer tipus, y: lots del segon tipus.

2x + 3y # 600

x + y # 500

2x + y # 400

Z

[

\

]]

]]

F (x, y) = 2,5x + 3,75y

La recta associada a la primera inequació és del feix de rectes que corresponen a la funció objectiu. Són solució del proble-ma tots els punts d’aquesta recta tals que 0 ≤ x ≤ 150.

El benefi ci màxim serà de 750 €.

12. Una granja d’aviram disposa de dues classes de pinso, A i B, que costen 20 i 10 €/kg, respectivament. En la compo-sició del pinso A entren 300 unitats d’un producte M i 4 unitats d’un producte N per quilogram, mentre que en la composició de B n’entren 100 de M i 8 de N per quilogram. S’estima que les necessitats nutritives mínimes de la granja són de 30 000 unitats de M i 800 de N la setmana.

Calcula les quantitats de cada pinso que s’han de comprar cada setmana per tal que el cost sigui mínim.

x: kg del A, y: kg del B.

300x + 100y $ 30000

4x + 8y $ 800*

F (x, y) = 20x + 10y

S’han de comprar 80 kg del A i 60 del B.

13. Un artesà fabrica dos tipus de peces, A i B. Cada peça A re-quereix 6 hores de muntatge i 10 de pintura, mentre que cada peça B requereix 9 hores de muntatge i 5 de pintura. Està disposat a treballar com a màxim 93 hores mensuals en la secció de muntatge i 85 en la secció de pintura. Un co-merciant li comprarà totes les peces a un preu de 500 € la peça les de tipus A, i de 400 € les de tipus B. Ara bé, aquest comerciant exigeix que se li subministri una quantitat mí-nima de 5 peces mensuals, A o B, i vol també que el nombre de peces A no superi el triple del nombre de peces B.

Calcula el nombre de peces de cada tipus que ha de fabricar mensualment l’artesà per tal d’obtenir un guany màxim.

x: peces del tipus A, y: peces del B.

6x + 9y # 93

10x + 5y # 85

x + y $ 5

x # 3y

Z

[

\

]]]

]]

F (x, y) = 500x + 400y

Ha de fabricar mensualment 5 peces del tipus A i 7 del B.


17. Una empresa que es dedica a la venda de material infor-màtic disposa de 200 ordinadors de la marca A i 150 de la marca B, 150 impressores de la marca A i 150 de la mar-ca B, i 250 equips multimèdia. A l’hora de posar aquest material a la venda, ofereix als clients dues possibilitats de compra:

– Equip multimèdia amb ordinador i impressora de la marca A.

– Equip multimèdia amb ordinador i impressora de la marca B.

Amb la venda del primer lot obtindria uns guanys de 200 €, mentre que amb una unitat del segon lot, els guanys serien de 150 €. Quants lots de cada tipus convindria preparar per obtenir uns guanys màxims?

Les restriccions es redueixen a:

x # 150

y # 150

x + y # 250

Z

[

\

]]

]]

amb x, y el nombre de cada un dels lots. La funció a maximit-zar és: F(x, y) = 200x + 150y i assolirà el valor màxim per x = 150 i y = 100.

Avaluació

1. (Curs 2003−2004) Sigui S la regió del pla de coordenades més grans o iguals a zero i tal que els seus punts compleixen:

a) La mitjana aritmètica de les coordenades és menor o igual que 5.

b) El doble de l’abscissa més l’ordenada és més gran o igual que 5.

Representa gràfi cament el conjunt S i determina en quins punts de S la funció F(x, y) = 2x + y pren el valor màxim.

El sistema d’inequacions que representen les restriccions és:

x

y

x y

x y

≥≥+ ≤+ ≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0

0

10

2 5

El gràfi c de la regió factible és:

10

10

y

y = –x + 10

y = –2x + 5x

14. Considerem el conjunt de punts que satisfan les condicions:

x $ 0, y $ 0

x + 2y $ 7

4x + 3y $ 18

Z

[

\

]]

]

Té mínim la funció z = 3x + y en aquest conjunt? I màxim? Per què?

La regió S solució és oberta amb vèrtexs: (7, 0), (0, 6) i (3, 2). La funció z = 3x + y té mínim en el punt (0, 6), però no té mà-xim ja que és oberta.

15. En una urbanització hi ha 32000 m2 sense edifi car. Una empresa immobiliària vol construir xalets amb piscina en parcel·les de 600 m2 i xalets sense piscina en parcel·les de 400 m2. El nombre de xalets sense piscina ha de ser més gran que el de xalets que en tenen, però el nombre d’aquests no pot ser més gran que el doble dels altres. A més, l’em-presa vol construir almenys cinc xalets sense piscina.

Si els benefi cis obtinguts per un xalet del primer tipus són el doble que els obtinguts per un xalet del segon tipus, quants xalets de cada mena s’han de construir per obtenir uns guanys màxims?

x: xalets amb piscina; y: xalets sense piscina.

600x + 400y # 32000

x < y

y # 2x

y $ 5

Z

[

\

]]]

]]

El vèrtex de la regió solució que verifi ca totes les condi cions i maximitza el guany és el (22, 44), prenent valors enters, i s’obtè en resoldre el sistema format per les equacions corres-ponents a la primera i tercera condició.

16. Maximitza i minimitza la funció ƒ(x, y) = x − 2y sotmesa a les restriccions següents:

x + y # 3

x $ 0

y # - 1

Z

[

\

]]

]

Vèrtexs de la regió: (0, −1) i (4, −1)

F(0, −1) = 2; F(4, −1) = 6

Mínim: no en té. Màxim: (4, −1)


Busquem el valor de la funció per a cada vèrtex: f(0, 1) = 9; f(3, 2) = 19; f(5, 1) = 19; f(4, 0) = 13; f(0, 0) = 5; per tant, f (x, y) pren el valor màxim en tots els punts del segment BC i el seu valor és 19.

4. (Curs 2003−2004) Un taller de confecció fabrica dos mo-dels de vestits. Per fer el model A es necessiten 2 m de teixit de color, 1 m de teixit blanc i 4 hores de feina. Per fer el model B es necessiten 2,5 m de teixit de color, 0,5 m de teixit blanc i 3 hores de feina. El taller disposa, cada dia, d’un màxim de 250 m de teixit de color, 100 m de teixit blanc i 380 hores de feina.

a) Anomena x i y el nombre de vestits dels models A i B respectivament fets cada dia. Expressa mitjançant un sistema d’inequacions les restriccions de la producció.

b) Representa gràfi cament la regió del pla que satisfà les inequacions.

c) La venda d’un vestit del model A porta al taller un be-nefi ci de 5 € i la d’un vestit del model B de 4 €. Supo-sant que la producció diària es ven íntegrament, quants vestits de cada tipus cal fer per tal d’obtenir el màxim benefi ci? Quant val el benefi ci màxim?

d) En aquest últim cas, quin tipus de teixit sobrarà i en quina quantitat?

a)

Nombre de vestits

Roba de color

Roba blanca

Hores de treball

Model A x 2x 1x 4x

Model B y 2,5y 0,5y 3y

Màxim 250 100 380

El sistema d’inequacions que descriu les restriccions és:

x

y

x y

x y

x y

≥≥+ ≤

+ ≤+ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪

0

0

2 2 5 250

0 5 100

4 3 380

,

,⎪⎪⎪

b) El gràfi c de la regió solució és:

100

100

y

c) La funció objectiu serà: F(x, y) = 5x + 4y

Els vèrtex de la regió factible són A(0, 10), B(10, 0), C 1 52

, 02, D(0, 5). Busquem el valor de la funció per a cada vèrtex:

f(0, 10) = 10; f(10, 0) = 20; f 1 52

, 02 = 5; f(0, 5) = 5; per tant,

f (x, y) pren el valor màxim en B(10, 0) i és 20.

2. Representa gràfi cament la regió factible determinada per les desigualtats següents:

xyx yx y

≥≥+ ≥

+ ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

00

54 3 30

Calcula la solució que fa mínima la funció objectiu z = x + 2y sotmesa a les restriccions anteriors.

El gràfi c de la regió factible és:

10

y

4x + 3y = 30x + y = 5

x

Els vèrtex de la regió factible són A(0, 5), B1 152

, 02, C(0, 10), D(5, 0).

Busquem el valor de la funció per a cada vèrtex: f(0, 5) = 10;

f 1 152

, 02 = 152

; f(0, 10) = 20; f(5, 0) = 5; per tant, el valor

mínim de f (x, y) s’obté en D(0, 5) i és 5.

3. (Curs 2003−2004) Troba els punts de la regió del dibuix on la funció f(x, y) = 2x + 4y + 5 pren el valor màxim i quin és aquest valor.

1

2y

1 2 3 4 x

El màxim s’obté en algun vèrtex del polígon.

Els vèrtex de la regió factible són: A(0, 1), B(3, 2), C(5, 1), D(4, 0), O(0, 0).


d) En aquest cas haurà gastat:

2 · 50 + 2,5 · 60 = 250 m de teixit de color i, per tant, no en sobra gens.

1 · 50 + 0,5 · 60 = 80 de teixit blanc i per tant sobren 20 m de roba blanca.

El benefi ci màxim s’assolirà en algun vèrtex de la regió solució: (0, 0), (95, 0), (50, 60), (0, 100).

El valor de la funció en cada un d’ells serà: F(0, 0) = 0; F(95, 0) = 475; F(50, 60) = 490; F(0, 100) = 400.

El benefi ci màxim s’obtindrà fabricant 50 vestits tipus A i 60 tipus B amb un benefi ci total de 490 €.


Bloc 3. Funcions

Unitat 7. Límits i continuïtat de funcions

Activitats 1. Estudia la tendència de la mateixa funció ( )f x x 42= - en

x = −2 i en x = 0. Indica si la funció és creixent o decreixent en cada cas i comprova la teva resposta a partir de la repre-sentació gràfi ca de la funció.

x 2"- i x 2-1 , ( )f x 0" i ( )f x 02

x 2"- i x 2-2 , ( )f x 0" i ( )f x 01

en ( )x f x2,-= és decreixent.

–2 xO

y

x 0" i x 01 , ( )f x 4"- i ( )f x 4-2

x 0" i x 02 , ( )f x 4"- i ( )f x 4-2

en ( )x f, x0= no és creixent ni decreixent.

y

–4

xO

2. Calcula els límits següents:

a) lim xx x

3 12 5

x 2

2

+- -

"3

b) lim xx

4 27 3

x 2 +-

"3

c) (limx" 3+

)x x x3 3 15 3+ +

d) lim xx

1 92 4

x 2

2

--

" 3-

e) lim xx

5 21 3

x

2

+-

" 3+

f) ( )lim x x x5 3 2x

2 4- + -" 3-

g) lim xx x

3 72 3 1

x

2

+- +

" 3-

h) lim xx4

1 2x 2 +

-"3

i) lim x x xx x x2 2 7

6 5 2 3x 3 2

4 3 2

- + +- + -

"3

a) lim limxx x

xx

3 12 5

35

35

x x2

2

2

2- -=

-=

-+" "3 3

b) lim lim limxx

xx

x4 27 3

47

47 0

x x x2 2+-

= = =" " "3 3 3

c) -(limx"+3

+ ) (limx x x3 3 1x

5 3 - + = -"+3

)x3 5 =-3

d) limx"13= 2 4x2

1 9x22 4x2

1 9x2limx

= ="+ 3

lim xx

94

94

94

32

x2

2

=--

= --

= ="+3

e) lim lim limxx

xx x

5 21 3

53

53

x

2 2

+-

=-

=-

=-3" " "3 3+3x x

f) ( ) ( )lim limx x x x5 3 2x x

2 4 4- + - = - =-3- -" "3 3

g) lim lim limxx x

xx x3 1

32

32

3 72

x x x

2 2

+- +

= = =-3- - -" " "3 3 3

h) lim lim limxx

xx

x41 2 2 2 0

x x x2 2+-

=-

=-

=" " "3 3 3

i) lim limx x xx x x

xx

2 2 76 5 2 3

26

x x3 2

4 3 2

3

4

- + +- + -

= =" "3 3

( )lim x3x

= =3"3

3. Donada la funció ( )f x x xx 1

3 2

2=

+-

a) Troba’n el límit en x = −1, x = 0, x = 1, x = 2 i x = 3.

b) Indica’n el creixement o el decreixement en x = 1 i x = 3.

c) Com és la funció en x = 2, creixent o decreixent? Justifi -ca la teva resposta.

a) lim x xx 1 2

x 13 2

2

+-

=-"-

lim x xx 1

x 03 2

2

+-

=-3"

lim x xx 1 0

x 13 2

2

+-

="

lim x xx 1

41

x 23 2

2

+-

="

lim x xx 1

92

x 33 2

2

+-

="

b) En x 1= , f(x) és creixent; en x = 3, f(x) és decreixent.

c) En x 2= , f(x) no és creixent ni decreixent, ja que per a valors més petits de 2, f(x) creix, mentre que per a valors més grans, f(x) decreix.


a) ( )( )( )( )

lim limxx x

x x xx x

16 23 9 30

2 2 4 82 3 15

x x23

2

22+

- -=

+ - +

+ -=

" "- -

lim x xx

2 4 83 15

2421

87

x 22=- +

-=

-=-

"-

b)

lim x xx x

3 9 2712

94

x 32

2

=- - -

+= - =-

"

c) lim xx

xx

61

32 3

x 02 3

+-

+=

"

c m

( ) ( )lim x

x x x6

1 2 2 3x 0

3=+ - +

="

lim xx x x

64 6

x 03

2

=+ - -

="

lim xx x

63 6

06

x 03

2

=- -

=-

=3"

d)( )( )

lim limx x xx x

xx

3 3 12 1

11

x x13 2

2

13

2

+ + ++ +

=+

+=

" "- -

lim x 11

01

x 1=

+= =3

"-

e) : ( )( )( )( )

lim limxx

xx

x xx x

12 3

13 2

1 3 22 3 1

x x12

12-

+-+

=- +

+ -=

" "

c m

( )( )( )( )( )

( )( )lim limx x xx x

x xx

1 1 3 22 3 1

1 3 22 3

x x1 1=

+ - +

+ -=

+ ++

=" "

2 55

21

$= =

f)( )

( )( )lim limx x

xx x

x x2

3 122

2 3 6x x2

2

2

2--

=-

- +=

" "

lim xx3 6

212 6

x 2=

+= =

"

8. Considera la funció:

( )f x x x

x x5 6

22

2=

+ ++ -

Calcula’n el límit quan x tendeix a:

−3−, −3+, −3, −2−, −2+, −2, 1−, 1+, 1.

lim x xx x

5 62

04

x 32

2

+ ++ -

= =+3"-

+

lim x xx x

5 62

04

x 32

2

+ ++ -

= =-3"-

-+

lim x xx x

5 62

x 32

2

+ ++ -

"-=3

( )( )( )( )

lim limx xx x

x xx x

5 62

2 32 1

x x22

2

2+ ++ -

=+ +

+ -=

" "- -

lim xx

31 3

x 2=

+-

=-"-

4. Calcula el límit de ( )f x xx x

322

=+ en x = 0.

Què pots dir del creixement o del decreixement de la funció en x = 0?

lim xx x

32

32

x 0

2 +=

"

No podem parlar de creixement o decreixement en x 0= ja que aquest valor no és del domini de f(x).

5. Determina el límit de la funció f(x) = ( )xx

13

2-+ quan x 3"-

i quan x 1" . Indica’n el creixement o el decreixement en x = −3.

( )lim xx

13 0

x 32-

+=

"-

( )lim xx

13

x 12-

+=+3

"

En x 3=- , f(x) és creixent.

6. Troba el límit de la funció f(x) = x x xx x x

3 25 6

3 2

3 2

- +- + per a x = 0,

x = 1, x = 2 i x = 3.

( )( )

lim limx x xx x x

x x xx x x

3 25 6

3 25 6

x x03 2

3 2

02

2

- +- +

=- +

- +=

" "

lim x xx x

3 25 6

26 3

x 02

2

=- +- +

= ="

lim x x xx x x

3 25 6

02

x 13 2

3 2

- +- +

= =3"

( )( )( )( )

lim limx x xx x x

x x xx x x

3 25 6

22 3

x x23 2

3 2

22

2

- +- +

=- -

- -=

" "

lim x xx x3

22 1

x 22

2

=--

=-

=-"

lim x x xx x x

3 25 6

60 0

x 33 2

3 2

- +- +

= ="


a) lim xx x16 2

3 9 30x 2 3

2

+- -

"-

b) lim xx x x

272 3

x 3 3

3 2

-- -

"

c) lim xx

xx

61

32 3

x 0 2 3+

-+

"b l

d) lim x x xx x

3 3 12 1

x 1 3 2

2

+ + ++ +

"-

e) :lim xx

xx

12 3

13 2

x 1 2 -+

-+

"b l

f) lim x xx

23 12

x 2 2

2

--

"


( )( )

( )

limlim

f xf x

f

24

2 4

x

x

2

2

=

=

- =

"

"

-

- +

_

`

a

bb

bb discontinuïtat de salt en x 2=- .

( )( )

( )

limlim

f xf x

f 2

x

x

2

2

=+

=-

3

3

b

"

"+

_

`

a

bb

bbdiscontinuïtat asimptòtica en x 2= .

( ) ( )( )

lim limf x f xf

15 2

x x5 5= =

=-" "

+ 4discontinuïtat evitableen x 5= .

s’evita defi nint una nova funció ( )( )

g xf x x

x155

==

!)

11. Dibuixa la gràfi ca de la funció ( )f x x23= a partir d’una taula de valors i estudia’n la continuïtat en x = 0.

= =

( )

lim limx x

f

0

0 0x x0

23

0

23

=" "

+ 4 és contínua en x 0=

xO

y

12. La funció ( )f x xx

11

2=-- , és contínua en x = 1? I en x = −1?

Df = {x � � | x2 − 1 ≠ 0} = � − {−1, 1}

f(x) no és contínua ni en x 1= , ni en x 1=- .

13. Classifi ca les dicontinuïtats de la funció de l’activitat an-terior.

( )( )

( )( )

( )

lim lim lim

lim lim lim

xx

x xx

x

xx

x xx

x

f

11

1 11

11

21

11

1 11

11

21

1

x x x

x x x

12

1 1

12

1 1

--

=+ -

-=

+=

--

=+ -

-=

+=

b

" " "

" " "+ + +

_

`

a

bb

bb

és discontínua evitable en x 1= .

s’evita defi nit una nova funció ( )g x xx x

x11

21

1

1

2

= --

=

!Z

[

\

]]

]]

lim xx

11

02

x 12 --

=-

=-3"-

+

_

`

a

bb

bb

lim xx

11

02

x 12 --

=-

=+3

( )f 1-b

"--

+

és discontínua asimptòtica en x 1=- .

( )( )( )( )

lim limx xx x

x xx x

5 62

2 32 1

x x22

2

2+ ++ -

=+ +

+ -=

" "- -+ +

lim xx

31 3

x 2=

+-

=-"- +

lim x xx x

5 62 3

x 22

2

+ ++ -

=-"-

lim x xx x

5 62

120 0

x 12

2

+ ++ -

= ="

lim x xx x

5 62

120 0

x 12

2

+ ++ -

= ="

+

lim x xx x

5 62 0

x 12

2

+ ++ -

="

9. En la funció:

( )f xx xx x

xx

x

x

2 2

2 21

1

1

si

si

2

2

22

G+

Z

[

\

]]

]]

Determina-hi el límit quan x tendeix a −2−, −2+, −2, 1−, 1+, 1.

( )lim limf x x xx x

2 2 46

23

x x2 22

2

=+-

= =" "- -


2 2 46

23

x x2 22

2

=+-

= =" "- -+ +

( )lim f x 23

x 2=

"-


2 2 40 0

x x1 12

2

=+-

= =" "

( ) ( )( )( )

lim lim limf x xx

xx x

2 21

2 11 1

x x x1 1

2

1= -

-=

-

- +=

" " "+ + +

lim x

21 1

x 1=

+=

"+

( )lim f xx 1

b"

10. Classifi ca les discontinuïtats de la funció representada gràfi cament en la fi gura.

y

5

4

x

2

–2

–2

2


( )( )

limlim

f xf x

x

x

0

0

=+

=+

3

3"

"+

4

( )( )

limlim

f xf x

00

x

x

1

1

=

="

"+

4

( )( )

limlim

f xf x

11

x

x

2

2

=-

="

"+

4

b) - =( )4 2f , 1 2( )- =f , ( )f 1 0= , ( )f 2 1=-

c) En x = −4, la funció presenta una discontinuïtat de salt.

En x = −1, la funció presenta una discontinuïtat evitable.

S’evita defi nint una nova funció:

( )( )

g xf x x

x111

=-

=-

!)

En x 0= la funció presenta una discontinuïtat asimptòtica.

En x 2= la funció presenta una altra discontinuïtat de salt.

En x 1= la funció és contínua.

16. Dibuixa una gràfi ca d’una funció que verifi qui:

( )lim f xx

3=+" 3-

, ( )lim f x 2x

=" 3+

I que presenti les discontinuïtats següents:

a) De salt en x = −3.

b) Asimptòtica en x = 1.

c) Evitable en x = 4.


–3 O

2

1 4

Activitats fi nals

1. Calcula els límits a l’infi nit de les funcions polinòmiques:

a) ( )p x x x x x4 12 34 3 2= + - + -

b) ( )q x x x2 6 83 2=- - +

14. Donada la funció:

( )f xx + 1 x

x

0

0

si

six2≥

<Z

[

\

]]

]]

5x

x 1

Estudia’n analíticament la continuïtat en x = −1, x = 0 i x = 1.

_

`

a

bb

bb

( )lim limf x xx1

505

x x1 1=

+-

= =-3" "- -

-

( )

( )

lim limf x xx

f

15

05

1

x x1 1=

+-

= =+

-

3

b

" "- -+

+ +

és discontínua asimptòtica en x 1=- .

( )

( )

lim lim

lim lim

f x xx

f x xx

15 0

1 0

x x

x x

0 0

0 0

2

=+

-=

= - =

( )f 0 0=

" "

" "+ +

_

`

a

bb

bb

és contínua en x 0= .

( )lim limf x xx

1 01

x x1 1

2

2

= - = =-3" "

-

_

`

a

bb

bb

( )

( )

lim limf x xx

f

1 01

1

x x1 1= - = =+3

b

" "+

+ +

és discontínua asimptòtica en x = 1.

15. A partir de la gràfi ca de la fi gura:

y

o–4 x

2

–1–1

2

1

1

a) Troba el límit de la funció quan x tendeix a:

−3, +3, −4−, −4+, −4, −1−, −1+, −1, 0−, 0+, 0, 1−, 1+, 1, 2−, 2+, 2

b) Determina els valors de f(−4), f(−1), f(1) i f(2).

c) Indica i classifica les discontinuïtats de la funció.

a) ( )lim f x 0x

="-3

( )lim f xx

=+3"+3

( )( )

limlim

f xf x

21

x

x

4

4

=

=-"

"

-

- +

4

( )( )

limlim

f xf x

11

x

x

1

1

=

="

"

-

- +

4

( )f xlimx 4

b"-

( )lim f x 1x 1

="-

�

�

( )lim f xx 0

=+3"

( )lim f x 0x 1

="

( )f xlimx 2

b"

�

�

�


3. Donada la funció ( )f x x xx x x

24 3

2

3 2=

+ -- + calcula el límit de:

a) f(x) quan x 2" i x 1" .

b) ( )f x1c m per a x 0" , x 1" i x 3" .

a) lim x xx x x

24 3

030

x 22

3 2

+ -- +

=-

=-3"-

+

lim x xx x x

24 3

030

x 22

3 2

+ -- +

=-

=+3"-

-+

lim x xx x x

24 3

x -22

3 2

+ -- +

"=3

( )( )( )( )

lim limx xx x x

x xx x x

24 3

1 21 3

x x12

3 2

1

2

+ -- +

=- +

- -=

" "

lim xx x

23

32

x 1

2

=+-

=-"

b) lim x x xx x

4 32

02

x 03 2

2

- ++ -

=-

=+3"

-

lim x x xx x

4 32

02

x 03 2

2

- ++ -

=-

=-3"

++

lim x x xx x

4 32

x 03 2

2

- ++ -

"=3

lim x x xx x

4 32

23

x 13 2

2

- ++ -

=-"

lim x x xx x

4 32

010

x 33 2

2

- ++ -

= =3"


a) lim xx x

42

x 2 2

2

-+

"-b) ( )

lim x xx

3 6 31

x 1 2

3

- +

-

"

c) lim xx9

5 15x 3 2-

-"

d) lim x xx2 1

2 2x 1 2 + +

+"-

a) ( )( )( )

lim limxx x

x xx x

42

2 22

x x22

2

2-+

=- +

+=

" "- -

lim x

x2 4

221

x 2= - = -

-=

"-

b)( )

( )( )

lim lim limx xx

xx x

3 6 31

3 11

31 0

x x x12

3

12

3

1- +

-=

-

-=

-=

" " "

c)( )( )

( )lim limx

xx xx

95 15

3 35 3

x x32

3--

=- +

-=

" "

lim x3

565

x 3=

+-

=-"

d) ( )( )

lim limx xx

xx

2 12 2

12 1

x x12

12+ +

+=

+

+=

" "- -

lim x 1

202

x 1=

+= =3

"-

5. Explica per què no existeix el límit de la funció ( )f x xx x

=+

quan x 0" .

lim

lim

xx x

xx x

0

2x

x

0

0

+=

+=

"

"+

_

`

a

bb

bbPer tant ( )lim f x

x 0b

".

a) ( ) ( )lim limp x x x x x4 12 3x x

4 3 2= + - + - =" "- -3 3

( )lim x4x

4= =+3"-3

( ) ( )lim limp x x x x x4 12 3x x

4 3 2= + - + - =" "+ +3 3

( )lim x4x

4= =+3"+3

( )lim p xx

=+3"3

b) ( ) (lim limq xx x

= -" "- -3 3

)x x2 6 83 2- + =

(limx

= -"-3

)x2 3 =+3

( ) (lim limq xx x

= -" "+ +3 3

)x x2 6 83 2- + =

(limx

= -"+3

)x2 3 =-3

( )lim q xx"3

= 3

2. Troba el límit per a x " 3- , x " 3+ i x " 3 de les fun-cions:

a) ( )f x xx

2 17 3

2=--

b) ( )g x x xx x

6 3 112 2 5

2

2=

- ++ -

c) ( )h x xx

322

=+-

d) ( )r x xx

3 21 3

=+

-

a) lim lim lim

lim lim lim

xx

xx

x

xx

xx

x

2 17 3

27

27 0

2 17 3

27

27 0

x x x

x x x

2 2

2 2

--

= = =

--

= = =

" " "

" " "

- - -

+ + +

3 3 3

3 3 3

_

`

a

bb

bb

lim xx

2 17 3 0

x2 --

="3

b) lim lim

lim lim

x xx x

xx

x xx x

xx

6 3 112 2 5

612 2

6 3 112 2 5

612 2

x x

x x

2

2

2

2

2

2

2

2

- ++ -

= =

- ++ -

= =

" "

" "

- -

+ +

3 3

3 3

_

`

a

bb

bb

lim x xx x

6 3 112 2 5 2

x2

2

- ++ -

="3

c) lim lim lim

lim lim lim

xx

xx x

xx

xx x

32

32

x x x

x x x

2 2

2 2

+-

= = =-

+-

= = =+

3

3

" " "

" " "

- - -

+ + +

3 3 3

3 3 3

_

`

a

bb

bb

lim xx

32

x

2

+-

=3"3

d) lim lim lim

lim lim lim

xx

xx x

xx

xx x

3 21

3 3

3 21

3 3

x x x

x x x

3 3 2

3 3 2

+-

=-

=-

=-

+-

=-

=-

=-

3

3

" " "

" " "

- - -

+ + +

3 3 3

3 3 3

_

`

a

bb

bb

lim xx

3 21

x

3

+-

=-3"3


y

xO

g(x)

= + )3( ) [ ,

( )

( )

lim

lim lim

h x D

h x x

h

0

0

0 0

perquex

h

x x

0

0 0= =

=

b"

" "+ +

} _

`

a

bb

bb

h(x) no és contínua en x 0= .

xO

y

h(x)

8. La funció:

( )f xx

xx

12

00

sisi 2

G=

+)

és contínua en x = 0? Justifi ca la resposta gràfi cament.

lim

( )

( )

lim f x

f

1

0 1

x 0=

=

"

+( )f x 2

x 0=

"

_

`

a

bb

bb

xO

y

f(x)

En x 0= , f(x) és discontínua de salt.

6. Calcula el límit de la funció:

( )f x

x

xx

xx

x

x

x

11

93 9

33

0

0 3

3

si

si

si

2

1

G G

H

=

+

--

+

Z

[

\

]]]

]]]

quan x tendeix a −3, +3, 3, −1−, −1+, −1, 0−, 0+, 0, 3−, 3+, 3.

( )

( )

lim lim

lim lim

f x x

f x xx

11 0

33 3

x x

x x

=+

=

=+

=

" "

" "

- -

+ +

3 3

3 3

_

`

a

bb

bb

( )

( )

lim lim

lim lim

f x x

f x x

11

01

11

01

x x

x x

1 1

1 1

=+

= =-

=+

= =+

3

3

" "

" "

- --

- -+

+ +

_

`

a

bb

bb

( )

( )

lim lim

lim lim

f x x

f x xx

11 1

93 9 1

x x

x x

0 0

0 02

=+

=

=--

=

" "

" "+ +

_

`

a

bb

bb

x x3 3+ -( ) ( )( )

( )

( )

lim lim lim

lim

lim lim

f x xx x

x

f x xx

93 9 3 3

33

63

21

33

69

23

x x x

x

x x

3 32

3

3

3 3

"

=--

=-

=

=+

= =

=+

= =

" " "

"

" "+ +

_

`

a

bbb

bbb

( )f xlimx 3

b"

7. Són contínues les funcions ( )f x x= , ( )g x x1

= i ( )h x x= en x = 0? Justifi ca la resposta de manera analí-

tica i gràfi ca.

( )

( )

( )

lim lim

lim lim

f x x

f x x

f 0 0

x x

x x

0 0

0 0

= =

= =

=

" "

" "+ +

0

0

_

`

a

bb

bb

f(x) és contínua en x 0= .

x

y

O f(x)

_

`

a

bbb

bbb

( )

( )

( )

lim lim

lim lim

g x x

g x x

g x D

101

101

0 0perque

x x

x x

g

0 0

0 0

= = =-

= = =+

=

3

3

b z

" "

" "

-

++ +

}

g(x) és discontínua asimptòtica en x 0= .

( )f xlimx

b"3

( )f xlimx 1

=3"-

( )lim f x 1x 0

="

�

�

�


y

1x

3

en x 1= , f(x) presenta una discontinuïtat evitable; s’evita de-fi nint una nova funció: ( )g x x2 4= - .

12. Estudia la continuïtat en x = 1 i x = 3 de la funció:

( )f x

x

xx

x xx

x

x

3 2

12

33

1

1 1 x G 3

3

si

si

si

2

2 2

G

+

Z

[

\

]]

]]

( ) ( )

( )

( )

lim lim

lim lim

f x x

f x xx

f x

3 2 1

12 1

1

x x

x x

1 1

1 1

2

= - =

=+

=

=

" "

" "+ +

_

`

a

bb

bb

en x 1= , f(x)és contínua.

( )

( ) ( )

( )

lim lim

lim lim lim lim

f x xx

f x x xx

x xx

x

f

12

418

29

33

33 1

31

3 29

x x

x x x x

3 3

2

3 32

3 3

=+

= =

=--

=--

= =

=

" "

" " " "+ + + +

_

`

a

bbb

bbb

discontínua de salt en x = 3.

13. El novembre de 1999, l’import en euros del franqueig d’una carta nacional en funció del seu pes era:

Fins a 20 g 0,21 €

Més de 20 g fi ns a 50 g 0,32 €

Més de 50 g fi ns a 100 g 0,45 €

Més de 100 g fi ns a 200 g 0,75 €

Més de 200 gfi ns a 350 g 1,35 €

Més de 350 g fi ns a 1 kg 1,95 €

Més d’1 kg fi ns a 2 kg 3,01 €

a) Representa per x la variable pes i per f(x) la variable preu i escriu l’expressió algèbrica de la funció.

b) Indica’n el domini.

c) Realitza’n la representació gràfi ca.

d) Estudia’n les discontinuïtats.

9. Classifi ca les discontinuïtats de cada funció en el punt in-dicat.

a) ( )f x x 31

=- en x 3=

b) ( )g xx

x

x

x2

1

1

si

si2

1

H+en x 1=-

a) ( )

( )

( )

lim lim

lim lim

f x x

f x x

f x x D

31

01

31

01

3perque

x x

x x

f

3 3

3 3

= - = =-

= - = =+

=

3

3

b z

" "

" "

-

++ +

}

_

`

a

bbb

bbb

f(x) és discontínua asimptòtica en x 3= .

b)

- -= +

+ +

1 3( )- =

( )

( ) ( )

lim lim

lim lim

g x x

g x x

g

1

2 3

x x

x x

1 1

1 1

2

= =-

=

" "

" "

- -

_

`

a

bbb

bb

g(x) és discontínua de salt en x 1=- .

10. Estudia la continuïtat de la funció:

( )f x x xx

22 8

2

2=

-- en x = 0 i x = 2

( )

lim

lim

x xx

x xx

f x D

22 8

08

22 8

08

0 0perque

x

x

f

02

2

02

2

--

=-

=-

--

=-

=+

=

3

3

b z

"

"

+

-+

}

`b

b

_

a

b

b

b

b

en x 0= , f(x) és discontínua asimptòtica.

( )( )( )

( )( )( )

( )

lim lim lim

lim lim lim

x xx

x xx x

xx

x xx

x xx x

xx

f x D

22 8

22 2 4 2 4

28 4

22 8

22 2 4 2 4

28 4

2 2perque

x x x

x x x

f

22

2

2 2

22

2

2 2

--

=-

- +=

+= =

--

=-

- +=

+= =

=b z

" " "

" " "+ + +

}

b

b

_

`

a

b

b

bb

en x 2= , f(x) presenta una discontinuïtat evitable, s’evita de-fi nint una nova funció:

( )g x x xx x

x

22 8

4

2

2

2

2

= --

=

!

11. A partir de la gràfi ca de la funció:

( )f x

x x

x

2 4

3

1

1

si

si

!

determina el tipus de discontinuïtat que presenta en x = 1.

.

.


16. La funció ( ) ( )( )

f x xx

x4 120 1

40 0per a2 H=+ -

-+ expressa la

població d’un país en milions d’habitants, on x és el temps en anys. Calcula la població actual i el límit de f(x) quan x tendeix a infi nit.

x: anys que passen des de l'actualitat.

4 1+ -( ) ( )

( )f 0

20 140 5

20 402=-

+ =-

+ =

4 40 36=- + = milions d’habitants

( )( )

lim xx

4 120 1

40 40x

2+ -

-+ =

"+3e o milions d’habitants

17. El preu per unitat d’un article expressat en euros per quilo-gram és:

( ) , ,f x x0 6 10 6

= ++

on x representa el nombre total de quilograms venuts. In-dica el domini de la funció i determina entre quins preus es ven la unitat d’aquest article en funció dels quilograms venuts.

RDf = +

( ) ,,

, , ,f 0 0 6 10 6

0 6 0 6 0 12= + = + =

,,

,lim x0 6 10 6

0 6x

++

="+3

c m

Es ven entre 0,6 i 0,12 €

18. a) A partir de la gràfi ca de la funció de la fi gura, determina’n els límits a l’infi nit i indica’n les discontinuïtats i classi-fi ca-les.

y

x

2

–1 2o

b) Per a quins valors de x dels intervals [−4, 1) i [−1, 2] és contínua aquesta funció?

a) ( )f x

( )( )

limlim lim

f xf x

02

x

xx

=

=b"

""

-

+

3

33

4

En x 1=- , f(x) és discontínua de salt.

En x 2= , f(x) és discontínua asimptòtica.

a)

( )

,,,,,,,

f x

xxxxxx

0 210 320 450 751 351 953 01

0 2020 5050 100100 200200 350350 11

sisisisisisisi

=

111111

G

G

G

G

G

G

x000

000 2 0001 G

Z

[

\

]]]]]

]]]]

on x són grams i f(x), euros.

b) ( , ]D 0 2 000f =

c) €

20 g50 100 200 300 350 400

1,95

1,35

0,75

0,45 0,32 0,21

d) f(x) és discontínua de salt en x 20= , x 50= , x 100= , x 200= , x 350= i x 1= 000.

14. Troba el valor de k perquè la funció

( )f xx kx kx

xx2 6

00

sisi2 2

G=

+

- +)

sigui contínua en x = 0.

( ) ( )

( ) ( )

( )

lim lim

lim lim

f x x k k

f x x kx

f k

2 6 6

0

x x

x x

0 0

0 0

2

= + =

= - + =

=

" "

" "+ +

_

`

a

bb

bb

si és contínua enx k0 6"= = .

15. Dibuixa una gràfi ca d’una funció tal que:

a) { }RD 0f = -

b) ( )lim f x 0x"3

c) Presenti una discontinuïtat evitable en x = −1.

d) Presenti una discontinuïtat de salt en x = 2.


y

–1 x2

€

€


Avaluació


3 4

limx

xx→ −

−−

= −+

= −∞

∞∞

∞3 4

16

3

2

limx

xx→ −

−−∞ 16

3

2

5limx

xx→ +

− −∞

2

x2

9limx

xx→

−

1−−3

2

2 3x2x3

1 22

limx

x 7x→ +

+∞

2

2 x− 23x

1−5x

1 2

limx

xx x→

−−

= =3

2

2

93

30

∞

El límit per l’esquerra és −∞ i el límit per la dreta és +∞.

5 1

limx

xxx x

x→ +

−

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =∞

2 72

2 22

2

3 53 53

2. Estudia la continuïtat de la funció següent en x = −1 i en x = 2.

f x

x

x

( ) =

+⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

5 2

42

si

si

si

x

x

x

≤ −

− < ≤

>

1

1 2

2

En x = −1 la imatge val −3 i els límits laterals són −3 i 4, per tant, tenim una discontinuïtat de salt.

En x = 2 la imatge i els límits laterals coincideixen i valen 4, per tant, és contínua en aquest punt.

3. Troba el domini i estudia la continuïtat de la funció

f(x) = 2 6

92

xx

−−

La funció és discontínua en x = 3 i x = −3 que són els punts que anul·len el denominador i que, per tant, no pertanyen al domini. El domini és � − {−3, −3}.

En x = −3 els límits laterals són −∞ i +∞ i la imatge no existeix, així que tenim una discontinuïtat asimptòtica.

En x = 3 la imatge no existeix però el límit si i val 13

, per tant, la discontinuïtat és evitable.

b) És contínua en tots els punts de l’interval [−4, 1), excepte en x 1=- . En l’interval [−1, 2] és contínua en tots els punts, excepte en x 1=- i en x 2= .

19. De la funció que té per gràfi ca:

y

3 4 x

2

–1–1

1

1

3

o

a) Indica’n el domini i les imatges de −1, 3 i 4.

b) Determina’n el límit quan x tendeix a −3, +3, 3, −1−, −1+, −1, 1−, 1+, 1, 3−, 3+, 3, 4−, 4+, 4.

c) Descriu-ne i classifi ca’n les dicontinuïtats.

a) { }RD 1f = - ; ( )1 2- =f , ( )f 3 1=- , ( )f 4 3=

b) ( )( )

limlim

f xf x

11

x

x

=

="

"

-

+

3

3

4

( )( )

limlim

f xf x

22

x

x

1

1

=

="

"

-

- +

4

( )( )

limlim

f xf x

x

x

1

1

=-

=+

3

3"

"+

4( )( )

limlim

f xf x

11

x

x

3

3

=-

="

"+

4

( )( )

limlim

f xf x

22

x

x

4

4

=

="

"+

4

c) En x 1= és discontínua asimptòtica

En x 3= és discontínua de salt

En x 4= és discontínua evitable, s’evita defi nint una nova funció:

( )( )

g xf x x

x244

==

!)

En x 1=- és contínua

( )lim f x 1x

="3

( )lim f x 2x 1

="-

( )f xlimx 1

= 3"

( )f xlimx 3

b"

( )lim f x 2x 4

="

�

�

�

�

�


Unitat 8. Derivades

Activitats

1. La funció f(x) = x2 és decreixent en l’interval (−∞, 0). Fes un raonament com el que hem fet anteriorment per deter-minar on decreix amb més rapidesa, si ens movem prop de x = −5 o si ho fem prop de x = −2.

Prop de x = −5:

x = −5,1 → ƒ(−5,1) = (−5,1)2 = 26,01

x = −4,9 → ƒ(−4,0) = (−4,9)2 = 24,01

Augment de x: −4,9 −(−5,1) = 0,2

Augment de ƒ(x): 24,01 − 26,01 = −2

Prop de x = −2:

x = −2,1 → ƒ(−2,1) = (−2,1)2 = 4,41

x = −1,9 → ƒ(−1,9) = (−1,9)2 = 3,61

Augment de x: −1,9 − (−2,1) = 0,2

Augment de ƒ(x): 3,61 − 4,41 = −0,8

Prop de x = −5, la funció disminueix 10 vegades el que aug-menta x, mentre que prop de x = −2, la disminució de la fun-ció és 4 vegades més gran que l’augment de x. Per tant, la funció f(x) = x2 decreix amb més rapidesa prop de x = −5.

2. Representa gràfi cament la funció f(x) = 2x − 3. On creix més de pressa, en x = 0 o en x = 3? Passaria el mateix per a qualsevol altre valor de x? Raona la resposta.

y

x

f (x) = 2x – 3

El creixement d’aquesta funció és uniforme, independentment del valor de x que es considera. Fixa’t que:

f(x) = 2x − 3

f(x + h) = 2 (x + h) − 3 = 2x + 2h − 3

Augment de x: x + h − x = h

Augment de f(x): 2x + 2h − 3 − (2x − 3) = 2h

Sigui quin sigui el valor de x, l’augment que experimenta la funció és el doble que l’augment de x.

3. La gràfi ca de la fi gura mostra l’evolució dels preus de tres productes de neteja diferents durant un període de cinc anys.

a) Quin era el preu de cada producte l’any 1996?

b) Quin producte no ha variat de preu?

c) Quin producte ha incrementat amb més rapidesa el seu preu?

A

BC

1997 1998 1999 2000 2001

2,40

Preu(€)

Temps (anys)

a) Els tres productes valien el mateix: 2,40 €.

b) El producte C.

c) El producte A.

4. La funció f (x) = x3 + 2 sempre és creixent. Calcula’n la va-riació mitjana a cadascun dels intervals següents: [−3, −1], [0, 2] i [5, 7]. En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?

Interval [−3, −1]: f f( ) ( )

( )( )− − −

− − −= − −

− += =1 3

1 31 25

1 3262

13

Interval [0, 2]: f f( ) ( )2 0

2 010 2

2 82

4−−

= − = =

Interval [5, 7]: f f( ) ( )7 57 5

345 1272

2182

109−−

= − = =

La funció f(x) = x3 + 2 té el creixement més ràpid en l’interval [5, 7].

5. Considera la funció f(x) = 3x + 1. Demostra que la seva variació mitjana sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2] considerat.

f x f xx x

x xx x

x x( ) ( ) ( )2 1

2 1

2 1

2 1

2 13 1 3 1 3−−

= + − +−

= − 3x x

x xx x2 1

2 1

2 1

33

−= −

−=( )

En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitjana de la funció és 3.

6. Quant val la variació mitjana de la funció f(x) = 5 en qual-sevol interval [x1, x2]?

Val zero, ja que es tracta d’una funció constant.

7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) = −x2 + 4x a l’interval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al vol-tant de x = 3?

Fes-ne la representació gràfi ca i comprova després la teva resposta.

f(3,1) − f(2,9)3,1 − 2,9

= 2,79 − 3,190,2

= −0,40,2 = −2


Podem esperar que la funció f(x) = −x2 + 4x decreixi al voltant de x = 3. Ho comprovem a la gràfi ca de la funció.

3

f (x) = –x2 + 4x

8. La funció f(x) = −x2 + 6x és decreixent al voltant de x = 4.

Quantifi ca aquest decreixement calculant lim( ) ( )

x

f x fx→

−−4

44

. Interpreta’n el resultat obtingut.

lim( ) ( )

limx x

f x fx

x xx→ →

−−

= − + −−

=4 4

244

6 84

Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l’ordre de dues vegades el que augmen ta x.

9. Fes el mateix estudi de l’activitat 8 per a x = 3.

Fixa’t en la gràfi ca de la funció i interpreta el resultat que has obtingut.

lim( ) ( )

lim

lim

x x

x

f x fx

x xx→ →

→

−−

= − + −−

=

=

3 3

233

6 93

33

2

3

33

3 0− −

−= − =

→

( )lim ( )

xx

xx

Als voltants de x = 3, la funció pràcticament no varia.

10. Representa gràfi cament la funció f(x) = −2x + 3. Calcula ƒ’(−2), ƒ’(0) i ƒ’(3). Interpreta’n els resultats.

f (x) = –2x + 3

m l m

f9f h f

hh

h h( ) lim

( ) ( )lim

( )− = − + − − = − − + +→ →

22 2 2 2 3

0 0

−− =

= − + − = − =→ → →

7

4 2 3 7 20 0 0

hhh

hhh h h

li im li 2= −2)(−

També es verifi ca: ƒ ’(0) = ƒ ’(3) = −2.

La funció ƒ(x) = −2x + 3 decreix sempre de la mateixa mane-ra, és a dir, presenta un decreixament uniforme. En general: ƒ ’(x0) = −2, x0 ∈ R.

11. Donada la funció f(x) = ax + b, demostra que f’(x0) = a, independentment del valor x0 considerat.

a a

′ = + − = + +→ →

f xf x h f x

ha x h b

h h( ) lim

( ) ( )lim

( )0

0

0 0

0

0 − + =

= + + − − =→ →

( )

lim lim

ax bh

ax ah b ax bh

ahhh h

0

0

0 0

0= =

→limh 0

12. Calcula, si és possible:

a) f ’(8) si f(x) = x + 1 b) f ’(0) si f(x) = 1x

c) f ’12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ si f(x) = 4 − x2 d) f ’(−2) si f(x) = x + 2

a)

9 3+ -

8 1g g( )f h

f h fh

h

hh

h h

h h

h hh

h hh

h

83

9 3

9 3 9 3

9 39 9

9 3

9 31

61

h 0

lim lim

lim lim

lim lim

lim

=+ -

=+ + -

=

= =+ +

+ - + +=

=+ +

+ -=

+ +=

=+ +

="

l

__ _

_ _i

i i

i i

0"h 0"h

0"h 0"h

0"h 0"h

] ]8 8

b) No existeix f ’(0), ja que x = 0 no pertany al domini de la 1 funció f(x) = — → no existeix f(0). x

c)

d) " "

f hh

h21

01

h h0 0lim lim- = = = =3l] g

La funció ( )f x x 2= + no és derivable en x = −2.

13. Representa gràfi cament la funció f(x) = x2 − 2x + 4 i indica’n, a partir de la gràfi ca, els intervals de creixement i decreixement. Comprova que f’(1) = 0.

f (x) = x2 –2x +

x

y

Decreixent: (−∞, 1)

Creixent: (1, +∞)

2 2limx→4

− − −−

== = −→

( )( )lim ( )

x xx

xx

2 44 4

−


c)

+ -

( )( ) ( )

f hf h f

hf h f

hh

hh h

00

2 1 1 2 2 2 0 0h

0

0

2 2

0

lim lim

lim lim lim $

=+ -

= =-

= = = = =

"

" "

l] ]g g0 0

h 0"h

h 0"h

d)

2 3

- -f h

f h f

hh

hh

hh

22 2

10 17

20 10 3 17

10 10 10

h

h

h

0

0

0

lim

lim

lim

lim lim

- =- +

=

=- + + - -

=

=- + + +

=

= = =

"

"

"

h 0" h 0"

l] ] ]] ]

g g gg g

17. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfi ca de la funció f(x) = 3x2 − 10x + 3 en x = 2.

,x f

f x x

m f

y x y x y x

2 2 3 2 10 2 3 5 2 –5

6 10

2 6 2 10 12 10 2

5 2 2 5 2 4 2 9

2

tg

+

+ +

" "

" "

: :

:

l

l

] ^]

]]

g hg

gg

18. En quin punt de la gràfi ca de la funció f(x) = x2 + 4 la recta tangent és paral.lela a la recta y = 6x − 2?

( )

( ) ( )

y x m

f x hx h x

hx x h h x

hh x h

x h x

f x m x x f x

6 2 6

4 4

2 4 4

22 2

2 6 3 13

h

h

tg

0 0

02

02

0

02

02

02

0

0

0 0

0 0 0 0

lim

lim

lim lim

"

" " "

= - =

=+ + - +

=

=+ + + - -

=

=+

= + =

= = = =

"

"

"

l

l

^ _

^ ^

h i

h hh 0"h

En el punt (3, 13).

19. Dibuixa la recta tangent a la corba de la gràfi ca següent en els punts d’abscisses x = −3, x = 0 i x = 2.

–3 –2 –1 0 1 2 3 x

y y = ƒ(x)

a) Quin és el signe del pendent de cadascuna d’aquestes tangents?

b) Quin signe tenen ƒ ’(−3), ƒ ’(0) i ƒ ’(2)?

a) En x = −3, pendent positiu; en x = 0, pendent negatiu; en x = 2, pendent positiu.

b) ƒ ’(−3) > 0, ƒ ’(0) < 0, ƒ ’(2) > 0.

( )( )

f hf h f

hh h

hh h h

hh h

11 1

1 2 1 4 3

1 2 2 2 4 3

0

h

h

h

0

0

2

0

2

0

2

0

lim

lim

lim

lim lim

=+ -

=

=+ - + + -

=

=+ + - - + -

=

= = =

"

"

"

" "

l]] ]

gg g

h h

14. Sense fer-ne la representació gràfi ca, indica si la funció f(x) = (2 − x)2 és creixent o decreixent en x = 6. Fes el mateix estudi en x = −1.

+ -

1 1- -

1 0

( )( )

( ) >

( )( )

f hf h f

hh h

hh h h

hh h

hh h

h

f x

f hf h f

hh h

hh h h

hh h

hh h

h

66 6

4 4 6 6 16

4 24 4 36 12 16

8 88 8

6 0 6

1

4 4 1 1 9

4 4 4 1 2 9 6

66 6

1.

creixent en

decreixent en x

h

h

h

h

h

h h

0

0

2

0

2

2

0

0

2

0

2

0

2

0 0

lim

lim

lim

lim lim lim

lim

lim

lim lim

lim lim

"

"

=+ -

=

=- + + + -

=

=- - + + + -

=

=+

=+

= + =

=

- =- +

=

=- - + + - + -

=

=+ - + -

=-

=

=-

= - =-

=-

"

"

"

"

"

" "

" "

l

l

l

]] ]

] ]

]] ]

] ]

gg g

g g

gg g

g g’ <f -] g

h h

h 0" h 0" h 0"

15. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul.la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què?

La funció ha de ser constant, f(x) = k, k � R. És així perquè si una funció és constant, la seva variació és zero per a qualse-vol valor de x Dfd = R.

16. Calcula, si és possible:

a) f ’(−4) si f(x) = x

b) f ’(1) si f(x) = x2

c) f ’(0) si f(x) = 2x2 + 1

d) f ’(−2) si f(x) = 10x + 3

a) No és possible, ja que no existeix

b) ( )( )

f hf h f

hh

hh

h

h hh

h

1 12 2

12 2 2

12

12 2

h

0

0

lim lim

lim lim lim

=+ -

=+

-=

=+

- -

=+

-=

+-

=-

"

"

l]

]

g

gh 0"h

0"h 0"h

1 1


20. A partir de la gràfi ca, fes una estimació dels valors de ƒ’(2), g’(−1) i h’(0).

y

y

y

x

x

x

y = ƒ(x)

y = g(x)

ƒ(2)

g(–1)

0 2

y = h(x)

0

0–1

g’ (–1) = 0

21. Considera la funció f (x) = x2 − 3x + 5 i digues en quin punt de la seva gràfi ca la recta tangent forma un angle de 45° amb el sentit positiu de l’eix X. Aquesta funció, és creixent o decreixent en aquest punt? Per què?

Com que tg 45º = 1, es tracta de determinar el valor o valors de x per als quals es verifi ca que f ’(x) = 1.

f(x) = x2 − 3x + 5 → f ’(x) = 2x − 3 → 2x − 3 = 1 →

x = 2 → ƒ(2) = 22 − 3 · 2 + 5 = 3 → (2, 3)

En el punt (2, 3) la funció és creixent, ja que f ’(2) = 1 > 0.

22. Quin és el punt de la gràfi ca de la funció f (x) = x2 + 3x que té tangent paral.lela a l’eix d’abscisses?

Tracem la paral.lela a l’eix OX → mtg = 0

En el punt − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

32

94

,

23. La gràfi ca de la funció f (x) = x2 + bx + c presenta un mínim en el punt (3, −1).

a) Calcula b i c.

b) Representa-la gràfi cament i verifi ca la teva resposta.

a) Es compleix:

La funció és ( )f x x x6 82= - +

b) f (x) = x2 – 6x + 8

x

y

3

–1

24. Les gràfi ques de les funcions polinímiques de segon grau f(x) = ax2 + bx + c sempre tenen un màxim o un mínim. Demostra que es troba localitzat en el punt d’abscissa

abx 20 =

- .

Cal que f ’(x) = 0, ja que en un màxim o en un mínim la gràfi ca de la funció presenta sempre tangent horitzontal.

f ’(x) = 2ax + b → 0 = 2ax + b → x = ab

2-

25. Digues en quins punts no són derivables cadascuna de les funcions següents i indica’n en cada cas el motiu:

a) f(x) = 2x2 b) g(x) = 9

1x2 -

c) h(x) = 4 3xx

- d) i(x) = 1 x-

a) x = 0, perquè no pertany al Df.

b) x = 3 i x = −3, perquè no pertanyen al Dg.

c) x = 34 , perquè no pertany al Dh.

f(1 + h) – f(h)d) En x = 1, perquè no existeix f’(1) =

0lim"h

———————— h

26. Representa gràfi cament la funció:

( )f xx x

x x4 02 4 0

sisi

2

=-

+ 2#

*

És contínua en x = 0? I derivable?


f (x) = �4 – x2 si x ≤ 0

2x + 4 si x > 0

x

y

És contínua en x = 0, ja que

( ) ( ) ( )

( )>

f x f x f

f xx x

x

0

2 0

2 0

si

si

x x0 0lim lim= = =

=- #

" "+

l ) 4

la funció no és derivable en x = 0.

27. Donada la funció:

( )f xax b xx x

22 3 2

sisi2=

+

+

1$

)

Troba a i b perquè sigui derivable en x = 2.

La funció ha de ser contínua en x = 2 → 2a + b = 11

28. La funció:

( ) 24 2

3 2f x x

x x

x

si

si

2

= --

=

!* és derivable en x = 2? Per què?

No és derivable en x = 2, ja que ( )f x f 2 , i,x 2lim ="

Y] g

per tant, f(x) no és contínua en x = 2.

29. La funció ( ) 6 8f x x x2= - + és, en realitat, una funció defi nida a trossos:

( )f xx x x x

x x x6 8 2 4

6 8 2 4si o isi

s2

2=- +

+ - 1 1# $*

-

La gràfi ca de la funció es pot obtenir fàcilment a partir de la gràfi ca de la funció g(x) = x2 − 6x + 8. Dibuixa les gràfi ques de les dues funcions. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció f(x) en x = 2 i en x = 4.

f(x) = |x2 – 6x + 8|

y

x

g(x) = x2 – 6x + 8y

x

f(x) és contínua en x = 2 i en x = 4, ja que es compleix:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

lim lim

lim lim

f x f x f

f x f x f

2 0

4 0x x

x x

2 2

4 4

= =

=

=

= =

" "

" "

+

+

En canvi, la funció no és derivable ni en x = 2 ni en x = 4.

30. Sabem que la funció ( )f x bx43

=-

no és derivable en x = 2. Calcula b.

L’expressió 4 − bx s’anul.la per a x = 2:

4 − 2b = 0 → b = 2

31. Defi neix a trossos la funció ( )f x x 2= + . Representa-la gràfi cament i indica raonadament en quin punt no és deri-vable.

–2 x

y f(x) = |x + 2|

No és derivable en x = −2, ja que 2 1)fl( i, en canvi,+

.


33. Sense fer-ne la representació gràfi ca, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) = −x2 + 6x − 8. Quant val ƒ’(3)?

(-3, 3) � funció creixent.

(3, +3) � funció decreixent.

] gf 3 6 0$=- + =l 3 2

34. Donada la funció f(x) = 6 − x2, calcula ƒ’(−2) i ƒ’(4). Indica si la funció és creixent o decreixent en x = −2 i en x = 4.

( ) hx h x

hx xh h x

hh x h

x h x

6 6

6 2 6 2

2 2

h

h

0

2 2

0

2 2 2

0

lim

lim lim

lim

=- + - -

=

=- - - - +

=- -

=

= - =-

"

"

"

l] ^

]]

g hg

g

f x

h 0"h

-

la funció és creixent en x = −2.

( ) <f 4 2 0$=- =-l 4 8

la funció és decreixent en x = 4.

35. Donada la funció f(x) = x4, calcula ƒ’(x) de dues maneres diferents:

a) Aplicant la defi nició de funció derivada.

b) A partir de la segona regla que acabem de veure.

a)

b) x4 3=l] gf x

36. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:

a) f(x) = 1—x1 b) f(x) = x7 c) f(x) =

x1

d) f(x) = 3��x2� e) f(x) = 5��

2�

f) f(x) = 1—x6

a) ( ) x x4 455=- =--lf x

32. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions se güents:

a) f(x) = −x + 7 b) f(x) = 1 − 2x2

c) f(x) = x1 , x ≠ 0 d) f(x) = 1—

x2 , x ≠ 0

e) f(x) = x , x > 0 f) f(x) = 3

g) f(x) = 3x2 + 2x − 1 h) f(x) = �

a)

b)

)

d)

e)

f)

g) ( )f x hx h x h x x

h3x2 + 6xh + 3h2 + 2x + 2h - 1 - 3x2 - 2x + 1

h

3 2 1 3 2 1h

h

0

2 2

0

lim

lim

lim lim

=+ + + - - + -

=

= =

= =

"

"

l] ] ^g g h

h(3h + 6x + 2)h"0 h"0

(3h + 6x + 2) = 6x + 2

h) π π"

( )f x h h0 0

0lim lim=

-lh " 0h

= =



a) f(x) = 3x3 − 5x2 + 7 b) f(x) = x 1 3+ -x

c) f(x) = x x5 7

34 2

- d) f(x) = x10 +

e) f(x) = (2x + 3)2 f) f(x) = x x1 2 73

-+ +

a) f ’(x) = 9x2 − 10x

b) f ’(x) = 1 − 1—x2

c) f ’(x) x x54

763= -

d) f ’(x) x2

1=

e) f ’(x) x8 12= +

f) f ’(x) x x3 2

4 2= -

43. Per a quins valors de x s’anul.la la der ivada de f(x) = x3 − 5x2 + 3x + 4?

( )

( )

x x

f x x x x x

3 10 3

0 3 10 3 0 3 31i

2

2

+

+" "

l

l

f x

44. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon grau f(x) = ax2 + bx + c s’anul.la per al valor de x correspo-nent al vèrtex de la paràbola que en resulta de represen-tar-la gràfi cament.

45. Quina és l’equació de la recta tangent a la gràfi ca de la funció f(x) = −x2 + 6x en els punts en què talla l’eix d’abscisses?

f ’(x) = 0 → −x2 + 6x = 0 → x1 = 0, x2 = 6

Els punts són (0, 0) i (6, 0).

ƒ’(x) = −2x + 6

Punt (0, 0)

mtg = ƒ’(0) = 6 → y = 6x

Punt (6, 0)

mtg = ƒ’(6) = −6 → y = −6 (x − 6) → y = −6x + 36

46. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la funció f’(x) representada en la gràfi ca. Pots trobar-ne més d’una? Per què?

y

0 x

ƒ’(x) = 1

Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les funcions del tipus f(x) = x + k, amb k � �.

b) ( )f x x7 6=l

c) ( ) xx x x2

12

12

13

3=- =- =--

lf x 2

d) = =( ) xx3

23

21

3$-

lf x 3

e) ( ) 0=lf x

f) ( )f x x x6 677=- =--l

37. Considera la funció f(x)= x- . Calcula ƒ’(4) i ƒ’(16). In-ter preta’n els resultats obtinguts.

La funció és decreixent en x = 4 i en x = 16, ja que ƒ’(4) < 0 i ƒ’(16) < 0. Com que > , la funció decreix amb més rapi desa prop de x = 4 que prop de x = 16.

Nota: De fet, la funció és decreixent en tot el seu domini, excepte en x = 0, on no és derivable.

38. Donada la funció f (x) = x3, calcula ƒ’(−1) i ƒ’(1). Indica si la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on aquesta variació és més ràpida.

La funció és creixent en x = 1 i en x = −1 i en ambdós punts creix amb la mateixa rapidesa.

39. Pot decrèixer en algun punt la funció de l’activitat ante-rior? Per què?

No, perquè ƒ ’(x) = 3x2 ≥ 0 per a qualsevol x [ R.

40. Indica raonadament per què la funció f (x) = x1 és decrei-

xent en tots els punts del seu domini.

Si x [ R – {0}, x2 > 0, i, per tant, ƒ’(x) < 0. Aleshores, ƒ’(x) < 0 per a qualsevol valor de x real i diferent de zero. Cal tenir en compte que Df = R − {0}.

41. Troba la funció derivada de la funció f (x) = 3��x�

i comprova que aquesta funció no és derivable en x = 0.

La funció ƒ(x) no és derivable en x = 0, ja que aquest valor anul·la el denominador de la funció ƒ’(x).


b) ƒ’(x) x x x2 2 5 3 23 2= + - +^ ^h h

c) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

log log log

ln ln

x x x

x x

1 1 21 1

21

101

11

2 10 11

21

: :

= - = - = -

= - =-

l

l

f x

f x

d) ( ) ( ) ( )x x x2 4 2 42 3

2 3:=- + =+

-l x4-f x

e) ƒ’(x) ln lnx x x x x x

x2

1 1 12

1:=

++ =

+

+b l

f) ( ) ( ) ( )ln ln lnf x x x x1 3 1 3 21 1 32 2 2

1 2= + = + = +

ƒ’(x) x x xx

21

1 31 6 1 3

322:=

+=

+:

g) ƒ’(x) ( )ln lnx x x x2

11

12

12 2

1=

+=

+: :

h) ƒ’(x) : : :

52. Digues per a quins valors de x és creixent la funció f(x) = ln (x2 + 1). Per què? Té la gràfi ca d’aquesta funció algun punt en el qual la recta tangent tingui pendent nul? Si la resposta és afi rmativa, digues de quin punt es tracta.

( ) ( ) ( )

( ) > > >

lnf x x f x xx

x x

1 12

0 2 0 0

22"

" "

= + =+

l

lf x

La funció és creixent per a x Rd , x > 0.

mtg = → ƒ’(x) = 0 → 2x = 0 → x = 0

Sí x = 0, ƒ(0) = 0

El punt és (0, 0).

53. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfi ca de la funció f(x) =(x2 − 1)2 en el punt d’ordenada nul.la i abscissa posi-tiva.

( )f x x x x0 1 0 1 12 2 2" " " != - = = =^ h

El punt és (1, 0).

( ) ( ) ( )( )

x x x x2 1 2 4 11 0 0

2 2

tg"

:= - = -

= =

l

l

f xf m

Equació de la recta tangent: y = 0. Això vol dir que la recta tangent és l’eix de les abscisses.

54. Calcula la funció derivada de les funcions següents:

a) f(x) = x ln x + ln2 x + 1

b) f(x) = x x3 21

2 - +

c) f(x) = ( )x x1 +

d) f(x) = ( )xx1

22 2--

e) f(x) = lnx

x1 -

47. Troba la funció derivada de cadascuna de les funcions se-güents:

a) f(x) = 5 ln x + 9 b) f(x) = x2 − log3 x + ln 2

c) f(x) = ln xx52

+ d) f(x) = log3 x − 4 log x + 7 ln x

a) ( )f x x x5 1 5$= =l

b) ( ) ln lnf x x x x x2 31 1 2 3

1$

$= - = -l

c) ( )f x x x x x x x51 1 2 1

51 2 1

51 2

2 2$ $= + - = - = -l c bm ld) ( ) ln ln ln lnf x x x x3

1104 7 1

31

104 7

$$= - + = - +l c m

$x

48. Justifi ca per què la gràfi ca de la funció f(x) = ln x no pot tenir ni màxims ni mínims. Passa el mateix amb la gràfi ca de la funció f(x) = log x? Per què?

Com que ƒ’(x) ≠ 0 per a qualsevol x � �, la gràfi ca de la fun-ció no pot tenir ni màxims ni mínims.

Sí que passa el mateix, ja que ƒ’(x) ln x101$

= i l’equació ƒ’(x) = 0 no té solució real.

49. Hi ha algun punt de la gràfi ca de la funció f(x) = ln x que tingui recta tangent paral.lela a la bisectriu del primer i tercer quadrants?

Si la resposta és afi rmativa, indica de quin punt es tracta i troba l’equació de la recta tangent.

Equació de la bisectriu del primer i tercer quadrants: y = x.

m = 1 → ƒ’(x) = 1 → x1 = 1 → x = 1

Si x = 1, ƒ(x) = 0 → el punt és (1, 0)

Equació de la recta tangent: y = x − 1

50. Determina l’equació de la recta tangent a la gràfi ca de la funció f(x) = log2x en x = 1.

x = 1 → ƒ(1) = 0 → el punt és (1, 0)

ƒ’(x) = ln x21$

→ mtg = ƒ’(1) = ln 21

Equació de la recta tangent: y = ln 21 (x − 1).

51. Calcula la derivada de les funcions següents:

a) f(x) = x1 23+ b) f(x) = (x3 + 2x − 5)2

c) f(x) = log x1 - d) f(x) = ( )x 41

2 2+

e) f(x) = lnx x+ f) f(x) = ln x1 3 2+

g) f(x) = log2 (1 + x ) h) f(x) = x1

54

-] g

a)


Equació recta tangent:

( )y x x y21

21 1 2 0"- = - - =

Recta tangent paral.lela a l’eix OX → mtg = 0 → f ’( ) = 0

( ) ( )xx x x f1

2 0 2 0 0 0 02 2 " " "+

= = = =

La recta tangent és paral.lela a l’eix d'abscisses en el punt (0, 0).

57. Comprova que la derivada de la funció ( )f x xx

11

2

2

=-+ no-

més s’anul.la en un punt. De quin punt es tracta?

Es tracta del punt (0, −1).

58. Donada la funció ( ) , Rf x xax a3 d=-

, a ≠ 0, calcula

f x( ) ( )lim limf x ix x3 3" "+

l l .

59. Calcula la derivada de les funcions:

a) f(x) = e3x ln (x2 + 4) b) f(x) = e

e 1x

x +

c) f(x) = ln ee 3

x

x + d) f(x) = x · 2x

e) f(x) = (x + 1)x f) f(x) = (ex + 1)2

a) ( ) ( )

( )

ln

ln

e x e xx

x xx e

3 4 42

3 4 42

x x

x

3 2 32

22

3:

= + ++

=

= + ++

l

; Ef x

b) ( ) ( )( )e

e e e ee

e e e

ee

e

1

1

x

x x x x

x

x x x

x

x

x

2 2

2 2

2

: :=

- +=

- -=

=-

=-

lf x

c) ( ) ( ) ( )ln ln ln lnf x ee e e e x

f x

3 3 3x

xx x x=

+= + - = + -

l( ) ee

ee e

e3 1 33

33

x

x

x

x x

x=+

- =+

- -=

+-

d) f xl( ) ( )ln lnx x2 2 2 2 1 2x x x:= + = +

f) f(x) = ln xx

11

2

2

-+

g) f(x) = (1 − x)3 log2 x

h) f(x) = x2 (1 − 3x)3

a) ƒ’(x) ln ln ln lnx x x x x xx x1 2 1 2 1? ?= + + = + +

b) ƒ’(x) ( )x x

x3 2

2 32 2=- +- +

c) ƒ’(x) ( )x

x xxx

21 1

21 3

= + + =+

d) ( ) ( )( ) ( )

( )

xx x x x

xx

12 1 2 2 1 2

12 6

2 4

2 2 2

2 3

2

� �=

-

- - + -=

=-+

lf x

e) ƒ’(x) ( )( )

( )ln ln

xx x x

x xx x x

1

1 11

12 2=

-

- +=

-- +

f)

7 A( )

( ) ( )

( )

ln ln ln

ln ln

xx

xx

xx

x x

xx

xx

x x x xx

11

11

21

11

21 1 1

21

12

12

11

11

12

2

2

2

2 21

2

2

2

2 2

2 2 4

2

=-+

=-+

=-+

=

= - -

=+

+-

=

=+

+-

=-

l

c c

cc

m m

mm

f x

f x

+

g)

h) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x

x x x

2 1 3 3 1 3 3

1 3 2 15

3 2

2

� �= - + - - =

= - -

l 2f x

55. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra que la deriva-

da de la funció f(x) = ( )g xk és:

( )( )

( )g x

k g x2=

- $l

l

7 Af x

Per tant:

56. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfi ca de la funció

ƒ(x) = xx

12

2

+ en x = 1. A quin punt la recta tangent és

paral.lela a l’eix X?

( )f 1 21

= . El punt és 11, 212


64. Un capital s’inverteix de manera que la seva revaloració passats x anys pot expressar-se matemàticament de la manera següent: C(x) = 100 000 · e0,05x.

a) Quin és l’import d’aquest capital en el moment de fer la inversió? I quan hagin passat 10 anys?

b) Comprova, utilitzant les derivades, que el ritme de creixement d’aquest capital és més gran per a x = 6 anys que per a x = 4 anys.

a) Per a x = 0 → C(0) = 100 000

Per a x = 10 anys → C(10) = 164 872,13

b) C’(x) = 100 000 e0,05x · 0,05 = 5000 e0,05x

C’(6) = 6 749,29 €/any

C’(4) = 6 107,01 €/any

C’(6) > C’(4) → el ritme de creixement del ca pital és més gran per a x = 6 anys que per a x = 4 anys.

65. Donada la funció f(x) = ( )f x xx

42

2

=-

, calcula f’(x), f’’(x) i f’’’(x).

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

f x xx x x x

xx

f x xx x x x

xx x

xx

f x xx x x x x

xx x x x

xx x x x

xx x

xx x

42 4 2

48

48 4 8 2 2 4

48 4 32

424 32

448 4 24 32 4 3 2

448 4 24 32 6

448 192 144 192

496 384

496 4

2 2

2 2

2 2

2 4

2 2 2

2 3

2 2

2 3

2

2 6

2 3 2 2

2 4

2 2

2 4

3 3

2 4

3

2 4

2

2

:

: :

: :

=-

- -=

--

=-

- - + -=

=-

- - +=

-+

=-

- - + -

=-

- - +=

=-

- - -=

=-

- -=

-

- +

l

m

n

66. Quantes vegades cal derivar la funció f(x) = x7 + 2x − 1 per tal d’arribar a una funció constant i no nul.la? Quina és aquesta funció?

ƒ’(x) = 7x6 + 2

ƒ”(x) = 42x5

ƒ”’(x) = 210x4

ƒ (4)(x) = 840x3

ƒ (5)(x) = 2 520x2

ƒ (6)(x) = 5 040x

ƒ (7)(x) = 5 040

67. Per a la funció f(x) = 2x, calcula f’(x), f’’(x), f’’’(x) i f (4)(x). Observa amb detall les funcions que has obtingut i de-dueix l’expressió de la derivada f (n)(x).

e)

f x

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

ln ln ln

ln

f x x x x

f x x x x

f x

1 1

1 11

x= + :

:

=

= + ++

+

l

l( ) ( ) ( )lnx x x x1 1 11x

:= + + ++

; E

f) f xl( ) ( ) ( )e e e e2 1 2 1x x x x:= + = +

60. Se sap que la gràfi ca de la funció f(x) = xnex, n d N, té dos punts estacionaris i que un d’ells se situa en x = −3. Calcu-la n i indica les coordenades de l’atre punt estacionari.

Si la funció presenta en punt estacionari en x = −3, signifi ca que ƒ’(−3) = 0.

+ = =-

f x

f x

l

l

( ) ( )nx e x e e x n xx n x x n 1n 1: := + = +-

( )x xn x x n

00 0

3 0 3

n 1"

"=

= =

- = =

-*0 3; ; n

�

L’altre punt estacionari se situa en x = 0.

x = 0 → ƒ(0) = 0

És el punt (0, 0).

61. Comprova que la derivada de la funció ( )f x xx= s’anul.la en el punt d’abscissa x = e.

f x

f x

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

ln ln

ln ln

ln

ln ln

f x x x f x x x

f x x x x x x x x

x x

f x x x x xx

x

1

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1

x x

xx

1

2 2 2

2

2 2

"

:

:

= = =

= - + = - =

= -

= - = -

l

l

( ) ln lnx x x e0 1 0 1" " "= - = = =

62. Donada la funció f(x) = xex, calcula f’(x). Escriu l’equa-ció de la recta tangent a la gràfi ca de f(x) en el punt on s’anul.la la seva derivada. Indica raonadament si aquesta funció és creixent o decreixent en x = 0.

f x x x xl( ) ( )e x e e x1:= + = +

( ) - =f e- =

= =f x

e1 1 11: --

l( ) ( )e x x x0 1 0 1 0 1x" " "= + = + -

Punt b l, e1 1- - ; pendent: m = 0 → l’equació tangent: y e

1=-

ƒ’(0) = 1 > 0 → la funció és creixent en x = 0.

63. Comprova que la derivada de la funció ƒ(x) = x25x s’anul.la

en els punts x = ln 52- i x = 0.

ln

f ’(x) = 2x:5x + x2:5x:ln 5 = x:5x (2 + x:ln 5)

f ’(x) = 0 " x:5x (2 + x:ln 5) " x = 0

x 5=24 -

Cal derivar-la 7 vegades. La funció constant i no nul.la és g(x) = ƒ (7)(x) = 5 040.


ƒ’(x)

y

4

0 x2

f’(x) = 2x � f (x) = x2 + c, amb c � �

Per tant, hi ha infi nites funcions la funció derivada de les quals és f’(x) = 2x.

5. Indica raonadament el signe de la funció ƒ’(x) correspo-nent a la funció ƒ(x) representada en la gràfi ca, en cadas-cun dels intervals següents:

(−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞)

y

0 1–1 x

x d (−∞, −1) → la funció és creixent → f ’(x) > 0

x d (−1, −1) → la funció és decreixent → f ’(x) < 0

x d (1, +∞) → la funció és creixent → f ’(x) > 0

6. Compara la rapidesa del creixement de la funció f(x) = x3 + 2x en els punts d’abscisses x = −2 i x = 2.

ƒ(x) = x3 + 2x → ƒ’(x) = 3x2 + 2

ƒ ’(−2) = 3 · (−2)2 + 2 = 14 > 0

ƒ ’(2) = 3 · 22 + 2 = 14 > 0

Com que ƒ ’(−2) = ƒ ’(2), la funció creix amb la mateixa rapide-sa en x = −2 que en x = 2.

7. Aplicant la defi nició, calcula la funció derivada de:

a) f(x) = x3 + 3 b) f(x) = x + 3x2 c) f(x) = x5

(x + h)3 + 3 − (x3 + 3)a) f ’(x) = lim

h 0" ——————————— = h x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3 − x3 − 3 = lim

h 0" ———————————————— = h

h(3x2 + 3xh + h2) = lim

h 0" ————————— = h

= limh 0" (3x2 + 3xh + h2) = 3x2

f x

f x( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ln

ln

ln

ln

lnf x

f xf x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( )

( )

x

x

x

x

n x n

2

3

4 4

:

:

:

:

=

=

=

=

=

l

m

n

_

`

a

bbb

bbb

�

68. Donada la funció ( )f x xx

22

=-

, resol l’equació f’’(x) = 0.

( )( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

f x xx x x

xx x x

xx x

f x xx x x x x

xx x x x

x

22 2

22 4

24

22 4 2 4 2 2

22 4 2 2 4

28

2

2

2

2 2

2

2

4

2 2

3

2

3

:

=-

- -=

-- -

=--

=-

- - - - -

=-

- - - -=

-

l

m

]] ^gg h

L’equació f”(x) = 0 no té solució, ja que 8 ≠ 0.

Activitats fi nals

1. Aplicant la defi nició, calcula la derivada de cadascuna de les funcions següents en x = −3:

a) f(x) = −x2 + 1 b) f(x) = x1 - c) f(x) = x1

a) ( )

( )

( )

lim

lim lim

lim

f h

h hh h

h

3-(-3 + h)2 + 1 - (-8)

-9 + 6h - h2 + 1 + 8 6

6 6

h

h

0

0

0

- = =

= =-

=

= - =

"

"

"

l

h 0"h

b) l( )( )

(

lim lim

lim lim

lim lim

f hh

hh

h h

h h

h hh

h hh

h

31 3 2 4 2

4 2

4 2 4 2

4 24 4

4 2 4 21

41

- =- - + -

=- -

=

=- +

- - - +=

- +

- -=

=- +

-= =

- +

-=

-

__

__

ig i

ii

h 0" h 0"

h 0" h 0"

h 0" h 0"

c) 3 3

3 3( ) ( )3 3- +h h- +

( )- =l( )

lim lim

lim lim

f hh

hhh

hh

3 31

31 3 3

191

0

- ++

=- +- +

=

= = =-

"h 0"h

0"h 0"h

2. Donada la funció f(x) = x 21-

, és possible calcular f’(2)? Per què?

No, perquè x = 2 g Df.

3. Sense fer-ne la representació gràfi ca, indica si la funció f(x) = (x − 4)2 és creixent o decreixent en x = 3,5.

x x4 8x f x x+ == -( ) ( ) ( )( , ) ,

f xf

16 2 83 5 2 3 5 8 7 8 1

2 2"

:

= - -

= - = - =-

l

l

( , ) <f 3 5 0"l la funció és decreixent en x = 3,5.

4. En la gràfi ca hem representat la funció f’(x) derivada d’una certa funció ƒ(x). Quina és l’expressió algèbrica de ƒ’(x)? I la de ƒ(x)? Pots trobar-ne més d’una?


g (x) = 2x – 3

x

y

f (x) = 2x + 3

S’obtenen dues rectes paral.leles.

Es compleix que f’(x) = g’(x) = 2 → la funció ƒ(x) i la funció g(x) creixen amb la mateixa rapidesa, independement del va-lor de la variable x.

11. En quins punts de la gràfi ca de la funció f(x) = x3 + 2 la recta tangent té pendent 3? Escriu les equacions d’aquestes rectes tangents.

ƒ(x) = x3 + 2 → ƒ’(x) = 3x2; ƒ’(x) = 3

3x2 = 3 → x1 = 1 i x2 = −1

Per a x = 1, ƒ(1) = 3 → punt (1, 3)

Per a x = −1, ƒ(−1) = 1 → punt (−1, 1)

Punt (1, 3) → y − 3 = 3(x − 1) → y = 3x

Punt (−1, 1) → y − 1 = 3(x + 1) → y = 3x + 4

12. Dibuixa en un paper mil.limetrat la gràfi ca de la funció f(x) = −x2 + 8x. Tot seguit, fes una estimació a partir d’aquesta gràfi ca dels valors de ƒ’(1) i ƒ’(5). Calcula analíti-cament ƒ’(1) i ƒ’(5) i compara els resultats amb els ante-riors.

ƒ(x) = −x2 + 8x → ƒ’(x) = −2x + 8

ƒ’(1) = −2 + 8 = 6; ƒ’(5) = −10 + 8 = −2

Cal comparar aquests valors amb els valors obtinguts de ma-nera experimental, a partir de la gràfi ca de la funció.

13. Representa gràfi cament la funció:

( )f xx

x x0 0

0sisi

=1$

)

És contínua en x = 0? I derivable? Justifi ca cadascuna de les respostes.

f (x) y

x

0 si x ≤ 0

x si x ≥ 0�=

b) f x2 2

l( )( ) ( )

( )

lim

lim

lim lim

hx h x h x x

hx h x xh h x x

hh x h

x h x

3 3

3 6 3 3

1 6 31 6 3 1 6

h

h

0

0

2 2

0

2

=+ + + - +

=

=+ + + + - -

=

=+ +

= + + = +

"

"

"h 0"h

( )

c) f xl( ) lim

lim

lim lim

lim

hx h x

h x h x

x h x x h x

h x h xx h x

h x h xh

x h xx

5 5

5

5 5

52

5

h

h

h

0

0

0

=+ -

=

=+ +

+ - + +=

=+ +

+ -=

+ +=

=+

=+

"

"

"

__ _

_]

_i

i i

ig

ih 0" h 0"

8. Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) = −3x + 5. Verifi ca la teva resposta fent-ne la representació gràfi ca.

ƒ(x) = −3x + 5 → ƒ’(x) = −3

ƒ’(x) < 0 per a qualsevol x R! la funció és decreixent en tot el seu domini.

f (x) = – 3x + 5

x

y


a) f(x) = 2x4 − 3x2 + 1 b) f(x) = x x3 23+

c) f(x) = x1 22- d) f(x) = 3(x2+ 7x − 12)

e) f(x) = x5 f) f(x) = (2 − 6x)2

a) f ’(x) = 8x3 − 6x

b) f ’(x) = x x xx2

332

23 2

21

31

3+ +-

c) f ’(x) = ( )xx

2 2 433:

-

d) f ’(x) = x6 21+

e) f ’(x) = x2

5

f) f ’(x) = x24 72+

10. Representa gràficament les funcions f(x) = 2x + 3 i g(x) = 2x − 3. Què obtens?

Quina de les dues funcions creix més de pressa al voltant de x = 0? I al voltant de x = 10? Procura respondre les dues últi-mes qüestions sense fer cap càlcul i argumenta’n la resposta.


17. La funció ( ) ( )f xx

x1 2

2

=-

és creixent o decreixent en x = 2?

Justifi ca la resposta.

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

f xx

x

f xx

x x x xx

x x x

xx x x

xx

1

12 1 2 1

12 1 2

12 2 2

12

2

2

4

2 2

3

2

3

2 2

3

:l

] g

( ) <f 0"l2 4 f(x) és decreixent en x = 2.

18. Donada la paràbola d’equació f(x) = x2 − 2x + 5, es consi-dera la recta r que uneix els punts d’aquesta paràbola, les abscisses dels quals són x1 = 1 i x2 = 3. Troba l’equació de la recta tangent a la paràbola que és paral·lela a la recta r.

x1 = 1 → ƒ(x1) = ƒ(1) = 4 → (1, 4)

x2 = 3 → ƒ(x2) = ƒ(3) = 8 → (3, 8)

La recta r conté els punts (1, 4) i (3, 8).

( ) ( )m

f f3 13 1

3 18 4 2r =

--

=--

=

f ’(x) = 2x − 2 i ƒ’(x) = mr = 2 → 2x − 2 = 2 → x = 2

ƒ(2) = 5 → El punt de tangències és (2, 5)

mtg = mr = 2

Equació de la recta tangent:

y − 5 = 2(x − 2) → y − 5 = 2x − 4 → 2x − y + 1 = 0

19. Aquesta és la representació gràfi ca de la derivada f’(x) d’una funció polinímica f(x).

20

y

x

y = f9(x)

a) Quin és el grau d’aquesta funció polinòmica? Per què?

b) Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x).

c) Té f(x) algun punt estacionari? Quin és?

a) Grau 2. Perquè f’(x) és una funció polinòmica de primer grau, ja que la seva representació gràfi ca és una recta.

b) f’(x) > 0 → x > 2 → Creixent: (2, +∞)

f’(x) < 0 → x < 2 → Decreixent: (−∞, 2)

c) Sí, x = 2, ja que ƒ’(2) = 0.

f x( ) ) ( )lim limf x f0 0 0 0x x0 0" "

+

; ;(

Es compleix: ( ) ( )lim f x f 0x 0"

Per tant, la funció és contínua en x = 0.

f xl( )xx

0 01 0

sisi1$

)És a dir, ƒ’(0−) = 0 i ƒ’(0+) = 1 → ƒ’(0−) ≠ ƒ’(0+) la funció no és derivable en x = 0.

14. La gràfi ca d’una funció ƒ(x) és la de la fi gura. Sense calcu-lar-ne l’expressió analítica, representa gràfi cament la fun-ció ƒ’(x).

y

x

y = ƒ(x)

0 2 3–1

2

y

x2 3–1

2

–1

1

15. Troba les derivades laterals en x = 5 de la funció f(x) = x2 10- . És derivable en aquest punt? Per què?

( ) ( )f x xx xx x

f x2 102 10 52 10 5

sisi+

"1$*

ƒ’(5+) = 2; ƒ’(5−) = −2 → ƒ’(5+) ≠ ƒ’(5−)

La funció no és derivable en x = 5.

16. Indica els intervals de creixement i decreixement i els

punts estacionaris de la funció f(x) = x

x42

2

-.

f xl( )( )

( )( )x

x x x xx

x4

2 4 24

82 2

2 2

2 2

$

Df = R − {−2, 2}; ƒ’(x) = 0 → x = 0, ƒ(0) = 0 → (0, 0)

Com que ƒ’(x) > 0 per a x < 0, x ≠ −2 i ƒ’(x) < 0 per a x > 0, x ≠ 2, es compleix que:

• La funció és creixent en els intervals (−∞, −2) i (−2, 0).

• La funció és decreixent en els intervals (0, 2) i (2, +∞).

• La funció presenta un punt estacionari a l'origen de coorde-nades.


g) ( )f xx x

2x:x2 (x2 1):2x 24 3l

h) f xl( )

( )

ln

ln

x x

x

2 2 x1 2 2

2 2 2

ln ln

ln

x

x

2

+:

: : : :+ x

i) 3 1

f x

f x( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

ln ln ln ln

ln

f x x f x x x

f x x x x

2 3 2 3

2 3 2 3

x

+

"

::l

l( ) ( ) ( )ln x xx2 3 2 3 2 3

3x ; E

j) lf x( ) ( )x e

ex e

e2

1 12

1x

xx

x

++

++

k)

f x

f x

f x( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

ln ln ln

ln

ln

ln

f x x x x

f x x xx

x

f x xx

x x

x xx

x x

3 5 3

3 53

2

33

2 5

3 33

2 5

x

x

2 5 2

22

22

2 5 22

+ + +

+ + ++

+ ++

+

+ + ++

+

:

+

+

l

l

l

<<

FF

l) ( ) ( ) ( )ln ln ln lnf x x x

f x

211

l( ) ln lnx x x x21 1 1

21

: :

2

m) f xl( ) e e10 4 40x4 2:

+ x4 2+

n) f xl( )( ) ( )e

ee

e2 53 2

2 56

x

x

x

x

2 2+ +:

o) f xl( )( )( )

( )xx

x2 65 2 6 2

2 630

6

2

4+ +

: :+

p)

( )( )

( )

f x

xx x

xx

98 9 32

924 72

2 3

2 2

2 3

2+ +

l( )( )

( ) ( )x

x x x x9

8 9 8 2 9 22 4

2 2 2+ : :

21. Donada la funció f(x) = xex, resol les equacions f ’(x) = 0 i f ’’(x) = 0.

f ’(x) = ex + x · ex = ex (1 + x)

f ’ ’(x) = ex (1 + x) + ex = ex (2 + x)

f ’ ’(x) = 0 → ex (1 + x) = 0 → 1 + x = 0 → x = −1

f ’(x) = 0 → ex (2 + x) = 0 → 2 + x = 0 → x = −2

22. Troba per a quin valor de a i b és contínua i derivable la funció:

( )3 1

( 1) 1f x

x xax b x x

sisi2=

+ - 2#

*

20. Calcula la derivada de les funcions:

a) f(x) = x3 21-

b) f(x) = ( )ln

xx x

12+

+

c) f(x) = elog3x d) f(x) = xx1 2+

e) f(x) = (1 − x2)5 f) f(x) = 4logx

x2 2

2

-

g) f(x) = x

x 12

2 - h) f(x) = 2ln x x2

i) f(x) = (2 − 3x)x j) f(x) = x ex+

k) f(x) = (x2+ 3)x + 5 l) f(x) = ln lnx

m) f(x) = 10e4x + 2 n) f(x) = 2 53

ex +

5 –8xo) f(x) = ————— p) f(x) = ————— (2x + 6)3 (x2 – 9)2

a) f xl( )( )x3 2

32

b)

ln x

2x ln x:(x + 1) + 2(x + 1)(x + 2) - x(x + 2) ln x

f x

x

x

x

x + 1

1

2

=

=+

-

-

+

=

=

l

b

]

l

gln x2x

x 2) 2(x + 1)++(x

ln x x 2++x

x 1+

:

:

2x x 1+

x 1+

x 1+

x

:(x + 1) 2x

2x2 ln x + 2x ln x + 2(x + 1) (x + 2) - x2 ln x - 2x ln xx + 1

= =:(x + 1) 2x:

x2 ln x + 2(x + 1) (x + 2)= =

x + 1:(x + 1) 2x: x2 ln x + 2x2 + 6x + 4

x + 1:(x + 1) 2x

: x 1+2lnx x2+] g

:

( )ln ln

x

x xx x x x

x1

2 1 22 1

1

= +

++

+ - ++

=

: :b ]l g

=

=

c) f xl( ) ln lne xe

31

x1

3log

logx3 :

x3

d) f xl( )x

x x xx

x xx

x2 1 2 1 12

2

2

2 2

2

2+: ^ h

e) ( )f xl( ) ( ) ( )x x5 1 2 10 12 4 2 4:x x

f) ( )

( )

( )

( )

log log

log log

log log

ln

ln

f xx

xx

x

x x

x x

f x x xx

x xx

4 4

21 4

21 2 4

21

21 2

42

21 1

4

2 2

2

2 2

2 1

22

22

2 22

2

2

:l

c

cc

m

mm

77

AA

( ) ( )ln lnx xx x

x x21

44

2 44

2

2 2

2:

2

: :


26. Determina l’expressió algèbrica de la funció f(x) que veri-fi ca les condicions següents:

a) f’(x) = 3.

b) La seva gràfi ca passa pel punt P(2, 10).

f(x) = 3x + n

f(2) = 10 → 10 = 6 + n → n = 10 − 6 = 4

Per tant, f(x) = 3x + 4.

27. Indica d’una manera raonada perquè la funció ( )f x x ba

=-

,

on a i b són nombres reals, no pot tenir punts estacionaris.

f xl( )( )x b

a2

La funció no pot tenir punts estacionaris, ja que f’(x) no s'anul.la per a cap valor de x real.

28. Se sap que la funció f(x) = ax2 + bx + 12 presenta un mínim en el punt P(4, −4). Calcula a i b.

ƒ(4) = −4 → 16a + 4b + 12 = −4 → 4a + b = −4

ƒ’(x) = 2ax + b → ƒ’(4) = 0 → 8a + b = 0

,a b

a ba b

4 4

8 01 8

+

+3 �

29. Dibuixa de manera aproximada la gràfi ca de la funció ƒ(x) = ln |x|. Indica raonadament si hi ha algun punt en què aquesta funció no sigui derivable.

y

x

f (x) = ln |x|

La funció no és derivable en x = 0 perquè no existeix f(0) i, per tant, no pot ser-hi contínua.

30. Justifi ca el motiu pel qual la funció ( )f x x= + no és derivable en x = 0.

Com que f ’ (x) = x2

1" no existeix f ’(0).

De fet, com que no existeix lim ( )x

f x→0

, la funció no és contí-

nua en x = 0 i, per tant, no pot existir f ’(x).

31. Representa gràfi cament la funció f(x) = log2x i, a partir d’aquest gràfi c, fes el dibuix de la funció g(x) = |log2 x|. Per a quins valors de x no existeix g’(x)? Per què?

y

x

f (x) = log2 x

y

x

f (x) = |log2 x|

La funció g(x) no és derivable en x = 1.

Observa a partir de la gràfi ca que g’(1−) ≠ g’(1+).

f xl( )x

ax b

3

2

si

si x > 1+

#1)Contínua:

( ) ( ) ( )lim limf x f x f 1x x1 1" "

+

3 = a → a = 3

Derivable:

ƒ’(1−) = ƒ’(1+)

3 = 2a + b → b = 3 − 2a = 3 − 6 = −3

23. El nombre N de bacteris d’un determinat cultiu varia en funció del temps t expressat en hores, d’acord amb l’equació:

N(t) = 10 et/2

a) Quin és el nombre inicial de bacteris en el cultiu?

b) En quin moment creix més ràpidament el nombre d’aquests bacteris, quan t = 2 h o quan t = 4 h? Per què?

a) t = 0 → N(0) = 10 bacteris.

b) N’(t) 10 21 5e e

t t2 2:::

t = 2 h → N’(2) = 5e

t = 4 h → N’(4) = 5e2

N’(4) > N’(2) → el nombre de bacteris creix més de pressa per a t = 4 h.

24. Calcula les tres primeres derivades de la funció f(x) = e3x. Dedueix l’expressió de la derivada enèsima ƒ(n)(x) d’aques-ta funció.

ƒ’(x) = 3e3x; ƒ’’(x) = 9e3x; ƒ’’’(x) = 27e3x

ƒ(n)(x) = 3ne3x

25. Representa gràfi cament la funció f(x) = x2 + 2. Hi ha algun punt en el qual aquesta funció no sigui derivable? Justifi -ca la resposta.

y

x

f (x) = x2 + 2

No. La funció és contínua i derivable a tot R.

La seva gràfi ca és la mateixa que la de la funció g(x) = x2 + 2, ja que f(x) > 0 per a tot x [ R.


3. La funció f(x) = −5ax2 + 700x + 1 440 té un punt estacio-nari en x = 10. Calcula el valor de a.

f ’(x) = –10ax + 700

f ’(10) = 0 → –100a + 700 = 0 → a = 7

La funció f(x) té un punt estacionari a x = 10 per a a = 7. Per tant, f(x) = –70x + 700.

4. Considera la funció f x x x x( ) = − + +3 23 2 2.

a) Calcula l’equació de la recta tangent a la gràfi ca de f(x) en el punt d’abscissa x = 3.

b) Existeix alguna altra recta tangent a la gràfi ca de f(x) que sigui paral.lela a la que has trobat? Raona la respos-ta i, en cas afi rmatiu, troba’n l’equació.

c) Troba els punts de la corba que tenen recta tangent ho-ritzontal.

d) Indica raonadament, sense fer la gràfi ca de la funció, si en els punts d’abscissa x = −2 i x = 1 la funció és crei-xent o decreixent.

a) f ’(x) = 3x2 – 6x + 2

f ’(3) = 11

f(3) = 8 → (3, 8)

y – 8 = 11 . (x – 3) → y = 11x – 25

b) 3x2 – 6x + 2 = 11

3x2 – 6x – 9 = 0

x2 – 2x – 3 = 0 → x = –1, x = 3

En el punt x = –1, la recta tangent a f(x) és paral.lela a la recta tangent trobada a l’apartat anterior.

c) f ’(x) = 0

3x2 – 6x + 2 = 0

d) f ’(–2) = 32 → f ’(–2) > 0 ⇒ f (x) és creixent en x = –2.

f ’(1) = –1 → f ’(1) < 0 ⇒ f (x) és decreixent en x = 1.

Avaluació

1. Calcula les derivades de les funcions següents simplifi cant al màxim:

a) f x x( ) ln( )= 3 4

b) f x x x( ) = +35 2

c) f xx

x ( ) = +2 1e

d) f x x( ) )= +(2 1 3

1 12 3a) f ’(x) = 3 . —— . 4 = —— = — 4x 4x x

b) f (x) = x3—5 + 2x

3 3 f ’(x) = — . x

–2—5— + 2 = ———— + 2

5 5 5fvvvv x2

2x ex – (x2 + 1) ex ex (2x – x2 – 1) –x2 + 2x – 1c) f ’(x) = —————————— = ————————— = ——————— e2x e2x ex

d) f ’(x) = 3 . (2x + 1)2 . 2 = 6 . (2x + 1)2

2. Determina a i b per tal que la funció següent sigui deriva-ble en tots els reals.

f x

e a xbx x

x

( ),,

=+ ≤+ >

⎧⎨⎩

sisi

01 02

Per ser derivable, la funció ha de ser contínua:

xl im� 0– f(x) = 1 + a;

xl im� 0+ f(x) = 1; f(x) = 1 + a

1 + a = 1 → a = 0

Ara, imposem que la funció sigui derivable:

ex, si x ≤ 0 f ’(x) = 5 2bx, si x > 0

f ’(0–) = 1; f ’(0+) = 0 → f ’(0–) = f ’(0+) per a qualsevol valor real de b. Per tant, no hi ha cap valor real de b pel qual f(x) sigui derivable en x = 0.

fvvv 3x = —— + 1 3

fvvv 3x = –—— + 1 3

→→


Unitat 9. Funcions contínues i derivades

Activitats

1. Troba i classifi ca les discontinuïtats que presenta la funció

f(x) = xx

11

2-+

Hi ha discontinuïtat evitable a x = −1.

A x = 1 hi ha discontinuïtat asimptòtica.

2. Una funció f(x) és tal que Df = � − {2, −3}. Què pots dir de la continuïtat de la funció en els punts x = 2 i x = −3?

ƒ(x) no és contínua a x = 2 i x = −3, ja que no està defi nida per aquests valors de x.

3. Considera la funció següent ( )0

2 0 31 3

f xx x

xx x

sisisi

2

=

-

1

1# #

Z

[

\

]]

]]

Què pots dir de la continuïtat en els punts x = 0 i x = 3?

A x = 0 hi ha una discontinuïtat de salt i a x = 3 la fun ció és contínua.

4. A partir de les funcions f(x) = x2 + 1 i g(x) = x3 − 1, escriu

les funcions (f + g)(x), (f · g)(x) i 1 gf 2(x).

Són contínues les funcions que has obtingut? Raona la teva resposta.

(f + g)(x) = x3 + x2

( f · g)(x) = x5 + x3 − x2 − 1 són contínues.

gf

(x)xx

11

3

2 +1 2 és discontínua a x = 1.

5. Descompon la funció f(x) = 5x4 · ex en tres factors que si-guin funcions contínues.

Cal triar tres factors que donin la funció proposada. Per exem-ple: m(x) = 5x, g(x) = x3 i h(x) = ex.

6. Raona la continuïtat de les funcions f(x) = x2 i g(x) = ln x.

Escriu la funció ( )( )

g xf x

i dóna el seu domini.

f(x) és contínua per ser una funció polinòmica.

g(x) és contínua en tot el seu domini: Dg = (0, +`).

1 1; ,lng x

f xx

x UDf/g

2

+3]] gg h h0,^ ^

7. Considera les funcions f(x) = 2x − 1 i g(x) = x2 + 1. Escriu

les funcions f g1—2(x), 1—2(x), (f % g)(x) i (g % f)(x) g f

. Raona

si les funcions obtingudes són contínues.

gf

x 12 1(x)

x

2 +1 2

( f%g)(x) 2 1x 12+

x(g% f )(x) 2 1 12+^ h

fg x(x)

2 11

x

2 +1 2

g Només 1—2(x) és discontínua a x = 0, ja que 20 − 1 = 0. f

8. Explica un fet quotidià que posi de manifest el teorema dels valors intermedis.

Per exemple, en un trajecte passar per un km deter minat.

9. Considera la funció f(x) = 2x4 − 14x2 + 14x − 1. Explica per què es pot aplicar el teorema de Bolzano en l’interval [0, 1]. Troba un valor aproximat a les centèsimes de c tal que f(c) = 0 en aquest interval.

Es pot aplicar el teorema de Bolzano ja que ƒ(0) = −1 i ƒ(1) = 1 i ƒ(x) és contínua en l’interval [0, 1]. Per aproxima-cions d’intervals més petits es pot obtenir: c b 0,08.

10. Separa dues arrels de la funció següent:

f(x) = x3 − 3x

Té solucions immediates: x1 = 0, x2 = 3 i x2 = − 3 .

11. Calcula els valors de f(x) = x7 + 3x + 3 a x = 0 i x = −1. Pots determinar si la gràfi ca de la funció talla l’eix de les abs-cisses en algun punt entre −1 i 0? Troba aquest punt amb una aproximació fi ns a les centèsimes.

ƒ(0) = 3 i ƒ(−1) = −1. Com que obtenim valors de sig ne diferent en els extrems i la funció és un polino mi, es pot assegurar l’existència del punt de tall amb l’eix de les abscisses. Utilit-zant successius valors de x entre −1 i 0 s’obté que aquest punt és: c ≅ −0,89.

12. Considera la funció f(x) = x2 − 2x + 1. És una funció contí-nua que té per gràfi ca una paràbola. Existeix un punt c tal que ƒ(c) = 0? Explica si en aquesta funció es pot aplicar el teorema de Bolzano en l’interval [0, 2].

Si es resol l’equació x2 − 2x + 1 = 0, s’obté com a solució: x = c = 1. No es pot aplicar Bolzano en l’in terval [0, 2] ja que ƒ(0) · ƒ(2) > 0.

13. Troba el màxim i el mínim absoluts de la funció ƒ(x) = −x2 + 2x en l’interval [−1, 2]. Representa gràfi cament la funció per ajudar-te a trobar la solució.

ƒ(−1) = −3, ƒ(2) = 0, ƒ’(x) = −2x + 2 = 0 → x = 1, ƒ(1) = 1. Per tant, comparant aquests tres valors de la funció tenim: màxim absolut a x = 1 i mínims absolut a x = −1.


20. Esbrina si la funció ( ) ( )f xx 1

22=

- verifi ca les condicions

del teorema de Rolle a l’interval [0, 2].

No verifi ca el teorema de Rolle ja que a x = 1 d [0, 2] presenta una discontinuïtat.

21. Considera la funció f(x) = x3 − 3x2 en l’interval [0, 3] i aplica el teorema de Rolle en aquest interval. Quin és el punt c que prediu el teorema? Hi ha algun altre punt que no pertany a (0, 3) en què també s’anul·li la derivada?

Es pot aplicar el teorema de Rolle ja que ƒ(0) = ƒ(3) = 0 i ƒ(x) és contínua en aquest interval; ƒ ’(x) = 3x2− 6x = 0 → x = 0, x = 2.

c = 2, ja que pertany a l'interval (0, 3).

També en el punt x = 0 la derivada de ƒ(x) s'anul·la.

22. Demostra que a la funció f(x) = x se li pot aplicar el teorema del valor mitjà en l’interval (0, 1). Troba el punt c de l’interval en què f ’(c) = 1. Troba l’equació de la recta tangent a la corba en aquest punt.

La funció és contínua i derivable en l’interval (0, 1) i es pot aplicar el teorema del valor mitjà:

Equació recta tangent: y x 41

= +

23. Demostra que la funció ( )f x x1

= és decreixent en tot el seu domini.

( ) <f xx

x D1 0, f2 6 !l , ja que, x2 és sempre positiu.

24. Troba per a la funció ( )f xx1

2=

a) L’interval en què és creixent.

b) L’interval en què és decreixent.

ƒ ’(x) = x23

-

a) f(x) és creixent si x < 0, ja que ƒ’(x) és positiva.

b) f(x) és decreixent si x > 0, ja que ƒ ’(x) és negativa.

25. Troba els punts de la funció f(x) = x3 − 4x − 1 que verifi quen ƒ’(x) = 0. Classifi ca’ls i expressa els intervals de monotonia.

ƒ’(x) = 3x2 − 4 = 0 → x1 = 3

2 i x2 = 32- .

ƒ’’(x) = 6x → ƒ’’ 3

2d n > 0 és un mínim relatiu.

ƒ’’ 32-

d n < 0 és un màxim relatiu.

Creixent: 1−∞, 32- 2 i 1 3

2 , +∞2 Decreixent: 1 3

2- , 3

2 2

x

y

3

14. Verifi ca si la funció ( )f x x 210

=-

té màxim i mínim abso-

luts en l’interval [0, 4]. Raona la teva resposta.

En l’interval [0, 4], ƒ(x) presenta una discontinuïtat a x = 2.

3 3( ) ( )lim limf x f xix x2 2

+" "

+, per tant, no té màxims ni

mínims absoluts.

15. Troba els punts de la funció yx 1

12=-

en els quals no sigui derivable.

A x = 1 i x = −1, valors que anul·len el denominador i no són del domini de la funció i la funció no és contínua i, per tant, no és derivable.

16. Considera la funció f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2. Troba’n els punts estacionaris i classifi ca’ls.

Calculem els valors que anul·len la derivada.

ƒ’(x) = 12x3− 24x2 + 12x = 0. Obtenim x = 0 i x = 1 (arrel doble). Substituits a la segona derivada ƒ’’(x) = 36x2 − 48x + 12, indi-quen que a x = 0 hi ha un mínim relatiu i a x = 1 hi ha un punt d’infl exió de tangent horitzontal.

17. Interpreta el valor de la derivada de la funció y = x3 − 1 en el punt x = 0.

ƒ ’(x) = 3x2 i ƒ ’’(x) = 6x, indiquen que a x = 0 hi ha un punt d’infl exió de tangent horitzontal ja que s’anul·len la primera i la segona derivada.

18. Troba la derivada de les funcions f(x) = e2x i g(x) = ln x.

Tenen punts estacionaris aquestes funcions? Raona la teva resposta.

ƒ ’(x) = 2e2x, g ’(x) = x1 . No hi ha cap valor de x que anul·li

aquestes derivades, per tant les funcions no tenen cap punt estacionari.

19. Considera la funció f(x) = x2 − 6x + 9 en l’interval [0, 6]. Aplica-li el teorema de Rolle per trobar un punt c tal que ƒ’(c) = 0.

ƒ(0) = ƒ(6) = 9 i es pot aplicar el teorema de Rolle ja que ƒ(x) és contínua.

Calculem la derivada: ƒ ’(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3, c = 3.



a) f(x) = x x1 1

3 + + π b) f(x) = lnx x3 4

c) f(x) = 2e0,3x d) f(x) = 43x + 1

e) f(x) = ( )xx

11

3-+ f) f(x) = 2 500 · 1,05x

g) f(x) = 125

ee

x

x

2

2

++ h) f(x) =

xx

12

2

-

a) f ’(x) = x x3 14 2

--

b) f ’(x) = 3x2 ln x4 + 4x2

c) f ’(x) = 0,6 e0,3x

d) f ’(x) = 43x + 1 3 ln 4

e) f ’(x) = ] gx12x + 4

4

f) f ’(x) = 2 500 · 1,05x ln 1,05

g) f ’(x) = 1

48ee

x

x

2 2

2

+

-^ h

h) f ’(x) = x

x1

22 2-

-^ h

3. La funció f(x) = x2 + x + 1 és contínua. Explica si es pot aplicar el teorema de Bolzano en algun interval. Té alguna arrel l’equació f(x) = 0?

ƒ(x) = 0 no té cap arrel ja que el discriminant de l’equació és negatiu. La seva gràfi ca no talla l’eix OX.

Per tant, no es pot aplicar el teorema de Bolzano. A més, x2 + x + 1 > 0, 6x ∈ R.

4. Dóna un raonament per tal de justifi car que la funció f(x) = x5 + 5x3 + 2x talla l’eix de les abscisses en un sol punt.

ƒ(x) = x(x4 + 5x2 + 1) talla l’eix de les abscisses a x = 0. ƒ(x) > 0, 6x > 0, i f(x) < 0, 6x < 0, ja que el poli nomi de quart grau del parèntesi és sempre positiu.

5. Estudia la derivabilitat de la funció f(x) = 1x + en el punt x = 0.

ƒ(x) és contínua i derivable a x = 0, ja que aquest punt és del

domini de la funció i també de la derivada: ( )x2 11+

lf x .

6. Demostra que f(x) = xx

12-

és decreixent en tot el seu do-mini.

ƒ’(x) = x 1

22

--] g

< 0, 6x � Df, per tant, la funció és decreixent.

26. Estudia la primera i la segona derivada de la funció f(x) = ln (x2+ 1) per trobar possibles màxims o mínims re-latius. Vigila a l’hora d’interpretar els valors que anul·len la segona derivada.

per tant, en el punt (0, 0) hi ha un mínim relatiu. Els valors que anul·len la segona derivada són 1 i −1 que sí que són del domini de la funció.

27. Troba els extrems relatius de les funcions:

a) f(x) = x x1

+

b) f(x) = x (x − 1)2 − x

c) f(x) = ex · x

d) f(x) = xex

2 per a x ≠ 0

a)

ƒ’’(1) = 2 > 0 i és un mínim relatiu, ƒ’’(−1) = −2 < 0 i és un màxim relatiu.

b) f’(x) = 3x2 −4x = 0 → x1 = 0 i x2 = 34 ; ƒ’’(x) = 6x − 4.

ƒ’’(0) = −4 < 0 i és un màxim relatiu, ƒ’’ 34b l = 4 > 0 i és un

mínim relatiu.

c) f’(x) = ex(1 + x) = 0 → x = −1; ƒ’’(x) = ex(2 + x) →

ƒ’’(−1) = e−1 > 0 i és un mínim relatiu.

d) ( )f xx

e x x2 0 2x

3 "l] g

(es pot simplifi car la derivada perquè x ≠ 0);

+

m m( ) ( ) >f xx

x x f4 6 2 8 0e ex

4

2 2

"^ h

i és un mínim.

Activitats fi nals

1. Raona la continuïtat de les funcions:

a) f(x) = ln (x2+ 1)

b) f(x) = x2·ex + 1

c) f(x) = xx

112

3 ++

d) f(x) = xex

a) Contínua xd6 �, ja que x2 + 1 > 0.

b) Producte de dues funcions contínues. Per tant, ƒ (x) és contínua.

c) Discontínua a x = −1, ja que x3 + 1 = 0 → x = −1 i la dis-continuïtat és asimptòtica.

d) A x = 0 hi ha una discontinuïtat asimptòtica.


c) f ’(x) = 3x2 − 10x + 6 = 0 → x = 3

5 7+ i x = 3

5 7

ƒ’’(x) = 6x − 10, ƒ’’ 35 7d n < 0 i és un màxim;

ƒ’’ 35 7+d n > 0 i és un mínim.

d) ƒ’(x) = 4x3 − 2x = 0 → x = 0 i x = 21

! ; ƒ’’(0) < 0 hi ha un

màxim; ƒ’’ 21b l = ƒ’’ 2

1-b l > 0, hi ha un mínim a cada

punt.

13. Troba els extrems absoluts de f(x) = ex − 1 en l’interval [−1, 1].

ƒ’(x) = ex que no s’anul·la per a cap valor de x. Per tant els ex-trems absoluts es troben en els extrems dels in terval: màxim

absolut: ƒ(1) = e − 1, mínim absolut: ƒ(−1) = 11

e - .

14. Estudia la monotonia i dóna els intervals de creixement i decreixement de les funcions:

a) ƒ(x) = 1 − 2x − 3x2

b) ƒ(x) = x x1

+

c) ƒ(x) = x2 − ln x2

d) ƒ(x) = x4 − x2

a) Funció contínua amb ƒ’(x) = −2 − 6x > 0 → x < 31

- . És

creixent: 1−∞, 31

- 2 i decreixent: 1 31

- , +∞2.b) ƒ’(x) =

x1 1

2- i a x = 0 hi ha una discontinuïtat asimptòti-ca. És creixent en els intervals (−∞, −1) i (1, + ∞) i de-creixent (−1, 0) i (0, 1).

c) ƒ’(x) = x x2 2- . Creixent: (−∞, −1) i (1, +∞) i de creixent:

(1, 0) i (0, 1). Hi ha una discontinuï tat asimptòtica a x = 0.

d) La derivada i els punts estacionaris són a l’activitat 12 d).

És creixent: 1− 21 , 02 i 1 2

1 , +∞2 i decreixent: 1−∞, − 21 2

i 10, 21 2.

15. Determina els punts d’infl exió de la funció següent:

f(x) = x1

12+

Punts d’infl exió: x = 31

! , que són els que anul·len la sego-na derivada.

7. Calcula les tres primeres derivades de ( )f x x3= . Troba una expressió per a la derivada enèsima.

( ) , ( ) , ( )

( )...

f x x f x x f x x

fa a

x a n

31

92

2710

3 3 4ambnn

a

n

32

35

38

1 31n

+

- --

+

l m n

x( )n . .

8. Troba l’equació de la recta tangent a la corba següent: y = x3 − 3x en el punt d’abscissa −1.

y’(x) = 3x2 − 3, y’(−1) = 0 = m i el punt de tangència és (−1, 2). L’equació de la recta tangent és: y = 2.

9. Esbrina si f(x) = ( )x 11

2+- és creixent en tot el seu domini.

Què passa en el punt x = −1?

( )x 1

23

+l ] gf x . La funció és creixent per a x > −1 i decreixent

per x < −1. A x = −1 hi ha una disconti nuïtat asimptòtica.

10. Calcula la derivada de les funcions següents:

a) f(x) = 42

x

x-

b) f(x) = ( )xx

12 1

2-+

Simplifi ca les expressions obtingudes.

a) ƒ’(x) = ln ln ln4

2 2 2 2 2 42

8x

x x x x

x2

2 2

3

$ $--

b) ƒ’(x) = x

x x12 4 1amb3

-+

=Y] g

11. Explica, raonadament, per què les funcions f(x) = e2x i f(x) = ln x no tenen màxims ni mínims relatius.

ƒ’(x) = 2e2x no s’anul·la per a cap valor de x.

ƒ’(x) = x1 no s’anul·la per a cap valor de x. Cap de les dues

funcions no té màxims ni mínims relatius.

12. Classifi ca els possibles extrems relatius de les funcions següents:

a) f(x) = 2x2

b) f(x) = x4 e−x

c) f(x) = x3 − 5x2 + 6x

d) f(x) = x4 − x2

a) ( )

( ) ( )

ln

ln ln

x x

x

2 2 2 0 0

2 2 2 4 2 2

x

x x2

2

2 2

+

"$

$

l

m

f x

f x

ƒ’’(0) = 2 ln 2 > 0 → a x = 0 hi ha un mínim relatiu.

b) ( ) ;

( ) , ( ) <

f x x x x x

f x x x x f

4 0 0 4

12 8 4 0

e i

e

x

x

3

2 2+

"

$ $

-

-

l

m m

]^g

hƒ’’(0) = 0 → màxim: x = 4 i punt d’infl exió: x = 0.


a) Hem de tenir f ’(3) = 0. Ara, f ’(x) = xa

x12

2 3-

- . O sigui que

f ’(3) = a27

3 12- - . Igualant a 0, tenim a = −4.

b) Per veure el caràcter de l’extrem, calculem la derivada sego-

na, f ’’(x) = x x8 36

3 4- + .

f ’’(3) = 274 02 per tant l’extrem és un mínim relatiu.

2. La gràfi ca següent correspon a una funció f: [2, 6] → � de-rivable i amb derivada contínua. Fes un esbós de la gràfi ca de f ’: (2, 6) → � i justifi ca’n el perquè.

La gràfi ca d’una funció més o menys en forma de paràbola en forma de ,, que sigui decreixent a [−∞, 4] i creixent a [4, +∞]; que s’anul·li a 3 i a 5 i que tingui un mínim a 4.

3. Considera la funció següent on a és un nombre real.

2 1+ >f x

e xsisix x

ax

( ) =≤⎧

⎨⎪

⎩⎪00

a) Calcula ( )lim f xx 0"

i comprova que f(x) és contínua en x = 0.

b) Per a quin valor del paràmetre a, la funció f(x) és deriva-ble en x = 0?

a) limx 0"

f (x) = 1; limx 0+"

f (x) = 1; f (0) = 1. Per tant, f(x) és contí-nua en x = 0.

b) f ’(x) = � a · eax,

2,

x ≤ 0

x > 0 f ’(0−) = a; f ’(0+) = 2. Per tant, f (x) és derivable en x = 0 per

a a = 2.

16. Calcula la primera i la segona derivada de la funció f(x) = (x − 1)3. S’anul·len les dues derivades en un mateix punt? Troba aquest punt i explica de quin tipus és.

ƒ’(x) = 3(x − 1)2; ƒ’’(x) = 6(x − 1). A x = 1 hi ha un punt d’infl exió de tangent horitzontal ja que aquest valor anul·la les dues derivades.

17. Considera la funció f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Troba a i b de manera que la gràfi ca de la funció tingui a x = 1 un punt d’infl exió de tangent horitzontal.

Els punts estacionaris anul·len la primera derivada:

ƒ’(x) = 3x2 + 2ax + b → ƒ’(1) = 0 → 3 + 2a + b = 0

Els punts d'infl exió anul·len la segona derivada:

ƒ’’(x) = 6x + 2a → ƒ’’(1) = 0 → a = −3 i b = 3

La funció té un punt d'infl exió a x = 1 per a b = 3.

18. Determina f(x) sabent que la derivada tercera és f’’’(x) = 24x, f(0) = 0, f’(0) = 1 i f’’(0) = 2.

ƒ(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, e = 0, ja que ƒ(0) = 0

ƒ’(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d → ƒ’(0) = 1 → d = 1

ƒ’’(x) = 12ax2 + 6bx + 2c → ƒ’’(0) = 2 → c = 1

ƒ’’’(x) = 24ax + 6b = 24x → b = 0 i a = 1

La funció és: ƒ(x) = x4 + x2 + x

19. Analitza la continuïtat i la derivabilitat de la funció ( )f x x

x= si x ≠ 0 i ƒ(0) = 0.

La funció presenta una discontinuïtat de salt a x = 0 ja que els límits laterals en aquest punt són diferents. No és derivable en aquest punt.

20. Raona si la funció f(x) = x6 − 6x2 + 3 té alguna arrel entre 0 i 1. Troba aquest valor amb una aproximació fi ns a les centèsimes.

ƒ(0) = 3, ƒ(1) = −2. Com que ƒ(0) · ƒ(1) < 0, la funció té una arrel en aquest interval. Per aproximacions: c b 0,72 i c d [0,1] tal que ƒ(c) = 0.

Avaluació

1. (Curs 2003-2004) Considera la funció f xax x

( ) = + +16

2 on a és un nombre real:

a) Calcula el valor del nombre real a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3.

b) Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxim o d’un mí-nim? Raona la resposta.


b) La gràfi ca de C(x) és una paràbola que té un límit absolut. Per determinar-lo igualem la derivada

C ’(x) = −0,05 + 0,0005x

a 0 i obtenim x = 100 km/h. Per aquesta velocitat el consum és C(100) = 5 litres en 100 km, que serà el consum mínim.

c) La funció derivada C ’(x) s’anul·la per a x = 100, on té el límit. Per a valors de x inferiors, esdevé negativa, ja que el coefi cient de la x és positiu i, per tant, en disminuir la x a partir del valor que anul·la la derivada, aquesta esdevin-drà negativa. A l’inrevés passa quan x s’incrementa a partir d’aquest valor. Per tant la funció és decreixent en l’interval (−∞, 100) i creixent en l’interval (100, +∞), i assoleix el mínim absolut i relatiu en el punt (100, 5). El màxim absolut en l’interval [25, 175] s’assolirà en un dels dos extrems de l’interval (o en tots dos).

Obtenim els valors C(25) = C(175) = 6,41 litres en 100 km, que és el consum màxim que s’assolirà per les dues veloci-tats de 25 i 175 km/h.

4. (Curs 2002-2003) Com a resultat del test efectuat amb un nou model d’automòbil per determinar-ne el consum de benzina, s’ha observat que, per a velocitats compreses entre 25 i 175 km/h, el consum C(x) de gasolina, expressat en litres consumits en 100 km, fets a la velocitat constant de x km/h, es pot aproximar per la funció

C(x) 5 7,5 2 0,05 x 1 0,00025 x2

a) Determina el consum a les velocitats de 50 km/h i de 150 km/h.

b) A quina velocitat s’obté el mínim consum? Quin és aquest consum mínim?

c) Fes un estudi del creixement i decreixement de la funció C(x) a l’interval [25, 175]. Determina les velocitats que corresponen al consum màxim, així com aquest consum.

a) ( ) , , ,,

( ) , , ,,

C

C

50 7 5 0 05 50 0 00025 505 625

150 7 5 0 05 150 0 00025 1505 625

L/100 m

L/100 km

k

2

2

+

+

$ $

$ $


Unitat 10. Aplicacions de la derivada

Activitats

1. A partir d’una taula de valors, representa gràfi cament la

funció ( )f x x 22

=-

.

Dóna tota la informació possible de la funció.

x

y

2

x –2 0 4 6

f(x)−12

−1 112

Df = � − {2}, Rf = � − {0}

Talla l’eix d’ordenades en el punt (0, −1). No és simè trica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de l’o rigen. És de-creixent en tot el seu domini.

2. Estudia les simetries i indica els punts de tall amb els eixos de la funció:

( )f xx

x22

3

=+

Com que f(−x) = ( ),x

xx

x f x2 22

3

2

3

+ +] ] g g la funció és im-

parella, per tant és simètrica respecte de l’origen de coorde-nades.

( )f xx

x x x02

0 0 02

33=

+= = =" " " , talla els eixos en

l’origen.

3. Donada la funció ( )f x xx

11

=+- dedueix-ne:

a) El domini i els tipus de discontinuïtats.

b) Les simetries.

c) Els punts de tall amb els eixos de coordenades.

a) Df = � − {−1}, lim xx

11

x 1 +-"= ∞, presenta una discontinuïtat

asimptòtica en x = −1.

b) En ser ƒ(−x) = − xx1

1 + , vol dir que ƒ(−x) ≠ ƒ(x) i ƒ(−x) ≠ −ƒ(x),

per tant la funció no és parella ni imparella, la gràfi ca no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen.

c) ƒ(x) = 0 → x − 1 = 0 → x = 1, talla l’eix d’abscis ses en el punt (1, 0). ƒ(0) = −1, talla l’eix d’ordenades en el punt (0, −1).

4. Troba el recorregut de la funció de l’activitat anterior a partir del domini de la funció inversa.

ƒ −1(x) = xx

11

-+ → Df

−1 = � − {1}.

5. a) Per què la gràfi ca d’una funció no pot ser simètrica res-pecte de l’eix d’abscisses?

b) Per què la gràfi ca d’una funció pot tallar com a màxim per un punt l’eix OY?

c) Si Df = � − {0}, la gràfi ca de la funció ƒ(x) talla l’eix d’ordenades?

Justifi ca les respostes.

a) Hi hauria valors de x que tindrien dues imatges.

b) Si tallés en més d’un punt l’eix OY, el valor x = 0 tindria més d’una imatge.

c) No, ja que si Df = � − {0} el valor x = 0 no té imatge.

6. Justifi ca de manera raonada per què la gràfi ca d’una funció no talla en cap punt una asímptota vertical.

Si la gràfi ca tallés una asímptota vertical, el valor de x corres-ponent hauria de pertànyer al domini, però no hi pertany.

7. Demostra que les funcions polinòmiques no tenen asímp-totes de cap tipus.

En ser limx"3

p (x) = ∞, fa que no tingui asímptotes horitzontals,

com que limm xp x

x= =3

"3

] g, tampoc en té d’obliqües i com

que Dp = �, tampoc en té de verticals.

8. Troba, si n’hi ha, els punts de tall de l’asímptota obliqua i la gràfi ca de la funció de l’exemple 1 apartat b.

No es tallen en cap punt, ja que l’equació xx x4 2 2

1 12

-=- - ,

no té solució.

9. Troba les asímptotes de les funcions següents:

a) ( )f xxx

43

2=-+ b) ( )f x

xx

122

3

=+

c) ( )f x x 1e

2

x=- d) ( )f x x

x2 63 4

=+

-

e) ( )f x xx

53

=-

f) ( ) ( )f xx 1

32=

+


a) Df = � − {−2, 2}

lim lim limxx

xx

xx

43

43

43 0

x x x22

22

+ + +3 3

-" " "32

verticals: x = −2 i x = 2, horitzontal: y = 0, no en té d’obliqües.

b) Df = �, no té asímptotes verticals

limx

x1

2x

2

3

+=

"!3 ±3, tampoc no en té d’horitzontals.

lim limmx x

xx

x1

21

2 2x x2

3

2

2

+ +" "! !3 3^ h lim limn

xx x

xx

12 2

12 0

x x2

3

2+ +" "! !3 3c m

asímptota obliqua: y = 2x

c) Df = �, no té asímptotes verticals.

lim x 1 0exx

2

+" 3

→ asímptota horitzontal:

y = 0 per a x → +3

limm x 1ex

x

2

3-" 3

→ no té asímptota horitzontal per a

x → −3

limm xx 1

exx

2

3-" 3

→ no té asímptotes obliqües.

d) Df = � − {−3}; lim xx

2 63 4

x 3 +"3

-" la recta x = −3 és una

asímptota vertical.

lim xx

2 63 4 2

x +"!3

→ la recta y = −2 és una asímptota ho-

ritzontal. No en té d’obliqües.

e) Df = � − {5}; lim xx

5x 5

3

"3"

la recta x = 5 és una asímp-

tota vertical.

lim xx

5x

3

+3"!3

no té cap asímptota horitzontal.

lim limmx x

xx

x5 5x

3

!3"!3 ] g x"!3

2

no té cap asímp-

tota obliqua.

f) Df = � − {−1}; limx 1

3x 1

2+

+ "3-" ] g la recta x = −1 és una

asímptota vertical.

limx 1

3 0x

2+

""!3 ] g la recta y = 0 és una asímp tota horit-

zontal. No té asímptotes obliqües.

10. Justifi ca la certesa o falsedat de les afi rmacions següents:

a) Si ƒ(x) és creixent en el punt x = xo, aleshores ƒ’(xo) > 0.

b) Si ƒ(x) és decreixent en el punt x = xo, aleshores ƒ’(xo) ≤ 0.

a) Fals. Per exemple, la funció ƒ(x) = x3 és creixent en tots els reals i en canvi ƒ’(0) = 0.

b) Veritat, ja que si la funció és decreixent la funció derivada no és positiva.

11. Estudia els intervals de creixement i decreixement de les funcions següents:

a) ( )f x xx

11

=-+ b) ( )f x

xx

2 122=+

c) ( ) lnf x xx

= d) ( )f x xex

=

a) ƒ ’(x) = ( ) <f xx

x1

2 0,2 6 !l ] g Df = � − {1}, la funció

és decreixent en tot el seu domini.

b) Df = �, ( ) , ( )f xx

x f x x2 12 4 0 2 4 0

2

22

+"l l^ h2 ,

x2

1=!

ƒ ’(−1) < 0 → és decreixent en 1−∞, 21- 2, ƒ ’(0) > 0 → és

creixent en 21,

21-

d n i ƒ’(1) < 0 → és decreixent en

1 21- , +∞2.

c) Df = �+ − {1}, ( ) , ( )ln

ln lnf xx

x f x x1 0 1 02 "l l → ln x = 1 → x = e

ƒ ’(5) < 0 → en l’interval (0, 1) és decreixent.

ƒ ’(2) < 0 → en l’interval (1, e) és decreixent.

ƒ’(3) > 0 → en l’interval (e, +∞) és creixent.

d) Df = � − {0}, ( ) , ( )f xx

e x f x x1 0 1x

2 "l l] g

ƒ ’(−1) < 0, ƒ ’ 21b l < 0 i ƒ ’(2) > 0 → decreix en (−∞, 0) i

(0, 1) i creix en (1, +∞).

12. És possible que la derivada d’una funció sigui nul·la en un punt i, alhora, que la funció sigui creixent en aquest ma-teix punt? Justifi ca la resposta.

Sí que és possible, per exemple, la funció ƒ(x) = x5 és creixent en tots els reals i en canvi la funció ƒ’(x) s’anul·la en el punt x = 0.

13. Sabem que el domini de defi nició d’una certa funció ƒ(x) és �, i que és derivable en tots els reals. Sigui a un punt de l’eix d’abscisses. Si la derivada de ƒ(x) en qualsevol punt d’abscissa més petita que a és positiva i en qualse-vol punt d’abscissa més gran que a la derivada de ƒ(x) és negativa, que podem dir del punt a? Raona la resposta i posa un exemple d’una funció en què passi això.

La funció sent contínua i derivable en x = a passa de creixent a decreixent, ja que la derivada passa de positiva a negativa, per tant en x = a la funció pre senta un màxim relatiu.

Per exemple la funció ƒ(x) = −x 2 en el punt x = 0.

14. Esbrina els màxims, els mínims i els punts d’infl exió de tangent horitzontal de les funcions:

a) f(x) = 3x4 − 6x2 b) f(x) = x4 + 2x3

c) f(x) = ( )x 1

e

2

x+

d) f(x) = x 842 +


e) ƒ ’(x) = 12x2; 12x2 = 0, x = 0

En x = 0 hi ha un punt d’infl exió de tangent ho ritzontal.

f) ƒ ’(x) = ( )xx1

22 2+

, ƒ ’(x) = 0 → −2x = 0 → x = 0

La funció presenta un màxim en el punt d’abscis sa x = 0.

15. Dibuixa les gràfi ques de ƒ’(x) i de ƒ’’(x) a partir de la gràfi ca de ƒ(x).

y

x

x

f’

f’’

O

O

x

y

O

16. Considera la funció f(x) = x2 − 4x. Dibuixa la gràfi ca de la funció derivada ƒ’(x), i, a partir de la gràfi ca de ƒ’(x), es-tudia els intervals de creixement i decreixement de ƒ(x) i els seus punts estacionaris.

e) f(x) = 4x3 − 6 f) f(x) = x 1

12 +

a) ƒ ’(x) = 12x3 − 12x

12x3 − 12x = 0 → x = 0, x = ±1

En x = −1 hi ha un mínim, en x = 0 hi ha un mà xim i en x = 1 hi ha un altre mínim.

b) ƒ ’(x) = 4x3 + 6x2

4x3 + 6x2 = 0 → x = 0, x = − 23

En el punt x = − 23 la funció presenta un mínim i en el punt

x = 0 hi ha un punt d’infl exió de tangent horitzontal.

c) ƒ ’(x) = x1e

2

x- , ƒ ’(x) = 0 → 1 − x2 = 0 → x = ±1

En x = −1 hi ha un mínim i en x = 1 un màxim.

d) ƒ ’(x) = ( )x

x8

42 3+

- , ƒ ’(x) = 0 → −4x = 0 → x = 0

En x = 0 la funció presenta un màxim.


Per a x0 d (−∞, 2) ƒ ’(x0) < 0 → ƒ decreix en l’interval (−∞, 2)

Per a x0 d (2, +∞) ƒ ’(x0) > 0 → ƒ creix en l’interval (2, +∞)

Per tant en el punt x = 2 la funció presenta un mínim.

17. Considera les funcions dels apartats a) i b) de l’activitat 14: de cada una d’aquestes, dedueix-ne els màxims i els mínims aplicant el test de la segona derivada. Compara’n els re-sultats.

a) ƒ ’’(x) = 36x2 − 12

ƒ ’’(−1) = 24 > 0 → en x = −1 hi ha un mínim.

ƒ ’’(0) = −12 < 0 → en x = 0 hi ha un màxim.

ƒ ’’(1) = 24 > 0 → en x = 1 hi ha un mínim.

b) ƒ ’’(x) = 12x2 + 12x

ƒ ’’ 23-b l = 9 > 0 → en x = 2

3- hi ha un mínim.

ƒ ’’(0) = 0 → en x = 0 no hi ha ni un màxim ni un mínim, hi haurà, doncs, un punt d’infl exió de tangent horitzontal.

18. Aplicant el test de la segona derivada, dedueix els màxims

i els mínims de la funció ( ) 1f x xx2

=+ .

( ) , ( )f xx

x f x x x1 0 1 0 12

22

" " !l l

( ) , ( ) <f xx

f x2 1 2 0 13 "m m màxim.

ƒ ’’(1) = 2 > 0 → x = 1 mínim.

19. A partir de les gràfi ques dels exemples 6 i 7, justifi ca les simetries, el recorregut i els màxims i mínims absoluts de cada una de les funcions.

Exemple 6: la gràfi ca és simètrica respecte de l’ori gen. Rf = �, no té cap màxim ni cap mínim absoluts.

Exemple 7: la gràfi ca de la funció no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades ni respecte de l’origen. Rf = � − [0, 1], no té ni màxim ni mínim absoluts.

20. Dibuixa la gràfi ca de les funcions:

a) ƒ(x) = 6x2 − 2x3 b) ƒ(x) = x

x 12-

c) ƒ(x) = xx x8 12

2

+- d) ƒ(x) = x

x x132

-+

A partir de les gràfi ques dibuixades, informa sobre les si-metries, el recorregut i els màxims i mínims absoluts de cada funció.

a) y

x

Df = �. En ser una funció polinòmica no té cap tipus d’asímptota.

ƒ(x) = 0 → 6x2 − 2x3 = 0 → 2x2 (3 − x) = 0 → x = 0, x = 3; talla els eixos en (0, 0) i (3, 0).

ƒ ’(x) = 12x − 6x2

ƒ ’(x) = 0 → 12x − 6x2 = 0 → 6x (2 − x) = 0 → x = 0, x = 2

ƒ ’’(x) = 12 − 12x

ƒ ’’(0) = 12 > 0 → a l’origen hi ha un mínim.

ƒ ’’(2) = −12 < 0 → en el punt (2, 8) hi ha un màxim.

No presenta cap tipus de simetria. Rf = �, no hi ha cap punt de la gràfi ca que sigui un màxim o un mínim abso-luts.

b)

x

y

Df = � − {0}, limx

x x1 0x 0

2 "3"

és una asímptota vertical.

limx

x 1 0x

2 ""3

la recta y = 0 és una asímptota horitzontal.

No en té d’obliqües.


ƒ(x) = 0 → x − 1 = 0 → x = 1, talla l’eix d’abscis ses en el punt (1, 0).

x = 0 z Df → no talla l’eix d’ordenades.

ƒ ’(x) = ,x

x 23

- + ƒ ’(x) = 0 → −x + 2 = 0 → x = 2

0 2

0

En el punt 12, 41 2 la funció presenta un màxim.

No presenta simetries. , 1R 4f 3 Ec , el punt , 412b l és un

màxim absolut, no té mínim absolut.

c)

x

y

Df = � → no té asímptotes verticals.

limxx x8 1 8

1x

2

2

+"

"3 la recta y = 8

1 és una asímp tota horit-

zontal. No té asímptotes obliqües.

ƒ(x) = 0 → x2 − x = 0 → x(x − 1) = 0 → x = 0, x = 1; passa pels punts (0, 0), (1, 0).

( ) , ( )

,

f xx

x x f x x x

x x

8 18 2 1 0 8 2 1 0

21

41

2 2

22

+

++" "l l^ h

En ,21

41-b l hi ha un màxim, en ,4

181-b l hi ha un mínim.

La gràfi ca no és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades, ni respecte de l’origen.

Rf = 81, 4

1-; E , el màxim i el mínim relatius són també ab-

soluts.

d) y

x

y x

Df = � − {1}

lim xx x

13

x 1

2 +"3

"

la recta x = 1 és una asímp tota vertical.

lim xx x

13

x

2 +"3

"3 no hi ha asímptotes horit zontals.

lim lim

lim lim

mx xx x

xx

n xx x x x

x1

313 1

13

14 4

x

x

2

2

+ +

+

"

"

3 x"3

3 x"3

]c

gm

la recta y = x + 4 és una asímptota obliqua.

ƒ(x) = 0 → x2 + 3x = 0 → x = −3, x = 0; talla els eixos en els punts (−3, 0) i (0, 0)

( )

,

f xx

x x

x x

12 3

1 3

2

2

l ] g"f ’ (x) 0 " x2 2x 3 0

��

�

��

��

��

��

� � � � � �

Hi ha un màxim en (−1, 1) i un mínim en (3, 9).

No és simètrica ni respecte de l’eix d’ordenades, ni respec-te de l’origen. Rf = � − (1, 9), no té ni màxims ni mínims absoluts.

21. Dibuixa la gràfi ca de les funcions següents:

a) f(x) = x4 − 4x

b) f(x) = xx 1-

a) Df = �. És una funció polinòmica, per tant no té cap tipus d’asímptota.

x4 − 4x = 0 → x = 0, x = 43 ; talla els eixos en l’origen i en el punt ( 43 , 0).


0

x = –a

–b

x = a

b x

y = x

y

La recta y = x és una asímptota obliqua. Les rectes x = −a i x = a són asímptotes verticals. En el punt x = −b hi ha un màxim relatiu, en x = 0 hi ha un punt d’infl exió de tangent horitzontal i en x = b hi ha un mínim relatiu. Ta lla els eixos de coordenades en l’origen, el domini i el re corregut són Df = � − {−a, a} i Rf = � respectivament. És una funció impa-rella, ja que la gràfi ca és simètrica respecte de l’origen, no té ni màxim ni mínim absoluts. És creixent en (−∞, −b), (−a, a) i (b, +∞), i decreixent en (−b, −a) i (a, b).

24. En l’exemple 11, troba el màxim a partir de la variable y.

( )

( )

( ) ,

x y f y y y

f y y

f y y

30 23

23 20 17000

3 20

0 320 0 20

2 +" "

" !

l

l Y h6

Per a y = 0 → ƒ(0) = 17 000 cm2. Per a y = 20 → ƒ(20) = 16 000 cm2. La solució és y = 0 → x = 30 cm.

25. Descompon el nombre 36 en dos sumands, tals que el seu producte sigui màxim.

ƒ(x) = x(36 − x) = 36x − x2

ƒ ’(x) = 36 − 2x; ƒ ’(x) = 0 → x = 18

26. De tots els triangles rectangles amb hipotenusa igual a 9 cm, calcula el d’area més gran.

( ) ( )

( )

Sxy

x y y x

f xx x x x

f xx

x

f x x x x

2 81 81

281

281

2 8181 2

0 81 2 0 281

29

i

cm

2 2 2

2 2 4

2

2

2 2

+ "

"

" " "

l

l

9

2

ƒ ’(x) = 4x3 − 4, ƒ ’(x) = 0 → 4x3 − 4 = 0 → x = 1

ƒ ’’(x) = 12x2, ƒ ’’(1) = 12 > 0 → en el punt (1, −3) hi ha un mínim.

x

y

b) Df = � − {0}

lim xx 1

x 0"3

" l’eix d’ordenades és una asímptota ver-

tical.

lim xx 1 1

x"

"3 la recta y = 1 és una asímptota horitzon-

tal. No en té d’obliqües.

ƒ(x) = 0 → x = 1, talla l’eix d’abscisses en el punt (1, 0) x = 0 z Df → no talla l’eix d’ordenades.

ƒ ’(x) = x1

2 , no té cap punt estacionari. Com que ƒ ’(x) > 0,

xd6 Df; la funció és creixent en tot el seu domini.

x

y

y

22. Les funcions dibuixades a l’activitat anterior tenen màxim i mínim absolut? Justifi ca la resposta.

a) Té un mínim absolut en el punt (1, −3) ja que Rf = [−3, +∞), i això ens diu que no hi ha cap punt de la gràfi ca tal que la seva ordenada sigui més petita que −3.

b) Rf = � − {1} → no té cap màxim ni mínim ab soluts.

23. Observa la gràfi ca de la funció ƒ(x) i dóna tota la informa-ció possible de la funció.


ƒ(x) = (30 − x)(300 + 30x) = −30x2 + 600x + 9 000

ƒ ’(x) = −60x + 600, ƒ ’(x) = 0 → x = 10

ƒ ’’(x) = −60, ƒ ’’(10) = −60 < 0 és un màxim.

Per tant, x = 10 és un màxim.

Ha de perdre 10 llogaters, per tant, ha de tenir 20 pisos llo-gats a 600 € al mes.

31. Demostra que, de tots els rectangles de perímetre 4p, el rectangle que té àrea màxima és el quadrat de costat p. Comparar-ho per a rectangles de 20 cm de perímetre.

L’àrea del quadrat de costat p és Sc = p2.

L’àrea del rectangle de perímetre 4p, és Sr = (2p − q)q = 2pq − q2.

Com que (p − q)2 > 0 → p2 − 2pq + q2 > 0

p2 > 2pq − q2 → Sc > Sr

Si 4p = 20 → p = 5 cm

Sc = 25 cm2 és l’àrea màxima.

Activitats fi nals

1. Dibuixa la gràfi ca de la funció ƒ(x) = x x2 - . Estudia la continuïtat i la derivabilitat en els punts x = 0 i x = 1.

x

y

1—4

1—2

En els punts x = 0 i x = 1 la funció és con tínua, però no deri-vable.

2. Tenim una funció ƒ(x) de la qual sabem que la seva deriva-da ƒ’(x) s’anul.la en x = 1, x = 2 i x = 3, tal com indica la fi gura. Digues quins valors de x corresponen a mínims re-latius de ƒ(x). Explica el perquè de la teva resposta.

f ’(x)y

0 1 2 3 x

El valor x = 2

9 cm maximitza l’àrea del triangle.

ƒ1 29 2 = 4

81 cm2

27. Suposem que, després de la ingestió d’una beguda alco-hòlica, a l’instant x = 0, la concentració en g/L d’alcohol a la sang respon a la funció següent:

ƒ(x) = x · e1 − x, on x és el temps expressat en hores.

a) Calcula la derivada de la funció ƒ(x).

b) Calcula l’instant en què la concentració d’alcohol a la sang serà màxima i el valor que tindrà.

a) ƒ ’(x) = e1 − x (1 − x)

b) ƒ ’(x) = 0 → e1 − x (1 − x) = 0 → 1 − x = 0 → x = 1

La concentració d’alcohol serà màxima en l’instant x = 1, i valdrà ƒ(1) = 1 g/L.

28. Troba dos nombres tals que el seu producte sigui 12 i la seva suma sigui mínima.

( )

( )

( )

f x x x

f xx

f xx

x x

12

1 12

0 1 12 12 12 2 3

2

22

+

" " " ! !

l

l 0

El valor x = y = −2 3 fa mínima la suma.

29. Es vol construir un marc de fusta de 8 m2 de superfície. Sabent que el tros de marc horitzontal costa 2 € el metre i el tros vertical 4 €, calcula les dimensions que cal donar al marc perquè el cost sigui mínim. Calcula el preu del marc.

32ƒ(x) = 2x + —— x

32ƒ ’(x) = 2 − ——, ƒ ’(x) = 0 → x = 4 x2

64ƒ ’’(x) = ——, ƒ ’’(4) = 1 > 0 → x = 4 m el tros horitzontal, mi- x3

nimitza el cost.

30. El propietari d’un immoble de 30 pisos els té tots llogats a 300 € al mes. Per cada 30 € d’augment en el preu del lloguer perd un llogater. Quin és el preu del lloguer que produeix més guanys al propietari?

Sigui x el nombre de llogaters que marxen, la funció a opti-mitzar és:


7. La gràfica d’una funció polinòmica de segon grau ƒ(x) = x2 + ax + b passa pels punts (1, 1) i (4, 7). Calcula el valor numèric del polinomi quan x val 3.

ƒ(1) = 1 → 1 + a + b = 1 → a + b = 0

ƒ(4) = 7 → 16 + 4a + b = 7 → 4a + b = −9

D’on s’obté a = −3, b = 3 → ƒ(x) = x2 − 3x + 3

ƒ(3) = 32− 3 · 3 + 3 = 3

8. Determina els coeficients a i b de la funció següent ƒ(x) = ax2 + bx + 2, sabent que la recta tangent al gràfi c en el punt x = 1 és la recta y = −2x.

ƒ ’(x) = 2ax + b

ƒ ’(1) = −2 → 2a + b = −2

ƒ(1) = −2 → a + b + 2 = −2 → a + b = −4

a = 2, b = −6 → ƒ(x) = 2x2 − 6x + 2

9. Determina quins són els coefi cients a, b i c de la funció ƒ(x) = ax3+ bx2+ cx per tal que aquesta funció tingui un màxim relatiu en x = 0, un mínim relatiu en x = 1 i com-

pleixi la condició ƒ(1) = 21

- .

ƒ ’(x) = 3ax2 + 2bx + c

ƒ ’(0) = 0 → c = 0

ƒ ’(1) = 0 → 3a + 2b + c = 0 → 3a + 2b = 0

ƒ(1) = 21

- → a + b + c = 21

- → a + b = 21

-

D’on s’obté que a = 1, b = 23

- → ƒ(x) = x3 − 23b lx2

10. Donada la funció ƒ(x) = lnxex

, indica’n el domini, els límits per a x → 0 i x → ∞, i les asímptotes. Raona detallada-

ment tot el que fas.

Df = �+ − {1} → la recta x = 1 és una asímptota vertical.

( ) , ( )lim limf x f x0x x0

+3+" " 3+

11. En quin punt de la gràfi ca de la funció ƒ(x) = ln x la tan-gent a la gràfi ca és paral.lela a la recta 2x − y = 0? Justifi -ca la resposta.

El pendent de la recta tangent és m = 2, per tant ƒ ’(x) = 2 →

x1 = 2 → x = 2

1 → y = −ln 2 → P �21 , −ln 2�.

12. Determina en quins punts és horitzontal la recta tangent a la gràfi ca de la funció:

ƒ(x) = xex

2

2-

( ) , ( )f x x f x xx x

1 0 1 01 0 1

e e2 2 2 2

2

x x2 2

" "

" !

l l^ ^h h

13. Tenim la funció:

( )f x xx

32

=-

En el punt x = 1, la funció ƒ ’(x) s’anul.la i passa de positiva a negativa, per tant la funció ƒ(x) passa de creixent a de-creixent, aleshores en x = 1 hi ha un màxim.

En el punt x = 0 també s’anul.la ƒ ’(x), però no can via de signe, continua sent negativa, per tant la fun ció ƒ(x) és decreixent en aquest punt, aleshores en x = 0 hi ha un punt d’infl exió de tangent horitzontal.

En el punt x = 3 tenim que ƒ ’(3) = 0, i la derivada passa de negativa a positiva, la funció ƒ(x) passa de decreixent a creixent, aleshores en x = 3 hi ha un mínim.

3. Sigui ƒ(x) una funció contínua i derivable en tots els reals. Sabent que ƒ’(a) = 0, podem afi rmar que ƒ(x) té neces-sàriament un màxim o un mínim relatiu en el punt x = a? Raona la teva resposta.

No, ja que en x = a podria haver-hi un punt d’infl e xió de tan-gent horitzontal.

4. Calcula el valor de k per tal que:

a) La funció ƒ(x) = x e−kx tingui un màxim o un mínim rela-tiu en el punt x = 1.

b) La funció ƒ(x) = ( )kxx

12

2

2

+ tingui límit 2 quan x → +∞.

c) La funció ƒ(x) = ln (kx2 + 1) sigui creixent en x = 1.

a) f ’(x) = e−kx (1 − kx)

f ’(1) = 0 → e−k (1 − k) = 0 → 1 − k = 0 → k = 1

b) limkx

xk k

k k1

2 2 2 2 1 1x

2

2

2 22

+" " " !

+" 3 ] gc) ( ) ; ( ) > > < >f x

kxkx f k

k k k1

2 1 0 12 0 1 0o2 + +

" "l l

5. Raona la certesa o la falsedat de les afi rmacions següents:

a) Dues funcions amb idèntica funció derivada són neces-sàriament idèntiques.

b) La funció ƒ(x) = xx

1+ és creixent en tot el seu domini.

c) La funció ƒ(x) = x3 no té cap punt estacionari.

a) Fals. Per exemple les funcions ƒ(x) = x2 − 3 i g(x) = x2 + 1 tenen la mateixa funció derivada ƒ ’(x) = g ’(x) = 2x, i en canvi ƒ(x) ≠ g(x).

b) Veritat, ja que ƒ ’(x) > ,x

x D1

1 0 f2=+

6 !] g

.

c) Fals. ƒ ’(x) = 3x2; 3x2 = 0 → x = 0 no és un ex trem, però sí que és un punt estacionari.

6. Calcula el valor mínim de la funció: ƒ(x) = x2(x − 12)2.

Ho pots fer sense haver de calcular-ne la derivada? Justi-fi ca’n la resposta.

Sí, ja que ƒ(x) ≥ 0, xd6 �, prendrà els valors mí nims en ƒ(x) = 0 → x2(x − 12)2 = 0 → x = 0 i x = 12.


c) f(x) = x x312 3- d) f(x) = x x33 -

e) f(x) = x

x x222

-+ f) f(x) =

x 48

2 -

g) f(x) = x x22 + h) f(x) =

xx

12

3

-

i) f(x) = xx

4ex

+ j) f(x) = x

x 34 +

a) Df = � − {2}, les rectes x = 2 i el punt y = 0 són una asímp-tota vertical i una asímptota horitzontal, respectivament. Talla els eixos en els punts (3, 0) i (0, −3), i té un màxim en el punt (4, 1), ja que és decreixent en (−∞, 2) i (4, +∞), i creixent en (2, 4).

x

y x

b) Df = � − {−1}, la recta x = −1 és una asímptota vertical, no en té d’horitzontals i la recta y = x − 2 n’és una d’obliqua. Passa per l’origen de coor denades, els punts estacionaris són x = −3 i x = 0, i com que és creixent en els intervals (−∞, −3) i (−1, +∞), i decreixent en (−3, −1), fa que en

1−3, −427 2 hi hagi un mínim i en l’origen un punt d’infl exió

de tangent horitzontal.

x

y

c) En ser una funció polinòmica, no té cap tipus d’asímptotes. Talla els eixos en els punts (0, 0) i (3, 0). Els valors que anul.len la derivada són x = 0 i x = 2, en el punt (0, 0) la

a) Calcula’n els màxims i mínims de la funció.

b) Estudia’n la continuïtat. Hi ha algun punt en què el pendent de la recta tangent al gràfi c de la funció valgui 1? Justifi ca’n la resposta.

a) ( ) , ( ) ,f xxx x f x x x x x

36 0 6 0 0 62

22

" "l l] g

630

En el punt x = 0, la funció presenta un màxim, i, en x = 6, un mínim.

b) xx

3x 3

2

lim "3"

té una discontinuïtat asimptòtica en el

punt x = 3.

No hi ha cap punt de la grà fi ca de la funció en el que el pendent de la recta tangent valgui 1, ja que l’equació ƒ ’(x) = 1 no té solució.

14. La població d’un estat és, en milions d’habitants,

ƒ(x) = 4 1

20e

x100 +- , on x és el temps en anys.

Calcula’n la població actual (per a x = 0) i la població límit que tindrà quan el temps tendeixi a infi nit.

ƒ(0) = 4 milions d’habitants

limx

x→+ −=+

=∞

e

20

4 1100

20 milions d’habitants

15. Calcula els màxims i els mínims de la func ió: ƒ(x) = x4 − 2x2 + 2. Utilitza les dades obtingudes per com-provar que ƒ(x) és positiva per a tot x.

ƒ ’(x) = 4x3 − 4x, ƒ ’(x) = 0 → 4x3 − 4x → x = 0, x = ±1

En els punts x = ±1 la funció presenta un mínim. En x = 0 presenta un màxim.

Com que els mínims relatius trobats anteriorment són mínims absoluts, tenim que ƒ(−1) = ƒ(1) = 1, el valor mínim que pren la funció és 1, aleshores ƒ(x) ≥ 1 > 0, xd6 �.

16. Dibuixa la gràfi ca de les funcions següents:

a) f(x) = ( )xx

24 12

2-- b) f(x) =

( )xx

1 2

3

+


f) El domini és Df = � − {−2, 2}, les rectes x = −2 i x = 2 són asímptotes verticals, la recta y = 0 és una asímptota horit-zontal. Té un màxim relatiu en el punt (0, −2) i no té cap mínim relatiu, ja que és creixent en els intervals (−∞, −2) i (−2, 0), i és decreixent en (0, 2) i (2, +∞).

x

x xy

g) Df = � − {0}, l’eix d’ordenades és una asímptota vertical, no en té d’horitzontals ni d’obliqües. Talla l’eix d’abscisses en el punt (− 23 , 0), en x = 1 hi ha un punt estacionari, que resulta ser un mínim ja que és decreixent en (−∞, 0) i (0, 1) i creixent en (1, +∞).

x

y

h) Df = � − {−1, 1}, les rectes x = −1 i x = 1 són asímptotes verticals, la recta y = x és una asímp tota obliqua. Té un màxim i un mínim relatius en x = − 3 i en x = 3 respecti-vament, el punt (0, 0) és un punt d’infl exió de tangent ho-ritzontal, ja que és creixent en (−∞, − 3) i ( 3 , +∞) i de creixent en (− 3 , −1), (−1, 1) i (1, 3 ).

x

x

xxy

y

funció presenta un mínim i en 12, 34 2 un màxim, ja que és

de creixent en (−∞, 0) i (2, +∞) i és creixent en (0, 2).

x

y

4—3

d) Df = �, no té asímptotes de cap tipus, talla els ei xos en (− 3 , 0), (0, 0) i ( 3 , 0). Té un màxim re latiu en (−1, 2) i un mínim relatiu en el punt (1, −2), ja que és creixent en (−∞, −1) i (1, +∞), i decreixent en (−1, 1).

x

y

e) Df = � − {2}, la recta x = 2 és una asímptota vertical, no en té d’horitzontals i la recta y = x + 4 és una asímp-tota obliqua. Passa pels punts (−2, 0) i (0, 0), els valors x = 2 ± 2 2 anul.len la pri mera de rivada, és creixent en (−∞, 2 − 2 2 ) i (2 + 2 2 , +∞), i decreixent en els in-tervals (2 − 2 2 , 2) i (2, 2 + 2 2 ), per tant en el punt x = 2 − 2 2 la funció presenta un màxim i en x = 2 + 2 2 un mínim.

x

x

y

y


y

x

18. Considera la funció següent: ( ) lnf x xx1000

= per a x > 0.

Troba els valors de x tals que ƒ’(x) = 0. Després fes un es-quema senzill de la gràfi ca de ƒ(x), i explica-ho.

( ) , ( )ln ln

ln

f xx

f x x

x x x

f

1000x 0 1 1000 0

1000 1 1000 1000

10001000

e e

ee

2 " "

" " "

l l

b l

1

En x = 1000e la funció passa de creixent a decreixent, per tant

hi ha un màxim en el punt 11000e , 1000

e 2.

y

x

19. Fes un esquema senzill de la gràfi ca de la funció ƒ(x) = ex + e−x que posi en evidència els límits quan x → ∞ i els possibles màxims i mínims. Explica raonadament tot el que fas.

( ) , ( )

( )

lim

f x f x

x x f

0 0 1

2 0 0 0 2

e e

e e e e ex

x x

x x x x x2

+ +

" " "

" "

3-

- -

"3

l l

^ h

En el punt (0, 2) hi ha un mínim ja que la funció és decreixent en l’interval (−∞, 0) i creixent en (0, +∞)

y

x

i) Df = � − {−4}, la recta x = −4 és una asímptota vertical, no en té d’obliqües. Té una asímptota horitzontal quan x → −3: y = 0.

( )lim f x 0x -" 3

Talla els eixos en l’origen, té un punt estacionari en x = −2, com que és creixent en tot el seu do mini, fa que en el punt (−2, −e−2) hi hagi un punt d’infl exió de tangent horit-zontal.

x

j) Df = � − {0}, l’eix OY és una asímptota vertical, no n’hi ha de cap més tipus. No talla els eixos en cap punt, f ‘(x) s’anul.la en x = ±1, en el punt (−1, −4) hi ha un màxim i en (1, 4) un mínim, ja que és creixent en (−∞, −1) i (1, +∞), i decreixent en (−1, 0) i (0, 1).

y

x

17. Calcula els intervals de creixement i de decreixement, els màxims i els mínims de la funció següent:

ƒ(x)= x2 · ex

1000

Després fes un esquema senzill de la gràfi ca.

És creixent en els intervals (−∞, −2 000) i (0, +∞), i de-creixent en l’interval (−2 000, 0). Els punts x = −2 000 i x = 0 són respectivament un màxim i un mínim.


Siguin x, y les dimensions del rectangle exterior, les àre es de cada un dels rectangles exterior i interior són xy = 18 i S = (x − 1)(y − 1,5) = xy − y − 1,5x + 1,5 respecti vament, d’on tenim que la funció a optimitzar és:

ƒ(x) = 18 − x18 − 1,5x + 1,5 = 19,5 − x

18 − 1,5x

ƒ ’(x) = x18

2 − 1,5; ƒ ’(x) = 0 → x2 = 12 → x = 12 = 2 3

Com que en el punt x = 2 3 la funció ƒ(x) passa de creixent a decreixent, en aquest punt hi ha un màxim, per tant la solució

és x = 2 3 , y = 2 318 = 3 3 .

25. La suma de totes les arestes d’un prisma recte de base quadrada és 36 cm. Calcula les dimensions del prisma per-què tingui volum màxim.

Considerem x el costat del quadrat de la base i y l’altura del prisma, tenim que:

8x + 4y = 36 → y = 9 − 2x

V = x2y → ƒ(x) = x2(9 − 2x) = 9x2 − 2x3 → ƒ ’(x) = 18x − 6x2, ƒ ’(x) = 0 → x = 0, x = 3

Per a x = 0 dóna volum mínim, i per a x = 3 el dóna màxim, per tant les dimensions del prisma són x = y = 3 cm.

26. El preu de cost d’una joguina és de 50 €. Venuda a 60 €, la compren 3 000 persones, per cada cèntim d’euro que aug-menta o disminueix aquest preu, disminueix o augmenta, respectivament, el nombre de compradors en 40 persones. A quin preu s’ha de vendre la joguina per obtenir un bene-fi ci màxim? Quin és aquest benefi ci?

Sigui x els euros d’augment del preu, la funció benefi ci és:

ƒ(x) = (10 + x)(3 000 − 40x) = −40x2 + 2 600x + 30 000

ƒ ’(x) = −80x + 2 600, ƒ ’(x) = 0 → x = 32,5

ƒ ’’(x) = −80, ƒ ’’(32,5) = −80 < 0 → x = 32,5 euros maximitza el benefi ci.

La joguina s’ha de vendre a 92,5 €.

ƒ(32,5) = 72 380 € és el benefi ci.

27. Les vendes d’un article són funció del preu d’aquest, de manera que:

( ) ( )f xx100

202=

+, x > 0

on x és el preu en €/kg i ƒ(x), el nombre de quilograms venuts en una setmana.

El benefi ci brut setmanal s’obté multiplicant el preu d’un quilogram pel nombre de quilograms venuts. Calcula el preu a què s’ha de vendre si es vol obtenir el benefi ci màxim i quin serà aquest benefi ci.

( ) ( )

’( )

’( )

g x x f xx

x

g xx

x

g x x

10020

1002000 20

0 100

2+

+

"

: ]]

gg3

20. Troba dos nombres positius que sumin 30 tals que la suma dels seus quadrats sigui mínima.

La funció que cal optimitzar és:

ƒ(x) = x2 + (30 − x)2 = 2x2 − 60x + 900

ƒ ’(x) = 4x − 60, ƒ ’(x) = 0 → x = 15 és la solució, ja que mini-mitza la funció ƒ(x).

21. Determina dos nombres positius la suma dels quals sigui 21 i el producte d’un pel quadrat de l’altre sigui màxim.

ƒ(x) = x(21 − x)2 = x3 − 42x2 + 441x

ƒ ’(x) = 3x2 − 84x + 441

ƒ ’(x) = 0 → x2 − 28x + 147 = 0 → x = 7, x = 21

El valor que fa màxima la funció ƒ(x) és x = 7, per tant els nombres són 7 i 14.

22. Un home disposa de 500 m de fi lferro per tancar un camp de forma rectangular. Un dels costats del rectangle serà una tanca que ja existeix. Busca les dimensions del rectan-gle d’àrea màxima que es podrà tancar.

2x + y = 500 → y = 500 − 2x → ƒ(x) = x(500 − 2x) = 500x − 2x2

Per l’expressió de ƒ(x) ja veiem que tindrà un màxim.

ƒ ’(x) = 500 − 4x, ƒ ’(x) = 0 → 500 − 4x = 0 → 4x = 500 → x = 125 m, y = 250 m

23. La cotització de les accions de certa empresa a la borsa va tenir, aproximadament, l’evolució següent durant l’any 1998:

ƒ(x) = 342 + 39x − 3x2

on x és el temps en mesos (0 ≤ x ≤ 12).

Calcula el percentatge del benefi ci que hauria obtingut un individu que hagués comprat accions en el moment de co-tització mínima i que les hagués venudes en el de màxima.

ƒ ’(x) = 39 − 6x , ƒ ’(x) = 0 → 39 − 6x = 0 → x = 6,5 mesos és el temps de màxima cotització, ja que ƒ(x) és una funció po-linòmica de segon grau amb coefi cient de x2 negatiu.

ƒ(0) = 342; ƒ(6,5) = 468,75; ƒ(12) = 378, el moment de mínima cotització és per x = 0.

El benefi ci obtingut és 468,75 − 342 = 126,72 →

126,72 · 342100 = 37,06 %.

24. L’àrea d’un rectangle és 18 m2. Si en el seu interior hi ha un altre rectangle tal que els marges superior i inferior són de 75 cm i els marges laterals són de 50 cm, troba les dimensions del rectangle exterior per tal que l’àrea del rectangle interior sigui màxima.

75 cm

50 cm


7En x = —, f (x) presenta un mínim absolut. Per tant, el punt 2

7 71—, fvvv — 2 i el punt de la funció y = fvvv x que està a distància 2 2

mínima del punt (4, 0).

2. (Curs 2004-2005) La funció següent indica el nombre de minuts que s’aconsella de caminar diàriament en funció del nombre x de setmanes que han passat des que es va comen-çar un programa de manteniment.

f x

xx

( ) = ++

90 1005

a) Segons aquest programa de manteniment, a partir de quina setmana s’ha de caminar més d’una hora?

b) Fes un gràfi c aproximat de la funció i explica’n el creixe-ment. Quant de temps aproximadament hauria de dedi-car diàriament a caminar una persona que fa molt de temps que segueix el programa?

a) Hem de resoldre xx

590 100 60

++ 2 . Aïllant resulta x 3

202 i la seva part entera per excés és 7 setmanes.

b) El gràfi c de la funció presenta una asímptota horitzontal per ( )limy f x 90

x= =

"3 i per x = 0 pren el valor 20. La derivada

és ( ) ( )( ) ( )

( )f x xx x

x590 5 90 100

5350 02 2=

+

+ - +=

+$l i

f(x) és sempre creixent. Per tant la seva gràfi ca té la forma següent:

A mesura que passin les setmanes, el temps que cal caminar s’aproparà a 90 minuts, tot i que mai arribarà a ser exacta-ment 90 minuts, i tampoc més.

3. (Curs 2004-2005) Considera la funció f(x) = 3 − x2 i un punt de la seva gràfi ca, M, situat en el primer quadrant (x > 0, y < 0). Si pel punt M tracem paral.leles als eixos de coorde-nades, la seva intersecció amb OX i OY determina dos punts, A i B, respectivament.

a) Fes un gràfi c dels elements del problema.

b) Troba les coordenades del punt M que fa que el rectangle OAMB tingui l’àrea màxima.

En x = 100, g(x) passa de creixent a decreixent, per tant és un màxim.

x = 100 €/kg aporta el benefi ci màxim.

El benefi ci màxim serà de 0,05 €.

28. Troba els punts de la gràfi ca de la funció y2 = 4x amb y2 ≥ 0 i x ≥ 0, de manera que la distància al punt (4, 0) sigui mínima. Calcula aquesta distància.

, , ,

,

( ) ( )

y x y x x P x x Q

d P Q QP x xx x x x x

f x x x f xx x

x

x y

4 4 2 2 4 0

4 28 16 4 4 16

4 164 16

2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

2

+

+ + +

++

" "

"

" "

l

_ ^^ ] _

i hh g i

fl(x) 0

En x = 2, ƒ ’(x) passa de negativa a positiva; per tant, la fun-ció ƒ(x) passa de decreixent a creixent, en el punt x = 2 la funció presenta un mínim.

El punt solució del problema és P(2, 2 2 ).

29. Calcula el punt de la gràfi ca de la funció f(x) = e−x2 en el

qual la recta tangent té el pendent màxim.

g(x) = ƒ ’(x) = −2xe−x2

és la funció que defi neix el pendent.

g ’(x) = ƒ ’’(x) = e−x2

(−2 + 4x2) → g ’(x) = 0 → x = 21±

El valor que maximitza la funció g(x) és x = 21

y = ƒ 1 21 2 = 1

e. Per tant, el punt de la gràfi ca demanat és

P 1 21 , 1

e 2.

30. Calcula els punts de la gràfica de la funció següent

( )f xx1

12=

+ en què la tangent té pendent màxim.

g(x) = ƒ ’(x) = ( )x

x1

22 2+

→ g ’(x) = ƒ ’’(x) = ( )x

x16 2

2 3

2

+

g ’(x) = 0 → 6x2 − 2 = 0 → x = ±3

1 .

En x = −3

1 hi ha un màxim de g(x), y = ƒ1− 31 2 = 4

3 , el punt

de la gràfi ca que dóna la solució al problema és P1− 31 , 4

3 2.

Avaluació

1. Determina quin és el punt de la gràfi ca que representa la

funció y x= que és més a prop del punt P(4, 0).

y = fvvv x → P (x, fvvv x), Q (4, 0)

d (P, Q) = fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv (x − 4)2 + (fvvv x)2 = fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv x2 + 16 − 7x

f (x) = fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv x2 + 16 − 7x

2x − 7 7f ’(x) = ———————— → f ’(x) = 0 → x = — 2 fvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv x2 − 7x + 16 2

f (x)

x


b) Sigui M = (a, 3 − a2), amb a > 0. L’àrea del rectangle OAMB és S = a · (3 − a2) = 3a − a3. Per trobar-ne el mínim, re-solem S ’ = 0, és a dir, 3 − 3a2 = 0. Tenim que a = ±1. Ens quedem només amb la solució positiva, a = 1. Estem en un mínim perquè S ’ ’(1) = −6 < 0. Així, el punt M demanat és (1, 2).

a)

Documents

MATEMÀTIQUES CIÈNCIES SOCIALS APLICADES A LES 2 · PDF fileMatemàtiques aplicades a les ciències socials 2 · Batxillerat · Solucionari No és permesa la reproducció total o