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Matemática/jljf

Material Educativo

Matemática

6to grado

Carrizal, abril 2017

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Matemática/jljf

Indicadores a Evaluar

Tema XI

Identifica los miembros, los términos, la incógnita y la solución de una ecuación.

Resuelve, por tanteo y despejando la incógnita, ecuaciones sencillas en las cuales

intervienen números naturales y cuyas soluciones son números naturales.

Tema XII

Calcula regla de tres y porcentajes mentalmente y por escrito.

Tema XIII

Construye objetos con forma de prismas, pirámides y cuerpos redondos.

Tema XIV

Identifica, diferencia y calcula el área, longitudes de las figuras planas

(circunferencia, triángulos, cuadriláteros).

Tema XV

Traza mediatrices, medianas, alturas y bisectrices de un triángulo y expresa sus

relaciones con los lados o vértices del triángulo.

Tema XVI

Realiza conversiones de unidades de medidas de masa, capacidad, longitud,

superficie y volumen.

Tema XVII

Elabora e interpreta tablas y gráficos con datos obtenidos de situaciones

cotidianas.

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Tema XI: Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad en la cual aparecen constantes y términos

desconocidos llamados incógnitas o variables, relacionados mediantes operaciones.

X + 7 = 9

Lectura y escritura de una ecuación

Se enuncia la incógnita y luego se lee si la constante aumenta o disminuye según

sea el caso,

6x – 3 = 7 + 2

Despeje de una ecuación

Para que la incógnita quede despejada, hay que aislarla en un miembro de la

ecuación, aplicando las propiedades de las ecuaciones

Constantes: son los distintos

números que aparecen en

una igualdad.

Términos: son cada una de las

expresiones, separadas por

los signos + o - .

Variables: son los valores

desconocidos representados

por las letras. Las

representamos por lo general,

con las últimas letras del

alfabeto: w, x, y, z.

Esta ecuación la leemos: “Seis

veces un número disminuido

en tres es igual a siete

aumentado en dos.

Primer

miembro

Segundo

miembro

Todo término que este sumando pasa al otro miembro de la ecuación restando

X - 9 = 3

X = 3 + 9

X = 12

Todo término que este restando pasa al otro miembro de la ecuación sumando

X + 5 = 12

X = 12 - 5

X = 7

Todo término que este multiplicando pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo

6X = 18

X= 18

6

X = 3

Todo término que este dividiendo pasa al otro miembro de la ecuación multiplicando6X = 18

𝑋

6= 5

X = 5 . 6

X = 30

Despeje de ecuaciones

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ACTIVIDADES

1. Completa según corresponda

Ecuación Incógnita Términos Primer miembro Segundo Miembro

X + 1= 7 + 2 x X, 1, 7, 2 X + 1 7 + 2

2w – 2 = 12

Y + 1 = 10 X – 2 = 4

2 + w = 3 + 1

6 – x = 3

5x + 1 = 6

2. Expresa cada frase en una ecuación

a) Si duplico mi número de carritos y te regalo diez, me quedan diez

b) El triple de la edad de Carlos más dos es igual a catorce

c) La mitad de mis metras más uno es igual a seis

d) El doble de los ejercicios que realice más tres es igual a nueve

e) Cinco veces se cambia Carlos aumentado en siete días es igual a veintisiete

3. Une con una línea según corresponda

El doble de un número más cuatro es igual a seis 5 + 2x = 11

Cinco más el triple de un número es igual a veinte 2x – 4 = 6

El doble de un número menos cuatro es igual a seis 3x + 2 = 8

Cinco más el doble de un número es igual a once 5 + 3x = 20

El triple de un número más dos es igual a ocho. 2x + 4 = 6

4. Halla el valor de la incógnita

a) 2x + 12 = 24

b) 3x – 3 = 24

c) 4x = 56

d) 2x + 11 = 5 + 14

e) 𝑥

5− 36 = 30 + 4

f) Y + 3 = 11

g) X – 4 = 10

h) 1 + 6x = 37

i) W – 12 = 10 + 3

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Tema XII: Proporcionalidad, Regla de tres y Porcentaje

La Proporcionalidad: es la relación que existe entre dos cantidades llamadas

razón.

Como identificar proporciones

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando aumentan o

disminuyen simultáneamente. Ejemplo:

En la tabla se observa que, cuando aumenta el número

de cajas de bolígrafos, aumenta el número de bolígrafos.

Entonces estas magnitudes son directamente

proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una

magnitud disminuye la otra y viceversa. Ejemplo:

En la tabla se observa que, cuando aumenta el número

de personas, disminuyen el número de días para

construir parque. Entonces estas magnitudes son

inversamente proporcionales.

La Regla de tres: Es el procedimiento que permite calcular un término

desconocido de una proporción si se conocen los otros tres.

Una regla de tres es directa, si sus magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo: En una granja cuatro cochinas paren 8 cochinitos. ¿Cuántos cochinitos paren 12

cochinas?

Planteamiento Resultado

N° de Cochinas N° de cochinitos 𝑋 =

12 𝑥 8

4=

96

4 = 24 cochinitos 4 8

12 x

Una regla de tres es inversa, si sus magnitudes son inversamente proporcionales

Ejemplo: Cierta cantidad de agua dura 12 días, si se distribuye entre 4 personas. ¿Cuánto

duraría si se distribuyera entre seis personas?

Planteamiento Resultado

N° de personas N° de días 𝑋 =

4 𝑥 12

6=

48

6 = 8 días 4 12

6 x

Cajas de bolígrafos

N° de bolígrafos por cajas

1 12

2 24

3 36 4 48

5 60

N° de personas para construir

un parque

Días que tardan para construir

parque

10 30

15 20

20 15 25 12

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El Porcentaje: es una o varias partes iguales de las cien en que se ha dividido la

unidad.

Cómo calcular porcentajes

Para calcular el porcentaje que representa una cantidad de otra, se aplica la regla

de tres. Ejemplo. Calcula el 25% de 2000Bs

Planteamiento Resultado

% Bs 𝑋 =

25 𝑥2000

100=

50000

100 = 500 Bs 100 2000

25 x

ACTIVIDADES

1. Calcula los siguientes porcentajes a. 25% de 5000 b. 12% de 100 c. 50% de 9500 d. 24% de 150 e. 15% de 200

2. Resuelve e indica el tipo de proporción

a. Para preparar una torta se necesitan 6 huevos. ¿Cuántos huevos se necesitan para preparar 12 tortas?

b. Si Augusto compró 4 panes con Bs. 2000, ¿Cuánto le costó cada pan? c. Si 10 m de tela cuestan Bs. 8000, ¿Cuánto costarán 5 m de la misma tela? d. 3 cajas tienen 200 galletas. ¿Cuántas galletas hay en 12 cajas? e. El atún es un pez que vive en los mares tropicales y templados. Si un atún

nada a 24 Km por hora, ¿Cuánto nadará en 4 horas? f. Si Pedro compró 4 lápices con 500 Bolívares, ¿Cuánto le costó cada lápiz?

3. Colorea de cada cuadro los porcentajes que se indican, de acuerdo con el color.

a. Verde 20% b. Azul 40% c. Amarillo 21% d. Rojo 9% e. Naranja 10%

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Tema XIII: Cuerpos Geométricos

Un cuerpo geométrico es un elemento que ocupa un volumen en un espacio por

lo que tiene tres dimensiones (3D): alto, ancho y largo. Está compuesto por figuras

geométricas. Si miras a tú alrededor verás que hay muchas que ya conoces: dados, cubos,

pirámides, canicas, balones,… Los cuerpos geométricos están representados por poliedros

o cuerpos redondos.

Los poliedros están compuestos de figuras planas o polígonos. Estos polígonos

planos son las caras de los poliedros, los lados de estos polígonos conforman las aristas y

los puntos de corte de las aristas son los vértices. Según como sean sus caras se

pueden clasificar en: poliedros regulares, prismas, pirámides u otros poliedros.

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares y además

en cada vértice se unen el mismo número de caras.

Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras no corresponden todas a un

polígono regular y no todas son iguales. Las pirámides y los prismas son poliedros

irregulares.

Un prisma es un poliedro formado por dos bases que son polígonos iguales y

paralelos y por caras laterales que son paralelogramos

Una pirámide es un poliedro formado por una base poligonal y por caras laterales

que son triángulos. El vértice donde se unen estas caras laterales se llama cúspide.

Los Cuerpos redondos son aquellos cuerpos geométricos que se obtienen al hacer

girar una figura plana 360° alrededor de su eje que puede ser uno de sus lados o no.

El cilindro es producto de girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

El cono se obtiene del giro de un triángulo.

La esfera de girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

Cara

Vértice

Arista

¿Cuántas caras posee? 6 caras

¿Cómo son sus caras? Planas e iguales

¿Qué figuras tienen en su cara? Cuadrados

¿Cuántas aristas tienen? 12 aristas

¿Cuántos vértices tienen? 8 vértices

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ACTIVIDADES

1. Clasifica los siguientes cuerpos geométricos en redondos o poliedros

2. Señala las características de los siguientes cuerpos geométricos.

Cuerpo Geométrico

¿Cuál es su

nombre?

¿Cuántas caras

posee?

¿Cuántas aristas

tienen?

¿Cuántos

vértices tienen?

_________________ _________________ ________________

_________________ _________________ ________________

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Tema XIV: Cálculo de áreas de Polígonos

La superficie de un polígono es el espacio que ocupa la figura y que está limitado

por la línea poligonal que la forma o perímetro.

El área de un polígono es la medida de la superficie de la figura calculada a partir

de sus dos dimensiones.

El perímetro es la longitud de la línea poligonal; es decir, la suma de los lados que

la forman.

Fórmulas para calcular el área

El área de un rectángulo se calcula con la siguiente fórmula

Área▅ = base (b) · altura (h)

Por ejemplo: el área de un rectángulo de 6 cm de base

por 3 cm de altura es:

Área▅ = b · h

Área▅ = 6 cm · 3 cm

Área▅ = 18 cm2

El área de un cuadrado se calcula con la siguiente fórmula

Área= lado (l) · lado (l)

Por ejemplo: el área de un cuadrado de 6 m por lado es:

Área= l · l

Área= 6 m · 6 m

Área= 36 m2

El área de un triángulo se calcula con la siguiente fórmula

Área= base (b) · altura (h) ÷ 2

Por ejemplo: el área de un triángulo de 8 cm de base y 4 cm de

altura es:

Área= b · h ÷ 2

Área= 8 cm · 4 cm ÷ 2

Área= 32 cm ÷ 2

Área= 16 cm2

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El área de un romboide se calcula con la siguiente fórmula

Área = base (b) · altura (h)

El romboide, al igual que el cuadrado y el rectángulo, son

paralelogramos; por ello la fórmula es la misma. Sin

embargo la altura del romboide se determina de manera

diferente

Por ejemplo: el área de un romboide de 5 cm de base y 3

cm de altura es:

Área = b · h

Área = 5 cm · 3 cm

Área = 15 cm

El área de un rombo se calcula con la siguiente fórmula

Área=Diagonal Mayor (D) · Diagonal Menor (d) ÷ 2

El rombo, es un paralelogramo, pero dividido en triángulos por sus

diagonales; por ello la fórmula para calcular el área de un rombo es

similar a la del triángulo.

Por ejemplo: el área de un rombo de diagonal mayor 4,5 cm y diagonal

menor 3 cm es:

Área= D · d ÷ 2

Área= 4,5 cm · 3 cm ÷ 2

Área= 13,5 cm ÷ 2

Área= 6,75 cm2

El área de un trapecio se calcula con la siguiente fórmula

Área = base mayor (b) + base menor (a) ÷ 2 · altura (h)

El trapecio siempre tiene dos lados paralelos, uno es más

largo (base mayor) y otro es más corto (base menor).

Por ejemplo: el área de un trapecio de base mayor 6,5 cm y

base menor 3 cm y una altura de 2,5 cm es:

Área = b + a ÷ 2 · h

Área = (6,5 cm + 3 cm) ÷ 2 · 2,5 cm

Área = (9,5 cm ÷ 2) · 2,5 cm

Área = 4,75 cm · 2,5 cm

Área = 11,875 cm2

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El área de un círculo se calcula con la siguiente fórmula

Área= π · radio (r2)

El área de un círculo es igual al producto de la constante π (3,14)

por el radio del círculo elevado al cuadrado.

Por ejemplo: el área de un círculo cuyo radio es de 3 cm es:

Área= π · r2

Área= 3,14 · (3cm)2

Área= 3,14 · 9 cm2

Área= 28,26 cm2

La longitud de una circunferencia se calcula con la siguiente fórmula

Área= diámetro (d) · π

La longitud de una circunferencia es igual al producto del diámetro

(d) o 2 veces el radio (2.r) por la constante π (3,14).

Por ejemplo: el área de un círculo cuyo radio es de 2,5 cm es:

D= 2 · r

D= 2 · 2,5 cm

D= 5 cm

Longitud= d · π

Longitud= 5 cm · 3,14

Longitud= 15,70 cm

ACTIVIDADES

1. Construye un rectángulo de base 8 cm y 5 cm de alto. Calcula su área. 2. Construye un rombo cuya diagonal mayor es de 6 cm en forma vertical y 4 cm de

diagonal menor. Calcula su área. 3. Construye un cuadrado de 5,5 cm cada uno de sus lados. Calcula su área. 4. Construye un trapecio cuya base mayor es de 6 cm y base menor es de 3 cm; y una

altura de 2 cm. Calcula su área. 5. Construye un triángulo isósceles cuya base es 5cm y calcula su área 6. Traza una circunferencia de radio 4 cm. Calcula su área y longitud.

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Tema XV: Triángulos

El Triángulo es un polígono de tres lados que dan origen a tres vértices y tres

ángulos internos.

Rectas y puntos notables de un triángulo

La Mediatriz: es la recta perpendicular que se

traza al punto medio de cada lado. En un triángulo se

puede trazar tres mediatrices y todas se cortan en un

punto llamado circuncentro, el cual se encuentra a

igual distancia de cada uno de los vértices del

triángulo.

La Bisectriz: es una semirrecta que parte del

vértice y divide el ángulo en dos ángulos iguales. Las

bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se

cortan en un punto llamado incentro.

La mediana: es el segmento

trazado desde el vértice hasta el punto

medio del lado opuesto. En un

triángulo se pueden trazar tres

medianas y todas se cortan en un

mismo punto llamado baricentro.

La altura de un triángulo: es un segmento

perpendicular a un lado del triángulo o a su

prolongación, trazado desde el vértice opuesto al

lado. En un triángulo, se pueden trazar tres alturas

que se cortan en un mismo punto llamado

ortocentro.

Bisectriz

Incentro

Mediatriz

Circuncentro

Mediana

Baricentro

Altura

Ortocentro

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ACTIVIDADES

1. Construye un triángulo equilátero cuya base mide 5cm. 2. Construye un triángulo isósceles cuya base mide 4 cm. 3. Construye un triángulo escaleno, traza sus medianas y señala su baricentro.

Construye un triángulo isósceles cuya base mide 6 cm y traza una mediatriz. 4. Construye un triángulo equilátero y traza una bisectriz. 5. Construye un triángulo isósceles y traza una altura

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Tema XVII: Conversión de unidades de medidas

La conversión de unidades es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza.

Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y/o las tablas de conversión de unidades.

Unidades

Kilo Km Kg Kl Km2 Km3

Hecto Hm Hg Hl Hm2 Hm3

Deca Dam Dag Dal Dam2 Dam3

Unidad m x g ÷ l m2 m3

Deci dm Dg Dl dm2 dm3

Centi cm Cg Cl cm2 cm3

Mili mm Mg Ml mm2 mm3

Unidad de Longitud: es la unidad de medida representada por el metro.

Unidad de masa: es la unidad de medida representada por el gramo.

Unidad de capacidad: es la unidad de medida representada por el litro.

Unidad de superficie: es la unidad de medida representada por el metro cuadrado.

Unidad de volumen: es la unidad de medida representada por el metro cúbico.

Ejemplo:

Para convertir en metro cuadrado cada espacio está representado por dos ceros

Para convertir en metro cúbico cada espacio está representado por tres ceros

Para convertir

5,5 m2 a mm2, como baja en la escalera contamos los espacios y

multiplicamos por la cantidad así; 5,5 m2 x 1000000 = 5500000 mm2

Para convertir

340 cm a m, como sube en la escalera contamos los espacios y

dividimos por la cantidad así; 340 cm x 100 = 3,4 m

MASA CAPACIDAD LONGITUD SUPERFICIE VOLUMEN

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ACTIVIDADES

1. Realiza las siguientes conversiones de longitud.

a. 0,5 m a km

b. 12000 mm a dm

c. 3,65 km a hm

d. 5,6 cm a m

e. 54 km a mm

2. Realiza las siguientes conversiones de masa.

a. 25,56 g a hg

b. 20 cg a dag

c. 0,25 kg a g

d. 470 mg a g

e. 389 kg a g

3. Realiza las siguientes conversiones de capacidad

a. 25 kl a l

b. 40 ml a l

c. 22,6 l a hl

d. 50 cl a dal

e. 300 l a kl

4. Realiza las siguientes conversiones de Superficie

a. 15 km2 a m2

b. 70 mm2 a m2

c. 72,6 m2 a hm2

d. 80 cm2 a dam2

e. 600 m2 a km2

5. Realiza las siguientes conversiones de volumen

a. 200 m3 a cm3

b. 55 mm3 a km3

c. 32,4 m3 a dam3

d. 50 cm3 a dam3

e. 80 m3 a km3

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Tema XVII: Estadística

La estadística compila datos que toma del ambiente para describir y comprender los

fenómenos o sucesos. Se presentan con tablas estadísticas que registran frecuencias y se

representan mediante gráficos.

La Tabla de datos es una representación organizada de un conjunto de información.

Interpretar la información de una tabla de datos significa comparar, analizar y explicar los datos

que en ella se presentan, y luego sacar conclusiones.

Construcción e interpretación de una tabla de datos

1. En la primera columna se encuentra la variable.

2. En la segunda columna se encuentra la frecuencia absoluta, la cual expresa el número de

veces que se repite una variable.

3. En la tercera columna se encuentra la frecuencia acumulada, la cual expresa la suma de las

frecuencias absolutas anteriores.

Ejemplo: en una encuesta se responde a la siguiente pregunta: De 18 personas

encuestadas ¿Cuántos hermanos tienen cada uno en su familia?

2-1-2-1-2-3-4-2-1-4-2-0-3-2-1-2-4-3

N° de hermanos Frecuencia absoluta Frecuencia Acumulada

0 1 1

1 4 5

2 7 12

3 3 15

4 3 18

Total 18

De la información presentada en la tabla se puede concluir:

Se encuesto a 18 personas, y la mayoría de los encuestados tiene dos (2)

hermanos.

Seis personas tiene entre 3 y 4 hermanos.

Y unas personas no tienen hermanos.

Media aritmética de datos no agrupados: se obtiene sumando todos los datos y el

resultado se divide entre el total de datos. Se simboliza con �̅�.

�̅� =2+1+2+1+2+3+4+2+1+4+2+0+3+2+1+2+4+3

18=

39

18= 2,16 = 2

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Mediana de datos no agrupados: primero se ordena los datos de mayor a menor o

viceversa. Si el número de datos es impar, la mediana es el dato central. Si el número

de datos es par, la mediana es el promedio de los datos centrales.

Ejemplo: hallar la mediana de los datos dados al inicio.

Ordenados de menor a mayor

0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4

Como es un número par de datos la mediana es el promedio de los datos

centrales, es decir,

𝑀𝑑 =2 + 2

2=

4

2= 2

Media aritmética de datos agrupados: se obtiene multiplicando los datos por su

frecuencia absoluta, luego se suman los productos y el resultado se divide entre el

total de datos. Se simboliza con �̅�.

�̅� =(0𝑥1)+(1𝑥4)+(2𝑥7)+(3𝑥3)+(4𝑥3)

18=

0+4+14+9+12

18=

39

18= 2,16 = 2

Mediana de datos agrupados: se obtiene dividiendo el total de datos entre dos, y se

busca el valor de la frecuencia acumulada más cercana y mayor que este resultado.

Ejemplo de la tabla inicial. 18

2= 9

La frecuencia acumulada más cercana es 12, entonces Md = 2.

Los gráficos son muy empleados para explicar situaciones. Existen varios tipos de

gráficos para representar los datos de una investigación. Entre ellos tenemos:

El Diagrama de Barras: Se compone de dos rectas dispuesta en forma de ele, una

vertical dividida en segmentos iguales donde se colocaran las frecuencias de manera

ascendente y una recta horizontal donde se colocan los datos o clase. Sobre los datos

se trazan las barras rectangulares, del mismo ancho y separadas entre sí por igual

distancia.

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Ejemplo: Marca más usada de teléfonos en un colegio universitario.

El Diagrama de Barras: Se compone de una circunferencia donde se trazan

sectores circulares que se calculan a partir de los datos. Se representan en 360° de la

circunferencia y se aplica regla de tres.

El Diagrama de líneas: Es igual al diagrama de barras, solo que se buscan los

puntos de coincidencia de cada dato con su frecuencia correspondiente con rectas

perpendiculares a la recta de los datos y a la recta de las frecuencias. Finalmente se

unen los puntos hallados con segmentos de recta.

Marca de N° de teléfonos Sansumg 532

Iphone 162

Blu 59

Blacberry 121

Nokia 126

1000

0

100

200

300

400

500

600

Samsung Iphone Blu Blacberry NokiaNú

mer

o d

e te

léfo

no

s

Marcas

Marcas de Teléfonos más usados en un Colegio Universitario

Samsung

Iphone

Blu

Blacberry

Nokia

0

100

200

300

400

500

600

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El Histograma: Es similar al diagrama de barras. Sobre los datos se trazan las

barras rectangulares, del mismo ancho pero sin separación entre ellas.

ACTIVIDADES

1. Datos no agrupados La cantidad de veces que visita un grupo de personas un teatro anualmente es la

siguiente:

1-2-2-1-3-4-3-3-2-1-1-2-3-2-1

¿De cuánto es el número de personas? ____________________________

¿Cuál es el promedio de visitas al teatro anualmente?________________

¿Cuál es la mediana de los datos? _______________________________

2. Realiza una tabla de datos y responde En una campaña de promoción turística, se entrevistó a un grupo de personas

acerca de que sitio visitan en vacaciones y se obtuvo el siguiente conteo: La playa

10, la montaña 6, los médanos 8, el río 3, la ciudad 1

El sitio turístico más visitado es _______________________________ Hay una persona que visita la ________________________________ 27 personas no visitan la ____________________________________ Solo ______________ personas visitan el río.

0

100

200

300

400

500

600

Samsung Iphone Blu Blacberry Nokia

Nú

mer

o d

e Te

léfo

no

s

Marcas

Marcas de teléfonos más usados en un colegio universitario

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3. Completa la tabla y responde Un banco realiza una encuesta acerca de cuantas veces se dirigen sus clientes al

banco diariamente, y se obtuvieron los siguiente datos: 1-1-2-1-4-0-0-2-1-3-3-2-1-

0-0-2-1-1-1-0

N° de visitas al

banco (f)

Conteo Frecuencia absoluta

(fa)

Frecuencia Acumulada

0 5 5

1 8

2

3

4

Total ---------------------------- -----------------------------

¿Cuántas personas fueron encuestadas? ___________________________

¿Cuántas personas van al banco más de dos veces? ___________________

¿Cuántas personas no van al banco? _______________________________

¿Cuál es el promedio de personas que vistan el banco? ________________

¿Cuál es la mediana? ___________________________________________

Elabora un diagrama de barra