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Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 Conceptos generales

3.2 Operaciones matriciales

3.3 Tipos de matrices

3.4 Determinantes

3.5 Matriz inversa

3.6 Rango y traza

3.7 Matrices particionadas

3.8 Sistemas de ecuaciones lineales

Matem¶aticas Matrices y determinantes 33

3 MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 CONCEPTOS GENERALES

3.1.1 DEFINICI¶ON

Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una

aplicaci¶on:

A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng ¡! IK

(i; j) 7¡! aij:

La matriz A suele representarse por

A = (aij)1·i·m1·j·n

=

0BBBBBBBB@

a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1na21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn

1CCCCCCCCA

y se dice que es de orden m£ n .

² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos

ai1; ai2; : : : ; ain.

² La columna j-¶esima de la matriz A es la formada por los

elementos a1j; a2j; : : : ; amj.

² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij.

NOTACI¶ON: Se denota porMm£n(IK) el conjunto de las matrices

de orden m£ n con elementos en IK .


Sean A;B 2 Mm£n(IR); A = (aij)1·i·m1·j·n

; B = (bij)1·i·m1·j·n

.

Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i 2 f1; : : : ;mg8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .

3.2 OPERACIONES MATRICIALES

3.2.1 SUMA DE MATRICES

Sean A;B 2 Mm£n(IK); A = (aij)1·i·m1·j·n

; B = (bij)1·i·m1·j·n

. Se

de¯ne A+ B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij)1·i·m1·j·n

tal que

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij:

3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. 8A;B; C 2 Mm£n(IK) (A+ B) + C = A + (B + C).

2. 9 O = (0ij)1·i·m1·j·n

2 Mm£n(IK) (matriz nula), tal que

8A 2 Mm£n(IK) A +O = O +A = A.

3. 8A 2 Mm£m(IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que

A + (¡A) = (¡A) + A = O:

(¡A = (¡aij)1·i·m1·j·n

).


4. 8A;B 2 Mm£n(IK) A +B = B +A.

3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij)1·i·m1·j·n

, y ¸ 2 IK. Se de¯ne

¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij)1·i·m1·j·n

, tal que

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij:

3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES

8A;B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK

1. ¸(A+ B) = ¸A+ ¸B.

2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.

3. (¸¹)A = ¸(¹A).

4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).

3.2.5 OBSERVACI¶ON:

(Mm£n(IK);+; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on

mn.


3.2.6 PRODUCTO DE MATRICES

Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p(IK) , donde A = (aij)1·i·m1·j·n

,

B = (bij)1·i·n1·j·p

. Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p(IK); con C =

(cij)1·i·m1·j·p

tal que:

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij =nX

k=1aikbkj:

3.2.7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. 8A 2 Mm£n(IK);8B 2 Mn£p(IK); 8C 2 Mp£q(IK)

(AB)C = A(BC):

2. 8A;B; C 2 Mn£n(IK)

A(B + C) = AB +AC

(B + C)A = BA + CA:

3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK)

AIn = InA = A;

donde:

In =

0BBBBBBBB@

1 0 ¢ ¢ ¢ 00 1 ¢ ¢ ¢ 0. . . . . . . . . .

0 0 ¢ ¢ ¢ 1

1CCCCCCCCA

:


4. 8A 2 Mm£n(IK);8B 2 Mn£p(IK); 8¸; ¹ 2 IK

(¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):

3.2.8 TRASPOSICI¶ON DE MATRICES

Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij)1·i·m1·j·n

. Se de¯ne matriz tras-

puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m(IK), como At =µa0ij

¶

1·j·n1·i·m

tal que

8i 2 f1; : : : ;mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:

3.2.9 PROPIEDADES DE LA TRASPOSICI¶ON DE MATRICES

Sean A 2 Mm£n(IK) y ¸ 2 IK.

1. (In)t = In.

2. (At)t= A.

3. (¸A)t = ¸At.

4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A +B)t = At + Bt.

5. Si B 2 Mn£p(IK), entonces (AB)t = BtAt.


3.3 TIPOS DE MATRICES

3.3.1 DEFINICIONES

1. Matriz ¯la: posee una ¶unica ¯la.

(a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK):

2. Matriz columna: posee una ¶unica columna.0BBBBBBBB@

a11a21...

am1

1CCCCCCCCA

2 Mm£1(IK):

3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶umero de ¯las

que de columnas, m = n .

A =

0BBBBBBBB@

a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1na21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n. . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann

1CCCCCCCCA

:

² aii; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales.² A es una matriz diagonal si y s¶olo si los elementos no dia-

gonales son nulos: i 6= j ) aij = 0.

² Una matriz es escalar si y s¶olo si es diagonal y todos loselementos diagonales son iguales entre s¶³.

² Una matriz es triangular inferior si y s¶olo si los elementospor encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0.


² Una matriz es triangular superior si y s¶olo si los elementospor debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0.

4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶olo si A2 = A.

5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶olo si existe m 2 IN tal

que Am = O.

6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶etrica si y s¶olo si At = A , es decir, si

A = (aij)1·i·n1·j·n

:

8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji:

7. A 2 Mn£n(IK) es antisim¶etrica si y s¶olo si At = ¡A , esdecir, si A = (aij)

1·i·n1·j·n

:

8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji:

3.4 DETERMINANTES

El determinante es una aplicaci¶on

det : Mn£n(IK) ¡! IK

A 7¡! detA

tal que

² Para n = 1 y A = (a) : detA = a.


² Para n = 2 y A =0B@a11 a12a21 a22

1CA : detA = a11a22 ¡ a12a21.

² Para n = 3 y A =

0BBBBB@

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1CCCCCA:

detA = a11a22a33+a21a32a13+a31a23a12¡a13a22a31¡a23a32a11¡a33a21a12:

3.4.1 DEFINICIONES

² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes delas submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el

mismo n¶umero de columnas.

² Se llama menor complementario del elemento aij de una ma-

triz cuadrada, que denotamos por Mij, al determinante de la

matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j.

² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+jMij.

² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2Mn£n(IK) que tiene por elementos los adjuntos de los elemen-tos de A .

3.4.2 DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DEUNA FILA O COLUMNA

Sea A = (aij)1·i·n1·j·n

2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante

viene dado por:


² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : detA =nX

k=1aikAik.

² Desarrollo por los elementos de la columna j : detA =nX

k=1akjAkj.

3.4.3 PROPIEDADES

Sean A;B 2 Mn£n(IK).

1. det(A) = det(At).

2. Si se intercambian entre s¶³ dos ¯las (o columnas), el determi-

nante cambia de signo.

3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determi-

nante es cero.

4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar

¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por

detA.

5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸n detA.6. El determinante de una matriz no var¶³a si a una ¯la (o columna)

se le suma una combinaci¶on lineal de las restantes.

7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante

es nulo.

8. det(AB) = detA detB.

NOTA: Habitualmente, det(A + B) 6= detA+ detB.


3.5 MATRIZ INVERSA

3.5.1 DEFINICI¶ON

Sea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existe

B 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, Bse llama matriz inversa de A y se denota por A¡1.

Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular.

3.5.2 PROPIEDADES

Sean A;B 2 Mn£n(IK).

1. A es inversible si y s¶olo si detA 6= 0.

2. Si A es inversible, entonces det(A¡1) =1

detA.

3. Si A es inversible, entonces A¡1 es ¶unica y viene dada por

A¡1 =1

detA(A?)t.

4. In es inversible y I¡1n = In.

5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1)¡1= A.

6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es

inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1.

7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y

(AB)¡1 = B¡1A¡1.

8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At)¡1=

(A¡1)t.


3.5.3 DEFINICI¶ON

A 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶olo si es inversible y A¡1 = At.

3.6 RANGO Y TRAZA

3.6.1 DEFINICI¶ON

Sean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij)1·i·m1·j·n

; i 2 f1; : : : ;mg;

j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores ¹fi = (ai1; ai2; : : : ; ain);vector ¯la i-¶esima de A y ¹cj = (a1j; a2j; : : : ; amj); vector columna

j-¶esima de A.

Se denomina rango de A por ¯las al n¶umero m¶aximo de vectores

¯la linealmente independientes.

An¶alogamente se denomina rango de A por columnas al n¶umerom¶aximo de vectores columna linealmente independientes.

3.6.2 TEOREMA DEL RANGO

En cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por colum-

nas.

NOTA: El rango de una matriz A , se denota por rg(A).

3.6.3 TEOREMA (Caracterizaci¶on del rango mediante determinantes)

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.


3.6.4 COROLARIO

Sean ¹u1; : : : ; ¹un 2 IKn.

1. ¹u1; : : : ; ¹uk, con k · n, son linealmente independientes si

y s¶olo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o

columna) a ¹u1; : : : ; ¹uk.

2. ¹u1; : : : ; ¹uk, con k · n, son linealmente dependientes si y s¶olo

si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna)

a ¹u1; : : : ; ¹uk.

3. ¹u1; : : : ; ¹un son vectores linealmente dependientes si y s¶olo si

detA = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a

¹u1; : : : ; ¹un.

3.6.5 PROPIEDADES

1. Cambios en una matriz que no var¶³an el rango:

(a) Intercambiar ¯las entre s¶³ (columnas).

(b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos.

(c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶on lineal de

otras.

(d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por

un n¶umero distinto de cero.

(e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶on lineal de las

restantes.

2. Si A 2 Mm£n(IK), entonces rg(A) · minfm; ng.


3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n.

4. rg(In) = n.

5. rg(O) = 0.

6. Si A 2 Mm£n(IK); entonces rg(A) = rg(At).

7. Si A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p(IK), entonces

rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g:

3.6.6 DEFINICI¶ON

Sea A 2 Mn£n(IK), donde A = (aij)1·i·n1·j·n

. Se de¯ne traza de

A, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal

de A, es decir,

tr(A) =nX

i=1aii:

3.6.7 PROPIEDADES

Sean A;B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK.

1. tr(At) = tr(A).

2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A).

3. tr(A+ B) = tr(A) + tr(B).

4. tr(AB) = tr(BA).


3.7 MATRICES PARTICIONADAS

Sean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ;mr; n1; : : : ; ns 2 IN conrX

i=1mi = m

ysX

j=1nj = n. La matriz A puede representarse como:

A =

0BBBBB@

A11 ¢ ¢ ¢ A1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars

1CCCCCA

donde Aij 2 Mmi£nj(IK).

Se dice que A est¶a particionada en rs bloques por

(m1; : : : ; mr;n1; : : : ; ns):

3.7.1 OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS

² Suma:Sean A;B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por(m1; : : : ;mr;n1; : : : ; ns) ,

A =

0BBBBB@

A11 ¢ ¢ ¢ A1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars

1CCCCCA; B =

0BBBBB@

B11 ¢ ¢ ¢ B1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Br1 ¢ ¢ ¢ Brs

1CCCCCA

Entonces, A+ B =

0BBBBB@

A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs

1CCCCCA:


² Producto por escalares:Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr;

n1; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces

¸A =

0BBBBB@

¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars

1CCCCCA:

² Producto de matrices:Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p(IK) matrices parti-cionadas por (m1; : : : ;mr;n1; : : : ; ns) y (n1; : : : ; ns; p1; : : : ; pk) ,

respectivamente, entonces C est¶a particionada por (m1; : : : ;mr;

p1; : : : ; pk)

C = AB =

0BBBBB@

C11 ¢ ¢ ¢ C1k¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk

1CCCCCA;

donde Cij =sX

l=1AilBlj.

3.7.2 PROPOSICI¶ON

Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1; n2;n1; n2),

A =

0B@A11 A12A21 A22

1CA :

Si A12 = O 2 Mn1£n2(IK) o A21 = O 2 Mn2£n1(IK), entonces

detA = detA11 detA22.


3.7.3 INVERSA PARTICIONADA

Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1; n2;n1; n2)

A =

0B@A11 A12A21 A22

1CA :

Si A22 es regular, entonces

A¡1 =

0B@B11 B12B21 B22

1CA ;

donde:

B11 = (A11 ¡ A12A¡122 A21)

¡1;

B21 = ¡A¡122 A21B11;

B12 = ¡B11A12A¡122 ;

B22 = A¡122 ¡ A¡1

22A21B12:

Si A11 es regular, entonces

A¡1 =

0B@C11 C12C21 C22

1CA ;

donde:

C11 = A¡111 +A

¡111 A12C22A21A

¡111 ;

C12 = ¡A¡111 A12C22;

C21 = ¡C22A21A¡111 ;

C22 = (A22 ¡A21A¡111 A12)

¡1:


3.8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.8.1 DEFINICI¶ON

Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas a

un conjunto de ecuaciones de la forma:

a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm

donde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij; bi 2 IR .

² aij son los coe¯cientes del sistema.² bi son los t¶erminos independientes del sistema.

² xj son las inc¶ognitas del sistema.

Se denomina soluci¶on del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn) que

veri¯ca las siguientes igualdades:

a11s1 + a12s2 + ¢ ¢ ¢ + a1nsn = b1

a21s1 + a22s2 + ¢ ¢ ¢ + a2nsn = b2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢am1s1 + am2s2 + ¢ ¢ ¢ + amnsn = bm

Formamatricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas:0BBBBBBBB@

a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1na21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn

1CCCCCCCCA

0BBBBBBBB@

x1x2¢xm

1CCCCCCCCA

=

0BBBBBBBB@

b1b2¢bm

1CCCCCCCCA

; o bien A¹x = ¹b;


donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del sis-tema, ¹x 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶ognitas del sistema y¹b 2 Mm£1(IK) el vector de t¶erminos independientes del sistema.

Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones en funci¶on del conjunto

de soluciones:

1. Incompatible: cuando no admite soluci¶on.

2. Compatible: cuando admite soluci¶on. A su vez puede ser:

(a) Determinado: cuando admite una ¶unica soluci¶on.

(b) Indeterminado: cuando admite m¶as de una soluci¶on.

Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶erminos

independientes:

1. Homog¶eneo: el vector ¹b es nulo.

2. No homog¶eneo: al menos alguna de las componentes de ¹b esdistinta de cero.

Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se repre-

senta por (Aj¹b) , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz Ala matriz columna ¹b. Por tanto, (Aj¹b) 2 Mm£(n+1)(IK) y tomala forma:

(Aj¹b) =

0BBBBBBBB@

a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n b1a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm

1CCCCCCCCA

:


3.8.2 TEOREMA DE ROUCH¶E-FROBENIUS

Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas es:

1. Compatible si y s¶olo si rg(A) = rg(Aj¹b) . Adem¶as,(a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado.

(b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado.

2. Incompatible si y s¶olo si rg(A) < rg(Aj¹b) .

3.8.3 OBSERVACI¶ON

Todos los sistemas homog¶eneos de la forma A¹x = ¹0 son compati-

bles, rg(A) = rg(Aj¹0), y siempre admiten como soluci¶on:

x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0;

denominada soluci¶on trivial.

El sistema homog¶eneo A¹x = ¹0 de m ecuaciones lineales con n

inc¶ognitas:

² S¶olo tiene soluci¶on trivial si rg(A) = n.² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.

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