Nombre: Sebastián CedeñoCurso: 3ro BGU Ciencias “B”

Matriz inversa

Si pre multiplicamos (multiplicamos por la izquierda) o pos multiplicamos (multiplicamos por la derecha) una matriz cuadrada por su inversa obtenemos la matriz identidad.

A · A−1 = A−1 · A = I

Propiedades

1. (A · B)−1 = B−1 · A−1

2. (A−1)−1 = A3. (k · A)−1 = k−1 · A−1

4. (At)−1 = (A−1)t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:

1. Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria:

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

Nombre: Sebastián CedeñoCurso: 3ro BGU Ciencias “B”

2. Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

F2 = F2 − F1

F3 = F3 + F2

F2 = F2 − F3

F1 = F1 + F2

F2 = (−1) F2

La matriz inversa es:

Nombre: Sebastián CedeñoCurso: 3ro BGU Ciencias “B”

Cálculo de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una fila (o columna) si :Todos sus coeficientes son ceros.Hay dos filas (o columnas) iguales.Una fila (o columna) es proporcional a otra.Una fila (o columna) es combinación l ineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación l ineal de las dos primeras: c 3 = c1 + c2 .

2. Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para el lo se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango mayor o igual que 2 s i existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz

cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos tiene rango menor que 3 , por tanto r (B) = 2 .