23Catedral de Maringá

Maximizar el volumen de un cilindro

Hasta inicios del siglo XX toda la región del norte del Paraná en elBrasil, era poco explorada, lo único que se escuchaba por parte de losemigrantes que se aventuraban por la región es que esas eran tierrassalvajes, de grandes bosques y del gran río Paraná, pero el gobiernobrasileño hacía constantes intentos por poblar dicha región.

En 1923, gracias a la intervención de compañías inglesas que fuerona invertir capital en el Brasil en el ámbito arícala, se crea la empresa deMejoras del Norte del Paraná. Dicha empresa obtuvo también losrespectivos permisos y concesiones que le permitían realizar la venta ycolonización de tierras; es así que a lo largo de décadas funda 63ciudades y patrimonios los cuales se desarrollaron en torno a la compra venta de tierras y al cultivo de algodón, café, caña de azúcar, trigo,maíz y soya.

Polacos, alemanes, ingleses, italianos, japoneses, afrosdescendientes y los propios indígenas nativos fueron quienes con elpaso de los años poblaron Maringá una de las ciudades que presentaronmayor crecimiento y desarrollo, por lo que en 1943 fue solicitado alarquitecto José Macedo Vieira el planeamiento urbano de la ciudad y a

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él fueron demandadas amplias calles, plazas y parques con lapreocupación de preservar las áreas verdes y vegetación existente.

Sin embargo a pesar del crecimiento poblacional y del desarrollourbano, la población tenía que desplazarse hasta las capillas de lashaciendas cercanas para oír misa los domingos o a la iglesia se SantaCatarina, construida totalmente en madera.

Es entre la década de los 50 y 60 que la ciudad alcanza su mayordesarrollo y el arzobispo Don Jaime Luiz Coelho contrata al arquitectobrasilero José Augusto Bellucci, para que diseñe y construyaLa Catedral Basílica Menor de Nuestra Señora de la Gloria deMaringá o simplemente Catedral de Maringá.

El proyecto arquitectónico inicia en 1958 y estuvo fuertementeinfluenciado por los acontecimientos históricos del momento, tuvo unamuy peculiar inspiración para una iglesia ya que es probablemente laúnica en el mundo basada en la forma de un misil balístico espacial.

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Esta inspiración proviene del proyecto que lanzo al espacio alprimer satélite espacial de la ex Unión Soviética, el Sputnik que estuvoen órbita en 1957 .

La noticia de que el Sputnik orbitaba el planeta, pasando sobre elterritorio del Paraná cada 92 minutos y a una velocidad de 18000millas por hora, generó un gran impacto en la sociedad aun fuertementerural de la época.

Curiosamente Bellucci creyó que el Sputnik compaginaba con elproyecto de una ciudad moderna y de una iglesia futurista.

Para el diseño, el arquitecto tomó como estructura principal un cono recto circular de 114 metros de altura, pues este es el número de losprimeros emigrantes y pobladores de la ciudad ,y 50 metros dediámetro en la base , ya que es la década del siglo XX en la que empezóla construcción de la catedral, pero para colocar las columnas que lasostengan desde el interior, se determinó que estas debían estardispuestas de forma que se tenga un cilindro circular recto que sea devolumen máximo posible, ésto representa la cápsula en elSputnik,cápsula cilindrica en la que estaba el primer ser vivo que orbitóel planeta tierra, la perrita Laika. Así en la catedral esta cápsulacilíndrica pretende abrigar a la mayor cantidad de almas desoladas,almas que están en espera del día del jucio final en el que para que ellasllegue la gracia del Señor una vez que hayan resucitado.

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Ahora, antes de proceder, apliquemos un poco de intuición. Si elradio r del cilindro fuese cercano al radio de la base b del cono,entonces el volúmen del cilindro sería cercano a cero. Ahora imaginacilindros inscritos cuya altura aumenta, pero su radio dirminuye. Alprincipio los volúmenes aumentarán a partir de cero, pero despuesdisminuirán hacia cero cuando la altura de los cilindros fuese cercano ala altura del cono. De manera intuitiva, el volúmen debe ser máximopara algún cilindro cuyo radio r esté comprendido entre 0 y el radio dela base del cono b. Este cilindro es justamente el que se busca. Ayúdaleal arquitecto con esta dificil tarea.

El volumen del cilindro inscrito es

(1)V(r,h)=r2h

Por semejanza de trángulos

Se tiene que

a-hr = a

b

Del cual despejando h se tiene

(2)h=a arb

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Cuando sustituimos (2) en (1), obtenemos

V(r)=r2(a arb )

que es equivalente a

(3)V(r)=ar2 r3 ab

Queremos maximizar V para r en el intervalo [0,b]. Ahora por latécnica de Jean D´Alembert que expresa

(4)dVdr r0

lim V(r+rV(rr

Para la ecuación (3) se tiene

Ahora resolviendo algebráicamente los paréntesis de la expresiónanterior se tiene que

dVdr r0

lima r22rrr2 1

b (r33rr23r2rr3)r2 r3b

r

De donde al operar términos semejantes

dVdr r0

lima r22rr 1

b r3 1b 3rr2 1

b 3r2rr

Si sacamos factor común , se obtiemer

dVdr r0

limar r2r 1

b r2 3rb r 1

b 3r2

r

Ahora simplificando términos semejantes y aplicando el límiteresulta

dVdr a 2r 3r2

bQue es equivalente a

dVdr a2r3ar2 1

bAhora para maximizar o minimizar una función, se debe igualar la

finción derivada a 0 (5)0 a2r3ar2 1

bSustituyendo los vlores conocidos en la ecuación (5) se tiene

0 2144r3144 r2

25

5

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Es decir0 228r 342

25 r2

Exprayendo factor común de la anterior igualdad se tiene0 r(228 342

25 r)Por lo que resolviendo la ecuación para la variable r se obtienen dos

raices, luego de hacer los respectivos cálculos y r 0 r 2

3 25Pero si r=0 el volumen del cilindro no es el máximo, por lo tanto se

considera la segunda raiz, es decir =16.667r 2

3 25Entonces el volumen máximo para el cilindro es

V16.667 14416.6672 16.6673 14425 33161, 125m3

Anota tu respuesta :

El volumen máximo del cilindro es 33161,125 , que se obtienem3

cuando el radio r del cilindro es 16.667m.

Es decir las columnas de la basílica deben estar dispuestas, demodo que formen un cilindro de radio 16,667m, en el centro de labasílica y con una altura h de 37,998m.

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