Mecanica de los medios continuos · MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS 2ª Edición Leandro Alloza Cerdá Ingeniero de Caminos Ingeniero Técnico de O.P. Profesor Titular de la U.P.A

MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS

2ª Edición

Leandro Alloza Cerdá Ingeniero de Caminos Ingeniero Técnico de O.P.

Profesor Titular de la U.P.A.

Título: Mecánica de los medios continuos 2ª Edición. Autor: © Leandro A. Alloza Cerdá I.S.B.N.: 84-8454-365-X Depósito legal: A-681-2004 1ª edición: Editorial Club Universitario - Alicante, 1995 ISBN 1ª edición: 84-8952-206-5 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 965 67 38 45 C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

A mi esposa Pilar por su paciencia.

Alicante, 2004

ÍNDICE CAPÍTULO I: MAGNITUDES Y UNIDADES .................................... 11

I.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LA MECÁNICA.............................. 11 I.2 MAGNITUDES..................................................................................... 12 I.3 MAGNITUDES ESCALARES ................................................................. 12 I.4 SISTEMAS DE UNIDADES .................................................................... 12 I.5 ANÁLISIS DIMENSIONAL .................................................................... 13 I.6 ELECCIÓN DEL SISTEMA DE UNIDADES FUNDAMENTALES ................ 14 I.7 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL ........................................................ 19 EJERCICIOS.......................................................................................... 21

CAPÍTULO II: MAGNITUDES VECTORIALES............................... 23 II.1 MAGNITUDES VECTORIALES ............................................................ 23 II.2 DEFINICIÓN DEL VECTOR ................................................................. 23 II.3 NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LOS VECTORES.......................... 23 II.4 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES .................................................. 24 II.5 IGUALDAD DE VECTORES ................................................................. 24 II.6 SUMA DE VECTORES LIBRES............................................................. 25 II.7 RESTA DE VECTORES........................................................................ 25 II.8 VECTOR NEUTRO DE LA SUMA ......................................................... 25 II.9 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL .......................... 25 II.10 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES ............................................... 26 II.11 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES ........................................... 26 II.12 PRODUCTO DE TRES VECTORES ...................................................... 27 II.13 COCIENTE DE VECTORES ................................................................ 27 EJERCICIOS.......................................................................................... 28

CAPÍTULO III: ÁLGEBRA VECTORIAL.......................................... 29 III.1 ÁLGEBRA VECTORIAL ..................................................................... 29 III.2 EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR........................................... 29 III.3 VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS .............................................. 31 III.4 VECTOR DEFINIDO POR SU MÓDULO Y DOS PUNTOS DE SU RECTA BASE.. 32 III.5 SUMA Y RESTA DE VECTORES LIBRES ............................................. 32 III.6 IGUALDAD DE VECTORES LIBRES.................................................... 32 III.7 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES LIBRES.................................... 33 III.8 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES LIBRES ................................ 33 III.9 TRIPLE PRODUCTO O PRODUCTO MIXTO DE VECTORES LIBRES ...... 34 III.10 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ......................................... 35 III.11 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA ....................................... 36 III.12 MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN EN EL ESPACIO... 36 III.13 NOCIONES DE FUNCIONES VECTORIALES...................................... 37

III.14 DERIVACIÓN VECTORIAL .............................................................. 38 EJERCICIOS.......................................................................................... 39

CAPÍTULO IV: CAMPO VECTORIAL............................................... 41 IV.1 CAMPO VECTORIAL......................................................................... 41 IV.2 MOMENTO CENTRAL DE UN VECTOR .............................................. 41 IV.3 MOMENTO ÁXICO DE UN VECTOR................................................... 43 IV.4 SISTEMAS DE VECTORES ................................................................. 44 IV.5 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS VECTORIALES........................... 45 IV.6 CASOS PARTICULARES .................................................................... 48 IV.7 EQUIVALENCIA DE SISTEMAS ......................................................... 51 IV.8 REDUCCIÓN DE SISTEMAS............................................................... 51 IV.9 INVARIANTES DE UN SISTEMA ........................................................ 52 IV.10 OPERACIONES POSIBLES CON VECTORES...................................... 52 EJERCICIOS.......................................................................................... 53

CAPÍTULO V: FUERZAS...................................................................... 55 V.1 CONCEPTO DE FUERZA..................................................................... 55 V.2 SISTEMAS DE FUERZAS..................................................................... 55 V.3 OPERACIONES POSIBLES CON FUERZAS............................................ 55 V.4 CONDICIONES DE EQUILIBRIO .......................................................... 56 V.5 SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARIOS ............................................. 56 V.6 POLÍGONO FUNICULAR..................................................................... 59 V.7 POLÍGONO FUNICULAR QUE PASA POR DOS PUNTOS ........................ 61 V.8 POLÍGONO FUNICULAR QUE PASA POR TRES PUNTOS....................... 63 V.9 CONDICIONES GRÁFICAS DE EQUILIBRIO ......................................... 64 V.10 DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS...................................................... 65 EJERCICIOS.......................................................................................... 67

CAPÍTULO VI: CENTRO DE MASAS ................................................ 75 VI.1 FUERZAS CONCENTRADAS Y DISTRIBUIDAS ................................... 75 VI.2 CENTRO DE FUERZAS PARALELAS .................................................. 75 VI.3 CENTRO DE GRAVEDAD .................................................................. 77 VI.4 MOMENTOS ESTÁTICOS .................................................................. 79 VI.5 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN ..................................................... 79 EJERCICIOS.......................................................................................... 81

CAPÍTULO VII: MOMENTOS DE ORDEN N ................................... 85 VII.1 INTRODUCCIÓN.............................................................................. 85 VII.2 MOMENTOS DE PRIMER ORDEN ..................................................... 86 VII.3 VARIACIÓN DEL MOMENTO ESTÁTICO .......................................... 87 VII.4 MOMENTOS DE INERCIA ................................................................ 89 VII.5 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS ............................................... 90 VII.6 MOMENTOS DE INERCIA DE VOLÚMENES ...................................... 92 VII.7 RADIOS DE GIRO DE MASAS Y VOLÚMENES................................... 92

VII.8 TEOREMA DE STEINER................................................................... 93 VII.9 MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN.... 94 VII.10 ELIPSOIDE DE INERCIA................................................................. 95 EJERCICIOS.......................................................................................... 98

CAPÍTULO VII.A: M. I. DE SUPERFICIES ..................................... 101 VII.A.1 MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIES ................................ 101 VII.A.2 TRASLACIÓN DE EJES. TEOREMA DE STEINER......................... 102 VII.A.3 GIROS DE EJES. EJES PRINCIPALES DE INERCIA ....................... 103 VII.A.4 EXPRESIÓN MATRICIAL DE LOS M.I EN EL GIRO DE LOS EJES.. 105 VII.A.5 CÍRCULO DE MOHR.................................................................. 107 VII.A.6 ELIPSE DE INERCIA .................................................................. 109 EJERCICIOS........................................................................................ 116

CAPÍTULO VIII: HIDROSTÁTICA .................................................. 121 VIII.1 PRESIÓN EN EL SENO DE UN FLUIDO EN REPOSO ........................ 121 VIII.2 PRESIÓN EN UN PUNTO DEL SENO DE UN FLUIDO EN REPOSO......... 121 VIII.3 ECUACIÓN GENERAL DE LA VARIACIÓN DE PRESIÓN ................. 122 VIII.4. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A UN LÍQUIDO PESADO ... 123 VIII.5 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD EN UN LÍQUIDO... 123 VIII.6 CENTRO DE PRESIONES .............................................................. 124 VIII.7 EMPUJES SOBRE SUPERFICIES CURVAS....................................... 126 VIII.8 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. FLOTACIÓN .................................. 127 VIII.9 ESTABILIDAD DE LAS FLOTACIONES .......................................... 128 EJERCICIOS........................................................................................ 129

CAPÍTULO IX: EMPUJE DEL TERRENO ...................................... 135 IX.1 PERFIL DE EQUILIBRIO DE UN TERRENO........................................ 135 IX.2 TIPOS DE EMPUJES DEL TERRENO ................................................. 135 IX.3 CLASES DE TERRENOS................................................................... 136 IX.4 TEORÍA DE RANKINE..................................................................... 137 IX.5 TEORÍA DE COULOMB................................................................... 137 IX.6 LÍNEA DE CULMAN ....................................................................... 152 EJERCICIOS........................................................................................ 155

CAPÍTULO X: ROZAMIENTO .......................................................... 161 X.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................. 161 X.2 ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO ............................................... 161 X.3 PLANOS INCLINADOS...................................................................... 164 X.4 CUÑAS............................................................................................ 165 X.5 RESISTENCIA A LA RODADURA ...................................................... 166 EJERCICIOS........................................................................................ 169

CAPÍTULO XI: TRABAJO.................................................................. 175 XI 1 INTRODUCCIÓN ............................................................................. 175

XI.2 TRABAJO....................................................................................... 175 XI.3 TRABAJO REALIZADO POR UN MOMENTO APLICADO A UN CUERPO........ 177 XI.4 TRABAJO DE LAS FUERZAS DE GRAVEDAD ................................... 179 XI.5 CAMPOS DE FUERZAS.................................................................... 180 XI.6 TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES ..................................... 182 XI.7 DIAGRAMAS DE DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES.......................... 184 XI.8 ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO ..................................................... 186 EJERCICIOS........................................................................................ 187

CAPÍTULO XII: GRADOS DE LIBERTAD...................................... 191 XII.1 INTRODUCCIÓN............................................................................ 191 XII.2 GRADOS DE LIBERTAD................................................................. 191 XII.3 SISTEMAS DE CUERPOS................................................................ 193

CAPÍTULO XIII: ENLACES............................................................... 195 XIII.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................... 195 XIII.2 ENLACES EN SISTEMAS PLANOS ................................................. 195 XIII.3 ENLACES EN SISTEMAS ESPACIALES .......................................... 199

CAPÍTULO XIV: HIPERESTATICIDAD DE SISTEMAS.............. 203 XIV.1 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS, ISOSTÁTICOS Y MECANISMOS............... 203 XIV.2 HIPERESTATICIDAD EXTERNA DE LOS SISTEMAS....................... 203 XIV.3 HIPERESTATICIDAD DE CONSTITUCIÓN DE LOS SISTEMAS................. 204 XIV.4 GRADO DE HIPERESTATICIDAD TOTAL DE LOS SISTEMAS.................. 204 XIV.5 CÁLCULO DE REACCIONES EN SISTEMAS ISOSTÁTICOS ............. 205 EJERCICIOS........................................................................................ 216

CAPÍTULO XV: ESFUERZOS INTERNOS...................................... 219 XV.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................... 219 XV.2 FUERZAS INTERNAS..................................................................... 219 XV.3 SOLICITACIONES ......................................................................... 220 XV.4 CONVENIO DE SIGNOS ................................................................. 222 XV.5 RELACIONES ENTRE LOS ESFUERZOS DE UNA REBANADA................ 223 XV.6 DIAGRAMAS DE ESFUERZOS INTERNOS ...................................... 225 EJERCICIOS........................................................................................ 226

CAPÍTULO XVI: APLICACIONES DE T.V. A SISTEMAS ........... 237 XVI.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................... 237 XVI.2 APLICACIÓN DE T. V A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS ISOSTÁTICAS. 237 XVI.3 APLICACIÓN DE T.V. A LAS ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS 238 XVI.4 SISTEMAS DE CUERPOS .............................................................. 239 EJERCICIOS........................................................................................ 241

CAPÍTULO XVII: ESTRUCTURAS ARTICULADAS .................... 243 XVII.1 INTRODUCCIÓN......................................................................... 243

XVII.2 ORIGEN ..................................................................................... 243 XVII.3 BARRAS Y NUDOS ..................................................................... 245 XVII.4 ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS..................................... 245 XVII.5 GRADO DE HIPERASTICIDAD INTERNA...................................... 246 XVII.6 TIPOS DE ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS...................................... 249 XVII.7 TIPOS DE CARGAS ..................................................................... 250 XVII.8 ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS EN LOS NUDOS .............. 251 XVII.9 MÉTODO DE LOS NUDOS ........................................................... 251 XVII.10 MÉTODO DE CREMONA .......................................................... 253 XVII.11 MÉTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER ............................. 258 XVII.12 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS................................................. 259 XVII.13 ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPUESTAS .......................... 261 XVII.14 ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPLEJAS ............................. 262 XVII.15 ESTRUCTURAS ARTICULADAS CON CARGAS EN LAS BARRAS . 263 EJERCICIOS........................................................................................ 265

CAPÍTULO XVIII: CABLES............................................................... 271 XVIII.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................... 271 XVIII.2 CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS................................... 271 XVIII.3 CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDAS ...................................... 273 XVIII.4 CABLE CON CARGA DISTRIBUIDA HORIZONTAL...................... 274 XVIII.5 CABLE CON CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA (PESO PROPIO) 275 EJERCICIOS........................................................................................ 277

CAPITULO XIX: LÍNEAS DE INFLUENCIA .................................. 279 XIX.1 INTRODUCCIÓN .......................................................................... 279 XIX.2 CARGAS MÓVILES Y LÍNEAS DE INFLUENCIA ............................. 279 XIX.3 LÍNEAS DE INFLUENCIA DE REACCIONES Y ESFUERZOS INTERNOS... 282 EJERCICIOS........................................................................................ 284

BIBLIOGRAFÍA.................................................................................... 287

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CAPÍTULO I: MAGNITUDES Y UNIDADES

I.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LA MECÁNICA La Mecánica es la parte de la Física que estudia los fenómenos, describiendo

y prediciendo las condiciones de reposo y movimiento de los cuerpos, bajo la acción de las fuerzas.

Se divide en Mecánica del sólido y del fluido. La del sólido, a su vez, en Mecánica del sólido rígido y del sólido deformable.

Estas divisiones sirven para delimitar el sólido en estudio, condicionando un modelo de la materia que lo constituye, restringiendo las hipótesis de partida y que a veces no coinciden con la realidad física. Los sólidos rígidos no se dan en la realidad, pero hay cuerpos cuyas deformaciones bajo la acción de las fuerzas, son tan pequeñas, que se pueden despreciar. Así la Mecánica de los sólidos rígidos, considera que éstos no cambian nunca de forma, es decir que la distancia entre dos puntos, así como el ángulo formado por cada dos elementos lineales no se modifica.

Cuando se estudia la resistencia a la rotura de los cuerpos, estas deformaciones, sí que afectan a los resultados, por lo que es necesario considerar a los sólidos deformables.

Los fluidos se dividen en incomprensibles y comprensibles; entre los primeros se incluyen los líquidos y entre los segundos los gases.

La Mecánica de los sólidos rígidos se divide en Estática y Dinámica. La Estática estudia el estado de reposo y la Dinámica el movimiento, relacionando espacio, velocidad y tiempo, prescindiendo de sus causas; y en Cinética que estudia las relaciones entre las fuerzas, la masa y el movimiento, prediciendo el movimiento que comunican las fuerzas al cuerpo o bien las fuerzas que es necesario aplicar a éste, para producir un movimiento dado.

La Mecánica de los sólidos deformables la estudia la Resistencia de Materiales, estableciendo la hipótesis de proporcionalidad entre fuerzas, tensiones y deformaciones en las materias Elasticidad, Hormigón Armado y Pretensado, Estructuras Metálicas; o bien la carencia de esta proporcionalidad, superando las deformaciones elásticas en la Plasticidad.

Mecánica de los medios continuos

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Los fluidos incomprensibles, se estudian en Hidráulica y los compresibles o gases no se estudian en ninguna materia de esta carrera.

I.2 MAGNITUDES Al observar la naturaleza, nuestros sentidos aprecian una serie de fenómenos

físicos, que varían en intensidad, dirección, tiempo y que al tratar de compararlos aplicando los conceptos de igualdad y desigualdad nos hacen clasificarlos en dos clases perfectamente diferenciadas; unos, en los que solo es necesario conocer o medir, comparándolos con la unidad previamente establecida, una característica para que queden perfectamente definidos; otros en los que además hay que conocer su dirección y sentido. Todos estos fenómenos observables y medibles por comparación reciben el nombre de magnitudes. Las primeras se llamas escalares y las segundas vectoriales.

I.3 MAGNITUDES ESCALARES Quedan perfectamente definidas cuando se conoce el valor numérico que

representa su medida. Ejemplos son la longitud, la superficie, el volumen, la masa…. Estas magnitudes hemos aprendido a conocerlas, comprándolas con sistemas de unidades, y hemos definido los criterios de igualdad, desigualdad, suma, resta, multiplicación y división.

I.4 SISTEMAS DE UNIDADES Los sistemas de unidades más usados son:

Sistema u. longitud u. masa u. fuerza u. tiempo C.G.S. cm. gr. dina segundo Técnico m. u.t.m. kilopondio segundo S.I. m. kg. newton segundo

siendo en ingeniería el sistema técnico el que más se usa; pero siguiendo las tendencias internacionales del Comité Internacional de Pesas y Medidas en su XI Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960 y en sus recomendaciones respecto a unidades suplementarias de 1969, que fueron recogidas en España en 1967 en la Ley de Pesas y Medidas y actualizadas por Decreto Ley en 1974, se está tendiendo a utilizar el Newton del sistema S.I., como unidad de fuerza y el kg como unidad de masa.

Las equivalencias entre estas unidades son: 1 m. = 100 cm. 1 u.t.m. = 9.81 kg masa = 9810 gr masa 1 kp = 9.81 10E5 dinas = 9.81 Newton 1 kp/cm2 = 9.81 Newton/cm2

Capítulo I: Magnitudes y unidades

13

I.5 ANÁLISIS DIMENSIONAL Es la parte del análisis matemático que estudia las funciones que pueden

ser expresiones de alguna ley física. Las magnitudes físicas se miden mediante su comparación con otra de su

misma naturaleza que se llama unidad. El enlace físico entre las magnitudes, da lugar a ecuaciones, que por lo

tanto, enlazan las unidades respectivas. Veamos: v = s/t, nos relaciona a las tres magnitudes; velocidad, espacio y

tiempo. Si tomamos para medir, el espacio y el tiempo, las unidades m. y seg. Respectivamente, la unidad de velocidad, será la de un móvil que recorre un metro en un segundo; por ello la fórmula nos relaciona no sólo las magnitudes, sino también sus unidades.

Todo fenómeno físico, se puede expresar mediante una relación entre magnitudes que en él intervienen; dicha relación se puede traducir en la fórmula, que en unos casos se puede deducir teóricamente, fórmula teórica y en otros es preciso deducir de la experiencia, fórmula empírica.

Fórmula teórica: ( ) 21

2ghv = (velocidad en caída libre)

Fórmula empírica: ( )( )

( ) 21

21

21

06,0

87 RiR

Rv+

= (fórmula de Chezy)

En el conjunto de ecuaciones de definición, que relacionan entre sí las unidades, se demuestra que hay m. parámetros en exceso sobre el número de aquellas ecuaciones.

En consecuencia, la elección de esas m. magnitudes, que se llaman fundamentales, equivale en cierto modo, a señalar las variables independientes en nuestro estudio de la naturaleza.

En Mecánica, m = 3, se adoptan de ordinario, como fundamentales longitud, masa y tiempo (L.M.T.) en el sistema C.G.S. o bien longitud, fuerza tiempo (L.F.T.) en el sistema S.I.

Elegidas las magnitudes fundamentales, las demás se obtendrán a partir de éstas, mediante las respectivas ecuaciones de definición. Según esto sean q(1), q(2), …, q(m) un grupo de valores de las m. unidades fundamentales, obtenidas por comparación con las unidades respectivas u(1), u(2),… u(m) elegidas arbitrariamente. Designemos por Q el valor que toma otra magnitud distinta de las fundamentales, llamada magnitud derivada, obtenida por sustitución de aquellos valores en la ecuación que la define:

Q = f [q(1), q(2), …, q(m)]


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siempre que Q esté representada por una sola variable, se demuestra que esta ecuación es un monomio, formado por potencias de las variables q(i), es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mmqqCqQ ααα K,2,1 21=

lo que nos permite expresar simbólicamente una magnitud derivada en función de las fundamentales.

En Mecánica se podría expresar:

γβαγβα ′′′′== TFLCTMCLQ

que se puede representar por:

[ ] [ ] [ ]γβαγβα ′′′== ,,,,Q

que son llamadas ecuaciones de dimensión de esa magnitud y los exponentes, dimensiones de la misma.

Diremos que una magnitud es adimensional, cuando los exponentes de su expresión en función de las unidades fundamentales son nulos.

I.6 ELECCIÓN DEL SISTEMA DE UNIDADES FUNDAMENTALES Esta elección es arbitraria, con la condición de que no se pueda establecer

una relación funcional entre ellas.

Si quisiéramos establecer un nuevo sistema de unidades fundamentales U(1), U(2), U(3) cuyas expresiones en función del primer sistema (L,M,T) fueran:

U (1) ≡ Lα(1) · Mβ(1) ·Tγ(1) U(2 ) ≡ Lα(2) · Mβ(2) ·Tγ(2) U(3) ≡ Lα(3) · Mβ(3) ·Tγ(3)

la expresión de una magnitud cualquiera Q, en ambos sistemas de unidades sería:

Q ≡ Lα · Mβ ·T γ ≡ U(1)x · U(2)y · U(3)z

y sustituyendo:

α ≡ α(1)·x + α(2)·y + α(3)·z β ≡ β(1)·x + β(2)·y + β(3)·z γ ≡ γ(1)·x + γ(2)·y + γ(3)·z


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y para que este sistema sea compatible, es necesario que:

(1) (2) (3)ß (1) ß (2) ß (3)

(1) (2) (3)

α α α⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ γ⎝ ⎠

≠ 0

por ejemplo, en el sistema C.G.S. el sistema fundamental de unidades es (L.,M,T) y si quisiéramos pasar al sistema S.I, de unidades fundamentales (L,F,T) cuya expresión es:

L ≡ L1 · M0 · T0 F ≡ L1 · M1 · T--2 T ≡ L0 · M0 · T1

y la condición de independencia:

1 1 - 20 0 1

1 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 ≠ 0

por lo que constituye un sistema fundamental de unidades.

Si con las mismas unidades fundamentales (L,M,T) tomamos dos bases L(1), M(1), T(1) y L(2), M(2), T(2) y la ecuación de definición de una magnitud es:

Q ≡ lα, mβ, tγ

se cumplirá con las medidas en ambos sistemas:

Q (1) = L(1) α, M(1) β, T(1)γ Q(2) = L(2) α, M(2) β, T(2)γ

si U(1) es la unidad en la base L(1), M(1), T(1) y U(2) es la unidad en la base L(2), M(2), T(2) se verifica:

(Q ) = U(1)·Q(1) = U(2)·Q(2) (l ) = l(1)·L(1) = l(2)·L(2) (m ) = m(1)·M(1) = m(2)·M(2) (t ) = t(1)·M(1) = t(2)·M(2)

o lo que es lo mismo:

Q(1) = )1()(

UQ l(1) =

)1()(

Ll m(1) =

)1()(

Mm t(1) =

)1()(

Tt


16

Q(2) = )2(

)(U

Q l(2) = )2(

)(L

l m(2) = )2(

)(M

m t(2) = )2(

)(T

t

y sustituyendo estas expresiones en las expresiones de Q(1) y Q(2):

γ

γ

β

β

α

α

)1()(

)1()(

)1()1(

)1()(

Tt

Mm

LUQ ××=

y

γ

γ

β

β

α

α

)2()(

)2()(

)2()1(

)2()(

Tt

Mm

LUQ ××=

y dividiendo miembro a miembro

γ

γ

β

β

α

α

)2()1(

)2()1(

)2()1(

)2()1(

TT

MM

LL

UU ××=

o sea que la relación )2()1(

UU

, entre dos unidades de una misma magnitud es

el producto de las relaciones entre las unidades fundamentales, elevadas a las correspondiente dimensiones de la magnitud.

Dos problemas importantes se pueden presentar en el cambio de sistema fundamental de unidades.

1º Conocida la medida u(1) de una cantidad (u) con una unidad U(1), hallar su medida u(2) con la unidad U(2).

(u) = u(1) × U(1) = u(2) × U(2)

( ) ( ))2()1(12

UUuu ×=

y teniendo en cuenta la expresión de la magnitud u: u = lα · mβ · tγ

y por lo tanto:

( ) ( ) ( )γβαγ

γ

β

β

α

α

CBATT

MM

LL

UU ××=××=

)2()1(

)2()1(

)2()1(

)2()1(

y sustituyendo:

u(2) = u(1) x (A)α x (B)β x (C)γ


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Vamos a medir el tiempo de una hora con la unidad de tiempo del sistema de unidades cuya base la definen las tres magnitudes siguientes:

A ... Unidad de aceleración ......................... el Km por hora B ... Unidad de fuerza .................................. el kilopondio C ... Unidad de cantidad de movimiento ..... el kg masa por el Km/hora Que expresadas en el sitema (L,M,T) A ≅ L x T 2 F ≅ L x M x T 2 C ≅ L x M x T -1 comprobamos que forman un sistema fundamental de unidades.

- 21 1 - 21 1 -1

1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= −1 ≠ 0

por lo que podemos continuar. En primer lugar vamos a determinar la expresión de la unidad tiempo en la base (A, B, C).

T(1) = (L T 2) x (L M T -2) x (L M T -2 ) x (L M T -1) = L (α + β + γ) M (β + γ) T – (2 α + 2 β + γ)

e igualando los exponentes:

de donde:

α + β + γ = 0 β + γ = 0 -2α-2β -γ = 1 de donde: α = 0 β = -1 λ = 1 luego T(1) = F -1 x C 1

y midiendo el tiempo en los dos sistemas: (T) = 3.600” · T = t(1) · T(1)

de donde:

( ) ( ) ( ) ( )11

113600

136001 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=×=−

CC

FF

TTt


18

( ) Nw 9.81Nw 1

Kilopondio 1Newton 1

1==

FF

; ( )h

km 1

6.3

1h

km

hKm

segm

CC ==

y sustituyendo estos valores, obtenemos la expresión de una hora

t(1) = 3600 × 9,81 × 3,6 = 127.137,6

unidades de tiempo en el nuevo sistema.

2º Dada una ecuación que se verifica con unas ciertas unidades, transformarla para que se verifique con otras.

Sea una función z = f (x,y,…) que nos da la medida de una magnitud (z) respecto a la unidad Z(1), cuando medimos (x) con la unidad X(1), y con la unidad Y(1)… y queremos transformarla de manera que nos de la medida respecto a otra unidad Z(2), cuando medimos (x) con X(2), e (y) con Y(2)…

(z) = z (1) · Z(1) = z(2) · Z(2) y

(x) = x (1) · X(1) = x(2) · X(2) (y) = y (1) · Y(1) = y(2) · Y(2)

expresando la función z en el primer sistema: z(1) = f(x(1), y(1),…)

y sustituyendo:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )121(

122

XXxf

ZZz ⋅== ; ( ) ( )

( )121

YYy ; ……)

y despejando:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )121(

212

XXxf

ZZz ⋅== ; ( ) ( )

( )121

YYy ; ……)

Apliquemos lo anterior a la fórmula de la potencia expresada en el sistema técnico

W ≡ Kg · m F ≡ Kg v ≡ m · seg

w = F · v

de manera que nos de C.V, cuando pongamos F en toneladas y v en Km/h.

( )( )

( )( )

( )( )12

12

12

VVv

FFF

WWw ×××=×


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o sea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅=⋅segm

hKm

vKgTmF

mKgVCw

·11

11

·1.1

o sea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =1m·seg

hKm1

· v· 1Kg1Tm · F

1Kg·m1C.V · w

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =h

Km3.6h

Km1 · v·

1Kg1000Kg · F

m · 1Kgm · 75Kg · w

y efectuando operaciones:

3.6v · F · 100075w =

y se obtiene:

0.27v· F=w

I.7 HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Como las fórmulas que se deducen teóricamente, se refieren

exclusivamente a cantidades, tienen que ser independientes a las unidades fundamentales escogidas, de donde se deduce que todos los términos deberán tener la misma ecuación de dimensión.

V= (2gh)1/2 siendo g≡ L T-2 y h ≡ L resulta V ≡ (L T-2L)1/2 = LT-1

que es la dimensión de una velocidad. Si la fórmula es empírica, puede ocurrir que no sea homogénea y que por

lo tanto las constantes, que en ella aparecen, no sean adimensionales, sino que tengan ciertas dimensiones que podemos hallar.

Sea la fórmula de Chezy, obtenida experimentalmente

)··()(

)(87

21

21

iRR

RV

γ+=


20

en la que hay dos constantes 87 y γ que vamos a hallar: γ tendrá las mismas dimensiones que la magnitud a la que se suma (R)1/2

( ) ( ) 21

212

12

21

LLLLR ==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

luego γ tiene que tener la dimensión L1/2

[γ] ≡ {½, 0, 0}

análogamente

[ ] [ ] ;87 21

21

21

1 LL

LLT ≡− [ ] [ ]1,0,2187 12

1−≡≡ −− TLL

Esta propiedad puede servirnos para hallar la dependencia existente entre varias magnitudes que intervienen en un fenómeno físico.

Ejemplo: Sabiendo que la duración de la oscilación completa de un péndulo simple, sólo depende de la longitud 1 de este y de la aceleración g de la gravedad, hallar salvo una constante, esa dependencia.

La expresión buscada será de la forma:

t = k · gx · ly siendo g [LT-2]

y expresando la homogeneidad dimensional:

[0,0,1] ≡ [x + y, 0 , -2x]

de donde se deduce:

x + y = 0 y -2x = 1

o sea:

x = -½ e y = ½

y por tanto

t = k g-½ 1½ = k (1/g) ½

en la que experimentalmente se ha obtenido

K = 2π


21

EJERCICIOS I.1. La potencia de la hélice de un avión, depende exclusivamente de su

radio R, de su velocidad angular ω y de la densidad ρ del aire. Determinar la fórmula que da dicha potencia, salvo un coeficiente numérico.

I.2. Una esfera homogénea de diámetro d, al introducirse en un fluido y caer por su propio peso, encuentra una resistencia R, que es función de su diámetro, de la densidad del fluido ρ y de la velocidad v de caída. Se pide, determinar salvo una constante, la expresión de R, en función de las otras variables, sabiendo que R en un sistema L,M,T tiene las dimensiones de una fuerza.

I.3. El período de oscilación de un péndulo simple es T = 2· π· (L/g)½. Considerando que L es una longitud, g es la aceleración de la gravedad, y 2π es un número, verificar si la ecuación es dimensionalmente homogénea.

I.4. La ley de la gravitación universal viene dada por la fórmula:

221·

d

mmGF =

en donde F es la fuerza de atracción, m la masa y d su distancia. Se pide determinar la dimensión de G.

I.5. La fórmula de pandeo de Euler es 2

2 ··L

IEP π= , y en ella P es una

fuerza, I es un momento de inercia, L una longitud y se pide las dimensiones de E.

I.6. En la fórmula del esfuerzo cortante en vigas de sección rectangular maciza, cuya expresión es:

lIQF··=τ

τ es una tensión, F es una fuerza, I un momento de inercia, y l una longitud. Se pide dimensiones de Q.

I.7. La fórmula de la flexión es I

yM ·=σ , en la que σ es una tensión, I un

momento de inercia, e y una longitud. Se pide dimensiones de M.


22

I.8. La expresión

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= 1

1

1··2

12

2

cv

cmE

en donde m es la masa de la partícula, v su velocidad y c la velocidad de la luz. Si esta expresión es dimensionalmente correcta, determinar la expresión dimensional de E.

I.9. La fórmula que da la tensión normal en una rebanada sometida a compresión compuesta es

IxeF

AF ··+=σ

siendo F una fuerza, e y x una longitud. Hallar las expresiones dimensionales de σ y de I.

I.10. La pérdida de carga de un líquido en una tubería viene dada por:

gv

dlf

H2

··

·21=

en la que H expresa en pies, f es un coeficiente de fricción adimensional v una velocidad en pies por segundo, l una longitud en pies, de diámetro interior del tubo en pulgadas y g la aceleración de la gravedad en pies por segundo cuadrado. Se pide hallar la expresión de H en metros, tomando el diámetro d en centímetros, las longitudes en metros y las velocidades y aceleraciones en seg

m y segsegm

· .

Determinar la dimensión del coeficiente ½ . I.11. La fuerza F, que puede ejercer un resorte helicoidal, viene dada por:

σ·196.03

RdF =

en donde F se expresa en libras, d diámetro del alambre en pulgadas, σ tensión admisible en libras por pulgada cuadrada y R radio del resorte en pulgadas. Se pide traducir la fórmula para que al introducir las longitudes en centímetros, las tensiones en Kg/cm2, se obtenga la fuerza en toneladas.

23

CAPÍTULO II: MAGNITUDES VECTORIALES II.1 MAGNITUDES VECTORIALES

Son las que corresponden a fenómenos físicos, que para poder definirlas hace falta, además de conocer su medida o “Módulo”, su dirección y sentido. Por ejemplo: las fuerzas, la velocidad, la aceleración….

Estas magnitudes no pueden ser tratadas como las escalares y por ello nos es necesario crear un nuevo sistema, que nos permita definir la igualdad, desigualdad, suma, resta y resto de operaciones que llamaremos vectoriales.

Para ello es necesario empezar por definir, lo que equivale en las magnitudes escalares a la unidad de medida, el “VECTOR”.

II.2 DEFINICIÓN DE VECTOR Para poder representar mediante símbolos los fenómenos de la naturaleza,

que clasificamos como magnitudes vectoriales, es necesario crear un ente capaz de representar su triple aspecto de módulo, dirección y sentido.

Definimos como vector a un segmento orientado, cuya suma se obtiene mediante la ley del paralelogramo. En él hay que considerar:

1º. su línea de acción, que es la recta sobre la que está situado el vector y que para definirla necesitamos conocer sus cosenos directores.

2º. Su origen A, o punto de aplicación y su extremo B. La magnitud escalar AB, medida en la unidad correspondiente, se llama “módulo”.

3º. Su sentido, que se indica mediante una punta de flecha.

II.3 NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LOS VECTORES En la escritura representaremos un vector por una letra con un guión

encima: Bmarrr

, , . Otras veces lo representaremos, escribiendo las letras que indican sus extremos, con un guión encima: ;AB en este caso la secuencia de las letras A, B indica el sentido del vector.

Para expresar el módulo del vector, bastará que encerremos las expresiones anteriores entre barras: ABBma , , , .


24

II.4 CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES Encontramos en la naturaleza tres clases de magnitudes vectoriales:

a) magnitudes vectoriales que son iguales en todos los puntos del espacio, o, al menos en una poción de él: la velocidad de la lluvia o del viento, la aceleración de la gravedad.

b) magnitudes vectoriales que son iguales o producen igual efecto, aplicadas en cualquier punto de su recta de posición: las fuerzas que actúan sobre cuerpos rígidos, los giros,…

c) magnitudes vectoriales que son distintas para cada punto del espacio: las velocidades y aceleraciones de los puntos de un sólido, en un instante dado, que giran alrededor de un eje.

Por lo tanto, es lógico que definamos tres clases de vectores, correspondiendo a cada uno de los tipos de magnitudes descritos.

a) Vectores libres, son los que conservando su módulo, dirección y sentido, pueden estar aplicados en cualquier punto del espacio. De esta definición, se deduce que la recta base de un vector libre puede ser cualquier recta del espacio paralela a su dirección y su origen cualquier punto de esa recta.

b) Vectores deslizantes, son los que conservando su módulo, dirección, sentido y recta base, pueden tener su origen en cualquier punto de esa recta.

c) Vectores fijos, son los que tienen determinado su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

II.5 IGUALDAD DE VECTORES Definidos los tres tipos de vectores, pasamos a definir el concepto de

igualdad, que como es lógico tendrá que referirse a cada uno de los tres.

a) Dos vectores libres, serán iguales cuando tengan igual módulo, dirección y sentido.

b) Dos vectores deslizantes, serán iguales cuando tengan igual módulo, dirección, sentido y la misma recta base.

c) Dos vectores fijos, serán iguales cuando tengan igual módulo, dirección, sentido y el mismo punto de aplicación.

Capítulo II: Magnitudes vectoriales

25

La igualdad de vectores libres, nos define el concepto de vectores equipolentes.

La igualdad de vectores deslizantes, nos define el concepto de vectores equivalentes.

La igualdad de vectores fijos, nos define la identidad de vectores. Las tres definiciones anteriores, son distintos matices de la condición más

general de igualdad. Como el concepto de vector libre, es mucho más general que el de los otros dos, vamos a construir toda la temática vectorial, con este tipo de vectores y posteriormente estudiaremos las particularidades que la hacen extensiva a los otros dos.

II.6 SUMA DE VECTORES LIBRES Para sumar vectores libres, por definición aplicaremos la regla del

paralelogramo; cuando son más de dos, la aplicamos sucesivamente. Se demuestra fácilmente, que la suma de vectores goza de las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa.

II.7 RESTA DE VECTORES LIBRES

Antes de definir la resta de vectores, tenemos que definir el vector opuesto a uno dado, como el vector que tiene el mismo módulo, dirección y sentido opuesto.

Definimos como diferencia de dos vectores, a la suma del primero con el opuesto del segundo. Por o tanto, la diferencia como caso particular de la suma, también goza de las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa.

Si consideramos dos vectores y les aplicamos la regla del paralelogramo, la diagonal mayor representa la suma de los dos vectores y la diagonal menor, en el sentido del vector sustraendo al vector minuendo, representa el vector diferencia.

II.8 VECTOR NEUTRO DE LA SUMA

Se define como vector neutro de la suma, a un vector que sumado a otro, el resultado reproduce el segundo vector. Este vector, es un vector de módulo cero, que se reduce a un punto y carece de dirección y sentido y se llama vector nulo.

II.9 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL

La suma de n vectores iguales, equivale a otro vector que tiene la misma dirección y sentido que el inicial y cuyo módulo es n veces el del original. Este nuevo vector, es por definición, el producto del vector original por el entero n.


26

II.10 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES La multiplicación de vectores, se diferencia profundamente del producto de

escalares, ya que se definen dos tipos de productos; uno cuyo resultado es un escalar y otro cuyo resultado es un vector. Vamos a estudiar el primero o producto escalar o interno de dos vectores a·b cuyo resultado es un escalar, obtenido multiplicando los módulos de a y b por el coseno del ángulo que forman. Es decir:

a·b = ⏐a⏐·⏐b⏐·cos (a, b)

La interpretación geométrica del producto escalar, es la del producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él.

Si los dos vectores son paralelos, el producto escalar es igual al producto los módulos.

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo, y por lo tanto, esta es la condición de perpendicularidad de vectores.

Por ser éste producto, un escalar, es evidente que goza de las propiedades uniforme, asociativa y distributiva.

II.11 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Dados dos vectores libres a y b, que forman un ángulo α, se define como producto vectorial o producto externo de ambos, a otro vector libre perpendicular al plano de los dos, de sentido el dado por la regla de la mano derecha o la regla del sacacorchos, que gira del primer al segundo vector y cuyo módulo viene definido por el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman:

a × b = |a| · |b| · sen α

La interpretación geométrica del producto vectorial, corresponde al módulo del vector resultante y equivale al área del paralelogramo definido por los dos vectores.

Si los dos vectores son perpendiculares, el módulo del vector resultante es igual al producto de los módulos.

Si los dos son paralelos, el módulo del vector resultante es cero y por lo tanto el vector, es el vector nulo. Esta es la condición de paralelismo de dos vectores.

El producto vectorial goza de las propiedades uniforme y distributiva, pero no de la conmutativa, ya que al cambiar el orden de los factores cambia el sentido de giro del sacacorchos y el vector resultante se convierte en el opuesto.

Capítulo II: Magnitudes vectoriales

27

II.12 PRODUCTO DE TRES VECTORES Ningún producto de tres vectores goza de las propiedades conmutativa y

asociativa. Consideremos el triple producto escalar, también llamado producto mixto:

A · (b × c )

que representa un escalar por ser el producto escalar del vector a por otro vector, que ha resultado de multiplicar vectorialmente los b y c. El valor de este escalar representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores. Se representa por (a,b,c).

sea ahora el triple producto vectorial de tres vectores:

a × ( b× c)

que representa a un vector, que al tener que ser perpendicular al vector a y al (b × c) tiene que estar en el plano definido por b y c y por lo tanto tiene que poder expresarse en función de estos dos. Así se obtiene la llamada fórmula de expulsión:

b c a ×(b×c) = (a·c) b – (a·b) c =

(a·b) (a·c)

II.13 COCIENTE DE VECTORES No existe, ya que la operación inversa de la multiplicación de vectores, ya

sea escalar o vectorial carece de la propiedad uniforme.


28

EJERCICIOS II.1. Dados los vectores paralelos A y B, ver que relaciones se verifican

correctamente:

A·B=0 A×B=0 (A×C)·B=0 (A×C)×B=0

II.2. Comprobar si son ciertas las siguientes expresiones vectoriales:

A × (B×C) = (A×B)×C A× (C×B) = (B×C)×A

A × (C×B) = B× (A×C) A× B ×C = C×B×A

II.3. Indicar las expresiones que no definen un vector:

A·(B·C) A·(B×C) (A·B)×C A×(B·C)

II.4. Si tres vectores verifican A + B + C= 0, indicar qué expresiones son correctas:

A×B=B×C C×A=A×B A×B= - (A×C) C×B=C×A

II.5. Dados tres vectores A, B, C paralelos a un plano, indicar si cumplen las siguientes relaciones:

(A×B)·C = 0 (A×B)×C = 0 (A·B) ×C = 0 (A·B)·C = 0

II.6. Comprobarlas siguientes expresiones vectoriales:

(A×B) · C = (C×A) · B = - (C×B) · A = (B×A) · C A · (B×C) = C · (B×A) = B · (C×A) (B×C) · A = B · (A×C) = C · (B×A) C · (B×A) = - B · (C×A) = A · (C×B)

II.7. Dados dos vectores libres A y B, determinar el área del triángulo definido por ambos.

II.8. Dados los vectores libres A, B y C determinar el volumen del tetraedro definido por ellos.

29

CAPÍTULO III: ÁLGEBRA VECTORIAL III.1 ÁLGEBRA VECTORIAL

Todos los conceptos expuestos en el capítulo anterior, vamos a expresarlos analíticamente, lo que constituye el álgebra vectorial.

Como se trata de expresar matemáticamente fenómenos que ocurren en nuestro entorno físico, la única forma de fijarlos es recurrir a un sistema de referencia, que suele ser un triedro y para mayor facilidad, trirrectángulo.

Entendamos, y esto es importante, que los fenómenos físicos son reales, y el triedro de referencia es imaginario y creado por nosotros para poder fijar su posición en dicho entorno; por lo tanto deberemos colocarlo en la posición que más nos convenga. Esta posición vendrá definida por su origen, que podrá ser cualquier punto del entorno, y las direcciones de sus ejes, pasando por el origen, que también las tomaremos de la forma más conveniente. Por último los sentidos de estos ejes; en este caso, si que se nos plantea una doble posibilidad; el triedro directo, cuya secuencia de ejes es X, Y, Z con giro destrógiro y el triedro inverso, cuya secuencia de ejes es X, Y, Z con giro levógiro.

Podemos elegir cualquiera de los dos, sin que afecte a los fenómenos físicos. Normalmente se utiliza el directo o destrogiro, que será el que utilizaremos de ahora en adelante.

III.2 EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR

Sea un vector AB, en el sentido más general y definamos en su entorno, un triedro trirrectángulo cuyo origen O colocaremos en el punto A, origen del vector; los ejes los colocaremos de la forma más general, es decir, sin que coincida ninguno con la dirección del vector, lo cual nos facilitaría los cálculos, pero en este caso nos interesa que sea más general.

Llamemos m al módulo del vector, o sea m = ⏐AB⏐, y sean α, β y γ los ángulos que forma la recta AB base del vector, con los ejes OX, OY, OZ; sus cosenos son los cosenos directores de la recta base y tambien del vector.

T. DIRECTO X

Z

YT. INVERSO

Y

Z

X


30

Consideremos la diagonal AB de un paralelepípedo, cuyos lados son paralelos a los ejes del triedro de referencia. Sobre esta diagonal situemos el vector AB, de módulo m, y basándonos en consideraciones geométricas, observamos que sus proyecciones sobre los ejes, llamadas componentes del vector, son X, sobre el eje OX; Y sobre el eje OY; Z sobre el eje OZ, verifican las siguientes relaciones escalares:

X = ⏐AB⏐, cos α = m · cos α Y = ⏐AB⏐, cos β = m · cos β

Z = ⏐AB⏐, cos γ = m · cos γ

de donde:

mX=αcos

mY=βcos

mZ=γcos

1coscoscos2

2

2

2

2

222222 ===++=++

mm

mAB

mZYXγβα

siendo α, β y γ los cosenos directores de la recta base del vector AB. Si el módulo del vector fuera m =1, las componentes de este serían:

X = cos α ; Y = cos β ; Z = cos γ

lo que nos dice que las componentes del vector unitario, son los cosenos directores. Este vector unitario de la dirección AB se llama VERSOR de esta dirección. Cada dirección incluidos los ejes, tienen sus versores. A los versores de los ejes OX, OY, OZ, por su importancia, se les denomina i,j,k.

OB = OD + DC + CB = OD + OE + OG = X · i + Y · j + Z · k

expresión analítica del vector libre AB y de todos sus equipolentes.

Consideremos el vector OD, cuyo módulo coincide con X, componente sobre el eje OX del vector AB. Tendremos OD = X · i; análogamente OE = Y · j y OG = Z · k

Teniendo en cuenta que estamos considerando vectores libres:

X

Z

GH

Yβ

α X

A

D CE

BZ

k

O j Y

Capítulo III: Álgebra vectorial

31

III.3 VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS En un sistema de referencia, OXYZ, se nos dan las coordenadas de dos

puntos A(x,y,z) y B(x’,y’,z’) que corresponden al origen y extremo del vector libre AB. Vamos a determinar la expresión analítica del vector.

Geométricamente sabemos que un segmento AB, se proyecta sobre cada uno de los ejes, según magnitudes que vienen definidas por la diferencia de las coordenadas, sobre cada eje, de los puntos extremos.

Por lo tanto: X = (x’ – x) Y = (y’ – y) y Z = (z’ – z) que son las componentes del vector AB.

AB = (x’ – x; y’ – y; z’ – z) = (X, Y, Z)

o bien su expresión analítica: AB = X · i + Y · j – Z · k

y su módulo: ⏐AB⏐ = (X2 + Y2 + Z2) ½

sus cosenos directores: ABZ

ABY

ABX === γβα cos;cos;cos

con lo que tendremos perfectamente definido el vector libre AB.

X

A (x,y,z)

B (x’,y’, z’)

Z

Y


32

III.4 VECTOR DEFINIDO POR SU MÓDULO Y DOS PUNTOS DE SU RECTA BASE

Sea m el módulo del vector y A (x,y,z) y B (x’,y’,z’) dos puntos de su recta base.

Vamos a calcular los cosenos directores de la recta:

ABzz

AByy

ABxx −′−′

=−′= γβα cos cos cos

siendo ⏐AB⏐el módulo del segmento AB. Conocidos los cosenos directores de la recta, conocemos la expresión analítica del versor de la dirección AB:

u = cos α · i + cos β · j + cos γ · k

el vector pedido será:

V = m · u = m cos α · i + m cos β · j + m cos γ · k

III.5 SUMA Y RESTA DE VECTORES LIBRES Dados dos vectores V (x,y,z) y V’ (x’,y’z’) definimos como su suma: V + V’ = (x + x’) · i + (y + y’) · j + (z + z’) · k y como diferencia: V + V’ = (x – x’) · i + (y – y’) · j + (z – z’) · k

III.6 IGUALDAD DE VECTORES LIBRES Dos vectores V y V’ son iguales cuando se cumple:

x = x’ y = y’ z = z’

A(x,y,z)

B(x’,y’,z’)

x

x

Z

X Y


33

III.7 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES LIBRES Dados dos vectores V y V’, su producto escalar goza de las propiedades

uniforme, conmutativa y distributiva, por lo tanto podemos operar con ellos como si fueran escalares.

V · V’ = (x · i + y · j + z · k) · (x’ · i + y’ · j + z’ · k) = = (x · x’ · (i · i) + x · y’ · (i · j) + x · z’ · (i · k) + y · x’ · (j · i) + y · y’ (j · j) + y · z’ · (j · k) + z · x’ · (k · i) + z · y’ · (k · j) + z · z’ · (k · k)

según la definición de producto escalar se verifica:

i · i = j · j = k · k = 1 i · j = i · k = j · k = j · i = k · i = k · j = 0

y por lo tanto: V · V’ = x · x’ + y · y’ + z · z’

Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar deberá ser nulo. x · x’ + y · y’ + z · z’ = 0

y ésta deberá ser la condición de ortogonalidad.

Al ser el producto escalar, el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él, será constante cualquiera que sea el sistema de referencia adoptado y por lo tanto es un invariante, o sea, que su proyección analítica es un invariante:

x · x’ + y · y’ + z · z’ = Cte.

En el caso particular de ser V = V’ el producto escalar

V · V’ = V · V = V’ · V’ = x2 + y2 + z2 = V2 = Norma

La norma es el cuadrado del módulo de un vector y es un invariante en cualquier sistema de referencia.

III.8 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES LIBRES Dados dos vectores V y V’, su producto vectorial sabemos que goza de las

propiedades uniforme y distributiva, pero no de la conmutativa, por lo tanto operaremos con ellos tendiéndolo en cuenta.


34

En primer lugar hay que conocer los siguientes productos vectoriales entre los versores de los ejes del sistema de referencia:

i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k i x k = -j j x k = i j x i = -k k x i = j k x j = -i

cuya demostración es consecuencia de la definición de producto vectorial. V x V’ = (x i + y j + z k) x (x’ i + y’ j + z’ k) =

x · x’ · (i x i) + x · y’ · (i x j) + x· z’ · (i x k) + y · x’ · (j x i) + y · y’ · (j x j) + y · z’ · (j x k) + z · x’ · (k x i) + z · y’ · (k x j) + z · z’ · (k x k) =

= (y · z’ – z · y’) · i + (z · x’ – x · z’) · j + (x · y’ – y · x’) · k o sea:

i j k V x V’ = x y z

x’ y’ z’

Si los dos vectores son paralelos se verifica V x V’ = 0 y por lo tanto el determinante anterior debe ser nulo; para ello se tiene que verificar que una fila es combinación lineal de otra o que son proporcionales, o sea:

zz

yy

xx

′=

′=

′

que es la condición de paralelismo.

III.9 TRIPLE PRODUCTO O PRODUCTO MIXTO DE VECTORES LIBRES

Sean tres vectores V, V’, V”, vamos a calcular la expresión analítica del triple producto:

i j k x y z V · (V’× V”) = (xi+yj+zk) x’ y’ z’ = x’ y’ z’

x” y” z” x” y” z”

El triple producto representa el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores, y por lo tanto es un escalar. El producto vectorial V’ x V”, representa el área del paralelogramo definido por los vectores V’ y V”. El producto escalar por V representa la altura de dicho paralelepípedo correspondiente a la cara definida por V’ y V”.


35

De lo anterior se deduce que para que cuatro puntos sean coplanarios, o lo que es lo mismo tres vectores concurrentes estén en un mismo plano es que el volumen del paralelepípedo definido sea cero, es decir:

V · (V’ x V”) = V, V’, V”) = 0

ecuación que por otro lado representa un plano definido por los cuatro puntos dados.

III.10 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea un punto P (x, y, z), en un sistema de referencia trirectángulo de origen O, y un plano definido por el versor u, perpendicular al plano y por su distancia al origen O, D. Vamos a calcular vectorialmente la distancia d, del punto P al plano.

El versor u (cos α, cos β, cos γ) viene definido por los cosenos directores del plano, y OP (x, y, z) = xi + yj+ zk el vector posición de P.

Tendremos entonces OP. u = d + D de donde d = OP·u – D

cuya expresión analítica será:

d = (xi + yj + zk) · (cos α · i + cos β · j + cos γ · k) – D

d = cos α · x + cos β · y + cos γ · z – D = 0

si esta distancia se anula, entonces el punto P está en el plano, y por tanto:

cos α · x + cos β · y + cos γ · z = D

es la ecuación general de los punto P que están en un plano.

X

P(x,y,z)

Zu

Dd

O Y

→


36

III.11 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Considerando el plano definido por la recta y el punto, como plano XY, el punto P (x, y) lo referiremos a un sistema de referencia rectangular de origen O. La recta la definiremos por el versor u (cos α, cos β) perpendicular a la recta y por su distancia d al origen O. Vamos a calcular la distancia d del punto P a la recta, siendo OP = (xi + yj) el vector posición del punto P. tendremos entonces:

si esta distancia se anula, quiere decir que el punto P está en la recta, y por tanto:

cos α · x + cos β · y = D

representa la ecuación de la recta definida por los puntos P.

III.12 MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN EN EL ESPACIO

La mínima distancia entre dos rectas que se cruzan en el espacio, sabemos por geometría, que está sobre una recta perpendicular a las dos rectas dadas. Por lo tanto esta dirección vendrá dada por el versor del producto vectorial de dos vectores situados sobre las dos rectas.

R1

u’ H’

A’

R2 A”

u

λ” λ

λ’

Y u

P (x, y)

dX O

D

α

OP · u = d + D de donde d = OP · u – D o sea d = cos α · x + cos β · y - D

H”


37

Sea u’ el versor de la recta R1; u” el versor de R2 y u el versor de la mínima distancia, que corta en H’ y H” a las rectas R1 y R2. Sean A’ y A” dos puntos genéricos sobre R1 y R2.

Se verifica: A” A’ = A”H” + H”H’ + H’A’

y tendremos; siendo λ los módulos de estos vectores:

A”H” = λ”u” H”H’ = λu H’A’ = λ’u’

y sustituyendo: A”A’ = λ”u” + λu + λ’u’

y multiplicando esta igualdad escalarmente por u:

u · A”A’ = λ” u · u” + λ u · u + λ u · u’

y al ser u, u’ perpendiculares se verifica u · u’ = u · u” = 0 y u · u = 1

y por lo tanto:

u · A”A’ = λ de donde λ = mínima distancia = u · A”A’

siendo A’A” un vector que une dos puntos cualesquiera de las dos rectas.

III.13 NOCIONES DE FUNCIONES VECTORIALES Fijado un punto O en el espacio, la posición de otro cualquiera P, queda

determinada por medio del vector r = OP, llamado vector posición del punto P. Cuando la posición del punto P viene definido por parámetros, el vector

posición OP se dice que es función de estos parámetros. Entonces definimos una función vectorial. Vamos a tratar solamente funciones dependientes de un parámetro y que además sea un escalar.

Si t es el parámetro del que depende la función vectorial lo expresaremos así: R = r (t)

Si además colocamos un triedro trirectángulo de referencia, con vértice en O, la función se podrá expresar:

R = x (t) · i + y (t) · j + z (t) · k

ecuación vectorial equivalente a las tres escalares:

x = x (t) y = y (t) z = z (t)


38

Cuando estas tres funciones escalares, son independientes, al dar valores al parámetro t, el punto P, describe una curva y por lo tanto la función r (t) es la ecuación paramétrica vectorial de todas las curvas.

III.14 DERIVACIÓN VECTORIAL Sea la función r = r(t) = x(t) · i + y (t) · j + z (t) · k en la que admitimos, que

las tres funciones sean continuas así como sus derivadas.

Dando a t un valor obtenemos un vector r y al darle un incremento a t y ser t = t + ∆t, obtenemos otro vector r’. Al vector que une sus extremos PP’ la llamaremos ∆r y se verifica:

r’ – r = ∆r

entonces: r (t) = x (t) · i + y (t) · j + z(t) · k

r’ = r (t+∆t) = x (t+∆t) · i + y (t+∆t) · j + z (t+∆t) · k

y restando miembro a miembro:

r-r’ = r (t) – r (t+∆t) = [x(t) - x(t+∆t)] · i + [y(t) – y (t+∆t)] · j + z (t) – z(t+∆t)] · k

o sea: ∆r = ∆x · i + ∆y · j + ∆z · k

y dividiendo por ∆t y tomando límites cuando ∆t → 0

kzjyixrkdtdzj

dtdyi

dtdx

dtr ⋅′+⋅′+⋅′=′=⋅+⋅+⋅=∆

La derivada de una función vectorial respecto a su parámetro, es una nueva función vectorial, cuyas proyecciones sobre los ejes de referencia son las derivadas de las proyecciones de la función inicial.

Como ∆t es un escalar, el vector tr

∆∆ es otro vector que tiene la misma

dirección que ∆r, con lo cual en el límite, el vector dtdrr =′ será equipolente a la

tangente a la curva r = r(t) en el punto P.


39

EJERCICIOS III.1. Dados dos vectores de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60º,

determinar la resultante, su módulo, dirección y componentes.

III.2. Dados dos vectores A (1,2,3) y B (3,2,1) se pide:

1º Ángulo que forman. 2º Resultante definida por su módulo, consenos directores y componentes. 3º Su diferencia. 4º Su producto escalar. 5º Su producto vectorial. 6º Área del paralelogramo que definen.

III.3. Un vector V tiene por módulo 5 y su recta base pasa por los punto (1,1,0) y (5,6,5). Determinar las componentes del vector V y sus cosenos directores.

III.4. Dados los tres vectores A(1,-2,0) B(-1,4,-1) y C(3,2,-2) calcular las siguientes expresiones vectoriales.

(A+ B) · C A x (B – C) A x (B x C) (A x B) · C

III.5. Hallar la proyección del vector 2i – 2j +k sobre el vector –3i + j – k.

III.6. Dado un vector V de módulo 6, descomponerlo en otros dos que formen con él 30º y 45º.

III.7. Un vector V es perpendicular al plano x = 0, su producto escalar por otro W vale – 8 y su suma, con él es el vector (2,3,1). Determinar V y W.

III.8. Determinar la ecuación del plano que pase pro los puntos:

a (1,2,3) b (2,3,1) c (3,1,2)

III.9. Hallar el volumen del tetraedro definido por dos de sus vértices (1,1,1) Y (3,2,-2) y dos aristas que concurren en este último, definidas por los vectores 3i – 2j + k y 2i – 3 k.

III.10. Determinar la mínima distancia entre dos rectas AB y CD, que se cruzan en el espacio y el vector mínimo que se apoya en ambas, siendo

A (1,2,3) B (4,2,1) C(-6,5,3) D(1,5,-2)

41

CAPÍTULO IV: CAMPO VECTORIAL IV.1 CAMPO VECTORIAL

Cuando a cada punto del espacio le corresponde un vector fijo, constante o variable, se crea un campo vectorial.

Estos vectores pueden ser fijos o variables, dependiendo de parámetros constantes o variables y creando campos vectoriales constantes o variables.

IV.2 MOMENTO CENTRAL DE UN VECTOR En un sistema de referencia OXYZ, definimos un vector V(X,Y,Z)

aplicado en el punto, P’(x’,y’,z’), y vamos a definir el Momento Central del vector V respecto a un punto, P(x,y,z), como el vector fijo asociado al punto P, definido por la igualdad vectorial:

MP = PP’ × V = [(x’ – x) · i + (y’ – y) · j + (z’ – z) · k] × (X i + Y j + Z ·k)

⏐ i j k ⏐

Mr

P = ⏐x’ – x y’ – y z’ - z⏐ = MX i + MY j + MZ k ⏐ X Y Z ⏐

Este momento central, tiene como componentes sobre los ejes MX, MY, MZ:

⏐ y’ – y z’ – z⏐ ⏐z’ - z x’ – x ⏐ ⏐ x’ – x y’ – y ⏐ MX = ⏐ ⏐ MY = ⏐ ⏐ MZ = ⏐ ⏐

⏐ Y Z ⏐ ⏐ Z X ⏐ ⏐ X Y ⏐

y está aplicado en el punto P. este vector fijo, es de naturaleza distinta al vector V y nunca podrá componerse con éste o análogos.

Si repetimos el proceso respecto a todos los puntos del espacio, y asociamos a cada punto su momento central, habremos creado un campo vectorial asociado a un vector.


42

Tomemos otro punto P” (x”, y”, z”) sobre la recta base de V y hallemos el producto vectorial:

PP” × V = (PP’ + P’P”) × V = PP’ × V + P’P” × V = PP’ × V = Mr

P

por lo tanto, el momento central de un vector V, no depende del punto P que tomemos sobre la recta base y por lo tanto el vector fijo V se comporta como si fuera un vector deslizante, en lo que respecta a momentos centrales.

El módulo del momento central, según la definición de producto vectorial es el área del paralelogramo definido por los vectores PP’ y V indicado en la figura adjunta. Esta área vale la mitad del módulo de V por la altura h del triángulo correspondiente al punto P y por tanto:

⏐ Mr

P⏐ = h · ⏐Vr

⏐

a la altura h se la llama brazo del vector, y el módulo del momento central vale el producto del módulo de V

r por su brazo h.

Tomemos otro punto P4 con la única condición de que no esté sobre la recta base de V. Calculemos el momento central respecto a este punto:

4PMr

= P4P’ × Vr

= (P4P + PP’) × Vr

= P4P × Vr

+ PP’ × Vr

= MP + P4P × Vr

luego el momento central de un vector respecto a un punto cualquiera, es igual al momento central respecto de otro punto, más el momento central de un vector equipolente al primero aplicado en el segundo punto, respecto al primero.

De todo el razonamiento anterior, podemos obtener las siguientes conclusiones:

1º. Para definir el campo vectorial de un vector, no necesitamos distinguir entre vectores fijos y deslizantes.

Y X

Z P3 P

h V P4 P’

P”

Capítulo IV: Campo vectorial

43

2º. Para definir el campo vectorial de un vector V, conociendo el momento central en un punto y el vector V, no es necesario distinguir entre vectores fijos, libres o deslizantes.

IV.3 MOMENTO ÁXICO DE UN VECTOR

Hemos visto que los momentos centrales de un vector V, respecto a dos puntos cualesquiera A y B vienen ligados por la expresión:

MB = MA + BA × V

y si consideramos la recta AB de versor u y proyectamos MA y MB sobre AB:

MB · u = MA · u + (BA × V) · u = MA · u

Proyección de MB sobre u = Proyección de MA sobre u = MOMENTO ÁXICO.

Esta proyección constante se llama M∆ momento áxico del vector V, respecto a la recta cuyo versor es u, y que por lo tanto es un escalar cuyo signo depende del que se tome como positivo sobre la recta al tomar el versor u.

Su expresión analítica será:

⏐ i j k ⏐ M∆ = (BA × V) · u ⏐xa - xb ya – yb za - zb ⏐ · u

⏐ X Y Z ⏐

o sea:

M∆ = (BA, V, u)

que representa un producto mixto de tres vectores, que sabemos que es el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores, o bien seis veces el volumen del tetraedro que tiene por aristas opuestas a los vectores V y u con el signo más si el triedro BA, V, u es destrogiro y con menos en el caso contrario.

Sea la recta R, cuyo versor es u (ux, uy, uz) y un vector fijo Vr

cuyo origen es el punto P. tracemos un plano π perpendicular a la recta r por un punto A de ella.

El momento central de V respecto al punto A, MA, tiene como módulo el doble del área del triángulo definido por el punto A y el vector V y el momento áxico:


44

De lo que antecede deducimos que el momento áxico será nulo cuando:

cuando V corta a la recta R, ya que entonces h = 0 cuando V es paralelo a R, ya que entonces cos α = 0 cuando v es nulo.

IV.4 SISTEMAS DE VECTORES Un conjunto de vectores en número indeterminado y con resultante finita,

se llama sistema de vectores. Los elementos característicos del sistema son:

1º. La resultante del sistema R: Es un vector libre, cuyas proyecciones sobre los ejes de referencia, son la suma de las proyecciones de todos los vectores del sistema considerados como vectores libres.

2º. El momento central del sistema respecto a un punto, que es un vector fijo igual a la suma de los momentos centrales de todos los vectores del sistema.

3º. El momento áxico del sistema respecto a una recta, que es la suma de los momentos áxicos respecto de la misma recta, de cada uno de los vectores del sistema.

Entre todos los momentos áxicos del sistema existe uno, de mayor importancia, que es el momento áxico respecto a rectas paralelas a la resultante del sistema.

M∆ = Mr

A · u = MA · cos αsiendo α el ángulo que forma MA con R, que al mismo tiempo es el ángulo que forman las normales al plano π y al plano del área del triángulo definido por A y V. Por lo tanto el multiplicar el doble del área por el coseno de αequivale al doble del área proyectada sobre el plano π, definida por el punto A y el vector V’ proyección de V sobre el plano π.

ur

π

MA MA

A

α V’ P

V

R


45

Sea un sistema de vectores Vr

i aplicados en los puntos Pi (xi, yi, zi) cuya resultante R

r = Σ V

ri, verificándose:

Rx = Σ Vix Ry = Σ Viy Rz = Σ Viz

el momento central:

MA = Σ APi × Vi

MB = Σ BPi × Vi = MA + Σ Ba × Vi = MA + BA × Σ Vi = MA + BA × R

y multiplicando escalarmente MB por R:

MB · R = MA · R + (BA × R) · R = MA ·R

MB · R = MA · R = cte = AUTOMOMENTO DEL SISTEMA.

el momento áxico será:

R

OAUTOMOMENTR

RMM A

rr

rr

=⋅

=∆

El AUTOMOMENTO del sistema es un INVARIANTE.

IV.5 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS VECTORIALES La clasificación de los sistemas vectoriales la vamos a establecer,

analizando la Resultante y el Automomento del sistema. Se pueden dar los siguientes casos:

1º. R ≠ 0 y R · M ≠ 0 Caso más general

2º. R ≠ 0 y R · M = 0 R perpendicular a M ó M = 0 3º. R = 0 y R · M = 0 M ≠ 0 Par de vectores

M = 0 Sistema nulo

Vamos a analizar cada uno de estos casos:

1º. R ≠ 0 y R · M ≠ 0

Consideremos el campo de los momentos centrales (M·C) creado por el sistema y sea R su resultante y MA el M·C en el punto A.


46

a) El M·C en un punto cualquiera B será: MB = MA + BA × R por lo tanto el campo de M·C queda definido conociendo el M·C en un punto cualquiera y R.

b) El lugar de los puntos B en que MB es equipolente a MA se obtendrá haciendo BA × R = 0 y entonces MB = MA. Como BA y R son distintos de cero, tienen que ser BA y R paralelos, luego el lugar geométrico será un recta paralela a R trazada por A.

c) El M·C respecto al origen de coordenadas:

⏐i j k ⏐ Mr

0 = Σ ⏐xi yi zi ⏐ y sus componentes sobre los ejes o momentos áxicos ⏐Xi Yi Zi ⏐

⏐yi zi ⏐ ⏐zi xi ⏐ ⏐xi yi ⏐ M0X = Σ ⏐ ⏐ M0Y = Σ ⏐ ⏐ M0Z = Σ ⏐ ⏐

⏐Yi Zi ⏐ ⏐Zi Xi ⏐ ⏐Xi Yi ⏐

d) El M·C en un punto cualquiera B en función de M0:

⏐i j k ⏐ MB = M0 + BO × R = M0 + ⏐- xB -yB -zB ⏐

⏐X Y Z ⏐ e) El automomento vale R·M y es un invariante en todos los puntos del

espacio.

R · M = R · MA = R · MB = ......................

f) Por cada punto del espacio tracemos una recta paralela a R y proyectemos su M·C sobre dicha recta. En todos los puntos del espacio esa proyección es constante y vale Mm.

Considerando los infinitos triángulos rectángulos definidos por Mm y M, siendo M la hipotenusa, se verificará M ≥ Mm, luego el momento será mínimo cuando sea paralelo a R y vale:

A B C

Mm Mm MmMM

MA MB

MC R R R

R

E

ME


47

RMRM m r

rr·=

Los momentos áxicos del sistema respeto a rectas paralelas a R, son iguales y en aquellos que además el M·C es paralelo a R, este es M·C mínimo Mm.

g) El lugar geométrico de los momentos centrales mínimos, es una recta paralela a R, que se llama EJE CENTRAL y que se obtiene expresando el paralelismo de R y M.

2·

RMR

RM

RM

RM

Z

Z

Y

Y

X

X ===

h) Vamos a representar el campo de M·C. Para ello tomaremos sobre

el eje central, un punto O y trazaremos por él un plano π perpendicular a dicho eje central. Tracemos una recta en el plano π pasando por O y tomemos en ella un punto A y hallemos su M·C en función de R

r y su M

r0 aplicados en O.

Mr

A = Mr

0 + AO × Rr

Cuando movemos el punto A sobre la recta alejándonos de O, el MA

aumenta en función de la distancia AO. Si trazamos por a una recta paralela a R veremos que los M·C en ella son equipolentes a MA. Por tanto el lugar geométrico de los puntos en los que sus M·C son equipolentes, es una recta paralela a R. El lugar geométrico de los puntos en los que su M·C tiene el mismo módulo es una superficie cilíndrica cuyo eje es el eje central.

M

π

A2

M O

A1 MA1

M A´

M

E.C.

B

MB

R M

MA´

M MA


48

2º R ≠ 0 y R · M = 0 R perpendicular a M

Al ser R perpendicular a M en todos los puntos, no puede ser R paralelo a M y por lo tanto no existe el eje central, a no ser que en algún punto del espacio su M·C sea nulo, en cuyo caso la recta paralela a R pasando por él, sería el eje central. El sistema se reduce a la R aplicada en el eje central.

3º R ≠ 0 R · M = 0 M = 0

El ser M = 0 implica R · M = 0. Si M = 0 en todos los puntos del espacio, quiere decir que el campo M · C es nulo, y esto no puede ser ya que R ≠ 0 y por tanto es imposible.

4º R = 0 R · M = 0 M = 0

El campo M·C se reduce a un momento central constante en todos los puntos del espacio.

5º R = 0 R · M = 0 M = 0

El sistema es un sistema nulo. Resumiendo: Para que un sistema se reduzca a una R única o a un M único

se tiene que verificar:

R · M = 0

y además y respectivamente: R ≠ 0 y M ≠ = 0

IV.6 CASOS PARTICULARES A) Vectores coplanarios

MO = Σ OPi × Vi y MB = MO + BO × R

siendo B (x, y, z) un punto genérico, que puede estar fuera del plano XY.

En el caso particular en el que el sistema general esté en un plano, es decir que todos los vectores que lo forman sean coplanarios, tomaremos este plano como plano XY del sistema de referencia; suponiendo que MO sea el M·C correspondiente al origen O del sistema de referencia, se tiene:

B(x,y,z) Z

O

X

Y

C(λ,µ,0) Pn nV&&&

R iV&&&2V&&&

1V&&&

P1

P2 Pi


49

Tomemos sobre el plano XY un punto C (λ, µ, 0) tal que se verifique:

Σ Yi · xi = λ Y y Σ xi · yi = µ x1 de donde

YxY ii∑ ⋅

=λ X

yx ii∑ ⋅=µ

siendo Σ Vi = R = X · i + Y · j + Z · k

⏐ i j k ⏐ MO = Σ OPi × Vi = Σ ⏐xi yi zi ⏐ = (Σ Yi·xi - Σ Xi·yi) k = (λ·Y - µ·X) k ⏐Xi Yi Zi ⏐ ⏐i j k ⏐ MO = Σ OPi × Vi = ⏐λ µ 0 ⏐ = OC×R ⏐X Y 0 ⏐

y sustituyendo:

MB = OC × R + BO × R = (OC + BO) × R = BC × R

MB = Σ (BPi × Vi) = BC × R

que constituye el Teorema de Varignon para un sistema plano y dice: “La suma de los momentos de un sistema de vectores, respecto a un punto,

es igual al momento de la resultante del sistema aplicada en el punto C de coordenadas C (λ, µ, 0).

B) Vectores concurrentes

Sea un sistema de vectores concurrentes en el punto P (x y z) . el momento en el punto P será nulo MP = 0. El momento en otro punto cualquiera B será:

MB = MP + Σ BP × Vi = BP × Σ Vi = BP × R

que constituye el teorema de Vringnon para vectores concurrentes y dice: La suma de los momentos de un sistema de vectores concurrentes en un punto, respecto a otro cualquiera del espacio es igual al momento de la resultante del sistema aplicada en el punto de concurrencia de los vectores.

C) Vectores paralelos El sistema de vectores considerado es paralelo y por lo tanto:

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Mecanica de los medios continuos · MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS 2ª Edición Leandro Alloza Cerdá Ingeniero de Caminos Ingeniero Técnico de O.P. Profesor Titular de la U.P.A