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Mecánica Racional Capítulo 3 Ing. Lino Spagnolo

Cinemática

La Mecánica necesita, para estudiar el movimiento de cuerpos y partículas sometidos a la acción o no de fuerzas internas o externas al sistema considerado, de diversas herramientas matemáticas. Entre ellas ya hemos visto el cálculo vectorial que posibilita el tratamiento de los diferentes campos vectoriales como ser: fuerzas, momentos, desplazamientos, velocidades, aceleraciones, rotaciones, etc. La siguiente herramienta necesaria es el formalismo matemático que describe el movimiento de un punto material o de un cuerpo. Por punto material debe entenderse un modelo de partícula muy pequeña en relación con la distancia que lo separa de los demás cuerpos del sistema, puede ser grande o pequeña, la cual pueda ubicarse en el espacio por un solo vector posición. Por ser un punto material su orientación en el espacio y su dimensión real no deben ser relevantes para el análisis que se está efectuando. El movimiento de la tierra alrededor del sol, considera la esfera terráquea como un punto material; el movimiento de un auto en la carretera, a los efectos de su velocidad y aceleración, también se asimila al de un punto material. Por el contrario, si se analizara el vuelco de un auto en la carretera, ya no podría tomarse como una partícula pues el giro del vuelco obligaría al análisis de un cuerpo rígido. La cinemática es precisamente el estudio del movimiento que hace uso de herramientas matemáticas y de los conceptos de espacio y tiempo, sin importarle las fuerzas que lo causan. El vector posición de una partícula se designa por rr , su velocidad instantánea, vr y su aceleración instantánea ar , que son las tres cantidades físicas fundamentales. Las tres tienen características vectoriales por lo cual siguen todas las leyes que les corresponden enunciadas en los capítulos 1 y 2. El esquema de movimiento de un punto material puede resumirse en las siguientes categorías: 1.-) Movimiento rectilíneo uniforme y movimiento acelerado. 2.-) Movimiento curvilíneo en diferentes sistemas de coordenadas. 3.-) Movimiento a lo largo de curvas específicas o vinculado. 4.-) Movimiento relativo o movimiento referido a ternas móviles. En todos los casos no importará la causa que provoque tal movimiento, por ello la cinemática debe considerarse una herramienta geométrica y analítica que permite a la

2

Mecánica establecer las formas de movimiento que se les imprimen a los cuerpos y a los puntos materiales cuando están sometidos a un sistema de fuerzas. La cinemática trata con un quinto tipo de movimiento denominado “movimiento rototraslatorio de los cuerpos rígidos”. En este capítulo analizaremos la cinemática del punto material y en el capítulo XX se analizará la cinemática del cuerpo rígido. 1.-) Movimiento en coordenadas cartesianas, uniforme o acelerado Es el movimiento más sencillo y fácil de comprender y analizar. Si el vector posición se define en función del tiempo como ( )r r t=

r r lo describiremos en

coordenadas cartesianas ortogonales, en cuyo caso las ecuaciones paramétricas de la trayectoria serán:

( )( )( )

x x ty y tz z t

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

(3-1)

La velocidad instantánea es definida por la derivada temporal:

0

( ) ( ) ˆ ˆlim ( ) ( ) ( )t

r t t r t drv x t i y t j z t kt dtΔ →

+ Δ −= = = + +

Δ

r r r rr& & & (3-2)

También existe la velocidad media en un intervalo de tiempo, llamada v% :

2 1

2 1

( ) ( )r t r tvt t−

=−

r r% (3-3)

La aceleración instantánea también se define por la derivada temporal de la velocidad instantánea:

0

( ) ( ) ˆ ˆlim ( ) ( ) ( )t

v t t v t dva x t i y t j z t kt dtΔ →

+ Δ −= = = + +

Δ

r r r rr&& && && (3-4)

La aceleración instantánea es: 2

2dv d radt dt

= =r r

r

Y la aceleración media es a% :

2 1

2 1

( ) ( )v t v tat t−

=−

r r% (3-5)

Si se conoce la ecuación del movimiento de una partícula, ( )r tr en función del tiempo, hallar su velocidad es realizar una simple derivada.

3

Si se conoce la velocidad de una partícula en función del tiempo, para conocer su desplazamiento se deberá integrar:

( ) ( ).r t v t dt= ∫r r

y si vr es constante: 0r vt r= +r r r

(3-6)

Del mismo modo, si conocemos la aceleración de una partícula en función del tiempo, para conocer su desplazamiento se deberá integrar dos veces:

( ) ( ).v t a t dt= ∫r r

y luego ( ) ( ).r t dt a t dt= ∫ ∫r r

(3-7)

y en el caso que ar es constante: 0v at v= +

r r r y luego se aplica (3-6)

En el caso de un movimiento rectilíneo:

2 2

1 1

20 0 0

1( ) ( ). ( . )2

t t

t tr t v t dt a t v dt at v t r= = + = + +∫ ∫r r r r r r r

(3-8)

Si el movimiento es rectilíneo, con aceleración constante, y además en una dirección simple como x , las ecuaciones son: 0xx s v t x= = + también: 0x s vt x= = +

0x xv a t v= + también: 0v at v= +

20 0

12 xx s a t v t x= = + + también: 2

0 012

s at v t x= + +

Otra ecuación es: 2 20 02 ( )v v a x x= + −

La ecuación del movimiento de una partícula en función del tiempo tiene la notación común de: ( )r r t=

r r si es vectorial. ( )r s s t= = cuando es escalar. ( )x x t=

cuando es rectilínea. (O también ( ) ; ( )y y t z z t= = ). Ejemplo:

Un móvil puntual (una camioneta) tiene una velocidad inicial de 30 mvs

= .

En ese momento frena moviéndose con aceleración negativa constante hasta detenerse al cabo de 75m . Hallar la aceleración empleada. Solución: Si se emplea la última fórmula, se soluciona el problema:

Dado que 2 2 2 200 30 ( )mv y v

s= = , se tiene:

2

230 6

2 75mas

= − = −×

4

(Resolver el mismo problema utilizando las otras ecuaciones.) Problemas 3-1: a) Se desea acelerar una partícula de forma tal que adquiera una velocidad de

120 Kmh

luego de recorrer 100m partiendo desde una posición inicial 0x = y con

velocidad nula. (Respuesta: 25,55 mas

= ).

b) Una partícula tiene la siguiente ecuación de movimiento:

3 215( ) 12 10( )2

s t t t t m= − + +

En el instante 0t = la partícula parte de la posición 0 10s m= y con una

velocidad inicial 23 15 12( )mv t ts

= − + .

Calcular: a) Para qué valores de t se anula la velocidad. b) A qué distancias s se producen las anulaciones de v . c) Qué distancias recorre durante: 1 ; 2 ; 4 ; 6seg seg seg seg d) Para qué valor de t se anula la aceleración.

Respuestas: Es ilustrativo representar gráficamente las curvas de , ,s v a en función del tiempo.

a) En 1 4t y t= = b) En 15,5 2s m y s m= = d-) La aceleración se anula en 2,5t seg=

c) Una partícula tiene inicialmente el siguiente vector posición:

ˆˆ ˆ5 6 ( )r i j k m= + +r

y una aceleración de

22

ˆˆ ˆ6 5 10 ( )ma t i t j ks

= + +r

Si parte inicialmente con velocidad nula, ¿cuál será su posición, velocidad y aceleración al cabo de 10 segundos? Respuestas:

5

ˆˆ ˆ1000 4166 500 ( )r i j k m= + +r

2ˆˆ ˆ60 500 10 ( )ma i j k

s= + +

r

Problema 3-2: Se conoce la velocidad de una partícula en los instantes 1 2t y t :

1 1

2 2

ˆˆ ˆ2 16 3 18

ˆ ˆ5 5 16

mEn t v i j k en smEn t v i j en s

⎧ = = + +⎪⎨

= = − +⎪⎩

r

r

Y para la aceleración se conoce su fórmula como:

ˆˆ ˆ lnqa pt i j r t kt

= + +r

con , ,p q r constantes.

Determinar la aceleración de la partícula en los instantes 1 2t y t . Solución: La solución de este problema consiste en integrar la aceleración para obtener la expresión de la velocidad, con el fin de hallar las constantes incógnitas

, ,p q r . La integración de los vectores sigue la conocida regla de:

( ) ( )a t dt v t C= +∫rr

donde Cr

es un vector constante.

También se puede

integrar como: 2

12 1( ) ( ) ( )

t

ta t dt v t v t= −∫r r r

siendo las dos velocidades datos del

problema. La integral de la aceleración es:

2

2

11

52

2

1 ˆˆ ˆ( ) ln (ln 1)2

tt

tt

a t dt pt i q t j rt t k=

=

⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫r

Y la integral debe igualarse a:

2 1ˆˆ ˆ( ) ( ) 21 13 18v t v t i j k− = − + −

r r Luego igualando:

1 ˆˆ ˆ) (21) 21 ; ) (ln 5 ln 2) 13 ; ) (3,045 0,614) 182

i p j q k r= − − = + = −

6

Se obtienen los valores de las constantes: 2 ; 14,18 ; 4,919p q r= − = = −

Que permiten obtener la aceleración en 1 2t y t . ˆˆ ˆ lnqa pt i j r t kt

= + +r

1

1

2( 2)

2( 5)

14,18 ˆˆ ˆ4 4.919(ln 2) ( )2

14,18 ˆˆ ˆ10 4.919(ln 5) ( )5

t

t

ma i j ks

ma i j ks

=

=

= − + −

= − + −

r

r

Problema 3-3: (A resolver). Se conoce la posición de una partícula en los instantes 1 2 3; ;t t t :

1 1

2 2

3 3

ˆˆ ˆ2 8 20 10ˆˆ ˆ5 3 2 5

ˆˆ ˆ10 10 5 10

En t r i j k en m

En t r i j k en m

En t r i j k en m

⎧ = = − +⎪⎪ = = + +⎨⎪

= = + −⎪⎩

r

r

r

Y para la aceleración se conoce su fórmula como:

2 ˆˆ ˆ lna pt i qt j r t k= + +r

con , ,p q r constantes. Determinar la aceleración de la partícula en los instantes 2 3t y t . 2.-) Movimiento curvilíneo en diferentes sistemas de coordenadas Muchos problemas físicos tienen algún tipo de simetría por lo que resulta conveniente, para su análisis, utilizar un sistema de coordenadas con el mismo tipo de simetría. Tales son los casos de movimientos centrales que requieren un sistema de coordenadas polares para simplificar sus ecuaciones. Lo mismo ocurre con la simetría cilíndrica que requiere de ese sistema de coordenadas, o de la simetría esférica. Hay tipos de movimientos que se desarrollan sobre o a lo largo de una curva o trayectoria especial; en tales casos es posible recurrir al sistema de coordenadas intrínsecas o sistema de componentes tangenciales y normales.

7

Coordenadas Cilíndricas y Polares planas En el Capítulo 1 hemos estudiado cómo se descomponía un vector en ese tipo de coordenadas; para no repetir temas nos referiremos al vector posición como se analizó en ese parágrafo. Las componentes directas e inversas del vector posición eran:

2 2 1

cos ; sin ;

; tan ;

x y z zyx y z zx

ρ θ ρ θ

ρ θ −

= = =

= + = =

O sea: ˆ ˆ ˆcos sin zr e e z eρ θρ θ ρ θ= + +

r (3-9)

para las coordenadas cilíndricas. Y el vector

ˆ ˆcos sinr e eρ θρ θ ρ θ= +r

(3-10)

para las coordenadas polares en el plano.

Si el vector posición es variable en función del tiempo, podemos hallar sus componentes de velocidad y aceleración derivándolo con respecto al tiempo. Como se vio en el Capítulo 1, el vector posición en coordenadas cilíndricas, era: ˆ ˆzr OP e zeρρ= = +

r

Su derivada temporal:

ˆ ˆˆ ˆ z

zde dedr e ze z

dt dt dtρ

ρρ ρ= + + +r

& & (3-11)

Cuando el vector posición pasa de la posición P a otra próxima P P+ Δ , las tres componentes varían y también lo hace el versor

eρ que rota a una nueva posición 'eρ en la cual el versor tiene el mismo módulo pero cambió su posición. Tal como se ve en la figura, al rotar eρ en un

ángulo θΔ da origen a un vector eρΔ que al pasar al límite para un 0t θΔ →Δ → nos define la derivada:

8

ˆ ˆ ˆde de ded

dt d dt dρ ρ ρθ θ

θ θ= = & (3-12)

Y donde el límite del cociente (cuerda/ángulo natural) 0

ˆˆlim

eeρθδθ θ→

Δ→

Δ es un versor

de módulo unitario, y con la dirección del versor normal a eδ que es precisamente eθ ;

por lo cual esa derivada es ˆ

ˆde

ed

ρθθ

= .

La otra derivada, del versor ˆze , al variar la posición de P , consiste en un desplazamiento de dicho versor a lo largo de z , por lo tanto su derivada es el mismo versor ˆze .

Así la velocidad en cilíndricas será: ˆ ˆ ˆzdrv e e zedt ρ θρ ρθ= = + +r

r && & (3-13)

Mientras que en coordenadas polares será: ˆ ˆdrv e edt ρ θρ ρθ= = +r

r && (3-14)

Las componentes de la velocidad se llaman respectivamente: radial, transversal y vertical. En el caso del movimiento plano sólo hay componente radial y transversal. Estas fórmulas pueden verificarse derivando las (3-9) o las (3-10) y expresando sus valores en las coordenadas cilíndricas o polares. Para la aceleración se derivará la velocidad y con razonamientos como los anteriores acerca de las derivadas de los versores, se obtiene:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆz

de dedva e e e zedt dt dt

ρ θρ θ θρ ρ ρθ ρθ ρθ= = + + + + +

rr & && &&& & & &&

Cilíndricas: 2 ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) zdva e e zedt ρ θρ ρθ ρθ ρθ= = − + + +r

r & & &&&& & && (3-15)

Polares: 2 ˆ ˆ( ) (2 )dva e edt ρ θρ ρθ ρθ ρθ= = − + +r

r & & &&&& & (3-16)

9

Problema 3-4: Un punto material se mueve a lo largo de la hélice cilíndrica A B− en el sentido creciente del ángulo θ . Su aceleración angular es 5tγ = y su movimiento

vertical es 24 3z t= + , siendo 8cmρ = el radio del cilindro. Hallar su velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas y sus valores particulares luego de 4 .t seg= Solución: Las características del movimiento descripto en el problema implican que el radio del cilindro ρr sea de módulo constante y que la aceleración angular sea

5tγ θ= =&& . La velocidad se obtiene con la fórmula:

ˆ ˆ ˆzdrv e e zedt ρ θρ ρθ= = + +r

r && &

Donde: 0 ;ρ =& 20

5.2

tdt tθ θ= =∫& &&

2 ˆ ˆ20 6 zv t e t eθ∴ = +r

En el instante 4 .t seg= , punto P la

velocidad es: ˆ ˆ320 24 ( )zcmv e esθ= +

r

Para la aceleración, usaremos: 2 ˆ ˆ ˆ( ) (2 ) zdva e e zedt ρ θρ ρθ ρθ ρθ= = − + + +r

r & & &&&& & &&

Cuyos valores, al derivar, son: 42ˆ ˆ ˆ( 50 ) (40 ) 6 ( )z

cma t e t e esρ θ= − + +

r

Y a los 4 seg , la aceleración es: 2ˆ ˆ ˆ256 160 6 ( )zcma e e esρ θ= − + +

r

Problema 3-5:

10

Una partícula se mueve sobre una elipse cuyas ecuaciones paramétricas son

3sin5cos

x ty t=⎧

⎨ =⎩ sin considerar las unidades. Hallar su velocidad y aceleración en

coordenadas polares para un instante cualquiera y para un tiempo 0,7t = Solución:

Dado que las ecuaciones paramétricas anteriores no están en coordenadas polares, para resolver el problema en las componentes polares deberemos plantear las relaciones entre las coordenadas cartesianas y las polares. En el problema propuesto, podemos expresar a ρ en función de ( ) ( )t tx e y

como: ( ) ( )ˆ ˆ

t tx i y jρ = +r

y en consecuencia su módulo será:

2 2( ) ( )x t y tρ = +

y luego hallar su derivada para obtener la velocidad en coordenadas polares cuya fórmula general es:

ˆ ˆdrv e edt ρ θρ ρθ= = +r

r &&

La velocidad radial eδρ& vale:

2 2

2 2

9sin 25cos32sin cos

2 9sin 25cos

t tt t

t t

ρ

ρ

= +−

∴ =+

&

Que para 0,7t = da: 4,28ρ = y 1,84ρ = −&

El movimiento sobre la elipse comienza en el punto A , pasa por el punto P en que el parámetro 0,7t = y termina en B

Para las coordenadas polares el ángulo θ debe ser creciente, mientras que en este movimiento ese ángulo decrece, dado que el movimiento comienza en A , por lo cual su velocidad angular de “decrecimiento”, o sea θ& , debe tomarse negativa.

11

Para hallar la velocidad transversal: eθρθ& debemos saber cómo varía el ángulo con el tiempo. La relación del ángulo θ con las coordenadas ,x y está dado por la relación:

1tan yx

θ −= Con yux

= , su derivada con el tiempo es: 12(tan )

1d uudt u

− =+&

Por lo tanto se tiene 2 2

12 2 2

15(sin cos )(tan ( ))d y xy yx t tdt x x y ρ

− − − += =

+& &

Tomando como negativa a θ& , su valor será: 215θρ

=& y para 0,7t = 215

4,28θ =&

Reemplazando en la velocidad: ˆ ˆ ˆ ˆ; 1,84 3,5drv e e v e edt ρ θ ρ θρ ρθ= = + = − +r

r r&&

Y cuyo módulo es: 3,95v =r

Cálculo de la aceleración: Su valor es: 2 ˆ ˆ( ) (2 )a e eρ θρ ρθ ρθ ρθ= − + +

r & & &&&& &

Partiendo de los valores antes obtenidos: 232sin cos 15;

2t tρ θρ ρ

−= =&&

Calcularemos las demás derivadas:

22

3 3 3

2 2 2 2

2 3

15 32 15sin cos 30 16sin cos; 2 ;

16 (cos sin ) 16 (sin cos )

t t t t

t t t t

ρθ ρθ ρθρ ρ ρ

ρρρ ρ

− × ×= = =

−= − −

& & &&&

&&

Reemplazando para 0,7t = :

2 1,41 2,87 4,28

2 0

ρ ρθ

ρθ ρθ

− = − − = −

+ =

&&&

& &&& ˆ4,28a eρ∴ = −

r

Problemas propuestos

12

1.− Una partícula se mueve en un plano y las ecuaciones del movimiento o de

su trayectoria son: cosh tt

ρ ωθ ω=⎧

⎨ =⎩ Obtener las componentes de su velocidad y

aceleración en coordenadas polares. Verificar que el movimiento es circular uniforme. 2.− Una partícula se mueve en un plano y las ecuaciones del movimiento o de

su trayectoria son:

3

212

at

bt

ρ

θ

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

Obtener las componentes de su velocidad y

aceleración en coordenadas polares. 3.− Hallar la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano x y− con

velocidad de componentes cartesianas ;x yV ky V kx= = . Si inicialmente la partícula

se encuentra en la posición 0ˆr iα=r , calcular el tiempo que tarda en alcanzar una

posición genérica ˆ ˆr x i y j= +r

. Usar un sistema de coordenadas apropiado. 4.− El movimiento de una partícula sobre una circunferencia de radio R viene

dado por las ecuaciones:sincos

x R ty R t

ωω

=⎧⎨ =⎩

Obtener las componentes de su velocidad y

aceleración en coordenadas polares. Componentes esféricas de velocidad y aceleración Las componentes directas e inversas del vector posición eran:

13

Si el vector posición es variable en función del tiempo, podemos hallar sus componentes de velocidad y aceleración derivándolo con respecto al tiempo. Ahora, el vector posición en coordenadas esféricas, viene dado por la fórmula:

ˆrr OP r e= =r

(3-18) Cuando el punto P se desplaza en una magnitud elemental hasta P P+ Δ intervienen tres tipos de desplazamientos posibles: uno en el sentido del vector posición,

es decir en la dirección dada por el versor ˆr

rre

rr

∂∂=

∂∂

r

r

Otra en el sentido de la colatitud, cuando varía el ángulo θ que el vector posición

forma con el eje z , dirección dada por el versor ˆr

erθ

θ

θ

∂∂=

∂∂

r

r

Y el último, en el sentido de la longitud, cuando varía el ángulo ϕ , que es el ángulo que forma la proyección del vector posición sobre el plano x y− con el eje x , o sea,

la dirección dada por el versor

re

rϕϕ

ϕ

∂∂=

∂∂

r

rr .

2 2 2

2 21

1

sin cos

sin sin tan

cos tan

x r r x y z

x yy r

zyz rx

θ ϕ

θ ϕ θ

θ ϕ

−

−

= = + +

+= =

= =

Para convertir la distancia r OP=r

a las coordenadas cartesianas, se proyecta sobre los tres ejes:

ˆsin cos

ˆˆsin sin cos

r r i

r j r k

θ ϕ

θ ϕ θ

= +

+ +

r

(3-17)

14

La velocidad de desplazamiento de un punto P viene dada por la derivada temporal de ˆrr r e=

r:

ˆˆ rr

dedrv re rdt dt

= = +r

r& (3-19)

Donde la derivada del versor ˆre tiene tres direcciones posibles de variación ˆ ˆ ˆ,re e y eθ ϕ . El desplazamiento del vector posición rΔr es la suma de los desplazamientos:

1 ˆrr r eΔ = Δr

2 ˆr r eθθΔ = Δr

sentido de eθ

3 ˆ( sin )r r eϕθ ϕΔ = Δr

en eϕ . En consecuencia el desplazamiento total será la suma: 1 2 3 ˆ ˆ ˆsinrr r r r e r e r eθ ϕθ θ ϕΔ + Δ + Δ = Δ + Δ + Δ

r r r

Si se divide todo por tΔ y lo hacemos tender a cero, obtenemos la expresión de la derivada, o sea, la velocidad del punto P :

ˆ ˆ ˆsinrv r e r e r eθ ϕθ θ ϕ= + +r & && (3-20)

Una forma más analítica para llegar a la fórmula anterior, es considerar al vector posición como:

ˆˆ ˆsin cos sin sin cosr r i r j r kθ ϕ θ ϕ θ= + +r

y luego hallar: ˆˆ ˆˆ sin cos sin sin cosr

rre i j k

rr

θ ϕ θ ϕ θ∂

∂= = + +∂

∂

r

r (3-21)

a continuación hallar:

ˆ( sin cos cos cos )ˆ ˆ(sin cos cos sin )

ˆsin

r

ide jdt

k

θ ϕϕ θ ϕθ

θ ϕϕ θ ϕθ

θθ

⎧ − + +⎪

= + + −⎨⎪−⎩

&&

&&

&

(3-22)

Verificando que equivale a:

15

ˆ ˆ ˆsinrde e e

dt θ ϕθ θ ϕ= +& &

Que al reemplazar en ˆˆ r

rdedrv re r

dt dt= = +

rr

& obtenemos nuevamente (3-20).

Para la aceleración se derivará la velocidad y con razonamientos como los anteriores acerca de las derivadas de los versores, sobre todo teniendo en cuenta las fórmulas (3-21), (3-22) y (3-23):

ˆ ˆ ˆ( sin )rdv da r e r e r edt dt θ ϕθ θ ϕ= = + +r

r & &&

ˆˆ ˆˆ cos cos cos sin sinr

e i j krθ

θ θ ϕ θ ϕ θθ

∂∂= = + −

∂∂

r

r (3-23)

ˆ ˆˆ sin cosr

e i jrϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

∂∂= = − +

∂∂

r

r (3-24)

Se obtiene:

2 2

2

ˆ( sin )

ˆ( 2 sin cos )ˆ( sin 2 sin 2 cos )

rr r r e

a r r r e

r r r eθ

ϕ

θ θ ϕ

θ θ θ θϕ

θϕ ϕ θ θθϕ

⎧ − − +⎪⎪= + + − +⎨⎪+ + +⎪⎩

& &&&r && & &&

&&& & &&

(3-25)

16

Si el punto P se desplaza sobre un paralelo de la esfera a radio constante, un movimiento elemental es una rotación alrededor del eje z . En la figura adjunta se observa que al rotar un ángulo ϕΔ lo hará alrededor del eje z y su

velocidad angular será ϕr& en la

dirección de z o del versor k . De la misma forma, si rota un ángulo elemental θΔ sobre un meridiano lo hará alrededor del versor eϕ y con una

velocidad angularθr&

. Si sumamos las dos velocidades angulares obtenemos el vector velocidad angular total:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(cos sin )rk e e e eϕ θ ϕω ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ θ= + = + = − +rr r && & && & (3-26)

O también: ˆ ˆ ˆ ˆˆ ( sin cos )k e k i jϕω ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ= + = + = + − +rr r && & && & (3-27)

según la fórmula (3-23). En función de la velocidad angular ωr , que representa la velocidad de rotación de la terna móvil ˆ ˆ ˆ, ,re e eθ ϕ sobre la superficie de la esfera, se pueden obtener las siguientes relaciones, conocidas como fórmulas de Poisson:

ˆˆ

ˆ

r rê eê e

ê eθ θ

ϕ ϕ

ω

ω

ω

⎧ = ×⎪

= ×⎨⎪ = ×⎩

r&r&r&

(3-28)

Que expresan muy sencillamente la velocidad de rotación del versor en función de la velocidad angular del triedro y del mismo versor. Problema 3-6: Un observador sobre la superficie terrestre, con vector posición

0rr

, ubicado en el instante 0t = en el punto P de colatitud 0θ y longitud 0ϕ , observa que un avión levanta vuelo hacía la dirección noreste y mide que la altura sobre el nivel del suelo que va adquiriendo el avión crece según la fórmula:

25 th t e−= en metros.

17

Observa, además, que se aleja en sentido del paralelo según la ecuación: 5tϕ = y en sentido del meridiano según la fórmula 2tθ = − . Se pide calcular la velocidad y la aceleración del avión. Solución: Eligiendo un sistema de coordenadas esféricas ubicadas en el punto del observador, las ecuaciones a considerar son:

252

5

tr t et

tθϕ

−⎧ =⎪

= −⎨⎪ =⎩

Por lo cual, utilizando la velocidad en coordenadas esféricas: ˆ ˆ ˆsinrv r e r e r eθ ϕθ θ ϕ= + +

r & && Derivando se obtiene:

2 2 2ˆ ˆ ˆ[(10 5 ) ] [10 ] [25 sin ( 2 )]t t trv t t e e t e e t e t eθ ϕ

− − −= − − + −r

Luego, derivando nuevamente, se obtiene la aceleración, con la fórmula general:

2 2

2

ˆ( sin )

ˆ( 2 sin cos )ˆ( sin 2 sin 2 cos )

rr r r e

a r r r e

r r r eθ

ϕ

θ θ ϕ

θ θ θ θ ϕ

θϕ ϕ θ θθϕ

⎧ − − +⎪⎪= + + − +⎨⎪+ + +⎪⎩

& &&&r && & &&

&&& & &&

2 2 2[(10 20 5 ) 20 125 sin( 2 )] tra t t t t t e−= − + − − −

2 2[ 4(10 5 ) 25(10 5 )sin( 2 )cos( 2 )] ta t t t t t t eθ−= − − + − − −

2 2[10(10 5 )sin( 2 ) 20(5 )cos( 2 )] ta t t t t t eϕ−= − − − −

Problema 3-7: Una partícula está obligada a moverse en un plano de colatitud constante .Cteθ = en un entorno definido en coordenadas esféricas, el cual puede corresponder a un movimiento sobre la superficie terrestre.

18

Además debe cumplir con la condición de velocidades: .rV CteVϕ

=

Estudiar qué tipo de movimiento posible le corresponde. Solución:

Dado que: sin

rV r CV rϕ ϕ θ

= =&

& Integrando: sindr C d

rθ ϕ=∫ ∫

Se obtiene: 1.sin .ln sin . CCr C r e e ϕθ ϕθ ϕ= → = = Que es una espiral logarítmica en el plano de colatitud θ normal al eje z . Problema propuesto: Ídem al caso anterior pero ahora las condiciones que debe cumplir el movimiento de la partícula son:

. .V

r Cte y CteVϕ

θ= =

Hallar el tipo de movimiento posible. 3.-) Movimiento a lo largo de curvas específicas o mov. vinculado. Es frecuente que una partícula se mueva a lo largo de una trayectoria especial. Si esa trayectoria es una recta, el movimiento es rectilíneo y en tal caso ya se han visto las reglas de su análisis. Pero es frecuente también que la trayectoria sea una circunferencia, una parábola, una elipse, etc. En tales casos una técnica de estudio posible es el uso de un sistema de coordenadas que se mueven a lo largo de la trayectoria, como vimos en el caso de la rotación del triedro ˆ ˆ ˆ, ,re e eθ ϕ sobre la superficie de la esfera.

19

Tal triedro es conocido como triedro intrínseco o de Frenet, siendo sus versores unitarios y ortogonales, o sea, ortonormales. Si C representa una curva cualquiera en el espacio tridimensional, el triedro está formado por un versor tangente T a la curva, un

versor normal N en el plano osculador y normal al versor tangente y un versor B binormal, que resulta ser normal al plano formado por los vectores tangente y normal (plano osculador).

En geometría analítica se demuestra que los versores tangente, normal y binormal, resultan de la intersección de los siguientes planos y la curva C : Tangente T : intersección del plano osculador y el plano rectificante y es normal al plano normal. Tangente a la curva C .

Normal N : intersección del plano osculador y el plano normal y es normal al

plano rectificante. Normal principal a la tangente T y contenida en el plano osculador. Binormal B : intersección del plano normal y el plano rectificante y es normal al plano osculador. Normal a la tangenteT y a la normal principal. En la cinemática, el estudio del movimiento sobre una curva puede realizarse en forma paramétrica. El parámetro utilizado es la distancia s medida sobre la curva, entre la posición actual de la partícula y un origen fijo elegido a conveniencia, también sobre la curva. Luego las ecuaciones paramétricas de la tryectoria son:

( ) ; ( ) ; ( )

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

x x s y y s z z s

r s x s i y s j z s k

= = =

= + +r

La velocidad en el triedro cartesiano es definida como:

20

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )dx dy dz dx dy dzr v s i s j s k s i j kds ds ds ds ds ds

= = + + = + +r r& & & & & (3-29)

Precisamente, en geometría analítica se demuestra que la suma de las derivadas

ˆˆ ˆ ˆ( )dx dy dzT i j kds ds ds

= + + (3-30)

forma la expresión del versor tangente a la curva, de lo cual la cinemática aprovecha para formalizar la expresión simple de la velocidad de una partícula como:

ˆv sT=r

& (3-31)

La fórmula encierra una notable propiedad de la velocidad que no resaltaba en otros sistemas de coordenadas: El vector velocidad de una partícula es siempre tangente a su trayectoria y su módulo es la derivada de la función distancia ( )s t respecto al tiempo. Por tal motivo este sistema de coordenadas se llama también “sistema natural” de coordenadas (para la física). Otras fórmulas relativas a la velocidad son.

Referidas a la terna cartesiana, se tiene: 2 2 2s x y z= + +& & & & (3-32)

2 2 2 2 2v s x y z= = + +& & & &

2 2 2

ˆdr drdr r rdt dtTdrds s s x y zdt

= = = = =+ +

r rr r r& &

r& & & & &

(3-33)

Si el parámetro s en lugar de ser una distancia (un elemento de arco) fuese otro valor, por ejemplo un ángulo, el versor tangente sería:

ˆdr

dr dTds ds

d

ϕ

ϕ

= =

rr

La aceleración se calcula derivando la velocidad.

ˆˆ ˆ( )dv d dTr a sT sT s

dt dt dt= = = = +

rr r&& & && & (3-34)

21

Nuevamente se pone de relieve la simplicidad de la expresión del vector aceleración, como suma de solamente dos componentes.

Consideremos la derivada ˆ ˆdT dT s

dt ds= & sobre la trayectoria y tomemos un elemento de

ella en la cual nos desplazamos desde P a P P+ Δ con un diferencial de ángulo θΔ ,

en el punto P tenemos el versor tangente T , el versor normal N y el radio de curvatura de la trayectoria, que llamaremos R . Para llegar al punto P P+ Δ se recorre

el trayecto sΔ y allí se tiene un nuevo versor tangente ˆ ˆT T+ Δ de módulo unitario

pero girado respecto al versor origen T . Formando ahora dos triángulos elementales con , ( )O P y P P+ Δ , y

otro con ˆ ˆ ˆ', ( )O T y T T+ Δ , se puede establecer una relación de igualdad entre ambos por tener el mismo ángulo θΔ .

ˆ ˆ 1 ˆ

ˆT Ts T

R s RT

Δ ΔΔ= → =

Δ

Haciendo tender sΔ a cero, el módulo

de T es unitario y el TΔ tiene la dirección de la normal en el punto P .

Con lo cual la derivada se convierte en: ˆ ˆ 1 ˆdT dT s sN

dt ds R= =& & (3-35)

Reemplazando en (3-34) se obtiene

la fórmula de la aceleración: 21ˆ ˆ ˆ( )dv dr a sT sT s Ndt dt R

= = = = +r

r r&& & && & (3-36)

R es el radio de curvatura de la trayectoria en cada punto de la misma y 1R

es la

llamada curvatura de flexión o primera curvatura. Las dos componentes de la aceleración se llaman:

ˆsT&& es la aceleración tangencial o lineal.

22

2

ˆv NR

es la aceleración normal o centrípeta.

El valor de la curvatura principal o de flexión se obtiene de considerar las fórmulas:

ˆ ˆ1 1dT dT

R ds s dt= =

&

Mientras que el versor N puede calcularse (de (3-35) ) con: ˆˆ R dTN

s dt=&

Otras fórmulas relativas a la aceleración y a los versores ˆ ˆN y B son. Valor de la curvatura de flexión: El producto vectorial

2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )v vr r vT vT N BR R

× = × + =r r& && &

Tomando el módulo del producto vectorial y despejando:

3 31 r r r r

R v s

× ×= =r r r r& && & &&

& (3-37)

Si el movimiento ocurre en un plano, la velocidad, aceleración y la curvatura vienen dadas por:

2 2 2 2 2 2 2;v s x y a x y= = + = +& & & && &&

3 32 2 2

1

( )

r r xy yxR r x y

× −= =

+

r r& && &&& &&&r& & &

(3-38)

Si la curva en el plano viene dada en la forma usual de las ecuaciones explícitas:

2

''1( ) 3(1 ' ) 2

yy f x

R y= → =

+ (3-39)

Además, al ser una curva plana, el versor binormal es nulo, por lo tanto se puede poner:

ˆ ˆ 0T N⋅ = y como ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y x yT T i T j y N N i N j= + = +

Se pueden calcular: 0x x y yT N T N+ = por lo cual ˆ ˆ ˆ[( ) ]yy

x

TN i j N

T= − +

Como debe cumplirse que: 2 2

2

1( ) ( ) 11 ( )

yy y y

x y

x

TN N N

T TT

+ = ∴ =

+

Finalmente se tiene una expresión simplificada para el versor normal.

23

2

ˆ ˆ( )ˆ

1 ( )

y

x

y

x

Ti j

TNTT

− +=

+

(3-40)

Para curvas en el espacio en que existe un versor binormal, la ecuación del versor normal se obtiene de la expresión:

( )ˆ r r rN

r r s× ×

=× ⋅

r r r& && &r r& && &

(3-40)’

Los versores del triedro intrínseco cumplen entre sí las condiciones:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; ;T N B N B T B T N× = × = × = (3-41) Problema 3-8: Una partícula se mueve a lo largo de una

parábola de ecuación 214

y x= . Cuando

la partícula está en el punto (4,4)P su

velocidad es de 10 ms

y su aceleración

tangencial es de 210 ms

. Hallar la

aceleración total en el mismo punto. Solución:

La fórmula de la aceleración es 21ˆ ˆr a sT s NR

= = +r r&& && & de la cual

desconocemos el radio de curvatura. Además, dado que la curva está en coordenadas cartesianas, también nos interesará conocer las pendientes del versor tangente T y del

versor normal N . La curvatura de la parábola, por ser una curva plana y dada su ecuación en forma

explícita, nos permite usar la fórmula: 2

''1( ) 3(1 ' ) 2

yy f x

R y= → =

+ y como

21 1 1' ''4 2 2

y x y x y= → = → =

24

Reemplazando en 4x = hallamos ' 2y = y 1 1 0,0447

22,36R∴ = =

La aceleración normal: 2

24,47Nv maR s

= =

Asímismo la aceleración total: 2ˆ ˆ10 4,47 ( )ma T N

s= +

r

El versor tangente en P se halla con la tangente en ese punto:

' 1tan 2 tan 63,43º2Py x para xα α= = = ∴ =

Y como ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin 0,447 0,894T i j T i jα α= + → = +

Por otra parte, el versor N por ser normal al T ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos 0,894 0,447N i j i jα α= − + = − +

Y la aceleración total será: 2ˆ ˆ0,47 10,94 ( )ma i j

s= +

r

Problema 3-9: Un punto material se mueve sobre una hélice cilíndrica cuyas ecuaciones paramétricas son:

23sin ; 3cos ; 4 ; 2x y z tθ θ θ θ= = = = Hallar, en la terna intrínseca los siguiente valores para 3t = .

Velocidad - Aceleración - Los versores ˆ ˆT y N - El radio de curvatura. Solución: Obsérvese que ahora el parámetro s de la distancia sobre la curva, es reemplazado por el ángulo θ que produce igualmente un desplazamiento s θδ= siendo δ el radio del cilindro. El vector posición es:

2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3sin 3cos 4 2r xi yj zk i j k con tθ θ θ θ= + + = + + =r

Y, según la definición de velocidad, se tiene:

2 2 2

2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ(12 cos ) ( 12 sin ) (16 ) 20

v sT x y z T

v sT t t t T tTθ θ

= = + +

= = + − + =

r& & & &

r&

25

Para 23 2t y tθ= = el cálculo da: ˆ ˆ60v sT T= =r

&

Además se puede calcular la dirección de ˆ :T

ˆˆ ˆ3 3 4 ˆˆ ˆ ˆcos sin5 5 5ˆˆ ˆ

dx dy dzi j kd d dT i j kdx dy dzi j kd d d

θ θ θ θ θ

θ θ θ

+ += = − +

+ +

Y para el instante 3t = ˆˆ ˆ ˆ0,396 0,45 0,8T i j k= + +

ˆˆ ˆ ˆ60 23,77 27,03 48 60v T i j k v s= = + + → = =r

& Para la aceleración:

2 2(20. )ˆ ˆ ˆ ˆ20ds v ta T N T N

dt R R= + = +

&r

Nos falta conocer la curvatura y el versor N . La curvatura se halla con:

ˆ ˆ1 1 1 3 3ˆ ˆsin .4 cos .420. 5 5

3 .4.1 3520. 25

dT dT t i t jR ds s dt t

t

R t

θ θ= = = − − =

= =

&

Mientras que el versor N se calcula como: ˆˆ R dTN

s dt=&

25 12. 12.ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( sin cos ) sin cos

3.20. 5 5t tN i j i j

tθ θ θ θ= − − = − −

Y la aceleración será: 2

2ˆ ˆ ˆ ˆ20 48.va vT N T t NR

= + = +r

&

Reemplazando las direcciones de ˆ ˆT y N para 3t = se tiene:

ˆˆ ˆ ˆ ˆ20(0,396 0,45 0,8 ) 48 9(0,75 0,66 )a i j k i j= + + + × −r

26

ˆˆ ˆ332 276 16a i j k= − +r

Problema 3-10: (Repetir el problema 3-5 en coordenadas intrínsecas). Una partícula se mueve sobre una elipse cuyas ecuaciones paramétricas

son 3sin5cos

x ty t=⎧

⎨ =⎩ sin considerar las unidades. Hallar su velocidad y aceleración en

coordenadas intrínsecas para un instante cualquiera y para un tiempo 0,7t = Solución: El vector posición es ˆ ˆ3sin 5cosr t i t j= +

r

Y la velocidad es definida por 2 2ˆ ˆ ˆdrv sT T x y Tdt

= = = +r

r& & &

O sea: 2 2 ˆ9cos 25sinv t t T= +r

y en 0,7t = ˆ3,95v T=r

La velocidad tiene como única componente la dirección del versor tangente. Dado que el vector posición del punto P viene dado en coordenadas cartesianas, es posible conocer también la dirección del versor tangente en esas coordenadas.

2 2 2 2

ˆ ˆ3cos 5sinˆ9cos 25sin

dr r r t i t jTds s x y t t

−= = = =

+ +

r r r& &

& & &

Y en 0,7t = vale:

ˆ ˆ2,29 3,22ˆ ˆ ˆ0,58 0,823,95i jT i j−

= = −

Por lo tanto la velocidad es:

ˆ ˆ ˆ3,95 3,95(0,58 0,82 )v T i j= = −r

La aceleración se calcula con:

21ˆ ˆ ˆ( )dv dr a sT sT s Ndt dt R

= = = = +r

r r&& & && &

27

Donde 2 22 2

32sin cos9cos 25sin2 9cos 25sin

t ts t t st t

= + ∴→ =+

& &&

Reemplazando para 0,7t =

7,88 2,003,95Ta s= = =&&

Para hallar la aceleración centrípeta o normal, debemos hallar la curvatura con:

3 2 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ1 (3cos 5sin ) ( 3sin 5cos )

( 9cos 25sin )

r r t i t j t i t jR s t t

× − × − −= =

+

r r& &&

&

Reemplazando para 0,7t =

3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ1 (2,29 3,22 ) ( 1,93 3,82 ) 0,243,95

r r i j i jR s

× − × − −= = =r r& &&

&

La aceleración centrípeta vale: 2 23,95 3,78

4,13nsaR

= = =&

Y la aceleración total es:

ˆ ˆ2 3,78a T N= +r

de módulo 4,28a =r

Comparando este resultado con el obtenido en coordenadas polares, Problema 3-5, se observa que la velocidad en intrínsecas tiene una sola componente mientras tiene dos en polares. La aceleración tiene una sola componente en polares, dirigida al centro O, mientras que aquí tiene dos componentes, una según la tangente y otra según la normal a la curva. Si se quisiera conocer la dirección de la normal, se usará la ecuación:

2 2

ˆ ˆ ˆ3cos 5sinˆ ( )9cos 25sin

R dT R d t i t jNs dt s dt t t

−= =

+& &

Que para el tiempo 0,7t = , y por ser normal a T , nos da:

ˆ ˆ ˆ0,82 0,58N i j= − −

28

Si ahora hallamos el valor de la aceleración para

0,7t = con lo valores hallados de ˆ ˆT y N encontramos:

ˆ ˆ2 3,78ˆ ˆ ˆ ˆ2(0,58 0,82 ) 3,78( 0,82 0,58 )

a T N

i j i j

= + =

− + − −

r

ˆ ˆ1,93 3,82a i j= − −r

Si se compara este valor con el radio vector de P

ˆ ˆ ˆ ˆ3sin 5cos 1,93 3,82r t i t j i j= + = +r

Se nota que la aceleración tiene la misma dirección y sentido contrario que el radio vector. Igual resultado se obtuvo en el Problema 3-5. Ejemplo: Un interesante problema de persecución es el misil atacando a un avión al cual sigue, guiándose por sus gases de escape infrarrojos. En una terna cartesiana ortogonal se define la trayectoria del avión como 1 2C y con C la trayectoria del misil en su seguimiento. Las características del misil son que su velocidad en todo instante es tangente a su trayectoria 2C y apuntando siempre al target o blanco que es el avión. Sean ( ; )A AA x y las coordenadas del blanco en un instante cualquiera, con una velocidad ur tangente a su trayectoria; mientras que el misil ( ; )P x y tiene esas coordenadas y con una velocidad vr también tangente a su trayectoria.

Dado que en cada punto de su trayectoria 2C el misil apunta al avión A , la

condición se expresa como: tan A

A

y yx x

θ −=

−

Y como este valor coincide con la derivada de la trayectoria de 2C en el punto P la

condición se resume en: ' ( )A P Ay y y x x− = −

29

Problema 3-11 L

En los casos prácticos de persecución misil-avión, hay importantes simplificaciones tales como: la trayectoria del avión 1C es rectilínea, su velocidad es constante y la velocidad del misil también es de módulo constante en el camino 2C . Se toman como condiciones iniciales, para

0

0 00 0

/ 2

A P

A P

x xt y y y

ϕ π

= =⎧⎪= = =⎨⎪ =⎩

Mientras que para el instante genérico

( ;0)( ; )

A utt t

P x y⎧

= ⎨⎩

v y ur r son constantes

En el instante t considerado, el avión habrá recorrido la distancia ˆOA ut i= ,

mientras el misil habrá recorrido la distancia de la curva BP Vtρ= = .

30

Además la velocidad del misil es mayor a la del avión, por lo cual u kV= con k variando entre0 1k< < . La distancia recorrida por el avión podemos igualarla a las sumas de los segmentos:

tan

yut x QA xϕ

= + = +

Como la trayectoria 2C es una cierta función ( )y f x= , su derivada en el punto P es negativa y coincide con tanϕ en el mismo punto. Por lo tanto la expresión anterior

toma la forma: y dxut x x ydy dy

dx

= − = −

Si reemplazamos u por u kV= , y recordando que Vt ρ= , o sea, el arco recorrido por el misil desde B a P , la fórmula anterior se convierte en:

dxkVt k x ydy

ρ= = − (*)

Y por ser el arco BP la integral entre B y P de:

2 2 21 ( )P P

B B

dxdx dy dydy

ρ = + = +∫ ∫

Reemplazando este valor en la ecuación (*) y luego derivándola respecto a y ,

obtenemos la ecuación diferencial: 2

221 ( )dx d xk y

dy dy+ = − (**)

Para su integración puede ponerse: dx Sh zdy

=

Reemplazando en (**) , luego de derivar, nos da:

dzk Ch z yCh zdy

= − o sea dyk dzy

→− =

Cuya integración deberá hacerse entre los puntos B y P :

0

y

y

dyk zy

− =∫ es decir 0

0ln( ) ln( )kyyz k

y y= − =

Reemplazando z y teniendo en cuenta que:

0

0

1 1 ( ) ( )2 2

z z k kydx ySh z e edy y y

− ⎡ ⎤⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

31

Integrando nuevamente entre los puntos B y P :

0 0

0

0

12 2

k y yk kky y

yx y dy y dyy

−= −∫ ∫

Y la ecuación de la trayectoria resultante es:

1 1

00 0 2

42(1 ) 2( 1) 1

k kk k kyy yx y y

k k k

− +−⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥− + −⎣ ⎦

Para que el misil alcance el blanco deberá verificarse que 1V u k> ∴ < , por lo cual la ecuación de x asegura que el tiempo de impacto será menor a:

02

4(1 )

ytV k

=−

4.-) Movimiento relativo o movimiento referido a ternas móviles

32

En los casos en que el movimiento de una partícula es muy complejo o que sea resultado de la combinación de más de un movimiento, resulta práctico utilizar más de un sistema de referencia para fijar el movimiento final. En tales casos se utiliza el principio de superposición de movimientos, como puede verse en la figura adjunta. El movimiento del punto P puede plantearse directamente en el sistema cartesiano o o oO X Y , considerado el sistema en reposo respecto del observador, o puede verse con referencia al sistema móvil de traslación 1O XY . Finalmente puede estudiarse directamente en el sistema móvil que rota y se traslada

1O xy . Si el movimiento se analiza en este último sistema, la partícula P aparecerá moviéndose solamente a lo largo del eje x . La composición de movimientos obliga a considerar la rotación propia del último sistema, que se referirá al sistema móvil

1O XY , finalmente deberá componerse este sistema móvil de traslación con respecto al

de referencia o o oO X Y que está en reposo respecto al observador. Como ternas móviles de referencia se pueden adoptar ternas de traslación, de rotación o combinación de ambas características. Así el planteo de analizar el movimiento de una partícula en un sistema móvil y referirlo luego al sistema fijo, recibe el nombre de movimiento relativo. Las ventajas de este método son bastante obvias ya que el análisis en cada uno de los sistemas se vuelve sencillo de plantear matemáticamente, para luego sumar vectorialmente las magnitudes obtenidas. Como además este análisis del movimiento de una partícula se completará con el estudio del movimiento de un punto material de masa m sometido a fuerzas, tema correspondiente a la dinámica, se verá oportunamente cómo la aplicación de la teoría de Newton exige que el sistema de referencia final sea inercial, o sea, en reposo absoluto respecto a las estrellas fijas o con velocidad rectilínea y uniforme. Movimiento referido a una terna móvil que rota y se traslada Supongamos un sistema OXYZ , que consideramos fijo, y un observador fijo en ese sistema; y consideremos un sistema 1O xyz que se halla en movimiento respecto al anterior en el cual existen observadores fijos al mismo.

33

Si tenemos una partícula A en movimiento, los observadores de ambos sistemas verán el movimiento de la misma de una forma diferente. Al hacer ambos observadores sus propias mediciones de las velocidades y aceleraciones de la partícula, las conclusiones a que lleguen deben poder relacionarse entre sí. El movimiento del sistema móvil respecto al fijo, puede pensarse como la superposición de una traslación y una rotación. Es decir, haciendo uso del Principio de Superposición, la velocidad y la aceleración de una partícula se forman con dos términos: el debido al sistema móvil si sólo se trasladara y el debido al sistema móvil si sólo rotara. Esto será demostrado posteriormente. Será posible entonces estudiar los movimientos de traslación y de rotación en forma separada y por fin sumar vectorialmente los resultados obtenidos para llegar al movimiento resultante. Sea el caso de una partícula A cuyo movimiento es analizado por los observadores del sistema móvil 1O xyz y por los observadores que están en el sistema fijo OXYZ . El origen 1O de la terna móvil tiene como vector posición a 01R

r referido a la

terna fija enO . Además, la terna móvil tiene un movimiento de rotación propio alrededor de su origen

1O de vector ω ϕ=r r& que es un componente más del movimiento de la partícula. La partícula A tiene un vector posición respecto a la terna móvil que es ( , , )' x y zrr de componentes:

ˆˆ ˆ'r x i y j z k= + +r

. Mientras que con respecto a la terna inercial O el vector posición de la partícula A es 01 'r R r= +

rr r (3-42)

34

1.− Análisis de la velocidad de la partícula. Si los observadores del sistema fijo quieren hallar la velocidad de la partícula A , deberán derivar al vector posición, o sea, derivar la expresión (3-42) mediante la

expresión:

0101

' 'F FF

dRdr drv V vdt dt dt

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

rr r rr r (3-43)

Donde el subíndice )F puesto al lado de la derivada significa que la misma es con respecto al sistema fijo.

Siendo ˆˆ ˆ'r x i y j z k= + +r

(como se ve, definido en componentes de la terna móvil).

ˆˆ ˆ' ˆˆ ˆ' ( )F

dr dx dy dz di dj dkv i j k x y zdt dt dt dt dt dt dt

= = + + + + +r

r (3-44)

donde los versores ˆˆ ˆi j k deben también ser derivados ya que ellos son variables respecto a la terna fija, por estar rotando junto a la terna móvil. De acuerdo con lo ya visto, la velocidad de rotación de un vector de módulo constante venía dada por las fórmulas de Poisson:

ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) ( )

dî dîi x x i xidt dtdj djj y y j yjdt dtdk dkk z z k zkdt dt

ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

⎧ = × ∴ = × = ×⎪⎪⎪ = × ∴ = × = ×⎨⎪⎪

= × ∴ = × = ×⎪⎩

r r r

r r r

r r r

(3-45)

Por lo tanto, la ecuación (3-44) se convierte en:

' ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ' ( ) ( )

' '

F

r r a

drv x i y j z k x i y j z kdt

v V r V V

ω

ω

= = + + + × + + =

= + × = +

rrr

& & &

r r rrr r (3-46)

La velocidad 'vr de la partícula es la suma de una velocidad que llamaremos relativa,

rVr

medida por los observadores del sistema móvil, más una velocidad de rotación debida al movimiento de rotación de la terna móvil respecto a la fija. Esta última velocidad es también denominada velocidad de arrastre. La fórmula (3-43) que da la velocidad de la partícula respecto al sistema fijo, se completa con la derivada

35

01 0 0 0 01ˆˆ ˆ( )F

dV x i y j z k Rdt

= + + =r r&

Velocidad expresada también en componentes de la terna móvil. Luego la velocidad de la partícula, respecto a la terna fija, será:

01 01( ) ' 'F rdrv V v R V rdt

ω= = + = + + ×r r r r rr r r& (3-47)

Siendo su interpretación: vr es la velocidad (denominada, desde el punto de vista físico, total o absoluta) de la partícula respecto a la terna fija.

01Rr& velocidad de traslación de la terna móvil respecto a la fija

que se toma como parte de la velocidad de arrastre. rV

r velocidad relativa de la partícula referida a la terna móvil,

obtenida con la derivada relativa del vector posición

'rr . ' ˆˆ ˆ

rdr dx dy dzV i j kdt dt dt dt

= = + +rr

'aV rω= ×r r r

velocidad de arrastre de la partícula debido a la rotación de la terna móvil.

'' ( )F

drvdt

=r

r es la derivada respecto a la terna fija, del vector

posición 'rr de la partícula medida desde el sistema móvil. En resumen la velocidad total de la partícula es:

01 01( ) 'F r r adrv V r R V V Rdt

ω= = + × + = + +r r r r r rrr r & & (3-47)’

2.− Análisis de la aceleración de la partícula La expresión de la aceleración se obtiene también como derivada respecto a la terna fija del vector velocidad hallado anteriormente. La expresión de la derivada respecto a la terna fija significa que cada vector, desplazamiento o velocidad, debe ser derivado respecto a esa terna y no respecto a la terna móvil o relativa, pero las componentes son tomadas en la terna móvil, por mayor simplicidad. Los ejemplos posteriores aclararán estos aspectos.

01( ) ( ) ( ')F r F Fdv d da R V rdt dt dt

ω= = + + ×r r r rr r&& (3-48)

36

Dado que la velocidad relativa tenía como expresión: ˆˆ ˆr

dx dy dzV i j kdt dt dt

= + +r

su nueva derivada respecto a la terna fija será:

2 2 2

2 2 2

ˆˆ ˆˆˆ ˆ( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )

r F

r r

d d x d y d z d i d j d kV i j k x y zdt dt dt dtdt dt dtx i y j z k xi y j z k a Vω ω

= + + + + + =

+ + + × + + = + ×

r& & &

rr rr&& && & &&& &

Luego falta derivar

( ') ' ( ') ' ( ')F F rd dr r r r V rdt dt

ω ω ω ω ω ω ω× = × + × = × + × + × ×rr r r r r r rr r r r r& &

Sumando a la expresión anterior:

01( ) 2 ' ( ')F r rdva R a V r rdt

ω ω ω ω= = + + × + × + × ×r r rr r r rr r r r&& & (3-49)

( )F r c adva a a adt

= = + +r

r r r r Con 01 ' ( ')aa R r rω ω ω= + × + × ×

r r r rr r r&& &

Cuya interpretación es: ar es la aceleración total o absoluta de la partícula respecto a la terna fija.

01Rr&& aceleración de traslación de la terna móvil, a veces forma

parte de la aceleración de arrastre. rar aceleración relativa de la partícula referida a la

terna móvil.2 2 2

2 2 2ˆˆ ˆr

rdV d x d y d za i j kdt dt dt dt

= = + +r

r

2c ra Vω= ×rrr

aceleración de Coriolis.

' ( ')aa r rω ω ω= × + × ×r r rr r r& es la aceleración de

arrastre de la partícula debido a la rotación de la terna móvil. En Física, al valor ( ')rω ω× ×

r r rse lo denomina

aceleración centrípeta. La ecuación (3-49) la cual expresa la aceleración vista desde la terna fija como suma de las aceleraciones relevadas desde la terna móvil, se conoce como el “teorema

37

de Coriolis”. Más adelante volveremos a su uso en la dinámica para sistemas no inerciales. Teorema de la derivada relativa de vectores Volviendo a la fórmula (3-46) puede notarse que la derivada de un vector, definido en una terna móvil, respecto a la terna fija, da origen a dos vectores:

' 'ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 'F R

dr drxi y j z k xi y j z k rdt dt

ω ω= + + + × + + = + ×r r

r r r& & &

Que puede ser interpretado como si la derivada respecto a la terna fija (denominada también derivada absoluta) de un vector cualquiera B

r, con sus

coordenadas definidas en la terna móvil, es igual a la derivada del mismo vector respecto a la terna móvil o relativa (denominada derivada relativa), más el producto vectorial de la velocidad angular de la terna móvil por dicho vector. O sea, se tiene la igualdad:

( ) ( )F RdB dB Bdt dt

ω= + ×r r

rr (3-50)

La ecuación anterior permite generalizar el concepto de derivada absoluta y derivada relativa mediante la creación de un nuevo operador:

.. ..( ) ( ) ..F R

d ddt dt

ω= + ×r

(3-51)

tal que aplicado a una magnitud vectorial definida en una terna relativa, permite obtener su derivada absoluta o referida a la terna fija. Tanto la fórmula (3-50) como el operador se aplican para el caso en que la terna relativa tenga un origen común o no con la terna fija 1O O≡ , pero que cumpla con la

condición: 01 01 0V R= =r r& && .

Un ejemplo muy claro de esta propiedad se tiene si se deriva la velocidad

'( ) ' 'R r

drv r V rdt

ω ω= + × = + ×r rr rr r r

respecto a la terna fija con la fórmula: ( ) ( )F Rdv dv vdt dt

ω= + ×r r

r r

de la cual se obtiene la aceleración:

( ) 2 ' ( ')F r rdva a V r rdt

ω ω ω ω= = + × + × + × ×r rr r r rr r r r&

38

El planteo de analizar el movimiento de una partícula en un sistema móvil y referirlo luego al sistema fijo, recibe el nombre de movimiento relativo. Ejemplo: El punto A se encuentra fijo sobre un aro de radio R que comienza a rodar sin deslizarse a lo largo de un plano. En la figura inferior se muestra al mismo aro un tiempo después que comenzó a rodar, siempre sobre la misma trayectoria plana. Llamaremos OXY al sistema cartesiano en reposo y adoptaremos un sistema móvil de traslación y de rotación

1O xy para analizar el movimiento del punto A fijo al disco.

Cuando el aro gire un ángulo ϕ , simultáneamente el centro 1O se desplazará

una distancia 'OO , con respecto a la terna fija. A su vez el punto A habrá rotado un ángulo ϕ junto a la terna relativa (o terna móvil) 1O xy . La velocidad de rotación de

la terna es ˆ .k cteω ϕ= − =r

& Velocidad: La terna móvil adoptada tiene una velocidad de traslación 01V

r respecto de O .

La velocidad relativa de A respecto a la terna móvil es la derivada relativa del vector posición ˆ'r R j=

r y en consecuencia su velocidad relativa es:

' 0r

drVdt

= =rr

Pues el vector 'rr es fijo a la terna móvil.

Como la terna móvil gira con una velocidad angular kω ϕ= −r

&

39

la velocidad de arrastre del punto A es:

ˆ ˆ ˆ'aV r k R j Riω ϕ ϕ= × = − × =r r r

& & Y la componente móvil de la velocidad de A es:

' ˆ' ( )F r a

drv V V Ridt

ϕ= = + =r r rr

&

La velocidad del origen 1O respecto a la terna fija, en componentes de la terna

móvil, es: 1 01ˆ ˆcos sinOV R R i R jϕ ϕ ϕ ϕ= = +

r r& & & Con lo cual la velocidad total o absoluta, suma de ambas, en componentes de la terna móvil, será: 01

ˆ ˆ' ( cos ) sinv V v R R i R jϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + = + +rr r

& & & Obsérvese que cuando el punto A está en la posición de 'O , el ángulo ϕ π= , y en consecuencia la velocidad del punto A en esa posición es: '

ˆ ˆ( cos ) sin 0Ov R R i R jϕ π ϕ ϕ π= + + =r

& & & Es decir, la velocidad total del punto de contacto de un aro que rota sin resbalar es nula. Se denomina a tal punto “centro instantáneo de rotación”. Aceleración: A partir de la expresión de la velocidad y del vector posición en la terna móvil, se pueden obtener las diferentes componentes de la aceleración.

Conocidos ˆˆ'

0r

r R j y k

V

ω ϕ⎧ = = −⎪⎨

=⎪⎩

rr&

r

01 01ˆ( ) 0F

dR R Ridt

ϕ= = =r r&& & && Es nula pues .cteϕ =&

2 2 2

2 2 2ˆˆ ˆ 0r

rdV d x d y d za i j kdt dt dt dt

= = + + =r

r

2 0c ra Vω= × =

rrr Pues 0rV =

r

40

2 ˆ' ( ')aa r r R jω ω ω ϕ= × + × × = −

r r rr r r& &

Sumando vectorialmente: 201

ˆ( )F r c adva R a a a R jdt

ϕ= = + + + = −r rr r r r&& &

Valor de la aceleración respecto a la terna fija de la partícula A , en coordenadas de la terna móvil. Problema 3-12: Hallar la velocidad y la aceleración respecto a la terna fija ubicada en el origen O , de una partícula A fija a la parte externa de un aro circular que rueda sin resbalar por una rampa inclinada en un ángulo β . La velocidad angular del aro es variable con el tiempo mientras que su aceleración angular γ es constante. Solución: La terna móvil se ubica en el origen móvil 1O y la asumimos rotando solidaria

al aro. Los datos conocidos son: ˆ ˆˆ' ; ; .r R j k k Cteω ϕ γ ϕ= = − = − =r rr

& && Velocidad: 1.− Velocidad del origen de la terna móvil: su módulo es el valor Rϕ& y su dirección

es la de la rampa 'OO . Por lo cual sus componentes en la terna fija OXY son: 01 0 0

ˆ ˆ(cos sin )V R i jϕ β β= −r

& Pero, como todos los valores deben estar en componentes de la terna móvil, las dos componentes anteriores deben expresarse en la terna 1O xy rotada en un ángulo ϕ .

01ˆ ˆ[cos( ) sin ( ) ]V R i jϕ ϕ β ϕ β= − + −

r&

41

2.− Velocidad relativa del punto A . ' ˆ( ) 0r

dr dV R jdt dt

= = =rr

3.− Velocidad de arrastre del punto A . ˆ ˆ ˆ'aV r k R j Riω ϕ ϕ= × = − × =r r r

& & 4.− Velocidad del punto A respecto a la terna fija o al observador fijo. ˆ ˆ[ cos ( ) ] sin ( )v R R i R jϕ ϕ β ϕ ϕ ϕ β= − + + −

r& & &

Aceleración:

Conocidos ˆ ˆˆ' ; ; 0 ; .rr R j k V k Cteω ϕ γ ϕ= = − = = − =rr rr

& && 1.− Aceleración del origen móvil 1O .

01

2

ˆ ˆ( ) [cos( ) sin ( ) ]

ˆ ˆ[ sin( ) cos( ) ]

Fd V R i jdt

R i j

ϕ ϕ β ϕ β

ϕ ϕ β ϕ β

= − + − +

+ − − + −

r&&

&

2.− Aceleración relativa del punto A . 2 2 2

2 2 2ˆˆ ˆ 0r

rdV d x d y d za i j kdt dt dt dt

= = + + =r

r

3.− Aceleración de Coriolis. 2 0c ra Vω= × =

rrr Pues 0rV =

r

4.− Aceleración de arrastre del punto A .

4-1 ˆ ˆ ˆ ˆ'r k R j Ri Riω γ γ ϕ× = − × = =r r& &&

4-2 2 ˆ( ')r R jω ω ϕ× × = −r r r

&

2ˆ ˆaa Ri R jϕ ϕ= −r

&& & Finalmente la aceleración del punto A respecto a la terna fija, también denominada aceleración total o absoluta, será la suma vectorial de las anteriores.

2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ[cos ( ) sin ( ) ]ˆ ˆ[ sin( ) cos( ) ]

a Ri R j R i j

R i j

ϕ ϕ ϕ ϕ β ϕ β

ϕ ϕ β ϕ β

= − + − + − +

+ − − + −

r&& & &&

&

( )( )

2

2

ˆ[1 cos( )] sin( )

ˆsin ( ) [1 cos ( )]

a R R i

R R j

ϕ ϕ β ϕ ϕ β

ϕ ϕ β ϕ ϕ β

= + − − −

+ − − − −

r&& &

&& &

42

Problema 3-13: Un disco está girando con velocidad angular ω constante en el plano α y en el sentido contrario a las agujas del reloj, respecto a un observador fijo al plano y con origen en O . Un punto P se halla en movimiento respecto al disco con una velocidad relativa rV

r de módulo

Rω constante y de sentido contrario al giro del disco. Si se elige un sistema de coordenadas relativas, fijas al disco, las mismas girarán con velocidad angular ωr normal al plano del disco. Hallar la velocidad y la aceleración del punto P respecto al observador fijo.

Solución. Utilizando la expresión general de la velocidad 01 'rv R V rω= + + ×r r rr r&

Se observa que el origen 1O coincide con el origen fijo O por lo cual 01 0V =r

Asumamos que la posición instantánea del punto P sea: ˆ ˆ' cos sinr R i R jθ θ= +

r

Con lo cual la velocidad de arrastre, también circular uniforme, tiene por expresión: ˆ ˆ' ( sin cos )aV r R i jω ω θ θ= × = − +

r r r

Y la velocidad relativa del punto respecto al disco tiene el mismo módulo y sentido contrario. ˆ ˆ( sin cos )rV R i jθ θ θ= − +

r& donde θ ω= −&

De modo que su velocidad relativa (o velocidad tangencial) será: ˆ ˆ( sin cos )r r aV R i j V Vω θ θ= − − + ∴ = −

r r r

Por lo tanto, su velocidad respecto al observador fijo es:

0v =r

Aceleración. Utilizando la expresión general:

01 2 ' ( ')r ra R a V r rω ω ω ω= + + × + × + × ×r rr r r rr r r r&& &

43

Por las características del movimiento del punto P se nota que:

01 0 ; 0R Rω= × =r rr&& &

Quedando ahora: 2 ˆ ˆ( cos sin )rr

dVa R i jdt

θ θ θ= = − −r

r & o en módulo:

2 2ra R Rθ ω= = −&

Aceleración de Coriolis: 2c ra Vω= × →rrr

En módulo 22ca Rω=

Aceleración de arrastre: ( ')ra rω ω= × × →r rr r

En módulo 2aa Rω= −

Cuyas sumas dan la aceleración del punto P visto desde la terna fija: 0a =r

Tal como era de prever, tanto la velocidad como la aceleración son nulas desde la terna fija, simplemente porque el punto P está en reposo respecto de la terna fija. Problema 3-14:

44

Un punto material A tiene un movimiento combinado debido al desplazamiento de un carro acelerado y de un movimiento angular también acelerado. Se desea conocer la velocidad y la aceleración de A medidas en la terna fija.

Solución: Para ello recurre al sistema móvil 1O xy que se desplaza a lo largo del

eje 0ˆX i o xi , pero que no participa de la rotación del punto A alrededor de 1O .

El vector posición de A en la terna móvil es: ˆ ˆ' sin cosr l i l jϕ ϕ= −

r

El vector rotación de la terna móvil es: 0ω =r

pues la terna no rota respecto a la fija. El origen móvil 1O tiene una velocidad y una aceleración X y X& && en la

dirección de 0i . Velocidad:

Aplicando la fórmula: 01( ) 'F rdrv R V rdt

ω= = + + ×r r r rr r&

Hallaremos los valores: 1ˆ

OV xi=r

&

Velocidad relativa: ' ˆ ˆcos sinr

drV l i l jdt

ϕ ϕ ϕ ϕ= = +rr

& &

Velocidad de rotación relativa: ' 0rω× =r r

dado que la terna móvil no rota. Velocidad de A respecto a la terna fija: ˆ ˆ( cos ) sinv x l i l jϕ ϕ ϕ ϕ= + +

r& &&

Aceleración:

Nuevamente con la fórmula: 01 2 ' ( ')r ra R a V r rω ω ω ω= + + × + × + × ×r rr r r rr r r r&& &

Aceleración del origen móvil: 101

ˆOdVa xidt

= =r

r&&

Aceleración relativa:

45

2 2ˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )rr

dVa l l i l l jdt

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = − + +r

r&& & && &

Todas las demás aceleraciones son nulas dado que la terna móvil no rota y 0ω∴ =

r.

La aceleración de A respecto a la terna fija es:

2 2ˆ ˆ( cos sin ) ( sin cos )a x l l i l l jϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + − + +r

&& & && &&& Problema 3-15: Considérese el doble péndulo con dos masas puntuales identificadas por los puntos 1 2O y O . Hallar las velocidades y las aceleraciones de los puntos 1 2O y O respecto a la terna fija OXY .

Son conocidos los vectores posición de 1 2O y O ,

1 2r y rr r , se toman como variables los ángulos θ y

ϕ . 1 1

2 2

ˆ

ˆ ˆ[sin ( ) cos( ) ]

r r j

r r i jϕ θ ϕ θ

⎧ =⎪⎨

= − + −⎪⎩

r

r

Como terna móvil se elige la 1O xy que tiene una

velocidad 1vr respecto a la terna fija y una velocidad

angular kω θ= −r & también respecto a la terna fija.

Solución:

La velocidad del punto 1O se plantea como siempre: 1 01rv V r Rω= + × +r rrr r &

Cálculos para 1O . Dado que 010 0rV y R= =r r& , la velocidad de 1O es:

1 1 1 1ˆ ˆ ˆV r k r j r iω θ θ= × = − × =

r r r & &

Y su aceleración es: 01 1 12 ( )r ra R a V r rω ω ω ω= + + × + × + × ×r rr r r rr r r r&& &

46

Nuevamente, dado que 01 0 ; 0 ; 2 0r rR a Vω= = × =r rrr&& puesto que 0rV =

r

Se calcularán 1 1 12

1 1 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

r k r j r i

r k k r j r j

ω θ θ

ω ω θ θ θ

⎧ × = − × =⎪⎨

× × = − × − × = −⎪⎩

r r& && &&

r r r & & &

Por lo tanto:

21 1 1

ˆ ˆa r i r jθ θ= −r && &

Cálculos para 2O .

Por otra parte, la velocidad respecto a la terna fija 2V

r del punto 2O será la suma

vectorial de su velocidad relativa 2 'Vr

y de '1 2 1 2V V V V∴ = +r r r r

según el diagrama visto en la parte superior.

En donde '1 2V y Vr r

tienen las expresiones:

1 1ˆV r iθ=

r&

Y

' 22 2

'2 2

'2 2

ˆ[sin ( ) cos( )]

ˆ[sin ( ) cos ( )]

ˆ ˆ(cos sin )

dr dV r idt dtdV r idt

V r i j

ϕ θ ϕ θ

ψ ψ

ψ ψ ψ

= = − + −

= +

= −

rr

r

r&

Puesto que ψ ϕ θ= −

Con lo cual obtenemos la velocidad del punto 2O respecto a la terna fija:

'2 1 2 1 2 2

ˆ ˆ( cos ) sinV V V r r i r jθ ψ ψ ψ ψ= + = + −r r r

& & & '

2 1 2 1 2 2ˆ ˆ[ ( )]cos( ) ( )sin( )V V V r r i r jθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ= + = + − − − − −

r r r& & && &

47

Debe observarse que la velocidad angular ψ ϕ θ= − && & es sólo aparentemente

compuesta de yϕ θ&& ya que la última velocidad angular es nula con respecto a la terna móvil. Por tal motivo se tiene que ψ ϕ θ ϕ= − =&& & &

Y la velocidad de 2O respecto a la terna fija es:

2 1 2 2ˆ ˆ( )cos( ) sin( )V r r i r jθ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ= + − − −

r& & &

Esta velocidad está en componentes de la terna móvil, si la quisiéramos en componentes de la terna fija basta proyectarla sobre dicha terna:

2 1 2 2

2 1 2 2

2 1 2 1 2

2 1 2 1 2

( cos )cos sin sin

( cos )sin sin cos

cos cos( ) cos cos

sin ( sin( )) sin sin

x

y

x

y

V r r r

V r r r

V r r r r

V r r r r

θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ

θ ϕ ψ θ ϕ ψ θ

θ θ ϕ ψ θ θ θ ϕ ϕ

θ θ ϕ ψ θ θ θ ϕ ϕ

⎧ = + −⎪⎨

= + −⎪⎩⎧ = + + = +⎪⎨

= − + − + = − −⎪⎩

& & &

& & &

& && &

& && &

O sea: 2 1 2 0 1 2 0ˆ ˆ( cos cos ) ( sin sin )V r r i r r jθ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ= + − +

r& && &

Para el cálculo de la aceleración de 2O respecto a la terna fija se efectúa un cálculo bastante similar al de la velocidad y obteniéndose su valor.