Mecanica Vectorial - Estaticaa

Captulo 2. Cuerpos rgidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Momento de una fuerza respecto a un punto en el plano.

Mecnica Vectorial. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIN.

La presente es una Gua de Ejercicios de Mecnica Vectorial para Ingenieros, dictada en las carreras de Ingeniera Mecnica, de Petrleo, Civil e Industrial de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusin de las respuestas a ejercicios seleccionados, su compilacin en atencin al contenido programtico de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha gua ha sido elaborada tomando como fuente las guas de ejercicios y exmenes publicados en su oportunidad por Profesores de Mecnica Vectorial para Ingenieros en los ncleos de Monagas y Anzotegui de la Universidad de Oriente,

Venezuela, adems de la bibliografa especializada en la materia y citada al final de cada captulo, por lo que el crdito y responsabilidad del autor slo consiste en la organizacin y

presentacin en forma integrada de informacin existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con fines estrictamente acadmicos y su uso y difusin por medios impresos y electrnicos es libre, no representando ningn tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atencin a esta modesta contribucin en la enseanza y aprendizaje de la Mecnica Vectorial, as como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a travs de los telfonos +58-424-9744352 +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 7A264BE3, correo electrnico [email protected] personalmente en la seccin de Matemticas, Universidad de Oriente, Ncleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Qumico, egresado de la Universidad de Oriente, Ncleo de Anzotegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se desempe como preparador docente en el rea de Laboratorio de Qumica I y Termodinmica Aplicada de la carrera de Ingeniera Qumica de la referida Universidad. En el ao 1996 ingres a la Industria Petrolera Venezolana, Petrleos de Venezuela (PDVSA), desempeando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Produccin de Orimulsin, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el ao 1998, momento en el cual comenz su desempeo en la misma corporacin como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepn, al norte del Estado Monagas hasta finales del ao 2000. Durante el ao 2001 form parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tom, Estado Anzotegui, donde recibi cursos de preparacin integral en las reas de produccin

y manejo de petrleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

qumico anticorrosivo de gasoductos de la zona de produccin de petrleo y gas hasta finales del ao 2002. Desde el ao 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Bsicos del Ncleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemticas I (Clculo Diferencial), Matemticas II (Clculo Integral), Matemticas III (Clculo Vectorial), Matemticas IV (Ecuaciones diferenciales), Mtodos Numricos, Termodinmica y Fenmenos de Transporte para estudiantes de Ingeniera. Es autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el rea de Matemticas, Fsica, Qumica, Mecnica Vectorial, Mtodos Numricos, Termodinmica, Estadstica, Diseo de Experimentos, Fenmenos de Transporte, Mecnica de los Fluidos e Ingeniera

Econmica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



1.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO.

El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F.

FrM 0 (Enfoque vectorial) (1) donde r es el vector de posicin que une al punto de referencia fijo O con cualquier punto sobre la lnea de accin de F.

00

yx

yxO

FFrr

kjiM

(Enfoque vectorial) (2)

rx,ry: Componentes x, y del vector posicin trazado desde el punto B hasta cualquier punto sobre la lnea de accin de la fuerza.

xF , yF : Componentes x, y, del vector fuerza F.

Si es el ngulo entre las lneas de accin del vector de posicin r y la fuerza F, la magnitud del momento de F con respecto a O est dada por

sen 0 FrM (Enfoque escalar) (3) donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la lnea de accin de F. En la prctica, el momento es igual al producto de la fuerza por la distancia perpendicular

entre el punto de referencia para el clculo del momento y la lnea de accin de la fuerza. Fsicamente la magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo

rgido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO. Una forma de definir el sentido de MO se logra por medio de la regla de la mano derecha:

cierre su mano derecha y mantngala de manera que sus dedos estn doblados en el mismo sentido de la rotacin que F le impartira al cuerpo rgido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la lnea de accin de MO; su dedo pulgar indicar el sentido del momento MO.



Convencin de signos para el momento. Se considera positivo el momento cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rgido en

sentido antihorario, y el momento se considera negativo cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rgido en sentido horario.

Para un momento positivo, su sentido es saliendo del papel, mientras que un momento

negativo tiene sentido entrando al papel.

Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Dcima Edicin. Pgina 130.



El poste soporta las tres lneas, cada lnea ejerciendo una fuerza vertical sobre el poste debido a su peso, como se muestra. Determine el momento resultante

en la base D debido a todas esas fuerzas. Si es

posible que el viento o el hielo rompan las lneas, determine qu lnea (o lneas) al ser removida genera una condicin de momento mximo con respecto a la base. Cul es el momento resultante?

Solucin.

Las fuerzas individuales son: lb 700AF , lb 450BF , lb 400CF . El momento de las fuerzas individuales se determina multiplicando el valor de la fuerza por la distancia (medida perpendicularmente a la direccin de la fuerza) hasta el punto de referencia para el clculo del momento. Fuerza A.

La fuerza A genera un momento positivo (antihorario) en el punto D. pie 3.5lb 700)( DFAM

lb.pie 2450)( DFAM Fuerza B.

La fuerza B genera un momento negativo (horario) en el punto D. pie 3lb 450)( DFBM

lb.pie 1350)( DFBM

Fuerza C.

La fuerza C genera un momento negativo (horario) en el punto D. pie 4lb 400)( DFCM



lb.pie 1600)( DFCM

Momento resultante en el punto D.

DFDFDFD CBAMMMM )()()(

lb.pie) 1600(lb.pie) 1350(lb.pie 2450 DM

lb.pie 500DM Ejercicios propuestos. 1. El cubo de la rueda puede ser unido al

eje con excentricidad negativa (izquierda) o positiva (derecha). Si el neumtico est sometido a una carga normal y radial como se muestra,

determine el momento resultante de esas cargas con respecto al punto O en

ambos casos.

Respuesta: N.m 120 OM , N.m 520OM




Determine la magnitud y el sentido

direccional del momento con respecto al punto P a) de la fuerza presente en A y b) de la fuerza presente en B.

Solucin.

a) Para la fuerza presente en el punto A.

Enfoque escalar. La componente horizontal de la fuerza ejerce un momento en el sentido antihorario (+), mientras que la componente vertical de la fuerza ejerce un momento horario ().

2(430sen 400)35(30cos400 OMN.m 28.2371OM

El momento apunta hacia afuera del plano del papel.

400 sen 30

400 cos 30



Enfoque vectorial.

FrMO

030sen 40030cos400082 kji

M O

N.m )28.2371( kMO

a) Para la fuerza presente en el punto B.

Enfoque escalar. La componente horizontal de la fuerza

ejerce un momento en el sentido antihorario (+), y que la componente vertical de la fuerza ejerce un momento antihorario (+).

)2(260)3(260 1312135 OMN.m 780OM

El momento apunta hacia afuera del plano del papel.

400 sen 30

400 cos 30

r

260135

2601312



Enfoque vectorial.

FrMO

0260260032

1312

135

kji

M O

N.m )780( kMO

Ejercicios propuestos.

2. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza

presente en A a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P. Respuesta: b) 2.37 kN.m.

3. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P. Respuesta: a) 2.88 kN.m; b) 3.15 kN.m

r

260135

2601312



4. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de

las fuerzas con respecto al punto P.

Respuesta: 3.15 kN.m

5. Determine la magnitud y el sentido

direccional del momento resultante de las fuerzas con respecto al punto O.

Respuesta: 2.42 kip.pie

6. La llave se usa para aflojar el perno. Determine el momento de cada fuerza con respecto al eje del perno que pasa por el punto O.

Respuesta: N.m 1.24)(1

OFM ,

N.m 5.14)(2

OFM



7. Los dos jvenes empujan la reja con fuerzas lb 30AF y lb 50BF como se muestra. Determine el momento de

cada fuerza con respecto a C. En qu sentido rotar la reja, en el de las manecillas del reloj o al contrario? Ignore el espesor de la reja.

Figura Problemas 7 y 8.

8. Dos jvenes empujan la reja como se muestra. Si el joven situado en B ejerce una fuerza de lb 30BF , determine la magnitud de la fuerza AF que el joven ubicado en A debe ejercer para impedir que la reja gire. Ignore el espesor de la reja. 9. La herramienta localizada en A se usa para mantener estacionaria la hoja de una podadora de csped de potencia mientras se afloja la tuerca con la llave. Si se aplica una fuerza de 50 N a la llave situada en B en la direccin mostrada, determine el

momento que produce dicha fuerza con respecto a la tuerca localizada en C. Cul es la magnitud de la

fuerza F en A que produce el momento opuesto con respecto a C?

Respuesta: a) N.m 0.13AM ; b) N 2.35F . Ejemplo 2.3. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Dcima Edicin. Pgina128.

La fuerza F = 400 N acta en el extremo de la mnsula mostrada en la figura. Determine

el momento de la fuerza con respecto al punto O.

Solucin.



Enfoque escalar. La componente horizontal de la fuerza ejerce un momento en el sentido antihorario (+), mientras que la componente vertical de la fuerza ejerce un momento horario ().

)(0.430cos400)2.0(30sen 400 OM N.m 56.98OM

El momento apunta hacia adentro del plano del papel.

Enfoque vectorial.

FrMO

030cos40030sen 40002.04.0

kjiM O

N.m )56.98( kMO Ejemplo 2.4. Problema resuelto 3.2 del Beer-Johnston. Novena Edicin. Pgina 86.

Una fuerza de 800 N acta sobre la mnsula como se

muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a B.

Solucin.



Enfoque escalar. Ambas componentes (horizontal y vertical) de la fuerza ejercen un momento en el sentido horario ().

)(0.2060sen 800)16.0(60cos800 BM N.m 56.202BM

El momento apunta hacia adentro del plano del papel.

Enfoque vectorial.

FrM BAB /

060sen 80060cos800016.02.0kji

M B

N.m )56.202( kM B

Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Dcima Edicin. Pgina127.

Una fuerza de 200 N acta sobre la mnsula

mostrada en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A.

Solucin.

800 sen 60

800cos6060



Enfoque escalar. La componente horizontal de la fuerza ejerce un momento en el sentido horario (), mientras que la componente vertical de la fuerza ejerce un momento antihorario (+).

)(0.245sen 200)1.0(45cos200 AM

N.m 14.14AM El momento apunta hacia afuera del plano del papel.

Enfoque vectorial.

FrM ABA /

054sen 20054cos20001.02.0kji

M A

N.m )14.14( kM A Ejemplo 2.6. Problema 3.14 del Beer-Johnston. Octava Edicin. Pgina 91. Un seguidor B circular con dimetro de 64 mm se sostiene contra la leva A como se

muestra en la figura. Si la leva ejerce una fuerza con magnitud de 80 N sobre el

seguidor a lo largo de la normal comn BC, determine el momento de la fuerza respecto

a la articulacin colocada en D.

Solucin.

Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.



Vector posicin trazado desde el punto D hacia cualquier punto sobre la lnea de accin de la fuerza CB. Coordenadas del punto referencial de clculo del momento: )0,0,0(D Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )0,090.0,28.0( B Vector posicin: jir 090.028.0 Fuerza.

CBCB uFF uCB: vector unitario de la direccin de la fuerza. Coordenadas de los puntos C y B: )0,300.0,456.0( C , )0,090.0,280.0( B Vector CB: jiCB 21.0176.0 . Mdulo del vector CB: 274.0CB

jijiFCB 31.6139.51274.021.0176.080

Momento.

N.m 54.12031.6139.510090.028.0 kji

M D




10. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas que actan sobre la viga a) respecto al punto A y b) respecto al punto B.

Respuesta: kip.pie 125.4)(1

BFM , kip.pie 2)(

2BFM ,

kip.pie 40)(3

BFM

11. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con respecto al punto A. Resuelva el

problema usando primero cada fuerza como un todo, y luego aplicando el principio de momentos.

Respuesta: N.m 433)(1

AFM , N.m 1300)(

2AFM , N.m 800)( 3 BFM

Ejemplo 2.7. Problema resuelto 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edicin. Pgina 86.

Una fuerza de 30 lb acta sobre el extremo de una

palanca de 3 ft, como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a O.

Solucin.



Enfoque escalar.

)(320sen 30)0(20cos30 OM lb.ft 78.30OM

Enfoque vectorial.

FrM AO

030sen 3030cos30050sen 350cos3kji

M O

lb.ft )78.30( kMO Ejemplo 2.8. Problema resuelto 3.1 del Beer-Johnston. Novena Edicin. Pgina 85. Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que est unida a una flecha en el punto O.

Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O; b) la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; c) la fuerza mnima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; d) qu tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar

el mismo momento con respecto a O, y e) si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es equivalente a la fuerza original.

Solucin.

a)



)(2430sen 100 OM lb.in 1200OM

b)

)(2430cos PMO

30cos240MP

24cos301200P

lb 73.57P

c)

)(24 PMO

240MP

in 241200P

lb 50P

d)



ODMO 30sen 240

30sen 2400MOD

30sen 2401200OD

in 5OD

e) Ninguna. A pesar de que todas las fuerzas generan el mismo momento en O, sus componentes rectangulares son diferentes.

Ejemplo 2.9. Problema 4.41 del Bedford.

El cilindro hidrulico BC ejerce una fuerza de 2200 lb en la pluma de la gra en C. La

fuerza es paralela al cilindro. El ngulo es

40 . Cul es el momento de la fuerza sobre A?

Solucin.

Se han elegido los siguientes vectores para el clculo del momento.



Vector posicin trazado desde el punto A hacia cualquier punto sobre la lnea de accin de la fuerza BC. Coordenadas del punto referencial de clculo del momento: )0,0,0(A Punto sobre la lnea de accin de la fuerza: )0,0,6(B Vector posicin: ir 6 Fuerza.

BCBC uFF uBC: vector unitario de la direccin de la fuerza. Coordenadas de los puntos B y C: )0,0,6(B

)0,40sen 9,40cos9(C

Vector BC: jiBC 7851.58944.0 . Mdulo del vector BC: 8538.5BC

C

40x

y



jijiFBC 18.217414.3368538.57851.58944.02200

Momento.

lb.ft 08.13045018.217414.336006 kji

M A

Ejercicios propuestos. 12. Como parte de un acto acrobtico, un hombre soporta una muchacha que pesa 120 lb y

est sentada en una silla situada en la parte superior de un poste. Si el centro de gravedad de la chica est en G, y el mximo momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj que el hombre puede ejercer sobre el poste en el punto A es de 250 lb.pie, determine el ngulo mximo de inclinacin, , que no permitir que la muchacha caiga, esto es, que su momento en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a A no exceda de 250 lb. pie.

Respuesta: 48.7



13. Determine el momento de cada fuerza con respecto al perno localizado

en A. Considere: a) lb 40BF y lb 50CF , b) lb 30BF y lb 45CF

.

Respuesta: a) lb.pie 63.90)( AFBM , lb.pie 73.140)( AFCM ; b)

lb.pie 97.67)( AFBM , lb.pie 66.126)( AFCM

14. El pescante tiene longitud de 30 pies, peso de 800 lb, y centro de masa

en G. Si el momento mximo que puede ser desarrollado por el motor en A es

lb.pie 20000M , determine la carga mxima W, con centro de masa en G,

que puede ser levantada. Considere

30 .

15. Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como indica la figura. Si la longitud de la

varilla es de 225 mm, determine el momento de la fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza

a) en sus componentes a lo largo de AB y en una direccin perpendicular a AB, b) en sus componentes horizontal y vertical.

Respuesta: a) 13.02 N.m; b) 13.02 N.m



16. El pedal para un sistema neumtico se articula en B. Si se sabe que 28 , determine el momento de la fuerza de 16 N alrededor del punto B descomponiendo la fuerza a) en sus componentes a lo largo de ABC y en la direccin perpendicular a

ABC, b) en sus componentes horizontal y vertical, Respuesta: a) 1277 N.m; b) 1277 N.m


17. Una fuerza de 80 N acta sobre el mango del cortador de papel en el punto A. Determine el

momento producido por esta fuerza con respecto a la

articulacin en O, si 60 . A qu ngulo

debe

aplicarse la fuerza para que el momento que produce con respecto al punto O sea mximo (en el sentido de las manecillas del reloj? Cul es ese momento mximo?

Respuesta: N.m 1.28oM , 6.88 , N.m 0.32)( mxoM

18. Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de

nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando es igual a 30. 19. La fuerza P se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza P mnima que tiene un momento de 19.5 lb.in en sentido contrario de las manecillas del reloj respecto a A. Respuesta: 16.03 lb.in 20. Una fuerza P de 2.9 lb se aplica a la palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el valor de si el momento de P respecto a A es en sentido contrario al de las manecillas del reloj y tiene una magnitud de 17 lb.in. Respuesta: 49.9 59.4



Figura Problemas 23, 24 y 25. 21. Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P

alrededor de B cuando 25 . Respuesta: 186.6 lb.in. 22. Para la palanca de cambios que se muestra en la figura, determine la magnitud y la direccin de la fuerza mnima P, que debe tener un momento de 210 lb.in en el sentido de

las manecillas del reloj alrededor de B. 23. Una fuerza P de 11 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el valor de . Si se sabe que el momento de P alrededor de B es en el sentido de las manecillas del reloj y que tiene una magnitud de 250 lb.in. Respuesta: 6.12 33.8.

Figura Problemas 18, 19 y 20.



24. Se sabe que la biela AB ejerce sobre la manivela BC una fuerza de 1.5 kN dirigida hacia abajo y hacia la izquierda a lo largo de la lnea central de AB.

Determine el momento de esa fuerza alrededor de C. Respuesta: 42.0 N.m.

25. La ventanilla trasera de un automvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya lnea de accin pasa por el soporte de rtula en B, determine el momento de la fuerza alrededor de A.

Respuesta: 116.2 lb.ft, 128.2 lb.ft.

26. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Si se sabe que la tensin en el cable BC es de 1040 N y que la

longitud d es de 1.90 m, determine el momento respecto de D de la fuerza

ejercida por el cable C. Para ello



descomponga en sus componentes

horizontal y vertical la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E. Respuesta: a) 760 N.m; b) 760 N.m.

Figura Problemas 23, 24 y 25.

27. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N.m alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si d = 2.80 m, determine la tensin que debe desarrollarse en el cable del malacate AB para crear el momento requerido alrededor

de D. Respuesta: 1224 N.

28. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N. m alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si la capacidad del malacate AB es de

2400 N, determine el valor mnimo de la distancia d para generar el momento especificado respecto de D.

29. Un mecnico automotriz usa un tramo de tubo AB como palanca para tensar la banda de la polea de un

alternador. Cuando el tcnico presiona hacia abajo en A, se ejerce una fuerza de 485 N sobre el alternador en B. Determine el momento de la fuerza respecto del perno C si su lnea de accin debe pasar por O.

Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer-Johnston. Novena Edicin. Pgina 89.

Una fuerza de 300 N se aplica en A como se

muestra en la figura. Determine a) el momento de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la magnitud y el sentido de la fuerza horizontal en C que produce el mismo momento alrededor de D, c) la fuerza mnima aplicada en C que produce el



mismo momento alrededor de D. c) y d) la fuerza mnima aplicada en B que produce el mismo momento alrededor de D.

Solucin.

Enfoque escalar. a)

0.125sen 3002.025cos300 DM N.m 70.41DM

b)

125.0 CD FM 125.070.41 CF

N 60.333CF

c)



dFM CD 22 )125.0()2.0(70.41 CF

N 81.176CF

d)

dFM BD 22 )2.0()2.0(70.41 BF

N 43.147BF

Enfoque vectorial. a)

FrM DAD /

025sen 30025cos30002.01.0 kji

M D

N.m )70.41( kM D

b)



CDCD FrM /

000125.02.0 70.41

CF

kjik

kFk C )125.0( 70.41 N 60.333CF

c)

CDCD FrM / )sen cos()125.02.0(70.41 jFiFjik CC

kFFk CC )cos0.125sen 2.0(70.41 70.41cos0.125sen 2.0 CC FF

cos0.125sen 2.070.41

CF

Clculo de y . 90 .

2.0125.0

tan

32

58



58cos0.12585sen 2.070.41

CF

N 81.176CF d)

BBDD FrM / )sen cos(]2.02.0(70.41 jFiFjik BB

kFFk BB )cos0.2sen 2.0( 70.41 70.41cos2sen 2.0 BB FF

cos2.0sen 2.070.41BF

Clculo de y . 90 .

2.02.0

tan

45

45

45cos0.254sen 2.070.41BF

N 43.147BF




La gra puede ser ajustada a cualquier ngulo 900 y a cualquier extensin

m 50 x . Para una masa suspendida de 120 kg, determine el momento desarrollado

en A como una funcin de x y . Qu valores de x y desarrollan el mximo momento posible en A? Ignore el tamao de

la polea ubicada en B.

Solucin.

El momento de la fuerza en el punto A est dado por:

081.912000sen )5.19(cos)5.19(

xx

kjiM A

02.117700sen )5.7(cos)5.7(

xx

kjiM A

cos)5.7(2.1177 xM A

El momento mximo ocurre cuando la fuerza (peso) es perpendicular al vector posicin (r). Esta situacin se verifica cuando 0

y m 5x . El momento mximo es: 0cos)5.75(2.1177)( mxAM

N.m 15715)( mxAM




30. Una caja de madera de 80 kg de masa se sostiene en la posicin mostrada en la figura. determine a) el momento alrededor de E generado por el peso W de la caja de madera y b) la fuerza mnima aplicada en B que produce un momento alrededor de E de igual magnitud pero con sentido opuesto.

Respuesta: a) 196.2 N.m; b) 199.0 N, 59.5.

31. Un rtulo est suspendido de dos cadenas AE y BF. Si la tensin en BF es 200N, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la magnitud y el sentido de la fuerza vertical aplicada en C que produce el mismo momento respecto

de A, c) la fuerza mnima aplicada en C que produce el mismo momento respecto a A, d) la fuerza mnima aplicada en B que produce el mismo momento respecto de A.

Respuesta: a) 386 N; b) 160.1 N, 56.0; c) 193.2 N; d) 189.5 N, 78.7.

32. Un atleta se est ejercitando mientras carga en el tobillo, A, un peso de 5 lb, como indica la figura. Determine a) el momento del peso respecto a la flexin de la rodilla en el punto B, b) la magnitud de la fuerza P muscular que forma un momento de igual magnitud respecto a B, c) la fuerza mnima aplicada en C que crea el mismo momento que el peso respecto a B.



33. Se sabe que es necesaria una fuerza vertical de 200 lb para mover, de la tabla mostrada, el clavo que est en C. Un instante antes de que el clavo comience a

moverse, determine a) el momento alrededor de B de la fuerza ejercida sobre el clavo, b) la magnitud de la fuerza P que genera el mismo momento alrededor de B

si 28 y c) la fuerza P mnima que genera el mismo momento respecto de B.

34. Determine la direccin para 1800 de la fuerza F de manera que produzca a) el momento mximo con respecto al punto A, y b) el momento mnimo con respecto al punto A. Calcule el momento en cada caso.

35. Determine el momento de la fuerza F con respecto

al punto A como funcin de . Grafique los resultados de M (ordenada) vesus (abcisa) para 1800 . Respuesta: sen 800cos1200 AM


36. Determine la direccin , 1800

de la fuerza F = 40 lb para

que produzca a) el mximo momento con respecto al punto A, y b) el mnimo momento con respecto al punto A.

calcule el momento en cada caso.

Respuesta: a) lb.pie 330)( mxAM , 0.76 ; b) 0)( mnAM , 166



37. Determine el ngulo a que la fuerza de 500 N debe actuar en A para que el momento de esta fuerza con

respecto al punto B sea igual a cero.

38. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguiln de 20 m de longitud de la gra. Si 30 , determine la posicin x del gancho localizado en A de modo que esta fuerza produzca un momento mximo con respecto al punto O. Qu valor tiene este momento?

Respuesta: m 0.24x ; kN.m0.80)( max OM 39. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguiln de 20 m de longitud de la gra. Si m 25x , determine la posicin del aguiln de modo que esta fuerza produzca un momento mximo con respecto al punto O. Qu valor tiene este momento?

Respuesta: 6.33 ; kN.m0.80)( max OM

Figura Problemas 34 y 35. 40. Los segmentos de tubo D para un pozo petrolero son apretados una cantidad prescrita usando un juego de tenazas T, que agarran el tubo, y un cilindro hidrulico (no se muestra) para regular la fuerza F aplicada a las tenazas. Esta fuerza acta a lo largo del cable que pasa alrededor de la pequea polea situada en P. Si originalmente el cable es perpendicular

a las tenazas como se muestra, determine la magnitud de la fuerza F que debe ser aplicada de manera que el momento alrededor del tubo sea de M = 2000 lb.pie. Para mantener este



mismo momento, qu magnitud de F se requiere cuando las tenazas giran 30 hacia la

posicin punteada? Nota: El ngulo DAP no es de 90 en esta posicin. Respuesta: F = 1.33 kip; F = 1.63 kip


La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos ejercidos sobre los puntos B y C por la fuerza vertical F son kN.m 75.1BM y kN.m 20.4CM . Determinar la fuerza F y la longitud de la barra AC.

Solucin.

kN.m 75.1BM , kN.m 20.4CM



Momento en el punto B.

ABFM B 30sen

30sen ABM

F B

30sen 35.0)75.1(F

kN 10F

Momento en el punto C.

ACFMC 20cos

20cosFMAC C

20cos10)20.4(AC

m 447.0AC mm 447AC


La lnea de accin de F est contenida en el plano x y. El momento de F sobre O es 140 N.m, y el momento de

F sobre A es 280 N.m. Cules son las componentes de F?

Solucin.

N.m 140OM , N.m 280AM



Momento en el punto O debido a la fuerza

F.

(5))3( yxO FFM 14053 yx FF

Momento en el punto A debido a la fuerza F.

(5))4( yxA FFM 80254 yx FF

Al resolver el sistema de ecuaciones:

N 20xF , N 40yF Fuerza F. Mdulo de la fuerza. Direccin de la fuerza.

jiF 4020

N 72.44F 43.63


La fuerza F ejerce un momento antihorario de 2000 lb.ft alrededor de A y un momento en sentido horario

de 1000 lb.ft alrededor de B. Cules son F y ?

Solucin.

lb.ft 200AM , lb.ft 100BM



Momento en el punto A debido a la fuerza

F.

(9))2( yxA FFM 20092 yx FF

Momento en el punto B debido a la fuerza

F.

(1))7( yxB FFM 1007 yx FF

Al resolver el sistema de ecuaciones:

9231.16xF , 4615.18yF Fuerza F. Mdulo de la fuerza. Direccin de la fuerza.

jiF 4615.189231.61 lb 04.25F 49.47

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