MECÁNICA RACIONAL€¦ · MECÁNICA RACIONAL UNIDAD II (VALOR 15 %) EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS (CENTROS DE GRAVEDAD) 1.- Un Cajón en Concreto se construye como Drenaje Hidráulico,

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LOS LLANOS OCCIDENTALES “EZEQUIEL ZAMORA”

VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS

Y PROCESOS INDUSTRIALES

Prof.: Ing. Eulicer Linares Fdez RIF: V-17.593.813-0

C.I.V: 211.298

UNELLEZ

PROGRAMA DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA

Y TECNOLOGÍA

RESPUESTA DEL PARCIAL II

SECCIÓN #01

y

2m

2m

3.5m x

𝑦 = ℎ 𝑥

𝑏

2

50cm

SUELO

SUELO

3.5m 6.5m

y

𝑟 = 2𝑦 − ℎ

r x

y

h

z

dy

MECÁNICA RACIONAL UNIDAD II (VALOR 15 %)

EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS

(CENTROS DE GRAVEDAD)

1.- Un Cajón en Concreto se construye como

Drenaje Hidráulico, en el que pasa una tubería

redonda donde fluye libremente el agua de

escorrentía. Se requiere hallar el Centro de Gravedad

del Cajón de Concreto, considerando las condiciones

dada en la figura Valor (40ptos).

2.- Un Cilindro cuyas dimensiones se muestran en

la figura, se necesita hallar por integración el

centroide en su eje (y) del área arbitraria.

Valor (60ptos)






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Y TECNOLOGÍA

SOLUCIÓN:

Ejercicio #01

- Hallamos el centroide de cada figura según su eje cartesiano.

y Área de la Figura(Cajón de Concreto)

𝐴1 = 𝑏2 2𝑚 2 ; A1 = 𝟒𝒎𝟐

2m Ejes Centroidales (Tablas)

𝑥 = 𝑏

2 ; 2𝑚

2 𝒙 = 𝟏𝒎

x

𝑦 = ℎ

2 ; 2𝑚

2 𝒚 = 𝟏𝒎

2m


x 𝐴2 = 𝑏𝑥ℎ 10𝑚 . (2𝑚 ) ; A2 = 𝟐𝟎𝒎𝟐


𝑥 = 𝑏

2 ; 10𝑚

2 𝑥 = 5𝑚 𝒙 = 𝟑. 𝟓𝒎

1.5m 8.5m 𝑦 = ℎ

2 ; 2𝑚

2 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎

10m

ÁREAS VACÍAS DEL CUERPO RÍGIDO

y Área de la Figura(Sección triangular)

x 𝐴3 = 1

2𝑏𝑥ℎ 1

2 1.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A3 = −𝟏. 𝟏𝟑𝒎

𝟐

1.5m Ejes Centroidales (Tablas)

𝑥 = 2𝑏

3 ; 2 (1.5𝑚 )

3 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = −𝟏𝒎

1.5m 𝑦 = 1ℎ

3 ; 1.5𝑚

3 𝑦 = 0.5𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟓𝒎

A1

A2

A3






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Y TECNOLOGÍA

El agua fluye libremente, lo que determina que la tubería redonda es hueca (vacía)

y Área de la Figura(Tubería Redonda)

𝐴4 = 𝜋𝑥𝑟2 𝜋 . (1𝑚 )2 ; A4 = −𝟑. 𝟏𝟒𝒎𝟐

Ejes Centroidales (Tablas)

𝑥 = 𝑟 ; 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = 𝟏𝒎

𝑦 = 𝑟 ; 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎

Para el área de sección parabólica 𝒚 = 𝒉 𝒙

𝒃 𝟐

, dada la ecuación que la identifica, se puede tomar en cuenta dos

criterios de resolución:

a- Considerar Media Parabólica complementaria (Área en Concreto).

b- o Media Parábola (Área vacía)

y 6.5m Área de la Figura(Media Parábola)

𝐴5 = 2

3𝑏𝑥ℎ 2

3 6.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A5 = −𝟔. 𝟓𝟎𝒎

𝟐

A5 1.5m


𝑥 = 3𝑏

8 ; 3 (6.5𝑚 )

8 𝑥 = 2.44𝑚 𝒙 = 𝟔. 𝟎𝟔𝒎

𝑦 = 3ℎ

5 ; 3 1.5𝑚

5 𝑦 = 0.90𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟎𝒎

Determinación del Centro de Gravedad del Cajón de Concreto

nº Área(m2) 𝒙 𝒚 𝒙 A 𝒚 A

1 4 1 1 4 4

2 20 3.50 -1 70 -20

3 -1.13 -1 -0.50 1.13 0.57

4 -3.14 1 -1 -3.14 3.14

5 -6.50 6.06 -0.60 -39.39 3.90

∑ 13.23 32.60 -8.40

𝒙 = 𝒙 .𝑨

𝑨 =

32.60𝑚3

13.23𝑚2 𝒙 = 𝟐. 𝟒𝟔𝒎

𝒚 = 𝒚 .𝑨

𝑨 =

−8.40𝑚3

13.23𝑚2 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟑𝒎

A4

r= 1m

40ptos






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Y TECNOLOGÍA

Ejercicio #02

Hallamos el centroide de la figura por integración.

El área arbitraria del elemento viene dada por una circunferencia, siendo un cilindro, por

tanto:

𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐

siendo 𝒓 = (𝟐𝒚 − 𝒉) según enunciado, tenemos que:

𝑨 = 𝜋. (2𝑦 − ℎ)2 ; resolviendo producto, se tiene:

𝑨 = 𝜋. 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2

Para hallar el centroide de la sección en el eje (y) por volumen, se requiere de la integración del

Área por el diferencial de volumen, entonces:

𝒗𝒐𝒍 = 𝒅𝑽 =

𝒗 𝐴. 𝑑𝑦

𝑣 ; si sustituimos por el valor del área, obtenemos:

𝐴. 𝑑𝑦 = 𝜋. 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2 𝑑𝑦 ℎ

0

𝑣

𝑣𝑜𝑙 = 𝜋 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2 𝑑𝑦 ℎ

0 integrando: 𝜋.

4𝑦3

3− 2𝑦2ℎ + ℎ2𝑦

ℎ0

evaluando:

𝜋. 4ℎ3

3− 2ℎ2ℎ + ℎ2ℎ ; 𝜋.

4ℎ3

3− 2ℎ3 + ℎ3 ; 𝜋. ℎ3

4

3− 2 + 1 ; 𝜋. ℎ3

1

3

vol = 𝝅.𝒉𝟑

𝟑

el momento de primer orden: 𝒚. 𝒅𝑽

𝒗

𝜋 𝑦. 4𝑦2 − 4𝑦ℎ + ℎ2 𝑑𝑦 ℎ

0 ; resolviendo 𝜋 4𝑦3 − 4𝑦2ℎ + 𝑦ℎ2 𝑑𝑦

ℎ

0; integrando:

𝜋. 𝑦4 −4𝑦3

3ℎ +

𝑦2

2ℎ2

ℎ0

evaluando: 𝜋. ℎ4 −4ℎ3

3ℎ +

ℎ2

2ℎ2 ; 𝜋. ℎ4 −

4ℎ4

3+

ℎ4

2

𝜋. ℎ4 1 −4

3+

1

2 ; 𝜋. ℎ4

1

6 =

𝝅.𝒉𝟒

𝟔

Aplicando la definición: 𝒚 = 𝒚.𝒅𝑽

𝒗

𝒅𝑽

𝒗

𝒚 = 𝜋 .ℎ4

6

𝜋 .ℎ3

3 simplificando:

3𝜋 .ℎ4

6𝜋 .ℎ3 = 1

2ℎ lo que determina que el centroide 𝒚 =

𝒉

𝟐

𝒚 = 𝒚

r

60ptos






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Y TECNOLOGÍA

RESPUESTA DEL PARCIAL II

SECCIÓN #02

y

2m

2m

3.5m x

𝑦 = ℎ 𝑥

𝑏

2

50cm

SUELO

SUELO

3.5m 6.5m

y

𝑟 = 𝐿 − 2𝑥 r dx

b x

z L

MECÁNICA RACIONAL UNIDAD II (VALOR 15 %)

EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS

(CENTROS DE GRAVEDAD)

1.- Un Cajón en Concreto se construye como

Drenaje Hidráulico, en el que pasa una tubería

redonda donde fluye libremente el agua de

escorrentía. Se requiere hallar el Centro de Gravedad

del Cajón de Concreto, considerando las condiciones

dada en la figura Valor (40ptos).

2.- Un Cilindro cuyas dimensiones se muestran en

la figura, se necesita hallar por integración el

centroide en su eje (x) del área arbitraria.

Valor (60ptos)






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Y TECNOLOGÍA

SOLUCIÓN:

Ejercicio #01

- Hallamos el centroide de cada figura según su eje cartesiano.


𝐴1 = 𝑏2 2𝑚 2 ; A1 = 𝟒𝒎𝟐


𝑥 = 𝑏

2 ; 2𝑚

2 𝒙 = −𝟏𝒎

x 𝑦 = ℎ

2 ; 2𝑚

2 𝒚 = 𝟏𝒎

2m


x 𝐴2 = 𝑏𝑥ℎ 10𝑚 . (2𝑚 ) ; A2 = 𝟐𝟎𝒎𝟐


𝑥 = 𝑏

2 ; 10𝑚

2 𝑥 = 5𝑚 𝒙 = 𝟏. 𝟓𝒎

3.5m 6.5m 𝑦 = ℎ

2 ; 2𝑚

2 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎

10m

ÁREAS VACÍAS DEL CUERPO RÍGIDO

y Área de la Figura(Sección triangular)

x 𝐴3 = 1

2𝑏𝑥ℎ 1

2 1.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A3 = −𝟏. 𝟏𝟑𝒎

𝟐

1.5m Ejes Centroidales (Tablas)

𝑥 = 2𝑏

3 ; 2 (1.5𝑚 )

3 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = −𝟑𝒎

1.5m 2m 𝑦 = 1ℎ

3 ; 1.5𝑚

3 𝑦 = 0.5𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟓𝒎

A1

A2

A3






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Y TECNOLOGÍA

El agua fluye libremente, lo que determina que la tubería redonda es hueca (vacía)

y Área de la Figura(Tubería Redonda)

x 𝐴4 = 𝜋. 𝑟2 𝜋 . (1𝑚 )2 ; A4 = −𝟑. 𝟏𝟒𝒎𝟐


𝑥 = 𝑟 ; 𝑥 = 1𝑚 𝒙 = −𝟏𝒎

𝑦 = 𝑟 ; 𝑦 = 1𝑚 𝒚 = −𝟏𝒎

Para el área de sección parabólica 𝒚 = 𝒉 𝒙

𝒃 𝟐

, dada la ecuación que la identifica, se puede tomar en cuenta dos

criterios de resolución:

c- Considerar Media Parabólica complementaria (Área en Concreto).

d- o Media Parábola (Área vacía)

y 6.5m Área de la Figura(Media Parábola)

𝐴5 = 2

3𝑏𝑥ℎ 2

3 6.5𝑚 . (1.5𝑚 ) ; A5 = −𝟔. 𝟓𝟎𝒎

𝟐

A5 1.5m


𝑥 = 3𝑏

8 ; 3 (6.5𝑚 )

8 𝑥 = 2.44𝑚 𝒙 = 𝟒. 𝟎𝟔𝒎

𝑦 = 3ℎ

5 ; 3 1.5𝑚

5 𝑦 = 0.90𝑚 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟎𝒎

Determinación del Centro de Gravedad del Cajón de Concreto

nº Área(m2) 𝒙 𝒚 𝒙 A 𝒚 A

1 4 -1 1 4 4

2 20 1.50 -1 70 -20

3 -1.13 -3 -0.50 1.13 0.57

4 -3.14 -1 -1 -3.14 3.14

5 -6.50 4.06 -0.60 -39.39 3.90

∑ 13.23 6.14 -8.40

𝒙 = 𝒙 .𝑨

𝑨 =

6.14𝑚3

13.23𝑚2 𝒙 = 𝟎. 𝟒𝟔𝒎

𝒚 = 𝒚 .𝑨

𝑨 =

−8.40𝑚3

13.23𝑚2 𝒚 = −𝟎. 𝟔𝟑𝒎

A4

r= 1m

40ptos






C.I.V: 211.298

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Y TECNOLOGÍA

Ejercicio #02

Hallamos el centroide de la figura por integración.

El área arbitraria del elemento viene dada por una circunferencia, siendo un cilindro, por

tanto:

𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐

siendo 𝒓 = (𝑳 − 𝟐𝒙) según enunciado, tenemos que:

𝑨 = 𝜋. (𝐿 − 2𝑥)2 ; resolviendo producto, se tiene:

𝑨 = 𝜋. 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2

Para hallar el centroide de la sección en el eje (x) por volumen, se requiere de la integración del

Área por el diferencial de volumen, entonces:

𝒗𝒐𝒍 = 𝒅𝑽 =

𝒗 𝐴. 𝑑𝑥

𝑣 ; si sustituimos por el valor del área, obtenemos:

𝐴. 𝑑𝑥 = 𝜋. 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 𝐿

0

𝑣

𝑣𝑜𝑙 = 𝜋 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 ℎ

0 integrando: 𝜋. 𝑥𝐿2 − 2𝐿𝑥2 +

4𝑥

3

3

𝐿0

evaluando:

𝜋. 𝐿. 𝐿2 − 2𝐿(𝐿)2 +4.𝐿

3

3 ; 𝜋. 𝐿3 − 2𝐿3 +

4.𝐿

3

3 ; 𝜋. 𝐿3 1 − 2 +

4

3 ; 𝜋. 𝐿3

1

3

vol = 𝝅.𝑳𝟑

𝟑

el momento de primer orden: 𝒚. 𝒅𝑽

𝒗

𝜋 𝑥. 𝐿2 − 4𝐿𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 𝐿

0 ; resolviendo 𝜋 𝑥𝐿2 − 4𝐿𝑥2 + 4𝑥3 𝑑𝑥

ℎ

0; integrando:

𝜋. 𝑥2𝐿2

2−

4𝑥3

3𝐿 + 𝑥4

𝐿0

evaluando: 𝜋. 𝐿2𝐿2

2−

4𝐿3

3𝐿 + 𝐿4 ; 𝜋.

𝐿4

2−

4𝐿4

3+ 𝐿4

𝜋. 𝐿4 1

2−

4

3+ 1 ; 𝜋. 𝐿4

1

6 =

𝝅.𝑳𝟒

𝟔

Aplicando la definición: 𝒙 = 𝒙.𝒅𝑽

𝒗

𝒅𝑽

𝒗

𝒙 = 𝜋 .𝐿4

6

𝜋 .𝐿3

3 simplificando:

3𝜋 .𝐿4

6𝜋 .𝐿3 = 1

2𝐿 lo que determina que el centroide 𝒙 =

𝑳

𝟐

o 𝒙 = 𝒃

r

60ptos

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