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MEDIDAS Y SUS ERRORES

MEDICIONES

La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de una propiedad física. Así, la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental.

La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. Existe la necesidad de establecer una única unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas.

Reglas para escribir símbolosLos símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se expresan en caracteres romanos, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de ampere, J de joule. Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km 2

significa (km)2, área de un cuadrado que tiene un km de lado, o sea 106 metros cuadrados y nunca k(m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados. El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc. El producto de los símbolos de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N·m Nm, nunca mN, que significa milinewton. Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador:

m /s =

ms = m⋅s−1

No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas. m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/(kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3

Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, watio, weberio. Los nombres de las unidades toman una s en el plural (ejemplo 10 newtons) excepto las que terminan en s, x ó z. En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera de la decimal. Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año.

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ERRORES EN LAS MEDIDAS

Los resultados de las medidas nunca se corresponden con los valores reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos, es decir, están afectados de error. Las causas que motivan tales desviaciones pueden ser debidas al observador, al aparato o incluso a las propias características del proceso de medida. Un ejemplo de error debido al observador es el llamado error de paralaje que se presenta cuando la medida se efectúa mediante la lectura sobre una escala graduada. La situación del observador respecto de dicha escala influye en la posición de la aguja indicadora según sea vista por el observador. Por ello para evitar este tipo de error es preciso situarse en línea con la aguja, pero perpendicularmente al plano de la escala. Otros errores debidos al observador pueden introducirse por descuido de éste, por defectos visuales, etc.Son, asimismo, frecuentes los errores debidos al aparato de medida. Tal es el caso del llamado error del cero. El uso sucesivo de un aparato tan sencillo como una báscula de baño hace que al cabo de un cierto tiempo en ausencia de peso alguno la aguja no señale el cero de la escala. Para evitar este tipo de error los fabricantes incluyen un tornillo o rueda que permite corregirlo al iniciar cada medida. Variaciones en las condiciones de medida debidas a alteraciones ambientales, como pueden ser cambios de presión o de temperatura o a las propias características del proceso de medida constituyen otras posibles fuentes de error.La interacción entre el sistema físico y el aparato de medida constituye la base del proceso de medida; pero dicha interacción perturba en cierto grado las condiciones en las que se encontraba el sistema antes de la medida. Así, cuando se desea medir la tensión eléctrica existente entre dos puntos de un circuito con un voltímetro, una parte de la corriente se desvía por el aparato de medida, con lo que el sistema a medir queda ligeramente perturbado. De igual modo, al medir una temperatura con un termómetro se está provocando una cesión o absorción de calor entre termómetro y sistema hasta que se alcanza el equilibrio térmico entre ambos. En un cierto grado, el valor de la temperatura a medir se ha visto modificado al hacer intervenir el aparato de medida. En el ámbito de la física microscópica tal perturbación, cuando existe, es controlable y puede reducirse hasta considerarse despreciable mediante un diseño adecuado del aparato de medida.

CONCEPTOS RELACIONADOS CON LA METROLOGÍA

Media aritmética o promedio,De una cantidad finita de números, es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos. Es uno de los principales estadísticos muestrales.Dados los n números x1,x2, ... ,xn, la media aritmética se define simplemente como:

x=x1+x2+…xn

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

La x, con una barra horizontal sobre el símbolo para medias de una muestra (x), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

VarianzaRepresenta la media aritmética de las desviaciones con respecto a la media elevadas al cuadrado. Si atendemos a la colección completa de datos (la población en su totalidad) obtenemos la varianza poblacional; y si por el contrario prestamos atención sólo a una muestra de la población, obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las expresión de la varianza muestral es:

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Desviación estándarEs una medida del grado de dispersión de los datos del valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto de la media aritmética. Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca a la media.Por la formulación de la varianza podemos pasar a obtener la desviación estándar, tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza. Así, si efectuamos la raíz de la varianza muestral, obtenemos la desviación estándar muestral.Expresión de la desviación estándar muestral:

Coeficiente de variación (Cv)Es útil para comparar dispersiones a escalas distintas pues es una medida invariante ante cambios de escala. Por ello es importante que todos los valores sean positivos y su media de por tanto un valor positivo.Exigimos que y se puede dar en tanto por ciento calculando

C v=Sx

∙100%

Donde S es la desviación típica.

Sensibilidad, resolución o error del instrumento (e)Es la mínima medida que el instrumento puede realizar. Viene fijado por la graduación del instrumento.Por ejemplo, una regla donde la separación entre dos líneas consecutivas sea de un milímetro, entonces su sensibilidad será de e = 1 mm.

Cifras significativasLos científicos procuran que sus datos experimentales no digan más de lo que pueden decir según las condiciones de medida en los que fueron obtenidos. Por ello ponen cuidado en el número de cifras con que expresar el resultado de una medida con el propósito de incluir sólo aquellas que tienen algún significado experimental. Tales cifras reciben el nombre de cifras significativas. Una cifra es significativa cuando se conoce con una precisión aceptable. Así, cuando se mide con un termómetro que aprecia hasta 0.1 °C no tiene ningún sentido que se escriban resultados del tipo 36.25 °C o 22.175 °C, por ejemplo.Todas las cifras que figuran en un resultado deben ser significativas. Este mismo criterio general debe respetarse cuando se opera con datos experimentales; es una cuestión de sentido común que por el simple hecho de operar con los números no es posible mejorar la precisión de los resultados si éstos tienen una base experimental. Cuando un resultado se escribe de modo que todas sus cifras sean significativas proporciona por sí mismo información sobre la precisión de la medida.

IncertidumbreDesde el punto de vista de la metrología, se define incertidumbre como la característica asociada al resultado de una medición, que define el espacio bidireccional centrado en el valor ofrecido por el instrumento de medida, dentro del cual se encuentra con una determinada probabilidad estadística el valor medido.

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Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador.Si al tratar de determinar una magnitud x por medición directa, realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios y los resultados obtenidos de n mediciones son x1, x2, ... xn , entonces se adopta como mejor estimación del valor verdadero su valor medio x. El valor medio se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podrían bastar 4 ó 5.

La estimación x̂ de una medida de cualquier magnitud x no debe considerarse completa, si no incluye la evaluación de la incertidumbre ∆ x asociada a su proceso de medición. Y la expresamos:

x̂=x ± ∆ x

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por

∆ x= S

√nDonde S es la desviación estándar y n es el número de medidas realizadas.

La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo, sino que el error instrumental es tan grande que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

PrecisiónSe refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión. Una medida común de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones y la precisión se puede estimar como una función de ella. Una medida de la precisión de un instrumento es el coeficiente de variación. Ya que puede ser comparado con otro instrumento similar de diferente escala.

ExactitudSe refiere a que tan cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadístico, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacto es una estimación.Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia

entre el valor experimental y el valor verdadero. Si xv es valor verdadero y ⟨ x ⟩ el valor medido experimentalmente, entonces la exactitud de la medida de la magnitud es:

exactitud=|xv−x|También se puede expresar la exactitud como un porcentaje de la diferencia respecto al valor verdadero, así:

exactitud=|xv−x|

xv∙100%

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REGLAS PARA EXPRESAR UNA MEDIDA Y SU ERRORToda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.Regla 1: Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.Regla 2: Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Regla 3: La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASEn muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.

Errores para funciones de una sola variable

Figura 1.

Sea una función y= y (x ) como se aprecia en la figura 1. Si el error Δx es pequeño, entonces el error Δy se puede aproximar del siguiente modoΔy=tanθ⋅ΔxPero tanθ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x, luego

Δy=dydx

Δx

Figura 2.Como la pendiente puede ser positiva, si la función es creciente o negativa si la función es decreciente, en general tendremos que

Δy=|dydx

|Δx

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Errores para funciones de varias variablesLa magnitud z viene determinada por la medida de varias magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la funciónz=f ( p ,q , r ,. .. )El error de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión.

Δz=√( ∂ f∂ p

Δp)2+( ∂ f∂ q

Δq)2+( ∂ f∂r

Δr )2+. ..

Casos más frecuentes

z=x+ y⇒ Δz=√ Δx2+ Δy2

z=x− y ⇒ Δz=√ Δx2+Δy2

z=xy ⇒Δzz

=√( Δxx )

2

+( Δyy )

2

z=xy⇒

Δzz

=√( Δxx )

2

+( Δyy )

2

EJEMPLOS

Errores en las medidas1. Al medir una cierta distancia hemos obtenido 297 ± 2 mm. ¿Qué nos indica esta medida?RespuestaEntendemos que la medida de dicha distancia está en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

2. ¿Es correcta una medida de una velocidad expresada de la forma 6051.78 ± 30 m/s? Respuesta Es completamente falsa, ya que la cifra de las centenas puede ser tan pequeña como 2 o tan grande como 8. Las cifras que vienen a continuación 1, 7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresión correcta es6050 ± 30 m/s

3. ¿Cómo se expresa una medida de 92.81 con un error de: a) 0.3 ? b) 3 ? c) 30 ?Respuestaa) 92.8 ± 0.3b) 93 ± 3c) 90 ± 30

4. Las siguientes expresiones están incorrectas:Por la regla 2 24567 ± 2928 m23.463 ± 0.165 cm345.20 ± 3.10 mmPor la regla 3. 24567 ± 3000 cm

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43 ± 0.06 m345.2 ± 3 mEscríbalas correctamente.Respuesta24000 ± 3000 m23.5 ± 0.2 cm345 ± 3 m43.00 ± 0.06 m

Errores en las medidas directas

5. Si al hacer una medida de la intensidad de corriente con un amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), ¿Cómo se expresa la medida?

RespuestaTomaremos 0.64 A como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresará así 0 .64±0 .01 A

6. Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. ¿Cómo se expresa la medida?

RespuestaDe acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:

⟨ t⟩=6 .3 s+6 .2 s+6 .4 s+6.2 s4

=6 .275 s

El error cuadrático será

Δt=√(6 .3−6 .275 )2+(6 .2−6 .275 )2+(6 .4−6 .275 )2+(6 .2−6 .275)2

4( 4−1)=0.04787 s

Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), Δt=0 .05 s . Pero el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1s, por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es t=6 .3±0 .1 s

7. Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. ¿Cómo se expresa la medida?

RespuestaSe encuentra que el valor medio es 5.975 y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en este caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como t=6 .0±0.2 s

Errores en las medidas indirectas8. Si la medida de un ángulo es x = 20 ± 3º ¿Cuál es la medida de y si esta dado por la expresión y = cos x ?Respuesta y = cos20° = 0.9397El error de x es: Δx = 3° = 0.05 radY el error de y es: Δy = |dy/dx| ·Δx = |sen20|·0.05 = 0.02

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Finalmente la medida de y será:y = 0.94 ± 0.02

9. Supongamos que queremos medir el periodo P de un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que aprecia las décimas de segundo, 0.1s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones y obtenemos 4.6 s. ¿Cuál es la medida del periodo?

RespuestaCalculamos el periodo medio:

P= tN

=10 s4 .6

=0 .46 s

Obtenemos para su error

ΔP= Δt10

=0 .1 s10

=0 .01 s

Por tanto, la medida la podemos expresar como P=0.46±0 .01 sEs evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolución instrumental para medir P aumentando el número de periodos que incluimos en la medida directa de t. El límite está en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el número de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.

10. La medida de los lados de un rectángulo son a = 1.53 ± 0.06 cm, y b = 10.2 ± 0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error en su medida indirecta.

Respuesta

El área es z=ab=(1.53cm)(10 .2cm )=15 .606 cm2

El error relativo del área z/z se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos magnitudes.

Δzz

=√( 0 .061 .53 )2

+( 0 .110 .2 )2

=0.0404422504

Luego, el error absoluto del área es:

Δz=(0 .0404422504 )(15 .606 cm2 )=0.63083cm2

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como15 .6±0 .6cm2

11. Calcular la aceleración de la gravedad g, su error absoluto y su incertidumbre, midiendo el periodo P de un péndulo simple de longitud l en un lugar de la tierra donde el valor “real” de la aceleración de la gravedad es 980 cm/s2.

Respuesta

El periodo de un péndulo está dado por P=2 π √ l

g

de donde g=4 π2

l

P2 La expresión del error Δg de la variable g es

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Δg=√(4 π21P2

Δl)2

+(−4π 22

P3ΔP)

2

(Usted debe comprobarlo)Y su error relativo

Δgg

=√( Δll )

2

+( 2 ΔPP )

2

Supongamos que medimos el periodo P y la longitud l del pénduloP = 1.396 ± 0.004 sl = 92.95 ± 0.1 cmCalculamos la aceleración de la gravedad y el errorg = 979.035 cm/s2

Δg = 4.28Expresamos correctamente la medida y el error de g979 ± 4 cm/s2

Finalmente, la exactitud de esta medida es:Exactitud = 980 cm/s2 - 979 cm/s2 = 1 cm/s2

Fuentes: - Ángel Franco García página web física con ordenador: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/- Alonso M. and Finn E. Física. Fondo Educativo Interamericano (1971)- Raymond A. Serway and John W. Jewett Jr. Física para ciencias e ingenierías

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