Curso propedéutico de matemáticas

Cálculo diferencial e integral

Tema: Funciones y relaciones

Facultad de Ingeniería, UNAM

Septiembre de 2014

I. Relaciones Funciones Objetivo Al finalizar el tema, el alumno será capaz de determinar cuando una relación es una función, podrá operar con ellas, las identificará adecuadamente y sabrá graficar expresiones matemáticas determinando su dominio y contradominio.

ara entender los diversos fenómenos físicos, naturales o artificiales, a los que se enfrentan los interesados en el modelado y comportamiento matemático de tales eventos, es importante tener muy claro el concepto de relación y función, que son las expresiones que modelan o representan de manera matemática a fenómenos

reales o imaginados. Para analizar y comprender el comportamiento y la gráfica de una función vamos iniciar definiendo el producto cartesiano, más adelante estudiaremos algunos tipos de funciones en especial.

Producto cartesiano Aún y cuando no lo parezca así, como mucha de las matemáticas que hemos aprendido, los productos cartesianos los utilizamos de manera frecuente en nuestra vida diaria, por ejemplo cuando acudimos a un pequeño restaurante que tiene en la carta las siguientes listas:

ENTRADA PLATO FUERTE POSTRE

Sopa Cecina con verduras Gelatina

Consomé Milanesa con arroz Flan

Tortas de papa

Al solicitar nuestra orden de alimentos construimos un elemento del producto cartesiano que se puede originar de la combinación adecuada de toda la información antepuesta porque comemos en el orden que indica la tabla anterior. Podemos hacer la siguiente combinación, elegir primero la sopa como entrada, en seguida como plato fuerte pedimos cecina con verduras y, al final, ordenamos flan como postre:

( )sopa, cecina con verduras, flan ;

todas las posibles ordenes, que son los elementos totales del producto cartesiano, se muestran a continuación:

P

( ) ( ){( ) ( )( ) ( )

sopa, cecina con verduras, gelatina , sopa, cecina con verduras, flan ,

sopa, milanesa con arroz, gelatina , sopa, milanesa con arroz, flan ,

sopa, tortas de papa, gelatina , sopa, tortas de papa, flan ,

cons( ) ( )( ) ( )( )

omé, cecina con verduras, gelatina , consomé, cecina con verduras, flan ,

consomé, milanesa con arroz, gelatina , consomé, milanesa con arroz, flan ,

consomé, tortas de papa, gelatina , consomé, tortas de pa( )}pa, flan

Este conjunto es un producto cartesiano porque el orden es relevante, siempre nos van a dar el plato de entrada primero, luego se nos sirve el plato fuerte y al final consumimos el postre. Obvio es que al ordenar sólo pedimos un elemento del producto cartesiano y no todos a la vez, pero podríamos ir muchas veces al mismo restaurante sin repetir el mismo menú.

Un producto cartesiano es el conjunto ordenado de parejas, triadas, etc. de elementos de dos o más conjuntos. Matemáticamente diríamos que el producto cartesiano entre los elementos del conjunto { }iA a= y los elementos del conjunto

{ }jB b= , donde 1,2,3,...,i n= , y 1,2,3,...,j m= es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1, , , ,..., , , , , , ,..., , ,..., , ,..., ,m m n n mA B a b a b a b a b a b a b a b a b× =

Los elementos del producto cartesiano B A× son

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1, , , ,..., , , , , , ,..., , ,..., , ,..., ,n n m m nB A b a b a b a b a b a b a b a b a× =

Cuando hablamos de conjuntos el orden de los elementos en tales estructuras no es relevante. Si nos referimos a productos cartesianos, por el contrario, es indispensable considerar el orden en cómo se ubican los valores; tal como ocurre al ubicar un punto en un plano cartesiano donde primero se indica la abscisa y posteriormente, separado por una coma, se establece la ordenada, ( , )x y . El orden es obligatorio porque la ubicación de un punto en un plano cartesiano no es otra cosa que la ubicación o descripción gráfica de un punto de un producto cartesiano. Por ejemplo, en la figura 1.1 se pueden apreciar puntos distribuidos en el plano cartesiano.

Para ubicar la orientación del eje de las abscisas y el eje de las ordenadas se sigue la regla de la mano derecha: La dirección del pulgar de la mano derecha extendida indica la proyección positiva del eje de las abscisas ( X ), a donde apunten los demás dedos al extender la mano se tendrá la proyección positiva del eje de las ordenadas (Y ); si ubicamos tres dimensiones, la palma de la mano indica la dirección positiva de la tercera coordenada ( Z ). Donde se cruzan los ejes se tiene el origen o el valor cero de dichos ejes (figura 1.2).

Figura 1.1: Puntos distribuidos en el plano cartesiano siguiendo un orden establecido; primero abscisa x , luego ordenada y : ( ),x y .

Figura 1.2. Espacio cartesiano con los ejes siguiendo la regla de la mano derecha.

Relaciones y funciones Cuando realizamos productos cartesianos dijimos que el orden era importante, primero la abscisa y después la ordenada para indicar un punto en el plano cartesiano, ( ),x y . Si colocamos en un conjunto todos los valores posibles de asignar a x , la variable independiente, y los llamamos el conjunto X ; y colocamos en otro conjunto Y los valores de la variable dependiente y , entonces la expresión matemática que relaciona a los elementos de ambos conjuntos es conocida como relación matemática (figura 1.3).

Figura 1.3. Relación matemática entre dos conjuntos. Para un elemento del conjunto X hay una relación con uno o más elementos del conjunto Y .

En las relaciones, cada valor del conjunto X puede tener relación con uno, dos o más datos del conjunto Y , tal como puede observarse en el valor de 3− del conjunto X que se relaciona solamente con el número 5− del conjunto Y ; y para el elemento 1/ 2 del conjunto X existen dos números en el conjunto Y , 7 / 3 y 6 / 9 .

Un hecho especial de las relaciones son las funciones, que son los casos que se tienen cuando a cada elemento del conjunto X le corresponde solamente un número en el conjunto Y (figura 1.4), es decir, es una colección de pares ordenados donde nunca se repiten los valores de la abscisas.

Compare las dos figuras 1.3 y 1.4, observe el 1/ 2 del conjunto X ; en la figura 1.3 que no representa una función, este término está relacionado con dos números del conjunto Y ,7 / 3 y 6 / 9 . En la figura 1.4, que sí representa una función, para el valor 1/ 2 sólo tenemos el dato 6 / 9 en el conjunto Y .

Figura 1.4 Función matemática entre dos conjuntos. Como para cada elemento del conjunto X existe sólo un número en el conjunto Y la relación es una función matemática.

Las funciones se representan simbólicamente mediante la expresión

( )y f x=

que se lee “ y es igual a f de x ” o “ y es una función de x ”. A x se le conoce como la variable independiente y a y se le identifica como la variable dependiente.

Formalmente, para un conjunto dado X , una función es la expresión matemática ( )f x que relaciona a cada uno de de los valores x , x X∈ , con un solo elemento

y del otro conjunto Y , y Y∈ .

El conjunto X , de la variable independiente, se llama dominio y el conjunto Y , de la variable dependiente, se llama rango, recorrido, imagen o contradominio.

El dominio de una función puede definirse de manera explícita o de manera implícita. Cuando es de manera explícita se indica el dominio enseguida de la función; cuando es implícita no se declara el dominio, es necesario deducirlo de la expresión.

Por ejemplo, son relaciones de dominio implícito las siguientes:

3( ) 2 3 5f x x x= − +

Esta función es un polinomio, puesto que las potencias de las variables son enteras positivas, y en consecuencia está definida en todo el campo de los números reales, porque para cualquier valor real asignado a la variable independiente x siempre tenemos un resultado real para ( )f x .

x Sustitución ( )y f x=

2.5− ( ) ( ) ( )32.5 2 2.5 3 2.5 5f − = − − − + 18.75−

0 ( ) ( ) ( )30 2 0 3 0 5f = − + 5

1/ 3 ( ) ( ) ( )31/ 3 2 1/ 3 3 1/ 3 5f = − + 4.074074

1000 ( ) ( ) ( )31000 2 1000 3 1000 5f = − + 91.999997 10×

En notación matemática de conjuntos tendremos que el dominio es

{ }x x ∈

( ) 2f x x= +

Si nada más analizamos funciones reales de variable real, para no tener la raíz cuadrada de un número negativo, necesitamos que el radicando (lo que esta dentro del radical, el símbolo de la raíz cuadrada) sea mayor o igual que cero:

2 0x + ≥

despejando a la variable nos da

2x ≥ −

Por lo que el dominio no explicitado se compone del conjunto de números mayores o iguales que 2− . Gráficamente será:

o en conjuntos [ ){ }2,x x ∈ − ∞

Si evaluamos algunos valores del conjunto indicado veremos que el resultado es un número real

x Sustitución ( )y f x=

2− ( )2 2 2f − = − + 0

0 ( )2 0 2f − = + 1.414214

7 ( )2 7 2f − = + 3

Si consideramos un número no incluido en el dominio veremos que la respuesta de la función no es un número real:

x Sustitución ( )y f x=

3− ( )3 3 2 1f − = − + = − Sin respuesta

Puedes verificar en tu calculadora que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, tu calculadora marcará error.

2( ) 4f x x= −

Dado que estamos analizando variables reales necesitamos que el radicando sea mayor o igual que cero

24 0x− ≥

despejando la variable

24 x≥ , o

2 4x ≤

de la definición alterna de valor absoluto, 2a a= , tendremos que

2 4 2x x= ≤ = , esto es

2x ≤

de donde deducimos el intervalo (revisar la definición de valor absoluto):

2 2x− ≤ ≤ o [ ]{ }2,2x ∈ −

2

2 3( )9

xf xx

+=

−

En este cociente el numerador puede tomar cualquier valor dado que es un polinomio. En el denominador se aplica el mismo razonamiento, excepto que como la división entre cero no está definida se necesita que

2 9 0x − ≠

De donde deducimos que, despejando x ,

2 9x ≠

Obteniendo la raíz cuadrada

3x ≠ ±

De este resultado y el razonamiento escrito antes encontramos que el dominio son todos los números reales con excepción de 3− y 3 . En notación matemática de conjuntos quedaría

{ }{ }3,3x ∈ − −

3( )

2f x

x=

−

Aquí necesitamos que el denominador no sea cero y para obtener una raíz cuadrada necesitamos que el denominador sea un número positivo, esto es

2 0x − >

Despejando x

2x > o ( ){ }2,x ∈ ∞

Las expresiones con dominio explícito tienen anotados junto a ellas la región de validez:

( ) 22 1, 1f x x x= − ≥

( ) [ )5 , 4,01

f x xx

= ∈ −−

La siguiente es una función definida en segmentos o pedazos con dominio explícito, dado que es absolutamente necesario indicar qué región es representada por cada una de las expresiones anotadas:

( ) 2

2 6, 1, 1

x xf x

x x− ≤

= − >

Las expresiones que hemos estado analizando son conocidas como funciones explícitas porque desde un principio determinamos quién es la variable independiente y quién es la variable dependiente, ( )y f x= . Si no hacemos lo anterior se dice que la función es implícita; esto es, queda a criterio de cada uno decidir qué variable será la independiente y cuál la dependiente, Ejemplos de este último caso son las siguientes expresiones:

2 22 7y x+ = 22 3 4 sen( )xy x y xy− + =

2 3 5y x− = I. Determine el dominio de la expresión dada:

( )3 25 3 7

4x xf x − +

= ( ) 2 6g x x= − ( ) 22 8g x x= −

( )24 3

5xh x −

= ( ) 25

g xx

=−

( ) 2

5 39

xh xx

−=

+

( ) 2

2 32 8

xh xx

−=

− ( )

2

2 46

xf xx

−=

− ( ) 2

3 9xh xx−

=−

Graficación de funciones y relaciones Para graficar las funciones es valioso tener un conocimiento adecuado del comportamiento típico de las diversas relaciones que veremos más adelante, sin

embargo, es importante que sepamos construir tablas para ubicar puntos en el plano cartesiano.

Para graficar la función [ ]3 1, 2, 2y x= − − construimos la tabla siguiente:

x sustitución y ( ),x y

2− ( )32 1 8 1 9− − = − − = − 9− ( )2, 9− −

1− ( )31 1 1 1 2− − = − − = − 2− ( )1, 2− −

0 ( )30 1 0 1 1− = − = − 1− ( )0, 1−

1 ( )31 1 1 1 0− = − = 0 ( )1,0

2 ( )32 1 8 1 7− = − = 7 ( )2,7

Cuya gráfica toma forma al distribuir los puntos en el plano cartesiano (figura 1.5) obviamente, para tener una gráfica como la mostrada se requieren más puntos que los tabulados:

Figura 1.5 Colección de puntos que insinúan la forma de la gráfica de la función analizada.

Si unimos todos estos puntos vamos a tener la gráfica que buscamos (figura 1.6).

Figura 1.6 Representación gráfica de la función 3 1y x= − .

Para determinar el contradominio (que son los valores de la ordenada recorridos por la gráfica, es decir, los valores que toma y ) de la función podemos utilizar la gráfica. Dado que el dominio definido de forma explícita es de [ ]2,2− y como ( )2 9f − = − y ( )2 7f = y como entre 9− y 7 , que son los valores de y , la gráfica es continua entonces el recorrido es [ ]9,7− .

Para la expresión 2 22 2x y− = , necesitamos despejar una de las dos variables, hagámoslo con y :

2 22 2y x= − , de donde

22 2y x= ± −

El dominio de esta función lo podemos deducir de

22 2 0x − ≥

Despejando x

2

2

2 21

xx

≥

≥ (dividiendo entre 2)

De la definición de valor absoluto

1 1x ≥ = , de donde 1 ó 1x x≤ − ≥

De aquí se obtienen dos relaciones para las cuales construiremos una tabla

Al ubicar los puntos en un plano cartesiano encontramos los puntos de la figura 1.7

Figura 1.7 Puntos distribuidos en el plano cartesiano para la expresión 22 2y x= ± −

Al unir todos los puntos construimos la gráfica de la figura 1.8

Figura 1.8. Gráfica de una elipse obtenida al unir los puntos de la figura 1.7.

x

Sustitución en 22 2y x= − ( ),x y x

Sustitución en 22 2y x= − − ( ),x y

1− ( )22 1 2 0− − = ( )1,0− 1− ( )22 1 2 0− − − = ( )1,0−

2− ( )22 2 2 6− − = ( )2, 6− 2− ( )22 2 2 6− − − = − ( )2, 6− −

3− ( )22 3 2 16− − = ( )3,4− 3− ( )22 3 2 16− − − = − ( )3, 4− −

4− ( )22 4 2 30− − = ( )4, 30− 4− ( )22 4 2 30− − − = − ( )4, 30− −

1 ( )2 1 2 0− = ( )1,0 1 ( )2 1 2 0− − = ( )1,0

2 ( )22 2 2 6− = − ( )2, 6 2 ( )22 2 2 6− − = − ( )2, 6−

3 ( )22 3 2 16− = ( )3,4 3 ( )22 3 2 16− − = − ( )3, 4−

Esta hipérbola tiene valores en todo el eje y entonces el recorrido son todos los números reales. Aún cuando la gráfica va sólo de 6− a 6 en el eje y dado que el dominio continúa hacia los infinitos la gráfica continúa hacia arriba y hacia abajo.

Una manera elegante de encontrar el recorrido es despejar a la variable independiente

2

12yx = ± +

Analizando el radicando, podemos ver que no hay ningún número que haga que el

polinomio 2

12y

+ sea negativo, porque todo número elevado al cuadrado da como

resultado un número positivo; por tanto, el recorrido son todos los números reales.

Construyamos la gráfica de ( )2 1, 1

1 1x x

f xx x

− ≤=

− >

En esta expresión tenemos la función definida en dos segmentos, para valores menores o iguales que 1 es una curva y para valores mayores que 1 tendremos una recta. Necesitamos construir una tabla para la sección parabólica y otra tabla para la recta.

x Sustitución en 2 1y x= − y ( ),x y

2− ( )22 1 3− − = 3 ( )2,3−

1− ( )21 1 0− − = 0 ( )1,0−

0 ( )20 1 1− = − 1− ( )0, 1−

1 ( )21 1 0− = 0 ( )1,0

x Sustitución en 1y x= − y ( ),x y

1.001 1.001 1 0.001− = 0.001 ( )1.001,0.001

3 3 1 2− = 2 ( )3,2

Ubicando estos puntos en el plano cartesiano y uniéndolos para darle forma a la figura nos producirá la gráfica de la figura 1.9.

Figura 1.9 Gráfica de una función definida en segmentos.

El dominio de la gráfica de la figura 1.9 nos permite ver que el punto más bajo de la gráfica en el eje y es 1− por lo que el recorrido será el intervalo que inicia en ese punto y se extiende hacia el infinito, [ )1,− ∞ .

Por la manera elegante veríamos que la sección lineal 1y x= − nos daría un recorrido 0y > porque el punto más bajo de la recta de pendiente positiva ocurre cuando 1x → .

Para la parte parabólica, al despejar x encontramos 1x y= ± + ; de donde necesitamos que 1 0y + ≥ o también 1y ≥ − , con lo que el recorrido es [ )1,− ∞ , para todos estos valores se cumple 1x ≤ .

II. Encuentre el dominio y construya la gráfica de las funciones siguientes, además determine el recorrido:

( ) 2 3g x x= + ( ) 23 8g x x= + ( ) 3 1f x x= +

( ) 23 4g x x= − ( ) 32 4f x x= − ( ) 4 13

h xx

= +

( )35 74

xf x += ( ) 2 6g x x= − ( ) 2 25g x x= −

( )24 2

7xh x −

= ( ) 22 10

g xx

=+

( ) 2

3 22

xh xx

−=

+

( ) 2

48

xh xx

−=

− ( )

2

42 8xf xx−

=−

( ) 23 9xh xx+

=+

Prueba de la recta vertical para funciones

A partir de las gráficas de las expresiones matemáticas podemos determinar quién es una función y quién no lo es. La prueba es conocida como de la recta vertical: al tener la gráfica y trazar sobre ella una recta vertical paralela al eje de las ordenadas y si al desplazarla en todo el dominio corta en un solo punto a la gráfica, entonces la relación es una función; si es cortada en más de un punto es solamente una relación pero no es función, la figura 1.10 muestra una función y la figura 1.11 es una relación.

Figura 1.10 La gráfica corresponde a una relación que es una función por que al desplazar la línea azul por todo el eje x , la curva es cortada solamente en un punto.

Figura 1.11. Gráfica de una relación dado que la línea azul de prueba corta en dos puntos a la gráfica de la expresión matemática en color rojo.

Las funciones elementales y sus gráficas Existen algunas funciones muy conocidas como las de las líneas rectas que sólo necesitan un par de puntos para que queden definidas sus gráficas, las de las parábolas que son funciones donde una de las variables está elevada a una potencia par mientras la variable dependiente tiene potencia unitaria, las funciones cúbicas de potencia impar en su variable independiente, etc.

Las rectas tienen la forma y ax b= + , donde a es la pendiente de la recta y b es el punto donde la gráfica corta al eje de las ordenadas (ordenada al origen es el nombre que se le asigna). Si a es positiva la recta está inclinada a la derecha, si, por el contrario, a es negativa la inclinación es hacia la izquierda (figura 1.12).

Figura 1.12 Gráfica típica de una recta.

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, no importa si la ordenada al origen son iguales o diferentes. Si coinciden los valores de la ordenada las rectas quedan encimadas, si difieren en tal valor pasan por puntos diferentes.

La forma típica de una función parabólica my ax b= + donde m es un número par, si 0a > la curva se abre hacia arriba y si 0a < la curva se abre hacia abajo; el valor de b es

el punto donde la curva corta al eje Y (figura 1.13).

Figura 1.13 Gráfica típica de una parábola.

Figura 1.14 Curva de una expresión de la forma ny ax b= + , donde n es impar.

La gráfica de una función cúbica de la forma ny ax b= + donde n es un número impar positivo. El valor de b es el punto donde la gráfica corta al eje .Y (Figura 1.14)

La función cociente de la forma 1yx a

=−

es una expresión con una gráfica de dos

secciones, una a la izquierda de a y otra a la derecha; así x a= es una asíntota vertical paralela al eje de las ordenadas (figura 1.15).

Figura 1.15 Curva de una expresión de la forma 1yx a

=−

.

Otra función típica es la función parte entera que tiene dos formas. La función entero menor se define como ( )f x x= (figura 1.16).

Figura 1.16 Función parte entera menor

La función entero mayor se define del modo siguiente (figura 1.17)

( )f x x=

Figura 1.17 Función parte entera mayor.

Los ejemplos de las funciones descritas antes se clasifican de acuerdo con sus características. Las funciones algebraicas son expresiones que contienen términos algebraicos como polinomios u otros. Los polinomios sólo contienen potencias enteras positivas en la variable independiente.

Un polinomio de grado n , es el siguiente:

( ) 1 21 2 1 0...n n

n nf x a x a x a x a x a−−= + + + + +

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

( ) 1 3 1 2f x ax bx= +

( ) 2 2 1f x x x= − +

( )2 4

xf xx

=−

( ) 3

2 13 2 4

xf xx x

+=

− +

La penúltima ecuación es irracional puesto que tiene en el denominador una raíz. La última expresión es también conocida como función racional:

( )( )( )

p xf xq x

=

Donde ( )p x y ( )q x son polinomios.

Gráficas de las funciones trigonométricas Existen también las funciones trigonométricas que contienen senos, cosenos o tangentes de ángulos:

( )( ) senf x x= cuya gráfica está en la figura 1.18:

Figura 1.18 Gráfica de la función trigonométrica seno.

La función trigonométrica coseno

( ) cosf x x=

tiene la gráfica de la figura 1.19.

Figura 1.19 Gráfica de la función trigonométrica coseno

La función trigonométrica

( ) tanf x x=

Tiene la gráfica de la figura 1.20

Figura 1.20 Gráfica de la función trigonométrica tangente.

Las gráficas de las funciones recíprocas de las tres anteriores se dan en las figuras 1.21, para cotangente; 1.22, para secante, y 1.23 para cosecante.

Figura 1.21 Gráfica de la función trigonométrica cotangente 1( ) cottan

f x xx

= =

Figura 1.22 Gráfica de la función trigonométrica secante 1( ) seccos

f x xx

= =

Figura 1.23 Gráfica de la función trigonométrica cosecante 1( ) cscsen

f x xx

= =

Las funciones crecientes y decrecientes Las funciones decrecientes disminuyen su valor en la ordenada conforme la abscisa aumenta. Y la función es creciente si el valor de la ordenada crece conforme la abscisa también aumenta. Ver figura 1.24.

Figura 1.24 Función con partes crecientes y decrecientes.

Matemáticamente tendremos que una función es creciente en un intervalo abierto ( ),a b si para cualquier número c , con ( ),c a b∈ y donde c x< , se cumple ( ) ( )f c f x<

. La función decrecerá si para cualquier número c , con ( ),c a b∈ y donde c x< , se cumple ( ) ( )f c f x> .

Las funciones pares, impares y periódicas Las gráficas de las funciones pares son simétricas con respecto al eje de las ordenadas Y (figura 1.25). Las funciones impares son simétricas con respecto al origen (ver figura 1.26).

Figura 1.25 La función par es simétrica con respecto al eje de las ordenadas.

Figura 1.26 Función impar. Su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Matemáticamente una función ( )f x es par si cumple la siguiente condición:

( ) ( )f x f x− =

Una función ( )f x impar cumple la condición:

( ) ( )f x f x− = −

Si no se cumple ninguna de las dos condiciones anteriores entonces las funciones no son ni pares ni impares.

Revisemos la función ( ) 22 3f x x= − . Para determinar si esta función es par o impar sustituimos a x por x− en la expresión matemática:

( ) ( ) ( )2 22 3 2 3f x x x f x− = − − = − =

Dado que ( ) ( )f x f x− = la función es par.

Analicemos la función ( ) 34 2f x x x= + . Para determinar si esta función es par o impar sustituimos a x por x− en la expresión matemática:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 34 2 4 2 4 2f x x x x x x x f x− = − + − = − − = − + = −

Dado que ( ) ( )f x f x− = − la función es impar.

Si consideramos la expresión ( ) 3 22 3 2f x x x x= − + − , para evaluar si es par o impar sustituimos x por x− :

( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 2f x x x x− = − − − + − −

haciendo las operaciones

( ) ( )3 22 3 2f x x x x f x− = − − − − ≠

Si factorizamos el signo negativo

( ) ( ) ( )3 22 3 2f x x x x f x− = − + + + ≠ − .

Dado que ( )f x− no es igual que ( )f x ni que ( )f x− , entonces la función no es par ni impar.

Una función es periódica de periodo T si, para un número entero n , se cumple

( ) ( )f x f x nT= +

Es más fácil observar en una gráfica cuando una función es periódica. Por ejemplo consideremos la función trigonométrica

( ) ( )sen 2f x x=

Cuya gráfica es la figura 1.27. Se puede ver en dicha figura que la forma de la gráfica se repite de manera regular (cada color representa un periodo completo de la gráfica).

Figura 1.27 Gráfica de la función periódica ( ) ( )sen 2f x x=

Puede verse en el segmento verde que ( )0 0f = , dicho valor se repite en 2π porque

02

f π =

, donde inicia el segmento rojo; del mismo modo 28 3

f fπ π =

, que son los

puntos más altos de las secciones verde y roja.

Normalmente, para indicar una función periódica se anota la función de manera normal y se indica la longitud de su periodo.

( ) ( )( ) , 1 1, 2f x x x f x f x= − < ≤ = +

La gráfica de esta función está en la figura 1.28.

Figura 1.28 función periódica de periodo 2. La gráfica original está en negro y los esquemas que se repiten en azul.

III. Las gráficas de las funciones que se anotan a continuación las construyó antes. Para cada una de ellas indique las partes crecientes y decrecientes de las mismas. Anote si la función es lineal, cuadrática, cúbica o de cociente, establezca sus razones:

( ) 2 3g x x= + ( ) 23 8g x x= + ( ) 3 1f x x= +

( ) 23 4g x x= − ( ) 32 4f x x= − ( ) 4 13

h xx

= +

( )35 74

xf x += ( ) 2 6g x x= − ( ) 2 25g x x= −

( )24 2

7xh x −

= ( ) 22 10

g xx

=+

( ) 2

3 22

xh xx

−=

+

( ) 2

48

xh xx

−=

− ( )

2

42 8xf xx−

=−

( ) 23 9xh xx+

=+

IV. Indique si la expresión es par, impar o ni par ni impar:

( ) 2 3g x x= + ( ) 23 8g x x= + ( ) 3 1f x x= +

( ) 1g xx

= ( ) 5 32 3 2f x x x x= − + ( )4 22 3 2

9x xh x − +

=

Operaciones con funciones

Las funciones las podemos sumar o restar, multiplicar y dividir. Lo único que hay que cuidar es el dominio de la función resultante, para determinarlo debemos considerar lo que indica la tabla siguiente

Sea fD el dominio de ( )f x y sea gD el dominio de ( )g x , entonces

( ) ( )f x g x+ tiene como dominio f gD D∩

( ) ( )f x g x− tiene como dominio f gD D∩

( ) ( )*f x g x tiene como dominio f gD D∩

( ) ( )/f x g x tiene como dominio f gD D∩ siempre que ( ) 0g x ≠

En el caso de la división es necesario que no sea cero el denominador ya que en matemáticas no existe tal definición.

Por ejemplo, sean ( ) 3f x x= − y ( ) 2 4g x x= − . El dominio de cada una de ellas es

fD = por que ( )f x es un polinomio, y 2 4 0gD x= − ≥ , esto es 2x ≥ o [ )2,gD = ∞ . Así

( ) ( ) 3 2 4f x g x x x+ = − + − tendrá como dominio [ ) [ )2, 2,∩ ∞ = ∞ .

( ) ( ) ( )( )3 2 4f x g x x x× = − − tendrá como dominio [ ) [ )2, 2,∩ ∞ = ∞ .

( )( )

32 4

f x xg x x

−=

− tendrá como dominio ( ) ( )2, 2,∩ ∞ = ∞ . No puede incluirse el extremo

2 como parte del dominio porque tendríamos una división entre cero.

Una operación muy especial es la composición, si consideramos las dos funciones anteriores tendríamos que la composición de f con g que se representa

f g

se define del modo siguiente

( )( )f g f g x=

esto es, se sustituye la variable x de la función f por el valor de la función ( )g x .

El dominio de la composición f g son los valores del dominio de ( )g x que hacen que el recorrido de ( )g x quede contenido en el dominio de ( )f x .

( )2 4 3f g x= − −

El recorrido de ( )g x es el intervalo [ )0,∞ (haga la gráfica de dicha función y constátelo). Como este recorrido está todo contenido en el dominio de ( )f x , entonces el dominio de la composición es el dominio de ( )g x : [ )2,gD = ∞ .

Si hacemos ( )2 3 4 2 10g f x x= − − = − , entonces el dominio de la composición es

más elaborado de obtener. Primero hay que reconocer que el dominio de ( )f x son todos los números reales y dado que es una recta inclinada el recorrido también son los números reales, pero este recorrido no cabe en el dominio de ( )g x que es el intervalo [ )2,gD = ∞ . Debemos restringir el dominio de la composición.

Vamos a necesitar restringir a que ( )f x sólo tome valores entre [ )2,∞ :

3 2x − ≥

Despejando a la variable

5x ≥

Por tanto el dominio de la composición es [ )5,∞ .

V. Para las parejas indicadas obtener ( ) ( )f x g x+ , ( ) ( )2f x g x− , ( ) ( )f x g x , ( )

( )f x

g x , ( )( )

gf x , ( ) ( )f x g x y ( ) ( )g x f x si:

( ) 5 3f x x= − ( ) 3 4g x x= −

( ) 26 2f x x= − ( ) 3 5g x x= −

( )2

xf xx

=−

( ) ( )22g x x= −

( ) 22 3f x x= − ( ) 2 5g x x= −

( ) 2 7f x x= − ( ) 26 2g x x= −

Función inversa

Sabemos que las funciones son conjuntos de pares de números ordenados. Por ejemplo, sea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 0,1 , 1, 2 , 2, 4 , 3, 5f = − − − −

Si invertimos el orden de cada uno de los pares tendremos otra función

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 1 , 1,0 , 2,1 , 4,2 , 5,3g = − − − −

Observe que ( )1 2f − = implica que ( )2 1g = − . En ambos casos, en f y en g , cada uno de los valores en la primera posición son diferentes, eso implica que ninguna de las abscisas y las ordenadas en la función f se repiten; esto es, es una función biunívoca o de uno a uno. Formalmente, la función es biunívoca si ( ) ( )f a f b= siempre que a b= , lo que exige que ( ) ( )f a f b≠ cuando a b≠ .

A toda función biunívoca, y solamente si es biunívoca, se le puede obtener su función inversa. Es el caso de la función g ; que es la función inversa de f , que podemos representar por 1f − en lugar de g , la función inversa de ( ){ },i jf a b= será ( ){ }1 ,j if b a− =

.

Obtengamos la función inversa de ( ) 32 3, 0f x x x= − > , cuya gráficas está en la figura 1.29.

Figura 1.29 Gráfica de la función biunívoca ( ) 32 3, 0f x x x= − > .

Dado que la función es de uno a uno podemos obtenerle su función inversa rescribiendo;

32 3y x= −

De este modo podemos despejar a la variable independiente x

33

2yx +

=

Sustituimos a x por ( )1f x− y a y por x para tener la función inversa

( )1 33 , 3

2xf x x− +

= > −

Cuya gráfica está dada en la figura 1.30.

Figura 1.30 Gráfica de la función inversa de ( ) 32 3, 0f x x x= − > ,

( )1 33 , 3

2xf x x− +

= > − .

Si graficamos conjuntamente la función original ( ) 32 3, 0f x x x= − > y la función inversa

encontrada ( )1 33 , 3

2xf x x− +

= > − , figura 1.31, podemos ver que son simétricas con

respecto a la recta y x= , la línea verde en la figura. Nótese que el recorrido de la función original es el dominio de la función inversa y del mismo modo, el dominio de la función es el recorrido de la función inversa.

Figura 1.31 Gráficas de la función biunívoca ( ) 32 3, 0f x x x= − > , de su función

inversa ( )1 33 , 3

2xf x x− +

= > − y de la recta y x= .

Una manera de determinar si una función es inversa de otra es verificando la propiedad:

( )( )1f f x x− = o ( )( )1f f x x− =

Así, para el ejemplo aquí revisado tendremos:

( )( )3

1 33 32 3 2 3 3 3

2 2x xf f x x x− + + = − = − = + − =

VI. Obtenga, si es posible y sino ajuste el dominio de la función hasta hacerla biunívoca, la función inversa de la función dada y grafique en un mismo plano a ambas gráficas.

( ) 4 1f x x= + ( ) 2g x x= −

( ) 22 3 , 0f x x x= − ≤ ( ) 3 2g x x= −

( ) 23

f xx

=−

( ) ( )24 2g x x= +

( ) 22 3f x x= − ( )2

xg xx

=−

Funciones de varias variables

En muchos fenómenos que ocurren a nuestro alrededor existe más de un factor que lo determina; por ejemplo, en el análisis del desplazamiento de un huracán se toman en cuenta la temperatura de la atmósfera, el porcentaje de humedad, la velocidad de las corrientes de aire, etc. Esto es, construir un modelo matemático requiere relacionar varias variables independientes ( )1 2, ,..., nx x x con una variable dependiente w mediante una función de la forma

( )1 2, ,.., nw f x x x= donde n es un número natural.

Cuando es una sola variable dependiente y dos variables independientes las que se relacionan mediante una función entonces, podemos graficar superficies. Si hay más de dos variables independientes no se pueden construir esquemas gráficos que representen los comportamientos de los modelos matemáticos establecidos; solamente se pueden interpretar los resultados obtenidos.

La ley de gravitación universal de Newton tiene la forma

( ) 2, MmF m d Gd

=

La única constante es la de Gravitación que tiene un valor aproximado de 11 2 26.67 10 /Nm kg−× , todas las demás pueden ser consideradas variables. Si decimos

que M representa la masa de la tierra ( 246 10M kg= × ), podemos analizar y construir una gráfica para observar cómo cambia la fuerza con que un cuerpo de masa m es atraído hacia al centro de la tierra cuando cambia la distancia entre el centro gravitacional terrestre y el centro de gravedad del cuerpo (figura 1.32)

Figura 1.32 Variación de la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre un cuerpo de masa m a una distancia d del centro de la tierra.

Analizando la figura 1.32 podemos ver que la fuerza de atracción disminuye conforme la masa m decrece, y conforme la distancia d se reduce la fuerza de atracción aumenta.

Otro ejemplo muy similar es la ley de Gauss que permite calcular la intensidad de un campo eléctrico, E , a una distancia, r , de una partícula cargada eléctricamente con una carga q .

( ) 20

1,4

qE q rrπε

=

Otra función común que relaciona más dos variables es la que permite determinar el momento de torsión τ en una espira que limita un área A y transporta una corriente I , inmersa en un campo magnético de magnitud B y el ángulo descrito por el campo magnético y la espira es φ :

( ) ( ), , , senI B A IBAτ φ φ= .

Algunas otras expresiones pueden ser:

22 3 5z x y xy= − +

( ) ( ), sennk tn nU t x A e R x= , que es una forma simple de la solución de la ecuación de

Laplace con nA , nk y nR son constantes.

Bibliografía de consulta recomendada

George B. Thomas, Cálculo una variable. Pearson-Addison Wesley, 2005, México.

James Stewart, Cálculo duna variable. Thomson Learning, 2001, México.

Stefan Waner y S. R. Costenoble, Cálculo aplicado. Thomson Learning, 2002, México.

LA DERIVADA

Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades cambien. Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada cambiará. Si se aumenta la temperatura de un gas contenido en un recipiente hermético la presión del gas sobre las paredes del recipiente aumenta. Si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente aumente la insulina en sangre.

El cálculo diferencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está relacionada con la primera varía.

CONCEPTOTASA DE CAMBIO PROMEDIO

En una relación lineal entre dos variables: bmxy += , sabemos que la pendiente m es la razón de cambio entre las variables y y x . La razón de cambio es constante si la relación entre las variables es lineal. El problema empieza a complicarse cuando pensamos en relaciones entre las variables que no son lineales.

Normalmente se piensa que una de las variables es función de la otra. Esto es )(xfy = . Normalmente habrá puntos de la gráfica de la función donde suben más que en otros puntos y otros incluso bajan.

Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a través de la tasa o razón de cambio promedio.

Si denotamos )()( 12 xfxfy −=∆ como el cambio en y y 12 xxx −=∆ el cambio en x,

entonces la tasa de cambio puede ser escrita como 12

12 )()(xx

xfxfxy

−−

=∆∆

1

Observe que esta tasa de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta que une los puntos

))(,( 11 xfx y ))(,( 22 xfx llamada la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos ))(,( 11 xfx y

))(,( 22 xfx .

Definición.- Sea f definida en un intervalo conteniendo los puntos 1x y 2x . Se define la tasa de cambio promedio de la función )(xfy = desde 1xx = a 2xx = como

12

12 )()(xx

xfxf−−

Observaciones: 1) Cuando el cambio en y, ,y∆ es positivo se habla del incremento de y

2) La tasa de cambio promedio es un cociente de cambios ó un cociente de diferencia.

3) La tasa de cambio promedio es conocida también como la razón de cambio promedio. La tasa de cambio puede ser positiva y esto corresponde cuando el cambio en y es positivo al pasar de un punto

1x a un punto 2x ( 21 xx < ) o puede ser negativo y esto corresponde al caso en que y disminuye o decrece.

Ejemplo 1.- El tamaño de una población está modelada por 2505005000)( tttP −+=

donde t es el número de años después del 2001. Calcule la razón de cambio promedio de a) 2=t a 4=t . b) 2=t a 3=t y c) 2=t a 2

12=t .Solución: a) La razón de cambio promedio de 2=t a 4=t viene dada por

2002

40024

)45025005000(16504500500024

)2()4( ==−

⋅−⋅+−⋅−⋅+=−− PP

hab/año

b) La razón de cambio promedio de 2=t a 3=t viene dada por

25023

)45025005000(9503500500023

)2()3( =−

⋅−⋅+−⋅−⋅+=−− PP

hab/año

c) La razón de cambio promedio de 2=t a 212=t viene dada por

2755.05.137

25,2)45025005000()5.2(505,25005000

22)2()2( 2

21

21

==−

⋅−⋅+−⋅−⋅+=−− PP

Observe que entre el lapso de tiempo de 2=t a 4=t el crecimiento promedio de la población fue de 200 hab/año. Este es un crecimiento promedio porque efectivamente en la primera parte de este periodo el crecimiento promedio de la población fue mayor: de 250 habitantes por año, con lo cual deducimos que en la segunda parte el crecimiento debió de ser menor a 200.

En el primer semestre del año 2=t el crecimiento era de 275 habitantes por año. Así que todo parece indicar que en el lapso de 2=t a 4=t , la población aumentaba más rápidamente al comienzo que al final. En este ejemplo estamos hablando en algún sentido de la velocidad. El concepto físico de velocidad está estrechamente ligado con el concepto de tasa de cambio promedio y de derivada.

2

VELOCIDAD PROMEDIO Y VELOCIDAD INSTANTANEADesarrollaremos estos dos conceptos para entender mejor los conceptos de razón de cambio

promedio y razón de cambio instantáneo.Suponga que un objeto parte de un punto siguiendo un movimiento rectilíneo. Sea )(tdy = la

función desplazamiento hasta el momento t, esta función es conocida también como la función posición. El incremento: )()( 12 tdtd − es la distancia recorrida por el objeto desde el tiempo 1t hasta el tiempo 2t y la razón de cambio promedio desde 1t hasta el tiempo 2t está dada por

Ejemplo 2.- Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación 2464)( ttd += metros, donde t está medido en segundos. Determinar la velocidad promedio durante los

tiempos de a) 2=t a 4=t . b) 2=t a 3=t y c) 2=t a 212=t .

Solución:a) La velocidad promedio durante el tiempo de 2=t a 4=t viene dada por

2424

)4464(1646424

)2()4( =−

⋅+−⋅+=−− dd

m/seg

b) La velocidad promedio durante el tiempo de 2=t a 3=t viene dada por

2023

)4464(946423

)2()3( =−

⋅+−⋅+=−− dd

m./seg.

c) La velocidad promedio durante el tiempo de 2=t a 212=t viene dada por

1825,2

)4464()5.2(46422

)2()2( 2

21

21

=−

⋅+−⋅+=−− dd

m./seg.

De nuevo observamos que en el lapso de tiempo de 2 a 4 la velocidad promedio es de 24m./seg. Sin embargo en la primera parte de este tiempo iba en promedio más despacio: 20m./seg. Esto nos indica que la velocidad no se mantiene constante como efectivamente ocurre cuando vamos en un automóvil. Se quisiera tener una mejor idea de lo que está ocurriendo cerca de 2, por eso nos aproximamos más a 2 tomando la velocidad promedio de 2=t a 2

12=t . Deberíamos cada vez aproximarnos más a 2 para tener una mejor idea de lo que está ocurriendo con la velocidad en ese instante.

En términos generales estamos interesados en “la velocidad” en el instante c, la que marca el velocímetro en ese instante. Denotaremos como c+h un tiempo próximo a c, entonces h será un valor próximo a 0. La velocidad promedio en el lapso de tiempo entre c y c+h será entonces

)()()()(

chccdhcd

−+−+

h

cdhcd )()( −+=

Esta velocidad está cercana a la velocidad instantánea (o simplemente velocidad) en el tiempo c definida por:

hcdhcdv

ht)()(lim

0

−+=→

3

Esta es la velocidad promedio en el lapso de tiempo desde 1t hasta el tiempo 2t .

Este límite si existe es llamado también la derivada de )(xd en el instante c.

Ejemplo 3.- Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación 2464)( ttd += metros, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en el tiempo t=2.

Solución:

hdhdv

ht)2()2(lim

0

−+=→

Evaluamos la función d en 2+h y en 2.

h

hh

)2464())2(464(lim22

0

⋅+−++=→

Se desarrolla el producto notable

h

hhh

)1664()44(464(lim2

0

+−+++=→

Se distribuye el 4 y el signo menos. Luego se simplifica

h

hhh

2

0

416lim +=→

Se factoriza, sacando h de factor común

16)416(lim0

=+=→ h

hhh

metros/min. Se simplificó y luego se evalúo en h=0

De nuevo reiteramos que la velocidad instantánea en el momento c es el límite de la velocidad promedio en un intervalo que va a c

CONCEPTO DE DERIVADA

Observaciones:1) Como hc + representa un punto cercano a c, entonces podemos escribir alternativa la derivada

como cx

cfxfcfcx −

−=′→

)()(lim)(

Esta última escritura de la derivada nos permite interpretarla como la razón de cambio instantánea en el punto c, obtenida a través del límite de la razón de cambio promedio para intervalos que llegan a c.

2) A efectos de cálculo es preferible trabajar con la forma h

cfhcfcfh

)()(lim)(0

−+=′→

Si la función tiene derivada en cada punto x de un intervalo contenido en el dominio entonces la función se dice diferenciable o derivable en el intervalo y )(xf ′ denota la función derivada.

Algunos libros prefieren usar la notación x∆ en vez de h, quedando escrita la función derivada como:

xxfxxfxf

x ∆−∆+=′

→∆

)()(lim)(0

4

Derivada de una función.- La derivada de una función )(xf con respecto a x en el punto c se define como:

hcfhcfcf

h

)()(lim)(0

−+=′→

siempre y cuando el límite exista.

Observación.- Siempre que planteamos este límite para funciones continuas nos da una indeterminación 00 , así que se harán manipulaciones algebraicas según las recomendaciones para cada caso.

Ejemplo 4.- Calcule la derivada de 1

2)(+

=x

xf

Solución: Se plantea la definición de derivada para x variable

hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′→

Se evalúa la función en )( hxf + y se sustituye )(xf

hxhx

h

12

1)(2

lim0

+−

++=→

hxhx

hxx

h

)1)(1()1(2)1(2

lim0

+++++−+

=→

hxhx

h

h

)1)(1(2

lim0

+++−

=→

20 )1(2

)1)(1(2lim

+−=

+++−=

→ xxhxhh

h

Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada de x

xxf21

)(+

= en x=1

LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

El cociente h

cfhcf )()( −+ es la razón de cambio promedio en el intervalo entre c y c+h.

El límite: h

cfhcfh

)()(lim0

−+→

es entonces la razón de cambio instantáneo o simplemente la razón de

cambio de f con respecto a x cuando x=c. Así pues la derivada se interpreta también como la razón de cambio instantánea.

En ocasiones nos referimos a la tasa de cambio como la razón de cambio.

Ejemplo 5.- El tamaño de una población está modelada por 2505005000)( tttP −+=

donde t es el número de años después del 2001. Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en t=2.Solución:

hPhPPtasa

ht)2()2(lim)2(

02−+=′=

→=

5

Se realiza la suma algebraíca de fracciones

Se aplica la propiedad distributiva y se simplifica

Observe que cuando se simplifica el factor h del numerador con el denominador la indeterminación desaparece.

hhh

PhP

h

)2()2(

2

0

)45025005000()2(50)2(5005000lim ⋅−⋅+−+−++=

+

→

hhhh

h

450)44(50500lim2

0

⋅+++−=→

hhh

h

2

0

50300lim −=→

= h

hhh

)50300(lim −=∞→

300)50300(lim0

=−=→

hh habitantes/año

Este es un ejemplo de interés para un geógrafo. En diversas partes de las ciencias sociales, naturales y económicas se emplea el concepto de derivada a través de distintas terminologías: tasas de cambio o rapidez. Un meteorólogo puede estar interesado en la rapidez de cambio de la presión atmosférica con respecto a la altura. Un geólogo le puede interesar la rapidez con que cambia la temperatura en cierta roca fundida. En economía se habla de ingreso, costo y utilidad marginal para referirse a la tasa de cambio de estas magnitudes.

NOTACIONESLa derivada de )(xfy = con respecto a x se la denota también por )(y

dxd

, dxdf

, )( fdxd

, y ′ .

dxdy

es un solo símbolo que ayuda a recordar que es el límite de cociente de diferencias o una

razón de cambio de y con respecto a x.

dxdf

es conocida como la notación de Leizbniz.

Para indicar la derivada en un punto particular, por ejemplo c, se usan las siguientes notaciones:

)(cf ′ ; cxdx

df

=;

cxdxdy

=

Si por ejemplo xxxf 2)( 2 −= , es decir conocemos una fórmula para f entonces las siguientes notaciones se usan:

)2( 2 xxdxd − ; )2( 2 ′− xx

Ejercicio de desarrollo Para la función 2xxy −= Calcule:a) La razón de cambio promedio de x=2 a x=2.05; b) La razón de cambio instantánea en x=2

OTRA INTERPRETACION DE LA DERIVADA:DE LA RECTA SECANTE A LA RECTA TANGENTE.

Recordemos que la tasa de cambio promedio de t=c a t=c+h es la pendiente de la recta secante a la curva en los puntos ))(,( cfc y ))(,( hcfhc ++ . Si c+h está muy cerca de c, (esto ocurre cuando h está muy cerca de 0), la recta secante pasa casi rasante a la gráfica de la función en el punto ))(,( cfc . Si 0→h intuitivamente la recta limite es la recta tangente a la curva en el punto ))(,( cfc y la pendiente de esta recta es

6

Desarrollamos y simplificamos

Se factoriza sacando h de factor común.

Ejemplo 6.- a) Calcule la derivada de la función 312)( ++= xxf .b) Use este resultado para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva cuando x=1Solución: a) Calculamos primero la función derivada usando la definición:

hxfhxfxf

h

)()(lim)(0

−+=′→

h

xhxh

)312(31)(2lim

0

++−+++=

→

h

xhxh

31231)(2lim

0

−+−+++=

→

1121)(2

lim0

⋅+−++

=→ h

xhxh

. Ahora podemos usar la conjugada

121)(2121)(2121)(2

lim0 ++++

++++⋅

+−++=

→ xhxxhx

hxhx

h

)11(2

)1(4)1(4lim)121)(2()12()1)(2(

lim0

22

0 +++++−++=

+++++−++

=→→ xhxh

xhxxhxhxhx

hh

)11(24lim

0 ++++=

→ xhxhh

h

)11(2lim

0 ++++=

→ xhxh Se evalúa el límite

1

1+

=x

b) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x=1 es:22

111)1( =+

=′f .

Ejercicio de desarrollo.- Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 12

)(+

=xxxf en x=1.

7

),(lim sec0hccmm

htag +=→

)()()(lim0

cfh

cfhcfh

′=−+=→

En conclusión:

La derivada en un punto x=c es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ))(,( cfc .

Cuando hay indeterminación en un límite de esta naturaleza se tiene que considerar usar el truco de la conjugada, pero tiene que existir dos términos. Primero simplificamos el numerador.

Al sustituir una expresión por otra considere encerrarla entre paréntesis. Observe como se colocará entre paréntesis las expresiones x+h (no hace falta) y 312 ++x , pues ellas sustituyen a x y f(x) respectivamente.

FUNCIONES NO DERIVABLESExisten funciones que no son derivables en algún punto 0x . En esta sección pretendemos

mostrar algunas situaciones en que la derivada puede no existir.

1) Si la gráfica de la función tiene un punto anguloso entonces la función no es derivable en ese punto.La función xxf =)( no es derivable en 0. Observe que la pendiente de la recta tangente por la derecha es ella misma y vale 1 y por la izquierda la pendiente de la recta tangente vale -1. Para establecerlo de una manera más formal nos valemos de la definición analítica del valor absoluto.

<−≥

=00

xsixxsix

x

Calculamos entonces los límites laterales:

1lim0

lim)0()0(lim000

==−

=−++++ →→→ h

hh

hh

fhfhhh

1lim0

lim)0()0(lim000

−=−=−

=−+−−− →→→ h

hh

hh

fhfhhh

Como h

fhfh

)0()0(lim0

−++→ h

fhfh

)0()0(lim0

−+≠−→

entonces h

fhfh

)0()0(lim0

−+→

no existe.

Observe que esta función es continua en 0. Así que continuidad no implica que la función sea derivable.

.

3) La recta tangente en el punto es verticalLa función 3)( xxf = no tiene derivada en 0.

=−+=′→ h

fhfxfh

)0()0(lim)(0 h

hh

0lim3/1

0

−→

= 3/20

1limhh→

= ∞ .

Como el límite no existe entonces no es derivable. Este caso lo podemos expresar diciendo que la recta tangente a la curva en 0 es vertical.

8

2) Sin embargo, si una función no es continua en un punto c entonces no es derivable en ese punto.

Por ejemplo para la función

≥+<+=

121,1)(

2

xsixxsixxf tenemos que

1)1()1(lim0

=−++→ h

fhfh

+ ∞=+−++=−+−− →→ h

hh

fhfhh

)21(1)1(lim)1()1(lim2

00.

Como los límites laterales son distintos entonces el límite no existe y por tanto no existe la derivada

Observe que no tiene recta tangente en ese punto.

EJERCICIOS1) Para la función 12 2 −= ty calculea) La razón de cambio promedio de t=0 a t=2b) Para estos valores de t ¿cuál es el incremento de y?c) La razón de cambio instantánea en t=1

2) Para la función ty 21 += calculea) La razón de cambio promedio de t=1 a t=1.1.b) Para estos valores de t ¿cuál es el incremento de y?c) La razón de cambio instantánea en t=1

3) El tamaño de una población está modelada por 28070000)( ttP +=

donde t es el número de años después del 2001. a) ¿Cuál es el incremento de la población desde el tiempo t=3 a t=3.1? b) Calcule la tasa de cambio promedio desde t=3 a t=3.1 c) Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en t=3.

4) Emplee la definición de la derivada para encontrar

4.1) )2(f ′ si xxf −= 4)( ; 4.2) 0=xdx

dFsi xxxF 2)( 2 −= ; 4.3) )3(g ′ si tttg −= 2)( ; 4.4)

dxdy

si 122 −=

xy ; 4.5) )

42( x

dxd − ; 4.6) )12( 2 −− xx

dxd

4.7) dqdC

si 33)( 2 −+= qqqC ;4.8) )(xf ′ si 23)( −+= xxf ; 4.9) )(xg ′ si x

xg−

=4

2)( ;

4.10) )(xf ′ si exf =)( ; 4.11) )(xg ′ si xxg −= 12)( ; 4.12) )4

21(xdx

d−

−

Respuestas: 1) a) 4 ; b) 8 ;c) 4; 2) a) 0.568; b) 0.0568; c) 0.5773; 3) a)48.80; b) 488; c)480; 4.1) -

1; 4.2) -2; 4.3) 5; 4.4) 3

4x

− ; 4.5) 41)

42( −=− x

dxd ; 4.6) 22 −x ; 4.7) 32 += q

dqdC

; 4.8) 32

1+x

4.9)

2)4(2

x−= ; 4.10) 0; 4.11)

x−−

11

; 4.12) 2)4(2

x−−

5) Encuentre la pendiente de la curva 232 xy −= en el punto (1,-1). Use la definición de derivada.Respuesta: m=-66) Encuentre la pendiente de la curva xxf −= 3)( en el punto (2,1). Use la definición de derivada.Respuesta: m=-1/2

7) Calcule la derivada de la función 12

1)(+

=x

xf . Use este resultado para calcular la pendiente de la

recta tangente a la curva cuando x=1.Respuesta: ( ) 2122)(+

−=′x

xf ; m=-2/9

8) Calcule las derivadas de las funciones 2)( xxf = y 3)( 2 += xxf . Grafique ambas funciones y de una argumentación geométrica porque ambas funciones tienen la misma derivada.9) Un móvil se desplaza a lo largo del eje x, la función f dada por 216)( ttf −= metros da la localización del objeto en el instante t, donde t está medido en minutos. Determinar la velocidad en el tiempo t=3. Interprete el resultado. Respuesta: -6 metros/min.

9

REGLAS DE DERIVACIONEl cálculo de las derivadas por definición, como se ha hecho hasta ahora, es un proceso tedioso

y repetitivo. En esta sección se darán reglas básicas que permitirán encontrar las derivadas de una manera más rápida.

Este resultado es claro desde un punto de vista geométrico, la gráfica de la función constante es una recta horizontal, la pendiente es 0.

Ejemplo 1.-

a) 0)5( =dxd

b) Si 3ln)( =xf , entonces 0)( =′ xfc) Sea 2)( =xg para calcular )4(g ′ primero observamos que 0)( =′ xg y al evaluar g ′ en 4 obtenemos que 0)4( =′g .

Podemos verificar, usando la definición de derivada, que- Si 2)( xxf = entonces xxf 2)( =′ .

- Si 2/1)( xxxf == entonces 2/1

21

21)( −==′ x

xxf .

-Si 11)( −== xx

xf entonces 22 11)( −⋅−=−=′ x

xxf .

Como el lector observará existe una tendencia la cuál está descrita en la siguiente regla clave para la derivación

Veamos el siguiente ejemplo que ilustra las aplicaciones de la regla de la potencia en las diversas notaciones.

Ejemplo 2.-

a) 23 3)( xxdxd =

b) Si 10)( xxf = , entonces 910)( xxf =′c) Si xxg =)( , entonces 01)( xxg ⋅=′ . Así 1)( =′ xgEfectivamente la función xxg =)( es una recta cuya pendiente es 1

d) 211

23

2/3

23

23)( xxx ==′

−

En muchas ocasiones es conveniente reescribir algunas funciones para derivar más fácilmente.

10

1) REGLA DE LA CONSTANTE: Si f es una función constante, esto es cxf =)( , entonces

0)( =′ xf(La derivada de una constante es 0)

2) REGLA DE LA POTENCIA: Si rxxf =)( , donde r es un número real distinto de 0, entonces

1)( −=′ rrxxf

a) Funciones con radicales. Las funciones con radicales se reescriben con exponente fraccionarioEjemplo a de reescritura: Si 3 5)( xxf = , entonces se reescribe como 3/5)( xxf = . A esta última

forma de escribir f se le aplica la regla de la potencia 3

535

35)(

3 23/21

35 xxxxf ===′

−.

Ejemplo 3.- Encuentre la derivada de 3 25)( xxf ⋅=Solución: Reescribimos 3/25)( xxf ⋅= . Entonces

)(5)5()( 3/23/2 ′=′=′ xxxf

= 33/1

310

325

xx

⋅=⋅ −

b) Funciones fraccionarias con denominador constante. : )()( xgkr

kxrg = , r y k constantes.

Ejemplo b: Si 3

2)( xxh = , entonces se reescribe como 2/1

32)( xxh = , la cuál se deriva usando

primero la regla del factor constante y luego la regla de la potencia

)(32)

32( 2/12/1 x

dxdx

dxd = Así

xxxh

dxd

31

21

32))((

121

=⋅=−

c) Funciones fraccionaria con numerador constante: 1))(()(

1)(

−== xgkr

xgkr

xkgr

, donde r y k

son constantes

Ejemplo c: Si 932)(x

xh = , entonces se reescribe como 9

32)( −= xxh , la cuál es la que se deriva usando

primero la regla del factor constante y luego la regla de la potencia

)(32)

32()( 99 ′=′=′ −− xxxh

101010 66)9(

32)(

xxxxh −=⋅−=−=′ −− .

Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada de 22)( xxf = , reescribiendo la función previamente.

(Recomendación: use la propiedad de la raíz de un producto, reescriba, aplique entonces la propiedad del factor constante y luego la regla de la potencia.)

11R

eesc

ritur

aR

eesc

ritur

aR

eesc

ritur

a

3) REGLA DEL FACTOR CONSTANTE: Si f es una función derivable en x y c una constante entonces cf es derivable y

)())(( xfcxcf ′=′ .En notación de Leibniz

))(())(( xfdxdcxcf

dxd =

El factor constante sale fuera de la derivación.

Demostración: Para demostrar esta propiedad de las derivadas planteamos la derivada de la función ))(( xgf + por definición, manipulamos usando propiedades de límite y algebraicas para llegar que es

la suma de las derivadas:

( ) ( ) ( )h

xgfhxgfxgfh

)()(lim)(0

+−++=′+→

( )h

xgxfhxghxfh

)()()()(lim)0

+−+++=→

hxgxfhxghxf

h

)()()()(lim0

−−+++=→

Se distribuyó el signo

hxghxgxfhxf

h

)()()()(lim0

−++−+=→

Se reordenó la suma

−++−+=

→ hxghxg

hxfhxf

h

)()()()(lim0

hxfhxf

h

)()(lim0

−+=→

+h

xghxgh

)()(lim0

−+→

Se uso la propiedad del límite de una suma

)()( xgxf ′+′= Se aplicó la definición de la derivada de f y g.

Esta regla puede ampliarse a la suma o diferencia de un número finito de funciones. En notación de Leizbniz podemos escribir que:

=±±± )))((( 21 xfffdxd

n⋯ ( ) ( ) ( ))()()( 21 xfdxdxf

dxdxf

dxd

n±±± ⋯

Ejemplo 4.- Encuentre las derivadas de las siguientes funciones

a) 3

4)(2zzzh += ; b) x

xxg 334)( 4 +−=

Solución: a) Reescribimos 22/1

34)( zzzh += . Esta última reescritura se deriva aplicando primero la

propiedad de la suma. Así

)34()(

34)( 22/122/1 ′+′=

′

+=′ zzzzzh .

)(34

21 22/1 ′+= − zz Aplicamos al segundo término la regla de la potencia

zz 3

82

1 +=

12

Al primer término aplicamos la regla de la potencia y al segundo la regla del factor constante.

Se descompuso como suma de fracciones con igual denominador

4) REGLAS DE LA SUMA Y DE LA RESTA: Sean f y g funciones derivables en x, entonces gf + y gf − también lo son y

)()()()( xgxfxgf ′+′=′+)()()()(( xgxfxgf ′−′=′− .

La derivada de una suma es la suma de las derivadas.La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.

b) Reescribimos primero antes de derivar xxxg 334)( 4 +−= − . Ahora aplicamos la propiedad de la suma y diferencia.

( )′+−=′ − xxxg 334)( 4

= )3()3()4( 4 ′+′−′− xx

= )(30)(4 4 ′+−′− xx

= 316 5 +− −x

Reescribir para derivar:

d) Un cociente donde el denominador consta de un solo término en rx .

=++=++k

rn

k

r

k

rn

r

cxxa

cxxa

cxxaxa nn

⋯⋯ 11

11 krnkr nxcax

ca −− ++ ⋯11 , kri , constantes

Ejemplo d: Si 2

25

323)(x

xxxxg −−= , entonces se reescribe como una suma : 22

2

2

5

332

33)(

xx

xx

xxxg −−= ,

la cuál se sigue simplificando para que quede expresado de tal manera que posteriormente se use las reglas del factor constante y el de la potencia. De esta forma obtenemos que g puede ser expresado como:

13

31

32)( −−−= xxxg

Ahora podemos derivar con facilidad usando primero la regla de la suma′

−−=′ − 13

31

32)( xxxg .

)31()

32()( 13 ′−′−′= −xx

22 )1(313 −−−= xx

e) Un Producto se transforma en una suma al usar la propiedad distributiva. Ejemplo e: )143()( −−= xxxxg . Esta función posteriormente puede interpretarse como un producto, pero conviene para derivar reescribir usando la propiedad distributiva, transformándose entonces en una suma.

)143()( 2/1 −−= xxxxg

2/12/1 43 xxxx −−⋅=2/12/3 43)( xxxxg −−= .

Esta última forma de reescribir g es la que derivamos, aplicando la propiedad de la suma primero, luego del factor constante y de la potencia después. De esta manera

)43()( 2/12/3 ′−−=′ xxxxg

)()4()3( 2/12/3 ′−′−′= xxx

13

Al primer y tercer término se aplica la regla del factor constante y al segundo la regla de la constante. No se suelen reescribir las constantes.

La última igualdad se obtuvo al aplicar la regla de la potencia a los términos en derivación

Ree

scrit

ura

Ree

scrit

ura

2/12/3

21)(4)(3 −−′−′= xxx . Derivamos los términos que se indican

2/12/1

214

29

xx −−=

Podemos dejar de esta forma la derivada pero también podemos sacar 2/121x

de factor común para

expresar la derivada como

=′ )(xg )189(2

2/12/1

−−−

xxx

Ejercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones, reescribiendolas previamente.

a) )3()( 3 xxxxf −= b) xxxxg

312)(

2 +−=

Ejemplo 5.- Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 12)( 2 += xxf en a) 1−=x , b) 0=x y c) 1=x . Grafique la curva 12 2 += xy y las rectas tangentes en 1−=x , 0=x y 1=x .Solución.- Para calcular la pendiente de la recta tangente se debe primero encontrar la derivada

Una manera de obtener la ecuación de una recta es usar la ecuación punto-pendiente:)()( 00 xxmyy −=− .

Para ello necesitamos un punto ),( 00 yx por el cual pasa la recta y la pendiente m de la misma.

Si se necesita determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función )(xf cuando 0xx = entonces el punto es ( )( )0000 ,),( xfxyx = .

Es claro que la pendiente es ( )0xfm =

Ejemplo 6.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 3

33)(3 +−= xxxf en 2=x .

Solución.- • Se determina completamente el punto ),( 00 yx

Para determinar completamente el punto sobre la gráfica evaluamos la función en 2=x .

14

xxf 4)( =′

a) En 1−=x , la pendiente es 4)1(4)1( −=−=−′f

b) En 0=x , la pendiente es 0)0(4)0( ==′f

c) En 1=x , la pendiente es 4)1(4)1( ==′f

35

33232)2(

3

=+⋅−=f

Enfatizamos ahora que queremos la recta tangente a la gráfica de )(xf en el punto )35,2( .

• Se determina la pendiente de la recta tangente.Para calcular la pendiente de la recta tangente se debe primero encontrar la derivada y luego

evaluar esta derivada en 2=x .Antes de derivar consideramos reescribir la función. Efectivamente la función se puede

reescribir como:

131)( 3 +−= xxxf

la cual es la que derivamos usando primero la regla de la suma.

)1()()31()( 3 ′+′−′=′ xxxf

1)(31 3 −′= x

obteniendo1)( 2 −=′ xxf

Al evaluar esta última en 2 tenemos

314)2( =−=′= fm .

• Se determina la ecuación de la recta tangente, usando la forma punto-pendiente

)()( 00 xxmyy −=− Se sustituye los valores

)2(3)35( −⋅=− xy Simplificando y manipulando obtenemos una ecuación general de la recta

01393 =+− xy .

Ejemplo 7.- Encuentre los puntos sobre la gráfica de xxxxf 93)( 23 −−= tales que la recta tangente es horizontal.Solución.- Recordemos que una recta horizontal tiene pendiente 0. Entonces como la derivada evaluada en x es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto, debemos ubicar los valores de x donde la derivada se hace 0. Planteamos entonces la ecuación 0)( =′ xf y la resolvemos.Derivamos primero

963)( 2 −−=′ xxxf .Ahora se plantea

0963 2 =−− xx .Esto es una ecuación cuadrática cuyas soluciones son 3=x y 1−=x . Evaluamos estos puntos en la función para así obtener los puntos sobre la gráfica en que las rectas tangentes son 0.

2793)3(33)3( 23 −=⋅−−=f5)1(9)1(3)1()1( 23 −=−⋅−−−−=−f

Se concluye que (3,-27) y (-1,-5) son los puntos sobre la gráfica donde la recta tangente a la curva en dichos puntos son horizontales.

15

Recuerde evaluar para obtener la pendiente

RAZON DE CAMBIO PORCENTUALLa razón de cambio nos da una medida de cómo cambia una magnitud frente a otra. Pero este

cambio depende de la situación en que estemos. No es lo mismo que en un año una población cambie en 100.000 habitantes si la población es de 10.000.000 que si es de 500.000. La razón de cambio porcentual para una cantidad C permite calibrar mejor estas situaciones, la cual es definida por:

El cambio porcentual para la población de 10.000.000 es de 1%. El cambio porcentual para la población de 500.000 es de 20%.

La razón de cambio porcentual es conocida también como la tasa de cambio porcentual. Cuando sabemos que hay crecimiento hablamos de razón (tasa) de crecimiento porcentual de la cantidad. La

cantidad )()(

xCxC ′

también es usada para comparar la razón de cambio de una cantidad con respecto a ella

misma, )()(

xCxC ′

es conocida como la razón de cambio relativo y toma valores entre -1 y 1.

Ejemplo 1.- El PIB de cierto país es aproximado por la función 1504)( 2 ++= tttN mil millones de UM t años después del 2003. a) Estime la razón de cambio al comienzo del 2005; b) Estime la razón de cambio porcentual del PIB al comienzo del 2005Solución:a) Como han pasado 2 años después del 2003 se tiene que calcular )2(N ′ . Primero se calcula la función derivada

( ) 421504)( 2 +=′

++=′ ttttNLa razón de cambio para comienzos del 2005 es 8422)2( =+⋅=′N mil millones de UM por año.b) La razón de cambio porcentual para el 2005 es estimada en

%93.4162

8100)2()2(100 ==

′NN

por año.

EJERCICIOS1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:1.1) 7)( xxf = ; 1.2) 29)( xxf = ; 1.3) 5)( =xf ;

1.4) wwg 5)( = ; 1.5) 2)2ln()( xxf = ; 1.6) 2

31)( xxf = ;

1.7)3

)(2xxf = ; 1.8) xxy 22 +−= ; 1.9) 239 3)( ewwwh +−= ;

1.10) )1167(108 2 += xy ; 1.11) )4(25)( 2xxf −= ; 1.12)

2)4(5)(

2xxf −= ;

1.13)26

)(46 xxxf += ; 1.14) 3/14/3 3)( −−= sssh ; 1.15) 3 23

4)(x

xf⋅

= ;

1.16) 32)( −= xxf ; 1.17) qqC

54)( = ; 1.18) 3

3 55

)(q

qqC −= ;

16

1.19) xxxf 22)( −= ; 1.20) x

xf3

2)( = ; 1.21) 4)( xxxf ⋅= ;

1.22) 22 )3()( sssf = ; 1.23) 22 3)( sssf = ; 1.24) )54()( 3xxxxf −−= ;

1.25) )2()( 232

ssssf −= ; 1.26) 3

2

)(x

xxxf −= ; 1.27)xxxxf

2)3()(

2−=

Respuestas: 1.1) 67x ; 1.2) x18 ; 1.3)0; 1.4) 5 ; 1.5) 2xln2; 1.6) x32

; 1.7)3

2x; 1.8) 22 +− x ;

1.9) )1(9 62 −ww ; 1.10) x216 ; 1.11)-5x; 1.12) x5− ; 1.13) )2( 23 +xx ; 1.14) 3/44/1

43 −− + ss ;

1.15) 3 59

8

x⋅− ; 1.16) 423 −− x ; 1.17) 25

4q

− ; 1.18) 4

2 155

3q

q + ; 1.19) x2

22 − ; 1.20)

33

1

x− ; 1.21) (5/4) 4 x ; 1.22) 336s ; 1.23)12s3; 1.24) 34104 xx −− ;

1.25) )54(3

2 3/2

−ss ; 1.26) 3

2x

x −; 1.27)

xx

453 2−

2) Para cada una de las siguientes curvas encuentre la pendiente de la recta tangente en x=1. Graficar la curva y la recta tangente en x=1a) 43 −−= xy ; x=1; b) 32 −= xy . 3) Encuentre la recta tangente a la curva en el punto dado

3.1) 162 3 +−= xxy ; x=-1; 3.2) 142 3 +−= xxy ; x=-1; 3.3) x

xxy2−

= ; x=4

4) Para cada una de las siguientes funciones encuentre los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la función en esos puntos es horizontal.4.1) xxxF 4)( 2 −= ; 4.2) 23)( xxxG −= ; 4.3*) 18)( 4 +−= xxxH ; 4.4*) 24)( xxxK −=(* la ecuación que se plantea se resuelve por Ruffini o factorizando directamente por productos notables)5*) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 28)( 4 −+= xxxF que es paralela a la recta 14 += xy . (* plantear 4)( =′ xF , (¿por qué?) consiga la solución 0x de la ecuación, forme la recta con pendiente

4)( 0 =′ xF y que pasa por el punto ))(,( 00 xFx , justifique el procedimiento)6*) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 16)( 3 −−= xxxF que es paralela a la recta 0162 =++ xy . (* Imite el ejercicio anterior, puede existir más de una solución)

7*) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3

)( xxF = que es paralela a

la recta 0162 =++ xy .

17

Respuestas: 2)

3.1) 0=y 3.2) y= 52 +x ; 3.3) 43

1617 +− x

4.1)(2,-4) ; 4.2) ( )274,

32 − ,(0,0); 4.3)

)26,2( 33 ⋅− ; 4.4) )41,

22( − , )

41,

22( −−

y )0,0(5) )1(49 +=+ xy ; 6) )1(34 −−=+ xy ;

)1(36 +−=− xy ; 7) No existe

PROBLEMAS EN CIENCIAS SOCIALES1) Se proyecta que dentro de x meses, la población de cierto pueblo será de 500042)( 2

3++= xxxP

a) ¿A qué razón cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses? b) ¿A qué razón porcentual cambiará la población respecto al tiempo dentro de 9 meses?Respuesta: a) 20 personas por mes, b) 0.39%

PROBLEMAS EN ECONOMÍA1) El PIB de un país t años después del 1 de enero del 2001 es aproximado por 1708)( 2 ++= tttN mil millones de UM. a) Estime la tasa de cambio al comienzo del 2007 b) Estime la tasa de cambio porcentual del PIB al comienzo del 2007 Respuesta: a) 20 miles de millones por año, b) 7.87%2) Las ganancias trimestrales de la compañía EME depende de la cantidad x (en miles de UM) invertida en publicidad dada por la siguiente relación.

3071)( 2 ++−= xx

xP miles de UM

¿Cuál es la razón de cambio de las ganancias trimestrales si se invierten 100000 UM en publicidad? Respuesta: 3499/500 miles de UM3) Un nuevo artículo ha sido introducido al mercado. Se espera que la demanda del artículo sea de

2/305.05.0300 ttq ++= unidades al cabo de t meses. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual dentro de 9 meses? Respuesta: 0.23 %4) Se ha decidido establecer el precio de la gasolina por mes de acuerdo a la siguiente formula

2/308.03.015 ttp ++= UM contados a partir del próximo mes. ¿A qué razón porcentual cambiará el precio de la gasolina un mes después de implementado el plan tarifario? ¿4 meses después? ¿9 meses? Respuesta: 2.73%; 3.2%; 3.32%

18

ANÁLISIS MARGINALEn economía el concepto marginal se refiere al cambio instantáneo de una cantidad con respecto

a otra. Esto es la derivada de una cantidad con respecto a otra. Daremos a continuación el concepto y la interpretación de varias cantidades marginales de uso frecuente en economía.

COSTO MARGINALSea )(qC el costo total de producir q unidades de un determinado artículo. Aún cuando en la

mayoría de los casos q es un número entero, en la teoría y en la práctica es conveniente considerar el dominio de C un intervalo de R. En economía se está interesado como los costos cambian cuando hay incrementos en la producción. La derivada puede ayudar a analizar estos cambios de una manera rápida.

La derivada del costo total, )(qC′ , se llama costo marginalCosto marginal= )(qC ′

En general se interpreta el costo marginal , )(qC′ , como el costo aproximado de producir la unidad 1+q . Veamos la justificación.

Recuerde que el costo de las primeras 1+q es )1( +qC . Así que

El costo exacto de la unidad 1+q = )()1( qCqC −+

=1

)()1( qCqC −+

Esta última expresión es una aproximación de la derivada

hqChqCqC )()()( −+≈′

con 1=h Así pues

≈′ )(qC costo de producir la unidad adicional 1+q

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.- La función de costo total por producir y vender q artículos está dada por: 301.1001.0)( 2 ++= qqqC en UM.a) Encuentre la función de costo marginal.b) Encuentre el costo marginal en 40=qc) Interprete sus resultados.Solución: a) Para conseguir la función de costo marginal derivamos la función de costo total.

)301.1001.0()( 2 ′++=′ qqqC

)30()1.1()001.0()( 2 ′+′+=′ qqqC

1.1002.0)( +=′ qqC UM

b) El costo marginal en 40=q está dado por 18.11.140002.0)40( =+⋅=′C UM

c) El costo de producir la unidad 41 es aproximadamente 1.18 UM

19

El lector debe darse cuenta lo tedioso que hubiese sido calcular el costo de la unidad 41 de una manera exacta. En el siguiente ejemplo haremos el cálculo aproximado y exacto pero antes recordemos el siguiente concepto.

Si )(qC es el costo total de producir q artículos, el costo promedio por artículo se define como

qqCqC )()( =

En el ejemplo anterior el costo promedio por artículo está dado por

qqqqC 301.1001.0)(

2 ++=

qq 1301.1001.0 ++=

El lector puede verificar que 89.1)40( =C , lo cual representa el costo de cada artículo en promedio cuando se producen 40 artículos. Este valor es muy distinto al costo marginal en 40 que representa aproximadamente el costo de producir la unidad 41. Podemos ver entonces que el costo promedio y el costo marginal son dos conceptos distintos pero relacionados. Usando los dos conceptos, podemos decir en nuestro ejemplo que los primeros 40 artículos cuestan 1.89UM en promedio y fabricar uno más le costaría tan sólo 1.18UM.

Ejemplo 2.- La función de costo promedio de un producto está dada por qqqC 220001201.0)( ++=

a) Encuentre la función de costo marginal.b) Encuentre el costo marginal cuando 40=q y cuando 60=qc) Encuentre el costo de producir la unidad 41.d) Interprete los resultadosSolución: Recuerde que el costo marginal es la derivada del costo total. Así que debemos conseguir la función de

costo total primero despejándola en la ecuación qqCqC )()( =

)()( qCqqC ⋅=

)220001201.0()(q

qqqC ++⋅=

Se distribuye a fin de obtener una expresión más sencilla para derivar

qqqqqC 220001201.0)( 2 ++=

220001201.0)( 2 ++= qqqC

a) Derivamos la función costo total recién obtenida)22000()120()1.0()( 2 ′+′+′=′ qqqC

1202.0)( +=′ qqC

b) El costo marginal cuando 40=q está dado por 128120402.0)40( =+⋅=′C

El costo marginal cuando 60=q está dado por 132120602.0)60( =+⋅=′C

c) Recordemos que el costo exacto de la unidad 1+q es igual a )()1( qCqC −+ . Así

20

El costo exacto de la unidad 41 = )40()41( CC −

2200041120411.0)41( 2 +⋅+⋅=C

2200040120401.0)40( 2 +⋅+⋅=C

1.128120)4041(1.0)40()41( 22 =+−=− CC UM

d) 128)40( =′C se interpreta como el costo aproximado de producir la unidad 41. Efectivamente este costo está bastante cercano al costo exacto de la unidad 41 que es 128.1.

132)60( =′C es el costo aproximado de producir la unidad 61 si se decide aumentar la producción de 60 a 61 unidades. También podemos decir que los costos totales aumentarían aproximadamente en 132UM si se decide fabricar una unidad adicional

Comentarios.- El costo de la unidad adicional depende del nivel de producción.Algunos autores prefieren interpretar )(qC ′ como el aumento aproximado en los costos si se decide aumentar la producción en una unidad. ¿Por qué?

INGRESO Y UTILIDAD MARGINALPodemos hacer un análisis similar para la función ingreso y utilidad total.

Sea )(qI la función ingreso total por producir y vender q productos. El ingreso marginal se define como la derivada del ingreso total:

Ingreso marginal= )(qI ′

y se suele interpretar como el ingreso por producir y vender la unidad adicional 1+q cuando el nivel de producción es q .

Ejemplo 3.- La ecuación de demanda de un artículo está dada por )40(51 qp −= . Encuentre la función

ingreso marginalSolución: Tenemos que conseguir la función de ingreso. Recuerde que pqqI =)(Así

qqqI )40(51)( −=

Reescribimos antes de derivar, distribuyendo solo la variable

)40(51)( 2qqqI −=

Derivamos, usando primero la regla del factor constante

)40(51)( 2 ′−=′ qqqI

Podemos ver finalmente, usando la regla de la diferencia que el ingreso marginal está dado por

)240(51)( qqI −=′

Recordemos:Sea )(qU la función utilidad total por producir y vender q productos. Recuerde que la

utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo, esto es )()()( qCqIqU −=

21

La utilidad marginal se define como la derivada de la utilidad total:

Utilidad marginal= )(qU ′

y se suele interpretar como la utilidad por producir y vender una unidad adicional cuando el nivel de producción está en q .

Ejemplo 4.- Un comerciante estima que su ingreso mensual por la venta de un artículo sea202.030)( qqqI −= , para 15000 ≤≤ q . Si el costo de adquisición es de 10UM por cada artículo.

a) Encuentre la función de utilidad marginalb) ¿Cuál es el nivel de adquisición y venta en que la utilidad marginal es 0?c) Interprete el resultado anterior.

Solución:a) La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad total. Debemos conseguir primero )(qU mediante la relación

)()()( qCqIqU −=La función costo total está dada por

qqC ⋅= 10)(De esta manera

)10()02.030()( 2 qqqqU −−=

Simplificando se obtiene202.020)( qqqU −=

La utilidad marginal es la derivada de )(qU)02.0()20()( 2qqqU −′=′

q04.020 −= .b) Para calcular el nivel en que la utilidad marginal es 0 debemos plantear

0)( =′ qU

004.020 =− qResolviendo, obtenemos

500=qEl nivel de adquisición y ventas en que la utilidad marginal es 0 es 500 artículos.

c) Esto se puede interpretar como: La utilidad dejada por la adquisición y venta de una unidad por encima de 500 es aproximadamente 0. La negociación de una unidad extra en este nivel de comercialización no aportaría ganancia ni perdida al negocio.

PROPENSION MARGINAL AL AHORRO Y AL CONSUMO.

Pensemos primero estos conceptos a nivel de un individuo. Si una persona tiene un ingreso mensual variable de I, una cantidad C la consume en bienes y servicios y otra S la ahorra. Es decir

SCI += . Es claro que los porcentajes de lo que ahorra y lo que consume depende del nivel de ingreso. Es probable que un individuo cuando reciba muy poco prácticamente lo gaste todo y en cambio si recibe una gran cantidad ahorre una parte. Así pues podemos pensar que el consume C es una función del ingreso.

Podemos extrapolar estos conceptos a nivel de una nación. Sea I el ingreso nacional disponible (en miles de millones de UM) .

La función de consumo nacional, )(IC , es la cantidad de dinero del ingreso que se consume La función de consumo nacional, )(IS , es la cantidad de dinero del ingreso que se ahorra.

22

Definición.- Se llama propensión (o tendencia) marginal al consumo a la derivada de C con respecto a I:

dIdCIC =′ )( =propensión (o tendencia) marginal al consumo

La propensión (tendencia) marginal al ahorro se la define como la derivada de S con respecto a I:

dIdSIS =)( = propensión (o tendencia) marginal al ahorro.

Podemos ver que a nivel del ingreso nacional la relación )()( ISICI += se cumple. Al derivar ambos lados queda

dIdS

dIdC

dIdI +=

dIdS

dIdC +=1

Así que las dos propensiones marginales suman 1. Frente a un pequeño incremento de ingreso nacional, podemos interpretar las propensiones marginales como las proporciones de ese incremento que se ahorran o se consume.

Ejemplo 5.- Suponga que la función de consumo de un país está dado por 75

43

)( ++= IIIC donde I

y C vienen dadas en miles de millones de UMa) Encuentre las propensiones marginales al consumo y al ahorro cuando el ingreso nacional es de 9 mil millones de UM.b) Interprete sus resultadosSolución: a) Se calcula la propensión marginal al consumo.

)7()5

4()3

()( ′+′+′=′= IIICdIdC

)7()(54)(

31 2/1 ′+′+′= II

)21

54

41 2/1−⋅+= I

I52

31 +=

Para calcular la propensión marginal al ahorro nos valemos de la formula

dIdS

dIdC +=1

dIdC

dIdS −= 1

Se procede ahora a evaluar las propensiones marginales en 9=I

157

152

31

952

31)9(

9=+=+=′=

=

CdIdC

I

158

15711 =−=−=

dIdC

dIdS

23

b) Para un nivel de ingreso nacional de 9 mil millones de UM, si hay un aumento en un millardo de

unidades monetarias, aproximadamente el 46.6% ( 100157 ⋅ ) de ese aumento se consume y el 53.3%

se ahorra. Es decir 466,6 millones se consumen y 533,3 millones se ahorran aproximadamente.

PROBLEMAS DE ANÁLISIS MARGINAL

1) Sea 450205

)(2

++=q

qqC el costo total por producir q artículos. a) Encuentre la función de costo

marginal. b) ¿Cuál es el costo marginal para 10=q ? c) Interprete sus resultados.

Respuesta: a) 220

52)(

qqqC −= ; b) 3.8UM.

2) Si 85021.0 2 ++−= qqC representa el costo total de producir q unidades de un producto. a) Encuentre la función de costo marginal. b) ¿Cuál es el costo marginal para 3=q ? c) ¿Cuál es el costo real por producir la unidad 4? Respuesta: a) ;22.0)( +−=′ qqc b) 4.1)3( =′c ; c) 3.1)3()4( =− cc

3) Si qqc 3002)( += es la función costo promedio de producir q unidades de un producto. a)

Encuentre la función de costo marginal. b) ¿Cuál es el costo marginal para q=30? c) Interprete sus resultados. Respuesta: a) ;2)( =′ qc b) 2)30( =′c4) La función de ingreso total viene dada por )2.020(2 qqI −= . a) Encuentre la función de ingreso marginal; b) El ingreso marginal para 10=q ; c) el ingreso marginal para q=20; d) Interprete sus resultados. Respuesta: a) qqI 8.040)( −=′ ; b) 32UM; c) 24UM

5) Si la ecuación de demanda es 32

500 qp −= , calcule el ingreso marginal.

Respuesta 32

35500)( qqI −=′

6) El costo total de un fabricante es 2005005.01.0)( 23 ++−= qqqqC UM, donde q es el número de unidades producidas.

a) Utilice el análisis marginal para estimar el costo de fabricación de la cuarta unidadb) Calcule el costo real de fabricar la cuarta unidad. Respuesta: a) 499,7; b)500,2

7) El ingreso total mensual de un fabricante es 205.0240)( qqqI += UM cuando produce y se venden q unidades al mes. En la actualidad, el fabricante produce 80 unidades mensuales y planea aumentar la producción en una unidad.

a) Utilice el análisis marginal para estimar el ingreso adicional que generará la producción y venta de la unidad 81.

b) Utilice la función ingreso para calcular el ingreso adicional real que generará la producción y venta de la unidad 81. Respuesta: a) 248; b) 248.05

8) La ecuación de demanda de un artículo es 4

200 qp −= .a) Determinar la función de ingreso

marginal b) El ingreso marginal cuando 20=q c) ¿Cuál es el ingreso real por vender la unidad 21?

Respuestas: a) 2

200 qp −= b) 190UM; c) 189.75UM

24

9) La ecuación de demanda de un tipo de reloj es 800203 =+ pq .a) Determinar la función de ingreso

marginal. b) Si la función de costo total por la producción de q relojes es 102

)(3

+=q

qC , calcule la

utilidad marginal. Respuestas: a) 15

403 q

− ; b) 2 2

3

6

115

40q

q−−

10) La ecuación de demanda de un producto es 800010001002 =++ pqq . a) Determinar la función de

ingreso marginal. b) Si la función costo total por la producción de q productos es 1005500)(

2qqC += ,

calcule la utilidad marginal. Respuestas: a) 2003.02.08 qq −− ; b) 2003.03.08 qq −−

11) La función de consumo de cierta nación está dada por 43

82

)( +−= IIIC UM. Encuentre la

propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I= 36 UM. Interprete sus resultados. Respuesta: 5/18; 13/1812) La producción semanal de una fabrica depende del número de obreros x en la planta y está dada por

xxxP 16002)( 2 +−= . Si la fabrica cuenta en este momento con 30 obreros, a) use derivadas para estimar el cambio de la producción si se contrata un obrero más b) Haga el calculo exacto. Respuesta: a) 1480; b) 1478 unidades13) La ecuación de demanda de un producto está dada por 700045 3 =+ qp Si la función de costo

está dada por 345)( qqC += . a) Calcule la utilidad marginal cuando se producen y se venden 100 unidades. b) Interprete sus resultados. Respuesta: a) 85UM14) Un kiosco de comida rápida prepara hamburguesas a un costo de 2UM cada una. Las hamburguesas se han vendido a 5UM cada uno y a ese precio, los consumidores han comprado 4000 al mes. El dueño planea incrementar el precio de las hamburguesas y estima que por cada UM de aumento en el precio se venderán 200 hamburguesas menos. Calcule la utilidad marginal en función del número

de hamburguesas vendidas, suponiendo que la ecuación de demanda es lineal. Respuesta: 23100

+− q

15) Un distribuidor vende 5000 lavadoras al mes si el precio es de 40UM cada una y estima que por cada incremento de 5UM las ventas bajarán en 300 lavadoras. Si el costo de adquisición de cada lavadora es de 25UM. Suponga que la ecuación de demanda es lineal. Calcule la función utilidad marginal en función del número de lavadoras adicionales a las 5000. Respuesta: q300023000 −16*) Se estima que un gimnasio tiene 500 clientes cuando la cuota es de 30UM y si sube el precio a 40 el número de clientes se reduce a 450. Suponga que existe una relación lineal entre el número de clientes y la cuota mensual. a) Determine la función de ingreso. b) Determine el ingreso marginal.

Respuestas: a) qqI 13051 2 +−= ; b) 130

52 +−=′ qI

17*) El calendario ecológico es vendido a 20UM., a ese precio se compran 25.000 ejemplares. Se ha estimado que si el precio aumenta a 30UM se venderán 15.000 unidades. El costo de producción de q unidades está dado por qqC 5500)( += . Suponiendo que hay una relación lineal entre el precio y la demanda de calendarios. a) Encuentre la utilidad marginal. b) Calcule la demanda 0q para la cual la utilidad marginal es cero. c) Calcule el precio 0p para esta demanda. d) Calcule la utilidad en 10 −p ,

0p y 10 +p (*para calcular la ecuación de demanda use la ecuación pto-pendiente, calculando previamente la pendiente)

Respuestas: a) 40500

+−=′ qU ; b) 000.200 =q ; c) 250 =p ; d) =)24(U 459.42 , =)25(U 499.38,

=)26(U 539.32 UM

25

REGLAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTELa función )1)(143()( 2 +++= xxxxh la podemos derivar usando las ideas de la sección

pasada, podemos reescribir la función aplicando la propiedad distributiva y luego sumar términos semejantes. Sin embargo, tal como está se puede interpretar como el producto de dos funciones

143)( 2 ++= xxxf y 1)( += xxg y para derivar se usa entonces la regla del producto que a continuación se enuncia.

Al final de esta sección daremos de prueba de esta regla.

Ejemplo 1.- Encuentre la derivada de la siguiente función )1)(143()( 2 +++= xxxxhSolución: Aplicamos la regla del producto a la función )1)(143()( 2 +++= xxxxh , interpretando a

h como el producto de las funciones 143)( 2 ++= xxxf y 1)( += xxg . Así

)()()()()( xgxfxgxfxh ′+′=′

)1)(143()1()143( 22 ′+++++′++= xxxxxx

2/12

21)143()1)(46( −+++++= xxxxx

Aplicando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes tenemos

2/12/12/3

21466

215)( −++++=′ xxxxxh .

Ejercicio de desarrollo: Encuentre las derivadas de las siguientes funciones a) )33(3)( 2 −−= xxxh ; b) )33)(1()( 2 −−+−= xxxxxf

La demostración de la regla del producto se hace al final de esta sección. Otra regla que vamos a necesitar es la derivada de un cociente que a continuación presentamos

26

Observe que se deja la derivada indicada y se deriva en la siguiente línea

Regla del producto: Sean f y g funciones derivables en x, entonces gf ⋅ también es derivable en x y

)()()()()()(( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅ .

La derivada de un productote dos funciones es la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera por la derivada de la segunda

Regla del Cociente: Sean f y g funciones derivables en x y 0)( ≠xg , entonces gf / es derivable en x y

)()()()()()()( 2 xg

xgxfxgxfxgf ′−′

=′ .

La regla de cociente es un poco más complicada que las anteriores. Pero observe como al escribirla se a puesto cierta semejanza con la regla del producto, excepto el signo menos en el numerador y que contiene un denominador igual al denominador de la función a derivar al cuadrado.

Ejemplo 2.- Encuentre la derivada de la función 1

14)( 3

2

−++=

xxxxh

Solución: Aplicamos la regla del cociente interpretando a h como el cociente de la función 14)( 2 ++= xxxf entre 1)( 3 −= xxg . Así

( ) 2)()()()()()(

xgxgxfxgxfxh

′−′=′

23

3232

)1()1)(14()1()14(

−′−++−−′++=

xxxxxxx

23

223

)1(3)14()1)(42(

−++−−+=

xxxxxx

23

23434

)1()3123(4242

−++−−−+=

xxxxxxx

23

23434

)1(31234242

−−−−−−+=

xxxxxxx

Agrupando términos semejantes finalmente obtenemos:

23

234

)1(4238)(

−−−−−−=′

xxxxxxh

Ejercicio de desarrollo: Encuentre la derivada de

a) xx

xxxf−

++= 12)( ; b) 5

1)( +−= xxxf

Comentario: Le recordamos que en este último ejercicio es conveniente reescribir la función como:

)1(51)( +−= xxxf para luego aplicar la regla del factor constante. Resulta más largo aplicar la regla

del cociente. Más adelante se presentarán las formas )()(

xfkxf = que conviene escribirlas como

1))(()( −= xfkxf para emplear otra regla distinta a la regla del cociente, la cual resulta más laboriosa.

Ejemplo 3.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva )13)(320( 2 −−−= xxxy en el punto donde x=4Solución :

27

Se aplica la propiedad distributiva. En el segundo termino distribuimos el 23x . Observe la necesidad de mantener el paréntesis.

Se distribuye el menos.

La derivada la calculamos en varios pasos dejando indicada algunas derivaciones para analizarla y derivarla en las líneas siguientes.

En ambas derivadas se aplica la propiedad de la suma y de la potencia

• Se determina completamente el punto sobre la gráfica evaluando la función en 4=x .

2438)1434)(4320()4( 2 =⋅=−⋅−⋅−=y

Remarcamos que queremos la recta tangente a la gráfica de )(xf en el punto )24,4( .• Para determinar la pendiente se calcula y ′ y luego se evalúa en x=4 Usamos la regla del producto para conseguir la derivada

)13()320( 2 −−′−=′ xxxy + )13)(320( 2 ′−−− xxx

)13(3 2 −−−=′ xxy + )32)(320( −− xx

Podemos simplificar este resultado, pero preferimos evaluar de una vez

)1434(3)4( 2 −⋅−−=′y + )342)(4320( −⋅⋅−

31)4( =′y

Esto es 31=tagm .

• Finalmente para calcular la recta tangente usamos la ecuación punto pendiente)()( 00 xxmyy −=−

)4(31)24( −⋅=− xy Llevándolo a la forma pendiente-ordenada en origen tenemos que la recta tangente en el punto

)24,4( es:10031 −= xy

APLICACIONESEjemplo 1.- El gobierno va implementar unas medidas para disminuir el porcentaje de desempleo en el país. Él prevee que el impacto de sus medidas se verá reflejado en el siguiente modelo

1001.1

17.02.015.0)( 2

2

⋅+

+−=t

tttP

donde P es el porcentaje de desempleados en el tiempo t, medidos en años.a) Encuentre la función que modela la tasa de cambio instantáneo del porcentaje de desocupados

una vez que se apliquen las medidas.b) Estime la tasa de cambio instantáneo a los 3 meses, 6 meses, 1 año y 2 años.

Solución :La tasa de cambio instantáneo no es otra cosa que la primera derivada. Así que la calculamos

usando la regla del cociente previamente sacamos 100 fuera de la derivada′

+

+−=′1.1

17.02.015.0100)( 2

2

ttttP

22

22

)1.1()2)(17.02.015.0()1.1)(2.03.0(100)(

++−−+−=′

tttttttP

22

2

)1.1(22.001.02.0100)(

+−−=′

ttttP

28

Para medir la tasa de cambio a los tres meses, evaluamos en 4/1=t la primera derivada:

%8,15)1.1)25.0((

22.04101.0)25.0(2.0

100)25.0( 22

2

−=+

−⋅−=′P

%602,9)1.1)5.0((

22.02101.0)5.0(2.0

100)5.0( 22

2

−=+

−⋅−=′P

%68,0)1.1)1((

22.0101.0)1(2.0100)1( 22

2

−=+

−⋅−=′P

%15.2)1.1)2((

22.0201.0)2(2.0100)2( 22

2

=+

−⋅−=′P

EJERCICIOS1) Derive las siguientes funciones1.1) )1)(4()( 2 +−= xxxf ; 1.2) )1(4)( 2 +−= xxxf ;1.3) )33)(1()( 22 ssssf −+= ; 1.4) )54)(12()( 3xxxxf −−−= ;1.5) )12(2)( 2 −+= ssssh ; 1.6) )4)(3(3)( xxxf −−= ;

1.7) )2)(2)(1()( 2xxxxf −−−= ; 1.8) qqqC

54)( −= ;

1.9) 14)( 2 −

−=q

qqC ; 1.10)12

1)( 2

3

+−−=qq

qqC ;

1.11) 3

2 132)(ttttf −+= ; 1.12)

xxf

32)( = ;

1.13) 333)( xxxf ⋅= ; 1.14) 4465)( 2

2

++++=

sssssf ;

1.15) )2()( 23/2 ssssf −= ; 1.16)xx

xx

xxxf31

421

1)(

2

−−

−+−

−= ;

1.17)xxxxf

3)3()(

2−= ; 1.18))1(3

)3)(1()(2

xxxxf

−−−= ;

2) a) Utilice la regla del cociente para derivar la función 3

32)(xxxf −=

b) Reescriba la función como )32()( 3 −= − xxxf y derívela como un producto.

c) Rescriba la función como 32 32)( −− −= xxxf y derívela como una suma.d) Demuestre que todas las respuestas son iguales.

3) a) Utilice la regla del cociente para derivar la función xxxxf 12)( +−=

b) Reescriba la función como un producto y derívela usando la regla del producto.c) Reescriba la función como una suma y derívela usando la regla de la suma. (no use la regla del cociente ni del producto)d) Demuestre que todas las respuestas son iguales.

4) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ))(3( 23 xxxxy −−= en el punto donde x=4.

5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x

xy31

12−

−= en el punto donde 1−=x .

29

6*) Encuentre los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la función xxxf 1)( += es

horizontal.

Respuestas: 1.1) 423 2 +−− xx ; 1.2) xx 23 2 −− ; 1.3) 36912 23 −+− sss ; 1.4) 32 832013 xxx −+− ; 1.5)

sss

2222

225 −+ ; 1.6) )

2332(3 x

x−+ ; 1.7) 694 23 −+− xx ; 1.8) 25

4q

− ; 1.9) 22

2

)1(18

−+−

qqq

; 1.10)

1222

2

2

+−−−

qqqq

; 1.11) 3 4

2

3

1610

t

tt ++; 1.12) 33

1

x− ; 1.13) (1+1/33) 33 x ; 1.14)

441

2 ++−

ss;

1.15) )3/103/8(3/2 −ss ; 1.16) 22 31

)42(21

xx+

−+− ; 1.17)

xx

653 2−

; 3) 32

1

x

x −;

4) )4(1033728 −=− xy ; 5) 1613

161 −−= xy ); 6) (1,2)

PROBLEMAS EN ECONOMÍA1) Encuentre la función ingreso marginal cuando )1.030(2 qqI −= . Encuentre el ingreso marginal para q=10. Interprete sus resultados. Respuesta: qI 4.060 −=′ ; I`(10)=56

2) 50750

++=

qqp representa la ecuación de demanda para cierto artículo donde p denota el precio por

unidad cuando se demanda q unidades. Encuentre la función de ingreso marginal.

Respuesta: 2

2

)50(37500100

+++=′

qqqI )

3) El Producto Nacional Bruto de cierto país crece con el tiempo de acuerdo con PNB(t)= 2042 ++ tt . La población al tiempo t es P(t)= 21.0 2 ++ tt (millones de habitantes). Calcule la razón de cambio del

ingreso per capita en el instante t=10. (El ingreso per capita se define como )()(

)(tP

tPNBxf = el Producto

Nacional Bruto dividido entre el tamaño de la población.) Respuesta: 0.0994) Se espera que la venta de un nuevo equipo de sonido siga el siguiente comportamiento con respecto al

número de meses luego que se ha lanzado al mercado 30

10)( 2 +=

tttS miles de equipos al mes.

a) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 3 meses.b) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 6 meses.c) Encuentre la razón de cambio instantánea de las ventas a los 9 meses.d) Interprete sus resultados. Respuesta: a) 0.1381x1000; b)-13.8; c) -41.4; d) A los diez meses se venderán aproximadamente 41 equipos menos que en el mes anterior.

5) La ecuación de demanda de cierto artículo es ppq −= 250

. Determinar la razón de cambio de la

demanda con respecto al precio. a) Calcule esta razón de cambio para p=5. b) Interprete sus resultados. (Respuesta: a) 25− , b) Si el precio aumenta en 1UM, es decir cuando pasa a 6UM, entonces la demanda disminuye en aproximadamente 25 unidades)6) Las ventas de un artículo V depende de la inversión x que se haga en publicidad mediante la

relación 5

30100)(+

−=x

xV , donde x está expresado en miles de UM y V en miles de unidades. a)

Encuentre la razón de cambio promedio de las ventas con respecto a la inversión en publicidad cuando 5=x ; b) Interprete sus resultados. c*) Su interpretación se basa en hacer una estimación, haga el

30

calculo exacto. Respuesta: a)300 unidades, b) Si la inversión aumenta en un 1000 UM, es decir ahora se gasta x=6 UM en publicidad, las ventas aumenta en 300 unidades aproximadamente; c) 272,7

7) Sea 2

6)(3

++++=

IIIIIC la función de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas en

miles de millones de UM.. Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando el ingreso es de 16 miles de millones de UM. Interprete su resultado. Respuesta 0.868; Para un nivel de ingreso nacional de 16 mil millones de UM, si hay un incremento del ingreso de la nación de mil millones de unidades monetarias, aproximadamente el 86.8% de ese aumento se consume y el resto se ahorra)

8) Sea 10

62)(3

+++=

IIIIS la función de ahorro de cierto país. a) Encuentre la propensión marginal al

consumo y al ahorro cuando 100=I . b) Interprete sus resultados. Respuesta: 89.0)100( =′C ; 11.0)100( =S

9) El ingreso total por la venta de q artículos está dada por 1

5.33)(2

++=

qqqqI . Encuentre el ingreso

marginal cuando se venden 30 artículos. b) Interprete sus resultados. Respuesta: 3 UM10) En ciertos terrenos se estima que si se plantan 100 matas de mangos por hectárea se obtendrá un valor de la cosecha por árbol de 500 UM en su edad adulta. Se estima que por cada árbol que se siembre de más hará que el valor promedio por árbol disminuya en 4 UM. Determine la función de ingreso marginal en función del número de árboles adicionales sembrados después de 100. Respuesta: 1008 +− q

Demostración de la Regla del Producto: Planteamos la derivada de la función ))(( xgf ⋅ por definición:

( ) ( ) ( )h

xgfhxgfxgfh

)()(lim)(0

⋅−+⋅=′⋅→

( )

hxgxfhxghxf

h

)()()()(lim0

−++=→

Se suma y resta )()( hxgxf +

h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh

)()()()()()()()(lim0

−+++−++=→

Límite de una suma

h

hxgxfhxghxfh

)()()()(lim0

+−++=→

+h

hxgxfhxgxfh

)()()()(lim0

+−+→

Se reescribe

−++=

→ hxfhxfhxg

h

)()()(lim0

+

−+

→ hxghxgxf

h

)()()(lim0

Límite del producto

)(lim0

hxgh

+=→ h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

+ )(lim0

xfh→ h

xghxgh

)()(lim0

−+→

Se usa definición de derivada

)()()()( xgxfxgxf ′+′=

31

REGLA DE LA CADENA

Hasta ahora funciones como 1)( 2 += xxh no tenemos una regla para derivarla: no es una suma, producto o cociente.

La regla de la cadena es usada para derivar funciones compuesta. La función 1)( 2 += xxh la

interpretamos como una composición. Si definimos xxf =)( y 1)( 2 += xxg , entonces ))(())(()( xgfxgfxh == °

La forma de decir la regla de la cadena en la práctica es:

En la notación de Leibniz si consideramos )(xgu = , la regla de la cadena queda expresada como

dxdu

dudy

dxdy ⋅=

Ejemplo 1.- Encuentre la derivada de 333 )12()( += xxhSolución: Se define la función interna como 12)( 3 +== xxgu y la externa como 33)( uuf = . Entonces ))(()( xgfxh °= y

26)( xxgdxdu =′= y 3233)( uuf =′

Aplicando la regla de la cadena se obtiene)())(()( xgxgfxh ′⋅′=′

23 6)12( xxf ⋅+′=2323 6)12(33 xx ⋅+=

3232 )1(198 += xx

Funciones como la del ejemplo anterior o como 1)( 2 += xxh son de la forma rxg ))(( , en este último caso con 2/1=r . Para derivar esta forma podemos usar directamente la siguiente:

32

La derivada de una composición es la derivada de la función externa, f, evaluada en la interna por la derivada de la interna.

REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA:

( ) )())(())(( 1 xgxgrxg rr ′=′ −

Regla de la cadenaTeorema.- Sean f y g dos funciones tales que f es diferenciable en )(xg y g es diferenciable en x , entonces )( gfh °= es diferenciable en x y

)())(()( xgxgfxh ′⋅′=′

Demostración: Si definimos la externa como ruuf =)( y simplemente )(xgu = . Entonces ))(()( xgfxh °= y

)(xgdxdu ′= y 1)( −=′ rruuf

Aplicando la regla de la cadena se obtiene

)())(()( xgxgfxh ′⋅′=′

= ( ) )()( 1 xgxgr r ′⋅−

Ejemplo 2.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones: a) 1)( 2 += xxh b) xx

xf3

2)( 2 +=

Solución: a) Reescribimos 2/12 )1()( += xxh y aplicamos la regla de la cadena generalizada con 2/1=r :

)2()1(21)())((()(

121

21 xxxgxgrxh r −− +=′⋅=′

1)(

2 +=′

x

xxh

c) Reescribimos 12 )3(2)( −+= xxxf y aplicamos la regla del factor constante

( )′+=′ − 12 )3(2)( xxxf

( )′+= − 12 )3(2 xx

)3()3)(1(2 222 ′++−= − xxxx

)32()3)(1(2 22 ++−= − xxx

22 )3()32(2

xxx+

+−=

Comentario. En este último ejemplo se reescribió xx

xf3

2)( 2 += como 12 )3(2)( −+= xxxf . Este

procedimiento resulta útil si el numerador es numérico, pero en el caso que contenga la variable es preferible considerarlo como un cociente.

Ejemplo 3.- Encuentre la derivada de las siguientes funciones

a) 3

5332

++=

xxy ; b) 224 )2()53()( ++= xxxf .

Solución:

a) La función 3

5332

++=

xxy es de la forma rxg ))(( . Así que aplicamos la regla de la potencia

generalizada.)()(( 1 xgxgry r ′⋅=′ −

′

++⋅

++=′

5332

53323

2

xx

xxy La parte que queda por derivar es un cociente

33

A la parte que queda por derivar se le aplica la regla de la potencia generalizada )())((2 1 xgxgr r ′⋅= − con 1−=r y )3()( 2 xxxg +=

2

2

)53()32(3)53(2

53323

++−+⋅

++=′

xxx

xxy

2

2

)53(96106

53323

+−−+⋅

++=′

xxx

xxy

2

2

)53(1

53323

+⋅

++=′

xxxy Aplicando propiedades de exponentes podemos expresar la derivada como

4

2

)53()32(3

++=′

xxy

c) La función 224 )2()53()( ++= xxxf es un producto, para derivar aplicamos entonces la regla del producto:

( ) ++′

+=′ 224 )2()53()( xxxf ( )′++ 224 )2()53( xx .

Las partes a derivar tienen la forma rxg ))(( , así que usamos la regla de la potencia generalizada:

++′++=′ 223 )2()53()53(4)( xxxxf )2)(2(2)53( 224 ′+++ xxx

+++= 223 )2(3)53(4 xx xxx 2)2(2)53( 24 ++ .

En vez de desarrollar las potencias, multiplicar y agrupar términos semejantes, se va a presentar el resultado factorizado, esto será conveniente posteriormente para conseguir las raíces de la primera derivada. Para factorizar sacamos factor común: )2()53(4 23 ++ xx . Así

( ))53()2(3)2()53(4)( 223 +++++=′ xxxxxxf Se distribuye el 3 y x

( )xxxxx 5363)2()53(4 2223 +++++= Se agrupan términos semejantes

( )656)2()53(4 223 ++++= xxxx

Ejercicio de desarrollo Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

a) ( )32 1)13( ++= xxy ; b) )12()13()(

42

−+=

xxxf ; c)

134)(+

=x

xf

La regla de la cadena también es usada en la siguiente forma: En ocasiones tenemos una variable y que depende de una variable u y u a su vez es función de la variable x. Es claro que y es una función de x al realizar la composición. Se quiere conseguir

dxdy

sin realizar la composición de funciones, sino a través de la regla de la cadena:

34

dxdu

dudy

dxdy ⋅= .

Ejemplo 4.- Sean 13 += uy y xxu += 2 . Encontrar dxdy

Solución: Usando la regla de la cadena tenemos:

dxdu

dudy

dxdy ⋅=

)12(122

2 +⋅+

= xudx

dy. Sustituyen u por xx +2 obtenemos finalmente

)12(1)(22

22

+⋅++

= xxxdx

dy

APLICACIONEjemplo 1.- Un estudio ambiental revela que el nivel medio de monóxido de carbono será aproximadamente de 175.0)( += ppc partes por millón cuando la población es de p miles de

habitantes. Se ha modelado que la población de la comunidad será de 2

3100)(+

−=t

tp , donde t es

medido en años ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono respecto al tiempo dentro de 4 años?

Solución: Se pide dtdc

en t=4. Calculamos la derivada usando la regla de la cadena para este caso,

observe que c es función de p y p de t, así:

dtdp

dpdc

dtdc ⋅=

2)2(3

175.025.0

+⋅

+=

tpdtdc

.

Calculamos 4=tdt

dcusando la formula anterior. Para ello debemos determinar el valor de p cuando t=4

5,9921100

243100)4( =−=+

−=p .

De esta manera

24 )24(

317)5.99(5.02

5.0+

⋅+

==tdt

dc

00255.04

==tdt

dc partes por millón por año.

Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones indique los pasos que usted haría para conseguir la derivada.Ejemplo: 12)( 2 += xxf . Se reescribe la raíz. El 2 sale afuera de la derivación por la regla del factor

constante. Se aplica la regla de la potencia generalizada 2/12 )1( +x . La derivada interna se deriva como una sumaa) 25)( xxxxf ++= ; b) 55 14)( zzf −−= ; c) 222 )1(2)1()( −−−= xxxxh ;

35

d) 3

3)(x

xxf = ; e) 2

)(+

=x

xxg ; f) )3()12()( 3 +−= xxxf ;

g) 33

15

)3(2+

+=

xy ; h) 5

5

)1()12()(

xxxh−

−= ; i) 5

112)(

−−=t

ttf ;

j) 15)12( 2

+−

=x

xy ; k) 32

12)3()(

++=t

ttg ; l) 5

)13(21

215)12( 42 −+

−−

+−

= xxx

xy

EJERCICIOS1) Derive las siguientes funciones1.1) 6)14( −= xy ; 1.2) 42 )4()( xxf −= ; 1.3) 42 )3()( xxxf −= ;

1.4) 22 )331(4 xxy −+= ; 1.5) 4

)13( 33 += xy ; 1.6) 42 )14( −+= xy ;

1.7) )13(1)(−

=x

xf ; 1.8) 22 )13(2)(+

=x

xf ; 1.9) 3)( += ttf ;

1.10) 325)( 2 += xxf ; 1.11) 3 2)1( xy −= ; 1.12) 3)13(5

2)(−

=t

tf ; 1.13)

zzzf 22)( += ; 1.14) 55

414)(

xxxf −= ; 1.15) 3)1()( −= xxxf ;

1.16) 52 )3(3)( xxxf −= ; 1.17) 3)( 2 += tttf ; 1.18) 23 )35()14()( +−= xxxf ;

1.19) )1)(3( xxy −+= ; 1.20) 3

3

)51()13(

)(x

xxf−

−= ; 1.21)

3

5113)(

−−=

xxxf ;

1.22) 2

2

)13(1

+−=

xxy ; 1.23) 3

213)(x

xxf−

−= ; 1.24) 35

2

)2()13()(

xxxf

−−= ;

1.25) 3)22(5)( 3 ++−= xxxxf ; 1.26) xxxxf −+−= 3225)( 3 ;

1.27) 3

41

41

−−

−−= x

xxy ; 1.28)

zzzf

−+=

11)(

2; 1.29) ( )( ) 2212)( +++= ttth

2) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 32 )5()( −= xxf cuando x =3

Respuestas: 1.1) 5)14(24 −x ; 1.2) 32 )4(8 xx −− ; 1.3) 32 )3)(23(4 xxx −− ;

1.4) )331)(21(24 2xxx −+− ; 1.5)4

)13(27 232 +xx ; 1.6) 52 )14(32 −+− xx ; 1.7) 2)13(3−

−x ;

1.8) 32 )13(24 −+− xx ; 1.9)32

1+t

; 1.10) 32

102 +xx

; 1.11) 3 132

x−−

; 1.12) 5)13(5

9

−−

t; 1.13)

22

2 +z

; 1.14) 5 65 4

5

45

1

5

4

xx+ ; 1.15) )14()1()( 2 −−= xxxf ;

1.16) )76()3(3 4 xxx −− ; 1.17)3

)125(++

ttt

; 1.18) )1350)(35()14(2 2 ++− xxx ; 1.19) )1)(3()1(

xxx

−++−

;

1.20) 4

2

)51()13(6

xx

−−− ; 1.21)

2

2 5113

)51(6

−−

−−

xx

x; 1.22) 3)13(

62++

xx

; 1.23) 32

2 132

)2(35

−−

⋅− x

xx

;

36

1.24) 3 8 )13()2(3

79

−−

+

xx

x; 1.25)

+−−+

321061875

23

xxxx

; 1.26) x

x−

−−31215 2 ;

1.27) 3

2

2 4)1(3

)4(3 −−

−x

x; 1.28) ( ) 11

12 +−

+

xz

z; 1.29)

4522

542 ++⋅

+

tt

t; 2) 4618 −= xy

PROBLEMAS DE ECONOMÍA1) Se ha estimado que el consumo de gasolina en cierta ciudad dependerá de los habitantes que tenga y

está dado por 112

)(2

+= ppc . Si el tamaño de la población se estima en 2)2(50100)(+

−=t

tp miles.

¿A qué razón de cambiará el consumo de gasolina con respecto al tiempo? Respuesta: 3)2(50+

=t

pdtdc

donde 2)2(50100)(+

−=t

tp

2) La ecuación de demanda de cierto artículo es qp

+=

1125 . Determinar la razón de cambio del precio

con respecto a la demanda. a) Calcule esta razón de cambio para q=9. b) Interprete sus resultados.

Respuesta: 41−

3) (Demanda marginal) La ecuación de demanda de un artículo está dada por 02

1 =+

−p

q . Determinar

la demanda marginal para un precio de p=1. Interprete sus resultados. (Se define como demanda

marginal a dpdq ) Respuesta:91−

4) Sea 6452.1)( ++−= IIIC la función de consumo de cierto país, donde I y C vienen dadas en miles de millones de UM . a) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando 32=I . b) Interprete sus resultados.Respuesta 0.783

5) La función de ingreso por la venta de cierto artículo está dada por ( ) ( ) 102031

20 −++

= xx

qI , donde q

está dado en miles de unidades y el ingreso en miles de UM. Determine el ingreso marginal cuando el nivel de ventas es de 1000 unidades. Interprete sus resultados. Respuesta: 16.250UM

PROBLEMAS EN CIENCIAS SOCIALES1) (Demografía) Para una población de 50.000 habitantes el número de personas que se estiman vivirán más de x años está modelado por xxE −= 100000.5)( . Calcule la razón de cambio de E con respecto a x cuando x=51? Respuesta: -357

37

DERIVADAS DE FUNCIONES ESPECIALESA continuación presentamos la derivada de funciones de uso frecuente.

xx 1)(ln =′

xx ee =′)(Podemos obtener por definición la derivada del logaritmo neperiano, haciendo uso del límite notable

( ) ex x

x=+

→

/1

01lim . Tenemos entonces por definición de límite que

hxhxx

dxd

h

)ln()ln(lim))(ln(0

−+=→

hx

hx

h

+

=→

lnlim

0

+=

→ xh

hh1ln1lim

0

h

h xh /1

01lnlim

+=

→

Usando continuidad de la función logaritmo tenemos que

=))(ln(xdxd

+

→

h

h xh /1

01limln

+=

→

xhx

h xh1limln

0

xhx

h xh

1

01limln

+=

→( )

x

zz

z/11

01limln

+=

→

xe

xe x 1ln1ln /1 === .

Próximamente deduciremos la derivada de xe

Observación: La fórmula para la derivada del logaritmo es en base e, luego se dará la fórmula para cualquier base. Un comentario similar hay con respecto a la función exponencial.

Ejemplo 1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones: a) xy ln3= ; b) xxey = ; c) xy ln=Solución: a) Aplicando la regla del factor constante queda

( ) ( )xx

xxy 313ln3ln3 =⋅=′=′=′

b)Se aplica la regla de producto xxxx xeeexexy +=′+′=′ )(

Finalmente podemos expresar el resultado de la derivada en forma factorizada)1( xey x +=′

c) Se reescribe primero 2/1)(lnln xxy == , se aplica la regla de la potencia generalizada

xxxxy 1)(ln

21)(ln)(ln

21 2/12/1 ⋅=′=′ −− Reescribiendo esta última expresión obtenemos

xxy

ln21=′

Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a) xxy ln= b) 2

xey = c) xexy −=

38

FORMAS FRECUENTES DE FUNCIONES ESPECIALES: Las funciones especiales frecuentemente vienen dadas con un argumento distinto a simplemente la variable. Esta situación la podemos escribir en cada caso como: )(ln xg y )(xge ,. Todas ellas pueden ser expresadas como una composición donde la función interna es )(xgu = . Para obtener la derivada de cada una de estas formas se usa la regla de la cadena. Las funciones externas f son respectivamente:

•ln , •e . La función interna es en todos los casos: )(xgu = . Aplicando a cada caso la regla de la cadena:

)())(()( xgxgfxh ′⋅′=′ .

Ejemplo 2.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a) )1ln( 2 += xy b) xey −= ; c) 2

21 xxey −=

π.

Solucióna) La función es de la forma )(ln xg . Remarcamos que la función externa es ln y la interna

1)( 2 += xxg . Aplicamos entonces la regla de la cadena:

( ) ′+=′ )1ln( 2xy

= )1(1

1 22

′+⋅+

xx

1

22 +

=x

x

b) La función es de la forma )(xge . La función externa es ⋅e y la interna xxg −=)(

( ) xxx exeey −−− −=′−=′=′ )(

c) Para derivar 2

21 xexy −⋅=

π usamos primero la regla del factor constante

( )′⋅=′ − 2

21 xexy

π Se aplica entonces la regla del producto.

( ))(21 22

′+=′ −− xx exeyπ

Ahora queda por derivar 2xe − que tiene la forma )(xge

( )))((21 222

′−+=′ −− xexey xx

π Al derivar 2x− y reordenar la expresión queda

( ))(221 22 2 xx exey −− −=′

π Se saca 2xe − de factor común

( )2212

2

xeyx

−=′−

π

39

No se olvide de la derivada interna

( ) ( )xgee xgxg ′⋅=′ )()(

( ) )())((

1)(ln xgxg

xg ′⋅=′

Cuando tenemos un logaritmo de un producto, cociente o potencia podemos usar las propiedades del logaritmo para reescribir la función de tal manera que resulte más fácil y rápido de derivar.

Ejemplo 3.- Encontrar la derivada de la siguiente función ])2)(13ln[( 2++= xxySolución: Reescribimos la función usando primero la propiedad del producto y luego la de la potencia:

2)2ln()13ln( +++= xxy

)2ln(2)13ln( +++= xxy

Esta última forma es la que derivamos, aplicando primero la derivada de la suma

( ) ( ) ′++′+=′ )2ln(2)13ln( xxy

( ) ′++′+⋅+

=′ )2ln(2)13(13

1 xxx

y

12

12313

1 ⋅+

+⋅+

=′xx

y

22

133

++

+=′

xxy

Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a) xy −= 1ln b) 13 2

4 +=

xexy ; c)

+

−=13

12lnxx

xy

Ejemplo 4.- Encontrar la derivada de la siguiente función: xy ln= Solución:

Reescribimos la función usando exponente fraccionario 2/12/1 )(ln xy = . Quedó escrita de la forma rxg ))(( , con 2/1ln)( xxg = y r=1/2. Se aplica la regla de la potencia generalizada:

2/12/1 )(ln21 −=′ xy )(ln 2/1 ′⋅ x Se reescribe la expresión a derivar

2/12/1 )(ln21 −=′ xy )ln

21( ′⋅ x Se aplica la regla del factor constante

2/12/1 )(ln21 −=′ xy )(ln

21 ′⋅ x

xy

ln4

1=′x1⋅ =

xx ln4

1

Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a) ))1(ln( 2 −= xxy b) 1

2

+=

−

xxey

xc) x

x

exey 3

13 1−=+

40

Se aplica regla de la cadena a )13ln( +x y regla del factor constante al segundo término.

Ree

scrit

ura

A continuación deduciremos la derivada de la exponencial a partir de las derivadas de logaritmosSea xexg =)( , como el logaritmo es la función inversa de la exponencial tenemos que

xxg =)(ln Derivamos ambos miembros

1)()(

=′

xgxg

Finalmente al despejar )(xg ′ obtenemos que )()( xgxg =′ , esto es

xexg =′ )( Finalmente hemos concluido que xx ee =′)(

FÓRMULAS PARA LAS DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES CON BASE DISTINTA A e.

Para obtener una fórmula para la derivada de )(log xgy a= nos basamos en la fórmula de cambio de base

)ln())(ln())((log

axgxga = .

Así

( ) ⋅=′⋅=′

=′

axg

aaxgxga ln

1))((ln(ln1

)ln())(ln())((log )(

))((1 xgxg

′⋅

Esta fórmula es expresada en manera coloquial como sigue:La derivada de un logaritmo con base distinta a e es la derivada del logaritmo por un factor de

corrección. En este caso el factor de corrección es aln

1

Para obtener una fórmula para la derivada de )(xgay = , usamos el hecho que el logaritmo es la función inversa de la exponencial: ( ) )(ln xgaxg ea = . Esta la escribimos como )(ln xgaey ⋅= , la cuál derivamos

( )( ) ))((ln)(ln ′⋅⋅=′ ⋅ xgaea xgaxg Usamos la regla del factor constante

)(ln)(ln xgae xga ′⋅⋅= ⋅ Finalmente usamos ( ) )(ln xgaxg ea = para obtenemos

Esta derivada es expresada como:La derivada de una función exponencial con base distinta a e es la derivada de la exponencial

por un factor de corrección. En este caso el factor de corrección es aln

41

( )( )( )a

xgxg

xga ln1)(

))((1log ⋅′⋅=′

( )( ) axgaa xgxg ln)()( ⋅′=′

Ejemplo 6.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones: a) )2(log2 xxy += b) )(log 3

2 xxxy += ; c) xy 2=Solución:

a) Se derivará usando la formula ( ) =′))((log xga axg

xg ln1)(

))((1 ⋅′⋅

( )′+=′ )2(log 2 xxy

( )2ln

122

1 ⋅′

++

= xxxx

2ln12

21

21 ⋅

+

+=

xxx Realizando la suma intermedia y los productos tenemos

( )xxxx

22ln241

++=

b) Aplicamos la regla del producto

))((log)(log)( 32

32 xx

dxdxxxx

dxd

dxdy +⋅++= Se usa cambio de base en el segundo logaritmo.

)2ln

)ln(()(log13

32

xxdxdxxx +⋅++⋅= En el segundo término aplicamos la regla del Factor Cte.

))(ln(2ln

1)(log 332 xx

dxdxxx +⋅++=

)()(

12ln

)(log 33

32 xx

dxd

xxxxx +

+++=

)13()(

12ln

)(log 23

32 +

+⋅++= x

xxxxx Sacamos x de factor común en el denominador y simplificamos.

)1)(2ln(13)(log 2

23

2 ++++=

xxxx

Alternativamente para calcular ))((log 32 xx

dxd + pudimos usar la fórmula

en vez de usar la fórmula de cambio de base antes de derivar.

c) Alternativa 1.- Reescribimos la función xy 2= como xey 2ln= 2lnxe= . Esta última es la que

derivamos, la cual tiene la forma )(xge

)( 2lnxedxd

dxdy = )2ln(2ln x

dxde x=

42

( ) =′))((log xga axg

xg ln1)(

))((1 ⋅′⋅

Recuerde que si la base es distinta a e hay un factor de corrección en la derivada

= )(2ln 2/12ln xdxde x De una vez usamos el hecho que xxe 22ln =

2/1212ln2

xx=

x

x 2ln2 1−

=

Alternativa 2.- Se usa la fórmula: axgay xg ln)()( ⋅′=′Directamente entonces obtenemos

( )′=′ xy 2

( ) 2ln2′

= xx

xx

xx 2ln22

22ln 1−

==

Ejercicio de desarrollo. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

a)

+−= 3

2 1)1(logx

xxy ; b) x

yx1

10−

=

APLICACIONESEjemplo 1.- Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por ttP )03.1(25)( = millones de habitantes a partir de 1999. ¿A qué razón cambiará la población con respecto al tiempo t años después?

Solución: Debemos conseguir dtdP . La función ttP )03.1(25)( = tiene forma exponencial

dtd

dtdP t)03.1(25= . Se aplica )()ln()( )( xgaaa xgx ′⋅⋅=′ , obteniendo

1)03.1()03.1ln(25 ⋅⋅= t

dtdP

.

Por tanto la población cambiará a una razón de t

dtdP )03.1()03.1ln(25 ⋅= millones de habitantes en el

año t.

Ejercicio de desarrollo.- Para cada una de las siguientes funciones indique los pasos que usted haría para conseguir la derivada. Considere reescribir.Ejemplo: )1ln(2)( 2 += xxxf . El 2 sale afuera de la derivación por la regla del factor constante. Se aplica la regla del producto, quedan dos términos en uno hay que derivar )1ln( 2 +x el cual tiene la forma del logaritmo de g(x). La derivada interna se deriva como una sumaa) 2ln)( xxexf ++= ; b) 12

3)( += xezf ; c) 2ln)ln()( 2 +−= xxxh ;

43

Esta forma de la derivada la reescribimos usando propiedades de exponente y multiplicación de fracciones.

d) 2lnln)(

xxxf = ; e)

+=

2ln)(

xxxg ; f) )1ln()( −= xexf ;

g) xexy 15

)13ln( +−= ; h)

−

−= 5

5

)31()1(ln)(x

xxh ; i) 23

2)(xe

xh = ;

j) )13ln(2

−=

xy ; k) )1ln(

1ln)(−−=

xxtg ; l)

xexey

x 3ln2215

2

+−+

= ;

m) ( )2232ln)( xxxg ⋅= ⋅ ; n) ( )( )22 1ln)( += xxg ; ñ)

xxey

x −=2

;

o) ( )xxy

log)1ln( −= ; p) xxxh 32)( ⋅= ; q)

122)(+

= xxg

EJERCICIOS1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones1.1) )43ln( −= xy ; 1.2) 2ln)( xxxf = ; 1.3) )21ln()( 3xxf −= ;

1.4) )53ln()14()( 2 +−= tttg ; 1.5)z

zzh )1ln()(2 += ; 1.6)

)1ln()( 2 +

=z

zzf ;

1.7)

+

=1

ln)( 2

2

xxxf ; 1.8) 4

4

4

11ln)(

−+=

sssf ; 1.9)

−+=

11ln)( 4

4

sssf ;

1.10) ( ))14)(13(ln +−= xxy ; 1.11) ( )3)1(ln)( −= xxxh ; 1.12) ( )13)14(ln 22 +−= xxy ;1.13) 1)ln( −= xy ; 1.14) xxy 44 lnln += ; 1.15) ( )( )xy ln1ln += ;

1.16) ( ) ( )12ln3

+=

xxh ; 1.17) ( ) ( ) 12ln

3+

=x

xg .

2) Encuentre la derivada de las siguientes funciones

2.1) 54 −= xey ; 2.2) xey 342 −= ; 2.3) 4

32 xxey−

= ;

2.4) 3ln −= xey ; 2.5) xexy −= 2 ; 2.6) 11

+−= − x

x

eey ;

2.7) xexy 33 )1( −+= ; 2.8) xxy 34 3 += ; 2.9) 2

3xy = ;

2.10) 2

333 xxy ⋅⋅= ; 2.11) ey 3= ; 2.12) 222 )(2 x

x ee

y += − ;

2.13) 92 )1( += xey ; 2.14) )1ln( 2xey += ; 2.15)2

22 +

= − xey ;

3) Encuentre la derivada de las siguientes funciones. Considere reescribir

3.1) )1ln( 2xey += ; 3.2) xeey 2

11 += ; 3.3) )1ln()1ln(

xxy

+−= ;

3.4)

+

−=−

x

x

eey

11ln ; 3.5)

=

−

2ln

xey ; 3.6) 32 lnln xxy ⋅= ;

3.7) 223ln2ln 1 xxy ⋅= + ; 3.8) 1ln2 += xey ; 3.9) xxy ln1ln ⋅+= ;

3.10) x

x

eeey ⋅=

2

; 3.11) xxy 224 ⋅= ; 3.12) )1(ln 5 += xey ;

44

3.13) 5)1ln( += xey ; 3.14) 2

2

)1ln(x

xy −= ; 3.15) 2

1

+

− −= x

x

exey ;

3.16) ( )xey 3log= ; 3.17) ( )2

2logx

xy = ; 3.18) )log(1 xy +=

4) Si xxf 33)( = ; encuentre )4(f ′

5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 332 −= xexy cuando x=1;

6) Cierta cantidad crece según la ley t

etCkt

=)( . Calcule la razón de cambio porcentual de C con

respecto a t.

Respuestas: 1.1)43

3−x

; 1.2) )1(ln2 +x ; 1.3) 3

2

216

xx

−− ; 1.4) )

53)14(3)53ln(8)(14(

+−++−

tttt ; 1.5)

)1()1ln()1(2

22

222

+++−

zzzzz

; 1.6) )1(ln)1(2)1ln()1(

222

222

++−++

zzzzz

; 1.7) )1(22 +xx ; 1.8)

188

3

−−

ss ; 1.9)

2/1

4

4

8

3

11ln

14

−

−+

−−

ss

ss ; 1.10) )14)(13(

124+−

−xx

x; 1.11) )1(

14−−

xxx

; 1.12) )13)(14(

827122

2

++++

xxxx

; 1.13)

1ln21

−xx 1.14)

xx

x

3ln44 + ; 1.15) ( ) xx )1(ln1

+ ; 1.16) ( )12ln)12(62 ++

−xx

;1.17) ( ) xx 2)12(ln3+

−;

2.1) 544 −xe ;2.2) xe 346 −− ; 2.3) xxex 32

432 −−

; 2.4)1; 2.5) xexx −− )2( ; 2.6) 2)1(2

+−+

−

−

x

xx

eee

; 2.7)

xexx 323 )1(3 −−+− ; 2.8) 3ln312 2 xx + ; 2.9)2

3)3ln(2 xx ; 2.10) )21(333ln32

xxx +⋅⋅⋅ ; 2.11)0;

2.12) )(4 42 xx ee + ;2.13) 822 )1(18 +xx ee 2.14) x

x

eey 2

2

12+

= ; 2.15) xe2214

+; 3.1) x

x

ee

2

2

12+

; 3.2) xe 22 −− ;

3.3) ( ) 22 )1ln()1()1)(1ln()1ln()1(

xxxxxx

+−−−+++

; 3.4) )1)(1(

2xx

xx

eeee

−

−

−+−+

; 3.5) -1: 3.6) x6 ; 3.7) 3ln2ln)24( 3 ⋅+ xx ;

3.8) 2ex; 3.9) )1(2)1ln()1(ln

++++

xxxxxx

; 3.10) 2/)1( 2)2/1( +−− xxex ; 3.11) 4ln4 ⋅⋅x ; 3.12) ( )

x

xx

eee

++

1)1ln(5

4

;

3.13) x

x

ee

+15 ; 3.16) elog3 ; 3.17)

10lnlog10ln42

3 ⋅⋅−

xx

; 3.18) xx log110ln21

+

4) 3ln437

; 5) 45 −= xy ; 6) 2)1(

tktekt −

PROBLEMAS DE CIENCIAS SOCIALES1) Un modelo de crecimiento de cierto país está dado por tetP 025.030)( = millones de habitantes a partir de 1999. a)¿A qué razón cambiará la población respecto al tiempo 2009? b) Calcule la razón porcentual con que cambiará la población t años después de 1999? Respuesta: a) 0.96 millones por año; b) 2.5%.2) Un modelo de crecimiento poblacional de cierto país está dado por trtP )1(25)( += millones de habitantes a partir de 1999. Encuentre la razón de cambio de P con respecto a t. Respuesta: )1ln()1(25 rr t ++

3) Una población crece de acuerdo al siguiente modelo logístico tetP 04.032

25)( −+=

45

Calcule la tasa de crecimiento de la población en el momento t. Respuesta: t

t

ee

04.0

04.0

23

−

−

+

PROBLEMAS DE ECONOMÍA

1) Sea )4ln(400

+=

qc el costo promedio de producir q unidades. a) Encuentre la función de costo

marginal. b) Calcule el costo marginal para q=30. c) Interprete sus resultados.

Respuesta: a)( )

( ) 2)4ln()4()4ln()4(400)(

++−++=′

qqqqqqC b) 48.5)30( ≈′C

2) Sea 12)1ln(25 2 ++= qC el costo total de producir q unidades de un producto. a) Encuentre la función de costo marginal. b) Encuentre el costo marginal para q=3; c) Interprete sus resultados.

Respuesta: a) 150)( 2 +

=′q

qqC ; b) 15)3( =′C

3) Suponga )2ln(25

+=

qp representa la ecuación de la demanda de un determinado producto. Determine

a) la función de ingreso marginal; b) la función ingreso marginal para q=2; c) Interprete sus resultados.

Respuestas: a)( )

( ) 2)2ln()2()2ln()2(25)(

++−++=

qqqqqqI ; b) 52.11)2( ≈′I

4) Sea q

eqcq 300/)2003(400)(

+

= el costo promedio de producir q unidades. Encuentre la función de costo

marginal y el costo marginal para q=98. Respuestas: 300/)2003(4 +qe ; 20.755) Sea qep 02.025 −= la ecuación de la demanda de un determinado artículo. Determine la función de ingreso marginal y la función ingreso marginal para q=98. Interprete sus resultados. Respuesta: I´(q)=25e-0.02q(1-0.02q); I´(98)=-24e-1.96=-3.386) (Precio marginal) La ecuación de demanda de cierto artículo es qep 02.025 −= . a) Determinar la función de precio marginal. b) Evalúe el precio marginal para un nivel de producción de 100 unidades. c) Interprete sus resultados (Recuerde que el precio marginal es dqdp ).Respuesta: a) –0.5e-0.02q

7) Una máquina se deprecia t años después de su compra a un valor dado por tetD 03.05000)( −= . Calcule la razón de cambio y la razón de cambio porcentual con respecto al tiempo. Respuesta: tetD 03.0150)( −−=

8) Sea IeIIS 2.05.03.0)( −−= la función de ahorro de cierto país. a) Encuentre la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando 5=I miles de millones. b) Interprete sus resultados.Respuesta =′ )5(S 0.337 9) Un capital de 6000UM se deposita en un banco a una tasa anual del 8% capitalizada continuamente. Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo? Respuesta: te 08.04810) Un capital de 5000UM se deposita en un banco a una tasa anual del 8% capitalizada anualmente. Calcule la razón de cambio y la tasa de cambio porcentual con respecto al tiempo?11) Por la venta de un artículo se obtiene una utilidad de 10U.M Se ha decidido hacer una campaña publicitaria a fin de aumentar las ventas. Si se invierte x UM se estima que se venderán )1(1000 kxe −− artículos donde k=0,001. Sea U la utilidad cuando se han invertido x U.M. en publicidad. a) Calcule

dxdU

. b) Evalúe esta derivada cuando se han invertido 1000 U.M. en publicidad. c) Ahora evalúe

cuando la inversión es de 3.000 U.M. d) Intérprete sus resultados.

46

VERDADERO O FALSO. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique.

1.1) ( ) La derivada se interpreta como la razón de cambio momentánea de y con respecto a x

1.2) ( ) ( )21´)2ln( = ; 1.3) ( ) |1|)( −= xxf no es derivable en 0

1.4) ( ) ( ))'(

'

xee

xee

x

x

x

x

−=

′

−

;

1.5) ( ) Si f es derivable en un punto entonces es continua en ese punto 1.6) ( ) Si f es continua entonces es derivable.; 1.7) ( ) 5/2)( xxf = es derivable en su dominio.

Para las siguientes afirmaciones suponga que f y g son diferenciables

1.8) ( ) )(3)(2))(3)(2( xgxfxgxf ′−′=′− ; 1.9) ( ) )()(´)

)(1ln(

xgxg

xg′

−=

1.10) ( ) )()())(( xfxxfxxf ′+=′ ; 1.11) ( ) ( ))(2

1)(xf

xf′

=′

1.12) La ecuación de la recta tangente a la curva 3xy = en el punto (2,8) es )2(38 2 −=− xxy1.13) El Ingreso de la unidad 51 es estimado por el ingreso marginal evaluado en 501.14) )20()21( UU − es la utilidad exacta por producir y vender la unidad 21.

Respuestas:1.1)Verdadera; 1.2) Falsa, la derivada vale cero porque es una constante;1.3)Falso, no es derivable en 1; 1.4) Falsa, se debe aplicar correctamente la regla del cociente; 1.5)Verdadera; 1.6)Falsa y= |x| es continua pero no derivable en 0; 1.7)Falso, no es derivable en 0; 1.8) Verdadera, se aplica la regla de la diferencia y luego la del factor constante; 1.9)Verdadera, se reescribe y se aplica la derivada ( )´))(ln( xg− , no hay que olvidar la derivada interna; 1.10) Verdadero, se aplica la regla del producto;

1.11) Falsa, hay que reescribir y aplicar la regla de la potencia generalizada, queda ( ))(2

)()(xf

xfxf′

=′

;

1.12) Falso, hay que evaluar la derivada en x =2, la pendiente es 12.1.13) Verdadera, )50(1

)50()51( III ′≈−

e )50()51( II − es el ingreso exacto de la unidad adicional a 50.1.14) Verdadera, )21(U es la utilidad por la producción y venta de las primeras 21 unidades si se le quita la utilidad de las primeras 20 se obtiene la utilidad de la unidad 21.

47

Métodos de Integración

I n d i c e

Introducción

Cambio de Variable

Integración por partes

Integrales de funciones trigonométricas

Sustitución Trigonométrica

Fracciones parciales

Introducción. En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad. estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien reducirla a una integral más sencilla.

Regresar al índice

El Método de Cambio de Variable. Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula. Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:

11

1−≠+

+=

+

∫ αα

αα sikxdxx

a partir de ésta podemos encontrar integrales como

kxdxx +=∫ 5

54 , kxkxkxdxx +=+=+

+=

+

∫ 3231

21

32

231

21

, etc.

Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar, ¿podemos afirmar que

kxdxx +−=−∫ 5)53()53(

54 ?

La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

45

)53(35

)53( −=

− xxdxd

lo correcto sería

kxdxx +−=−∫ 5)53()53(3

54

o bien

kxdxx +

−=−∫ 5)53(

31)53(

54

Análogamente ¿podemos afirmar que kxdxx +=∫ 5)(cos)(cos

54 ?

De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando

45

)(cos5

)(cos xsenxxdxd −=

lo correcto sería

kxdxxsenx +−=∫ 5)(cos)(cos

54

En el cálculo de estas dos integrales

kxdxx +−=−∫ 5)53()53(3

54 kxdxxsenx +−=∫ 5

)(cos)(cos5

4

como una variante de la fórmula

11

1−≠+

+=

+

∫ αα

αα sikxdxx

advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se calcule sustituyendo u(x) por x, en el integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)α, es decir

[ ] [ ] 11

)()(')(1

−≠++

=+

∫ αα

αα sikxudxxuxu

En general, si partimos de una integral conocida

kxgdxxf +=∫ )()(

y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua, obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE

[ ] [ ] kxugdxxuxuf +=∫ )()(')(

Podemos comprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho

[ ][ ] [ ] [ ] )(')()(')(')( xuxufxuxugkxugdxd ==+

este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f. Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de variable nos quedaría como:

kugduuf +=∫ )()(

En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos de reducir el grado de dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u', su derivada. Ejemplo 1. Encuentre dxx∫ − 4)53(

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a duu∫ 4 ,

lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5 u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du Sustituyendo en la integral,

cxcucuduuduudxx +−=+=+===− ∫∫∫ 15)53(

15)

5(

31

313/)53(

555444

coincidiendo con el resultado anterior.

Ejemplo 2. Encuentre dxsenxx∫ 4cos

Solución. En este caso podemos observar que esta integral "se parece" a duu∫ 4 , lo cual

nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx

u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ senx dx = -du Sustituyendo en la integral,

cxcuduuduudxsenxx +−=+−=−=−= ∫∫∫ 5cos)

5())(()()(cos

55444

coincidiendo con el resultado anterior.

Ejemplo 3. Encuentre dxxx

∫− 4)5ln3(

Solución. Advertimos la presencia de la función lnx y su derivada 1/x, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable:

u = lnx ⇒ du = dx/x

Sustituyendo en la integral,

dxxx

∫− 4)5ln3( = ∫ − duu 4)53(

A su vez esta integral tendría que resolverse por cambio de variable, tomando w = 3u-5, como se hizo en el ejemplo 1, obteniendo:

cxcuduudxxx +−=+−=−=−

∫∫ 15)5ln3(

15)53()53()5ln3( 55

44

Sin embargo para evitar tomar dos o más cambios de variable, debemos percatarnos de que lo importante es que aparece la expresión 1/x que es la derivada de lnx, que también lo es de (3lnx-5), salvo constantes. Más precisamente, podemos tomar el cambio de variable:

u = 3lnx-5 ⇒ du = 3dx/x, ò bien dx/x = du/3, y al sustituir en la integral original:

cxcuduudxxx +−=+==−

∫∫ 15)5ln3(

531

31)5ln3( 55

44

Observación: De lo anterior podemos concluir que el cambio de variable procede cuando en el integrando aparece una función u y su derivada multiplicada por una constante. Además que la integral de la variable u sea posible resolverla. Ejemplo 4. Encuentre dxxx∫ − 76 23

Solución. En este caso aparece la función u = 2-x7 y su derivada (-7x6) multiplicada por la constante (-3/7), precisando:

u = 2-x7 ⇒ du = -7x6 dx Como en la integral tenemos que sustituir 3x6 dx,

du = -7x6 dx ⇒ dudxxdudxx733

71 66 −=⇒

−=

cxcucuduudxxx +−−=+−=+−=−=− ∫∫ 2/372/32/3

76 )2(72

72)

2/3(

73

7323 ,

así pues

cxdxxx +−−=−∫ 3776 )2(7223 ,

Nótese que una vez identificado el cambio de variable u, vemos que la integral por resolver

es ∫ duu , es decir, resolver nuestra integral dxxx∫ − 76 23 se reduce a resolver

∫ duu mediante el citado cambio de variable ó en otras palabras nuestra integral de la

variable x es similar a ∫ duu

Existen otras situaciones en que el cambio de variable no es tan evidente en términos de la función u y su derivada, por lo cual tenemos que echar la vista adelante y ver a que función fácil de integrar es similar nuestra función.

Ejemplo 5. Encuentre dxx

x∫ + 6

2

1

Solución. En una primera vista no advertimos la presencia de una función u y su derivada, ya que la derivada de 1 + x6 = 6x5 y en el integrando no aparece x5 sino x2. No debemos

perder de vista que al hacer un cambio de variable es por que nuestra integral es similar ó se puede reducir a otra fácil de resolver. Si pensamos que x2 dx será el nuevo diferencial, entonces u tendría que ser x3, es decir

u = x3 ⇒ du = 3x2 dx

como se ve al expresar la integral de la siguiente manera:

cxcuu

dudxx

x +=+=+

=+ ∫∫ )arctan(

31arctan

31

131

)(13

223

2

Ejemplo 6. Encuentre dxx

x∫ − 8

3

91

Solución. En analogía al ejemplo anterior, podemos decir que esta integral se reduce a

duu

du∫ − 21

, ya que si tomamos el cambio de variable u2 =9x8, ó equivalentemente

u = 3x4 ⇒ du = 12x3 dx, es decir x3 dx = (1/12)du, y sustituyendo:

cxarcsencuarcsenu

dudxx

x +=+=−

=− ∫∫ )3(

121)(

121

1121

914

28

3

Podemos utilizar el método de cambio de variable para encontrar las integrales de algunas funciones conocidas

Ejemplo 7. Encuentre dxx∫ tan

Solución. dxx

senxdxx ∫∫ =cos

tan

u = cosx ⇒ du = -senx

cxcuududx

xsenx +−=+−=−= ∫∫ )ln(coslncos

Como -ln(cosx) = ln1 - ln(cosx) = ln(1/cosx) = ln(secx) Podemos expresar

∫ += Cxdxx seclntan

Análogamente

∫ += Csenxdxx lncot

Ejemplo 8. Encuentre ∫ + 29 xdx

Solución. Debemos poder reducir esta integral a ∫ + 21 udu mediante un cambio de variable,

por la similitud de las expresiones. Primeramente vemos que en el denominador la variable al cuadrado esta sumada a 1, lo cual nos sugiere factorizar el 9 para tener algo similar, es decir:

∫ ∫∫ +=

+=

+ 222 )3/(191

9/191

9 xdx

xdx

xdx

y esto nos sugiere tomar el cambio de variable

u = x/3 ⇒ du =dx/3

cxcuu

duxdx

xdx +=+=

+=

+=

+ ∫∫∫ )3/arctan(31arctan

31

1)

93(

)3/(191

49 222

En general podemos deducir la fórmula que engloba todo este tipo de integrales.

Ejemplo 9. Encuentre ∫ + 22 xadx

Solución. En analogía al problema anterior:

∫∫+

=+ 2

2

222)1(1

1

xa

dxaxa

dx

y tomando el cambio de variable u =(1/a)x y por lo tanto du =(1/a)dx

cax

acu

audu

aa

xa

dxaxa

dx +

=+=+

=+

=+ ∫∫∫ arctan1arctan1

1)1(1

1222

2

222

es decir:

cax

axadx +

=+∫ arctan1

22 ---------- (I)

a reserva de probarlo más adelante, aceptaremos la siguiente fórmula:

cxaxa

axadx +

−+=

−∫ ln21

22 --------- (II)

y probaremos lo siguiente:

Las integrales de la forma ∫ ++ cbxaxdx

2 , con a ≠≠≠≠ 0, se reducen a las fórmulas (I) ó

(II) mediante cambio de variable. El procedimiento consistirá en completar trinomio cuadrado perfecto y tomar el cambio de variable adecuado.

Ejemplo 10. Encuentre ∫ ++ 10122 2 xxdx

Solución. Completemos el trinomio cuadrado perfecto.

10122 2 ++ xx = 2[x2 + 6x + 5] = 2[x2 + 6x + 9-9 +5] = 2[(x2 + 6x + 9) - 4] =2[(x+3)2 - 4] sustituimos en la integral e identificamos con la fórmula (II)

cxx

xdx

xdx

xxdx +

+−++

−=+−

−=−+

=++ ∫∫∫ )3(2

)3(2ln41

21

)3(421

4)3(21

10122 222

es decir

cx

xxx

dx +−−

+

−=++∫ 1

5ln81

10122 2

Obsérvese que no importa cual sea el trinomio cuadrado, al completarlo nuestra integral siempre se reducirá a una de las dos fórmulas. Una vez visto lo anterior, veremos un procedimiento que nos permitirá calcular integrales de la forma

dxcbxax

BAx∫ ++

+2

)( con a ≠ 0

Ejemplo 11. Encuentre ∫ +++

243)35(

2 xxdxx

Solución. Por supuesto que el tipo más sencillo de este tipo de integrales es cuando en el numerador aparece la derivada del término cuadrático del denominador.

cxxxx

dxx +++=++

+∫ 243ln

243)46( 2

2

Partiremos de esta función y modificaremos el numerador para obtener una expresión fácil de integrar

=++

−+=

++

−++=

+++

∫∫∫ dxxx

xdx

xxx

dxxx

x243

)46(243

3)46(243

)35(2

31

65

2620

65

2

∫∫ ++−

+++=

24331

243)46(

2265

xxdxdx

xxx

La primera de las integrales ya está resuelta y la segunda se resuelve con el procedimiento descrito en el ejemplo anterior.

3x2+4x+2 = 3[x2 + 4/3x + 2/3] = 3[(x2 + 4/3x + 4/9) + 2/3-4/9] = 3[(x +2/3)2 + 2/9]

cx

xdx

xxdx +

+

=++

=++ ∫∫ 2

)(3arctan

23

31

)(31

24332

922

322

En consecuencia :

cxxxxxdxx +

+−++=++

+∫ 23

23arctan23

1243ln65

243)35( 2

2

Regresar al índice El método de Integración por partes Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula de integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.

[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

integrando en ambos lados

[ ] dxdxdx ∫∫∫ += (x)x)g'(f (x)g(x)'f f(x)g(x) '

obtenemos:

dxdxxgxf ∫∫ += (x)x)g'(f (x)g(x)'f)()(

y despejando la segunda integral:

dxxgxfdx ∫∫ += x)g(x)(' f)()( (x)(x)g'f

obtenemos finalmente la FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES. A continuación veremos en algunos ejemplos como utilizar esta fórmula.

Ejemplo 1. Encuentre ∫ dx)xcos(x

Solución. Con el fin de utilizar la fórmula anterior, tomaremos f(x) = x y g'(x) = cos(x), es decir el integrando xcos(x) = f(x) g'(x) f(x) = x g '(x) = cos(x) f '(x) = 1 g(x) = sen(x)

cxxxsendxxsenxxsendxxx ++−=−= ∫∫ )cos()()()()cos(

Observe que también hubiéramos podido hacer la siguiente elección de f y g': f(x) = cos(x) g '(x) = x f '(x) = -sen(x) g(x) = x2/2 sólo que la función por integrar en el lado derecho tiene un mayor grado de dificultad para resolverse que la original.

∫∫ −−= dxxsenxxxdxxx )(2

)cos(2

)cos(22

NOTACIÓN. Con el fin de ser congruentes con la notación utilizada en la mayoría de los libros del mercado, le llamaremos u = f(x) y v = g(x) y en consecuencia du = f '(x)dx así como du = g '(x)dx. Con esta nueva notación resolveremos los siguientes ejercicios.

Ejemplo 2. Encuentre ∫ dxxex

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro u = x v = ex du = dx dv = ex dx obsérvese que con esta notación, en vez de tomar g' (x) = ex , tomamos su diferencial dv = ekdx y análogamente con f, permitiendo que una parte del integrando sea u y el resto sea dv.

cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ∫∫

En estos primeros dos ejemplos, una adecuada elección de u y dv nos lleva en un solo paso a resolver nuestra integral reduciéndola a una integral más fácil de resolver. Existen otras situaciones, como se verá en los siguientes ejemplos, en que si bien la integral del lado derecho tiene un menor grado de dificultad, no es una integral inmediata, requiere de un nuevo proceso de integración por partes ó resolverla por cambio de variable, ó algún otro procedimiento.

Ejemplo 3. Encuentre ∫ dxex x2

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro u = x2 v = ex du = 2xdx dv = ex dx

∫∫ −= dxxeexdxex xxx 222

la integral del lado derecho se resuelve por partes (Ejemplo 2), obteniendo:

cexeexdxex xxxx +−−=∫ )(222

Observación: La elección u = ex, dv = x2dx nos lleva a una integral con un mayor grado de dificultad.

Ejemplo 4. Encuentre ∫ dxxarctan

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro u = arctanx v = x

du = 21 xdx+

dv = dx

∫∫ +−= dx

xxxxdxx 21

arctanarctan

En este caso, la integral del lado derecho se resuelve por un cambio de variable, obteniendo:

cxdxxxdx

xx ++=

+=

+ ∫∫ )1ln(21

12

21

12

22

y en consecuencia:

cxxxdxx ++−=∫ )1ln(21arctanarctan 2

Ejemplo 5. Encuentre ∫ dx)x(sen2

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro u = senx v = -cosx du =cos dx dv = senx dx

dxxxsenxdxxxsenxdxxsen )(coscos)(coscos)( 222 ∫∫∫ +−=−−−=

La integral del lado derecho, al parecer tiene el mismo grado de dificultad que la integral original, incluso es de la misma naturaleza que la original, lo que nos sugiere utilizar de nuevo el método de integración por partes u = cosx v = senx du =-sen dx dv = cos dx

dxxsenxsenxdxxsenxsenxdxx )(cos)(cos)(cos 222 ∫∫∫ +=−−−=

que al sustituirse nos da:

dxxsenxsenxxsenxdxxxsenxdxxsen )(coscos)(coscos)( 222 ∫∫∫ ++−=+−=

obteniendo la identidad

dxxsenxsenxxsenxdxxsen )(coscos)( 22 ∫∫ ++−=

en la que si dejamos en el lado izquierdo las integrales, obtenemos 0 = 0, que no nos ayuda a encontrar el valor de nuestra integral. La alternativa en este caso es utilizar la identidad trigonométrica sen2x + cos2x =1 inmediatamente después de la primera integración por partes.

∫∫∫ −+−=+−= dxxsenxsenxdxxxsenxdxxsen )1(cos)(coscos)( 222

∫∫ −+−= dxxsenxxsenxdxxsen )(cos)( 22 .

Si bien nos vuelve a aparecer la misma integral, esta vez aparece con distinto signo, lo que nos permite despejarla, es decir si dejamos del lado izquierdo las integrales, obtendremos:

xxsenxdxxsen +−=∫ cos)(2 2 .

O bien

cxsenxxdxxsen +−=∫ 2cos)(2 .

Ejemplo 6. Encuentre ∫ dxxsenex )(

Solución. Utilizaremos el siguiente cuadro u = ex v = -cosx du = ex dx dv = senx dx

∫∫ +−= xexedxxsene xxx coscos)(

De nuevo como en el ejemplo anterior, la integral del lado derecho es de la misma naturaleza y del mismo grado de dificultad, por lo que podríamos intentar utilizar de nuevo el método de integración por partes. u = ex v = senx du = ex dx dv = cosx dx

∫∫ −= dxsenxesenxedxxe xxx cos

Sustituyendo, obtenemos:

∫∫∫ −−=+−= senxexesenxexexedxsenxe xxxxxx coscoscos

∫∫ −−= senxexesenxedxsenxe xxxx cos

de donde podemos despeja a la integral

xesenxedxsenxe xxx cos2 −=∫

y en consecuencia

cxesenxedxsenxexx

x +−=∫ 2cos

A continuación abordaremos unos ejemplos en que, debido a la gran cantidad de posibilidades debe tenerse un criterio preciso para decidir sobre la elección de u y dv.

Ejemplo 7. Encuentre ∫ dxex x23

Solución. En este tipo de funciones a integrar, hay muchas maneras de expresar al integrando como un producto: u = x3, dv = dxex 2

; u = x2, dv = x dxex 2

; u = x, dv = x2 dxex 2

; u = 1, dv = x3 dxex 2

;

u = x3 dxex 2

, dv = dx, etc. ¿Cuál de estas opciones elegir? Lo primero que debemos hacer es asegurarnos que en nuestra elección, dv sea una función fácil de integrar. Si examinamos con detalle las opciones, sólo la opción u = x2, dv = x

2xe dx cumple con esto ya que dv es fácil integrar por un simple cambio de variable:

cedxxedxxev xxx +=== ∫∫222

212

21

Así pues el cuadro para la integración por partes será:

u = x2 v = 2

21 xe

du = 2x dx dv = dxxex 2

ceexdxexexdxex xxxxx +−=−= ∫∫22222

21

21

21 223

Ejemplo 8. Encuentre ∫ − dxxx 59 36

Solución. Con un criterio similar al del caso anterior, tomamos la siguiente elección:

u = x5 v = 23

5 )36(45

2 x−−

du = 5x4 dx dv = dxxx 54 36 −

donde 23

521

5454 )36(32

151)36(15

15136 xdxxxdxxxdvv −

−=−−−=−== ∫∫∫

dxxxxxdxxx 23

5423

55

59 )36(4510)36(

45236 −+−−=− ∫∫

= dxxxxx 23

5423

55

)36(1515

14510)36(

452 −−

−

+−−∫

= 25

523

55

)36(52

1352)36(

452 xxx −

−−− + c

Así pues:

cxxxdxxx +−

−−−=−∫5535

559 )36(

6754)36(

45236

Regresar al índice

Integrales de funciones trigonométricas A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica. I. Potencias de senos y cosenos dxxdxxsen nn ∫∫ cos

Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:

a) Si n es impar, es decir n = 2k +1, factorizamos el integrando, por ejemplo

senn x dx = sen2k+1 x dx = (sen2 x)k senx dx

Utilizamos la identidad sen2x + cos2x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx. De manera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable u= senx.

b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo

senn x = sen2k x = (sen2 x)k

ó en el caso del coseno

cosn x = cos2k x = (cos2 x)k

y utilizamos las identidades trigonométricas:

2)2cos(1cos

2)2cos(1 22 xxóxxsen +=−=

Ejemplo 1. Resolver dxxsen∫ 3

Solución:

dxsenx)xcos1(dxsenxxsendxxsen 223 ∫∫∫ −==

sea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integral obtenemos:

cxxcuuduudxsenxxdxxsen +−=+−=−−=−= ∫∫∫ cos3

cos3

)1()cos1(33

223

Ejemplo 2. Resolver dxx∫ 5cos

Solución:

dxxxsendxxxdxx cos)1(cos)(coscos2

22

25 ∫∫∫ −==

sea u = senx, entonces du = cosx, y al sustituir en la integral obtenemos:

cxsenxsensenxcuuuduuuduudxx ++−=++−=+−=−= ∫∫∫ 532

532)21()1(cos

535342

225

Ejemplo 3. Resolver ∫ dxxsen4

Solución:

∫∫∫∫ +−=−== dxxxdxxdxxsendxxsen ))2(cos)2cos(21(41)

2)2cos(1()( 2

2224

= ∫ ∫∫ +− dxxdxxdx )2(cos41)2cos(

21

41 2

II. Productos de potencias de senos y cosenos dxxxsen nm cos∫ .

a) Si m y n son pares, utilizaremos las identidades:

22cos1cos

22cos1 22 xxyxxsen +=−=

b) Si m ó n es impar, utilizaremos la identidad sen2x + cos2x = 1

II. Productos de potencias de tangentes y secantes dxxx nm sectan∫ .

a) Si n es par, utilizamos la identidad: sec2x = 1 + tan2x.

b) Si m es impar, utilizamos la identidad: tan2x = sec2x- 1.

c) Si n es impar y m par usamos algún otro método como por ejemplo integración

por partes.

Regresar al índice El Método de Sustitución Trigonométrica Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

carcsenxdxx

+=−∫ 21

1

la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método. Observe que si tomamos el cambio de variable

x = senθ donde -π/2 < θ < π/2 pues -1 < x < 1

y en consecuencia dx = cosθ dθ y

θθθθ coscoscos11 222 ===−=− senx pues cosθ > 0 en el intervalo -π/2<θ<π/2 Sustituyendo x en términos de θ, obtenemos una integral en la variable θ, la cual resolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x.

carcsenxcdddxx

+=+===− ∫∫∫ θθθθ

θcos

cos1

11

2

Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolver una integral trigonométrica, como las que se resolvieron en la sección anterior. Primer caso. Si en el integrando aparece un radical de la forma 22 xa − tomamos el cambio de variable

x = a senθ, con a > 0. Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo (-a, a) se corresponde con la variación de θ en el intervalo (-π/2 , π/2) En este primer caso la expresión del radical en términos de θ será:

θθθθθ coscoscos)1( 22222222 aaasenasenaaxa ===−=−=−

esta última igualdad pues cosθ > 0 en el intervalo (-π/2 , π/2) También del cambio de variable obtenemos el valor de

θ = arcsenx,

pues la función inversa de f(x) = senx se encuentra definida precisamente en el intervalo (-a,a) y con valores en (-π/2, π/2). Ejemplo 1. Encuentre el área del círculo de radio 2. Solución. La ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro en le origen es:

x2 + y2 = 4 cuya gráfica es: Evidentemente esta gráfica no corresponde a una función, pero podemos restringirnos al intervalo [0, 2], calcular el área bajo la grafica y multiplicarla por 4 para obtener el área deseada.

2 -2

La función de la figura la obtenemos despejando a y en términos de x, en la ecuación de la circunferencia:

24 xy −=

Así pues el área buscada será:

dxxA ∫ −=2

0

244

Primeramente encontraremos dxx∫ − 24

En esta integral, tomamos el cambio de variable trigonométrico

x = 2senθ por lo cual dx = 2cosθ dθ y θcos24 2 =− x .

sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando, obtenemos:

csendddxx ++===− ∫∫∫ )cos(24cos4)cos2)(cos2(4 22 θθθθθθθθ

Del cambio de variable x = 2senθ obtenemos que senθ = x/2, es decir, θ = arcsen(x/2). Asimismo del cambio de variable, podemos construir el triángulo:

x θ

2

2

4 x−

En este caso particular senθ = x/2 y cosθ = 2

4 2x− .

Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ, la expresamos en términos de la variable original, x.

cxxarcsencsendxx +−+=++=−∫ )4

4(2)cos(244

22 θθθθ

cxxarcsendxx +−+=−∫ 2424

22 θ

Calculemos ahora la integral definida

ππ ===−+−−+=−∫ )2/(2122

040)0(22

242)1(24222

0

2 arcsenarcsenarcsendxx

y finalmente el área será:

π4442

0

2 =−= ∫ dxxA

Ejemplo 2. Encuentre ∫ − 29 xxdx

Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:

x = 3senθ por lo cual dx = 3cosθ dθ y θcos39 2 =− x .

sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando, obtenemos:

cddsen

dsenxx

dx +−====− ∫∫∫∫ θθθθθ

θθ

θθθ cotcscln

31csc

311

31

)cos3)(3(cos3

9 2

Del cambio de variable x = 3senθ obtenemos que senθ = x/3, y , podemos construir el triángulo: θ

x 3

2x9 −

A partir del cual podemos encontrar cualquier función trigonométrica de θ.

En este caso particular cscθ = 3/x y cotθ = 3

x9 2− .

Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ, la expresamos en términos de la variable original, x.

cx

xx

cxx

dx +−−=+−=−∫

2

2

93ln31cotcscln

31

9θθ

cx

xxxx

dx +−−=−∫

2

2

93ln31

9

Ejemplo 3. Encuentre ∫ − 216 xdxx

Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:

x = 4senθ por lo cual dx = 4cosθ dθ y θcos416 2 =− x .

sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando, obtenemos:

cdsendsenx

dxx +−===− ∫∫∫ θθθθ

θθθ cos44

)cos4()cos4)(4(

16 2

Del cambio de variable x = 4senθ obtenemos que senθ = x/4, y , podemos construir el triángulo:

θ

x 4

2

x16 −

Y a partir de él calcular cosθ = 4

16 2x− .

Así pues la integral resuelta en términos de la variable θ , la expresamos en términos de la variable original, x.

cxcxcx

dxx +−=+

−−=+−=−∫ 4

164

164cos416

22

2θ

Observación: Esta integral puede resolverse también con un sencillo cambio de variable algebraico u = 16 - x2. Compruebe este resultado como ejercicio.

Ejemplo 4. Encuentre ∫ − 2

3

94 xdxx

Solución. Nótese que para verlo como una integral del primer caso, debemos hacer un cambio de variable ó sencillamente factorizar el 9 en el radical:

222 9/43)9/4(994 xxx −=−=− .

A continuación tomamos el cambio de variable:

θsenx32= por lo cual θθ ddx cos

32= y θcos

329/4 2 =− x .

sustituyendo en la integral original, obtenemos:

cdsendsen

xdxx +

−===− ∫∫∫ θθθθθ

θ

θθcoscos

31

818

818

)cos32(

)cos32()

32(

31

9433

3

2

3

Del cambio de variable θsenx32= , obtenemos que senθ =

23x , y podemos construir el

triángulo:

θ

3x 2

2x94 −

Y a partir de él, calcular cosθ = 294 2x− .

Finalmente:

cxxcx

dxx +

−−

−=+

−=−∫ 2

94818

294

2438coscos

31

818

94

23

23

2

3θθ

Segundo caso. Si en el integrando aparece un radical de la forma 22 xa + tomamos el cambio de variable

x = a tanθ, con a > 0. En este tipo de radicales la variación de x es en toda la recta real, razón por la cual se toma a la tangente, la cual varía tiene esta misma variación en el intervalo (-π/2 , π/2) En este segundo caso la expresión del radical en términos de θ será:

θθθθθ secsecsec)tan1( tan 22222222 aaaaaaxa ===+=+=+

y al igual que en el caso anterior como cosθ > 0 en el intervalo (-π/2 , π/2), también lo será secθ. También del cambio de variable obtenemos el valor de

θ = arctanx.

Pues la inversa de la función f(x) = tanx se encuentra definida en todos los reales y con valores en (-π/2 , π/2)

Ejemplo 5. Encuentre dxx∫ + 22

Solución. Tomamos el cambio de variable:

θtan2=x por lo cual θθ ddx 2sec2= y θsec22 2 =+ x . sustituyendo en la integral original, obtenemos:

cdddxx +++===+ ∫∫∫ θθθθθθθθθ tanseclntan(sec2sec2)sec2)(sec2(2 322

Del cambio de variable θtan2=x , obtenemos que tanθ = 2

x , y podemos construir el

triángulo:

Y a partir de él calcular secθ = 2

2 2x+

obtenemos:

dxx ++==+∫ seclntan(sec22 2 θθθ

En general el método de sustitución trigolas formas señaladas en los casos, lo cualpotencia 1). En el siguiente ejemplo calcelevado al cubo.

Ejemplo 6. Encuentre ∫ + 32 )1( xdx

Solución. Tomamos el cambio de variab

θtan=x por lo cual dx 2sec=sustituyendo en la integral original, obten

xdx =+ ∫∫ se

sec)1(

2

32

Del cambio de variable θtan=x , podem

θ

x

2

2x2 +

x1+

y 2

tan x=θ , que al sustituir en la integral

cxxxxc +

+++

+=+22ln2

222)tan

22θ

nométrica se utiliza cuando aparece un radical de no significa que debe aparecer solo (elevado a la ularemos una integral en la que el radical aparece

le:

θθ d y ( ) ( ) θ33232 sec11 =+=+ xx . emos:

csendd +== ∫ θθθθ

θθ cosc3

os construir el triángulo:

x 2

a partir del cual calculamos senθ = 21 x

x+

.

cx

xcsenx

dx ++

=+=+∫ 232 1)1(

θ

A continuación encontraremos la integral de una función en la que no aparece explícitamente el radical. Ejemplo 7. Encuentre ∫ −+ dxx 22 )1(

Solución. Obsérvese que el integrando lo podemos expresar como

( )422222

1

1)1(

1)1(xx

x+

=+

=+ −

Tomamos el cambio de variable:

θtan=x por lo cual θθ ddx 2sec= y ( ) θ442 sec1 =+ x .

sustituyendo en la integral original, obtenemos:

c)cossen(21dcos

secdsec

)x1(

dxdx)x1( 24

2

4222 +θθ+θ=θθ=

θθθ=

+=+ ∫∫∫∫ −

Del cambio de variable θtan=x , construimos el triángulo:

a partir del cual calculamos senθ

Obteniendo finalmente:

θ 1

x 2

= 21 x

x+

y cosθ = 21

1x+

.

θ

x1+

1

cx

xxcsendxx ++

+=++=+∫− )

1(arctan

21)cos(

21)1( 2

22 θθθ

Tercer caso. Si en el integrando aparece un radical de la forma 22 ax − tomamos el cambio de variable x = a secθ, con a > 0. En este tipo de radicales la variación de x es en (-∞, -a)∪ (a, ∞), razón por la cual se toma x = asecθ, la cual tiene esta misma variación en (0, π/2) ∪ ( π/2, π), justamente donde la función secante tiene inversa. En este tercer caso la expresión del radical en términos de θ será:

θθθθ tantan)1(sec sec 22222222 aaaaaax ==−=−=− solamente que en este dominio, la tangente toma valores positivos y negativos, por lo que no podemos quitar impunemente el valor absoluto. Para resolver este conflicto, asociaremos las variaciones de x y de θ, de la siguiente manera:

x > k ⇔ 0 < θ < π/2

x < -a ⇔ π < θ < 3π/2

siendo la función tangente, positiva en estos intervalos para poder tomar

θtan22 aax =−

tomaremos el valor de θ de la siguiente manera:

axsiaxarc >

= secθ

axsiaxarc −<

−= sec2πθ

Como ejercicio, encuentre ∫ − 92xdx .

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El Método de las Fracciones Parciales Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios) A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:

. ∫ −++ .

232

dxx

xx

Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios: Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

x2 + x + 3 = (x - 2 ) ( x + 3 ) + 9

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar, dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):

x - 2 x2 + x + 3

x + 3

-x2 + 2x 3x + 3

-3x + 6 9

29)3(

232

−++=

−++

xx

xxx

descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones "sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

cxxxdxx

dxxdxx

xx +−++=−

++=−

++∫ ∫∫ 2ln93

229)3(

23 22

En general si queremos integrar un cociente de polinomios )()(

xQxP en el que el grado de P(x)

es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división Donde r(x) = 0 ó grad r(x) < grad Q(x)

P(x) = Q(x) q(x) + r(x)

Dividiendo entre Q(x), obtenemos:

)()()(

)()(

xQxrxq

xQxP +=

en donde la integral buscada,

)()()()()(

)()( xQgrxrgrcondx

xQxrdxxqdx

xQxP <+=∫ ∫ ∫

se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en la cual el numerados tiene grado menos que el denominador. A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar. Primer caso.

P(x)Q(x)

q(x)

r(x)

[Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas] Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:

Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),

hacemos la siguiente descomposición:

n

n

axA

axA

axA

axA

xQxP

−++

−+

−+

−= ...

)()(

3

3

2

2

1

1

donde A1, A2, A3,... An son constantes reales. Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:

caxdxax

Ak

k

k +−=−∫ ln

y por lo tanto:

dxax

Adx

axA

dxax

Adxax

AdxxQxP

n

n∫∫∫∫∫ −++

−+

−+

−= ...

)()(

3

3

2

2

1

1

caxaxaxaxdxxQxP

n +−++−+−+−=∫ ln...lnlnln)()(

321

Ejemplo 1. Calcular ∫ −162xdx

Solución: En este ejemplo Q(x) = x2 -16 = (x-4) (x+4). La descomposición en fracciones parciales sería:

44161

2 −+

+=

− xB

xA

x,

en la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral. Procederemos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho:

)4)(4()44()(

)4)(4(44

)4)(4()4()4(

161

2 −+−++=

−+++−=

−+++−=

− xxABBAx

xxBBxAAx

xxxBxA

x,

Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismo denominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir:

1 = x(A+B) + (4B-4A)

o bien

0x +1 = x(A+B) + (4B-4A)

de donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

A+B = 0

4B -4A = 1 que resolviéndolo nos queda

4A+4B = 0

4B -4A = 1

8B = 1

por lo que B = 1/8, y sustituyendo en la primera ecuación, A = -B = -1/8. Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposición inicial, obteniendo:

48/1

48/1

44161

2 −−

+=

−+

+=

− xxxB

xA

x,

quedando finalmente la integración:

cxxdxx

dxxx

dx +−−+=−

−+

=−∫ ∫∫ 4ln

814ln

81

48/1

48/1

162

o bien , utilizando las propiedades de los logaritmos:

cxx

xdx +

−+=

−∫ 44ln

81

162

Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostración en el método de cambio de variable

cuaua

auadu +

+−=

−∫ ln21

22

la cual puede ahora probarse con el método de fracciones parciales como un ejercicio.

Ejemplo 2. Calcular dxxx

x∫ −−

+152

22

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x2 -2x - 15 = (x-5) (x+3). La descomposición en fracciones parciales sería:

351522

2 ++

−=

−−+

xB

xA

xxx ,

y siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior

)3)(5()53()(

)3)(5()5()3(

351522

2 +−−++=

+−−++=

++

−=

−−+

xxBABAx

xxxBxA

xB

xA

xxx ,

igualando coeficientes, obtenemos el sistema:

A + B = 1

3A -5B = 2

que al resolverlo nos da:

5A + 5B = 5

3A -5B = 2

8A = 7

obteniendo el valor de A = 7/8. Para encontrar B, la despejamos en la primera ecuación

B = 1 - A = 1 - 7/8 = 1/8

Así pues, la descomposición en fracciones parciales es:

38/1

58/7

1522

2 ++

−=

−−+

xxxxx ,

y nuestra integral:

cxxdxx

dxx

dxxx

x +++−=+

+−

=−−

+∫ ∫∫ 3ln

815ln

87

38/1

58/7

1522

2

Observación: En cada uno de los casos de este método se afirma que se puede dar una descomposición en fracciones parciales, lo cual es un resultado del álgebra y que por lo tanto debería probarse algebraicamente, ya que podría surgir la duda de que en una de estas descomposiciones se produjera un sistema de ecuaciones sin solución. No daremos aquí la demostración pero veremos que por lo menos en el primer caso siempre será posible encontrar las constantes, es decir los sistemas resultantes si tendrán solución. Otro método para determinar las constantes: Tratemos de "despejar" la constante A de la descomposición deseada: Multiplicamos en ambos lados de la ecuación por (x-5)

35)3)(5(2

++

−=

+−+

xB

xA

xxx

obteniendo:

3)5(

32

+−+=

++

xxBA

xx

despejamos a la constante A

3)5(

32

+−−

++=

xxB

xxA

evaluamos en x = 5 y obtenemos

A =7/8

Obsérvese que estos pasos para determinar A se pueden comprimir en uno solo: Determinando las constantes por otro método: De la expresión a descomponer en fracciones parciales, se elimina del denominador el factor lineal correspondiente a esta constante y finalmente se evalúa en el punto donde este factor eliminado se anula.

Es decir 32

++=

xxA evaluado en x = 5 , resultando A = 7/8.

Similarmente para obtener el valor de B, multiplicamos en ambos lados de la ecuación original por (x+3), despejamos B y evaluamos en x = -3, obteniendo:

52

−+=

xxB evaluado en x = -3

B = 1/8.

Ejemplo 3. Calcular dxxxx

xx∫ +−

+−86132

23

2

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -6x2 + 8x = x(x-4)(x-2). La descomposición en fracciones parciales sería:

24)2)(4(132 2

−+

−+=

−−+−

xC

xB

xA

xxxxx ,

siendo los valores de las constantes:

)2)(4(132 2

−−+−=

xxxxA evaluado en x = 0 ⇒ A = 1/8

)2(132 2

−+−=

xxxxB evaluado en x = 4 ⇒ B = 21/8

)4(132 2

−+−=

xxxxC evaluado en x = 2 ⇒ C = -3/4

Así pues

∫∫∫∫ −−

−+=

+−+−

243

4821

81

86132

23

2

xdx

xdx

xdxdx

xxxxx

es decir:

cxxxdxxxx

xx +−−−+=+−+−

∫ 2ln434ln

821ln

81

86132

23

2

Segundo caso.

[Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas] Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir:

nmn

mmm axaxaxaxxQ )...()()()()( 321321 −−−−=

Por cada factor lineal aparecerán tantas fracciones parciales como multiplicidad tenga este factor, por ejemplo para el factor (x-ak)mk habrá mk fracciones parciales:

k

k

mk

m

kk ax

A

axA

axA

)(...

)()( 221

−++

−+

−

donde A1, A2, A3,... Amk son constantes reales. De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

∫ − naxdx

)(

las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.

Ejemplo 4. Calcular dxxxx

x∫ +−

+44

8323

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 -4x2 + 4x = x(x - 2)2. La descomposición en fracciones parciales sería:

( )22 22)2(83

−+

−+=

−+

xC

xB

xA

xxx

Al desarrollar e igualar los polinomios del numerador, como en los ejemplos anteriores, obtendremos las constantes de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Si observamos con detalle la igualdad anterior nos daremos cuenta que la constante B no puede determinarse por el método "corto", pero sí las otras dos, es decir del sistema de tres por tres ya habremos determinado dos de las incógnitas y de cualquiera de las ecuaciones en que aparezca B la despejamos.

2)2(83

−+=

xxA evaluado en x = 0 nos da A = 2

xxC 83 += evaluado en x = 2 nos da C = 7

Efectuando las operaciones y factorizando x2 y x, tenemos:

( ) 2

2

22 )2(4)24()(...

22)2(83

−++−−++==

−+

−+=

−+

xxACBAxBAx

xC

xB

xA

xxx

igualando los coeficientes de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

A+B = 0

-4A -2 B + C = 3

4A = 8

Como sólo falta determinar la constante B, la despejamos de la primera ecuación, obteniendo B = -2. Sustituyendo e integrando:

( )dx

xdx

xdx

xdx

xxx

∫∫∫∫ −+

−−+=

−+

22 27

222

)2(83

cx

xxdxxxx +

−−−−=

−+

∫ 272ln2ln2

)2(83

2

Ejemplo 5. Calcular dxxxx

x∫ +−

+246 2

8

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x6 -2x4 + x2 = x2(x4 -2x2 + 1) = x2(x2 -1)2 Q(x) = x2(x +1)2(x +1)2 La descomposición en fracciones parciales sería:

( ) ( )222222 1111)1()1(8

−+

−+

++

+++=

−++

xF

xE

xD

xC

xB

xA

xxxx

Por el método corto podemos fácilmente encontrar que B = 8, D = 7/4 y F = 9/4.

Para determinar el resto de las constantes tenemos que plantear el sistema de ecuaciones:

+−

+−−++−++−=−

+222

23452435

222 )1()()12()2(

)1(8

xxxxxxCxxBxxxA

xxx

222

2342345234

)1()2()()2(

−+++−−+++++

xxxxxFxxxxExxxD

conduciéndonos al siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas

A + C + E = 0

B - C + D + E + F = 0 -2A - C + 2D - E + 2F = 0 -2B + C + D - E + F = 0

A = 1

B = 8

Como ya tenemos los valores A = 1, B = 8, D = 7/4 y F = 9/4, sustituyéndolos en las primeras dos ecuaciones, encontraremos los valores de C y E resolviendo el sistema: C + E = -1 -C + E = -12 cuya solución es C = 11/2 y E = -13/2. El valor de la integral, entonces será:

cx

xxx

xdxxxx

x +−

−−−++−=+−

+∫ )1(4

91ln2

131ln2

118ln2

8246

Tercer caso. [Q(x) tiene raíces complejas distintas] Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma

ax2 + bx + c con b2 - 4ac < 0

a cada uno de estos factores le corresponderá una fracción parcial de la forma

cbxaxBAx++

+2

donde A y B son constantes reales.

Ejemplo 6. Calcular dxxxx

x∫ ++

+52

1323

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x3 +2x2 + 5x = x(x2 +2x + 5)

Con b2 - 4ac = 4-20 = -16 < 0 La descomposición en fracciones parciales sería:

)52()()52(

52)52(13

2

2

22 ++++++=

++++=

+++

xxxCBxxxxA

xxCBx

xA

xxxx

el sistema a resolver:

A + B = 0

2A + C = 3 5A = 1 y la solución: A = 1/5, B = -1/5 y C = 13/5

dxxx

x

xdxdx

xxx

xdxdx

xxxx

∫∫∫∫∫ ++

−−+−=

++−−=

+++

52

113)22(21

51

51

5213

51

51

5213

2223 =

∫∫ +++

+++−=

52514

52)22(

101ln

51

22 xxdxdx

xxxx =

= =++

+++− ∫ 4)1(51452ln

101ln

51

22

xdxxxx

= cxxxx +

++++−2

1arctan21

51452ln

101ln

51 2

Cuarto caso. [Q(x) tiene raíces complejas repetidas] Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos repetidos de la forma

(ax2 + bx + c)n con b2 - 4ac < 0 a cada uno de estos factores le corresponderán n fracciones parciales de la forma

nnn

cbxaxBxA

cbxaxBxA

cbxaxBxA

)(...

)( 22222

211

+++

++++

++

+++

donde Ak y Bk son constantes reales para k = 1,2 ... n.

Ejemplo 7. Calcular dxxx

x∫ ++ 12 24

2

Solución: En este ejemplo, Q(x) = x4 +2x2 + 1 = (x2 +1)2

Con b2 - 4ac < 0 La descomposición en fracciones parciales sería:

22

23

22222

2

)1()1(1)1( ++++++=

+++

++=

+ xDCxBAxBxAx

xDCx

xBAx

xx

planteándose el sistema de ecuaciones:

A = 0

B = 1

A + C = 0

B + D = 0 Con solución A = 0, B = 1, C = 0 y D = -1 Así pues la integral

∫∫∫ +−

+=

++ 22224

2

)1(112 xdx

xdxdx

xxx

donde la primera integral es la inversa de la tangente y la segunda se resuelve mediante el segundo caso de sustitución trigonométrica.

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100610��001�0

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1

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2. MATRICES 1.1. Conceptos Generales Las matrices nos permiten representar, en forma tabular, un sistema de ecuaciones lineales, y facilitar con ello el uso de transformaciones elementales. Las matrices son entes matemáticos con existencia propia, independiente de los sistemas de ecuaciones lineales; aunque encuentran en éstos sus propias aplicaciones. Se definirá la manera cómo las matrices pueden sumarse, multiplicarse y multiplicarse por escalares; analizando las principales consecuencias de dichas definiciones. Desde el punto de vista algebraico, las matrices rompen con la monotonía establecida por los diversos sistemas numéricos, ya que la multiplicación viola una de las leyes que tradicionalmente se habían cumplido en dichos sistemas; la ley de conmutatividad. Esto trae como consecuencia que, en algunos aspectos, las matrices se separen del conocido comportamiento algebraico de los números. 1.2. Matrices y operaciones matriciales Una matriz se puede definir como una “tabla” o arreglo rectangular de elementos que, usualmente, son números reales o complejos. El concepto de matriz, sin embargo, puede generalizarse al caso en que los elementos sean polinomios, funciones, operadores o cualquier otro tipo de “entes matemáticos”; conservando validez la mayoría de los conceptos y propiedades que se presentarán en este tema, en el cual se considera a la matriz como un arreglo de números.

�������������

������

Definición Una matriz de nm× con elementos en C es un arreglo de la forma

������

�

�

������

�

�

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

�

����

����

�

�

21

22221

11211

donde . , , , , 1211 ZnmyCaaa mn ∈∈� Una matriz de nm× (léase m por n) se dice también que es de “orden” nm× . La definición anterior de matriz se puede expresar como

[ ]ija donde i=1, 2, ..., m y j=1, 2, ..., n Renglones y columnas Al arreglo horizontal

[ ]naaa 11211 � se le conoce como el primer renglón de la matriz, al arreglo

[ ]naaa 22221 � como el segundo renglón, y en general al arreglo horizontal

�������������

������

[ ]inii aaa �21 se le conoce como el i-ésimo renglón de la matriz En forma análoga, al arreglo vertical

����

�

�

����

�

�

mj

j

j

a

a

a

�

2

1

se le conoce como la j-ésima columna. Así, en una matriz de nm× pueden distinguirse m renglones (i=1, 2, ..., m) y n columnas (j=1, 2, ..., n), en particular si m=n se dice que la matriz es “cuadrada” de orden n. Comúnmente se representa a las matrices con letras mayúsculas y a sus elementos con letras minúsculas. Como ejemplo de matrices tenemos las siguientes

012113421-

D ;

023i-1�i

C ;31

041

B ;

5023211740321

A���

�

�

���

�

�

−=

����

�

�

����

�

�

=��

���

� −=

����

�

�

����

�

�

−−−

−−

=i

i

ii

Donde A es una matriz de 4x3, B es una matriz de 1x3 (conocida como “matriz renglón” o “vector renglón”), C es una matiz de 4x1 (conocida como “matriz columna” o “vector columna”), y D es una matriz cuadrada de orden 3.

�������������

������

Igualdad de matrices Dos matrices son iguales cuando tienen los mismos elementos, y éstos se encuentran dispuestos de la misma manera en ambos renglones. Esta idea puede expresarse en términos más precisos con la ayuda del símbolo ija , que representa el elemento que se encuentra en la posición correspondiente al renglón i y a la columna j de la matriz A. Así, por ejemplo, para la matriz A, B, C y D citadas anteriormente se tiene que

etc. ,0

3121

7

33

33

13

32

23

=

−=

−==

d

existenoc

b

ia

a

En consecuencia, la igualdad de matrices se define como sigue: Definición Sean [ ]ija=A y [ ]ijb=B dos matrices de nm× con elementos en C. Diremos que A y B son iguales, lo que representaremos con A=B si :

n ..., 2, 1,jy m ..., 2, 1,i para ; === ijij ba Así, por ejemplo, las matrices

��

���

�−=0312

Ai

i y �

�

���

�−=i

i

0312

B

�������������

������

no son iguales, a pesar de son del mismo orden y tienen los mismos elementos, ya que, aunque se cumplen las igualdades

2121

1313

1212

1111

ba

ba

ba

ba

====

Se tiene además que

2222 ba ≠ y

2323 ba ≠ por lo que A y B no satisfacen la condición de igualdad establecida. Para las siguientes matrices

���

�

�

���

�

�

−−

−=

���

�

�

���

�

�

−−=

w

yNy

z

x

M

4053

121

40503

12

la igualdad M = N se cumple si y sólo si x = -1, y y = 0 y z = w 1.3. Reglas de la aritmética matricial Adición de matrices La adición de matrices sólo puede efectuarse cuando las matrices son del mismo orden y el resultado se obtiene sumando los elementos correspondientes de ambas matrices, de acuerdo con la siguiente definición.

�������������

������

Definición Sean [ ]ijaA = y [ ]ijbB = dos matrices de nm× con elementos en C. La suma BA + es una matriz [ ]ijSS = , de nm× , definida por

.,,2,1y ,,2,1 para njmibaS ijijij �� ==+= Así, por ejemplo, para las matrices

���

�

�

���

�

�

−+

−=

4212

53

i

iA ���

�

�

���

�

�

−−−=

432

21iB y �

�

���

�

+−

=307251

i

iC

se tiene que

���

�

�

���

�

�

−−

−=

���

�

�

���

�

�

−++−−++−+

+−+=+

0231234

)4(432)1(1)2(0

2513

ii

iBA

mientras que la adición de A y C no puede efectuarse, ya que las matrices no son del mismo orden. Se dice por ello que A y C “no son conformables” para la adición y, en consecuencia, la suma A+C no existe. La adiciones de matrices satisface las siguientes propiedades Teorema Si A, B, C, son matrices de m x n cuyos elementos son números complejos, entonces i) A + (B+C) = (A+B) + C asociatividad ii) A + B =B + A conmutatividad iii) Existe una matriz 0 de m x n tal que

�������������

������

A + 0 = A elemento idéntico

iv) Existe una matriz –A de m x n tal que A + (-A) = 0 elementos inversos

Demostración Se demostrará la propiedad ii) Sean ijaA = y ijbB = dos matrices de nm× con elementos en C. Se tiene que

[ ] [ ][ ] [ ]ijijij

ijijij

abTAB

baSBA

+==+

+==+

Como aij y bij son números complejos ∀ i, j; por conmutatividad

jisbaabt ijijijjijiij , ; ∀=+++=

por lo que de la definición de adición de matrices

ABBA +=+

iii) Sea ijaA = una matriz de mxn con elementos en C. Si definimos la matriz [ ]ij00 = como (cero) 00 =ij para i = 1,2,..., m y j=1,2,,...,n; entonces

�������������

������

[ ][ ][ ]

0

idéntico elemtoPor

0 de definiciónPor 0

matrices deadición la de definiciónPor 00

AA

a

a

aA

ij

jiij

jiij

=+

=

+=

+=+

iv) Sea ijaA = una matriz de mxn con elementos en C. Si definimos la matriz [ ] j; i, como ∀−==− jiijij avvA

entonces

( ) ( )[ ]( )[ ]

[ ]( ) 0 de definiciónPor 0

idéntico elemtoPor j i, ,0

A- de definiciónPor

matrices deadición la de definiciónPor

=−+

∀=

−+=

+=−+

AA

aa

vaAA

ij

jiij

jiij

A la matriz –A, que es una matriz de mxn cuyos elementos son los simétricos de los elementos de A, se le conoce como la “simétrica de A” o la “negativa de A”. Sustracción de matrices La resta o sustracción de matrices puede definirse a partir de la adición de matrices y de los teoremas con los que cumple la adición de matrices. Definición

�������������

������

Sean ijaA = y ijbB = dos matrices de nm× con elementos en C. La diferencia A-B se define como:

( )BABA −+=− De acuerdo con esta definición, para obtener la diferencia A-B bastará con restar a los elementos de la matriz A los elementos correspondientes de la matriz B, puesto que

( ) ( )[ ] [ ]ijijijij babaBABA −=−+=−+=−

Por ejemplo, para las matrices

��

���

�

+−

=���

�

�

���

�

�

−−−=

���

�

�

���

�

�

−+

−=

307251

y 43

221

42

1053

i

iCiB

i

iA

Que vimos anteriormente, se tiene

( ) ( )( ) �

��

�

�

���

�

�

−−+−

=���

�

�

���

�

�

−−−−−−+−−

−−−=−

82321272

4432120

2513

i

i

i

iiBA

mientras que la diferencia A-C no existe. De la definición de la sustracción de matrices se tiene que dos matrices son conformables para la resta si y sólo si son del mismo orden. La multiplicación por un escalar En ocasiones, y particularmente desde el punto de vista de las aplicaciones, se requiere multiplicar una matriz por un número, al que genéricamente se le conoce como “escalar”. Esta operación,

�������������

������

denominada “multiplicación por un escalar”, se define formalmente como sigue: Definición Sean ijaA = una matriz de mxn con elementos en C y α ∈ C. El

productoαA es una matriz [ ]ijeE = de mxn, definida por:

njm iae ijij ,,1y ,,1 para; �� === α Así, por ejemplo,

��

���

�

+−−

=ii

iA

1310

es la matriz

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )��

���

�

+−−

=��

���

�

+−−

=iiiii

iiii

ii

iiA

1232212022

1310

)2(α

��

���

�

+−−−=

ii

i

2262202

La multiplicación por un escalar satisface las siguientes propiedades Teorema Si A y B son matrices de mxn con elemntos en C y α, β ∈ C, entonces;

i) ( ) BABA ααα +=+ ii) ( ) AAA βαβα +=+ iii) ( ) ( )AA αββα =

�������������

� ����

Demostración Se demostrará la propiedad i). i) Sean ijaA = y ijbB = dos matrices de nm× con elementos

en C y α un escalar de C, entonces:

( )[ ]( ) ( )[ ]

[ ][ ] [ ]

( ) escalarun por ción multiplica de definiciónPor

matrices deadición de definiciónPor

vidaddistributiPor

escalarun por ción multiplica de definiciónPor BA

matrices de igualdadPor

BABA

ba

ba

ba

baBA

ijij

ijij

ijij

jiij

ααααα

αααα

+=+

+=

+=

+=+

+=+

Multiplicación de matrices Considerando nuevamente el sistema de ecuaciones lineales

0 0

4004010020

321

321

=−+=++

xxx

xxx (1)

Con los coeficientes las ecuaciones formamos la matriz que llamaremos A; otra con las incógnitas, a la que llamaremos X, y una tercera con los términos independientes, a la que llamaremos B. Esto es:

��

���

�=���

�

�

���

�

�

=��

���

�

−=

0400

110

4010020

3

2

1

B

x

x

x

XA

Con ayuda de estas matrices podemos representar al sistema de ecuaciones (1) mediante la expresión

�������������

������

BAX = (2) siempre y cuando tengamos una definición adecuada para el producto AX. Las condiciones que establece el sistema (1) son equivalentes por los teoremas que cumplen las matrices para la adición, a la siguiente igualdad entre matrices.

0

400

04010020

321

321��

���

�=��

���

�

−=

xxx

xxxAX

de donde se sigue que la expresión (2) representará al sistema (1) si sólo si

0

4010020

321

321��

���

�

−=

xxx

xxxAX

Veamos ahora cómo podemos obtener la matriz AX a partir de las matrices A y X. El primer elemento de AX; es decir, el que se encuentra en el primer renglón y primera columna de dicha matriz, se obtiene sumando los productos de los elementos del primer renglón de A por sus elementos correspondientes en la primera columna de X. En forma esquemática:

[ ]321 4010020 xxx ++

���

�

�

���

�

�

3

2

1

x

x

x

[ ]4010020

�������������

������

Análogamente, el elemento que se encuentra en el segundo renglón y primera columna de AX se obtiene sumando los productos de los elementos del segundo renglón de A por los de la primera columna de X. Así

=

���

�

�

���

�

�

3

2

1

x

x

x

[ ]110 −

( ) 321 1-1X0x x++

En general, si A y B son dos matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de renglones de B, el elemento que se encuentra en la posición correspondiente al renglón i y la columna j de la matriz producto AB, se obtiene sumando los productos de los elementos renglón i de la matriz A por sus elementos correspondientes en la columna j de la matriz B. Así, si A y B son las matrices

bbb............

bbbb

....

....

nqn2n1

222221

111211

21

31111

22221

11211

������

�

�

������

�

�

=

�������

�

�

�������

�

�

=

��

��

��

�

�

�

�

nj

qj

qj

mnmm

n

n

n

b

bb

bb

B

aaa

aaa

aaa

aaa

A

�������������

������

de mxn y nxq respectivamente, el elemento ubicado en el renglón i y columna j de la matriz producto AB, al que representamos como Pij, será

njinjijiij bababaP +++= �2211

que, en forma compacta, puede expresarse como

�=

=n

kkjikji baP

1

Formalmente, se tiene la siguiente definición para la multiplicación de matrices. Definición Sean [ ]ijaA = y [ ]ijbB = dos matrices con elementos en C, de mxn y nxq respectivamente. El producto AB es una matriz

[ ]ijpP = , de mxq, definida por

�=

===n

kkjik qjmibaPij

1.,,1y ,,1 para ; ��

A manera de ejemplo, para las matrices

��

���

�=���

�

�

���

�

�

=

����

�

�

����

�

�

=4-13-03021-

C 31-43-02

B

31-1102-3-101-35

A

se tiene que [ ]ijpAB = es una matriz de 4x2, donde

�������������

������

( ) ( )( ) ( )( ) 24910113325

311321121111

3

11111

=+−=−−+−+=

=++== �=

babababapk

kk

( ) ( )( ) ( )( ) 93120314305

321322121211

3

12112

=−+=−++=

=++== �=

babababapk

kk

y de manera similar se calculan

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 5940334101

2332133121

3300314002

5104113022

5940334100

0330133120

42

41

32

31

22

21

=+−=+−+==−+=−+−−+=

=++=++−=−=−+−=−+−+−=

−=−+=−++==+−=−−+−+=

P

P

P

P

P

P

por lo que

����

�

�

����

�

�

−−

=

523550

92

AB

El producto AC no puede obtenerse, porque el número de columnas de A no es igual al numero de renglones de C. Se dice entonces que las matrices A y C “ no son conformables para el producto AC”. Sin embargo, estas mismas matrices sí resultan conformables para el producto CA.

��

���

�

−−−−

=216

442CA

�������������

������

De lo anterior se concluye que la multiplicación de matrices no es conmutativa; es decir, no puede establecerse que para dos matrices A y B (conformables para el producto AB) se tenga que AB=BA. Puesto que AB y BA representan, en general, matrices diferentes, es importante hacer énfasis en el orden en que se multiplican. Así en el producto AB se dice que la matriz A “premultiplica” a la matriz B; mientras que en el producto BA se dice que A “postmultiplica” a B. En algunos casos, como el del ejemplo anterior, la multiplicación puede efectuarse en un sentido, digamos AB, pero no en el otro, es decir BA. En otros casos la multiplicación puede efectuarse tanto en un sentido como en el otro, pero los resultados pueden ser diferentes o iguales según las matrices de que se trate. Cuando dos matrices A y B son tales que AB=BA se dice que son “permutables” (también suele decirse que “conmutan”). Por ejemplo, para las matrices

��

���

�

−−

=1310

A y ��

���

�=4321

B

se tiene que:

��

���

� −−=

2043

AB y ��

���

�

−−

=71236

BA

por lo que A y B no son permutables; mientras que para

��

���

�

−−

=1310

A y ��

���

�

−−−

=23

13C

�������������

������

se tiene que

��

���

�

−=

5623

AC y ��

���

�

−=

5623

CA

La multiplicación de matrices satisface la ley asociativa que establece el siguiente enunciado. Teorema Sean A, B y C matrices mxn, nxq y pxq, respectivamente, cuyos elementos son números complejos, entonces:

( ) ( )CABBCA =

Demostración Sean [ ] [ ] [ ]ijijij cCb BaA === y , matrices de mxn, nxp y pxq, respectivamente. Entonces, por definición de multiplicación de matrices:

kj

P

kikcbBC �

==

1

donde BC es una matriz de nxq. Entonces

�������������

������

( )

matrices deción multiplica de definiciónPor

idaddistibutivPor

orden culaquer en sumar puede se que Puesto

idaddistibutivPor

matrices deción multiplica de definiciónPor

1 1

1 1

1 1

11

(AB)CA(BC)

cba

cba

cba

cbaBCA

p

kkj

n

hhkih

p

k

n

hkjhkih

n

h

p

kkjhkih

p

kkjhk

n

hih

=

��

���

��

��

=

��

���

��

��

=

��

���

��

��

=

��

���

��

��

=

� �

� �

� �

��

= =

= =

= =

==

Para verificar el teorema anterior en un caso particular, se consideran las siguientes matrices

��

���

�

−=

0123

A ��

���

�−=013121

B y ���

�

�

���

�

�

−−=

231201

C

Se obtendrá primero el producto de

��

���

�−=���

�

�

���

�

�

−−�

�

���

�−=1102

231201

013121

BC

y, posteriormente, se premultiplicará éste por A, con lo que se obtiene:

( ) ��

���

�−=��

���

�−��

���

�

−=

0224

1102

0123

BCA

Por otra parte, se obtendrá el producto de

�������������

������

��

���

�

−−=�

�

���

�−��

���

�

−=

121383

013121

0123

AB

y, a continuación, se postmultiplica por C, con lo que se obtiene

( ) ��

���

�−=���

�

�

���

�

�

−−�

�

���

�

−−=

0224

231201

121383

CAB

se llego al mismo resultado, y se cumple el teorema A(BC)=(AB)C. Con fundamento en dicho teorema se puede escribir simplemente

ABC

Ya que no importa cual de los productos (AB o BC) se efectúe primero. Consideradas simultáneamente, la adición y la multiplicaión de matrices tiene las propiedades que se enuncian a continuación, conocidas como las leyes distributivas de la multiplicación sobre la adición. Teorema Sean A, B y C matrices de mxn, nxp y nxp, respectivamente, y D, E y F matrices de mxn, mxn y nxp, respectivamente, cuyos elementos son números complejos; entonces:

i) A(B+C)=AB+AC ii) (D+E)F=DF+EF

Demostración

�������������

������

Se demostrará a continuación la distibutividad por la izquierda (propiedad i). Sea [ ] [ ] [ ]ijijij cCybBaA === , matrices de mxn, nxp y nxp, respectivamente; entonces

[ ] matrices deadición de definiciónPor ijij cBAB +=+

( ) ( ) matrices deión multiplica de definiciónPor 1

��

���

� +=+ �=

n

kkjkjik cbaCBA

( )

matrices deadición de definiciónPor

idadconmutativy dadasociativiPor

vidaddistributiPor

11

1 1

1

��

���

�+���

��

�=

��

���

� +=

��

���

� +=

��

� �

�

==

= =

=

n

kkjik

n

kkjik

n

k

n

kkjikkjik

n

kkjikkjik

caba

caba

caba

( ) matrices deción multiplica de definiciónPor ACABCBA +=+ Matriz Identidad Se conoce como “matriz identidad” de orden n a una matriz cuadrada de orden n que es de la forma

�������

�

�

�������

�

�

1000........010000100001

�

�

�

�

�

�

La matriz identidad está formada con unos y ceros únicamente. Los elementos iguales a uno son aquellos que coinciden el

�������������

� ����

número de renglón y el de la columna donde se encuentran, y todos los demás elementos son cero. Lo anterior permite establecer la siguiente definición para la matriz identidad. Definición Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n [ ]ijnI δ= , tal que

jiij == si ,1δ y

jiij ≠= si ,0δ Al símbolo ijδ de la definición anterior se le conoce como “delta de Kronecker”. La matriz identidad juega un papel muy importante en el álgebra de matrices, ya que constituye un elemento idéntico para la multiplicación. Por ejemplo, si se premultiplicamos la matriz

���

�

�

���

�

�

−−

=074213

iA

por la matriz identidad de orden tres se tendrá

AiiAI =���

�

�

���

�

�

−−

=���

�

�

���

�

�

−−

���

�

�

���

�

�

=074213

074213

100010001

3

Si ahora postmultiplicamos dicha matriz por I2 se tendrá también

�������������

������

AiiAI =���

�

�

���

�

�

−−

=��

���

�

���

�

�

���

�

�

−−

=074213

1001

074213

2

En general, se tiene el siguiente teorema Teorema Si A es una matriz de mxn con elementos en C, entonces:

i) ImA=A ii) AIn=A

Demostración Se demostrará la parte i) del teorema. i) Sea [ ]ijaA = una matriz de mxn con elementos en C y sea

[ ]ijmI δ=

[ ][ ][ ]AAI

a

a

a

aAI

m

ij

ij

ijii

m

kkjikm

=

=

⋅=

=

��

���

�= �=

idéntico elemntoPor

identidad matriz de definiciónPor 1

identidad matriz de definiciónPor

matrices deción multiplica de definiciónPor 1

δ

δ

Inversa de una matriz

�������������

������

En ciertos casos, para una matriz A es posible hallar una matriz X tal que XA=I=AX Por, ejemplo, para la matriz

��

���

�=2513

A

Se tiene que la matriz

��

���

�

−−

=3512

X

es tal que

��

���

�=��

���

�

−−

��

���

�=

��

���

�=��

���

���

���

�

−−

=

1001

3512

2513

1001

2513

3512

AX

XA

Se dice entonces que X es “inversa” de la matriz A y se representa como A-1

Definición Sea A una matriz de nxn con elementos en C. Una matriz X se dice que es inversa de A si

XA=In=AX Y se representa con A-1. Cabe hacer notar que la igualdad XA=AX sólo es posible cuando A yX son matrices cuadradas del mismo orden; en consecuencia,

�������������

������

para que una matriz A tenga inversa es condición necesaria que será cuadrada. Además, la inversa ( en caso de existir) sea única. La definición de matriz inversa establece lo que deberá entenderse por matriz cuadrada, pero no dice que todas matriz cuadrada tenga inversa, ni que dicha inversa (en caso de existir) sea única. En lo que se refiere al primer punto, se puede demostrar, mediante un ejemplo, que no todas las matrices cuadradas tienen inversa. En efecto, para la matriz

��

���

�=

0003

A

una matriz

��

���

�=2221

1211

xx

xxX

tal que XA=I deberá cumplir con

��

���

�=��

���

���

���

�

1001

0003

2221

1211

xx

xx

esto es

��

���

�=��

���

�

1001

0303

21

11

x

x

igual que, como puede verse, no se satisface para ningún valor de los elementos x11, x12, x21, x22. Luego, no existe inversa para la matriz propuesta.

�������������

������

A las matrices que tienen inversa se les llama “no singulares” y a las que no tienen inversa “singulares”. Definición Sea A una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es no singular si existe A-1, en caso contrario se dice que A es singular. En lo que se refiere a la unicidad, se puede demostrar que la inversa de una matriz cuadrada (si existe) es única, como lo establece el siguiente teorema, en el que se enuncian además otras propiedades importantes de la inversa. Teorema Si A y B son dos matrices no singulares del mismo orden y λ ∈ C, entonces:

i) A-1 es única ii) (A-1)-1=A iii) (AB)-1=B-1A-1

iv) (λA)-1= 11 −Aλ

, si λ ≠ 0

Demostración Se demuestran a continuación i) y iii).

i) Sea A una matriz de nxn no singular, y sean X, Y dos inversas de A; entonces, por definición de inversa de una matriz

AXIXA n= y AYIYA n ==

�������������

������

Por otra parte

X=XIn Por el teorema de matriz identidad =X(AY) Por hipótesis =(XA)Y Por teorema de multiplicación de

matrices =InY Por hipótesis X=Y Por i) del teorema de identidad de

matrices Y en consecuencia la inversa es única.

ii) Sean A y B dos matrices de nxn no singulares. Por definición

de inversa existen A-1 y B-1 y puede formarse el producto. Para el cual se tiene que (B-1A-1)(AB)= (B-1A-1)[(A)(B)]

=[(B-1A-1)A]B Por teorema de multiplicación de matrices =[B-1(A-1A)]B Por teorema de multiplicación de matrices =(B-1In)B Por definición de matriz inversa =B-1B Por teorema de matriz identidad

(B-1A-1)(AB)=In Por definición de matriz inversa En forma análoga puede demostrarse que

(AB)(B-1A-1)= In y, en consecuencia, de la definición de matriz inversa se tiene que B-1A-1 es la inversa de AB; esto es

B-1A-1=(AB)-1

Como se quería.

�������������

������

Cabe hacer notar que de la expresión anterior se sigue que el producto de dos matrices no singulares es una matriz no singular. Cálculo de la inversa por transformaciones elementales Existen matrices que tienen inversa y hay otras que no la tienen; y para determinar si una matriz tiene inversa o no la tiene. Un primer procedimiento consiste en plantear una matriz desconocida X, cuyos elementos Xij queremos determinar. Multiplicar dicha matriz por A y obtener los valores de Xij que hacen posible las igualdades

XA=I=AX Este procedimiento, que se fundamenta directamente en la definición de inversa, conduciría a un sistema de n2 ecuaciones con n2 incógnitas, que para valores grandes de n resulta muy arduo resolver. En su lugar se propone un método más práctico que se basa en el empleo de las transformaciones elementales por renglón. El método consiste en aplicar una sucesión de transformaciones elementales a la matriz A hasta obtener la matriz identidad, y aplicar esta misma sucesión de transformaciones a la matriz In con lo que se obtiene A-1. Si no es posible transformar la matriz A en la matriz identidad entonces no existe A-1. Con el propósito de fundamentar teóricamente este método introduciremos a continuación el concepto de matriz elemental y estableceremos algunos resultados que nos permitirán concluir la validez del método. Matrices elementales

�������������

������

Consideramos la matriz

���

�

�

���

�

�

−

−=

241076533121

A

y apliquemos la transformación elemental (T1)que consiste en intercambiar los renglones segundo y tercero; se obtiene entonces la matriz

���

�

�

���

�

�

−−

=76532410

3121

1A

Esta matriz puede obtenerse también como resultado de una multiplicación. Si se premultiplica A por la matriz

���

�

�

���

�

�

=010100001

1E

se tendrá

11

76532410

3121

76532410

3121

010100001

AAE =���

�

�

���

�

�

−−

=���

�

�

���

�

�

−−

���

�

�

���

�

�

=

La matriz E1 recibe el nombre de “matriz elemental” y, como puede verse, se obtiene a partir de la matriz identidad efectuando

�������������

������

en ella la transformación correspondiente (en este caso el intercambio de los renglones 2 y 3). Se obtiene así el equivalente algebraico de “aplicar una transformación elemental” que es “premultiplicar por una matriz elemental”. Existen tres tipos de matrices elementales, correspondientes a los tres tipo de transformaciones elementales. Definición Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a In una transformación elemental y se representa con:

( )jinI , si se obtiene intercambiando los renglones i y j de In

( )ik

nI si se obtiene multiplicando por un número k≠0 el renglón i de In

( )jiknI , si se obtiene multiplicando por k el renglón i de In y

sumando el resultado al renglón j.

De acuerdo con esta notación, a la matriz E1 del ejemplo anterior le corresponde el símbolo ( )3,2

3I Teorema Si es una matriz de mxn con elementos en C, entonces:

�������������

������

i) ( ) AI jim

, es la matriz que se obtiene intercambiando los

renglones i y j de la matriz A ii) ( ) AI ik

m es la matriz que se obtiene multiplicando por k el

renglón i de la matriz A iii) ( ) AI jik

m, es la matriz que se obtiene sumando al

renglón j de la matriz A el renglón i multiplicado por k.

Demostración Se demuestra a continuación la proposición i), las proposiciones ii) y iii) se pueden de manera similar. Puesto que ( ) [ ]rc

jim eI =, es una matriz identidad con los renglones

i y j intercambiamos, se tiene que

Para r≠i, j; erc=δrc 1, si c=j Para r=i; eic= 0, si c≠j

1, si c=j Para r=j; ejc= 0, si c≠j

Sea ( ) [ ]rc

jim bBAI ==,

(1) Para r≠i, j se tiene que

�������������

� ����

Caaaaaeb rcrcrcrr

m

kkcrk

m

kkcrkrc 1

11∀=⋅==== ��

==δδ

por lo que el renglón r de B es igual al renglón r de A.

(2) Para r=i se tiene que

C 11

∀=⋅==== �=

jcjcjcij

m

kkcikiccr aaaeaebb

por lo que el renglón i de B es igual al renglón r de A.

(3) Para r=j se tiene que

11

icicicji

m

kkcjkjcrc aaaeaebb =⋅==== �

=

por lo que en el renglón j de B es igual al renglón i de A.

En consecuencia, de (1), (2) y (3) la matriz B se obtiene intercambiando los renglones i y j de la matriz A. De acuerdo con el teorema anterior, cuando una matriz se premultiplica por ( )ji

nI , se intercambian sus renglones i y j. En particular, si es la misma ( )ji

nI , la que se premultiplica por dicha matriz, tomando en cuenta que ( )ji

nI , se obtiene intercambiando los renglones i y j de In, se tendrá que

( ) ( )n

jin

jin III =,,

por lo que ( )ji

nI , tiene inversa, que la misma ( )jinI , .

�������������

������

Razonando de manera similar se puede concluir que la inversa de

( )iknI es

( )iknI1

, y que la inversa de ( )iknI es ( )jik

nI ,− . En consecuencia se puede establecer que Teorema(a) Las matrices elementales son no singulares. Y, tomando en cuanta el teorema de las matrices singulares se tiene que: Teorema(b) El producto de matrices elementales es una matriz no singular Justificación del método Se justificará el método para obtener una matriz mediante transformaciones elementales. Sea A una matriz de nxn con elementos en C y

i) Supongamos que existe una sucesión (finita) de transformaciones elementales

T1, T2, ... ,Tk

�������������

������

que aplicada a la matriz A la transforma en la matriz identidad de orden n; esquemáticamente:

T1 T2 Tk nk IAAA 11 →→→ −�

Entonces, existe una sucesión(finita) de matrices elementales

E1, E2, ... , Ek

tales que

Ek(...(E2(E1A))...)=In

Por lo que

(Ek ... E2E1)A=In Si llamamos P al producto Ek ... E2E1, se tendrá que

PA=In Por otra parte, como P es un p7roducto de matrices elementales, de el teorema de el producto de matrices elementales se sigue que P es no singular y existe P-1; por tanto

( )( )( )( )��

�

�

nk

nk

k

IEEEP

IEEEP

EEEP

12

12

12

===

tal que podemos concluir que P se obtiene aplicando a In la sucesión de transformaciones elementales T1, T2, ... , Tk. Lo anterior sugiere, para propósito de cálculo, el empleo de un arreglo formado por dos matrices de nxn.

�������������

������

Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo a la matriz A y del lado derecho a la matriz identidad In. Se efectúan entonces (en ambas matrices simultáneamente) las transformaciones necesarias para obtener en el lado izquierdo la matriz In, y al finalizar el proceso se obtiene en el lado derecho de la matriz A-1. En forma esquemática

T1 Tk [ ] [ ]1−→→ AIIA nn �

Para ilustrar lo anterior mediante un ejemplo consideremos la matriz

���

�

�

���

�

�

−−=

241162031

A

cuya inversa deseamos obtener. Se debe formar primero el arreglo [ ]3IA y se efectúa a continuación las trasformaciones necesarias para obtener en el lado izquierdo una matriz escalonada (como en el método de Gauss) T1

���

�

�

���

�

�

−−→

���

�

�

���

�

�

−− 101210012100001031

100241010162001031

T2

���

�

�

���

�

�

−−→

112100001210101031

�������������

�����

y una vez que se ha obtenido ésta se continúa con el proceso hasta obtener en el lado izquierdo la matriz identidad T3 T4

���

�

�

���

�

�

−−−−

→���

�

�

���

�

�

−−−→

0121001250103616001

012100125010001031

T5

���

�

�

���

�

�

−−−

−

0121001150103616001

con lo que se llega al arreglo [ ]1

3−AI y, en consecuencia, para

la matriz A en cuestión se tiene que

���

�

�

���

�

�

−−−

−=−

0121153616

1A

ii) Supongamos ahora que la matriz A no puede ser transformada en la matriz identidad mediante una sucesión de transformaciones elementales. Se tiene entonces una sucesión de transformaciones elementales

T1, T2, ... ,Tr que aplicada a la matriz A la transforma en una matriz C que tiene un renglón de ceros; y existe por tanto un sucesión de matrices elementales.

�������������

�����

E1, E2, ... , Er tales que (Er ... E2E1)A=C si llamamos Q al producto Er ... E2E1, se tendrá que

QA=C Por el teorema de multiplicación de matrices elementales Q es una matriz no singular, y si A fuese también no singular por iii) del teorema de matriz no singular; sin embargo, C es singular puesto que tiene un renglón de ceros y para cualquier matriz M el producto MC tiene un renglón de ceros, es decir que no existe M tal que MC=I. En consecuencia la matriz A es singular y no existe A-1. Como ejemplo consideraremos la matriz

A=���

�

�

���

�

�

−− 231162031

Formemos el arreglo [ ]3IA y tratamos de obtener en el lado izquierdo la matriz identidad

���

�

�

���

�

�

−→���

�

�

���

�

�

−− 101200012100001031

100231010162001031

���

�

�

���

�

�

−−→

125000012100001031

�������������

�����

como se ve, en el lado izquierdo del último arreglo se ha obtenido una matriz con un renglón de ceros, por lo que la matriz A es singular y no tiene inversa. 1.4. Ecuaciones con matrices Consideramos ahora las matrices

��

���

�=8345

A y ��

���

�

−−−

=131204

B

¿Existe una matriz X que satisfaga la siguiente relación?

XBAX 3=+ Con lo que se ha planteado una ecuación entre matrices, donde la matriz X es la incógnita. En ciertos casos estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones matriciales, pueden resolverse siguiendo el mismo procedimiento que se emplea para resolver ecuaciones planteadas con números; esto es, tratando de “despejar” la incógnita en términos de los otros elementos que intervienen en la ecuación. Sin embargo, las propiedades de las operaciones con matrices presentan, como hemos visto, algunas diferencias respecto a las propiedades de las operaciones con números, por lo que se debe tener especial cuidado en que los “pasos” efectuados en el despeje sean válidos en el álgebra de matrices. Volviendo al ejemplo, para “pasar” la matriz B al miembro derecho de la ecuación se procederá de la siguiente manera: Por elemento inverso (iv) del teorema de adición de matrices existe –B, por lo que, de la expresión original

(AX+B)+(-B)=3X+(-B)

�������������

�����

en consecuencia

AX+[B+(-B)]=3X+(-B) por asociatividad (i)) del teorema de adición de matrices

AX+0=3X+(-B) por elemento inverso (iv)) del teorema de adición de matrices

AX=3X+(-B) por elemento idéntico (iii)) del teorema de adición de matrices

Para “pasar” ahora la matriz 3X al miembro izquierdo de la ecuación: Por elemento inverso existe –(3X), y de la expresión anterior

-(3X)+AX=-(3X)+[3x+(-B) de donde

-(3X)+AX=[-(3X)+3X]+(-B) por asociatividad (i)) del

teorema de adición de matrices -(3X)+AX=0+(-B) por elemento inverso (iv)) del teorema de

adición de matrices -(3X)+AX=-B por elemento idéntico (iii)) del teorema de

adición de matrices Ahora, para “factorizar” a X se procede como sigue: Probamos primero que

XX )()( αα −=− por lo que podemos escribir simplemente Xα− . En efecto, si α es un escalar de C y X una matriz de mxn con elementos en C:

�������������

�����

( )[ ] ( )[ ]

( ) 0inverso elementoPor 0

escalarun por matrices

deción multiplica de teoremadel ii)Por

=−+=⋅=

−+=−+

XX

X

XXX

αα

αααα

de donde ( ) ( ) matrices deadición de teoremadel iv)Por XX αα −=− Llevando este resultado al desarrollo anterior se puede escribir

( )( )[ ]( )

( ) matrices deción multiplica de Teorema de ii)Por 3 3

3identidad matriz de Teorema de i)Por 3

BXAI

BAXXI

BAXXI

BAXX

−=+−−=+−−=+−−=+−

Finalmente, para despejar X premultiplicamos por la inversa de (-3I+A), lo cual es válido sólo si dicha matriz es no singular. Así: Si ∃ (-3I+A)-1, se tiene que

( ) ( )[ ] ( ) ( )BAIXAIAI −+−=+−+− −− 11 333 y en consecuencia

�������������

�����

( ) ( )[ ] ( ) )(333 11 BAIXAIAI −+−=+−+− −− Por el teorema

de la ley asociativa de la multiplicación de matrices

( ) ( )BAIIX −+−= −13 Por definición de matriz inversa

( ) )(3 1 BAIX −+−= − Por i) del teorema de matriz identidad

con lo que sea ha expresado a X en términos de las matrices A y B y del escalar 3 que aparece en la ecuación. Ejemplo:

��

���

�=��

���

�+��

���

�−=+−5342

8345

1001

33 AI

para calcular la inversa de esta matriz se procede de la siguiente manera

���

�

�

���

�

�

−−→

��

�

�

��

�

�→�

�

���

�

123

10

021

21

1052

021

2110530142

���

�

�

���

�

�

−

−→

���

�

�

���

�

�

−− 123

10

225

01

123

10

021

21

por lo que

�������������

����

( ) ( ) ��

���

�

−−−

=��

���

�

−−

���

�

�

���

�

�

−

−=−+−= −

235368

131204

123

225

3 1 BAIX

es la matriz que satisface la ecuación propuesta. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales Otro ejemplo de ecuación matricial, de uso frecuente en las aplicaciones, lo constituye la llamada representación matricial de un sistema de ecuaciones. Con base en las definiciones de igualdad y de la multiplicación de matrices, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede representarse con la expresión:

AX=B donde A es una matriz mxn que se conoce como “matriz de coeficientes” del sistema, X es una matriz de nx1 conocida como “vector de incógnitas” y B es una matriz de mx1 conocida como “vector de términos independientes” Esta ecuación puede resolverse premultiplicando por A-1 cuando A sea una matriz no singular. Si -1A ∃ , se tienen que:

�������������

�����

( )( )

BAX

BAIX

BAXAA

BAAXA

1

1

11

11

−

−

−−

−−

=

=

=

=

Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales

3 2

12

2 3

321

32

31

=++−=−

=+

XXX

XX

XX

puede expresarse en forma matricial como AX=B, donde

���

�

�

���

�

�

−=���

�

�

���

�

�

=���

�

�

���

�

�

−=312

By 211210301

3

2

1

X

X

X

XA

Para determinar si existe A-1 y obtenerla se procede como sigue

101-1-100102-10001301

1002100102-10001301

���

�

�

���

�

�

→���

�

�

���

�

�

111100212010334001

111-1000102-10001301

���

�

�

���

�

�

−−−−

−→���

�

�

���

�

�

−

por lo que

���

�

�

���

�

�

−−−−=−

111212334

1A

�������������

�����

y en consecuencia

���

�

�

���

�

�−=

���

�

�

���

�

�

−���

�

�

���

�

�

−−−−== −

234

312

111212334

1BAX

es la solución del sistema; es decir

2 ,3 ,4 321 === XXX Diferencia entre el álgebra de números y el álgebra de matrices

1) La diferencia más general consiste en que podemos sumar o multiplicar dos números cualesquiera, mientras que no siempre podemos hacerlo con las matrices, puesto que éstas deben ser conformables para la operación a efectuar. Como consecuencia de ello se puede presentar que la ecuación matricial esté “mal planteada”, en el sentido de que no puedan efectuarse operaciones propuestas. Por ejemplo, si para las matrices A y B mencionadas anteriormente.

XBXA 3=+

se tendrá que, como A es de 2x2, la matriz X deberá ser de mx2 para que exista el producto XA, y en tales circunstancias XA será también de mx2 por lo que no podrá sumarse con B. Luego, no existe matriz X alguna que permita efectuar las operaciones propuestas en el miembro izquierdo de la ecuación.

�������������

�����

Las diferencias más significativas, sin embargo, son las relacionadas con la multiplicación; entre las cuales se cuentan las siguientes.

2) La multiplicación de números es conmutativa, mientras que la multiplicación de matrices no lo es. Como consecuencia de ello se tiene que, para los números

acabcb =�= y también

caabcb =�= mientras que las matrices

ACAB CB =�= pero

CAAB CB =�/= Así por ejemplo, al despejar la incógnita X de una ecuación matricial

BAX = se premultiplican ambos miembros por -1A con lo que se obtiene

BAX -1= resultado que, en general, difiere de

1BA−

�������������

������

que se obtiene premultiplicando por A-1 en el miembro izquierdo y postmultiplicando por dicha matriz el miembro derecho.

3) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientras que el producto de dos matrices diferentes de la matriz cero puede ser igual a la matriz cero. Por ejemplo, para las matrices

��

���

�

−−

=��

���

� −−=

6321

By 3913

A

se tiene que 0ABy 0B ,0A =≠≠

4) La ley cancelativa para la multiplicación tiene una aplicación más restringida en el caso de las matrices. En efecto, para los números se tiene que

cb acab entonces 0a si =�=≠ lo cual no es válido para las matrices ya que, por ejemplo, para las matrices A y B citadas anteriormente se tiene que

0A ≠ y

A0AB = sin embargo, esto no implica que B=0; es decir, no podemos “cancelar” la matriz A en la expresión anterior.

Para las matrices, la ley cancelativa puede enunciarse de la siguiente manera

Si A es no singular entonces CB ACAB =�=

�������������

������

Hay ecuaciones matriciales, del tipo que se han planteado, las cuales no pueden resolverse empleando el procedimiento descrito y que, sin embargo, tienen solución. Para estos casos queda el recurso de plantear un sistema de ecuaciones lineales equivalentes y resolverlo por el método de Gauss.

�������������

� �� �

3. Determinantes 3.1. Cálculo de determinantes Regla de Sarrus El método más sencillo es el que se conoce como “ regla de Sarrus”, el cual se emplea para determinantes de segundo y tercer orden.

122122112221

1211 aaaaaa

aa−=

81573531

det

3531

−=−==A

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

=

132231233211331221231231133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++=

���

�

�

���

�

�

−=

141523541

A

�������������

���� �

523541

141523541

det =−

=A

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

6032-921220-10-2060-2 143541521541543121

==+++=−−−−++−=

La regla de Sarrus sólo se aplica a determinantes de segundo y tercer orden. Desarrollo por cofactores

���

�

�

���

�

�

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

( ) ( ) ( )

13

13

3231

222131

133331

232112

3332

23221111

ccofactor

deMenor

111det21

a

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA ++ −+−+−=

+

Definición Sea A=[aij] una matriz de nxn con elementos en C

�������������

���� �

i) Se llama menor del elemento aij y representa con Mij al determinante de la matriz que se obtiene suprimiendo en A el renglón i y la columna j.

ii) Se llama cofactor del elemento aij, y representa con Cij, al producto (-1)i+1Mij.

Teorema Si A=[aij] es una matriz de nxn con elementos en C y r es un número entero tal que nr ≤≤1 , entonces

i) detA=�=

n

jrjrjca

1

ii) detA=�=

n

iirirca

1

Ejemplo:

Sea

���

�

�

���

�

�

−−−=

245342013

A

Calcular det(A) usando el método de cofactores

( ) ( )( ) ( )

( )1

1112 011143

01541283

4542

02532

)1(2434

3)det(

−=+−=

+−−−=+−−−=

=−−

+−

−−+

−−

=A

det(A)=a11c11+a12c12+a13c13

�������������

���� �

Método de condensación Este método se basa en lo siguiente

1) Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posibles.

2) Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia un 1 ó –1) y aplicar reiteradamente la propiedad v) hasta reducir a ceros todos los demás elementos de la línea.

3) Desarrollar por cofactores según dicha línea. 4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un

determinante de tercer orden (o de segundo) y obtener su valor por medio de la regla de Sarrus.

Teorema Sea A=[aij] una matriz de nxn con elementos en C

i) Si los elementos de una línea A (renglón o columna) son todos nulos, entonces detA=0

ii) Si B se obtiene de A multiplicando los elementos de una de sus líneas por un elemento λ ∈ C, entonces detB=λdetA

iii) Si B se obtiene de A intercambiando líneas paralelas (dos renglones o dos columnas), entonces detB=-detA

iv) Si dos líneas paralelas, entonces detA=0 v) Si B se obtiene de A sumando a los elementos de una

línea los elementos de una línea paralela multiplicados por un número λ ∈, entonces detB=detA

Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz

�������������

���� �

������

�

�

������

�

�

−−

−−−−

=

1042113120012111012332511

A

Seleccionamos la cuarta columna para efectuar el desarrollo y para “pivote” el tercer elemento de dicha columna. Se multiplica por 2 y –3 el renglón tres y se suma a los renglones uno y cuatro, respectivamente.

1042110553012111012330111

1042113120012111012332511

det

−−−−

−−−

=−

−−

−−−

=A

Desarrollo por cofactores la cuarta columna:

Det(A)=( )( )

1421155311233111

11 7

−−−−

−−

−

Para desarrollar este determinante se escoge el primer renglón para el desarrollo y el elemento de la primera columna como pivote.

�������������

���� �

( )

( ) ( ) ( )3 1 1 *

25318823

104530001

)1(

1421155311233111

1det

−−

−−−

−=−−−−

−−

−=A

( )( )( )253882

1045111det 2 −

−=−−=A

Se selecciona el segundo renglón para el desarrollo y el primer elemento como pivote

( )

( )( )44*

14173002

30245)1(

453882

10451det

−−

−=

−−

−−=A

( )( )( ) ( )

348det

510336214173024

121det 3

=

+−=−−

−−=

A

A

Algunas Aplicaciones Cálculo de la inversa por medio de la adjunta Se conoce como adjunta de una matriz cuadrada A a la transpuesta de la matriz que se obtiene reemplazando los elementos de A por sus respectivos cofactores.

�������������

���� �

Definición Sea A=[aij] una matriz de nxn con elementos en C, y sea cij el cofactor del elemento aij. Se llama adjunta A a la matriz AdjA=[bij], donde bij=cji Por ejemplo, para obtener la adjunta de la matriz

���

�

�

���

�

�

=461421321

A

se calculan los cofactores de todos sus elementos

162484642

11 −=−=��

���

�=c

04141

)1(212 =−=c

( ) 4266121

13 =−==c

( ) ( ) 101884632

121 =−−=−=c

( ) 1344131

22 =−==c

( ) ( ) 4266121

123 −=−−=−=c

�������������

���� �

2684232

31 =−==c

( ) ( ) 1344131

132 −=−−=−=c

0222121

33 =−==c

���

�

�

���

�

�

−−

−=

04411021016

AdjA

( )���

�

�

���

�

�

−=���

�

�

���

�

�

−−

−=

���

�

�

���

�

�

−−

−

���

�

�

���

�

�

=100010001

4400040004

04411021016

461421321

AdjAA

Cual es la relación de –4 con la matriz A si calculamos

4461421321

det −==A

es decir A(AdjA)=(detA)I3

�������������

���� �

Teorema Si A es una matriz de nxn con elementos en C, entonces A-1 existe si y sólo si detA≠0 Si detA≠0, entonces

( )AdjAA

Adet

11 =−

Si 1 −∃ A entonces A

Adet

1det 1 =−

Ejemplo

Calcular la inversa de ��

���

�=4121

A

Utilizando la adjunta C11=4 c12=-1 C21=-2 c22=1

��

���

�

−−

=1124

AdjA

2241124

det =−=−

−=A

���

�

���

�

−−

=−

21

21

12

211A

�������������

���� �

Regla de Cramer Sea

2211

22222121

11212111

bnxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

nnnnn

nn

nn

=+++

=+++=+++

�

����

�

�

un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y sea A=[aij] su matriz de coeficientes Si det(A)≠0 entonces

( )n, 2, ,1 ,detdet

�== kAA

x kk

aij, para j≠k donde Ak=[Cij] es tal que cij bi, para j=k Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la Regla de Cramer

4 2

543

21

21

=+−=−

xx

xx

�������������

� �� �

( )

( )

21122

2 ;11111

2210124253

det

111651445

det

11)8(31243

det

1

2

1

====∴

=−−=−

=

=−−−=−−

=

=−−=−

=

xx

A

A

A

Curso propedéutico de matemáticas

Probabilidad y estadística

Conceptos básicos de estadística

M. en C. Héctor Arnoldo López Zamorano

Facultad de Ingeniería, UNAM

julio de 2006

I. Conceptos básicos de estadística Objetivo Al finalizar el tema, el alumno conocerá lo que es la estadística y algunos de los conceptos básicos relacionados con ella: Población, muestra, eventos, tipos de datos, tipos de errores, etc.

a definición de estadística no es fácil de establecer a pesar de que parece que la usamos a cada instante. Cuando establecemos una cita, acudimos a ella confiando en que ocurrirá o dudando de que se lleve a cabo porque tenemos información que nos indica que la persona es muy cumplida o bastante irresponsable. En otras

palabras, hemos recopilado datos que nos describen a nuestra contraparte y nos hacen prever un posible resultado. Lo anterior describe de manera gruesa el uso de la estadística aunque no la define, porque tal punto parece depender de su utilización, como veremos en el apartado siguiente.

Estadística Dicen Jonson y Kuby en su libro estadística elemental que “la estadística es el lenguaje universal de la ciencia… Es un campo de magia en el que una persona con conocimientos supera a las demás”. Terminan diciendo que la estadística es la “ciencia de recolectar, describir e interpretar datos”. En el libro Estadística de R. R. Pagano encontramos que la estadística estudia las técnicas que se utilizan para describir o caracterizar los datos obtenidos de analizar una población o una parte de ella para hacer inferencias.

Figura 1: En todos los campos de las ciencias siempre necesitamos hacer representaciones adecuadas de información para facilitar su análisis.

L

Como en los dos casos anteriores, hay siempre similitudes pero también diferencias en la definición de tal ciencia, dependiendo de los autores y de las necesidades. Cada uno puede definir esta ciencia que busca los mejores métodos para: establecer de manera precisa un problema que se estudiará en una población bien limitada, determinar que aspectos se evaluarán y a quién se le preguntará (recopilación de datos), encontrar cómo se acomodarán o distribuirán los datos encontrados, descubrir valores que describen a la población y deducir o inferir comportamientos que probablemente ocurran.

Como se puede interpretar en el párrafo anterior, la estadística tiene dos grandes papeles; el primero, de describir a la población que se está estudiando, y el segundo, hacer suposiciones de posibles respuestas de la población cuando se le estimula. La seguridad con que esperaremos tales respuestas estará con fundamento en el retrato hecho, de aquí que la estadística no sólo debe describir sino que debe ser útil para ver hacia el futuro.

Antes de hacer un estudio estadístico es importante definir con la mayor claridad posible qué es lo que se pretende estudiar, cuál es la hipótesis que se busca confirmar o desechar, o cuál es el objetivo que se persigue. Si no hay una idea bien establecida, la información que se reúna no tendrá utilidad y las inferencias carecerán de calidad. Una vez que se sabe lo que se desea, se define quién será la población de estudio; este es otro punto de esencial cuidado en la estadística.

Conceptos básicos Pero, ¿qué es la Población? Es el conjunto más grande o completo de individuos, objetos, observaciones o datos concebibles de un fenómeno determinado que puede ser analizado por el investigador o interesado en el estudio. Como la población puede ser muy grande, en ocasiones se toma una pequeña porción de esa población. Esa pequeña porción se conoce como muestra; dicha muestra se selecciona de tal forma que es representativa de la población; es decir, los resultados arrojados por la muestra son muy similares a los que se obtendrían si fuera posible obtener los datos de toda la población. Como se sabe cuál es el objetivo del estudio, se conoce qué es lo que interesa medir en la muestra; esa propiedad o característica de interés que puede tener diversos valores en diferentes instantes o circunstancias se conoce como variable. La variable puede ser una variable independiente en el experimento si puede ser controlada de forma sistemática por el investigador. Si la variable que se mide en el experimento es una consecuencia o efecto de la variable independiente entonces hablamos de una variable dependiente. Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas; las primeras clasifican, dan atributos o categorías nominales u ordinales a los elementos de la población o muestra, las segundas asignan un valor numérico continuo o discreto. En el caso de variables de valor nominal no se aplican las operaciones aritméticas ni se pueden ordenar; un ejemplo típico de este tipo de variable es la pregunta sobre el sexo del individuo: hombre o mujer. En el caso de variables ordinales es posible hacer una clasificación ordenada porque se tienen respuestas del tipo, “muy satisfecho”, “satisfecho”, “medianamente satisfechos”, etc. que sí pueden ser convertidos en números y analizados. Las variables cuantitativas son probablemente las más comunes en el campo de la ingeniería, porque es muy común que midamos temperaturas o presión en

un proceso, o que midamos unidades de producción; estos son ejemplos de variables numéricas continuas y discretas.

Figura 2: Siempre que llevamos a cabo experimentos es necesario registrar los resultados que se obtienen de las mediciones hechas sobre las variables de interés.

Las medidas recolectadas en el experimento o asociadas a las distintas variables para cada uno de los elementos de la muestra son conocidas como datos. El dato, al estar relacionado con la variable, puede ser un número, una palabra o varias o un símbolo. Los datos se obtienen al desarrollar el experimento de interés para el estudio; el experimento es la realización de la actividad planeada para producir un conjunto de datos, el experimento incluye el cómo seleccionar a la muestra de la población estudiada y también, cómo obtener los datos que se revisarán.

Con base en los datos obtenidos del experimento realizado sobre la muestra, producimos valores numéricos o nominales que los resumen; esto es, producimos una estadística. Si el valor numérico o nominal resume los datos de la población completa entonces se le llama parámetro.

Ejemplifiquemos los párrafos anteriores. Supongamos que el director de la compañía en la que usted trabaja está interesado en saber cuántas horas, en promedio, le dedican sus subalternos a actividades de aprendizaje y superación para mejorar sus actividades profesionales y provocar un cambio positivo en el comportamiento de la organización.

El experimento implica definir exactamente qué es lo que el director de la empresa quiere saber; cómo se realizará el muestreo, es decir, cómo se seleccionará la muestra para que pueda ser representativa de la población, y cómo se obtendrá y analizará la información que permita contestar la interrogante del jefe.

La población serán todos los colaboradores de la compañía.

Si la compañía es muy grande, entrevistarlos a todos será difícil. Por tanto, se eligen por algún método determinados miembros de los distintos departamentos de la empresa, esa es la muestra.

La variable será el tiempo dedicado a actividades de aprendizaje y superación. Si se le preguntara a los empleados cuántas horas dedican a su formación tendremos una variable numérica continua. Si se les preguntara si estudian “mucho”, “poco”,… tendríamos una variable ordinal.

Un dato sería las horas de estudio de uno de los empleados. Por ejemplo, la señorita X estudia 2 horas. Los datos son el conjunto de valores recogidos para la variable al preguntarle a todos los elementos de la muestra: { }2,1,3,2,0,...,1

Si obtenemos el promedio de los datos obtenidos de la muestra, ese es una estadística.

Si el promedio de horas de formación obtenido de la muestra es representativo de todos los empleados de la compañía entonces tenemos un parámetro.

Población y muestra El diseño del experimento estadístico es una tarea bastante difícil. Mediante una delineación adecuada se busca reducir la variación en el experimento y obtener una cantidad específica de información de calidad con un costo mínimo. Uno de los aspectos considerados en el diseño es la selección adecuada de la muestra para obtener buenos datos. Los datos producidos por la muestra son de calidad cuando la información obtenida de ellos de verdad describen a la población; en otras palabras, la muestra es insesgada, sin sesgo o sin diferencia notable con respecto a la población. La muestra es sesgada o se tiene un muestreo sesgado cuando se producen valores que difieren sistemáticamente del comportamiento de la población estudiada. A menudo este sesgo se debe a que se hacen muestreos por conveniencia o de voluntarios. Un muestreo por conveniencia sería suponer que el suministro de energía eléctrica en todos los hogares de la región donde usted vive es siempre el adecuado porque en su casa y la de sus conocidos no hay fallas. Un muestreo de voluntarios está compuesto por resultados recolectados de un grupo de personas que por iniciativa propia acuden a decir que en su casa el suministro eléctrico tiene ciertas características; lo que probablemente ocurra es una mayoría de quejas por el servicio.

Para evitar problemas como los anteriores se han diseñado diversas formas de determinar la muestra con base en un marco muestral de la población, es decir, una lista de todos los elementos que pertenecen a la población en estudio. La manera de elegir a los elementos de una muestra puede ser por juicio o por probabilidad. En las muestras de juicio los elementos de la muestra se eligen con base en el hecho de que son típicas. En las muestras probabilísticas todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos para ser parte de la muestra.

Uno de los muestreos más usados es el muestreo aleatorio simple, en el cual cada uno de los elementos de la población posee la misma probabilidad de ser elegido. Otra manera es mediante la selección sistemática de la muestra, en esta técnica se elige un elemento del marco muestral cada i-ésimo elemento, empezando por elegir de manera

aleatoria al primer elemento; por ejemplo, se puede elegir primero al tercer miembro de la lista, luego el noveno, después el 14º, y así sucesivamente.

Figura 3: La población conforma el conjunto más grande de interés en el estudio. La muestra es un subconjunto que se espera sea representativa de la población.

Si la población presenta demasiadas diferencias, el ingreso económico de la familia por ejemplo, se puede emplear el muestreo aleatorio estratificado, donde se divide a la población en estratos y se elige una cantidad de elementos de cada estrato para la muestra. Si se elige la misma cantidad de miembros de cada estrato se tiene un muestreo proporcional. Si sólo de algunos de los estratos se obtienen elementos para la muestra tendremos un muestreo por conglomerados.

Al intentar recolectar datos de la muestra se espera que estos puedan ser medidos. Como se anota antes, los datos pueden ser nominales, ordinales o numéricos. Cuando se está al cuidado de la calidad de una línea de producción de circuitos eléctricos, podemos establecer que el circuito funciona o no funciona; estos son datos nominales. Si queremos analizar si la línea de producción nos da circuitos mal hechos “muy frecuentemente, “frecuentemente”, “con poca frecuencia” o “nunca”, tendremos datos ordinales. Si procesamos cuántos circuitos defectuosos nos produce cada hora esa línea, tendremos datos numéricos. En el campo de la ingeniería es más común tener datos numéricos continuos o discretos, mientras que en el campo de las ciencias sociales se encuentran con frecuencia los tres tipos de dato.

Al recolectar datos numéricos podemos emplear instrumentos de medición que presentarán variaciones en su medición. Cuando se realiza la medición de algún factor como puede ser temperatura, presión, flujo, longitud, tiempo, etc. con un instrumento que siempre produce el mismo resultado, pueden estar ocurriendo una o ambas cosas de las que a continuación se anotan: el instrumento no sirve o no está calibrado con una unidad suficientemente pequeña. En cualquier medición se presenta siempre variación, ya sea al medir un mismo factor con distintos instrumentos o utilizar un solo instrumento para medir el mismo factor en distintos instantes. La variabilidad puede conducir a errores en el análisis estadístico.

Tipos de errores Cuando buscamos la información para determinar parámetros o estadísticas que describan una población o una muestra podemos cometer dos tipos de errores: errores muestrales o errores no muestrales.

Los errores muestrales se deben a que, al seleccionar la muestra de la población, aquella no es un buen descriptor de esta última. La manera de eliminar o disminuir este error es seleccionando de manera adecuada a la muestra.

Los errores no muestrales están relacionados con la necesidad de obtener o medir la magnitud de alguna propiedad. Cuando medimos, por diversas razones, cometemos errores y tenemos incertidumbres.

El error (e ) es la diferencia entre la magnitud real de la propiedad ( realm ) y el valor encontrado en la medición ( medm ).

real mede m m= −

El error relativo ( E ) es la razón del error entre el valor de la magnitud real; si al cociente se le multiplica por cien tenemos el error relativo porcentual ( %E ).

real

eEm

=

% 100real

eEm

= ×

Dado que no conocemos la medida real de la propiedad no es posible determinar el error de la medida; lo que sí podemos hacer es establecer un límite superior razonable del error, esto es la incertidumbre ( I ). Con esta información podemos advertir que una medida es de magnitud m con incertidumbre I del siguiente modo

m I±

es decir, el valor real de la medida está contenido en el intervalo anterior representado gráficamente en el siguiente esquema.

La incertidumbre relativa indica la tasa de precisión de la medida

med

Im

.

La precisión aumenta conforme disminuye la incertidumbre.

No es posible conocer el valor verdadero de la propiedad que se está revisando, mas lo que sí se puede hacer es disminuir la incertidumbre disminuyendo el tamaño del error. Para reducir el efecto del error es importante saber de qué tipo es; las clasificaciones son:

Errores sistemáticos: Se deben a factores no considerados que alteran de manera significativa el resultado; debido a los dispositivos o métodos de medición como pueden ser errores de calibración, sensibilidad del instrumento, modificación de resultados como consecuencia de la introducción del instrumento al sistema investigado, etc. Los errores sistemáticos son sesgados en una sola dirección; es decir, todas las medidas hechas son superiores al valor real o todas son menores.

Errores de precisión: Todo aparato de medición tiene limitaciones en la precisión. Una regla escolar, por ejemplo, tiene hasta milímetros en la escala, entonces, al medir el ancho de una hoja de papel puede quedar la orilla entre dos líneas de la escala, automáticamente habrá que elegir por uno de ellos, la línea más cercana, y estaremos dando origen a un error. La incertidumbre, en casos como el aquí descrito, será la mitad de la mínima división de la escala.

216 0.5mm±

Figura 4: Cuando llevamos a cabo mediciones es difícil que el indicador coincida con una cota exacta, en consecuencia aproximamos la medida; esto implica tener un error inevitable.

Errores de observación: Estos errores se deben a que el operador no actúa de manera adecuada durante la obtención de las lecturas; por ejemplo, puede que antes de llevar a cabo las operaciones de medición no haya calibrado el aparato, tiene problemas de reacción cuando se requieren acciones inmediatas para parar un conteo, no observa la escala desde un ángulo adecuado, etc. Estos errores se pueden eliminar o limitar.

Errores estadísticos o aleatorios: En todo proceso de obtención de medidas se tendrán fuentes no controladas de errores que modifican aleatoriamente el valor de la medida. Estos errores no se pueden eliminar pero se pueden disminuir sus efectos repitiendo muchas veces la medida. Al repetir la medición provocamos de manera aleatoria que en algunas ocasiones el valor medido sea mayor que el valor real y otras tantas veces sea menor.

Ya que no es posible conocer el valor real de una medición lo que nos queda es encontrar el valor más probable de la propiedad de interés, para tal fin requeriremos determinar valores promedios. Esta y otras medidas de tendencia central y sus dispersiones se estudian en las siguientes secciones.

Bibliografía de consulta recomendada

Robert Jonson y Patricia Kuby, Estadística elemental. Thomson Learning, 2004, México.

Robert R.Pagano, Estadística para las ciencias del comportamiento. Thomson Learning, 2006, México.

J.Susan Milton y Jesse C. Arnold, Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales. McGraw Hill, 2004, México.

Curso propedéutico de matemáticas

Probabilidad y estadística

Medidas de tendencia central y de dispersión

M. en C. Héctor Arnoldo López Zamorano

Facultad de Ingeniería, UNAM

julio de 2006

II. Medidas de tendencia central y de dispersión Objetivo Al finalizar el tema, el alumno conocerá las formas de ordenar representar la información producida en un experimento y sabrá cómo obtener las medidas de tendencia central y de dispersión para datos sin agrupar y agrupados.

os datos producidos durante las mediciones en un experimento, normalmente, resultan estar sin un orden específico; son difíciles de interpretar y analizar. Por lo anterior se vuelve indispensable buscar la mejor manera de ordenar la información y darle la mejor representación para que

pueda “decirnos algo”. El análisis de los datos y su calidad justifica la obtención de medidas de tendencia central que describan a la muestra o a la población y de medidas de dispersión para conocer que tan consistentes son los datos.

Representación gráfica de la información estadística Cuando llevamos a cabo tareas de medición, éstas las realizamos de manera individual y las registramos en algún lugar como puede ser una hoja simple de papel, una bitácora, una tarjeta de adquisición de datos, una hoja de cálculo de algún programa computacional, etc. Una vez concluida la etapa de recolección de información hacemos su ordenamiento para facilitar la interpretación y uso de tales datos, un arreglo bastante común son las tablas de distribución de frecuencias que presentan los valores de las mediciones y la frecuencia con que se registraron.

Por ejemplo, las temperaturas máximas, en ºC, registradas en distintas regiones del país son: 24, 27, 32, 24, 42, 45, 28, 27, 32, 35, 39, 38, 37, 42, 47, 28, 45, 33, 30, 27, 32, 45, 27, 35, 25, 37, 39, 41, 38, 36, 29, 28, 43, 37, 32, 41, 38, 27, 30, 35, 39, 32, 36, 42, 25, 29, 30, 27, 41, 37. Estas cifras las podemos ordenar en una tabla de frecuencias de menor a mayor temperatura:

Tabla 1: Tabla de frecuencias (frec en la tabla) de temperaturas en ºC (TºC en la tabla).

T ºC frec T ºC frec T ºC frec T ºC frec

24 2 31 0 38 3 45 3

25 2 32 5 39 3 46 0

26 0 33 1 40 0 47 1 Datos totales

27 6 34 0 41 3 N=50

28 3 35 3 42 3

29 2 36 2 43 1

30 3 37 4 44 0

L

Cuando la cantidad de datos es muy grande podemos emplear intervalos para agruparlos y facilitar su manejo. Para construir una tabla de frecuencias agrupadas seguimos los pasos:

1. Encontrar el rango ( R ) de datos, es decir, encontrar la diferencia entre el valor mayor ( mayorV ) y el valor menor ( menorV ) del ordenamiento;

47 24 23mayor menorR V V= − = − =

2. Determinar la amplitud del intervalo constante ( I ). Podemos definir un número (n ) adecuado de intervalos para tener

23 3.86

RIn

= = ≈ (Se considera que seis intervalos son adecuados. Cuando

el intervalo tiene decimales se redondea al número inmediato inferior o superior con las mismas cifras significativas que los datos, 4I = .)

Otra opción es elegir el número de intervalos ( 6n = ) y el ancho del intervalo de clase ( 4I = ) de modo que nI R≥ , con números ( )( )4 6 21≥ .

3. Construir una tabla donde coloquemos los intervalos y las frecuencias de datos para cada uno. Considere, al establecer el límite inferior, éste debe contener al dato mínimo y debe ser divisible entre el intervalo.

Observe que el dato más pequeño es 24, este puede ser nuestro límite inferior ya que es divisible entre el intervalo

24 64

menorV enteroI

= = =

Tabla 2: Tabla de frecuencias agrupadas para los datos utilizados en la tabla 1.

Intervalo de clase

Límites reales

Marca de clase Frecuencia

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa (%)

Frecuencia relativa acumulada (%)

24 27− 23.5 27.5− 25.5 10 10 20 20 28 31− 27.5 31.5− 29.5 8 18 16 36 32 35− 31.5 35.5− 33.5 9 27 18 54 36 39− 35.5 39.5− 37.5 12 39 24 78 40 43− 39.5 43.5− 41.5 7 46 14 92 44 47− 43.5 47.5− 45.5 4 50 8 100

La frecuencia acumulada indica la cantidad de datos que están por debajo del límite real superior de cada intervalo. La primera fila de la frecuencia acumulada registra el mismo valor que en la frecuencia porque no hay valores menores, en la segunda fila ya se le ha sumado el siguiente valor de la frecuencia (10 8 18+ = ), en la tercera fila hacemos lo mismo (18 9 27+ = ), y así sucesivamente.

La frecuencia relativa porcentual ( %if ) es la razón entre la frecuencia del intervalo ( if ) y la cantidad total de datos ( N )

10% 100 20%50if = × =

18% 100 16%50if = × = (los demás datos se tratan igual)

La frecuencia relativa acumulada se construye del mismo modo que la frecuencia acumulada, la diferencia estriba en que utilizamos la columna de frecuencias relativas.

Toda la información que se ha manejado hasta aquí la podemos representar mediante diversos gráficos. A partir de la tabla 1 podemos construir una gráfica o diagrama de barras (figura 5).

Diagrama de barras

0

1

2

3

4

5

6

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47Temperatura en ºC

Frec

uenc

ia

Figura 5: Diagrama de barras donde se muestra para cada temperatura con qué frecuencia se registró (de la tabla 1).

Diagrama de barras para datos agrupados

02468

101214

24-27 28-31 32-35 36-39 40-43 44-47

Intervalos

Frec

uenc

ia

Figura 6: Diagrama de barras donde se muestra para cada intervalo de temperatura con qué frecuencia se registró (de la tabla 2).

En lugar de diagramas de barras podemos emplear polígonos de frecuencia como en la figura 7, que los datos de la tabla 2 son representados mediante un polígono de frecuencia y un polígono de frecuencias acumuladas.

Polígono de frecuencias

0

2

4

6

8

10

12

14

25.5 29.5 33.5 37.5 41.5 45.5

Punto medio del intervalo

Frec

uenc

ia

0

10

20

30

40

50

60

FrecuenciasFrecuencias acumuladas

Figura 7: Se muestran los polígonos de frecuencias y de frecuencias acumuladas para los datos de la tabla 2.

Con las frecuencias relativas podemos construir gráficas de pastel, como el de la figura 8.

Gráfica de pastel

24-2720%

28-3116%

32-3518%

36-3924%

40-4314%

44-478%

Figura 8: Gráfica de pastel para las frecuencias relativas de la tabla 2, se indica el intervalo y el porcentaje de datos para cada uno de ellos.

Medidas de tendencia central y dispersión Con los datos acomodados del mejor modo, como en la sección anterior, podemos determinar estadísticas que nos permitan describir a la muestra y, como consecuencia, a la población en análisis. Vamos a determinar primero las medidas

de tendencia central como la media aritmética o promedio, la media geométrica, la media armónica, la mediana y la moda; posteriormente aprenderemos a obtener medidas de dispersión como la varianza y la desviación estándar.

Las medidas de tendencia central tratan de indicar con un solo valor representativo los datos recogidos, como es muy poco común que los datos coincidan con la media podemos indicar que tan lejos quedan los datos de la media mediante una medida de la dispersión.

La media aritmética o promedio es la medida de tendencia central más calculada, la encontramos sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre la totalidad de datos.

1

n

i ii

x fX

N==∑

Para los datos de la tabla 1 tendremos

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )24 2 25 2 26 0 ... 47 1 1715 34.350 50

X+ + + +

= = =

Para los datos de la tabla 2 nos quedarán

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )25.5 10 29.5 8 33.5 9 37.5 12 41.5 7 45.5 4 1714.16 34.29250 50

X+ + + + +

= = =

Podemos ver que para datos del mismo origen hay una pequeña diferencia entre la media para datos individuales y para datos agrupados, esto es bastante normal. Siempre se presenta un sesgo al hacer el cálculo con los datos agrupados

La media aritmética, y para cualquier otro tipo de media puede hacerse un razonamiento similar, puede interpretarse como el centro de gravedad de un cuerpo conformado por todos los datos obtenidos. Si imaginamos, como en la figura 9, que los datos son unos pequeños cuerpos con peso en proporción de su magnitud colocados sobre una tabla, la media será el punto donde tanto a la izquierda como a la derecha nos queda el mismo peso, es decir, la media actúa como el soporte de una balanza en equilibrio.

Figura 9: Representación simbólica de lo que significa la media de un conjunto de datos numéricos.

Cuando la media aritmética no es una buena estadística o parámetro probablemente tengamos una mejor representación empleando lo que se conoce como media geométrica. La media geométrica está dada por la fórmula

1

i

nfNG i

i

X x=

= ∏

Para los datos { }2,5,3,4,8 la media geométrica es

( )( )( )( )( )5 2 5 3 4 8 3.949GX = =

Para los datos de la tabla 2 tendremos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 8 9 12 7 450 25.5 29.5 33.5 37.5 41.5 45.5 33.72GX = =

Observe como la media geométrica es menor que la media aritmética. Esto siempre se presenta cuando para los mismos datos se obtienen la media aritmética y la media geométrica.

La media armónica para una colección de datos se obtiene aplicando la fórmula

1

A ni

i i

NXfx=

=

∑

Para los datos con que calculamos la primera media geométrica tendremos

5 3.551 1 1 1 12 5 3 4 8

AX = =+ + + +

Para los datos de la tabla 2 tendremos como media armónica

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

50 33.1410 8 9 12 7 425.5 29.5 33.5 37.5 41.5 45.5

AX = =+ + + + +

Aquí también puede observarse que la media armónica es menor que la media geométrica. En general, al comparar las distintas medias se cumple la desigualdad

A GX X X< <

La mediana ( Med ) es un valor que divide a los datos en dos subconjuntos de cardinalidad igual, esto es, la mitad de los datos es menor que la mediana y la otra mitad es mayor. Para obtener la mediana de una colección de magnitudes seguimos los pasos anotados a continuación.

1. Debemos ordenar los datos de menor a mayor o de mayor a menor.

2. Para encontrar la mediana de datos no agrupados necesitamos calcular la posición del valor mediano o profundidad de la mediana ( p ) utilizando la fórmula

12

Np +=

3. el valor mediano es el dato de la colección ordenada que deje sobre él la misma cantidad de valores que debajo de él. Si la cantidad de magnitudes es impar, es decir , N es impar, el valor de p es un entero e indica la posición del valor mediano en los datos ordenados. Si p no es un entero porque N es par entonces la mediana es el promedio de los dos datos centrales de la colección ordenada.

Por ejemplo, para los datos { }5,3,8,9,11,6,5 que ordenados de menor a mayor quedan:

Posición 1 2 3 4 5 6 7 Dato 3 5 5 6 8 9 11

La profundidad la obtenemos de sustituir 7N = , que es la cardinalidad del conjunto de datos, en la ecuación del punto 2

7 1 42

p += =

Como p es un entero entonces la mediana es el dato de la posición 4:

6Med =

Podemos ver que hay tres valores menores que seis, { }3,5,5 , y tres mayores,

{ }8,9,11 .

Para el conjunto de datos { }5,3,8,9,11,6,5,4 tendremos el orden

Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 Dato 3 4 5 5 6 8 9 11

Tendremos que 1 8 1 4.52 2

Np + += = =

Como p no es un entero, para determinar la mediana, tomaremos los datos de las posiciones 4 y 5 para obtener su promedio:

5 6 5.52

Med += =

Podemos ver por que tenemos el conjunto de valores menores que 5.5 { }3,4,5,5 y el conjunto de magnitudes mayores que 5.5 { }6,8,9,11 ; ambos conjuntos son de cardinalidad cuatro.

Si los datos están agrupados, como en la tabla 3 que copiamos de la tabla 2, la manera de determinar la mediana requiere más información.

Tabla 3. Tabla de datos agrupados para el cálculo de la mediana

Intervalo de clase

Límites reales

inf supx x− Marca de clase ix

Frecuencia if

Frecuencia acumulada i

acumf Frecuencia relativa

acumulada (%) %iacumf

24 27− 23.5 27.5− 25.5 10 10 20 28 31− 27.5 31.5− 29.5 8 18 36 32 35− 31.5 35.5− 33.5 9 27 54 36 39− 35.5 39.5− 37.5 12 39 78 40 43− 39.5 43.5− 41.5 7 46 92 44 47− 43.5 47.5− 45.5 4 50 100

Dado que hay 50N = datos, la profundidad de la mediana estará en

1 50 1 25.52 2

Np + += = =

Esto quiere decir que la mediana nos dejará 25 datos superiores a ell y 25 valores menores, pero al estar agrupados solamente sabemos que está en el intervalo 32 35− porque la frecuencia acumulada llega en ese intervalo a 27. Para determinar la mediana emplearemos la fórmula

( )1

inf

ip acum

i

I f fMed x

f

−−= +

Utilizando la información disponible:

inf 31.5x = (Límite inferior real del intervalo que contiene a la mediana)

4I = (Amplitud del intervalo)

25pf = (Frontera de la mediana o cardinalidad de los subconjuntos de los elementos mayores y menores)

1 18iacumf − = (Frecuencia acumulada para el intervalo inmediato anterior al que

contiene la mediana)

9if = (Frecuencia del intervalo que contiene a la mediana)

Entonces

( )( )4 25 1831.5 34.6

9Med

−= + =

Puede notarse que la mediana está muy cerca del límite superior del intervalo 32 35− , la razón de que eso ocurra se debe a que la frecuencia acumulada apenas llega a 27 mientras que la mediana debiera estar entre los elementos 25 y 26. Si observa la tabla 1 verá que la mediana es de 35 debido a que en este valor se completan los 25 valores menores que la mediana y 25 mayores. Sin embargo, el valor determinado con la fórmula no es muy distinto.

La moda ( Mod ) es el dato o intervalo de mayor frecuencia, para la tabla 3 el intervalo modal es el intervalo 36 39− .

Normalmente la media, la mediana y la moda nos darán valores distintos a menos que la distribución sea unimodal y simétrica. Para los cálculos aquí mostrados no se tiene igualdad en los valores porque, como se puede en las figuras 6 y 7, se tiene una distribución sesgada o no simétrica.

Cuando el sesgo es hacia la izquierda se presenta la desigualdad (figura 10)

Mod Med X< <

Cuando el sesgo es hacia la derecha se tiene la desigualdad (figura 10)

X Med Mod< <

Figura 10: Comparación de estadísticos cuando hay sesgo en la distribución.

Las medidas de dispersión nos dicen qué tan cerca están los datos de la muestra del valor encontrado para describirla. La primera medida de dispersión que se analiza es el rango de dispersión, posteriormente analizaremos la desviación estándar y la varianza, quizá los valores más utilizados para describir la dispersión de los datos.

Una manera rápida de revisar la precisión de una medida es el rango ( R ), cuanto menor es éste mayor es la precisión o la repetición de las medidas. El rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de los datos:

mayor menorR V V= −

Para los datos { }5,3,7,3,9,10,2,7,11 el rango es

11 2 9mayor menorR V V= − = − =

La desviación estándar la podemos determinar para una muestra ( s ) o para una población (σ ).

Consideremos una serie de mediciones del voltaje eléctrico que suministran dos compañías llamadas CEFITO y FORZITO:

CEFITO 125 120 128 126 127 130 124 FORZITO 130 112 108 124 135 133 138

Si obtenemos la media aritmética para el voltaje de la compañía CEFITO tenemos

125 120 128 126 127 130 124 125.77

CEFITOV

V VN

+ + + + + += = =∑

Mientras que para la compañía FORZITO resulta

130 112 108 124 135 133 138 125.77

FORZITOV

V VN

+ + + + + += = =∑

Como se puede ver los promedios son muy similares pero si se observa con cuidado la figura 11 se puede notar que una colección es más dispersa que la otra.

Dispersión de voltajes medidos

105

110

115

120

125

130

135

140

Volta

je

CEFITO FORZITO

Figura 11: Comparación de la dispersión de los datos.

Ya que el promedio no indica que compañía suministra un voltaje más o menos constante se necesita evaluar la variación de las medidas, para ello se calculará la desviación estándar. Esta desviación es un buen parámetro porque cuando se comparan, las medidas más constantes proporcionan desviaciones estándar menores que aquellas más dispersas; la razón de esa diferencia es porque la desviación estándar es una especio promedio modificado de las diferencias entre los datos y su media aritmética.

La fórmula para determinar la desviación estándar de una muestra es

( )2

1

1

N

ii

x Xs

N=

−=

−

∑

Y la desviación estándar de una población es

( )2

1

N

ii

x X

Nσ =

−=∑

La diferencia entre la fórmulas se debe a que la desviación estándar de una muestra casi siempre subestima la desviación estándar de la población de estudio, de ahí que para disminuir el error para s la división se realice entre

1N − .

En la tabla 4 se muestran los cálculos para la determinación de desviaciones estándar.

Tabla 4. Valores para el cálculo de las desviaciones estándar para los voltajes medidos para las compañías CEFITO Y FORZITA.

CEFITO FORZITO

ix ix X− ( )2

ix X− ix ix X− ( )2

ix X−

125 -0.7 0.49 130 4.3 18.49

120 -5.7 32.49 112 -13.7 187.69

128 2.3 5.29 108 -17.7 313.29

126 0.3 0.09 124 -1.7 2.89

127 1.3 1.69 135 9.3 86.49

130 4.3 18.49 133 7.3 53.29

124 -1.7 2.89 138 12.3 151.29

Suma 61.43 Suma 813.43

Utilizando los resultados de la tabla 4, que 7N = y la fórmula para la desviación estándar se tiene

61.43 3.27 1CEFITOs = =−

813.43 11.647 1FORZITOs = =−

(Las unidades para la desviación estándar son las mismas que las de la variable o de los datos.)

Los resultados muestran, al igual que le gráfico o el rango de dispersión, que en el caso de la compañía FORZITO hay más variación en los datos recogidos.

La varianza de la muestra o de la población es el cuadrado de su respectiva desviación estándar. Para el ejemplo las varianzas son:

( ) ( )2 2CEFITOVarianza 3.2 10.24CEFITOs= = =

( ) ( )2 2FORZITOVarianza 11.64 135.49FORZITOs= = =

Fórmulas alternas para el cálculo de las desviaciones estándar son las siguientes:

( )

2

222 1

1 11

1 1

N

i N NNi

i iii ii

xN x xx

NsN N N

=

= ==

−−

= =− −

∑∑ ∑∑

2

222 1

1 112

N

i N NNi

i iii ii

xN x xx

NN N

σ

=

= ==

−−

= =

∑∑ ∑∑

Si los datos son agrupados las fórmulas a emplear en los cálculos son las que se anotan a continuación.

( )2

1

1

n

i ii

f x Xs

N=

−=

−

∑

( )2

1

n

i ii

f x X

Nσ =

−=∑

O también

( )

2

222 1

1 11

1 1

n

i i n nni

i i i ii ii ii

f xN f x f xf x

NsN N N

=

= ==

−−

= =− −

∑∑ ∑∑

2

222 1

1 112

n

i i n nni

i i i ii ii ii

f xN f x f xf x

NN N

σ

=

= ==

−−

= =

∑∑ ∑∑

Si se retoma la tabla 3 y se le modifica un poco para adaptarlo a las nuevas necesidades y al empleo de las fórmulas dadas antes de este párrafo entonces se tiene la tabla 5.

Tabla 5. Acomodo de información para el cálculo de la desviación estándar de una muestra de datos agrupados.

Intervalo de clase Marca de clase ix

Frecuencia if i if x 2

i if x

24 27− 25.5 10 255 6502.5 28 31− 29.5 8 236 6962 32 35− 33.5 9 301.5 10100.25 36 39− 37.5 12 450 16875 40 43− 41.5 7 290.5 12055.75 44 47− 45.5 4 182 8281

Sumas 1715 60776.5

La aplicación de la fórmula da

( )( )( ) ( )

( )( )

22

21 1 50 60776.5 1715

6.311 50 49

n n

i i i ii i

N f x f xs

N N= =

− − = = =−

∑ ∑

La varianza es

2 39.82s =

Bibliografía de consulta recomendada

Robert R.Pagano, Estadística para las ciencias del comportamiento. Thomson Learning, 2006, México.

J.Susan Milton y Jesse C. Arnold, Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales. McGraw Hill, 2004, México.

William W. Hines y Douglas C. Montgomery, Probabilidad y estadística para ingenieros. CECSA, 2000, México

Curso propedéutico de matemáticas

Probabilidad y estadística

Distribuciones discretas y continuas

M. en C. Héctor Arnoldo López Zamorano

Facultad de Ingeniería, UNAM

Julio de 2006

III. Distribuciones discretas y continuas Objetivo Al finalizar el tema, el alumno conocerá algunas de las distribuciones discretas y continuas más comunes y aprenderá a utilizarlas para hacer estimaciones, principalmente se enfatizará en la distribución normal.

n las secciones estudiadas antes se han descrito algunos conceptos útiles en la estadística y el tratamiento que se le puede dar a los datos. Se dio la definición de variable y los tipos de datos que esta recoge: valores discretos o valores continuos. En esta sección vamos a trabajar con funciones que

utilizan a las variables discretas y continuas.

Densidades de probabilidad de funciones de variables discretas Cuando el conjunto de valores que puede tomar una variable es finito o infinito pero contable se está trabajando con una variable aleatoria discreta (figura 3.1). Cuando se realiza un experimento estadístico no basta con determinar sus valores posibles, también se requiere determinar la probabilidad de que tal valor ocurra; dicha probabilidad viene dada por una expresión matemática conocida como función o densidad de probabilidad discreta, que formalmente se define

La función dada por ( ) [ ]f x P X x= = es la función de densidad de probabilidad discreta para que la variable discreta X tome el valor x .

Figura 3.1. El conteo de vehículos que pasan por alguna calle es una variable aleatoria discreta.

Toda función de probabilidad requiere que se cumplan dos condiciones:

E

1. ( ) 0f x ≥

2. ( ) 1x

f x∀

=∑

Las condiciones anteriores establecen que no hay probabilidades negativas y la suma de todas las probabilidades de los valores de X debe ser uno. También se puede deducir de la última condición que no cualquier expresión matemática puede ser una función de probabilidad.

Para la función

( ) 2

144 , 1, 2,3, 4.205

f x xx

= =

Se puede determinar si es o no una función de densidad de probabilidad construyendo una tabla de probabilidades como la de la tabla 3.1 donde sustituimos el valor de la variable x en la función ( )f x :

Tabla 3.1. Tabla de probabilidades para la función ( ) 2

144 , 1, 2,3, 4.205

f x xx

= =

x 1 2 3 4

( )f x 144205 36

205 16205 9

205

( )F x 144205 180

205 196205 1

La probabilidad de que la variable x tome el valor de 1 es de 144205 ,

matemáticamente ( ) 1441 205f = ; del mismo modo se pueden interpretar los demás valores. En la tercera fila de la tabla 3.1 añadimos lo que se conoce como la función de densidad acumulada que se define mediante la expresión

( ) [ ] ( )0

0 0x x

F x P X x f x≤

= ≤ = ∑ .

Podemos ver que la suma de todas las probabilidades definidas en la segunda fila es uno, que es el último valor de la tercera fila.

Así, la probabilidad de que X tome un valor de tres o menor que tres es 196205

obtenido de hacer

( ) [ ] 23

144 144 36 16 1963 3205 205 205 205 205x

F P Xx≤

= ≤ = = + + =∑ .

Otro concepto importante es el de valor esperado o esperanza, ( )E W x , de una variable aleatoria discreta ( )W x que se define como

( ) ( ) ( )x

E W X W x f x∀

= ∑

Por tanto, el valor esperado o esperanza para el caso [ ]W X X= es

( ) ( )x

E X xf x∀

=∑

Esta última esperanza es el valor promedio o media aritmética que se espera se obtenga al recopilar los datos producidos en la realización del experimento. Para el

caso planteado con la función ( ) 2

144 , 1, 2,3, 4205

f x xx

= = se tendrá la esperanza

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6036 16 91441 2 3 4205 205 205 205 41E X = + + + =

Es decir, se espera que el promedio de resultados esté entre 1 y 2,

específicamente 6041

, porque estos son más probables de ocurrir que los otros

valores de la variable.

La varianza está dada por

( )22VarX E Xσ µ = = −

si conocemos la media de la población, .µ Si tal media es desconocida, como en la mayoría de los casos ocurre, se puede aplicar la expresión

[ ]( )22 2VarX E X E Xσ = = −

Para el caso anterior la esperanza de la variable al cuadrado es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 57636 16 91441 2 3 4205 205 205 205 205xE X x f x

∀

= = + + + = ∑

Como ya se conoce la esperanza de la variable, entonces la varianza es

2576 60 5616205 41 8405

VarX = − =

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza

2VarXσ σ= =

Entonces la desviación estándar para el caso aquí revisado es

5616 0.817428405

σ = = .

I. Ejercicios

1. Dé un ejemplo de una variable aleatoria discreta finita y de una variable aleatoria discreta infinita.

2. Una agencia de renta de automóviles recibe 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 autos que le

regresan cada día, con probabilidades de 16

, 16

, 13

, 112

, 16

y 112

,

respectivamente. Compruebe que las razones o probabilidades dadas de verdad son una función de densidad, determine la esperanza de la variable o sea la media y encuentre la desviación estándar.

3. Determine el valor de la constante k que hace que la expresión

( ) 3 , 1, 2,3, 4,5,6f x xkx

= = sea una función de densidad. Construya una

tabla de densidad y densidad acumulada. Indique cuáles son los valores de ( )4f y de ( )4F , ¿son iguales? ¿por qué? Determine la media, la varianza

y la desviación estándar de la variable.

4. Una mano de póker de cinco cartas puede contener de 0 a 4 ases (la baraja es de 52 cartas). Si X es la variable aleatoria discreta que denota el número de ases en la mano, ¿Cuáles son las probabilidades asociadas con cada valor posible de X ? ¿Cuáles son los valores de la media y la desviación estándar?

Distribución binomial Esta distribución tiene las siguientes propiedades

1. El experimento consiste de una cantidad fija n de ensayos que dan solamente uno de dos posibles resultados “éxito” o “fracaso”.

2. La probabilidad de “éxito”, p , es constante. La probabilidad de “fracaso”, q , es 1q p= − .

3. La variable aleatoria discreta X representa el número de éxitos obtenidos en los n ensayos.

La función de distribución binomial está definida por

( ) ( )1 , 0,1, 2,3,..., ; 0 1n xx x n xn nf x p p p q x n p

x x− −

= − = = < <

y además

[ ]E X npVarX npq

µ= =

=

Donde ( )

!! ! n x

n n Cx x n x

= = −

Figura 2. El lanzamiento de una moneda es un experimento de Bernoulli porque sólo hay dos posibles resultados (cara o revés). Varios lanzamientos de moneda son un experimento binomial.

La distribución binomial acumulativa es

( ) ( )0

1x

n ll

l

nF x p p

l−

=

= −

∑

Para un experimento en que se realizan 8 ensayos con una probabilidad de éxito en cada uno de ellos de 0.30 tendremos la función de densidad

( ) ( ) ( )880.30 1 0.30x xf x

x−

= −

Que nos producirá la tabla de densidades

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ( )f x

0.0576

0.1976

0.2965

0.2541

0.1361

0.0467

0.0100

0.0012

0.0001

( )F x

0.0576

0.2552

0.5517

0.8058

0.9419

0.9886

0.9986

0.9998

0.9999

La esperanza será de

[ ] ( )8 0.30 2.4E X = =

y la varianza será de

( )( )8 0.30 1 0.30 1.68VarX = − =

con una desviación estándar de

1.2961σ =

Con base en la tabla podemos decir que la probabilidad de tener tres éxitos es

( ) ( )3 3 0.2541P X f= = =

y la probabilidad de tener menos de cuatro éxito es

( ) ( ) ( )4 3 3 0.8058P X P X F< = ≤ = =

La probabilidad de tener cinco o más éxitos es

( ) ( ) ( ) ( )5 1 5 1 4 1 4 1 0.9419 0.0581P X P X P X F≥ = − < = − ≤ = − = − =

Los valores obtenidos aquí se pueden encontrar también en tablas de distribución binomial que encontramos comúnmente en libros de probabilidad y estadística.

II. Ejercicios

1. Se ha observado que un instrumento de medición de temperaturas ubicado en una instalación remota reporta de manera correcta el 90% de las lecturas hechas. Si cada mes se realizan diez monitoreos, construya la tabla de densidad y de densidad acumulada para el instrumento. Calcule la probabilidad de que al menos ocho lecturas sean correctas. Encuentre la probabilidad de que más de cinco lecturas sean correctas. Determine la media y la desviación estándar de operación del instrumento.

2. Se planean seis pruebas para un equipo industrial. La probabilidad de que el equipo funcione de manera adecuada es de 0.95. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione de manera exitosa al menos en cuatro ocasiones?

3. En el control de calidad de la fabricación de circuitos electrónicos se ha determinado que en cada lote de 100 circuitos se encuentran dos defectuosos. Si de la línea de producción se toman 15 circuitos cuál es la probabilidad de que cuando mucho tres de ellos fallen. Determine la probabilidad de que al menos diez de ellos funcionen correctamente.

Distribución hipergeométrica Esta distribución tiene las siguientes propiedades

1. Se tienen N objetos que conforman la población con la que se hará el estudio. En esta población se tienen r objetos con una particularidad que interesa analizar.

2. De la población se toma una muestra de tamaño n , que se espera sea representativa. Al extraer la muestra no hay remplazo.

3. La variable aleatoria X representa a la cantidad de objetos en la muestra que tienen la particularidad de interés. Tener el objeto particular es un éxito, no tenerlo se considera fracaso, es decir X es el número de éxitos.

En la figura 3 se representan estas condiciones.

Figura 3. Contexto del análisis de una distribución hipergeométrica.

La función que describe esta distribución de probabilidades es

( )

r N rx n x

f xNn

− − =

sujeta a la condición ( ) ( )máx 0, mín ,n N r x n r− − ≤ ≤

Donde N , r y n son números naturales.

La esperanza [ ]E X para esta distribución está dada por la fórmula

[ ] rE X nN

=

Y la varianza es

1r N r N nVarX nN N N

− − = −

La condición debe interpretarse del siguiente modo: x está entre el valor mayor que resulta de comparar 0 y ( )n N r− − y el valor menor que se encuentra al contrastar n con r . La función y las condiciones se analizan en el siguiente ejemplo.

Considere que en el almacén de una compañía eléctrica se tienen 19 interruptores y que 6 de ellos son inservibles, pero esta característica no se nota a simple vista. Si se toman 10 de los interruptores para emplearlos en instalaciones eléctricas, la función de densidad, considerando como éxito tener un interruptor defectuoso, para

19N = , 6r = , 10n = , será

( )

6 19 6 6 1310 1019 9237810

r N rx n x x x x x

f xNn

− − − − − = = =

Para la condición hacemos ( ) ( )10 19 6 3n N r− − = − − = − y al comparar con 0 tomamos como límite inferior a 0 por ser mayor que 3− . Al comparar n con r tomamos el límite superior de x como 6. Entonces la función y su condición es

( )

6 1310

92378x x

f x

− = con 0,1,2,...,6x =

La probabilidad de instalar exactamente cinco interruptores defectuosos es

( ) ( )( )6 13 6 13

6 12875 10 5 5 5 27592378 92378 92378 323

f

− = = = =

La probabilidad de colocar al menos tres interruptores inservibles es

( ) ( ) ( ) ( )6

33 1 3 1 2

xP x f x P x F

=

≥ = = − < = −∑

( ) ( ) ( ) ( )

6 13 6 13 6 130 10 1 9 2 8 4793 1 0 1 2 192378 92378 92378 646

P x f f f

≥ = − + + = − + + =

La esperanza de la variable discreta será

[ ] 6 601019 19

rE X nN

= = =

Y la varianza resultará

6 19 6 19 10 390101 19 19 19 1 361

r N r N nVarX nN N N

− − − − = = = − −

III. Ejercicios

1. Encuentre los posibles valores de la variable discreta cuando 15N = , 12r = y 10n = . Determine la esperanza y la desviación estándar de la variable.

2. Encuentre los posibles valores de la variable discreta cuando 20N = , 12r = y 15n = . Encuentre ( )10f y ( )10F . Determine la esperanza y la

desviación estándar de la variable.

3. Un lote de 25 cinescopios de televisión se somete a un procedimiento de calidad para su aceptación. El procedimiento consiste en extraer cinco tubos al azar, sin remplazo, y probarlos. Si dos o menos tubos fallan, los restantes se aceptan. De otro modo el lote se rechaza. Suponga que el lote contiene cuatro tubos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el lote se acepte?

4. Los trabajadores de una línea de ensamblaje arman 15 automóviles cada hora. Durante una de las horas de análisis se producen 5 automóviles con defecto. Se eligen tres automóviles al azar para revisar que no tengan fallas en su armado. Indique cuál es el éxito en el experimento y construya la densidad de probabilidades de la variable discreta. Determine cuál es la probabilidad de elegir cuando mucho un automóvil con defecto. Indique la probabilidad de seleccionar al menos un automóvil defectuoso. Cuál es la esperanza y la varianza de la variable.

Distribución de Poisson Cuando se estudian eventos discretos en un intervalo de análisis continuo se está trabajando con procesos de Poisson, como por ejemplo el número de baches (cantidad discreta) en una calle (intervalo continuo) o el número de retiros de la red eléctrica de una planta de generación durante un año.

Para resolver problemas de probabilidad relacionados con procesos de Poisson debemos, primero, determinar la unidad de medición básica que se va a emplear; en seguida se encuentra el número promedio de casos que ocurren por unidad de medición (λ ); después, se define el tamaño o número de periodos de observación (n ), y al final, calculamos la distribución de probabilidad mediante la expresión

( )!

k xe kf xx

−

=

Donde k nλ= y la variable aleatoria X es el número de ocurrencias del evento en el periodo de observación.

La esperanza de la función es

[ ]E X k=

Y la varianza es

VarX k= .

Figura 4. En los procesos de Poisson se analiza una variable discreta (el número de esferas negras) contenida en un espacio continuo (volumen de la caja).

Consideremos que una planta nucleoeléctrica libera cantidades detectables de gases radiactivos dos veces por mes, en promedio. Para determinar la probabilidad de que ocurran a lo sumo cuatro de esas emisiones en un mes se siguen las etapas siguientes:

1. La unidad continua de medición puede ser un mes o, dado que se emiten dos veces en promedio los gases, podemos considerar periodos de 15 días. Tomemos los periodos de 15 días como la unidad.

2. Como se tiene un promedio de dos emisiones mensuales entonces, cada 15 días se realiza una liberación de gases, esto es, 1λ = .

3. Como interesa la probabilidad de que se emitan cuando mucho cuatro emisiones en un mes, entonces tenemos dos periodos de 15 días con lo que 2n = .

4. La función de probabilidad, con ( )( )2 1 2k nλ= = = , está dada por

( ) ( )2 2! !

xk x ee kf xx x

−−

= =

5. La probabilidad de que se emitan cuando mucho cuatro emisiones en un mes es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 42 2 2 2 24

0

2 2 2 2 24 4 0.9473

0! 1! 2! 3! 4!x

e e e e eP X F f x

− − − − −

=

≤ = = = + + + + =∑

Este resultado lo podemos encontrar empleando una tabla típica de distribución de Poisson disponible en libros de probabilidad y estadística como la que se muestra, en parte, a continuación:

[ ]0 !

k xt

x

e kF tx

−

=

=∑

k nλ= t ↓ 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 0 0.607 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 0.000 1 0.910 0.736 0.406 0.199 0.092 0.040 0.017 0.007 0.003 2 0.986 0.920 0.677 0.423 0.238 0.125 0.062 0.030 0.014 3 0.998 0.981 0.857 0.647 0.433 0.265 0.151 0.082 0.042 4 1.000 0.996 0.947 0.815 0.629 0.440 0.258 0.173 0.100 5 1.000 0.999 0.983 0.916 0.785 0.616 0.446 0.301 0.191 6 1.000 1.000 0.995 0.966 0.889 0.762 0.606 0.450 0.313

11 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.995 0.980 0.947 0.888

Si se detectaran 12 o más emisiones durante un periodo trimestral, ¿habría razón para dudar de la cifra promedio indicada? Para determinar esta probabilidad se pueden considerar periodos de tres meses, se tendrá un periodo de observación con seis emisiones en promedio con lo que ( )( )1 6 6k nλ= = = ; de la tabla podemos observar para valores menores que 12, es decir, acumulado hasta 11 se tiene

( ) ( )12 1 12 1 0.980 0.02P x P x≥ = − < = − =

Ahora bien, si la probabilidad de que se emitan 12 o más emisiones es de 0.02 , que es una probabilidad pequeña, entonces tener 12 o más descargas implicaría un error en el promedio indicado.

IV. Ejercicios (emplee la función de densidad para resolverlos o utilice una tabla)

1. Para eventos de Poisson con 8k = determine ( )f x , encuentre ( )5f , halle (4)F , calcule ( )3P X ≥ , encuentre la esperanza y la desviación estándar

de la variable.

2. Alrededor de una planta industrial se instalan sensores activables por movimiento. Si debido a la calibración se enciende la alarma por animales pequeños un promedio de 0.75 veces por semana ¿Cuál es la cantidad

promedio de veces que se esperaría el disparo de la alarma por tales especies en tres semanas? ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma se active cuando mucho 2 veces durante tres semana? ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma suene al menos una vez en la semana?

3. La probabilidad de que un vehículo tenga una accidente en un crucero es de 0.0001 . Si por el crucero circulan 10 000 vehículos diariamente ¿cuál es la probabilidad de que no ocurran accidentes? ¿cuál es la probabilidad de que ocurran dos o más accidentes?

4. Si en una industria la probabilidad de que un obrero esté implicado en un accidente de trabajo es de 0.019, ¿cuál es la probabilidad de tener dos o más accidentes durante un periodo de cinco años?

Densidades de probabilidad de funciones de variables continuas Cuando el conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria no es un conjunto finito ni contable entonces se tiene que la variable aleatoria es continua. Ejemplos de este tipo de variable pueden ser la longitud de un cable, el tiempo de duración del parado de una industria por mantenimiento, la demanda energética de una ciudad, etc. Aún cuando el instrumento de medición puede proporcionarnos valores exactos, lo cierto es que si aumentamos la precisión del equipo se producirán lecturas diferentes. Así que una variable aleatoria continua puede asumir cualquier valor en uno o más intervalos de números reales y la probabilidad de que asuma un valor específico es nula. La función de densidad de una variable aleatoria continua ( ) ( )f x P X x= = cumple con las propiedades

1. ( ) 0f x ≥ para todo valor real de la variable aleatoria continua .X

2. ( ) 1f x dx∞

−∞

=∫

3. ( ) ( )b

a

P a X b f x dx≤ ≤ = ∫

Las dos primeras propiedades son condiciones necesarias y suficientes para que una función sea una densidad continua.

La función de distribución acumulativa será

( ) ( ) ( )0

0 0

x

F x P X x f x dx−∞

= ≤ = ∫

Consideremos una variable aleatoria continua X con función de densidad

( ) 1.44271

f xx

=+

, 0.5 2x≤ ≤ . Podemos demostrar que es una función de densidad

porque para cualquier valor de x la función resulta positiva y, además, 2

0.5

1.4427 11

dxx

=+∫ .

Podemos determinar la probabilidad de que la variable tome valores entre 1 y 1.5 haciendo

[ ]1.5

1.5

11

1.44271 1.5 1.4427 ln 1 0.32191

P X dx xx

≤ ≤ = = + =+∫

La probabilidad de que 1.7x ≤ será

[ ]1.7

1.7

0.50.5

1.44271.7 1.4427 ln 1 0.84801

P X dx xx

≤ = = + =+∫

La probabilidad de que 1x > será

[ ]2

2

11

1.44271 1.4427 ln 1 0.58501

P X dx xx

> = = + =+∫

o también

[ ] [ ]1

1

0.50.5

1.44271 1 1 1 1 1.4427 ln 1 1 0.4150 0.58501

P X P X dx xx

> = − ≤ = − = − + = − =+∫

Para una variable aleatoria X con función de densidad ( )f x , la esperanza de la

variable aleatoria ( )H x , ( )E H X , es

( ) ( ) ( )E H X H x f x dx∞

−∞

= ∫

Entonces, si ( )H X x=

[ ] ( )E X xf x dx µ∞

−∞

= =∫

que es la media de la variable aleatoria continua.

La varianza está dada por

[ ]( )22VarX E X E X = − .

Para la función anotada antes

[ ] ( )2

2

0.50.5

1.4427 1.4427 1 ln 1 1.16401

xE X dx x xx

= = + − + = +∫

Para calcular la varianza obtenemos primero

2 22

0.5

1.4427 1.54101xE X dx

x = = +∫

Con lo que la varianza resulta se

( )21.5410 1.1640 0.1861VarX = − =

V. Ejercicios

1. Determine el valor de la constante k que hace que la expresión ( )1k x − sea una función de densidad en el intervalo 0 5x≤ ≤ . Determine la media y la desviación estándar de la variable aleatoria continua. Encuentre las probabilidades ( )3P X ≤ , ( )1 4P X< < , ( )2P X > y ( )2P X ≥ .

2. La expresión ( ) 8x

f x ke−= , 0x > es la función de densidad de una variable aleatoria continua que representa la duración en minutos de una conversación telefónica, deduzca el valor de k . Determine la probabilidad de que una llamada dure menos de cinco minutos, dure exactamente cinco minutos, dure más de cinco minutos. ¿Sería inusual una llamada de entre 30 segundos y dos minutos? Calcule la media y la desviación estándar.

Distribución gama La distribución gama tiene su fundamento teórico en la función gama. Esta distribución permite definir dos familias de variables aleatorias continuas bastante útiles en las aplicaciones estadísticas. La función de distribución gama tiene la forma

( ) ( )11 x

f x x eα βαα β

−−=

Γ

donde 0, 0, 0.x α β> > > α y β son parámetros de la función.

Cuando 1α = la distribución es conocida como distribución exponencial:

( ) 1 xf x e β

β

−=

Si 2β = y 2γα = , donde γ es un entero positivo conocido como grados de

libertad; la función de distribución es conocida como distribución ji cuadrada o 2γχ y

tiene la forma

( )( ) 122 2

2

1

22

xx e

γ

γ γχγ

− −=Γ

Distribución normal Existen varias distribuciones de variable continua, sin embargo, una de las más populares en su uso es la distribución normal cuya expresión matemática es

( )( ) 2

212

x

f x eµ σ

πσ

− −=

con , , 0x µ σ−∞ < < ∞ −∞ < < ∞ > .

Que tiene una gráfica conocida como campana de Gauss (figura 5) que limita un

área de tamaño unitario entre el eje normal xz µσ−

= y la curva que tiene una

longitud infinita, aunque entre 3.5σ− (tres y media veces la desviación estándar en el lado negativo del eje) y 3.5σ (tres y media veces la desviación estándar en el lado positivo del eje) está prácticamente toda el área unitaria. Se puede ver también que la gráfica es simétrica con respecto al eje 0z = , que se ubica exactamente en el valor de la media µ .

Figura 5. Forma de la gráfica de la función de distribución normal. El área entre la curva infinita y el eje normal Z es de 1.

Debido a la complejidad de la fórmula es muy común utilizar tablas de distribución normal para resolver los problemas que se plantean, en lugar de resolver las integrales que necesariamente surgen en distribuciones de variable continua. Para hacer la lectura de la información en la tabla es necesario normalizar o estandarizar a la variable mediante la expresión

xz µσ−

=

donde

z → Variable normal estándar

µ → Media de la población

σ → Desviación estándar de la población

Si utilizamos una tabla de distribución normal típica (Tabal 1) podemos determinar fácilmente algunas probabilidades.

La probabilidad de que la variable normal sea menor o igual que 1.85 : ( )1.85P Z ≤

Como la tabla acumula el área desde el extremo izquierdo más lejano hasta llegar al valor de 1.85z = (el área sombreada) entonces en la tabla buscamos el 1.8 en la columna de z y nos desplazamos a la derecha sobre la fila de 1.8 hasta llegar a la columna de 0.05, ahí encontramos el valor del área sombreada bajo la curva que corresponde a la probabilidad buscada: 0.9678.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 … 0.09 2− 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 … 0.0183

1.9− 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 … 0.0233

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 … 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 … 0.9706

La probabilidad de que la variable normal sea mayor o igual que 1.85: ( )1.85P Z ≥

El área que interesa es la de color naranja, pero la tabla no da valores a la derecha de la variable normal, sólo a la izquierda; entonces, dado que el área bajo toda la curva es 1, para encontrar la probabilidad de interés debemos restarle a la totalidad el área a la izquierda de la frontera con lo que nos queda el área a la derecha:

( ) ( )1.85 1 1.85 1 0.9678 0.0322P Z P Z≥ = − < = − =

La probabilidad del intervalo ( )2 1.72P z− < <

El área de ( )1.72P Z < es el área sombreada de naranja y gris porque la probabilidad viene desde −∞ . Como sólo interesa el intervalo 2 1.72z− < < , habrá que quitar la sección gris

( ) ( ) ( )2 1.72 1.72 2.0 0.9573 0.0228 0.9345P Z P Z P Z− < < = < − < = − =

Consideremos que se producen laminillas de metal. Sea X la variable aleatoria continua que representa el espesor de las laminillas y su comportamiento de variación del espesor del producto tiene distribución normal con una media aritmética 0.05 mmµ = y desviación estándar 0.01 mmσ = . Podemos determinar la probabilidad de que una muestra seleccionada aleatoriamente tenga un espesor menor que 0.0673 mm ; para ello primero normalizamos la variable

0.0673 0.05 1.730.01

xz µσ− −

= = =

entonces

( ) ( )0.0673 1.73 0.9582P X P Z< = < =

Para encontrar la probabilidad de que el espesor del lote esté entre 0.0305 mm y 0.0679 mm hacemos

10.0305 0.05 1.95

0.01xz µσ− −

= = = −

20.0679 0.05 1.79

0.01xz µσ− −

= = =

( ) ( ) ( ) ( )0.0305 0.0679 1.95 1.79 1.79 1.95 0.9633 0.0256 0.9377P X P Z P Z P Z< < = − < < = < − < −

= − =

VI. Ejercicios (Utilice una tabla de distribución normal)

1. Utilice la tabla de distribución normal para encontrar las probabilidades ( )1.15P Z < − , ( )1.93P Z > − , ( )2.44P Z < , ( )0.14P Z > , ( )0P Z = ,

( )1.54 2.21P Z− ≤ < , ( )0 1.88P Z< ≤ . Construya las gráficas de la campana de Gauss de la distribución normal y señale el área calculada.

2. La vida útil de una batería seca se distribuye normalmente con una vida media útil de 14400 horas de uso continuo y desviación estándar de 1440 ¿Qué fracción de esas baterías durarían más de 680 días de uso continuo? ¿Qué porcentaje de baterías se esperaría que fallaran antes de 11700 horas de uso?

3. En una clase de matemáticas las calificaciones de los alumnos están normalmente distribuidas con una calificación promedio de 67 y una desviación estándar de 10. ¿Qué porcentaje de alumnos reprueba la materia? ¿Qué fracción de alumnos tienen un promedio superior a ocho? ¿Qué porcentaje de alumnos tienen una calificación entre siete y nueve?

4. Suponga que el nivel del agua, en pies, de una represa tiene distribución normal durante la época de lluvias, con media de 980 pies y desviación estándar de 40 pies. ¿Cuál es la probabilidad de que el nivel de agua esté entre 910 y 1080 pies? Considere que la represa se desborda cuando el nivel es mayor que 1100 pies, ¿cuál es la probabilidad de que eso ocurra? ¿Es normal que el nivel del agua esté por debajo de 905 pies?

Inferencia estadística A partir de los parámetros encontrados mediante la utilización de los datos producidos por una muestra podemos inferir conclusiones sobre toda la población origen de la muestra. Las técnicas de inferencia estadística se dividen en dos grandes grupos principales: estimación de parámetros y pruebas de hipótesis. Podemos estar interesados en determinar la resistencia a la tensión de cables empleados en líneas de alta tensión o, también, puede interesarnos la variabilidad de la resistencia.

Estimación Algunos de los problemas de estimación que ocurren con más frecuencia son la determinación de la media de una sola población para lo cual empleamos la media de la muestra (véase la sección de medidas de tendencia central y dispersión); la varianza de la población para lo que recurrimos a la varianza de la muestra; la proporción de artículos con una característica distintiva en una población para lo

que empleamos la ecuación xpn

= , donde x es el número de objetos con la

característica particularizante en un muestra de tamaño n ; la diferencia entre las medias de dos poblaciones que puede estimarse usando las medias de dos muestras obtenidas de las poblaciones respectivas, etc.

La particularidad de los estimadores radica en que deben estar “cerca” del valor verdadero de la estadística desconocida. Normalmente el estimador está muy cerca del valor verdadero, es decir el estimador es insesgado, cuando las muestras son de gran tamaño.

En muchas ocasiones, debido a que las muestras no son tan grandes, tener un estimador no resulta de gran importancia, sin embargo, estimar un intervalo de la forma inf supL Lµ≤ ≤ puede resulta más útil. Para construir un estimador de intervalo del parámetro desconocido θ debemos encontrar dos estadísticas infL y supL tales que

( )inf sup 1P L Lθ α≤ ≤ = −

Donde inf supL Lθ≤ ≤ se conoce como intervalo de confianza con un coeficiente de confianza de 1 α− o nivel de confianza de ( )100 1 %α− para el parámetro estudiado. El intervalo de confianza definido antes es un intervalo de confianza de dos lados o de dos colas.

Intervalo de confianza sobre la media conocida σ Si conocemos la varianza de la población y desconocemos la media puede obtenerse un intervalo de confianza de ( )100 1 α− por ciento en µ considerando que la distribución de muestreo de la variable aleatoria X es normal o casi normal, de acuerdo con el teorema del límite central que establece que para una muestra grande de elementos, de tamaño n , X es aproximadamente normal con media µ

y varianza 2

nσ y también

XZnµ

σ−

=

es aproximadamente normal estándar.

La distribución se muestra en la figura 6.

La sección naranja, que es el intervalo de confianza normalizado, es de tamaño 1 α− , y como se tienen dos lados o colas de “desconfianza” cada sección tiene un área de 2

α .

Así que

( )2 2

1P Z Z Zα α α− ≤ ≤ = −

pero como XZn

µσ−

= tendremos

2 21XP Z Z

nα α

µ ασ

− − ≤ ≤ = −

con lo que reacomodando queda

2 21P X Z X Z

n nα ασ σµ α − ≤ ≤ + = −

y el intervalo de confianza de dos lados de tamaño ( )100 1 %α− es

2 2X Z X Z

n nα ασ σµ− ≤ ≤ +

Figura 6. La distribución normal indicando el intervalo de confianza de dos lados.

Consideremos, por ejemplo, que nos describen un nuevo método para medir la conductividad térmica de un material en particular. Al hacer diez mediciones de

conductividad térmica en º

Btuhr pie F⋅ ⋅

se obtuvieron los valores 41.60, 41.48, 42.34,

41.95, 41.86, 42.18, 41.72, 42.26, 41.81, 42.04; supongamos que se conoce la

desviación estándar 0.10º

Btuhr pie F

σ =⋅ ⋅

y que la conductividad se distribuye

normalmente. Tomemos un nivel de confianza del 95% para determinar el intervalo de confianza de dos lados del siguiente modo

41.60 41.48 ... 42.04 41.92410

xx

Xn

∀ + + += = =∑

1 0.95 0.05 0.0252αα α− = ⇒ = ⇒ =

0.0252

1.96Z Zα = = , es el valor de Z donde el área bajo la curva es 1 0.025 0.975− =

( )inf2

0.1041.924 1.96 41.86210

L X Znα

σ = − = − =

( )sup2

0.1041.924 1.96 41.98610

L X Znα

σ = + = + =

Entonces, con el 95% de seguridad podemos decir que la media está en el intervalo

41.862 41.986µ≤ ≤ .

VII. Ejercicios (Utilice una tabla de distribución normal)

1. Al medir la capacidad térmica, en / ºcal g C⋅ , del etilenglicol líquido a presión constante y 80 ºC de temperatura se obtuvieron los valores 0.645, 0.654, 0.640, 0.627, 0.626, 0.649, 0.629, 0.631, 0.643, 0.633, 0.646, 0.630, 0.634, 0.631, 0.651, 0.659, 0.638, 0.645, 0.655, 0.624. La experiencia indica

0.01σ = y se considera que la variable tiene distribución normal. Encuentre el intervalo de confianza de 95% para la media. Determine el intervalo con una seguridad del 98%.

2. Es habitual la manifestación tardía de lesiones después de la exposición a dosis suficientes de radiación. Se midió la cantidad de días que transcurren entre la exposición y la aparición del enrojecimiento de la piel en varios pacientes: 16, 12, 14, 16, 13, 9, 15, 7, 20, 19, 11, 14, 9, 13, 11, 3, 8, 21, 16, 16, 12, 16, 14, 20, 7, 14, 18, 14, 18, 13, 11, 16, 18, 16, 11, 13, 14, 16, 15, 15. Suponga que 4σ = para encontrar el intervalo de confianza del 95% para la media de tiempo para la aparición del enrojecimiento. ¿Le sorprendería la afirmación de que 17µ = días? Explique su respuesta.

Intervalo de confianza sobre la diferencia de dos medias conocidas σ

Consideremos dos variables aleatorias 1X y 2X con varianzas conocidas 1σ y 2σ y medias 1µ y 2µ desconocidas. Si 1X y 2X son normales o casi normales, entonces

( ) ( )1 2 1 2

2 21 2

1 2

X XZ

n n

µ µ

σ σ

− − −=

+

es también normal. De la figura 6 deducimos que

( )2 2

1P Z Z Zα α α− ≤ ≤ = −

O también ( ) ( )1 2 1 2

2 22 21 2

1 2

1X X

P Z Z

n n

α α

µ µα

σ σ

− − − − ≤ ≤ = − +

, de donde

( ) ( )2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 22 21 2 1 2

1P X X Z X X Zn n n nα ασ σ σ σµ µ α

− − + ≤ − ≤ − + + = −

Con lo que el intervalo de confianza del ( )100 1 %α− para 1 2µ µ− es

( ) ( )2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 22 21 2 1 2

X X Z X X Zn n n nα ασ σ σ σµ µ− − + ≤ − ≤ − + +

Como ejemplo consideremos que se realizan pruebas de resistencia a la tensión de cables de características similares de dos compañías fabricantes. Los resultados de las pruebas se muestran en la tabla anotada a continuación

Fabricante Tamaño de la muestra Resistencia (kg/mm2) Desviación estándar

A 12An = 89.45AX = 1.1Aσ =

B 15Bn = 77.32BX = 1.9Bσ =

Determinemos el intervalo de confianza con una seguridad del 97%.

Entonces 1 0.97 0.03 0.0152αα α− = ⇒ = ⇒ = lo que implica que debemos buscar

el valor de Z que hace que bajo la curva quede un área de 1 0.015 0.985− = , que nos da

22.17Zα = , con lo que los límites son

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2

inf 1 22 1 2

1.1 1.989.45 77.32 2.17 10.8619

12 15L X X Z

n nασ σ

= − − + = − − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2

sup 1 22 1 2

1.1 1.989.45 77.32 2.17 13.3981

12 15L X X Z

n nασ σ

= − + + = − + + =

Con un 97% de confianza podemos decir que el intervalo es

10.8619 13.3981A Bµ µ≤ − ≤

VIII. Ejercicios (Utilice una tabla de distribución normal)

1. Dos muestras aleatorias independientes de tamaño 1 18n = y 2 20n = se toman de dos poblaciones normales. Las medias de las muestras son

1 200x = y 2 190x = . Se sabe que sus varianzas son 21 15σ = y 2

2 12σ = . Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias

1 2µ µ− . Determine un intervalo de confianza del 95% para la misma diferencia.

2. Se está investigando el voltaje de salida de dos tipos de transformadores diferentes. Diez transformadores de cada tipo se seleccionan al azar y se mide el voltaje encontrando los siguientes resultados 1 12.13x V= y

2 12.05x V= , además se sabe que 21 0.7σ = y 2

2 0.8σ = . Construya un intervalo de confianza del 97% para la diferencia de medias.

Intervalo de confianza sobre la media, desconocida σ (Uso de la prueba T de Student) Normalmente en el trabajo estadístico no se conoce la varianza de la población, es necesario hacer una estimación de ella para poder construir intervalos de confianza.

Se puede demostrar el siguiente teorema:

Consideremos una muestra aleatoria con distribución normal, 1X , 2X , …, nX , con

media µ y varianza 2σ . La variable aleatoria /

XS n

µ− tiene distribución T con 1n −

grados de libertad.

La gráfica de la curva de distribución T es una trayectoria simétrica en forma de campana centrada en 0 , que se aproxima a la curva normal estándar conforme crece la cantidad de grados de libertad (figura 7).

Figura 7. La curva de distribución t es semejante a la distribución normal. Conforme aumentan los grados de libertad de t se incrementa la similitud de las curvas.

Dada la semejanza entre la variable aleatoria normal, XZnµ

σ−

= , y la variable

aleatoria de la T de Student, /

XTS n

µ−= , podemos argumentar que un intervalo de

confianza de ( )100 1 %α− , conocida µ , está dado por

2X t S nα± .

Por ejemplo, en una región cercana a una central de generación que utiliza combustible fósil se cuantificó la concentración de dióxido de azufre, en microgramos por metro cúbico, y se encontraron los siguientes valores: 52.7, 43.9, 41.7, 71.5, 47.6, 55.1, 50.0, 70.0, 56.4, 60.7, 44.4, 46.1, 38.6, 52.4, 45.3, 62.2, 56.5, 63.4, 53.9, 33.4, 61.8, 54.3, 66.6, 65.5.

Haciendo los cálculos necesarios encontramos que

53.917x = 10.074s =

Para determinar el intervalo necesitamos conocer 2

tα , para ello debemos

establecer el tamaño del intervalo de confianza, consideremos 95%. A partir de una tabla de distribución T podemos encontrar el valor de

22.069tα = . Es necesario

buscar en la tabla la probabilidad 0.975 porque esta es la suma de 0.95 mas 0.025 que está en el extremo izquierdo de la gráfica, porque la tabla es de distribuciones acumuladas desde la izquierda hacia la derecha.

[ ]1nP T t− ≤ n-1 .6 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 4 0.271 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 5 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893

23 0.256 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 24 0.256 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467

El intervalo es entonces

( )( )2

53.917 2.069 10.074 / 24 53.917 4.255X t S nαµ = ± = ± = ±

[ ]49.662 58.172µ≤ ≤

El resultado anterior indica que existe un 95% de confianza de que la media de concentración esté en el intervalo dado.

Además, si existiera un estudio de una región en la cual no hay una planta de generación similar a la que está en la zona estudiada y la concentración del óxido resultara menor indicaría que la planta está ocasionando el valor mayor de concentración.

IX. Ejercicios (Utilice una tabla de distribución t)

1. Un ingeniero civil está probando la resistencia compresiva de concreto. Realiza la prueba con 16 especímenes y obtiene los siguientes datos: 2216, 2237, 3349, 2204, 2225, 2301, 2281, 2263, 2318, 2255, 2275, 2295, 2250, 2238, 2300, 2217. (a) Construya un intervalo de confianza de dos lados del 95% respecto a la resistencia media, (b) Construya un intervalo de confianza inferior del 95% respecto a la resistencia media.

2. Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 25 botellas de vidrio de dos litros. La media de la muestra fue 4.05 mm y la desviación estándar de la muestra 0.08 mm. Determine un intervalo de confianza inferior del 90% respecto del espesor de pared medio.

3. Un ingeniero industrial está interesado en estimar el tiempo requerido para ensamblar una tarjeta de circuito impreso. ¿Qué tan grande debe ser la muestra si el ingeniero desea tener una confianza del 95% de que el error en la estimación de la media es menor que 0.25 min? La desviación estándar del tiempo de ensamble es 0.45 min.

4. Una muestra aleatoria de tamaño 15 de una población normal tiene media de 550 varianza 49. Determine (a) un intervalo de confianza de dos lados del 95% respecto de la media, (b) Un intervalo de confianza inferior del 95% respecto de la media, (c) Un intervalo de confianza superior del 95% respecto de la media.

Pruebas de hipótesis Cuando se pone a prueba una hipótesis se tiene una idea preconcebida acerca del parámetro que se desea comprobar. Lo anterior implica la existencia de dos posibles resultados o hipótesis: la que propone el investigador y su negación.

La hipótesis propuesta por el investigador se conoce como hipótesis alternativa y es representada por 1H , y la negación de esta hipótesis es la hipótesis nula que se representa con 0H .

Cuando se prueba una hipótesis la declaración de igualdad siempre se incluye en 0H .

La prueba implica que, partiendo de datos sobre el experimento, se acepta una de las hipótesis y se rechaza la otra. Sin embargo, puede ocurrir que debido a la información que se posee se tome como verdadera una de las hipótesis cuando en realidad es falsa.

Se comete el error tipo I cuando se rechaza la hipótesis nula 0H y esta en realidad debiera aceptarse.

Se comete el error tipo II cuando se rechaza la hipótesis alternativa 1H y esta en realidad debiera aceptarse.

Existen tres formas de expresar las hipótesis para la media de una distribución:

0 0

1 0

: :

HH

µ µµ µ≤>

Prueba de cola derecha o

0 0

1 0

: :

HH

µ µµ µ=>

Prueba de cola derecha 0 0

1 0

: :

HH

µ µµ µ≥<

Prueba de cola izquierda o

0 0

1 0

: :

HH

µ µµ µ=<

Prueba de cola izquierda 0 0

1 0

: :

HH

µ µµ µ=≠

Prueba de dos colas

Las mismas formas se emplean para evaluar otros estadísticos.

Para aceptar o rechazar la hipótesis nula debemos observar donde se distribuyen los datos (figuras 8, 9 y 10).

Figura 8. Prueba de cola derecha. Si los datos se distribuyen en la zona azul se rechaza la hipótesis nula 0H .

Figura 9. Prueba de la cola izquierda. Si los datos se distribuyen en la zona azul se rechaza la hipótesis nula 0H .

Figura 10. Prueba de dos colas. Si los datos se distribuyen en la zona azul se rechaza la hipótesis nula 0H .

Consideremos el ejemplo siguiente:

Uno de los factores que afecta el funcionamiento de las señales reflejantes en las autopistas es la alineación correcta de los faros de los automóviles. Se cree que más del 50% de los vehículos tiene los faros mal alineados. Si tal afirmación puede sustentarse estadísticamente se pondrá en marcha un estricto programa de inspección. Se seleccionan aleatoriamente una muestra de 20 automóviles para verificar sus faros. Se aceptará 1H y se rechazará 0H si hay 14 o más automotores con los faros mal alineados, ¿cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I?

Sea p la proporción de vehículos que tienen los faros mal alineados. Puesto que se pretende sustentar la afirmación de que 0.50p > , esta se considera como la hipótesis alternativa, 1H . La hipótesis nula será la negación de 1H , es decir, que

0.50p ≤ . Entonces

0

1

: 0.50: 0.50

H pH p

≤>

Como 20n = , [ ] ( )( )20 0.50 10E X np= = = (caso binomial)

( ) ( ) ( )14 0.50 1 14 0.50 1 13 0.50 1 0.9423 0.0577P X p P X p P X p≥ = = − < = = − ≤ = = − =

Lo anterior implica que si se encuentran 13 o menos vehículos con los faros mal alineados no debe aprobarse el proyecto de revisión por que hay 5% de probabilidades de cometer el error tipo I.

X. Ejercicios

1. Se requiere que la resistencia al rompimiento de una fibra utilizada en la tela de ropa de uso industrial no sea menor que 160psi. La experiencia indica que la desviación estándar de la resistencia al rompimiento es de 3psi. Se prueba una muestra aleatoria de cuatro especímenes y se encuentra que la resistencia promedio al rompimiento es 158psi. (a) ¿Debe considerarse aceptable la fibra con 0.05α = , (b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar

0 : 160H µ ≤ si la fibra tiene una resistencia al rompimiento verdadera de 165psi?

2. Se sabe que la varianza (en porcentaje) del rendimiento de un proceso químico es de 5. Los últimos días de operación de la planta han tenido un rendimiento (en porcentaje) de 91.6, 88.75, 90.8, 89.95 y 91.3; (a) ¿Hay razón para creer que el rendimiento es menor que 90%? (b) ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para detectar un rendimiento medio verdadero de 85% con probabilidad de 0.95?

Regresión lineal Buscamos construir un modelo de recta lineal de la forma

y mx b= +

Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen. Dicha recta será una aproximación de una colección de puntos que se distribuirán alrededor de ella (figura 11).

Figura 11. Línea de regresión que aproxima a los puntos distribuidos alrededor de ella.

Dado que la recta no pasa sobre todos los puntos sino que hay separaciones (errores) entre ella y los puntos el modelo exacto sería

i i iY A Bx ε= + +

Donde A es la estimación de la ordenada al origen, B es la estimación de la pendiente y iε es la diferencia entre la ordenada iY estimada con el modelo y la ordenada real del punto en análisis.

El modelo estimación por regresión lineal por el método de mínimos cuadrados busca que la suma de las diferencias al cuadrado sea mínima. Así que dicha suma está dada por la ecuación

( )22

1 1

n n

i i ii i

SSE y A Bxε= =

= = − −∑ ∑

Derivando con respecto a A y a B

( )

( )

1

1

2

2

n

i iin

i i ii

SSE y A BxA

SSE y A Bx xB

=

=

∂= − − −

∂∂

= − − −∂

∑

∑

Igualando a cero para encontrar el mínimo

1 1

2

1 1 1

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

nA B x y

A x B x x y

= =

= = =

+ =

+ =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

Que resolviendo simultáneamente producen

1 1 12

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n x y x yB

n x x

= = =

= =

− = −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

A y Bx= −

Con lo que la ecuación lineal que representa a los datos es

i iy A Bx= +

La evaluación de la calidad de la aproximación, esto es la determinación de si entre las variables existe una relación lineal, se realiza obteniendo el factor de correlación de Pearson

( )( )( )

,Cov X YVarX VarY

ρ =

Donde ( ) [ ] [ ] [ ],Cov X Y E XY E X E Y= −

El coeficiente de correlación varía en el intervalo [ ]1,1− , teniendo una buena aproximación lineal cuando el coeficiente de correlación está cercano a 1− o a 1.

Se estudia la relación del consumo de energía eléctrica con el ingreso familiar y se obtienen los datos sobre el ingreso familiar X (en unidades de $1000/año) y el consumo de energía Y (en 108 BTU/año)

Consumo de energía Y

Ingreso familiar X

Consumo de energía Y

Ingreso familiar X

1.8 20.0 6.5 60.3 3.0 30.5 7.0 74.9 4.8 40.0 9.0 88.4 5.0 55.1 9.1 95.2

Para el cálculo de los coeficientes podemos construir la tabla siguiente

ix iy i ix y 2ix 8n = 5.78y =

20.0 1.8 36.00 400.00

30.5 3.0 91.50 930.25 40.0 4.8 192.00 1600.00 55.1 5.0 275.50 3036.01 60.3 6.5 391.95 3636.09

58.05x = 74.9 7.0 524.30 5610.01 88.4 9.0 795.60 7814.56 95.2 9.1 866.32 9063.04 ∑ 464.40 46.20 3173.17 32089.96

Por lo tanto tendremos

( ) ( )( )( ) ( )

1 1 12 2

2

1 1

8 3173.17 464.40 46.200.0957

8 32089.96 464.40

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

n x y x yB

n x x

= = =

= =

− − = = =− −

∑ ∑ ∑

∑ ∑

( )5.78 0.0957 58.05 0.22A y Bx= − = − =

Por tanto, el modelo es

0.22 0.0957y x= +

La buena aproximación la comprobamos determinando el coeficiente de correlación

( )( )( )

,0.98

Cov X YVarX VarY

ρ = =

Que indica que el modelo matemático aproxima de muy buena manera a los puntos distribuido en la tabla, tal como se puede ver en la gráfica de la figura 12.

Prueba de hipótesis en la regresión lineal Para probar la hipótesis respecto a la pendiente y la ordenada al origen del modelo de regresión lineal, debemos considerar que el error

i i iy yε = − , donde iy es la

aproximación mediante el modelo de regresión y iy es el dato registrado en la tabla para hacer la aproximación, es una variable normal e independientemente distribuida con media cero y varianza 2σ , ( )20,NID σ . Si deseamos probar que la pendiente es diferente de una constante, la prueba de dos colas o lados será

Figura 12. Distribución de los puntos alrededor de la recta construida empleando el modelo de regresión lineal.

0 0

1 0

::

H B BH B B

=≠

y como resultado de la suposición de normalidad estadística tendremos

( )

( )

00 2

2

2i i

i

B Bty y

n

x x

−=

− −

−

∑

∑

que sigue la distribución t con 2n − grados de libertad. Rechazamos la hipótesis nula si 0 2, 2nt tα −> .

El intervalo de confianza es

( )

( )

( )

( )

2 2

0 2, 2 0 2, 22 2

2 2i ii i

n n

i i

y y y y

n nB t B B t

x x x xα α− −

− − − − − ≤ ≤ +

− −

∑ ∑

∑ ∑

Se puede hacer una prueba de hipótesis para la ordenada al origen,

Recta de aproximación

1.5

3.5

5.5

7.5

9.5

15 65

Ingreso familiar

0 0

1 0

::

H A AH A A

=≠

Para la cual

( ) ( )( )

00 2 2

21

2i i

i

A Aty y x

n n x x

−=

− + − −

∑∑

Se rechaza la hipótesis nula si 0 2, 2nt tα −> .

El intervalo de confianza es

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 22 2

0 2, 2 0 2, 22 21 1

2 2i ii i

n n

i i

y y y yx xA t A A t

n n n nx x x xα α− −

− − − + ≤ ≤ + + − − − −

∑ ∑∑ ∑

XI. Ejercicios

1. En una prueba de automóviles de distintas marcas del rendimiento en millas recorridas por galón de gasolina ( y ) y el cilindraje del motor o desplazamiento en pulgadas cúbicas ( x ) se encontraron los siguientes datos:

y x y x y x 18.90 350 11.20 440 14.39 500 17.0 350 22.12 231 16.50 400 20.0 250 21.47 262 19.73 318 18.25 351 30.40 96.9 13.90 351 20.07 225 16.50 350 16.50 350

a. Ajuste un modelo de regresión que relaciones las millas recorridas con el cilindraje del motor.

b. Pruebe la significación, α , de la regresión.

c. Encuentre un intervalo de confianza del 90% en la pendiente y en la ordenada al origen.

2. La resistencia del papel utilizado en la manufactura de cajas de cartón, y , se relaciona con el porcentaje de la concentración de madera dura en la pulpa original, x .

y x y x y x

101.4 1 146.9 2 125.1 2.8 117.4 1.5 146.8 2.2 145.2 2.8 117.1 1.5 133.9 2.4 134.3 3 106.2 1.5 111.4 2.5 144.5 3 131.9 2 123 2.5 143.7 3.2

a. Ajuste un modelo de regresión lineal simple a los datos.

b. Pruebe la falta de ajuste y la significancia de la regresión.

Análisis de varianza El análisis de varianza se emplea para cuando deseamos comparar el resultado de una variable estadística obtenida por medio de distintos tratamientos. Consideremos que en cinco vetas de carbón de una región se presentan los siguientes contenidos de azufre en distintas muestras

Veta 1 Veta 2 Veta 3 Veta 4 Veta 5

Suma promedios

de las últimas filas

1.51 1.69 1.56 1.30 0.73 1.92 0.64 1.22 0.75 0.80 1.08 0.90 1.32 1.26 0.90 2.04 1.41 1.39 0.69 1.24 2.14 1.01 1.33 0.62 0.82 1.76 0.84 1.54 0.90 0.72 1.17 1.28 1.04 1.20 0.57 1.59 2.25 0.32 1.18 1.49 0.54 1.30

Sumas 1 11.62S = 2 9.36S = 3 13.14S = 4 7.04S = 5 8.8S = 49.96TS = Promedios 1 1.66Y = 2 1.17Y = 3 1.46Y = 4 0.88Y = 5 0.88Y = 1.189TY =

Dadas las diferencias en los valores de las medias, debemos averiguar si tales diferencias son significativas o las medias en realidad son iguales.

Las hipótesis son

0 1 2 3 4 5:H µ µ µ µ µ= = = =

1 1 2 3 4 5:H µ µ µ µ µ≠ ≠ ≠ ≠

La tabla de análisis de varianza tiene la forma

Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Parámetro para la prueba

F

Tratamiento 1k −

2 2

1

ki T

i i

S Sn N=

−∑ 1

STk −

( )( )1

1N k k

STkF SC− −−=

Error o residuo N k− SC SC

N k−

Totales 1N − Donde:

k es el número de tratamientos (vetas en el ejemplo)

N es el número total de datos de todos los tratamientos (o vetas)

in es el número de datos en cada tratamiento

22 22

1 1 1

ink kiT T

iji j i i

SS SSC YN n N= = =

= − − −

∑∑ ∑

2 2

1

ki T

i i

S SSTn N=

= −∑

Para el problema aquí analizado tendríamos

5k =

1 7n = , 2 8n = , 3 9n = , 4 8n = y 5 10n = , de donde 42N = .

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

1

11.62 9.36 8.8 49.96... 3.935

7 8 10 42

ki T

i i

S SSTn N=

= − = + + + − =∑

( ) ( ) ( ) ( )222 22 2 22

1 1 1

49.961.51 1.92 ... 1.30 3.935 4.497

42

ink kiT T

iji j i i

SS SSC YN n N= = =

= − − − = + + + − − =

∑∑ ∑

Fuente de variación Grados de libertad Suma de

cuadrados Cuadrado medio Parámetro para la prueba F

Tratamiento 5 1 4− = 3.935 3.935 0.984

4=

( )( )4 370.984 8.0660.122

F = = Error o residuo 42 5 37− = 4.497

4.497 0.12237

=

Totales 41 8.432

Para hacer la evaluación de si son iguales o diferentes las medias necesitamos leer en una tabla de distribución F con la probabilidad adecuada y sus respectivos grados de libertad.

( )( )1 0.95N k kP F f− − ≤ =

1k − → 1 2 3 4 5 6 7 8 N k− ↓

4 7.707 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818

37 4.105 3.252 2.859 2.626 2.470 2.356 2.270 2.201 38 4.098 3.245 2.852 2.619 2.463 2.349 2.262 2.194

De la tabla obtenemos que ( )( )37 4 2.626f = . Como ( )( ) ( )( )37 4 37 4F f≥ , 8.066 2.626≥ , rechazamos la hipótesis nula y podemos decir que al menos dos de las medias de las vetas son diferentes con 5% de posibilidades de equivocarnos o 95% de seguridad.

XII. Ejercicios

1. Se sabe que un material tóxico vertido en un río llega a un área de pesca. Se mide la concentración del tóxico, en partes por millón, ostras extraídas de tres sitios diferentes presentan las concentraciones del tóxico siguientes:

Sitio 1 Sitio 2 Sitio 3 15 19 22 26 15 26 20 10 24 20 26 26 29 11 15 28 20 17 21 13 24 26 15 18

a. Verifique si existe una diferencia significativa en el promedio de partes por millón del material tóxico encontrado en las ostras extraídas en los tres sitios. Use 0.05α = .

b. ¿Diferirían significativamente las medias con el nivel de significación de 0.01?

Bibliografía de consulta recomendada

J.Susan Milton y Jesse C. Arnold, Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y ciencias computacionales. McGraw Hill, 2004, México.

William W. Hines y Douglas C. Montgomery, Probabilidad y estadística para ingenieros. CECSA, 2000, México