MEMORIA DE TESIS DOCTORAL - unizar.es

Universidad de ZaragozaDepartamento de Informatica e Ingenierıa de Sistemas

MEMORIA DE TESIS DOCTORAL

SIMULACION EFICIENTE DE FENOMENOSFISICOS EN MEDIOS CONTINUOS:

SU APLICACION A LA LOCOMOCION HUMANA

Autora: Sandra S. BaldassarriDirector: Dr. D. Francisco Jose Seron Arbeloa

Zaragoza 2004

Grupo de Informatica Grafica Avanzada

SIMULACION EFICIENTE DE FENOMENOSFISICOS EN MEDIOS CONTINUOS:

SU APLICACION A LA LOCOMOCION HUMANA

Memoria presentada para optar al grado deDoctor en Ingenierıa Informatica

por

Dna. Sandra S. Baldassarri

Departamento de Informatica e Ingenierıa de SistemasUniversidad de Zaragoza

Dirigida por

Dr. D. Francisco Jose Seron Arbeloa

Departamento de Informatica e Ingenierıa de SistemasUniversidad de Zaragoza

Septiembre 2004

Grupo de Informatica Grafica Avanzada Universidad de Zaragoza

Derechos de autor

Los derechos de la presente obra pertenecen a Dna. Sandra Baldassarri y al Dr. D.Francisco Seron Arbeloa del Departamento de Informatica e Ingenierıa de Sistemasdel Centro Politecnico Superior de la Universidad de Zaragoza. Queda prohibida lareproduccion total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin el permiso escritode los autores.

El Dr. D. Francisco Jose Seron ArbeloaCatedratico de la Universidad de Zaragoza

CERTIFICA

Que Dna. Sandra S. Baldassarriha realizado en el Departamento de Informatica e Ingenierıa de Sistemas de la

Universidad de Zaragoza, bajo mi direccion, el trabajo:

Simulacion Eficiente de Fenomenos Fısicos en Medios Continuos: SuAplicacion a la Locomocion Humana

Que constituye la memoria para aspirar al grado de Doctor en Informatica,reuniendo a mi juicio las condiciones necesarias para ser presentada y defendida

ante el tribunal correspondiente.

Zaragoza, Septiembre de 2004

Publicaciones directamente relacionadas conla tesis

Publicaciones en Revistas Internacionales

Software Laboratory for Physical Based Human Body AnimationF. Rojas, S. Baldassarri, F. J. SeronLecture Notes in Computer Science 2492: Articulated Motion and DeformableObjects - Springer-Verlag.ISBN 3-540-00149-2. Paginas 226-240.Ed. Francisco J. Perales, Edwin R. Hancock. Publicado por Springer. 2002.Lugar de publicacion: Berlin, Alemania.

Modelling objects with changing shapes: A surveyS. Baldassarri, D. Gutierrez, F. J. SeronMachine GRAPHICS & VISION. Vol. 11, No 4.ISSN 1230-0535. Paginas 399-430.Published by The Institute of Computer Science - Polish Academic of Science. 2002.Lugar de publicacion: Varsovia, Polonia.

Publicaciones en Congresos Internacionales

Visualizacion en Tiempo Real de la Locomocion HumanaS. Baldassarri, F. J. SeronXVI Congreso Internacional de Ingenierıa GraficaISBN: 84-95475-39-1. Paginas 396-405. 2 al 4 de junio de 2004.

A Human Locomotion System for the Calculus of Muscle ForcesS. Baldassarri, F. Rojas, F. J. SeronICCB’03: International Congress on Computational BioengineeringDeposito Legal: Z-2045-2003. Paginas 351-358. 24 al 26 de septiembre de 2003.

Obtencion de los elementos anatomicos relacionados con una herniainguinal para su aplicacion en el campo de la ensenanza en cirugıaD. Gutierrez, F. J. Seron, S. BaldassarriIngegraf’99: XI Congreso Internacional de Ingenierıa GraficaISBN 84-699-0473-6. Vol. No 1. Paginas 492-503. 2, 3 y 4 de Junio de 1999.

Reports de Investigacion

Tecnicas de Modelado de Objetos Organicos y NaturalesS. Baldassarri, D. Gutierrez, F. J. SeronResearch Report No 14-99 Septiembre de 1999.Lugar de publicacion: Universidad de Zaragoza, Zaragoza, Espana.

Aceptado para Publicacion en Congreso Internacional

The Light Simulation Lab: An Inmersive Environment for theVisualization of Complex Global Illumination ProblemsF. J. Seron, S. Baldassarri, E. Sobreviela, J. A. Magallon, D. GutierrezAceptado en el Workshop Virtual Reality for Industrial Applications: VIA 2004 acelebrar el 4 y 5 de Noviembre de 2004 en Compeigne, Francia.

Publicaciones parcialmente relacionadas conla tesis

Publicaciones en Revistas Internacionales

Geometric and Visual Modelling of Complex Stratigraphic StructuresF. J. Seron, J. J. Torrens, J. A. Magallon, A. Turon, S. BaldassarriComputer & Graphics, Volumen 28, Numero 4. Paginas 585-599.Agosto de 2004. Lugar de publicacion: England.

Publicaciones en Congresos Internacionales

A VRML Practice Tool for Continuous and Distance TrainingF. Rojas, S. Baldassarri, J.R. Lamenca, M. Rincon, F. SeronWBLE 2000: Web-based Learning EnvironmentsISBN: 972-752-035-9. Paginas 58-60. Junio 2000.Lugar de publicacion: Porto, Portugal.

Publicaciones en Congresos Nacionales

Entorno de Simulacion de Bajo Coste para Maquinas HerramientasCNCF. Rojas, S. Baldassarri, E. Melendez, J. Lamenca, M. Rincon, J. Larroy, F. SeronCEIG 2000: Congreso Espanol de Informatica GraficaISBN: 84-8021-314-0. Paginas 385-386.Edit.: Publicacions de la Universitat Jaume I.28 al 30 de junio de 2000.

Visualizacion 3D y 4D de algunas magnitudes provenientes de lasimulacion numerica de la dinamica de fluidos F. Rojas, S. Baldassarri,J.A. Gutierrez, J. Ferrer.ISBN 84-87867-71. Metodos Numericos en la Ingenierıa Vol. 2 - Paginas 1563-1577.1996.Ed. M. Doblare, J.M. Correas, E. Alarcon, L. Gavete, M. Pastor, publicado por:Sociedad Espanola de Metodos numericos en la Ingenierıa.

Proyectos de Investigacion

CAD para Seguridad Vial basado en Sistemas de Simulacion de laIluminacionPrograma Tecnologıa de la Informacion y las Comunicaciones de la ComisionInvestigadora de Ciencia y Tecnologıa (CICYT) No TIC2001-2392-C03-02Entidades participantes: Universidad de Girona, Universidad de Zaragoza,Universidad de GranadaDuracion: 2001 - 2004Investigador principal: Juan Jose Alba Lopez

INEVAI3D: Integracion de escenarios virtuales con agentes inteligentes3DPrograma Tecnologıa de la Informacion y las Comunicaciones de la ComisionInvestigadora de Ciencia y Tecnologıa (CICYT) No TIN2004-07926Entidades participantes: Universidad de las Islas Baleares, Universidad de Zaragoza,Universidad de NavarraDuracion: 2004-2007Investigador principal: Francisco PeralesDedicacion: 16 horas

Simulacion rapida de la iluminacion global y sus aplicaciones al calculoinverso de reflectoresPrograma Tecnologıa de la Informacion y las Comunicaciones de la ComisionInvestigadora de Ciencia y Tecnologıa (CICYT) No TIN2004-07672-C03-03Entidades participantes Universidad de Girona, Universidad de Zaragoza,Universidad de GranadaDuracion: 2004-2007Investigador principal: Francisco Seron ArbeloaDedicacion: 16 horas

A Malena.

Agradecimientos

Es difıcil agradecer a todas las personas que me han acompanado y ayudadodurante todos estos anos para que esta tesis haya podido, por fin, ver la luz.

Ante todo quiero mencionar a mi director de tesis, el Dr. Francisco Seron. Enprimer lugar, quiero agradecerle sinceramente el haberme introducido en el mundode los graficos y de la ensenanza, y por haberme abierto las puertas del GIGAdesde el primer momento, sin el seguramente hoy no estarıa aquı... Su ayuda, susconocimientos y su guıa a lo largo del desarrollo de esta tesis me ha ayudado, nosolo a entender muchos conceptos cientıficos, sino tambien a superar los momentosdifıciles (que no fueron pocos). A pesar de nuestros encuentros y desencuentros,siempre ha sacado tiempo de donde no habıa, y se que siempre puedo contar con el.

A todos mis companeros del GIGA por su constante apoyo y por aguantar miscambios de humor, en especial en este ultimo tiempo... Realmente es muy difıcilnombrarlos sin olvidarme a nadie, pero quiero hacer una mencion especial paraGuti, Elsa, Juan, Emilio, y en particular, Andres, por ser mi soporte tecnico entemas relacionados con la tesis. Y, por supuesto, al resto tengo que agradecer suamistad, su buena predisposicion, y estar “ahı” siempre que se los necesita.

A Pilar y a Eva, porque sin ellas los veranos y los fines de semana en el CPShubieran sido mucho menos llevaderos.

A la Dra. Begona Calvo tengo que agradecer el tiempo dedicado a validar losdatos de mi sistema de elementos finitos, a encontrar errores y a resolverlos. Porquesiempre estuvo dispuesta.

A mi familia de Argentina, y en especial a mi madre, por animarme y apoyarmeen esta tarea, a pesar de que la decision de hacer la tesis constituyo el primer pasopara quedarme en Espana.

Y a mi familia de Zaragoza, a los que recurrı continuamente y que siempreestuvieron dispuestos a ayudarme y cuidar a Malena para que yo pudiera trabajar.

A todos mis amigos que me “perdieron” durante este tiempo...Y por supuesto, a “mi” Paco, porque sin el no estarıamos hoy presentando este

trabajo. Su paciencia me ayudo a superar innumerabales bajones y desanimos... ytambien por soportar tantos fines de semana dedicados a la tesis. Y a Malena, mihija, por el tiempo que no he podido dedicarle y porque me llena la vida de alegrıa.

Indice general

1.Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Area de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Deformaciones musculares durante la locomocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.Conceptos previos de anatomıa y fisiologıa: Modelado del cuerpohumano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1. Anatomıa y fisiologıa del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1.El sistema oseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2.Los ligamentos y el sistema articular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3.El sistema muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4.Sistema de referencias. Convenciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1.Modelos Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2.Modelos Anatomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) . . . 35

3.1. Descripcion del sistema MOBiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2. Descripcion e implementacion del modelo de cuerpo humano . . . . . . . . . . 39

3.2.1.Definicion de la estructura esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2.Definicion de la capa muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.3.Datos antropometricos y parametrizacion de los modelos . . . . . . . . . 43

3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.Simulacion del movimiento global de locomocion: Fase esqueletal . 53

4.1. Movimiento humano y locomocion: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.1.Antecedentes del movimiento y la locomocion en Informatica Grafica 564.1.2.Antecedentes de la locomocion en Biomecanica y Robotica . . . . . . . 634.1.3.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Conceptos de locomocion humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.1.Secuenciacion de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

i

ii Contenidos

4.2.2.Simetrıa en el paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.3.Minimizacion del consumo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. Descripcion del sistema de movimiento global del esqueleto . . . . . . . . . . . 754.3.1.Parametros control de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.2.Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. MOBIL: Implementacion del modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4.1.Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4.2.Metodo de resolucion de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.3.Dinamica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4.4.Dinamica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.5.Continuidad entre los sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5. MOBIL: Implementacion del modelo cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5.1.Cinematica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5.2.Cinematica de la cadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.3.Cinematica de la propulsion pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5.4.Cinematica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.5.5.Cinematica del cuerpo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.5.6.Proceso de inicio y fin de la locomocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.6. Calculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones . . . . . . . . . . . . 1214.6.1.Determinacion de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos 1224.6.2.Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL. . . . . . . . . . . 124

4.7. Validacion de la fase esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.1.Comparacion de variaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.2.Comparacion de valores de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.7.3.Comparacion de valores de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.Simulacion de la deformacion local del musculo: Fase musculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.1.Modelos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.2.Modelos basados en la fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.1.3.Modelos hıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.4.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2.1.Metodos experimentales de obtencion de fuerzas musculares . . . . . . 1495.2.2.Analisis funcional de las acciones musculares durante la locomocion 150

5.3. Descripcion del sistema de deformacion local del musculo . . . . . . . . . . . . 1535.4. Modelo basado en lıneas de accion: Introduccion de musculos en el

modelo esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4.1.Distribucion de fuerzas musculares en las articulaciones . . . . . . . . . . 1545.4.2.MOBiL: Implementacion del modelo de lıneas de accion muscular . 157

5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los musculos164

Contenidos iii

5.5.1.Formulacion matematica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.5.2.Formulacion por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.5.3.MOBiL: Implementacion del sistema de deformaciones . . . . . . . . . . 171

5.6. Validacion de la fase musculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.Integracion final y visualizacion: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.1. Sistema de Visualizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.1.1.Detalles de implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2.1.Simulacion del movimiento esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2.2.Simulacion de las deformaciones musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.3.Integracion de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2.4.Tiempos de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

7.Conclusiones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1. Objetivos Planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.2. Objetivos Alcanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.3. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.4. Trabajo en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.5. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.5.1.Apariencia visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5.2.Movimiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5.3.Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5.4.Optimizaciones para Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

A. Apendice: Datos y constantes antropometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.1. Datos correspondientes al esqueleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.2. Datos correspondientes a los musculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.3. Uniones entre huesos y musculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

B. Apendice: Actividad Muscular durante la Locomocion . . . . . . . . . . . . . . . 245C. Apendice: Parametros de diferenciacion del paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253D. Apendice: Constantes fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1 Introduccion

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Area de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Deformaciones musculares durante la locomocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Objetivos de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Estructura de la memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1

Introduccion

El ser humano se caracteriza por interactuar de forma activa con elentorno, por lo que moverse, hablar o manipular objetos son accionescomunes en nuestra vida. Es natural, entonces, la tendencia que se observaen el mundo cientıfico por recrear con verosimilitud las acciones funcionalesy de comportamiento del ser humano. Como la Informatica Grafica es laultima de las disciplinas cientıficas que se ha incorporado a la tarea de“replicar” al ser humano, cualquier trabajo de investigacion sobre animacionrealista del cuerpo humano esta continuamente bordeando las interrelacionescon la Biomecanica o la Robotica. En este capıtulo introductorio se presenta,en primer lugar, el marco en que se desarrolla esta tesis. A continuacionse lleva a cabo una revision de los trabajos que abordan el problema de ladeformacion de los musculos durante la locomocion humana, indicando lasdiferentes lıneas de investigacion y los problemas que hoy en dıa permanecenabiertos. Este estudio permite definir los objetivos de la tesis y determinarlos problemas que se van a abordar en la misma. En ultimo lugar se describela estructura seguida para el desarrollo de la memoria.

1.1. Area de desarrollo

Durante anos, tanto el modelado como la animacion de la figura humana han sidoobjetivos muy importantes en el mundo de la Informatica Grafica. Los primeroshumanos generados por ordenador datan de los anos ’60 y estaban representadospor estructuras constituidas unicamente por segmentos articulados, mientras queel movimiento se simulaba por medio de modelos cinematicos. Sin embargo, estosmodelos no permitıan simular el cuerpo humano ni su movimiento de una manerarealista... Por ello, numerosos investigadores se han dedicado a mejorar la aparienciadel cuerpo superponiendo superficies y volumenes sobre el esqueleto, y a mejorar lacontinuidad y la fluidez de los movimientos por medio de modelos dinamicos.

Gracias a las investigaciones realizadas en el mundo de los graficos y a los avancestecnologicos, hoy en dıa es posible encontrar seres humanos sinteticos en entornosque van desde los juegos por ordenador hasta la realidad virtual o la realidadaumentada, tanto para aplicaciones ludicas, medicas, ergonomicas, educativas omilitares [FDFH89] [BPW93] [KMTM+98] [Bad01].

3

4 Capıtulo 1: Introduccion

Sin embargo, la simulacion de seres humanos tiene asociados problemas complejos,fundamentalmente debido a la capacidad de cualquier observador para detectaranomalıas o irregularidades en algo tan familiar como es el movimiento o el cuerpode una persona. Y, a pesar de los avances logrados, aun hoy en dıa los modelos ylas animaciones suelen ser computacionalmente muy costosas cuando se pretendesimular de manera realista. Por una parte, hay que considerar que es casi imposiblede representar la complejidad inherente al cuerpo humano a no ser que se trabajecon modelos simplificados para recrear las formas... y por otro lado, el modeladodel movimiento implica considerar un gran numero de articulaciones y grados delibertad (mas de 200 grados de libertad [Zel82]), practicamente inabordables desdeel punto de vista de su resolucion numerica.

Asimismo, aunque se consiga recrear perfectamente la forma del cuerpo humano,hay que tener en cuenta que esta puede variar durante la animacion, ya quelos musculos se mueven, se estiran o contraen, y la apariencia externa cambiacontinuamente. Por ello, para representar la complejidad del cuerpo humano esfundamental abordar la simulacion de los musculos y las deformaciones que seproducen cuando se realiza un movimiento. La visualizacion del comportamientode los musculos durante una actividad determinada es de particular interes ennumerosos campos como la medicina, los videojuegos, los entornos de realidadvirtual, el analisis ergonomico o, por ejemplo, el alto rendimiento de los atletas.

El modelado y la animacion de las deformaciones del cuerpo humano requiereentender e integrar conocimientos que provienen de areas tan diversas como laanatomıa, la fisiologıa, la biomecanica, la fısica, la robotica, las matematicas y lainformatica. En esta tesis confluyen dichos conocimientos para lograr la generaciony visualizacion, en tiempos cercanos al real, de las deformaciones que se producen enlos musculos del cuerpo humano durante la animacion de un movimiento particularcomo es la locomocion.

En el proximo capıtulo se van a repasar los diferentes modelos y sistemas que se hanido proponiendo en el campo de la Informatica Grafica para tratar la representaciony simulacion de las deformaciones musculares durante la locomocion. No se trata deun recorrido exhaustivo, sino de una breve exposicion de los trabajos mas relevantesque incluyen movimientos y deformaciones, dentro de la Informatica Grafica.

1.2. Deformaciones musculares durante la locomocion

La simulacion de los seres humanos involucra dos areas fundamentales: la creacionde la forma y de su apariencia, y el movimiento del esqueleto. En este trabajode investigacion estos conceptos estan altamente relacionados, ya que es necesario“animar” la forma del cuerpo, a partir de los movimientos que se realizan con elesqueleto. De este modo, el problema involucra ademas del modelado de la forma delcuerpo, la representacion y la simulacion del movimiento del esqueleto y la animacionde las deformaciones que se producen en el cuerpo a partir de dichos movimientos.

Capıtulo 1: Introduccion 5

A lo largo de esta memoria se hace un analisis especıfico de los trabajosrelacionados con cada uno de los temas abordados para el desarrollo de esta tesis.En cada capıtulo se realiza un estado del arte de los trabajos mas relevantes: elmodelado del cuerpo humano en la seccion 2.2, la simulacion del movimientoen Informatica Grafica en la seccion 4.1.1, y mas especıficamente, los trabajos enlocomocion tanto desde el punto de vista biomecanico como robotico en la seccion4.1 ya que sus conceptos y datos experimentales son de especial interes, y finalmente,la animacion de las deformaciones musculares en la seccion 5.1.

Por lo tanto, en este apartado no se pretenden abordar todos los estudiosrealizados. El objetivo es centrar la atencion en aquellos trabajos que relacionandirectamente las deformaciones musculares con la locomocion. Sin embargo, hayque aclarar, en primer lugar, que aunque existen numerosos trabajos que generananimaciones donde se incluye el movimiento del esqueleto y la deformacion muscular,las deformaciones se producen a partir de un cambio en las posiciones de lossegmentos que forman en el esqueleto, normalmente con datos capturados o porespecificacion directa del animador. En ningun caso se producen deformaciones demanera coordinada con un sistema de locomocion.

Uno de los primeros e importantes trabajos en el area de la simulacion de lasdeformaciones de los musculos es el modelo presentado por Chen y Zeltzer [CZ92].En dicho trabajo se utiliza el modelo biomecanico de accion muscular de Zajac-Hill[Zaj89] para simular las fuerzas musculares y visualizar la dinamica de la contraccionmuscular. Estas fuerzas no lineales se aplican a una malla de elementos finitos, a laque luego se le aplica una deformacion de forma libre. Sin embargo, el modelo solopermite trabajar con los musculos de manera aislada y es una aproximacion muycostosa para tiempo real. A pesar que tiene en cuenta los desplazamientos de lossegmentos del esqueleto, el metodo no puede usarse para generar deformaciones enentornos dinamicos.

En el trabajo de Komura [KSK00] se utiliza un modelo musculo-esqueletal[DLH+90] simplificado donde la accion muscular tambien se representa por mediodel modelo biomecanico de Zajac-Hill. Los movimientos del esqueleto se calculan porinterpolacion de curvas B-spline entre cuadros claves, capturados o especificados porel usuario. Posteriormente se aplica una funcion basada en la dinamica muscularque permite determinar si el movimiento es o no factible, e incluso hacer que elmovimiento sea factible balanceando el cuerpo a partir de los valores de fuerzade los musculos [KS97]. Dichos valores se obtienen por dinamica inversa con elpaquete comercial SD/FAST. En el trabajo, los movimientos que genera estanrelacionados con las extremidades inferiores, de modo que solo se visualizan, pormedio de cilindros generalizados, algunos de los musculos asociados a las piernas.

En los trabajos de Wilhelms [Wil95] [Wil97] y de Scheepers [SPCM97] se utilizanmodelos anatomicos en los cuales los musculos se representan por medio de unconjunto de elipsoides deformables. Los cambios como la flexion o el aumento dela musculatura se simulan deformando los elipsoides de acuerdo a los cambios de


las articulaciones del esqueleto subyacente. En [WV97], sin embargo, se extiende larepresentacion a cilindros deformables discretizados que yacen entre puntos fijos deorıgenes e inserciones en huesos especıficos. La animacion de la deformacion muscularse realiza recalculando la forma del musculo cada vez que mueve la articulacion delorigen o de la insercion. El volumen del musculo se mantiene “aproximadamente”constante, escalando el ancho en funcion de la longitud de reposo y la longituddespues de realizar la deformacion.

[IMH02] trabaja con modelo 3D reconstruido a partir de datos anatomicos, del queresultan tres capas: hueso, musculos y tejido blando. Las deformaciones se realizanpor medio de un sistema de masa-muelle que se aplica sobre los puntos de masaque forman la superficie de la capa muscular. Para generar el movimiento parte delcalculo de la fuerza muscular, para luego calcular la fuerza en la articulacion y poderdeducir la posicion del musculo. Sin embargo, no se especifica en ningun momentodonde obtiene los valores de las fuerzas musculares, bastante difıciles de hallar, aunen la literatura biomecanica. El sistema no permite trabajar con varios musculossino de manera individual, de modo que cada uno genera una fuerza y produceun movimiento especıfico. Asimismo, no se ofrece ninguna informacion para saberque musculo esta asociado a una articulacion o como puede producir un movimientodeterminado.

[NT98] tambien se basa en un modelo anatomico de tres capas formado poresqueleto, musculo y piel [ST95]. La forma de los musculos se define por mediode una superficie implıcita y se utiliza una lınea de accion para representar lafuerza producida por el musculo en el hueso. La simulacion del movimiento se hacedesplazando primero la lınea de accion y deformando despues el musculo en base a unsistema de partıculas modelado con muelles. La simulacion del movimiento se haceaplicando las ecuaciones de movimiento a cada partıcula del modelo [TPBF87]. Elproblema de este metodo consiste en que requiere unos parametros de deformacion(elasticidad y curvatura) que no estan relacionados con ningun concepto fısico, yno son intuitivos para el animador. El movimiento global del esqueleto se obtienepor modificacion interactiva del valor de una articulacion [NT98] o por medio dedatos capturados [NT00]. Aunque utiliza primitivas de volumen, el modelado de losmusculos no es volumetrico ya que no hay informacion acerca del interior de losmusculos. Y, a pesar de que en [NT00] incluye mas de una lınea de accion muscular,y de que se trabaja con polilıneas, no hay informacion acerca de como se restringe lasuperficie del musculo en el caso de que la lınea de accion este compuesta por variossegmentos. Los resultados pueden ser en tiempo real, dependiendo de la exactitudbuscada. Sin embargo, el realismo no es mucho si se trabaja para tiempo real.

Aubel y Thalmann se basan en el trabajo citado anteriormente para desarrollar unaherramienta interactiva que permite deformar automaticamente una capa muscularde manera anatomicamente correcta [AT01b] [AT01a]. El resultado que se obtiene esuna coleccion de posturas estaticas, en las que no se incluye ningun efecto dinamico


como inercia o gravedad. Los modelos de musculo en los que se basa provienen de[PBP+96].

En el trabajo de Dong et al. [DCKY02] los musculos se representan por una lıneade accion y una superficie que se genera a partir de un perfil de curva extraıdo dedatos anatomicos. Sin embargo, en este caso, los musculos se dividen en categorıasde acuerdo a su forma estructural y su esquema de deformacion. Concretamente, lasdeformaciones se hacen de acuerdo al movimiento de las inserciones de los musculosen los huesos, reposicionando lıneas de accion, moviendo los tendones y deformandolos perfiles de las curvas que forman el musculo en respuesta al movimiento delos tendones, luego se recalcula la superficie de modo que preserve volumen. Losdatos de movimiento se obtiene a partir de captura de movimiento, por medio delsoftware 3DStudio. Los musculos se visualizan de manera individual y presentan unaapariencia realista, principalmente porque sobre su superficie se aplican texturasobtenidas a partir de las orientaciones de las fibras de los datos anatomicos. Sinembargo, los resultados distan mucho de poder visualizarse en tiempo real, aunqueesto mejorarıa si se incluyeran modelos musculares volumetricos en lugar de modelosde superficies ya que reducirıa el tiempo que se emplea en deteccion de colisiones.A pesar de que los resultados estan pensados para la educacion en medicina y enbiomecanica, no se obtienen valores fısicos ni musculares reales, ni el metodo siguepatrones biomecanicos.

En el trabajo de Ng-Thow-Hing y Fiume [NF02] los musculos se representan deforma individual, pero basandose en un B-spline solido como primitiva basica. Laformulacion matematica del B-spline solido permite trabajar con multiples formas demusculos (fusiforme, triangular,...) y diferentes tamanos de inserciones. La forma delmusculo se obtiene a partir de extraccion de curvas de contorno de datos anatomicos,representando tambien la arquitectura de las fibras musculares. La deformacionmuscular se logra embebiendo una red de tipo masa-muelle-amortiguador en el solidoB-spline, aunque en la practica la red no coincide exactamente con los puntos decontrol del B-spline [Ng 01]. Variando las magnitudes de fuerza en la red se obtienendiferentes efectos fısicos que permiten realizar animaciones, sin embargo, su trabajoesta centrado en el modelado realista de los musculos, mas que en su animacion.

Por otra parte, en [ZLW03] la forma de los musculos tambien se obtiene porextraccion de curvas de contorno a partir de datos anatomicos, pero en este casose representa por medio de una curva axial que define la posicion y direccion delmusculo y varias secciones de cruce con puntos de control que permiten definirla forma del musculo. A partir del movimiento de las articulaciones se realiza ladeformacion del modelo, en base a relaciones puramente geometricas entre la curvaaxial y las secciones de cruce, teniendo en cuenta caracterısticas fisiologicas de losmusculos. El trabajo se centra en obtener deformaciones musculares en el tiemporeal, a costa de no ofrecer imagenes muy realistas.

En el mundo de los graficos existen, por supuesto, muchas mas investigacionesacerca de las deformaciones musculares, pero no incluyen ningun tipo de informacion


acerca del movimiento del esqueleto subyacente [ZCK98] [TBNF03] o la deformacionproducida no esta directamente relacionada con los movimientos del esqueleto,como por ejemplo en las simulaciones de deformaciones en cirugıa virtual [BNC96][CDA99] [CDA00] [KCM00]. Como ya se ha comentado, estos trabajos se detallanen la seccion 5.1.

1.3. Limitaciones de los modelos

En vista de los modelos previamente estudiados se observa que es comun encontrarsistemas que permiten representar la deformacion muscular producida a partirde ciertos movimientos, pero no existen referencias que permitan la animacionconjunta y coordinada de la simulacion de la locomocion humana y la deformacionmuscular que se produce por dicho movimiento. No suele haber retroalimentacionni coordinacion en los movimientos y en ningun caso se integra la deformacion localcon la animacion de un movimiento complejo y global como la locomocion.

En su gran mayorıa, los trabajos existentes se centran en la realizacion demovimientos generales, muy simples, donde la deformacion exterior se produce apartir de un desplazamiento especıfico del esqueleto, que generalmente provienen deun movimiento articular simple o de sistemas de captura. A pesar que las tecnicasde captura de movimiento ofrecen resultados satisfactorios, estan restringidas a losmovimientos del actor, no hay soluciones generales, y resulta difıcil trabajar conmovimientos no capturados. Sin embargo, por medio de la sıntesis y la simulacion porordenador es posible generar datos (para cada instante de tiempo) de un movimientocomplejo como la locomocion. De este modo es posible representar individuos concaracterısticas diferentes, como altura, peso o grado de balanceo de la pelvis mientrasse mantiene el mismo realismo desde el punto de vista fısico.

Asimismo, en los trabajos relacionados con el movimiento en Informatica Graficase observa que los objetivos perseguidos son, o bien visualizacion en tiempo realo bien representar resultados “realistas” o visualmente correctos. Por lo tanto,practicamente no existen referencias en las que se represente la fısica del problema.Estos modelos, por tanto, no incluyen parametros fısicos ni los modelos planteadosse utilizan para verificar ningun tipo de comportamiento fısico. Para abordar estosproblemas es conveniente trabajar con entornos de simulacion regulados por leyes decomportamiento basadas en la Fısica y realizar validaciones con estudios realizadosen el area de biomecanica.

Desde el punto de vista del modelado del cuerpo, en la gran mayorıa de lostrabajos estudiados, la especificacion de los musculos se realiza utilizando modelosde superficies, aun en los modelos basados en la anatomıa y en aquellos que incluyenvarias capas. Para considerar la posibilidad de trabajar con la composicion internade los diferentes elementos que forman el cuerpo, es necesario tratar con modelosvolumetricos donde se caracterice no solo la superficie sino tambien el interior de losobjetos.


1.4. Objetivos de la Tesis

En las secciones anteriores se han presentado diferentes modelos que abordan elproblema de la animacion de las deformaciones musculares producidas por algunmovimiento del cuerpo y se han puesto de manifiesto las limitaciones de dichosmodelos.

La idea basica de esta tesis es proveer de un sistema que permita animar,de manera coordinada, las deformaciones locales de los musculos yel movimiento global del esqueleto, durante el desarrollo de una actividadcompleja, como es la locomocion.

Dentro de este contexto, esta tesis tiene los siguientes objetivos especıficos:

Estudio de la problematica relacionada con las deformaciones musculares y con elcontrol del movimiento del cuerpo humano, en particular durante la locomocion.Desarrollo de un sistema integrado de simulacion capaz de generar lasdeformaciones que se producen en los musculos durante la locomocion humana.• Desarrollo e implementacion de un metodo para animar la locomocion

humana que permita:◦ Controlar el movimiento de una forma sencilla e intuitiva,◦ Generar animaciones en tiempo real de locomociones de individuos de

caracterısticas antropomorficas diferentes,◦ Generar valores de momentos y fuerzas.

• Desarrollo e implementacion de un sistema de simulacion para la deformacionde objetos en 3 dimensiones que permita:◦ Utilizar los datos de fuerzas obtenidos de la locomocion,◦ Realizar deformaciones con apariencia realista,◦ Trabajar con tiempos de calculo aceptables.

Desarrollo de una plataforma que permita visualizar y generar animaciones delos resultados de las simulaciones.

1.5. Estructura de la memoria

El capıtulo 1 presenta el marco de desarrollo de esta tesis y describe brevementeel estado actual de la investigacion en las deformaciones que se producen en losmusculos durante la locomocion humana. Dicho estudio permite establecer laslimitaciones de los diferentes modelos y especificar los objetivos concretos que seabordan en este trabajo.

El capıtulo 2 se centra en la definicion del cuerpo humano, describiendo suscaracterısticas anatomicas y fisiologicas. Un estado del arte del modelado del cuerpohumano permite establecer las bases para la eleccion del modelo a implementar.

En el capıtulo 3 se presenta una descripcion general del sistema desarrollado a lolargo de esta tesis, denominado MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion).El sistema esta formado por dos fases: la fase esqueletal, que corresponde a la


simulacion del movimiento global y la fase musculo-esqueletal, que correspondea la simulacion de la deformacion local del musculo. Posteriormente, se describeel modelo de cuerpo humano adoptado para este trabajo, ya que es comun aambas fases, y se establecen las medidas antropometricas utilizadas y las tecnicasimplementadas para la parametrizacion de los modelos.

El capıtulo 4 se centra en la simulacion del movimiento global de locomocion. Enprimer lugar se presentan los trabajos desarrollados en este campo, considerandono solo los antecendentes en Informatica Grafica sino tambien en Biomecanicay Robotica. Posteriormente se describe detalladamente el sistema implementadode movimiento global, que se divide, basicamente, en dos modelos: un modelodinamico y un modelo cinematico, que permiten realizar el calculo de las fuerzasy los momentos netos en las articulaciones. Por ultimo, se validan los sistemasdesarrollados con datos obtenidos de la literatura, tanto para el comportamientodel sistema de locomocion como para la obtencion de los patrones de momentosnetos en las articulaciones.

En el capıtulo 5 se presentan los trabajos realizados hasta el momento en elarea de deformacion muscular. A continuacion se detalla el sistema de calculode deformaciones musculares, que se divide en una fase de calculo de lıneas deaccion y una fase de resolucion de la deformacion por medio de un modelo deelementos finitos. Finalmente se valida el modelo de elementos finitos implementado,comparando sus resultados con los resultados obtenidos por medio de otrasaplicaciones de FEM.

Tanto el capıtulo 4 como el capıtulo 5 contienen un apartado en el que seestablecen todos aquellos conceptos teoricos necesarios para un mejor entendimientodel capıtulo.

El capıtulo 6 describe el sistema de visualizacion desarrollado, que integra losmodulos de MOBiL desarrollados en los capıtulos anteriores. Posteriormente sepresentan los resultados obtenidos a lo largo de este trabajo.

Y, finalmente, en el capıtulo 7 se presentan las conclusiones y las lıneas de trabajoprevistas para el futuro.

La memoria finaliza con cuatro apendices que se dedican a presentar losdatos antropometricos utilizados a lo largo del trabajo (Apendice A), detallar laactividad de los musculos durante la locomocion (Apendice B), definir los diferentesparametros de diferenciacion del paso que permiten presentar individualizar laslocomociones de los diferentes individuos (Apendice C) y definir las constantes fısicasutilizadas (Apendice D).

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2Conceptos previos de anatomıa y fisiologıa:Modelado del cuerpo humano

2. Conceptos previos de anatomıa y fisiologıa: Modelado del cuerpo humano 152.1. Anatomıa y fisiologıa del cuerpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1.El sistema oseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2.Los ligamentos y el sistema articular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3.El sistema muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4.Sistema de referencias. Convenciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1.Modelos Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2.Modelos Anatomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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Conceptos previos de anatomıa y fisiologıa:Modelado del cuerpo humano

Este capıtulo ofrece una descripcion de la estructura del cuerpo humano.En primer lugar se presenta la descripcion del cuerpo desde el punto devista anatomico y fisiologico, considerando tanto el sistema oseo, comoel articular y el muscular, haciendo especial hincapie en este ultimo.Posteriormente se presenta la evolucion de las tecnicas de modelado delcuerpo humano en el area de la Informatica Grafica. Estas tecnicas sehan clasificado de acuerdo a dos categorıas basicas: modelos geometricos ymodelos anatomicos, dependiendo si los modelos incluyen representacionesabstractas de los elementos que forman el cuerpo o si se basan en datosanatomicos, obteniendo representaciones concretas de huesos, musculos ytejidos blandos. Por ultimo se realizan consideraciones acerca del metodo demodelado de cuerpo humano mas adecuado para el desarrollo de este trabajo.

2.1. Anatomıa y fisiologıa del cuerpo humano

El cuerpo humano se caracteriza por ser un sistema muy complejo desde el punto devista mecanico, ya que es una estructura complicada con mas de doscientos huesos,un centenar de articulaciones y mas de 650 musculos actuando de forma coordinada.

Un modelo completo de funcionamiento del cuerpo se deberıa representar pormedio de un conjunto de elementos rıgidos y deformables, con mas de 200 gradosde libertad [Zel82], lo que serıa extremadamente complejo. Ademas, los musculoscambian su forma debido a contracciones, extensiones o contactos . Tanto losmusculos como los huesos, se encuentran recubiertos por las diferentes capas queconstituyen la piel, que suavizan visualmente los movimientos y las formas.

A continuacion se presenta la descripcion anatomica y fisiologica de los sistemasoseo, articular y muscular. En particular, se fijan una serie de conceptos sobreel funcionamiento de los musculos esqueleticos, fundamentales en el proceso delmovimiento del cuerpo humano. Asimismo se describe el sistema de referencias quese utiliza en anatomıa para expresar las relaciones entre las diferentes partes delcuerpo.

15

16 Capıtulo 2: Modelado del cuerpo humano

2.1.1. El sistema oseo

El sistema oseo del cuerpo humano esta formado por 208 huesos [NG99]: 26 en lacolumna vertebral, 8 en el craneo, 14 en la cara, 8 en el oıdo, 1 hueso Hioides, 25en el torax, 64 en los miembros superiores, 62 en los miembros inferiores (los masimportantes se pueden observar en la figura 2.1). El conjunto de huesos y cartılagosforma el esqueleto. Las funciones del esqueleto son multiples: sostiene al organismoy protege a los organos delicados, a la vez que sirve de punto de insercion a lostendones de los musculos.

Figura 2.1. Principales huesos del esqueleto humano

Desde el punto de vista del sistema oseo, el cuerpo humano se suele dividir encabeza, tronco y extremidades. La cabeza esta constituida por el craneo y la cara.Los huesos del craneo son 8 y forman una caja resistente para proteger el cerebro.Los huesos de la cara son 14. Entre los huesos del tronco se puede encontrar enprimer lugar la clavıcula y el omoplato, que sirven para el apoyo de las extremidadessuperiores. La columna vertebral es un fuerte pilar que tiene una cierta flexibilidad yesta formada por una treintena de vertebras que cierran por detras la caja toracica.En la porcion dorsal de la columna, se articula con las costillas que protegen alos pulmones, formando la caja toracica o torax. Las costillas de ambos lados seunen en el esternon. En la pelvis (ilion, isquion y pubis) se apoyan las extremidadesinferiores. Las extremidades superiores se articulan con el tronco en la union de

Capıtulo 2: Modelado del cuerpo humano 17

clavıcula y omoplato con el humero, formando la articulacion del hombro. El restode los huesos del brazo son: el cubito y el radio que forman el antebrazo, el carpo,formado por 8 huesecillos de la muneca, los metacarpianos en la mano y las falangesen los dedos. Las extremidades inferiores se articulan en la union de la pelvis y elfemur, formando la articulacion de la cadera. El resto de los huesos de las piernasson: la rotula que se encuentra en la rodilla, la tibia y el perone, el tarso, formadopor 7 huesecillos del talon, el metatarso en el pie y las falanges en los dedos.

2.1.2. Los ligamentos y el sistema articular

Las diferentes partes del esqueleto se conectan entre sı por medio de los ligamentosy las articulaciones. Sus funciones principales son las de movilidad y estabilidad.

Los ligamentos permiten conectar huesos adyacentes por medio de lasarticulaciones y estan compuestos de colageno. El ligamento mas poderoso del cuerpohumano se encuentra en la capsula de la articulacion de la cadera e impide el girohacia atras de la pierna (soporta valores de fuerza de 3000 N).

Las articulaciones estan formadas por capsulas que cubren los extremos de loshuesos con cartılago y que por su parte exterior estan recubiertas por poderososligamentos. En la capa mas interna de las capsulas existen unas celulas que producenun fluido, de nombre lıquido sinovial, que es un excelente lubricante. Una fina capade grasa separa las zonas interna y externa de la articulacion.

Existen diferentes tipos de articulaciones que normalmente se clasifican atendiendoal modelo mecanico que las describe, en particular segun el numero de grados delibertad que permite la articulacion y si son traslaciones o giros. En general, launion entre dos cuerpos puede tener seis grados de libertad, tres traslaciones ytres giros sobre tres direcciones perpendiculares entre sı (roll, pitch, yawn). Sinembargo, muchas de las articulaciones del cuerpo humano no pueden ser comparadascon los tipos representados y se deben utilizar combinaciones de varios tipos paradescribirlas.

La figura 2.2 presenta la representacion y localizacion de las articulaciones delcuerpo humano.

2.1.3. El sistema muscular

Los musculos son estructuras activas capaces de transformar la energıa quımicaen energıa mecanica, electrica o termica, dependiendo de la funcion del musculo.Desde el punto de vista anatomico, los musculos se clasifican en:

Esqueleticos: Estos musculos, tambien llamados voluntarios o estriados,constituyen el 40 % de la masa corporal. Reciben el nombre de estriados porestar formados por celulas largas estriadas adheridas al esqueleto oseo, al quemueven de forma voluntaria.Lisos: Estos musculos estan formados por celulas en forma de huso, cortas ysin estrıas. Son musculos involuntarios de contraccion lenta, que se encuentran


Figura 2.2. Principales tipos de articulaciones del cuerpo humano

principalmente en el estomago, el intestino y las paredes de los vasos sanguıneos.Constituyen algo menos de un 10% de la masa corporal.Musculo cardıaco: Este musculo tiene una estructura especial ya que se trata deuna variedad de musculo estriado, pero de contraccion involuntaria.

Los musculos esqueleticos son los responsables del movimiento de lasarticulaciones, y por lo tanto, de todos los huesos del cuerpo. Los musculos estanunidos al esqueleto por medio de los tendones, los cuales, al igual que los ligamentos,estan compuestos de colageno.

La estructura interna del musculo esqueletico esta compuesta por una parte centralque se encuentra rodeada por una capa de material conectivo llamada epimysium(ver figura 2.3), unida al hueso por medio del tendon. El angulo que forman lasfibras del musculo con el tendon se denomina angulo de pennation.

Las fibras del musculo, denominadas fasciculi, poseen diferentes longitudes y undiametro aproximado de 10 a 100 micras. Estan compuestas por elementos mas


Figura 2.3. Estructura interna del musculo esqueletico

pequenos, de 1 a 2 micras de diametro, llamadas miofibrilas. Estas miofibrilas estancompuestas a su vez por elementos llamados sarcomeros de 1 a 2 micras de longitudque se repiten formando patrones, que dan la apariencia externa caracterıstica de losmusculos. Frente a estımulos externos los sarcomeros se contraen a lo largo de su eje,de manera tal que las estructuras que conforman son capaces de ejercer una fuerzatotal entre los extremos del musculo. A nivel microscopico, existen dos proteınascontractiles que se encuentran en la composicion de los sarcomeros, la actina y lamiosina, que forman dos tipos de filamentos, unos gruesos de miosina y otros muchomas finos de actina que se encadenan en uniones hexagonales. Cuando el musculo secontrae, los filamentos de actina se mueven entre los de miosina y como consecuenciala miofibrilas se acortan y engordan.

Aunque la estructura interna de todos los musculos esqueleticos es similar, existendiferentes tipos de musculos atendiendo a su forma, numero de inserciones y otrascaracterısticas morfologicas (ver figura 2.4).

El cuerpo humano tiene unos 650 musculos de accion voluntaria (ver figura 2.5),que son los “motores” fundamentales de todos los movimientos del ser humano.

De acuerdo a su participacion en la produccion de un determinado movimiento,se pueden clasificar en:

Agonistas o motores: representan aquellos musculos directamente responsablesde producir un un movimiento articular.Antagonistas: la contraccion de estos musculos tiende a producir una accionarticular exactamente opuesta a alguna accion articular determinada de losmusculos agonistas.Sinergistas (o motores secundarios): colaboran con la accion del agonista en laejecucion de un movimiento, pero son menos efectivos e importantes.

Sin embargo, en la practica se habla de fuerzas y movimientos articulares globales(por ejemplo, un momento flexor es igual a la accion de los flexores -agonistas-modificada por los sinergistas y antagonistas que actuan de estabilizadores).


Figura 2.4. Tipos de musculos esqueleticos de la anatomıa humana

Origen e Insercion del musculo. La mayor parte de los musculos se conectan con loshuesos en sus dos extremos, y pueden pasar a traves de una articulacion (musculomonoarticular), dos articulaciones (musculo biarticular) o varias articulaciones(musculo poliarticular). Los puntos en los que el musculo se une al esqueleto sedenominan origen e insercion. Por convencion, se considera como origen al puntomas cercano al centro de masas del cuerpo, y debido a que la masa es mayor enel centro, usualmente es tambien el menos movil de los dos puntos (ver figura 2.6),mientras que la insercion es el punto donde se realiza la accion. Sin embargo, estono es una regla formal, ya que hay musculos que estan unidos a dos huesos en unaarticulacion, y cada uno de los huesos puede funcionar tanto como punto fijo o comomovil en un momento dado [Whi03].

El punto donde el musculo se une a la articulacion es particularmente importante,ya que un centımetro de diferencia en la longitud que existe desde el punto degiro de articulacion al punto de insercion del musculo puede producir un aumentoconsiderable en el momento de la fuerza. Frecuentemente los tendones se apoyanen protuberancias oseas o tienen huesecillos interpuestos que cambian la direccion,aumentando el angulo de insercion y con ello el brazo del momento.

Activacion y Contraccion muscular. Los musculos estan conectados a la columnavertebral por medio de los nervios. El estımulo que produce el sistema nerviosollega al musculo por medio de ramificaciones nerviosas que penetran hasta las fibrasmusculares, produciendo la contraccion de las fibras. Para regular la potencia dela contraccion, se activa un numero variable de fibras. De este modo, las fibrasmusculares permiten variar la intensidad de la contraccion dependiendo de la cargacontra la que tengan que actuar: cuantas mas fibras estimule el sistema nervioso,mayor sera la fuerza generada por la contraccion muscular.


Figura 2.5. Principales musculos del cuerpo humano

Sin embargo, una contraccion muscular representa la generacion de tension dentrodel musculo, pero no implica necesariamente un acortamiento visible del propiomusculo o un movimiento articular. Por ello, atendiendo al modo en que se realicela tension en un musculo, las contracciones se clasifican en:

Contraccion isometrica o estatica: el musculo experimenta una tension muscularsin cambio perceptible en la longitud y sin producir movimiento.Contraccion isotonica o dinamica: el musculo desarrolla y mantiene una tensionconstante mientras se acorta o alarga, por lo tanto produce movimiento.• Contraccion concentrica: el musculo, al reducir su longitud, desarrolla una

tension suficiente para superar una resistencia o para mover un segmentocorporal.

• Contraccion excentrica: el musculo se alarga lentamente mientras cede a unaresistencia/fuerza externa mayor que la tension/fuerza de contraccion ejercidapor el musculo.

Co-contraccion: representa la contraccion que ocurre cuando se contraensimultaneamente los musculos agonistas y antagonistas. Consecuentemente, nohay movimiento articular.


Figura 2.6. Origen e insercion de un musculo

Fuerza muscular. La fuerza maxima que puede realizar un musculo esta relacionada conel area de seccion transversal fisiologica (ASTF) y con la disposicion de las fibrasdel musculo. La disposicion de las fibras dentro del musculo determina la direccionde la fuerza, y puede ser: “penniforme” o “paralela” (ver figura 2.7).

Figura 2.7. Orientacion de las fibras musculares: Penniforme y Paralela, donde Lm es la longitud del musculo junto conel tendon, Lt es la longitud del tendon, Lm es la longitud del musculo, Lf es la longitud de las fibras y α es el angulode pennation

La orientacion paralela o longitudinal se compone de fibras que recorren toda lalongitud del musculo, desde el origen a la insercion. El area de seccion transversalfisiologica (ASTF) de un musculo de fibras paralelas se puede estimar a partir delos siguientes datos [Win90]:

ASTF = m/(Lf · ρ) (2.1)

donde m es la masa del musculo, Lf es la longitud de las fibras y ρ representa ladensidad del musculo.


Sin embargo, los musculos penniformes poseen fibras oblicuas cortas, de modo quela fuerza solo se ejerce a traves de una distancia reducida. El angulo que las fibrasforman con el tendon en los musculos penniformes se denomina angulo de pennation.En estos musculos el ASTF se calcula del siguiente modo [Pie95], creciendo a medidaque el musculo se acorta:

ASTF = (m · cos α)/(Lf · ρ) (2.2)

donde m, Lf y ρ representan los mismos valores que en la ecuacion 2.1, y α es elangulo de pennation.

2.1.4. Sistema de referencias. Convenciones.

Los terminos anatomicos que describen las diferentes partes del cuerpo se basanen una posicion de referencia, denominada posicion anatomica. Dicha posicioncorresponde a una persona erguida, de pie, con los pies juntos y los brazos a loscostados del cuerpo, con las palmas hacia afuera. Sin embargo, para definir demanera inequıvoca la disposicion de las partes del cuerpo es necesario establecerplanos de referencia: plano sagital, plano frontal y plano transversal. En la figura2.8 se puede observar la posicion anatomica, junto con la disposicion espacial de losplanos de referencia.

Figura 2.8. La posicion anatomica y los planos de referencia del cuerpo humano

La mayor parte de las articulaciones pueden moverse en uno o dos de los tresplanos de referencia. Las direcciones de los movimientos de la cadera y la rodilla


Figura 2.9. Movimientos con respecto a las articulaciones de la cadera y de la rodilla

Figura 2.10. Movimientos basicos del tobillo y los dedos del pie

se muestran en la figura 2.9, mientras que los movimientos del tobillo y el pie sepueden observar en la figura 2.10.

Los movimientos basicos son los siguientes:

Flexion y extension: tienen lugar en el plano sagital. En el tobillo estosmovimientos reciben el nombre de dorsiflexion y plantaflexion, respectivamente.Abduccion y aduccion: tienen lugar en el plano frontal.Rotacion interna y externa: tienen lugar en el plano transversal. Tambien recibenel nombre de rotacion medial y lateral, respectivamente.

Aunque tambien se utilizan los siguientes terminos (ver figura 2.11) para describirlos movimientos de las articulaciones y de los segmentos del cuerpo [Whi03]:

Varus y valgus: describen la desviacion angular de una articulacion hacia dentroo fuera con respecto al eje central, respectivamente.Pronacion y supinacion: corresponden a rotaciones del empeine con respecto aleje longitudinal del pie, de manera que la parte de afuera del empeine va casipara arriba.


Inversion y eversion: corresponden a rotaciones del tobillo con respecto al talon,produciendo movimientos de los dedos del pie hacia el interior y hacia el exterior,respectivamente.

Figura 2.11. Movimientos de la articulacion del tobillo y del pie

2.2. Modelado del cuerpo humano: Estado del arte

La historia del modelado del cuerpo humano se remonta a finales de los anos’60, cuando W. Fetter introduce el primer modelo humano creado por computador[Fet82]. El “primer hombre” estaba compuesto por solo 7 segmentos articulados,realizado a partir de tablas de datos antropometricos [Doo82]. A partir de esemomento se han buscado tecnicas y metodos que permitan modelar con exito lacomplejidad de la forma humana, tanto en su modelo de representacion internacomo en el proceso de construccion.

El problema radica principalmente en que, como se ha comentado anteriormente,el sistema musculo-esqueletal humano incluye alrededor de 200 huesos y 800musculos, produciendo mas de 200 grados de libertad. Estos grados de libertad estandistribuidos en 4 o 5 niveles de control y en ocasiones se presentan varios unidosen cadenas cinematicas cerradas. Por otra parte, el gran numero de diferentes tiposde uniones entre elementos anade una causa mas a las dificultades de estructurary analizar estos sistemas, lo que representa un problema anadido a la hora desimularlos.

Las figuras humanas generadas por ordenador se estructuran, generalmente, apartir de un cuerpo articulado que forma un esqueleto que admite movimiento en susuniones y que es el soporte de una “piel” superficial que completa su forma humana.Una vez que el modelado y la animacion del esqueleto estan resueltos, se debe


mejorar su apariencia y el realismo del movimiento, no solo el articular, sino tambiende las diferentes deformaciones que sufren las formas externas de las partes delcuerpo. Existen tecnicas de simulacion basadas en la utilizacion de diferentes capas:esqueleto, hueso, musculo, tejidos blandos y piel, que permiten alcanzar el grado derealismo deseado. Pero para manipular y animar a un modelo humano generadopor computador se debe encontrar la representacion apropiada, dependiendo dela finalidad y el tipo de aplicacion. En este trabajo las tecnicas de modelado delcuerpo humano se clasifican considerando si se basan en modelos geometricos o enestudios de la anatomıa real del cuerpo [BGS02]. Aunque en la literatura se puedenencontrar diversos tipos de clasificaciones atendiendo a diferentes criterios [TP88][Ned98] [Sav02].

2.2.1. Modelos Geometricos

Los modelos geometricos son aquellos que incluyen representaciones abstractasde los diferentes elementos que forman el cuerpo (esqueleto, musculos, piel, . . . )sin basarse en ningun tipo de dato anatomico. De estos modelos, el mas populary usado para la animacion del cuerpo humano es el modelo esqueletal, queimplica la representacion mecanica del esqueleto humano por medio de segmentosrıgidos conectados por articulaciones. Estos modelos tambien reciben el nombrede cuerpos articulados y pueden ser mas o menos complejos, dependiendo delnumero de segmentos y articulaciones involucrados. Los esqueletos suelen tenersus elementos jerarquizados en estructuras funcionales (piernas, brazos, tronco,etc) de forma que se pueden representar por medio de estructuras de arbol. Estamodelizacion facilita el almacenamiento y el movimiento de las diferentes partesdel cuerpo. La principal ventaja de este modelo es que el movimiento se puedeespecificar de manera simple, cambiando las posiciones relativas de los segmentosy animando el modelo del esqueleto como un objeto solido. Por contra, este tipode representacion produce simulaciones poco realistas. La falta de volumen haceque la percepcion de la profundidad sea difıcil y puede causar ambiguedades en lasimagenes. Algunos movimientos, como algunas rotaciones o torsiones son imposiblesde representar [MTT90]. Los primeros modelos de esqueleto fueron utilizados pararepresentaciones en danza [Wit70] [SO77] [BWG+77]. En [TMTB82] se describe elproceso de modelado y animacion del heroe de la pelıcula Dream Flight, modeladopor medio de un esqueleto formado por 32 segmentos y 15 articulaciones (ver figura2.12).

En general, los modelos de esqueleto se utilizan como soporte de la forma exterior(ya sea esta de superficies o volumetrica) y no son visibles aunque, en ocasiones,tambien se los utiliza como metodo de representacion del movimiento [BS79]. Enmuchos casos el esqueleto se recubre por medio de superficies compuestas de“parches” planos o curvos, simulando la piel. Aunque existen modelos simples quemantienen la informacion de la forma de las partes del cuerpo humano medianteel uso de lıneas de contorno paralelas (como anillos) cuyo centro se situa sobre la


Figura 2.12. El heroe de Dream Flight

lınea del esqueleto [CBD+93], la representacion mediante polıgonos es la mas comun,sobretodo desde la aparicion de tarjetas con aceleradores graficos por hardware. Jack[BPW93], Marilyn Monroe y Humphrey Bogart [MTT87] [Tha93], o los modeloscreados por Fetter [Fet82] son ejemplos de modelos humanos basados en polıgonos.Su apariencia final no es suficientemente realista, pero es adecuada para poderrepresentarlos en tiempo real. Los modelos desarrollados a partir de parches curvos,en cambio, estan formados por una o mas funciones parametricas de dos variables,y mantienen la continuidad entre dos parches adyacentes [Cat75]. Los modeloshumanos construidos de este modo se suelen emplear para animaciones que notrabajan en tiempo real, ya que el incremento de realismo en la representacionde las diferentes partes del cuerpo necesita mayor cantidad de calculo, sobretodopara suavizar y permitir variaciones de forma en las uniones de las articulaciones.Para abordar este problema normalmente se utilizan modelos mixtos, con un modelode esqueleto para especificar los movimientos y un modelo de superficies para darsensacion de volumen y apariencia realista. En [MTT87] se introduce la primerasolucion al problema de la deformacion en las articulaciones, mediante el uso deoperadores de deformaciones locales dependientes de la articulacion (JLD). Estetipo de operadores permite combinar informacion sobre el tipo de articulacion y elangulo que forman los segmentos en esa union, para controlar la evolucion de lasuperficie. Esta tecnica se utiliza para simular deformaciones del cuerpo humano[MTT91] [MTT92] como tambien para el modelado y deformacion de una mano[MTLT88]. [Kom88] adopta un modelo con una estructura de esqueleto formada por14 articulaciones, a la que le agrega cuatro capas independientes que interactuanentre ellas. La capa muscular se deforma por medio de transformaciones de los puntosde control de superficies de Bezier bicuadrica que representan la piel. Un modelosimilar, tambien compuesto por cuatro capas, se presenta en [CHP89]. En este caso,la capa muscular se representa de manera abstracta mediante las deformaciones deforma libre (FFD) [SP86], cuyos puntos de control estan fijos a una malla masa-


muelle, que a su vez, esta relacionada con la estructura interna del cuerpo. Unaversion mejorada de las FFD, denominada DFFD (FFD de Dirichlet) se presenta en[MMT97]. La DFFD no esta limitada por la restriccion de la FFD de que los puntosde control deben estar situados inicialmente en una malla cubica regular.

Varios autores representan el cuerpo humano aproximando la estructura y la formadel cuerpo por medio de una coleccion de primitivas de volumen. Estas primitivaspueden ser cilindros [Eva76] [PK75] [GVP91], elipsoides [HE74] o esferas [BOT79].Estos modelos no producen mejores resultados que los modelos de superficies, ycarecen de adecuados mecanismos de control cuando se trabaja un conjunto grandede primitivas durante la animacion. Una generalizacion de los modelos de esferas,que soluciona gran parte de los problemas de modelado, es considerar el volumencomo una funcion de potencial con un centro y una propiedad asociada que decrecede forma polinomial o exponencial desde el exterior al centro. Tambien llamadosblobs o metaballs, los modelos de volumen determinados por funciones de potencialse construyen a partir de elementos determinados, mas por un valor de la funcionque crea un campo que, por un radio o un tamano. El primer trabajo en este campose debe a [Bli82] que reemplaza el hasta entonces tradicional modelo de esferasy segmentos por superficies implıcitas. Aunque su objetivo es la visualizacion demoleculas, construye un modelo humano (Blobby Man) formado por una superficieequipotencial, donde las fuentes puntuales de potencial estan fijadas a un esqueletoarticulado. Utilizando el mismo tipo de fuentes puntuales de potencial que [Bli82],[Hen90] simula la presencia de musculos creando campos de velocidad que deformanun modelo de piel resistente al estiramiento. El modelo de piel esta implementadocomo una malla de parches bicubicos. [BS91] trabajan con superficies de potenciala partir de un esqueleto, con las cuales representan formas organicas como losmusculos y brazos. [Sin95] usa funciones implıcitas y modelos semifısicos parasimular el efecto de la contraccion de los musculos, aunque sin llegar a modelarlos musculos individuales desde un punto de vista anatomico. Este tipo de tecnicaspermite obtener modelos bastante realistas, como en el caso de las bailarinas deYoshimoto [Yos92] (el cuerpo y la ropa de cada bailarina se diseno con 500 metaballs- mayoritariamente esferas, y algunos elipsoides) y a bajo coste computacional (verfigura 2.13).

2.2.2. Modelos Anatomicos

Los modelos anatomicos parten del estudio de la anatomıa del cuerpo, de maneraque obtienen representaciones concretas de los huesos, musculos y tejidos blandos.Para ello es necesario contar con datos anatomicos, que pueden obtenerse a partir dediferentes tipos de imagenes medicas, como rayos X y tomografıas computerizadas(CT), resonancias magneticas (MRI), tomografıas por emision de positrones (PET),ultrasonido (US), etc. Cada una de estas tecnicas presenta ventajas e inconvenientescuando se aplican a la construccion de modelos anatomicos. Por ejemplo, losmusculos son mas visibles en MRI que en CT, mientras que con los huesos ocurre


Figura 2.13. Bailarina modelada con metaballs

exactamente lo contrario. Algunos de los metodos de adquisicion de los datosanatomicos con los que trabajan estos modelos estan descritos en [Web88] [Lap99],aunque muchos investigadores utilizan los datos de la biblioteca biomedica digitalgenerada mediante el proyecto “Visible Human” [Vis]. El procedimiento para laextraccion de los datos y la generacion de los modelos anatomicos completos delhombre y de la mujer del “Visible Human” se describe detalladamente en [TSH96]y [Sim96].

El sistema LEMAN desarrollado por [Tur95], presenta un modelo por capas, dondelos musculos son superficies implıcitas deformables compuestas por primitivas(esferas, cilindros, ...). Estas primitivas estan asociadas a una articulacion cercana,que es la que controla su evolucion. El modelo deformable elastico de la piel seadhiere luego a la capa muscular mediante tecnicas de minimizacion de energıa.Shen [ST95] [She96] construye un modelo similar, el sistema Body Builder, quedifiere en la generacion de la piel: la superficie muscular se muestrea mediante ray-casting, y las muestras obtenidas se utilizan como puntos de control de los B-splinescubicos que conforman la piel. En [PBP+96] se presenta una version mejorada de estemodelo, donde se reemplazan las superficies implıcitas que modelaban los musculospor mallas poligonales basadas en datos anatomicos.

Los metodos geometricos basados en la anatomıa que se utilizan en [Wil95][WV97] para modelar y animar animales, podrıan aplicarse al modelado del serhumano. En el modelo los huesos, los musculos y la grasa se representan a partir deelipsoides. La piel que recubre el modelo, en cambio, esta compuesta por triangulos,cuyas aristas se rigen por el comportamiento de un muelle con una cierta elongacionen reposo y un cierto coeficiente de elasticidad que depende de las areas de los


triangulos que comparten cada arista. Este coeficiente, por lo tanto, no es uniformepara todas las aristas. Un enfoque similar se utiliza en [SPCM97] para modelarla musculatura del torso y un brazo de un ser humano, incluyendo ademas el usode un lenguaje procedural que permite al modelador especificar la apariencia ycomportamiento de cada objeto.

Otro modo de modelar el cuerpo humano basandose en datos anatomicos utilizasistemas masa-muelle. Holton y Alexander [HA95] se basan en el metodo que utilizaMiller para modelar serpientes y gusanos [Mil91] para representar los musculos demanera volumetrica. El principal objetivo de este trabajo es lograr la simulacionen tiempo real de tejidos blandos, de modo que se puedan utilizar en simulacionquirurgica. Cada tejido se construye a partir de numerosas celdas tetraedricas quese conectan para formar el volumen. Lamentablemente solo se trabaja cada musculode manera aislada. Nedel y Thalmann [Ned98] [NT98] [NT00], junto con el proyectoeuropeo “A Comprehensive Human Animation Resource Model (CHARM)” [CHA]presentan una version mejorada del sistema Body Builder de Shen [She96], al que sele reemplazan los musculos generados por metaballs por mallas poligonales basadasen datos anatomicos provenientes del Visible Human Project. La forma del musculoconsiste en un modelo de superficies masa-muelle que concuerda con el contorno delos datos medicos.

Chen y Zeltzer [CZ92] desarrollan un modelo biomecanico que simula lageometrıa y las propiedades del tejido muscular mediante el metodo de elementosfinitos (FEM), modelando los musculos como materiales elasticos, homogeneose isotropos. Los resultados de la simulacion por elementos finitos se usan paramodificar los puntos de control de una malla dada por una deformacion deforma libre (FFD). El principal problema de este metodo es la imposibilidad deutilizarlo para animaciones en tiempo real, debido a su alto coste computacional.Zhu, Chen y Kaufman [ZCK98] tambien presentan un modelo biomecanico parasimular las deformaciones de los musculos utilizando elementos finitos. El modelomatematico incorpora parametros fisiologicos y parametros mecanicos para calcularlas deformaciones estaticas y dinamicas del musculo. El metodo utiliza unamalla de voxels que se construye con metodos jerarquicos, permitiendo teneruna aproximacion volumetrica de los datos originales del musculo a diferentesresoluciones. En general, los modelos basados en voxels se utilizan principalmente enel campo medico, ya que su capacidad de almacenar valores de diferentes propiedadeslos hacen ideales para el diagnostico medico y la visualizacion de organos [FLP89].

2.3. Conclusion

En este capıtulo se ha presentado una descripcion completa del cuerpo humanoy su constitucion, desde el punto de vista anatomico y fisiologico. Se ha realizadouna clasificacion de las tecnicas de modelado del cuerpo humano en dos categorıasbasicas: geometricas y anatomicas. De este estudio se deduce que la eleccion de


un modelo apropiado para representar el cuerpo humano es un compromiso entreexactitud y eficiencia. Por ello, resulta imprescindible decidir que partes del cuerpose quieren representar y con que nivel de detalle.

En este trabajo se opta por una representacion anatomica basada en dos capas: unacapa esqueletal, que permite representar el cuerpo como un conjunto de segmentosrıgidos articulados, y una capa muscular, mediante la cual se representa la formade los musculos. Los musculos se representan por medio de mallas volumetricaspara permitir trabajar con la composicion interna de los mismos.

El detalle del modelo adoptado se presenta en el siguiente capıtulo, donde se realizauna descripcion general del sistema desarrollado.

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3El sistema MOBiL (Muscle defOrmation inBiped Locomotion)

3.El sistema MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) . . . 37

3.1. Descripcion del sistema MOBiL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2. Descripcion e implementacion del modelo de cuerpo humano . . . . . . . . . . 39

3.2.1.Definicion de la estructura esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2.Definicion de la capa muscular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.3.Datos antropometricos y parametrizacion de los modelos . . . . . . . . . 43

3.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

35

El sistema MOBiL (Muscle defOrmation inBiped Locomotion)

Este capıtulo se ha concebido como ayuda para una mejor navegacionpor los capıtulos de esta memoria. Se ha optado por introducir esta brevedescripcion del sistema desarrollado (denominado sistema MOBiL) porquepor su caracter modular es aconsejable presentar una vision general antesde ir capıtulo a capıtulo profundizando en cada una de las muchas fasesy modelos que lo componen. Asimismo, siguiendo con la misma intencionclarificadora, este breve capıtulo se completa con la descripcion del modelode cuerpo humano adoptado, por dos razones: es un elemento comun a todo elsistema e ilustra, por su propia estructura esqueletal y muscular, la inherentemultidisciplinariedad del trabajo desarrollado.

MOBiL (Muscle defOrmation in Biped Locomotion) es un sistema complejo quepermite animar, de forma realista y con tiempos de calculo aceptables para lainteraccion con el animador, el movimiento del cuerpo humano y la deformacionvolumetrica local de sus musculos, durante una actividad motora coordinada, comoes la locomocion.

La propuesta de esta tesis es trabajar de forma coordinada segun varios modelosbasados en la fısica con diferente nivel de simplificacion. En primer lugar, sedesarrolla una simulacion de la locomocion que permite obtener datos sobre lasfuerzas articulares que intervienen en este proceso. A partir de esos valores secalculan las fuerzas musculares que alimentan al sistema de deformaciones. De estemodo, se asegura un movimiento coordinado. Mas detalladamente, la secuencia detrabajo que se sigue es la siguiente:

Simulacion de la locomocion humana.Obtencion de los momentos de fuerzas que se generan en cada articulacion encada fase del ciclo de locomocion.Estimacion de las fuerzas y las deformaciones de los musculos de las extremidadesinferiores, considerando agrupaciones de musculos.Deformacion de cada grupo muscular por medio de elementos finitos.Integracion del sistema de elementos finitos y de la simulacion de la locomocion.Visualizacion de los resultados: la deformacion de un grupo muscular insertadoen un modelo esqueletal “que camina”.

37

38 Capıtulo 3: El sistema MOBiL

Alguno de estos procesos ha sido necesario subdividirlos a su vez en nuevossubprocesos para conformar mediante su secuenciacion el sistema completo,presentado con mayor detalle a lo largo de los siguientes apartados.

3.1. Descripcion del sistema MOBiL

Basicamente, el sistema MOBiL se divide en dos fases, segun se observa en la figura3.1. La fase esqueletal permite obtener el movimiento de segmentos y articulaciones(movimiento global) mientras que en la fase musculo-esqueletal es donde secoordina el movimiento y la deformacion local de los musculos (movimiento local).

Figura 3.1. De lo global a lo local. Los diferentes modelos de MOBiL. El sistema permite la coordinacion de un movimientocomplejo como es la locomocion con deformaciones locales en los musculos de las piernas

A lo largo de cada fase se trabaja a su vez con varios modelos del cuerpo, decomplejidad creciente: modelo dinamico y modelo cinematico en la fase esqueletal y

Capıtulo 3: El sistema MOBiL 39

modelo de lıneas de accion muscular y modelo de elementos finitos en la musculo-esqueletal. Cada modelo se ha tratado de simplificar al maximo para poder conseguirtiempos de calculo cercanos al tiempo real. En cada fase, el primer modelo es debajo nivel y produce los patrones necesarios para “poner en marcha y gobernar” elsegundo.

En la fase esqueletal es el patron de movimiento de la cadera, que se obtiene apartir de un modelo dinamico muy basico, el que permite calcular el movimientode un modelo cinematico del cuerpo humano de 48 segmentos.En la fase musculo-esqueletal, es un patron de fuerza muscular, que se obtiene apartir de un modelo simple de lıneas de accion muscular insertadas en el modeloesqueletal, el que permite calcular las deformaciones del volumen de los musculosque intervienen en la generacion del movimiento global de locomocion.

A lo largo de todas las fases y modelos se utilizan conocimientos de anatomıa,fisiologıa y, en especial, de biomecanica.

3.2. Descripcion e implementacion del modelo de cuerpo humano

La eleccion de un modelo apropiado para representar el cuerpo humano es uncompromiso entre exactitud y eficiencia. Es necesario determinar, entonces, el nivelde detalle requerido en las diferentes partes del cuerpo, considerando, ademas, queel ser humano esta muy familiarizado con la representacion del cuerpo.

En este trabajo se ha adoptado una representacion final del cuerpo en base a unmodelo musculo - esqueletal compuesto por dos capas: una capa esqueletal, quepermite representar el cuerpo como un conjunto de segmentos rıgidos articulados, yuna capa muscular, que permite representar la forma de los musculos en las distintaspartes del cuerpo. La capa esqueletal esta constituida por segmentos articuladosde manera que el analisis y el movimiento son tareas que no tienen un costecomputacional alto y, sin embargo, permiten obtener resultados aceptables. La capamuscular modela volumetricamente la forma de los musculos, permitiendo obteneruna apariencia realista.

A continuacion se describen detalladamente ambas capas, se especifican los datosantropometricos considerados y las decisiones adoptadas para la parametrizacion delos mismos, y finalmente, se comentan los detalles de implementacion del modelo.

3.2.1. Definicion de la estructura esqueletal

De igual forma que muchos de los modelos presentes en la literatura, elmodelo esqueletal que se propone esta formado por segmentos rıgidos articulados,organizados de manera jerarquica por medio de una estructura de arbol. Latopologıa jerarquica permite la propagacion del movimiento desde de la raız hacialos nodos terminales, de modo que la posicion de un nodo se define localmente enrelacion con su nodo “padre” en la jerarquıa.


El modelo de esqueleto simplificado que se ha propuesto esta formado por unaestructura de 48 segmentos que corresponden a los principales conjuntos esqueleto-musculares del ser humano. La figura 3.2 muestra una vista frontal del esqueleto yuna vista lateral del pie con los nombres de los diferentes segmentos.

(a) Vista frontal del cuerpo (b) Vista lateral del pie

Figura 3.2. Detalle de los segmentos del esqueleto

La cadera (l0) es el elemento principal y nodo raız. Si esta realiza un movimientode traslacion o giro, el cuerpo entero se mueve. El resto de elementos solo realizanmovimientos de rotacion relativos a su segmento “padre”.

De la cadera cuelga el tronco superior y ambas piernas. El cuerpo superioresta constituido por: el conjunto de vertebras lumbares, el conjunto de vertebrastoracicas y el conjunto de vertebras cervicales y la cabeza (lcabeza). Las vertebraslumbares son siete segmentos (lv lumb1 ... lv lumb7) y las toracicas doce (lv tor1 ...lv tor12) y presentan diferentes longitudes. El movimiento de la columna vertebral esmuy importante en la apariencia exterior del movimiento. Las vertebras cervicalesestan formadas por siete segmentos (lv cerv1 ... lv cerv7), el ultimo de de los cualesesta relacionado con la cabeza. Cada hombro esta formado por un omoplato (l15) yuna clavıcula (l20) y de cada hombro “cuelga” un brazo formado por los segmentosde brazo (l21), antebrazo (l22), palma de la mano (l23) y dedos de la mano (l24).Existe un brazo izquierdo y otro derecho, simetricos respecto a la vertical.


En cada pierna existen los segmentos del muslo (l3), pantorrilla (l4), empeine (l12)y dedos del pie (l13). Existe una pierna izquierda y otra derecha, simetricas respectoa la vertical.

Para completar el modelo es necesario incluir informacion sobre el tipo deuniones que existen entre los diferentes segmentos. Normalmente corresponden aarticulaciones bien conocidas como rodilla, cadera, codo, tobillo o muneca. Con el finde simplificar los modelos y facilitar la interpretacion de los resultados, generalmentese ignoran las rotaciones longitudinales o las traslaciones de las articulaciones[Win90]. En este trabajo se han restringido los grados de libertad. Ası, por ejemplo,la rodilla es una union cilındrica sin rozamiento, de forma que solo se permite elmovimiento segun el eje principal, fijando los movimientos de pronacion o adduccionde la cadera.

3.2.2. Definicion de la capa muscular

De la misma forma que con el esqueleto, la representacion de los musculos tambiense hace de manera simplificada. En la figura 3.3 se presenta una imagen de dosgrupos musculares del muslo: los isquiotibiales y el cuadriceps. Esta imagen se hareconstruido por segmentacion manual de imagenes de resonancia magnetica, y enella se puede observar el grado de complejidad de las geometrıa de los musculos.

Figura 3.3. Reconstruccion grafica de los grupos musculares del cuadriceps (rojo) y de los isquiotibiales (azul)

En este trabajo se ha optado por representar la capa muscular por medio delmodelado volumetrico de los diferentes musculos o grupos musculares. De este modo,no solo se representa la forma exterior de los musculos sino que tambien es posibletener informacion sobre el interior. La representacion de los musculos, en este caso,


se hace por medio de mallas tridimensionales (ver figura 3.4) mediante las cualesse especifican las caracterısticas de la geometrıa: nodos, conectividades entre losnodos, elementos, materiales de cada elemento... Dichas mallas se especifican segunel estandar GID [Gid] y se detallan con mas profundidad en la seccion 5.5.3.

Figura 3.4. Malla volumetrica con 117 nodos y 48 elementos

En el caso particular de la especificacion de la capa muscular hay que tener encuenta que las caracterısticas geometricas se definen considerando el musculo enposicion anatomica. Su geometrıa esta fuertemente relacionada con la respuestafrente a estımulos nerviosos, es decir, que la geometrıa varıa si el musculo esta enreposo o si se halla sometido a una contraccion interna o a una fuerza externa. Por lotanto, siguiendo la pauta establecida en la mayor parte de los trabajos relacionadoscon los musculos, en este trabajo se han especificado todos los datos correspondientesa la geometrıa del musculo (longitud, longitud de las fibras y del tendon, masa)considerando que este se halla en posicion anatomica. Asimismo, es convenientedisponer de algunas medidas de los musculos como el valor de su ASTF (Area deSeccion Transversal Fisologica) y el valor del angulo de pennation, necesarios paradeterminar la fuerza maxima que puede realizar un musculo, aunque la mayorıa delos modelos no consideran el angulo de pennation y la longitud de las fibras, debidoa que su estructura biomecanica se comporta igual que una sola fibra, larga [NG99].

Sin embargo, ademas de los datos mencionados, tambien es necesario representarlas deformaciones que se producen en la geometrıa de los musculos cuando estansometidos a una fuerza. Para ello, ademas de la informacion geometrica, hay queincorporar las caracterısticas que permitan representar el comportamiento del tejidomuscular como su densidad, sus parametros de elasticidad o su amortiguamiento.


El modelado de dichas variaciones en la forma se representa, en el sistema MOBiL,por medio de deformaciones realizadas sobre la malla volumetrica, tal como sedescribe en la seccion 5.5.3.

3.2.3. Datos antropometricos y parametrizacion de los modelos

Los datos antropometricos permiten definir las caracterısticas de los individuosindicando la relacion entre las medidas de las diferentes partes del cuerpo. Deeste modo, la antropometrıa estudia las medidas fısicas que permiten caracterizardiferencias como raza, sexo, edad, complexion, etc.

MOBiL requiere medidas corporales que van desde areas, volumenes, masas, hastamomentos de inercia y posiciones. Asimismo requiere informacion sobre los centrosde rotacion de las articulaciones, sobre el origen e insercion de los musculos, sobrelas lıneas de acciones musculares o las dimensiones de los musculos... y todo ellopara cualquier individuo de peso, altura, complexion y estado fısico no predefinidos,tal y como se describe a continuacion.

Antropometrıa. La constitucion y facultades fısicas de cada persona dependen de dosfactores: los no modificables (factores geneticos predeterminados por la herenciabiologica que se agrupan bajo el nombre de biotipo) y los modificables (nivel deentrenamiento, habitos y costumbres, estado de salud... que se agrupan bajo elconcepto de estado fısico).

En la clasificacion mas simple y mas usada, existen 3 biotipos humanos basicos,recogidos en la figura 3.5, los cuales son claramente identificables (clasificacionplanteada en 1921 por el psiquiatra aleman Ernest Kretschmer en su obraConstitucion y caracter):

Figura 3.5. Biotipos: de izda. a dcha. Ectomorfico, Endomorfico y Mesomorfico [Med]

a) ECTOMORFICO (llamado tambien LONGUILINEO o ASTENICO): aspectodelgado, estatura alta, panıculo adiposo escaso, musculatura poco desarrollada,cara delgada, rasgos agudos, cintura escapular estrecha, torax largo, anguloepigastrico agudo y cintura pelvica angosta.


b) ENDOMORFICO (llamado tambien BREVILINEO o PICNICO): aspectogrueso, estatura baja, panıculo adiposo grueso, musculatura poco desarrollada,cara redonda, rasgos gruesos, nariz corta, cintura escapular ancha, torax corto,angulo epigastrico ancho y cintura pelvica ancha.c) MESOMORFICO (llamado tambien NORMOLINEO o ATLETICO): aspectorobusto, estatura media, adiposidad media, musculatura muy desarrollada, caraangular, mandıbula ancha, nariz media, cintura escapular ancha, torax amplio,angulo epigastrico medio y cintura pelvica media.

Por otra parte, en la medicina nutricional y deportiva existen un serie de ındicesfisiologicos que permiten la valoracion de la constitucion fısica de una persona. Detodos ellos son de especial utilidad, el ındice de masa corporal (IMC), que indicael grado de obesidad, el ındice de robustez (IR), que determina el estado fısico y elarea de superficie corporal (ASC), que indica la relacion entre superficie de piel yvolumen corporal.

Indice Formula Hombres Valoracion Mujeres

< 5 Debil

5− 10 Regular

Indice de Robustez IR = (p− a)− (H − 100−M) 11− 15 Bueno

(IR) 16− 20 Muy bueno

> 21 Excelente

< 15 Delgadez pronunciada < 13

15− 20 Delgadez 13− 18

Indice de Masa Corporal 20− 25 Normal 18− 23

(IMC) IMC = M/H2 25− 30 Sobrepeso 23− 28

o Indice de Quetelet 30− 35 Obesidad moderada 28− 33

35− 40 Obesidad grave 33− 38

> 40 Obesidad morbida > 38

ASC = 0, 202 M0,425H0,725 Formula Du Bois

Area de Superficie Corporal

(ASC) ASC =√

HM3600

Formula Mosteller

Tabla 3.1. Siendo p el perımetro del torax en inspiracion; a el perımetro del abdomen en espiracion; H la altura y M lamasa del individuo. (p y a estan expresados en centımetros, M en kilogramos, H en metros salvo en IR y en ASC de laFormula de Mosteller, que es en centımetros).

Estos ındices morfologicos solo representan valores “externos” al individuoy no dan informacion, por ejemplo, de como se distribuye internamente elpeso. Una tecnica complementaria es entonces el analisis de la composicioncorporal (en ocasiones denominado valoracion de los compartimientos) queestudia estas proporciones “internas” segun dos modelos basicos: el modelo dedos compartimientos - grasa y masa libre de grasa; y el modelo de cuatro


compartimientos : mineral/hueso, proteınas, agua y grasa. La informacion mas utilque permiten calcular estos metodos es la proporcion que supone la grasa corporalo la masa muscular en el peso de un cuerpo (o en cualquiera de sus extremidades).

% Grasa Corporal Valoracion % Grasa Corporal

Hombres Mujeres

6− 14 Delgadez (deportistas) 9− 22

15 Normal 2316− 24 Sobrepeso (sedentarios) 24− 31

Tabla 3.2. Valores medios de la proporcion de grasa corporal en individuos adultos de raza caucasiana

Mediante metodos de analisis directo se ha logrado establecer que -en promedio- elcuerpo humano esta formado por un 60% de agua, 17 % de grasa, 15 % de proteınasy 8 % de otros elementos. Estas proporciones varıan con el sexo, la edad y la raza.Las mujeres tienen una mayor proporcion de grasa que los hombres. De igual formaque la raza negra presenta ındices de grasa corporal superiores a los de la razacaucasiana. Y de los 20 hasta los 50 anos el peso aumenta en 10 a 15 %, pero lacantidad de grasa aumenta mas, debido a una reduccion leve y progresiva de lamasa muscular.

Algoritmo de parametrizacion de los modelos. Todos los datos basicos utilizados eneste trabajo para las medidas de las extremidades inferiores provienen de [Pie95]a partir de una coleccion de artıculos, tal como se detalla en el Apendice A deDatos y constantes antropometricas. Estos datos se consideran “normalizados”y corresponden a un individuo patron que se toma como referencia en laparametrizacion del modelo.

La parametrizacion llevada a cabo responde a la caracterıstica mas avanzada delsistema MOBiL: la posibilidad de animar cuerpos que difieran en altura, masa eincluso en tipo de complexion y estado fısico.

El modelo esqueletal parametrico es muy simple. Cada segmento del cuerpo quedadeterminado a partir de una relacion proporcional con respecto a la altura totaldel individuo (valor referencia = longitud segmento/altura individuo). Los datosrequeridos para el sistema esqueletal de MOBiL corresponden a los valores dados enla figura 3.6 y se detallan en el apartado A.1 del Apendice de Datos y constantesantropometricas. Para las extremidades inferiores provienen de [Pie95] y para elresto del cuerpo de diversos trabajos [Win79] [BC89] [Win90].

Las propiedades de masa, centro de masas y radio de giro normalizados de cadauno de los segmentos del cuerpo se obtienen de diferentes investigaciones, recopiladasen [Win90]. Los valores utilizados se expresan directamente de forma proporcionala los datos de masa del individuo. En la tabla 3.3 se detallan los datos normalizadosde referencia para los diferentes segmentos.


(a) Denominacion de las variables

utilizadas en MOBiL para los

segmentos del esqueleto

Segmento Valor Descripcion

l0 0.10059 Pelvisl2 0.47 Cuerpo superior

l3 0.23882 Muslol4 0.24706 Pantorrilla

l5 0.0858 Proyeccion del empeine

l6 0.04734 Proyeccion de los dedos del piel7 0.02367 Altura del metatarso al talon

l8 0.02959 Proyeccion del talon

l9 0.03846 Altura del talonl11 0.04853 Talon

l12 0.08901 Empeine

l13 0.0496 Dedos del piel15 0.017288553 Homoplato

l20 0.1068758 Clavıcula

l21 0.1900968 Brazol22 0.1603750 Antebrazo

l23 0.0415492 Palma de la mano

l24 0.0415492 Dedos de la manolv lumb1 0.0244348985 Primera vertebra lumbar

lv lumb2 0.0209818118 Segunda vertebra lumbarlv lumb3 0.0209818118 Tercera vertebra lumbar

lv lumb4 0.0180135865 Cuarta vertebra lumbar

lv lumb5 0.0180135865 Quinta vertebra lumbarlv tor1 0.0180135865 Primera vertebra toracica

lv tor2 0.0151191023 Segunda vertebra toracica

lv tor3 0.0151191023 Tercera vertebra toracicalv tor4 0.0151191023 Cuarta vertebra toracica

lv tor5 0.0151191023 Quinta vertebra toracica

lv tor6 0.0148302 Sexta vertebra toracicalv tor7 0.0151191023 Septima vertebra toracica

lv tor8 0.012187691 Octava vertebra toracica

lv tor9 0.012187691 Novena vertebra toracica

lv tor10 0.012187691 Decima vertebra toracica

lv tor11 0.012187691 Decimoprimera vertebra toracicalv tor12 0.012187691 Decimosegunda vertebra toracica

lv cerv1 0.012187691 Primera vertebra cervical

lv cerv2 0.012187691 Segunda vertebra cervicallv cerv3 0.012187691 Tercera vertebra cervical

lv cerv4 0.012187691 Cuarta vertebra cervical

lv cerv5 0.0088859 Quinta vertebra cervicallv cerv6 0.009360109 Sexta vertebra cervical

lv cerv7 0.009360109 Septima vertebra cervical

lcabeza 0.13 Cabezalal pelvis 0.0512722696 Altura a la pelvis

(b) Los valores de los segmentos deben multiplicarse por la

altura del individuo

Figura 3.6. Valores de referencia normalizados necesarios para calcular las longitudes de los segmentos del cuerpo indicadosen las figuras de la izquierda.

Los momentos de inercia se calculan a partir de la altura de un segmento, su masay su radio de giro, con respecto al centro de masas, [Win90] como:

Ii = mi(li × γi)2

donde Ii es el momento de inercia del segmento i segmento, mi es su masa, li sulongitud y γi su radio de giro.


segmento i peso del segmento centro de masas radio de giro/

(% del peso del cuerpo) (% de la longitud del segmento) (% de la longitud del segmento)

Pelvis 0 - - -

Pierna 1 0.161 0.447 0.326

Cuerpo superior 2 0.678 0.626 0.496Muslo 3 0.1 0.433 0.323

Pantorrilla 4 0.061 0.606 0.416

Tabla 3.3. Valores antropometricos de referencia de los segmentos de las extremidades inferiores necesarios para el analisisdinamico y cinematico. Los valores de los centros de masa estan dados desde el extremo proximal del segmento y el radiode giro esta especificado con respecto al centro de masas.

Los datos normalizados utilizados para definir la geometrıa del musculo tambienprovienen de datos tabulados reunidos por [Pie95]. Es necesario que hayacorrespondencia entre los valores de longitud de musculos y segmentos del esqueleto(especialmente en los puntos de origen e insercion y lıneas de accion). Para ello,previamente a cualquier operacion de parametrizacion, los datos de referencia deMOBiL (que se detallan en el apartado A.2 del Apendice de Datos y constantesantropometricas) se han obtenido ajustando los datos normalizados de los musculosen posicion anatomica extraıdos de Pierrynowski hasta la dimension “normalizadas”de los segmentos de las extremidades inferiores.

Los datos del musculo, tanto geometricos como fisiologicos, son los siguientes:longitud de musculo, longitud del tendon y longitud de las fibras, angulo depennation, masa y ASTF. Del mismo modo se extrae y ajusta la informaciongeometrica de los puntos donde se conectan musculos y huesos por medio delos tendones (tabla 7.8, apartado A.3 del Apendice de Datos y constantesantropometricas).

Estos datos del modelo musculo-esqueletal son la referencia basica en el procesode parametrizacion principal de MOBiL. A diferencia de la parametrizacion delesqueleto, que es practicamente directa a partir de la altura, para obtener los datosgeometricos de los musculos de un individuo especıfico se utiliza un algoritmo maspotente que incluye el biotipo y el estado fısico del individuo.

El parametro de alto nivel denominado biotipo corrige las desviaciones a lahora de precisar conceptos como el exceso de peso. Se han definido tres biotipos:LONGUI, NORMO y BREVI, equivalentes a los de las clasificaciones existentes enla literatura al uso. A cada uno de ellos se le ha hecho corresponder un ındice demasa corporal (IMC) basico. Este ultimo valor tambien puede introducirse comoparametro en sustitucion de los anteriores, por lo que MOBiL permite un ampliorango de constituciones fısicas.

El parametro de alto nivel denominado estado fısico permite modular el volumeny fuerza de los musculos segun el estado de forma del individuo. Las diferentesposibilidades de estado fısico son: ATLETICO, NORMAL y DEBIL, y condicionanlos parametros de masa que, a su vez, influyen en la deformacion muscular. Suaccion consiste en modificar los valores de referencia de la masa muscular, mediantesu multiplicacion por un factor, el Factor5. Este factor es conceptualmente similar al


Indice de Robustez, y refleja el hecho que con el mismo peso y altura los individuosatleticos tienen una mayor masa muscular.

En la tabla 3.4 se exponen los valores medios de los parametros antropometricos.Los valores de referencia del Factor5 se han extrapolado a partir de un analisiscomparativo de la composicion corporal de futbolistas e individuos inactivos en el queel porcentaje de grasa corporal medio se diferenciaba en cinco puntos porcentualesy en 3 kilos, la masa muscular en las piernas [LJD+01]. El grupo de control consistıaen individuos inactivos con una edad media 23 anos y cuya altura media y peso erande 1,76 metros y 73 Kg. Sus valores de referencia fueron de un 18 por 100 de grasacorporal y 18 kilogramos de masa muscular en las piernas.

BIOTIPO IMC normalizado ESTADO FISICO Factor5 normalizado

LONGUI 19 DEBIL 0.8

NORMO 24.5 NORMAL 1

BREVI 30 ATLETICO 1.16

CULTURISTA 2

Tabla 3.4. Valores medios de los parametros antropometricos de alto nivel de MOBiL

El esquema 3.7 muestra el algoritmo de decision que se sigue para para incluir lacomplexion y estado fısico entre los parametros del sistema MOBiL y calcular losdistintos valores de la geometrıa de los musculos y segmentos del cuerpo.

3.3. Conclusiones

En este capıtulo se ha presentado una breve descripcion introductoria del sistemaMOBiL, sistema que constituye el principal resultado de este trabajo.

Tal como se puede entrever se trata de un sistema complejo, creado apartir de diferentes modelos dinamicos y cinematicos que se resuelven por fasespara simplificar las ecuaciones del movimiento o la deformacion. Por ello, seha considerado necesario facilitar esta primera vision global para una mejorcomprension de su verdadera dimension y alcance. La enumeracion previa de susmodulos e interacciones permite navegar con conocimiento de causa a traves de loscapıtulos, fundamentando de esta manera todo el sistema MOBiL.

Por otra parte, es necesario destacar que el modelo musculo-esqueletal desarrolladoen este trabajo permite diferentes niveles de complejidad: es extremadamente simplepara utilizar la dinamica y se aumenta su complejidad para calcular, por medio de lacinematica, el movimiento de un gran numero de segmentos y articulaciones y, pormedio de las lıneas de accion, el movimiento de los musculos. Todas las posiciones yrestricciones de musculos, segmentos del cuerpo y articulaciones del modelo globalse describen en detalle en este capıtulo por ser un elemento comun a todo el sistemaMOBiL.


Otra de las caracterısticas mas destacadas del modelo es que, aunque en sudefinicion se ha optado por utilizar datos antropometricos correspondientes ahombres de raza blanca, su caracter parametrico lo hace facilmente extensible aotros segmentos de la poblacion y permite la simulacion de la locomocion en mujerese individuos de otras razas, edades o complexiones.


Figura 3.7. Algoritmo de decision para escalar la geometrıa del musculo. Lm es la longitud del musculo, Lf es la longitudde las fibras, Lt es la longitud del tendon, Factor1 = (altura individuo/altura referencia) · datos longitudes yFactor3 = (masa individuo/masa referencia) · datos masas

Referencias

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[NG99] B. M. Nigg and S. K. Grimston. Biomechanics of the Musculo-skeletal System, chapter 2, pages 64–85.

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[Win79] David A. Winter. Biomechanics of Human Movement. Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc.,New York, 1979.



51

4Simulacion del movimiento global delocomocion: Fase esqueletal

4.Simulacion del movimiento global de locomocion: Fase esqueletal . 55

4.1. Movimiento humano y locomocion: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.1.Antecedentes del movimiento y la locomocion en Informatica Grafica 564.1.2.Antecedentes de la locomocion en Biomecanica y Robotica . . . . . . . 634.1.3.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Conceptos de locomocion humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.1.Secuenciacion de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.2.Simetrıa en el paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2.3.Minimizacion del consumo energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3. Descripcion del sistema de movimiento global del esqueleto . . . . . . . . . . . 754.3.1.Parametros control de alto nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3.2.Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. MOBIL: Implementacion del modelo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4.1.Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4.2.Metodo de resolucion de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.3.Dinamica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.4.4.Dinamica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.5.Continuidad entre los sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5. MOBIL: Implementacion del modelo cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5.1.Cinematica de la pierna de apoyo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5.2.Cinematica de la cadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.3.Cinematica de la propulsion pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5.4.Cinematica de la pierna de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.5.5.Cinematica del cuerpo superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.5.6.Proceso de inicio y fin de la locomocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.6. Calculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones . . . . . . . . . . . . 1214.6.1.Determinacion de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos 1224.6.2.Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL. . . . . . . . . . . 124

4.7. Validacion de la fase esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.1.Comparacion de variaciones angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.2.Comparacion de valores de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.7.3.Comparacion de valores de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

53

54 Capıtulo 4: Simulacion de la fase esqueletal

4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Simulacion del movimiento global delocomocion: Fase esqueletal

En este capıtulo se presenta el trabajo desarrollado en la primera fasedel sistema MOBiL con el fin de simular la locomocion humana con uncomputador (ver figura 4.1).

Figura 4.1. Fase esqueletal del Sistema MOBiL

En el se describen, en primer lugar, los modelos computacionales existentesen la Informatica Grafica para el movimiento del cuerpo humano, conespecial interes en aquellos relacionados con la locomocion. Asimismo, sedescriben los antecedentes en la locomocion en los campos de la Biomecanicay la Robotica, ya que son de gran importancia los estudios realizadosen estas areas en el analisis del caminar humano y en la simulacion dela locomocion. A continuacion, tras explicar los conceptos basicos sobrela locomocion humana, se presenta el funcionamiento general del sistema

55


propuesto, exponiendo, de manera detallada las dos diferentes partes quecomponen este sistema hıbrido: la fase de calculo dinamico y la fase demejora cinematica. En ultimo lugar se presenta el desarrollo del calculo delas fuerzas y momentos de fuerza netos en las articulaciones.

4.1. Movimiento humano y locomocion: Estado del arte

La tarea de especificar a un ordenador el movimiento de un objeto animado essorprendentemente difıcil, y esta dificultad es aun mayor si lo que se pretende animares la locomocion del cuerpo humano.

El problema radica principalmente en que es muy complicado dar realismo a losmovimientos por tres motivos:

Debido a que el ser humano esta muy familiarizado con el movimiento humano,puede detectar rapidamente si este no es natural o es poco convincente.En la vida real los mismos movimientos no se hacen siempre de la misma forma.El movimiento del ser humano depende no solo del estado fısico sino tambien delmental... Una persona no se mueve igual si esta contenta que si esta deprimida.

Sin embargo, este problema ha sido abordado durante anos desde distintasdisciplinas cientıficas, debido a la importancia, en multitud de aplicaciones, de susresultados.

Actualmente, el movimiento, y mas concretamente, la locomocion son de losproblemas mas estudiados entre las tecnicas de animacion del cuerpo humano.Existen dos causas que han producido este hecho: la previa existencia de estudiosrelacionados provenientes de otras disciplinas cientıficas y la evidente aplicacionfutura de los posibles resultados.

A continuacion, en primer lugar, se detallan los trabajos relacionados con elmovimiento, en el area de Informatica Grafica, para posteriormente presentar losantecedentes de la locomocion en las areas de biomecanica y robotica.

4.1.1. Antecedentes del movimiento y la locomocion en Informatica Grafica

Desde el punto de vista de la informatica grafica se ha investigado mucho eneste campo y se han desarrollado numerosas tecnicas que para generar animacionesrealistas y/o en tiempo real.

En la literatura se pueden encontrar numerosas clasificaciones sobre las diferentestecnicas de control del movimiento del cuerpo humano [BS79] [Zel85] [TP88][MTT96] [CPS99], pero todas tienen en comun la dificultad de establecer divisionesclaras en un campo en el que se mezclan constantemente metodos y sistemas. Enlas proximas secciones se hara un resumen de las aproximaciones mas importantesal problema de la representacion del movimiento. Las tecnicas se clasifican en lassiguientes categorıas, atendiendo al modo de especificar el movimiento:

Capıtulo 4: Simulacion de la fase esqueletal 57

Modelos Guiados o DescriptivosModelos Generativos o Basados en la DinamicaModelos de Comportamiento

Modelos Guiados. Estos metodos, tambien denominados descriptivos, reproducen unmovimiento sin conocer las causas, es decir, producen el movimiento de un objetoa partir de cierto numero de parametros y describen explıcitamente sus variacionesen el tiempo. En este apartado se incluyen los modelos de animacion por cuadrosclave, los metodos procedurales, la captura de movimiento y la cinematica.

Cuadros claves: Esta tecnica, que toma su nombre de la animacion tradicional(key-framing), requiere que el usuario defina imagenes o posiciones clave parael objeto a animar. El programa se encarga de realizar la interpolacion (in-betweening) de las posiciones clave para generar automaticamente todas lasimagenes intermedias. La apariencia final del movimiento depende en granmedida del algoritmo de interpolacion utilizado. Como la interpolacion linealsuele producir efectos no deseados como discontinuidades en la velocidad odistorsiones en la rotaciones [MTT90], se utilizan otros metodos de interpolacioncomo los basados en splines [KB84b] [KB84a] [SSW89] o en cuaterniones [Sho85][BCGH92], con los que se obtiene mayor suavidad en el movimiento.Esta tecnica ofrece un buen control sobre la animacion, pero es difıcil automatizarlas tareas como para asegurar naturalidad en los resultados.

Metodos procedurales: Estos metodos controlan el movimiento de objetos ovolumenes en el tiempo mediante el uso de algoritmos o expresiones matematicas.Los metodos procedurales tienen dos ventajas importantes frente al metodo decuadros clave: es mas facil generar una familia de movimientos similares, y sepueden usar en sistemas en los cuales es muy complejo animar “a mano”, comolos sistemas de partıculas, la manipulacion de superficies implıcitas [Phi97]. Entreestos metodos, hay dos que destacan particularmente: aquellos sistemas que sebasan en las deformaciones geometricas (deformaciones de forma libre [Bar84][SP86] [CJ91], deformaciones locales dependientes de la articulacion [MTLT88] oNURBS [PH94]) y aquellos sistemas que se centran en el uso de guiones (scripts),donde el animador escribe el guion por medio de un lenguaje de animacion[Rey82] [MTT85] [MMZ85].Los metodos procedurales generan el movimiento de un modo bastanteautomatico pero ofrecen poco control sobre los pequenos detalles.

Cinematica: La cinematica consiste en la especificacion de movimientos, sin teneren cuenta la causa (fuerzas y momentos que causan dicho movimiento). Estatecnica permite realizar animaciones complejas con poco esfuerzo por parte delusuario. Ası se pueden mover estructuras formadas por cadenas, o por cualquierotro mecanismo que tenga enlazados sus elementos. Mediante la jerarquizacionde elementos se definen los enlaces que existen entre los diferentes elementos queforman un objeto.


La cinematica directa consiste en encontrar las posiciones finales de losdiferentes segmentos que forman una figura articulada, con respecto a un sistemade coordenadas de referencia como una funcion del tiempo. En el ejemplo delrobot mencionado anteriormente, aplicar cinematica directa consiste en moverel nodo padre del brazo y todos los hijos se moveran con el. Si se utiliza solocinematica directa, es muy complicado imponer restricciones al movimiento.Dichas restricciones se deben resolver utilizando algoritmos de cinematica inversa[BMB86].La cinematica inversa consiste en especificar directamente la posicion finaldel ultimo hijo. Las posiciones intermedias del resto de las articulaciones sedeterminan automaticamente. Puesto que la herencia puede ser grande, elproblema es complejo. Dos grupos de metodos resuelven el problema de lacinematica inversa: los metodos que utilizan el Jacobiano [GM85] [BTT90][BHTT94] [CBD+93] [BTC94] [MBT96] y las tecnicas de programacion no lineal[ZB94].Los metodos cinematicos presentan dos ventajas importantes: permiten trabajarcon parametros de alto nivel (como velocidad, longitudes, etc.) y no requierenexcesivo tiempo de calculo. Por contra, para cada instante de tiempo es necesariotener definidos al menos una docena de parametros principales que seran los quegobiernen al resto y habra que contar con la habilidad del animador para superarlos momentos de discontinuidad de movimiento. Ademas, las secuencias que seobtienen al aplicar estos metodos, no suelen ser muy realistas.

Captura de movimiento: Estas tecnicas se basan en la captura los movimientosrealizados por sujetos vivos [MAB92] [BRRP97] o mediante tecnicas derotoscopia (a partir una pelıcula o vıdeo) [LPV92]. La edicion, reutilizacion yadaptacion de los movimientos ya capturados permiten generar el movimiento.Ambas metodologıas hacen un uso intensivo de algoritmos de procesado deimagenes, como son: filtros multiresolucion para personalizar los movimientos,tecnicas de interpolacion, suavizado y fundido de movimientos [BW95],seguimiento de contornos en multiples imagenes [HL96] o “motion warping”[WP95]. Para una vision mas amplia y detallada de las tecnicas de captura demovimiento, consultar [AC99], [Gav99] o [MG01].

Modelos Generativos. Estos metodos, que tambien reciben el nombre de metodosbasados en la dinamica, se utilizan las leyes fısicas que gobiernan el mundoreal para ofrecer una descripcion de las causas del movimiento de los objetos.El movimiento se obtiene por medio de las ecuaciones dinamicas de movimiento,que utilizan las propiedades de masa, inercia, fuerzas y momentos de los objetos.Ademas de trabajar con los objetos rıgidos articulados, como el esqueleto del cuerpohumano, el modelado basado en la fısica trabaja con otro tipo de objetos: los objetosdeformables, que se utilizan para animaciones de ropa, musculos, piel o cabello


(ver seccion 5.1) o los modelos de partıculas, que se utilizan principalmente parafenomenos naturales [BRS03], como agua, fuego, gases, ...

Los modelos dinamicos permiten asignar propiedades fısicas a los objetosque forman parte de la escena, sobre las que el computador simulara las leyesfısicas que gobiernan el mundo real para producir movimientos realistas. Losobjetos pueden reaccionar automaticamente a restricciones internas o externasdel entorno (colisiones, fuerzas aplicadas, ...). La animacion de estos modelosse centra, principalmente, en controlar las fuerzas internas o los momentos defuerza generados por actuadores, como los motores o los musculos. El problemafundamental de estos metodos es que requieren bastante tiempo de calculo pararesolver las ecuaciones de movimiento de cuerpos articulados complejos y algunosparametros, como las fuerzas y los momentos, son difıciles de ajustar ya que no sonintuitivos. Dentro de la dinamica, existen dos aproximaciones:

La dinamica directa consiste en calcular un movimiento a partir de fuerzas ymomentos de fuerza dados y ciertas condiciones iniciales. El sistema evolucionade forma autonoma, con mınimo control. Funciona para sistemas pasivos que nose modifiquen por la accion de fuerzas internas.La dinamica inversa consiste en calcular las fuerzas y momentos de fuerzadel sistema a partir de movimientos ya conocidos. Se utiliza para caracterizarlos sistemas en los que las fuerzas internas constituyen el principal motor delmovimiento, como la accion de musculos y tendones. Sin embargo, en estos casoses posible producir movimiento arbitrarios, sin validez fısica [KSK00].

Para la obtencion de resultados mediante la dinamica se han aplicado variasformulaciones de las ecuaciones del movimiento y diferentes metodos numericos deresolucion, como Newton-Euler [GG94], Lagrange [AGL87] [BC89], Gibbs-Appell[WB85] o D’Alembert [IC87] [ADH89].

Los modelos generativos se centran principalmente en la utilizacion de la dinamica(directa e inversa) como algoritmo subyacente. Sin embargo, a mas alto nivelse requieren tecnicas de control para la especificacion del movimiento. Dichastecnicas que se pueden clasificar del siguiente modo [NG95]:

Optimizacion localOptimizacion globalSistemas a medida

Los dos primeros metodos ofrecen estrategias generales que se pueden aplicar agran cantidad de movimientos. Los sistemas a medida, en cambio, se desarrollande forma restringida para un movimiento especıfico como caminar, correr, bucear,realizar artes marciales, ... En [NG95] se realiza una comparativa de la eficiencia decada uno de estos metodos con respecto a las diferentes areas de investigacion enlas que se utilizan. Los criterios que se tienen en cuenta para la comparacion son:participacion del animador, grados de libertad considerados, robustez, reusabilidady calidad del movimiento.


Optimizacion Local: El principal objetivo de la optimizacion local es encontrartrayectorias de movimiento que sean optimas respecto a una metrica determinada(por ejemplo: mınima energıa de control, suavidad de la trayectoria, mınimadistancia a posiciones predefinidas por cuadros clave). Estos metodos soniterativos por naturaleza, parten de parametros iniciales que se mejoran en cadaiteracion hasta que se cumplen los criterios de optimizacion. Normalmente elespacio de busqueda se acota por medio de restricciones tales como valores lımitesen los angulos de union, etc.

Restricciones espacio-temporales: Estos metodos buscan una trayectoria en elespacio de estados que maximice o minimice la metrica dada. El objetivo dela metrica es proveer una medida cuantitativa para la calidad del movimientode todas las posibles trayectorias generadas. Los sistemas de animacion de[WK88] y [BN88] se basan en el uso de posiciones claves para restringir elmovimiento. Estas tecnicas se utilizan mucho en problemas biomecanicos paradeterminar conjuntos de activaciones musculares considerando metricas comola mınima tension muscular [Cro78] [PZSL90] [PAH92]. Como normalmentepresentan dificultades en la resolucion numerica y son muy costososcomputacionalmente, se suele subdividir el espacio de estados en problemasmas pequenos que convergen mas rapidamente [Coh92]. Otra estrategia tratade optimizar las trayectorias sustituyendo los intervalos de tiempo de lastrayectorias por representaciones parametricas construidas a partir de puntosde control de interpolaciones lineales [PAH92], B-Splines [Coh92] o wavelets[LGC94].

Figura 4.2. Tecnicas de optimizacion local: Restricciones Espacio-Temporales vs. Sıntesis de Controladores

Sıntesis de controladores: Esta estrategia consiste en desarrollar programas decontrol por medio de un conjunto de reglas que especifican como se generanlos movimiento a partir diferentes entradas para los actuadores presentes enel problema. Normalmente, la figura del cuerpo humano tiene actuadoresen las articulaciones que permiten representar versiones simplificadas de losmusculos [HWBO95]. Un controlador calcula las acciones del actuador en


el tiempo. Los controladores se suelen generar a partir de busqueda al azar[LvdPF96], aunque tambien es posible resolver los parametros optimos parauna trayectoria utilizando programacion dinamica para optimizar un conjuntode parametros para controlar el movimiento [vdPFV90]. De este modo, seobtiene una familia de soluciones a partir de distintos valores iniciales. Laposibilidad de utilizar espacios basados en la sıntesis de controladores, queincluyan acciones de sensores y realimentacion del sistema suele ser masrobusta y tolerante a fallos.

Optimizacion Global: A diferencia de las tecnicas locales, los metodos deoptimizacion global buscan la solucion de control sin especificar una condicioninicial, extendiendo la busqueda al dominio global del espacio de estados enlugar de hacerse en regiones locales De este modo, es posible encontrar variassoluciones, cada una de ellas con caracterısticas de movimiento potencialmentediferentes. Las principales estrategias que se siguen en los metodos deoptimizacion global son: generacion y prueba, y programacion genetica.

Programacion Genetica: Los programas de control resultantes de la aplicacionde estas tecnicas [Koz92] requieren de los siguientes datos: variables yfunciones de partida, una metrica que mide la idoneidad del individuo, uncriterio de terminacion, el numero de individuos por generacion y el numeromaximo de generaciones. Se trata de una forma de evolucion artificial, en elque sobrevive el individuo que mejor cumple con los requisitos. Los trabajosde [NM93] [Sim94] o [GH95] destacan en este campo.Generacion y prueba: Estas tecnicas se basan principalmente en el uso de redesde sensores-actuadores (SAN sensor-actuator networks), que constituyenredes no lineales de conexiones ponderadas entre los sensores y los actuadores.Estas redes conectan los sensores a los actuadores para establecer los valoresnecesarios para que un actuador produzca un movimiento o una posturadeterminada. Las arquitecturas de este tipo permiten crear movimientos que“reaccionan” al contacto del suelo u otros estımulos externos [Bra84]. Tantoen [Bra84] como en [WS90], [vdPF93] o [vdPKF04] se presentan trabajosbasados en esta tecnica.

Sistemas a medida: Existen muchos tipos de movimiento en los que no esevidente que se pueda formular correctamente una metrica para optimizarlos.Por ejemplo en el caso de una coreografıa de ballet o en la realizacion de artesmarciales, es difıcil encontrar una funcion de energıa o de tiempo a minimizar,o por ejemplo en las tareas que impliquen la interaccion con elementos externoscomo por ejemplo en el caso del tenis, donde es necesario tener conocimiento deotro objeto del entorno, como la pelota. Estos movimientos deben ser tratados deforma particular, incorporando el conocimiento empırico adquirido en el procesode formulacion del sistema de control del movimiento. Varias son las estrategiasque se han desarrollado en este campo:

Maquinas de estados finitos: Se divide el movimiento en fases y tareasrepresentados por medio de una maquina de estados finitos [TM66]. Ası se


pueden establecer distintos niveles jerarquicos, diferentes fases [Zel82] con suscorrespondientes modelos dinamicos y cinematicos [BC89] o utilizar una leyde control [WH96] para cada fase en la que se divide un movimiento complejo.Su mayor desventaja es que su diseno es completamente manual.Simplificacion de modelos fısicos: [BC89] desarrolla modelos dinamicossimplificados para cada fase de la locomocion humana. Esta misma estrategiase utiliza para simplificar modelos con un alto numero de grados de libertad[vdPF93].Division del problema de control: Esta tecnica divide el problema de controlen problemas aislados mas sencillos [Bro86], trabajando por niveles de tarea,desde el bajo nivel del movimiento de conjunto de segmentos hasta elcomportamiento mas general de la figura articulada. [RH91] divide las tareasde control del movimiento de sus robots saltadores en controlar, de maneraindependiente, el salto, la velocidad y de la postura. Desafortunadamente, notodos los movimientos pueden descomponerse facilmente en tareas de menorcomplejidad sin que se produzcan efectos de acoplamiento.

Modelos de comportamiento. Los modelos basados en el comportamiento no estanrelacionados unicamente con el movimiento, sino que pretenden cubrir otros comola percepcion del medio, la reaccion y la interaccion con el medio y con otros objetos.Normalmente, el objetivo final de aplicar estas tecnicas es obtener actores sinteticosen entornos virtuales no predecibles. Por ello, solo se abordan de manera muy generalen este trabajo. En estos sistemas normalmente se distingue entre:

el control motor o de bajo nivel que da lugar a los movimientos basicos de lafigura, que pueden estar basados en leyes fısicas o ser simplemente heurısticos(descritas en las secciones anteriores)la planificacion motora o de alto nivel, que es la conexion entre la percepcion yla accion

Uno de los primeros sistemas de animacion que incorpora caracterısticas decomportamiento y autonomıa ha sido desarrollado por [Rey87] en base a lasubdivision del problema. El sistema de animacion obtiene un comportamientoglobal a partir de la combinacion de diferentes comportamientos individuales. Enlugar de utilizar un guion para cada actor, se define un comportamiento para cadaactor, y la interaccion entre los diferentes actores produce la simulacion. El trabajose centra en bandadas de pajaros, donde los comportamientos posibles son: evitarobstaculos con pajaros cercanos, utilizar una velocidad similar a la de los pajaroscercanos y no alejarse de los pajaros cercanos.

“Human Factory” constituye uno de los primeros trabajos en la creacion de sereshumanos sinteticos [TMT87], disenado para reproducir actores sinteticos de estrellasfamosas como Marilyn Monroe o Humphrey Bogart. En dicho trabajo se ofrecensoluciones al modelado del esqueleto y el cuerpo de los actores y se centran encomportamientos simples, como agarrar objetos con la mano o expresar emociones.


A partir de estas primeras aproximaciones al modelado de comportamiento definales de los ’80, estas tecnicas han evolucionado mucho en los ultimos anos. Loscambios principales son los siguientes:

Se pasa de animaciones basadas en guiones a animaciones en las que no existeun guion predefinidoLos sistemas actuales son modulares y distribuidosSe emplean tecnicas basadas en vida artificial (VA) en lugar de tecnicas deinteligencia artificial (IA)Se implementan niveles de especializacion: motor, comportamiento y detransicion entre ambosLos actores sinteticos tienen a ser autonomos, adaptables y con capacidad deaprendizajeSe desarrollan comportamientos complejos a partir de la union decomportamientos mas simples

En la actualidad, los sistemas de animacion basados en el comportamiento sepueden clasificar en Sistemas de percepcion y accion en los cuales los organismosresponden a estımulos de su propio entorno local, entre los que destacan lostrabajos de [LW89], [HP88] o [WS90] y Sistemas basados en agentes y envida artificial [BBZ91] [EMTTT98] entre los que destacan los sistemas basadosen agentes inteligentes [BY95] [CKH96], los sistemas basados en redes neuronales[Bee90] y los mecanismos de seleccion de acciones [Mae95] [TT94] [BPW93].

Atendiendo a esta clasificacion, en [PCS00] se puede encontrar una descripcionmas exhaustiva de estas tecnicas.

4.1.2. Antecedentes de la locomocion en Biomecanica y Robotica

Las razones del estudio de la locomocion humana han ido cambiando a lo largode los siglos. Desde las pinturas de la Era Paleolıtica, que representaban a hombresy animales en movimiento, motivadas basicamente por razones de supervivenciahasta los estudios actuales, donde la investigacion se centra en la recuperacionde accidentes, disfunciones motoras, creacion y adaptacion de protesis, estudio delrendimiento de los atletas...

La base cientıfica que permitio la actual comprension de la locomocion humanasurge a partir del siglo XVII con las aportaciones de numerosos investigadores entrelos que podemos citar a Giovani Borelli [Bor79], Luigi Galvani [Gal92], los hermanosWeber [WW36] [Web51], Etienne-Jules Marey [Mar73] [Mar94] (ver figura 4.3),Eadweard Muybridge [Muy87] (ver figura 4.4), ... . En los trabajos de [CGA] [AA00][Sut01] se ofrece una buena perspectiva de la evolucion historica en este campo.

Actualmente, la locomocion es uno de los problemas mas estudiados de las tecnicasde animacion del cuerpo humano. Existen dos causas que han producido estehecho: la previa existencia de estudios relacionados provenientes de otras disciplinascientıficas y la evidente aplicacion futura de los posibles resultados.


Figura 4.3. Experimentos de E. Marey

Figura 4.4. Secuencias fotograficas de E. Muybridge

La Biomecanica es el estudio de los elementos estructurales de los seres vivosdesde un punto de vista matematico y fısico. Los estudios biomecanicos se remontana las postrimerıas del siglo XIX por lo que tambien fueron fuente de inspiracionpara la Robotica: la otra disciplina cientıfica que se utiliza como referencia enla simulacion del cuerpo humano. Muchas de las protesis que se emplean enla recuperacion clınica de personas con articulaciones y extremidades danadasprovienen directamente de laboratorios de Robotica.

Antecedentes de la locomocion en la biomecanica Las investigaciones enBiomecanica estan dirigidas principalmente al analisis de la locomocion humana.Son de particular interes los estudios en la eficiencia del movimiento natural enhumanos y animales [McM84] [Ale84] y la identificacion de varios “determinantesdel paso” y su papel en la locomocion [SSH82] [PB89]. Para ello se han propuestogran cantidad de modelos dinamicos [McM84] [Tow85] [PB89]. Estas aproximaciones


generalmente hacen suposiciones que limitan su uso en la animacion, como porejemplo el uso de modelos bıpedos simplificados y/o con movimiento solo en unplano [VJ69] [McM84] [Tow85] [PB89].

Sin embargo, la Biomecanica es un recurso util para generar simulaciones realistasya que ofrece modelos para movimientos especıficos, generalmente basados en datosexperimentales obtenidos de laboratorios mediante herramientas especializadas osimplemente mediante percepcion visual [CPL96] [ANHA96] [Vol97]. Estos modelostienen por objetivo aplicaciones como diagnostico medico, tratamiento de problemasde control motor, analisis de disfunciones motoras, etc.

Las investigaciones realizadas en los laboratorios aportan datos cinematicos ydinamicos de la locomocion que permiten comparar con otros tabulados y detectaranomalıas [CEL] [KCR] [ITB] [RUS] [VDA96]. Aunque en la actualidad se estanmejorando constantemente los sistemas de capturas de datos, estos no estan libres deerrores inherentes a los protocolos o a las tecnologıas aplicadas y hay investigacionesdedicadas al estudio de los errores y desviaciones en las medidas tomadas por lossistemas de rotoscopıa [BADQ96].

Aunque es evidente la importancia de los sistemas rotoscopicos para captar datoscinematicos, estas medidas son externas y no informan sobre el comportamientointrınseco de musculos y articulaciones [JH96]. Para salvar este problema, enla literatura se pueden encontrar numerosos de experimentos con cadaveresreales, que al poder ser manipulados y diseccionados, han permitido estudiarde forma individual conjuntos de articulaciones [BH96]. Existen otras tecnicasque permiten extraer parametros relevantes del funcionamiento de musculosindividuales, como la electromiografıa (EMG), que mide la actividad electrica delmusculo y esta directamente relacionada con el gasto energetico [Win87] [CKA97].

La medicion de las reacciones del suelo al soportar la planta del pie se realizacolocando sensores de presion en la superficie de contacto y sirve para determinarla fuerza que soporta el pie. Esta tecnica se emplea mucho ya que es sencilla y noconlleva un equipamiento costoso. Son numerosos los estudios que se han realizadoa partir de estas mediciones pero hay que resenar los desarrollados por [FG96][FF97] para comprender la rigidez del sistema musculo-esqueletal. Otros estudiosque utilizan la sensorizacion de la reaccion del suelo para estudiar las deformacionesdel pie [Ful96], la distribucion de las presiones al apoyar el pie [LJC96], o las fuerzasa las que se someten los ligamentos de la rodilla al iniciar [HGdVK95] o al finalizarun salto [ZBD96].

La Biomecanica se ocupa tambien del control del movimiento. Es necesarioaveriguar que patrones de funcionamiento involuntario permiten que el ser humanose mantenga de pie, camine a la velocidad adecuada, no se precipite al suelo cuandosube escaleras o comienza a correr. Las tecnicas empleadas tratan de modelar elcomportamiento y establecer protocolos experimentales para su comprobacion. Ası,[CPL95] utiliza un pendulo invertido multiarticulado como modelo para probardistintos tipos de control (PI, PD, PID) atendiendo a la rigidez activa (musculos)


y ala pasiva (mecanica de tendones y ligamentos). En [ZW96a] y [ZW96b] semide la capacidad de adaptacion del sistema reflexivo del ser humano cuando seperturba repetidas veces aplicando momentos de fuerza en el tobillo, basandoseen un modelo dinamico muy simple. [CC95] deriva una ecuacion en diferenciasparciales partiendo de desarrollos estocasticos que provienen de los observadosexperimentalmente midiendo el Centro de Presion (COP) cuando se esta de pie.[Van97] desarrolla un trabajo de simulacion biomecanica muy interesante, basandoseen multiplicadores de Lagrange para optimizar el control. Utiliza modelos muycomplejos de las articulaciones y diferencia las contribuciones de elementos pasivosy activos en el ciclo de locomocion humana. Su trabajo se aplica a la rehabilitacionde pacientes paraplejicos y al desarrollo de protesis.

Antecedentes de la locomocion en la robotica A diferencia de las investigacionesbiomecanicas que tienen por objetivo el analisis de la locomocion, las investigacionesen Robotica se centran en la sıntesis del movimiento, tanto para generarsimulaciones como para implementar robots reales.

Los robots industriales son los mas conocidos y estudiados pero existen tambienrobots androides, con aplicabilidad en medicina e infografıa. De hecho, la industriadel cine ha estado desarrollando modelos futuristas de robots que con el paso deltiempo se van haciendo realidad [Bro91] [HON] [HHHT98] [Wei01] [Lem02].

Normalmente los robots se clasifican dependiendo de la tecnica que utilicen paramantener el equilibrio. Los robots que mantienen el equilibrio de manera “estatica”(o con balanceo estatico) suelen tener 4 patas o mas, con al menos 3 en el suelopara ofrecer un buen soporte. Ademas es necesario que el robot realice movimientoslentos para no perturbar el balanceo. Los robots bıpedos o unıpedos, en cambio,solo pueden mantener la estabilidad de forma “dinamica”, no sufren limitaciones encuanto a la velocidad, pero son mas difıciles de controlar.

Dentro de los sistemas dinamicos, el control del equilibrio puede realizarse deforma “activa” por medio de actuadores y servomecanismos o de forma “pasiva”desarrollando sistemas autorregulados que caminen sin necesidad de introducirenergıa (por ejemplo, sistemas de locomocion en pendientes, movidos por lagravedad).

Inspirado en los modelos de [MM80], [McG90a] demuestra que algunos sistemasde locomocion bıpeda sobre terrenos llanos pueden ser similares a la locomocionhumana y permanecer estables sin ningun tipo de control. Estos sistemas minimizanel consumo energetico, mientras que los activos inyectan energıa al sistema, perose pueden controlar mejor. Esta lınea de investigaciones sobre sistemas dinamicospasivos se continua en numerosos trabajos [McG90b] [FK96] [GRCC96] [GCRC98][GCR00]. [CGC+97] estudia las posibilidades reales de migrar modelos de robotsbıpedos 2D a 3D mientras que en [CWR01] se construye el primer robot bıpedotridimensional con flexion en las rodillas.


Los sistemas basados en dinamica activa se estudian en los anos ’70 utilizandosimulaciones por ordenador [VFJ70] [GHM74]. Unos anos mas tarde comienzana implementarse robots bıpedos que mantienen el equilibrio de manera dinamicay activa. [MS84] construye la primera maquina que camina cuyo balanceo serealiza realmente de forma activa, por medio de tres actuadores (uno en cadapierna para abduccion y aduccion de la cadera y otro para separar las piernashacia adelante y hacia atras). [RBC84] presenta un metodo que se descomponeen tres partes para controlar un robot saltador de una sola pierna. Este trabajose extiende posteriormente a robots bıpedos y cuadrupedos que corren (ver figura4.5) [Rai86b] basandose en el concepto de pierna virtual [SU84]. Tambien [GFLZ94]basa sus robots bıpedos en piernas virtuales que se alargan y acortan de formacomplementaria. Algunos autores centran su trabajo en producir movimientos suavesentre los pasos [TIYK85] [FS90] mientras que otros se centran el el desarrollo dealgoritmos para pasos asimetricos [DH94] [DH96].

Figura 4.5. Robot bıpedo [Rai86b]

Los sistemas hıbridos probablemente se acercan mejor a la realidad de los seresvivos, como [AB97] que mezcla en su simulacion de un robot bıpedo una fase dedinamica pasiva y otra activa. El resultado final es un robot controlable, con unconsumo total de energıa menor que en los sistemas anteriores.

4.1.3. Reflexiones

Como se ha mencionado previamente, existen varios modelos para especificar elcontrol del movimiento en el campo de la animacion por ordenador, en InformaticaGrafica. En el caso particular de la locomocion humana abordada en este trabajo,no se tendran en cuenta los modelos de comportamiento ya que estos no se refierensolo al control del movimiento sino que tambien tienen abarcan otros aspectos. Delos dos modelos restantes de especificacion de movimiento se opta por desarrollar unsistema de control hıbrido en base a los metodos cinematicos de los modelosguiados y en sistemas a medida de los modelos basados en la dinamica.


La utilizacion de la cinematica es una labor muy tediosa para mover la estructurajerarquica de un modelo ya que en cada instante de tiempo es necesario tenerdefinidos una serie de parametros principales que seran los que gobiernen alresto. Una posibilidad consiste en utilizar tecnicas de captura, pero este tipode equipamientos suelen ser costosos. Otra opcion serıa determinar valores de“cuadros claves” a partir de datos tabulados previamente y generar los cuadrosintermedios mediante tecnicas de interpolacion. Ambos metodos trabajan con valoresreales, de modo que permiten obtener un movimiento bastante realista... peropresentan un inconveniente: su generalizacion. Por un lado, los valores obtenidospor captura para una velocidad de marcha no son directamente extrapolables auna velocidad diferente, es practicamente imposible obtener un control exacto delindividuo para que regule con precision velocidades o las longitudes y se debeproducir una nueva grabacion si elige un individuo con antropometrıa diferente.En este sentido, la utilizacion de tablas es mas flexible y permite generar un patronbasico de locomocion interpolando de forma ponderada los parametros de control decurvas tabuladas y promediadas [BTT90]. Sin embargo, estos sistemas no producenmovimientos naturales cuando se interpolan valores no tabulados previamente y nodisponen de una caracterizacion individual del paso.

Los movimientos del sistema tambien se pueden regular por medio de la dinamica,que controla las velocidades y aceleraciones de cada uno de los segmentos queforman el modelo articulado. Para ello es necesario disponer de todos los valoresde momentos de inercia y restricciones presentes en el sistema, introducir los valoresde las acciones de las fuerzas motoras que normalmente son funcion del tiempoy posteriormente deducir y resolver las ecuaciones del movimiento. El sistema deecuaciones resultantes suele ser muy difıcil de resolver y es necesario simplificarmucho el modelo para que la dinamica sea util. En este caso, solo la estetica delos movimientos contemplados en las ecuaciones serıa la adecuada y la aparienciaglobal serıa muy pobre. Ademas, este metodo resulta muy poco intuitivo, ya queel animador debe introducir valores de fuerzas y momentos de fuerzas para definirel movimiento. Sin embargo, aunque provengan de un modelo simple, los patronesbasicos de movimiento calculados a partir de una simulacion dinamica se ajustanmucho mejor al movimiento real.

El sistema propuesto parte del trabajo realizado por Bruderlin y Calvert [BC89] enel que se utiliza un sistema dinamico-cinematico para lograr una implementacion maseficiente. El modelo se basa en la dinamica para gobernar los parametros basicos dela locomocion, utilizando un modelo fısico simplificado de la estructura jerarquica, yposteriormente utiliza la cinematica para generar el movimiento de las articulacionesy completar los grados de libertad simplificados en la dinamica, obteniendo ası unabuena apariencia visual del movimiento del cuerpo en su conjunto.

Asimismo, para una correcta implementacion de un sistema de locomocion esnecesario utilizar conocimientos biomecanicos del analisis de la marcha humana.Los trabajos analizados permiten comprender la importancia de la biomecanica para


obtener naturalidad en la simulacion de la marcha humana. Los resultados obtenidospor medio de estudios experimentales permiten hallar valores numericos de lasfuerzas y de momentos que serviran para optimizar los resultados de la simulacion.

Los antecedentes estudiados en Robotica, por otra parte, serviran para lageneracion del movimiento humano. Sus tecnicas de control de movimientoscomplejos y trayectorias en equipos industriales han permitido la evolucion deesquemas de trabajo simples y rapidos. Los trabajos de Raibert [Rai86b] constituyenla base que se tendra en cuenta para la simplificacion de las ecuaciones dinamicasdel movimiento.

4.2. Conceptos de locomocion humana

La locomocion humana normal se ha descrito como una serie de movimientosrıtmicos y alternantes de las extremidades y el tronco, que determinan undesplazamiento hacia delante del centro de gravedad [PMP97].

Basicamente una secuencia de locomocion puede dividirse en tres partes: unpequeno perıodo de aceleracion para obtener velocidad, seguido por un perıodorıtmico dominante en el cual la velocidad se mantiene casi constante y un cortoperıodo de desaceleracion. Sin embargo, casi toda la investigacion realizada enlocomocion se centra en el perıodo rıtmico de la marcha. Esta cadencia rıtmicapermite definir como ciclo de locomocion a toda la actividad que ocurre entre doscontactos consecutivos del talon de una misma pierna con el suelo. De este modo, unciclo esta compuesto por dos pasos, si el primero se realiza por la pierna izquierda elsiguiente por la derecha. La alternancia de estos pasos, que son simetricos y tienencierto desfase, da como resultado la forma de desplazamiento del ser humano. Porlo tanto el estudio del ciclo de locomocion humana empieza por estudiar el paso deuna sola pierna, que basicamente esta divido en dos fases: fase de apoyo y fasede giro, como se observa en la figura 4.6.

Figura 4.6. Fases del ciclo de locomocion considerando 1 sola pierna


La fase de apoyo es el perıodo de tiempo durante el cual el pie esta en contacto conel suelo. La fase de giro es el perıodo de tiempo en el que el pie no esta en contactocon el suelo y esta girando hacia adelante. Sin embargo, tambien existe una fasede doble apoyo que corresponde al perıodo de tiempo en que ambas piernas estanen contacto con el suelo, aunque normalmente esta fase se contempla incluida en lafase de apoyo (ver figura 4.7).

Figura 4.7. Fases del ciclo de locomocion

Cuando se camina, la fase de apoyo comprende aproximadamente un 60% deltiempo total de un paso y la fase de giro el 40 % restante. Esta proporcion varıasegun se incrementa la velocidad caminando. La proporcion de la fase de apoyodisminuye en la misma forma que la velocidad aumenta. Es importante destacar queal caminar existe una velocidad lımite en la que es mas comodo correr que andar,debido a la busqueda de la eficiencia energetica del sistema locomotor. Esto implicaque, para una velocidad de marcha dada, un hombre incrementa la longitud del pasomanteniendo en lo posible una frecuencia de pasos constante, hasta que se alcanzala longitud natural maxima de paso. A partir de ese instante, para aumentar lavelocidad, la frecuencia de pasos debe ser incrementada [IRT81]. En el momentoque un aumento de velocidad implica abandonar el paso natural, el subconscienteobliga a comenzar a correr, lo que energeticamente es mas optimo.

El ciclo locomotor humano esta determinado por los siguientes procesos:Secuenciacion de fases, Simetrıa en el paso y Minimizacion energetica, que sedetallan a continuacion.

4.2.1. Secuenciacion de fases

A continuacion se describen con mayor detalle cada una de estas fases principales:apoyo, giro y doble apoyo, aunque puede encontrarse una descripcion mucho masexhaustiva en [NTH85].

En la fase de apoyo se producen las fuerzas que permiten al cuerpo humanoavanzar mientras se mantiene el contacto con el suelo. Comienza cuando el talon dela pierna de apoyo toca el suelo y finaliza cuando los dedos del pie dejan de contactar


con el mismo. Esta fase se puede dividir a su vez en otras tres subfases: contacto,apoyo medio y propulsion (ver figura 4.8).

Figura 4.8. Fase de apoyo

Contacto: Esta fase comienza con el contacto del talon con el suelo y terminacuando el pie se apoya en toda su longitud. Durante este perıodo de tiempo el piefunciona como un adaptador movil a la superficie del suelo y gira, “abriendose”,alrededor de la articulacion del tobillo mientras absorbe el golpe. Esta subfasedura el 15 % del ciclo de locomocion.Apoyo medio: Esta fase comienza con todo el pie en contacto con el suelo. Elcentro de gravedad del cuerpo pasa por encima del pie cuando la tibia y el restodel cuerpo se mueven hacia adelante. La articulacion del tobillo “se cierra” yel pie se transforma de un adaptador a una palanca rıgida que se encarga depropulsar el cuerpo hacia adelante durante la ultima parte de la fase de apoyo.En el apoyo medio, la pierna sostiene todo el peso corporal durante un 15 % delciclo, de tal forma que el centro de gravedad se situa directamente por encimade la articulacion del tobillo.Propulsion: Esta ultima fase comienza en el momento en que el talon comienzaa abandonar el contacto con el suelo y termina cuando la punta del dedo loabandona definitivamente, dando lugar a la fase de giro. El cuerpo se propulsahacia adelante y su peso se traspasa al pie de la pierna contraria en el momentoque apoya su talon. Este perıodo es posible dividirlo a su vez en: despegue deltalon, que ocupa un 25 % del ciclo y despegue del empeine, que produce una fuerteaceleracion mediante la potente contraccion de los musculos de la pantorrilla ydura un 5 % del ciclo.

En la fase de giro (o fase de balanceo) se puede encontrar tres perıodos quediscurren durante el 40% restante del ciclo de locomocion humana. La fase degiro comienza en el momento en que los dedos del pie dejan de tocar el suelo yfinaliza cuando el talon vuelve a contactar con el mismo. En la figura 4.9 se puedendiferenciar los tres perıodos en los que se divide la fase de giro y que son comunes a lamayorıa de la marcha de diferentes individuos: aceleracion, giro medio, deceleracion.


Figura 4.9. Fase de giro

Aceleracion: Es el principio de la fase de giro y coincide con una aceleracion delmovimiento de la pierna para poder dejar el suelo y colocarse por delante delcuerpo en preparacion del proximo apoyo del talon. Ocupa un 10 % de la fase degiro.Giro medio: Ocurre cuando la pierna pasa frente al cuerpo y debe retraerse losuficiente para evitar el choque con el suelo. Es el perıodo de mayor duracion,un 80 % de la fase de giro.Deceleracion: Es el ultimo perıodo de movimiento de la pierna de giro y secaracteriza por su perdida progresiva de velocidad, de forma que se recuperael control de la posicion del pie justo antes de producirse el apoyo de talon. Suduracion es de un 10 % de la fase de giro.

La fase de doble apoyo es el perıodo que se produce de forma simultanea a lasfases anteriormente descritas, cuando ambas piernas estan al mismo tiempo en elsuelo (ver figura 4.7). Esto ocurre entre el despegue del empeine de una piernay los perıodos de apoyo de talon y apoyo medio de la otra. Es un parametroimportante en la caracterizacion de la locomocion humana porque su tiempo deduracion esta directamente relacionado con la frecuencia de pasos: si la frecuenciade pasos disminuye el tiempo de doble apoyo aumenta, y al reves, si se caminamas rapido, aumentando la cadencia de pasos, el tiempo de doble apoyo disminuye.A velocidad de marcha normal su duracion es de un 10 % del ciclo de locomocionmientras que en el caso extremo, corriendo, esta fase desaparece.

4.2.2. Simetrıa en el paso

Es posible deducir, a simple vista, que existe cierta simetrıa en el ciclo delocomocion. Ya se ha descrito que la locomocion humana es un proceso cıclico en elque los movimientos de una pierna se repiten, con cierto desfase, con la otra. Aunqueesto no es totalmente cierto ya que el ser humano es capaz de modificar la formade caminar con la granularidad de un paso, es decir, que el siguiente paso se puededar un poco mas corto, un poco mas rapido, o simplemente decelerar su movimientohasta detenerse. De cualquier forma, la simetrıa dentro del ciclo de locomocion secumple en el momento que se alcanza un ritmo constante de marcha, lo que seproduce en la mayorıa de las ocasiones.


En el ciclo de locomocion existe, ademas, otro tipo de simetrıa que no es tanevidente y que se produce en el mismo instante en que se apoya el talon y comienzala fase de doble apoyo. En ese momento, la disposicion espacial de ambas piernaspermite deducir que existe una relacion constante entre el angulo de la cadera dela pierna anterior con el de la pierna posterior. Esta relacion serıa de igualdadrespecto a una imaginaria lınea vertical situada en el centro de gravedad (simetrıa)si ambos pies tuvieran un apoyo plantar completo. En ese instante se forma untriangulo isosceles entre ambas piernas completamente extendidas y el suelo, siendola longitud del paso la base de ese triangulo [BC89], tal como se puede observar enla figura 4.10.

Figura 4.10. Simetrıa del paso (adaptado de [BC89]), donde PI y PD son la Pierna Izquierda y Derecha, respectivamente.

4.2.3. Minimizacion del consumo energetico

El ser humano utiliza diferentes estrategias para desplazarse que buscan minimizarsu gasto energetico. Para una velocidad dada el ser humano incrementa la longituddel paso manteniendo, en lo posible, una frecuencia de pasos constante. Cuandoalcanza la longitud natural maxima, entonces incrementa la frecuencia. Todavariacion de estos parametros sobre el paso natural implica un mayor gastoenergetico acompanado con una ineficiencia que llega a ser maxima cuando se fuerzael proceso natural.

Las leyes de la mecanica dicen que el mınimo gasto de energıa se consigue cuandoun cuerpo se mueve en lınea recta, sin que el centro de gravedad se desvıe. Esta lınearecta serıa posible en la marcha normal si las extremidades inferiores terminaran enruedas. Como esto no ocurre, el centro de gravedad del cuerpo se desvıa de una lınearecta, pero para conservar la energıa, la desviacion o desplazamiento debe quedarsea un nivel optimo. Los factores principales que afectan a la eficiencia mecanica y algasto de energıa durante la marcha reciben el nombre de determinantes del paso[Ayy97] y son los siguientes:

1. Rotacion de la pelvis: Durante la marcha, la pelvis rota hacia adelante en elplano horizontal, aproximadamente 4 grados a cada lado de la lınea central (ver


figura 4.11(a)). Esta caracterıstica permite un paso ligeramente mas largo, sinbajar el centro de gravedad y reduciendo, por tanto, el desplazamiento verticaltotal. Este desplazamiento es maximo a mitad del paso y mınimo en el apoyo deltalon.

2. Basculacion de la pelvis: En el plano frontal, la pelvis desciendealternativamente, primero alrededor de una articulacion de la cadera y luegode la otra. El desplazamiento desde la horizontal es muy ligero y generalmenteno pasa de 5 grados (ver figura 4.11(b)). Esta caracterıstica sirve para reducir laelevacion del centro de gravedad.

3. Desplazamiento lateral de la pelvis: Para mantener el equilibrio del cuerpoes necesario desviar la pelvis y el tronco hacia la extremidad en la que se apoyael peso del cuerpo (ver figura 4.11(c)). El centro de gravedad tambien oscila deun lado a otro. El desplazamiento lateral es maximo (aproximadamente 5 cm)cuando el peso del cuerpo se carga completamente sobre la pierna de apoyo ymınimo en el perıodo de doble apoyo.

(a) Rotacion (b) Basculacion (c) Desplaz. lateral

Figura 4.11. Movimientos de la pelvis

4. Flexion de la rodilla en la fase de apoyo: Tambien la rodilla contribuye adisminuir el desplazamiento vertical del centro de gravedad al estar en una flexionde unos 15 grados en el momento en que el cuerpo pasa por encima de la piernade apoyo.

5-6. Movimiento de la rodilla, el pie y el talon: Los movimientos producidosde manera conjunta por la rodilla, el pie y el talon, acortan o alargan laextremidad para prevenir un cambio abrupto en la posicion vertical del centrode gravedad. De este modo, se logra la suavidad del movimiento del centro degravedad (ver figura 4.12).

Estos seis mecanismos fundamentales juegan un papel muy importante durante lamarcha ya que contribuyen a dar la forma definitiva de la curva sinusoidal producidapor el movimiento del centro de masas del cuerpo, en los planos horizontal y vertical,y permiten transiciones suaves de un paso a otro (ver figura 4.13).


Figura 4.12. Los movimientos de la rodilla, el pie y el talon suavizan el recorrido del centro de masas

Por otra parte, los valores de los determinantes del paso varıan de una persona aotra, y constituyen informacion importante acerca de las caracterısticas individualesde cada forma de caminar de cada persona.

Figura 4.13. Movimiento sinusoidal del centro de masas del cuerpo humano durante la locomocion

4.3. Descripcion del sistema de movimiento global del esqueleto

El sistema de locomocion propuesto se basa en un mecanismo de control hıbridodinamico-cinematico: la dinamica se utiliza para gobernar los parametros basicosde la locomocion, a partir de un modelo fısico simplificado de la estructura jerarquica,y posteriormente la cinematica se utiliza para generar el movimiento de lasarticulaciones y completar los grados de libertad simplificados en la dinamica,obteniendo ası una apariencia visual muy realista del movimiento del cuerpo en suconjunto. Por otra parte, los datos generados para el movimiento permiten obtenervalores de momentos de fuerza netos, necesarios para la fase musculo-esqueletal.

La utilizacion de este mecanismo de control de movimiento permite generarsimulaciones de locomocion de individuos de alturas y pesos diferentes que no siguenlos mismos patrones basicos de movimiento, en los que su diferenciacion responde a


la fısica del problema. Asimismo es posible variar la rigidez del modelo dinamico departida, por medio de numerosas constantes fısicas, que permiten caracterizar cadapatron basico de forma individual e introducir un primer nivel de distincion entreindividuos con los mismos valores corporales. Por otra parte, existe otro nivel dediferenciacion en la fase cinematica, ya que todos los segmentos y angulos que noson resultado directo de la simulacion tienen lımites en su movimiento y estos puedenser variados de forma interactiva, proporcionando una apariencia final mucho masrealista. Si este nivel de diferenciacion se hubiese introducido en el modelo dinamico,el sistema resultarıa irresoluble por su complejidad analıtica o numerica.

El esquema global de control utilizado en el sistema se presenta en la figura 4.14,en la que se destacan las diferentes fases, dinamicas y cinematicas, que son necesariaspara simular cada paso.

Figura 4.14. Descripcion general del sistema de movimiento del esqueleto

El sistema calcula con la granularidad de un paso, es decir, se calcula en todomomento del ciclo de locomocion. Este hecho lo diferencia de otros sistemas en losque, para conseguir un ahorro en los calculos, se asume la simetrıa en los dos pasosdel ciclo de locomocion [BTT90], facilitando la visualizacion en tiempo real, peroperdiendo la variacion del movimiento de un paso a otro, especialmente necesariaen los perıodos de aceleracion y deceleracion.

La inicializacion del sistema hıbrido dinamico-cinematico requiere la introduccionde parametros de alto nivel como los datos antropometricos del individuo: altura y


peso, y los parametros de locomocion: velocidad, frecuencia de paso o longitud delpaso. A partir de dichos parametros y teniendo en cuenta conocimiento empırico dela locomocion humana (secuenciacion de fases, simetrıa del paso y minimizacion delconsumo energetico) es posible establecer las “condiciones de contorno” del sistema.

El control dinamico presenta la dificultad de tener que conocer a priori lasfuerzas que gobiernan el sistema, ademas de tener que resolver numericamente lasecuaciones que se obtienen. Para reducir la complejidad del sistema se ha opta porutilizar un modelo extremadamente simplificado pero eficaz, dividiendo el sistemaen subsistemas independientes, uno para cada pierna.

En primer lugar, se calcula la dinamica de la pierna de apoyo, que es la faseprincipal del sistema y se divide a su vez en tres subfases enlazadas, de formaque se repite globalmente el proceso de busqueda de soluciones de las ecuacionesque cumplan con las restricciones establecidas por las condiciones de contorno.Los calculos de la dinamica de la pierna de apoyo permiten obtener la posicion yvelocidad de la cadera, permitiendo deducir la cinematica de todo el tronco superior,incluyendo vertebras, brazos y cabeza. La cinematica de la pierna de apoyo se divideen 4 subfases, y permite complementar los calculos de dicha pierna obtenidos pormedio de la dinamica.

Existe un perıodo de tiempo en el movimiento de la pierna de apoyo quecorresponde a la fase de doble apoyo. Este perıodo no es cubierto por la dinamicadel sistema porque se considera que en el momento en que se produce el apoyo deltalon, el peso del cuerpo situado en el centro de gravedad pasa instantaneamente deuna pierna de apoyo a la otra. Al igual que el resto de los segmentos del cuerpo, elmovimiento de la fase de doble apoyo se complementa con la cinematica (cinematicade la propulsion pasiva).

Posteriormente se comienza con la fase dinamica de la pierna de giro, que tambienconsta de tres subfases y se complementa a su vez por su propia fase cinematica,aunque en este caso los modelos de la dinamica y la cinematica coinciden de maneraque ambas se han resuelto a la par.

La continuidad entre pasos consecutivos se logra aplicando teoremas deconservacion de energıa.

La ultima “fase” del sistema permite determinar los momentos y fuerzasresultantes entre segmentos del modelo cinematico. Las fuerzas y momentos defuerza netos son fundamentales como entrada para la implementacion de la fasemusculo-esqueletal de MOBiL.

El sistema de locomocion implementado esta fuertemente inspirado en el sistemaKLAW, desarrollado por Bruderlin y Calvert [BC89], que es de donde se extraen lasideas basicas que rigen el sistema a nivel general. Sin embargo, en cada apartado sehara mencion a la procedencia de las ideas y/o metodos utilizados. Por otra parte,es necesario resaltar algunas diferencias importantes con dicho trabajo:


El sistema MOBiL es un sistema de animacion coordinada de la forma y delmovimiento por lo que anade la complexion y el estado fısico como parametrosde control de alto nivel.En su trabajo no se obtienen valores de momentos de fuerza netos en lasarticulaciones. Los “momentos” a los que se refiere dicho trabajo son, en realidad,momentos externos ad-hoc aplicados al modelo para favorecer la convergencia.Todos los metodos numericos de resolucion utilizados son diferentes. En nuestrosistema no se utilizan librerıas externas sino algoritmos adaptados expresamente,simples y rapidos.Se han vuelto a deducir todas las ecuaciones de todos los modelos del sistemamanteniendo un unico sistema de referencia. En el sistema KLAW existen variasreferencias espaciales que dificultan la validacion del sistema.El inicio y el fin de la marcha son diferentes.Los calculos de los momentos de inercia de KLAW presentaban una desviacion,que se ha corregido. De igual forma las “constantes” fısicas que se utilizan en elmodelo (rigidez y amortiguamiento de los modelos de las piernas) se obtienen dela biomecanica.

Posteriormente se describe, en detalle, la inicializacion del sistema, por medio delos parametros de alto nivel, y el establecimiento de las condiciones de contorno, pormedio de los conceptos de: Secuenciacion de fases, Simetrıa del paso y Minimizaciondel consumo energetico.

Debido a su importancia y extension, tanto los modelos dinamico y cinematico,como el calculo de los momentos de fuerza netos, se tratan posteriormente en detalleen las secciones 4.4, 4.5 y 4.6, respectivamente.

4.3.1. Parametros control de alto nivel

Los primeros parametros necesarios para configurar el sistema son los datosantropometricos del individuo: altura, peso y complexion. Las diferencias en altura,en la masa corporal o en el estado fısico influyen notablemente en el tipo delocomocion de una persona y como esta diferenciacion se debe producir de formaapreciable en el sistema sin intervencion por parte del animador, se calculan todaslas distancias, masas y longitudes de la estructura jerarquica del modelo “humano”de forma relativa a estos dos parametros basicos, tal como se describe en el apartado3.2.3.

Posteriormente se especifican los valores que posibilitan la variacion de susprestaciones caminando. Para controlar los patrones basicos del movimientomediante la dinamica se especifican unos pocos parametros de alto nivel, cuyaprincipal caracterıstica es que son muy intuitivos: velocidad, frecuencia o longituddel paso y estan altamente relacionados entre sı.

El ser humano presenta dos estrategias para acelerar su marcha en el mismoperıodo de tiempo: ejecuta pasos mas largos o aumenta su cadencia con pasos


Figura 4.15. Inclusion de los parametros de control de alto nivel en el sistema de movimiento global

mas cortos. Por lo tanto, para caracterizar adecuadamente la locomocion esnecesario especificar las relaciones existentes entre los parametros de alto nivelque caracterizan la simulacion. Para ello se incorporan algunas consideracionesexperimentales provenientes de estudios biomecanicos de la marcha [IRT81] quese resumen en las siguientes expresiones:

lp =v

fp

(4.1)

lpfp h

= 0,004

donde lp es la longitud del paso, v es la velocidad del paso, fp es la frecuencia delpaso y h es la altura del individuo. La expresion 4.1 solo es aplicable para el casode individuos de sexo masculino y mientras que los valores de la frecuencia de pasose mantengan por debajo de un valor maximo lp max = 182 pasos/minuto.

En el sistema tambien se utiliza como referencia la frecuencia natural de pasoen la que el gasto energetico es mınimo, con un valor fp norm = 132 pasos/minuto,que corresponde a la longitud natural del paso con valor lp norm = 0,528 h metros.Con una velocidad v por encima de la natural, el ser humano aumenta la frecuenciade paso manteniendo constante la longitud del paso. Otro lımite extraıdo de laexperimentacion es la longitud maxima de un paso, con valor lp max = 0,6 h metros.

En el caso de que se especifique solo uno o dos de estos tres parametros dealto nivel, un algoritmo de decision completa los parametros restantes y verificala factibilidad del movimiento, basandose en las leyes experimentales anteriores.

4.3.2. Condiciones de contorno

Como ya se ha comentado, el establecimiento de las condiciones de contorno surgea partir de los parametros de alto nivel, y teniendo en cuenta conocimiento empırico


Figura 4.16. Inclusion de las condiciones de contorno en el sistema de movimiento global

sobre el ciclo de locomocion humana. En particular, se consideran la secuenciacionentre las distintas fases del ciclo, la simetrıa en el paso en el momento del dobleapoyo y la busqueda de minimizacion del consumo energetico.

Calculo de la secuencia de fases. Para caracterizar adecuadamente la locomocion esnecesario especificar la temporizacion de las fases en las que se divide la simulacion.Para ello se parte de la conocida diferenciacion en tres fases de la locomocionhumana: fase de apoyo, fase de giro y fase de doble apoyo (ver seccion 4.2.1).

La figura 4.17 presenta un esquema de los perıodos en los que se ha dividido lasimulacion de la locomocion.

Figura 4.17. Diagrama de la temporizacion de las fases de la locomocion

Cuando se camina, la fase de apoyo comprende aproximadamente un 60% deltiempo total de un paso, y la fase de giro, el 40 % restante. Esta proporcion varıasegun se incrementa la velocidad caminando. La proporcion de la fase de apoyodisminuye en la misma forma en que la velocidad aumenta.


Un ciclo de locomocion tciclo esta compuesto por dos pasos, uno con la piernaderecha y otro con la izquierda. Las relaciones entre el tiempo que dura un pasotpaso y los tiempos que duran las fases de apoyo tapoyo, de giro tgiro y de doble apoyotdobleapoyo se describen a continuacion:

tciclo = 2 tpaso

tpaso = tapoyo − tdobleapoyo

tpaso = tgiro + tdobleapoyo

Experimentalmente, se comprueba que una persona que camina con una frecuenciade 120 pasos por minuto tiene aproximadamente una duracion de paso de 1 segundo(tpaso = 1 seg). En este paso natural la fase de apoyo ocupa 0.62 segundos(tapoyo = 0,62 seg), mientras que si corre a unos 20 kilometros por hora, el pasodura 0.6 segundos pero la fase de apoyo solamente ocupa 0.2 segundos.

La frecuencia de paso, fp, es el parametro que mayor influencia presenta en latemporizacion de las fases de la locomocion. Existe una relacion lineal entre esteparametro y la duracion del ciclo, que se expresa de la siguiente forma:

tdobleapoyo = (−0,16 fp + 29,08)tciclo100

Calculo de la simetrıa en el paso. En el ciclo de locomocion humana existe una ciertasimetrıa en el paso en el mismo instante en que se produce el apoyo del talon ycomienza la fase de doble apoyo. En ese momento, la disposicion espacial de laspiernas corresponde a la de la figura 4.18 en la que el angulo de la cadera de lapierna anterior con el de la pierna posterior es “igual” respecto a una lınea verticalimaginaria situada en el centro de gravedad. De esa forma es posible encontrar untriangulo isosceles formado por las piernas y el suelo, cuya la base corresponde a lalongitud del paso [BC89]. Este concepto permite deducir una serie de parametrosgeometricos necesarios para definir las condiciones de contorno de los problemasdinamicos de control del sistema.

Tomando como referencia las variables que se muestran en la ilustracion y teniendoen cuenta sus relaciones trigonometricas es posible calcular el valor de los parametrosde alto nivel que van a condicionar, y por lo tanto controlar, la dinamica y cinematicadel sistema [BC89]. Estos valores son: θ3 des que corresponde al angulo destino dela cadera en la fase de giro, ωdes que corresponde a la longitud destino de la piernatelescopica en la fase de apoyo y θ1 des que representa el angulo destino de la caderaen la fase de apoyo.

Calculo de la minimizacion del consumo energetico. Como se ha comentadoanteriormente (ver seccion 4.2.3), tanto la minimizacion del consumo energeticocomo la apariencia realista del movimiento se consiguen principalmente a travesde los esfuerzos combinados de los determinantes del paso. Por lo tanto, dichosdeterminantes han sido considerados en el sistema.


Figura 4.18. Parametros incluidos en la simetrıa del paso

Los movimientos de la rodilla, el pie y el talon suavizan los cambios bruscos quese producen en el desplazamiento vertical del centro de gravedad cuando el talonimpacta con el suelo. Asimismo, la flexion de la rodilla tambien ayuda a disminuirel desplazamiento vertical. La inclusion de estos movimientos en el sistema se lograincluyendo el concepto de pierna virtual, en el calculo dinamico de la fase de apoyo(seccion 4.4.3). La pierna telescopica simula la flexion y la extension de la rodilla einfluye notablemente en la suavidad del movimiento.

Los determinantes del paso relacionados con los movimientos de la cadera tambiensuavizan el movimiento y producen el movimiento sinusoidal caracterıstico. Todosestos movimientos: la rotacion pelvica, que se produce en el plano transversal, labasculacion pelvica, que se produce en el plano coronal, y el desplazamiento lateralde la pelvis, se han incluido en la resolucion cinematica de la cadera (seccion 4.5.2).

4.4. MOBIL: Implementacion del modelo dinamico

En la figura 4.19 se presenta la secuenciacion de esta fase en la estructura generalde MOBiL.

La dinamica de control es la fase principal del sistema de locomocion planteado.Para simular la dinamica de los movimientos de la locomocion es necesario obtenerun modelo reducido que represente al sistema general y que permita conservar losdiferentes aspectos del efecto de la gravedad, masa o altura y que, ante los mismosimpulsos externos, se comporte de la misma forma. Una vez encontrado el modelo,se deducen las ecuaciones de movimiento que lo gobiernan.

El uso de modelos dinamicos simples para el control de la animacion permiteintroducir de forma directa la interaccion con elementos del entorno que,normalmente, producen la aparicion de fuerzas y restricciones externas. En este caso,la interaccion con el suelo produce una transformacion del movimiento rotacional


Figura 4.19. Integracion del modulo de calculo dinamico de la fase esqueletal en MOBiL

de las piernas en movimiento traslacional del cuerpo, debido a la presencia de lasfuerzas de rozamiento externas en el pie de apoyo. Es evidente que la aparicionde nuevas variables en los sistemas hacen que estos se vuelvan mas complejos yque normalmente tengan soluciones indeterminadas por la presencia de restriccionesredundantes.

En el sistema planteado se restringe el movimiento de alguna de las articulacionesdel modelo utilizando conjuntos muelle-amortiguador [WB85]. De este modo seconserva la generalidad del modelo dinamico, pero presenta el inconveniente deintroducir calculo extra, con el agravante de que los sistemas dinamicos se conviertenen sistemas rıgidos y se dificulta su convergencia. Asimismo, para la resoluciondel problema de la aparicion de restricciones externas, se adopta la estrategia desu conversion en restricciones analıticas, reduciendo la dimension del problemamientras sea efectiva la restriccion. Esta estrategia se usa en el sistema mientrasla pierna de apoyo mantiene contacto con el suelo, de forma que solo son necesariastres coordenadas generalizadas para caracterizar todo el movimiento del sistema(ya que las coordenadas x e y del pie se mantienen constantes). La utilizacionde esta aproximacion implica trabajo extra de caracterizacion y derivacion de lasecuaciones de movimiento en las fases cuyo numero de coordenadas generalizadasvarıa y requiere la inicializacion de cada fase con los valores apropiados para evitardiscontinuidades. La restriccion del suelo se activa en la fase de apoyo y se desactivaen la fase de giro.


Para no aumentar el coste computacional, se intenta que el modelo dinamico seamuy sencillo, para lo cual se aplican las siguientes simplificaciones:

El modelo dinamico se restringe a dos dimensiones: las englobadas en el planosagital, que marca la direccion de marcha. La cadera es un unico punto.Todos los momentos de fuerza y las velocidades y aceleraciones angulares sonperpendiculares al plano del movimiento.Las resoluciones de las fases de apoyo y de giro se separan, lo que simplifica elcontrol y el proceso numerico de integracion. Las ecuaciones de movimiento delas piernas de apoyo y giro se desacoplan al suponer despreciable la accion de lamasa de la pierna de giro frente al peso total del cuerpo.Las simulaciones de cada pierna, se subdividen a su vez en fases de perıodos detiempo mas pequenos en donde actuan restricciones cinematicas que simplificanel numero de ecuaciones de movimiento.Para asegurar la continuidad del movimiento en los procesos de cambio de fasese utilizan diferentes formas de conservacion de energıa.La pierna de apoyo es un segmento telescopico amortiguado que simula lasflexiones de rodilla y tobillo, en la que solo se controla la fuerza axial (ver figura4.20). El centro de masas se supone que permanece fijo en la referencia relativaa la pierna.

Figura 4.20. Modelo dinamico de las piernas de apoyo y de giro

Todos los segmentos del cuerpo se suponen simetricos y de masa constante, conlo que los ejes de rotacion son los ejes de inercia y los productos de inercia seanulan.La pierna de giro es un doble segmento articulado. El segmento inferior presentaun momento de inercia que incluye el peso y posicion del pie.


Los elementos actuadores inyectan energıa por separado a cada segmento.Los valores antropometricos (masas y longitudes de las partes del esqueleto) sonrelativos respecto de la masa y altura total del individuo.La parte superior del cuerpo se determina por los calculos de la parte inferior ysolamente se tienen en cuenta los momentos de inercia que influyen decisivamenteen el movimiento. El cuerpo superior se modela como un solido rıgido articuladoen la cadera.La dinamica y la cinematica de la parte inferior del cuerpo se ejecutanconsecutivamente en cada paso. Los artificios de mejora visual como lasuperposicion de un esqueleto cinematico (calculado con simples procesos decinematica directa y/o inversa) y la influencia de los parametros de diferenciaciondel paso (Apendice C) guıan al modelo y refinan las ecuaciones para conseguirun movimiento de apariencia natural.

Aunque serıa posible realizar una simplificacion mas y reducir los calculos a lamitad restringiendolos a un solo paso de los dos que supone un ciclo de locomocion,el sistema calcula en todo momento del ciclo ya que el ser humano acelera y deceleracon la granularidad de un paso.

La validez de las simplificaciones anteriores se comprueba en la bondad de losresultados finales del sistema.

4.4.1. Ecuaciones de movimiento

El comportamiento dinamico del movimiento de las articulaciones inferioresdel ser humano se puede modelar con un sistema multivariable de ecuacionesdiferenciales ordinarias de segundo orden, no lineales, fuertemente acopladas y, enocasiones, con discontinuidades. El control de un sistema de estas caracterısticas esextremadamente complejo por lo que es necesario considerar modelos simplificadosdel comportamiento, de igual forma que se utilizan modelos simplificados delcomportamiento dinamico en la mayorıa de los robots industriales. En Robotica,el calculo de las ecuaciones del movimiento de un robot se suele realizar mediantealguno de los dos metodos mas comunes de trabajo: Newton-Euler (N-E) o Lagrange-Euler (L-E). La utilizacion de uno u otro metodo depende del numero de operacionesque son necesarias y de la facilidad que permiten para el diseno posterior de las leyesde control.

El metodo N-E es mas eficaz computacionalmente, pero una excesiva simplificaciondel modelo (eliminar las fuerzas de Coriolis, no consideracion de asimetrıas enel calculo de los momentos de inercia, etc.) produce errores graves, sobretodo, altrabajar con velocidades altas. El metodo N-E es un metodo de calculo numerico.

El metodo L-E es un metodo analıtico que deduce las ecuaciones de movimiento apartir del calculo del Lagrangiano del sistema utilizando coordenadas generalizadas.Con este metodo es mas sencillo identificar las fuerzas de interaccion y acoplamientoque se presentan en los robots, por lo que es preferible para disenar las leyes de


control. Por esta razon, este metodo es el que ha sido adoptado en el sistema. Seguneste metodo, partiendo de la energıa potencial y cinetica del sistema es posibleobtener una expresion de las fuerzas generalizadas que actuan, segun cada una delas coordenadas generalizadas:

−→Fq =

d

dt(∂Tq

∂q) − ∂Tq

∂q+

∂Uq

∂q(4.2)

siendo Tq la energıa cinetica, Uq la energıa potencial, q las coordenadas generalizadas

y−→Fq las fuerzas generalizadas.Para la deduccion de las ecuaciones se parte de las expresiones extraıdas del modelo

dinamico de las piernas de apoyo y giro. El modelo dinamico de la pierna de apoyose representa en la figura 4.21:

Figura 4.21. Modelo dinamico de la pierna de apoyo

−→ρto =

[xy

]; −→r1 =

[r1 cos θ1

r1 sen θ1

]; −→r2 =

[r2 cos θ2

r2 sen θ2

]; −→ω =

[ω cos θ1

ω sen θ1

]donde −→ρto es el vector que apunta al centro de masas del tobillo, ω es la longitudde la pierna telescopica, θ1 es el angulo entre el suelo y la pierna, θ2 es el angulodel cuerpo superior con respecto a la vertical, y los valores r1 y r2 representan larelacion entre el centro de masas y la longitud del segmento, de la pierna telescopicay del cuerpo superior, respectivamente (valores dados en la tabla 3.3 de la seccion3.2.3).


A partir de los datos anteriores se deduce que:−→ρ1 = −→ρto + −→r1

−→ρ2 = −→ρto + −→ω + −→r2

−→ρ1 =

[x − r1θ1 sen θ1

y + r1θ1 cos θ1

]−→ρ2 =

[x − ωθ1 sen θ1 + ω cos θ1 − r2θ2 sen θ2

y + ωθ1 cos θ1 + ω cos θ1 + r2θ2 sen θ2

]donde −→ρ1 y −→ρ2 son los vectores que apuntan al centro de masas de los segmentos 1y 2, respectivamente.

Si se supone que el punto de apoyo de la pierna es fijo, se pueden eliminar losdos grados de libertad de traslacion en X e Y (la ligadura al suelo se consideracinematica y el sistema queda reducido a 3 grados de libertad) de manera que seobtiene:

x = y = x = y = 0

ρ21 = r2

1 θ21

ρ22 = ω2 + r2

2 θ22 + ω2θ2

1 + 2r2ωθ2 sen(θ1 − θ2) + 2r2ωθ1θ2 cos(θ1 − θ2)

A partir de estos datos, es posible deducir las ecuaciones que correspondenal modelo dinamico segun el metodo de Lagrange-Euler y obtener las fuerzasgeneralizadas que actuan segun cada una de las coordenadas generalizadas (ecuacion4.2), partiendo de la energıa potencial y cinetica del sistema. Las expresiones deenergıa cinetica (Ta) y energıa potencial (Ua) del modelo simplificado de la piernade apoyo son:

Ta =1

2m2ω2 +

1

2(I1 + m1r

21 + m2ω2)θ2

1 +1

2(I2 + m2r

22)θ

22 +

+m2r2θ22[ω sin(θ1 − θ2) + ωθ1 cos(θ1 − θ2)] (4.3)

Ua = m1g(y + r1 sen θ1) + m2g(y + ω sen θ1 + r2θ2 sen θ2)

siendo θ1, θ2 y ω las coordenadas generalizadas del sistema, g la gravedad(constante), mi las masas e Ii los momentos de inercia.

Desarrollando esta expresion general para cada una de las coordenadasgeneralizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones:

Fω = m2ω + m2r2θ2 sen(θ1 − θ2) − m2ωθ21 − m2r2θ2 cos(θ1 − θ2)+ (4.4)

+ m2g sen θ1

Fθ1 = (I1 + m1r21 + m2ω

2)θ1 + 2m2ωωθ1 + m2r2θ2ω cos(θ1 − θ2)− (4.5)

− m2r2θ22 sen(θ1 − θ2) + (m1r1 + m2ω)g cos θ1

Fθ2 = (I2 + m2r22)θ2 + m2r2ω sen(θ1 − θ2) + 2m2r2ωθ1 cos(θ1 − θ2)+ (4.6)

+ m2r2ωθ1 cos(θ1 − θ2) − m2r2θ21ω sen(θ1 − θ2) + m2gr2 cos θ2


La fuerza generalizada longitudinal Fω simula la flexion y extension de la rodillay el talon, provocando el movimiento sinusoidal caracterıstico del centro de masa.El momento de fuerza Fθ2 mantiene erguido el cuerpo superior y genera el suavemovimiento caracterıstico de la cadera de subir y bajar. Mientras que el momentode fuerza Fθ1 representa las acciones musculares que producen la rotacion de lapierna de apoyo y el avance del cuerpo durante el 20% del ciclo de locomocion.

En el caso de la pierna de giro se parte de las siguientes expresiones, extraıdasdel modelo dinamico representado en la figura 4.22:

Figura 4.22. Modelo dinamico de la pierna de giro

−→ρca =

[xca

yca

]; −→r3 =

[r3 cos θ3

r3 sen θ3

]; −→r4 =

[r4 cos θ4

r4 sen θ3

];

−→l3 =

[l3 cos θ3

l3 sen θ3

]

donde −→ρca es el vector que apunta al centro de masas de la cadera, θ3 es el anguloentre el muslo y la vertical, θ4 es el angulo formado en la rodilla por el muslo y lapantorrilla, los valores r3 y r4 representan la relacion entre el centro de masas y lalongitud de los segmentos del muslo y la pantorrilla, respectivamente (valores dadosen la tabla 3.3 de la seccion 3.2.3) y l3 corresponde a la longitud del muslo.


A partir de los valores anteriores se deduce que:

−→ρ3 =

[xca + r3 cos θ3

yca + r3 sen θ3

]; −→ρ4 =

[xca + l3 cos θ3 + r4 cos(θ3 − θ4)yca + l3 sen θ3 + r4 sen(θ3 − θ4)

]−→ρ3 =

[˙xca − r3θ3 sen θ3

˙yca + r3θ3 cos θ3

];

−→ρ4 =

[˙xca − l3θ3 sen θ3 − r4(θ3 − θ4) sen(θ3 − θ4)

˙yca + l3θ3 cos θ3 + r4(θ3 − θ4) cos(θ3 − θ4)

]ρ2

3 =r23 θ

23 + ˙x2

ca + ˙y2ca + 2r3θ3( ˙yca) cos θ3 − ˙xca sen θ3)

ρ24 =(l23 + r2

4 + 2l3r4 cos θ4)θ23 + ˙x2

ca + ˙y2ca + r2

4 θ24 − 2r4θ3θ4(r4 + l3 cos θ4)+

2l3θ3( ˙yca cos θ3 − ˙xca sen θ3) + 2r4(θ3 − θ4)( ˙yca cos(θ3 − θ4) − ˙xca sen(θ3 − θ4)

donde −→ρ3 y −→ρ4 son los vectores que apuntan al centro de masas de los segmentos 3(muslo) y 4 (pantorrilla), respectivamente.

De acuerdo a las ecuaciones anteriores, se obtienen las siguientes expresiones deenergıa cinetica (Tg)y de energıa potencial (Ug) para la pierna de giro:

Tg =1

2(m4l

23 + I4 + m4r

24 + 2m4l3r4 cos θ4 + I3m3r

23)θ

23 +

+m4r4(θ3 − θ4)( ˙yca cos(θ3 − θ4) − ˙xca sin(θ3 − θ4)) −−(I4 + m4r4 + m4l3r4 cos θ4)θ3θ4 +

1

2(I4 + m2

4)θ24 + (4.7)

+(m3r3 + m4l3)θ3( ˙yca cos θ3 − ˙xca sin θ3)

Ug = m3g(yca + r3 sen θ3) + m4g(yca + l3 sen θ3 + r4 sen(θ3 − θ4))

siendo θ3 y θ4 las coordenadas generalizadas del sistema, g la gravedad (constante),mi las masas e Ii los momentos de inercia.

Desarrollando esta expresion general para cada una de las coordenadasgeneralizadas, se obtienen las siguientes ecuaciones:

Fθ3 = (m3r3 + m4l3)(yca cos θ3 − xca sen θ3) + m4g(l3 cos θ3 + r4 cos(θ3 − θ4))+

+ (m4l23 + I4 + m4r

24 + 2m4l3r4 cos θ4 + I3 + m3r

23)θ3 + m3gr3 cos θ3− (4.8)

− (I4 + m4r24 + m4l3r4 cos θ4)θ4 − m4r4(yca cos(θ3 − θ4) − xca sen(θ3 − θ4))

Fθ4 = −(I4 + m4r24 + m4l3r4 cos θ4)θ3 + (I4 + m4r

24)θ4 + m4l3r4θ2

3 sen θ4− (4.9)

− m4r4(yca cos(θ3 − θ4) − xca sen(θ3 − θ4)) − m4gr4 cos(θ3 − θ4)

Durante la fase dinamica de giro, los valores de las fuerzas generalizadas Fθ3 y Fθ4

dependen de la subfase de calculo.El momento de fuerza Fθ3 corresponde a la interaccion entre los musculos del muslo

y la cadera, mientras que Fθ4 representan las acciones producidas en la rodilla porlos musculos de la pantorrilla y el muslo.

Como se ha podido observar, se plantean dos sistemas de ecuaciones, dependiendosi se trabaja con el modelo dinamico de la pierna de apoyo o la de giro. Sin


embargo, es posible expresar el sistema de ecuaciones de forma matricial, de modo

generico, como: [A]−→q = B(−→q ,

−→q ) donde el vector de coordenadas generalizadas −→q

es: −→q = [ω, θ1, θ2]T cuando se esta trabajando con la pierna de apoyo mientras que−→q = [θ3, θ4]

T cuando se trabaja con el modelo dinamico de la pierna de giro. Elsistema resultante se observa de manera grafica en la figura 4.23.

Figura 4.23. Modelo dinamico de ambas piernas

4.4.2. Metodo de resolucion de ecuaciones

Debido a que es casi imposible encontrar soluciones a los sistemas de ecuacionesdiferenciales ordinarias de 2o orden, maxime cuando son rıgidos y no lineales, se eligepara su resolucion un metodo numerico recursivo, especificando un valor inicial dela solucion, generalmente conocido, e integrando en el tiempo.

Frente a la posibilidad de utilizar paquetes de software comerciales para resolver elproblema de forma numerica, se opta por desarrollar el codigo del metodo numericode resolucion para tener el control completo del sistema.

En primer lugar se implemento un metodo de Euler mixto: implıcito + explıcito[BF85], metodo sencillo y rapido, pero cuya solucion era inestable. Por lo tanto,para asegurar la convergencia se adopta un metodo de resolucion A-estable. Estosmetodos se caracterizan por tener como area de estabilidad a la mitad del planocomplejo [BF85] por lo que son los mas indicados para buscar la convergencia en lossistemas rıgidos.

El metodo desarrollado es un algoritmo multipaso predictor-corrector, con controladaptativo de paso y preparado para resolver un sistema de n ecuaciones, que


en particular, utiliza un algoritmo Adams-Bamsford como predictor y Moulton-Adams como corrector. Como todos los metodos multipaso, es necesario introducirun numero determinado de pasos con la solucion. De hecho, esta operacion se repitecada vez que se adapta el paso de integracion.

El algoritmo que calcula estos primeros valores es un sistema Runge Kutta de4o orden. El control adaptativo del paso de integracion es una opcion que agilizala capacidad de avance temporal de la solucion, pero en todo caso tiene un lımitemaximo de paso de integracion.

Para validar los algoritmos desarrollados para la resolucion del sistema dinamicose ha utilizado un test propuesto por Green [Gre91] consistente en un conjunto dedos sistemas de ecuaciones diferenciales de 2o orden.

4.4.3. Dinamica de la pierna de apoyo

Figura 4.24. Resolucion de la dinamica de la pierna de apoyo en el sistema de movimiento global

La resolucion de las complejas ecuaciones de movimiento que surgen del modelodinamico propuesto, se simplifican dividiendo el funcionamiento del modelo en lasfases y subfases desarrolladas. De este modo se obtiene un diagrama de estados finitoscon modelos dinamicos mas sencillos y de menor numero de grados de libertad. Losdos estados dinamicos principales son los de la fase de apoyo de una pierna y la fasede giro de la otra. Estos estados, a su vez, se dividen en subfases.

El sistema dinamico de la pierna de apoyo es el motor principal en la simulacion dela locomocion. La fase de apoyo comienza cuando el talon del pie, que se encuentragirando libre en el aire, impacta con el suelo y termina en el momento que la puntadel dedo se separa del suelo y comienza la fase de giro. Durante este perıodo enque la pierna se encuentra apoyada en el suelo, soporta y hace avanzar el centro degravedad del cuerpo.


En esta fase el modelo se basa en la accion de una pierna telescopica y presentatres ecuaciones de movimiento correspondientes a tres coordenadas generalizadas: elangulo del cuerpo superior, el angulo de inclinacion de la pierna con respecto a lavertical y la elongacion que experimenta la pierna.

La tecnica de resolucion propuesta consiste en la busqueda recursiva de unaunica incognita a lo largo de las ecuaciones que gobiernan cada una de las subfasesconsecutivas en las que se divide el problema de simulacion de la pierna de apoyo.Las fases contempladas coinciden plenamente con las que reflejan los estudiosbiomecanicos de la locomocion humana: subfase de contacto con el suelo, de apoyomedio y de propulsion (ver figura 4.25). Esta ultima se divide a su vez en perıodode propulsion activa y propulsion pasiva o pregiro.

Figura 4.25. Diagrama de la temporizacion de las subfases del modelo dinamico de la pierna de apoyo

En la figura 4.26 se puede observar las posiciones relativas de los segmentos de lapierna de apoyo al inicio y final de cada una de las subfases.

Mediante la articulacion de la cadera la simulacion de la dinamica de la pierna deapoyo condiciona el movimiento posterior de la pierna de giro. Una vez obtenidos lospatrones dinamicos basicos que conforman el movimiento de la cadera, es necesariodesarrollar los calculos cinematicos de la “pierna completa”, la cadera y el cuerposuperior.

El modelo de la pierna de apoyo del sistema, concebido como una piernatelescopica, se controla a partir de los mismos principios que plantea el trabajode Raibert [Rai86a], aunque de forma parcial, en alguna de las tres subfases en lasque se divide la simulacion: contacto, apoyo medio y propulsion.

En general, la fase de apoyo se ha modelado como un sistema con tres coordenadasgeneralizadas, de las cuales, dos se extraen de la pierna telescopica: ω longitudrelativa y θ1 angulo absoluto de inclinacion con respecto a la vertical. Mientras quela tercera, θ2, es el angulo absoluto de inclinacion del cuerpo superior.

El metodo de resolucion propuesto parte de la idea de que el movimientoesta gobernado de forma directa por estas fuerzas generalizadas y que sus expresionesdependientes del tiempo, por una parte, se completan con modelos biomecanicos


Figura 4.26. Estados en los que se subdivide la fase de apoyo de la simulacion dinamica

basados en los principios de dinamica pasiva [CWR01] y, por otra, se calculan deforma recursiva hasta cumplir ciertas condiciones impuestas por los parametros dealto nivel.

La expresion de la fuerza generalizada longitudinal Fω debe simular la flexion yextension de la rodilla e influencia de forma notoria el movimiento de la cadera.Su objetivo es proporcionar un movimiento sinusoidal caracterıstico al centro degravedad del individuo. Su expresion es similar a la sugerida por Raibert y respondea la accion de un sistema muelle-amortiguador:

Fω = kω(l1 + pa − ω) − υωω (4.10)

pa(t = tini apoyo) = 0

donde kω es la constante de rigidez, l1 es la longitud de la pierna, υω es la constantede amortiguamiento y pa es el actuador de posicion y es un elemento activo decontrol del valor de la fuerza axial. El valor de pa es igual a 0 en el inicio de la fasede apoyo, y debe ser introducido de forma que si la altura de la cadera yca disminuyepa aumenta y si yca aumenta pa debe ser reducido. El control de la posicion verticalde la cadera se hace en cada paso de integracion.

El momento de fuerza Fθ1 representa las acciones conjuntas de los paquetesmusculares que producen la rotacion de la pierna de apoyo para hacer avanzar elcuerpo hacia adelante. Experimentalmente, la accion muscular se extiende desdeel mismo instante del apoyo del tobillo hasta que transcurre un 20 % del ciclo delocomocion. Fθ1 se simplifica mediante una expresion de valor constante que debe serencontrada de forma recursiva. El valor inicial de Fθ1 se introduce en las ecuacionesde movimiento y se refina en aproximaciones sucesivas segun se cumpla o no el valor


de la condicion final. En este caso es necesario que el valor de θ1 alcance el valordeterminado por los parametros de alto nivel.

Por ultimo, Fθ2 es el momento de fuerza respecto a la articulacion de la caderaque mantiene al cuerpo superior erguido y le proporciona un suave balanceocaracterıstico hacia atras y hacia adelante. Bordoli [Bor98] propone la teorıa deque el cuerpo aprovecha la energıa almacenada en las fibras del anillo fibroso de lacolumna vertebral cuando se estiran o relajan alternativamente siguiendo la torsiondel cuerpo. La torsion de la columna vertebral esta gobernada por la necesidad derotar la pelvis para disminuir el gasto de energıa y mantiene erguido al cuerpo. Noes de extranar que tambien una expresion de un sistema muelle-amortiguador sea laelegida para el momento Fθ2 :

Fθ2 = −k2(θ2 − θ2 des) − υ2θ2 (4.11)

θ2 des ≈ 0

donde k2 es la constante de rigidez, υ2 es la constante de amortiguamiento y θ2 des

es el angulo, respecto a la vertical, que presenta la columna vertebral “en reposo” yque normalmente se toma con valor cero. Sin embargo, este es uno de los parametrosde diferenciacion del paso que se puede modificar si se desea variar la apariencia dela locomocion. Los datos de las constantes fısicas se especifican en el Apendice Dmientras que los datos de diferenciacion del paso se detallan en el Apendice C.

A continuacion se describen, en detalle, las tres subfases en que se divide el modelodinamico de la pierna de apoyo: contacto, apoyo medio y propulsion.

Subfase dinamica de contacto. La subfase de contacto comienza en el mismo instanteen que se produce el apoyo del talon y termina un perıodo de tiempo tapoyo1 despues,justo en el mismo instante en que se alcanza el final de la subfase 1 de giro. Laduracion de tapoyo1 es aproximadamente el 15 % del ciclo de locomocion.

a11 = 1

b1 = a13 = a31 = 0

ω = 0

[A]−→q = B(−→q ,

−→q ) ⇒

⎡⎣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎤⎦⎡⎣ ω

θ1

θ2

⎤⎦ =

⎡⎣b1

b2

b3

⎤⎦ siendo −→q =

⎡⎣ ωθ1

θ2

⎤⎦ (4.12)

El sistema de ecuaciones del movimiento previamente calculado se integra hastaque se alcanza el final conocido.

Subfase dinamica de apoyo medio. La duracion de esta subfase se desconoce a priori.Comienza a continuacion de la subfase anterior y termina si la longitud de la pierna


telescopica es mayor o igual que una longitud determinada, ωdes, calculada a partirdel concepto de simetrıa en el paso.

En este caso se debe aumentar el valor de Fω en cada paso de integracion, deforma que se introduce un nuevo actuador de posicion pa3:

Fω = kω(ωdes + pa3 − ω) − υωω

pa3(t = tini ap medio) = l1 + pa − ωdes

pa3 = pa3 + pa3 inc

Por medio de una longitud de pierna telescopica mayor que la longitud normalde la pierna l1 se simula la accion de extension del tobillo cuando se va separandoprogresivamente el talon del pie del suelo.

Normalmente la condicion de finalizacion de esta subfase se alcanza antes del finalde la fase de apoyo. Pero si esto no sucede y, por lo tanto, no “tiene cabida” la subfasede propulsion, se debe reiniciar la subfase de contacto (comenzando nuevamente lafase de apoyo) incrementando el valor de pa3 inc, que es una constante fısica quepermite diferenciar el paso.

Subfase dinamica de propulsion. Esta es la ultima subfase del movimiento de la piernade apoyo y es en la que se valora el grado de cumplimiento de la condicion final decontrol: el valor de la coordenada generalizada θ1, marcado por los parametros de altonivel. Aunque es posible dividir esta fase en dos perıodos caracterısticos, propulsionactiva y pre-giro, solo el primero se calcula directamente en la fase dinamica.

Subfase dinamica de propulsion activa: Este ultimo perıodo simulado en ladinamica se comporta de nuevo como un pendulo inverso simple, con laelongacion de la pierna telescopica bloqueada. Las ecuaciones del movimientose simplifican de forma similar a la subfase de contacto. Es una fase en la queel gasto energetico debe reducirse a la mınima expresion y su comportamientocorresponde al principio de dinamica pasiva.

Subfase de propulsion pasiva o pre-giro: El perıodo de pre-giro coincide conla fase de doble apoyo, es decir, es posterior al instante del apoyo del tobillo dela otra pierna. Como se ha optado por mantener el control dinamico en una unicafase se simplifica el comportamiento fısico real “transfiriendo instantaneamente”el peso y control del cuerpo de la pierna en estado de pre-giro a la nueva piernade apoyo. En este perıodo se calculan las trayectorias de los puntos de controlcon posterioridad, a partir de la cinematica.

4.4.4. Dinamica de la pierna de giro

Una vez desarrollado el modelo dinamico de la pierna de apoyo es necesarioformular y resolver el sistema dinamico de la pierna de giro. La fase de giro esla que se produce mientras la pierna contraria a la que se encuentra apoyada en


Figura 4.27. Resolucion de la dinamica de la pierna de giro en el sistema de movimiento global

el suelo, avanza, girando y manteniendo el pie en el aire. La fase de giro comienzacuando la punta de los dedos del pie se despega del suelo y acaba instantes despuescuando, el talon del mismo pie, contacta en el suelo.

A diferencia de la fase de apoyo, en la que la tecnica de resolucion consiste en unabusqueda recursiva de una unica incognita a lo largo de las ecuaciones dinamicasde cada una de las subfases en las que se simplifica el problema, en la fase de giroexisten varias busquedas de ceros, una por cada subfase, y cada una de ellas seencuentra gobernada por sus propias condiciones de contorno.

En esta fase los modelos articulados de la dinamica y de la cinematica coinciden,por lo que los resultados de la simulacion dinamica se incorporan directamenteal movimiento del esqueleto cinematico sin necesidad de calculos posteriores. Sinembargo, sı son necesarios los calculos cinematicos de los segmentos que conformanel pie.

Dentro de la propia fase de giro se producen tres “estados” reconociblespor contener movimientos caracterısticos de las articulaciones y, sobretodo, unatemporizacion proporcional a la duracion total. Dichas subfases se observan en lafigura 4.28.

La temporizacion de estas subfases no es la que normalmente se utiliza enbiomecanica, sino que atiende a consideraciones geometricas que se ajustan mejoral sistema de resolucion que se propone. En la figura 4.29 se puede observar lasposiciones relativas de los segmentos de la pierna de giro al inicio y final de cadauna de las subfases elegidas.

Los metodos propuestos para la resolucion de las ecuaciones de movimiento de lafase de la pierna de giro provienen del trabajo de Beckett y Chang [BC68]. En dichotrabajo se presenta un interesante estudio analıtico de los aspectos dinamicos queintervienen en la fase de giro de la locomocion humana.


Figura 4.28. Diagrama de la temporizacion de las subfases del modelo dinamico de la pierna de giro

Figura 4.29. Estados en los que se subdivide la fase de giro de la simulacion dinamica

El modelo permite determinar la posicion de los diferentes segmentos de la piernade giro, definiendo una serie de restricciones geometricas:

El pie gira alrededor de la punta del dedo hasta el despegue. A partir de eseinstante el angulo del tobillo permanece constante.En el aire, el pie esta obligado a seguir una curva polinomial definida a partir deparametros experimentales, como la altura del individuo.Los momentos de fuerza de la cadera que causan la aceleracion y deceleraciondel movimiento son constantes y solo actuan en perıodos determinados.

En el sistema desarrollado, la duracion de un paso, tpaso, se obtiene comoresultado directo de la inicializacion de los parametros de alto nivel que gobiernanla simulacion: velocidad, longitud o frecuencia de paso. A partir de la relacionexperimental que existe entre la duracion de la fase de doble apoyo tdobleapoyo yla duracion de un paso completo, es posible deducir la duracion total de la fase degiro, tgiro.


El modelo dinamico de la fase de giro lo constituyen dos segmentos articuladosque corresponden al femur y al conjunto tibia-perone-pie. Este modelo se suponeunido al cuerpo por la articulacion de la cadera, y como el movimiento de estase obtiene de la simulacion de la pierna de apoyo, se considera la posicion de lacabeza del femur como origen del sistema. Este nexo numerico entre las ecuacionesdel movimiento de ambas piernas permiten desacoplar y simplificar los modelosdinamicos que gobiernan la simulacion. Para el caso general ya se ha calculado que

[A]−→q = B(−→q ,

−→q ) siendo −→q = [θ3, θ4]

T de forma que esta expresion matricial esla que gobierna la simulacion. Sin embargo, en vez de resolver la ecuacion anterioruna unica vez para toda la fase de giro se resuelve por separado en cada una delas subfases, asegurando que los valores de cada iniciacion sean los alcanzados en elultimo paso de la subfase anterior para mantener la continuidad del sistema.

Subfase 1 de giro. La duracion de la subfase 1 de giro es de exactamente el 50 % deltotal empleado por la fase de giro y comienza cuando la punta del pie abandonael suelo. Para resolver las ecuaciones de movimiento planteadas serıa necesarioconocer los valores de los momentos de fuerza generalizados, que corresponden alas coordenadas definidas por el angulo del femur, θ3 y el angulo de la rodilla, θ4.Introduciendo las coordenadas generalizadas Fθ3 y Fθ4 en el modelo serıa posibleencontrar de forma directa las trayectorias y velocidades de cualquier coordenadadel modelo. Por desgracia, este es, de nuevo, el mayor inconveniente que produce lautilizacion de modelos dinamicos directos: la necesidad de controlar los movimientosa partir de parametros muy poco intuitivos, como son las fuerzas y momentos.Ademas, controlar la marcha de esta forma serıa sumamente complejo ya que ambosmomentos de fuerza no estarıan desacoplados. Por lo tanto, es necesario introduciruna nueva simplificacion.

El metodo de resolucion de las ecuaciones es similar al utilizado en la fase de apoyo:como el estado inicial y final de las variables que conforman la solucion son conocidos(deducidos a partir de los parametros de alto nivel), se inicializan numericamentelos momentos de las fuerzas generalizadas y se integran las ecuaciones paso a pasohasta el final de la subfase. Si no se alcanzan los valores deseados se aumentan odisminuyen los valores de inicio.

Para facilitar este proceso, solo se considera como incognita el valor del momentogeneralizado correspondiente a la interaccion entre los musculos del femur y la cadera(Fθ3), y se utiliza la parametrizacion del movimiento del tobillo propuesta en [BC68]para actualizar cinematicamente, paso a paso, la coordenada generalizada θ4, por loque no es necesario considerar su momento de fuerza correspondiente.

La accion del conjunto muscular hace girar la parte superior de la pierna paraavanzar hacia adelante hasta que el angulo de consigna alcance al final de estafase el valor de θ3(tgiro1) = θ3 des. Este valor esta definido como un parametro dediferenciacion del paso (ver Apendice C), ya que es el mismo valor maximo que se


necesita al final de toda la fase de giro para obtener un correcto apoyo de talon ycomenzar un nuevo paso.

La accion muscular Fθ3 esta definida mediante la expresion exponencial Fθ3 =Be−At2 siendo A = lp max√

2 lp 0,5 tgiro1, lp max la longitud maxima del paso, lp la longitud

del paso actual y tg el tiempo del periodo de giro que se esta considerando. Laconstante B es la incognita del problema iterativo y su valor se disminuye o aumentadependiendo de la variacion de la consigna al final de cada proceso de integracion.

Si se analiza la variacion temporal de la expresion anterior se puede comprobar

que es una funcion cuyo punto de inflexion se encuentra en el punto I(

1A√

2, B√

e

).

La presencia de A condiciona la pendiente de la curva de forma que si A es muygrande y el valor de la abscisa tiende a cero, Fθ3 es una funcion exponencial derapido decrecimiento.

Del mismo modo, es posible comprobar que:

para longitudes de paso mas pequenas la accion de Fθ3 decrece mas rapido: “Silp1 ≤ lp2 entonces 1

A1

√2≤ 1

A2

√2”.

Experimentalmente el paso mas natural se consigue cuando 1A√

2≤ 0,5 tgiro1. El

punto de inflexion nunca debe ocurrir demasiado tarde.

Por otra parte, se ha mencionado que en esta subfase del problema se ha optado porsimplificar el modelo dinamico mediante la utilizacion de una restriccion cinematicapara el movimiento del tobillo. Esto permite que en la expresion general del modelodinamico de la fase de giro se pueda particularizar algunos de sus componentes:[

a11(θ4) a12(θ4)a21(θ4) a22

] [θ3

θ4

]=

[b1(θ3, θ3, θ4, θ4, Fθ3)

b2(θ3, θ3, θ4, Fθ4)

](4.13)

a22 = 1; a21 = a12 = 0; b2 = 0 (4.14)

pero hace necesario que en cada paso se calcule el “nuevo” valor de la coordenadageneralizada θ4. De Beckett y Chang se extrae la asuncion experimental de quela trayectoria del tobillo es una curva polinomial que debe cumplir las siguientescondiciones (vease la figura 4.30):

Condicion de paso por tres puntos: (xo, yo), (x1, y1), (x2, y2) con x1 = dist D ·x1,yo = yto(t = x1), y1 = (l5 + l6) · ωmin/l1 y y2 = yto(t = x2), siendodist D uno de los parametros de diferenciacion del paso que marca la distanciahorizontal en la que la altura del tobillo es maxima, yto la altura del tobilloen distintos instantes, l1 la longitud de la pierna y wmin la longitud menorque alcanza el segmento telescopico en la simulacion dinamica de la piernade apoyo (normalmente coincide con la maxima flexion de rodilla, ya queexperimentalmente se comprueba que cuanto mas rapido anda una persona,mayor es la flexion de la rodilla de la pierna de apoyo y mas baja la trayectoriaque sigue el tobillo de la pierna de giro).


Figura 4.30. Descripcion de la trayectoria polinomial del tobillo

Condicion de continuidad: f ′(x1) = f ′(x2) = 0, es decir, es necesario que elpolinomio presente un maximo y un mınimo en los puntos de control x1 y x2.

De todos los parametros anteriores el unico que se desconoce a priori es x2. Parasu calculo se asume que el final de la subfase 1 de giro coincide aproximadamentecon la alineacion vertical de la punta del dedo del pie y la rodilla (tal y como seobserva en la figura 4.30).

Los valores de los angulos θ3, θ5 y θ6 en x2 (las referencias geometricas para losangulos mencionados estan representadas en la figura 4.31) estan predefinidos porser parametros de diferenciacion del paso (ver Apendice C), por lo tanto, es posiblededucir la longitud del parametro x2.

Figura 4.31. Referencias geometricas de la pierna de giro


x2 = xca + l3 sen θ3 − l4 sen α

y2 = yca − l3 cos θ3 − l4 cos α

dy pie = y2 − l12 cos β − l13 cos γ

siendo α = arctan l12 sen θ5+l13 sen(θ5−θ6)l4+l12 cos θ5+l13 cos(θ5−θ6)

, θ3 = θ3 des, θ5 = giro1 tobillo, θ6 =giro1 meta y siendo dy pie > 0 el valor de la altura de la punta del dedo del pieen x2, que siempre debe ser positivo, ya que el pie no debe penetrar en el suelo.Los valores de θ3 des, giro1 tobillo y giro1 meta son parametros de diferenciaciondel paso (ver Apendice C).

Una vez hallados todos los valores que definen los puntos de la curva polinomial sedebe deducir su expresion. Como se deben cumplir cinco condiciones, se desarrollanlos calculos para obtener la expresion de un polinomio de Hermite de 4o grado (sedisminuye en uno el orden del polinomio por no tener condicionado el inicio de lacurva por su derivada [BF85]): H4(x) = A0x

4 + A1x3 + A2x

2 + A3x1 + A4.

Las condiciones que se deben cumplir son:

H4(xo) = yo

H4(x1) = y1 y H4(x1) = 0

H4(x2) = y2 y H4(x2) = 0

por lo que se obtienen 5 ecuaciones con 5 incognitas que, en forma matricial, serepresenta del siguiente modo:⎡⎢⎢⎢⎢⎣

c4 c3 c2 c 1d4 d3 d2 d 14c3 3c2 2c 1 04d3 3d2 2d 1 00 0 0 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

A0

A1

A2

A3

A4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣y1

y2

00yo

⎤⎥⎥⎥⎥⎦De donde se obtienen los siguientes valores para los coeficientes del polinomio:

A0 =2 (c b2 − c b1 + b1(d − c) − c b3(d − c)2)

2 (d3 + 2c3 − 3d c2) − 3 (d − c)2(c + d)

A1 =1

2

(b3

d − c− 3 (c + d) A0

)A2 = −b1

c− 3 c2A0 − 2 c A1

A3 = b1 − c (c2A0 + c A1 + A2)

siendo b1 = (y1 − yo)/c, b2 = (y2 − yo)/d y b3 = (d b1 − c b2)/d c.Una vez calculada la expresion de la funcion polinomica que fija la trayectoria

del tobillo es necesario calcular en cada paso de integracion su interseccion con


la circunferencia de valores posibles del la posicion del tobillo. Esta funcion sepresenta con el centro en la posicion de la rodilla y un radio de l4 (longitud detibia - perone). La posicion del tobillo obtenida como resultado de la busqueda debecumplir ambas condiciones: pertenecer al polinomio y pertenecer al cırculo de radiol4, y determinara el valor actualizado de la coordenada generalizada θ4. Por lo tanto,al sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas obtenido por el cırculo, para el cual seutiliza el metodo numerico de Newton-Raphson, se suma el sistema de 5 ecuacionescon 5 incognitas del polinomio. Para optimizar el numero de calculos involucradosen el sistema global (en cada paso es necesario evaluar la funcion polinomica de7o orden y de su derivada de 6o orden) se ha implementado a su vez el metodo deHorner para eficiencia numerica.

La ecuacion del cırculo se puede deducir del siguiente modo:

x = xca + l3 sen θ3 − l4 sen α ⇒ (a1 − x)2 = l24 sen2 αy = yca + l3 cos θ3 − l4 cos α ⇒ (a2 − y)2 = l24 cos2 α

⇒ (a1 − x)2 + (a2 − y)2 = l24

siendo a1 = xca + l3 sen θ3 y a2 = yca − l3 cos θ3.Por lo tanto, el sistema resultante se puede expresar como:

(a1 − x)2 + (a2 − y)2 = l24y = A4 + x (A3 + x (A2 + x (A1 + x A0)))

Determinando ası el polinomio∑8

i=0 Pi x8−i = 0 tal que:

P0 = A20

P1 = 2 A1 A0

P2 = A21 + 2 A2 A0

P3 = 2 (A3 A0 + A2 A1)

P4 = A22 + 2 (A4 A0 + A3 A1)

P5 = 2 (A3 A2 + A4 A1 − a2 A1)

P6 = A23 + 2 (A4 A2 − a2 A2) + 1

P7 = 2 (A4 A3 − a2 A3 − a1)

P8 = A24 + a2

2 + a21 − 2 a2 A4 − l4

De esta forma es posible ir integrando, paso a paso, la ecuacion de movimiento,incluyendo en cada instante de calculo la actualizacion cinematica de la coordenadaθ4. Como se puede dar el caso de encontrar dos posibles soluciones en cada busquedade la solucion, se deben restringir las posibilidades tomando como valido el cero cuyaposicion este determinada por una abscisa menor. Tomando la solucion encontradaen el paso anterior como valor de inicio para el metodo de Newton-Raphson, seasegura una rapida convergencia al “cero valido”.


Mediante el desarrollo analıtico previo, despejando las expresiones “a mano”, se hapretendido simplificar al maximo la carga del procesador para resolver la dinamicade la subfase 1 de giro.

Finalmente, en esta subfase de giro 1, hay un par de consideraciones a tener encuenta.

Por un lado, para evitar un comienzo brusco de la fase de giro se parte de los valoresde las coordenadas generalizadas de la fase de apoyo anterior, transformandolospara asegurar una transicion suave. En particular las velocidades se calculan de lasiguiente forma:

tfinalfasedeapoyo = tiniciofasedegiro = t0

θ3 =θ3(t0) − θ3(t0 − Δt)

Δt

θ4 =θ4(t0) − θ4(t0 − Δt)

Δt

Por otra parte, tambien es posible que la constante B se inicialice con un valormuy grande de modo que θ3 resulte exagerado y no se encuentre nunca un cero enla ecuacion polinomica anterior (es decir, que no exista una posicion del tobillo quese ajuste a la curva que restringe su movimiento). En este caso es necesario reiniciarcompletamente la fase de giro, disminuyendo considerablemente el primer valor deB. En la fase posterior de calculos cinematicos se completa el movimiento del pie,aunque en la practica se hace al mismo tiempo que avanza la simulacion dinamica,sobre todo porque se comprueba en cada paso que la punta del pie no intersecte conel suelo (lev dedo es un parametro de diferenciacion del paso que determina la alturamınima que debe existir entre el dedo del pie y el suelo). Si esto ocurre es necesarioreiniciar los calculos y corregir el valor de la consigna del angulo de la cadera θ3 des.

Subfase 2 de giro. La duracion de la subfase 2 de giro corresponde al 35% del totalempleado en la fase de giro. Comienza en el ultimo instante de la subfase 1 de giro,es decir, en el momento en que la punta del pie se encuentra en la misma verticalque la rodilla. En esta fase, la pantorrilla gira rapidamente hacia adelante.

La incognita de esta subfase es el valor del momento generalizado correspondientea la interaccion entre los musculos del femur y la tibia-perone (Fθ4). La accion delconjunto muscular hace girar a la parte superior de la pierna para avanzar haciaadelante hasta que alcance el angulo de consigna al final de esta fase cuyo valor esde θ4(tgiro2) = θ4 des, siendo θ4 des un parametro de diferenciacion del paso.

La accion muscular Fθ4 esta definida mediante la expresion exponencial Fθ4 =B2e

−(A2t)2 siendo A2 = lp max√2 lp 0,5 tgiro2

.

De forma similar a la subfase anterior, el valor de la constante B2 se disminuye oaumenta segun se comprueba la variacion de la consigna al final de cada proceso deintegracion.


La otra ecuacion del movimiento incluye el momento generalizado de fuerza Fθ3

cuya accion se asimila a la de un conjunto muelle-amortiguador que mantiene a lacadera en una posicion adecuada y cuya expresion es:

Fθ3 = k3(θ3 giro2 − θ3) − υ4θ3

siendo el valor por defecto de θ3 giro2 = θ3 des.Del mismo modo, si en algun instante la punta del pie penetra en el suelo, el

valor de θ3 giro2 debe aumentarse de manera que la cadera se extienda mas, perocomenzando de nuevo los calculos. Este problema surge con valores muy pequenosde las constantes k3 y υ3 (ver Apendice D), por un balanceo de la cadera muyacentuado (fbal pelvis es un parametro de diferenciacion del paso) o por longitudesde paso lp demasiado cortas. Este metodo de inducir una extension mas acentuadade la cadera para aumentar la altura de la punta del pie podrıa ser transformadopara introducir un mecanismo para sobrepasar obstaculos pequenos o apoyar el pieen un escalon.

En la fase posterior de calculos cinematicos se completa el movimiento del piemediante interpolacion de θ5 y θ6 entre valores predefinidos como parametros dediferenciacion del paso, giro1 tobillo, giro1 meta, θ5 des, θ6 des, teniendo en cuentaque los dos ultimos parametros son los valores que alcanzan las articulaciones deltobillo y del empeine al final de la fase de giro.

Subfase 3 de giro. La duracion de la subfase 2 de giro es el 15 % final del total empleadopor la fase de giro. En esta fase, la rodilla esta “bloqueada” por lo que se asimila aun movimiento de pendulo simple, cuya expresion y metodo de resolucion coincidencon los de la subfase 1 de giro.

El valor inicial de la unica coordenada generalizada, θ3 (en realidad podrıamosllamarla θ34 ya que θ4 tiene un valor fijo por estar bloqueada) que determina elmovimiento angular de la pierna “pendular” se obtiene a partir de la fase anterior,para asegurar la continuidad en las trayectorias. Como los modelos dinamicos sondiferentes el valor se calcula gracias a que, en la transicion, se conserva la energıacinetica del sistema.

En el apartado siguiente se analiza este y otros problemas de continuidad delmovimiento entre los subsistemas dinamicos.

4.4.5. Continuidad entre los sistemas dinamicos

Para que el proceso de calculo pueda desarrollarse en tiempo real, los modelosdinamicos se construyen segmentando el problema en diferentes fases cuyo numerode ecuaciones del movimiento es menor. Por lo tanto, es necesario asegurar lacontinuidad del movimiento entre fases, en particular entre aquellas cuyos modelosdinamicos son netamente diferentes. En particular, son dos las transiciones que debenser tratadas de forma especial: el choque inelastico del talon del pie de la pierna de


giro cuando comienza la fase de doble apoyo (apoyo del talon) y el final de recorridode la articulacion de la rodilla cuando la pierna de giro se extiende totalmentepara facilitar la orientacion y longitud del paso siguiente (conservacion del momentoangular de la cadera en la extension de la rodilla).

Apoyo del talon. La separacion del modelo dinamico en dos fases: pierna de apoyo ypierna de giro, es la simplificacion mas evidente entre las aplicadas para mantenerel nivel basico de control lo mas sencillo posible. Para que el modelo se comporte deforma correcta se debe encontrar un metodo de calculo que asegure la continuidad enel punto de union de los sistemas de ecuaciones de ambas fases, maxime considerandoque el numero de coordenadas generalizadas, sus referencias y condiciones externasson diferentes.

La transicion de la fase de apoyo a la de giro es suave ya que es un movimientocoordinado y progresivo. Los valores de velocidades de la pierna cinematicasuperpuesta se introducen, con un cambio simple de referencia, como valor inicial enla fase de giro. Sin embargo, la transicion entre el movimiento de la pierna de giro ala posicion de apoyo es “traumatica” ya que se produce con el choque del talon conel suelo y debe ser estudiada con detenimiento. En la realidad, todas las colisionesentre cuerpos son no conservativas, pero se confıa a la estructura elastica de losmusculos y tendones la posibilidad de almacenar y devolver mas tarde la energıacinetica de la pierna en el choque. De este modo, es posible aplicar varios teoremasde conservacion de la energıa en el instante del apoyo del talon en el suelo, lograndola transicion entre la dinamica de la fase de giro y la de la fase de apoyo.

El momento angular del cuerpo superior respecto a la cadera toma los siguientesvalores (ver la figura 4.20 correspondiente al modelo dinamico de ambas piernas):

−→L 2 cad = I2

−→θ2 + r2 × m2

−→ρ2 (4.15)

Los momentos angulares son perpendiculares al plano sagital y su sentido dependede las referencias angulares tomadas. En particular, si se desarrolla la expresiongeneral anterior:

−→L 2 cad =(I2θ2 + m2r2(y cos θ2 − x sen θ2) + m2r2ωθ1 cos(θ1 − θ2) + m2r

22 θ2+

+ m2r2ω sen(θ1 − θ2))−→i z

En el instante del choque del talon con el suelo se conserva el momento angulardel cuerpo superior respecto a la cadera. Si denominamos L−2 cad al momento antesdel choque y L+

2 cad al momento de despues del choque se verifica:

L−2 cad = L+2 cad

(I2 + m2r22)

˙θ−2 + m2r2(y− cos θ2 − x− sen θ2) + m2r2ω

˙θ−1 cos(θ1 − θ2) =

= (I2 + m2r2)˙θ+2 + m2r2ω

˙θ+1 cos(θ1 − θ2) + m2r2ω+ sen(θ1 − θ2)


ya que y+ = x+ = ω− = 0.Por otra parte, tambien se conserva el momento angular de todo el sistema respecto

al tobillo:

−→L sis to = I1,to

−→θ 1 + r1 × m1

−→ρ 1 + I2,to

−→θ 2 + ρ × m2

−→ρ 2

=−−−→L2 cad + I1,to

−→θ 1 + r1 × m1

−→ρ 1 + −→ω × m2

−→ρ 2

con −→ρ = −→ω + −→r2 .Desarrollando las multiplicaciones vectoriales por separado:

r1 × m1−→ρ 1 = (m1r1(y cos θ1 − x sen θ1) + m1r

21 θ1)

−→iz

ω × m2−→ρ 2 = (m2ω(y cos θ1 − x sen θ1) + m2ω

2θ1 + m2r2ωθ2 cos(θ1 − θ2))−→iz

Por lo que la expresion general queda como:

−→L sis to = L2 cad+(I1,to+m1r

21+m2ω

2)θ1+m2r2ω cos(θ1−θ2)+(m1r1+m2ω)(y cos θ1−x sen θ1)

Si denominamos L−sis to al momento antes del choque y L+sis to al de despues del

choque se verifica:

L−sis to = L+sis to

(Isis to + m1r21 + m2ω) ˙θ−1 + m2r2ωθ−2 cos(θ1 − θ2) + (m1r1 + m2ω)(y− cos θ1 − x− sen θ1) =

= (Isis to + m1r21 + m2ω) ˙θ+

1 + m2r2ωθ+2 cos(θ1 − θ2)

ya que y+ = x+ = ω− = 0 y L−2 cad = L+2 cad.

La tercera y ultima ecuacion de conservacion de energıa provienen del teoremade conservacion de la cantidad de movimiento del cuerpo superior en la direccionparalela al eje de la pierna de apoyo:

Freaccion∐Δt = m2(ρ

+2 − ρ−2 ) ⇒ ρ+

2∐ = ρ−2 ∐ si suponemos Δt ≈ 0

y desarrollando la expresion:

ρ2∐ = ρ2y sen θ1 + ρ2x cos θ1 = (x sen θ1 + y cos θ1) + ω + r2θ2 sen(θ1 − θ2)

ρ+2

∐ = ρ−2 ∐ ⇒ (x− sen θ1 + y− cos θ1) + r2θ2−

sen(θ1 − θ2) = ω+ + r2θ2+

sen(θ1 − θ2)

Antes del instante del apoyo del talon la velocidad lineal del tobillo “dinamico”es:

x− = x−ca + ωθ1 cos θ1

y− = y−ca + ωθ1 sen θ1

y θ1−, θ2

−se conocen de la fase anterior obteniendo tres ecuaciones y tres incognitas

θ1+, θ2

+, ω+ por lo que es sencillo extraer los valores iniciales de las coordenadas

generalizadas de la fase de apoyo.


Extension de la rodilla. Los modelos dinamicos, entre los dos ultimos perıodos detiempo en que se ha dividido la fase de giro, son diferentes, por lo que es necesarioinicializar adecuadamente el valor de la coordenada generalizada θ3 para asegurarla continuidad de los movimientos. Tal y como se ha visto en el apartado anteriores correcto acudir a la elasticidad de musculos y tendones para afirmar que en elcambio brusco de movimiento de la rodilla (que se produce para asegurar que lapierna alcanza la orientacion y longitud adecuada en el apoyo de talon) se conservael momento angular respecto a la articulacion de la cadera, es decir L−3 cad = L+

3 cad

L−3 cad = I3

−→θ 3 + −→r3 × m3

−→ρ3 + I4(

−→θ 3 −

−→θ 4) + −→r 34 × m4

−→ρ4

L+3 cad = I34

−→θ 34 + −→r34 × m1

−→ρ34 con I34 ≈ I1 y r34 =

m3r3 + m4(r4 + l3)

m3 + m4

Por lo que se deduce que:

(I3 + I4 + m4(r4 + l3)2 + m3r

23)−→θ3− − (I4 + m4r

24 + m4l3)

−→θ4− + m3r3+

+ m4(r4 + l3)(x−ca cos θ3 + y−ca sen θ3) =

= (I1 + m1r234)

−→θ +

34 + m1r34(x+ca cos θ3 + y+

ca sen θ3)

de donde se puede extraer el valor de−→θ +

34 que inicializa la subfase 3 de giro.

4.5. MOBIL: Implementacion del modelo cinematico


Una vez obtenidos los patrones basicos del movimiento de marcha a partir dela simulacion de la dinamica del modelo propuesto del aparato locomotor humanoes necesario mejorar la apariencia final de la animacion incorporando el “esqueletocinematico”, formado por 48 segmentos articulados. Para ello, se ha optado porajustar las fases y subfases del modelo basico y desarrollar una nueva temporizacionde los movimientos, especıfica para el modelo cinematico, mucho mas cercana a losprincipios experimentales biomecanicos.

El modelo cinematico propuesto, valido para ambas fases del ciclo de locomocion,se puede observar en la figura 4.33.

La forma de calcular los movimientos del modelo cinematico superpuesto varıadependiendo de la fase del movimiento en que se encuentre la estructura jerarquicaque representan. Cuando se dispone de suficientes valores de referencia calculadosen la dinamica, se utiliza la cinematica directa debido al bajo coste computacional.Sin embargo, en ocasiones, se utiliza la cinematica inversa para cumplir restriccionesque no han sido tenidas en cuenta en el modelo dinamico, como por ejemplo paraevitar la interseccion de los dedos del pie con el suelo.


Figura 4.32. Integracion del modulo de calculo cinematico de la fase esqueletal en MOBiL

Figura 4.33. Modelo cinematico valido para la pierna de apoyo y de giro

4.5.1. Cinematica de la pierna de apoyo

Como resultado del sistema dinamico se han obtenido las variaciones temporales,a lo largo de un paso, de la longitud de la pierna telescopica y de las orientacionesdel cuerpo superior y de la pierna de apoyo. Sin embargo, a la hora de reconstruir


Figura 4.34. Resolucion de la cinematica de la pierna de apoyo en el sistema de movimiento global

todo el movimiento de la pierna, estos valores no son suficientes, especialmentepara obtener las orientaciones de los segmentos que forman las articulaciones de larodilla, el tobillo y el empeine. Por lo tanto, resulta imprescindible superponer aestas trayectorias basicas nuevos calculos de velocidades, orientaciones y posiciones,de naturaleza mas simple por estar basados en la cinematica. Por otra parte, lautilizacion de un modelo cinematico superpuesto ayuda a reflejar los objetivosfuncionales que poseen las articulaciones de la rodilla y el tobillo en la locomociondel ser humano:

Absorber el choque dinamico del apoyo de talon de forma que no repercuta enla cadera y troncoSuavizar la transicion entre los estados de giro y de apoyoConservar la mayor altura posible del centro de masas corporal en el apoyo deltalon, como mejora energetica frente a la locomocion bıpeda con extremidadesrıgidas

La cinematica de la pierna de apoyo se divide en tres subfases (figura 4.35):contacto o normal (que a su vez se subdivide en: rotacion del pie y apoyo plano),despegue del talon y despegue del empeine.

Los calculos cinematicos destinados a encontrar la trayectoria de la articulacioncadera - pierna (xca, yca) son comunes a todas las subfases. Por construccion delmodelo, se conoce la posicion fija del “tobillo dinamico”, que es origen del segmentode la pierna telescopica. De la fase dinamica es posible extraer el valor de la


Figura 4.35. Diagrama de la temporizacion de las subfases del modelo cinematico de la pierna de apoyo

orientacion y elongacion en cada instante (ω, θ1), por lo que se deduce que:

−→ρto =

[xy

];−→ω =

[ω cos θ1

ω sen θ1

]; x = y = 0

−→ρca = −→ρto + −→ω ⇒[xy

]+

[ω cos θ1

ω sen θ1

]Estos calculos son necesarios en muchas de las consideraciones cinematicas que sepresentan a continuacion.

La figura 4.36 representa las diferentes subfases cinematicas de la pierna de apoyo.

Figura 4.36. Subfases del modelo cinematico de la pierna de apoyo

Subfase de contacto o normal. La subfase de contacto empieza con el apoyo del talony termina de forma condicional. En ella se pueden diferenciar dos perıodos: el giro


del pie sobre el talon hasta que alcanza una posicion horizontal y el apoyo planosobre el suelo.

El primer perıodo (t0 ⇒ t1) acaba en el momento en que la pierna telescopica (enla fase dinamica) pasa por la vertical, o lo que es lo mismo en el instante en queθ1 = 0. En t0 y t1 se conoce la posicion del tobillo cinematico es (en t1 coincide conel tobillo dinamico) por lo que el metodo de resolucion empleado es la interpolacionsimple entre ambos valores siguiendo el arco de centro en el punto de apoyo del talony radio la distancia l11. De esta forma se calcula la posicion del tobillo cinematico.

Una vez conocidas las posiciones de dos puntos de la cadena cinematica, la cadera yel tobillo, y de las longitudes de todos los segmentos se calculan, de forma inmediatay por cinematica inversa, los valores de los angulos θ3 y θ4 (ver figura 4.33). El anguloθ6 es cero durante todo el perıodo y θ5 se interpola entre sus valores conocidos (ent0 proviene de los calculos de simetrıa en el paso y en t1 es el valor normal).

El segundo perıodo, que corresponde al tiempo en que el pie plano esta apoyado enel suelo (t1 ⇒ t2) comienza a continuacion del anterior y termina cuando se cumplecualquiera de las siguientes condiciones:

ω0 ≤ π2

siendo ω0 = π − θ5 ⇒ θ5 ≤ π2

ω ≥ l1

Normalmente, el final de esta subfase esta determinado por la primera condicion,sin embargo, es posible que para longitudes de paso pequenas prevalezca la segunda(en este caso su objetivo serıa evitar la no posibilidad de superponer los segmentosdel femur y la tibia con el pie plano en el suelo).

De la misma forma que antes, para calcular los valores de θ3, θ4, θ5, θ6 sedeben resolver dos cadenas cinematicas inversas cuyos extremos en ambos casosson conocidos (las posiciones de la cadera y el tobillo y la cadera y la punta del pie).

Subfase de despegue del talon. El final del apoyo medio se produce cuando se comienzala fase de doble apoyo. Esta subfase (t2 ⇒ t3) se caracteriza por la progresivaelevacion del talon mientras se mantiene el empeine pegado al suelo.

El algoritmo de calculo cinematico normal busca la posicion del tobillo comointerseccion entre un arco de circunferencia (con el centro en la articulacion delempeine y radio l12) y el segmento de la pierna dinamica, de modo que el tobillorecorre la pierna.

Si no existe solucion al sistema de ecuaciones anteriores o el segmento calculadocadera - tobillo es mayor que (l3+l4), lo cual puede deberse a una excesiva elongacionde la pierna telescopica, se debe utilizar un segundo metodo de calculo: buscar laposicion del tobillo como interseccion entre dos arcos de circunferencia: uno con elcentro en la articulacion del empeine y radio l12 y otro con centro en la articulacionde la cadera (tambien conocida) y radio (l3 + l4). De esta forma el tobillo ya no seencuentra sobre la pierna dinamica.

En este caso incluso podrıa suceder un fuerte decremento del angulo θ6 (que sedeberıa incrementar constantemente), por lo que, como nuevo elemento corrector,


se activa θ6min lapso, que es un parametro de diferenciacion de paso que garantiza el

mınimo incremento de θ6.

Subfase de despegue del empeine. El final de la fase de apoyo dinamica marca el finaldel movimiento del despegue del empeine. Esta subfase (t3 ⇒ t4) se caracteriza porla progresiva elevacion del empeine mientras se mantiene la punta del pie en el suelo.

Estudios biomecanicos indican que existe una correlacion entre este perıodo yla fase de doble apoyo, lo cual refuerza la idea de que es este momento cuando secambia el soporte del peso corporal al cambiar de pierna. La duracion de este perıodocoincide por lo tanto con parte del perıodo de doble apoyo.

El algoritmo de calculo cinematico se reduce a una interpolacion lineal del angulode la rodilla y del tobillo. Segun los mismos estudios biomecanicos anteriores, existeuna flexion constante de la rodilla desde el inicio de la fase de doble apoyo hasta10% (durflex rodilla) de la duracion del ciclo despues de iniciada la fase de giro.Esta flexion es casi independiente de la velocidad de marcha y llega hasta los 63o

(amax rodilla) [IRT81]. El valor final del angulo del tobillo esta determinado por elparametro de diferenciacion del paso denominado apoyofin tobillo. Otro parametrode diferenciacion del paso que se tiene en cuenta en esta fase es θ6min lapso

, quedetermina el incremento mınimo del angulo del empeine en perıodo de interpolacion.

Una vez conocidos dos puntos de la cadena cinematica (articulacion de la caderay punta del pie) y dos de sus angulos (θ4 y θ5) el resto se encuentran perfectamentedeterminados y se calculan por cinematica inversa.

En el movimiento cinematico de esta subfase hay que tener en cuenta el origen delos datos que la gobiernan: en los perıodos anteriores el dato de la posicion de lacadera se podıa calcular rapidamente a partir de las coordenadas generalizadas dela dinamica, pero en este caso, la dinamica de control ya gobierna la otra pierna,es decir, la que acaba de comenzar la subfase normal y la posicion de la caderasolo puede ser calculada a partir de ella (incluyendo el complejo movimiento delsegmento de la cadera).

4.5.2. Cinematica de la cadera

En el modelo dinamico la accion del cuerpo superior solo se recoge mediante elcalculo del angulo θ2. Todo el cuerpo se representa como un segmento balanceadopara mantener el equilibrio y no caer. Sin embargo, la accion de elementos tanimportantes como la cadera condiciona la dinamica de la pierna de giro e inclusohace variar algunos de los parametros de alto nivel.

El movimiento de la cadera es el movimiento de la pelvis, hueso de geometrıacompleja que entre otras misiones sirve de engarce de la columna vertebral conlas piernas. Igual de compleja que su morfologıa son las trayectorias (normalmentecurvas sinusoidales, que minimizan el consumo energetico) de los extremos de lapelvis. Por lo tanto, para poder mostrar cada movimiento de forma aislada se


Figura 4.37. Resolucion de la cinematica de la cadera en el sistema de movimiento global

considera el plano en el que se produce: coronal, sagital y transversal, segun elsistema de referencias anatomico de la figura 4.38.

Figura 4.38. Planos de referencia del cuerpo humano

En todos los casos, la cinematica esta gobernada por la simple interpolacion hastaalcanzar valores predeterminados como parametros de diferenciacion del paso (verApendice C). La variacion de estos parametros puede producir efectos apreciablesen la simulacion.

En la figura 4.39 se presentan los tres movimientos que se han incluido en lacinematica de la cadera y que se corresponden con los que aparecen en la locomocionreal.

El movimiento mas importante de la cadera es la rotacion pelvica que discurreen el plano transversal y que entre otras cosas hace que la longitud del paso se


Figura 4.39. Movimientos de la cadera durante la locomocion

incremente lp. La rotacion pelvica maxima se produce en cada apoyo de talon yno existe rotacion en la subfase de apoyo medio. La expresion que rige la rotacionpelvica es:

angulorot pelvis = rmax pelvislp

lp max

donde lp es la longitud del paso, lp max la longitud maxima y rmax pelvis el valorangular maximo de rotacion pelvica. De este modo, la longitud del paso actual quedadeterminada por:

lp act = lp − l0 sen(angulorot pelvis)

donde l0 es la anchura de la pelvis.En el plano sagital la cadera produce un movimiento leve, casi imperceptible

visualmente. Por lo tanto, se ha optado por no incluirlo en este trabajo. De cualquierforma, en este plano es donde se observa el efecto de la coordenada generalizada θ2

de la fase dinamica de la pierna de apoyo, por lo que la aportacion de un nuevomovimiento de la cadera practicamente no producirıa cambios en el movimientofinal de la locomocion.

En el plano coronal o frontal se produce el llamado balanceo pelvico que consisteen una rotacion en torno al eje X que produce que una cadera este mas levantadaque otra. Normalmente la cadera de la pierna de giro esta a una altura menor quela cadera de la pierna de apoyo. La diferencia maxima de alturas se produce en el


comienzo de la fase de giro, es decir, en ese instante la cadera de la pierna de giroesta en el punto mas bajo de su trayectoria. En el apoyo de talon ambas caderas seigualan en altura, lo cual es imprescindible para que el concepto de simetrıa en elpaso siga siendo valido. El algoritmo utilizado para producir el balanceo pelvico es:

Se extrae el valor mınimo de la altura de la cadera de la fase dinamica de apoyo(justo despues del apoyo del talon).Se calcula la diferencia del valor anterior con la altura de la cadera de la piernade apoyo en el instante que marca el final de la fase de doble apoyo. Ese es elvalor que marca el angulo maximo de balanceo pelvico.Un parametro de diferenciacion del paso (fbal pelvis) multiplica el valor anteriorpara exagerar o reducir el balanceo.Se interpola linealmente entre los valores anteriores para extraer la trayectoriacoronal de las caderas.

Por otra parte, existe un ultimo movimiento caracterıstico de la pelvis: eldesplazamiento lateral. Se produce en el plano coronal y su objetivo es transferirparte del peso del cuerpo hacia la pierna que se encuentra en cada momento enestado de apoyo. Asimismo, acercando el peso a la pierna de apoyo, es mas facilcontrarrestar el movimiento del cuerpo superior. De igual forma que en la rotacionpelvica, los puntos de inflexion del desplazamiento lateral se encuentran en la subfasede apoyo medio, en donde es maximo, y en el apoyo del talon donde toma elvalor cero (necesario para que la simetrıa de paso siga siendo valida). El valor deldesplazamiento lateral maximo se deduce a partir de la siguiente expresion:

dlat max = −0,00017241 · fp +1

6dlat pies + 0,001344

donde fp es la frecuencia del paso y dlat pies es la distancia entre pies que pondera eldesplazamiento lateral (este valor se determina segun un parametro de diferenciaciondel paso fanch paso, que es un factor proporcional a la anchura de la cadera l0).La dependencia del parametro de alto nivel fp asegura la concordancia con losestudios experimentales que indican que con un mayor numero de pasos por minutoel desplazamiento lateral se disminuye y, por lo tanto, el gasto energetico es mayor.

4.5.3. Cinematica de la propulsion pasiva

El perıodo de propulsion pasiva corresponde a la ultima fase de la dinamica de lapierna de apoyo. Sin embargo, como se ha optado por mantener el control dinamicoen una unica fase se simplifica el comportamiento fısico real y el peso y el controldel cuerpo se transfieren instantaneamente de la pierna en estado de propulsion ala nueva pierna de apoyo. Este perıodo coincide con la fase de doble apoyo, es decir,es posterior al instante del apoyo del tobillo de la otra pierna y en el se calculan lastrayectorias de los puntos de control a partir de la cinematica de la cadera.


Figura 4.40. Resolucion de la cinematica de la propulsion pasiva en el sistema de movimiento global

Figura 4.41. Resolucion de la cinematica de la pierna de giro en el sistema de movimiento global

4.5.4. Cinematica de la pierna de giro

El modelo cinematico de la pierna de giro, a diferencia del de apoyo, coincide conparte de las referencias y coordenadas del modelo dinamico, por lo que se utilizandirectamente sus expresiones. En particular las curvas temporales de los valores delos angulos θ3 y θ4 provienen de la dinamica de giro y solo es necesario un cambiode origen de la referencia angular.

Ademas, tal y como se resuelven las ecuaciones del movimiento a lo largo de lasdiferentes subfases de la dinamica de la pierna de giro, se introducen restriccionescinematicas en los restantes angulos del modelo, por lo que cinematica y dinamicase han resuelto a la par (figura 4.42).


Figura 4.42. Diagrama de la temporizacion de las subfases del modelo cinematico de la pierna de giro

La cinematica de la pierna de giro se reduce a completar el movimiento del pieen las diferentes subfases mediante la interpolacion lineal de θ5 y θ6 entre valorespredefinidos como parametros de diferenciacion del paso.

4.5.5. Cinematica del cuerpo superior

Figura 4.43. Resolucion de la cinematica del cuerpo en el sistema de movimiento global

La aportacion dinamica del cuerpo superior se restringe a un solido rıgido quese mueve hacia adelante y hacia atras para “balancear” las cargas y mantener unequilibrio “dinamico”.

El movimiento compensatorio de la columna vertebral y de los brazos, no seconsidera significativo para la dinamica del sistema, por lo que no se considera en elmodelo simplificado de θ2 de la pierna de apoyo. Sin embargo, la apariencia visualde una animacion del cuerpo humano es altamente dependiente del movimiento deltronco, brazos y cabeza (ver figura 4.44). En este sistema dichas tareas se confıan ala cinematica.


Figura 4.44. Visualizacion de la cinematica del cuerpo completo

El modelo cinematico del cuerpo superior recoge los principales conjuntosesqueleto-musculares del ser humano mediante una estructura jerarquica de 39segmentos que corresponden a todos los elementos que se encuentran por encima dela cadera. Como el cuerpo superior forma una sola estructura jerarquica, cualquiermovimiento en una vertebra lumbar, por muy pequeno que sea, afecta a todos loselementos que se encuentran por debajo en la cadena cinematica, como la cabeza olos brazos. Para su perfecta caracterizacion cinematica los elementos pueden ser asu vez agrupados en tronco, extremidades superiores y cabeza.

Tronco y cabeza. La columna vertebral es el elemento cinematico con un numero mayorde articulaciones y segmentos. Su morfologıa y funcionalidad se ha representado enla dinamica por la coordenada generalizada θ2 y el momento generalizado de fuerzaFθ2 . La articulacion de la columna con la pelvis mantiene al cuerpo superior erguidoy le proporciona un suave balanceo caracterıstico hacia atras y hacia adelante. Latorsion de la columna vertebral se ha simulado de manera que la pelvis rote paradisminuir el gasto de energıa.

Como ya se ha senalado, el modelo del cuerpo superior consta de: conjuntode vertebras lumbares, conjunto de vertebras toracicas del que “cuelgan” amboshombros y el conjunto de vertebras cervicales, en el que se articula la cabeza.Las vertebras lumbares son siete segmentos (lv lumb1 . . . lv lumb7), las toracicas doce(lv tor1 . . . lv tor12) y presentan diferentes longitudes, y finalmente, las vertebrascervicales tambien estan formadas por siete segmentos (lv cerv1 . . . lv cerv7).

Si la pelvis realiza un movimiento de giro, el cuerpo entero se moverıa sino fuerapor la accion compensatoria de todas las vertebras. En general, cada vertebra solopuede realizar movimientos de rotacion relativos a su segmento anterior.

En el plano sagital, las vertebras lumbares compensan de forma proporcional elmovimiento angular de θ2 para que no se transmita al resto del cuerpo.


En el plano transversal, las vertebras lumbares y las 7 primeras toracicascompensan proporcionalmente la rotacion pelvica (la ultima vertebra es el “puntode inflexion” y permanece casi en reposo). A partir de la vertebra toracica numero8 hasta la 12, estas vertebras giran en sentido contrario para compensar la rotacionde los hombros, que es menor y proporcional a la rotacion pelvica. Por ultimo,las vertebras cervicales compensan totalmente este ultimo movimiento para que lacabeza no experimente ningun giro y se mantenga siempre orientada segun el sentidode la marcha.

En el plano coronal, de nuevo son las vertebras lumbares las que compensan deforma proporcional el movimiento en este plano de la pelvis.

Extremidades superiores. El movimiento del tronco y los brazos esta relacionadoscon el movimiento de la cadera y las extremidades inferiores. En la formulacionde las ecuaciones del movimiento se desprecia la accion dinamica de los brazos,pero su inclusion en la fase cinematica es vital para completar una animacionde apariencia realista. Nuevamente, se interpolan de forma directa los valores deaquellos parametros de diferenciacion del paso que hacen referencia al movimientode los segmentos que constituyen las extremidades superiores: dos hombros quecuelgan de la ultima vertebra toracica, cada uno formado por un omoplato (l15) yuna clavıcula (l20) y de cada uno, se articula un brazo formado por los segmentosde brazo (l21), antebrazo (l22), palma de la mano (l23) y dedos de la mano (l24).

En el plano transversal los hombros (las clavıculas) giran en sentido contrarioy de forma proporcional a la pelvis (un 60 % segun el valor de frot hombro, que esuno de los parametros de diferenciacion del paso).

En el plano sagital, los brazos giran de forma proporcional al angulo que presentala articulacion de la cadera de la pierna opuesta. El factor que gobierna la proporciones un parametro de diferenciacion del paso, frot brazo, que normalmente toma elvalor del 80%. Como parametro de referencia se toma la coordenada generalizada θ1,cuyo movimiento, extraıdo de la dinamica, es mas adecuado que el que experimentadespues de “pasar” por la cinematica. Al movimiento anterior del brazo hay quesumarle un nuevo giro, el del antebrazo, ya que es posible observar que se produceuna flexion del codo durante los instantes finales del giro del brazo. Existen dosparametros de diferenciacion del paso que marcan el maximo y el mınimo de laflexion del codo: rmax codo, cuyo valor normal es de 35o, y rmin codo, cuyo valores 0. La flexion del codo comienza al final de la subfase 1 de giro (despues del maximoangulo de la pierna opuesta y, por lo tanto, del brazo) y termina en el apoyo deltalon.

En todos los casos los valores intermedios se interpolan de forma lineal desde losvalores conocidos de los extremos.


4.5.6. Proceso de inicio y fin de la locomocion

El sistema desarrollado, en su funcionamiento normal, es capaz de calcular lasposiciones de cada paso, incluso asumiendo cambios de aceleracion en la marcha, esdecir, incrementando o decrementando los parametros de un paso. Sin embargo, nocontempla los casos extremos de variacion de aceleracion que corresponden al inicioy al fin de la locomocion.

Para contemplar estos dos casos, se han incorporado modificaciones realizadas amedida, provenientes de observaciones experimentales. Asimismo se ha mantenidoun compromiso entre la salvaguarda de las caracterısticas dinamicas del sistema y laverosimilitud de la apariencia de ambas acciones, aunque ambas simulaciones tienencierto caracter de arbitrariedad que debera ser refinado en trabajos posteriores.

Simulacion del inicio de la locomocion. El inicio de la locomocion corresponde almovimiento de pasar del reposo (equiestacion) a dar el primer paso y se caracterizapor levantar, suavemente y desde el suelo, la pierna de giro, mientras la pierna deapoyo impulsa el cuerpo hacia delante. Para poder aprovechar la caracterizaciondinamica de la subfase 1 de la pierna de giro es necesario modificar algunos de losparametros que la gobiernan. El movimiento de la pierna de giro es el que sirve comoelemento de control de la puesta en marcha de la locomocion, y la accion principal dela dinamica de esta nueva subfase es “elevar y sustentar” al pie, en contraposicion asu funcionamiento normal, en la que se “arrastra” el pie para llevarlo por delante delcentro de masas del cuerpo, y lo proyecta hacia adelante para que en fases posterioresfinalice en la posicion adecuada al volver al suelo. Sin embargo, a pesar de que semodifican las condiciones de contorno, se sigue el mismo principio de trabajo que seutiliza en la formulacion general: bloquear cinematicamente el angulo de la rodillaen cada instante del calculo dinamico hasta que la cadera alcance la orientaciondeseada.

La diferencia en el modelado funcional consiste en no utilizar una curva polinomialpara restringir la trayectoria del tobillo, limitandose a mantener el movimientoascendente de la punta del pie en una recta vertical. Sin embargo, puede ocurrir unaexcepcion si el angulo de la cadera no ha conseguido alcanzar la orientacion debidaen el momento en que la rodilla y la punta del pie estan alineadas verticalmente. Enese caso es necesario que la punta del pie mantenga la posicion inferior respecto dela rodilla hasta el final de esta subfase “especial”, lo que se consigue incrementandode forma automatica el angulo de la cadera, θ3 y haciendo que la punta del pie semantenga en todo momento en la misma vertical que la rodilla. De esta manera, sepermite la inicializacion normal de la subfase 2 de la pierna de giro.

Simulacion del final de la locomocion. El final de la locomocion corresponde al procesode detenerse por completo disminuyendo el tiempo y recorrido del ultimo paso. Esteperıodo se caracteriza por la bajada de la pierna de giro hasta que el pie esta paraleloal de la otra pierna y en contacto con el suelo. Para la simulacion del ultimo paso


de la marcha tambien es necesario ajustar la temporizacion de las fases dinamicasde la pierna de giro. Como en este caso la distancia que recorre el pie de giro hastareposar paralelamente al lado del otro pie es sensiblemente inferior, las subfases depropulsion de la pierna de apoyo se reducen exactamente a la mitad de su tiempocaracterıstico y la subfase 1 de la pierna de giro se extiende hasta el final del perıodode tiempo de giro.

La subfase 1 de giro se debe modificar para ser dividida en dos:

En un primer momento la orientacion final del angulo de la cadera es la necesariapara que la rodilla se encuentre en la vertical con la punta del pie y a la mismaaltura que el pie de apoyo.Una vez alcanzado el final del perıodo de tiempo de giro de la subfase 1, elpie se hace descender en lınea recta hasta el suelo al final del perıodo de giro,bloqueando cinematicamente el angulo de la rodilla y teniendo cero como valorfinal del angulo de la cadera.

4.6. Calculo de fuerzas y momentos netos en las articulaciones

Figura 4.45. Calculo de momentos netos en el sistema de movimiento global

En las articulaciones de un sistema musculo-esqueletal estan activas tres tipos defuerzas: las fuerzas en tendones y musculos, las fuerzas de contacto y las fuerzasde los ligamentos. Por conveniencia, las fuerzas de los ligamentos y las de contactofrecuentemente se combinan en las fases de modelado y calculo para formar las fuerzay momentos de fuerza netos o resultantes.

Las fuerzas y los momentos de fuerza netos en las articulaciones sonexpresiones “simplificadoras” que reflejan el comportamiento global de las complejasinteracciones entre huesos, ligamentos y musculos. Estos valores se obtienen


normalmente mediante dinamica inversa a partir de los datos provenientes de larotoscopıa (desplazamiento, orientacion, velocidad y aceleracion) de cada una de laspartes del cuerpo analizadas en los laboratorios de estudio del paso. En cambio, enel sistema MOBiL estos mismos datos se obtienen directamente a partir del modelocinematico anteriormente presentado.

Las fuerzas y momentos de fuerza netos son una vıa de entrada para laimplementacion del modelo musculo-esqueletal del sistema MOBiL. Estos patronesson necesarios para calcular los valores de fuerza de los musculos que “atraviesan”una articulacion.

En este apartado se presenta, como la ultima “fase” del sistema de locomocion,en primer lugar, el fundamento teorico de la determinacion de momentos yfuerzas resultantes entre segmentos y, posteriormente, el metodo propuesto parasu obtencion.

4.6.1. Determinacion de momentos y fuerzas resultantes entre segmentos

En general, las fuerzas que actuan sobre un modelo de segmentos rıgidosinterconectados (como es el propuesto en la fase dinamica previa) son las siguientes[Win90]:

Fuerzas de gravedad: actua empujando hacia abajo el centro de masas de cadasegmento y es igual a la magnitud de la masa por la aceleracion debido a lagravedad (normalmente 9.8 m/s2).Fuerzas externas o de reaccion del suelo: se miden por medio de transductores yse representan como vectores que actuan en un punto, normalmente en el “centrode presion”.Fuerzas de musculos y ligamentos: El efecto neto de la actividad muscular enuna articulacion se calcula en terminos de los momentos netos de los musculos,los cuales incluyen las fuerzas ejercidas por los musculos antagonistas, los efectosde friccion en las articulaciones o la friccion dentro del musculo. Los momentosgenerados por las estructuras pasivas, como los ligamentos, se tienen que sumar orestar de los momentos generados por los musculos. Sin embargo, la contribucionde los tejidos pasivos es imposible de determinar cuando el musculo esta activo.

Debido a la complejidad que presenta la resolucion de estos modelosinterconectados si se consideran a la vez todos los segmentos que componen el cuerpohumano, se suelen utilizar los denominados “Diagramas de Cuerpo Libre” (Free-Body Diagrams) para sistematizar los calculos [BF50]. El modelo articulado originalse divide en partes, segun los segmentos que lo componen (ver figura 4.46).

Normalmente la separacion en segmentos se hace en las articulaciones de formaque en el diagrama de cuerpo libre resultante se puedan ver las fuerzas que actuan encada articulacion. Este procedimiento permite trabajar con cada segmento y calculartodas las fuerzas de reaccion en las articulaciones, desconocidas, ya que, de acuerdo


Figura 4.46. Relacion entre el modelo de segmentos interconectados y el diagrama de cuerpo libre

a la 3a ley de Newton, existe una fuerza igual y opuesta en cada articulacion delmodelo.

La determinacion de las fuerzas y los momentos entre los segmentos basandose endatos cinematicos requieren las solucion del problema dinamico inverso [CB81], talcomo se observa en la figura 4.47. La derivacion de las ecuaciones de movimientopueden basarse en formulas Newtonianas o Lagrangianas [And95].

Figura 4.47. Relacion entre la cinematica, la cinetica y los datos antropometricos y las fuerzas, momentos, energıas ypotencias usadas como solucion inversa de un modelo de segmentos interconectados

La solucion mas simplificada es aquella que asume que los efectos cinematicosson despreciables, permitiendo analisis “casi-estatico”. El equilibrio estatico es lacondicion en la cual un cuerpo esta en reposo y las fuerzas y momentos internos y


externos se encuentran balanceados. Es necesario mantener equilibrio de rotacion ytraslacion para cada segmento del cuerpo. Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrioestatico para cada segmento del cuerpo son:∑

F = 0∑M = 0

Sin embargo, para situaciones dinamicas, el cuerpo puede modelarse por unnumero de segmentos rıgidos, en movimiento, interconectados en las articulaciones.Si se conocen las historias de desplazamientos, las propiedades de masa de lossegmentos, y las fuerzas externas aplicadas, entonces es posible determinar losmomentos y las fuerzas entre segmentos que actuan en la extremidad, aplicandolas ecuaciones de movimiento del sistema segun la 2a ley de Newton. Este es el casodel presente trabajo.

4.6.2. Momentos y fuerzas netos intersegmentales en MOBiL

Por las propias caracterısticas del sistema de simulacion propuesto, hasta estemomento, no habıa existido la necesidad de calcular los valores de fuerza y momentosde fuerza netos que se producen en las articulaciones, ni los valores de fuerzas ymomentos de reaccion que se producen en el contacto del pie con el suelo. Sinembargo, estos valores son importantes para validar el comportamiento fısico delsistema.

Conceptualmente el metodo utilizado es equivalente a la utilizacion de dinamicainversa en los laboratorios del paso, salvo que en este caso los datos cinematicosprovienen de la simulacion en vez de hacerlo desde un sistema de rotoscopıa.Las resultantes intersegmentales de fuerzas y momentos se determinan mediantedinamica inversa basandose en estos valores, en los valores de masa e inercia de lossegmentos del cuerpo y en las fuerzas externas. Ademas se incorporan directamentealgunos valores de fuerzas extraıdos de la fase dinamica de MOBiL (como el modelodinamico es extremadamente simple no contempla, por ejemplo, las articulacionesde la rodilla y el tobillo en la pierna de apoyo).

Para ilustrar el metodo se aplica en primer lugar al modelo dinamico de la piernade apoyo. En la figura 4.48 se puede observar los FBD (Free Body Diagram) delcuerpo superior y de la pierna telescopica.

A partir de cada uno de los diagramas FBD de los diferentes segmentos se planteanlas ecuaciones de la 2a ley de Newton de la dinamica de solidos rıgidos, en este casoen un unico plano, el de avance de la locomocion (ver ecuacion 4.16).∑−→

Mi =Ii−→αi (4.16)∑−→

Fi =mi−→ai


Figura 4.48. Free Body Diagram del cuerpo superior y de la pierna telescopica

donde−→Mi es el momento de fuerza, Ii el momento de inercia, −→αi la aceleracion

angular,−→Fi es la fuerza, mi la masa y −→ai es la aceleracion, para cada segmento i.

Si se desarrolla el sistema de ecuaciones anterior (ecuacion 4.16) para el cuerposuperior (i = 2), con las mismas variables espaciales que las utilizadas en el modelodinamico (ver figura 4.20), se plantean las tres siguientes ecuaciones:

Mca + Fcayr2 sen θ2 + Fcaxr2 cos θ2 = I2θ2

Fcay − m2 g = a2y m2 (4.17)

Fcax = m2 a2x

donde Mca es el momento neto de la cadera y Fca es la fuerza neta sobre laarticulacion.

En este caso se tienen como incognitas Fcax , Fcay y Mcay con lo que, al disponerde un numero igual de ecuaciones, estas se pueden resolver de forma directa.

Para el segmento i = 1 que corresponde a la pierna de apoyo telescopica, se tiene:

Msuelo − Mca + Fsueloyr1 sen θ1 + Fsueloxr1 cos θ1+

+ Fcax(ω − r1) cos θ1 + Fcay(ω − r1) sen θ1 = I1θ1

Fsueloy − m1 g − Fcay = a1y m1 (4.18)

Fsuelox − Fcax = m1 a1x

donde Msuelo es el momento neto que produce el suelo, como reaccion al momentoneto que produce el pie, de la misma forma que Fsuelo es la fuerza neta de reaccion.

Introduciendo el valor de las variables de la cadera cuya solucion ya se conoce,quedan tres incognitas: Msuelo, Fsuelox y Fsueloy para el mismo numero de ecuaciones,de forma que su resolucion es directa.


Es importante resaltar que, aunque en el modelo dinamico se obtienendirectamente los valores de Fθ1 , Fθ2 , Fω a lo largo del tiempo, en este caso nose deben incluir ya que corresponden a Fuerzas y Momentos de Fuerza “externos yaislados” aplicados a cada segmento. De hecho, su accion se encuentra presente enlos valores de aceleracion, lineal y angular, que experimentan ambos segmentos y,desde ese punto de vista, estan incluidos en la expresion de los momentos de fuerzay fuerza netos que se pretenden obtener. Como resumen, se puede afirmar que sehan sustituido las expresiones “ad hoc” (pero muy funcionales) correspondientesa Fuerzas y Momentos de Fuerza externos aplicadas a cada segmento por separado(Fθ1 , Fθ2 , Fω) por expresiones comunmente aceptadas en Biomecanica que respondena la interaccion neta entre segmentos y con el suelo (Fca, Fsuelo, Mca y Msuelo).

El mismo metodo, pero con mayor complejidad se plantea para calcular todaslas fuerzas y momentos de los segmentos y articulaciones del modelo esqueletalsusceptibles de ser utilizados en el calculo posterior de los valores de fuerza muscular.En la figura 4.49 se puede observar los FBD del cuerpo superior y de los segmentoscorrespondientes al femur, al conjunto tibia-perone y al pie.

Figura 4.49. Free Body Diagram de la pierna de apoyo

El modelo de segmentos articulados que se utiliza es equivalente al de la fasecinematica y los momentos netos de las articulaciones se trabajan por separado,segun las diferentes fases del ciclo de locomocion planteadas en el sistema desimulacion anteriormente expuesto.

El momento y fuerza resultante entre segmentos se puede considerar que actua enel extremo proximal y distal de cada segmento del cuerpo. Estos momentos y fuerzas


son los efectos cineticos netos que los segmentos consecutivos tienen entre ellos.Es necesario senalar que estas resultantes entre segmentos son cantidades cineticasconceptuales que no necesariamente estan fısicamente presentes en una estructuraanatomica simple. En cambio, las fuerzas y momentos resultantes representan elvector suma de todas las fuerzas en la estructura anatomica y el vector suma detodos los momentos producidos por esas fuerzas. En este caso, el valor resultante delos momentos y fuerzas netos de la cadera son exactamente iguales al modelo massimple de la pierna telescopica, previamente calculado. Las fuerzas y los momentosde fuerzas netos en las articulaciones de la rodilla y el tobillo se calculan de formasimilar.

Por ultimo, el problema de calcular las fuerzas que actuan realmente dentro de lasarticulaciones se puede pensar como un problema de distribucion. Dicho problemaes el punto de arranque de la fase musculo-esqueletal que se detalla en el siguientecapıtulo (seccion 5).

4.7. Validacion de la fase esqueletal

La validacion de la fase esquletal del sistema MOBiL se establece verificando susresultados por comparacion con datos experimentales. Para verificar el conjuntode resultados se han realizado comparativas de los principales indicadores duranteun ciclo de locomocion. Los indicadores corresponden a funciones temporales querepresentan el comportamiento de las principales articulaciones segun valores degeometrıa, fuerza o momento de fuerza. Todas estas funciones elegidas comoreferencia se corresponden a patrones de funcionamiento comunmente utilizados(y aceptados) en la Biomecanica

En todos los casos de los proximos apartados, las graficas se corresponden a losresultados de MOBiL simulando a una persona de 80 kg de masa y 1.80 m de alturay de complexion normal, caminando con una velocidad, longitud y cadencia de pasonatural, en este caso, a 5 km/h, 0,77 m de paso y 107,6 pasos/minuto.

4.7.1. Comparacion de variaciones angulares

En primer lugar se presentan comparativas de los patrones de variacion angularesde las principales articulaciones que intervienen durante un ciclo de locomocion.

Las figuras 4.50, 4.51 y 4.52 presentan comparativas con datos experimentales[Win87] de los patrones temporales de los angulos de las articulaciones de la cadera,rodilla y tobillo, respectivamente. Se puede observar una clara similitud entre loslımites superior e inferior, los intervalos de crecimiento y las pendientes, por lo que seconsidera que la geometrıa y el movimiento del sistema simulado estan muy cercanosa la realidad.


Figura 4.50. Comparacion entre los valores angulares de la cadera obtenidos de la simulacion y de datos experimentales

Figura 4.51. Comparacion entre los valores angulares de la rodilla obtenidos de la simulacion y de datos experimentales

Figura 4.52. Comparacion entre los valores angulares del tobillo obtenidos de la simulacion y de datos experimentales

4.7.2. Comparacion de valores de fuerzas

Con la vista puesta en la fase siguiente, es importante validar los resultados defuerza neta de las articulaciones segun datos experimentales. Una de las magnitudesimportantes en Biomecanica es la fuerza de soporte, que es producida por el suelosobre el pie durante la fase de apoyo. La fuerza de reaccion vertical del suelo se miderutinariamente en los laboratorios del paso y su forma para un paso normal es muyconocida. Se puede observar en la figura 4.53 que este patron de fuerza presentados maximos cuya magnitud es cercana al valor del peso del cuerpo (en este casoel valor es de 80 kg x 9, 8 m/s2 = 800 Newtons). La grafica experimental [Whi03]


esta normalizada respecto al peso del cuerpo y aunque corresponde a una mujer de55 kg caminando a una velocidad de 1,7 m/s y a 136 pasos/minuto, es un patroncomun en la locomocion humana.

Figura 4.53. Comparacion entre los valores de fuerza de reaccion del suelo obtenidos de la simulacion frente a datosexperimentales

4.7.3. Comparacion de valores de momentos

Por ultimo, es necesario verificar los momentos de fuerza netos de las articulacionessegun datos experimentales. En este caso se presenta el momento de fuerza neto dela cadera durante la fase de apoyo. A pesar del amplio rango de valores que presentade este patron (depende del sexo, parametros de locomocion y antropometrıa delindividuo) se puede observar en la figura 4.53 que ambas graficas presentan elmismo orden de magnitud y una clara similitud entre los intervalos de crecimientoy las pendientes, por lo que se considera que la dinamica subyacente del sistemasimulado se comporta de forma adecuada, muy cercana a los datos reales. La graficaexperimental [Whi03] esta normalizada respecto a la masa del cuerpo y correspondea la misma locomocion de la grafica anterior.

4.8. Conclusiones

En este capıtulo se ha presentado la implementacion del primer modulo delsistema MOBiL. Dicho modulo no solo permite animar los diferentes segmentos yarticulaciones de un modelo de cuerpo humano caminando, sino tambien calcular susvalores cinematicos y dinamicos sin necesidad de utilizar los complejos dispositivosde los laboratorios especializados en el analisis del movimiento [BRS03].

La comparativa entre los datos obtenidos en los laboratorios por medio delequipamiento medico y los datos obtenidos por el sistema de software se puedeobservar en la Tabla 4.1.


Figura 4.54. Comparacion entre los valores de Momento de fuerza neto en la articulacion de la cadera, obtenidos de lasimulacion frente a datos experimentales

Datos Experimentales Datos en MOBiL

Fuerzas de Reaccion del Suelo SI SI

Actividad Muscular (EMG) SI Patrones de Fuerzas

Medidas Antropometricas SI Tabla de medidas parametricas

Tablas Estadısticas

Captura de datos cinematicos SI NO

Modelado del esqueleto SI SI, tres niveles:

pierna de apoyo y cuerpo dinamico

Calculos en 3D SI Dinamica en 2D

Visualizacion Cinematica 3D

Metodo de Resolucion Ecuaciones Dinamica Inversa Ecuaciones Dinamica Directa Root Finding

Fuerzas de Reaccion de las Articulaciones SI Articulacion de la cadera

Todas las articulaciones Articulacion del tobillo

(ambas en la fase de apoyo)

Momentos de fuerza en las articulaciones SI Cadera (ambas fases)

en todas las articulaciones Rodilla (fase de giro)

HAT (Cabeza, Brazos, Tronco) en fase de apoyo

Diferencias fısicas entre los individuos NO SI

Tabla 4.1. Comparacion entre la obtencion experimental de datos y la obtencion de datos en MOBiL

Dichos datos cinematicos y dinamicos se han validado en las figuras 4.50, 4.51, 4.52,4.53 y 4.54, y se observa un alto grado de correspondencia con los datos obtenidosde manera experimental.

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5Simulacion de la deformacion local delmusculo: Fase musculo-esqueletal

5.Simulacion de la deformacion local del musculo: Fase musculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.1.Modelos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.2.Modelos basados en la fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.1.3.Modelos hıbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.4.Reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomocion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.2.1.Metodos experimentales de obtencion de fuerzas musculares . . . . . . 1495.2.2.Analisis funcional de las acciones musculares durante la locomocion 150

5.3. Descripcion del sistema de deformacion local del musculo . . . . . . . . . . . . 1535.4. Modelo basado en lıneas de accion: Introduccion de musculos en el

modelo esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4.1.Distribucion de fuerzas musculares en las articulaciones . . . . . . . . . . 1545.4.2.MOBiL: Implementacion del modelo de lıneas de accion muscular . 157

5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones locales de los musculos1645.5.1.Formulacion matematica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.5.2.Formulacion por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.5.3.MOBiL: Implementacion del sistema de deformaciones . . . . . . . . . . 171

5.6. Validacion de la fase musculo-esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

137

Simulacion de la deformacion local delmusculo: Fase musculo-esqueletal

En el capıtulo anterior se han estudiado y simulado los movimientos dediferentes partes del cuerpo durante cada una de las fases del ciclo delocomocion humana. En el marco de este movimiento global del cuerpo secircunscribe el trabajo que se desarrolla en este capıtulo: la simulacion delas deformaciones locales de los musculos (ver figura 5.1).

Figura 5.1. Fase musculo-esqueletal del Sistema MOBiL

Para abordar este tema, en primer lugar se presenta un estado del artede las tecnicas que permiten simular objetos deformables, centrado en lostrabajos relacionados con los organos y los musculos. De entre todos ellos,el sistema MOBiL utiliza el metodo de elementos finitos (FEM) por ser latecnica de modelado que mejor responde a los objetivos generales de estetrabajo: verosimilitud en el movimiento y en la forma. Este metodo basadoen la fısica requiere del calculo previo del patron de fuerza muscular. Esta

139

140 Capıtulo 5: Simulacion de la fase musculo-esqueletal

necesidad es la que gobierna los siguientes apartados de este capıtulo: elestudio de la actividad funcional de los musculos durante la locomocion yla formulacion un modelo, denominado de lıneas de accion muscular, quees el modelo de bajo nivel necesario para condicionar adecuadamente elmodelo FEM final. La ultima parte del capıtulo se reserva a la formulacionmatematica del modelo FEM, utilizado para representar el musculo y susdeformaciones, el metodo de resolucion seleccionado para este problema y ladescripcion del modelo desarrollado. Este capıtulo finaliza con la conclusionde que el encadenamiento de los dos modelos musculo-esqueletales permiteque el sistema MOBiL simule deformacion local muscular en coordinacioncon el movimiento global del cuerpo durante la locomocion.

5.1. Deformaciones musculares: Estado del arte

En el mundo de la Informatica Grafica, los objetos “no rıgidos” han sido estudiadospor mas de dos decadas [GM97] [BGS02] en gran variedad de aplicaciones. Estasaplicaciones abarcan areas muy diversas, desde el diseno asistido por ordenador[GP89] [Far90], donde los objetos “deformables” se utilizan para crear y editarcurvas, superficies y solidos, hasta el diseno de ropa [Wei86] [NG96], donde se utilizanpara simular pliegues y arrugas en los tejidos, o el analisis de imagenes [MT96], dondese utilizan para segmentar imagenes y hallar aquellas curvas (o superficies curvas)que se adecuan a un determinado contorno.

En el area de la animacion por ordenador, los modelos deformables se hanconsiderado especialmente en la simulacion del movimiento de la ropa [KG90][MTY91] [Rob98] [TWZC99], las expresiones faciales [Wat87] [MTPT88] [Rob98][WKMMT99] y en la representacion y movimiento tanto de animales [Wil95] [Wil97][Ng 01] como de seres humanos [CHP89] [Tur95]. Finalmente, los sistemas deentrenamiento y simulacion en cirugıa virtual utilizan estos modelos para representarel comportamiento fısico de los diferentes tejidos, musculos y organos [BNC96][CDA99] [CDA00] [KCM00].

Las tecnicas que se utilizan para el modelado de las deformaciones de los objetosvarıan desde los metodos puramente geometricos, donde se ajustan manualmentepuntos de control o parametros para editar y manipular la forma, a metodos basadosen la mecanica de medios continuos, en la que se consideran los efectos de laspropiedades de los materiales, las fuerzas externas y las restricciones de entornosobre la deformacion de los objetos.

Debido a la gran profusion de investigaciones en las diferentes aplicaciones,la clasificacion de las tecnicas utilizadas en los modelos deformables se realizaconsiderando solo el area que es objeto de estudio en este trabajo: el modelado de lasdeformaciones producidas en los organos y, mas especıficamente, en los musculos.Desde este punto de vista, las tecnicas matematicas y computacionales utilizadaspara modelar los objetos deformables se suelen agrupar de acuerdo a la siguienteclasificacion:

Capıtulo 5: Simulacion de la fase musculo-esqueletal 141

Modelos geometricosModelos basados en la fısicaModelos hıbridos

5.1.1. Modelos geometricos

Los modelos geometricos se centran en la apariencia de la deformacion y se basanen representar la forma del objeto por medio de ecuaciones geometricas. Al nobasarse en ningun principio fısico, el resultado final suele depender de la habilidad deldisenador. Sin embargo, una de las ventajas que presentan los modelos geometricoses su eficiencia computacional.

Deformaciones de Forma Libre. Las Deformaciones de Forma Libre (Free FormDeformations - FFD) son un metodo general que permite deformar objetosmodificando la forma del espacio en el que se encuentra embebido dicho objeto[SP86], en lugar de ajustar puntos de control individuales. Esta tecnica se puedeaplicar a diferentes representaciones graficas incluyendo planos, cuadricas o parchesparametricos, tanto de manera local como global [Bar84]. El uso de las FFD permiteconseguir un buen resultado cuando se realizan deformaciones de objetos en 3dimensiones y se animan utilizando tecnicas de interpolacion de las posiciones delos puntos de control. Sin embargo, no es posible realizar determinadas accionescomo mezclas (blending) o particiones (filleting). Asimismo, la creacion de contornoscurvos arbitrarios suele ser una tarea difıcil. Para superar las limitaciones de las FFDbasicas se proponen varias ampliaciones [Coq90] [CJ91] [HHK92].

En el trabajo de Kalra et al. [KMTT92] se desarrolla un metodo de Deformacionesde Forma Libre “Racionales” (RFFD) para simular la accion de los musculos de lacara en las expresiones faciales. La ventaja de las FFD Racionales es que proveenun mayor grado de libertad a la hora de manipular las deformaciones utilizandoy modificando pesos en los puntos de control. Cuando dichos pesos son iguales ala unidad, las deformaciones son equivalentes a las obtenidas por medio de FFDbasicas.

En un trabajo mas reciente se presenta un metodo multi-capa para el modelado dedeformaciones, en el que utilizan Deformaciones de Forma Libre de Dirichlet (DFFD)para representar la capa intermedia entre el esqueleto y la piel en la simulacion delmovimiento de las manos [MMT97]. Esta tecnica combina las FFD tradicionalescon las tecnicas de interpolacion de datos dispersos basadas en la triangulacion deDelaunay y los diagramas de Dirichlet/Voronoi.

Superficies Implıcitas. En muchos casos, los modelos geometricos suelen utilizarsuperficies implıcitas como “primitivas de construccion” que permiten modelary animar formas complejas. Las formas finales se construyen por composicionde primitivas y las superficies resultantes cambian de forma a medida que las


primitivas se mueven y deforman. La principal ventaja de este metodo es que sebasa en algoritmos simples y los resultados visuales que se obtienen suelen serbuenos. Algunas superficies implıcitas como los “blobs” [Bli82], las “superficies deconvolucion” [BS91] o los “objetos blandos” [WMW86] han recibido gran atencionen el campo de la Informatica Grafica.

En el caso del modelado de la musculatura humana es comun utilizar superficiesimplıcitas definidas por elipsoides, ya que estos aproximan relativamente bien laapariencia de los musculos fusiformes [SPCM97] [Wil97]. En [Wil95] se modelany animan animales utilizando huesos y musculos individuales, tejidos blandos ypiel. En ese caso, los musculos estan representados como una combinacion de treselipsoides (dos tendones y un musculo entre ellos). A pesar de su simplicidad,los elipsoides no permiten representar muchas de las formas de los musculos. Porello, posteriormente, los mismos autores [WV97] extienden su trabajo a un modelobasado en la anatomıa donde los musculos se representan por medio de cilindrosdeformables discretizados que yacen entre puntos fijos de orıgenes e inserciones enhuesos especıficos (ver figura 5.2). Considerando tambien un modelo basado en laanatomıa, en [SPCM97] los musculos se representan por medio de un conjunto deelipsoides posicionados a lo largo de dos curvas Spline. En este trabajo la flexion yel aumento de la musculatura se simula relacionando los grados de libertad de cadaelipsoide con los grados de libertad de las articulaciones del esqueleto subyacente.

Figura 5.2. Representacion muscular por medio de un cilindro generalizado [WV97]

[Tur95] desarrolla un sistema para construir y animar caracteres tridimensionalesbasandose en un modelo de capas de superficies elasticas. Los musculos se modelanpor medio de superficies implıcitas deformables (cuyas primitivas son esferas,cilindros y superelipses) en las cuales no puede penetrar la piel. La deformacion delos musculos se simula considerando parametros de deformacion global relacionadoscon los valores que toman los angulos de las articulaciones involucradas.

Tambien Shen [She96] implementa un modelo multi-capa similar para larepresentacion de huesos, musculos y tejidos blandos. En este caso utiliza esferoidesy metaballs elipsoidales [ST95] para el diseno interactivo de cuerpos humanos y lasimulacion de su movimiento.


5.1.2. Modelos basados en la fısica

Los modelos basados en la fısica se basan en principios fısicos para obtenerapariencia realista en fenomenos fısicos complejos que son imposibles de modelarmediate tecnicas puramente geometricas. La simulacion por medio de estos modelosincluye la discretizacion geometrica y temporal de las relaciones que describen elfenomeno fısico (ver figura 5.3).

Figura 5.3. Pasos de los modelos basados en la fısica

Modelos masa-muelle. Los modelos masa-muelle se caracterizan por representar losobjetos como una malla o coleccion de puntos de masa interconectados mediantemuelles y amortiguadores. En la mayor parte de las aplicaciones los muelles suelenestar sujetos a fuerzas lineales, aunque tambien es posible trabajar con muelles nolineales para representar tejidos cuyo comportamiento es inelastico. El movimientode cada punto de masa de la malla esta gobernado por la 2a Ley de Newton yla animacion se logra integrando, en el tiempo, las ecuaciones diferenciales delmovimiento asociado a cada partıcula elemental del sistema.

Los modelos masa-muelle se han utilizado en numerosos trabajos relacionadoscon la animacion facial. Platt y Badler [PB81] desarrollan uno de los primerostrabajos en este area utilizando una version estatica de los sistemas masa-muelle.Las acciones musculares se representan aplicando una fuerza a una region particularde nodos, provocando ası un desplazamiento en los nodos adyacentes. Este trabajose extiende en [Wat87], donde el desplazamiento de los nodos en respuesta a lasfuerzas musculares se realiza dentro de “zonas de influencia” parametrizadas. En[TW90] se aplican sistemas masa-muelle dinamicos para la animacion facial. Paraello se trabaja sobre una cara generica representada por una malla de 3 capas enla que se consideran la dermis, una capa de tejido blando subcutaneo y la capamuscular. En trabajos posteriores estos autores generan los modelos faciales a partirde datos provenientes imagenes medicas [WT91] [Wat92] [TW93].

Holton y Alexander simulan deformaciones viscoelasticas por medio de una“estructura celular blanda” compuesta por un conjunto de puntos de masa y


conectores [HA95]. El sistema se utiliza para aplicaciones de cirugıa virtual en tiemporeal y en el se prioriza la minimizacion del tiempo de calculo.

Tambien en el area de la medicina, pero en este caso para su aplicacion en laensenanza, se utiliza un modelo masa-muelle para simular los movimientos de larespiracion humana [PBP96] [PBP97]. La superficie del objeto se define por unamalla triangular y la evolucion de un objeto depende de las fuerzas (internas yexternas) que inducen el movimiento actuando sobre los puntos de masa. El metodopresentado permite controlar el volumen de los objetos durante su evolucion.

El sistema de simulacion para entrenamiento quirurgico KISMET, desarrolladoen [KKKN96] permite simular las deformaciones que sufren organos y musculosutilizando un modelo masa-muelle. A pesar de que, en principio, usan modelosde superficies, introducen comportamiento volumetrico agregando nodos vecinosinteriores que conectan con los nodos del lado opuesto del objeto.

Mas recientemente, [BMG99] desarrolla un sistema que permite, de formainteractiva, realizar cortes en un tejido blando para la simulacion quirurgica. Elmodelo masa-muelle que simula la fısica del sistema incluye la deteccion de colisionesentre el escalpelo virtual y el tejido.

Medios continuos. Metodo de Elementos Finitos. El metodo de los elementos finitos(FEM) trata a los objetos deformables como un medio continuo, dividiendo al objetoen un conjunto de elementos y aproximando la ecuacion de equilibrio o movimientosobre cada elemento. Los objetos se deforman en funcion de las fuerzas que actuansobre el y de las propiedades de los materiales que lo forman. Ademas, para losproblemas de animacion es necesario considerar el movimiento del objeto, por locual hay que incluir en el modelo los efectos de las fuerzas inerciales del cuerpo yla disipacion de la energıa a traves de las fuerzas de amortiguamiento, dependientesde la velocidad. De este modo, se obtiene una ecuacion diferencial de segundo ordenpara el desplazamiento de los nodos y el sistema dinamico se resuelve por medio deintegracion numerica.

MU + CU + KU = F

donde M , C y K son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez delobjeto, respectivamente, F es el vector de fuerzas aplicadas y U es el vector dedesplazamientos.

La principal desventaja de este metodo es su alto requerimiento computacional.Por ello, generalmente se asume que el objeto esta sujeto a pequenas deformaciones,evitando la reevaluacion de los vectores de fuerza y las matrices de rigidez, masa yamortiguamiento a medida que el objeto se deforma.

[GTT89] aplica el FEM para modelar la interaccion entre un objeto deformabley el tejido blando que la mano de un ser humano. Dicha interaccion se anima pormedio de una formulacion dinamica, con elementos en 3D.

En [PRZ92] se utiliza este metodo para modelar la piel en un sistema de cirugıaplastica facial. Las superficies del craneo y la piel se extraen de imagenes CT, y solo


se visualizan dichas superficies, reduciendo considerablemente el numero de nodos atratar. El sistema resuelve las ecuaciones de equilibrio del problema elastico linealutilizando un metodo estatico basado en desplazamientos. En [KGPG96] tambien sedesarrolla un metodo de elementos finitos para modelar el tejido facial considerandosolo caso estatico. A pesar de que el artıculo explica la teorıa para el desarrollo delcaso no lineal, solo se presentan resultados de la implementacion lineal.

En los trabajos presentados por Bro-Nielsen y Cotin [BNC96] se aplicanelementos finitos para modelar las deformaciones del tejido humano durantesimulaciones quirurgicas. Para obtener resultados en tiempo real utiliza la tecnica de“condensacion”, que comprime las matrices del sistema volumetrico reduciendolo aun sistema de superficies. Sin embargo es difıcil obtener una alta calidad de imagena la resolucion que trabajan. Los metodos utilizados por estos autores en diversostrabajos [BN96] [CDA99] mejoran la velocidad pero a costa de un pre-procesamientoconsiderable y reduciendo la flexibilidad de aquellos objetos cuya forma o topologıacambian significativamente.

Para simular las deformaciones musculares en [ZCK98] se presenta un modelobasado en voxels que permite, por medio de elementos finitos, la resolucion estaticay dinamica del sistema. La malla de voxels se construye de manera jerarquica,permitiendo aproximaciones volumetricas del musculo a diferentes resoluciones.Sin embargo, cuando es necesario obtener formas suaves el numero de voxels seincrementa y los requerimientos computacionales se convierten en prohibitivos. Losdatos de los musculos se obtienen del Visible Human Project [Vis].

Kuhnapfel et al. extienden el trabajo realizado en el simulador quirurgicoKISMET, para que permita realizar simulaciones de cortes, suturas, aplicacion declips, irrigacion del area de operacion, etc. Las deformaciones en este caso se modelanpor medio de un sistema de elementos finitos optimizado, usando condensacion[KCM00]. La visualizacion en tiempo real de los volumenes se logra en base atexturas.

Modelos continuos aproximados. A pesar de que los modelos aproximadostambien son continuos, no se basan estrictamente en las leyes fısicas como losmetodos de elementos finitos descritos anteriormente. Estos modelos se denominanaproximados porque ciertas cantidades fısicas, particularmente la energıa dedeformacion, se formulan para conseguir algoritmos eficientes o para lograr efectosdeterminados.

Uno de los metodos basado en la fısica mas conocidos en animacion porcomputador para la simulacion de deformaciones fue propuesto en 1987 porTerzopoulos et al. [TPBF87]. En su trabajo, plantea el uso de un modelo continuopara la energıa potencial debida a la deformacion del objeto. Este modelo sebasa en el calculo de formas fundamentales que representan la deformacion de unobjeto y que se calculan en cada punto aproximando por diferencias finitas, tecnicaampliamente utilizada en la discretizacion de modelos continuos. A diferencia del


modelo masa-muelle, este metodo se utiliza para calcular las fuerzas internas. Entrabajos posteriores, se generaliza la tecnica anterior para simular el comportamientode modelos inelasticos como la viscoelasticidad, la plasticidad y la fractura [TF88b][TF88a]. Esto se logra utilizando modelos mas elaborados para las fuerzas internasque resultan de la deformacion, dependiendo del comportamiento del material que seeste tratando. El modelo es fundamentalmente dinamico y contempla la aplicacionde fuerzas, restricciones y deteccion de obstaculos. Las simulaciones se realizanpor resolucion numerica de las ecuaciones diferenciales subyacentes, pero solo seobtiene tiempo real para objetos muy simples. En [DDCB01] se aplica el modelode aproximacion de medios continuos de [TPBF87], pero utilizando resolucionadaptativa de espacio y tiempo [DDBC99] para conseguir tiempo real. Este modelopermite la animacion de objetos deformables viscoelasticos en aplicaciones desimulacion quirurgica, como la laparoscopia del hıgado.

Otro metodo desarrollado en el area de los modelos continuos aproximados sonlos “snakes”, introducidos para resolver problemas de vision por ordenador yanalisis de imagen [KWT88]. Los snakes son curvas deformables que responden alas fuerzas internas del sistema y minimizan una funcion de energıa interna. Parasu resolucion numerica se discretizan en un conjunto de puntos a lo largo de lacurva parametrizada. La deformacion se simula utilizando tecnicas de integracionque minimizan la energıa total. Las derivadas en la ecuacion de la energıa secalculan utilizando diferencias finitas. En [CC93] se extiende el trabajo de [KWT88]a 3 dimensiones, utilizando una superficie deformable cilındrica para segmentarimagenes medicas del corazon obtenidas por resonancia magnetica. En el artıculo, sepresentan dos modos de resolver el problema de minimizacion de la superficie en 3D,definiendola como series de curvas planares en 2D. Sin embargo, finalmente se eligeel modelo de resolucion de elementos finitos sobre el de diferencias finitas debido asu estabilidad y velocidad de convergencia.

Basandose en los mismos conceptos, [Whi94] introduce los modelos deformablesvolumetricos, denominados active blobs en el trabajo, para su utilizacion ensegmentacion y visualizacion de una cabeza humana con un tumor, a partir dedatos provenientes de MRI y ultrasonido.

Tambien en los trabajos de [BN94] [BN95] se generalizan los snakes 2D a modelosvolumetricos, pero en este caso el objetivo no es solo segmentar y modelar, sinotambien simular las deformaciones en operaciones virtuales. En [BN95] se proponeun metodo para modelar tejido humano por medio de cubos activos o modelossolidos activos en 3D. Mediante estos cubos activos se modela la estructura y formadel objeto mientras que para cuantificar la forma de referencia con su deformacionse utiliza un tensor metrico. Este metodo se utiliza para la simulacion quirurgicacraneofacial.


5.1.3. Modelos hıbridos

Sin embargo, algunos autores apuestan por modelos hıbridos que permitanincorporar ventajas de diferentes tecnicas. A continuacion se exponen algunostrabajos basados en tecnicas hıbridas.

En [CZ92] se propone un metodo para simular la geometrıa y las propiedadesdel tejido muscular por medio de elementos finitos, modelando los musculos comomateriales homogeneos, lineales e isotropos. Para simplificar el analisis de elementosfinitos, el metodo se aplica sobre una caja prismatica que incluye al objeto y ladeformacion resultante se proyecta en el musculo siguiendo el principio de las FFD.Para mostrar el resultado de la simulacion utiliza un modelo anatomico del bicepshumano, donde se observa que la activacion del musculo produce un acortamientodel biceps (ver figura 5.4). Lamentablemente, en el modelo solo es posible trabajarcon un solo musculo, de manera aislada. Y debido a las limitaciones computacionalesen esos momentos, se utilizan muy pocos elementos para la simulacion.

Figura 5.4. Deformacion de los biceps [CZ92]

[CDA00] presentan tres metodos para modelar tejidos blandos basandose enelasticidad lineal. El primer metodo se basa en FEM cuasi-estatico con deformacionesprecalculadas pero no permite realizar cambios de topologıa en las mallas. El segundomodelo, denominado “tensor-masa”, se basa en la teorıa de medios continuos peropermite simular la dinamica de los tejidos blandos de manera similar a los modelosmasa-muelle, considerando la fuerza elastica aplicada a un nodo y permitiendorepresentar cortes y cambios en la topologıa de las mallas. Finalmente se proponeun modelo hıbrido que combina las dos tecnicas anteriores para su utilizacion en lasimulacion quirurgica. En el modelo se definen dos tipos de estructuras anatomicasdiferentes. Aquellas estructuras sujetas al procedimiento quirurgico y, por lo tanto,sujetas a cambios en su topologıa se modelan por medio del “tensor-masa”, mientrasque aquellas que solo se visualizan o deforman se modelan por medio del primermetodo.

Mas recientemente, en [TBNF03] se presenta un metodo denominado “Metodode Volumenes Finitos” (FVM) que utiliza la tecnica de elementos finitos, perobasandose en un entorno geometrico en lugar de variacional. El FVM permite


integrar las ecuaciones de movimiento de forma geometrica, compitiendo ensimplicidad con los modelos masa-muelle. Pero a diferencia de estos, permiteincorporar un modelo constitutivo arbitrario. De hecho, para simular los tejidoscontractiles de los musculos se utiliza un modelo constitutivo hiperelastico,transversalmente isotropo y casi incompresible.

5.1.4. Reflexiones

En base al estudio presentado sobre los distintos metodos de representar lasdeformaciones de los musculos, se infiere que para realizar simulaciones que permitanobtener calidad, hay que utilizar metodos basados en la fısica. De estos, se ha optadopor el metodo de Elementos Finitos ya que permiten modelar perfectamente lasdeformaciones locales, la distribucion de fuerzas internas a las que esta sometido unmusculo, y su movimiento, ademas, de permitir representar el interior de los objetosmediante el mallado volumetrico de los musculos.

A pesar de que este metodo presenta algunas desventajas como su elevado costecomputacional cuando se trabajan sistemas no lineales y grandes deformaciones,o que es necesario mallar los musculos cuyas geometrıas no son sencillas, esposible realizar ciertas “simplificaciones” que permitan evitar la re-evaluacion de lasmatrices y que reduzcan los tiempos de calculo. Por lo tanto, el metodo de elementosfinitos es la tecnica de modelado que mejor responde a los objetivos generales de estatesis: realismo en el movimiento y en la forma, y es la que se opta por implementarcomo modelo basico de calculo de deformaciones musculares del sistema MOBiL.

5.2. Fuerzas y acciones musculares en la locomocion

En las dos ultimas decadas, se han desarrollados numerosas tecnicasexperimentales y analıticas para medir y estimar las fuerzas a las que estan sometidaslas estructuras biologicas. Estas fuerzas pueden ser internas, como las fuerzasresultantes de la actividad muscular o la fuerza generada por el estiramiento detejidos blandos, o pueden ser externas, como las fuerzas de reaccion del suelo, fuerzasgeneradas por otras personas o cuerpos, etc.

El conocimiento de la magnitud y el tipo de cargas o fuerzas a las que estansometidas las articulaciones y los musculos es de gran importancia para prevencionde danos durante las diferentes actividades y, particularmente, en los deportes.Asimismo, el calculo de las fuerzas de las articulaciones y de los musculos internosofrece informacion importante a la hora de disenar implantes, en cirugıa o enprogramas de rehabilitacion.

Algunas de las fuerzas se pueden medir por medio de tecnicas experimentales,pero como hay determinados datos imposibles de hallar por medio de estas tecnicas,es necesario estimar el resto de las fuerzas, como las que se producen en los musculosy las articulaciones.


A continuacion, en primer lugar, se describen los valores de fuerzas que es posibleobtener sobre la locomocion humana con determinados metodos experimentales, yposteriormente, se presenta el estudio de la actividad funcional de los musculosdurante la locomocion.

5.2.1. Metodos experimentales de obtencion de fuerzas musculares

Existen varios metodos que permiten medir las fuerzas experimentadas por lasestructuras biologicas. Estos metodos se pueden clasificar segun se midan: (1)las fuerzas externas directamente, (2) las fuerzas internas a partir de senales deelectromiografıa, o (3) las fuerzas internas directamente.

Medicion de fuerzas externas. La forma mas simple de obtener las fuerzas que ejerce uncuerpo es por medio de mediciones externas, registrando las fuerzas que se producenen puntos de contacto entre el cuerpo y el entorno.

Entre los dispositivos mas comunes se encuentran las plataformas de fuerza, quepermiten medir las fuerzas de reaccion del suelo (Ground Reaction Forces - GRF )cuando una persona permanece de pie, camina o corre sobre la plataforma [Whi03].Estos dispositivos proveen medidas cuantificadas de la fuerza resultante de reacciondel suelo y del momento resultante en una articulacion dada. Lamentablemente,se ha demostrado que estas medidas no se puede utilizar directamente para elanalisis de los momentos de fuerzas en las articulaciones [Win90]. Sin embargo,como la trayectoria del centro de masas esta determinado por la historia de la fuerzaresultante de reaccion del suelo, este es un indicador importante en los estudios depatologıas de la locomocion [AP03].

Otras medidas cuantitativas como el centro de presion o la distribucion de lapresion que ejerce la planta de pie en contacto con el suelo, se pueden obtenermediante plataformas de presion [AB76] [Arc90] o zapatos de presion [HM95].La ventaja de estos dispositivos es que permiten trabajar con la totalidad del areade contacto del pie.

Las plataformas de vidrio (glass plates) permiten obtener informacion sobre lasfuerzas ejercidas por el cuerpo, con la ayuda de espejos o con una camara de vıdeoque permite grabar el reflejo de un haz de luz cuando el pie se apoya en el vidrio[Whi03].

Lamentablemente, los datos obtenidos por cualquiera de los dispositivos citadospreviamente proveen muy poca informacion acerca de los mecanismos internosdel cuerpo. En cambio, los dinamometros isocineticos [TE01] permiten medirmomentos musculares, trabajo, potencia y la velocidad y la resistencia en unmovimiento, detectando contracciones concentricas y excentricas del musculo. Pero,desafortunadamente estos dispositivos son muy grandes, y tienen una desventajaimportante: para tomar medidas es necesario que la persona este ubicada de unamanera especıfica dentro de la maquina, en una posicion estatica. Por lo tanto, es


imposible registrar informacion acerca de determinados movimientos como caminar,correr, saltar, etc.

Prediccion de fuerzas a partir de electromiografıa. La electromiografıa (EMG)es una tecnica que permite medir y grabar las senales electricas asociadas a unacontraccion muscular [Hof84], insertando electrodos directamente en el musculo oubicando dichos electrodos en la superficie de la piel, sobre el musculo. Los electrodosrecogen las diferencias de potencial electrico del musculo y despues pasan por unamplificador para poder visualizarlas en la pantalla de un osciloscopio. El tamano,la forma de la onda y el numero de fases otorgan informacion sobre la capacidaddel musculo de responder al estımulo nervioso. De este modo, es posible saber si unmusculo esta activo y la duracion de dicha actividad [Kom73]. Sin embargo, existenmuchas variables que pueden influir en la senal en un momento dado: la velocidad deacortamiento o estiramiento del musculo, la fatiga, la actividad refleja, etc. [Win90].Asimismo, se ha comprobado que, desafortunadamente, la relacion entre las senalesEMG y la fuerza muscular es extremadamente compleja [KBHZ98].

La simplicidad y el bajo coste del EMG motivan el uso de este tipo de metodos.Sin embargo, el metodo no es tan simple cuando se trata de obtener valores demusculos internos. Y, por otra parte, se ha comprobado que la relacion entre lassenales EMG y la fuerza muscular es extremadamente compleja [KBHZ98] ya quepuede estar altamente influenciada por el entorno donde se ha puesto la aguja.

Todos los metodos se suelen combinar con los metodos de captura de datoscinematicos, como goniometros, acelerometros, camaras sincronizadas de vıdeo,fluoroscopıa [KKM+03], . . . para lograr un analisis completo de la actividad musculardurante determinados movimientos del cuerpo humano.

Medicion directa de las fuerzas internas. La mejor manera de obtener las fuerzasproducidas por los musculos o ejercidas en los huesos, es incorporando un transductordirectamente a la estructura anatomica. Esta tecnica permite obtener las fuerzasimplantando el transductor quirurgicamente, ya sea en los huesos, para identificarmovimientos del sistema esqueletal, como en los tendones, para comprobar la fuerzaque ejerce un musculo determinado. Sin embargo, esta tecnica solo tiene aplicacionen experimentos con animales, y aun ası, solo en casos limitados [Win90]. De hecho,no hay sensores comerciales con estas caracterısticas, tanto por los impedimentos“eticos” como debido a la dificultad tecnica de desarrollar sistemas fiables y exactos.En el futuro, la microtecnologıa probablemente superara estos obstaculos, pero porel momento obtener informacion por este metodo es practicamente inviable [TE01].

5.2.2. Analisis funcional de las acciones musculares durante la locomocion

Durante la locomocion humana intervienen gran parte de los musculosesqueleticos, los cuales constituyen aproximadamente el 40 % del peso total del


cuerpo de una persona. Pero no solo los musculos de las piernas estan activos...La columna vertebral esta especialmente desarrollada para servir como soporte a laparte superior del cuerpo, permitir la movilidad y proteger a la espina dorsal. Paramantener la postura erecta de la columna, los musculos posturales estan contraıdospermanentemente durante la locomocion. El centro de gravedad de la parte superiordel cuerpo humano se encuentra delante de la columna vertebral, por lo que tambienlos musculos de la espalda estan activos, para evitar la inclinacion de cabeza yhombros. El peso del tronco y de las extremidades superiores se concentra en unpunto un poco por delante de la articulacion de la cadera, por lo que los musculosde las nalgas suelen estar activos, dependiendo del momento del ciclo de locomocion.Los musculos que mas participacion tienen en este proceso pertenecen a la pelvis ya las extremidades inferiores, y se pueden observar en la figura 5.5.

(a) Vista Anterior (b) Vista Posterior

Figura 5.5. Musculos de la pierna

El analisis completo de la actuacion de los musculos durante las diferentes fasesde la locomocion humana se detalla en el Apendice B. Las fases se corresponden conlas fases cinematicas previamente descritas en el capıtulo 4.

A modo de resumen, se presenta de manera grafica la actividad de los principalesgrupos musculares que intervienen en la locomocion, atendiendo a las diferenteszonas en las que actuan.

En la figura 5.6 se presentan los grupos que actuan en la parte inferior de lapierna: grupo pretibial y grupo trıceps sural. El grupo pretibial esta formado por:musculo tibial anterior, extensor largo del dedo gordo, extensor largo de los dedosy tercer peroneo. El grupo trıceps sural esta formado por el gastrocnemio, el soleoy el delgado plantar.


Figura 5.6. Actividad muscular en la parte inferior de la pierna

En la figura 5.7 se presentan los grupos que actuan en la parte superior de lapierna, y corresponden al muslo: grupo de los isquiotibiales y grupo cuadriceps. Elgrupo isquiotibial esta formado por el biceps femoral corto, el biceps femoral largo, elsemimembranoso y el semitendinoso. Mientras que el grupo cuadriceps esta formadopor el recto anterior, el vasto medio, el vasto lateral y el vasto intermedio.

Figura 5.7. Actividad muscular en la parte superior de la pierna (muslo)


5.3. Descripcion del sistema de deformacion local del musculo

Es objetivo de este trabajo conseguir coordinacion del movimiento general delcuerpo con el cambio local de forma de los musculos, de forma que se obtengauna animacion global, donde la forma y el movimiento se asemeje a la forma ymovimiento del cuerpo humano durante la locomocion.

La actividad muscular en la locomocion es un fenomeno bastante estudiado, yaunque existen modelos adecuados para describir tanto la magnitud como la lıneade accion de cada uno de los musculos, casi no es posible encontrar sistemas queaunen movimiento global con deformacion local. Para conseguirlo, en MOBiL se haintroducido actividad muscular en el modelo esqueletal desarrollado previamente,constituyendo ası la fase musculo-esqueletal del sistema.

Las condiciones de partida de esta fase son los momentos de fuerza netos de lasarticulaciones principales (cadera, rodilla y tobillo) calculados al final del capıtuloanterior. A partir de dichos datos, se encadenan dos modelos de trabajo: un primermodelo, denominado de lıneas de accion muscular que se engarza con el modelode Elementos Finitos final. El primero es un modelo de bajo nivel necesario paracondicionar adecuadamente al segundo.

A nivel global la secuencia de trabajo que se sigue en la fase musculo-esqueletaldel sistema MOBiL es la siguiente:

Definicion de la geometrıa del modelo musculo-esqueletal.Calculo de las fuerzas musculares utilizando de forma analıtica un modelo basadoen lıneas de accion musculares, como paso previo a la distribucion de fuerzasentre los musculos de una misma articulacion. Estos valores de fuerza son los quese utilizan como valores de entrada en un modelo de elementos finitos (FEM)muscular.Simulacion individual de la deformacion volumetrica mediante FEM de losprincipales musculos de las extremidades. inferiores que se encuentran activosdurante la locomocion humana.Integracion del modelo FEM en el movimiento esqueletal mediante las lıneas deaccion muscular previamente definidas. De esta forma la deformacion musculartiene una apariencia realista y esta coordinada con el movimiento de las piernas.

En estos dos modelos musculo-esqueletales del sistema MOBiL se utilizan degrupos musculares para aunar la accion similar de varios musculos individuales.Es una simplificacion ampliamente aceptada en la literatura que beneficia a larepresentacion final del movimiento ya que permite modelar a un conjunto demusculos como un unico objeto, aunque presente una forma compleja. La agrupacionde varios musculos no aumenta la complejidad del modelo, ya que solo aumenta lacantidad de puntos de insercion de los musculos en los huesos, pero incluso algunosmusculos individuales presentan varios orıgenes o varias inserciones.


5.4. Modelo basado en lıneas de accion: Introduccion de musculosen el modelo esqueletal

Muchos investigadores asumen que para cuantificar mecanicamente la fuerzaproducida sobre un hueso, es posible representar los musculos por medio de lıneasque unan el origen con la insercion [SA73] [CJA78] [BCW+82]. Esta opcion, aunqueen algunos casos es una simplificacion excesiva, facilita la descripcion analıtica delmodelo. Un ejemplo de esta inexactitud, se produce en los casos en que un musculose une a un hueso por medio de una superficie. Aunque la superficie sea reducida,no es lo mismo trabajar con un area de superficie que unir el musculo al hueso pormedio de puntos.

Los cambios en la direccion de la accion muscular se representan o bien por mediode segmentos lineales a trozos, con restricciones intermedias en los angulos de lasarticulaciones [DLH+90], o utilizando secciones rectas y curvilıneas para modelarlos musculos [FP78] [PM83].

Otra aproximacion se basa en el uso de curvas centroides, que se construyeninterpolando una curva a traves de los centroides estimados en varias seccionestransversales del musculo [JD75]. [Pie95] representa cada musculo con una lıneao curva 3D que conecta el centroide de su area de origen con el centroide de suarea de insercion. A pesar que la curva centroide visualmente parece seguir mejor laforma del musculo, la aproximacion por segmentos lineales suele ser aceptable parael modelado fısico [Ng 01].

Los modelos de lıneas de accion muscular se suelen utilizar para facilitarla resolucion de uno de los problemas mas complicados de la Biomecanica, ladistribucion de las fuerzas musculares en las articulaciones.

5.4.1. Distribucion de fuerzas musculares en las articulaciones

Como se ha comentado en el capıtulo anterior, las tecnicas experimentalespresentan dificultades para obtener datos acerca de las fuerzas de musculos yarticulaciones, por lo que es necesario trabajar con metodos matematicos quepermitan calcular las fuerzas indirectamente a partir de los datos cinematicos, lasfuerzas externas y los datos antropometricos disponibles.

Siguiendo el esquema que se exhibe en 5.8 [AKC95] se observa que es posiblecalcular la fuerza muscular a partir de los datos calculados de las fuerzas y momentosresultantes entre los segmentos.

El calculo se basa en el concepto de equilibrio, planteando las siguientes ecuaciones:

Fl =∑

Fm + Fj

Ml =∑

Mm + Mj

donde Fl y Ml corresponden, respectivamente, a la fuerza y al momento resultantescalculados entre segmentos, Fm es la fuerza muscular, Fj la fuerza restringida en laarticulacion y Mj el momento restringido en la articulacion.


Figura 5.8. Determinacion analıtica de las fuerzas musculares y articulares, adaptado de [AKC95]

La division de estas fuerzas y momentos resultantes generalmente recibe el nombredel problema de distribucion de las fuerzas [ACK91]. Desafortunadamente,el numero de variables desconocidas de las fuerzas musculares y las fuerzas ymomentos articulares, usualmente excede el numero de ecuaciones disponibles. Estosucede, en primer lugar, debido a la naturaleza redundante de las estructurasanatomicas: existen multiples musculos que pueden ejecutar funciones sinergicas.Matematicamente, esto produce un problema indeterminado que no tiene unasolucion unica ya que el numero de musculos, ligamentos y regiones de contactoarticular que transmiten las fuerzas generalmente excede el numero mınimo deecuaciones. La diferencia entre el numero de variables desconocidas y el numero deecuaciones representa el grado de redundancia, el cual puede reducirse introduciendoecuaciones restringidas o bien reduciendo el numero de variables desconocidas.

Metodo de reduccion: El objetivo del metodo de reduccion es disminuir el gradode redundancia hasta que el numero de fuerzas desconocidas (incognitas) seaigual al numero de ecuaciones. Para ello, es posible: 1) reducir el numerode ecuaciones agrupando musculos con funciones similares o utilizando datoselectromiograficos para eliminar musculos inactivos, o 2) incrementar el numerode ecuaciones, asumiendo una fuerza de distribucion entre musculos en base aconsideraciones anatomicas, como el area de seccion transversal (ASTF) o enbase a medidas cuantitativas de EMG.El metodo de reduccion se ha utilizado para resolver el problema de ladistribucion de fuerzas desde los anos ’60. [Pau67] describe la prediccion de


las fuerzas de los musculos con respecto a la cadera, combinando los musculosen grupos funcionales, y considerando unicamente musculos agonistas. [Mor70]aplica este metodo para el estudio de la articulacion de la rodilla y obtienecomo resultado que la fuerza maxima que se ejerce en la articulacion durante lalocomocion se encuentra entre 2 y 4 veces el peso del cuerpo. A partir de estostrabajos, esta tecnica ha sido ampliamente utilizada debido a su simplicidady a su capacidad de ofrecer datos cuantitativos [AKC95]. Sin embargo, lassimplificaciones anatomicas que conlleva este metodo pueden inducir a erroresen el comportamiento mecanico global.

Metodos de optimizacion: Un metodo alternativo para resolver el problema dedistribucion consiste en hallar una solucion optima, formulando una funcionobjetivo con respecto al sistema de ecuaciones y utilizando una tecnica deoptimizacion matematica. La funcion objetivo provee la base para la comparacionde soluciones candidatas, mientras que la “mejor” solucion se obtiene medianteun algoritmo de optimizacion.La aproximacion por optimizacion se basa en calcular las fuerzas muscularesde acuerdo a propiedades mecanicas, energeticas y fisiologicas durante lasactividades motoras, mientras que el control neurologico de la accion de losmusculos se gobierna por ciertos criterios fisiologicos que garantizan acciones“eficientes”. La funcion objetivo corresponde a esos criterios fisiologicos.La formulacion de este metodo se puede describir del siguiente modo:Minimizar

J = f(x1, x2, ..., xn) (5.1)

sujeto agj(x1, ..., xn) = 0 (j = 1, ...,m) (5.2)

y0 ≤ xi ≤ Ui (i = 1, ..., n) (5.3)

donde J es el criterio de optimizacion, g representa las ecuaciones de movimientoy restricciones de igualdad, mientras que xi corresponde a las variablesindependientes, que son las incognitas de las fuerzas de musculos y articulaciones.Estas ultimas variables tambien pueden estar sujetas a restricciones dedesigualdad.La optimizacion estatica es uno de los metodos que mas se han utilizado enbiomecanica para la estimacion de fuerzas musculares durante la locomociondebido, principalmente a su rapidez [SA75] [Cro78] [PBD97]. En la optimizaciondinamica la funcion objetivo es dependiente del tiempo, y el problema sepuede formular independientemente de los datos experimentales, pero el metododemanda un alto coste computacional [YMS95] [AZPW95] [AP01].

Las propiedades mecanicas del musculo se pueden caracterizar por medio demodelos dinamicos del funcionamiento muscular. Entre los trabajos en esta lıneadestacan, por ser los mas conocidos, los de Hill y Zajac [Fun93] [CZ92]. Hill


postula que la fuerza ejercida por el musculo se decrementa en la medida en quela velocidad de acortamiento crece. Su modelo se basa en un sistema de muellesy amortiguadores, cuyas constantes dependen de parametros morfologicos y porun patron basico de descripcion de fuerza frente al tiempo que incluye la diferenciaentre comportamientos experimentales del musculo en estado pasivo y bajo estımulo.Zajac refina el modelo anterior, proponiendo un modelo complejo de la actuacionconjunta de un elemento compuesto de musculo y tendon, en el que se tiene encuenta el efecto del angulo de pennation. Estos modelos se pueden aplicar a todoslos musculos aunque estan especialmente concebidos para los musculos esqueleticos.

5.4.2. MOBiL: Implementacion del modelo de lıneas de accion muscular


Figura 5.9. Integracion del modulo de lıneas de accion de la fase musculo-esqueletal en MOBiL

En MOBiL el modelo musculo-esqueletal basado en lıneas de accion musculares esextremadamente simple y se utiliza en dos instantes de la secuencia de trabajo: antesdel calculo por FEM para obtener de forma analıtica las ecuaciones del problemadinamico y calcular los valores de fuerza que inicializan este metodo; y despues delcalculo por FEM, para integrar de los resultados de deformacion en el movimientoglobal de locomocion. Algunas de las simplificaciones que caracterizan al modelo delıneas de accion muscular son:


Ser bidimensional, ya que la locomocion y los movimientos musculares decontraccion estan restringidos al plano sagital.Estar formado unicamente por cuatro segmentos (cadera, femur, tibia y pie) ytres articulaciones (cadera, rodilla y tobillo).Utilizar el metodo de reduccion por agrupamiento de musculos que desarrollanla misma accion como metodo de distribucion de fuerzas en las articulaciones.Configurar cada agrupamiento muscular como un unico musculo con varias lıneasde accion e inserciones. Si alguna de las lıneas de accion es biarticular, en elmodelo se conserva.Presentar lıneas de accion rectas cuya direccion se marca en cada instante porlos puntos origen y de insercion, aunque en el caso del cuadriceps se incluyeuna lınea de accion “especial” para simular el tendon rotuliano y el conjuntorotula-ligamentos de la rodilla [Pie95].Mantener invariables los puntos de insercion y origen respecto a los segmentosdel cuerpo al que se fijan.

Para obtener el modelo de lıneas de accion muscular se sigue la siguiente secuenciade acciones:

Definicion de la geometrıa del modelo musculo-esqueletal a partir de valoresantropometricos de musculos y segmentos. Union de los musculos con la mismaactividad y efecto en “grupos musculares”. Aproximacion de cada grupo muscularpor una unica recta que represente la lınea de accion muscular y cuyos extremosse calculan en los centroides de los puntos origen e insercion de cada uno de losmusculos.Distribucion de fuerzas entre los grupos musculares de una misma articulacion,introduciendo los periodos de activacion muscular y compensando las fuerzas delos grupos musculares antagonistas.Calculo de la fuerza de cada musculo mediante el calculo de su par y lacontribucion al momento de fuerza neto de la articulacion.

Definicion de la geometrıa del modelo musculo-esqueletal. Aunque, ya se ha descritopreviamente las caracterısticas de la capa muscular del modelo del cuerpo humanopropuesto en MOBiL, es conveniente recordar que se ha hecho extrapolando losvalores tabulados de las dimensiones y las coordenadas relativas de segmentos,puntos de origen y puntos de insercion muscular a la altura y masa corporal denuestro sistema.

Una vez redimensionados todos los musculos, se han escogido solo aquellos quetiene especial importancia en el movimiento de la locomocion en el plano de marcha(ver grafica 5.10). Todos ellos se han unido en diferentes grupos segun su periodo deactividad y los efectos que producen en la locomocion. El estudio desarrollado en laseccion 5.2.2 permite formar grupos musculares, tal como se hace en numerosostrabajos de la literatura [Pau67] [Mor70] [FN80] [Whi03] [ZNK02] [ZNK03].


Figura 5.10. Modelo de lıneas de accion muscular de una pierna

Los grupos considerados son los correspondientes a la parte anterior y posteriordel muslo y a la parte posterior de la pantorrilla. La descripcion de estos grupos sedetalla a continuacion:

Grupo Cuadriceps (parte anterior del muslo): recto anterior, vasto medio, vastolateral y vasto intermedio.Grupo Isquiotibiales (parte posterior del muslo): biceps femoral corto, bicepsfemoral largo, semimembranoso y semitendinoso.Grupo Trıceps Sural (parte posterior de la pantorrilla): gastrocnemio, soleo ydelgado plantar.

El volumen y dimension final de cada grupo muscular se obtiene mediante la unionde todos los musculos que lo componen. Su funcionamiento conjunto se aproximamediante una unica lınea recta de accion muscular, cuyos extremos se calculan dela siguiente forma: el punto de origen es el centroide de todos los puntos origende los musculos que forman el grupo, ponderando el calculo de sus coordenadassegun la seccion fisiologica de cada grupo de fibras. Es decir el sistema supone quela fuerza resultante de todas las fibras unidas esta repartida de forma proporcionala su “capacidad de contraccion”. El punto de insercion comun se calcula de igualforma.

En la figura 5.11 se presenta el modelo de lıneas de accion de la cadera en el quese pueden observar los puntos origen de dos grupos musculares antagonistas: losisquiotibiales y los cuadriceps.


Figura 5.11. Diagrama de fuerzas musculares en la articulacion de la cadera

Para ilustrar el funcionamiento del sistema MOBiL se han escogido losisquiotibiales en primer lugar por ser uno de los grupos musculares que producencambios visibles en la anatomıa durante la marcha.

Distribucion de Fuerzas. Una vez elegido un grupo muscular, se debe resolver elproblema de la distribucion de fuerzas en la articulacion que atraviesa. El propiohecho de agrupar los musculos ya es una primera simplificacion por reduccion, ya quela distribucion segun fuerzas de musculos individuales es una tarea muy complicadadebido a la redundancia.

En este caso el grupo muscular de referencia elegido para obtener la fuerza (losisquiotibiales) es un grupo biarticular. Por lo tanto, de las dos posibles articulacionesque atraviesa, se ha elegido para trabajar la cadera frente a la rodilla.

En primer lugar es necesario analizar el resto de fuerzas que actuan en esaarticulacion. Durante la misma fase de la locomocion hay al menos un grupomuscular, los gluteos, que ayudan a evitar la flexion de la cadera, tal y comohacen los isquiotibiales. Y existe al menos otro grupo muscular antagonista, loscuadriceps, que desarrollan la actividad contraria. Por lo tanto, suponiendo que nohay ni fuerzas en los ligamentos ni fuerzas de contacto entre la pelvis y el femur,segun la ecuacion 5.1 se tienen dos ecuaciones pero tres incognitas, por lo que sedebe seguir avanzando en la resolucion del problema de distribucion de fuerzas. Pararesolver la indeterminacion que se produce se recurre de nuevo al conocimiento sobrela biomecanica de la locomocion y se introducen periodos de activacion muscularprovenientes de EMG. En la grafica 5.12 se observa que, durante la fase de apoyo,la accion de los gluteos y los cuadriceps se produce casi en el mismo periodo de


tiempo y presenta un maximo en el momento en que desaparece la actividad de losisquiotibiales (denominados hamstrings en la figura). La actividad en el comienzo dela fase es por contra, maxima para los isquiotibiales y mucho menor para los otrosgrupos. Se delimitan entonces tres periodos de tiempo en los que se diferenciandistintas distribuciones de fuerza:

Un primer periodo, que va desde el apoyo de talon (IC) hasta el comienzo delapoyo medio (OT) en el que actuan los tres grupos musculares, aunque dos encrecimiento y otro en disminucion.Un segundo periodo, que transcurre aproximadamente durante todo el apoyomedio (Midstance), en el que solo dos grupos musculares estan activos, por loque es factible resolver las ecuaciones directamente.Y un ultimo periodo, desde el final del apoyo medio (HR) hasta el final de la fasede apoyo en el que son otras las fuerzas (no solo musculares) las que dan soporteal movimiento.

Figura 5.12. Diagrama de actividad de los principales grupos musculares en la marcha


Es en el primer periodo de tiempo en el que es necesario resolver laindeterminacion, para lo que se ha planteado el siguiente metodo, basado otra vezen datos experimentales:

En el instante inicial de tiempo se calcula la fuerza muscular del isquiotibial apartir del par y del momento de fuerza neto de la cadera como si fuera el unicogrupo activo -fuerza resultante global- (los otros dos grupos se compensarıanentre sı). No se utiliza la ecuacion de la fuerza neta porque la aportacion de lasfuerzas “hueso a hueso” en esta fase es importante y desconocida.Como los isquiotibiales son el grupo muscular que acorta mas rapidamente suactividad se ha optado por construir una curva decreciente cuyo maximo es elvalor inicial obtenido en el punto anterior y el mınimo es el cero que se produceen el instante inicial del apoyo medio, transcurridos un diez por ciento del cicloaproximadamente.Una vez conocida esta fuerza el resto se calculan directamente a partir de lasecuaciones de equilibrio 5.1.

Estimacion de las fuerzas a partir de los momentos. La forma mas simple de laecuacion de equilibrio que domina el calculo de la fuerza muscular es la que semuestra a continuacion 5.4 y corresponde a una unica accion muscular en el planode marcha.

Fmusc = M/d sin(α) (5.4)

donde M es el modulo del momento resultante de la articulacion (direccionperpendicular al plano de marcha), Fmusc es el modulo de la fuerza muscular, del brazo del par, que se mide desde el punto de giro de la articulacion hasta el puntoen el que se produce la fuerza y α es el angulo formado entre la direccion del brazoy la direccion de la fuerza.

Como ejemplo, en la grafica 5.13 se puede observar la fuerza resultante global en laarticulacion de la cadera a partir de los isquiotibiales y el patron de fuerza muscularfinal obtenido con una variacion mas simplificada del metodo anterior en la que seelimina completamente la accion de los cuadriceps.

Al observar la magnitud y la forma de las fuerza musculares que intervienenen cada articulacion, es posible corroborar que la magnitud es considerablementegrande (entre 500 y 2000 Newtons), lo que es natural por las pequenas distanciasdel brazo del par (10 cm como maximo). Si estas fuerzas se introdujeran directamenteen el modelo FEM, serıa necesario encontrar un material de “tejido muscular”que se comporte elasticamente de manera tal que produzca, con esas fuerzas,deformaciones longitudinales de, como mucho, un 15 % de la longitud de reposo[DASM96]. Atendiendo a este requisito estos materiales deberıan poseer un valorde modulo de Young muy elevados, en los que las ondas elasticas se comportande forma inadecuada, para el tamano del musculo. Sin embargo, se dispone del


Figura 5.13. Estimacion de las fuerzas musculares a partir del momento de fuerza neto de la cadera

comportamiento macroscopico final de cada musculo, que debe estar perfectamenteacompasado a las diferentes frecuencias de paso de locomocion. De este modo, esposible definir un tipo de material muscular con un comportamiento lineal “similar”a la no linealidad del tejido muscular y que presenta velocidades de propagacionadecuadas. Una vez fijado el tipo de material (y por tanto, una menor magnituden las fuerzas musculares que se alejan de los valores hallados) se vuelve al modelode lıneas de accion muscular y se establece una aproximacion elastica del musculo.La fuerza se plantea simulando un muelle de tejido muscular, de seccion similar ala superficie de aplicacion del esfuerzo tensor en la malla de calculo por FEM querepresenta al musculo.

Por la expresion de la fuerza de un muelle:

Fm = −K(Lm − Lo) (5.5)

siendo Lm la longitud del muelle muscular en cualquier instante, Lo la longitud delmuelle en reposo, K la constante de rigidez y Fm la fuerza en el musculo.

Por la ley de Hooke:σ = Eε (5.6)

siendo σ el esfuerzo, E el modulo de Young del material y ε la elongacion.Sustituyendo la expresion 5.5 en la ecuacion 5.6, y considerando que se cumple

que σ = Fm/s y ε = (Lm−Lo)/Lo siendo s la seccion del muelle muscular, es posiblededucir:

K = E s/Lo (5.7)

La constante de rigidez K, por tanto, se calcula a partir del modulo de Youngque se va a utilizar para definir el material del musculo en el modelo FEM, lo queasegura una continuidad de la fısica del problema. Una vez obtenida la constante K(que es especıfica para cada grupo muscular) solo es necesario introducir los valoresde Lm obtenidos a partir del modelo de lıneas de accion muscular para obtener elpatron de fuerza segun 5.5. El sentido de aplicacion de las fuerzas se ajusta paracondicionar adecuadamente el problema FEM.


Es importante resenar que esta aproximacion da respuesta a la necesidad deintroducir en el metodo FEM no solo las fuerzas musculares propiamente dichas si nolas fuerzas que “actuan” sobre el musculo y que no provienen de su actividad motora,pero que sı intervienen en el movimiento y elongacion del musculo. Utilizando laslıneas de accion como referencia es posible aproximar la fuerza en cada musculo apartir del resultado final que produce durante todo el ciclo. En este punto, aunquela magnitud de las fuerzas es mucho menor, la fenomenologıa del problema semantiene.

5.5. Modelo basado en elementos finitos: Deformaciones localesde los musculos

El modelo musculo-esqueletal para la subfase de Elementos Finitos sustituyelas lıneas de accion por modelos volumetricos de los grupos musculares escogidosanteriormente, y calcula sus deformaciones locales introduciendo los valores de fuerzaobtenidos en la subfase anterior como parametros de entrada del problema dinamicodirecto.

La subfase de Elementos Finitos (FEM) presenta las siguientes simplificaciones:

La longitud total de cada grupo muscular se reparte entre la longitud delmusculo y la longitud de los tendones que, en cada extremo, los insertan en lossegmentos esqueletales. Para cada grupo muscular la proporcion de la longitudde tendon que se reparte a cada uno de los lados del musculo es un parametrode diferenciacion. Las longitudes de los musculos se consideran de acuerdo a laposicion anatomica.El volumen de cada grupo muscular proviene de calcular de forma proporcionalla seccion a partir de un nuevo parametro de alto nivel, la complexion y de larelacion peso/altura. Las complexiones incorporadas son tres: atletica, normal ydebil, tal y como se detalla en el apartado 3.2.3.Los FEM se utilizan para calcular las deformaciones del musculo, sin incluirla parte de los tendones. Los tendones se simulan como sistemas “muelle-amortiguador” sin masa.Existen superficies de transicion entre tendon y musculo, aunque la insercion deltendon en el segmento sea puntual. Se distribuye la fuerza transmitida por eltendon entre los nodos de la superficie.Las fibras musculares se consideran homogeneas y con un angulo de pennationde 0o.Las deformaciones provenientes del calculo FEM se producen en una referenciageometrica local que se orienta y traslada adecuadamente en el momento de lavisualizacion.La fuerza realizada sobre el musculo se simula considerando la secuenciacion delas fases de la locomocion.


Las fuerzas musculares se consideran externas al material, aunque en la realidadlas fuerzas de contraccion son fuerzas internas que comprimen o estiran elmaterial muscular.

5.5.1. Formulacion matematica del modelo

Para la representacion de los musculos del cuerpo humano no es suficiente con elplanteamiento de los solidos rıgidos, ya que los musculos estan claramente sometidosa deformaciones. Es necesario, entonces, plantear un modelo matematico que permitarepresentar esta caracterıstica “deformable” de los mismos.

Al igual que otros tejidos vivos, los musculos presentan una estructura no lineal,anisotropa y viscoelastica [MWMTT98]. Los modelos que se requieren para simularestos comportamientos demandan un coste computacional muy elevado y riesgo deinestabilidad numerica. Por ello, se ha optado por considerar el musculo como unmedio continuo elastico, heterogeneo, isotropo y lineal.

A continuacion, se efectuara una breve introduccion a la Teorıa de la Elasticidadpara pasar luego a describir el planteamiento general del problema elastico y,finalmente, su formulacion variacional.

Teorıa de la Elasticidad. La Teorıa de la Elasticidad se basa en un modelo matematicode un medio elastico, dotado de las propiedades de continuidad e isotropıa. Cuandouna fuerza externa actua sobre un solido elastico, varıan las posiciones relativas delas partıculas que lo componen. Este efecto recibe el nombre de deformacion.

Sea Ω ⊂ n, (n=2,3) y r = (x1, . . . , xn) un vector posicion que define unpunto del objeto Ω. Al efectuar una deformacion sobre Ω, cada punto r sufre unatransformacion a una nueva posicion r′ = (x′1, . . . , x

′n). El vector resultante de dicha

deformacion se denota por u = r − r′ (ver figura 5.14) y la distorsion sufrida en elmedio se representa utilizando el tensor de deformaciones.

Figura 5.14. Relacion vectorial de una deformacion

La teorıa de la mecanica de los medios continuos establece que las derivadas de losdesplazamientos son pequenas comparadas con la unidad, por lo que los tensores de


deformaciones finitas se reducen a tensores de deformaciones infinitesimales [Mas77],cuyas componentes son:

εij(u) =1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)=

1

2(ui,j + uj,i) i, j = 1, 2, 3 (5.8)

Como se puede deducir de la ecuacion anterior, el tensor de deformaciones essimetrico en cada punto, es decir que: εij = εji.

Por otra parte hay que tener en cuenta que en el objeto Ω actuan ciertas fuerzas.La fuerza por unidad de area que actua a traves de una superficie recibe el nombrede tension. La magnitud y la direccion del vector tension dependen de la orientaciondel elemento de superficie a traves del cual actuan las fuerzas de contacto T (n),donde T es el vector tension en un punto interior del continuo y n denota el vectorunitario normal al elemento de superficie que contiene a dicho punto.

Para evaluar la tension sobre un plano arbitrario que pasa por un punto delcuerpo deformado, es suficiente con conocer la tension sobre tres planos mutuamenteperpendiculares que pasen por dicho punto. Este resultado permite expresar:

Ti = σjinj i, j = 1, 2, 3 (5.9)

El estado de tension de cualquier punto del medio esta completamentecaracterizado por la especificacion de las nueve componentes σji que definen eltensor de tensiones.

Si se da el equilibrio entre fuerzas de volumen y fuerzas de superficie, el teoremade la divergencia de Gauss permite demostrar la simetrıa del tensor de tensionesσji = σij [Mas77] de modo que 5.9 puede expresarse como:

Ti = σijnj i, j = 1, 2, 3 (5.10)

Bajo las condiciones dadas de pequenos desplazamientos y pequenasdeformaciones, las componentes de tension y deformacion en un solido elastico idealestan relacionadas a traves de la Ley de Hooke generalizada, cuya expresion es:

σij = Cijkmεkm (5.11)

donde Cijkm es un tensor de cuarto orden conocido como tensor de las constanteselasticas [Mas77]. En el caso de los medios isotropos (tienen las mismas propiedadeselasticas en cualquier punto en todas las direcciones) el tensor de las constanteselasticas se simplifica de manera tal que sus componentes cumplen con la siguienteexpresion [Sok56]:

Cijkm = λδijδkm + μ(δikδjm + δimδjk) (5.12)

donde δij es la δ de Kronecker y λ y μ son dos constantes, conocidas como“coeficientes de Lame” y necesarias para especificar el comportamiento elastico deun medio isotropo lineal.


Dependiendo del campo de aplicacion de la teorıa de la elasticidad se suelen usardiferentes parametros para especificar el comportamiento elastico de los medios. Porejemplo, en biomecanica, es comun utilizar el modulo de Young, E, y el coeficiente dePoisson, ν, mientras que en geofısicas se suelen usar las velocidades de propagacionde las ondas (Vp y Vs). Sabiendo cualquier par de parametros, es posible obtener elresto por medio de las siguientes relaciones:

E =μ(3λ + 2μ)

λ + μν =

λ

2(λ + μ)(5.13)

λ =νE

(1 + ν)(1 − 2ν)μ =

E

2(1 + ν)

Vp =

√λ + 2μ

ρVs =

√μ

ρ(5.14)

λ = ρ(V 2p − 2V 2

s ) μ = ρV 2s

donde ρ es la densidad del material.De acuerdo con 5.12, la relacion dada por la Ley de Hooke generalizada 5.11 adopta

la forma:

σ = λδij

n∑k=1

εkk + 2μεij, i, j = 1, . . . , n (5.15)

Planteamiento general del problema elastico. El problema elastico general puedeformularse como un sistema de ecuaciones diferenciales que se debe cumplir en elinterior de un cierto dominio, unido a una serie de condiciones sobre el contornode dicho dominio. Matematicamente, esto se puede expresar del siguiente modo:“Sea un medio continuo, lineal, elastico, no homogeneo e isotropo con dominio Ωy contorno Γ , donde Ω es una region conexa y acotada en n (n = 2, 3), y Γ esC1 continua a trozos. Consideramos la particion de la frontera Γ = Γ0 ∪ Γ1 de talmodo que Γ0 representa la parte de la superficie donde no se aplican fuerzas y Γ1

representa la parte de la superficie donde se aplican fuerzas, y ademas se cumpleque dichas particiones son disjuntas, es decir, Γ0 ∩ Γ1 = �”.

El problema consiste en hallar una funcion desplazamiento que satisfaga lasecuaciones clasicas de la mecanica de solidos deformables, que son las siguientes:

1. Ecuaciones de variacion de cantidad de movimiento (ecuaciones de equilibrio enel caso estatico).

2. Ecuaciones cinematicas, correspondientes a las relaciones entre desplazamientosy deformaciones.

3. Ecuaciones constitutivas o de comportamiento, que relacionan las tensiones conlas deformaciones en el interior del domino.


4. Condiciones de contorno: especificar los desplazamientos en el contorno(condicion de Dirichlet) y las tensiones en el contorno (condicion de Neumann).

El planteamiento general del “problema elastico estatico” consiste en hallaruna funcion desplazamiento u = (u1, . . . , un) que satisfaga el siguiente sistema deecuaciones en derivadas parciales:

1. σij,j + fi = 0 en Ω

2. εij =1

2(ui,j + uj,i)

3. σij = λδijεkk + 2μεij (5.16)

4.

{ui = gi en Γ0

σijnj = hi en Γ1

donde fi son las fuerzas interiores del cuerpo, gi son los desplazamientos en elcontorno Γ0, nj son las componentes del vector normal en un punto de la superficiedel dominio y hi son las fuerzas exteriores aplicadas a la frontera Γ1.

En el caso del “problema elastico dinamico” se sustituyen las ecuaciones deequilibrio por las ecuaciones de movimiento, teniendo en cuenta la variable tiempot ∈ (0, T ):

1. σij,j + fi = ρu en Ω × (0, T )

2. εij =1

2(ui,j + uj,i)

3. σij = λδijεkk + 2μεij (5.17)

4.

{ui = gi en Γ0 × (0, T )

σijnj = hi en Γ1 × (0, T )

donde fi son las fuerzas interiores del cuerpo, ρ es la densidad del medio, u =∂2ui/∂t2, gi son los desplazamientos en el contorno Γ0, nj son las componentes delvector normal en un punto de la superficie del dominio y hi son las fuerzas exterioresaplicadas a la frontera Γ1.

Ademas, es necesario especificar las condiciones iniciales, para t = 0, de posiciony de velocidad:

ui(·, 0) = u0i i = 1, . . . , n en Ω (5.18)

ui,t(·, 0) = u0i i = 1, . . . , n en Ω

Formulacion Variacional del problema. Las ecuaciones 5.17 y 5.18 modelan la evolucionen el tiempo de los desplazamientos en un medio lineal, elastico, no homogeneo eisotropo, sujeto a un campo de fuerzas y con condiciones de contorno de Neumann yDirichlet. Asumiendo que la solucion u es suficientemente regular, es posible derivaruna formulacion variacional de las ecuaciones anteriormente citadas utilizando losmetodos clasicos, tal como se desarrolla en [SB86].


La formulacion variacional del problema consiste en hallar, dados f , g, h, u0, u0,una funcion de desplazamientos u ∈ S tal que ∀w ∈ W se satisfacen las siguientesecuaciones:

d2

dt2(w, ρu)0,Ω + a(w, u) = (w, h)0,Γ + (w, f)0,Ω

u(0) = u0 (5.19)

u(0) = u0

donde

(w, ρu)0,Ω =3∑

i=1

∫ρuiwidΩ (5.20)

a(w, u) =3∑

i=1j=1

∫σij(u)εij(w)dΩ (5.21)

(w, h)0,Γ =3∑

i=1

∫hiwidΓh (5.22)

(w, f)0,Ω =3∑

i=1

∫fiwidΩ (5.23)

5.5.2. Formulacion por Elementos Finitos

El Metodo de los Elementos Finitos (MEF) es una tecnica general de discretizacionde problemas de medios continuos que permite construir soluciones aproximadasde problemas de valores iniciales y/o de contorno, planteados a traves de unaformulacion de tipo integral. Debido a la generalidad del metodo, se ha utilizadocon exito para resolver gran cantidad de problemas fısicos en areas tan variadascomo quımica, mecanica de solidos, mecanica de fluidos, aerodinamica, etc.

Como el objetivo de este trabajo es aplicar esta tecnica de discretizacion a laformulacion variacional del solido elastico lineal isotropo, solo se describira el metodode forma sucinta. Sin embargo, se puede hallar una descripcion rigurosa de losaspectos matematicos en [BW76], [DT81] o [ZT89], entre otros.

Dado un medio continuo linealmente elastico e isotropo, que ocupa una regionΩ del espacio 3, se divide en un conjunto de subdominios Ωi cuya reunion esigual al dominio inicial. En principio, el numero de puntos de contacto entre unsubdominio Ωi y cualquiera de sus vecinos es infinito. Sin embargo, el MEF discretizacada subdominio suponiendo que la conexion entre ellos viene dada por un numerodiscreto de puntos que reciben el nombre de “nodos de contorno”. Los subdominiosdiscretizados Ωi se denotan como Ki y reciben el nombre de “elementos finitos”.

Para obtener una discretizacion correcta con elementos finitos se deben satisfacerlas siguientes condiciones:


Ω =⋃n

i=1 Ki donde n es el numero total de elementos.Ki es cerrado y no vacıo (K0

i ).K0

i ∩ K0j = �.

∂Ki es el contorno de Ki, continuo y Lipschitz.

El metodo aproxima la dependencia espacial del espacio funcional S de dimensioninfinita, con un subespacio Sh de dimension finita η, igual al numero de nodos. Labase del espacio Sh esta compuesta por funciones

Ni : Ω → i = 1, 2, . . . , η η = numero total de nodos

que se caracterizan por tener una funcion base Ni(r) compuesta solo por loselementos a los que pertenece el nodo i. Las funciones Ni(r) verifican, ademas,Ni(rj) = δij.

Si u(r, t) ∈ S es la solucion buscada, el metodo MEF provee una solucionaproximada uh(r, t) ∈ Sh dada por:

uhi (r, t) =

η∑j=1

Nj(r)aij(t) i = 1, 2, 3

lo que significa que la funcion uhi (r, t) es una combinacion lineal “adecuada” para

los desplazamientos en los nodos aij en el tiempo t.El metodo de elementos finitos, por tanto, permite pasar de un dominio continuo y

un espacio de dimension infinita S, a un dominio discreto (η nodos) y un espacio dedimension finita Sh. El parametro h se refiere a la longitud caracterıstica asociadaal tamano de la discretizacion del dominio Ω.

La tecnica de discretizacion por elementos finitos, normalmente denotada pormedio de la formulacion de Garlekin, reduce el problema elastodinamico determinadopor las ecuaciones dadas en 5.19, a lo siguiente [Hug87]:

Dados f , g, h, u0, u0, hay que hallar una funcion vh(r, t) = uh(r, t)−gh(r, t) convh, uh, gh ∈ Sh tal que ∀wh ∈ V h se satisfacen las siguientes ecuaciones:

d2

dt2(wh, ρvh) + a(wh, vh) = (wh, f) + (wh, h)Γ − d2

dt2(wh, ρgh) − a(wh, gh)

vh(0) = u0 − gh(0) (5.24)

vh(0) = u0 − gh(0)

donde

vhi (r, t) =

∑j∈η−ηgi

Nj(r)dij(t) (5.25)

whi (r) =

∑j∈η−ηgi

Nj(r)cij (5.26)

ghi (r, t) =

∑j∈ηgi

Nj(r)gij(t) (5.27)


siendo ηgi el numero de nodos con condicion de Dirichlet.De las ecuaciones dadas en 5.19 se puede derivar el siguiente sistema de

ecuaciones ordinarias de segundo orden y lineal, en el que se ha anadido el terminocorrespondiente a la amortiguacion del movimiento:

M d(t) + Cd(t) + Kd(t) = f(t) ∀t ∈ (0, T ) (5.28)

d(0) = d0 (5.29)

d(0) = d0

donde la matriz M esta determinada por la distribucion de la densidad enel dominio, la matriz C esta determinada por la atenuacion, la matriz Kesta determinada por las propiedades elasticas del medio, las componentes del vectorf estan determinadas por las fuerzas aplicadas al objeto y por las condiciones decontorno y d es el vector de desplazamientos.

Tanto M , como C y K son matrices espureas, simetricas y definidas positivas. En[SSK89] se demuestra como se obtienen estas matrices en la practica.

Es posible demostrar que el problema semidiscreto 5.24 admite una solucion unicavh y, por lo tanto, un unico uh = vh + gh [RT83].

5.5.3. MOBiL: Implementacion del sistema de deformaciones


De acuerdo a la formulacion matematica desarrollada en la secciones previas, seha implementado un sistema basado en elementos finitos que permite simular ladeformacion de un objeto, al hallar los desplazamientos producidos en sus nodos.

La aplicacion ha sido desarrollada sobre sistema operativo Unix y sobre unaestructura de programacion imperativa implementada en C. La especificacion delos parametros de control y los datos de entrada para el desarrollo del programa serealiza mediante lınea de comandos.

La descripcion general de la aplicacion basada en el metodo de elementos finitosse presenta en la figura 5.16.

Como se puede observar, la aplicacion se divide basicamente en dos bloquesprincipales. En el primer bloque se realiza el procesamiento de los datos de entradapara obtener las matrices y vectores que forman el sistema de ecuaciones. Elsegundo bloque recibe el sistema de ecuaciones resultante de los calculos previosy lo resuelve. De este modo, la aplicacion genera como salida los ficheros con losdatos correspondientes a los desplazamientos en los nodos.

En la bibliografıa [BW76] [DT81] [Kar87] [ZT89] es posible hallar una descripciondetallada de la implementacion clasica de un sistema MEF, por lo tanto, en estamemoria solo se desarrollan aquellos aspectos que involucran algun tipo de decisionen la implementacion.


Figura 5.15. Integracion del modulo de elementos finitos de la fase musculo-esqueletal en MOBiL

Figura 5.16. Esquema de la aplicacion basada en el metodo de Elementos Finitos

Sin embargo, antes de poder utilizar el metodo de elementos finitos es necesarioen primer lugar discretizar el dominio, es decir, que hay que particionar el objetoutilizando un conjunto de elementos adecuados de manera que se obtenga una malla.

Mallado del objeto. Cuando se discretiza el dominio es necesario definir el tipo deelementos que formaran la “malla”, como ası tambien su numero y tamano.

Existe gran diversidad de elementos posibles [DT81] [Coo87], y la determinaciondel elemento a utilizar en un caso concreto no es una tarea simple. A pesar de


ello es posible hallar algunas ideas generales respecto a la discretizacion a utilizar[DV98]. En general, los elementos de tipo paralelepıpedo son menos flexibles cuandose pretende reproducir contornos complicados, sin embargo en este trabajo se haoptado por implementar dichos elementos ya que presentan varias ventajas conrespecto a los elementos tetraedricos: por un lado se mejora la convergencia para elmismo numero de grados de libertad [DV98] y, por otro, se obtienen resultados masrealistas al conservar major la propagacion de las tensiones [MMP99].

En las figuras 5.17 y 5.18 se pueden observar los elementos implementados para 2y 3 dimensiones, respectivamente.

Figura 5.17. Elementos de 2 dimensiones

Figura 5.18. Elementos de 3 dimensiones

Es interesante notar que mediante el tipo de elementos finitos elegido se puedendefinir mallados uniformes (mallados que poseen todos los elementos finitos identicosen longitud) y mallados que difieran en longitud en los elementos finitos que sesituan en la frontera del objeto (uniformes en el interior y con elementos finitos dediferente dimension en sus fronteras). Asimismo, es posible representar agujeros yobjetos huecos en el mallado.

Aunque no existe un metodo general para determinar la malla mas adecuada alproblema que se pretende resolver, es necesario tener en cuenta el tamano maximode cada elemento finito para que el sistema propague correctamente las tensionesprovocadas por la accion de las fuerzas externas [Por03].

Para ello es necesario expresar la fuerza exterior f en terminos de la componenteespacial y temporal: f(x, y, t) = fe(x, y) · ft(t) donde fe es la componente espacialy ft es la componente temporal. A continuacion se halla la transformada de Fourier


de ft : F (ω) y se define el intervalo de frecuencias [ωm, ωM ] donde la funcion F (ω) esmayor que un cierto umbral. Las frecuencias menor ωm y mayor ωM estan asociadasrespectivamente a los periodos mayor y menor, definidos como TM = 2π

ωmy Tm = 2π

ωM.

El valor de la longitud de onda fundamental λf transmitida por la fuerza ft

esta directamente relacionada con el periodo menor Tm y con la menor velocidadde propagacion de la onda vm = mın{Vp, Vs}, donde Vp y Vs son las velocidades detransmision transversal y longitudinal de una onda en un material con coeficientesde Lame λ y μ tal que Vp =

√μ/ρ y Vs =

√(λ + 2μ)/ρ, donde ρ es la densidad del

material. De este modo, el valor de la longitud de onda fundamental λf esta dadopor:

λf = vm · Tm

El tamano de los elementos finitos que forman la malla, �x, se deben escoger demanera que se verifique:

�x ≤ λf

10=

vm · Tm

10=

2π

ωM

· vm

10

Aunque la generacion de las mallas puede hacerse con numerosos paquetes desoftware [Gar03], en esta tesis se ha utilizado el programa GiD [Gid] para lageneracion de mallas uniformes y de dominios simples, y el programa CUBIT [Cub]para mallados y dominos mas complejos (ver figura 5.19).

(a) Malla de 48 elementos (b) Malla de 2560 elementos

Figura 5.19. Mallas con diferentes formas y numero de elementos

En todos los casos, la estructura final del fichero que contiene la malla del objetosigue las especificaciones del formato GiD [Gid].


Consideraciones sobre los datos de entrada. En primer lugar, el programa debe leerlos datos que representan el objeto, teniendo en cuenta los nodos que forman loselementos, las conectividades entre dichos nodos y el tipo de elementos elegido. Todosestos datos estan dados en el fichero que constituye la malla del objeto. Sin embargo,tambien es necesario determinar el metodo de integracion espacial de las funcionesde aproximacion sobre los nodos de los elementos. Entre las numerosas tecnicas queexisten para realizar la integracion numerica se ha optado por implementar el metodode Newton-Cotes (integracion en los nodos) y el metodo de cuadratura de Gauss-Legendre [Kar87]. Para los casos de mas de una dimension se utiliza el metodo del“producto” [DT81], en el que solo se tiene en cuenta el grado de los polinomios enuna dimension.

Los objetos pueden estar formados por diferentes materiales, por lo tanto, esnecesario especificar las propiedades de los materiales incluyendo la informacioncorrespondiente a los coeficientes de elasticidad y la densidad de cada uno deellos. Para mayor versatilidad, el programa permite que las propiedades elasticasse especifiquen por medio de los coeficientes de Lame, por medio de las velocidadesde propagacion de las ondas (ver ecuacion 5.14) o por medio del modulo de Youngy el coeficiente de Poisson (ver ecuacion 5.13).

Ciertos nodos de los objetos pueden estar fijos o sujetos a restricciones en algunode sus grados de libertad. Este hecho se especifica por medio de un fichero coninformacion sobre las condiciones del contorno.

Asimismo, es posible especificar si el objeto esta sometido a fuerzas internas oexternas, ya sean volumetricas, superficiales o nodales.

Modulo de Procesamiento. Como se ha comentado previamente, el modulo deprocesamiento parte de los datos de entrada del problema para generar el sistemade ecuaciones dado en 5.28. La implementacion de este modulo implica realizar lassiguientes acciones basicas:

1. Calcular las matrices elementales: A partir de las ecuaciones constitutivas y laspropiedades especificadas por medio de los parametros de entrada, es posibleobtener los valores de las matrices para cada elemento Ke, Me, Ce y el vectorde fuerzas Fe. Estas matrices elementales se constituyen teniendo en cuenta laconfiguracion topologica de los elementos.

2. Obtener las matrices globales a partir de las elementales: El ensamblaje de lasmatrices elementales en las globales determina a aportacion de cada nodo en lasmatrices generales K, M , C y F .

3. Incluir las restricciones de contorno en el sistema: En el sistema de ecuacionesformado por las matrices globales es necesario considerar las restricciones enel contorno. Para ello, se eliminan las ecuaciones correspondientes a grados delibertad conocidos y se introducen nuevas ecuaciones que incorporen estos valoresconocidos.


Modulo de resolucion. Las tecnicas que permiten resolver sistemas de ecuacioneslineales son numerosas, y varıan considerablemente segun se desee obtener la soluciondel sistema de ecuaciones de equilibrio (caso estatico) o la solucion del sistema deecuaciones de movimiento (caso dinamico).

Solucion del sistema estatico En el caso estatico los metodos buscan la solucion delsistema de ecuaciones dado por:

Kd = f (5.30)

donde K es la matriz de rigidez, d es el vector desplazamiento y f es el vector defuerzas del sistema.

Estos metodos se clasifican basicamente en dos grupos: de solucion directa y desolucion iterativa.

Las tecnicas de solucion directa consisten en un conjunto de pasos sistematicos,de manera que el numero pasos y operaciones esta predeterminado. Estos metodoshan sido ampliamente usados con resultados satisfactorios, sin embargo solo sonadecuados para sistemas con pocas ecuaciones. La exactitud de los resultadosdepende en gran medida del numero de ecuaciones y del condicionamiento delas ecuaciones (well-conditioned o ill-conditioned) [GHR87]. Las tecnicas directasmas conocidas se basan en eliminacion de Gauss: Factorizacion de Cholesky (odescomposicion LU), Condensacion Estatica, Subestructuras y Solucion Frontal.

Los metodos iterativos, por otra parte, son eficientes para grandes sistemas deecuaciones y la exactitud del metodo depende del numero de iteraciones. Cuandoeste numero no es excesivamente alto, el tiempo para obtener la solucion esconsiderablemente menor que el que se requiere en las tecnicas directas [Coo87].Entre los metodos iterativos mas usados se encuentran: Gauss-Seidel [BW76], sobre-relajacion o los metodos de Jacobi (semi-iterativo, gradiente conjugado) [SSK89].

En la implementacion desarrollada se opta por el metodo de Gradiente Conjugadodebido a su simplicidad [Ueb97]. Asimismo este metodo permite implementar latecnica de precondicionamiento de las matrices, lo que acelera considerablemente laconvergencia del gradiente conjugado.

Solucion del sistema dinamico En el caso dinamico el objetivo es obtener losdesplazamientos que se producen en los nodos para cada instante de tiempo,resolviendo el sistema de ecuaciones dado por:

M d(t) + Cd(t) + Kd(t) = f(t)

d(0) = d0 (5.31)

d(0) = d0

donde M , C y K son las matrices globales, f representa el vector de fuerzas y d esel vector de desplazamientos.


Los metodos clasicos de resolucion para sistemas dinamicos lineales se puedendividir, basicamente, en dos grupos: metodos de superposicion [BW76] y metodosde integracion directa [GHR87].

Los metodos basados en el principio de superposicion solo se puedenutilizar para obtener la respuesta de sistemas lineales o linealizados, mientras quelas tecnicas de integracion directa tienen la ventaja de su absoluta generalidad.Aunque de momento en esta tesis se trabaja con sistemas lineales, no se descarta laposible inclusion de sistemas no lineales en el futuro, por lo tanto se ha consideradoconveniente implementar los algoritmos de integracion directa.

Los metodos de integracion directa se basan en una discretizacion temporaldel sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden obtenidoen 5.31. Para ello se establece una particion del intervalo temporal (0, T ) en nintervalos iguales, de modo que tn = n�t con 0 ≤ n ≤ N y �t = T/N . Este esquemaestablece una solucion aproximada en los tiempos 0,�t, 2�t, ..., T . Sin embargo, hayque tener en cuenta que el paso de tiempo elegido y usado en el proceso es de granimportancia. Su tamano esta relacionado no solo con el contenido de frecuencia de laexcitacion, sino tambien con la discretizacion espacial de modo que sea consistentecon la velocidad de propagacion de la onda en la malla de elementos finitos [GHR87].

Clasicamente, entre las tecnicas de integracion directa es posible distinguir dosgrandes grupos: los algoritmos de extrapolacion o explıcitos y los de iteracion oimplıcitos. La diferencia entre ellos radica en que, en los algoritmos del primergrupo, los valores de desplazamiento, velocidad y aceleracion en el instante ti+�t seaproximan unicamente en funcion de los valores conocidos en ti, mientras que en losdel segundo grupo, estos valores dependen tambien del desplazamiento desconocidoen ti + �t, por lo que se hace necesario un proceso iterativo para encontrar lasolucion.

Con esta base existen varios metodos de integracion directa: los metodos de tipoNewmark, metodo de Houboult y el metodo de Wilson-θ. De los mismos, solo sedescriben aquellos que han sido implementados en esta tesis: los metodos de tipoNewmark, que incluyen el metodo de las Diferencias Centrales (perteneciente a losmetodos de extrapolacion o explıcitos) y el metodo general (perteneciente a losmetodos de integracion o implıcitos).

En ambos casos se plantea la aproximacion del sistema de ecuaciones diferencialesordinarias 5.28 por medio del siguiente esquema de diferencias finitas [SSKB90], en elque las aceleraciones y velocidades se aproximan en terminos de los desplazamientos:

M dn+1 + Cdn+1 + Kdn+1 = fn+1 (5.32)

dn+1 = dn + �tdn +�t2

2

[(1 − 2β)dn + 2βdn+1

](5.33)

dn+1 = dn + �t[(1 − γ)d + γdn+1

](5.34)

donde los parametros β y γ definen la familia de algoritmos.


A continuacion se describe brevemente la implementacion de ambos metodos, queaunque se basan en los mismos principios son considerablemente diferentes entre sı.

El esquema de las Diferencias Centrales se obtiene asignando los coeficientes β = 0y γ = 1

2. Sustituyendo los valores de β y γ en las ecuaciones 5.33 y 5.34, se obtiene la

siguiente expresion, que representa la aproximacion tıpica de las diferencias centrales:

dn =1

2�t(dn+1 − dn−1) (5.35)

dn =1

�t2(dn−1 − 2dn + dn+1) (5.36)

Para obtener una solucion aproximada al desplazamiento dn+1 en el tiempo t+�t,hay que sustituir los valores de dn y dn de las ecuaciones anteriores (5.35 y 5.36) enla ecuacion 5.28, especificada en un valor de t.

M dn + Cdn + Kdn = fn (5.37)

De este modo, se obtiene:(1

�t2M +

1

2�tC

)dn+1 = fn −

(K − 2

�t2M

)dn −

(1

�t2M − 1

2�tC

)dn−1

(5.38)En este metodo, el calculo de dn+1 involucra dn y dn−1, por lo que se requiere un

procedimiento especial para comenzar. Es necesario calcular el valor de d−1 a partirde las ecuaciones 5.35 y 5.36 particularizadas en el instante inicial, de forma que:

d−1 = d0 −�td0 +�t2

2d0 (5.39)

lo que exige conocer d0. Este valor se puede calcular de la ecuacion 5.37 en el tiempot = 0, aunque tambien es posible que este predeterminado.

La solucion aproximada del desplazamiento dn+1 involucra resolver un sistemade ecuaciones algebraicas simetrico y espureo que recibe el nombre de Metodo delas Diferencias Centrales Implıcito (DCI). Sin embargo, cuando las matrices demasa y de atenuacion son diagonales, dn+1 se puede obtener “explıcitamente” poruna division simple y se lo denomina Metodo de las Diferencias Centrales Explıcito(DCE).

El metodo de las Diferencias Centrales es condicionalmente estable. La estabilidadse garantiza exigiendo que el paso de tiempo �t sea menor que un valor crıtico �tcr.Para obtener una solucion valida es necesario que se cumpla:

�t ≤ �tcr =�x√

3(V 2p + V 2

s )para DCI (5.40)

�t ≤ �tcr =�x

Vp

para DCE (5.41)


donde �x es el tamano de los elementos finitos, y Vp y Vs son las velocidades detransmision transversal y longitudinal de la onda.

El metodo de Newmark generalizado es un metodo implıcito que consiste enevaluar la ecuacion de movimiento 5.32 con las aproximaciones de desplazamiento yvelocidad dadas en 5.33 y 5.34, respectivamente, o dejando a dn+1 como incognitabasica:

dn+1 =γ

β�t(dn+1 − dn) − γ − β

βdn − γ − 2β

2β�tdn (5.42)

dn+1 =1

β�t2(dn+1 − dn) − 1

β�tdn − 1 − 2β

2βdn (5.43)

siendo β y γ los parametros que determinan la exactitud y la estabilidad del esquema.La eleccion de diferentes valores para β y γ permiten obtener diferentes tipos deesquemas de Newmark.

Para γ �= 12

el metodo es de primer orden mientras que para γ = 12

el metodo esde segundo orden. Si se cumple que 2β ≥ γ ≥ 1

2el metodo es incondicionalmente

estable, en cambio cuando γ ≥ 12

y β < γ2

el metodo es condicionalmente estable.Los metodos mas conocidos y utilizados de esta familia son:

Metodo Parametros Tipo Estabilidad

Diferencias centrales β = 0 γ = 1/2 Explıcito Condicional

Aceleracion media β = 1/4 γ = 1/2 Implıcito Incondicional

Aceleracion lineal β = 1/6 γ = 1/2 Implıcito Condicional

5.6. Validacion de la fase musculo-esqueletal

Observar la evolucion de las deformaciones a lo largo de toda la simulacionayuda a comprobar la existencia de suavidad en los movimientos y que no hayadiscontinuidades, sin embargo es muy complicado realizar una verificacion exacta delos desplazamientos obtenidos por el metodo de elementos finitos si solo se efectuauna comprobacion visual. Por lo tanto, para comprobar la exactitud numerica delsistema de deformaciones implementado, se han comparado los resultados obtenidoscon el resultado de aplicar los mismos problemas en diferentes sistemas de elementosfinitos. En el caso de la verificacion de los problemas estaticos se ha comparado conlos resultados obtenidos en el software MYDAS [Cal94] desarrollado por el grupoGEMM (Grupo de Estructuras y Modelado de Materiales) de la Universidad deZaragoza. En el caso de los problemas dinamicos se ha optado por utilizar Abaqus[ABA] debido a su reconocida especializacion en estas areas de trabajo. En todoslos casos el mallado se ha realizado con I-DEAS [Law01].


Como normalmente las mallas estan formadas por gran cantidad de nodos, y paracada uno de ellos existe una deformacion por cada iteracion, se produce una grancantidad de datos a comprobar. De cara a una mejor y mas rapida interpretacion delos datos, se ha optado por visualizar la evolucion de la deformacion en el tiempode alguno de los nodos mas significativos.

Comparaciones de objetos de 2 dimensiones En esta seccion se comprobara la validezdel modelo para efectuar simulaciones de deformaciones en 2D. Para ello se utilizaranobjetos compuestos por materiales con diferentes parametros de elasticidad ydensidad, a los cuales se les aplican distintas fuerzas.

Para comprobar los resultados de las deformaciones obtenidas en el sistema serealizan diferentes simulaciones con el mismo objeto y las mismas condiciones decontorno. En todos los casos los nodos correspondientes al lado inferior se establecencomo fijos en ambas direcciones (x, y) con el fin de simular el apoyo en una superficie.

Para la verificacion del caso dinamico en 2D se ha elegido una placa cuadradade dimensiones: 500 x 500 mts, representado por una malla formada por elementoscuadraticos cuadrangulares de 50 x 50 mts de lado. La resolucion del sistema serealiza con metodo de Newmark de Aceleracion media (Newmark con β = 1

4y

γ = 12).

En el primer experimento las caracterısticas del material a deformar son lascorrespondientes al acero:

Densidad: 7820 kg/m3

Modulo de Young: 2.068e11 PaCoeficiente de Poisson: 0.29

En la primera simulacion se aplica en el lado superior una fuerza externa F de 100N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y) = (0, 100). Dicha fuerza se aplica en los10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 1 segundo (condt = 0,001)

La evolucion de los desplazamientos a lo largo del tiempo producidos en el nodocentral superior por la aplicacion de dicha fuerza en el objeto se puede observar en lafigura 5.20. La figura de la izquierda muestra obtenidos por el sistema desarrolladomientras que en el lado derecho se observan los desplazamientos obtenidos conAbaqus para el mismo nodo.

En el segundo experimento las caracterısticas del material a deformar son lascorrespondientes a una goma dura:


Modulo de Young: 2.3e9 PaCoeficiente de Poisson: 0.40

Al igual que en el caso anterior, se aplica en el lado superior una fuerza externa Fde 100 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y) = (0, 100). Dicha fuerza se aplica


Figura 5.20. Desplazamientos del nodo superior del centro durante 1 segundo de simulacion obtenidos con el sistemadesarrollado (izquierda) y con Abaqus (derecha)

en los 10 elementos que forman dicha cara de manera constante durante 1 segundo(con dt = 0,001)

Sin embargo, el comportamiento de este material difiere considerablemente delcaso del acero, tal como se puede observar en la figura 5.21, que refleja los resultadosobtenidos por el sistema desarrollado y los resultados obtenidos utilizando Abaqus.


Para comprobar el comportamiento del sistema con otras condiciones de carga, serealiza una segunda simulacion con este material. En este caso se aplica, tambien enel lado superior, una fuerza externa de 10000 N, hacia arriba y en sentido verticalF (x, y) = (0, 10000). Dicha fuerza se aplica en los 10 elementos que forman dichacara de manera constante durante 0.5 segundos y a partir de ese instante la fuerzadecae de manera lineal hasta hacerse 0 en t = 1 segundo (dt = 0,001).

En este caso, la comparacion de los resultados obtenidos mediante el sistemadesarrollado y los obtenidos por Abaqus se pueden observar en la figura 5.22.



Comparaciones de objetos de 3 dimensiones En esta seccion se comprobara lavalidez del modelo para efectuar simulaciones de deformaciones en 3D. Al igual quepara el caso en 2D, se utilizaran objetos compuestos por materiales con diferentesparametros de elasticidad y densidad, a los cuales se les aplican distintas fuerzas.

Para la verificacion del caso dinamico en 3D se ha elegido una placa de dimensiones:500 x 500 x 50 mts, representado por una malla formada por elementos trilinealeshexaedricos de 50x50x50 mts de lado. Al igual que en el caso de 2D, en los objetos3D los nodos correspondientes a la superficie inferior permanecen fijos en todas lasdirecciones (x, y, z) con el fin de simular el apoyo en una superficie.

Para la primera simulacion en 3D el objeto se modela considerando las propiedadesdel acero, descritas anteriormente y aplicando una fuerza externa F sobre la carasuperior es de 10000 N hacia arriba, en sentido vertical F (x, y, z) = (0, 10000, 0), deforma constante durante 1 segundo (con dt = 0,001).

La evolucion de los desplazamientos a lo largo del tiempo producidos en un nodocentral superior se puede observar en la figura 5.23. La figura de la izquierda muestraobtenidos por el sistema desarrollado mientras que en el lado derecho se observanlos desplazamientos obtenidos con Abaqus para el mismo nodo.

Para comprobar el comportamiento del sistema con otras condiciones de carga, serealiza una segunda simulacion con este material. En este caso se aplica una fuerzaexterna de 10000 N, hacia arriba y en sentido vertical F (x, y, z) = (0, 10000, 0) en lasuperficie superior pero de manera constante solo durante los primeros 0.5 segundosy a partir de ese instante la fuerza decae de manera lineal hasta hacerse 0 en t = 1segundo (dt = 0,001).

En este caso, la comparacion de los resultados obtenidos mediante el sistemadesarrollado y los obtenidos por Abaqus se pueden observar en la figura 5.24.

5.7. Conclusiones

En este capıtulo se han presentado y clasificado las diferentes tecnicas que existenhoy en dıa para simular las deformaciones de los tejidos blandos, en especial de




organos y musculos, senalando las ventajas y los problemas mas importantes de losdiferentes modelos.

El metodo de los elementos finitos (FEM) permite realizar simulaciones con unamayor precision por estar basado en la fısica. Es por ello que es el metodo quese ha implementado en MOBiL a pesar de que presenta un alto requerimientocomputacional para sistemas no lineales y grandes deformaciones, como serıa elcaso de la simulacion de los musculos. Dado que lo que se pretende es plantear unmetodo heurıstico, razonablemente basado en la Fısica y que simule la mayor partede los fenomenos tıpicos de los medios continuos, se ha supuesto que se linealizael musculo y se evita la re-evaluacion de los vectores de fuerza y las matrices derigidez, masa y amortiguamiento a medida que el objeto se deforma. De este modo,se pierde exactitud pero no fenomenologıa. Serıa algo analogo a lo que representa lautilizacion de tecnicas basadas en la Radiosidad frente a la utilizacion de las tecnicasbasadas en la Radiancia en el entorno de la problematica de la solucion del problemade la iluminacion global.


Por otra parte, hay que recalcar que la utilizacion de un modelo de accion muscularpara “condicionar” el problema e “integrar” los resultados de las deformacionesmusculares del modelo calculado por FEM en el movimiento global de locomociones un metodo que asegura una adecuada transicion entre fases y mantiene la validezfısica en la simulacion global del fenomeno.

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6 Integracion final y visualizacion: Resultados

6.Integracion final y visualizacion: Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.1. Sistema de Visualizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.1.1.Detalles de implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2.1.Simulacion del movimiento esqueletal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2.2.Simulacion de las deformaciones musculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.3.Integracion de las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2.4.Tiempos de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

191

Integracion final y visualizacion: Resultados

En este capıtulo se describe, en primer lugar, el sistema de visualizaciondesarrollado para integrar los modulos implementados en los capıtulosanteriores: el sistema de animacion del esqueleto y el sistema de simulacionde las deformaciones musculares (ver figura 6.1).

Figura 6.1. Sistema de Visualizacion. Integracion de los resultados de los modulos previos.

A continuacion, se presentan los resultados experimentales obtenidos porambos modulos, utilizandolos tanto de manera individual como de formacoordinada, y por ultimo, se detallan los tiempos de calculo empleados enambos metodos. A traves de los resultados se verifica la validez de losmodelos implementados, ya sea de forma visual o contrastando los resultadosobtenidos con resultados de la literatura.

193

194 Capıtulo 6: Resultados

6.1. Sistema de Visualizacion

La herramienta de visualizacion desarrollada permite presentar, de manera visual,los resultados de los modulos del sistema MOBiL expuestos en los capıtulosanteriores (ver figura 6.1).

El sistema permite visualizar y trabajar con los datos que provienen del sistemade locomocion del ser humano y con los datos que proceden de la simulacion dela deformacion de un objeto, tanto de manera individual como de forma conjuntae integrada. Para ello, la aplicacion requiere informacion acerca del movimientodel esqueleto como de los desplazamientos de los nodos que componen la malla delmusculo, para cada instante de tiempo. Por lo tanto, el sistema recibe como entradas:

Procedente del sistema de locomocion: un fichero con informacion acerca de lossegmentos del esqueleto, su centro de masas y la variacion de los angulos, paracada instante de tiempo.Procedente del sistema de deformaciones musculares: un fichero con informacionde la deformacion muscular, que a su vez contiene referencias a los ficheros de:malla del musculo, desplazamientos de la malla para cada instante de tiempo,especificacion de los materiales y fuerzas de entrada.

El interfaz de la aplicacion se presenta en la figura 6.2.

Figura 6.2. Interfaz del sistema de visualizacion

A partir de los datos de entrada, el sistema de visualizacion permite obtener lassiguientes salidas:

Visualizacion integrada del sistema musculo-esqueletal, presentando de maneraconjunta la locomocion de un ser humano virtual junto con la deformacion delmusculo a medida que camina.

Capıtulo 6: Resultados 195

De forma especıfica para la locomocion, las salidas son: las siguientes salidas:• Visualizacion en tiempo real del ser virtual caminando, representado el

cuerpo como esqueleto, como modelo en jaula de alambre o como modelode superficies (ver figura 6.3).

• Representacion de los angulos formados por cada articulacion.• Fichero con la informacion de la geometrıa [Bei] y de los movimientos del

cuerpo, en formato H-Anim de VRML [H-A].• Ficheros con las coordenadas GL (uno para cada instante de tiempo).

De forma especıfica para los objetos deformables, las salidas son:• Visualizacion en tiempo real de las deformaciones que se producen en el

objeto, representado al objeto como una malla en jaula de alambre o unmodelo de superficies o por medio de superficies NURBS (Non-UniformRational B-Spline) (ver figura 6.3).

• Visualizacion de un objeto deformable, ya sea 2D o 3D, en modo estatico,superponiendo el objeto en su estado inicial y el objeto despues de haber sidodeformado.

• Representacion grafica de la evolucion de los desplazamientos de los diferentesnodos de la malla.

• Representacion grafica de las fuerzas de entrada para cada nodo de la malla.• Fichero con el objeto en formato VTK [SMAL00].

Para ambos casos, es posible generar:• Imagenes estaticas en formato .TGA• Secuencias de vıdeo de las animaciones, en formato .AVI, con o sin

compresion.

Figura 6.3. Visualizacion en jaula de alambre y por supeficies


6.1.1. Detalles de implementacion

La herramienta de visualizacion esta implementada en C++ con estandares ylibrerıas externas conocidas, como OpenGL [NDW93], optimizadas para el usode aceleradores graficos, y la especificacion H-Anim de VRML [H-A]. El interfaz,en cambio, se ha generado con GTK/GTK++ [GTK], de manera que fueraindependiente de la plataforma y pudiera correr tanto sobre Windows y como sobreUnix.

El modelo humano requerido para la visualizacion final, debe permitir elmovimiento de los segmentos que forman el cuerpo en tiempo real, pero ademasdebe poseer una cierta apariencia realista. Por ello, se ha optado por implementar elmodelo de acuerdo a un estandar que permita optar por la representacion del cuerpocomo un conjunto de segmentos articulados como un modelo en jaula de alambreo como un modelo de superficies y, que, por otra parte, permita la animacion entiempo real del modelo.

Para obtener estas posibilidades de representacion se ha seleccionado el estandarH-Anim de VRML [H-A] para especificar el cuerpo humano, cuya estructura generalse puede observar en la figura 6.4 (a).

(a) Especificacion H-Anim 1.1 (b) Implementacion en MOBiL

Figura 6.4. Representacion de las articulaciones y segmentos del cuerpo

El modelo humano construido en este trabajo se basa en la geometrıa del modelode cuerpo implementado por Beitler [Bei] y en el modelo esqueletal jerarquico de 48


segmentos desarrollado para el sistema de locomocion (ver seccion 3.2, figura 3.2).La estructura final de almacenamiento del cuerpo humano se puede observar en lafigura 6.4 (b).

Como se puede observar comparando ambas figuras, los unicos datos que no se hanimplementado corresponden al detalle de la cabeza (ojos, cejas,...) y a los segmentosy articulaciones de las manos, es decir, que son aquellos que no estan involucradosni se modifican en el proceso de locomocion.

6.2. Resultados

En este apartado se presentan los resultados experimentales obtenidos porlos diferentes modulos del sistema MOBiL. En primer lugar se presentan lassalidas graficas correspondientes al modulo de simulacion del movimiento globaly a continuacion se describen los resultados obtenidos mediante el sistema dedeformaciones. Posteriormente se presentan imagenes obtenidas por el modulo devisualizacion correspondientes a la animacion conjunta e integrada del sistemaMOBiL. En ultimo lugar se detalla la informacion referente a los tiempos de calculoempleados para las simulaciones.

6.2.1. Simulacion del movimiento esqueletal

El sistema de movimiento global se basa en un modelo esqueletal y permiteobtener simulaciones de locomociones de individuos con diferentes caracterısticasantropometricas y diferentes “maneras” de caminar. En este apartado se presentansecuencias de locomociones generadas realizando modificaciones sobre los distintosparametros.

En la parte superior de la figura 6.5 se observa la simulacion de una locomocioncompuesta por 4 pasos consecutivos, para una persona de 80 kg, 1.80 m de altura yandando a una velocidad de 5 km/h. En la parte inferior de la figura se presentanlos cambios en los valores angulares de la cadera, rodilla y talon durante estalocomocion. El primer paso constituye el comienzo a partir de la posicion de reposo,produciendo una aceleracion, y el ultimo paso finaliza la locomocion por medio deuna deceleracion, como puede observarse claramente en los extremos de la curva delas trayectorias de los angulos descritos por las articulaciones. La cadencia rıtmicade la locomocion tambien es clara.

La variacion de los datos antropometricos como el peso, la altura o lacomplexion, producen modificaciones en la manera de caminar. En la figura 6.6se presenta la diferencia en las locomociones correspondientes a 3 individuos condiferentes pesos: 65 kg, 80 kg y 120 kg, caminando a la misma velocidad (5km/h). Aunque las locomociones son similares, es interesante resaltar las diferentesaproximaciones que se producen en los apoyos del talon. La influencia de la fuerzade gravedad, y por lo tanto del peso, es un factor determinante en la apariencia enlos instantes de cambio de fase.


Figura 6.5. Cambios angulares en los valores de la cadera, rodilla y tobillo durante 3 ciclos de locomocion

La variacion de los parametros de diferenciacion del paso permiten obtenerlocomociones con diferentes caracterısticas. En la figura 6.7 se presenta el resultadode acentuar el parametro de balanceo pelvico, que se produce en el plano coronal.

De la misma forma es posible introducir otros cambios en la apariencia de lalocomocion, modificando alguno de los parametros detallados en el Apendice C.

6.2.2. Simulacion de las deformaciones musculares

El sistema de simulacion de las deformaciones de MOBiL permite trabajar con unmodelo musculo-esqueletal, a partir de las fuerzas generadas en la fase esqueletal.De este modo, es posible producir la deformacion local de los musculos durantela locomocion. Sin embargo, para poder aplicar este modulo previamente hay quedefinir:

Caracterısticas del material a utilizar.Tamano de mallado.Condiciones de contorno.Metodo de Resolucion.Paso de integracion para el metodo de resolucion.

El material considerado para el modelado del musculo tienen las siguientespropiedades:


Figura 6.6. Paso Natural a 5 km/h con: 65 kg (arriba), 80 kg (centro) y 120 kg (abajo)

Figura 6.7. Balanceo Pelvico


Modulo de Young: 1.06667e+4 PaCoeficiente de Poisson: 0.3333


En la literatura, los datos de las caracterısticas de los materiales que se emplean paradefinir los musculos varıa en un rango de varios ordenes de magnitud para los valoresdel Modulo de Young, y comprenden 1.0e+2 Pa [CZ92] hasta 3.02e+8 Pa [WZZ99].En este trabajo se trabaja con valores que se encuentran en un punto intermedio, de1.0e4 Pa, y se asemejan a los utilizados por [ZM99] en un trabajo especıfico sobrelas propiedades elasticas de los tejidos de las extremidades inferiores.

El tamano de la malla del musculo esta determinado por el algoritmo deparametrizacion dado, considerando en este caso a un un hombre de 1.80 m dealtura y 80 kg de peso. De este modo, resulta un tamano de musculo de 30 cmde alto, cuyo ancho varıa y en la parte mas angosta corresponde a 3 cm mientrasque en la parte mas ancha corresponde a 6 cm. La definicion del tamano de loselementos de la malla (�x) se ha realizado segun el procedimiento definido en elapartado de Mallado del objeto de la seccion 5.5.3. Sin embargo, en este experimentose ha tomado un valor de �x conservativo, �x = 0,015. De este modo, la mallaesta formada por 320 elementos trilineales hexaedricos (525 nodos).

La malla esta fija en su superficie superior, simulando ası su union al hueso pormedio de los tendones. La restriccion de movimiento en x, y y z para los nodos dedicha superficie constituyen las condiciones de contorno del problema.

El paso de integracion utilizado para la resolucion se determina a partir de losdatos del material y el tamano de la malla, segun se ha detallado en el apartadoSolucion del sistema dinamico en la seccion 5.5.3, resultando �t = 0,01. Y el metodode resolucion utilizado para realizar las deformaciones es el Metodo de Newmark deAceleracion Media.

Teniendo en cuenta las definiciones realizadas previamente, a continuacion sepresentan los resultados de las deformaciones producidas en 3 grupos muscularesdistintos: isquiotibiales, cuadriceps y trıceps sural. En todos los casos el tiempo desimulacion es de 1.12 segundos correspondiente a un ciclo de locomocion.

Las fuerzas de entrada para el sistema de deformaciones provienen del sistema delocomocion, y son las que figuran bajo el nombre de Entrada, en el lado izquierdo delas figuras. En el lado derecho de las figuras, bajo el rotulo de Salida se presenta eldesplazamiento producido en la malla despues del calculo por FEM. Ambos graficosreflejan la informacion correspondiente a un nodo de la malla. En la parte centralde las figuras se presenta la malla deformada para un instante de tiempo (marcadoen las graficas de entrada y de salida).

Resultados para el grupo muscular: Isquiotibiales A continuacion se presentan lasdeformaciones producidas en el grupo muscular Isquiotibiales. Los desplazamientosobtenidos corresponden a tres instantes de tiempo, particularmente significativos yse muestran en las figuras 6.8, 6.9 y 6.10.

Resultados para el grupo muscular: Cuadriceps Las figuras 6.11, 6.12 y 6.13 presentanlas deformaciones producidas sobre el grupo muscular Cuadriceps.


Figura 6.8. Deformacion del grupo muscular isquiotibiales en el instante A

Figura 6.9. Deformacion del grupo muscular isquiotibiales en el instante B

Figura 6.10. Deformacion del grupo muscular isquiotibiales en el instante C


Figura 6.11. Deformacion del grupo muscular cuadriceps en el instante A

Figura 6.12. Deformacion del grupo muscular cuadriceps en el instante B

Figura 6.13. Deformacion del grupo muscular cuadriceps en el instante C

Resultados para el grupo muscular: Trıceps Sural Las figuras 6.14, 6.15 y 6.16presentan las deformaciones producidas sobre el grupo muscular Trıceps Sural.


Figura 6.14. Deformacion del grupo muscular trıceps sural en el instante A

Figura 6.15. Deformacion del grupo muscular trıceps sural en el instante B

Validacion de los resultados Los resultados hallados en la literatura biomecanicacomprueban que los valores de desplazamientos obtenidos por la aplicacion delmetodo elementos finitos durante la locomocion se corresponden con los obtenidospor metodos experimentales [JJVH90] [DASM96] [ABD01]. En la figura 6.17 sepresenta la comparacion entre las variaciones en longitud producidas en el grupomuscular isquiotibiales obtenidas por el sistema desarrollado y las publicadas porDelp at al. [DASM96], donde la zona en gris se corresponde con los datos para lalocomocion normal. Para que dicha comparacion fuese posible, se han convertido losdatos del sistema a la metrica utilizada por Delp at al.

Varios ciclos de locomocion A pesar de que los datos anteriores se han dado para unsolo ciclo de locomocion, en la figura 6.18 es posible observar la cadencia cıclica dela locomocion, y por lo tanto, de las deformaciones, durante 3 ciclos de locomocionpara el grupo muscular de los isquiotibiales.


Figura 6.16. Deformacion del grupo muscular trıceps sural en el instante C

Figura 6.17. Comparacion correspondiente a la longitud del grupo muscular isquiotibiales. A la izquierda, los resultadosobtenidos por el sistema desarrollado. A la derecha, los resultados obtenidos por [DASM96], donde la zona en gris secorresponde con los datos correspondientes a la locomocion normal.

Figura 6.18. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales durante varios ciclos de locomocion


Diferencias en la frecuencia de paso La variacion en la frecuencia de paso para variosciclos de locomocion se puede observar en las siguientes figuras. En ambos casosse presentan las graficas correspondientes al grupo muscular de los isquiotibiales,para una persona de 80 kg de peso y de 1.80 m de altura. En la figura 6.19 lafrecuencia de paso es fp = 107,6 pasos/minuto, mientras que en la figura 6.20 seobserva el incremento de dicha frecuencia, que en este caso corresponde a fp = 144,3pasos/minuto.

Figura 6.19. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales para una persona caminando a fp = 107,6 pasos/minuto

Figura 6.20. Deformaciones del grupo muscular isquiotibiales para una persona caminando a fp = 144,3 pasos/minuto

Utilizacion de NURBS Para mejorar el aspecto visual de los musculos sin incrementarlos tiempos de calculo, es posible utilizar los nodos de la malla del musculo comopuntos de control de una superficie NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline), quese puede visualizar por medio de la librerıa OpenGL [NDW93].

La diferencia de utilizar la visualizacion directa de la malla o visualizacion pormedio de superficies NURBS se puede observar en la figura 6.21 con la malla enestado de reposo, y en la figura 6.22 con la malla deformada.


(a) En jaula de alambre (b) Con superficies NURBS

Figura 6.21. Visualizacion del musculo en reposo

(a) En jaula de alambre (b) Con superficies NURBS

Figura 6.22. Visualizacion del musculo contraıdo

6.2.3. Integracion de las simulaciones

El modulo de visualizacion permite obtener una animacion conjunta e integrada delos resultados obtenidos previamente. De este modo, es posible observar los cambiosque se producen en la forma de los musculos de las extremidades inferiores mientrasla persona camina.

La visualizacion conjunta de ambas simulaciones se puede observar en la figura6.23 (a), en la que el cuerpo se representa por medio de un esqueleto y en la figura6.23 (b), en la que el cuerpo se representa en jaula de alambre. En ambos casos elmusculo se representa por medio de una superficie NURBS.

En la figura 6.24 se presenta una secuencia de locomocion en la que es posibleapreciar la diferencia de visualizacion entre el cuerpo representado por un esqueletoo en jaula de alambre. El musculo esta representado por medio de una malla de 525nodos.


(a) Esqueleto humano con musculo (b) Cuerpo humano con musculo

Figura 6.23. Visualizacion integrada

Figura 6.24. Secuencia de locomocion

Los datos utilizados para estas simulaciones corresponden a un hombre de 80 kgde peso y 1.80 kg, de complexion normal, caminando a una velocidad de 5 km/h.


6.2.4. Tiempos de calculo

A continuacion se presentan la informacion relacionada con los tiempos de calculoempleados en la simulaciones del movimiento global y en las simulaciones de lasdeformaciones.

Tiempos de calculo para la simulacion del movimiento. El modulo de simulaciondel movimiento de locomocion del sistema MOBiL es capaz de efectuar los calculosen tiempo real sobre un computador Athlon con XP a 1800 MHz, con 384 MB dememoria RAM. En la tabla 6.1 se presentan los tiempos de CPU extraıdos del calculode una serie de secuencias de locomocion, variando el numero de pasos. En todoslos casos las locomociones se generan para una persona caminando a paso natural(5 km/h).

Numero de Pasos Tiempo Simulado Numero de Cuadros Tiempo de CPU

3 pasos 1.27 segundos 30 130 mseg





Tabla 6.1. Tiempos de calculo en un Athlon XP a 1800 MHz

La posibilidad del sistema de variar la cantidad de cuadros por segundo que segenerar, modifica los tiempos de calculo tal y como se refleja en en la tabla 6.2.

Numero de Cuadros Tiempo de CPU

25 fps 58 290 mseg

50 fps 117 300 mseg

100 fps 229 320 mseg

Tabla 6.2. Tiempos de calculo variando el numero de cuadros por segundo (fps) para una simulacion de 5 pasos a 5 km/h

Si se atiende a la distribucion del tiempo de calculo entre las diferentes fases delsistema, es posible observar que es la fase de giro es la que presenta un tiempo decalculo superior, a pesar de tener un menor tiempo real de simulacion (ver tabla6.3). En caso de necesitar optimizar alguna de las fases desarrolladas, esta deberıaser la primera en la que centrar la atencion.

Tiempos de calculo para la simulacion de las deformaciones Para determinar laposibilidad de simular las deformaciones musculares en tiempo real, se han


Tiempo de CPU

Dinamica de la pierna de apoyo 20 mseg

Cinematica de la pierna de apoyo y el cuerpo superior 0.1 mseg

Dinamica/Cinematica de la pierna de giro 25 mseg

Tabla 6.3. Tiempos de calculo de las fases del sistema de locomocion durante 1 paso

realizado diferentes pruebas para obtener los tiempos de calculos que surgen de lautilizacion de diferentes parametros.

En las mallas utilizadas en las simulaciones de las deformaciones presentadaspreviamente se han utilizado valores conservativos de �x y �t. Sin embargo, trasrealizar un analisis de dichos valores para el problema planteado, es posible llegara un lımite para el cual la precision de los resultados es comparable, considerando�x = 0,037 y �t = 0,01.

Los datos de entrada y salida para �x = 0,015 y para �x = 0,037 puedenobservarse en las figuras 6.25 y 6.26, respectivamente. La comparacion de las graficasrefleja que no hay una diferencia apreciable en los resultados.

Figura 6.25. Graficas de fuerzas y desplazamientos con una malla con �x = 0,015 (525 nodos)

Los valores de referencia usados como patron de comparacion de los tiempos decalculo son los que se observan en la tabla 6.4.

La variacion del numero de nodos de las mallas influye considerablemente enlos tiempo de calculos que se emplean para la simulacion de las deformacionesmusculares. En la figura 6.27 se observan las mallas del grupo muscular “isquiotibial”con 45, 117, 525 y 3321 nodos, respectivamente.

La comparativa de tiempos que surge de variar los numeros de nodos de las mallasse muestra en la figura 6.28. Los calculos se han realizado considerando un paso deintegracion de �t = 0,01, en el ordenador mencionado previamente.


Figura 6.26. Graficas de fuerzas y desplazamientos con una malla con �x = 0,037 (81 nodos)

Tiempo Simulado 1 segundo

Paso de Integracion �t 0.01 segundos

Numero de nodos 81

CPU UltraSPRACII 480 MHz

Tiempo de Calculo 3.4 segundos

Tabla 6.4. Valores de referencia utilizados para las pruebas

Figura 6.27. Mallas con diferentes numeros de nodos

Para el mismo numero de nodos, en este caso 81 nodos, el tiempo de calculo varıaconsiderablemente dependiendo de los pasos de integracion elegidos. La figura 6.29refleja el resultado, en segundos de trabajar con �t = 0,05, �t = 0,01, �t = 0,004y �t = 0,001.

La figura 6.30 muestra la comparativa entre los tiempos de calculo obtenidos condiferentes procesadores para procesar una malla de 81 nodos, con �t = 0,01. Losprocesadores considerados son: UltraSPRACII a 480 MHz, Pentium III a 800 MHzy Pentium IV a 2800 MHz.


Figura 6.28. Comparativa de los calculos con mallas con diferentes numeros de nodos

Figura 6.29. Comparativa entre diferentes pasos de integracion

6.3. Conclusiones

Es este capıtulo se ha realizado una descripcion del sistema de visualizaciondesarrollado, detallando sus caracterısticas principales. La eleccion del estandar H-Anim como modelo de alto nivel para la visualizacion permite una gran flexibilidady la posibilidad de integracion en otros sistemas, incluyendo entornos virtuales.

Asimismo, en este capıtulo se han puesto de manifiesto los resultados que se hanido obteniendo de aplicar los metodos de presentados en los capıtulos 4 y 5. Se hanmostrado algunos ejemplos de resultados de los modulos, de manera individual y deforma conjunta.

Los resultados del sistema de locomocion, validados previamente en el capıtulo4, permiten observar el efecto de la variacion de algunas de las caracterısticasantropometricas y de los parametros de diferenciacion del paso.


Figura 6.30. Comparativa con diferentes CPUs

A continuacion se han presentado los resultados de las deformaciones producidasdurante el ciclo de locomocion, atendiendo a los diferentes grupos musculares. Se hanmostrado las diferencias en las distintas partes del ciclo para cada grupo muscular,y se ha demostrado el comportamiento cıclico de las deformaciones, resultantes dela cadencia cıclica de la locomocion.

Posteriormente se ha presentado la integracion de ambos trabajos, incorporandolos resultados del movimiento de los segmentos del esqueleto y el musculo, junto consus deformaciones, en un ser virtual.

Finalmente se ha presentado una comparativa sobre los tiempos de calculo quese obtienen con el sistema MOBiL. El modulo de locomocion claramente obtienesalidas en tiempo real, mientras que para las deformaciones, el tiempo de calculovarıa considerablemente dependiendo del numero de nodos de la malla, en el paso deintegracion y en la CPU utilizada. De dicha comparativa, se deduce que utilizandouna CPU mas potente, es posible obtener las deformaciones en tiempo real.

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213

7 Conclusiones y Trabajos Futuros

7.Conclusiones y Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1. Objetivos Planteados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.2. Objetivos Alcanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.3. Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.4. Trabajo en desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197.5. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.5.1.Apariencia visual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5.2.Movimiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5.3.Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.5.4.Optimizaciones para Tiempo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

215

Conclusiones y Trabajos Futuros

7.1. Objetivos Planteados

Los objetivos planteados en este trabajo de tesis han sido:

1. Estudio de la problematica relacionada con las deformaciones musculares y con elcontrol del movimiento del cuerpo humano, en particular durante la locomocion.

2. Desarrollo de un sistema integrado de simulacion capaz de generar lasdeformaciones que se producen en los musculos durante la locomocion humana.

a) Desarrollo e implementacion de un metodo para animar la locomocionhumana que permita:

Controlar el movimiento de una forma sencilla e intuitiva,Generar animaciones en tiempo real de locomociones de individuos decaracterısticas antropomorficas diferentes,Generar valores de momentos y fuerzas.

b) Desarrollo e implementacion de un sistema de simulacion para la deformacionde objetos en 3 dimensiones que permita:

Utilizar los datos de fuerzas obtenidos de la locomocion,Realizar deformaciones con apariencia realista,Trabajar con tiempos de calculo aceptables.

3. Desarrollo de una plataforma que permita visualizar y generar animaciones delos resultados de las simulaciones.

7.2. Objetivos Alcanzados

En esta memoria se ha realizado, en el capıtulo 1, un analisis de todos aquellostrabajos que tratan las deformaciones musculares producidas durante la locomocion(objetivo 1). Sin embargo, para abordar esta problematica ha sido necesarioprofundizar de forma detallada en las investigaciones realizadas en las areas demodelado del cuerpo humano, movimiento del cuerpo y simulacion de deformacionesmusculares. El estudio de cada uno de estos temas se ha presentado en las secciones2.2, 4.1, y 5.1, respectivamente.

Se ha desarrollado un sistema que permite simular las deformaciones muscularesdurante la locomocion humana (objetivo 2). En el capıtulo 3 se ha presentado unadescripcion global del sistema, que consta de dos modulos que funcionan de maneracoordinada.

217

218 Capıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros

El primer modulo, presentado en el capıtulo 4, consiste en un sistema delocomocion (objetivo 2.a) que permite obtener animaciones en tiempo real depersonas con diferentes caracterısticas antropometricas y diferentes modos delocomocion. Dicho sistema se ha utilizado para obtener los datos de las fuerzasque actuan sobre los musculos, permitiendo ası la integracion con las deformacionesmusculares.

En el capıtulo 5 se ha presentado el segundo modulo, encargado de realizar lasdeformaciones musculares (objetivo 2.b) considerando las lıneas de accion de losmusculos y calculando la evolucion de los desplazamientos en el tiempo utilizandoel metodo de elementos finitos. Los tiempos de calculo obtenidos con las CPU’sutilizadas son “cercanos al tiempo real”, y si se migra el sistema a computadorescon CPU’s mas potentes, se obtendrıa tiempo real, al menos para mallas con elmınimo nivel de complejidad (capıtulo 7).

En el capıtulo 6 se ha descrito la implementacion del sistema de visualizacion quepermite integrar ambos modulos, y que ofrece la posibilidad de generar imagenes yanimaciones (objetivo 3).

7.3. Conclusiones Generales

La aportacion principal de este trabajo de investigacion consiste en el desarrollo deun sistema que permite la simulacion coordinada del movimiento de un modeloesqueletal complejo y de la deformacion muscular que se produce, con tiempos decalculo aceptables para la interaccion con el animador.

La utilizacion de este sistema, denominado MOBiL (Muscle defOrmation in BipedLocomotion), permite simular locomociones y deformaciones musculares en base aparametros de control de alto nivel en lugar de depender de datos capturados o de lainteraccion con el usuario. De este modo, es posible definir animaciones de diferentespersonas caminando, con solo modificar su velocidad, frecuencia o longitud de paso,y el peso, altura o complexion del individuo.

Para ello, el sistema se ha basado en un encadenamiento de modelos de pierna concomplejidad creciente, de forma que los resultados obtenidos utilizando uno sirvancomo entrada al siguiente, progresando desde lo global a lo local, y desde el esqueletohasta los musculos.

La animacion global del movimiento de locomocion se realiza en base a 48segmentos articulados que se mueven de forma coordinada durante varios ciclosde locomocion, incluidos los movimientos de inicio y fin de la marcha.

La animacion local de la forma se realiza utilizando elementos finitos para simularlas deformaciones de los musculos de las piernas cuando estas se mueven. Lautilizacion de FEM permite trabajar con mallas volumetricas en las que es posibleincluir informacion de la composicion interna de los objetos.

En cuanto a los tiempos de calculo, hay que resenar que la resolucion de sistemasde ecuaciones diferenciales de segundo orden y la utilizacion de elementos finitos

Capıtulo 7: Conclusiones y trabajos futuros 219

presentan un elevado coste computacional. Aunque para MOBiL se ha optadopor la implementacion directa de algoritmos de calculo numerico frente a lautilizacion de librerıas externas (posiblemente mejor optimizadas y mas rapidas)las simplificaciones escogidas y el mınimo nivel de complejidad de las mallasimplementadas permiten mantener el tiempo de calculo en el mismo orden demagnitud que el tiempo de simulacion (1 segundo real de simulacion necesita de3 segundos de calculos). Sin embargo, tambien hay que decir que si se migra elsistema a computadores con CPU’s mas potentes, es evidente que permitirıa obtenerresultados en tiempo real, al menos para mallas pequenas, pero suficientes.

A lo largo del desarrollo de la memoria se han ido presentando tanto reflexionescomo conclusiones referentes a cada tema en concreto.

7.4. Trabajo en desarrollo

En este apartado se presentan los resultados obtenidos de integrar los sereshumanos virtuales generados con MOBiL en un entorno inmersivo.

En primer lugar se describe la inclusion en un software comercial, PERFORMER,que podrıa dar lugar a la utilizacion en juegos. Posteriormente se describen los casosde incluir los humanos virtuales en software desarrollado dentro del Laboratorio deSimulacion de la Luz del grupo GIGA, en un entorno Cave-Like System (CLS).

En el entorno CLS las imagenes que se proyectan en las pantallas se generan conPCs diferentes, los cuales estan sincronizados por otro ordenador. En la figura 7.4se puede ver un esquema general del sistema.

Right projec

Rightprojec

Leftprojec

Client

Client

Client

Client

Client

Client

Left projec

Left projec

Right projec

Server

PC

Screen

Right projec Projector

Figura 7.1. Esquema del CLS

La inclusion de caracteres humanos en movimiento es fundamental en simulacionde la conduccion para aumentar la sensacion de inmersion dentro del entorno.


Para este tipo de aplicaciones la iluminacion de la escena es no-realista y se generanimagenes con apariencia de videojuego. En este sentido, se ha elegido trabajar con lalibrerıa comercial PERFORMER debido a su versatibilidad y a su disposicion paravarias plataformas. Para lograr la simulacion se han incluido en PERFORMERlos ficheros que contienen las coordenadas del humano para cada paso de tiempo.Esta tecnica se aplica actualmente en el desarrollo de un simulador de conducciondenominado SIMPRAC, que se utiliza para analizar la reaccion de un conductorinexperto en situaciones inesperadas, de manera que se puedan prevenir accidentesde trafico. Los resultados obtenidos se observan en la figura 7.2.

Figura 7.2. Vista de una calle con seres virtuales

Para los estudios de seguridad en la conduccion, es necesario que la escenase “vea” tal como la verıa un observador en una situacion real, por lo tantoes necesario un sistema de simulacion precisa, con un mecanismo que permitarealizar la reproduccion de tono que se produce en el ojo. Asimismo, es necesarioincluir personajes en movimiento dentro de las escenas, ya que pueden afectar ala percepcion del conductor. Para simular este tipo de escenas se trabaja con unsistema de simulacion de la iluminacion, ALEPH [MS00], en el que se incluyen losseres virtuales, exportados de MOBiL en formato VRML, que incluye la geometrıay las especificaciones de movimiento del modelo del cuerpo.

En la figura 7.3 se observa un ejemplo de diferentes niveles de visibilidad de unpeaton, en condiciones extremas de iluminacion, a la entrada y salida de un tunel.Por ejemplo la claridad exterior puede hacer que un peaton se torne invisible para elconductor debido al deslumbramiento. Esta simulacion requiere un paso de mapeode tono, que se realiza con SEKER [GAS04] una vez que se obtienen los resultadosde ALEPH.


Figura 7.3. Dos ejemplos de imagenes con diferentes niveles de visibilidad

Por ultimo, los humanos virtuales se han incluido en una representacion virtualdel Teatro/Auditorium Telde, construido recientemente en Gran Canaria (IslasCanarias). La inclusion de los seres humanos permite realizar estudios de usabilidady ergonomıa del espacio, y observar el efecto de aumentar la cantidad de gentecaminando en la recepcion del teatro. Para ello se ha trabajado con el softwareSICARA3D [MSSG04].

La figura 7.4 (a) se muestra, una visualizacion del interior del auditorium con seresvirtuales, mientras en la figura 7.4 (b) se puede ver la interaccion con el modelo entiempo real dentro del sistema CLS.

(a) Seres Virtuales en el Auditorio Telde (b) Vista Inmersiva

Figura 7.4. El auditorio Telde

7.5. Trabajos futuros

A continuacion se proponen algunas lıneas de posible trabajo futuro. La primeraseccion se centra en la lınea de la Apariencia visual, la segunda se focaliza en el


Movimiento global, la tercera esta relacionada con las Deformaciones y, por ultimo,la cuarta seccion esta orientada al Tiempo real.

7.5.1. Apariencia visual

La mejora de la apariencia visual de los musculos se puede lograr incorporarndotexturas directamente sobre las mallas o sobre las superficies NURBS. Dichastexturas se pueden obtener a partir de imagenes medicas [DCKY02], ya sea pormedio de tecnicas de vision o simplemente mediante captura de la imagen, teniendoen cuenta la direccion de las fibras [Ng 01]. Asimismo, serıa conveniente estudiarla tecnica presentada en [JP02] permite visualizar texturas para la simulacion dedeformaciones empleando tarjetas graficas de bajo coste.

Por otra parte, para obtener mayor precision a la hora de representar los musculosgran parte de los trabajos incoporan reconstrucciones en 3D extraıdas de imagenesmedicas. Los datos de Tomografıas Computadas y Resonancias Magneticas sepueden obtener del Visible Human [Ack98], y la reconstruccion del los musculospuede realizarse trabajando con tecnicas de modelado geometrico [GSB99] o bienutilizando las herramientas desarrolladas en el grupo GIGA permitirıan realizartanto la segmentacion de las imagenes [PS03] como la generacion de la malla [PSS03]que forma el musculo.

7.5.2. Movimiento global

Los movimientos planteados en este trabajo se podrıan extender para incluirotro tipo de locomociones. Desde menor a mayor complejidad, podrıan incluirselos siguientes movimientos: subir y bajar escaleras [CH99], caminar en terrenos queno sean planos [CH99] [LL00], correr [BC96] o saltar [FG96].

Concretamente, dentro del sistema de locomocion actualmente desarrollado, serıainteresante poder representar la locomocion de personas de diferentes edades,desde ninos hasta ancianos. La manera de caminar cambia mucho dependiendode la edad, ya no solo por la velocidad del paso, sino tambien por la perdidade masa muscular [NMRC03], que es especialmente mayor en los musculos de lasextremidades inferiores (de los 20 a los 70 anos la masa muscular decrece en un 25%[JHWR00]). El artıculo de [LBT03] serıa un buen punto de comienzo para trabajarcon locomociones de personas de edad avanzada.

En el sistema desarrollado se ha trabajado con datos antropometricoscorrespondientes a hombres de raza blanca, pero dado el modelo parametricoutilizado, es facilmente extensible a otros segmentos de la poblacion y permitela simulacion de la locomocion en mujeres e individuos de otras razas, edades ocomplexiones.

7.5.3. Deformaciones

El sistema de deformaciones podrıa extenderse para la inclusion de otro tipo decomportamiento de los materiales, como la viscoleasticidad o no linealidad. Sin


embargo, esto implicarıa cambios considerables en el metodo de elementos finitos.Por ello, el comportamiento muscular podrıa simularse utilizando el modelo deZajac-Hill [Zaj89], tal como se plantea en los artıculos de [CZ92] o en [KS97].

Actualmente se han implementado las lıneas de accion como la union entre elorigen y la insercion del musculo, excepto en el caso del cuadrıceps, donde se haconsiderado la inclusion de la rotula. Sin embargo, la accion de las fuerzas no sueleir en lınea recta, por lo tanto serıa posible utilizar polilineas [NT00] para simular laaccion muscular.

7.5.4. Optimizaciones para Tiempo Real

Actualmente es posible visualizar en tiempo real, la deformacion de los musculosde una persona durante la locomocion gracias a un modelo musculo-esqueletal. Conmallas formadas por 32 elementos finitos, con CPUs de ultima generacion y con unpaso de integracion temporal de 0.01 segundos, es posible simular las deformacionesproducidas en los musculos durante el movimiento de locomocion.

Uno de los objetivos que serıa deseable alcanzar se centra en la simulacionen tiempo real de un modelo musculo-esqueletal “completo” de las extremidadesinferiores durante la locomocion. La opcion mas simple consiste en calcular losdiferentes musculos en paralelo en diferentes procesadores de modo que se puedaconseguir la visualizacion del comportamiento de varios musculos en simultaneo. Sinembargo, si se pretende trabajar con mayor nivel de detalle es necesario trabajarcon tecnicas de paralelismo. Para ello, se preve trabajar con un cluster Beowulfdesarrollado en el grupo GIGA [SGMB03]. El sistema tiene 5 nodos identicos, a loscuales no es posible acceder directamente, y un nodo especial que actua como front-end del sistema. Los nodos son PIII dual a 1 GHz con 1 GB de memoria DIMM. Elsistema se basa en Linux como sistema operativo, y en el software Bproc [Hen02].

Para ejecutar el codigo de elementos finitos desarrollado en un sistema con lascaracterısticas mencionadas, habrıa que realizar algunas modificaciones:

Usar la librerıa estandar MPI [WSG+98] para la comunicacion entre los diferentesprocesos.Cambiar el metodo de almacenar los datos en las matrices, pasando de unalmacenamiento por filas a un almacenamiento diagonal [SSB00] [SS00].

Otra posibilidad para resolver los conflictos entre calidad y velocidad consistirıaen utilizar tecnicas multiresolucion similares a las planteadas en los trabajosdesarrollados en [CPD+96] y en [ZCK98].

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A. Apendice: Datos y constantes antropometricas

Los datos utilizados en este trabajo para las medidas de los segmentos y losmusculos de las extremidades inferiores del esqueleto provienen de una recopilacionrealizada por Pierrynowski [Pie95] a partir de una coleccion de artıculos. Estosdatos corresponden a un individuo de referencia de 1.70 m y 70 kg, masculino ycaucasiano, y siguen el sistemas de coordenadas estandar propuesto por el grupoCAMARC, levemente modificado [Pie95]. Dicho sistema es ortogonal, siguiendo laregla de la mano derecha, y se considera que con un individuo en posicion anatomica,F = Forward va de posterior a anterior, O=Outward va de derecha a izquierda yU=Upward va de inferior a superior. La figura 7.5 ilustra el sistema de referenciaFOU para el humero derecho.

Figura 7.5. Sistema de referencias FOU: Forward, Outward, Upward

A.1. Datos correspondientes al esqueleto

Las medidas correspondientes a los segmentos de las extremidades inferiores sepueden observar en la figura 7.6 [Pie95].

Los datos correspondientes a los segmentos del resto del cuerpo se basanprincipalmente en los datos parametricos, proporcionales a la altura del individuo,provenientes de trabajos de varios autores [Win79] [BC89] [Win90].

A.2. Datos correspondientes a los musculos

Los datos requeridos para los musculos son los siguientes: longitudes de musculo(Lm), tendon (Lt) y fibras (Lf ), angulo de pennation (α), masa (mass) y ASTF(pCSA). Los valores utilizados se expresan en la figura 7.7.

A.3. Uniones entre huesos y musculos

La informacion relativa a los puntos de origen e insercion de los diferentes musculosen los huesos se extraen tambien de la misma fuente y se reflejan en la tabla de lafigura 7.8.

242 Apendice A: Datos y constantes antropometricas

Figura 7.6. Referencias de los segmentos del esqueleto siguiendo el sistema FOU

Apendice A: Datos y constantes antropometricas 243

Figura 7.7. Datos de los musculos de las extremidades inferiores

Figura 7.8. Referencias de los orıgenes e insercion de los musculos de las extremidades inferiores

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244

B. Apendice: Actividad Muscular durante la Locomocion

A continuacion se explica detalladamente la actuacion de los musculos en lasdiferentes fases del ciclo de locomocion. Las fases se corresponden con las fasescinematicas previamente descritas en el capıtulo 4 (ver figura 7.9).

Figura 7.9. Diagrama de la temporizacion de las subfases del ciclo de locomocion

La Fase de Apoyo estaba formada por las subfases de Contacto, Despegue deltalon y Despegue del Empeine. Sin embargo, de cara al analisis de la actividadmuscular es conveniente subdividir en dos partes la fase de Contacto: Contacto deltalon y Apoyo medio. La Fase de Giro esta formada por las Subfases 1, 2 y 3 deGiro.

Los datos para la descripcion de la actividad muscular durante las distintas fasesy subfases de la locomocion humana se han extraıdo de diferentes trabajos, entrelos que hay que mencionar los siguientes: [Kap70] [PVB84] [FN93] [PMP97] [Ayy97][Hum02] [Whi03].

Fase de Apoyo: Contacto - Contacto del talon con el suelo. Durante esta accionel miembro inferior se alarga al maximo y la pelvis esta en el lado del contacto enaduccion horizontal, con respecto al miembro en carga. La rodilla esta en extensioncompleta o casi completa. El tobillo se halla en posicion neutra. Estas posicionesarticulares tienen como objetivo dar al miembro inferior la maxima longitud.

Musculos que actuan sobre el tobillo: Los tres dorsiflexores primarios deltobillo, extensor comun de los dedos, extensor propio del primer dedo ytibial anterior, estan activos. Estos musculos, que componen el grupo pretibial,producen una contraccion excentrica para amortiguar el choque contra el suelocuando las fuerzas externas (gravedad e inercia), llevan el pie a la flexion plantar.

Musculos que actuan sobre la rodilla: Para compensar la inestabilidad que seproduce en la rodilla al impactar el talon contra el suelo, el cuadriceps produceuna contraccion excentrica. La articulacion de la rodilla se mueve de unaextension completa a una posicion de 15 o 20o de flexion.

246 Apendice B: Actividad Muscular

Figura 7.10. Contacto: Contacto del talon con el suelo

Musculos que actuan sobre la cadera: La accion del gluteo mayor y de losisquiotibiales resisten el movimiento de las fuerzas que tienden a flexionar lacadera despues del contacto del talon. Los erectores de la columna tambienestan activos para resistir la tendencia del tronco de realizar una flexion haciaadelante. El gluteo menor y mediano tambien participan en esta accion, aunqueson musculos abductores y su funcion principal es la estabilizacion lateral de lacadera.

Fase de Apoyo: Contacto - Apoyo medio. Una vez que toda la suela plantar tomacontacto con el suelo el sujeto se halla en equilibrio monopodal. La longitud maximadel miembro inferior, alcanzada durante la fase precedente, es ahora una desventajaya que somete al centro de gravedad a una aceleracion vertical importante; por estarazon la rodilla se flexiona ligeramente, de 15 a 25o segun el sujeto y la rapidez deldesplazamiento.

Figura 7.11. Contacto: Apoyo medio

Musculos que actuan sobre el tobillo: La tibia empieza a rotar hacia adelantesobre el pie fijo, los dorsiflexores estan esencialmente inactivos, pero los musculos

Apendice B: Actividad Muscular 247

de la pantorrilla (gastronemios, soleo, tibial posterior, flexor largo de los dedos yperoneo lateral largo) demuestran un aumento gradual de su actividad. El soleoactua como estabilizador de la rodilla en extension, junto con los dos flexores queactuan sobre los dedos, y ayudados de manera inconstante por los gastronemios.La actividad de estos musculos sirve para controlar la velocidad con que la tibiarota sobre el pie fijo. El musculo peroneo contribuye a mantener la estabilidadlateral de la pelvis.

Musculos que actuan sobre la rodilla: Cuando la planta del pie esta apoyadaen el suelo, solo esta activa la parte anterior del muslo. La naturaleza de laactividad del cuadriceps cambia de una contraccion excentrica (alargamiento) auna contraccion concentrica (acortamiento). Como resultado de esta contracciony de una aceleracion hacia adelante del centro de gravedad, producido por eldespegue del miembro opuesto, se extiende el muslo en la pierna y la rodillaflexionada se mueve en la direccion de la extension. Los cuadriceps resisten laflexion de la rodilla hasta que el centro de gravedad pasan sobre la base del piede apoyo. Posteriormente la actividad de los cuadriceps es practicamente nula.

Musculos que actuan sobre la cadera: En esta fase el gluteo mayor continuasu accion de contraccion y los musculos abductores continuan estabilizando lacaıda de la pelvis en el plano frontal.

Fase de Apoyo: Despegue del talon. Esta etapa se caracteriza por una intensaactividad de los musculos llamados “flexores plantares” que actuan sobre el tobillo.Durante el despegue del talon los dedos permanecen en contacto con el suelo y eltobillo se halla colocado en posicion alta. Este hecho somete al centro de gravedada una aceleracion vertical importante, lo que provoca que la rodilla se doble en esemismo instante.

Figura 7.12. Despegue del talon

Musculos que actuan sobre el tobillo: La actividad muscular mas importantees en la parte posterior de la pierna, en la cual todos los musculos estan activos,


tanto los flexores de los dedos de los pies como el trıceps sural (gastronemios, soleoy delgado plantar). El trıceps sural, en contraccion excentrica, es el responsablede “elevar” la parte posterior del pie, mientras que otros musculos son accesoriosde esta accion tractora. El tibial posterior y los peroneos estan en contraccion ycontinuan con su accion estabilizadora.

Musculos que actuan sobre la rodilla: Cuando la reaccion del suelo pasa pordelante de la rodilla se genera un momento de fuerza en extension y no senecesita ninguna reaccion de los musculos extensores de la rodilla para controlarsu estabilidad. Los gastronemios, ademas de su accion en el tobillo, ayudan aevitar la hiperextension de la rodilla.

Musculos que actuan sobre la cadera: El tensor de la fascia lata esta activopara prevenir la caıda de la pelvis. El iliopsoas y los aductores, inactivos hastael momento, resisten la tendencia del movimiento hacia adelante del cuerpo parahiperextender la cadera y produce flexion de la misma. El movimiento haciaadelante del femur inicia la flexion de la rodilla, mientras que la rodilla es llevadahacia adelante y el pie esta todavıa en contacto con el suelo.

Fase de Apoyo: Despegue del empeine. Durante este fase, el tobillo se mueve de suposicion de dorsiflexion a 20o de flexion plantar. A medida que la flexion plantaraumenta, el peso sobre la pierna va disminuyendo. La flexion de la rodilla pasrapidamente para lograr los 35o de flexion al final de este perıodo.

Figura 7.13. Despegue Empeine

Musculos que actuan sobre el tobillo: Al final de esta fase la fuerza verticaldisminuye y los plantaflexores estan inactivos.

Musculos que actuan sobre la rodilla: La tension pasiva en los flexoresplantares facilitan la flexion de la pierna, que decrece hasta cero preparandosepara el despegue de los dedos del pie. La contraccion excentrica del cuadricepsayuda a prevenir una elevacion excesiva del talon y contribuye a la aceleracionhacia adelante de la pierna El recto anterior y el vasto medio actuanconjuntamente para frenar la amplitud de la flexion de la rodilla.


Musculos que actuan sobre la cadera: La cadera se flexiona a una posicionneutral iniciada por el recto anterior, el sartorio y el aductor largo. El aductorlargo es el encargado de llevar la pierna hacia la lınea media.

Fase de Giro: Subfase 1 de giro. El perıodo de elevacion de los dedos del pie es muybreve y se caracteriza porque el peso del cuerpo se carga en la pierna contraria parapoder despegar los dedos del pie. Para ello se realiza una flexion rapida e importantede la rodilla, que puede alcanzar unos 50o, pero sin actividad de los flexores de rodilla.Por otra parte, los aductores estan muy activos debido a su accion como flexores dela cadera.

Figura 7.14. Subfase 1 de Giro. Despegue de los dedos del pie

Musculos que actuan sobre el tobillo: Losmusculos del compartimiento posterior (trıceps sural) continuan brevemente suaccion de mantenimiento del angulo del tobillo, y luego cesa su actividad. Losperoneos ejercen una accion de estabilizacion lateral, mientras que los musculostibiales anteriores, junto con el extensor comun de los dedos y el extensor propiodel primer dedo del pie, permiten que el pie se desprenda del suelo para dar elpaso.

Musculos que actuan sobre la rodilla: El momento de flexion de la cadera,asistido por el biceps femoris corto, el sartorio y el gracilis crea una rapida flexionde la rodilla, que permite que el pie se despegue. El sartorio, junto con el gracilisy el iliaco contribuyen tanto a la flexion de la rodilla como a la de la cadera.

Musculos que actuan sobre la cadera: En este estadio solo estan activos losmusculos aductores, que actuan como flexores de la cadera. Los gluteos estaninactivos, debido a que se acaba de transferir el peso del cuerpo a la piernacontraria.

Fase de Giro: Subfase 2 de giro o Giro medio. En este estadio, el miembro inferioralcanza su longitud mınima. Las articulaciones de la cadera y la rodilla estan en


flexion y la articulacion del tobillo se moviliza para llevar al pie a dorsiflexion. Elpeso total del cuerpo lo soporta la pierna contraria.

Figura 7.15. Subfase 2 de Giro o Giro Medio

Musculos que actuan sobre el tobillo: Los musculos tibial anterior, extensorcomun de los dedos y extensor del dedo gordo del pie (grupo pretibial) se contraeny actuan como elevadores del antepie.

Musculos que actuan sobre la rodilla: Durante este periodo el recto anteriory el crural continuan la accion iniciada anteriormente: frenar la amplitud de laflexion de la rodilla. A estos se anade el musculo sartorio que tiene una dobleaccion de flexor de cadera y rodilla. Al final de la etapa se incorpora a la accionel recto interno, que tambien sirve como flexor de la rodilla. El bıceps cruralinterviene para controlar la posicion del pie, conforme se acerca al suelo.

Musculos que actuan sobre la cadera: Durante la ultima parte de esteintervalo, los musculos extensores de la cadera, principalmente los isquiotibialesestan activados para controlar el movimiento de la extremidad hacia adelante.En el compartimiento interno estan activos el recto interno, mencionado porsu actuacion en la rodilla, y el aductor mayor. Para controlar la actividad delaductor mayor, y evitar ası una aduccion demasiado pronunciada, en este perıodotambien esta activo el tensor de la fascia lata.

Fase de Giro: Subfase 3 de giro. El miembro inferior oscilante pasa a gran velocidad,mientras que el miembro opuesto estan en carga, y el esqueleto se coloca en posicionde mayor longitud posible para alcanzar el suelo antes que el cuerpo.

Musculos que actuan sobre el tobillo: El tibial anterior, el extensor comun yel extensor del dedo gordo del pie continuan en contraccion para mantener el pieen dorsiflexion y para preparar la amortiguacion del choque durante el contactodel talon con el suelo.

Musculos que actuan sobre la rodilla: El bıceps crural continua la actividadiniciada en la fase precedente, y se le incorporan los musculos semimembranoso


Figura 7.16. Subfase 3 de Giro. Final de la fase de giro.

y semitendinoso. Estos tres musculos (isquiotibiales) frenan la oscilacion anteriorde la pierna. La actividad mas intensa se produce justamente antes de la tomade contacto del talon. El segundo pico corresponde a una estabilizacion de larodilla. El musculo sartorio ejerce una traccion simultanea sobre la pierna y elmuslo, asumiendo su papel de ligamento activo y protector de la integridad de larodilla. Los cuadriceps se contraen para extender la rodilla en preparacion parael contacto inicial.

Musculos que actuan sobre la cadera: El musculo iliaco actua como flexor decadera, equilibrando su contraccion con la frenadora de los isquiotibiales que,hacia el final de la trayectoria, despues de desacelerar energicamente la pierna,se oponen a una flexion de cadera demasiado pronunciada. El recto internose manifiesta de nuevo, y el aductor mayor entra en accion hacia el final delmovimiento de oscilacion y su actividad solo cesa en el momento del contactotalon-suelo.

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252

C. Apendice: Parametros de diferenciacion del paso

A lo largo del trabajo se han introducido una serie de parametros que controlanel movimiento de alguno de los segmentos del cuerpos y una serie de variablesque, de forma parametrica, configuran el movimiento de las articulaciones. Estasvariables pueden estar restringidas en sus lımites inferior y/o superior. La restriccionpuede corresponder a valores extraıdos de medidas antropometricas, experimentaleso esteticas. En todos los casos, los valores de estas restricciones pueden ser cambiadospara obtener modos de locomocion individualizados.

En la tabla 7.1 se pude encontrar el nombre, la definicion y el valor por defecto delos parametros de diferenciacion del paso implementados en el sistema, mientras queen la tabla 7.2 se especifican los datos correspondientes a las restricciones articularesdel modelo.

Nombre Valor Definicion

frot brazo 80 % En el plano sagital, proporcion entre el angulo girado por cada brazo y el angulo de la

articulacion de la cadera opuesta

frot hombro 60 % En el plano transversal, proporcion entre el angulo girado por cada hombro y el angulo de la

pelvis, en sentido contrario

fbal pelvis 100% En el plano coronal, factor de proporcion del angulo maximo de balanceo pelvico

fanch paso 90 % Proporcion respecto a la longitud de la pelvis l0 de la anchura del paso. El 100% significa quelas caderas y pies se encuentran alineaos. Interviene en el calculo del desplazamiento lateral

maximo dlat max junto con la frecuencia de paso

θ2 des 0o En el plano sagital, valor angular respecto a la columna vertebral. Permite modificar la

apariencia de la locomocion inclinando la columna hacia atras o adelante

durflex rodilla 10 % En la subfase de despegue del empeine, es la proporcion respecto del tiempo de duracion deun ciclo de locomocion, en la que la articulacion de la rodilla alcanza el valor de amax rodilla

dist D 30 % Proporcion, sobre la distancia horizontal recorrida por el tobillo de la pierna de giro en la

subfase 1 en que la altura del tobillo es maxima

lev tobillo inicio Altura maxima del tobillo en el paso inicial, partiendo del reposo

Tabla 7.1. Descripcion de los parametros de diferenciacion del paso y sus valores por defecto

254 Apendice C: Parametros de diferenciacion del paso


rmax codo 35o Maxima flexion del codo

rmin codo 0o Mınima flexion del codo

rmax pelvis 13o En el plano transversal, valor angular maximo de la rotacion pelvica

tranmax fp 40 p/m Lımite superior del incremento de la frecuencia de paso que puede producirse entre dos pasosconsecutivos para que su apariencia sea normal

fp max 180 p/m Lımite superior del incremento de la frecuencia de paso que puede producirse en un paso

para que su apariencia sea normal

fp norm 132 p/m Valor de la frecuencia de paso natural. Lımite superior de la frecuencia del paso para poder

utilizar la formula de normalizacion del paso. Proporcion sobre la altura total del individuo

lp max 60 % Lımite superior de la longitud de paso que puede producirse en un paso para que su aparienciasea normal. Proporcion sobre la altura total del individuo

lp norm 58.2% Longitud de paso natural. Lımite superior de la longitud del paso para poder utilizar la

formula de normalizacion del paso. Proporcion sobre la altura total del individuo

tranmax v 2km/h Lımite superior del incremento de la velocidad caminando que puede producirse entre dospasos consecutivos para que su apariencia sea normal

decmax v 4km/h Lımite inferior del incremento de la velocidad caminando que puede producirse entre dos

pasos consecutivos para que su apariencia sea normal

lev dedo 0.009m Altura mınima que debe existir entre el dedo del pie y el suelo en la fase de giro. Con esta

distancia se previene en la cinematica el choque del pie con el suelo

giro1 metac 0o Valor angular de la articulacion del empeine al final de la subfase 1 de giro

giro1 tobillo 80o Valor angular de la articulacion del tobillo al final de la subfase 1 de giro

θ4 des 4o Valor angular que debe ser alcanzado por la articulacion de la rodilla al final de la subfase 2de giro

amax rodilla 65o Valor angular de la articulacion de la rodilla al final de un tiempo determinado posterior al

inicio de la subfase cinematica de despegue del tobillo. Proviene de medidas experimentales

θ5 des 90o Valor angular de la articulacion del tobillo al final de la fase de giro

θ6 des 0o Valor angular de la articulacion del empeine al final de la fase de giro

θ4min apoyo 0o Valor angular mınimo de la articulacion de la rodilla en la fase de apoyo

apoyofin tobillo 50o Valor angular de la articulacion del tobillo al final de la fase de apoyo

θ6min lapso 2o Incremento mınimo del angulo del empeine durante la subfase de despegue del empeine

Tabla 7.2. Descripcion de las restricciones cinematicas de las articulaciones y sus valores por defecto

D. Apendice: Constantes fısicas

Los datos que se presentan son valores medios extraıdos de medidas experimentalesde la rigidez de ciertas articulaciones de nuestro modelo. Es necesario recordar quese utilizan expresiones propias de comportamientos de elementos pasivos (muellesy amortiguadores) como expresion temporal de la accion de los elementos motoresque impulsan al sistema.

Variar la rigidez de los muelles y elementos de friccion permite modificar ladinamica basica del sistema y obtener diferentes caracterizaciones en los mecanismosde locomocion.


kw 11500 Rigidez del muelle longitudinal de la pierna de apoyo

υw 600 Constante amortiguadora lineal de la pierna de apoyo

k2 1800 Rigidez del muelle de torsion del cuerpo superior

υ2 200 Constante amortiguadora de torsion del cuerpo superior

k3 5000 Rigidez del muelle de torsion de la pierna de giro

υ3 400 Constante amortiguadora de torsion de la pierna de giro

pa1 inc 0.05 Incremento del valor del elemento activo de control de la fuerza axial de la pierna de apoyoen la subfase dinamica de contacto

pa3 inc 0.05 Incremento del valor del elemento activo de control de la fuerza axial de la pierna de apoyo

en la subfase dinamica de apoyo medio

Tabla 7.3. Descripcion y valores por defecto de las constantes fısicas del sistema

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