Sistemes d’equacions lineals

1023

6

21

21

xx

xx

En les equacions algebraiques lineals, les incògnites

• mai estan elevades a una potència diferent de 1 (x2 + y=2)

• no apareixen productes entre dues o més incògnites (x·y=3)

• mai hi ha divisions entre incògnites (x/y=3)

• no estan en funcions transcendents com ln(x) , ex, cos(x) ...

Un sistema d’equacions és lineal si totes les equacions que el formen són lineals

Solució d’un sistema

2106

543

yx

yx

Les gràfiques es creuen en un punt, que és la solució al sistema d’equacions

Aquest sistema no té una única solució, ja que la segona equació és idèntica a la primera multiplicada per 2 (i tenen doncs la mateixa gràfica).La solució és la mateixa recta: y = (3x-5)/4

1086

543

yx

yx

Sistemes en 3 variables

Quan tenim 3 equacions amb 3 incògnites com l’exemple de baix:

3x - y + 2z = 1

X - y + z = 0

3y - 2z = 5

Estem tallant 3 plans a l’espai R3 i pot passar també que la solució no sigui única, o be senzillament que no en tengui ( plans paral·lels )

Notació matricial

Un sistema d’equacions lineals algebraiques es pot expressar en forma matricial:

743

592

yx

yx

7

5

43

92

y

xA· x= b

A x b

Abans de resoldre el sistema

Calculem: rank(A)

• A: matriu associada

ija

• [A, b]: matriu ampliada

iij baCalculem: rank([A,b])

Cal tenir present ...

rank ([A,b]) > rank (A) sistema incompatible

rank (A) = n (n: nombre d’incògnites)

rank ([A,b]) = n sistema compatible- determinat: solució única.

Si b = 0, la solució és la trivial: x = 0

rank ([A,b]) > n (on per tant m>n) sistema incompatible

rank (A) < nrank ([A,b]) = rank (A) sistema compatible-indeterminat.

El rang de la solució és igual a n-rank(A)

Algunes propietats de les matrius.

•Diagonal: Tots els elements fora de la diagonal són zero.

•Identitat (I), La diagonal conté uns i la resta d’elements és zero, . A·I = I·A per qualsevol matriu A.

• Trasposta At , es la que resulta de l’intercanvi de files per columnes.

•Quadrada, té m files i m columnes. En aquestes, es defineix la traça com tr ( A ) = suma elements de la diagonal i llavors es compleix tr (A)= tr (At)

•Triangular inferior, té tots els elements per davall de la diagonal zeros.

Sistemes equivalents

Com a resultat de les propietats vistes a l’Algebra lineal podem fer una sèrie d’operacions “permeses” al sistema que volem resoldre i el que en resulta te les mateixes solucions:

-Intercanviar files

-Dividir o multiplicar tots els elements d’una fila pel mateix nombre

-Sumar o restar a una fila una combinació lineal de les altres.

Mètode de Gauss

És un dels sistemes clàssics per resoldre sistemes compatibles determinats i aprofita tot el que hem dit anteriorment.

Objectiu:

Arribar a un sistema equivalent amb la matriu associada resultant

Triangular Inferior.

Exemple

4 2 1 1 15

3 1 4 2 8

1 1 3 3 13

4 2 1 15

/ 3 1 4 8

1 1 3 13

x

x

x

A b

21

31

43

41

RR

RR

4 2 1 15

0 10 19 77

0 0 72 216

1 2

2 2

3 3

x

x

x

2 32 10R R

Mètode de Gauss-Jordan

-Empra la mateixa idea que hem exposat.

-Es procura obtenir zeros al mateix temps per damunt i per davall de la diagonal.

-En general, els elements resultats a la diagonal es converteixen en uns i fan de pivot.

- Així la matriu associada pot ser I = identitat i llavors la solució és el vector columna d’independents.