Método de diferencias finitas

Aproximación de diferencial para derivadas parciales

1. El método consiste en una aproximación de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con valores de la variable dependiente en un limitado numero de puntos seleccionados .

2. Como resultado de la aproximación, la ecuación diferencial, la ecuación diferencial que describe el problema es remplazada por un numero finito de ecuaciones algebraicas , en términos de los valores de la variable dependiente en valores seleccionados.

3. El valor de los puntos seleccionados se convierten en las incógnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser resuelto y puede llevar un numero largo de operaciones aritméticas.

Demostración:

Para mostrar este método vamos a considerar el caso de un flujo bidimensional de un fluido en un acuífero homogéneo, isotópico confinado. Sin fuentes o sumideros.

Para este, el flujo es descrito por la ecuación de Laplace:

ec.1.1.1

∂2h∂ x2

+ ∂2h∂h2

=0

Esta ecuación debe ser satisfecha en todos sus puntos del dominio R del acuífero considerado. En la frontera de R el nivel del agua, h, debe satisfacer ciertas condiciones de frontera. Vamos a asumir que las condiciones de frontera son:

ec.1.1.2S1h=f

ec.1.1.3

S2Qn=−T ∂h∂n

=0

Una retícula de cuadrados es trazada sobre la región R (figura 1.1). El valor de la variable h en un punto nodal de la retícula, o nodo, es expresada como h i,j , donde i indica la posición de una línea vertical de la retícula (la columna), y j la línea horizontal de la retícula (el renglón).

En general, la aproximación de la primera derivada con respecto a x de una función F(x,y), es dada por:

ec.1.1.4∂F∂ x≈F ( x+Δx , y )−F (x , y )

Δx

Esta se dice que es la aproximación de diferencia finita hacia adelante de la derivada parcial.La diferencia finita hacia atrás es obtenida de la forma siguiente:

ec.1.5

∂F∂ x≈F ( x , y )−F ( x−Δx , y )

Δx

Existen pequeñas diferencias entre las dos aproximaciones. La diferencia finita central es a menudo más exacta:

ec.1.1.6

∂F∂ x≈F( x+ 12 Δx , y )−F (x−12 Δx , y )

Δx

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada; y si utilizamos una aproximación de diferencia finita central, obtendremos:

ec.1.1.7∂2F∂ x2

≈F ( x+Δx , y )−2 F ( x , y )+F (x−Δx , y )

(Δx )2= F i+1, j−2F i , j+F i−1 , j

(Δx )2

La fórmula se ilustra en la figura 1.2, donde la función mostrada tiene segunda derivada positiva, por el incremento de la pendiente en la dirección x.

La aplicación de (1.1.7) a las derivadas parciales el (1.1.1) nos da la aproximación del operador de Laplace. Si por razones de simplicidad se asumen intervalos iguales en las direcciones de x e y:

ec.1.1.8∂2h∂ x2

+ ∂2h∂ y2

≈hi , j−1+hi , j+1−4h i , j+h i−1 , j+hi+1 , j

(Δ )2

Como la parte izquierda de la ecuación se reduce a cero según lo indica la ecuación diferencial básica (1.1.1), se puede hacer la aproximación requiriendo que:

ec.1.1.9

hi , j=14∗(hi , j−1+h i, j+1+hi−1 , j+hi+1 , j )

Los nodos en la frontera requieren atención especial para acomodar las condiciones de frontera. Una posible condición de frontera es la condición de Dirichlet (1.1.2), la cual establece que el nivel del agua subterránea sea el especificado a lo largo de parte de la frontera. En este caso ésta se prescribe a priori y ya no es una incógnita.

En un nodo de una frontera impermeable, a lo largo de la cual una condición de frontera de Neumann (1.1.3) es aplicada, el nivel es una incógnita y la ecuación para ese nodo debe reflejar la condición de no flujo en la frontera.

Para un nodo en una frontera vertical por la izquierda esto puede ser expresado por la condición de que hi−1 , j=h i+1 , j.La sustitución en el algoritmo general nos da:

hi , j=14∗(hi , j−1+h i, j+1+2h i+1 , j )

Un ejemplo simple de una región rectangular es mostrada en la figura 1.3. A lo largo del límite superior el nivel se especifica como 100. En la esquina inferior izquierda es especificado el nivel cero. La estimación inicial para los nodos con valor desconocido se considera con el valor promedio de 50.

En la primera parte de la figura se muestran las condiciones iniciales. Estas no satisfacen la ecuación (1.1.9). Son corregidas aplicando la aproximación en una siguiente iteración o ciclo del programa, y el resultado se muestra en la parte central de la figura. Tampoco se satisface la ecuación (1.1.9).

Después de un número dado de iteraciones, en cada una de las cuales todos los valores son actualizados, la solución correcta es obtenida y representada en la parte derecha de la figura.

El método descrito es denominado de relajación, porque en cada paso los errores son relajados. En terminología matemática el método de relajación es también conocido como el método de Gauss-Seidel.

Figura 1.3 Ejemplo del método de diferencia finitas

DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSIONEl problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente un poco más comprometido, aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión.Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región Ω rectangular) , regido por la ecuación diferencial siguiente:

Aquí G es el modulo elástico transversal:

Donde;

E es el modulo longitudinal

V es la relación de Poisson

Φ es la funcion de tension que satisface la condicion Φ=0 en los contornos.

El momento torsor T esta dado por T=2 Φ dx dy y la tension tangencial en una direccion cualquiera n en la seccion se obtiene a partir de:

Para aplicar el método de diferencias finitas en ésta situación, procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. A tal fin, construimos un conjunto de puntos de grilla

Igualmente espaciados en rango 0 x Lx con X 0=0 , X L=Lx , X i+1−x i=Δx=ctey tambien un

conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados Y m (m=0,1,2 , k ,m )sobre el rango 0 x Lx con y0=0 , ym=Ly , ym+1− ym=Δycte

La region en la cual se requiere la solución esta entoces cubierta por una grilla

rectangular de diferencias finitas, atraves del trazado de lineas paralelas al eje 0y a traves

de cada punto Xi; y de la misma forma, trazando paralelas al eje 0x a traves del punto Ym.

Un punto tipico de grilla esta dado entonces por las coordenados( Xi,Ym ) . El metodo de

diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuacion:

Lo que significa que nuevamente reemplazaremos los terminos que involucran ahora derivadas parciales por sus correspodientes aproximaciones de diferencias finitas.

:

Aplicaremos a la resolución de la siguiente barra prismática, utilizando la grilla que vemos a continuación