METODO DE LA SECANTEUn problema fuerte en la implementacin del
mtodo de Newton-Raphson es el de la evaluacin de la derivada.
Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para
muchas otras funciones, existen algunas de estas cuyas derivadas
pueden ser extremadamente difciles de evaluar. En estos casos, la
derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida como
se muestra en la figura.
Tabla
Esquema grafico del mtodo de la secante. Esta tcnica es similar
a la del mtodo de Newton-Raphson en el sentido de que una
aproximacin a la raz se calcula extrapolando una tangente de la
funcin hasta el eje x. Sin embargo, el mtodo de la secante usa una
diferencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.
Esta aproximacin se puede sustituir en la ecuacin obteniendo la
ecuacin iterativa :
Esta ecuacin es la formula para el mtodo de la secante. Notese
que el planteamiento necesita de dos puntos iniciales de x. sin
embargo, debido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre
estos valores, a este mtodo no se le clasifica como aquellos que
usan intervalos.EJEMPLO 1Usar el mtodo de la secante para calcular
la raz de Empicese con los valores iniciales de SOLUCION:Recuerdese
que la raz real es 0.56714329.Primera iteracin:
Segunda iteracin:
(Notese que las dos aproximaciones se encuentran del mismo lado
que la raz )
Tercera iteracin:
DIFERENCIAS ENTRE EL METODO DE LA SECANTE Y DE LA REGLA
FALSAExiste similitud entre estos mtodos ya que ambos usan dos
estimaciones iniciales, para calcular una aproximacin a la
pendiente de la funcin que se usa para proyectar hacia el eje x una
nueva aproximacin a la raz. Sin embargo, existe una diferencia
critica entre ambos mtodos y esta estriba en la forma en que uno de
los valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximacin.
Recurdese que en el mtodo de la regla falsa, la ultima aproximacin
de la raz reemplaza aquel valor cuya funcin tenia el mismo signo de
f(x). en consecuencia, las dos aproximaciones siempre encierran a
la raz. Por lo tanto, en todos los casos practicos, el mtodo
siempre converge ya que la raz se encuentra dentro del intervalo.
En contraste el mtodo de la secante reemplaza los valores en una
secuencia critica, con el nuevo valor x+1 se reemplaza a Como
resultado de esto, los dos valores pueden caer de un mismo lado de
la raz. En algunos casos, esto puede provocar divergencia.EJEMPLO
2Comparacin de la convergencia en los mtodos de la secante y la
regla falsa.Usar el mtodo de la regla falsa y la secante para
calcular la raz de .Hagase los clculos con los valores iniciales de
Solucin En el mtodo de la regla falsa, usando la ecuacin general y
los criterios de obtencin de la raz en el intervalo mediante el
reemplazo de los valores correspondientes en cada aproximacin, se
generan las siguientes iteraciones:
ITERACION
10.551.8546
20.51.85461.2163
30.51.21631.0585
Como se podr apreciar ms adelante en las siguientes grficas, las
aproximaciones convergen a la raz real 1.En el mtodo de la secante
usando la formula general y el criterio secuencial para reemplazar
las aproximaciones se obtiene:ITERACION
10.551.8546
251.8546-0.10438
Como se mostrara en las siguientes grficas, el comportamiento
del mtodo es divergente.
Aunque el mtodo de la secante sea divergente en algunos casos,
cuando converge lo hace ms rpido que el mtodo de la regla falsa.
Por ejemplo en la figura que se mostrara a continuacin, que se basa
en los ejemplos anteriores, se muestra la superioridad del mtodo de
la secante. La inferioridad del mtodo de la regla falsa se debe a
que un extremo permanece fijo y de esta manera mantiene a la raz
dentro del intervalo. Esta propiedad, que es una ventaja porque
previene la divergencia; esto hace que la aproximacin con
diferencias divididas sea menos exacta que la derivada.
Comparacin de los errores relativos porcentuales para cada uno
de los mtodos en la determinacin de las races de .
