MTODO DE LAS IMGENES
El mtodo de las imgenes simplifica la resolucin de ciertos
problemas de electrosttica con condiciones en la frontera
reemplazando a la ecuacin de Poisson.Este mtodo hace uso del
teorema de unicidad el cual indica que la solucin de un problema
electrosttico que satisface un conjunto de condiciones en la
frontera es la nica solucin posible.Permite hallar las
distribuciones de potencial sustituyendo las superficies
limitadoras por cargas imagen ubicadas adecuadamente.
Resuelve problemas de potencial en los que aparece una fuente de
carga puntual o lineal, frente a contornos conductores sencillos.
Se sustituye el conductor por una o ms fuentes puntuales
denominadas cargas imagen.Cuando se coloca la carga imagen, se la
debe colocar de tal manera que la superficie conductora sea una
superficie equipotencial o con potencial igual a cero.Ej:
EJEMPLO 1:Una carga positiva Q est situada a una distancia d
sobre un gran plano conductor conectado a tierra. Calcule:a) El
potencial en un punto arbitrario P(x,y,z) de la regin y>0.b) La
distribucin de carga inducida sobre la superficie del plano
conductor.
SOLUCIN:a)Sustituir el plano conductor por una carga imagen
puntual Q en y = -d
Calcular el potencial en un punto P(x,y,z) debido a las dos
cargas:
Y
b)La densidad superficial de carga inducida se calcula a partir
de:
es la componente normal del campo E sobre la superficie del
conductor.
Entonces la densidad de carga inducida sobre la superficie
conductora del problema es:
es igual a:
Reemplazando en
EJEMPLO 2:Una lnea de carga [C/m] est situada a una distancia d
del eje de un cilindro circular conductor paralelo de radio a,
tanto la lnea de carga como el cilindro conductor son infinitamente
largos. Determinar la distancia medida desde el centro del cilindro
para colocar la carga imagen, de manera que la superficie del
cilindro sea equipotencial.
SOLUCIN:La imagen debe ser una lnea paralela, dentro del
cilindro, con densidad de carga lineal opuesta a , para que la
superficie cilndrica en r = a sea equipotencial.
Para hallar la relacin de voltaje utilizamos:
El campo elctrico debido a una lnea de carga es:
Entonces el potencial a una distancia r de la lnea de carga
es:
es un punto de referencia del potencial cero.
El potencial en un punto M sobre la superficie del cilindro
debido a y es:
Como = -, entonces:
Las superficies equipotenciales estn dadas por:
Para que una superficie equipotencial coincida con la superficie
cilndrica (, el punto debe estar situado de manera que los
tringulos y sean similares. Estos tringulos ya tienen un ngulo
comn, , as que se debe elegir el punto de manera que ,
entonces:
Entonces:
Esa es la distancia a la que se debe poner la lnea de carga
imagen para que la superficie del cilindro sea equipotencial.
