Mtodo de los mnimos cuadrados. Polinomio aproximadorTratamiento
de datosPolinomio aproximador La clase PolRegesion. El
procedimiento de Seidel Ejercicios Bibliografa
Supongamos que hemos medido un conjunto de pares de datos (xi,
yi) en una experiencia, por ejemplo, la posicin de un mvil en
ciertos instantes de tiempo. Queremos obtener una funcin y=f(x) que
se ajuste lo mejor posible a los valores experimentales. Se pueden
ensayar muchas funciones, rectas, polinomios, funciones potenciales
o logartmicas. Una vez establecido la funcin a ajustar se
determinan sus parmetros, en el caso de un polinomio, sern los
coeficientes del polinomio de modo que los datos experimentales se
desven lo menos posible de la frmula emprica. La funcin ms sencilla
es la funcin lineal y=ax+b que hemos tratado en la pgina anterior.
El procedimiento de ajustar los datos experimentales a una lnea
recta se denomina regresin lineal
Polinomio aproximadorQueremos aproximar un polinomio de grado n,
a un conjunto de m pares de datos (xi, yi) de modo que n m. Sea el
polinomio P(x)=a0+a1x+a2x2+...anxn Se calcula la cantidad
Para obtener los valores de los coeficientes del polinomio
aproximador se tienen que determinar los valores de los
coeficientes a0, a1, a2, ...an de forma que la cantidad S tome un
valor mnimo. Hagamos las derivadas parciales de S respecto de a0,
a1, a2, ...an iguales a cero
(1) Obtenemos un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas,
a0, a1, a2, ...an Ejemplo: Supongamos que tenemos 4 pares de datos
y que queremos ajustarlos al polinomio de segundo grado
y=a0+a1x+a2x2 x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3
Las ecuaciones (1) se escribirn
agrupando trminos
Volvamos al sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas.
Introduzcamos las expresiones
(2) Se obtiene el siguiente sistema de n+1 ecuaciones con n+1
incgnitas
(3) Si todos los puntos son distintos, el sistema de ecuaciones
tiene una solucin nica. Para resolver el sistema de ecuaciones se
puede emplear alguno de los varios procedimientos existentes. El
mtodo empleado en este programa es el mtodo de iteracin. Ya que la
matriz del sistema de ecuaciones es positiva, para este sistema se
emplea el procedimiento de Seidel.
La clase PolRegesion.La clase PolRegresion tiene los siguientes
miembros datopublic class PolRegresion { private double[] x;
//datos private double[] y; private int nDatos; double[][] m;
//matriz de los coeficientes double[] t; //trminos independientes
public double[] a; //polinomio a[0]+a[1]x+a[2]x2+... public int
grado; //grado del polinomio
El constructor inicializa los miembros, array x, array y que
guardan los resultados experimentales y el nmero nDatos de dichos
datos. El constructor crea la matriz m, el vector t, y reserva
espacio para el array que va a guardar los coeficientes del
polinomio a, cuyo grado se guarda en el miembro grado.public
PolRegresion(double[] x, double[] y, int grado) { this.x=x;
this.y=y; nDatos=x.length; this.grado=grado; t=new double[grado+1];
m=new double[grado+1][grado+1]; a=new double[grado+1]; }
A partir de datos (xi, yi) se tiene que obtener la matriz m
cuadrada de los coeficientes (3) de dimensin n (grado+1) y el
vector t de dimensin n usando las frmulas (2). La funcin miembro
coeficientes calcula los elementos del vector t y de la matriz
m.private void coeficientes(){ double[] s=new double[2*grado+1];
double suma; for(int k=0; k
