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MÉTODO DE LAS RIGIDECES (ARMADURAS)
M. en I. Pablo Iván Ángeles Guzmán
Resolver la siguiente armadura mediante el método de las rigidecez. Considere que la EI es constante.Además, todos los elementos tienen la misma área.
E 1
A 1
Fig. 1. Geometría de la armadura estudiada.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS EN COORDENADAS GLOBALES
Elemento A:
coordenadas globales nodo i: xi 0 yi 0 coordenadas globales nodo j: xj 3 yj 0
longitud de la barra: LA xj xi 2 yj yi 2 3
cosenos directores: lxj xi
LA1 m
yj yi LA
0
Matriz de rigidez del elemento en coordenas globales:
KAE A
LA
l2
l m
l2
l m( )
l m
m2
l m( )
m2
l2
l m( )
l2
l m
l m( )
m2
l m
m2
0.333
0
0.333
0
0
0
0
0
0.333
0
0.333
0
0
0
0
0
donde:
KAii submatrix KA 1 2 1 2 0.333
0
0
0
KAij submatrix KA 3 4 1 2 0.333
0
0
0
KAji KAijT 0.333
0
0
0
KAjj submatrix KA 3 4 3 4 0.333
0
0
0
Elemento B:
coordenadas globales nodo i: xi 0 yi 0 coordenadas globales nodo j: xj 3 yj 4
longitud de la barra: LB xj xi 2 yj yi 2 5
cosenos directores: lxj xi
LB0.6 m
yj yi LB
0.8
Matriz de rigidez del elemento en coordenas globales:
KBE A
LB
l2
l m
l2
l m( )
l m
m2
l m( )
m2
l2
l m( )
l2
l m
l m( )
m2
l m
m2
0.072
0.096
0.072
0.096
0.096
0.128
0.096
0.128
0.072
0.096
0.072
0.096
0.096
0.128
0.096
0.128
donde:
KBii submatrix KB 1 2 1 2 0.072
0.096
0.096
0.128
KBij submatrix KB 3 4 1 2 0.072
0.096
0.096
0.128
KBji KBijT 0.072
0.096
0.096
0.128
KBjj submatrix KB 3 4 3 4 0.072
0.096
0.096
0.128
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (ENSAMBLE)
Se ensambla la rigidez que le aporta cada elemento estructural a cada nodo para los grados de libertadasociados al no (en armaduras son 2 grados de libertad por nodo, desplazamiento en x y en y).
En primer lugar definimos una matriz de ceros de 2x2.
ceros0
0
0
0
Luego, se debe ensamblar la contribución de cada elemento a la rigidez nodal dependiendo de si es el nodoinicial o final de la barra, para ello, se apilan (stack) las sumas de los grados de libertad para cada par decolumnas de la matriz de rigidez total.
U1.2 stack KAii KBii KAji KBji
U3.4 stack KAij KAjj ceros
U5.6 stack KBij ceros KBjj
Los comando anteriores, crean las siguientes matrices a partir de submatrices:
U1.2
0.405
0.096
0.333
0
0.072
0.096
0.096
0.128
0
0
0.096
0.128
U3.4
0.333
0
0.333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U5.6
0.072
0.096
0
0
0.072
0.096
0.096
0.128
0
0
0.096
0.128
Ensamblado general de la matriz de rigideces de la armadura (Concatenado de las matrices). Para ello,utilizamos el comando augment.
KTot augment U1.2 U3.4 U5.6
KTot
0.405
0.096
0.333
0
0.072
0.096
0.096
0.128
0
0
0.096
0.128
0.333
0
0.333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.072
0.096
0
0
0.072
0.096
0.096
0.128
0
0
0.096
0.128
NOTA: el orden de los grados de libertad ( u1 u2 u3 u4 u5 u6 ) en la matriz de rigideces de la estructura
KTot en este ejemplo va en orden, debido a que los grados de libertad desconocidos ( u1 u2 ) van en orden.
Sin embargo, si por ejemplo también se desconociera el grado de libertad u5, el orden de los grados en la
matriz de rigidez cambiaría de modo que los tres grados de libertad desconocidos ( u1 u2 u5 ) quedaran en
la parte superior izquierda de la matriz de rigidez de la estructura. Por lo tanto, se debería de hacer unintercambio de columnas y de renglones para que la matriz de rigideces tuviera la siguiente estructura (u1 u2 u5 u3 u4 u6 ).
Posteriormente, se hace una partición de la matriz de rigideces de la estructura (que siempre es encoordenadas globales) para determinar las 4 submatrices siguientes:
K11 submatrix KTot 1 2 1 2 K110.405
0.096
0.096
0.128
K12 submatrix KTot 1 2 3 6 K120.333
0
0
0
0.072
0.096
0.096
0.128
K21 K12T
K21
0.333
0
0.072
0.096
0
0
0.096
0.128
K22 submatrix KTot 3 6 3 6 K22
0.333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.072
0.096
0
0
0.096
0.128
DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA ESTRUCTURAL
Una vez ensamblada la matriz de rigidez de la estructura, se puede plantear la siguiente relación:
f KTot u=
en donde cada término tiene la siguiente configuración:
ffc
fd
= KTot
K11
K21
K12
K22
= uud
uc
=
Desplazamientos nodales:
Sabemos que solo tenemos 1 nodo con posibles desplazamientos, los 2 grados de libertad ( u1 y u2). Se
puede formar el vector de fuerzas conocidad y a partir de este encontrar los desplazamientosdesconocidos.
fc0
2
ud K111
fc ud4.5
19
Reacciones:
Con los desplazamientos desconocidos, encontramos las reacciones en los grados de libertad (u3 u4 u5 u6 )
fd K21 ud fd
1.5
0
1.5
2
VECTORES DE DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS NODALES
Agrupando los vectores de fuerzas y desplazamientos tenemos lo siguiente:
fuerzas
f stack fc fd
0
2
1.5
0
1.5
2
desplazamientos
u1
ud1 u
2ud2
u3
0 u4
0 u5
0 u6
0
uT
4.5 19 0 0 0 0( )
Determinación de las fuerzas en las barras:
Barra A:
Redefiniendo las variables l m .
l 1 m 0 LA 3
fAA E
LAl m l m( )
1
E A
u1
u2
u3
u4
1.5
Barra B:
l 0.6 m 0.8 LB 5
fBA E
LBl m l m( )
1
E A
u1
u2
u5
u6
2.5
RESUMEN DE RESULTADOS
KTot
0.405
0.096
0.333
0
0.072
0.096
0.096
0.128
0
0
0.096
0.128
0.333
0
0.333
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.072
0.096
0
0
0.072
0.096
0.096
0.128
0
0
0.096
0.128
u
4.5
19
0
0
0
0
f
0
2
1.5
0
1.5
2
fA 1.5 fB 2.5
Nota: FALTAN LAS UNIDADES, hay de dos, trabajar con unidades como se vio en la clase, oponer en una región de texto enfrente de cada resultado las unidades. En este ejemplo no sedieron valores de E y de A por lo que se tienen que manejar como varialbes a lo largo de todo elejercicio. Ustedes eligen para su tarea.
