Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Escuela de MatematicasMM-201 Calculo I

Lic. Carlos Miguel Cruz Rodas

Teorema 0.1. Si la funcion g es diferenciable en x y la funcion f es diferenciable en g(x), entonces la funcioncompuesta (f ◦ g)(x) es diferenciable en x, y (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) en la notacion de Leibniz’s si y = f(u) yu = g(x), entonces

dy

dx=

dy

du

du

dy

Teorema 0.2. Si H(x) = (f(x))nentonces H ′(x) = n (f(x))

n−1f ′(x)

Teorema 0.3. 1. Dx (sin(u)) = cos(u)Dxu

2. Dx (cos(u)) = − sin(u)Dxu

3. Dx (tan(u)) = sec2(u)Dxu

4. Dx (cot(u)) = − csc2(u)Dxu

5. Dx (sec(u)) = sec(u) tan(u)Dxu

6. Dx (csc(u)) = − csc(u) cot(u)Dxu

En los siguientes ejercicios calcule la derivada de la funcion

1. f(x) = (2x+ 1)3 2. f(x) = (10− 5x)4 3. F (x) = (x2 + 4x− 5)4

4. g(s) = (2s4 + 8s2 + 3)6 5. H(z) = (z3 − 3z2 + 1)−3 6. f(x) = (x2 + 4)−2

7. f(x) =

(x− 7

x+ 2

)8. w(x) = (4x2 + 7)2(2x3 + 1)4 9. f(t) =

(2t2 + 1

3t3 + 1

)2

10. f(x) = sin(x2) 11. y = 4 cos(3x)− 3 sin(4x) 12. f(x) = cos(3x2 + 1)

13. f(x) = sec2(x) tan2(x) 14. f(x) = 2 sin3(t) 15. f(x) =(tan2(x)− x2

)316. f(x) = 5 sin(x2 + π) + 3 cos(x+ 3) 17. f(x) = tan(x2)− cot(

1

x2) 18. f(x) =

sin(√x) + cos(x)

sin(√x)− cos(x)

19. f(x) = 2 sin(x)− (x2 − 2) cos(1

x) 20. f(x) =

(ax+ b

c

)3

a,b y c ∈ R 21. g(T ) = (2a+ 3bT )2a,b ∈ R

22. g(x) =3√a+ bx3 a,b ∈ R 23. f(x) =

(a

23 − x 2

3

) 32

a ∈ R 24. f(x) = (3− 2 sin(x))5

1

25. f(x) =√

1− x2 26. f(x) =3

56(2x− 1)7− 1

24(2x− 1)6− 1

40(2x− 1)5

27. f(x) = tan(x)− 1

3tan3(x) +

1

5tan5(x)

28. f(x) =√

cot(x)−√tan(x) 29. f(x) = 2x+ 5 cos3(x) 30. x(t) = csc2(t) + sec2(t)

31. f(x) =

√3 sin(x)− 2 cos(x)

532. f(x) =

√1 + x hallar f(3) + (x− 3)f ′(3)

En los siguientes ejercicios encuentre el valor de (f ◦ g)′(x) en el valor de x dado

1. f(u) = u5 + 1 , u = g(x) =√x ; x = 1

2. f(u) = 1− 1

u, u = g(x) =

1

1− x; x = −1

3. f(u) = cot(πu

10) , u = g(x) = 5

√x ; x = 1

4. f(u) = u+1

cos2(u), u = g(x) = πx ; x =

1

4

5. f(u) =2u

u2 + 1, u = g(x) = 10x2 + x+ 1 ; x = 0

6. f(u) =

(u− 1

u+ 1

), u = g(x) =

1

x2− 1 x = −1

En los siguientes ejercicios y = f(u) y u = g(x) encontrardy

dx= f ′(g(x))g′(x)

1. y = 6u− 9 , u =1

2x4

2. y = 2u3 , u = 3x+ 1

3. y = cos(u) , u = sin(x)

4. y = tan(u) , u = 10x− 5

5. y = cos(u) , u =x

3

6. y = sin(u) , u = x− cos(x)

En los siguientes ejercicios escriba la funcion en la forma y = f(u) y u = g(x), luego encuentredy

dxcomo una funcion

de x

1. y = (2x+ 1)5 2. y =(1− x

7

)−73. y =

(x2

8+ x− 1

x

)4

4. y =(x2− 1)−10

5. y =

(x

5− 1

5x

)5

6. y = (4− 3x)9

2

Encontrar las derivadas de las siguientes funciones

1. s(t) =4

3πsin(3t) +

4

5πcos(5t)

2. s(t) = sin(3πt

2) + cos(

3πt

2)

3. r(θ) = (csc(θ) + cot(θ))−1

4. r(θ) = − (sec(θ) + tan(θ))−1

5. y = x2 sin4(x) + x cos2(x)

6. y =1

xsin−5(x) +

x

3cos3(x)

7. y =1

21(3x− 2)

7+

(4− 1

2x2

)−1

8. y = (5− 2x)−3

+1

8

(1 +

2

x

)4

References

[1] L. Leithold, Calculus, Oxford University Press, 1998

[2] G. Thomas, Calculus, Pearson 2005.

[3] Demidovich, Problemas y ejercicios de analisis Matematico, MIR Moscu , 1967

3