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Modelizacioacuten de Sistemas Bioloacutegicos(Parte I)
Modelizacioacuten de Sistemas Bioloacutegicos(Parte I)
FIUNER
2
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndash Modelos Compartimentales
ndash Modelos Poblacionales
ndash Modelos por Analogiacuteas
3
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
4
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
5
Dinaacutemicas similares
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
6
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0=+ totm Idt
dVC
Ip
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
7
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcripcioacuten estaacuterepresentada por el efecto de las vaacutelvulas
bull Los reguladores de la transcripcioacuten se representan como cabezas de presioacuten externa que determinan el caudal
bull La topologiacutea de la red ha sido disentildeada para asemejarse a la interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten y su influencia en la expresioacuten del ARNm
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID (transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada Gcn5 Acetyltransferase)] compiten paraensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el ADN via el el reclutamiento del promotorTBP para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
8
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
agrave
9
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
agrave
10
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
QI
C J
ΔT
Fick ΔC=LD J J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
11
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica i Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
12
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
13
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
14
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten ΔC= LDJ
15
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1
θ
Quiacutemico Capacitancia dt
dVCi =
16
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
17
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
18
La Bomba Na+-K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
19
Ecuacioacuten de Nernst
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
20
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
21
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++
++minus=
minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=Pn permeabilidad de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten para el ioacutena espesor de la membrana
22
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas agrave Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones agrave Resistencia
0=+ totm Idt
dVC
23
Potencial de accioacuten
bull Tejidos excitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
24
Hodgkin y Huxley (1939)
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
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=
minus=
=
=
infinτ
Modelo Matemaacutetico
34
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
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ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
=
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++
++=
++=
=minus+
4
3
)()(
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
5
Dinaacutemicas similares
int =++ )(1
tEdtiC
RiLdt
di
int =++ )( tFdtvkhvMdt
dv
6
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0=+ totm Idt
dVC
Ip
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
7
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcripcioacuten estaacuterepresentada por el efecto de las vaacutelvulas
bull Los reguladores de la transcripcioacuten se representan como cabezas de presioacuten externa que determinan el caudal
bull La topologiacutea de la red ha sido disentildeada para asemejarse a la interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten y su influencia en la expresioacuten del ARNm
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID (transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada Gcn5 Acetyltransferase)] compiten paraensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el ADN via el el reclutamiento del promotorTBP para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
8
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
agrave
9
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
agrave
10
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
QI
C J
ΔT
Fick ΔC=LD J J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
11
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica i Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
12
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
13
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
14
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten ΔC= LDJ
15
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1
θ
Quiacutemico Capacitancia dt
dVCi =
16
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
17
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
18
La Bomba Na+-K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
19
Ecuacioacuten de Nernst
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
20
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
21
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++
++minus=
minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=Pn permeabilidad de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten para el ioacutena espesor de la membrana
22
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas agrave Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones agrave Resistencia
0=+ totm Idt
dVC
23
Potencial de accioacuten
bull Tejidos excitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
24
Hodgkin y Huxley (1939)
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
=
=
minus=
=
=
infinτ
Modelo Matemaacutetico
34
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
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gg
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ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
=
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++
++=
++=
=minus+
4
3
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am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
9
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
agrave
10
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
QI
C J
ΔT
Fick ΔC=LD J J flujo de un ionD Coef de difusioacuten
11
Variables generalizadas
Naturaleza del sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica i Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
12
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
13
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
14
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten ΔC= LDJ
15
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1
θ
Quiacutemico Capacitancia dt
dVCi =
16
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
17
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
18
La Bomba Na+-K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
19
Ecuacioacuten de Nernst
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
20
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
21
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++
++minus=
minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=Pn permeabilidad de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten para el ioacutena espesor de la membrana
22
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas agrave Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones agrave Resistencia
0=+ totm Idt
dVC
23
Potencial de accioacuten
bull Tejidos excitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
24
Hodgkin y Huxley (1939)
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
=
=
minus=
=
=
infinτ
Modelo Matemaacutetico
34
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
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LL
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gggg
donde
tIEvgdt
dvC
=
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++
++=
++=
=minus+
4
3
)()(
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
13
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
14
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten ΔC= LDJ
15
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP
int= dtiC
V 1
int= dtvkF
int= dtQCoP
int= dtqC T
1
θ
Quiacutemico Capacitancia dt
dVCi =
16
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt=
F mdv
dt=
P IdQ
dt=
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
17
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
18
La Bomba Na+-K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
19
Ecuacioacuten de Nernst
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
20
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
21
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++
++minus=
minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=Pn permeabilidad de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten para el ioacutena espesor de la membrana
22
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas agrave Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones agrave Resistencia
0=+ totm Idt
dVC
23
Potencial de accioacuten
bull Tejidos excitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
24
Hodgkin y Huxley (1939)
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
=
=
minus=
=
=
infinτ
Modelo Matemaacutetico
34
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
minusminus=
minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1(
LL
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gggg
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=
=
=
++
++=
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=minus+
4
3
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am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
17
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
18
La Bomba Na+-K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
19
Ecuacioacuten de Nernst
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
20
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl- Cl-
21
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++
++minus=
minus++
minus++
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=Pn permeabilidad de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten para el ioacutena espesor de la membrana
22
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas agrave Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones agrave Resistencia
0=+ totm Idt
dVC
23
Potencial de accioacuten
bull Tejidos excitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
24
Hodgkin y Huxley (1939)
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
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k
3
21-
4
)(
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)(
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=
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=
=
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Modelo Matemaacutetico
34
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dh
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dm
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minusminus=
minusminus=
)1(
)1(
)1(
LL
kk
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LKNa
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ggg
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gggg
donde
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dvC
=
=
=
++
++=
++=
=minus+
4
3
)()(
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
21
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
++
++minus=
minus++
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iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn micro=Pn permeabilidad de la membrana al ioacuten
micro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten para el ioacutena espesor de la membrana
22
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas agrave Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones agrave Resistencia
0=+ totm Idt
dVC
23
Potencial de accioacuten
bull Tejidos excitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
24
Hodgkin y Huxley (1939)
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
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n
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4
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Modelo Matemaacutetico
34
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dh
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4
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am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
25
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
26
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
27
Potencial de accioacuten
28
Hodgkin-Huxley
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Umbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
32
Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
33hmgvg
g
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dnv
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n
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4
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Modelo Matemaacutetico
34
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4
3
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am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
29
Circuito equivalente de la Membrana en Reposo
0=+ totm Idt
dVC
Ip
30
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
[ ][ ]
=
i
en
N
N
zF
RTV ln
Ioacuten Permeabilidad Potencial de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
31
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
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Potencial de accioacuten
Cm
Al variar el pontencial de membrana como consecuencia del cambio de conductancia ioacutenica los pontenciales de Nernst tambieacuten variacutean
C
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Modelo Matemaacutetico
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am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
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bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
33hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
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dg
NaNa
k
n
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Modelo Matemaacutetico
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am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))bm(v) = 4e-((70+v)18)an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10)) bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo Matemaacutetico
35
Modelo del cable
36
Conduccioacuten saltatoria
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
37
Bibliografiacutea
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Foundations of Mathematical Biology Rosen Vol I II
bull Computer Modelling of Complex Biological Systems S Sitharama Iyengar CRC Press
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Matemaacuteticas para Bioacutelogos Hadeler
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi