Modelo básico de regresión Lineal

José Ángel FernándezUAM

Introducción

Introducción al concepto de econometría

MBRL

MATEMÁTICAS

ESTADÍSTICA

TEORÍA ECONÓMICA

MEDIR RELACIONES ECONÓMICAS

Definición

• Técnica que permite cuantificar la relación existente entre variables todas ellas cuantitativas

– Variable Endógena (explicada) Y• V. Dependiene, V. de respuesta, Regresando, V. Predicha

– Variable/s Exógena/s (explicativas) X• V. Independiente, V de control, Regresor, V. predictora.

• Los MBRL pueden ser

– Simples: Una sola variable exógena– Múltiples: Más de una variable exógena

Estructura de los datos económicos

• Datos de corte transversal– Muestra de individuos, hogares, empresas, ciudades, estados u otras

diversas unidades tomadas en un momento determinado del tiempo.– Por lo general obtenido por una muestreo aleatorio de la población de

origen.

• Datos de serie temporal– Observaciones de una o más variables obtenidas en diferentes

periodos de tiempo.– Un inconveniente: casi todas las series económicas de tiempo no son

independientes al tiempo, ya que están relacionadas con su historia reciente.

• Datos de Panel– Consta de una serie temporal por cada miembro del corte transversal

Aproximación intuitiva

Diagrama de dispersión

60

80

100

120

140

160

180

200

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5Porcentaje de Alcohol

Calo

rías p

or

terc

io d

e l

itro

Recta de ajuste

y = 39,543x - 43,332

60

80

100

120

140

160

180

200

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

Porcentaje de Alcohol

Ca

lorí

as

po

r te

rcio

de

litr

o

y = 39,543x - 43,332

R2 = 0,8502

60

80

100

120

140

160

180

200

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

Porcentaje de Alcohol

Cal

orí

as p

or

terc

io d

e lit

ro

Recta: El mejor ajuste y un buen ajuste

y = 0,5583x + 2,7297

R2 = 0,0133

0

2

4

6

8

10

12

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

% de alcohol

Pre

cio

(E

uro

s 3

3 c

l)

Inferencia

• Población Muestra

• Muestreo Aleatorio

– Supondremos que se puede tomar una muestra aleatoria de tamaño n de x y de y.

El modelo básico de regresión lineal

De la relación causal teórica al planteamiento del modelo:

)(xfy

0)( uE

uxy 10 0)()( uExuE

xxyE 10)(

• Las variables explicativa son no estocásticas• E (u) = 0• Var (u) constante• E(ui, uj) = 0 para todo i=j

iii uxy 10

Estimación de los parámetros

• Mínimos Cuadrados Ordinarios– Aquellos que minimizan la suma de los residuos al cuadrado.– El error cometido en la estimación (residuo) es el estimador de la

perturbación, y por tanto el objetivo a minimizar.

• Máximo Versomilitud– Hacen máxima la función de verosimilitud (función de densidad

conjunta de la información muestral)– Requieren conocer la distribución de probabilidad del modelo

iiii

iii

ii

iii

yyuresiduio

uyy

xy

uxy

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ 10

10

Deducción de los estimadores MCO (I)

10

12

14

16

18

20

22

24

0 2 4 6 8 10 12 14 16Xt

Yt

5u

1u

1u

2u

3u

4u

21 101

2 ˆˆˆ..

n

i i

n

i t xyuRS

• Se busca la recta que minimiza la suma al cuadrado de los residuos

Deducción de los estimadores MCO (II)

n

i i

n

i i

n

i ii xTyxyRS

11011 10

0

0ˆˆ0)1(ˆˆ2ˆ..

0ˆˆ0)(ˆˆ2ˆ..

1

21011 10

1

n

i ii

n

i iii

n

i ii xxxyxxyRS

Ecuaciones Normales

Despejando se obtienen los estimadores MCO

ii

iii

xxx

xyxy

xy

21

10

*ˆ

ˆˆ

Coeficiente de determinación de Pearson

SRSEST

yySR

yySE

yyST

ii

i

t

2

2

2

)ˆ(

)ˆ(

)(

ST

SR

ST

SER

ST

SR

ST

SE

ST

SR

ST

SE

ST

ST

1

1

2

Propiedades del estimador MCO

• LINEALIDAD

• INSESGADEZ

UW iix

uxxS 211

1ˆ

ˆE

Propiedades del estimador MCO

• EFICIENCIA

• CONSISTENCIA

minˆ 2 EE

))'(,(ˆ

ˆlim

0)ˆ(lim

12

XXN

V

u

n

n

Asumiendo normalidad

Resumen del modelo

,880a ,775 ,774 $8,115.356Modelo1

R R cuadradoR cuadradocorregida

Error típ. de laestimación

Variables predictoras: (Constante), Salario iniciala.

Coeficientesa

1928,206 888,680 2,170 ,031

1,909 ,047 ,880 40,276 ,000

(Constante)

Salario inicial

Modelo1

B Error típ.

Coeficientes noestandarizados

Beta

Coeficientesestandarizad

os

t Sig.

Variable dependiente: Salario actuala.

ANOVAb

1,068E+11 1 1,07E+11 1622,118 ,000a

3,109E+10 472 65858997

1,379E+11 473

Regresión

Residual

Total

Modelo1

Suma decuadrados gl

Mediacuadrática F Sig.

Variables predictoras: (Constante), Salario iniciala.

Variable dependiente: Salario actualb.

Aplicación Práctica (Modelo simple)

• Ecuación de regresión

• Bondad de ajuste

CONTRASTE

• Sig: Probabilidad de equivocarme si rechazo la hipótesis nula

• Sig <0,05: Rechazo la Hipótesis nula

• Contraste de Significatividad conjunta del modelo: F–

• Contraste de Significatividad individual de cada uno de los parámetros: t

–

0...........: 210 KrrH

0:0 jH

MBRL: Múltiple

• Planteamiento

• Hipótesis– Independencia en los residuos: No autocorrelación– Homocedasticidad: Varianza de residuos constante– No-colinealidad: No existe relación lineal exacta entre

ninguna variable independiente.– Normalildad

ikikiii uxxxy 22110

PREDICCIÓN

• Una vez estimado y validado el modelo, una de sus aplicaciones más importantes consiste en poder realizar predicciones acerca del valor que tomaría la variable dependiente en el futuro o para una unidad extramuestral.

• En la práctica en EXCEL esta predicción se puede realizar:– Para un valor individual Función Pronostico– Para un rango de valores Función Tendencia