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MODELO DE ANÁLISIS DISCRIMINANTE PARA IDENTIFICAR EMPRESAS CON
ALTO RIESGO DE QUIEBRA EN COLOMBIA
MANUEL FERNANDO ORTEGA SERNA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
BOGOTÁ D.C.
2003
MODELO DE ANÁLISIS DISCRIMINANTE PARA IDENTIFICAR EMPRESAS CON
ALTO RIESGO DE QUIEBRA EN COLOMBIA
MANUEL FERNANDO ORTEGA SERNA
Trabajo de grado para optar por el título de Ingeniero Industrial
Asesor
DIEGO HERNÁNDEZ
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
BOGOTÁ D.C.
2003
II-03(1)55
1
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN.................................................................................................................... 2
2. OBJETIVO ............................................................................................................................... 2
3. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................. 3
3.1. DEFINICIONES................................................................................................................ 3
3.2. MODELOS DE PREDICCIÓN DE QUIEBRA................................................................ 3
3.2.1. MODELO DE BEAVER............................................................................................ 4
3.2.2. MODELO DE ANÁLISIS DISCRIMINANTE DE ALTMAN ................................ 6
3.2.2.1. ANÁLISIS DISCRIMINANTE MULTIVARIADO.......................................... 6
3.2.2.2. MODELO Z-SCORE .......................................................................................... 7
3.2.3. OTROS MODELOS DE ADM DESARROLLADOS POR ALTMAN.................. 12
3.2.4. CRÍTICAS A LOS MODELOS DE ADM PARA ANÁLISIS FINANCIERO ...... 13
3.2.5. ANÁLISIS PARTITIVO RECURSIVO.................................................................. 13
3.3. MODELOS DE ADM DESARROLLADOS PARA COLOMBIA................................ 16
4. METODOLOGÍA................................................................................................................... 24
4.1. SELECCIÓN DE LA MUESTRA .................................................................................. 24
4.2. SELECCIÓN DE LAS RAZONES FINANCIERAS A UTILIZAR .............................. 25
4.3. ANÁLISIS DESEADO ................................................................................................... 28
4.4. VERIFICACIÓN DE LOS SUPUESTOS....................................................................... 28
4.5. SELECCIÓN DE LAS VARIABLES QUE MEJOR DISCRIMINAN .......................... 29
4.6. VALIDACIÓN DEL MODELO ..................................................................................... 29
5. RESULTADOS ...................................................................................................................... 32
5.1. ANÁLISIS DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES .............................................. 32
5.2. VALIDACIÓN DE LOS SUPUESTOS.......................................................................... 33
5.3. SELECCIÓN DE LAS VARIABLES QUE MEJOR DISCRIMINAN .......................... 35
5.4. VALIDACIÓN DEL MODELO ..................................................................................... 37
5.5. ANÁLISIS DEL MODELO ............................................................................................ 40
6. CONCLUSIONES.................................................................................................................. 44
7. BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 46
LISTA DE TABLAS
Pág.
Tabla 1. Formato de resultados de clasificación 10
Tabla 2. Clasificación de la muestra inicial del modelo de Altman 10
Tabla 3. Efectividad del modelo Z-Score hasta cinco años antes de la
quiebra
11
Tabla 4. Clasificación de empresas que no cayeron en quiebra- Modelo
Cruz-Villarreal-Rosillo
19
Tabla 5. Varianza por estrato - Modelo Cruz-Villarreal-Rosillo 20
Tabla 6. Estimación del tamaño de muestra para el modelo Cruz-
Villarreal-Rosillo
20
Tabla 7. Prueba del modelo Cruz-Villarreal-Rosillo 21
Tabla 8. Estimación del tamaño de muestra para el modelo Alvear 22
Tabla 9. Prueba del modelo de Alvear 22
Tabla 10. Razones financieras utilizadas para la elaboración del modelo 28
LISTA DE ILUSTRACIONES
Pág.
Ilustración 1. Diferencia entre las particiones RPA y ADM 14
Ilustración 2. Modelo RPA 16
Ilustración 3. Análisis de las variables independientes 32
Ilustración 4. Prueba M de Box 34
Ilustración 5. Procedimiento de selección de variables 35
Ilustración 6. Coeficientes de la función estandarizada 36
Ilustración 7. Coeficientes de la función no estandarizada 36
Ilustración 8. Coeficientes de las funciones discriminantes por grupo 36
Ilustración 9. Validación de la significancia estadística del modelo 37
Ilustración 10. Correlación canónica del modelo 37
Ilustración 11. Validación del modelo con la muestra original 38
Ilustración 12. Validación del modelo con la muestra de prueba 39
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1. INTRODUCCIÓN
Cuando una empresa se encuentra en dificultades para cumplir con sus obligaciones operativas
y/o financieras se dice que se encuentra en una crisis financiera (“financial distress”). El
prolongamiento de esta situación puede ocasionar el cierre definitivo de la empresa y la
necesidad de una liquidación forzosa en cuyo caso la empresa dejaría de generar flujos de
efectivo una vez este proceso haya terminado afectando directamente tanto a sus acreedores
internos como externos.
Encontrarse en una crisis financiera y más precisamente una fuerte posibilidad de quiebra o
bancarrota, tiene un efecto directo sobre el valor de una empresa, sus decisiones estratégicas y
las de sus acreedores. Es importante entonces contar con herramientas fuertes que nos permitan
identificar cuando una empresa tiene un alto riesgo de quebrar o entrar a proceso de liquidación
obligatoria.
Eventos como la expedición de la ley 50 de 1995 y la reciente crisis económica colombiana han
cambiado el entorno macro y microeconómico del país por lo que se hace necesaria una
herramienta de identificación de riesgo de quiebra que tenga en cuenta las nuevas
características del entorno colombiano, para así tener bases de análisis fuertes y actualizadas en
el momento de entrar a analizar posibles inversiones o necesidades de reestructuración interna
en las empresas.
2. OBJETIVO
El objetivo de este proyecto es desarrollar un modelo estadístico que permita identificar cuando
una empresa presenta un alto riesgo de quiebra o bancarrota a partir de sus razones financieras,
el cuál sea consistente con el estado actual de la economía colombiana.
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3
3. MARCO TEÓRICO
3.1. DEFINICIONES
Debido a la gran cantidad de términos que se encuentran en la literatura y la práctica cuando se
habla de crisis financiera en una empresa es necesario definir claramente la manera en que se
tratarán ciertos términos a lo largo de este trabajo.
• Falla: Se habla de falla en una empresa cuando el retorno sobre la inversión promedio
es inferior al costo de capital de la empresa. Es importante notar que el concepto de
falla no indica que la empresa cese operaciones.
• Falla legal: Se habla de falla legal en una empresa cuando esta no puede cumplir con
aquellas obligaciones que tienen respaldo legal y cuyo incumplimiento puede
desencadenar un proceso penal.
• Insolvencia: Una empresa insolvente es aquella que no puede cumplir con sus
obligaciones debido a falta de liquidez.
• Default: Cuando un ente cesa el cumplimiento de sus obligaciones financieras
rompiendo los acuerdos pactados con sus acreedores se dice que entra en default. Es
importante notar que entrar en default no significa necesariamente problemas de
insolvencia aunque normalmente estos son la causa.
• Quiebra: Una empresa entra en quiebra o bancarrota cuando cesa operaciones debido a
la imposibilidad de cumplir con sus obligaciones operativas y/o financieras.
• Liquidación: Proceso en el cuál una empresa entra en venta, bien sea como una unidad
o la venta de sus activos por separado.
3.2. MODELOS DE PREDICCIÓN DE QUIEBRA
La preocupación por la quiebra y sus efectos negativos han generado que una gran cantidad de
académicos y empresarios prácticos se hayan preocupado por su estudio teniendo como meta su
previsión y prevención. De esta manera ha surgido una gran diversidad de modelos
matemáticos financieros que buscan predecir la quiebra en una empresa basados en información
disponible del mercado y no solo en análisis subjetivos.
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3.2.1. MODELO DE BEAVER; ANÁLISIS DE RAZONES FINANCIERAS
Uno de los trabajos mas mencionados en la literatura de análisis de razones financieras es el
realizado por el profesor William Beaver en 1967 que tuvo como objetivo desarrollar una
metodología para predecir o prever la quiebra en empresas a partir de sus razones financieras.
Para desarrollar su metodología Beaver tomó como muestra inicial empresas que habían
quebrado entre 1954 y 1964 y las clasificó de acuerdo a su tamaño y tipo de industria. Luego
seleccionó una segunda muestra par de empresas exitosas y sanas financieramente con el
objetivo de “controlar factores que de otra manera podrían ocultar la relación entre razones
financieras y la quiebra”1. Una gran cantidad de investigadores posteriores han seguido este
tipo de muestreo argumentando que un mismo valor de las razones financieras puede tener un
significado distinto entre sectores industriales y tamaño, sin embargo existe polémica ya que
algunos académicos, incluyendo al mismo Beaver, alertan que el sistema de pares introduce
sesgo al estudio y no tiene en cuenta la interacción que pueden tener las variables sobre las que
se construyen las parejas y la posibilidad de quiebra.
Para cada una de las empresas pertenecientes a la muestra Beaver calculó treinta razones
financieras de hasta cinco años antes de la quiebra que fueron seleccionadas debido a su
popularidad en los textos y utilización en estudios anteriores. Beaver dio especial énfasis a
aquellas que se expresaban en términos de flujos de caja.
Una vez calculadas las razones Beaver realizó tres tipos de pruebas a la información de cada
índice por separado2: comparación de medias, clasificación dicotómica y normalidad y
tendencia. De estas concluyó que las seis variables que mejor predecían la quiebra eran:
• Flujo de Caja Libre / Deuda Total
• Ingresos Netos / Activo Total
• Deudas a corto y largo plazo / Activo Total
1 ALTMAN Edward, Corporate Financial Distress and Bankruptcy, Second Edition, John Wley & Sons, Pg. 222. 2 Los análisis realizados por Beaver tenían la característica de ser univariados ya que no se incluían en el análisis las interrelaciones entre las distintas variables.
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• Capital de trabajo / Activo Total
• Razón corriente
• Periodo sin nuevos créditos
Al realizar la comparación de medias Beaver encontró diferencia significativa entre los
promedios de los grupos de quiebra y no quiebra de cada una de las razones mencionadas
anteriormente lo que indica una relación entre estas y la bancarrota. Esta diferencia se hacía
mas visible a medida que se acercaba el año de quiebra presentando un deterioro marcado en el
promedio de cada una de las razones.
Beaver desarrolló luego una prueba dicotómica en la cuál organizó la información de cada una
de las treinta razones financieras y determinó un punto de quiebra para cada una de ellas, el
cuál minimizaba el número de predicciones incorrectas. El porcentaje de observaciones mal
clasificadas se tomó como el índice de predicción de cada razón y de esta manera seleccionaron
las seis razones mencionadas anteriormente como aquellas que mejor predecían la quiebra de
una empresa.
Beaver encontró que la razón que mejor describe la quiebra es Flujo de Caja Libre / Deuda
Total con una efectividad de predicción del 88%, sin embargo el error tipo I3 aumenta
significativamente a medida que se aleja el año de quiebra pasando del 22% en el año
inmediatamente anterior a la quiebra, al 47% cuatro años antes, mientras que el error tipo II4 se
mantuvo constante. Beaver desarrolló su metodología asumiendo que los costos de cometer
errores de tipo I y II son iguales, sin embargo estos costos pueden diferir por lo que sería
conveniente una adaptación del modelo a la diferencia de estos costos.
En su análisis de superposición, normalidad y tendencia Beaver encontró que las distribuciones
de las razones tenían poca superposición en el año inmediatamente anterior a la quiebra y que
esta aumentaba a medida que se alejaba de este periodo. Encontró también que la distribución
de las razones financieras tenían tendencias opuestas entre los grupos de quiebra y no quiebra
3 El error tipo I se define como la probabilidad de no clasificar en el grupo de quiebra a una empresa que si lo está. 4 El error tipo II se define como la probabilidad de clasificar a una empresa en el grupo de quiebra dado que pertenece al de no quiebra.
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lo que, complementado con una prueba de distribución acumulada, indicó que ninguna de las
seis variables analizadas se distribuía normalmente. Debido a esto Beaver concluyó que la
utilización de un análisis multivariado no sería conveniente ya que la mayoría de los modelos
que se usan en este tipo de análisis se basan en el supuesto de normalidad.
Lo mas importante del estudio de Beaver fue la idea de evaluación basada en información
contable y la relación encontrada entre razones financieras y la quiebra.
3.2.2. MODELO DE ANÁLISIS DISCRIMINANTE DE ALTMAN
3.2.2.1. ANÁLISIS DISCRIMINANTE MÚLTIVARIADO
El Análisis Discriminante Múltivariado (ADM) es una técnica estadística la cuál nos permite
desarrollar un modelo lineal, a partir de información conocida, para clasificar un individuo u
observación en uno de dos o mas grupos determinados a priori por el analista. Se usa
principalmente para clasificar observaciones en las cuales la variable dependiente (el grupo al
que pertenece) es cualitativa y parece depender de variables cuantitativas.
La técnica de ADM tiene como objetivo obtener una función lineal de las características que
mejor discriminan las observaciones que minimice la variación dentro de los grupos y
maximice la variación entre estos. El cálculo de la función lineal supone normalidad
multivariada de las observaciones e igualdad de las matrices de varianza-covarianza de los
grupos a analizar.
El primer paso es determinar los grupos de clasificación a priori (los cuales pueden ser dos o
mas) y las posibles variables independientes que parecen tener efecto en la clasificación de las
observaciones. Este proceso depende del conocimiento del caso a analizar. Luego se procede a
recoger la información relevante de las variables independientes y a su procesamiento.
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7
Luego de hallar la “función discriminante” se procede a calcular los puntos de corte los cuales,
una vez evaluada la función para un caso particular, determinarán el grupo al cuál pertenece la
observación.
La técnica de ADM tiene la bondad de analizar una gran cantidad de variables al mismo tiempo
y tener en cuenta la relación entre estas, cosa que no se puede lograr con un análisis univariado
simple como el realizado por Beaver.
3.2.2.2. MODELO “Z-SCORE”
Uno de los modelos de predicción de quiebra empresarial mas utilizados tanto en la academia
como en la práctica es el modelo de “Análisis Discriminante Para la Predicción de la Quiebra
Corporativa” del profesor Edward Altman. Su primer trabajo fue desarrollado en 1968 con el
nombre de “Z-Score”, este fue un modelo de ADM para clasificar una empresa en uno de dos
grupos: quiebra o no quiebra, a partir de sus razones financieras. Altman seleccionó la técnica
ADM debido a la naturaleza cualitativa de la variable dependiente, la posibilidad de incluir un
gran número de variables independientes (razones financieras) en el análisis, la capacidad de
tener en cuenta la relación entre estas simultáneamente, la accesibilidad a todo un perfil común
de información para todos los individuos a analizar y la simplificación que presentaba el
modelo al ser unidimensional debido al número de grupos definidos a priori.
Es importante notar que el desarrollo del modelo Z-Score supuso que los costos de error tipo I y
tipo II son iguales, así como las probabilidades a priori de pertenecer a cada uno de los grupos.
Aunque estos supuestos son fuertes se pueden corregir mediante modificaciones en el punto de
quiebre.
SELECCIÓN DE LA MUESTRA
La muestra inicial de Altman consistió en 66 empresas del sector manufacturero industrial de
Estados Unidos de las cuales 33 se habían declarado en quiebra bajo el “Capítulo X” de la ley
de Bancarrota de EEUU entre 1946 y 1965 (grupo 1). El promedio de activos totales de este
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grupo fue de US$ 6,4 millones y oscilaba entre US$ 0,7 y US$ 25,9 millones. El segundo grupo
era de empresas “sanas” las cuales existían todavía en 1966 y se estimaban sanas por parte de
los analistas financieros; este grupo (II) se seleccionó de tal manera que se obtuviera una
muestra de empresas pares de acuerdo a una clasificación previa del grupo I en cuanto a
industria y tamaño. Se recolectó la información contable de las empresas del grupo I un año
antes de su bancarrota y del mismo año para las empresas pares.
SELECCIÓN DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES Y OBTENCIÓN DE LA
FUNCIÓN DISCRIMINANTE
Se seleccionaron 22 razones financieras como variables independientes en el análisis teniendo
en cuenta desarrollo en la literatura y uso práctico. Estas variables estaban clasificadas en
cuatro categorías: liquidez, rendimiento, apalancamiento financiero y actividad. A pesar que
según el estudio de Beaver la variable mas influyente en la quiebra de las empresas es Flujo de
Caja / Deuda Total esta no se tuvo en cuenta en el cálculo del Z-Score debido a falta de datos
necesarios para su cálculo.
Para seleccionar las variables que conjuntamente mejor discriminaban, se realizaron cuatro
tipos de pruebas:
• Observación de la significancia estadística de varias funciones alternativas y análisis de
contribución relativa de cada variable independiente.
• Evaluación de las intercorrelaciones entre las variables importantes.
• Observación de la precisión de varias funciones.
• Análisis basado en el juicio del anatista.
Obteniendo que las cinco variables que mejor discriminaban conjuntamente fueron:
• X1: Capital de trabajo / Activos Totales
• X2: Utilidades retenidas / Activos Totales
• X3: EBIT / Activos Totales
• X4: Valor de mercado del equity / valor en libros de las obligaciones financieras
• X5: Ventas / Activos Totales
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La mejor función discriminante fue:
54321 *999.0*006.0*033.0*014.0*012.0 XXXXXZ ++++=
Es importante notar que todas las variables se miden como porcentaje absoluto para el cálculo
del Valor Z.
Los parámetros de referencia del modelo Z-Score son:
Valores inferiores a 1.81 indican alta probabilidad de bancarrota
Valores superiores a 3.0 indican baja probabilidad de bancarrota
Zona gris: entre 1.81 y 3.05
PRUEBAS DE EFICIENCIA DEL MODELO
Para probar la discriminancia individual de cada variable se realiza una prueba F a cada una;
esta prueba relaciona la diferencia entre los valores promedio de los dos grupos y la
variabilidad de las razones financieras dentro de los grupos. Como resultado para las cinco
variables seleccionadas se encontró que X1, X2, X3 y X4 tenían significancia a una confiabilidad
del 99,9% y la variable X5 parece no tener significancia discriminativa. También se evaluó la
significancia relativa de cada variable usando un “vector escalado”, esta prueba arrojó que el
orden de contribución relativa de las variables seleccionadas era X3, X5, X4, X2, X1; resultado en
el que se destaca la posición de la variable X5 (Ventas / Activos Totales) ya que esta parecía no
tener significancia dada la prueba F. La razón de esto es la inclusión del análisis de
interrelaciones entre variables, mas exactamente la correlación negativa con X3 en el grupo de
quiebra. Por último se evalúa el modelo usando el valor F de la función discriminante el cuál
expresa la razón entre las suma de los cuadrados entre grupos y la suma de los cuadrados dentro
de los grupos; la significancia de esta prueba rechazó la hipótesis que las dos poblaciones
pertenecían al mismo grupo y por lo tanto el modelo es estadísticamente significativo.
5 La zona gris se calculó utilizando la información referente a los casos clasificados erróneamente de la muestra inicial.
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RESULTADOS EMPÍRICOS
Una vez obtenidos los coeficientes de la función discriminante y el punto de quiebre se puede
proceder a clasificar cualesquiera empresas. De esta manera se puede realizar una prueba de
efectividad del modelo si evaluamos grupos preseleccionados de firmas conociendo a priori el
grupo al que pertenecen. La prueba se puede expresar en la siguiente tabla:
Tabla 1. Formato de Resultados de Clasificación
Grupo de pertenencia predicho
Grupo de pertenencia Quiebra No quiebra
Quiebra H1 M1
No quiebra M2 H2
En esta tabla Hi representa el número de clasificaciones correctas en el grupo i; M1 representa el
error tipo I y M2 representa el error tipo II. Evaluando la muestra inicial Altman obtuvo que su
modelo clasificaba correctamente un 95% del total de la muestra con un error tipo I de 6% y
3% de tipo II. Estos resultados se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 2. Clasificación de la muestra inicial
Grupo de pertenencia predicho
Grupo de pertenencia Quiebra No quiebra
Quiebra 31 2
No quiebra 1 32
Una segunda prueba consistió en la evaluación de la primera muestra con información
recopilada de dos años antes a la quiebra. Esta prueba arrojó un porcentaje de clasificación
correcta del 72% con un error tipo I de 28% y tipo II de 6%. Como vemos la eficacia se redujo
considerablemente y el error tipo II aumentó también, sin embargo el modelo parece poder
predecir la quiebra dos años antes con una exactitud aceptable. El mismo procedimiento se
aplicó para tres, cuatro y cinco años antes de la quiebra obteniendo los siguientes resultados:
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Tabla 3. Efectividad predictiva del modelo Z-Score hasta cinco años. Años antes de la quiebra Aciertos Errores Porcentaje
correcto 1 31 2 95 2 23 9 72 3 14 15 48 4 8 20 29 5 9 16 36
La precisión del modelo es decreciente a medida que nos alejamos del año de quiebra lo que es
acorde con lo que se esperaba. Según los datos obtenidos el modelo es eficaz para predecir la
quiebra hasta dos años antes que ocurra pero no lo es a partir del tercer año.
El objetivo final del modelo era poder predecir la quiebra de empresas que no estuvieran dentro
de la muestra inicial con la cuál se elaboró. Por esto se realizaron pruebas de eficacia con una
segunda muestra de empresas la cuál estaba conformada por 25 empresas que quebraron cuyo
rango de activos similar al de la muestra inicial y 66 empresas que no lo hicieron. El 65% de las
empresas pertenecientes al grupo de no quiebra habían tenido dos o tres años de utilidades
negativas en los últimos años; la especial conformación de este grupo se hizo con el objetivo de
evaluar la efectividad del modelo cuando se enfrentaba a la evaluación de una empresa que
pasa por dificultades financieras pero que no caería en bancarrota.
Del grupo de Quiebra el 96% fue clasificado correctamente obteniendo un 4% de error tipo I; y
del grupo de No Quiebra el 79% fue clasificado correctamente presentando un 21% de error
tipo II, de las 14 empresas pertenecientes al grupo de no quiebra clasificadas erróneamente 10
estuvieron dentro de la zona gris. Estos resultados nos muestran que el modelo es bastante
eficaz para predecir la quiebra en empresas un año antes y determina de una manera efectiva
cuando una empresa se encuentra en dificultades financieras pero tiene la posibilidad de
sobrepasar la crisis.
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3.2.3. OTROS MODELOS DE ADM DESARROLLADOS POR ALTMAN
Posteriormente Altman desarrollo dos nuevos modelos orientándolos a empresas privadas
pertenecientes al sector manufacturero y empresas comerciales o de servicios. A estos modelos
los llamo Z’ y Z’’ respectivamente6.
El modelo Z’ es muy similar al modelo Z original en cuanto a que las variables independientes
son las mismas a excepción de X4 en la cual se cambio el valor del numerador por valor en
libros del patrimonio debido a que no cotizaban en bolsa y por lo tanto era imposible
determinar su valor de mercado. La nueva función discriminante obtenida fue:
54321 *998.0*42.0*107.3*847.0*017.0' XXXXXZ ++++=
Valores inferiores a 1.23 indicaban alta probabilidad de bancarrota
Valores superiores a 2.90 indicaban baja probabilidad de bancarrota
Zona gris entre 1.23 y 2.90.
Al incluir en el estudio empresas no pertenecientes al sector manufacturero tales como
empresas comerciales y de servicios se obtuvo una nueva función discriminante que no incluía
la variable independiente X5 la cual presenta diferencias marcadas entre sectores lo que podría
generar conclusiones erróneas debido a la diversidad de la muestra. La función discriminante
obtenida fue:
4321 *05.1*72.6*26.3*56.0'' XXXXZ +++=
Valores inferiores a 1.10 indicaban alta probabilidad de bancarrota
Valores superiores a 2.60 indicaban baja probabilidad de bancarrota
Zona gris entre 1.10 y 2.60.
6En algunos textos se mencionan tambien como Z1 y Z2.
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3.2.4. CRÍTICAS A LOS MODELOS DE ADM PARA ANÁLISIS FINANCIERO
La principal crítica a usar modelos de ADM para realizar análisis financiero radica en que se
usa información de un periodo t, para predecir la información de un periodo t+n. El hecho de
utilizar esta metodología supone que los parámetros analizados y las relaciones entre estos se
mantienen estables en el tiempo, ó los cambios en estas se tienen en cuenta al incluir
observaciones de un periodo X de tiempo. Joy y Tollefson7 argumentan también que para
validar un modelo de predicción es necesario realizar pruebas con muestras fuera del contexto
temporal de las observaciones utilizadas para la generación del modelo (es decir, del periodo
t+n) ya que las evaluaciones con elementos pertenecientes al mismo intervalo de tiempo de las
observaciones utilizadas para la elaboración del modelo no evalúan totalmente su capacidad
predictiva dado que son sesgadas.
3.2.5. ANÁLISIS PARTITIVO RECURSIVO
El ADM presenta dificultades estadísticas como los supuestos de multinormalidad,
independencia e igualdad de las matrices de varianza-covarianza así como dificultades en la
selección de la interpretación del aporte relativo de cada variable; el algoritmo RPA8 adaptado
por Frydman, Altman y Kao para la clasificación de firmas con alto riesgo de quiebra parece
eliminar esta serie de problemas ofreciendo una herramienta robusta y más versátil.
El RPA como el ADM es un procedimiento de clasificación Bayesiana el cuál se deriva
buscando reducir al máximo el costo esperado por clasificaciones erróneas. De esta manera
ambas técnicas asignan una observación con vector de variables x al grupo 1 si cumple la
siguiente regla:
121
212
2
1
**
)()(
cc
xfxf
ππ
≥
7 Joy, Maurice, Tollefson John, “On the financial applications of discriminant análisis”, Journal of financial and quantitative análisis, Diciembre 1975 8 Por sus siglas en ingles (Recursive Partitioning Algorithm)
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14
donde 1f y 2f son las funciones de densidad de probabilidad multivariadas para los grupos 1 y
2; 12c y 21c son los costos de cometer errores tipo II y tipo I respectivamente.
RPA es una técnica no paramétrica que minimiza el valor esperado de los costos por
clasificaciones erróneas mediante un procedimiento de partición univariada. Una de las
principales diferencias con el ADM es que el RPA divide el espacio muestral en una serie de
regiones n-rectangulares las cuales corresponden a una de las clasificaciones a priori, mientras
que el ADM lo hace únicamente en n-planos. La diferencia de clasificación se puede ver
claramente en un espacio bidimensional el cuál se presenta en la siguiente figura:
Ilustración 1. Diferencia en las particiones RPA y ADM.
Las observaciones que caen en las zonas sombreadas marcan la diferencia entre las dos formas
de partir el espacio muestral. La clasificación de una observación en el modelo RPA
representado en la gráfica anterior sería:
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15
Otra gran diferencia con el ADM es el efecto de los costos de error. Los modelos de ADM se
establecen primero por criterios de separación de grupos y luego se puede ajustar el punto de
quiebre para que tenga en cuenta los costos de error y las probabilidades a priori; por otro lado
el RPA realiza la selección de variables y define el modelo teniendo en cuenta los costos de
error y las probabilidades a priori simultáneamente con la separación de grupos.
El modelo RPA desarrollado en 1985 por Frydman, Altman y Kao usó una muestra de 58
firmas industriales que quebraron entre 1971 y 1981 en los Estados Unidos y 142 empresas
manufactureras y de comercio que continuaban en operación. La muestra de empresas de sanas
fue seleccionada aleatoriamente sin tener que ser un grupo par con la muestra de quiebra. Se
analizaron un total de veinte razones financieras para obtener el siguiente modelo:
Ilustración 2. Modelo RPA
El modelo se desarrolló a partir de los supuestos de probabilidad a priori de pertenecer a al
grupo de quiebra igual al 2% y costos de error de clasificación c12=20 y c21=1.
Según el estudio mencionado la herramienta RPA parece tener una mejor eficacia que los
modelos basados en ADM aunque esta diferencia no es muy marcada, sin embargo tienen la
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desventaja que no generan un valor definido el cual sirva para realizar un adecuado seguimiento
a una empresa, por esto Frydman, Altman y Kao proponen un análisis conjunto usando ambos
modelos para enfrentarse a la predicción de quiebra de una empresa.
3.3. MODELOS DE ANÁLISIS DISCRIMINANTE DESARROLLADOS PARA
COLOMBIA
En la literatura se encontraron dos modelos de análisis discriminante para categorizar empresas
en uno de dos grupos a partir de sus razones financieras. El primero, desarrollado por Cruz,
Villarreal y Rosillo9 utilizó 80 empresas para la elaboración de la función discriminante y 26
para probar su efectividad. El objetivo de este estudio fue el desarrollo de un modelo que
permitiera clasificar una empresa, de acuerdo a sus razones financieras, en uno de dos grupos:
fuerte o débil. Para clasificar inicialmente las empresas en estos grupos se calcularon doce
razones financieras para cada empresa y su posición relativa respecto al total de las empresas,
luego se calculó la posición promedio y se determinó que las primeras 65 se podrían ver como
fuertes y las restantes 41 como débiles10, de las cuales se escogieron 50 y 30 empresas
respectivamente para la elaboración del modelo cuyo resultado fue el siguiente:
563.1*097.1*852.9*165.7 321 +++−= XXXZ
donde X1= Grado de endeudamiento = Total pasivo / total activo
X2= Rentabilidad del patrimonio = Utilidad neta / Patrimonio
X3= Leverage a largo plazo = Total pasivo no corriente / Patrimonio
Como centroides de los grupos se encontraron –1.42165 para las empresas débiles y 0.852727
para las empresas fuertes. El punto de quiebre se estimó en –0.0001656. En este modelo no se
determinó una zona gris.
9 Cruz Juan Sergio, Villarreal Julio, Rosillo Jorge, Valoración, Finanzas Corporativas y Riesgo, Tompson, Bogotá 2002, Cap.15. 10 Esta clasificación fue subjetiva
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Otro modelo de análisis discriminante para Colombia fue desarrollado por Adriana Alvear en
su proyecto de grado “Modelo Discriminante para la predicción de Falla de una Empresa”. Para
el desarrollo de este modelo tomó información de 52 empresas vigiladas por la
Superintendencia de Sociedades de las cuales 17 entraron en proceso de liquidación obligatoria
o habían sido declaradas en quiebra entre 1982 y 1997, y 35 empresas que estaban entre las 200
más grandes de Colombia. La selección de las empresas se realizó mediante un muestreo
aleatorio simple, entre 79 candidatas, para el primer grupo y mediante un muestreo aleatorio
estratificado por ventas, entre 200 candidatas, para el segundo grupo. El resultado del modelo
fue el siguiente:
313.0*263.1*44.0*481.4 321 +−+= XXXZ
donde X1= EBIT / Activos Totales
X2= Ventas / Activos Totales
X3= Pasivo Total / Activos Totales
Como centroides se encontraron –1.958 para las empresas que quebraron y 0.951 para las
empresas sanas. El punto de quiebre se estimó en –1, es decir, que empresas con valor Z
estimado por debajo de –1 tienen una alta probabilidad de quebrar. Estimó también una “zona
gris” en la cuál los puntos “presentan una alta probabilidad de ser empresas fracasadas aún
perteneciendo a la curva de exitosas”11. La zona gris se estimó entre –1 y 0.6. Esta estimación
se realizó como un intervalo cuya magnitud es el doble de la distancia entre el punto de quiebre
y el punto de corte, partiendo del punto de corte hacia los positivos.
En resumen: - Valores inferiores a -1 indican alta probabilidad de bancarrota
- Valores superiores a 0.6 indican baja probabilidad de bancarrota
- Zona gris: entre -1 y 0.6
11 Alvear Adriana, Modelo Discriminante para la predicción de Falla de una Empresa, Trabajo de Grado, 1998, Pg. 73.
II-03(1)55
18
Para utilizar alguno de estos modelos como herramienta de clasificación de empresas o
predicción de quiebra es necesario validar la actualidad del modelo. Para este efecto se realizó
un procedimiento de muestreo aleatorio, cálculo de la razón Z y evaluación de predictividad
para cada uno de los modelos mencionados.
II-03(1)55
19
EVALUACIÓN DEL MODELO PROPUESTO POR CRUZ, VILLARREAL Y
ROSILLO
La información con que se trabajó fue obtenida de los boletines estadísticos de la
Superintendencia de Sociedades de los años 1999, 2000, 2001 y 2002 y la base de datos
Benchmark12. De esta manera se validarán los modelos únicamente para aquellas empresas que
son vigiladas por el organismo mencionado.
Para la prueba del modelo desarrollado por Cruz, Villarreal y Rosillo se decidió usar toda la
información que se encuentra en la Superintendencia de Sociedades de los estados financieros
de las empresas que han iniciado procesos de liquidación entre 1999 y 2002 la cuál consta de
56 empresas. Se decidió tomar toda la información dado que el tamaño muestral determinado
fue de mínimo 54 empresas.
Para el grupo de empresas que no quebraron se tiene la información de los estados financieros
del 2001 de 4761 empresas. Para seleccionar la muestra de este grupo, se decidió realizar un
muestreo aleatorio estratificado por tamaño de empresa. La estratificación se realizó según
clasificación del Congreso de Colombia en su decreto sobre Pymes uniendo los grupos de
microempresas y pequeñas empresas en uno. La regla de clasificación fue la siguiente:
Tabla 4. Clasificación de empresas que no cayeron en quiebra
Estrato Activos Totales (salarios mínimos)
Micoempresas y pequeñas empresas 0-5001 Empresa Mediana 5001-15000 Empresa Grande 15000 en adelante
Para determinar el tamaño de la muestra es necesario conocer la varianza de la población para
la variable en cuestión (estimativo Z) por lo que realizó un proceso de submuestreo
estratificado para obtener un estimativo de este parámetro para cada uno de los estratos:
12 Esta base de datos trabaja con información suministrada por la Superintendencia de Sociedades.
II-03(1)55
20
Tabla 5. Varianza por estrato
Estrato Varianza Micro y pequeñas 2,341 Medianas 4,524 Grandes 2,597 Total 3,285
Para el cálculo del tamaño muestral se utilizó el procedimiento descrito por Cochran para
estimación de medias poblacionales con distribución proporcional13:
2
=
td
V ∑=h
hho V
sWn
2*
Nn
nn
o
o
+=
1
donde d es el margen de error, t la desviación normal correspondiente al nivel de confianza, Wh
es la fracción del estrato h sobre el total de la población, sh2 es la varianza del estrato h y N el
tamaño total de la población.
Usando los valores estimados de la varianza para cada estrato, un nivel de confianza del 95%14
y un margen de error del 10% se obtuvieron los siguientes resultados:
Tabla 6. Estimación del Tamaño de Muestra para modelo Cruz, Villarreal, Rosillo.
Estrato Varianza Wi Wi*s^2 no Tamaño
Micro y pequeñas 2,34 0,11 0,26 104,09
Medianas 4,52 0,25 1,13 234,85
Grandes 2,60 0,64 1,66 601,44
Total Población 3,29 1171,83 940.37
Se determinó entonces realizar un muestreo de 105 micro y pequeñas empresas, 235 medianas
y 602 grandes empresas. Dentro de cada estrato se realizó una selección aleatoria simple
apoyada por la herramienta “Generación de números aleatorios” de Microsoft Excel.
13 Cochran, William G., Sampling Techniques, John Wiley & Sons, 1997, Cap. 5. 14 Dado que se escogieron mas de treinta empresas para el submuestreo se puede asumir normalidad según la ley de los grandes números y por ende el valor normal correspondiente a una confiabilidad del 95% es 1.96.
II-03(1)55
21
Una vez obtenidas las muestras para cada uno de los grupos se procedió a calcular el valor Z de
cada observación y determinar así el porcentaje de clasificaciones erróneas y correctas para
empresas que entraron en proceso de liquidación obligatoria y aquellas que no lo hicieron. El
resultado fue el siguiente:
Tabla 7. Prueba de modelo Z Cruz, Villarreal
Grupo de pertenencia
predicho Grupo de
pertenencia Quiebra No Quiebra Quiebra 44 12
No Quiebra 598 344
Se obtuvo un error tipo I del 21%, un error tipo II del 63% y una efectividad del 39% lo que lo
hace bastante impreciso.
La principal falla de clasificación del modelo se encuentra en que gran parte de las empresas
seleccionadas para la validación (el 37%) presentaban Pasivo no Corriente con valor de cero,
es decir, no tenían deudas a largo plazo. Esta es una práctica común en las empresas
Colombianas sobre todo en aquellas que cuentan con una buena estabilidad financiera, de aquí
que los malos resultados se resalten en la clasificación del grupo de No Quiebra.
Según estos resultados, este modelo no se debe utilizar para predecir la quiebra de una empresa
dadas sus razones financieras. Además la regla de clasificación a priori de las observaciones en
empresas fuertes o débiles fue demasiado subjetiva y no es acorde con la necesidad de
clasificación del presente proyecto.
EVALUACIÓN DEL MODELO PROPUESTO POR ALVEAR
Para la evaluación del modelo propuesto por Alvear se utilizaron los criterios de muestreo
descritos anteriormente obteniendo los siguientes resultados:
II-03(1)55
22
Tabla 8. Estimación del Tamaño de Muestra para modelo Alvear
Estrato Varianza Wi Wi*s^2 no Tamaño
Micro y pequeñas 0,90464947 11% 0,10 50,87
Medianas 0,94289363 25% 0,24 114,76
Grandes 1,54541345 64% 0,99 293,91
Total Población 1,14662869 508,63 459,54
Se seleccionaron entonces 51 micro y pequeñas empresas, 115 medianas y 294 grandes.
El resultado de la prueba al modelo desarrollado por Alvear se muestra en la siguiente tabla:
Tabla 9. Prueba del modelo Z de Alvear
Grupo de pertenencia
predicho Grupo de
pertenencia Quiebra No Quiebra Quiebra 36 20
No Quiebra 46 414
Se obtuvo un error tipo I del 36% y un error tipo II del 10% con una efectividad total del
modelo de 87% . Aunque el modelo aparentemente tiene un buen nivel de predictividad según
esta prueba, esta estimación puede ser sesgada debido a la diferencia en los tamaños de
muestra. De las 20 empresas pertenecientes al grupo de Quiebra clasificadas erróneamente por
el modelo, el 90% (18) cayeron dentro de la zona gris por lo que aunque fueron clasificadas
como que no quebrarían se alertaba sobre una crisis que las podía llevar a la quiebra.
Adicionalmente se recopiló la información disponible de empresas del grupo de Quiebra para
dos y tres años antes del inicio de su proceso de liquidación obligatoria y se evaluó el modelo
para determinar como evoluciona su efectividad con el tiempo.
Dos años antes de la quiebra el modelo predijo con precisión la quiebra del 51.5% de las
empresas y alertó sobre la difícil situación financiera del 75% de las empresas mal clasificadas.
II-03(1)55
23
El modelo predijo la quiebra del 43% de las empresas 3 años antes de entrar en proceso de
liquidación y advirtió sobre la fuerte posibilidad de quiebra del 75% de las empresas
clasificadas erróneamente.
El modelo reduce drásticamente su nivel de predictividad a medida que nos alejamos del año de
quiebra, por lo que se puede afirmar que el modelo no tiene un buen nivel de predictividad a
partir del segundo año aunque si alerta, en un buen porcentaje, una mala situación financiera.
La definición de la zona gris en el modelo Alvear no concuerda con su definición estricta:
“zona en la cual se traslapan las funciones de densidad de probabilidad” y como clara muestra
de esto está que la zona gris se presenta únicamente en la zona de No Quiebra. Altman propone
usar la clasificación de la muestra inicial para determinar la zona de ignorancia.
Aunque el análisis discriminante es robusto frente a la violación de supuestos de
multinormalidad e igualdad de matrices varianza-covarianza, el modelo de Alvear puede ser
bastante sensible a la violación de estos debido a lo reducido del tamaño de las muestras y a la
diferencia entre los tamaños muestrales de los dos grupos.
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24
4. METODOLOGÍA
4.1. SELECCIÓN DE LA MUESTRA
Se obtiene información de los estados financieros de 56 empresas que entraron en proceso de
liquidación obligatoria entre 1999 y el 2002, cuyo tamaño en activos totales varía entre 168 y
26.000 millones de pesos colombianos. Se escoge el periodo temporal mencionado debido a los
cambios que ha sufrido el entorno económico colombiano a partir de la crisis del año 1999, que
han afectado los procesos de liquidación obligatoria y reestructuración.
Las observaciones se encuentran dispersas por varios sectores económicos por lo que se decidió
seleccionar un grupo par, respecto a esta variable, de empresas sanas que no quebraron. Esta
selección se realiza tanto para la muestra de elaboración del modelo como para la muestra de
validación del mismo y tiene como fin controlar las diferencias que hay entre sectores15. Se
decide no realizar la muestra par según tamaño ya que está variable se puede controlar de una
mejor manera teniéndola en cuenta dentro de las variables independientes (razones financieras)
a utilizar.
El grupo de empresas pares se obtiene mediante selección aleatoria simple dentro de los
estratos, teniendo en cuenta el mejor 50% del sector en cuanto a Utilidades Netas para tener una
mayor seguridad que son empresas sanas financieramente.
Para la elaboración del modelo es una buena práctica incluir toda la información disponible, ya
que cada observación que se deje por fuera puede hacer que se pierda información valiosa. Sin
embargo es necesario tener un grupo de observaciones para evaluar el modelo posteriormente,
por lo que se decidió seleccionar 10 empresas de cada grupo como muestra de evaluación y las
46 restantes para la elaboración del modelo. Esta selección se llevó a cabo mediante muestreo
aleatorio simple dentro del grupo de Quiebra y selección de las empresas pares respectivas del
grupo de No Quiebra.
15 ALTMAN, EDWARD; Corporate financial distress and bankruptcy : a complete guide to predicting and avoiding distress and profiting from bankruptcy; New York : John Wiley & Sons, 1993
II-03(1)55
25
4.2. SELECCIÓN DE LAS RAZONES FINANCIERAS A UTILIZAR
Dado que tenemos el Balance y P&G16 de todas las empresas seleccionadas podemos obtener
una serie muy completa de razones para incluir en el modelo. El grupo de indicadores a usar se
selecciona de acuerdo a utilización tradicional en la literatura de análisis financiero, en modelos
de análisis discriminante anteriores y apreciación propia, teniendo en cuenta que el grupo debe
incluir indicadores de rentabilidad, liquidez, actividad y apalancamiento financiero.
Indicadores de Liquidez: Estos nos muestran la capacidad que tiene una empresa para cubrir
sus obligaciones a corto plazo17. Los indicadores de liquidez seleccionados para la elaboración
del modelo son:
• Razón corriente = Activo corriente / Pasivo corriente. Este indicador mide como cada
peso de los pasivos corrientes está cubierto por los activos corrientes. De esta manera
valores superiores a uno indican que la empresa tiene recursos suficientes para cubrir
sus deudas a corto plazo en caso de una dificultad financiera, mientras que valores
inferiores a uno muestran una posible falta de liquidez en el corto plazo indicando que
se debe aumentar la financiación a largo plazo y disminuir la de corto plazo.
• Prueba ácida = (Activo corriente – Inventarios) / Pasivo corriente. Esta razón indica
como se pueden cubrir los pasivos corrientes con los activos corrientes sin tener en
cuenta los inventarios. Se argumenta que este indicador muestra de una mejor manera la
liquidez de una empresa ya que en muchos casos es complicado convertir los
inventarios a dinero en efectivo.
16 Esta información se obtuvo de la página web de la Superintendencia de Sociedades www.supersociedades.gov.co 17 Cruz Juan Sergio, Villarreal Julio, Rosillo Jorge, Valoración, Finanzas Corporativas y Riesgo, Tompson, Bogotá 2002, Cap.15.
II-03(1)55
26
Indicadores de actividad: estos muestran la efectividad o rapidez con la cual se realizan las
diferentes operaciones que involucran la compra y venta de bienes y servicios. En este grupo se
escogió la variable Rotación de Activos que es igual a Ventas / Activos totales, que muestra que
porcentaje de los activos de la empresa se convierten en ventas.
Indicadores de rentabilidad: estos indicadores reflejan el rendimiento sobre la inversión18 lo
cual es un objetivo claro de toda entidad lucrativa. Las razones seleccionadas dentro de este
grupo son:
• Margen de utilidad neto = Utilidad neta / Ventas. Esta razón muestra la capacidad de la
empresa de convertir sus ventas en utilidades para la empresa.
• Rentabilidad sobre el patrimonio = Utilidad neta / Patrimonio. Esta es realmente la
rentabilidad del accionista ya que muestra cuantos pesos de los invertidos por estos se
convierten en utilidades para ser repartidas o retener en beneficio de la empresa.
• Rentabilidad operativa bruta = Utilidad antes de impuestos e intereses (EBIT) / Activos
totales. Esta variable nos indica la rentabilidad operativa de los activos, es decir cuantos
pesos de los activos se convierten en utilidad operativa.
• Rentabilidad operativa después de impuestos = EBIT * (1-Tx) / Activos totales, nos
indica la rentabilidad que obtendrían los accionistas en caso que la empresa no tuviera
préstamos.
Indicadores de Apalancamiento Financiero: estos indicadores muestran como se respaldan
los pasivos de la empresa. Las razones de apalancamiento financiero o endeudamiento son:
• Grado de endeudamiento = Pasivo total / Activo total. Esta variable nos muestra que
parte de los activos de una empresa han sido financiados con recursos de terceros. A
medida que esta variable aumenta el retorno sobre la inversión aumenta (suponiendo
que no se incrementa el costo de la deuda) pero lo hace también el riesgo del equity.
18 Ibid
II-03(1)55
27
• Concentración de endeudamiento en el corto plazo = Pasivo corriente / Pasivo total.
Esta razón indica la participación que tiene el pasivo corriente sobre el total de los
pasivos, es decir, cual es la concentración de pasivos a corto plazo.
• Proveedores / Pasivo total, calcula que parte de los pasivos de la empresa son cuentas
por pagar a proveedores, es decir pasivos sin costo de financiación.
• Apalancamiento a largo plazo = Pasivo no corriente / Patrimonio. De esta razón se
puede ver el respaldo que ofrecen los propietarios a los acreedores de largo plazo de la
empresa.
• Apalancamiento a corto plazo = Pasivo corriente / Patrimonio. Este indicador muestra
como los accionistas de la empresa respaldan las deudas a corto plazo.
La razón Capital de Trabajo / Activos totales no se encuentra clasificada dentro de ninguno de
estos grupos, y se estima que puede ser de gran valor diferenciador entre las empresas del grupo
de Quiebra y No Quiebra.
No se realizan transformaciones logarítmicas dentro del análisis debido a que una gran cantidad
de los indicadores a utilizar presentan valores negativos por lo que no es posible realizar la
transformación mencionada. Así mismo pruebas de normalidad sobre las variables cuyos
logaritmos pueden ser encontrados muestran que la transformación no aporta al cumplimiento
de este supuesto19 por lo que no es relevante el uso de los logaritmos naturales dentro del
análisis.
A continuación se encuentra la relación de las razones financieras y el nombre que toman
dentro del modelo:
19 Ver anexo 2.
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28
Tabla 10. Razones financieras utilizadas en el modelo
Razón Nombre EBIT/Activos totales X1 Ventas/ Activos totales X2 Pasivo total/Activo total X3 Utilidad neta/ Patrimonio X4
Pasivo no corriente/ Patrimonio X5 Activo corriente/ Pasivo corriente X6 (Activo corriente- Invent.)/ Pasivo corriente X7 Utilidad neta/ ventas X8 EBIT(1-Tx)/ Activos totales X9 Pasivo corriente/ patrimonio X10 Proveedores/ Pasivo total X11 Pasivo corriente/ pasivo total X12 Capital de trabajo/ Activos totales X13
4.3. ANÁLISIS DESEADO
El objetivo del proyecto es desarrollar un modelo estadístico que permita la clasificación de una
empresa en uno de dos grupos: empresas con alta probabilidad de quiebra y empresas con baja
probabilidad de quiebra. Como herramienta estadística se utiliza el Análisis Discriminante
cuyos resultado se obtienen usando el paquete estadístico SPSS versión 11.5 para Windows. Es
importante también evaluar la significancia estadística del modelo, su eficacia de clasificación
y/o predicción y su perdida de efectividad con el tiempo.
4.4. VERIFICACIÓN DE LOS SUPUESTOS
Dado que el análisis discriminante supone normalidad multivariada e igualdad de las matrices
de varianza – covarianza, es necesario verificar la validez de estos supuestos. Es importante
notar que algunos estudios han dado como resultado que los modelos de ADM son en muchos
casos robustos frente a la violación de estos supuestos en especial al supuesto de igualdad de las
II-03(1)55
29
matrices de varianza – covarianza cuando las muestras son suficientemente grandes y los
números de registros para cada grupo son iguales20.
Una prueba de multinormalidad es realizar evaluaciones de normalidad a cada una de las
variables independientes; si todas son normales el supuesto se cumple. Se realiza entonces la
prueba Kolmogorov – Smirnov para cada una de las variables mencionadas.
Para evaluar la igualdad de las matrices de varianza – covarianza utiliza la prueba de M de Box
la cuál tiene como hipótesis nula la igualdad de las matrices. Si el nivel de significancia es
inferior a 0.05 entonces se rechaza Ho y se dice que las matrices son distintas.
4.5. SELECCIÓN DE LAS VARIABLES QUE MEJOR DISCRIMINAN
Para seleccionar las variables que mejor discriminan se utiliza el procedimiento “Stepwise
selection” propuesto por Sharma. Este modelo comienza sin variables y establece que se
introduce al modelo la variable con el menor estimativo ?Wilks21, que equivale al mayor valor F
y un nivel máximo de significancia en el cambio de la predictividad del modelo. También se
eliminan en cada paso aquellas variables que estén incluidas pero que no aumenten
significativamente la eficacia del modelo. Se toma como F mínima para entrar 3.84 y como F
máxima para eliminar 2.71 obteniendo un nivel mínimo de tolerancia de 0.1%.
4.6. VALIDACIÓN DEL MODELO
Es posible que la diferencia entre las poblaciones analizadas sea estadísticamente significante
aun así no sea relativamente grande por lo que es necesario evaluar la significancia estadística
de la diferencia de ambos grupos en relación a la función obtenida. Una aproximación a la
20 Sharma Subhash, Applied Multivariate Techniques, New York, John Wiley & Sons, 1996 Cap. 8, pgs 263-264
21 total
gruposdedentroWilks SC
SC __=λ
II-03(1)55
30
significancia practica del modelo es la Correlación Canónica la cual esta definida como22:
total
gruposentre
SC
SCCR _= . Este estimativo nos proporciona una idea del porcentaje de variación
entre los grupos que esta determinado por las variables seleccionadas en el modelo.
Para calcular la significancia estadística, en el caso de análisis discriminante entre dos
poblaciones, se utiliza la variable ?Wilks, igual a 1-CR2, la cual se puede aproximar a una chi
cuadrado con )1( −Gp grados de libertad, mediante la formula23
[ ] λχ ln*2/)(12 Gpn +−−−= y calcular la significancia estadística de la diferencia entre
grupos.
Para probar la eficiencia de clasificación del modelo se calcula el valor discriminante para cada
una de las observaciones empleadas en el modelo y se determina el porcentaje de
clasificaciones erróneas tanto para el total de las empresas como para cada uno de los grupos.
El porcentaje de empresas del grupo I (Quiebra) mal catalogado se identifica como el error tipo
I, el tipo II es el porcentaje mal clasificado del grupo II (No Quiebra). El porcentaje de
clasificaciones erróneas total se identifica como el error promedio (EP)24 del modelo.
Sin embargo el hecho de estimar el EP con la información utilizada en la elaboración del
modelo puede sesgar positivamente dicho procedimiento25. Para encontrar estimativos
insesgados del EP se emplean dos metodologías, la primera consiste en realizar las pruebas con
una muestra aparte no utilizada para la elaboración del modelo (las 20 observaciones que se
dejaron aparte inicialmente) y determinar nuevamente el error tipo I, tipo II y el EP. La otra
metodología empleada es el Método U26, el cual cosiste en dejar una observación aparte como
muestra de clasificación, calcular de nuevo la función discriminante y el punto de corte con las
n-1 observaciones restantes y clasificar la observación prueba. Este proceso se repite con todas
22 SC= suma de cuadrados 23 donde p es el número de variables independientes, G es el número de grupos y n el número de observaciones. 24 En inglés Error Rate 25 Sharma Subhash, Applied Multivariate Techniques, New York, John Wiley & Sons, 1996 Cap. 8, Pg.273. 26 Ibid Pg 274
II-03(1)55
31
las observaciones para encontrar el estimativo del error promedio como el porcentaje de
clasificaciones fallidas.
Un análisis importante es ver como se comporta la efectividad del modelo a medida que se
aparta del periodo de prueba en el cual se toma la información para la elaboración del modelo
(en el caso del grupo de Quiebra es analizar como se comporta la predictividad años antes del
periodo de quiebra). Para este efecto se toma la información disponible de las empresas
originales para dos y tres años antes del periodo analizado, se calcula el valor Z y clasifica la
empresa. De esta manera se puede analizar como evoluciona la eficacia de clasificación del
modelo a medida que nos alejamos del año de quiebra.
II-03(1)55
32
5. RESULTADOS
Una vez seleccionada y validada la información27 se procede a desarrollar el modelo usando
SPSS 11.5 para Windows.
5.1. ANÁLISIS DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES
Para determinar que variables independientemente discriminan entre el grupo de Quiebra y el
de No Quiebra se estima el ?Wilks para cada una de ellas, su correspondiente razón F y nivel de
significancia para rechazar la hipótesis nula que las observaciones provienen de la misma
población. Los resultados obtenidos en SPSS se encuentran a continuación:
Pruebas de igualdad de las medias de los grupos
,950 4,765 1 90 ,032,729 33,387 1 90 ,000,830 18,494 1 90 ,000,806 21,651 1 90 ,000
1,000 ,000 1 90 ,984,993 ,601 1 90 ,440,738 31,932 1 90 ,000,823 19,302 1 90 ,000,854 15,406 1 90 ,000,996 ,375 1 90 ,542,881 12,113 1 90 ,001,964 3,392 1 90 ,069,796 23,121 1 90 ,000
X2X6X1X3X4X5X7X8X9X10X11X12X13
Lambdade Wilks F gl1 gl2 Sig.
Ilustración 3. Análisis de las variables independientes
La variable que mejor discrimina entre las dos poblaciones es la razón corriente presentando el
menor valor ?Wilks y un nivel de significancia para rechazar la hipótesis nula cercano al 100%.
Las otras variables que a un nivel de significancia del 95% discriminan entre los dos grupos, en
su orden de significancia, son:
27 La información usada para el desarrollo del modelo se encuentra en el Anexo 1.
II-03(1)55
33
• X3: Pasivo total / Activo total
• X6: Activo corriente / Pasivo corriente
• X13: Capital de trabajo / Activos totales
• X1: EBIT / Activos totales
• X7: Prueba ácida
• X11: Proveedores / Pasivo total
• X2: Ventas / Activos totales
• X8: Utilidad neta / Ventas
• X9: EBIT (1-Tx) / Activos totales
A pesar que tenemos una lista de variables que efectivamente discriminan no es conveniente
desarrollar un modelo de clasificación con esta información ya que no tiene en cuenta las
correlaciones entre las distintas variables, aspecto que si se tiene en cuenta en el desarrollo del
modelo de análisis discriminante.
Las variables que no discriminan significativamente entre las poblaciones son:
• X4: Utilidad neta / Patrimonio
• X5: Pasivo no corriente / Patrimonio
• X10: Pasivo corriente / Patrimonio
• X12: Pasivo corriente / Pasivo total
Ninguna de las razones que incluye la variable Patrimonio en su cálculo discrimina entre los
grupos de Quiebra y No Quiebra. La razón de esto es que una gran parte de las empresas del
primer grupo presentan valores patrimoniales negativos28, cuando esto ocurre el valor del
indicador carece de sentido.
28 Esto ocurre cuando el nivel de deudas o pasivos es tan alto que supera el valor de los activos de la empresa.
II-03(1)55
34
5.2. VALIDACIÓN DE LOS SUPUESTOS
Para validar el supuesto de igualdad de las matrices de varianza – covarianza de las dos
poblaciones se utiliza la prueba M de Box. El resultado obtenido por SPSS es el siguiente:
Resultados de la prueba
423,86368,086
658686,792
,000
M de BoxAprox.gl1gl2Sig.
F
Contrasta la hipótesis nula de que las matricesde covarianza poblacionales son iguales.
Ilustración 4. Prueba M de Box
Según el resultado obtenido se rechaza la hipótesis nula que las matrices son iguales por lo que
se viola este supuesto, dado que el número de observaciones de nuestro modelo es
relativamente alto e igual para ambos grupos, se puede asumir que el modelo es robusto ante
este evento.
También se debe probar el supuesto de multinormalidad, sin embargo se estima que la
violación del supuesto no es tan grave debido a que las poblaciones superan los treinta
elementos cantidad límite de la ley de los grandes números.
Las pruebas de normalidad para las variables por separado dan como resultado que algunas no
se comportan como variables normales29 por lo que se viola el supuesto de multinormalidad.
Dado que se violan los supuestos del modelo se debe tener precaución en el momento de
utilizar sus resultados, sin embargo debido a las características anteriormente mencionadas
se supone que el modelo es suficientemente robusto ante la violación de dichos supuestos.
29 Los resultados obtenidos de la prueba Kolmogorov Smirnov ejecutada en SPSS se encuentran en el Anexo 2.
II-03(1)55
35
5.3. SELECCIÓN DE LAS VARIABLES QUE MEJOR DISCRIMINAN
El procedimiento “Stepwise Selection” paso a paso, obtenido con SPSS fue el siguiente:
Variables introducidas/eliminadasa,b,c,d
X6 ,729 1 1 90,000 33,387 1 90,000 ,000X8 ,641 2 1 90,000 24,972 2 89,000 ,000X2 ,600 3 1 90,000 19,526 3 88,000 ,000
Paso123
Introducidas Estadístico gl1 gl2 gl3 Estadístico gl1 gl2 Sig.F exacta
Lambda de Wilks
En cada paso se introduce la variable que minimiza la lambda de Wilks global.
El número máximo de pasos es 26.a.
La F parcial mínima para entrar es 3.84.b.
La F parcial máxima para eliminar es 2.71c.
El nivel de F, la tolerancia o el VIN son insuficientes para continuar los cálculos.d.
Ilustración 5. Procedimiento de selección de variables
En cada paso se incluye una variable reduciendo el valor ?Wilks del modelo. Finalmente el
algoritmo se detiene cuando ya no hay mas variables que significativamente le agreguen
efectividad al modelo incluyendo únicamente las variables
• X2: totalesActivos
Ventas_
• X6: corrientePasivocorrienteActivo
__
• X8: Ventas
netaUtilidad _
El resultado de los coeficientes del modelo lineal no es único, lo que realmente es único son
razones de los coeficientes con sus varianzas por lo que se pueden encontrar una función
estandarizada y una función no estandarizada. Ambos resultados se encuentran a continuación:
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36
Coeficientes estandarizados de lasfunciones discriminantes canónicas
,402,788,526
X2X6X8
1Función
Ilustración 6. Coeficientes de la función estandarizada
Coeficientes de las funciones canónicas discriminantes
,120,569,567
-,788
X2X6X8(Constante)
1Función
Coeficientes no tipificados
Ilustración 7. Coeficientes de la función no estandarizada
Adicionalmente se puede obtener una función discriminante para cada grupo. La clasificación
utilizando estas se realiza evaluando ambas funciones para cada grupo y asignando la
observación a la población cuya función discriminante fue mayor. Este procedimiento es
utilizado en mayor medida para modelos de análisis discriminantes con mas de dos grupos de
clasificación.
Coeficientes de la función de clasificación
,293 ,0991,294 ,377-,039 -,955
-2,494 -1,223
X2X6X8(Constante)
0 1QUIEBRA
Funciones discriminantes lineales de Fisher
Ilustración 8. Coeficientes de las funciones discriminantes por grupos
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37
Los centroides de los grupos utilizando la función no estandarizada son -0.807 para el grupo de
Quiebra y 0.807 para el de No Quiebra, por lo que el punto de quiebre es 0.
Funciones en los centroides de los grupos
,807-,807
QUIEBRA01
1Función
Funciones discriminantes canónicas no tipificadasevaluadas en las medias de los grupos
5.4. VALIDACIÓN DEL MODELO
El nivel de significancia para la diferencia entre las dos poblaciones teniendo en cuenta las
variables seleccionadas en el punto anterior está dado por el valor de la variable Chi cuadrado y
su nivel de significancia respectivo. El resultado de SPSS es que el modelo es significativo en
casi un 100% :
Lambda de Wilks
,600 45,155 3 ,000
Contraste delas funciones1
Lambdade Wilks Chi-cuadrado gl Sig.
Ilustración 9. Validación de la significancia estadística del modelo
También encuentra el valor CR que nos indica aproximadamente cuanta variación entre las
poblaciones proviene de las variables seleccionadas en el modelo. El resultado fue el siguiente:
Autovalores
,666a 100,0 100,0 ,632Función1
Autovalor % de varianza % acumuladoCorrelacióncanónica
Se han empleado las 1 primeras funciones discriminantescanónicas en el análisis.
a.
Ilustración 10. Correlación canónica del modelo
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38
La evaluación de la capacidad de clasificación del modelo usando la muestra empleada para el
desarrollo del modelo fue buena dando como resultado un error de tipo I de 6.5% y un error
tipo II de 13% para una efectividad total del modelo del 90.2% y por lo tanto un error promedio
estimado de 9.8%.
Para encontrar un estimativo del EP insesgado se utiliza el Método U obteniendo una
efectividad de clasificaciones igual a la obtenida clasificando la muestra original (90.2%). Los
errores tipo I y II presentan los mismos valores que en la validación anterior. Los resultados de
las dos pruebas anteriores arrojados por SPSS se encuentran a continuación:
Resultados de la clasificaciónb,c
40 6 463 43 46
10 10 2087,0 13,0 100,0
6,5 93,5 100,050,0 50,0 100,0
40 6 463 43 46
87,0 13,0 100,06,5 93,5 100,0
QUIEBRA01Casos desagrupados01Casos desagrupados0101
Recuento
%
Recuento
%
Original
Validación cruzadaa
0 1
Grupo de pertenenciapronosticado
Total
La validación cruzada sólo se aplica a los casos del análisis. En la validación cruzada,cada caso se clasifica mediante las funciones derivadas a partir del resto de los casos.
a.
Clasificados correctamente el 90,2% de los casos agrupados originales.b.
Clasificados correctamente el 90,2% de los casos agrupados validados mediantevalidación cruzada.
c.
Ilustración 11. Validación del modelo con la muestra original
Para estimar la zona de ignorancia se utiliza la información usada para generar el modelo
estableciendo como zona gris el intervalo en el que se encuentra el total de las observaciones
mal clasificadas. De esta manera la zona gris estimada está entre –0.6211 y 0.3052 inclusive.
II-03(1)55
39
La validación del modelo utilizando la muestra de prueba arrojó un nivel de error del 10% y por
lo tanto una predictividad efectiva del 90%. El error tipo I fue del 10% al igual que el tipo II.
Grupo de pertenencia
pronosticado Quiebra 0 1
Recuento 0 9 1 1 1 9
% 0 90% 10% 1 10% 90%
Ilustración 12. Validación del modelo con muestra de prueba
Otro aspecto importante es que las dos observaciones de la muestra de prueba clasificadas
erróneamente estuvieron dentro de la zona gris o de ignorancia, lo que muestra que a pesar que
el modelo no predijo efectivamente su quiebra si alertó adecuadamente la mala situación
financiera en que se encontraban dichas empresas.
Para evaluar como se comporta el nivel de predictividad con el tiempo se calcula el valor Z
para observaciones del grupo 1 dos y tres años antes de la quiebra y se clasifican de acuerdo a
la regla establecida. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Años antes de la quiebra n Correctas Erróneas %
Correctas Zona gris % zona gris
sobre erróneas
1 46 43 3 93.5% 3 100% 2 33 29 4 88% 4 100% 3 21 18 3 86% 2 67%
De estos resultados se puede determinar que el modelo es efectivo para predecir la quiebra
hasta 3 años antes que esta ocurra y que en un buen porcentaje las observaciones que no se
predicen adecuadamente como quiebra son alertadas por tener un alto riesgo de quiebra ya que
se encuentran en la zona gris y por lo tanto hay una probabilidad considerable que pertenezcan
al grupo de empresas que quebrarán.
II-03(1)55
40
5.5. ANÁLISIS DEL MODELO
El resultado final del modelo es el siguiente:
788.0_
*567.0__
*569.0_
*120.0 −
+
+
=
VentassnetaUtilidad
corrPascorrAct
totActVentas
Z
- Observaciones con valor Z superior a cero presentan una baja probabilidad de entrar en
proceso de liquidación obligatoria.
- Observaciones con valor Z inferior a cero presentan una alta probabilidad de entrar en
proceso de liquidación obligatoria.
- Observaciones con valor Z entre –0.6211 y 0.3052 pertenecen a la zona de
incertidumbre, es decir, tienen una probabilidad considerable de haber sido clasificados
erróneamente y por lo tanto no se puede estar seguro de su clasificación.
El modelo incluye variables de actividad, liquidez y rentabilidad. No se incluye ninguna
variable de apalancamiento financiero, sin embargo el aspecto deuda está contemplado como
pasivo corriente en la inclusión de la razón corriente. De esta manera podemos decir que esta
variable, dado el modelo obtenido, comprende el aspecto deuda en las empresas colombianas y
por lo tanto el efecto de la deuda en la quiebra de empresas está concentrado en sus deudas a
corto plazo y la capacidad de cumplir con ellas.
Si una empresa incrementa su razón corriente implica que tiene menos riesgo de entrar en
quiebra ante situaciones financieramente difíciles en el corto plazo, ya que cuenta con una
mejor capacidad de cumplir con sus obligaciones financieras de corto plazo usando sus activos
corrientes.
El modelo nos muestra como un aumento en cualquiera de las variables seleccionadas dentro
del modelo, disminuye la probabilidad de una empresa de entrar en quiebra. Esto es coherente
con la teoría financiera ya que aumentos en la rotación de activos indican una mayor
II-03(1)55
41
productividad de los activos de una empresa y por ende, si todo se mantiene constante, mejora
su situación financiera. De igual manera empresas con mayor capacidad de convertir sus ventas
en utilidades tienen menor probabilidad de quebrar.
ANÁLISIS DE LA IMPORTANCIA DE LAS VARIABLES EN EL MODELO
En casos en que se presenta baja multicolinearidad este análisis es relativamente sencillo, sin
embargo el análisis de razones financieras presenta significativamente multicolinearidad entre
las variables ya que todas dependen de una misma fuente: los movimientos de la empresa y su
reflejo en los estados financieros. Esto afecta la estabilidad de los parámetros haciendo este
análisis complejo mas no imposible30.
En análisis discriminante comúnmente se toma la magnitud de los coeficientes estandarizados
como la importancia de las variables dentro del modelo, sin embargo dada las características
mencionadas de nuestro análisis esta prueba no es confiable por lo que se deben realizar
evaluaciones adicionales.
Una prueba propuesta por Mostler y Wallance31 la cual Joy y Tollefson sostienen es
significativa es ponderar cada coeficiente por la diferencia entra las medias de la variable y
dividir por la sumatoria de las ponderaciones de todos los grupos:
∑ −
−=
iiii
jjj
b
brelimp
)(
)(_
01
01
µµ
µµ.
Altman argumenta que una prueba de eliminación condicional, en la cual se mide la
contribución adicional de la variable al modelo, es más representativa. Esta prueba se realiza
dejando cada una de las variables por fuera del modelo y determinando cuanto disminuye el
30 Eisebeis, Robert A., “Pitfalls in the application of discriminant analysis in business, finance and economics”, FDIC Executive Summary No. 75-6, Journal of Finance. 31 Joy, Maurice, Tollefson John, “On the financial applications of discriminant análisis”, Journal of financial and quantitative análisis, Diciembre 1975.
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42
estimativo ?Wilks con su inclusión dentro del modelo. Los resultados obtenidos para distintas
pruebas se presentan a continuación:
?Wilks individual
Posición relativa
Coeficiente estandarizado
Posición relativa
Correlación con la función
Posición relativa
Prueba Mostler y Wallace
Posición relativa
?Wilks función sin la variable
Posición relativa
Modelo 0,6
X2 0,950 3 0,402 3 0,282 3 0,256 2 0,641 3
X6 0,729 1 0,788 1 0,747 1 0,564 1 0,823 1
X8 0,823 2 0,526 2 0,568 2 0,180 3 0,675 2
Claramente la variable mas importante dentro del modelo es la razón corriente (X6) ya que
presenta el primer lugar en todas las pruebas. Se estima que la variable que sigue en
importancia es el margen de utilidad neto (X8) debido a que presenta el segundo lugar en la
prueba de eliminación condicional y presenta menor ?Wilks individual, mayor coeficiente
estandarizado y correlación con la función discriminante que la rotación de activos (X2).
INCLUSIÓN DE LOS COSTOS DE CLASIFICACIONES ERRÓNEAS Y
PROBABILIDADES A PRIORI
El objetivo de este trabajo es desarrollar un modelo estadístico que permita identificar cuando
una empresa presenta un alto riesgo de quiebra o bancarrota a partir de sus razones financieras,
el cuál sea consistente con el estado actual de la economía colombiana. Sin embargo el modelo
puede ser utilizado en diversos campos como procesos de evaluación de préstamos
corporativos, evaluación y seguimiento interno del estado financiero de las empresas y
decisiones de inversión. Cada una de estas aplicaciones tiene características propias que se
deben tener en el momento de realizar un análisis específico como son los costos de
clasificaciones erróneas y las probabilidades a priori de pertenecer a cada uno de los grupos de
clasificación. Dado que el presente proyecto no se centra en un análisis en específico se expone
la manera de incluir estas variables dentro del modelo.
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43
La inclusión de los costos de error y las probabilidades a priori en un modelo de análisis
discriminante con dos grupos de clasificación afecta básicamente la estimación del punto de
quiebre la cual debe ser realizada utilizando la siguiente fórmula:
donde µ0 y µ1 son los centroides de los distintos grupos, p1 y p0 son las probabilidades a priori
de pertenecer al grupo de Quiebra y No Quiebra respectivamente, C1/0 es el costo de clasificar
erróneamente una observación del grupo 0 (No Quiebra) como del grupo 1 y C0/1 es el costo de
clasificar erróneamente una observación del grupo 1 (Quiebra) como del grupo 0.
+
+=
0/10
1/0110
**
ln2 Cp
CpZquiebre
µµ
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6. CONCLUSIONES
Es factible establecer un modelo efectivo de análisis discriminante para determinar si una
empresa tiene un alto riesgo de entrar en un proceso de liquidación obligatoria y por lo tanto
cesar operaciones. Este tipo de modelos tienen la bondad de incluir inherentemente las
relaciones entre las distintas variables y su capacidad de clasificación facilitando el análisis
financiero y la observación de la empresa como un conjunto.
En el presente trabajo se encontró un modelo de análisis discriminante estadísticamente
significativo que presentó una efectividad de clasificación del 90% tanto en las evaluaciones
con la muestra original como en la evaluación con la muestra prueba. Además el modelo
mantiene su capacidad predictiva hasta tres años antes de la quiebra de una empresa,
mostrándonos que el modelo es bastante robusto y tiene la habilidad de identificar
efectivamente cuando una empresa tiene un alto riesgo de quiebra.
Dado que el modelo se desarrolló utilizando la información proporcionada por la
Superintendencia de Sociedades de los estados financieros de empresas de distintos sectores
para los años 1999 al 2002, este se ajusta a la actualidad colombiana y es factible utilizarlo en
análisis financieros de empresas vigiladas por el ente mencionado. El uso del modelo sobre
empresas que no cumplan esta característica debe hacerse con suma precaución.
El modelo obtenido puede usarse como herramienta de apoyo en procesos de evaluación de
préstamos corporativos, evaluación y seguimiento interno del estado financiero de las empresas
y decisiones de inversión. Sin embargo no debe ser utilizado como elemento único de toma de
decisión ya que no tiene en cuenta aspectos puntuales del caso a analizar, posibles eventos
futuros, ni análisis de flujo de caja, los cuales claramente afectan todo proceso de toma de
decisión.
El entorno económico de un país como Colombia esta sujeto a cambios constantes
impulsados por diversos factores por lo que es necesario actualizar el modelo con la
información proporcionada cada año por los entes encargados. Dadas las pocas
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45
restricciones computacionales y la fácil accesibilidad a software de análisis estadístico, la
actualización se debe realizar anualmente incluyendo la información del último periodo y
eliminando la del periodo mas antiguo, si se estima que han ocurrido cambios
fundamentales, o no eliminándola si la percepción es la contraria.
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46
7. BIBLIOGRAFÍA
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predicting and avoiding distress and profiting from bankruptcy”; New York : John Wiley &
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DAMODARAN, ASWATH; “Dealing with Distress in Valuation”; Stern School of Business;
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SHARMA, SUBHASH; “Applied Multivariate Techniques”; New York, John Wiley & Sons;
1996.
Quiebra NITEBIT/
Activos totales
Ventas/ Activos totales
Pasivo total/
Activo total
Utilidad neta/ Patrimonio
Pasivo no corriente/
Patrimonio
Activo corriente/
Pasivo corriente
(Activo corriente- Invent.)/ Pasivo
corriente
Utilidad neta/
ventas
EBIT(1-Tx) / Activos totales
Pasivo corriente/
patrimonio
Proveed/ Pasivo total
Pasivo corriente/
pasivo total
Capital de trabajo/ Activos totales
1 890.301.428 -0,5584 0,8590 1,8164 0,8897 -1,0087 0,1948 0,1948 -0,8456 -0,5584 -1,2162 0,0013 0,5466 -0,80381 890.200.688 -0,1545 0,1567 0,7557 -0,7012 0,0000 0,8307 0,8307 -1,0931 -0,1545 3,0940 0,1418 1,0000 -0,23021 890.918.872 -0,1377 0,8705 1,1976 1,3834 -3,1304 0,5435 0,3483 -0,3141 -0,1377 -2,9291 0,2447 0,4834 -0,27641 890.806.824 -0,0963 0,3014 0,8579 -0,7572 3,0734 0,4425 0,3137 -0,3569 -0,0963 2,9640 0,0618 0,4909 -0,24711 860.027.698 -2,9514 0,8021 4,4182 0,9856 -0,2451 0,2335 0,0857 -4,1999 -2,9514 -1,0475 0,0784 0,8104 -3,70671 890.303.456 0,0357 0,3990 0,4354 -0,3347 0,2279 1,1557 0,2996 -0,4735 0,0232 0,5434 0,0500 0,7045 0,04781 890.309.837 -0,3396 0,9502 2,0769 0,4230 0,0000 0,1614 0,1332 -0,4794 -0,3396 -1,9286 0,1189 1,0000 -1,74171 890.800.445 -0,3970 0,2732 1,2272 1,7882 -2,5938 0,1183 0,0993 -1,4873 -0,3970 -2,8079 0,0032 0,5198 -0,56411 890.920.941 0,0439 0,3918 0,4608 0,0382 0,0000 1,7864 1,3415 0,0525 0,0285 0,8545 0,5184 1,0000 0,36231 860.502.655 -0,4668 0,6919 2,2971 0,6456 0,0000 0,1263 0,1149 -1,2103 -0,4668 -1,7710 0,0928 1,0000 -2,00691 800.093.777 -0,2321 0,9793 1,5895 0,4407 -1,0750 0,4510 0,2871 -0,2653 -0,2321 -1,6213 0,1044 0,6013 -0,52471 860.039.436 -0,1677 0,6308 1,2674 0,9376 0,0000 0,5082 0,4291 -0,3974 -0,1677 -4,7400 0,1236 1,0000 -0,63121 800.248.973 0,0444 0,8284 0,9412 -0,7533 3,4975 0,4778 0,3713 -0,0534 0,0288 12,5228 0,3244 0,7817 -0,38731 800.191.257 -0,1661 0,1641 2,7426 0,1788 0,0000 0,0786 0,0718 -1,8995 -0,1661 -1,5739 0,1516 1,0000 -2,55281 800.061.935 -0,1182 0,2321 1,1675 1,0773 -2,3891 0,2091 0,1223 -0,7776 -0,1182 -4,5807 0,2590 0,6572 -0,60691 890.800.260 -0,0840 0,2518 0,4637 -0,1878 0,0000 0,1477 0,1216 -0,3999 -0,0840 0,8645 0,0230 1,0000 -0,39521 890.917.838 -0,0178 0,2996 0,7014 -0,2296 1,0266 0,5482 0,4878 -0,2289 -0,0178 1,3219 0,0339 0,5629 -0,19621 830.037.889 -0,2803 0,4173 0,9579 -7,7433 7,6889 0,7892 0,7747 -0,7808 -0,2803 15,0740 0,1073 0,6622 -0,13371 890.912.893 -0,2433 0,4513 1,3156 0,8490 0,0000 0,1269 0,0782 -0,5938 -0,2433 -4,1681 0,0291 1,0000 -1,14881 817.000.385 -0,3776 0,0396 0,7519 -0,9442 2,8353 0,7380 0,4933 -5,9147 -0,3776 0,1948 0,0017 0,0643 -0,06641 800.008.360 -0,2102 0,6021 1,1493 3,9565 0,0000 0,3648 0,3648 -0,9810 -0,2102 -7,6978 0,0650 1,0000 -0,73011 860.001.540 -0,1708 1,0106 1,1269 2,1128 -3,0381 0,4552 0,4023 -0,2653 -0,1708 -5,8419 0,1104 0,6579 -0,41961 800.022.005 0,0093 1,0226 0,5925 -0,0929 0,3528 0,8291 0,6214 -0,0370 0,0060 1,1013 0,2879 0,7573 -0,07991 860.055.863 -0,0110 0,2350 0,3202 -0,0438 0,0000 0,8552 0,5722 -0,1267 -0,0110 0,4709 0,1418 1,0000 -0,04641 860.026.222 0,2609 0,3031 2,0437 -0,1752 0,0000 0,0347 0,0347 0,6034 0,1696 -1,9581 0,3434 1,0000 -1,97881 860.041.994 -0,1013 0,0769 0,8470 -0,8103 0,8145 0,8332 0,1141 -1,6126 -0,1013 4,7222 0,0193 0,8529 -0,17231 860.047.351 0,0226 0,0952 0,8365 -0,0098 3,2535 2,9781 2,9781 -0,0169 0,0147 1,8616 0,0223 0,3639 0,60131 816.001.227 -0,0788 1,7236 2,1199 0,2197 -1,2642 0,8094 0,8094 -0,1427 -0,0788 -0,6287 0,0155 0,3321 -0,13421 802.007.054 -0,5258 1,6810 2,4056 0,5288 -1,0479 0,8829 0,8829 -0,4422 -0,5258 -0,6635 0,0465 0,3877 -0,10921 800.195.231 -0,1170 1,9589 2,0820 0,4176 -0,4853 0,5695 0,5695 -0,2307 -0,1170 -1,4389 0,3165 0,7478 -0,68601 800.009.334 -0,3776 0,0080 5,2268 0,1586 0,0000 0,1869 0,1869 -83,7280 -0,3776 -1,2366 0,3719 1,0000 -4,64681 892.200.342 0,0129 0,9285 0,6992 -4,1592 0,0000 1,2803 1,2803 -1,3472 0,0084 2,3250 0,1273 1,0000 0,19601 860.025.798 0,0454 0,6622 0,7544 0,0911 1,3260 1,3502 1,3502 0,0338 0,0295 1,7449 0,1119 0,5682 0,13991 860.505.391 -0,2038 1,7011 3,0247 0,2416 -0,4412 0,4564 0,4564 -0,2875 -0,2038 -1,0527 0,0967 0,7046 -1,20181 890.918.054 -3,0060 1,6422 9,1007 0,6753 0,0000 0,1099 0,1099 -3,3314 -3,0060 -1,1234 0,2438 1,0000 -8,82321 800.153.205 -0,0821 1,5773 1,1003 2,0656 -0,3202 0,8289 0,8289 -0,1313 -0,0821 -10,6546 0,2664 0,9708 -0,22341 800.098.477 -0,6670 0,8275 1,4235 2,0409 -0,0056 0,3219 0,3219 -1,0444 -0,6670 -3,3559 0,3187 0,9983 -1,0197
ANEXO 1 Información utilizada para el desarrollo del modelo
Quiebra NITEBIT/
Activos totales
Ventas/ Activos totales
Pasivo total/
Activo total
Utilidad neta/ Patrimonio
Pasivo no corriente/
Patrimonio
Activo corriente/
Pasivo corriente
(Activo corriente- Invent.)/ Pasivo
corriente
Utilidad neta/
ventas
EBIT(1-Tx) / Activos totales
Pasivo corriente/
patrimonio
Proveed/ Pasivo total
Pasivo corriente/
pasivo total
Capital de trabajo/ Activos totales
1 800.080.618 -0,0542 0,9419 0,9360 -2,0218 0,2107 0,7407 0,6353 -0,1373 -0,0542 14,4211 0,1982 0,9856 -0,23931 890.940.603 -0,3585 1,7907 1,8757 0,4047 0,0000 0,2309 0,1922 -0,1979 -0,3585 -2,1420 0,0272 1,0000 -1,46041 890.800.739 -0,0529 2,4868 0,7943 -2,0138 1,8516 0,3869 0,3869 -0,1666 -0,0529 2,0096 0,3354 0,5205 -0,26371 890.111.269 -0,1361 0,1621 0,9710 -3,3414 10,0762 0,0794 0,0623 -0,5974 -0,1361 23,4324 0,0267 0,6993 -0,62511 860.022.982 0,1553 1,2232 1,5668 0,2036 -0,1071 0,3811 0,3811 -0,0943 0,1009 -2,6573 0,0667 0,9612 -1,00141 800.192.916 0,0132 0,4590 0,7305 -0,3671 1,2746 1,0420 1,0359 -0,2155 0,0086 1,4362 0,0696 0,5298 0,01631 800.009.338 -0,3702 0,1309 5,5961 0,1385 0,0000 0,1600 0,1600 -4,8658 -0,3702 -1,2176 0,6352 1,0000 -4,87391 891.100.219 0,2952 0,9939 0,2343 0,0805 0,0251 1,3737 1,3737 0,0620 0,1919 0,2809 0,4492 0,9179 0,07881 800.074.933 -0,0801 0,3011 0,8042 -1,1161 3,4983 0,9606 0,9572 -0,7256 -0,0801 0,6099 0,0616 0,1485 -0,00471 860.000.305 -0,4602 1,0804 1,5067 1,3181 0,0000 0,3681 0,3256 -0,6182 -0,4602 -2,9735 0,1866 1,0000 -1,50261 890.208.629 -0,8300 0,4497 2,6058 0,6896 0,0000 0,0947 0,0801 -2,4625 -0,8300 -1,6228 0,0004 1,0000 -2,83451 800.120.962 -0,4058 1,0701 3,1883 0,4000 -0,7397 0,1803 0,1803 -0,8179 -0,4058 -0,7173 0,2708 0,4923 -1,29271 860.065.543 -0,2799 0,5588 1,3313 0,9551 -3,0230 1,4764 1,4764 -0,5663 -0,2799 -0,9952 0,2181 0,2477 0,13201 860.054.122 -0,1800 0,0307 1,4856 0,2932 -0,3757 0,2871 0,2813 -4,6437 -0,1800 -2,6834 0,0866 0,8772 -1,05951 800.016.423 -0,0971 0,9084 1,1617 0,6220 -3,4738 1,4902 1,4902 -0,1107 -0,0971 -3,7111 0,0250 0,5165 0,29421 800.200.804 -0,0564 0,2322 0,9985 0,6683 194,6332 0,0834 0,0546 0,0044 -0,0564 461,4000 0,0324 0,7033 -0,64751 800.018.182 -0,0361 1,0976 1,0201 -1,7875 -11,0790 0,3223 0,3079 0,0328 -0,0361 -39,5767 0,0850 0,7813 -0,54011 890.932.973 0,0302 1,4003 1,7678 0,2869 -1,3935 0,3865 0,3616 -0,1573 0,0196 -0,9089 0,0843 0,3948 -0,42841 860.530.368 0,0080 0,1368 0,6557 -0,0219 1,3610 0,8855 0,8855 -0,0551 0,0052 0,5436 0,0193 0,2854 -0,02140 800.245.153 0,0679 0,6189 0,6427 0,0426 1,2963 1,7920 1,3517 0,0246 0,0441 0,5026 0,2027 0,2794 0,12910 890.900.294 0,0419 0,5979 0,1558 0,0168 0,0744 3,6271 3,0366 0,0237 0,0272 0,1102 0,1382 0,5969 0,24030 800.029.738 0,0612 0,7377 0,4851 0,0010 0,3633 1,3759 1,0051 0,0007 0,0398 0,5787 0,1672 0,6143 0,08940 800.098.598 0,1206 1,8284 0,3494 0,0748 0,0000 2,1582 1,9781 0,0266 0,0784 0,5369 0,6750 1,0000 0,40460 830.061.178 0,1178 1,1744 0,8881 0,6581 3,6028 1,7473 1,4859 0,0627 0,0766 4,3375 0,3321 0,5463 0,36260 800.028.337 0,2049 1,3351 0,6203 0,2399 0,0131 1,6101 1,2642 0,0682 0,1332 1,6208 0,4720 0,9920 0,37540 890.321.656 0,0822 1,3477 0,5529 0,0250 0,3608 1,7718 0,8662 0,0083 0,0534 0,8761 0,2851 0,7083 0,30230 890.329.520 0,1254 0,8547 0,3152 0,0593 0,0000 2,7620 2,7107 0,0475 0,0815 0,4603 0,0393 1,0000 0,55540 800.193.898 0,2730 1,4831 0,0712 0,1778 0,0000 11,1066 9,7673 0,1113 0,1774 0,0766 0,7602 1,0000 0,71930 830.001.315 0,1938 2,6518 0,5617 0,0814 0,0000 1,7185 1,5917 0,0135 0,1260 1,2815 0,2287 1,0000 0,40360 800.196.632 0,1527 1,1803 0,1324 0,0690 0,0000 6,6843 4,8612 0,0507 0,0993 0,1527 0,4379 1,0000 0,75290 860.008.490 -0,0516 0,1933 0,6089 0,0056 0,6843 0,3743 0,3635 0,0114 -0,0516 0,8727 0,1364 0,5605 -0,22350 890.933.815 0,1916 1,4469 0,2735 0,0970 0,0044 2,8027 2,1680 0,0487 0,1245 0,3722 0,5791 0,9884 0,48740 800.001.023 0,1596 1,2161 0,4237 0,0888 0,0000 1,8717 1,8243 0,0421 0,1038 0,7351 0,1897 1,0000 0,33900 891.400.372 0,1473 1,3797 0,1830 0,0499 0,0000 3,2110 2,8110 0,0295 0,0958 0,2240 0,3970 1,0000 0,39190 860.057.349 0,2062 1,6041 0,4745 0,1821 0,0000 1,2386 0,8925 0,0597 0,1340 0,9030 0,3611 1,0000 0,11320 800.183.562 0,1060 17,4928 0,8802 0,1858 4,8479 3,3404 3,0889 0,0013 0,0689 2,4978 0,1126 0,3400 0,70050 891.856.506 0,1688 1,7020 0,3608 0,1056 0,1265 1,8420 1,8243 0,0396 0,1097 0,4381 0,1706 0,7760 0,23520 890.900.486 0,1066 0,5046 0,1273 0,0840 0,0711 2,1835 1,4567 0,1453 0,0693 0,0748 0,0356 0,5125 0,06820 805.011.142 0,1329 0,9244 0,1467 0,0732 0,0000 3,9879 3,8835 0,0676 0,0864 0,1719 0,4962 1,0000 0,43420 890.501.073 0,1184 0,7444 0,2369 0,0595 0,0508 3,4562 1,8229 0,0610 0,0770 0,2596 0,4921 0,8362 0,4769
Quiebra NITEBIT/
Activos totales
Ventas/ Activos totales
Pasivo total/
Activo total
Utilidad neta/ Patrimonio
Pasivo no corriente/
Patrimonio
Activo corriente/
Pasivo corriente
(Activo corriente- Invent.)/ Pasivo
corriente
Utilidad neta/
ventas
EBIT(1-Tx) / Activos totales
Pasivo corriente/
patrimonio
Proveed/ Pasivo total
Pasivo corriente/
pasivo total
Capital de trabajo/ Activos totales
0 800.042.706 0,1764 1,3312 0,4939 0,0694 0,4334 2,4589 2,0504 0,0264 0,1146 0,5424 0,2695 0,5558 0,40050 890.401.608 0,1816 0,7631 0,1497 0,1182 0,0151 2,5868 2,5868 0,1317 0,1181 0,1609 0,2813 0,9141 0,20900 860.354.601 0,0377 0,3701 0,7336 0,0248 0,0000 0,9115 0,9115 0,0178 0,0245 2,7534 0,0273 1,0000 -0,06500 800.093.117 0,0962 0,4888 0,5384 0,0685 0,0000 1,8115 1,8115 0,0647 0,0625 1,1662 0,2762 1,0000 0,43690 800.199.396 0,0549 0,7763 0,8526 0,0112 2,1378 1,5034 1,5034 0,0021 0,0357 3,6444 0,0422 0,6303 0,26680 800.049.607 0,0946 0,3326 0,0109 -0,0149 0,0000 89,7450 89,7450 -0,0443 0,0615 0,0110 0,0000 1,0000 0,95570 800.142.319 0,1989 3,6100 0,1106 0,1129 0,0000 8,9629 8,9629 0,0278 0,1293 0,1243 0,0775 1,0000 0,87220 860.000.189 0,1476 2,9078 0,7611 0,4142 0,8427 1,6270 1,6270 0,0340 0,0959 2,3428 0,3524 0,7355 0,32220 890.900.066 0,2256 0,7771 0,9421 1,6430 5,2625 1,4257 1,4257 0,1223 0,1466 11,0230 0,0517 0,6769 0,27150 860.076.279 0,2398 2,1875 0,7258 0,1778 0,0000 1,2265 1,2265 0,0223 0,1559 2,6465 0,1508 1,0000 0,16440 830.046.982 0,1961 1,6396 0,4378 0,1285 0,0000 2,1001 1,4941 0,0441 0,1275 0,7786 0,7698 1,0000 0,48160 830.076.882 0,6696 1,4855 0,5660 0,9252 0,0696 1,8210 1,8210 0,2703 0,4353 1,2343 0,0203 0,9466 0,43980 860.055.170 0,0908 0,9767 0,4063 0,0368 0,0000 2,4073 2,4073 0,0224 0,0590 0,6845 0,8017 1,0000 0,56640 890.916.244 0,0430 5,8424 0,9993 -1,3934 31,9270 1,0129 1,0129 -0,0002 0,0279 1343,4071 0,3000 0,9768 0,01260 890.503.840 0,3401 2,1854 0,6177 0,0971 0,1290 1,3972 1,3972 0,0170 0,2210 1,4868 0,7905 0,9201 0,22530 811.005.390 0,2662 3,0176 0,1024 0,1408 0,0000 9,5874 9,5874 0,0419 0,1730 0,1140 0,9281 1,0000 0,87900 800.173.468 0,1053 2,5695 0,6042 0,0445 0,1487 1,6972 1,6972 0,0069 0,0685 1,3775 0,6110 0,9026 0,35560 800.087.204 0,1462 1,2808 0,1185 0,0075 0,0000 2,8493 2,7972 0,0052 0,0950 0,1345 0,0680 1,0000 0,21350 811.012.295 0,0750 0,8795 0,9713 0,5202 0,0000 0,0909 0,0909 0,0170 0,0487 33,8003 0,0239 1,0000 -0,90850 800.242.957 0,1028 0,1876 0,0166 0,0541 0,0000 0,1170 0,1170 0,2837 0,0668 0,0168 0,0000 1,0000 -0,01460 830.052.626 0,2137 23,0665 0,8292 0,2786 0,0000 1,0757 1,0757 0,0021 0,1389 4,8559 0,5454 1,0000 0,06280 830.020.767 0,1310 24,1029 1,0112 -7,4670 0,0000 0,7599 0,7599 0,0035 0,0852 -89,9458 0,1079 1,0000 -0,25190 890.105.500 0,0706 0,4350 0,2936 0,0448 0,1084 0,3418 0,3418 0,0728 0,0459 0,3073 0,1442 0,7392 -0,15090 800.099.861 0,0648 0,9077 0,7451 0,1066 0,2530 0,8925 0,4448 0,0299 0,0422 2,6702 0,1705 0,9135 -0,07320 860.526.785 0,2077 0,8752 0,6763 0,2626 0,6816 1,2462 0,6920 0,0971 0,1350 1,4077 0,3495 0,6738 0,04850 800.181.114 0,0376 0,4021 0,1203 0,0206 0,1150 3,0274 3,0274 0,0452 0,0244 0,0218 0,0000 0,1593 0,03530 860.046.890 0,1289 0,6274 0,1243 0,0614 0,0193 6,4206 6,4206 0,0857 0,0838 0,1227 0,3847 0,8640 0,54610 860.055.069 0,0171 0,4512 0,4591 0,0153 0,1615 1,5163 1,5163 0,0183 0,0111 0,6873 0,0249 0,8097 0,18980 800.134.773 0,2222 2,0310 0,4794 0,2093 0,0000 1,8005 1,2137 0,0537 0,1444 0,9209 0,3042 1,0000 0,37640 805.005.797 0,0354 0,1485 0,4093 0,0307 0,0000 0,9582 0,9582 0,1220 0,0230 0,6930 0,0281 1,0000 -0,01710 860.532.110 0,1248 0,9874 0,1810 0,0610 0,0000 5,2260 5,2260 0,0506 0,0811 0,2211 0,8156 1,0000 0,74360 802.010.017 0,2306 2,2815 0,8155 0,5864 2,1116 1,4231 1,1358 0,0474 0,1499 2,3090 0,1181 0,5223 0,18020 860.508.544 0,4190 2,9531 0,4660 0,5659 0,3771 1,3749 1,3749 0,1023 0,2724 0,4956 0,1573 0,5679 0,09850 860.039.099 0,1820 1,2318 0,5173 0,3177 0,2043 2,2352 1,9789 0,1245 0,1183 0,8672 0,1746 0,8093 0,51600 890.910.386 0,1197 1,8809 0,6724 0,0561 0,0000 1,4029 1,0412 0,0098 0,0778 2,0529 0,5797 1,0000 0,2709
X1_1 X1_0 X2_1 X2_0 X3_1 X3_0 X4_1 X4_0 X5_1 X5_0 X6_1 X6_0
N 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56Parámetros normales(a,b) Media -0,2636 0,1512 0,7411 2,53 1,6344 0,4501 0,0106 0,0054 3,5677 0,8663 0,6026 2,5108
Desviación típica 0,56909 0,08492 0,57544 4,72732 1,49701 0,2838 1,64667 1,05788 26,13831 4,31056 0,53748 2,21281
Diferencias más extremas Absoluta 0,258 0,089 0,134 0,362 0,208 0,13 0,195 0,462 0,447 0,42 0,15 0,207Positiva 0,24 0,089 0,134 0,362 0,208 0,13 0,134 0,259 0,447 0,415 0,15 0,207Negativa -0,258 -0,057 -0,101 -0,307 -0,176 -0,066 -0,195 -0,462 -0,376 -0,42 -0,147 -0,161
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,934 0,663 1,006 2,71 1,559 0,975 1,459 3,46 3,349 3,146 1,119 1,549Sig. asintót. (bilateral) 0,001 0,772 0,264 0 0,015 0,298 0,028 0 0 0 0,163 0,016
X7_1 X7_0 X8_1 X8_0 X9_1 X9_0 X10_1 X10_0 X11_1 X11_0 X12_1 X12_0
N 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56Parámetros normales(a,b) Media 0,527 2,2485 -2,3418 0,0562 -0,2123 0,0999 7,6884 23,5381 0,1474 0,318 0,7373 0,8606
Desviación típica 0,5274 2,1107 11,1518 0,0661 0,38746 0,05532 62,1903 180 0,14165 0,24694 0,26447 0,21203
Diferencias más extremas Absoluta 0,186 0,216 0,397 0,213 0,2 0,084 0,43 0,519 0,181 0,127 0,194 0,28Positiva 0,186 0,216 0,397 0,213 0,2 0,084 0,43 0,519 0,181 0,127 0,16 0,255Negativa -0,175 -0,157 -0,391 -0,197 -0,198 -0,054 -0,367 -0,43 -0,15 -0,099 -0,194 -0,28
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,393 1,616 2,969 1,596 1,499 0,628 3,216 3,883 1,358 0,95 1,454 2,097Sig. asintót. (bilateral) 0,041 0,011 0 0,012 0,022 0,825 0 0 0,05 0,327 0,029 0
X13_1 X13_0 LNX2_1 LNX2_0 LNX3_1 LNX3_0 LNX6_1 LNX6_0 LNX7_1 LNX7_0 LNX13_1 LNX13_0
N 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56 56Parámetros normales(a,b) Media -0,9182 0,2764 -0,7306 0,2805 0,2275 -1,1048 -0,8986 0,624 -1,0922 0,4875 -0,4051 -0,1981
Desviación típica 1,5561 0,26313 1,13348 0,99391 0,69861 0,92271 0,95539 0,80459 1,00614 0,82229 0,52915 0,35868
Diferencias más extremas Absoluta 0,227 0,086 0,138 0,106 0,076 0,177 0,108 0,104 0,091 0,099 0,222 0,29Positiva 0,187 0,086 0,09 0,106 0,074 0,113 0,051 0,07 0,074 0,075 0,222 0,29Negativa -0,227 -0,054 -0,138 -0,059 -0,076 -0,177 -0,108 -0,104 -0,091 -0,099 -0,15 -0,266
Z de Kolmogorov-Smirnov 1,696 0,64 1,032 0,794 0,569 1,324 0,81 0,777 0,683 0,74 1,661 2,173Sig. asintót. (bilateral) 0,006 0,807 0,237 0,554 0,902 0,06 0,528 0,582 0,739 0,645 0,008 0
- El dígito después del guión identifica El grupo al que pertenece la muestra - La significancia asintótica indica el nivel de confianza al cual se puede afirmar que la muestra viene de una población normal
ANEXO 2Prueba Kolmogorov- Smirnov para las variables independientes separadas por grupo
