ANÁLISIS DEL MODELO DE DAÑO DE FORMACIÓN POR MIGRACION DE FINOS DE C. GRUESBECK Y R. COLLINS

Presentado por: Daniel Alejandro Parra Medina Cod. 2009178656

Presentado a: Msc. Jairo Antonio Sepúlveda.

Paper: SPE 8430-PA Entrainment and Deposition of Fine Particles in Porous Media

RESUMEN

Los autores para desarrollar su teoría parten de una serie de experimentos de laboratorio con el propósito de identificar los procesos fundamentales, remoción y deposición; y proporcionar guías para una descripción fenomenológica del daño de formación. El concepto central de su teoría es la presentación de la distribución de tamaño de poro y de partícula en secciones transversales paralelas que contienen trayectorias taponables y no taponables.

Con base en esta descripción C. Gruesbeck y, R.E Collins desarrollan un modelo matemático con el propósito de simular los procesos de remoción y depositación de finos. En el modelo se definen ecuaciones algebraicas y diferenciales para obtener soluciones de tipo numérico de daño en permeabilidad debido al bloqueo del poro, remoción y depositación de finos.

La teoría desarrollada considera la existencia de dos clases de caminos para el flujo de fluidos: una de tamaño de poro pequeño en la cual los depósitos superficiales causan taponamiento y otra de poros mayores en la cual la depositación de finos es superficial y no causa taponamiento.

A medida que aumentan los depósitos taponantes el flujo es desviado de las trayectorias taponables hacia las no taponables. El tamaño de la partícula comparado con el tamaño de poro determina qué fracción de las trayectorias disponibles al flujo son de tipo taponable.

C. Gruesbeck y, R.E Collins en su teoría proponen la existencia de una velocidad crítica o tasa de flujo por debajo de la cual la remoción de finos no ocurre y por encima de la cual la velocidad de remoción se incrementa con la tasa de flujo.

Para el desarrollo matemático se establece un balance de masa local para los finos contenidos en los fluidos en movimiento.

DESARROLLO DEL MODELO MATEMÁTICO

Al hacer un balance de materia para los finos contenidos en los fluidos en movimiento se tiene que:

[Vol. finosque entra]Δt−[Vol. finosque sale ]Δt

=[ Vol . finosacumulado]Δt (1)

t=tiemp o

El volumen de finos que entra al sistema en un Δt es:

[Vol. finosque entra]Δt=C v A Δt (2)

C=Concentraciónde finosenel fluidoV finos /V fluido

v=Velocidad volumétricade flujoV fluido

Área∗tiempo

A=Área perpendicular al flujo

El volumen de finos que sale del sistema en un Δt esta dado por:

[Vol. finosque sale ]Δt

=[Vol. finosque entra]Δt+[ incr emento ]Δt (3)

Al reemplazar ecuación (2) en la ecuación (3)

[Vol. finosque sale ]Δt

=C v A Δt+Δ (C v A)Δt (4)

El volumen de finos acumulado en un Δt esta dado por:

[ Vol . finosacumulado]Δt=[Vol . finos ] t+Δt−[Vol. finos ]t(5)

Tomando en cuenta que Vol . finos=(Vol . de finosdepositados )+(Vol .de finossuspension )

Tenemos que:

[ Vol . finosacumulado]Δt=[(Vol .de finosdepositados )+(Vol .de finossuspension )]t+Δt

−[(Vol .de finosdepositados )+(Vol . de finossuspension )]t

(6)

El volumen de finos depositados está dado por:

[Vol. de finosdepositados ]=σ ∅ i A ∆ x (7)

Dónde:

σ=Volumende finosdepositados por unidad de volumen porosoinicial

∅ i=Porosidad inicial

x=Distanciaaxial a lolargode lamuestra dearena

El volumen de finos en suspensión está dado por:

[Vol. de finossuspensión ]=C∅ A ∆ x (8)

∅=Porosidad total

Al reemplazar las ecuaciones (7) y (8) en la ecuación (6) se obtiene:

[ Vol . finosacumulado]Δt=[ (σ ∅ i A ∆ x )+ (C∅ A ∆x ) ]t+Δt− [ (σ ∅ i A ∆x )+ (C ∅ A∆ x ) ]t (9)

Al reemplazar las ecuaciones (2), (3) y (9) en la ecuación (1) se obtiene:

−∆ (C v A )∆ t=A∆ x [ (σ ∅ i+C∅ )t+Δt−(σ ∅ i+C∅ )t ](10)

Debido a que el área “A” se considera constante a lo largo de la distancia Δx, la ecuación (10) la escribiríamos como:

−∆(Cv )∆ x

=(σ ∅i+C ∅ ) t+Δt−(σ ∅ i+C ∅ )t

∆ t(11)

Al tomar límites cuando los Δs tienden a cero, de la ecuación (11) se tiene:

∂∂ t

(∅C+∅iσ )+ ∂∂ x

(C v )=0 (12)

Si se asume que la velocidad de flujo v es constante con la distancia, la ecuación (12) se escribe como:

∂∂ t

(∅C+∅iσ )+v ∂C∂ x

=0(13)

Los autores en sus experimentos encuentran que cuando se presenta depositación tipo superficial para una velocidad de flujo v constante, la concentración “C” y la porosidad “Φ” son constantes con el tiempo. Luego de la ecuación (13) se obtiene:

−v∂C∂ x

=∅ i∂σ∂ t

(14 )

La ecuación (14) se utiliza para describir los fenómenos que ocurren durante la depositación, remoción, depositación-remoción de finos en un medio poroso.

A continuación se explican cada uno de los 3 casos:

Depositación de finos en un medio poroso

Los autores asumen que la tasa de depositación local de finos {∂σ} over {∂t} es proporcional a la concentración “C” es decir:

∂σ∂ t

=βC (15)

Dónde:

β=Constantedel proceso

Al reemplazar la condición anterior en la ecuación (14) e integrar para una columna de longitud “L” se tiene:

−v∫Ci

CedCC

=∅i β∫0

L

dx(16)

Dónde:

Ce :Concentracióndel efluente

Ci :Concentración inicial del fluido

Al resolver la ecuación (16) se obtiene:

−v ln(CeCi )=∅ i β L(17)

Al despejar β de la ecuación (17) se obtiene:

β= v∅ iL

lnCeCi

(18)

Los autores en sus experimentos encuentran que le valor de β obtenido a partir de la ecuación (18) es único para cada tasa de flujo. Así β es independiente de la rata de flujo y la suposición de la ecuación (15) es correcta.

Al reemplazar la ecuación (15) en la ecuación (14) se obtiene:

−v∂C∂ x

=∅ i βC(19)

La ecuación (19) rige el mecanismo de depositación de finos en un medio poroso.

Remoción de finos en un medio poroso

Al integrar la ecuación (14) desde C=0 hasta x=0 y con C=Ce a x=L, se obtiene:

−v Ce∅i L

= 1L∫

0

L

( ∂σ∂ t )dx (20)

Por teorema del valor medio se tiene:

1L∫

0

L

( ∂σ∂ t )dx=( ∂σ∂ t )prom

=( ∂σ∂ t )(21)

De las ecuaciones (20) y (21) los autores encuentran una ley local de remoción de finos en el medio poroso de la forma:

∂σ∂ t

={α σ (v−vc ) v>vc

0 v<vc}(22)

Donde:

α :Constante del proceso

vc :Velocidad crítica de flujo=V fluido

Área∗tiempo

Al reemplazar la ecuación (22) en la ecuación (14) se obtiene:

−v∂C∂ x

=∅ iα σ (v−vc) (23)

La ecuación (23) rige el mecanismo de remoción de finos en un medio poroso y es válida cuando v>vc .

Depositación-Remoción de finos en un medio poroso

La porosidad en un instante t está dada por:

∅=Vol. porosoVol . total

=V . porosoinicial−V . finosVol .total

∅=Vol. poroso inicial

Vol . total−V . finosV . total

=∅ i

V . finosVp . inicial

∗Vp . inicial

V .total(24)

∅=∅ i−σ ∅ i∴∅=∅ i(1−σ )

Al reemplazar la ecuación (24) en la ecuación (13) se obtiene:

∅ i (1−σ ) ∂C∂t

=−μ∂C∂ x

−∅ i (1−C ) ∂ σ∂ t

(25)

Si σ y C son lo suficientemente pequeños, tal que:

1-σ ≈1.0 y 1 - C≈1.0

La ecuación (25) se reduce a:

∅ i∂C∂ t

=−μ∂C∂ x

−∅ i∂σ∂ t

(26)

Si se considera el espacio poroso dividido en dos clases de trayectorias paralelas, las cuales pueden llamarse trayectorias taponables y no taponables, dentro de cualquier elemento de volumen del medio poroso, se asume un fracción f constituida de trayectorias taponables y una fracción (1-f ) de trayectorias no taponables.

La ecuación de densidad de flujo total está dada por:

v=f v p+ (1−f ) vnp(27)

Dónde:

v p:Flujo volumétrico del fluido queviajaa través de las trayectorias taponables

vnp :Flujo volumétrico del fluidoque viajaa través de lastrayectorias no taponables

Y la ecuación de la fracción volumétrica de finos depositados está dada por:

σ=f σ p+(1−f )σnp(28)

Dónde:

σ p:Fracc iónvolumetrica de finosdepositados enlos caminos taponables

σ np :Fracci ónvolumetrica de finosdepositados enlos caminos no taponables

Al derivar la ecuación (28) con respecto al tiempo, se obtiene:

∂σ∂ t

=f∂σ p

∂ t+(1− f )

σnp

∂ t(29)

Para solucionar la ecuación (29) se deben encontrar los valores de ∂σ p/∂t y ∂σnp /∂ t.

Al combinar las ecuaciones (15) –depositación- y (22) –remoción- escritas para los caminos no taponables se obtiene:

∂σnp

∂t=−α (vnp−vc )σnp+βC (30)

Donde el primer término a la derecha es cero para vnp<vc

En las trayectorias taponables se espera que a medida que los depósitos taponantes se incrementan, la rata de depositación se incremente. Así que los autores postulan la siguiente ley:

∂σ p

∂ t=(δ+ε σ p )v pC(31)

Dónde δ y ε son constantes del proceso.

Al reemplazar las ecuaciones (30) y (31) en la ecuación (29) se obtiene:

∂σ∂ t

=f (δ+ε σ p )v pC+ (1−f ) [−α (v np−vc )σnp+β C ](32)

Al reemplazar la ecuación (32) en la ecuación (14) se obtiene:

−v∂C∂ X

=∅ i [ f (δ+ε σ p )v pC+(1−f ) [−α (vnp−vc )σnp+βC ] ](33)

La ecuación (33) rige el mecanismo de depositación-remoción para finos en un medio poroso.

Para completar la teoría se usa la ley de Darcy para describir el fenómeno de la desviación de flujo en término de las permeabilidades de los caminos taponables y no taponables del medio poroso, así la fracción de flujo a través de las trayectorias taponables es:

v p

v=

k p(σ p)k p (σ p )+knp(σ np)

No existe un método directo para determinar cómo cambian las permeabilidades a medida que los depósitos crecen pero para propósitos de investigación se hacen las siguientes suposiciones en forma general. Así los autores proponen formas aproximadas como:

k p=k pi exp (−aσ p4)

k np=knpi

1+τ σnp

Donde:

a , k pi , knpi y τSon constantes fenomenológicas a ser especificadas.

CONCLUSIONES

El anterior modelo se utiliza para encontrar el comportamiento de la permeabilidad con el tiempo para una serie de datos obtenidos de pruebas de flujo de laboratorio para analizar el fenómeno de migración de finos en medios porosos.

El modelo también puede ser utilizado para encontrar el comportamiento de la concentración contra la distancia cuando se tienen pruebas de laboratorio de concentración contra el tiempo.