MODELO LINEAL MLTIPLE

Las relaciones entre las variables usadas para formular modelos tericos de demanda, oferta, funciones de costo, funciones de produccin, funciones de consumo, entre muchas otras, por lo general involucran mas de dos variables.

Por lo tanto, se requiere ahora de un modelo ms general, es decir, a partir del modelo simple:Debemos pasar a:

EJEMPLO: Ingreso y EducacinHiptesis: En promedio se espera que ms altos niveles de educacin estn asociados con ms altos ingresos.

Pero el anterior modelo ignora el hecho de que la mayora de la gente tiene ms altos ingresos cuando son mayores que cuando son jvenes, independientemente de la educacin.

Por tanto 1 est sobrestimando el impacto marginal de la educacin. Una mejor especificacin del mdelo sera:Sin embargo, es prudente observar que el ingreso tiende crecer menos rpido en los aos ms avanzados que en los primeros aos. Entonces el modelo se podr extender a:Se espera que 2 sea positivo y 3 sea negativo.

Al igual que en el caso del modelo simple, es necesario sustentar el modelo extendido con un conjunto de supuestos acerca de cmo un conjunto de datos (muestra) ser producido por un proceso de generacin de datos subyacente.Los supuestos son:1)Modelo lineal. Implica linealidad en parmetrosEste supuesto no es tan restrictivo. Recurdese que hay modelos aparentemente no lineales que s satisfacen el supuesto de linealidad en parmetros, por ejemplo: el logartmico, el cuadrtico, el translog y otros.

2)

3)

4)

5)

6)Las Xs son fijas. No estocsticas.

7)n (# de observaciones) > k (# de coeficientes, incluyendo el intercepto)8)Las Xs no estn linealmente relacionadas.

(Homocedasticidad y No Autocorrelacin)

X es una matriz no estocstica de orden (n x k), es decir, cada uno de sus valores es no aleatorio y fijo. Adems, la matriz (XX) es no singular y sus elementos son fijos a medida que n . Es decir:

ESTIMACIN

Para el modelo mltiple, el principio Mnimo Cuadrtico Ordinario se puede expresar como

Estimacin de la Matriz Varianza-Covarianza:

INFERENCIA ESTADSTICA

Para determinar la bondad de ajuste del modelo mltiple, se requiere denotar la variacin en Y en Suma de Cuadrados Total (SCT), Suma de Cuadrados Error (SCE) y Suma de Cuadrados de la Regresin (SCR) mismas que se definen respectivamente como:

En trminos matriciales estas sumas se definen como sigue:

Una vez definidas las fuentes de variacin en Y, se puede definir el coeficiente de determinacin ajustado.A partir de lo anterior el coeficiente de determinacin ajustado se define como: es una mejor media de la bondad de ajuste del modelo cuando se comparan modelos que tienen diferente nmero de observaciones y/o de variables independientes. Esto es as ya que toma en cuenta n y k. La R2 no puede bajar a medida que k aumenta, al menos permanecer igual.

Prueba de hiptesis acerca de coeficientes individuales:

Relacin entre R2 y la prueba de F:Pruebas conjuntas sobre varios coeficientes de regresin:

Pruebas acerca de funciones lineales de los coeficientes de regresin:

Ejemplo:

Prueba acerca de la igualdad de coeficientes de diferentes regresiones (Cambio Estructural):

IMPLEMENTACIN EMPRICA: COSTOS, CURVAS DE APRENDIZAJE Y ECONOMAS DE ESCALA.Estimacin del efecto de las economas de escala y las curvas de aprendizaje sobre los costos de produccin.Implicaciones importantes en la estructura de mercado y en el bienestar econmico ya que crean barreras que impiden la libre entrada al mercado, protegiendo de una competencia efectiva de mercado a los que entraron primero.Son factores importantes de inters para los empresarios que buscan reducir sus costos de produccin.

Las economas de escala reducen los costos unitarios o promedio a medida que el nivel de producto aumenta por perodo de tiempo.En presencia de Economas de escala, ya sea desde el punto de vista de la MAX de ganancias o de la MIN de costos, es racional acelerar los planes de inversin, reducir los precios, y alcanzar por lo tanto niveles mas altos de produccin.Es claro que obtener valores estimados de las economas de escala es un aspecto muy importante; esta tarea se puede llevar a cabo utilizando mtodos economtricos.

Las curvas de aprendizaje tambin constituyen un determinante importante de los costos de produccin. Los costos unitarios tienden a caer a medida que pasa el tiempo y que se aumenta la experiencia en el proceso productivo. Este fenmeno se observa en numerosas operaciones de ensamble en lnea en donde las tareas se llevan a cabo de una manera repetitiva.Los trabajadores tienden a aprender de sus experiencias, reduciendo as el tiempo y los costos de mano de obra que se requieren en el desempeo de sus labores.La nocin de que tanto los costos como los precios unitarios tienden a declinar sistemticamente en trminos reales a medida que la produccin acumulada se incrementa, es muy importante tanto para el sector privado como el pblico.

Se puede pensar en una estrategia de precios y de mercado en la que los productores asignan inicialmente un precio bajo que permita una expansin en las ventas y una rpida penetracin en el mercado, con las consecuencias de acumular rpidamente experiencia y explotar as los efectos en la reduccin de costos de tal aprendizaje.En el Sector Pblico se podra argumentar que debido a la existencia de curvas de aprendizaje, se puede justificar que los gobiernos proporcionen proteccin por tiempo limitado a las manufacturas domsticas que compiten con extranjeros.Las curvas de aprendizaje son entonces muy importantes en la formulacin de estrategias y polticas. Cmo se estiman y se usan para pronosticar los costos de produccin? Cmo estn relacionadas con las economas de escala?

La existencia de economas a escala as como las reducciones en los costos promedio de produccin al incrementar la escala productiva estn relacionadas con las denominadas Curvas de Aprendizaje.La curva de aprendizaje ms comnmente empleada posee la siguiente forma:(1)

dondect =Costo promedio real por unidad de produccin en el perodo t (ajustado por inflacin utilizando un deflactor como el implcito del PNB).c1 =Costo promedio inicial por unidad inicial de produccin.nt =Produccin acumulativa hasta (pero sin incluir) el perodo t.c =Elasticidad de los costos unitarios con respecto a la produccin acumulativa (tpicamente negativo).ut =Trmino de error estocstico que refleja la aleatoriedad en los procesos de costos de produccin.

La ecuacin anterior se puede expresar de la siguiente manera:

(1)A fin de establecer la relacin con el proceso productivo se incorpora una funcin de produccin que refleje las condiciones de productividad de factores, en este caso se incorpora la funcin Cobb-Douglas, la cual puede expresarse de la siguiente forma:

(3)Usando resultados de la teora microeconomica, la funcin de costo dual de la funcin de produccin (3) es:

(4)

donde

(5)r representa los rendimientos a escala .

Enseguida se efecta una transformacin logartmica a la funcin anterior, quedando la funcin de la siguiente forma:

(6)Imponiendo la restriccin de homogeneidad de grado uno en precios, se llega a:(7)

Despejando de la ecuacin anterior 3/r y sustituyendo dentro de la funcin de costo (6) se obtiene el siguiente resultado:

(8)donde

La ecuacin (8) muestra la linealidad y simplicidad emprica de la funcin de costo Cobb-Douglas. Un aspecto importante es que manipulando los valores estimados a partir de esta ecuacin, se puede regresar a los coeficientes originales de la funcin Cobb-Douglas, 1, 2 y 3 de (3).

Con la finalidad de incluir en la funcin Cobb-Douglas el concepto de curvas de aprendizaje, se sustituye la ecuacin (2) dentro de la variable A, la cual refleja el estado de conocimiento dentro de la funcin de produccin. De esta forma la variable A queda expresada de la siguiente manera:

(9)

Donde el parmetro c representa la elasticidad de la curva de aprendizaje descrito en las primeras ecuaciones.

La funcin de costo con los efectos del aprendizaje incluidos queda como:

(10)donde la descripcin de variables es semejante a la ecuacin (6) pero el valor de k debe interpretarse de la siguiente forma:

(11)

Despus de algunos supuestos simplificadores, la funcin de costo a estimar queda expresada como:

(12)Obsrvese que en caso de que se presenten rendimientos crecientes a escala, el valor del parmetro r sera mayor que 1 y que por lo tanto, (1 r)/r tomara un valor negativo.

La ecuacin (12) que muestra la estimacin de una funcin Cobb-Douglas con rendimientos a escala no constantes, se puede expresar de forma compacta como:

(13)

Por otro lado, la ecuacin (2) de uso ms comn en la literatura para estimar curvas de aprendizaje se puede expresar como:

(14)dondeObsrvese que la ecuacin anterior es igual a suponer rendimientos constantes a escala sobre la ecuacin (13), es decir r = 1.

Si se usa incorrectamente la ecuacin (14) para estimar una curva de aprendizaje, se incurre en un sesgo por omitir variables.

Para analizar el posible sesgo en que se incurre, es necesario estimar una tercer ecuacin denominada como auxiliar, siendo esta:

(15) En donde la relacin entre coeficientes se puede sealar de la siguiente manera:

(16)La ecuacin anterior muestra el sesgo de estimacin, el cual depende de los valores de 1 y 2. Ya que las variables yt y nt estn positivamente relacionadas, 1 ser positivo. Por otra parte, el valor de 2 depende de si existen rendimientos constantes, crecientes o decrecientes. Entonces con una 1 positiva, esto implica que:

La interpretacin de los resultados es la siguiente: al omitir incorrectamente variables como las que definen los rendimientos a escala, se atribuyen a la elasticidad de la curva de aprendizaje los efectos que en parte son debidos a los rendimientos a escala. Por lo tanto es importante reconocer la presencia de este tipo de error inherente a las estimaciones de estos modelos.

a) 1 1 mayor que 0r menor a 1Existen rendimientos decrecientes a escalab) 1 1 igual a 0r igual a 1Existen rendimientos constantes a escalac) 1 1 menor a 0r mayor a 1Existen rendimientos crecientes a escala

Adems, puesto que 1 y 1 son tpicamente negativos, 1 1 < 0 corresponde a que 1 tiene un valor absoluto mas pequeo que 1. En tal caso, la estimacin de la ecuacin de la curva de aprendizaje (14) rinde un valor estimado mas grande de la elasticidad de la curva de aprendizaje (en valor absoluto) que si se incluyeran la variable lnyt como en la ecuacin (13); por tanto en este caso la elasticidad de la curva de aprendizaje se sobreestima en valor absoluto.La interpretacin de este resultado es como sigue: Al omitirse incorrectamente la variable lnyt, se atribuye a la elasticidad de la curva de aprendizaje lo que de hecho es debido en parte a los efectos de los rendimientos a escala. En el contexto de la curva de aprendizaje, el sesgo por omitir una variable podra ser muy importante.

Los resultados de un listado computacional tpico de regresin incluye pruebas estadsticas de t para cada uno de los coeficientes estimados, al igual que una prueba estadstica de F para toda la regresin.

Para probar la hiptesis nula de rendimientos constantes a escala solo se requiere estimar la ecuacin (13) por MCO y realizar una prueba de t sobre 2; la hiptesis nula es 2 = 0, mientras que la hiptesis alternativa es 2 0.

De manera similar, se puede probar la hiptesis nula de que el efecto de las curvas de aprendizaje es cero. Teniendo estimada la ecuacin (13) por MCO, esta prueba de hiptesis podra hacerse mediante una prueba de t; la hiptesis nula es 1 = 0, mientras que la hiptesis alternativa es 1 0.

Supngase, que se quisiera probar las dos hiptesis anteriores simultneamente. En este caso la prueba conjunta de hiptesis de que ambas, la elasticidad de la curva de aprendizaje es cero y los rendimientos a escala son constantes correspondera a la prueba conjunta H0 : 1 = 2 = 0; la hiptesis alternativa por supuesto sera 1 0, 2 0. Ntese que bajo la hiptesis nula conjunta la ecuacin (13) se reduce a una ecuacin en la que el costo unitario real es simplemente una regresin con un trmino constante; no quedan otros regresores.

Para realizar dicha prueba conjunta se debe emplear una prueba estadstica de F en vez de pruebas estadsticas de t individuales. Esto es debido a que las pruebas de t individuales generalmente no son independientes; en contraste, el calculo llevado a cabo mediante la prueba estadstica de F toma en cuenta apropiadamente la dependencia entre las pruebas de hiptesis individuales. En este caso particular la dependencia entre las pruebas de t individuales depende primordialmente de la covarianza entre los valores estimados MCO de y .

Debido a que la prueba de F apropiadamente toma en cuenta la dependencia entre las dos pruebas de t individuales, la inferencia basada en la prueba estadstica de F no necesariamente va a concordar con aquella basada en dos pruebas de t. Especficamente, cualquiera de los siguientes seis casos seria posible:Se rechaza la nula conjunta de F, pero no se rechaza cada nula por separado basada en las pruebas de t individuales;Se rechaza la nula conjunta de F, se rechaza una de las hiptesis individuales de t y no se rechaza la otra hiptesis individual de t;Se rechaza la nula conjunta de F, y se rechaza cada nula por separado de t individual.

4)No se rechaza la nula conjunta de F, y no se rechaza cada nula de t individual;5)No se rechaza la nula conjunta de F, se rechaza una de las hiptesis individuales de t y no se rechaza la otra individual de t;6)No se rechaza la nula conjunta de F, pero se rechaza cada nula individual de t.No obstante, en la prctica los casos 1 y 6 rara vez ocurren mientras que los casos 2 y 3 son relativamente comunes.