Modelo de Una Linea

Predicción de la evolución de sistemascosteros a gran escala, basada en soluciones

analíticas del modelo de una línea

Doctorando Andrés Payo GarcíaDr. M. A. Losada RodríguezDra. A. Baquerizo Azofra

Grupo de Puertos y Costas, Universidad de Granada

20 de Febrero 2004

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A todo el que siente curiosidad y padece incertidumbre(Anónimo)

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Agradecimientos

Entiendo que esta es una buena ocasión para agradecer todos los esfuer-zos, ya sean emocionales, académicos o económicos, que la familia, amigosy profesores han realizado para que este trabajo pueda ser presentado. Paratodos ellos, mi sincero agradecimiento y respeto.Ya que en la redacción de los capítulos que dan forma a éste trabajo he

intentado ser riguroso y breve, no voy a ser menos en esta sección. De modoque, empezaré agradeciendo a todos aquellos que han colaborado económica-mente para seguir con los que lo han hecho académicamente, continuado conel apartado emocional para, finalmente, dedicar un especial agradecimientoa mis padres.Gracias al programa I3P de becas predoctorales del Centro Superior de

Investigaciones Científicas y al interés mostrado por el Ente Promotor Obser-vador SENER ingeniería, se ha desarrollado el trabajo de estos dos últimosaños.Si académicamente tuviera que seleccionar un hito de referencia en mi

formación, no lo dudo, ese hito es el Catedrático D Miguel Ángel Losada.Por la ROM 0.0, por la ilusión por aprender, por la confianza depositada ypor el cariño mostrado, gracias de corazón. Si a la pasión de Miguel, se leañade el rigor de la Doctora Asunción Baquerizo resulta una combinaciónperfecta de la que he tenido la suerte de aprender, a ti también Asun muchasgracias.Para cada uno de mis compañeros del Grupo, una breve y personal con-

fidencia. Santi, en pocas palabras, cuando sea mayor quiero ser como tú.Olga, vales tu peso en oro y cada vez más. Paco, ”you are opening my eyes”.María, siempre tan estupenda. Migue, como los vinos mejoras con el tiempo.Antonio, mi nunca bien ponderado iron-man. Chema, todo lo que tienes dedespistado lo tienes de buena gente. Clave, eres lo que mi madre quiere parami y mi padre para él. Elena S., ¡como los robles¡ poco habladora pero noble.

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iv AGRADECIMIENTOS

M. Carmen, si vuelves a reencarnarte hazlo en quesada o en pastel. Marian,nuestra conductora de primera. Dori, contigo el día de mi santo tiene doblevalor. Manolo P., ojalá hubiera más como tu en la administración. Elena Q.,el osito del grupo. Javi, ¡el romántico¡, siempre detras del atardecer perfecto.Chuso, el bueno del Doctor amor. Ana, ¡mmm¡, ¡qué rico esta todo¡. Justus,el ”pequeño” aleman buscador de emociones. Vito, punto de referencia. Unrecuerdo cariñoso para Leo, Izaskun, Francisco R., Karl, Sandra y Sergio conlos que espero seguir en contacto.A ti Raquel ya te daré el abrazo que te mereces, por las risas incontro-

lables, los buenos momentos y el cariño que me sigues dando.A mis abuelos, tíos y primos con los que aprendo siempre que puedo y de

los que estoy muy orgulloso. A mis hermanos, decirles que me da vértigo vercomo vamos creciendo y me ilusiona seguir haciéndolo junto a ellos.A ti Papa, hombre sencillo, trabajador y humilde espero que estes tan

orgulloso de mi como yo lo estoy de ti. ¡Mamá¡, en este texto sólo me faltastu, en la vida espero que no me faltes nunca.

Índice general

Agradecimientos III

Lista de símbolos XIII

Resumen del trabajo XVII

Aportaciones de la Tesis XXIII

1. Introducción 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Evolución costera y secuencia de temporales . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Procesos morfodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Propiedades de los procesos . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3. Tiempo de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Modelos de una línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Transporte longitudinal de sedimentos . . . . . . . . . 81.3.3. Tratamiento de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . 131.3.4. Limitaciones del estado del arte . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1. Fundamentos de la simulación a largo plazo . . . . . . 151.4.2. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Modelo de una-línea 212.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Conservación de la masa de sedimentos. . . . . . . . . . . . . . 22

v

vi ÍNDICE GENERAL

2.3. Ecuación constitutiva o del transporte . . . . . . . . . . . . . 302.3.1. Variación longitudinal de la altura de ola y ángulo de

rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Aproximación lineal de la ecuación del transporte . . . 32

2.4. Ecuación de gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1. CC tipo Dirichlet o de no bloqueo: . . . . . . . . . . . 362.5.2. CC tipo Neumann o de bloqueo total: . . . . . . . . . . 372.5.3. CC tipo Robin o de bloqueo parcial: . . . . . . . . . . 382.5.4. Condición de Contorno Generalizada o tipo Robin no

permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Solución para oleaje regular equivalente 413.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Adimensionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Homogeneización de las CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4. Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1. Solución del problema espacial . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2. Solución del problema temporal . . . . . . . . . . . . . 55

3.5. Solución del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6. Escalas de la difusión y fenómeno Gibbs . . . . . . . . . . . . 58

3.6.1. Fenómeno Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Validación de la solución 634.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Evolución sin estructuras costeras . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1. Relleno rectangular finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2. Relleno semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.3. Relleno rectangular suavizado . . . . . . . . . . . . . . 674.2.4. Dragado rectangular en la playa . . . . . . . . . . . . . 694.2.5. Playa triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.6. Descarga de un río como fuente puntual . . . . . . . . 72

4.3. Evolución de la playa en presencia de estructuras costeras . . . 734.3.1. En la proximidad de un espigón vertical impermeable . 744.3.2. Un rompeolas exento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.3. Playa entre espigones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

ÍNDICE GENERAL vii

4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Solución para oleaje irregular 875.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2. Transporte longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3. Modelo de una línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4. Solución clásica frente a la espectral . . . . . . . . . . . . . . . 905.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6. Incertidumbre de la predicción 976.1. Problemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2. CP y la estimación de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . 996.3. Fundamentos del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.1. Cálculo del primer componente . . . . . . . . . . . . . 1026.3.2. Cálculo del segundo componente . . . . . . . . . . . . . 1046.3.3. Generalización y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4. Asignación de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7. Simulación de los temporales 1097.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2. Definición de evento de temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.3. Parametrización de la historia de C.M. . . . . . . . . . . . . . 111

7.3.1. Parametrización de la secuencia de temporales . . . . . 1117.3.2. Parametrización de la evolución en el tiempo del tem-

poral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.4. Aplicación de la técnica Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . 117

7.4.1. Simulación de variables correlacionadas . . . . . . . . . 1187.4.2. Procedimiento de simulación . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8. Aplicación 1238.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.2. Simulación del clima marítimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.3. Definición del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.3.1. Parámetros empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.3.2. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.4. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

viii ÍNDICE GENERAL

8.5. Análisis de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9. Conclusiones y futuras líneas de trabajo 1339.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2. Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A. Espectros direccionales empleados 137

Índice de figuras

1. Esquema del procedimiento de simulación propuesto . . . . . . xxi

1.1. Modelos morfodinámicos empleados en la ingeniería de costasy escalas espacio-temporales de aplicación (Modificado de Han-son and Kraus 1989) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Esquema del procedimiento de simulación propuesto . . . . . . 17

2.1. Representación esquemática de flujos y densidades de interésen un sistema costero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Evolución de una sección transversal de playa en un instanteinfinitesimal de tiempo manteniendo la forma del perfil con-stante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Sistema cartesiano de referencia sobre el que se define la ori-entación de la playa y el ángulo de incidencia del oleaje . . . . 33

2.4. Representación esquemática de una playa donde es aplicablela CC tipo Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5. Representación esquemática de un sistema costero donde esaplicable la CC tipo Neumman Permanente. . . . . . . . . . . 37

2.6. Representación esquemática de una playa donde es aplicablela CC tipo Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Variación del error relativo asociado al fenómeno Gibbs y lacondición permanente tipo Neumann. Comparación para dis-tintos ángulos de incidencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ix

x ÍNDICE DE FIGURAS

4.1. Evolución de la línea de costa de una regeneración finita deforma rectangular expuesta a oleaje de incidencia normal ala costa; comparación entre la solución analítica dada por LeMehaute & Soldate (1977) y la solución en serie de autofun-ciones dada por Payo et. al. 2002. (no auto. = 100) . . . . . . 65

4.2. Evolución de un relleno rectangular semi-infinito. Compara-ción entre solución analítica dado por Walton & Chiu (1979)y Payo et. al. (2002). (no auto.l = 22) . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Forma en planta en el instante inicial de un relleno rectangularde contornos suavizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4. Evolución de la línea de costa para un relleno rectangular conextremos suavizados, b/a = 1.5. Comparación entre la soluciónanalítica de Walton (1994) y Payo et. al. (2002). (no auto. = 44) 69

4.5. Evolución de un dragado rectangular de anchura 2a en unaplaya inicialmente rectilinea de anchura y0. Comparación entrela solución dada por Walton & Chiu (1979) y Payo et. al.(2002). (no auto. = 37) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.6. Evolución de una playa triangular de base 2a y altura y0.Comparación entre la solución de Walton & Chiu (1979) yPayo et. al. (2002).(no aut. = 24) . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.7. Evolución de la línea de costa en las proximidades de la de-sembocadura de un río con aporte continuo qR. Comparaciónentre la solución analítica de Carslaw & Jaeger (1959) (ref. enLarson et. al., 1987) y Payo et. al. (2002) como serie de 14autofunciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.8. Evolución de la línea de costa de un espigón de longitud Lque bloquea todo el transporte. Comparación entre la soluciónanalítica dada por Pelnard Considere (1956) y la solución enserie de funciones. (no aut. = 22) . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.9. Evolución de la línea de playa en las proximidades de un es-pigón (lado de acumulación) con y sin rebase. Para un ángulode 0.2 rad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.10. Evolución de la playa en las proximidades de un espigón, convariación exponencial del ángulo de incidencia en rotura (alfa= -0.4 rad; gamma L = 1). Solución con 10 autovalores. . . . . 79

4.11. Definición esquemática del problema de un dique rompeolasexento, de longitud 2*L, paralelo a la costa. . . . . . . . . . . 80

ÍNDICE DE FIGURAS xi

4.12. Variación de la línea de playa en las proximidades de un diquerompeolas exento de longitud 2L, paralelo a la costa. Dondeel ángulo en la zona de sombra = 0.4 rad, y se supone que nohay variación en la tasa de transporte de una región a otra.Solución en serie de autofunciones.(no aut. = 10) . . . . . . . . 81

4.13. Comparación de la evolución de un tramo de playa con cambioen el ángulo de incidencia. Solución para un espigón de anchura2L situado a L unidades de longitud de la playa original. Elángulo pasa de 0 rad en la zona iluminada a -0.4 en la zonade sombra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.14. Evolución de la línea de playa entre espigones, inicalmenterellena y rectilinea (L/w = 0.33, alfa = 0.25 rad). Solución enserie de 10 autofunciones comparada con la solución analíticaDean (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.15. Evolución de una playa encajada entre espigones, inicialmenterectilínea. Comparación entre la solución analítica y como de-sarrollo en serie de 10 autofunciones. . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1. Evolución de la línea de playa inicialmente recta aguas arribade un espigón forzada por un oleaje irregular. Comparaciónde las soluciones obtenidas para cinco espectros direccionalescon idéntico contenido energético pero diferentes dispersionesfrecuenciales y angulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2. Evaluación de la línea de playa inicialmente recta aguas arribade un espigón forzada por un oleaje irregular. Comparación delas soluciones espectrales y la monocromática unidireccional. . 93

5.3. Formas en planta de la playa, no ponderadas por la energíadel espectro, que han sido calculadas para el caso en el que seempleo el espectro frecuencial tipo Brechesneider-Mitsuyasu yel direccional tipo Mitsuyasu directional, smax = 75. . . . . . . 94

6.1. Representación gráfica de la recta que minimiza las distanciasortogonales de los puntos a ella. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1. Ejemplo de evolución en el tiempo de la altura de ola duranteun evento de temporal (datos WASA14718) . . . . . . . . . . 112

7.2. Registro de un año de oleaje. El número de temporales y eltiempo entre temporales definen la historia de clima marítimo. 113

xii ÍNDICE DE FIGURAS

7.3. Evolución en el tiempo de la altura de ola para los distintostemporales registrados en el punto WASA14718. . . . . . . . . 115

7.4. La primera componente principal obtenida del registro de laaltura de ola de 336 temporales explica el 97.2% de la variabil-idad total. En la figura se muestran los coeficientes de cargapara cada variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.5. Comparación entre la evolución en el tiempo de tres tempo-rales con la reconstrucción a partir de la 1a CP. . . . . . . . . 117

7.6. Esquema del procedimiento para la simulación de clima marí-timo a partir de una base de datos oceanográficos empleandoel método de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.1. Forma en planta inicial del tramo costero. . . . . . . . . . . . 1248.2. Representación del problema asumiendo que la batimetría es

recta y paralela al eje x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.3. Representación de una de las 70 simulaciones de la altura de

ola (Hm0) según el procedimiento propuesto. . . . . . . . . . . 1268.4. Representación de una de las 70 simulaciones del periodo de

ola (Tm0), según el procedimiento propuesto. . . . . . . . . . 1278.5. Representación de una de las 70 simulaciones de la dirección

del propagación (dir), según el procedimiento propuesto. . . . 1278.6. Comparación entre la forma en planta del tramo de playa en

el instante inicial y las distintas soluciones calculadas. . . . . 1298.7. Coeficiente de carga de cada una de las nx variables originales

en las tres primeras componentes principales . . . . . . . . . . 1308.8. Comparación entre las tres primeras formas en planta simu-

ladas y su reconstrucción a partir de la primera componente. . 1318.9. Representación del número de observaciones por clases de las

puntuaciones sobre la primera componente principal obtenidas 131

xiii

xiv LISTA DE SÍMBOLOS

Lista de símbolos

B altura de berma medida desde el nivel medio del mar (NMM)C1,C3 ctes. adimensionales que definen las CCC2,C4 ctes. dimensionales que definen las CCC celeridad de grupoCs concentración de material en el seno del fluidoCn coef. n-ésimo del desarrollo en serie de la forma inicialDb cte. adimensionalizadora de profundidadesDc profundidad de cierreD Dc +BD50 parámetro representativo del tamaño de granoE error relativoEijb energía en rotura de la componente i, j del espectro

Go espectro direccional de energía fuera de la zona de roturaGb espectro direccional de energía en la zona de roturaHs altura de ola significanteHrms,b altura de ola significante media cuadrática en roturaH ij

rms,b Hrms,b de la componente i, j del espectroHM altura de ola representativa del estado de no temporalK parámetro adimensional función del D50

NMM Nivel Medio del Mar en reposoN número de años simuladosM número de simulacionesQx transporte longitudinal de sedimentosQy,w transporte transversal debido a vientoQy,s transporte transversal asociado a los materiales finosQy,f transporpte transversal debido a corrientes de fondoQo amplitud del transporte longitudinalQ∗ cte. adimensionalizadora de caudalesSij tensor de radiaciónSx,y componente longitudinal del tensor de radiaciónT cte. adimensionalizadora de tiemposTp periodo de pico del oleaje

xv

Ut unidad de tiempo representativa del estado de no temporalV Volumen de sedimentosW longitud de un espigón perpendicular a la costaWn coef. n-esímo del desarrollo en serie del témino no homogéneoY variable línea de playa homogeneizadaZs anchura de la zona de roturaa1, a2, a3,a4 ctes. homogeneizadoras de las CCb longitud del tramo costeroex, ey vectores unitarios del número de ondaf frecuencia del oleajeg aceleración de la graveadadg0 función no permanente definida en x = 0gb función no permanente definida en x = bh superficie libre del mari contadorj contadork índice de roturan porosidad del sedimentonx número de puntos a lo largo del tramo de playanp número de simulacionesq termino fuente o sumidero de materialt variable independiente tiempovc velocidad de los contornos del volumen de controlx coordenada longitudinaly coordenada transversalys línea de playayc línea de cierrey0,yL límites tierra adentro y mar adentro del volumen de controlyb cte. adimensionalizadora de las distancias horizontalesz coordenada verticalzb superficie del fondoαb ángulo de oleaje en rotura relativo a la línea de costaαn solución del problema temporal n-esímaβn solución del problema espacial n-esímaβ pendiente media de la playaε coeficiente de difusiónλn autovalor n-esímoθo, θb ángulo del frente de oleaje con el eje x, fuera y dentro de la z. roturaρs densidad del sedimentoρw densidad del agua de mar

xvi LISTA DE SÍMBOLOS

Resumen del trabajo

En el contexto de las tareas de la Gestión Integral de las Zonas Costeras,la incertidumbre acerca de la evolución a largo plazo (años a décadas) de laextensión superficial de grandes tramos de playa (decenas de kilómetros), jue-ga un papel determinante durante la fase de planificación. Particularmente,cuando se deba tomar decisiones de forma secuencial donde cada una delas cuales puede generar un impacto en la zona costera. En este trabajo sepropone un procedimiento que permite, no sólo simular la evolución de lalínea de playa1 a gran escala, sino también la estimación de la incertidumbreasociada a la predicción.En la evolución a gran escala de la línea de playa participan procesos

con distintas escalas de trabajo debidas a la interacción entre la morfologíacostera y los distintos procesos físicos que tienen lugar en la zona costera,produciendo cambios en las formas costeras con un amplio rango de escalasespacio-temporales. Las escalas en las que operan los procesos morfodinámi-cos se pueden dividir en cuatro clases:

1. La escala instantánea asociada a la evolución morfológica durante unciclo primario de agentes forzadores, tales como el oleaje y las mareas.

2. La escala asociada a eventos, como respuesta a procesos que van desdela ocurrencia de un evento sencillo, como una tormenta, hasta varia-ciones estacionales de las condiciones ambientales. Los cambios mor-fológicos resultan del promedio temporal de los procesos instantáneosdurante una fluctuación de las condiciones ambientales.

3. La escala de interés para la ingeniería asociada a la composición de var-ios ciclos en las condiciones ambientales. La evolución final dependerátanto de la naturaleza como de la secuencia de los ciclos.

1En este trabajo línea de playa y línea de costa se suponen conceptos equivalentes

xvii

xviii RESUMEN DEL TRABAJO

4. La escala geológica, superior al milenio donde las fluctuaciones en lascondiciones ambientales son importantes, principalmente relacionadacon los ciclos de Milankovich.

Este trabajo centra su atención en la escala de interés para la ingenieríasuponiendo que la evolución a largo plazo de la línea de playa esta controladapor la existencia de ciclos en la ocurrencia de eventos extremos, relacionadoscon la ocurrencia de temporales.Sin embargo, los procesos de menor escala como el aporte puntual de

material, ya sea de forma natural o artificial, así como, los procesos de mayorescala como las variaciones del nivel del mar intervienen en la evolución alargo plazo de la línea de costa y han de ser tenidos en cuenta. Los procesosde menor escala actúan como ruido dentro del sistema costero mientras quelos procesos de mayor escala actúan como condiciones de contorno.Por otra parte, la propiedad acumulativa de los procesos costeros, que

surge de la interacción entre morfología y los propios procesos hidrodinámi-cos, hacen de la evolución costera un proceso secuencial de estados morfod-inámicos que junto a la incertidumbre sobre la ocurrencia de eventos extremosconvierten esta secuencia en una secuencia Markoviana donde la forma al fi-nal de un estado depende del estado anterior.En este contexto se deduce que, entre otros, el problema de conocer la

evolución a gran escala de un sistema costero depende de: (1) la capacidad deincluir tanto en las condiciones de contorno como en la ecuación de gobiernono sólo los procesos en la escala de interés para la ingeniería sino los procesosasociados a cambios en la escala superior o geológica y los procesos asociadosa escalas instantáneas o menores y (2) simular la secuencia Markoviana entreestados morfodinámicos.La no estacionareidad del clima marítimo hace complejo el planteamiento

estocástico del problema sin embargo, el aumento de la capacidad de cálculohace posible el empleo de técnicas numéricas para introducir la aleatoreidaden los modelos (p.e. Vrijling and Meijer, 1992).Dado el carácter Markoviano del proceso, es necesario llevar a cabo nu-

merosas simulaciones hasta conseguir una muestra representativa de las posi-bles formas en planta, por lo que se requieren modelos morfodinámicos debajo coste computacional y a su vez, capaces de recoger la física de los prin-cipales procesos. De la extensa gama de modelos morfodinámicos existentes(Hanson & Kraus, 1989), las soluciones analíticas de los modelos de una líneacumplen en general los requisitos para ser empleadas en cálculos intensivos.

xix

El modelo de una línea pertenece a los llamados modelos de tenden-cia, caracterizados porque parten del concepto de estados morfodinámicos deequilibrio. Cuando las fuerzas que afectan al equilibrio del sistema costerocambian, éste responde, tratando de restaurar el equilibrio. En general, estosmodelos establecen una relación entre un elemento cinemático, por ejemploel volumen total de sedimentos en un tramo de costa, y el agente dinámicoperturbador del equilibrio, por ejemplo un ascenso del nivel medio del mar.Estos modelos son ”cajas negras” donde se relacionan los agentes cinemáticoy dinámico sin descifrar o valorar los mecanismos actuantes. Son, por tantomodelos simplificados que permiten conocer tendencias de evolución.En los modelos de una línea se asume que los cambios en la posición de la

línea de playa son debidos a gradientes espaciales y temporales de la tasa detransporte longitudinal de sedimentos. Supone que siempre hay sedimentosdisponibles, a no ser que esté explícitamente limitado por la condición decontorno. Los efectos debido a los cambios en la tasa de transporte transver-sal, tales como los asociados a tormentas y movimientos cíclicos asociados avariaciones estacionales del clima marítimo, se anulan para periodos suficien-temente largos o son introducidos como cálculos externos.Sin embargo, tanto las soluciones analíticas presentadas hasta la fecha co-

mo los procedimientos de estimación de la incertidumbre, presentan algunaslimitaciones que se pueden resumir en:

1. Limitaciones de las soluciones analíticas: en primer lugar no recogenlas variaciones espaciales de la altura de ola y dirección del oleaje y sudependencia con la orientación de la línea de playa limitando su apli-cación a playas muy rectilíneas en ausencia de obstáculos o irregulari-dades que pudieran generar variaciones de la altura de ola y direccióna lo largo de la playa. En segundo lugar, no simulan adecuadamente lasvariaciones de la línea de costa debida a cambios del nivel medio delmar o al aporte-retirada de material ya sea de forma natural o artifi-cial. En tercer lugar, tampoco reproducen adecuadamente el caráctermultidireccional y multifrecuencial del oleaje.

2. Limitaciones en la estimación de la incertidumbre; tomando varios pun-tos fijos a lo largo de la playa y como variable la distancia a la línea deplaya, se comprueba que tanto en la naturaleza como en el modelo deuna línea estas variables están correlacionadas. Esta correlación suponeque las estimaciones de la incertidumbre asociada a cada punto se hace

xx RESUMEN DEL TRABAJO

de forma no conjunta, de forma que no se tiene información acerca de laincertidumbre asociada a la forma en planta de la playa en su conjunto.

Los objetivos de este trabajo se han centrado en evitar estas limitacionesdando como resultado un procedimiento para la simulación por estados de lalínea de playa, basada en soluciones analíticas del modelo de una línea (verFigura 1.2).El procedimiento parte de considerar la forma en planta de la playa como

el resultado de un experimento tras N años de solicitación del clima marítimo.A partir de una base de datos representativa del clima, se generan mediantela técnica de Monte-Carlo M simulaciones de las posibles historias de climamarítimo. La historia de clima marítimo se caracteriza tanto por el númeroy duración de temporales como por el tiempo transcurrido entre temporales.La historia así caracterizada en periodos de temporal y de no temporal esdiscretizada en estados de mar, caracterizando cada estado por una alturade ola, período y dirección de propagación. Al introducir estas secuencias deestado en el modelo de una línea, se obtiene una muestra representativa delos posibles resultados del experimento.Se ha desarrollado una solución del modelo de una línea capaz de recoger

adecuadamente tanto en la ecuación de gobierno, como en las condiciones decontorno, las variaciones longitudinales de la altura de ola y dirección, asícomo los cambios producidos en la línea de costa debido a las variacionesdel nivel medio del mar y la presencia de aportes o retiradas de material. Lasolución ”casi analítica” se obtiene como desarrollo en serie de autofuncionesasumiendo que tanto el ángulo de incidencia en rotura como la orientaciónde la playa son pequeños. Básicamente, se trata de una ecuación parabólicano homogénea similar a la ecuación de difusión del calor, con coeficiente dedifusión no homogéneo y las condiciones de contorno más generales o tipoRobin no permanentes. La no homogeneidad del coeficiente de difusión obligaa la búsqueda numérica de los autovalores mientras que el empleo de lascondiciones de contorno tipo Robin no permanentes permite describir todoslos tipos existentes de condiciones de contorno, dándo así carácter general ala solución. La solución ha sido validada con otras soluciones existentes en laliteratura comprobando tanto su validez como el mayor rango de situacionesingenieriles y ambientales que es capaz de describir.La linealidad de la ecuación de gobierno y de las condiciones de contorno

han permitido encontrar la solución para oleaje multidireccional y multifre-cuencial, comprobando cómo en función de la dispersión en frecuencias y

xxi

Simulacion de M años climáticos (M ejecuciones )

n nº aleatorio de tormentas

flujo de energía aleatorio (Hs, Tp, ¬)

Simulación de Monte Carlo

M experimentos

M posibles formas en plantade la playa

igualmente probables

modelo una línea

Análisis de la incertidumbretécnica de los CPA

(Payo et. al. 2004)

Incertidumbre

Solución con CC Robin no permanentes y

coef. difusión no homogéno(Payo et. al., 2002)

un experimento

Base de datos oceanográficos

1º Generación historias de CM

2º Generación posibles formas

en planta

3º Estimación de la incertidumbre

Figura 1: Esquema del procedimiento de simulación propuesto

direcciones se producen diferentes respuestas de la línea de playa.Las posibles formas en planta del tramo de playa simuladas forman una

matriz, Mp,nx, de n filas por nx columnas. Donde n es el número de simula-ciones o individuos de la población y nx es el número de variables o puntosa lo largo de la planta de la playa en los que se ha simulado la posición de lalínea de playa. Se demuestra que la técnica de las componentes principalesproduce de forma adecuada un conjunto más reducido de nuevas variablesestadísticamente independientes, pudiendo ser calculada la probabilidad con-junta como un producto de las distribuciones marginales de cada una de estasnuevas variables. De esta forma se evita así la limitación asociada a la cor-relación entre las nx variables.

xxii RESUMEN DEL TRABAJO

Aportaciones de la Tesis

Las principales aportaciones de este estudio se enumeran a continuación:

1. Bajo la hipótesis de ángulo pequeño de incidencia, relativo a la costa,se presenta la solución casi analítica del modelo una línea con coefi-ciente de difusión no homogéneo y las condiciones más generales tipoRobin no permanente. En la ecuación de gobierno se incluye un términofuente/sumidero de material y el efecto de las variación del nivel mediodel mar.

2. Se asume que las variaciones de la línea de playa a largo plazo está con-trolada por la ocurrencia de temporales y sus ciclos de variabilidad. Sepresenta un procedimiento de simulación por estados capaz de recogerel carácter acumulativo de los procesos costeros donde la forma finalasociada a un estado es incluida como forma inicial del siguiente.

3. La definición del modelo de una línea como ecuación de estado, capazde recoger las variaciones espaciales de la altura de ola y el ángulode incidencia, permite incluir la dependencia en el tiempo y el espacioentre los procesos de refracción y asomeramiento y la línea de costa.

4. Se comprueba que, la solución clásica que se obtiene al forzar el modelode una línea por un oleaje monocromático y unidireccional, produce unamarcada sobreestimación de la evolución de la línea de playa frente ala que se obtiene al forzar el modelo con un oleaje multidireccional ymultifrecuencia.

5. Se demuestra cuantitativamente cómo, para oleajes con idéntico con-tenido energético, la magnitud del cambio en la línea de playa disminuyeal aumentar la dispersión en la direccionalidad del espectro de energía.

xxiii

xxiv APORTACIONES DE LA TESIS

6. Se presenta un procedimiento basado en el análisis de componentesprincipales capaz de asignar la probabilidad de ocurrencia a la esti-mación realizada, proporcionando así una herramienta de decisión parala gestión costera más eficaz que la tradicional estimación de la proba-bilidad por secciones de playa.

Capítulo 1

Modelo de evolución a granescala de sistemas costeros

1.1. Introducción

Conocer la evolución de sistemas costeros a escalas temporales de añosa décadas como respuesta a las interacciones directas e indirectas con lasactividades humanas así como con los fenómenos naturales, es un problemade vital importancia en la gestión de las zonas costeras siendo materia deestudio e investigación en la actualidad (p.e., HUMOR 2004 ).

El objetivo de esta sección es en primer lugar, plantear el problema deconocer la evolución de la línea de playa en el contexto del conocimientoactual sobre los procesos costeros. Planteado el problema, se identifican lasprincipales propiedades que deben ser recogidas por cualquier procedimientode simulación a largo plazo de la línea de costa. En este contexto, se llevaa cabo una revisión del estado del arte identificando las carencias ya seade los procedimientos o de los propios modelos. Una vez identificadas estascarencias se marcan los objetivos a alcanzar en este trabajo y se describe laorganización de este documento.

1

2 Introducción

1.2. Evolución costera y secuencia de tempo-rales

La evolución costera es el producto de los procesos morfodinámicos enrespuesta a cambios en las condiciones ambientales. La mutua interacciónentre la morfología costera y los procesos involucran cambios en las formascosteras sobre un amplio rango de escalas espacio-temporales. Las escalasen las que operan los procesos morfodinámicos han sido divididas en cuatroclases basadas en consideraciones similares a las presentadas por de Vriend(1991);

1. La escala instantánea involucra la evolución morfológica durante unciclo primario de agentes forzadores, tales como el oleaje y las mareas.

2. La escala asociada a eventos es una respuesta a procesos que van desdela ocurrencia de un evento sencillo, como una tormenta, hasta varia-ciones estacionales de las condiciones ambientales. Los cambios mor-fológicos resultan del promedio temporal de los procesos instantaneosdurante una fluctuación de las condiciones ambientales.

3. La escala de interés para la ingeniería se produce como respuesta a lacomposición de varios ciclos en las condiciones ambientales. La evolu-ción final dependerá tanto de la naturaleza como de la secuencia de losciclos.

4. La escala geológica, superior al milenio, donde las fluctuaciones en lascondiciones ambientales son igualmente importantes, principalmenterelacionadas con los ciclos de Milankovich.

El objetivo de este trabajo es el de predecir la evolución de la línea decosta a la escala de interés para la ingeniería.

1.2.1. Procesos morfodinámicos

El forzamiento exterior debido a los agentes ambientales es el responsablede la evolución morfológica. Los agentes ambientales incluyen a los climáticosy geológicos. Los geológicos gobiernan las propiedades y abundancia de lossedimentos. El regimen climático regional, fruto de la interacción atmósferaoceáno determina el régimen de energía. El carácter aleatorio del regimen de

1.2 Evolución costera y secuencia de temporales 3

energía junto con la propiedad acumulativa de los procesos costeros son losresponsables de introducir la incertidumbre en los procesos morfodinámicosy por tanto la evolución costera.Sobre escalas de tiempo del Cuaternario, los ciclos de Milankovich diri-

gen la interacción entre el clima y la geología, provocando ajustes glacio-hidrostáticos responsables de las variaciones del nivel del mar, actuando comouna condición de contorno fundamental al descender de la escala geológica ala de ingeniería. Los procesos sobre las condiciones de contorno dominantesa escalas inferiores al año incluyen input atmosféricos y oceánicos, aunquevariaciones inter-anuales e inter-decadales, como las variaciones en latitud delos frentes entre masas de aire, son también fundamentales. El forzamientopor parte del oceano se debe a; (i) al patrón general de circulación oceánicay la producción de vórtices; (ii) mareas astronómica y meteorológica; (iii)oleaje generado en mar abierto; y (iv) otras variaciones del nivel del mar.El viento juega un papel fundamental no sólo como mecanismo de trans-

porte en zona de dunas sino como generador de oleaje local, corrientes yflujos internos, oleaje atrapado en la costa, entre otros.Los aportes de materiales y agua dulce por parte de las desembocaduras

y escorrentías desde la zona continental son suplementados por material au-togénico, generado en el propio sistema costero.Las perdidas de sedimento en los sistemas costeros son en forma de ma-

terial fino que es transportado lejos de la zona de activa del perfil de playa.

1.2.2. Propiedades de los procesos

La retroalimentación entre morfología y dinámica marina se da a travésdel transporte de sedimentos y es el mecanismo que proporciona la esenciadel comportamiento morfodinámico. Las propiedades de los procesos costerosse pueden clasificar en: (i) tendencias de equilibrio, (ii) sucesión Markoviana(que introduce la incertidumbre), (iii) histéresis (la cual supone una respues-ta filtrada por la morfología frente a cambios en las condiciones de contorno),(iv) no linealidad, (v) no estacionariedad y (vi) no homogeneidad. La retroal-imentación es la causante de cada una de estas propiedades, excepto de lahistéresis y de la no homogeneidad.Todas estas propiedades hacen de la evolución de sistemas costeros un

proceso complejo. La no linealidad supone interdependecia entre los estadosmorfodinámicos a través del espacio y del tiempo. La interdependencia es-pacial se ve complicada por la no homogeneidad, que generalmente existe

4 Introducción

en los procesos morfodinámicos ya que la costa es una zona de transiciónentre el oceáno y el continente. La histéresis surge de la no estacionariedady del tiempo finito de respuesta de la playa frente a cambios en el regimende energía.La no linealidad es una consecuencia inevitable de la retroalimentación

que hace de la evolución costera un proceso acumulativo donde la forma enplanta al final de un estado de clima marítimo sirve de entrada al siguente.Cuando sobre la propiedad acumulativa se añade el efecto de la variación

estocástica de las condiciones de contorno da lugar a una secuencia Marko-viana. La probabilidad de que ocurra una secuencia especifica de estadosdisminuye progresivamente en el tiempo.Visto lo anterior, la posibilidad de convergencia geomorfológica parece

irreal, Schumm (1991). Sin embargo, la posibilidad de convergencia geomor-fológica se mantiene si existen cadenas de Markov absorbentes. Las cadenasabsorbentes poseen al menos, un estado absorbente, al cual se puede llegardesde cualquier otro estado no absorbente, pero desde el cual no es posiblela transición a otro estado. La secuencia evolutiva llegaría a estar bloqueadaen un estado o un grupo de estados.El proceso de simulación propuesto en este trabajo asume la existencia de

estos estados absorbentes, donde el tiempo de relajación o tiempo necesariopara alcanzar este estado, igual que en la realidad, es fundamental en lasimulación.

1.2.3. Tiempo de relajación

El ajuste morfodinámico esta limitado por la frecuencia de respuesta car-acterística la cual refleja el tiempo requerido para que la transferencia delvolumen de sedimentos ocurra. El tiempo de relajación Tr, necesario para elcambio morfológico ∆h, para alcanzar el equilibrio, despues de una variaciónde las condiciones de contorno, está relacionada con la tasa de transporte desedimentos a través de la ecuación de conservación de sedimentos. Mayorestasas de transporte implican tiempos de relajación menores y viceversa.La tasa de transporte de sedimentos generalmente disminuye con el tiem-

po, a medida que se acerca al estado morfodinámico de equilibrio. Si lareducción de la tasa de transporte es descrita mediante una disminuciónexponencial, entonces el tiempo de respuesta morfológico puede ser caracter-izado por una constante T, similar a la vida media de elementos radiactivos.Formalmente, T es una relación entre la energía entrante y los parámetros

1.3 Estado del arte 5

disipativos del sistema.

Aunque la variación estocástica de las condiciones de contorno no permi-tan alcanzar el equilibrio se puede concluir que, existe un estado potencialde equilibrio o más probable, definido como aquel al que el sistema tiendeasintóticamente para cada estado energético. La tendencia hacia el equilibrioinherente en el proceso, resulta de la evolución en el tiempo, de lo que Wright& Thom (1977), denominaron estado más probable. La consecuencia de lahistéresis morfodinámica es que el desfase en el tiempo, sólo permite unarespuesta parcial durante el estado transitorio hacia el equilibrio (Chappell,1983).

1.3. Estado del arte

Los distintos procedimientos de simulación a largo plazo existentes enla actualidad se pueden clasificar en función del modelo morfodinámico queemplean así como del tipo de tratamiento de la incertidumbre asociada a losprocesos costeros.

Dependiendo de la naturaleza y las escalas del proceso involucrado en elcambio de la posición de la línea de playa, existen varios tipos de modelosmorfodinámicos disponibles en la actualidad.

6 Introducción

N-Líneas

Una-línea

Perfil Perfil analítico

Una-líneaAnalítico

(tradicional)

Casi-3D

3D

Modelos morfodinámicos de playasClasificación en función de las escalas espacial y temporal

Extensión longitudinalE

xten

sión

tran

sver

sal

AÑOSMESESHORAS 1-5 5-10 10-20

Línea de playa

Run-up D

cC

otas varias

KM

0-1

1-10

10-1

00

Escala temporal

Figura 1.1: Modelos morfodinámicos empleados en la ingeniería de costas yescalas espacio-temporales de aplicación (Modificado de Hanson and Kraus1989)

En la figura (1.1) se ve como las soluciones analíticas y numéricas de losmodelos de una línea junto con los modelos de N-líneas, trabajan a la escalade interés para la ingeniería. Sin embargo, sólo los modelos de una línea seemplean para la estimación de la incertidumbre de la predicción a largo plazo,siendo éstos objeto de análisis en este trabajo.

1.3.1. Modelos de una línea

El modelo de una línea pertenece a los llamados modelos de tenden-cia, caracterizados porque parten del concepto de estados morfodinámicos deequilibrio. Cuando las fuerzas que afectan al equilibrio del sistema costerocambian, este responde, tratando de restaurar el equilibrio. En general, estosmodelos establecen una relación entre un elemento cinemático, por ejemploel volumen total de sedimentos en un tramo de costa, y el agente dinámicoperturbador del equilibrio, por ejemplo un ascenso del nivel medio del mar.Estos modelos son ”cajas negras” donde se relacionan los agentes cinemático


y dinámico sin descifrar o valorar los mecanismos actuantes. Son, por tantomodelos simplificados que permiten conocer tendencias de evolución.De aplicar el principio de conservación de la masa, asumiendo que el perfil

de playa mantiene su forma de equilibrio y que la profundidad de cierre, Dc,define el límite aguas adentro del perfil de playa que participa de forma activaen el balance de sedimentos, se obtiene el siguiente problema de contorno concondición inicial (Pelnard-Considére, 1956);

(B +Dc)∂ys (x, t)

∂t= −∂Qx (x, t)

∂x+ q(x, t); 0 ≤ x ≤ b; t ≥ 0 (1.1)

con la condición inicial

ys (x, t = 0) = f (x) ; 0 ≤ x ≤ b (1.2)

y las condiciones de contorno (Payo et al.., 2002)

Qx (x = 0, t) = g0 (t) ; t ≥ 0Qx (x = b, t) = gb (t) ; t ≥ 0 (1.3)

Siendo B la altura de la berma desde la cota cero o nivel medio del mar;x es la coordenada longitudinal; t es el tiempo; ys (x, t) es la línea de playa,definida como la línea que surge de la intersección entre la superficie del nivelmedio del mar en reposo con la superficie definida por el material depositado;Qx (x, t) es el transporte longitudinal de sedimentos promediado para toda lazona de rotura, expresado como volumen de material por unidad de tiempo;q(x, t) es un término que representa la existencia de fuentes o sumideros dematerial, expresado en volumen por unidad de tiempo y unidad de anchurade línea de playa;f (x) es una función continúa que representa la forma enplanta de la línea de playa en el instante inicial; g0 (t) y gb (t) son dos funcionescontinúas que representan el volumen de sedimentos por unidad de tiempoen los contornos durante todo el intervalo de tiempo.La ecuación anterior establece que los cambios en la posición de la línea

de playa son debidos a variaciones espaciales y temporales del transportelongitudinal de sedimentos. También supone que, siempre hay sedimentosdisponibles a no ser que esté explícitamente limitado por la condición decontorno y que los efectos debido a los cambios en la tasa de transportetransversal, tales como los asociados a tormentas y movimientos cíclicos aso-ciados a variaciones estacionales del clima marítimo, se suponen que se an-

8 Introducción

ulan para periodos suficientemente largos o son introducidos como cálculosexternos en el termino q(x, t).Desde los primeros trabajos de Pelnard-Considére (1956) sobre el modelo

de una línea hasta la actualidad, se han llevado a cabo numerosos estudiosencaminados a validar el rango de aplicaciones ingenieriles y ambientales delmodelo, ya sea a través de su solución analítica (Pelnard-Considére, 1956;Walton & Chiu, 1979; Dean, 1984; Larson et al., 1987; Todd, 1994; Larsonet al.., 1997; Payo et al.., 2002) o a través de la solución numérica ( Larsonet al., 1987; Hanson & Kraus,1993; Marek et al., 2000 ).Sin embargo, la bondad de la solución del modelo de una línea está es-

trechamente ligada con el conocimiento de la relación entre el clima marítimoy la tasa de transporte longitudinal. En el siguiente apartado se hace unabreve descripción del estado del arte en este campo.

1.3.2. Transporte longitudinal de sedimentos

En la última década se han llevado a cabo gran número de estudios, enel cálculo del transporte longitudinal de sedimentos (referencias en Miller,H.C., 1999), la mayoría de ellos relacionan el clima marítimo con el trans-porte longitudinal promediado a largo plazo (un año climático). Pese a losnumerosos estudios, el conocimiento sobre el transporte en la zona costera esfundamentalmente cualitativo (Goda, 1997). Posiblemente una de las prin-cipales limitaciones sobre el conocimiento actual es que la mayoría de losestudios han sido llevados a cabo para oleaje regular unidireccional u oleajeirregular unidireccional, mientras que en la naturaleza el oleaje es de carácterirregular y multidireccional. Dado que los procesos de propagación y circu-lación en la zona cercana a costa para un oleaje irregular difieren del quetendría un oleaje regular, la respuesta de la línea de costa debe ser diferente.En este apartado se hace una revisión del estado actual de conocimiento

sobre el transporte longitudinal en la zona costera ya sea para oleaje regularo irregular.

Transporte en la zona de rotura

Debido a la acción del oleaje y de las corrientes longitudinales el sedimentoes movido a lo largo de playa de varios modos; transporte por fondo, ya seabajo régimen de ”sheet flow” (de los Santos, 2002) o rodando por el fondo;en suspensión, cuando es levantado del lecho y transportado por la corriente.


No está claro cuál de estos mecanismos es el predominante para distintascondiciones de oleaje, tamaño de sedimento y localización en el perfil (Dean& Darlymple, 2002).El transporte litoral longitudinal puede tener dos direcciones, mirando

hacia el mar p.e., positivo hacia la derecha o negativo hacia la izquierda.El transporte neto o total es la suma del transporte en las dos direcciones,mientras que el transporte bruto es la suma de los valores absolutos deltransporte.La importancia relativa entre el transporte por fondo y en suspensión, es

hoy día materia de discusión. En la actualidad, los dispositivos experimen-tales no clarifican el transporte por fondo así como el transporte en la zonade swash. Esta limitación, junto con el carácter aleatorio del oleaje hacen dela predicción del transporte longitudinal un proceso complejo que continuaen desarrollo.

Fórmulas del transporte; oleaje regular equivalente

A continuación se presenta una recopilación de las distintas formulacionesempleadas hasta la fecha distinguiendo entre estados de temporal y estadosde no temporal.

Régimen de energía bajo Se han dado varios argumentos para las dis-tintas relaciones entre las condiciones de oleaje y la tasa de transporte longi-tudinal de sedimentos (Komar & Inman, 1970; Inman et al., 1981; Kraus etal., 1982; Bodge & Dean, 1987a, b; Dean, 1989; Schoonees and Theron, 1993;Miller, 1998; Wang, Kraus, & Davis, 1998; Wang, 1998; Wang and Kraus,1999; Miller 1999; Sayao & Kamphuis, 1983; Komar, 1990; Watanabe, 1992;Schoonees and Theron, 1994; Drake and White, 1995).La fórmula del CERC (Coastal Engineering Research Center) que apare-

ció en el SPM (Shore Protection Manual) 1984, es la más empleada para laestimación cuantitativa del transporte longitudinal de sedimentos. Se corre-sponde con el transporte neto de volumen de arena (incluyendo los huecos)que se mediría en el lado de depósito de un espigón, que bloquease todo elperfil activo de la playa. La fórmula del CERC se escribe como;

Qx = K

Ãρw√g

16k12 (ρs − ρw) (1− n)

!(Hrms,b)

52 sin 2αb

10 Introducción

siendo K una constante adimensional función del tamaño de grano, K =1,4exp(−2,5D50(mm)), (Del Valle et. al., 1993) válida para tamaños de granoque varian entre 0.4 y 1.5 mm; k es el índice de rotura (variando entre 0,78para playas con pendiente suave, hasta superiores a 1.0 en función de lapendiente de la playa, Weggel, 1972; en CEM’02 ); ρw es la densidad delagua de mar y ρs la densidad del material; n es la porosidad del sedimentodepositado, Hrms,b la altura de ola media cuadrática en rotura y αb el ánguloque forma el oleaje en rotura (evaluado en la línea de rotura) y la línea decosta.Esta fórmula supone que todo el transporte es debido a la corriente lon-

gitudinal generada por la incidencia oblicua del oleaje en rotura sobre lacosta. Sin embargo, existen otros mecanismos de generación de corrientes

longitudinales como es la variación longitudinal de la altura de ola,∂Hb

∂x. La

contribución asociada al gradiente longitudinal de la altura de ola, para unaplaya abierta en ausencia de irregularidades, es normalmente mucho menorque el asociado a la incidencia oblicua del oleaje. Sin embargo, en la proximi-dad de estructuras costeras, donde la difracción produce cambios importantesen la altura de ola en rotura sobre una gran extensión de la playa, la incor-poración de este término proporciona mejores resultados (Kraus & Harikai1983).La formualción de la tasa de transporte longitudinal quedaría de la forma

(Ozasa & Brampton, 1980);

Qx = Q0 (Hb (x) , D50, k, n, ρs, ρ) sin (2αb)−Q1

µ∂Hb

∂x, β, k2

¶cos (αb) (1.4)

La fórmula del CERC proporciona una estimación de la tasa de trans-porte bruta, promediada en el tiempo, en toda la zona activa del perfil perono describe las variaciones transversales de la misma. Sin embargo, en de-terminadas condiciones, como en presencia de obstáculos en la costa, estavariación debe ser tenida en cuenta para obtener una representación máspróxima del rebase de material.Kamphius et al. (1991) basado en datos de campo similares a los emplea-

dos por el CERC, desarroló una fórmula empírica que incluye la pendientemedia del perfil (m) y el tamaño de grano (d),

Q = 1,28H3,5

sb m

dsin (2αb) (1.5)


Donde Hsb, es la altura de ola significante en rotura. Basado en estudiosde laboratorio y re-examinando los datos de campo disponibles, Kamphius(1991) sugirió una formula empírica para la predicción del transporte longi-tudinal de sedimentos total, modificando su propia formulación del 1986 yañadiendo la influencia del periodo de pico, Tp.

Q = 6,4× 104HsbT1,5p m0,75d−0,25 sin0,6 (2αb) (1.6)

En esta nueva formulación el peso de la altura de ola y del tamaño degrano se han visto reducidos en comparación con la ecuación del 1986. Igual-mente se ven reducidas la influencia de la pendiente de la playa y de el án-gulo en rotura. Los coeficientes de las ecuaciones precedentes, Kamphius-86y Kamphius-91 fueron determinadas en unidades métricas.Wang, Kraus & Davis (1998) encontraron que la formula de Kamphius-91

predecía consistentemente tasas de transporte total inferiores a las predic-ciones de la formula del CERC y la de kamphius-86. La relativa baja predic-ción de la formula de Kamphius-91, tipícamente 1.5 a 3.5 veces inferior alas anteriores, ocurría para condiciones de energía bajas con alturas de olainferiores a 1 m. Para condiciones de temporal, de alturas próximas a 4 m, lasbajas estimaciones se mantienen (Miller, 1998). Sin embargo, Miller encontróque las predicciones del CERC se ajustaban mejor a los datos medidos quelos producidos por la formula de Kamphius-91, que eran aproximadamenteun orden de magnitud inferior a los valores medidos.El efecto del tipo de rotura en la tasa de transporte longitudinal de sedi-

mentos, y su distribución transversal son poco conocidas, el númerod e Irib-arren ha sido uno de los más empleados. La posible relación entre la tasade transporte y el parámetro de similaridad de surf ha sido estudiado pornumerosos autores que han intentado incorporar el tipo de rotura a la fór-mula del transporte. El desarrollo de las fórmulas de Kamphius-86 y 91 sonel resultado de estos intentos.Wang, Ebersole & Smith (2002) tras unos ensayos en laboratorio para

flujos bajos de energía, compararon la validez de las formulas del CERC,Kamphius-86 y Kamphius-91 para oleaje rompiendo en spilling y en plunging,encontrando que la fórmula del CERC produce resultados inconsistentes paralos distintos tipos de rotura, mientras que la fórmula de Kamphius-91, alincluir el período del oleaje produce resultados consistentes para ambos tiposde rotura. Sin embargo señalan la necesidad de más datos de laboratorio yde campo para incluir el efecto del tipo de rotura sobre la tasa de transporte.

12 Introducción

Régimen de energía alto Una recopilación de los pocos estudios quehan intentado relacionar la tasa de transporte asociada a eventos extremalespuede encontrarse en Miller (1999). En este estudio se tomaron medidas ennueve puntos a lo largo de un perfil de la playa, para cinco temporales cuyaaltura de ola fueron superiores a 3.5 m. Entre otros, se midió la velocidad de lacorriente longitudinal así como la concentración de sedimentos en suspensióna distintas profundidades (no se midió el transporte por fondo ni el transporteen la zona de swash). La tasa de transporte estimada a partir de los datos fuecomparada con las estimaciones de la formula del CERC y de la formulaciónde Komar (1998), basada en la formula de Inman & Bagnold (1963) y en lateoría lineal de oleaje.De los resutados obetenidos se extrae que pese a que la formulación de

Inman & Bagnold (1963) describe con mayor detalle la física de los procesos,la falta de datos del transporte por fondo principalmente, y en la zona deswash de menor importancia durante situación de temporal hacen que, en laactualidad no se disponga de una formulación empírica para el cálculo deltransporte longitudinal de sedimentos durante un estado de temporal.

Formulas de transporte; oleaje irregular

Actualmente se cree que un oleaje multidireccional y multifrecuenciarompiendo en la zona de rotura podría afectar de manera importante latasa de transporte en suspensión del sedimento y su distribución espacial. Sesabe que un oleaje irregular con rotura predominante en plunging produceimportantes ráfagas de material en suspensión. Sin embargo, se necesita deuna base de datos de campo fiable para entender y cuantificar los procesosde suspensión de sedimentos.La turbulencia del oleaje en rotura es el proceso encargado de poner

en suspensión el sedimento mientras que la corriente longitudinal, debidaprincipalmente a la oblicuidad del oleaje, es la mayor fuerza conductora.La corriente longitudinal es función del tensor de radiación, cuyo valor paraoleaje regular fue dado por Longuet-Higgins (1970). La extensión para elcaso de oleaje irregular fue llevada a cabo por Battjes (1972, 1974) pero noha sido tenida en cuenta hasta los trabajos de Goda & Watanabe (1991),los cuales presentaron una formulación empírica para la predicción de lacorriente longitudinal generada por un oleaje aleatorio sobre un fondo plano.La intensidad de la corriente longitudinal generada por un oleaje tipo sea(oleaje local o de viento) es débil si la comparamos con un oleaje swell,


manteniendo el resto de condiciones iguales. Debido a que el oleaje tipo seatiene una alta dispersión direccional de la energía. El efecto de un espectrodireccional de energía sobre la corriente longitudinal fue calculado por Goda(1991).Una de las pocas fuentes de información actualmente disponibles sobre

transporte de sedimento debido a oleaje irregular es la debida a Kamphius(1990). Ha llevado a cabo una serie de ensayos de laboratorio sobre el trans-porte de sedimentos, con oleaje irregular direccional. Sin embargo la relaciónentre la cantidad de sedimento en suspensión, así como el efecto de la multi-direccionalidad sobre el transporte permanece aún sin resolverse.

1.3.3. Tratamiento de la incertidumbre

En la actualidad existen dos formas de incluir la aleatoreidad asociadaal clima marítimo en la ecuación diferencial (2.14) dando lugar a dos clasesdistintas de ecuaciones:

1. Ecuaciones diferenciales aleatorias; es una ecuación diferencial or-dinaria a la cual se ha añadido aleatoreidad a sus coeficientes. Se asumeque las variables dependientes (ys y Qx ) tienen una expresión diferen-ciable y que toda la aleatoreidad se concentra en los coeficientes.

2. Ecuaciones diferenciales estocásticas; asumen que la aleatoreidadno está únicamente en los coeficientes sino que está incluida en laspropias variables dependientes. Las variables dependientes (ys y Qx )son tratadas como variables estocásticas cuya aleatoreidad es incluidaen la ecuación de gobierno a través de la integral estocástica de Ito ode Stratonovich.

El carácter no homogéneo y no estacionario junto con la creciente capaci-dad de cálculo que permite resolver integrales estocásticas mediante métodosnuméricos han favorecido al desarrollo de la primera solución frente a la se-gunda (Le Méhauté et al., 1983; San Roman & Southgate, 1999; Spivack yReeve, 2002; Payo et al., 2004; ROM 0.0, 2002). La técnica de Monte-Carloes uno de los métodos numéricos más empleados para resolver las integralesestocásticas que aparecen en la formulación del problema cuando es tratadocomo una ecuación diferencial aleatoria.Para períodos de simulación del orden de decádas, la secuencia de tempo-

rales parece ser el proceso que controla la evolución de la forma en planta de

14 Introducción

la playa. (Rodríguez-Ramírez et al., 2002). Sin embargo, en la actualidad nose dispone de un procedimiento de simulación capaz de recoger la variabilidadasociada a la ocurrencia de temporales.Debido a que las variables de entrada al modelo de una línea están cor-

relacionadas y a la naturaleza no lineal del fenómeno, es difícil de calcularanalíticamente la distribución estadística de la ordenada de la línea de cos-ta de forma conjunta. Algunos autores, como Spivack y Reeve (2002), hanafrontado este problema calculando analíticamente los momentos de orden 1y de orden 2 de la ordenada de la línea de costa, para un oleaje aleatorio us-ando el modelo de una línea. Sin embargo, suponen que toda la aleatoreidadse concentra en la playa, lo que resulta una simplificación excesiva conocidala importancia de las condiciones de contorno sobre la evolución de la líneade costa (p.e. Vrijling et al., 1992). De modo que en la actualidad sólo sedispone de procedimientos capaces de estimar la incertidumbre asociada aposición de la línea de playa en distintas secciones de forma independiente,no pudiendo obtener información acerca de la incertidumbre asociada a lasuperfice de playa o volumen de arena.

1.3.4. Limitaciones del estado del arte

Las principales limitaciones del estado del arte actual en la predicción alargo plazo de sistemas costeros se pueden resumir en:

1. En la actualidad, únicamente las soluciones analíticas y numéricas delmodelo de una línea y los modelos en desarrollo de N-líneas, permitensimular adecuadamente la evolución a largo plazo de los sistemas cos-teros a las escalas de interés para la ingeniería. La bondad de los resulta-dos de estos modelos depende, entre otros, de la correcta formulación dela relación entre el clima marítimo y el transporte longitudinal de sed-imentos. En la actualidad, el conocimiento del transporte longitudinalforzado por un oleaje irregular durante un evento extremal es limitado.Sin embargo, se cree que la respuesta del sistema costero frente a unoleaje multidireccional y multifrecuencial provoca distintas respuestasde la costa al que se produciría debido a un oleaje unidireccional ymonocromático equivalente.

2. El carácter no homogeneo, no estacionario y acumulativo de los proce-sos costeros hacen del planteamiento del problema como una ecuación

1.4 Objetivos de la tesis 15

estocástica una tarea compleja. La creciente capacidad de cálculo, hapermitido aproximarse al problema desde las ecuaciones diferencialesaleatorias, asumiendo que toda la aleatoreidad se encuentra en los coe-ficientes de la ecuación diferencial (2.14). Los métodos numéricos, comola técnica de Monte-Carlo necesarios para el análisis de la solución im-plican llevar a cabo un cálculo intensivo cuyo requerimiento en tiempode computación aumenta con el horizonte temporal a simular.

3. No se dispone de un procedimiento de simulación capaz de recoger lavariabilidad asociada a la ocurrencia de temporales.

4. Ninguno de los procedimientos de simulación desarrollados hasta lafecha dan información sobre la incertidumbre de la predicción, de formaconjunta, asociada la posición de la línea de playa en varios puntos alo largo de la misma.

1.4. Objetivos de la tesis

1.4.1. Fundamentos de la simulación a largo plazo

Se considera, que de forma general, cualquier procedimiento de simulacióna largo plazo de la línea de costa, debe contener tres bloques claramentediferenciados y conectados entre sí, de la forma en que se muestra en laFigura (1.2). Los tres bloques son;

1. Generación de las historias de clima marítimo; Se considera laforma en planta de la playa tras N años de solicitación por parte del cli-ma marítimo como el resultado de un experimento. Cada experimentoestá formado por un conjunto de pruebas aleatorias que básicamenteson el número, intensidad y duración de los temporales. A partir de unabase de datos representativa del clima marítimo, se generan mediantela técnica de Monte-Carlo M simulaciones de las posibles historias declima marítimo. Cada una de las M historias son igualmente probables.Cada historia de clima marítimo es discretizada en estados, siendo unestado un intervalo de tiempo durante el cual el flujo de energía puedeser considerado estadísticamente estacionario.

2. Generación de las posibles formas en planta; Se asume que elmodelo de una línea es una ecuación de estado. Para un flujo de en-

16 Introducción

ergía dado, la playa alcanzará la posición de equilibrio si la duraciónes suficiente. La forma de la playa al final de un estado es introduci-da como condición inicial del siguiente, reproduciéndo así la propiedadacumulativa de los procesos costeros. Al introducir las M historias declima marítimo en el modelo de una línea, se obtiene una muestra rep-resentativa de los posibles resultados del experimento o posibles formasen planta de la playa.

3. Estimación de la incertidumbre; si el número de simulaciones delos posibles estados morfodinámicos de la playa al final del períodosimulado es lo suficientemente grande, se dispone de una base de datosrepresentativa de las posibles formas en planta.

1.4.2. Objetivo general

El objetivo de este trabajo es el desarrollo de un procedimiento de sim-ulación a largo plazo que evite las limitaciones anteriormente mencionadasy que reproduzca adecuadamente las propiedades que, se cree que cualquierprocedimiento de simulación a largo plazo de la línea de costa debe ser ca-paz de reproducir. Estos son: (i) no homogeneidad, (ii) no linealidad, (iii)no estacionareidad, (iv) histéresis (v) propiedad acumulativa y (vi) carácterestocástico.

1.4 Objetivos de la tesis 17

Simulacion de M años climáticos (M ejecuciones )

n nº aleatorio de tormentas

flujo de energía aleatorio (Hs, Tp, ¬)

Simulación de Monte Carlo

M experimentos

M posibles formas en plantade la playa

igualmente probables

modelo una línea

Análisis de la incertidumbretécnica de los CPA

(Payo et. al. 2004)

Incertidumbre

Solución con CC Robin no permanentes y

coef. difusión no homogéno(Payo et. al., 2002)

un experimento

Base de datos oceanográficos

1º Generación historias de CM

2º Generación posibles formas

en planta

3º Estimación de la incertidumbre

Figura 1.2: Esquema del procedimiento de simulación propuesto

1.4.3. Objetivos específicos

Cuatro son los objetivos específicos encaminados a conseguir el objetivogeneral que se pretende conseguir en este trabajo;

1. Encontrar una solución robusta y de bajo coste computacional del mod-elo de una línea, valida para un amplio rango de situaciones ambientalese ingenieriles.

2. Estudiar la importancia de la multidireccionalidad y multifrecuenciadel oleaje sobre las predicciones basadas en el modelo de una línea.

18 Introducción

3. Desarrollar un procedimiento de simulación que recoja la variabilidadasociada a la secuencia de temporales y que permita generar una mues-tra representativa de la población de posibles estados morfodinámicosde la playa.

4. Estimar la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los estados mor-fodinámicos simulados y desarrollar una metodología que permita esti-mar la probabilidad conjunta para todo el tramo de costa.

1.5. Organización del documento

El documento se organiza en nueve capítulos.En el capítulo segundo, a partir de la ley de conservación de la masa

aplicada a un volumen de control fijo se desarrolla la formulación del modelode una línea incluyendo en su derivación la variación de la línea de playaasociada a los cambios del nivel del mar, las variaciones longitudinales de laaltura de ola y la existencia de términos fuente o sumidero de material.En el capítulo tercero se presenta la solución de la ecuación de gobierno

para oleaje monocromático y unidireccional empleando la formulación másgeneral no permanente de las condiciones de contorno. Por simplicidad enlos cálculos se propone una adimensionalización del problema. Se analiza elfenómeno de Gibbs que surge siempre que la concición inicial no es satisfechapor las condiciones de contorno al inicio de cada estado.En el capítulo cuarto, se procede a la comparación de la solución con

otras soluciones analíticas existentes ya sea para distintas formas iniciales deplaya en ausencia de estructuras, como es el caso de numerosas regeneracioneso bien para la evolución de sistemas costeros en presencia de estructuras.En el capítulo quinto se generaliza la solución para oleaje multifrecuen-

cial y multidireccional y se compara con la solución para oleaje monocromáti-co equivalente.En el capítulo sexto se propone un análisis estadístico de las simula-

ciones de la forma en planta realizadas que permite asignar la probabilidadde ocurrencia a cada una de las formas en planta simuladas de forma con-junta.En el capítulo séptimo se presenta un procedimiento de simulación por

estados del clima marítimo que a partir de una base de datos oceanográficaes capaz de recoger la variabilidad asociada a la ocurrencia de temporales.

1.5 Organización del documento 19

En el capítulo octavo se estudia la evolución de un sistema costeroempleando la metodología desarrollada en este trabajo.Finalmente, en el capítulo noveno se dan unas conclusiones sobre los

resultados obtenidos así como nuevas líneas de trabajo a desarrollar en elfuturo que han sido identificadas durante la elaboración de esta tésis.

20 Introducción

Capítulo 2

Modelo de una-línea

2.1. Introducción

Cualquier modelo matemático para un sistema físico continuo, como esel caso de un sistema morfodinámico costero, se obtiene como resultado deuna abstracción de la realidad. Esta abstracción es el resultado de tres pasosbásicos, que son:

1. Identificación de las leyes de conservación apropiadas (p.e., masa, mo-mento, energía, etc) y sus correspondientes ”densidades” y flujos.

2. Escritura de las correspondientes ecuaciones empleando las leyes deconservación.

3. Cerrar el sistema de ecuaciones proponiendo las relaciones adecuadasentre flujos y densidades.

El primer y tercer paso requiere de la comprensión de la física del procesoa estudio mientras que el segundo es mecánico y de carácter matemático. Engeneral, y en el caso de morfodinámica costera especialmente, el tercer pasoes el más duro de todos y del que dependerán en gran medida la bondad delos resultados.Obviamente, una vez que el modelo ha sido formulado, aparece un cuarto

paso que consiste en la validación del modelo, comparando las prediccionescon las observaciones y corrigiendo cuando sea necesario. Este paso requierede un tratamiento físico y matemático conjuntamente. De cualquier modo,

21

22 Modelo de una-línea

el modelo resultante será tan bueno como lo hayan sido las aproximacioneshechas durante su derivación.El objetivo de este capítulo es el de formular un nuevo modelo de una línea

delimitando el rango de aplicación del mismo en base a las aproximacionesrealizadas durante su formulación.Para ello el capítulo de divide en cinco secciones. En la primera se deriva

la ecuación de conservación de sedimentos y se aplica a un tramo de cos-ta o volumen de control. En la segunda sección se cierra la formulación alrelacionar los flujos de masa con las variables de interés, dando lugar a laecuación de gobierno en la tercera sección. En la cuarta sección se introducenlas condiciones de contorno, su significado físico y su formulación matemáticalas cuales junto con la condición inicial definen completamente el problemade conocer la evolución en el tiempo de un tramo de costa. Finalmente sedan unas conclusiones sobre el modelo propuesto.

2.2. Conservación de la masa de sedimentos.

La variable que se va a modelar es la variable ”posición de la línea decosta, ys (x, t) ” y su evolución en el tiempo. Matemáticamente se asume quese trata de una variable continua con derivadas continuas definida sobre undominio continúo, sin embargo en realidad, la playa esta formada por un grannúmero de unidades discretas o granos de material sedimentario cuyo tamañopuede variar desde el tamaño limo o arcillas hasta el tamaño grava. Por tantola variable línea de playa debe ser entendida como un promedio local. Estepromedio se lleva a cabo sobre escalas lo suficientemente grandes para que lanaturaleza discreta de playa sea irrelevante, pero lo suficientemente pequeñapara que el concepto de este promedio local y su variación en el espacioy el tiempo tenga significado. De este modo, en un modelo continúo existenvarias escalas. Por una parte tenemos las escalas visibles, que son las variablesmatemáticas del modelo (densidades y flujos). De otra parte, están las escalasinvisibles, que se corresponden con la microescala que ha sido promediadapara obtener el modelo.Para las aplicaciones ingenieriles la variable de interés es el volumen de

sedimentos que se pierde o se gana en un tramo de costa durante un intervalode tiempo. La ley de conservación de la masa (o del volumen dematerial) es la apropiada para definir esta variable, donde los flujos deentrada y salida de material en el sistema deben ser conocidos. En la figura

2.2 Conservación de la masa de sedimentos. 23

2.1 se muestra esquemáticamente las concentraciones y flujos que intervienenen un sistema morfodinámico costero. Durante la formulación del modeloveremos como son incorporados estos flujos al modelo.

yB(x,t) yS(x,t) yC(x,t) yL(x,t)

zL(x,t)

Zs(x,t)

zB(x,t)

y

zx

Playa secaBerma

Perfil activo

NMM

(1-n)ρs

CW(x,t)

Qyw(x,t)

Qinput(x,t)

Qoutput(x,t)QyS(x,t)Qyf(x,t)

Datum

Figura 2.1: Representación esquemática de flujos y densidades de interés enun sistema costero

Definida una densidad característica del sistema, ρ (x, t), la ley de con-servación de la masa para un volumen material se expresa como;

d

dtV M(t)

Zρ (x, t) dV = 0 (2.1)

Un volumen material contiene las mismas partículas materiales durantetodo el tiempo, es lo que en termodinámica se conoce como un sistema cerra-do. Cuando el material es transportado la superfice de contorno que delimitael volumen material, se mueve con éste. Sin embargo, su evolución con eltiempo no es conocida hasta que el problema es resuelto. Por esto, en las


aplicaciones de ingeniería se recurre a los volumenes de control sobre losque se aplican las leyes de conservación.Un volumen de control es un volumen definido arbitrariamente por una

superfice cerrada o de control que separa el universo en dos partes; la partecontenida en él y el resto del universo. La superfice de control es una con-strucción mental, transparente al movimiento de todos los materiales y puedeser estático en el sistema de referencia elegido, o móvil.Mediante el Teorema de Reynolds, podemos expresar la ley de conser-

vación de la masa sobre un volumen de control cualquiera como:

d

dtV C(t)

Zρ (−→x , t) dV + SC(t)

Zρ (−→x , t) (v − vc) ·−→n dS = 0 (2.2)

donde vrn = (v − vc)−→n es la componente normal de la velocidad de salida

del fluido (v) relativa a la velocidad de la superficie de control en ese punto(vc).Los límites del volumen de control para el balance de sedimentos dependen

del área a estudio, la escala temporal de interés y los objetivos del estudio.En un área de estudio dado, puede que sea necesario definir compartimentosadyacentes coincidentes con distintos sistemas morfodinámicos. Para un solosistema morfodinámico el volumen de control queda definido por un cubo deanchura infinitesimal (ver figura 2.1 ), donde los límites vienen dados por:

1. dos límites paralelos a la costa, el límite mar adentro y tierra adentro. Ellímite marino, yL (x), corresponde a una posición situada más allá de laposición donde se produce un movimiento significativo de material parael balance de sedimentos. Se elige de modo que no se espere movimientoapreciable de éste en el período de estudio, es por tanto una fronterafija. El límite terrestre, y0 (x), se elige, igualmente fijo, en una posiciónlejos de la zona de erosión o acrección esperada. Al ser fijos, la velocidadde los contornos es nula, vc = 0.

2. la superfice de control del fondo, o datum, se elige por debajo de lalámina de sedimentos que participa activamente en el balance.

3. la superfie de control superior se elige por encima de la mayor alturaesperada de la superficie del agua o la playa seca durante el períodoestudiado.


En el volumen de control así definido, ρ (−→x , t), representa una densidadde material característica, sin embargo, ésta será diferente si se encuentra enel seno del fluido o depositada. El material depositado se encuentra en unaconcentración proporcional a la porosidad del medio, n, y a la densidad delmaterial, ρS, que suponemos que es uniforme en todo el sistema costero yestacionaria en el periodo de estudio, (1−n)ρS . La concentración de materialen el seno del fluido,C (−→x , t), se supone a priori que varia en las tres dimen-siones del espacio y en el tiempo. El cuerpo de agua dentro del volumen decontrol está limitado por las superficies laterales infinitesimalmente próxi-mas, inferiormente por la superficie del fondo, zb (x, y, t) y superiormente porla superficie del agua, η (x, y, t).En el modelo, se asume que el transporte longitudinal de sedimentos

ocurre uniformemente sobre todo el perfil de playa hasta una cierta profundi-dad crítica Dc, llamada profundidad de cierre. Esta distancia marca el límite(yc) aguas adentro sobre el que está definida la concentración y por lo tantode participación activa del perfil de playa en el balance de sedimentos. Ellímite tierra adentro viene marcado por la línea de berma (yB). La línea cos-ta (ys) está en una posición intermedia a las dos anteriores y viene definidacomo la intersección del plano que forma la superficie del mar en reposo conla superficie que delimta la interfase sedimento depositado agua.La ley de conservación de la masa en el sistema de control así definido

quedaría como:

d

dt0

∆xZy0

yLZ0

zb(x,y,t)Z(1− n)ρsdzdydx| {z } +

d

dt0

∆xZyS(t)

yC(t)Zzb(x, y, t)

η(x,y,t)ZC(x, y, z, t)dzdydx| {z }+...

T asa de variacion del fondo Tasa de variacion de la carga en suspension

... + SC(t)

Zρ (x, y, z, t)−→v ·−→n dA| {z } = 0

Tasa neta de transporte enel volumen de control

(2.3)

A la ecuación (2.3) se la conoce como ecuación de continuidad de sed-imentos o ecuación de Exner. Si suponemos que la respuesta de la playafrente a los temporales es instántanea, lo que implica que la mayor parte deltransporte sea por fondo (números de Keulegan Carpenter altos), se puede


despreciar la tasa de variación del transporte en suspensión, con lo que laecuación de Exner queda de la forma (2.4);

d

dt0

∆xZy0

yLZ0

zb(x,y,t)Z(1− n)ρsdzdydx+ SC(t)

Zρ (x, y, t)−→v ·−→n dA = 0 (2.4)

La ecuación anterior establece que la tasa de variación del fondo se ve com-pensada por la variación de la tasa de transporte longitudinal y transversal(onshore-offshore) evaluada en la superficie del volumen de control.Asumiendo que la porosidad y densidad del material son homogéneos en

todo el sistema costero y que los flujos de material en la integral de superficieestán expresados en términos de volumenes se obtiene que la ecuación deExner puede ser expresada como;

(1−n)ρsd

dt0

∆xZy0

yLZ0

zb(x,y,t)Zdzdydx+SC(t)

Zρ (x, y, z, t)−→v ·−→n dA = 0 (2.5)

A continuación desarrollaremos las dos integrales que forman esta expre-sión.La integral de superficie que representa la cantidad neta de sedimentos

en el volumen de control incluye los siguientes terminos:

1. Las variaciones transversales del transporte litoral a lo largo del eje y;(la determinación de estas tres cantidades deben ser obtenidas a partirde investigaciones de balance de sedimentos para cada región a estudio);

a) QyW (x, t) debido al aporte de arena debido al viento.

b) QyS (x, t) debido a la cantidad de finos contenidos en el perfil ylos cuales tienden a moverse hacia la zona offshore por suspensión.Esta pérdida sólo ocurre en caso de erosión y es proporcional a laproporción de finos en el perfil.

c) Qyf (x, t) debido a la pérdida de material debido a las corrientesde densidad durante periodos de tormenta. Qyf es función de ladistribución de tamaños en el perfil y la densidad del material. Unaplaya de material fino tiende a erosionarse más rápidamente queuna playa de material grueso. El material grueso tiende a moversea lo largo de la playa mientras que el fino se mueve en la dirección”offshore”.


2. Un término fuente, M (x, t), expresando la variación local en el bal-ance sedimentario debido a, por ejemplo corrientes de retorno, regen-eraciones de playas o vertidos de ríos, etc..

3. La variación longitudinal del transporte de sedimentos que, en unasección de anchura infinitesimal ∆x, puede ser definida como;

Qx (x+∆x, t)−Qx (x, t)

∆x(2.6)

Aplicando el desarrollo de Taylor hasta el primer orden, la expresiónanterior se reduce a

Qx (x, t) +∆x∂Qx (x, t)

∂x−Qx (x, t)

∆x=

∂Qx (x, t)

∂x(2.7)

La integral de superficie expresada en función de los anteriores términosresulta igual a

ZSC(t)

ρ (x, y, t)−→v ·−→n dA =∆x

0

Z µq (x, t)− ∂Qx (x, t)

∂x

¶dx (2.8)

siendo

q(x, t) = QyW (x, t) +QyS (x, t) +Qyf (x, t) +M (x, t) (2.9)

Obsérvese que los flujos estan promediados en la vertical, y el término∂Qx (x, t)

∂xtambién esta integrado en toda la anchura de la zona de rotura.

Veamos ahora el desarrollo de la integral de volumen que representa latasa de variación del fondo o la variación de masa de material depositadoentre dos instantes infinitamente próximos. La integral de volumen puede serexpresada como;

dV

dt=

d

dt0

∆xZy0

yLZ0

zb(x,y,t)Zdzdydx = ∆xy0

yLZdzb(x, y, t)

dtdy (2.10)

Recordando que los límites de integración en y son constantes y aplicandola regla de la cadena se obtiene:


dV

dt= ∆x0

yLZ µ∂zb(x, y, t)

∂t+

∂zb(x, y, t)

∂y

∂y

∂t+

∂zb(x, y, t)

∂x

∂x

∂t

¶dy (2.11)

Donde∂zb∂x

∂x

∂tes la velocidad de cambio de la pendiente de la playa a

lo largo del eje longitudinal a la misma. Ésta se espera, que sea de menorimportancia frente a la velocidad de variación del perfil de playa en el sentido

transversal,∂zb∂x

∂x

∂t<<

∂zb∂y

∂y

∂t, y puede ser por tanto despreciado, luego la

variación del volumen se expresa como;

dV

dt= ∆x0

yLZ µ∂zb(x, y, t)

∂t+

∂zb(x, y, t)

∂y

∂y

∂t

¶dy (2.12)

Para evaluar los términos de esta expresión se ha de recurrir a la hipótesisque da nombre a los modelos de una línea y que consiste en asumir que elperfil de playa mantiene su forma de equilibrio pudiéndo ser desplazado en lavertical y en la horizontal. De este modo, conocido el perfil de equilibrio y laevolución de la posición del perfil a una cota dada se sabe como evolucionatodo el perfil. Por facilidad de observación se elige la línea de playa o cotacero como referencia.

En la Figura (2.2) se muestra, sobre el plano yz, como la variación delvolumen de arena dado por la ec. (2.12) puede ser caracterizada por unatranslación en el plano yz definido por un vector de componentes elementales∂ys∂t

,dh

dt, donde

dh

dtes la tasa de variación del nivel del mar y

∂ys∂t

la tasa de

variación de la línea de playa (que por hipótesis es igual a la tasa de variación

de la línea de cierre∂yc∂t, e igual a la tasa de variación de la línea de berma

∂yB

∂t);


z

yyS(t+dt) yS(t)

dh

yC(t+dt) yC(t)

DCDC

H

I

dh

yB(t+dt)

y0

B

yB(t)

dyS

D

C

F

yL

G

Figura 2.2: Evolución de una sección transversal de playa en un instanteinfinitesimal de tiempo manteniendo la forma del perfil constante.

Dado que el desplazamiento del nivel del mar es pequeño, de la figu-ra (2.2) se desprende que la diferencia de cantidad de arena representadapor los triángulos GHI y CDF se considera como diferencia de cantidadesinfinitesimales siendo por tanto despreciables. Por lo tanto la variación delvolumen, por unidad de anchura de playa, se puede expresar como;

dV

dt

1

∆x= − (B +Dc)

∂ys∂t| {z }− (Zs)

dh

dt| {z }V ariacion por V ariacion pormov. horizontal mov. vertical

(2.13)

donde Zs es una cantidad constante e igual a la anchura de la zona com-prendida entre la línea de berma y la línea de cierre (Zs = yc − yB).Sustituyendo en la ecuación (2.4) las ecuaciones (2.13) y (2.8) se obtiene

la siguiente expresión para la conservación de sedimentos en el volumen decontrol definino en la figura (2.1);

(B +Dc)∂ys∂t

= −∂Qx (x, t)

∂x+ q(x, t)− Zs

dh

dt(2.14)


siendo

q(x, t) = QyW (x, t) +QyS (x, t) +Qyf (x, t) +M (x, t) (2.15)

donde los caudales de sedimentos están expresados en unidad de volumenpor unidad de tiempo (L3/T) y por unidad de anchura de playa.Obsérvese que si no hay variación longitudinal en la tasa de transporte

de sedimentos,∂Qx (x, t)

∂x= 0, y no se considera la presencia de fuentes o

sumideros de material, q (x, t) = 0, la ecuación anterior se reduce a la reglade Bruun (1962);

(B +Dc)∂ys (x, t)

∂t= −Zs

dh

dt(2.16)

La regla de Bruun (1962) establece que la recesión o acreción de la líneade costa debido a variaciones del nivel del mar es directamente proporcionalal cambio en el nivel del mar. El factor de proporcionalidad es una pendientepromediada del perfil dada como el cociente entre la anchura de la zonade movimiento apreciable de sedimentos o perfil activo y la profundidad de

cierre. Considerando a efectos de formulación el término, Zsdh

dt, incluido en el

término q (x, t), y llamando D a la suma de la altura de berma y profundidadde cierre (D = B + Dc) se obtiene la siguiente ecuación, que relaciona lasvariaciones de la posición de la línea de playa con los flujos de entrada ysalida de material.

D∂ys∂t

= −∂Qx (x, t)

∂x+ q(x, t) (2.17)

En el siguiente apartado se procede a cerrar esta ecuación, relacionandolos flujos de entrada y salida con la variable ”posición de la línea de playa,yS”.La ecuación (2.17) tiene infinitas soluciones, es decir existen infinitas for-

mas en planta que cumplen dicha ecuación.

2.3. Ecuación constitutiva o del transporte

La bondad de las predicciones del modelo de una línea está estrechamenteligada con el conocimiento de la relación entre el clima marítimo, su propa-gación y transformación en zonas costeras y los flujos de material que generan

2.3 Ecuación constitutiva o del transporte 31

durante el período de simulación. Los distintos flujos han sido identificadosen el apartado anterior que recordemos son; Qx (x, t), QyW (x, t), QyS (x, t),Qyf (x, t), M (x, t). Cada uno de ellos requiere de una ecuación constitutivaque relacione las fuerzas con deformaciones (variaciones de la pendiente yorientación de la playa) o bien con la cantidad de sedimento movilizado. Sinembargo, el actual estado de conocimiento de los procesos físicos que tienenlugar en la zona costera, no permite la descripción formal de estas ecuacionessiendo una línea de investigación que se mantiene abierta en nuestros días yse escapa del alcance de esta tesis.Si se asume que el perfil mantiene su forma de equilibrio durante todo

el proceso, el transporte longitudinal de material,Qx (x, t) , es el principalmodelador de la costa. Por ello, en este trabajo nos centraremos en la formu-lación de la ecuación constitutiva del transporte longitudinal. Sin embargo,el resto de flujos están incluidos en la formulación del modelo de modo queuna mejora en los conocimientos de los procesos puede ser incorporada conposterioridad al modelo.En esta sección se justifica la necesidad de introducir las variaciones lon-

gitudinales de la altura de ola en la solución analítica del modelo de unalínea así como establecer la ecuación constitutiva que relaciona el transportelongitudinal de sedimentos con la variable de interés.

2.3.1. Variación longitudinal de la altura de ola y án-gulo de rotura

De forma general es conocido que el transporte longitudinal de sedimen-tos está relacionado con la corriente generada por la incidencia oblicua deloleaje en rotura (la cual marca la dirección de transporte predominante) yla energía del oleaje (el cual delimita la cantidad de sedimentos que esa cor-riente es capaz de transportar), Qx (x, t) = f (αb,Hb). Siendo αb el ángulo deincidencia en rotura del oleaje y Hb la altura de ola en rotura.En un estado de mar, el ángulo de incidencia del oleaje en rotura αb (x, y)

depende de la posición del punto de rotura. Igualmente ocurre para la al-tura de ola en rotura Hb (x, y). De modo que la variación longitudinal deltransporte longitudinal puede ser expresado como

∂Qx (x, t)

∂x=

∂Qx (x, t)

∂Hb

∂Hb

∂x+

∂Qx (x, t)

∂αb

∂αb

∂x(2.18)


Las soluciones análiticas existentes en la literatura asumen que las varia-ciones de la altura de ola a lo largo de un tramo de playa son despreciablesfrente a las variaciones del ángulo de rotura quedando el gradiente longitu-dinal de sedimentos como;

∂Qx (x, t)

∂x=

∂Qx (x, t)

∂αb

∂αb

∂x(2.19)

Sin embargo esta simplificación puede resultar excesiva en situacionesdonde la playa presenta irregularidades que producen concentración de en-ergía en los salientes y dispersión en las bahías. Las corrientes asociadas a lasvariaciones longitudinales de la altura de ola funcionan como un mecanismoque tiende a suavizar estas irregularidades, por lo que en este trabajo no sondespreciadas.La línea de rotura yb = f (x, t) varia con el tiempo ajustándose en cada

instante a la batimetría de la costa, lo que para estados de mar muy largosobliga a calcular simultánea y numéricamente la evolución de la línea deplaya junto a la variaciones de la altura de ola y dirección de propagación deloleaje en rotura. Sin embargo, si el estado es de corta duración, el ángulo deincidencia en rotura y la altura de ola pueden asumirse constantes duranteel mismo, resolviéndose de forma analítica.

2.3.2. Aproximación lineal de la ecuación del trans-porte

Como se comentó en el estado del arte, la fórmula del CERC es la másempleada para la estimación cuantitativa de la tasa bruta de transporte paratodo el perfil activo de playa. Pese a que esta fórmula se obtuvo de formaempírica para playas rectilíneas, donde todo el transporte era debido a laincidencia oblicua del oleaje, en este trabajo va a ser empleada para playasque presentan irregularidades. Siempre que la relación entre el climamarítimoy el transporte longitudinal mantenga una formulación semejante a la fórmuladel CERC será fácilmente implementada en el modelo.La formulación actual de la fórmula del CERC se escribe como;

Qx = K

Ãρw√g

16k12 (ρs − ρw) (1− n)

!(Hrms,b)

52 sin 2αb (2.20)

2.3 Ecuación constitutiva o del transporte 33

En un sistema cartesiano como el de la Figura (2.3), el ángulo αb se puedeexpresar en función del ángulo que forma el frente de ola en rotura con el eje

fijo x dado por θb (x, yb) , y la orientación de la costa∂ys (x, t)

∂xde la forma

αb (x, t) = θb (x, yb)− arctanµ∂ys (x, t)

∂x

¶(2.21)

y

xLínea de playa

Línea de rotura

Curvas batimétricas

¬b

arc tan(dy/dx)

K

Kcos¬

b

Ksin¬b

Figura 2.3: Sistema cartesiano de referencia sobre el que se define la ori-entación de la playa y el ángulo de incidencia del oleaje

Es conveniente suponer que el ángulo en rotura relativo a la línea de costa(αb) es pequeño pudiendo aproximar así la función seno por su argumento.Esto implica que la playa está próxima a su posición de equilibrio o bien quees la diferencia de dos cantidades pequeñas. Con esta condición, es decir quetanto el ángulo de incidencia del oleaje en rotura respecto al eje fijo x (θb) y

la orientación de la costa (arctanµ∂y

∂x

¶' ∂y

∂x) son pequeños, se obtiene una

fórmula de transporte igual a

Qx = 2Q0 (x)

∙θb (x, yb)− ∂ys (x, t)

∂x

¸(2.22)


siendo

Q0 (x) = K

Ãρw√g

16k12 (ρs − ρw) (1− n)

!(Hbrms (x))

52 (2.23)

Siempre que sin (x) << x, esta aproximación supone una sobreestimaciónde la tasa de transporte longitudinal de sedimentos. Con el objeto de investi-gar el efecto de la linealización sobre las soluciones (Larson, Hanson y Kraus,1987) compararon los resultados analíticos con resultados numéricos. Con-cluyeron que la linealización produce una sobrestimación muy elevada de losresultados a partir de los 30o.

En playas dominadas por los temporales con ángulo de incidencia deloleaje próximo a la normal de la playa el error cometido está dentro delaceptado.

Por otro lado y basándose en que la ecuación no linealizada presenta

un máximo para θb −µ∂ys∂x

¶= 45o, recientemente se ha explicado como

pequeñas perturbaciones en la línea de costa pueden dar lugar a formas degran escala observadas en la naturaleza (Asthon et al., 2001). Sin embargoel modelo empleado por Asthon et al. (2001) no tiene en cuenta el efectosuavizador de las corrientes generadas por las variaciones longitudinales dela altura de ola ni el carácter irregular (multifrecuencia y multidireccional) deloleaje, que sí son tenidos en cuenta en este modelo y que tienden a suavizarlas irregularidades.

2.4. Ecuación de gobierno

Para poder trabajar con la expresión (2.17) vamos a expresar el transportelongitudinal de sedimentos en función de la variable ys empleando la ecuaciónconstitutiva (2.22), que relaciona la tasa de transporte longitudinal potencialcon el ángulo que forma el oleaje en rotura y la línea de costa (αb), (medidaen m3/s).

La ecuación de gobierno queda de la forma:

2.5 Condiciones de contorno 35

∂ys∂t

= −∂

µε (x) ·

∙θb −

µ∂ys∂x

¶¸¶∂x

± q (x, t)

D− Zs

D

dh

dtt ≥ 0

0 ≤ x ≤ b

(2.24)

Siendo ε (x) =2Q0 (x)

Del coeficiente de difusión que con unidades de

longitud al cuadrado por unidad de tiempo representa la escala temporal derespuesta de la línea de playa frente a un cambio en las condiciones ambien-tales.Para que el problema tenga una solución única se incluye la condición

inicial y las condiciones de contorno quedando así completamente definido elproblema. La condición inicial viene dada por una función, definida en todoel dominio espacial, que represente la forma en planta original de la línea deplaya.

ys (x, 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ b (2.25)

Las condiciones de contorno representan el flujo de sedimentos en loscontornos. En el capítulo siguiente se describe con detalle las distinas formu-laciones.

2.5. Condiciones de contorno

En la naturaleza, existen tres tipos de condiciones de contorno (desde

ahora CC): CC de no bloqueo o libre paso (dQx

dx= 0), CC de no transporte o

bloqueo total (Q = 0) y CC de bloqueo parcial (|Q| > 0 ). Tradicionalmenteestas condiciones se han formulado con base en la orientación y la posición dela línea de playa, dando lugar a tres tipos de condiciones que respectivamenteson; CC tipo Dirichlet, CC tipo Neuman y CC tipo Robin o mixta.En cada extremo del intervalo 0 ≤ x ≤ b se define una cualquiera de estas

CC. A continuación se presenta la formulación de cada una de estas CC quepor comodidad se expresa para el contorno x = 0, siendo equivalente a la quetendría en x = b.


2.5.1. CC tipo Dirichlet o de no bloqueo:

Se ha empleado en situaciones donde, en los contornos, son despreciables

tanto el gradiente del transporte longitudinal de sedimentos (dQx

dx= 0),

como la presencia de fuentes o sumideros de material, como las variacionesdel nivel del mar. El transporte en los contornos no se ve limitado por ningúnobstáculo (Figura 2.4) y viene dado por la ecuación (2.22). Esta condición seformula como sigue (Pelnard Considère, 1956)

ys (0, t) = f (x = 0) , t ≥ 0 (2.26)

Esta CC supone que la posición de la línea de playa en el contorno no varíadurante todo el periodo simulado, manteniendo su posición inicial. El rangode situaciones ambientales bajo las que es aplicable es muy limitado. Algunassoluciones obtenidas empleando esta CC para distintas formas iniciales deplaya pueden encontrarse en Larson et. al. (1987).

Anchura de la zona activa

x

0 b

Zs

y

Transporte sedimento

¬b

ys(x,0)

Figura 2.4: Representación esquemática de una playa donde es aplicable laCC tipo Dirichlet.


2.5.2. CC tipo Neumann o de bloqueo total:

Esta condición implica que el transporte longitudinal de sedimentos esnulo en el contorno (Qx = 0) para todo t ≥ 0. Este bloqueo puede ser inter-pretado como el efecto que produciría un espigón perpendicular a la línea decosta de longitud tal que no permite el rebase de material, interrumpiendotodo el transporte de sedimentos (Figura 2.5). Esta condición es aplicablesiempre que y (0, t) + Zs ≤ W , siendo W la longitud del espigón. La for-mulación original se deriva de la ecuación constitutiva (2.22) que relacionala tasa de transporte longitudinal de sedimento en cada punto con la ori-entación de la línea de playa y, matemáticamente se expresa como (PelnardConsidère, 1956):

∂ys (0, t)

∂x= θb , t ≥ 0 (2.27)

Esta CC es capaz de recoger otros procesos tales como las variaciones dela línea de playa debido a los cambios del nivel del mar o la presencia defuentes o sumideros de material.


x

0 b

Zs

y


¬b

W

ys(x,0)

Figura 2.5: Representación esquemática de un sistema costero donde esaplicable la CC tipo Neumman Permanente.

Larson et. al. (1997) emplearon la formulación no permanente de ésta


condición para simular las variaciones estacionales del ángulo de incidenciadel oleaje, para el caso de una playa inicialmente rectilínea, junto a un espigóntransversal o encajada entre dos espigones.Sin embargo, no es frecuente encontrar en la naturaleza situaciones en las

que, para todo t ≥ 0, se cumpla la condición de bloqueo total del transportede sedimentos. Por este motivo, Larson et al. (1987) suponiendo que el rebasede material es únicamente función del tiempo describieron la tasa de rebasede la forma:

Qx (0, t) = QB (1− e−γt) , t ≥ 0 (2.28)

Esta expresión establece que el transporte es nulo en el instante inicialy tiende exponencialmente hacia QB . El parámetro γ expresa la velocidadcon la que el rebase de material tiende hacia el valor QB . De sustituir estacondición en la ecuación constitutiva se obtiene la siguiente CC:

∂ys (0, t)

∂x= θb − 1

2

QB

Q0(1− e−γt) , t ≥ 0 (2.29)

Sin embargo, esta condición tan solo supone una variación en el tiempodel rebase y no recoge la dependencia con la sección del perfil activo de playaque no esta siendo bloqueado.

2.5.3. CC tipo Robin o de bloqueo parcial:

Se emplea para incluir el rebase de material que esta rebasando un es-pigón de longitud W que bloquea parcialmente el transporte longitudinal desedimentos. Para incluir la dependencia del rebase con la sección del perfilque no esta siendo bloqueado Larson et al. (1997) introdujeron una nuevaformulación de la CC de la forma:

Qx (0, t) = 2Q0 (0)

½θbys (0, t)

W

¾, t ≥ 0 ,W ≤ ys (0, t) + Zs ≤ Zs +W

(2.30)Esta CC implica que el transporte no es nulo en el contorno si no que

aumenta a medida que la playa avanza hacia el morro del espigón. Esta CCes aplicable siempre que W ≤ ys (0, t) + Zs ≤ Zs + W (ver 2.6). Cuandoel tiempo tiende hacia infinito, la playa va acumulando sedimento aguasarriba del espigón, mientras que el transporte tiende hacia el que tendría



x

0 b

Zs

y


¬b

W

ys(x,0)

Figura 2.6: Representación esquemática de una playa donde es aplicable laCC tipo Robin

una playa totalmente recta sobre la que incidiera un oleaje con oblicuidad,Qx = 2Q0θb, t −→ ∞. De sustituir esta CC en la ecuación constitutiva seobtiene:

∂ys (0, t)

∂x= θb

µ1− ys (0, t)

W

¶, t ≥ 0 (2.31)

Esta CC puede ser entendida como una combinación lineal entre la CCtipo Dirichlet y la CC tipo Neumman.

2.5.4. Condición de Contorno Generalizada o tipo Robinno permanente

Todas las CC formuladas hasta la fecha pueden ser recogidas en una sola.Esta CC generalizada o CC tipo Robin no permanente se formula como:

C1ys (0, t) + C2∂ys (0, t)

∂x= g (t) , t ≥ 0 (2.32)

Siendo C1 una constante adimensional, C2 una constante con dimensionesde longitud y g(t) una función continua dependiente del tiempo con dimen-


siones de longitud. Cualquiera de las CC formuladas hasta la fecha puede serobtenida como una particularización de ésta (ver Tabla adjunta):

Tipo CC C1 C2 g (t) Formulación Q (0, t)

Dirichlet 1 0 f (0) ys (0, t) = f (x = 0) 2Q0

∙θb − ∂ys

∂x

¸Neumman 0

1

θb1

∂ys (0, t)

∂x= θb 0

Robin1

W

1

θb1

∂ys (0, t)

∂x= θb

µ1− ys (0, t)

W

¶2Q0

½θbys (0, t)

W

¾Se recuerda que la formulación para x = b es equivalente a la presentada

para x = 0.

2.6. ConclusionesBajo la hipótesis de que el perfil de playa mantiene su posición de equilib-

rio se puede estimar la evolución de la forma en planta de un sistema costeroconociendo la evolución de la línea de playa.Para llegar a la ecuación de gobierno unidimensional ha sido necesario

integrar el transporte longitudinal de sedimentos perdiendo así la posibili-dad de reproducir fenómenos físicos tales como el rebase de una forma másrealista.La hipótesis de pequeño ángulo de incidencia del oleaje en rotura ha

permitido linealizar la formúla del CERC y expresar de este modo la ecuaciónde gobierno como la ecuación clásica de la difusión. Esta aproximación suponeuna sobreestimación del transporte longitudinal de sedimentos siempre queel ángulo en rotura sea superior a 30o.En el capítulo siguiente veremos como gracias a esta aproximación es

posible obtener una solución analítica del modelo, que por primera vez escapaz de recoger las variaciones longitudinales de la altura de ola así comolas CC de contorno más generales.

Capítulo 3

Solución propuesta: trenmonocromático equivalente

3.1. Introducción

En este capítulo se presenta la solución analítica al problema de una líneaformulado en el capítulo anterior empleando las condiciones de contorno másgenerales tipo Robin dependientes del tiempo.

C1 · ys (0, t) + C2 · ∂ys (0, t)∂x

= g0 (t) , t ≥ 0 (3.1)

C3 · ys (b, t) + C4 · ∂ys (b, t)∂x

= gb (t) , t ≥ 0 (3.2)

Donde C1, C2, C3 y C4 son constantes y g0 (t) y gb (t) son funcionesdependientes del tiempo que representan la posición de la línea de playaen cada instante. La justificación del uso de estas condiciones de contornodescansa en su generalidad, ya que en función de los valores que tomen estasconstantes y funciones se puede obtener cualquiera de las condiciones decontorno explicadas en el capítulo anterior.Se asume que el oleaje forzador es caracterizado por una altura de ola, pe-

riodo y dirección de propagación característica, es decir el modelo es forzadopor un oleaje monocromático y unidireccional.El problema consiste en resolver analíticamente una ecuación diferencial

en derivadas parciales no homogénea (desde ahora EDP) con condiciones decontorno no homogéneas. Para ello se busca una solución en serie de funciones

41

42 Solución para oleaje regular equivalente

de la forma Y (x, t) =∞

n = 1P

αn (t) · βn (x). El procedimiento seguido paraalcanzar esta solución se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Homogeneizar las condiciones de contorno,

2. Resolver el problema de Sturm-Liouville para el cálculo de los βn (x)que surge del problema espacial al aplicar separación de variables sobrela ecuación homogénea,

3. Resolver el problema temporal para la ecuación no homogénea.

Al ser el problema espacial un problema de Sturm-Liouville se demuestraque existen una infinidad de autofunciones en el intervalo sobre el que estádefinido el problema. Sin embargo, la no homogeneidad del coeficiente dedifusión no permite encontrar analíticamente los autovalores correspondientesa estas autofunciones, siendo necesario calcularlos de forma numérica.Por sencillez de los cálculos y para identificar los diferentes parámeteros

que definen un tramo de costa es conveniente trabajar con el problema adi-mensional en lugar del problema original.Con el objetivo de llegar a la solución del problema adimensional este

capítulo se organiza en cinco secciones. En la primera sección se procede aadimensionalizar tanto la ecuación de gobierno como la condición inicial y lascondiciones de contorno. En la segunda sección se procede a homogeneizarlas condiciones de contorno. En la tercera sección se resuelven el problema es-pacial y temporal que resulta de aplicar la técnica de separación de variablespara presentar la solución completa en la sección cuarta. Dada la secuencial-idad con la que se va a emplear esta solución, en la sección quinta se estudiala idoneidad de la solución para este fin. Finalmente se dan unas conclusionesacerca de la solución propuesta.

3.2. Adimensionalización

A continuación se definen las constantes características empleadas paraadimensionalizar tanto la ecuación de gobierno, la condición inicial y lascondiciones de contorno:

Distancias horizontales: se escoge como constante adimensional-izadora una longitud proporcional a la longitud del sistema costero de

3.2 Adimensionalización 43

la forma yb = b. Este parámetro se emplea para adimensionalizar tantolas distancias longitudinales como las transversales, así como las vari-ables g (t), h (t), C2 ,C4 y f (x). (Nota: la introducción de la constanteπ se justifica más adelante cuando se resuelve el problema espacial. Suintroducción facilita el cálculo de las autofunciones asociado al carácterperiódico de las mismas). Las nuevas variables adimensionalizadas sedefinen como:

x = x0 · yb , ys = y0 · ybg0 (t) = g0 (t)

0 · ybgb (t) = gb (t)

0 · yb , Zs = Z 0s · ybC2 = C 0

2 · yb , C4 = C 04 · yb

b = b0 · yb , f = f 0 · ybDistancias verticales: se elige la constante Db como constante adi-mensionalizadora de las distancias verticales, siendo Db = Dc+B = D,donde Dc es la profundidad de cierre y B la altura de la berma respectoal nivel medio del mar en reposo. Las nuevas variables adimensional-izadas se definen como:

D = D0 ·Db

h (t) = h (t)0 ·Db

Tasa de transporte; Se elige la constante Q∗, medida en unidades devolumen por unidad de tiempo como constante adimensionalizadora delos caudales. Su valor se toma igual al doble de la amplitud máximapotencial de transporte máxima en todo el tramo de playa, Q∗ = 2Q0;

Q0 = Q00 ·Q∗ , q = q0 · Q

∗

yb

ε =2Q0

D, ε = ε0

Q∗

Db

Tiempo: Tiempo morfodinámico en horas, T =Db · yb · yb

Q∗;


t = t0 · TSustituyendo las nuevas variables en la ecuación de gobierno se obtiene;

ybT

∂y0 (x0, t0)∂t0

=Q∗

ybDb

∂

µε0 ·µθb (x

0)− ∂y0 (x0, t0)∂x0

¶¶∂x0

± Q∗

ybDb

q0 (x0, t0)D0 − yb

T

Z 0sD0

dh0

dt0

0 ≤ x0 ≤ b0

t0 ≥ 0(3.3)

operando con los parametros adimensionales se obtiene una expresión mássencilla de la forma

∂y0 (x0, t0)∂t0

=

∂

µε0 ·µθb (x0)− ∂y0 (x0, t0)

∂x0

¶¶∂x0

± q0 (x0, t0)D0 − Zs0

D0dh0

dt0

0 ≤ x0 ≤ b0

t0 ≥ 0

(3.4)

con la condicion inicial

y0 (x0, 0) = f 0 (x0) (3.5)

y condiciones de contorno

C1 · y0 (0, t0) + C 02 ·

∂y0 (0, t0)∂x

= g00(t0) , t0 ≥ 0 (3.6)

C3 · y0 (b0, t0) + C 04 ·

∂y0 (b0, t0)∂x0

= g0b(t0) , t0 ≥ 0 (3.7)

Haciendo un sencillo cambio de variable podemos expresar la anteriorecuacion de gobierno adimensional como la ecuación clásica de la difusión.La nueva variable se define como;

3.2 Adimensionalización 45

−∂y1 (x0, t0)

∂x0= θb (x

0)− ∂y0 (x0, t0)∂x0

(3.8)

Las siguientes relaciones se derivan de la anterior expresión;

∂y0 (x0, t0)∂x0

=∂y1 (x

0, t0)∂x0

+ θb (x0) (3.9)

y0 (x0, t0) = y1 (x0, t0) +

x0Z0

θb (x0) dx0 (3.10)

∂y0 (x0, t0)∂t0

=∂y1 (x0, t0)

∂t0(3.11)

Sustituyendo esta nueva variable se obtiene la ecuación de gobierno de laforma;

∂y1 (x0, t0)∂t0

=

∂

µε0 · ∂y1 (x

0, t0)∂x0

¶∂x0

± q0 (x0, t0)D0 − Zs0

D0dh0

dt0

0 ≤ x0 ≤ b0

t0 ≥ 0

(3.12)

Este cambio de variable introduce unos términos constantes en la condi-ción inicial;

y1 (x0, 0) =

f (x)

yb− 0

x0Zθb (x

0) dx0 (3.13)

y en las condiciones de contorno

C1 · y1 (0, t0) + C 02 ·

∂y1 (0, t0)

∂x0= G0 (t0) (3.14)

C3 · y1 (b0, t0) + C 04 ·

∂y1 (b0, t0)

∂x0= H 0 (t0) (3.15)

siendo


G0 (t0) = g00 (t0)− C 0

2 · θb (0) (3.16)

H 0 (t0) = g0b (t0)− C3

b0Z0

θb (x0) dx0 −C 0

4 · θb (b0) (3.17)

3.3. Homogeneización de las CC

Se define una función auxiliar Y (x0, t0) de la forma;

Y (x0, t0) = y1(x

0, t0)−Ψ (x0, t0) (3.18)

siendo

Ψ (x0, t0) = a1 ·G0 (t0) + a2 ·H 0 (t0) +x0

b0· (a3 ·G0 (t0) + a4 ·H 0 (t0)) (3.19)

donde las a1, a2, a3 y a4 son constantes, tales que:

C1 · Y (0, t0) + C 02 ·

∂Y (0, t0)∂x0

= 0 (3.20)

C3 · Y (b0, t0) + C 04 ·

∂Y (b0, t0)∂x0

= 0 (3.21)

la variable original y1(x0, t0) y su derivada respecto a x0 se pueden expresar

ahora en función de la nueva variable Y (x0, t0) y las constantes a1, a2, a3 ya4 de la forma;

y1(x0, t0) = Y (x0, t0)+

½a1 ·G0 (t0) + a2 ·H 0 (t0) +

x0

b0· (a3 ·G0 (t0) + a4 ·H 0 (t0))

¾(3.22)

∂y1(x0, t0)

∂x0=

∂Y (x0, t0)∂x0

+

½1

b0· (a3 ·G0 (t0) + a4 ·H 0 (t0))

¾(3.23)

La ecuación de gobierno, expresada en la nueva variable queda:

3.3 Homogeneización de las CC 47

∂Y (x0, t0)∂t0

=

∂

µε0 (x0) · ∂Y (x

0, t0)∂x0

¶∂x0

± q0 (x0, t0)D0 − Zs0

D0dh0

dt0+ ... (3.24)

...− ∂Ψ (x0, t0)∂t0

+∂ε0 (x0)∂x0

· ∂Ψ (x0, t0)

∂x0

definida para el dominio espacial 0 ≤ x0 ≤ b0 y el dominio temporal t0 ≥ 0.Con las condiciones de contorno dadas por las expresiones 3.20 y 3.21 y lacondición inicial de la forma;

Y (x0, 0) = y1 (x0, 0)−Ψ (x0, 0) (3.25)

Sustituyendo las expresiones 3.22 y 3.23 en las condiciones de contorno3.14 y 3.15 , se obtiene la condición que deben cumplir las constantes a1, a2,a3 y a4 para poder homogeneizar las condiciones de contorno;

C1 · [Y (0, t0) + {a1 ·G0 (t0) + a2 ·H 0 (t0)}] + ...

...+ C 02 ·∙∂Y (0, t0)

∂x0+1

b0· (a3 ·G0 (t0) + a4 ·H 0 (t0))

¸−G (t0) = 0 (3.26)

se puede reordenar de la forma

C1 · Y (0, t0) + C 02 ·

∂Y (0, t0)∂x0

+G0 (t0) ·µC1 · a1 + 1

b0· C 0

2 · a3 − 1¶+ ...

... +H 0 (t0) ·µC1 · a2 + 1

b0· C 0

2 · a4¶= 0 (3.27)

de imponer la condición dada por la ec. (3.20) resultan dos condicionesde la forma;

C1 · a1 + 1

b0· C 0

2 · a3 = 1 (3.28)

C1 · a2 + 1

b0· C 0

2 · a4 = 0 (3.29)


operando del mismo modo para la condición de contorno 3.15 se obtiene;

C3 · Y (b0, t0) + C 04 ·

∂Y (b0, t0)∂t0

+G0 (t0) ·µC3 · a1 + 1

b0· C 0

4 · a3 + C3 · a3¶+ ...

(3.30)

... +H 0 (t0) ·µC3 · a2 + 1

b0·C 0

4 · a4 + C3 · a4 − 1¶= 0

de donde se desprenden las condiciones;

C3 · a1 + 1

b0· C 0

4 · a3 + C3 · a3 = 0 (3.31)

C3 · a2 + 1

b0· C 0

4 · a4 + C3 · a4 = 1 (3.32)

que expresadas en forma matricial

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

C11

b0· C 0

2 0 0

C3

µC 04

b0+ C3

¶0 0

0 0 C11

b0· C 0

2

0 0 C3

µC 04

b0+ C3

¶

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠·

⎛⎜⎜⎝a1a3a2a4

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝1001

⎞⎟⎟⎠ (3.33)

llamando C =

⎛⎜⎝ C11

b0·C 0

2

C3

µC 04

b0+ C3

¶⎞⎟⎠, la expresión anterior se transforma

en dos ecuaciones matriciales de orden dos;

C ·µ

a1a3

¶=

µ10

¶(3.34)

y

C ·µ

a2a4

¶=

µ01

¶(3.35)

cuyas soluciones son

3.4 Separación de variables 49

µa1a3

¶= C−1 ·

µ10

¶(3.36)

y µa2a4

¶= C−1 ·

µ01

¶(3.37)

siendo C−1 la inversa de C.

C−1 =1¯

¯ C1 1

b0· C 0

2

C3

µC 04

b0+ C3

¶¯¯·⎛⎝ µ

C 04

b0+ C3

¶− 1b0· C 0

2

−C3 C1

⎞⎠ (3.38)

de donde se deduce que los valores de las constantes a1, a2, a3 y a4 son:

a1 =

µC 04

b0+ C3

¶µC1 ·C3 + C1 · C 0

4

b0− C3 · C 0

2

b0

¶ a2 =− 1b0· C 0

2µC1 · C3 + C1 · C 0

4

b0− C3 · C 0

2

b0

¶a4 =

C1µC1 ·C3 + C1 · C 0

4

b0− C3 · C 0

2

b0

¶ a3 =−C3µ

C1 · C3 + C1 · C 04

b0− C3 · C 0

2

b0

¶(3.39)

3.4. Separación de variables

En este apartado se buscan soluciones al problema dado por la ecuaciónde gobierno (3.24), la condición inicial (3.25) y las condiciones de contorno(3.20 y 3.21) como una serie de autofunciones de la forma;

Y (x0, t0) = αn (t0) · βn (x

0) . (3.40)

Sustituyendo la anterior expresión en la ecuación de gobierno se obtiene;


µ∂αn (t

0)∂t0

· βn (x0)¶=

⎛⎜⎜⎝αn (t0) ·

∂

µε0 (x0) · ∂βn (x

0)∂x0

¶∂x0

⎞⎟⎟⎠+Wn (t0) · βn (x0)

(3.41)

dondeWn (t0) resulta del desarrollo deW (x0, t0) =∞

n = 1P

Wn (t0)·βn (x0),

siendo W (x0, t0) igual

W (x0, t0) = ±q0 (x0, t0)D0 − Zs0

D0dh0

dt0− ∂Ψ (x0, t0)

∂t0+

∂ε0 (x0)∂x0

· ∂Ψ (x0, t0)

∂x0(3.42)

Del problema homogéneo se obtiene por separación de variables la sigu-iente relación;

∂αn (t0)∂t0

αn (t0)=

∂

µε0 (x0) · ∂βn (x

0)∂x0

¶∂x0

βn (x0)

= −λn (3.43)

3.4.1. Solución del problema espacial

Las autofunciones βn (x0) las obtenemos a partir del problema homogé-

neo con condiciones homogéneas al resolverlo para la variable x medianteseparación de variables.

∂

µε0 (x0) · ∂βn (x

0)∂x0

¶∂x0

+ λn · βn (x0) = 0 (3.44)

con las condiciones de contorno

C1 · βn (0) + C 02 ·

∂βn (0)

∂x0= 0 (3.45)

C3 · βn (b0) + C 04 ·

∂βn (b0)

∂x0= 0 (3.46)

Este problema puede ser considerado como un caso particular del prob-lema de Sturm-Loiouville de la forma;


∂

µp (x) · ∂βn (x

0)∂x0

¶∂x0

+ (λn · σ (x0) +B (x0)) · βn (x0) = 0 (3.47)

Se puede demostrar que si p (x), σ (x) y B (x) son funciones continuas yreales, p (x) y σ (x) son siempre mayores que 0 en el intervalo (0 ≤ x ≤ b0)y las constantes Ci, i = 1, .., 4 son números reales (p.e. Kane, 2002), existeuna infinidad numerable de autovalores λ0, λ1, ..., λn, ...reales y no negativoscaracterizados por el hecho de que las correspondientes autofunciones βn (x

0)tienen exactamente n-1 ceros en el intervalo (0 ≤ x ≤ b0).En el problema a estudio p (x) = ε0 (x0), σ (x) = 1, B (x) = 0. Ya que

ε0 (x0) = ε (x)Db

Q∗donde

Db

Q∗es una cantidad real y positiva y ε =

2Q0 (x)

Des una función continúa siempre mayor que 0, se cumplen los requerimientospara poder desarrollar la solución como serie de autofunciones.El conjunto de las autofunciones {βn (x0)} ∞

n=1 forma en el intervalo

(0 ≤ x ≤ b0) una base ortogonal con respecto al producto escalar hf, βni =b0

0R

σ (x0)·f (x0)·βn (x0) dx0. Cualquier función definida en el intervalo (0 ≤ x ≤ b0)

puede desarrollarse en serie de Fourier de {βn (x0)}∞n=1 , de la forma f (x0) =∞

n = 1P

Cn · βn (x0) donde los coeficientes Cn están unívocamente determinados

Cn =

b0

0Rσ (x0) · f (x0) · βn (x0) · dx0b0

0Rσ (x0) · βn (x

0)2 · dx0(3.48)

Para el caso particular p (x) = ε0 (x0) = cte los autovalores se puedencalcular de forma analítica. En nuestro caso suponemos que ε0 (x0) varía conx y vamos a encontrar los autovalores de forma numérica.Para alcanzar la solución se transforma la ecuación diferencial en un sis-

tema de ecuaciones con condición inicial. Empleando las soluciones de estesistema para el cálculo numérico de los autovalores de la forma que se detallaa continuación.

Transformación en un sistema de ecuaciones con condición inicial

Haciendo el cambio de variable dado por y1 = β (x0), y2 =∂y1∂x0, la ecuación

(3.44) queda de la forma;


∂y2∂x0

= − 1ε0

∙λn · σ (x) · y01 +

∂ε0

∂x0· y2¸= 0 (3.49)

expresado en forma matricial

∂

∂x0

µy01

y02

¶=

Ã0 1

−λn · σ (x)ε0

− 1ε0∂ε0

∂x0

!·µ

y01

y02

¶(3.50)

∂y0

∂x0= A · y0 (3.51)


µC1 C 0

2

0 0

¶·µ

y01(0)

y02(0)

¶+

µ0 0C3 C 0

4

¶·µ

y01(b0)

y02(b0)

¶=

µ00

¶(3.52)

D1 · y0 (0) +D2 · y0 (b0) = 0 (3.53)

Cálculo numérico de los autovalores λn

Al ser un problema de Sturm-Lioville de la forma vista en el apartadoanterior, se asegura la existencia de una infinidad numerable de autovaloresλn en el intervalo (0 ≤ x ≤ b0).Fijando un valor del autovalor cualquiera λi se buscan dos soluciones

β1 (x0) y β2 (x0) que difieran en sus condiciones iniciales, siendo β1 (x0) yβ2 (x0) linealmente independientes, de modo que cualquier solución se puedaexpresar como combinación lineal de ellas;

βλ (x0) = A · β1λ (x0) +B · β2λ (x0) (3.54)

Obligando a la solución a cumplir las condiciones de contorno

D1·⎛⎝ A · β1λ (0) +B · β2λ (0)

A · ∂β1λ (0)

∂x0+B · ∂β

2λ (0)

∂x0

⎞⎠+D2·⎛⎝ A · β1λ (b0) +B · β2λ (b0)

A · ∂β1λ (b

0)∂x0

+B · ∂β2λ (b

0)∂x0

⎞⎠ =

µ00

¶(3.55)

y tomando A y B como incógnitas, resulta un sistema de ecuaciones dela forma


Q ·µ

AB

¶=

µ00

¶(3.56)

⎛⎜⎝ C1 · β1λ (0) + C 02 ·

∂β1λ (0)

∂x0C1 · β2λ (0) + C 0

2 ·∂β2λ (0)

∂x0

C3 · β1λ (b0) + C 04 ·

∂β1λ (b0)

∂x0C3 · β2λ (b0) + C 0

4 ·∂β2λ (b

0)∂x0

⎞⎟⎠·µ AB

¶=

µ00

¶(3.57)

Este sistema sólo tiene solución no trivial cuando las dos filas de la matrizQ son combinación lineal, f (λ) = det(Q) = 0.Para cada uno de los autovalores tales que f (λ) = 0, se resuelve el prob-

lema con las condiciones iniciales correspondientes para calcular los valoresde βλ (x

0).Para ello se expresa B en función de A de la forma:

B = −A ·C3 · β1λ (b0) + C 0

4 ·∂β1λ (b

0)∂x0

C3 · β2λ (b0) + C 04 ·

∂β2λ (b0)

∂x0

(3.58)

Asignando un valor arbitrario a la constante A (p.e. A=1) se obtiene elvalor de B. Sustituyendo estos valores en la expresión (3.54) se obtiene lasolución al problema espacial homogéneo.

Cociente Rayleigh y funciones prueba Para que la búsqueda numéricade autovalores sea eficiente es necesario conocer una cota inferior y superiordonde se espera encontrar el primer autovalor.El Cociente de Rayleigh proporciona la relación entre el autovalor y las

funciones que definen el problema de Sturm Lioville que se esta resolviendode la forma;

λn =|−p (x0)βn (x0)β0n (x0)|b

00 +

R b0

0

£p (x0)

¡β 0n (x

0)2 −B (x0) βn (x0)2¢¤dx0R b0

0βn (x

0)2 σ (x0)(3.59)

Sin embargo, no es posible trabajar directamente con el Cociente deRayleigh ya que, para resolver el Cociente se debe conocer las autofuncionespreviamente. Sin embargo, empleando el teorema del cálculo variacional que


dice; ”El mínimo valor del Cociente de Rayleigh sobre todas las funciones con-tinúas que satisfacen las condiciones de contorno, C1 ·βn (0)+C 0

2 ·β0n (0) = 0y C3 · βn (b

0) + C 04 · β0n (b0) = 0, es el menor valor de los autovalores, λ1.”,

el coeficiente de Rayleigh resulta una herramienta muy útil para acotar elprimer autovalor.En el problema a estudio p (x0) = ε0 (x0) > 0, σ (x0) = 1 > 0 y B (x0) = 0.

La integral del númerador será igual o mayor que 0, siempre que la inte-gral

R b00

£p (x)

¡β0n (x

0)2¢¤ ≥ 0, y dado que se cumple que para todo n las

autofunciones sólo son igual a cero en n posiciones, la integral del numer-ador es siempre mayor que cero. Razonando de igual modo se llega a que eldenominador es simpre mayor que cero.

Si se cumple que C1C2 = 0 y C3C4 = 0, entonces el término

|−p (x)βn (x0) β0n (x0)|L0 = 0 (3.60)

, de modo que el limite inferior es 0,

Si no se cumple esta condición, el valor del primer autovalor estaráacotado por el minimo valor de este término.

La selección de las funciones continuas que van a sustituir a las autofun-ciones en el cociente de Rayleigh deben garantizar que minimice el intervalodonde se espera encontrar el primer autovalor, reduciendo así el tiempo decálculo.Encontrar estas funciones es un proceso complejo ya que, para cada longi-

tud adimensionalizada de playa, b0, para cada valor de las funciones contínuasp (x) y σ (x) y para cada combinación de las Ci constantes, las funciones óp-timas puede cambiar.Se ha comprobado como las funciones periódicas seno y coseno o bien com-

binaciones lineales de ambas proporcionan una buena acotación del primerautovalor en la mayoría de las situaciones.A continuación se exponen las funciones prueba empleadas para el cálculo

numérico de los autovalores para distintas combinaciones de los valores delas constantes;

1. C1 = 1, C2 = 0, C3 = 1, C4 = 0; f (x) = sin³πLx´

2. C1 = 1, C2 = 0, C3 = 0, C4 = 1; f (x) = sin³ π

2Lx´


3. C1 = 0, C2 = 1, C3 = 1, C4 = 0; f (x) = cos³ π

2Lx´

4. Para el resto de combinaciones se emplea el desarrollo en serie de furieren serie de senos y cosenos.

Una vez calculados los autovalores, ya sea numérica o analíticamente seprocede a encontrar la solución del problema temporal.

3.4.2. Solución del problema temporal

Recurriendo a la solución del poblema homogéneo se obtiene la siguienterelación

∂

µε0 (x0) · ∂βn (x

0)∂x0

¶∂x0

= −λ · βn (x0) (3.61)

sustituyendo esta relación en la expresión (3.41) se llega a una expresiónsimplificada del problema no homogeneo de la forma;

∞n = 1

Xµ∂αn (t0)∂t0

· βn (x0)¶= −

∞n = 1

X(αn (t

0) · λ · βn (x0))+∞

n = 1X

Wn (t0)·βn (x0)

(3.62)simplificando los βn (x) queda una ecuación diferencial de primer orden

no homogénea de la forma;

∞n = 1

X ∂αn (t0)

∂t0= −λ·

∞n = 1

Xαn (t

0) +∞

n = 1X

Wn (t0) (3.63)

Para resolverla primero se calcula una solución particular αn0 (t0), del

problema homogéneo y seguidamente se amplia a una solución general αn (t0).Sea el problema homogéneo dado por la siguiente expresión;

∞n = 1

X ∂αn0 (t0)

∂t0= −

∞n = 1

Xλn · αn0 (t

0) (3.64)

resolviendo para cada uno de los autovalores se obtiene la solución par-ticular de la forma;


αn0 (t0) = C0 · exp (−λn · t0) (3.65)

Para resolver el problema no homogéneo se hace un cambio de variable

de la forma z (t0) =αn (t

0)αn0 (t

0), de modo que

αn (t0) = z (t0) · αn0 (t

0) (3.66)

quedando su derivadas definida por;

∂αn (t0)

∂t0=

∂z (t0)∂t0

· αn0 (t0) + z (t0) · ∂αn0 (t

0)∂t0

(3.67)

sustituyendo 3.66 y 3.67 en la expresión 3.63 y agrupando conveniente-mente resulta;

∞n = 1

X½µ∂αn0 (t

0)∂t0

+ λn · αn0 (t0)¶· z (t0) + ∂z (t0)

∂t0· αn0 (t

0)−Wn (t0)¾= 0

(3.68)

el término∂αn0 (t

0)∂t0

+ λ2 · αn0 (t0) se anula por ser solución particular de

la homogénea con lo que la expresión anterior se reduce a;

∞n = 1

X½∂z (t0)∂t0

· αn0 (t0)−Wn (t

0)¾= 0 (3.69)

cuya solución es de la forma

z (t0) =∞

n = 1X t0Z

0

Wn (t0)αn0 (t

0)dt0 + C (3.70)

deshaciendo el cambio

αn (t0) = exp (−λn · t0) ·

t0Z0

Wn (t0)exp (−λn · t0)dt+ Cn · exp (−λn · t0) (3.71)

En el instante inicial t0 = 0, los coeficientes αn (0) son constantes e igualesCn. Para encontrar el valor de estas constantes se recurre a la solución com-pleta del problema, que para el instante inicial es igual a;

3.5 Solución del problema 57

Y (x0, 0) =∞

n = 1X

Fn·βn (x0) =∞

n = 1X

αn (0)·βn (x0) =

∞n = 1

XCn·βn (x0)(3.72)

de modo que las constantes Cn coinciden con los coeficientes del desarrolloen serie de autofunciones de la forma incial transformada del tramo de playa;

Cn = Fn (3.73)

siendo

Fn =

Z b0

0

Y (x0) · βn (x0) · dx0l

0Rβn (x

0)2 · dx0(3.74)

3.5. Solución del problemaPara llegar a la solución del problema inicialmente planteado hay que

deshacer los dos cambios de variable que se han realizado durante el proced-imiento.Se realizó un cambio de variable para homogeneizar las condiciones de

contorno dado por;

Y (x0, t0) = y1(x

0, t0) −Ψ (x0, t0) (3.75)

siendo

Ψ (x0, t0) = a1 ·G0 (t0) + a2 ·H 0 (t0) +x0

b0· (a3 ·G0 (t0) + a4 ·H 0 (t0)) (3.76)

Y otro cambio para expresar la ecuación de gobierno en la forma clásicade la ecuación de la difusión del calor, dada por la expresión;

y1 (x0, t0) = y0s (x

0, t0)−x0Z0

α0 (x0, t0) ∂x0 (3.77)

De modo que la solución al problema dimensional, ys (x, t), se encuentracomo;


ys (x, t) =

⎧⎨⎩Y (x0, t0) +Ψ (x0, t0) +

x0Z0

α0 (x0, t0) ∂x0

⎫⎬⎭ · yb (3.78)

valida para 0 ≤ x ≤ b y para todo t ≥ 0.

3.6. Escalas de la difusión y fenómeno GibbsSe asume que el modelo de una línea presentado en este trabajo, repre-

senta un modelo de estado. Es decir, es válido para un intervalo de tiempoo estado durante el cual el flujo de energía actuante es supuesto estadística-mente estacionario.En el cálculo secuencial de la evolución costera la forma final de la playa

es el resultado de una secuencia de estados encadenados de modo que laforma final de la playa del estado anterior es empleada como forma inicialdel estado siguiente.Para todo problema de Sturm-Liuoville se demuestra que si la condición

inicial no es satisfecha por las condiciones de contorno al inicio de cada estado,surge el fenómeno Gibbs (p.e. Kane, 2002), que básicamente consiste en unaoscilación no física que aparece en las proximidades de los contornos. Estaoscilación es debida a un problema de convergencia de serie y en contrade lo que intuitivamente se puede pensar no converge cuando el número deautofunciones empleadas aumenta sino que tiende hacia el valor medio.En esta sección en primer lugar se hace una revisión de las CC empleadas

en las soluciones analíticas del modelo de una línea y se estudia su aplicabili-dad para la simulación secuencial. En segundo lugar se presenta formalmentelas distintas escalas temporales que aparecen durante la simulación secuencialde la evolución de un sistema costero.

3.6.1. Fenómeno Gibbs

La condición de no transporte tipo Neumman permanente supone la noconservación del volumen de sedimentos en el instante inicial (Le Mehaute &Soldate, 1987). La solución que propusieron fue la de mediante una sencillatransformación, formular la ecuación de gobierno sobre la variable caudal detransporte de sedimentos en lugar de en función de la variable línea de playa.

3.6 Escalas de la difusión y fenómeno Gibbs 59

Para ello emplearon la fórmula linealizada del CERC para relacionar caudaly posición de la línea de playa. Esta formulación cumple en los contornos lacondición inicial, sin embargo la incertidumbre asociada al caudal de sedi-mentos a lo largo de la playa es más difícil de cuantificar que sobre la línea deplaya, que junto a las limitaciones de la propia formula del CERC no hacende ésta una solución apropiada en la actualidad.

La no conservación del volumen de sedimentos en el instante inicial esdebida al no cumplimiento de la condición inicial por parte de las condicionesde contorno o fenómeno de Gibbs.

En esta sección se estudia el error relativo asociado a este fenómeno paralo cual se define el error relativo como la diferencia entre la posición inicial dela playa en el contorno, dada por la condición inicial, y la posición calculadacomo desarrollo en serie de autofunciones en el instante inicial relativa a lalongitud del sistema costero;

E =f (x = 0)− ye (x = 0, t = 0)

b(3.79)

De todas las CC formuladas en el capítulo anterior el fenómeno de Gibbssólo aparece en la CC tipo Neumman permanente y la condición tipo Robinpermanente. A continuación se estudian ambas CC por separado.

CC tipo Neumman o de bloqueo total

Para una playa inicialmente recta, f (x) = 0 ∀x, 0 ≤ x ≤ b, y asumiendoque la altura de ola es homogénea en toda la playa se ha calculado el errorque se comete al imponer en el extremo x = 0, la condición de no transporteo tipo Neumman.

En el extremo opuesto, x = b, se impone la condición de no bloqueo o tipoDirichlet evitando así el fenómeno de Gibbs en éste contorno. Se ha tomadouna playa de longitud 1 km, (b = 1000 m).

En la Figura (3.1) se muestran los resultados obtenidos para distintosnúmeros de autovalores y distintos ángulos de incidencia del oleaje.


0 20 40 60 80 100Num. autovalores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

Err

or r

elat

ivo

en %

¬b= 10º

¬b= 20º

¬b= 30º

¬b= 40º

Figura 3.1: Variación del error relativo asociado al fenómeno Gibbs y lacondición permanente tipo Neumann. Comparación para distintos ángulosde incidencia.

Se observa que los mayores errores se producen para los mayores ángulosde incidencia. A a medida que aumenta el número de autovalores el errorcometido disminuye haciéndose inferior al 0,2% cuando el número de auto-funciones es superior a 100. En cualquier caso el error relativo es pequeño,inferior al 2% siempre que el número de autovalores sea superior a 10.

CC tipo Robin o de bloqueo parcial

Para una playa inicialmente recta, es decir∂f (x)

∂x= 0 ∀x, 0 ≤ x ≤ b, la

CC tipo Robin impone que en el instante inicial la posición de la línea deplaya sea igual a la longitud del espigón

y (x = 0, t = 0) = W − W

θb

∂y (x = 0, t = 0)

∂x=W

3.7 Conclusiones 61

Siempre que la posición inicial sea distinta a W aparece el fenómeno deGibbs. La solución analítica como desarrollo en serie de autofunciones tiendehacia el valor medio entre la condición inicial y la CC y por tanto, el errortiende hacia;

E =f (x = 0)−W

2b(3.80)

Además, este tipo de formulación da lugar a una variación temporal er-rónea de la tasa de transporte ya que la máxima tasa de transporte tienelugar en el instante inicial y disminuye con el tiempo. Sin embargo, en larealidad en el instante inicial, cuando la mayor proporción del perfil acti-vo es bloqueada por el espigón, la tasa de rebase debe ser mínima. Esto secomprueba fácilmente ya que en el instante inicial la pendiente de la playacalculada como serie de autofunciones es igual a;

∂y (x = 0, t = 0)

∂x=0−W

∆x(3.81)

Donde ∆x es una cantidad infinitesimal. La tasa de transporte en elinstante inicial será igual a;

Q (x = 0, t = 0) = 2Q (x = 0)

µθb +

W

∆x

¶(3.82)

siendo este transporte mayor del que tendría una playa recta, ya que tantoW como ∆x son cantidades positivas.Debido a este resultado, cuando se resuelve la ecuación de gobierno como

una serie de autofunciones, el rebase de material no puede ser simulado conuna CC tipo Robin ya que supondría una tasa de transporte no física en elinstante inicial.

3.7. Conclusiones

En este capítulo se ha presentado la solución casí-analítica del modelode una línea presentado en el capítulo anterior empleando las condiciones decontorno más generales tipo Robin no permanentes. La generalidad de estetipo de condición de contorno permite describir cualquiera de las distintasformulaciones de las condiciones de contorno empleadas actualmente.


La no homogeneidad del coeficiente de difusión no permite encontrar losautovalores del problema espacial de forma analítica, siendo necesario calcu-larlos de forma numérica.Se ha estudiado el error relativo asociado al fenómeno de Gibbs para las

condiciones de contorno tipo Neumamm y Robin permanente encontránodoseque: (1) el error relativo a la longitud del sistema costero es pequeño para elcaso de la CC tipo Neumman, pudiéndo ser empleada en simulación secuen-cial de la evolución costera, (2) sin embargo, la formulación de la CC tipoRobin permanente proporciona unos valores de caudales erróneos siempreque aparezca el fenómeno de Gibbs.

Capítulo 4

Validación de la solución

4.1. Introducción

El objetivo de este capítulo es el de validar la solución en serie de autofun-ciones obtenida en el capítulo anterior con las distintas soluciones analíticasdadas hasta la fecha. La gran mayoría de estas soluciones han sido formu-ladas bajo situaciones simplificadas suponiendo que las curvas batimétricasson paralelas a la línea de playa y altura de ola constante longitudinalmente.Algunos autores han incorporardo la variación longitudinal de la altura

de ola, dividiendo el tramo de costa en sectores. Siendo la altura de ola con-stante en cada sector y distinta entre sectores. Sin embargo esta soluciónsupone resolver sistemas acoplados de ecuaciones, que para más de dos sec-tores complica mucho la formulación (Larson et al., 1987). Mediante algunosejemplos sencillos se muestra como la no homogeneidad del coeficiente de di-fusión permite introducir esta variación sin necesidad de recurrir a sistemasacoplados permitiéndo así considerar nuevos procesos físicos en el modelo deuna línea.El capítulo se organiza en dos secciones donde se presentan dos grupos

de soluciones. Las soluciones han sido divididas en función de la física de lascondiciones de contorno, la forma inicial y la ecuación de gobierno. El primergrupo de soluciones describe la evolución de la línea de costa en ausencia deestructuras costeras. Las soluciones descritas en estos casos son aplicablestanto a playas naturales como a playas regeneradas. El segundo grupo desoluciones comprende una amplia gama de estructuras costeras que van desdelos espigones, diques verticales, diques exentos y rompeolas. La presencia de

63

64 Validación de la solución

estructuras en la costa complica rápidamente la física de los procesos quetienen lugar, sin embargo la esencia de los procesos puede mantenerse si selleva a cabo una correcta idealización de los procesos.Las soluciones analíticas empleadas para la validación son presentadas sin

su derivación, esta puede consultarse en las referencias bibliográficas. Parapresentar las soluciones de una forma eficiente y con formato general se hanelegido variables adimensionales.

4.2. Evolución sin estructuras costeras

Estas soluciones, salvo cuando se indique lo contrario, se han obtenidopara una playa infinitamente larga sobre la que actúa un tren de oleaje in-cidente paralelo al eje x. Bajo estas condiciones la forma de equilibrio esuna playa rectilínea para la cual, el transporte de sedimentos a lo largo dela misma sería nulo. La condición de contorno empleada es de tipo Dirich-let permanente, que establece que infinitamente lejos la playa mantiene suposición inicial (y (±∞, t) = cte). Dado que la mayoría de las soluciones sonsimétricas sólo se muestra una parte del dominio.

4.2.1. Relleno rectangular finito

En el instante inicial, t = 0, la playa tiene forma rectangular de longitudfinita 2a descrita por la ecuación,

y (x, 0) = f (x) =

½y0 |x| ≤ a0 |x| > a

(4.1)


y (−∞, t) = 0y (+∞, t) = 0

(4.2)

La solución debida Le Mehaute & Soldate (1977) es igual a

y (x, t) =1

2y0

∙erf

µa− x

2√εt

¶+ erf

µa+ x

2√εt

¶¸(4.3)

para t > 0 y −∞ < x < +∞. Siendo erf, la función de error, definidacomo

4.2 Evolución sin estructuras costeras 65

erf z =2√π

z

0

Ze−ξ

2

dξ (4.4)

0 1 2 3 4 5x/a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/y 0

Forma inicialLe Mehaute & Soldate (1977)Payo et. al. (2002)

t' = 0

0.1

0.3

0.5

0.9

1.7

t' = εt / a2

Figura 4.1: Evolución de la línea de costa de una regeneración finita de formarectangular expuesta a oleaje de incidencia normal a la costa; comparaciónentre la solución analítica dada por LeMehaute & Soldate (1977) y la soluciónen serie de autofunciones dada por Payo et. al. 2002. (no auto. = 100)

La cantidad empleada para normalizar la variable tiempo, t0 =εt

a2, expre-

sa la mitad del tiempo que debe transcurrir antes de que una playa cuadradade longitud a quede completamente erosionada a una tasa de transporte con-stante Q0. Si expresamos la solución en términos adimensionales, la evoluciónresultante de la línea de playa es la que se muestra en la figura (4.1). Nóteseque la escala vertical de ésta y de las siguientes figuras ha sido distorsionadapara mayor claridad. Las CC (4.2) no son numéricamente posibles, sin em-bargo vemos que si la distancia del relleno a los extremos es suficientementegrande la solución converge hacia la solución analítica, (los resultados de lafigura se han obtenido tomando el infinito como una distancia de 5a y con100 autovalores).


La condición de pequeño ángulo de incidencia sobre la costa es claramenteviolada en las caras laterales de este relleno. La linealización del problema,produce artificialmente un aumento de la erosión aumentando la velocidad deerosión. Este problema es tan sólo aparente ya que en la realidad es imposiblecrear un relleno completamente rectangular.

4.2.2. Relleno semi-infinito

La condición inicial para un relleno rectangular semi-infinito es

y (x, 0) = f (x) =

½y0 |x| ≤ 00 |x| > 0 (4.5)


y (−∞, t) = y0y (+∞, t) = 0

(4.6)

Walton & Chiu (1979) dieron la siguiente solución:

y (x, t) =1

2y0 erf c

µx

2√εt

¶(4.7)

para t > 0 y −∞ < x < +∞. Donde erfc(z) representa el complemen-tario de erf(z), erfc(z) = 1− erf(z).

La solución es ahora asimétrica respecto al eje y, tomando el valor con-

stantey02en x = 0 y siendo t0 =

εt

y20. En la Figura 4.2 se observa cómo la

solución en serie de 22 autofunciones converge correctamente hacia la soluciónanalítica.


-8 -4 0 4 8x/y0

0

0.4

0.8

1.2

y/y 0

Forma inicialWalton & Chiu (1979)Payo et. al. (2002)

t' = 0

0.3

0.5

0.9

1.7

t' = εt/y02

Figura 4.2: Evolución de un relleno rectangular semi-infinito. Comparaciónentre solución analítica dado por Walton & Chiu (1979) y Payo et. al. (2002).(no auto.l = 22)

4.2.3. Relleno rectangular suavizado

La solución del modelo de una línea para un relleno rectangular finito es lamás ampliamente empleada en la ingeniería. Esta solución particular ha sidoutilizada para el diseño y cálculo de los porcentajes de perdida de material enproyectos de regeneración. Típicamente las playas no se construyen rectan-gularmente, sino con terminaciones suaves en los extremos que permitan unatransición suave con la forma original (ver figura 4.3). Estas terminacionestienen su aplicación práctica en la prevención de formación de cierres la-gunares y generación de áreas de agua estancada, que pueden llegar a ocurrirsi la transición entre la nueva y la planta original son bruscos.


-a-b -a a b

y

x

y0

Forma en planta del relleno en t = 0

Figura 4.3: Forma en planta en el instante inicial de un relleno rectangularde contornos suavizados

La solución analítica para este caso ha sido dada recientemente por Wal-ton (1994) para unas condiciones iniciales dadas por

y (x, 0) = f (x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y0 |x| ≤ a

y0(a−b) (x− b) a < x < by0

(b−a) (x+ b) −b < x < −a0 |x| > b

(4.8)


y (−∞, t) = 0y (+∞, t) = 0

(4.9)

Walton & Chiu (1979) dieron la siguiente solución:

y (x, t) =1

2√πεt

Z −∞

−∞f (ξ) exp

"−(x− ξ)2

4εt

#dξ (4.10)

donde ξ es una variable muda de integración, siendo la solución válidapara t > 0 y −∞ < x < +∞.


0 2 4 6x/a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/y 0

Forma inicialWalton (1994)Payo et. al. (2002)

t' = 0

0.50

0.75

1.00

1.50

2.00

3.00

5.00

Figura 4.4: Evolución de la línea de costa para un relleno rectangular conextremos suavizados, b/a = 1.5. Comparación entre la solución analítica deWalton (1994) y Payo et. al. (2002). (no auto. = 44)

En la figura 4.4 se representa la evolución de la línea de playa para unrelleno rectangular suavizado sometido a un oleaje normal a la costa. Con 44autovalores la solución como desarrollo en serie tiende correctamente hacia lasolución analítica . El tiempo se adimensionaliza según la expresión t0 =

εt

y20.

4.2.4. Dragado rectangular en la playa

La condición inicial para un dragado rectangular en una playa inicial-mente rectilínea se formula como

y (x, 0) = f (x) =

½y0 , |x| ≥ a0 , |x| < a

(4.11)

De nuevo Walton y Chiu (1979) dieron una solución a este problema conlas condiciones de contorno;

y (−∞, t) = 0y (+∞, t) = 0

(4.12)


de la forma

y (x, t) =1

2y0

∙erf c

µa− x

2√εt

¶+ erf c

µa+ x

2√εt

¶¸(4.13)

para t > 0 y −∞ < x < +∞.

0 1 2 3 4 5x/a

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

y/ab

s(y 0)


t' = 0

0.3

0.5

0.9

1.7

t' = εt/y02

Figura 4.5: Evolución de un dragado rectangular de anchura 2a en una playainicialmente rectilinea de anchura y0. Comparación entre la solución dadapor Walton & Chiu (1979) y Payo et. al. (2002). (no auto. = 37)

En la figura 4.5 se observa como la solución en serie para 37 autovalorestiende correctamente hacia la solución analítica dada Walton & Chiu (1979).Dada la simetría del problema sólo se presenta uno de los perfiles.

4.2.5. Playa triangular

La solución para una playa triangular fue dada también por Walton &Chiu (1979). La forma original de la playa tiene forma de triángulo de acuerdocon las condiciones iniciales;


y (x, 0) = f (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩y0

µa− x

a

¶, 0 ≤ x ≤ a

y0

µa+ x

a

¶, −a ≤ x ≤ 0

0 , |x| > a

(4.14)

En este caso la solución toma la forma;

y (x, t) =y02a

½(a− x) erf

µa− x

2√εt

¶+ (a+ x) erf

µa+ x

2√εt

¶− 2x erf (a− x) erf

µx

2√εt

¶+ ...

...+ 2

rεt

π

"exp

Ã− (x+ a)2

4εt

!+ exp

Ã− (x− a)2

4εt

!− 2 exp

µ−x24εt

¶#)(4.15)

para para t > 0 y −∞ < x < +∞.

0 1 2 3 4x/a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/y 0


t' = εt / a2

t' = 0

0.1

0.3

0.5

0.9

1.7

Figura 4.6: Evolución de una playa triangular de base 2a y altura y0. Com-paración entre la solución de Walton & Chiu (1979) y Payo et. al. (2002).(no

aut. = 24)


En la figura adimensional 4.6 se muestra la evolución de esta playa trian-gular y la comparación entre la solución analítica de Walton & Chiu (1979)y un desarrollo en serie de 24 autofunciones (Payo et al., 2002). Dependientode la relación entre altura-anchura del triángulo, la hipótesis de linealizaciónde la ecuación de transporte de sedimentos reduce la precisión de los resul-tados. Larson et. al. (1987), señalan que pese a que esta hipótesis puede sermuy limitante, en la práctica se encuentra que las soluciones analíticas sonaplicables para ángulos superiores a los 45o entre la línea de costa y el trenincidente en rotura. Es claro, que siempre que θb > sin (θb), la hipótesis delinealización esta sobreestimando la tasa de erosión.Si observamos el extremo derecho de la figura 4.6, veremos como se pro-

duce una sub-estimación de la tasa de erosión por parte de la solución enserie de autofunciones frente a la solución analítica. Este error se debe a queel dominio de solución sobre el que es válida la técnica propuesta es finito,mientras con la formulación tradicional se asume un dominio infinito. En elmodelo propuesto, esto se traduciría en que la distancia entre la zona deestudio es finita y suficientemente grande como para que los contornos notengan influencia sobre la misma.Asumir en la realidad que estamos infinitamente lejos de los contornos no

siempre es posible, de modo que la solución en serie de autofunciones parecemás apropiada para definir problemas finitos reales.

4.2.6. Descarga de un río como fuente puntual

Si la anchura en la desembocadura de un río es pequeña en comparacióncon el área sobre la que vierte el material, la descarga puede aproximarsecomo una descarga puntual, en el punto xs. La tasa de transporte del río sedenota como qR y es función del tiempo. (Las unidades de qR son L3/T ). Sila tasa de transporte es constante, la solución para una playa inicialmenterecta, sobre la que inciden normalmente el oleaje es:

y (x, t) =qRD

rt

πεexp

"−(xs − x)2

4εt

#− qR

D

|x− xs|2ε

∙1− erf

µ |x− xs|2√εt

¶¸(4.16)

válida para t > 0 y −∞ < x < +∞.La ecuación (4.16) es identica a la evolución de un tramo de playa inicial-

mente rectilíneo, en cuyo extremo (x = 0) esta sometido a un flujo constante

4.3 Evolución de la playa en presencia de estructuras costeras 73

de material, y (0, t) =qRD

rt

πε, y en el extremo (x = L) esta lejos de la

influencia del río (y (L, t) = 0) . En la figura (4.7) se muestra la soluciónadimensionalizada, comprobando como con 14 autofunciones la solución enserie de funciones tiende correctamente hacia la solución analítica.

0 4 8 12 16x/xs

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

yQ0/

x sq R

Carslaw & Jaeger (1959)Payo et. al. (2002)

t' = 10

8

6

4

2

t' = εt / xs2

Figura 4.7: Evolución de la línea de costa en las proximidades de la desem-bocadura de un río con aporte continuo qR. Comparación entre la soluciónanalítica de Carslaw & Jaeger (1959) (ref. en Larson et. al., 1987) y Payo et.al. (2002) como serie de 14 autofunciones.

4.3. Evolución de la playa en presencia de es-tructuras costeras

En la sección anterior, el oleaje incidente era normal a la costa. En talcaso, una playa inicialmente recta permanecera siempre recta, a menos que sele suministre material que altere la forma original. Si el oleaje llega a la costacon el mismo ángulo en todo punto del tramo de costa, la playa sera siempreestable. Sin embargo, si un obstáculo en la playa perturba las condiciones detransporte de este estado de equilibrio, se produce un cambio en la línea de


playa que tiende a alcanzar la nueva posición de equilibrio. Ejemplos de estasestructuras son diques, rompeolas, espigones permeables e impermeables alpaso de sedimentos, etc.

4.3.1. En la proximidad de un espigón vertical imper-meable

La solución analítica para el cambio de la línea de playa en las prox-imidades de un dique o cualquier obstáculo a la corriente longitudinal desedimentos, fue dada por Pelnard Considere (1956). Inicialmente la playaesta en equilibrio (paralelo al eje x) con el mismo ángulo de incidencia deloleaje en toda la playa. En el instante t = 0 se situa un dique de longitudL en x = 0, bloqueando todo el transporte. Se asume que el extremo op-uesto, x = b , esta lo suficientemente lejos como para no verse afectado porla construcción del espigón, de modo que permanece estático.

La condición inicial para una playa incialmente rectilínea es

y (x, 0) = f (x) = 0 (4.17)


∂y (0, t)

∂x= θb

y (b, t) = f (b)(4.18)

que tiene la siguiente solución para la zona de acumulación de la playa

y (x, t) = 2 tanα0

"rεt

πexp

∙−x24εt

¸− x

2erf c

µx

2√εt

¶#(4.19)

para t > 0 y −∞ < x < +∞.


0 1 2 3x/L

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

y/L

Pelnard Considere (1956)Payo et. al. (2002)

t' = 1.0

0.8

0.6

0.4

t' = εt / L2

Figura 4.8: Evolución de la línea de costa de un espigón de longitud L quebloquea todo el transporte. Comparación entre la solución analítica dada porPelnard Considere (1956) y la solución en serie de funciones. (no aut. = 22)

En la figura 4.8 se muestra la comparación entre la solución dada porPelnard Considere (1956) y la obtenida como desarrollo en serie de 22 aut-ofunciones. Cómo ya se indicó anteriormente, la condición de contorno tipoNeumannn permanente no conserva la masa de sedimentos en el instanteinicial.

Esta solución sólo es válida hasta que la playa alcanza el morro del es-pigón, despúes de esto el rebase de material comienza, y la condición tipoNeumannn se cambia por la de tipo Dirichlet, y (b, t) = L, y como condicióninicial se toma la posición de la línea de playa justo antes del rebase.

Formalmente la solución en la cara opuesta al transporte del espigón, esidéntica a la dada por (4.19) pero con signo contrario. Sin embargo, si eldique o espigón se extiende más alla de la zona de rotura, los fenómenosde difracción pueden ocurrir alterando así la altura y dirección del oleajeen rotura, y por tanto la capacidad de transporte de sedimentos que no esrecogida por la ecuación constitutiva.


Incluyendo rebase de material

Larson et. al. (1987), emplearon por primera vez la condición tipo Robinpara describir el fenómeno de rebase de un espigón vertical.

∂y

∂x= θb

³1− y

L

´(4.20)

siendo L la longitud del espigón. Que establece que la tasa de rebase esproporcional a la distancia entre la playa y el morro del espigón

Qb = 2Q0θby

L(4.21)

Siendo el rabase nulo en el instante inicial, aumenta con el tiempo hastaalcanzar el que tendría una playa rectilínea. Se asume que infinitamente lejosdel espigón se mantiene la forma original de la playa. La solución para esteproblema se escribe como

y (x, t) = L erf c

µx

2√εt

¶− L exp

∙θbx

L+ θ2b

εt

L2

¸erf c

µθb

√εt

L+

x

2√εt

¶(4.22)

para t > 0 y −∞ < x < +∞.Definiendo θb como positivo cuando este produce transporte a través del

extremo x = 0, (en la dirección negativa del eje x). En la figura (4.9) semuestra la evolución de la línea de playa para un dique vertical y con un oleajeincidente de 0.2 rad, con rebase y sin rebase. Esta solución se comprueba quecoincide con la expresión analítica. Próximos al instante inicial, las diferenciasentre la solución con y sin rebase no son muy importantes, sin embargo,con el paso del tiempo estas diferencias son más acusadas, siendo mayor laimportancia del rebase.


0 1 2 3 4 5x/L

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

y/L

Payo et. al. 2003Sin rebaseCon rebase

t' = 0

4.0

3.0

2.0

1.0

t' = εt / L2

Figura 4.9: Evolución de la línea de playa en las proximidades de un espigón(lado de acumulación) con y sin rebase. Para un ángulo de 0.2 rad.

Incluyendo difracción

En la zona de sombra de un espigón perpendicular a la línea de costade gran longitud, los fenómenos de difracción son importantes y no puedenser despreciados en la formulación. La erosión junto al espigón puede sersobrestimada si no se tiene en cuenta la difracción, debido a que se asume quela altura de ola es constante a lo largo de la playa. Por lo tanto, incluyendouna disminución de la altura de ola, (y por tanto una disminución de laamplitud del transporte), en la zona de sombra, se obtiene una descripciónmás realista.Una de las formas de incluir la variación de la altura de ola es la de

discretizar la zona de sombra en distintas regiones, con tasas de transporteconstantes y distintas entre regiones, sobre las que se aplican las ecuacionesde gobierno. El ángulo de incidencia también puede cambiar de una regióna otra. Con este procedimiento, surge un problema de ecuaciones diferen-ciales acopladas, que incluso para un número pequeño de regiones se vuelveintensivo. Larson et al. (1994) dieron la solución analítica para el caso de dosregiones, la zona de sombra (0 ≤ x ≤ B = L tanα0) y la zona iluminada


(B < x < +∞). Este tipo de soluciones, para varias regiones, requiere decomplicadas manipulaciones algebraicas.

Para el caso, en el que el ángulo de incidencia del oleaje en rotura es unafunción continua de x, se obtienen soluciones más sencillas e interesantes. Sila variación del ángulo del oleaje es exponencial a medida que nos alejamosdel espigón de acuerdo con la expresión (4.23)

θb = θm (1− exp (−γt)) (4.23)

Donde, la cantidad γ es un coeficiente que describe la tasa a la que elángulo de incidencia se aproxima al valor no perturbado αm a lo largo deleje x. La solución para este caso es (Larson et al. 1987)

y (x, t) =θmγ

2

"−4γ

rεt

πexp

µ− x2

4εt

¶+ 2

x

γerf c

µx

2√εt

¶+ ...

... +1

γ2exp

¡−γx+ εtγ2¢erf c

∙x

2√εt− γ√εt

¸+ ...

...− 1

γ2exp

¡γx+ εtγ2

¢erf c

∙x

2√εt+ γ√εt

¸¸+θmγexp(−γx) ¡1− exp ¡−εtγ2¢¢

(4.24)

valida para t > 0 y x ≥ 0.


0 0.4 0.8 1.2 1.6 2x/B

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

y/B

Evolución con difracción, (Payo et.a. 2002)

t' = 0.4

0.8

1.2

1.6

2

t' = εt / B2

Figura 4.10: Evolución de la playa en las proximidades de un espigón, convariación exponencial del ángulo de incidencia en rotura (alfa = -0.4 rad;gamma L = 1). Solución con 10 autovalores.

En la figura 4.10, se muestra la evolución de la playa en las proximidadesdel espigón, con oleaje variando exponencialmente (αm = 0,4rad; γL = 1)que, con tan solo diez autofunciones coincide con el resultado dado por Larsonet al. (1987).Esta solución para oleaje variable en dirección longitudinalmente sobre-

estima la tasa de erosión en las proximidades del espigón, ya que se asumeque la tasa de transporte longitudinal es constante en toda la playa (y portanto la altura del oleaje es constante). En realidad, la difracción reduce laaltura de ola en la zona de sombra y, por tanto la tasa de transporte. Pese estasimplificación, esta solución proporciona un resultado más aproximado quela solución comúnmente empleada que no considera el cambio en la direccióndel oleaje.

4.3.2. Un rompeolas exento

Un rompeolas exento, reduce la altura de ola detras del mismo y produceun sistema de circulación circular en cada extremo, disminuyendo por tanto


la tasa de transporte longitudinal. El proceso es de difícil descripción ya queincluye fenómenos de difracción y corrientes generadas como consecuenciadel cambio de altura de ola. Sin embargo es posible encontrar una soluciónanalítica para un caso idealizado.

Si se asume que el ángulo de incidencia que forma la dirección de propa-gación del oleaje es normal respecto a la costa y al dique exento. Cuando eloleaje alcanza el rompeolas, se asume que será difractado con un ángulo con-stante. La difracción detrás del rompeolas es simétrica respecto el centro delmismo, de modo que sólo será necesario considerar la mitad del dominio. Enla figura 4.11 se muestra esquemáticamente el planteamiento del problema.

Rompeolasexento

x

0

y

Zona iluminadaZona de Sombra

α01

α02

-L-2L

Figura 4.11: Definición esquemática del problema de un dique rompeolasexento, de longitud 2*L, paralelo a la costa.

Larson & Hanson (1987) derivaron la solución para este problema, re-solviendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas, una para laregión de sombra,y1 (x, t) , y otra para la región iluminada, y2 (x, t) . La tasade transporte se supone idéntica en las dos regiones.


-0.5 0 0.5 1 1.5 2x/L

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

y/L

Payo et. al. (2002)

t' = 0.10

t' = 0.08

t' = εt / L2

t' = 0.06

t' = 0.04

t' = 0.02

Figura 4.12: Variación de la línea de playa en las proximidades de un diquerompeolas exento de longitud 2L, paralelo a la costa. Donde el ángulo en lazona de sombra = 0.4 rad, y se supone que no hay variación en la tasa detransporte de una región a otra. Solución en serie de autofunciones.(no aut.= 10)

Para obtener esta solución se definieron dos regiones, la zona de sombradonde el efecto de la difracción es importante y la zona iluminada dondese supone que no hay difracción del oleaje. El ángulo de incidencia en cadaregión es constante y diferente entre regiones. La altura de ola se suponeigual en las dos regiones.Mediante la solución en serie de autofunciones se puede definir cualquier

variación del ángulo de incidencia sin ncesidad de dividir en regiones el tramocostero. Por ejemplo, para el caso del espigón exento es más convenientedefinir una transición gradual entre el ángulo de la zona iluminada y el án-gulo en la zona de sombra. Consideremos el caso más sencillo dado por unavariación lineal entre el ángulo de incidencia en la zona iluminada (normala la costa) y en la zona de sombra, dada la simetría del problema se traba-ja sólo la parte derecha imponiendo la condición de no transporte en cadainstante tras el punto medio del espigón, la forma evolución de la línea deplaya sería como la que se muestra en la figura 4.13.


0 1 2 3x/L

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

0.16

y

-2

-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0

ángu

lo (

rad)

y(x,t) con transicióny(x,t) sin transición

α con transición

α sin transición

t' = εt/L2

t' = 0.06

t' = 0.10

t' = 0.08

t' = 0.04

t' = 0.02

Figura 4.13: Comparación de la evolución de un tramo de playa con cambioen el ángulo de incidencia. Solución para un espigón de anchura 2L situadoa L unidades de longitud de la playa original. El ángulo pasa de 0 rad en lazona iluminada a -0.4 en la zona de sombra.

Al incluir una zona de transición lineal entre el ángulo en la zona desombra y el ángulo en la zona iluminada, el púnto de máxima erosión sedesplaza hacia la zona iluminada, y se obtienen formas más suaves y próximasa las soluciones de los modelos estáticos. La longitud de la zona de transicióndepende de la relación entre la longitud de onda del oleaje y la distancia delespigón a la costa (Gónzalez & Medina; 1999).

4.3.3. Playa entre espigones

Dirección oleaje constante en el tiempo

Dean (1984) presentó una solución analítica para el caso de una playa en-cajada entre dos espigones de igual longitud, e inicialmente completamenterellenos de material. La distancia entre espigones se denota por L, y la lon-gitud de los espigones W . Desde el instante inicial la playa esta expuesta aun oleaje incidente, θb. La condición de contorno para este problema es la


de no transporte en el extremo x = 0, (∂y (0, t)

∂x= tan (θb)) y se mantiene

fija la posición en el otro extremo, (y (W, t) = L). Siendo la solución de esteproblema igual a

y (x, t) = W − w³1− x

L

´tan (θb) +

2 tan (θb)

w

∞n = 0

X{...

∙2w

(2n+ 1)π

¸2exp

µ−ε (2n + 1)2 π2 t

4w2

¶cos

∙(2n+ 1)πx

2w

¸)(4.25)

válida para t > 0 y 0 ≤ x ≤ w.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x/w

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

y/w

Forma inicialDean (1984)Payo et. al. (2002)

t' = 0

0.2

0.4

0.6

t' = εt / w2

Figura 4.14: Evolución de la línea de playa entre espigones, inicalmente rel-lena y rectilinea (L/w = 0.33, alfa = 0.25 rad). Solución en serie de 10autofunciones comparada con la solución analítica Dean (1984).

En la figura 4.14 se comprueba como la solución de Dean (1984) coincide

con la solución en serie de diez funciones, paraL

w= 0,33 y α0 = 0,25rad.


Dirección oleaje variable en el tiempo

Larson et al. (1997) incluyeron la variabilidad estacional en la direccionali-dad del oleaje, para el caso de una playa encajada entre dos espigones, dondeno hay rebase de material en ninguno de los contornos. En este caso las

condicones de contorno en los extremos son idénticas (∂y (0, t)

∂x=

∂y (b, t)

∂x=

tan (θb)), siendo b la distancia horizontal entre espigones. La solución delestado estacionario puede escribirse como

y (x, t) =

θb

rε

ω

2 [cosh (ζ) + cos (ζ)]

hexp

³ζx

b

´sin³ωt− π

4+ ζ

³xb− 1´´+ ...

...+exp³ζ³xb− 1´´sin³ωt− π

4+ ζ

x

B

´−exp

³−ζ³xb− 1´´sin³ωt− π

4− ζ

x

b

´−...

... + exp³−ζ x

b

´sin³ωt− π

4+ ζ

³xb− 1´´i

(4.26)

donde ζ =

rωb2

2ε, definida para t > 0 y 0 ≤ x ≤ b. La solución completa

tiene una parte transitoria que decae exponencialmente con el tiempo y noha sido incluida. La solución estacionaria depende únicamente del parámetroζ, donde pequeños valores de este parámetro implica una rápida respuesta dela costa al cambio en la dirección del oleaje, permaneciendo la playa paralelaa los frentes en todo instante. Para valores grandes de este parámetro existeun desfase entre el ángulo incidente y la orientación de la playa, cuando estevalor se hace muy grande, sólo se observaran cambios en la orientación de laplaya cerca de los contornos.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x/B

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

y/(B

α)

Larson et. al. (1997)Payo et. al. (2002)

π/2

π

3π/2

α = 0.4 radξ = 1.0

Figura 4.15: Evolución de una playa encajada entre espigones, inicialmenterectilínea. Comparación entre la solución analítica y como desarrollo en seriede 10 autofunciones.

En la figura 4.15 se compara la solución estacionaria dada por Larson et

al. (1997) y la solución en serie de diez autofunciones, para las fasesπ

2, π,

3π

2,

con el parámetro ξ = 1. El método de cálculo del problema de Sturm Liovillecon las condiciones de contorno dependientes de tiempo, no permite imponeren los dos extremos simultáneamente una condición de tipo Neumannn, (vermétodo de cálculo). De modo que la variabilidad temporal del ángulo de in-cidencia se introduce como una condición tipo Dirichlet en los dos contornos,(y (0, t) = g (t) ; y (B, t) = h (t)). Para el ejemplo de la figura se ha empleadocomo funciones g (t) y h (t), la solución en los contornos dada por Larson et

al. (1997). Se comprueba como para las fases de π y3π

2el ajuste es perfecto,

y se desvía para la fase de π. Esta desviación es debida a que en la soluciónen serie de funciones se tiene en cuenta la parte transitoria entre un estadoy otro, que no es tenida en cuenta por la solución analítica (4.26).


4.4. Conclusiones

En este capítulo se ha comprobado con éxito la validez de la solución prop-uesta en este trabajo para distintas situaciones. De los resultados obtenidosse concluye que;(1) La mayoría de las soluciones analíticas se han obtenido suponiendo

un dominio semi infinito. Sin embargo cuando se estudia la evolución a largoplazo, no es habitual encontrar en la naturaleza sistemas costeros que puedansuponerse de longitud semi infinita sino que, en mayor o menor proporción,su evolución se verá afectada por las condiciones de contorno. La soluciónpropuesta, al estar definida sobre un dominio finito y formulada en base alas CC más generales se adapta mejor a situaciones reales.(2) La posibilidad de definir variaciones longitudinales de tanto el ángu-

lo de incidencia como la altura de ola mediante cualquier función contin-ua definida sobre todo el dominio permite afrontar problemas donde estasvariaciones son importantes sin necesidad de recurrir a sistemas de ecua-ciones acoplados que, para más de dos regiones, se vuelven algebraicamentecomplicados.

Capítulo 5

Solución para oleaje irregular

5.1. Introducción

Hasta la fecha el oleaje forzador ha sido representado de forma ideal comoun tren, (monocromático y unidireccional), simplificando, en exceso, el efectoderivado de su carácter irregular (multi-direccional y multi-frecuencia). Eneste capítulo se verá como gracias a la linealidad de la ecuación de gobiernoy las condiciones de contorno permiten suponer que la respuesta de la playasometida a un oleaje irregular se puede obtener como una combinación linealde las soluciones particulares obtenidas para cada componente del espectro.A tal efecto es necesario respetar las hipótesis de que tanto el ángulo en roturadel oleaje respecto a la costa como la orientación de la costa son pequeños,pudiéndose aproximar el seno del ángulo por su argumento y trabajar así conla ecuación linealizada.

El capítulo se organiza en cuatro secciones. En la primera sección se pre-senta la formulación del transporte longitudinal de sedimentos en funcióndel espectro direccional de oleaje. Esta formulación se emplea en la segundasección para derivar el modelo de una línea expresado en función del espectrodireccional de energía. La nueva solución para oleaje irregular es compara-da para el caso de un oleaje regular monocromático en la sección tercera.Finalmente se presentan unas conclusiones.

87

88 Solución para oleaje irregular

5.2. Transporte longitudinal expresado en fun-ción del espectro direccional de energía

En la actualidad es aceptado que la tasa de transporte de material longitu-dinal esta relacionada con la corriente longitudinal generada por la incidenciaoblicua del oleaje en rotura que a su vez es función del tensor de radiación(Zampol & Inman, 1989).

Q (x, t) =Km

(ρs − ρw) g (1− n)· [c · Sxy]b (5.1)

Siendo c la celeridad de grupo, Sxy es la componente longitudinal deltensor de radiación y el subíndice b se refiere a los valores en el punto derotura. Nótese que esta formulación es muy similar a la dada por la formuladel CERC.El término [c · Sxy]b, para oleaje multidireccional y multifrecuencia se

puede calcular cómo [Battjes, 1974];

[c · Sxy]b = (1−Qf ) [c · Sxy]fb (5.2)

Donde [c · Sxy]fb es una componente ficticia del tensor de radiación sinconsiderar el proceso de rotura, el término (1−Qf) , siendo Qf es el factorque introduce la rotura reduciendo el valor del tensor ficticio. El término[c · Sxy]fb representa el valor [c · Sxy]b promediado sobre el dominio frecuencialy direccional ponderado por la función peso w (f, θb), que depende de lacontribución de cada una de las componentes del espectro al flujo de energíalongitudinal,

Sfxy =

fmaxZfmın

θmaxbZθmınb

w (f, θb)Sxy (f, θb) dθbdf (5.3)

con

w (f, θb) = ρwgCg

ccosαbG

fb (f, θb) ·

⎡⎢⎣ρwg fmaxZfmın

θmaxbZθmınb

Cg

ccosαbG

fb (f, θb) dθbdf

⎤⎥⎦−1

(5.4)

5.3 Modelo de una línea 89

siendo f la frecuencia expresada en 1/s, Cg es la celeridad de grupo yGfb (f, θb) es el espectro direccional de energía ficticio evaluado en la zona de

rotura.La doble integral en le Ec. (5.3) puede ser aproximada por

[c · Sxy]fb ≈N

i = 1X M

j = 1X

[c · Sxy]ij ∆θb∆f =N

i = 1X M

j = 1X

wij

∙sin 2αb

2CgG

f

¸ij

∆θb∆f =

(5.5)donde los índices i, j se refieren a las frecuencias fi, i = 1, ..., N y los

ángulos θjb, j = 1, ...,M siendo N∆f = fmax − fmın y M∆f = θmaxb − θmınb ,las diferencias entre las máximas y mínimas frecuencias respectivamente. Laaltura de ola correspondiente a cada uno de los interválos en los que ha sidodiscretizado el espectro direccional de energía viene dada por

Hijb = 2

q2Gf

b

¡f i, θjb

¢∆θb∆f (5.6)

5.3. Modelo de una línea expresado en fun-ción del espectro direccional de energía

Asumiendo que la línea de playa es forzada por cada una de las combi-naciones ponderadas de frecuencia y dirección en las que el espectro se hadividido, se puede introducir en el modelo de una línea la dispersión en ladirección y frecuencia.Manteniendo la hipótesis de que tanto el ángulo de incidencia del oleaje

respecto al eje fijo x y la orientación de la línea de playa son pequeñas, laecuación de gobierno de la posición de la línea de playa yijs (x, t) debido a laacción de un tren monocromático de frecuencia fi y dirección θ

jb es formulado

como:

∂yijs (x, t)

∂t= −εij ∂

∂x

µθjb −

∂yijs (x, t)

∂x

¶, 0 ≤ x ≤ b t ≥ 0 (5.7)

con la condición inicial

yijs (x, t = 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ b (5.8)


y las condiciones de controno

C1yijs (0, t) + C2∂yijs (0, t)

∂x= g0 (t)

ij , t ≥ 0 (5.9)

C3yijs (b, t) + C4∂yijs (b, t)

∂x= gb (t)

ij , t ≥ 0 (5.10)

donde εij =1

2D

Km

(ρs − ρw) g (1− n)Cijg E

ijb representa la escala de tiempo

característica de la respuesta de la playa a cada componente del espectro,

siendo Eijb =

ρwgHij2b

8y Cgijb =

qgdijb .

La posición final de la línea de playa se puede calcular como una línea deplaya ponderada de la forma

eys (x, t) = fmaxZfmın

θmaxbZθmınb

w (f, θb) ys (x, t, f, θb) ∼=N

i = 1X M

j = 1X

wijyijs ∆θb∆f

(5.11)La función peso, wij para el caso de un oleaje monocromático e unidi-

reccional, es igual a la unidad para esa dirección y frecuencia y cero para elresto, llegando así a la solución clásica.

5.4. Comparación de la evolución de la líneade playa forzada por oleaje regular e ir-regular

En esta sección se estudia la evolución de la línea de playa en la caraaguas arriba de un espigón que interrumpe el transporte longitudinal.Se parte de una playa inicialmente recta de 10 km de longitud, (b = 10

km ), ys (x, t = 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ b , formada por granos homogéneos dearena cuarcífera de densidad y tamaño de grano (ρs = 2593 kg/m

3, D50 = 1.0mm ). En el extremo x = 0 se construye un espigón vertical, que interrumpetodo el transporte longitudinal de sedimentos en ese extremo, se emplea la

condición de contorno tipo Neumann permanente ∂ys (0, t)ij

∂x= θijb , t ≥ 0 .

5.4 Solución clásica frente a la espectral 91

El otro extremo se asume que está lo suficientemente lejos del espigón, de mo-do que no se esperan variaciones de la posición, empleando la CC tipo Dirich-let permanente, ys (b, t)

ij = f (x = b) , t ≥ 0 . El eje y es positivo hacia elmar y ángulos de incidencia negativos relativos a la línea de playa suponenun transporte hacia el espigón situado en x = 0.Para comparar los resultados con los que se obtienen aplicando la solución

clásica, se asume que el clima marítimo puede ser caracterizado por un oleajeregular representativo. Se analiza la evolución de la línea de playa. Se empleancinco espectros para definir cinco oleajes con el que será forzada la playadurante el periodo simulado (ver Apéndice A). Los cinco espectros empleadoscomo inputs al modelo de una línea, tienen el mismo contenido energético, esdecir con el mismo primer momento espectral o equivalentemente la mismaaltura de ola media cuadrática (Hrms =2 m, Tp = 8 s, θb = -10o , medidos a10m de profundidad) y diferentes dispersiones direccionales y frecuenciales.Tres de los espectros frecuenciales son del tipo Bretschneider-Mitsuyasu, perocon diferentes dispersiones direccionales, de parametros (smax = 10, 25, 75),y los otros dos espectros frecuenciales son del tipo JONSWAP empírico conespectros direccionales tipo Mitsuyasu de parámetros ( γ = 1, smax = 10 yγ = 10, smax = 75 respectivamente).Por simplicidad en el análisis, la altura de la berma ha sido despreciada

y la profundidad de cierre ha sido calculada según Hallemeier (1978, 1981)(ref. en Stive et al. 1992); el coeficiente empírico Km ha sido calculado segúndel Valle et al. 1993.La solución obtenida para los cinco espectros se muestra en la Figura

(5.1). En la Figura (5.2) se muestra la evolución de la línea de costa forzadapor un tren monocromático y unidireccional y dos de las soluciones espec-trales.Cuando se comparan las distintas soluciones espectrales se encuentra que

(Figura 5.2), la dispersión en frecuencias y direcciones afectan claramentea la orientación final de la línea de playa y magnitud del desplazamien-to. Los espectros de banda estrecha o tipo swell son los que producen unavance máximo en la cara de acumulación del espigón, mientras que el míni-mo avance aparece para oleaje tipo sea. La solución obtenida para un oleajemonocromático y unidirecional provocan, en este ejemplo, diferencias del or-den de centenas de metros con las soluciones espectrales.En la Figura (5.3) se muestra todas las formas en planta de la playa,

no ponderadas por la energía del espectro, que han sido calculadas para elcaso en el que se empleó el espectro frecuencial tipo Brechesneider-Mitsuyasu


0 2000 4000 6000 8000 10000Distancia longitudinal (m)

0

20

40

60

Dis

tanc

ia tr

ansv

ersa

l (m

)

Forma en planta de la línea de playaaguas arriba de un espigón

forzada por un oleaje irregular

smax = 10

smax = 25

smax = 75

smax = 75, = 10

smax = 10, = 1

Figura 5.1: Evolución de la línea de playa inicialmente recta aguas arribade un espigón forzada por un oleaje irregular. Comparación de las solucionesobtenidas para cinco espectros direccionales con idéntico contenido energéticopero diferentes dispersiones frecuenciales y angulares.

5.4 Solución clásica frente a la espectral 93


0

100

200

300

400

Dis

tanc

ia tr

ansv

ersa

l (m

)

Línea de playa aguas arribade un espigón perpendicular

smax = 75, = 10

smax = 75Oleaje monocromático e

unidireccional

Figura 5.2: Evaluación de la línea de playa inicialmente recta aguas arribade un espigón forzada por un oleaje irregular. Comparación de las solucionesespectrales y la monocromática unidireccional.



-100

0

100

200

Dis

tanc

ia tr

ansv

ersa

l (m

)

Soluciones no ponderadas para el caso: smax = 75

Figura 5.3: Formas en planta de la playa, no ponderadas por la energía delespectro, que han sido calculadas para el caso en el que se empleo el espec-tro frecuencial tipo Brechesneider-Mitsuyasu y el direccional tipo Mitsuyasudirectional, smax = 75.

5.5 Conclusiones 95

y el direccional tipo Mitsuyasu directional, smax = 75. Se puede observarcómo la máxima acumulación alcanza aproximadamente los 200 metros, quesigue siendo menor al desplazamiento producido para el caso de un trenmonocromático y unidireccional. En este caso, esto es debido principalmenteal efecto de la dispersión frecuencial de la energía del oleaje.Por último es necesario indicar que este cálculo realizado para un estado

de larga duración (8700 horas) es el primer paso para calcular la evoluciónde la línea de costa durante un temporal, antes de realizar la simulaciónsecuencial por estados de duración finita.

5.5. Conclusiones

En este capítulo se ha analizado la respuesta de la playa a un oleajemultidireccional y multifrecuencia a través del modelo de una línea. Se hadesarrollado una nueva formulación del modelo de una línea que, además deincluir el efecto de las variaciones del nivel del mar sobre la línea de costa,también incluyen la dependencia de la altura de ola y ángulo de incidenciacon la orientación de la línea de playa.A raíz de estos estudios se ha llegado a que: (1) la evolución de la línea de

playa debido al forzamiento de un oleaje irregular depende de la dispersiónen frecuencias y direcciones del mismo, (2) cuando el modelo de una línea esforzado por un tren monocromático y unidireccional la evolución temporalde la playa es drásticamente sobreestimada (del orden de centenas de metrospara el ejemplo estudiado).


Capítulo 6

Estimación de la incertidumbrede la predicción

6.1. Problemática

A posteriori, se comprueba como tras N años de solicitación de climamarítimo, la forma en planta de la línea de playa ys(x,N) es única, de modoque la afirmación a priori; ”la forma de la playa será bys (x,N)”, sólo puedeser cierta o falsa. Sin embargo, si quiere medirse el grado de incertidumbreque se tiene sobre cuál de estas dos alternativas es correcta, la probabilidades la única forma coherente de medida (de Finetti, 1937).En el capítulo dedicado al modelo de una línea vimos la importancia

que las condiciones de contorno y la formulación del modelo tienen sobrela forma final de la playa. En este capítulo se desarrolla una metodologíade cálculo que, empleando el modelo de una línea con las condiciones decontorno dependientes del tiempo y coeficiente de difusión no homogéneo,permite estimar la incertidumbre de la predicción para todo el tramo deplaya estudiado.Algunos autores han afrontado este problema mediante el uso de cálculos

numéricos, calculando en diferentes secciones a lo largo de la playa la funciónde distribución de la variable posición de la línea de playa, mediante el usodel Método Monte-Carlo y la ”full integration” (Le Méhauté et al., 1983;Vrijling et al. 1991 ). Cuando el número de simulaciones es elevado el MétodoMonte-Carlo obtiene una muestra, S, representativa de los posibles estadosmorfodinámicos del tramo de playa.

97

98 Incertidumbre de la predicción

S = {y1 (x) , y2 (x) , ..., yNs (x)} (6.1)

Sin embargo, la posición de la línea de playa en dos secciones separadas noson independientes, tanto en la realidad como en el modelo de una línea, estáncorrelacionadas. Esto implica que, si la erosión es particularmente severa enun punto, la erosión esperada en los puntos circundantes también debe serelevada. Lo que supondría que para asignar las probabilidades de ocurrenciade los distintos estados morfodinámicos se debe trabajar con la función dedistribución conjunta o estimar las probabilidades condicionales sobre las nxvariables que definen la planta del tramo de playa.La probabilidad de ocurrencia del estado morfodinámico yi (x), se calcu-

laría como la probabilidad que la variable X1 = x1 y X2 = x2 y X3 = x3 y...Xnx = xnx:

Pr [yi (x)] = Prhx1\

x2...\

xnx

i(6.2)

Como las nx variables no son independientes, la probabilidad de intersec-ción de sucesos se calcularía como:

Prhx1\

x2...\

xnx

i= Pr [x1 | x2...xnx] Pr [x2...xnx] (6.3)

Para el cálculo de esta probabilidad debemos conocer la distribución con-junta de las nx variables o sus probabilidades condicionadas que cuandocomo en nuestro caso, el número de variables es elevado, presenta dos sev-eras limitaciones. La primera es que al aumentar la dimensión el espaciomuestral está cada vez más vacío, haciendo más difícil cualquier proceso deinferencia a partir de los datos. Una segunda limitación es que el númerode datos necesarios para describir los parámetros aumentaría rápidamentecon la dimensión ya que, el número de datos necesarios para representar losparámetros de la muestra aumenta con la potencia de la dimensión. Por ejem-plo, para representar en dimensión p la media y la matriz de covarianzas senecesitan;

p (p + 3)

2' p2 (6.4)

Para una dimensión p = 50 , que sería equivalente a que se tienen observa-ciones en 50 puntos a lo largo de la playa, se necesitarían 1325 observaciones.

6.2 CP y la estimación de la incertidumbre 99

(Nota: como norma general los procesos multivariantes necesitan un ration

p> 10 y es deseable que ese ratio sea mayor de 20).

Esto implica que en la actualidad no exista un procedimiento sencillo paraasignar una probabilidad de ocurrencia a todo el tramo de playa.El problema que se plantea es el de encontrar un conjunto más reducido

de nuevas variables [z1, z2, .., zr] , siendo r ≤ nx tal que sean predictoresóptimos de las variables originales, para evitar el problema de la dimensión.En este capítulo veremos cómo las Componentes Principales (desde ahora

CP) forman este conjunto de predictores óptimos lo que convierte a la técnicade las CP en una herramienta adecuada para la asignación de probabilidadesa la muestra de estados morfodinámicos simulados.En este capítulo se presentan los fundamentos estadísticos y su aplicación

para la estimación de la incertidumbre de la predicción de los modelos de unalínea.

6.2. CP y la estimación de la incertidumbre

La técnica de las componentes principales se demuestra que es el predictorlineal óptimo capaz de encontrar un conjunto más reducido de variables nocorrelacionadas y obliga a que el peso de las variables originales sea del mismoorden de magnitud (Peña; 2002). En este apartado se describe la estructurade las matrices de datos empleadas en la asignación de probabilidades a losestados morfodinámicos simulados.Las posibles formas en planta del tramo de playa simuladas forman una

matriz, Mp,nx, de n filas por nx columnas. Donde n es el número de simula-ciones o individuos de la población y nx es el número de variables o puntosa lo largo de la planta de la playa en los que se ha simulado la posición de lalínea de playa.El problema que se plantea es el encontrar un conjunto más reducido de

nuevas variables [z1, z2, .., zr] , siendo r ≤ nx tal que sean predictores óptimosde las variables originales y que sean estadísticamente independientes.Sea el valor previsto para la variable xj en el individuo i, bxij el error de

la predicción será eij = xj − bxij. Se define el predictor óptimo como aquelque minimice el error mínimo cuadrático en todas las variables y todos losindividuos;


1

ni = 1

nXe2ij =

1

ni = 1

nX(xj − bxij)2 =Mınimo (6.5)

Nótese que no imponemos a priori ninguna forma del predictor, este podráser tanto lineal, polinómico, periódico, etc..

6.3. Fundamentos del método

En esta sección se presentan los fundamentos estadísticos del método ysu aplicación para la estimación de la incertidumbre de la predicción de losmodelos de una línea.La técnica de las CP requiere disponer de una muestra representativa de

los posibles estados morfodinámicos del tramo de playa. Gracias a la solucióncasi analítica desarrollada del modelo de una línea es posible generar medi-ante simulación de Monte-Carlo una muestra representativa de los posiblesestados morfodinámicos que alcanzaría la playa tras los Ns años de simulaciónde clima marítimo.Se emplea la técnica de las componentes principales para transformar

las nx variables originales en r ≤ nx nuevas variables no correlacionadaso componentes principales. Se trabaja sobre la matriz original de datos sinestandarizar ya que se considera que las varianzas de las variables son in-formativas y deben ser tenidas en cuenta en el análisis. Esta consideracióndescansa en la idea de que a lo largo del tramo de playa es de esperar zonasde mayor variabilidad frente a otras.La técnica de componentes principales es debida a Hotelling (1933) (ref.

en Peña, 2002), aunque sus orígenes se encuentran en los ajustes ortogonalespor mínimos cuadrados introducidos por K. Pearson (1901). Esta técnica hasido ampliamente utilizada en la geomorfología de costas desde que Winantet al. (1975) y Aubrey (1978) caracterizaron cambios en los perfiles de playa(más referencias en Muñoz Pérez et al., 2001).El problema que se desea resolver es encontrar un espacio de dimensión

más reducido que represente adecuadamente los datos. Desde un enfoquedescriptivo se puede plantear como; encontrar un subespacio de dimensiónmenor que nx tal que al proyectar sobre él los puntos conserven su estructuracon la menor distorsión posible. A continuación veremos cómo se convierteesta idea intuitiva en un criterio matemático operativo.

6.3 Fundamentos del método 101

Sea un subespacio de dimensión uno, una recta. Se desea que las proyec-ciones de los puntos sobre esta recta mantengan, lo más posible, sus posicionesrelativas. La recta de la Figura (6.1) es un buen resumen de los datos, yaque la recta pasa cerca de todos los puntos y las distancias entre ellos semantienen aproximadamente en su proyección sobre la recta.

-12 -8 -4 0 4 8 12

-20

-10

0

10

20

X1

r1

z1

Figura 6.1: Representación gráfica de la recta que minimiza las distanciasortogonales de los puntos a ella.

La condición de que la recta pase cerca de la mayoría de los puntos puedeconcretarse exigiendo que las distancias entre los puntos originales y susproyecciones sobre la recta sean lo más pequeñas posibles. En consecuencia,si consideramos un punto xi y una dirección a1 = (a11, ..., a1nx)

0, definida porun vector a1 de norma unidad, la proyección del punto xi sobre esta direcciónes el escalar:

zi = a11 · xi1 + ... + a1nx · xinx = a01 · xi (6.6)

y el vector que representa esta proyección será zia1. Llamando ri a ladistancia entre el punto xi, y su proyección sobre la dirección a1, este criterio


implica:

minimizarn

i = 1X

r2i =n

i = 1X

|xi − zia1|2 (6.7)

donde |u| es la norma euclídea o módulo del vector u. La figura (6.1)muestra que al proyectar cada punto sobre la recta se forma un triángulorectángulo donde la hipotenusa es la distancia del punto al origen, (x0ixi)

12 , y

los catetos la proyección del punto sobre la recta (zi) y la distancia entre elpunto y su proyección (ri). Por el teorema de pitágoras, podemos escribir:

x0ixi = z2i + r2i

y sumando esta expresión para todos los puntos, se obtiene:

n

i = 1X

x0ixi =n

i = 1X

z2i+n

i = 1X

r2i

Como el primer miembro es constante, minimizarn

i = 1X

r2i , la suma dede las distancias a la recta de todos los puntos, es equivalente a maximizar

n

i = 1X

z2i , la suma al cuadrado de los valores de las proyecciones.Si las proyecciones zi fueran variables de media cero, maximizar la suma

de sus cuadrados equivale a maximizar su varianza, obteniéndo como crite-rio matemático para la búsqueda de las nuevas variables el de encontrar ladirección de proyección que maximice la varianza de los datos proyectados.Sin embargo, ya que se desea reconstruir la forma final de la playa a

partir de unas pocas componentes se trabaja con las variables originales, quepueden tener media no nula.

6.3.1. Cálculo del primer componente

El primer componente principal se define como la combinación lineal delas variables originales que maximiza la suma al cuadrado de los valores delas proyecciones. Los valores en este primer componente de los p individuosse representarán por un vector columna z1 de p filas, dado por:

z1 = Xa1 (6.8)

La suma al cuadrado de las proyecciones viene dada por:


z01z1 = a01X0Xa1 = a01Sa1 (6.9)

donde S es una matriz cuadrada de nx filas por nx columnas, siendo sudiagonal igual a la suma de los cuadrados de las observaciones de todos losindividuos en las nx variables;

Sx,x =

n

i = 1X

X2i,nx (6.10)

Es obvio que podemos maximizar la suma al cuadrado de las proyeccionessin límite aumentando el módulo del vector a1. Para que la maximización dela ecuación (6.9) tenga solución se debe imponer una restricción al módulo delvector a1 y sin pérdida de generalidad, se impone que a01a1 = 1. Se introduceesta restricción mediante el multiplicador de Lagrange;

M = a01Sa1 − λ (a01a1 − 1) (6.11)

y se maximiza esta expresión de la forma habitual derivando respecto alos componentes de a1 e igualando a cero. Entonces

∂M

∂a1= 2Sa1 − 2λa1 = 0 (6.12)

cuya solución es:

Sa1 = λa1 (6.13)

que implica que a1 es un vector propio de la matriz S, y λ su correspon-diente valor propio. Para determinar qué valor propio de S es la solución de(6.13), multiplicando por la izquierda por a01 esta ecuación,

a01Sa1 = λa01a1 = λ

se concluye por (6.9), que λ es la suma de los cuadrados de z1. Como estaes la cantidad que queremos maximizar, λ será el mayor valor propio de lamatriz S. Su vector asociado, a1, define los coeficientes de cada variable enel primer componente principal.


6.3.2. Cálculo del segundo componente

Se quiere obtener ahora el mejor plano de proyección de las variables X .Se calcula estableciendo como función objetivo que la suma de los cuadradosde las proyecciones z1 = Xa1 y z2 = Xa2 sea máxima, donde a1 y a2 son losvectores que definen el plano. La función objetivo será;

M = a01Sa1 + a02Sa2 − λ1 (a01a1 − 1)− λ2 (a

02a2 − 1) (6.14)

que incorpora las restricciones de que las direcciones deben tener módulounitario (a0iai) = 1, i = 1, 2. Derivando e igualando a cero;

∂M

∂a1= 2Sa1 − 2λa1 = 0 (6.15)

∂M

∂a2= 2Sa2 − 2λa2 = 0 (6.16)

La solución de este sistema es:

Sa1 = λa1 (6.17)

Sa2 = λa2 (6.18)

que indican que a1 y a2 deben ser vectores propios de S. Tomando losvectores propios de norma uno y sustituyendo en (6.14), se obtiene que, enel máximo, la función objetivo es

M = λ1 + λ2 (6.19)

es claro que λ1 y λ2 deben ser los dos autovalores mayores de la matrizS y a1 y a2 sus correspondientes autovectores. Observemos que la covarianzaentre z1 y z2 , dada por a01Sa2 es cero ya que a

01a2 = 0, y las variables z1 y

z2 estarán incorreladas.

6.3.3. Generalización y propiedades

Puede demostrarse análogamente que el espacio de dimensión r que mejorpresenta a los puntos viene definido por los vectores propios asociados a losr mayores valores propios de S. Estas direcciones se denominan direcciones


principales de los datos y las nuevas variables por ellas definidas compo-nentes principales. En general la matriz X (y por tanto la S) tiene rangonx, existiendo entonces tantas componentes principales como variables quese obtendrán calculando los valores propios o raíces características, λ1, ..., λnxde la matriz S, mediante:

|S − λI | = 0 (6.20)

y sus vectores asociados son:

(S − λiI) ai = 0 (6.21)

Los términos λi son reales, al ser la matriz S simétrica, y positivos, ya queS es definida positiva. Por ser S simétrica si λj y λh son dos raíces distintassus vectores asociados son ortogonales. Si S fuese semidefinida positiva derango r < nx, lo que ocurriría si nx − r variables fuesen combinación linealde las demás, habría solamente r raíces características positivas y el restoserían ceros.A continuación se enumeran sin demostrar, las propiedades más intere-

santes para el problema estudiado de las componentes principales;

1. Las CP, proporcionan el método más eficiente de comprensión de losdatos. Ningún otro conjunto de funciones ortogonales puede describirlos datos de un modo más eficiente, en el sentido de explicar en los Nprimeros términos mayor variabilidad de los datos. Así, la proporciónde variabilidad explicada por un componente es el cociente entre suautovalor y la suma de los valores propios de la matriz.

2. Dado que las nuevas variables no están correlacionadas al ser ortogo-nales y, como se ha demostrado para el caso a estudio, se aproximan auna distribución normal representan modos de variabilidad independi-entes de cualquiera de los otros N-1 restantes.

3. La representación de autofunciones es el mejor método de ajuste linealde las variables originales en el sentido de ajuste de datos por mínimoscuadrados. Permite reducir el número de variables evitándo así el prob-lema de la dimensión y proporciona un método de eliminar el ruido ola parte menos predecible de los datos.


6.4. Asignación de probabilidades

Llamando Z a la matriz cuyas columnas son los valores de los nx compo-nentes en los n individuos, estas nuevas variables están relacionadas con lasoriginales mediante:

Z = XA (6.22)

donde A0A = I .Calcular los componentes principales equivale a aplicar una transforma-

ción ortogonal A a las variables X (ejes originales) para obtener unas nuevasvariables Z incorreladas entre sí. Esta operación puede interpretarse comoelegir unos nuevos ejes coordenados, que coincidan con los ”ejes naturales”de los datos. La relación dada por (6.22) será la que nos permita recosntruirlas formas en planta originales del tramo de playa. La matriz A esta formadapor los vectores propios de las nx CP.De las nx componentes principales calculadas se eligen las r primeras que

expliquen la mayor proporción de la variabilidad de los datos. El 70% dela variabilidad es un valor de corte razonable cuando se trabaja con datosmedidos ya que el resto de la variabilidad puede estar relacionado con erroresen las medidas. Sin embargo, en este trabajo los datos que forman la matrizoriginal son datos simulados a partir de un modelo, de modo que no se esperanerrores en las medidas pudiendo explicar probabilidades más altas (p.e. del80 al 90%).Para cada componente principal se dispone de una muestra de n indi-

viduos. Esta muestra esta formada por todas las posibles formas en plantasimuladas, es decir cada una se puede entender como el resultado de un ex-perimento a partir de las cuales se puede estimar la función de probabilidad.Conocida esta función de probabilidad para las r primeras componentes

principales la probabilidad conjunta se calcula como productorio de las prob-abilidades marginales. Es decir, la probabilidad de obtener una forma enplanta bys(x) tal que

bys(x) = a1z1 + a2z2 + ... + arzr (6.23)

se calcula como

Pr [ys(x) = bys(x)] = Pr [z1 = a1] · Pr [z2 = a2] · ... · Pr [zr = ar] (6.24)

6.5 Conclusiones 107

6.5. Conclusiones

En este capítulo se ha presentado un procedimiento para el cálculo de laincertidumbre de la predicción basado en que las soluciones casi analíticasdel modelo de una línea permiten realizar gran número de simulaciones de laevolución a largo plazo de la línea de costa.Recientemente se han realizado estimaciones sobre la incertidumbre de

la posición de la línea de playa en secciones aisladas del tramo de playa.Sin embargo, no se tenía información acerca de la superfice o volumen dearena ya que la correlación entre las distintas secciones de playa complicanel problema de conocer la probabilidad conjunta para todas las secciones.El método presentado en este capítulo evita esta limitación al transformar

el conjunto de las nx variables correlacionadas originales en un conjunto másreducido de variables estadísticamente independientes, donde la probabilidadconjunta se calcula como el producto de las probabilidades marginales.


Capítulo 7

Generación de las historias declima marítimo

7.1. Introducción

En este trabajo se asume que la evolución a largo plazo de la línea deplaya esta controlada por la ocurrencia de eventos extremos o temporales.La forma final del tramo de playa dependerá no sólo del flujo de energía ynúmero de temporales, si no también, debido a la propiedad acumulativa delos procesos costeros, de la secuencia en el tiempo de los mismos.Se define historia de clima marítimo como la secuencia de temporales

y calmas a la que es forzado el sistema costero por parte del agente oleajedurante un periodo de tiempo dado. A priori no se conoce la historia de climamarítimo a la que estará sometido el sistema. Esto plantea el problema depredecir las posibles historias de clima marítimo.En este capítulo se propone un procedimiento general para resolver este

problema a partir de registros históricos de oleaje. El capítulo se organizaen cuatro secciones. En la primera de ellas se hace una breve introduccióna la problemática que supone definir qué es un evento de temporal parasu aplicación a modelos morfodinámicos. En la segunda sección se proponeuna posible parametrización de la historia de clima marítimo. En la tercerasección, asumiendo que los distintos parámetros propuestos en esta secciónson considerados como variables aleatorias, se describe como pueden ser sim-uladas empleando la técnica numérica de Monte-Carlo. Finalmente en lacuarta sección se dan unas conclusiones.

109

110 Simulación de los temporales

7.2. Definición de evento de temporal

La definición de evento extremo dependerá de los objetivos del estudioen particular. En el diseño de estructuras de protección se suele trabajar conla altura de ola de cálculo y perido asociado como valores representativosde la energía del oleaje, definiendo evento de temporal únicamente cuandoes superada una altura de ola umbral o mínima de temporal, Hsumbral. Estaaltura umbral depende de la zona a estudio y de los objetivos del proyecto.Sin embargo, el morfología costera la respuesta del sistema depende, entre

otros del flujo de energía y el tiempo durante el que actúa ese flujo o duracióndel evento. El flujo esta relacionado con la tasa de transporte de sedimentos yla duración del evento con el tiempo respuesta carácterístico de cada sistema.Por ello parece más adecuado definir el evento extremo en función del

ratio entre el producto del flujo de energía de temporal por la duración deltemporal (Dt) y el producto de el flujo de energía medio (en ausencia detemporales) y la unidad de tiempo de trabajo,Ut, (un año climático).¡

Hmaxs

¢2Cmaxgs Dt

H2sMCgMUt

> γ (7.1)

Donde HsM es la altura de ola media durante una unidad de tiempobajo situación de no temporal y Cmax

gs y CgM son las velocidades de grupode temporal y media, γ es un índice que debe ser determinado en funciónde los parámetros geomorfológicos del área a estudio (fundamentalmente deltamaño de grano y densidad del material,D50 y ρs). Definiéndo de este modoevento de temporal, se ahorra tiempo de computación al eliminar aquelloseventos, que si bien por su altura de ola pudieran ser considerados comoeventos extremos, su efecto sobre el sistema esta limitado por duración opor el flujo de energía, siendo despreciables los cambios que produce sobre elsistema costero.De este modo, durante un año climático el número de eventos extremos

sería igual al número de veces que se cumpla la condición impuesta por la ec.7.1.Pese a que la determinación del parámetro γ es fundamental para la

definición de temporal, se ha creido más importante el desarrollar el pro-cedimiento de simulación de la historia de clima marítimo. Por este motivo,en este trabajo se empleará el criterio de ola umbral y duración mínima co-mo definición de temporal. Trabajos posteriores sobre la determinación del

7.3 Parametrización de la historia de C.M. 111

parámetro γ permitiran introducir la definición de temporal dada por la ec.7.1.

7.3. Parametrización de la historia de C.M.

7.3.1. Parametrización de la secuencia de temporales

La secuencia de periodos de temporal y no temporal puede ser caracter-izada de diversas maneras. A continuación se propone una posible parame-trización en estados de temporal y de no temporal de esta secuencia. Siendoel estado la unidad de tiempo mínima durante la cual se suponen estadísti-camente estacionarias las variables que definen el flujo de energía.

La historia de clima marítimo esta formada por una secuencia de años,donde cada año esta a su vez formado por una secuencia de eventos de tem-poral y de no temporal. Cada evento de temporal esta formado por unasecuencia de estados de temporal, siendo caracterizado el flujo de energía encada estado en función de la curva de crecimiento del temporal. Cada even-to de no temporal esta formado por un sólo estado de no temporal, siendocaracterizado por un flujo medio de energía de no temporal.

El estado es un artificio matemático que nos permite definir un procesocontinuo en el tiempo como una secuencia de pasos discretos. La duraciónde un estado es función no sólo del flujo de energía incidente, sino tambiéndel tiempo de respuesta del sistema costero. Menores tiempos de respues-ta requieren definir estados más cortos, mientras que mayores tiempos derespuesta pueden ser caracterizados por estados más largos.

En cada estado, ya sea de temporal o de no temporal, el flujo de energíaviene parametrizado por la altura de ola significante (Hs), periodo (T ) ydirección de propagación del oleaje respecto al eje fijo x, fuera de la zona derotura (θo).

Cada temporal viene representado por tres curvas de crecimiento, unapara cada variable de las que define el estado de mar (Hs(t), T (t), θo(t) )siendo 0 ≤ t ≤ Dt (p.e. ver Figura 7.1).


145200 145600 146000 146400 146800Tiempo (horas)

2

4

6

8

Hm

0 (m

)

Evolución en el tiempo de la altura de olasignificante durante un evento de temporal

Duración de laexcedencia sobre H umbral

(Dt) Altura de ola

umbral de temporal

Figura 7.1: Ejemplo de evolución en el tiempo de la altura de ola durante unevento de temporal (datos WASA14718)

La secuencia de eventos de temporal y de no temporal viene caracterizadapor el número de temporales (nt) y el tiempo que transcurre entre temporaleso duración del estado de no temporal (Dc), (ver Figura 7.2).


0 40000 80000 120000 160000 200000 240000Tiempo (horas)

2

4

6

8

Hm

0 (m

)

Registro de un año de oleaje

Temporal

Tiempo entretemporales

(Dc)

Altura de olaumbral

de temporal

Figura 7.2: Registro de un año de oleaje. El número de temporales y el tiempoentre temporales definen la historia de clima marítimo.

En resumen, la historia de clima marítimo quedaría parametrizada por elnúmero de temporales por año (nt), tiempo entre temporales (Dc) y evoluciónen el tiempo durante el evento de temporal de la altura de ola significante(Hs(t)), el periodo de pico (T (t)) y la dirección de propagación (θo(t)).En el apartado siguiente se muestra como a partir de una base de datos

oceanográficos y empleando la técnica de las componentes principales se ob-tiene una sencilla parametrización de la tendencia de evolución del temporal.

7.3.2. Parametrización de la evolución en el tiempo deltemporal

El temporal se caracteriza porque en un intervalo de tiempo muy cortose produce un gran transporte de sedimentos. Por este motivo, es necesariosimular adecuadamente la evolución en el tiempo de los distintos parámetrosque definen el flujo de energía y la dirección de propagación del temporal.Siendo, la evolución de la línea de playa especialmente sensible a la direcciónde propagación. Simular adecuadamente estos parámetros, para su uso comoentrada a un modelo morfodinámico, supone caracterizar la tendencia deevolución. El sistema costero funciona como un filtro de energía donde las


variaciones en el tiempo rápidas de estos parámetros son despreciables a largoplazo. Por tanto simular adecuadamente estos parámetros supone simularcorrectamente la tendencia de evolución de estos parámetros en el tiempo.En este apartado veremos como la primera componente principal puede serempleada para tal fin. La correcta simulación de los temporales depende dela información disponible de partida.

A partir de la base de datos de oleaje disponible y una vez identifica-do todos los temporales, se forma una matriz Mp,nx siendo p el número detemporales o número de individuos de la muestra y nx el número de vari-ables o pasos de tiempo en los que ha sido discretizado el temporal (vertabla adjunta). Para generar esta matriz cada uno de los temporales ha si-do adimensionalizado por su persistencia. El número de pasos de tiempo enlos que ha sido discretizado se toman de forma que el ratio entre el númerode temporales y el número de pasos de tiempo o número de variables, seaigual o superior a 30. Es decir, para un registro formado por 300 tempo-rales, se toman 10 pasos de tiempo. Ésta es una condición recomendada paragarantizar la robustez de los resultados del análisis de CP.

no temporal t/Dt = 0 ... t/Dt = 1 Dt1 a1,1 ... a1,nx d1... ... ... ... ...n an,1 ... an,nx dnx

A modo de ejemplo se muestra en la Figura 7.3 un registro de la alturade ola de 336 temporales (Hsumbral ≥ 3.0 m, Dtmin = 12 h), frente al tiempoadimensionalizado por la persistencia de cada uno, obtenidos de los datosWASA14718 (facilitados por el Ente Público Puertos del Estado).


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t / Dt

4

6

8

10

12

14

16

Hs(

t) (

m)

Evolución en el tiempo de la variableAltura de ola significante (Hs) durante distintos

eventos de temporal

Figura 7.3: Evolución en el tiempo de la altura de ola para los distintostemporales registrados en el punto WASA14718.

La primera componente principal, obtenida de aplicar el ACP sobre lamatriz de varianzas covarianzas representa la tendencia en promedio de todoslos temporales observados. Esta primera componente, esta formada por unacombinación lineal de las variables originales o pasos de tiempo. En la Figura7.4 se muestran los diferentes coeficientes de carga de la primera componenteobtenida de aplicar el ACP sobre el registro de 336 temporales.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t/Dt

0.24

0.26

0.28

0.3

0.32

0.34

Coe

fici

ente

de

carg

a

Primera componente principal para la variable Hs

Figura 7.4: La primera componente principal obtenida del registro de la alturade ola de 336 temporales explica el 97.2% de la variabilidad total. En la figurase muestran los coeficientes de carga para cada variable.

Con la puntuación sobre la primera componente del temporal i-ésimo,(Zi

Hs) , y los coeficientes de carga de cada variable original se puede recon-struir la tendencia de cada temporal.

En la Figura 7.5 se muestra la evolución de cinco temporales originales yla reconstrucción a partir de sus puntuaciones en la primera componente.

7.4 Aplicación de la técnica Monte-Carlo 117

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t / Dt

2

3

4

5

6

7

8

Hs(

t) m

Hs(t) originalesHs(t) reconstruidas a partir de la 1ª CP

Figura 7.5: Comparación entre la evolución en el tiempo de tres temporalescon la reconstrucción a partir de la 1a CP.

Se observa como la tendencia de evolución de la altura de ola de los trestemporales queda recogida por la primera componente, siendo por tanto unaparametrización adecuada para la simulación a largo plazo de la línea deplaya.El procedimiento se repite para la evolución en el tiempo del periodo

medio (ZiT ) y de la dirección de propagación del oleaje (Z

iθ), quedando así

completamente definido el flujo de energía y su evolución en el tiempo.

7.4. Aplicación de la técnica Monte-Carlo

Las variables nt, Dc, ZHs, ZT , Zθ que definen la historia del clima marí-timo son variables aleatorias. Siendo nt una variable discreta y el resto sonvariables aleatorias continuas. Por sencillez en la notación cambiamos la no-tación anterior por X1 = nt, X2 = Dc, X3 = ZHs, X4 = ZT y X5 = Zθ.El método de Monte-Carlo es una técnica numérica que permite aprox-

imar la función de probabilidad derivada. En este apartado se verá comoemplear esta técnica para simular las posibles historias de clima marítimo alas que estará sometido el sistema costero.


Conocida las funciones de distribución de las variables aleatorias de entra-da, y a través de un generador de números aleatorios (Hahn & Shapiro, 1967)se obtienen una muestra de los posibles valores de las distintas variables quedefinen el clima marítimo. Estos valores son introducidos en el modelo deuna línea obteniendo así una forma en planta. Este procedimiento es repeti-do hasta que se obtiene una muestra representativa de las posibles formas enplanta.La forma de la función de probabilidad final dependerá tanto de la forma

de las funciones de probabilidad de las variables aleatorias de entrada asicomo de la función de transferencia (ecuación de una línea) (p.e. Vrijling &Meijer, 1992).Pese a que no existe a priori ningún criterio para determinar el número de

realizaciones necesarias, esta comunmente aceptado llevar a cabo un númerode entre 1000 a 25000 simulaciones (p.e. Mooney, C., 1997). Que no suponeuna limitación gracias a la capacidad de calulo actual.A partir de un generador de números aleatorios existen tres formas de

asignar valores a las distintas variables que definen el clima marítimo, etosson (p.e., Mooney, C., 1997 );

1. el método de la transformada inversa,

2. el método compuesto,

3. el método de la aceptación-rechazo.

El método elegido depende del conocimiento y tipo de función de dis-tribución de las variables aleatorias. En el siguiente apartado se explica comoempleando el método de la transformada inversa y a partir de las funciones dedistribución de las distintas variables, se puede simular el vector de variablesaleatorias que definen la historia de clima marítimo.

7.4.1. Simulación de variables correlacionadas

En este apartado se describe de forma general cómo se aplica la técnicade Monte-Carlo cuando se tienen varias variables aleatorias correlacionadascomo es el caso de la simulación de clima marítimo.En el caso de cinco variables correlacionadas la función de distribución

conjunta se puede expresar en función de las distribuciones condicionadascomo sigue:

7.4 Aplicación de la técnica Monte-Carlo 119

fX1,X2,X3,X4,X5 (x1, x2, x3, x4, x5) = f1 (x1) f2 (x2 | x1) ...f5 (x5 | x1, ..., x4)(7.2)

Donde f1 (x1) es la función de distribución marginal deX1 y fk (xk | x1, ..., xk−1)es la función condicional de Xk dado X1 = x1, X2 = x2,..., Xk−1 = xk−1.Sea U1, U2,...,U5 variables aleatorias distribuidas uniformemente, que pueden

tomar valores comprendidos entre 0 y 1. El vector X = (X1, X2, X3, X4, X5),se obtiene de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

F1 (X1) = U1F2 (X2 | X1) = U2

F2 (X3 | X1, X2) = U3F2 (X4 | X1, X2, X3) = U4

F2 (X5 | X1, X2, X3, X4) = U5

(7.3)

El problema de generar el vector de variables aleatorias a partir de la ec.(7.2) se resuelve en dos pasos:

1. Generar n = 5 números aleatorios uniformemente distribuidos en elintervalo [0, 1]

2. Resolver el sistema de ecuaciones (7.3) con respecto a las variablesX =(X1, X2, X3, X4, X5)

Al trabajar con las curvas de distribución sin ajustar a ninguna funciónimplica calcular las funciones de distribución condicionadas de forma numéri-ca.

7.4.2. Procedimiento de simulación

Se considera el año climático como un experimento. El procedimientode simulación del clima marítimo por estados se lleva a cabo en dos pasossucesivos en el tiempo (ver Figura 7.6).En el primer paso, se generan mediante el método Monte-Carlo las dis-

tintas variables definen la historia de clima marítimo para cada año. Es decirpara cada año se simula el número de temporales, el tiempo entre temporales,la duración de cada temporal y las puntuaciones sobre la primera componenteprincipal de las variables que definen el flujo de energía en el estado ( ZHs,ZT , Zθ).


En un segundo paso, para cada temporal se reconstruye la evolución enel tiempo de las variables de estado. Para llevar a cabo esta recontrucción senecesita la puntuación sobre la primera componente principal de las variablesde estado, la duración del temporal y los vectores de los coeficientes de cargapara cada una de las variables de estado. Una vez reconstruidos, se divideel temporal por estados y se estima el valor de las variables en cada uno deellos.

Base datos Oceanográficos

Paso I Paso II

Para cada año(i = 1,2,...,N)

Para cada temporal(j = 1,2,...,nti) Para cada estado de temporal

(k = 1,2,..., Dt i, j/1h)

nti

MétodoMonte-Carlo

ZHsi, j

ZTpi, j

Dc i, j

Z¬ i, j

Hs i, j, k

T i, j , k

¬oi, j, k

x VHs

x VTp

x V¬

Reconstrucción del temporal

Figura 7.6: Esquema del procedimiento para la simulación de clima marítimoa partir de una base de datos oceanográficos empleando el método de Monte-Carlo

7.5. Conclusiones

La secuencia de temporales a lo largo del tiempo controla la evolución dela línea de playa a largo plazo. Debido a que la mayor parte del transporteneto de sedimentos tiene lugar durante los eventos de temporal la respuestade la playa dependerá de la curva de crecimiento del temporal, fundamen-talmente de la evolución en el tiempo de la dirección de propagación. Estaúltima esta muy relacionada con la trayectoria de las borrascas que generan eltemporal. En este contexto los resultados más significativos de este capítuloson:

7.5 Conclusiones 121

1. A partir de una base de datos oceanográficos, se ha comprobado como latécnica de las CPA permite caracterizar adecuadamente la tendencia dela curva de crecimiento empleando un grupo muy reducido de variables.

2. Se ha propuesto un procedimiento para la simulación de las posibleshistorias de clima marítimo donde se tiene en cuenta la secuencia depresentación de temporales y las curvas de crecimiento de los tempo-rales.

3. Empleando este procedimiento para la simulación de las historias declima marítimo y la ecuación de una línea como ecuación de estado seaproxima el carácter acumulativo de los procesos costeros.

4. Al ser un procedimiento basado en las bases de datos oceanográ ficosdisponibles es aplicable a un gran rango de situaciones. Una mejora enlas bases de datos supone una mejora en la simulación.


Capítulo 8

Aplicación

En este capítulo se trata el problema de conocer la evolución de un tramode playa donde las variables que definen el clima marítimo son variablesaleatorias. Para analizar el problema se emplea el procedimiento propuestoen este trabajo. Se hace especial hincapié en la información que es posibleextraer y el tipo de preguntas que se pueden resolver empleando este análisis.El capítulo se estructura en cinco secciones. En la primera sección se

plantea formalmente el problema que se desea resolver. En la segunda sección,se describe el clima marítimo. En la sección tercera se definen los distintosparámetros que intervienen en el modelo. En la sección cuarta, se muestranlas soluciones obtenidas. En la sección quinta esta base de datos es analiza-da con la técnica del análisis de componentes principales para analizar laincertidumbre.

8.1. Planteamiento del problema

Se desea conocer la superficie de playa seca disponible al cabo de unaño de solicitación de clima marítimo (N = 1 año) de un tramo de playainicialmente rectilíneo de 4000 m de longitud (b = 4000 m). Sobre la playase realiza en el instante inicial una regeneración de forma trapezoidal, quequeda definida por los parámetros a1 = 500 m, a2 = 200 m e y0 = 8000 mque se representan junto al sistema de referencia en la Figura (8.1). En elorigen de coordenadas se construye un espigón perpendicular a la línea decosta de 3000 metros de longitud (w = 3000 m).Tanto la playa original como la regeneración están formadas por arena de

123

124 Aplicación

a2 a1 a2

y

x=b

y0

Forma en planta del tramo de playa en t = 0

x=0

x

w


Figura 8.1: Forma en planta inicial del tramo costero.

tamaño de grano uniforme (D50 = 0.5 mm) y densidad uniforme (ρs = 2650kg/m3) del 40% de porosidad (n = 40%). La pendiente media del perfilde playa en equilibrio es de 1/100 metros. La densidad del agua de mar esde ρs = 1024 kg/m

3. La aceleración de la gravedad se toma como g = 9,81m/s2. El régimen de marea es despreciable. No existen fuentes o sumideros dematerial en el tramo a estudio y el nivel medio del mar permanece constantedurante el período simulado. La playa en su extremo x = b, no tiene ningúnobstáculo al transporte de sedimentos.

Pese a que la batimetría no es recta y paralela como en el de la Figuraanterior, se asume que si lo son quedando de la forma que se representa enla Figura 8.2.

Esta hipótesis implica que el oleaje funciona como un homogeneizador dela linea de playa tendiendo a suavizar las irregularidades. Pese a que la nohomogeneidad del coeficiente de difusión permite evitar esta limitación paraeste ejemplo se ha optado por la solución más sencilla, ya que el objetivo deesta sección es presentar de forma resumida el procedimiento de simulación.

8.2 Simulación del clima marítimo 125

a2 a1 a2

y

x=b

y0

Forma en planta del tramo de playa en t = 0

x=0

x

w


Figura 8.2: Representación del problema asumiendo que la batimetría es rectay paralela al eje x

8.2. Simulación del clima marítimo

A partir de una base de datos representativa del clima marítimo de lazona a estudio se puede obtener, siguiendo el procedimiento de simulaciónexplicado en el capítulo anterior, una base de datos de las posibles secuenciasde temporales a la que podrá estar forzado el sistema costero.Para este ejemplo se define evento extremal como aquel estado de mar

cuya altura de ola significante sea superior a la altura umbral de 5.0 m(Hsumbral = 5,0 m). Se va a emplear 24 años de datos de clima marítimoobtenidos del modelo WASA en un punto en las proximidades de la Bahía deCádiz , situado a una profundidad de 400 m (estos datos han sido facilitadospor el Ente Público Puertos del Estado).A partir de esta base de datos se generan las simulaciones del clima marí-

timo que posteriormente serán propagadas hasta la línea de rotura para servirde entrada al modelo de una línea.Se obtiene que el régimen de oleaje más frecuente de no temporal tiene

una altura de ola de Hm0 = 0.88 m. El periodo y dirección más frecuentesasociados a esta altura es igual a Tp = 8.92 s y Dir = 304o , siendo Dir elángulo entre Norte geográfico y la dirección desde el origen del oleaje medidas

126 Aplicación

0 2000 4000 6000 8000 10000Tiempo (horas)

0

2

4

6

8

Hm

0 (m

)

Figura 8.3: Representación de una de las 70 simulaciones de la altura de ola(Hm0) según el procedimiento propuesto.

en el sentido de las agujas del reloj.

Se han generado 70 historias de posibles secuencias de eventos de temporaly de no temporal durante un año climático. En las Figuras 8.3 8.4 y 8.5 semuestra una de las simulaciones de las variables Hm0, Tm0 y Dir del oleaje.

En esta simulación se observa una secuencia de hasta ocho temporales.

8.3. Definición del modelo

En este apartado se describen los distintos parámetros empíricos que in-tervienen en la formulación del modelo de una línea, así como la formulaciónmatemática de las condiciones de contorno que van a ser empleadas.

Se asume que, en la zona de rotura, pese a que la costa no es rectilínea laaltura de ola es homogénea a lo largo de todo el tramo. Por simplicidad seasume que la altura de la berma es despreciable frente a la profundidad decierre.

8.3 Definición del modelo 127

0 2000 4000 6000 8000 10000Tiempo (horas)

8

10

12

14

16

18

20

Tp

(s)

Figura 8.4: Representación de una de las 70 simulaciones del periodo de ola(Tm0), según el procedimiento propuesto.

0 2000 4000 6000 8000 10000Tiempo (horas)

260

280

300

320

Dir

(gra

dos

resp

ecto

al N

orte

)

Figura 8.5: Representación de una de las 70 simulaciones de la dirección delpropagación (dir), según el procedimiento propuesto.

128 Aplicación

8.3.1. Parámetros empíricos

Profundidad de cierre del transporte longitudinal;

La profundidad de cierre se calcula para cada estado, es decir para cadapareja de valores Hs y Tp, a partir de la formulación propuesta por Halle-meier 1981 (ref. en Stive et al., 1992);

Dc = 2,28 ·Hs− 68,5 ·µ

Hs2

g · Tp2¶

(8.1)

Oleaje en rotura;

A partir de la ecuación de conservación de la energía y la ley de Snell seobtienen la altura de ola, ángulo de incidencia y profundidad de la rotura. Lavariación de la altura de ola debida a la difracción en el espigón así como lasvariaciones de la altura de ola debida a que las curvas batimétricas presentanirregularidades pueden ser incluidas en el modelo. En este caso, en lugar dela ley de Snell, se emplea la rotacionalidad del número de onda.

Tasa de transporte longitudinal;

Se emplea la ecuación del CERC para estimar el transporte longitudinalde sedimentos.

8.3.2. Condiciones de contorno

Se empleará, para todo instante de tiempo, la condición de contorno detransporte nulo (tipo Neumman permanente) en el extremo x = 0 y la condi-ción de libre transporte del tipo Dirichlet permanente en el extremo x =b.

8.4. SolucionesEn la Figura (8.6) se muestra las 70 simulaciones de la forma en planta

tras un año de solicitación de clima marítimo. En el extremo x = b, seimpuso la condición de contorno de no bloqueo o paso libre, que junto ala homogeneidad de la altura de ola a lo largo de la línea de playa hacenque no exista gradiente de transporte en ningún instante y se mantenga

8.5 Análisis de la incertidumbre 129

por tanto la posición inical. Sin embargo en el extremo x = 0, debido a lapresencia del espigón se impuso la condición de bloqueo total del transportede sedimentos, siendo la evolución en este punto función en cada estadodel ángulo de incidecia del oleaje en rotura. Cuanto mayor es el ángulo deincidecia myor es el transporte y por tanto la acumulación de material.

0 1000 2000 3000 4000Distancia longitudinal (m)

0

1000

2000

3000

4000

Dis

tanc

ia tr

ansv

ersa

l (m

)

Simulaciones de la evolución deun tramo de playa incialmente trapezoidal

durante un año de solicitación de CM

Figura 8.6: Comparación entre la forma en planta del tramo de playa en elinstante inicial y las distintas soluciones calculadas.

8.5. Análisis de la incertidumbre

Tras realizar el análisis de componentes principales se encontró que laprimera componente principal explica el 98.40% de la variabilidad total delos datos, la segunda un 1,54% y la tercera un 0.03%.En la Figura (8.7) se representan los pesos de las nx variables originales

en éstas tres primeras componentes principales. Se observa como los pesosde las nx variables son todos del mismo orden de magnitud.Todos los pesos de la primera componente aparecen como positivos, lo que

130 Aplicación

permite interpretar la primera componente como un promedio ponderado delas nx variables originales.La segunda y tercera componente representan el momento de segundo y

tercer orden de los datos.

0 1000 2000 3000 4000x(m)

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4C

oefi

cien

tes

de c

arga

CP1CP2CP3

Figura 8.7: Coeficiente de carga de cada una de las nx variables originales enlas tres primeras componentes principales

Empleando la primera componente se han reconstruido las tres primerassimulaciones de la forma en planta de la playa (ver Figura 8.8 ).Se observa como ahora, con sólo la puntuación sobre la primera compo-

nente y el vector de coefientes de carga es posible definir el tramo de playaque antes era definido por 100 puntos a lo largo de la línea de playa. Es-to implica que conocida la función de distribución (o de probabilidad) dela primera componente es posible estimar la incertidumbre asociada a cadaforma en planta de la playa.En la Figura 8.9 se muestra el número de ocurrencias agrupadas por

clases de las puntuaciones sobre la primra componente de las 70 simulacionesrealizadas.

8.5 Análisis de la incertidumbre 131

0 1000 2000 3000 4000Distancia longitudinal (m)

0

1000

2000

3000

Dis

tanc

ia tr

ansv

ersa

l (m

)

SimulacionesReconstrucciones empleando la 1ª CP

Figura 8.8: Comparación entre las tres primeras formas en planta simuladasy su reconstrucción a partir de la primera componente.

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45

x 104

0

10

20

30

40

50

60

70CP1

Figura 8.9: Representación del número de observaciones por clases de laspuntuaciones sobre la primera componente principal obtenidas

132 Aplicación

Con esta información es posible responder formalmente a preguntas deltipo; ¿Cuál es la probabilidad de que la playa mantenga su forma inicial alfinal del periodo simulado, f (x, t = 0)?, o de forma general, ¿Cuál es la prob-abilidad de que se obtenga la forma en planta f (x)?. Para responder a estetipo de preguntas primero se calcula el valor de la primera componente paralas formas en planta cuya probabilidad de ocurrencia quiere ser estimada. Apartir de la función de distribución de la primera componente se calculan lascorrespondientes probabilidades.

Capítulo 9

Conclusiones y futuras líneasde trabajo

9.1. Conclusiones

Al final de cada uno de los capítulos se ha dedicado un apartado a co-mentar las conclusiones específicas de cada uno de ellos. En este apartado sepresentan los logros alcanzados en cada uno de los cuatro objetivos específicosplanteados al inicio del trabajo.

1. Se ha encontrado una solución casi-analítica del modelo de una líneapara las condiciones de contorno tipo Robin no permanentes, incluyen-do las variaciones longitudinales de altura y dirección de propagacióndel oleaje, el efecto de variaciones del nivel medio del mar y la presenciade fuentes o sumideros de material. La formulación de las condicionesde contorno tipo Robin no permanente permite incluir en la solución lainteracción con los procesos a distintas escalas, y dado su carácter gen-eral permite describir cualquiera de las formulaciones de las condicionesde contorno existentes. Supone una solución robusta de bajo coste com-putacional que permite llevar a cabo un gran número de simulaciones.

2. Se ha comprobado cómo la respuesta de la playa es sensible al carác-ter multidireccional y multifrecuencial del oleaje, encontrándo que lasolución clásica de emplear un oleaje regular equivalente produce im-portantes sobreestimaciones frente a oleajes irregulares, aumentandoésta al aumentar la dispersión en frecuencia y dirección.

133

134 Conclusiones y futuras líneas de trabajo

3. Se ha desarrollado un procedimiento de simulación que recoje la vari-abilidad asociada a la secuencia de temporales y que permite generaruna muestra representativa de la población de posibles estados morfod-inámicos de la playa.

4. Se ha demostrado como la técnica de las componentes principales sonuna herramienta adecuada para la estimación de la incertidumbre deforma conjunta para un sistema costero.

9.2. Futuras líneas de investigaciónPara alcanzar el objetivo general de este trabajo de conseguir un pro-

cedimiento de simulación a largo plazo de la evolución de sistemas costerosexisten aún en el estado del conocimiento algunas líneas de trabajo que per-manecen abiertas, estas son:

Acoplamiento con modelos de variación de perfil; parece claroque la incertidumbre asociada a las condiciones ambientales obligan arealizar numerosas simulaciones para conseguir una muestra estadís-ticamente representativa de los posibles estados morfodinámicos y eneste contexto el mayor coste computacional y problemas de conver-gencia numérica hacen, de los modelos numéricos de N líneas, menosaptos que las soluciones analíticas.Por esto se cree necesario realizarel esfuerzo de, manteniendo la simplicidad de las soluciones analíticas,introducir los modelos de variación del perfil de playa en los modelosde una línea.

Transporte longitudinal de sedimentos bajo oleaje irregular; labondad de los resultados del modelo de una línea depende, entre otros,de la correcta estimación del transporte longitudinal de sedimentos bajosituación de temporal asociado a un oleaje irregular (multidireccionaly multifrecuencia). En la actualidad el conocimiento del transporte desedimentos bajo oleaje irregular es fundamentalmente cualitativo, queunido a la dificultad de obtener medidas del transporte en períodos detemporal hacen necesario el desarrollo de técnicas de medida y ensayostanto en el campo como en el laboratorio.

Comparación con la solución estocástica; la solución obtenidadebe ser entendida como una aproximación a la solución estocástica.

9.2 Futuras líneas de investigación 135

El rango de validez de esta aproximación debe ser estudiado para locual es necesario compararla con la solución estocástica.

136 Conclusiones y futuras líneas de trabajo

Apéndice A

Espectros direccionalesempleados

La dispersión en frecuencias de la energía del oleaje irregular se ha definidoempleando los espectros empíricos de Bretschneider-Mitsuyasu y el JON-SWAP modificado, mientras que para tres dispersiones direccionales difer-entes se ha empleado el de Mitsuyasu.La función de dispersión en frecuencias del oleaje dada por la función de

Bretschneider-Mitsuyasu basada en numerosas medidas de campo para oleajede viento completamente desarrollado. Esto implica que aunque la dispersiónen frecuencias del oleaje es tenida en cuenta esta función no permite difer-enciar entre oleaje swell y oleaje sea.Sin embargo, la función JONSWAP modificada recoge en su formulación

un parámetro de dispersión en frecuencias, parámetro γ, el cual permitediferenciar entre oleaje swell y oleaje sea. Para oleaje tipo sea, se consideraque γ = 1 mientras que para oleaje swell, el valor del parámetro γ debeaumentar con la distancia recorrida por el oleaje, siendo un valor de γ = 10apropiado para definir un oleaje que ha viajado varios miles de kilómetros(see Goda 2000. p.30).La función de dispersión direccional, basada en datos de campo viene

dada por;

D (θo/f) = Do cos

µθo − θp2

¶(A.1)

siendo

137

138 Espectros direccionales empleados

Do =

⎡⎣θbmaxZθbmın

cos

µθo − θp2

¶dθo

⎤⎦−1 (A.2)

donde θp representa la dirección de propagación más energética medidacomo el ángulo que forma el frente de oleaje con el eje fijo x y s es unparámetro de dispersión que varíaa con la frecuencia y viene dado por;

s =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩µf

fp

¶5smax, f ≤ fpµ

f

fp

¶−2,5smax, f > fp

(A.3)

Según Mitsuyasu et al. (1975), el valor de smax varía en función del estadode desarrollo del oleaje. Para un oleaje completamente desarrollado tomaaproximadamente el valor de smax = 10. Al aumentar el parámetro smax eldispersión en direcciones se hace más estrecha. Para oleaje swell que hayarecorrido poca distancia en la literatura se sugiere un valor de smax = 25 y unvalor de smax = 75 para largas distancias Goda (2000, p 34) y OCDI (2002,p. 39).

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