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Recopilacion de preguntas de los examenes cepru
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2DO. EXAMEN CEPRU 2011-I
ARITMETICA
1. Dada la igualdad ( 1)532 (3 1) ba c b c ,
el valor de a b c es:
A) 11 B) 9 C) 8 D) 5 E) 2
2. Si 6 ( )11234 nXYYX , hallar X Y .
A) 10 B) 3 C) 12 D) 9 E) 7
3. Si el numeral 4 8bb es divisible por 7, la
suma de todos los valores de “ b ” es:
A) 19 B) 15 C) 11 D) 10 E) 7
4. El numero 3 5y xA tiene 3 divisores
más que el número 32 5xB en
consecuencia el valor de 2 2y x , es:
A) 18 B) 15 C) 17 D) 12 E) 14 5. El máximo común divisor de los números
6
120 cifras
555....555A y6
180 cifras
555....555B , es:
A) 46 1 B)
266 1 C) 756 1
D) 656 1 E)
606 1
6. Si los cocientes sucesivos al calcular el máximo común divisor por el algoritmo de
Euclides de los numerales 4x x x
y 4x yz fueron 1,1,1 y 3; el valor
de x y z :
A) 13 B) 17 C) 19 D) 21 E) 15
ALGEBRA
1. El conjunto solución de la inecuación
4 2 6x x , es:
A) 12
, B) C) 14
,
D) ,0 E) , 1
2. En la ecuación de segundo grado
2 0ax bx c , al indicar verdadero
V y falso F en la proposiciones :
I. Si 2 4 0b ac la ecuación tiene raíces
reales e iguales.
II. Si 0a , 0b y 0c la ecuación es
incompatible.
III. Si 0b , la ecuación tiene raíces
reciprocas. La secuencia correcta, es: A) VFF B) FVV C) VVF D) FFV E) VFV 3. En las proposiciones ,al indicar
verdadero V y falso F ,
I. La traza de toda matriz nula es cero.
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -2-
II. La traza de ij n nA a
tal que
0, ija i j , es triangular inferior.
III. La matriz ij n nA a
tal que:
0, ija i j y , 0iia k k
, es una matriz escalar. La secuencia correcta, es: A) VVF B) FVF C) VFF D) VFV E) VVV 4. Dados
3 2
4 2
8 1
1 3
A
y
2 3
2 1 0
1 2 1B
,
el producto de los elementos de la tercera
columna de la matriz ,AB es:
A) 5 B) 1 C) 6
D) 6 E) 5
5. La traza de la matriz inversa de
1
1
3 0 0
0 2 0
0 0 1
A
es :
A) 5 B) 6 C) 1
5
D) 1
6 E) 4
6. En el sistema
3 4 1
3 2 2 0
3 3
x y z
x y z
x y z
,el
valor de 3
1z es:
A) 1 B) 1
8 C) 0 D)
27
8 E) 8
GEOMETRIA
1. En un cuadrilátero convexo ABCD,
90ºm BAD , 60ºm ABC y
75ºm ADC . La medida del ángulo
obtuso formado por la intersección de las bisectrices exteriores trazadas de los
vértices C y D . es:
A) 100º B) 105º C) 115º
D) 110º E) 120º
2. En la figura que se muestra, //AD BC y
la distancia del punto B a AD es
3 1 .cm La medida del segmento,
cuyos extremos son los puntos medios de
las diagonales del trapecio ,ABCD en cm ,
es: A) 2
B) 3
C) 3
2
D) 2
E) 1
3. Se tiene un triángulo ABC circunscrito a
una circunferencia, tal que ,P Q y R son
puntos de tangencia en los lados AB , BC y
AC respectivamente. Si 7AB cm ,
6BC cm y 5AC cm , entonces la
medida del segmento PB en .cm , es:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 7
30ºA
B C
D
45º
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -3-
4. En la figura. Si ( ) 60ºm ABC y
( ) 40ºm BD ,entonces la ( )m BEC ,es
A) 160 B) 140 C) 150 D) 180 E) 170 5. Si los radios de los circunferencias
coplanares miden 5 cm y 3 cm , y la
distancia de los centros es 12 cm , entonces
las circunferencia son:
A) tangentes exteriores B) secantes C) tangentes interiores D) disjuntos interiores E) disyuntos exteriores
6. En un polígono convexo, el número total de diagonales es 8 veces el número de vértices. El número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos es: A) 85 B) 80 C) 72 D) 74 E) 90
7. Si el perímetro de un hexágono regular
inscrito en una circunferencia es 18 3 cm ,
entonces el perímetro del hexágono regular circunferencia a la misma circunferencia en cm , es:
A) 36 B) 24 C) 30 D) 28 E) 42
8. En un trapecio ABCD , las bases AD y
BC , M es punto medio de la base mayor
AD y E es el punto de intersección de
BD y MC . Si el área de la región
triangular BEC es 216 m y el área de la
región triangular MED es 225 m , el área
de la región cuadrangular AMEB en 2m ,es:
A) 72 B) 45 C) 81 D) 65 E) 55
9. En la figura que se muestra, ABCD es
un cuadrado, el triángulo AED es equilátero y el área de la región triangular
CDE es 92cm . El área de la región
limitada por el cuadrado ABCD en 2cm ,
es: A) 25 B) 49 C) 42 D) 64 E) 36
10. En la figura, ABCD es un rectángulo,
AB es diámetro de la semicircunferencia de
centro E , F es punto de tangencia y
16AB m . Si X y Z representan las
áreas de las regiones sombreadas correspondientes, entonces el valor de
X Z en 2m , es:
A) 8
B) 6
C) 4
D) 12
E) 10
ACADEMIA RAIMONDI Siempre los primeros… dejando huella DEPARTAMENTO DE TUTORIA
www.tutoria-rai.jimdo.com
A
B
D
C
E
A
B C
E
D
A
D C
BE
X
F
Z
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -4-
SOLUCIONARIO
ARITMETICA
1. Del enunciado: ( 1)532 (3 1) ba c b c
Tenemos que la cifra 3 1 10 b 3b
Posibles valores : 0,1,2b
No puede ser ni cero ni la unidad pues no
tenía sentido el numeral ( 1)5b , entonces
2b . Luego se escribe: (15)32 7a c c
Por descomposición polinómica: 2(15) 15(3) 2 101 70a c
225 45 2 101 70a c
225 101 23 ( )a c I
De la expresión anterior: 101 23 5c
0 23 5c c 3 5o
c
Los posibles valores para : 2,7c
Si 7c en ( )I
225 707 23a 730
225a
Si 2c
225 202 23a 1a
Se pide: 1 2 2a b c 5 Rpta.
2.
De la igualdad: 6 ( )11234 ( )nXYYX
Del número ( )11234 n 4 n
Como: 11234XYYX 6n
Entonces: 4 6n 5n
Luego, la expresión ( ) es:
(5)611234XYYX
Por Ruffini, convirtiendo (5)11234 a base 10
1 1 2 3 4
5 5 30 160 815
1 6 32 163 819
Luego, convirtiendo 819 a base 6
(6) (6)3443XYYX
Identificando: 3X e 4Y
Se pide: 3 4X Y 7 Rpta.
3. Para que 4 8 7o
bb , tenemos por el
criterio de restos potenciales: 1 2 3 1
4 8bb
4 2 3 8 7o
b b 5 4 7o
b
Tanteando los valores, los únicos valores que cumplen son
2b pues: 5(2) 4 7o
9b pues: 5(9) 4 7o
Se pide: 9 2 11 Rpta.
4. Como 3 5y xA 32 5xB
Del enunciado:
( ) ( ) 3ndiv A ndiv B
( 1)( 1) ( 1)(3 1) 3y x x
( 1)( 1) 4( 1) 3y x x
( 1)( 3) 3x y
( 1)( 3) 1 3x y
De la identificación: 2x e 4y
Se pide: 2 2 2 24 2y x 12 Rpta.
819 6
21 136 6
39 16 22 6
3 4 4 3
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -5-
5. Como:
6
120 cifras
555....555A 1206 1A
6
180 cifras
555....555B 1806 1B
Donde: (120,180)( , ) 6 1MCDMCD A B
( , )MCD A B 60 6 1 Rpta.
6.
Graficando el Algoritmo de Euclides:
1 1 1 3
11 7 4 3
4 3 0
d d d d d
d d d
El número menor:
4 7x x x d
Luego por el criterio de divisibilidad:
2 3( 4) 7o
x x x 6 12 7o
x
6 5 7o
x 5x
Luego el número es: 595 7d
595
7d 85d
En el número mayor :
4 11x yz d 9 11(85)yz
9 935yz 3y ; 5z
Se pide: 5 3 5x y z 13 Rpta.
ALGEBRA
1. Del enunciado: 4 2 6x x
a) Condición: 6 0x 0 x
b) además: 6 4 2 6x x x
6 4 2x x 4 2 6x x
8 4x 4 4x
1
2x 1x
El conjunto solución:
CS , 1 Rpta.
2.
Como la ecuación es: 2 0ax bx c
I. Si 2 4 0b ac la ecuación tiene raíces
reales e iguales (VERDADERO).
II. Si 0a , 0b y 0c la ecuación es
incompatible. (FALSO) , pues, la ecuación será COMPATIBLE INDETERMINADA.
III. Si 0b , la ecuación tiene raíces
reciprocas. (FALSO) Si las raíces son
recíprocas, se debe cumplir que a c .
VFF Rpta.
3. I. La traza de toda matriz nula es cero.
(FALSO) Pues las matrices nulas rectangulares no tienen diagonal principal, en consecuencia no se puede afirmar que la traza es nula.
II. La traza de ij n nA a
tal que
0, ija i j es triangular inferior.
(FALSO) El enunciado describe la matriz Triangular Superior.
III. La matriz ij n nA a
tal que:
0, ija i j y , 0iia k k ,
es una matriz escalar (VERDADERO).
1/201
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -6-
4.
4 22 1 0
8 11 2 1
1 3
AB
Mostramos la forma como se puede obtener las columnas de la matriz producto. 3ra. Columna de la multiplicación.
4 2 2
0 8 1 1 1
1 3 3
Se pide: 2( 1)(3) 6 Rpta.
5. Para calcula la matriz inversa, si se utiliza la
fórmula: 1 1
( ) A Adj AA
Como la matriz es:
1
1
3 0 0
0 2 0
0 0 1
A
Calculando el determinante:
1 1 3 2 1A
1
6A
Calculando la matriz de cofactores de la diagonal:
1
1
1
2
( ) 3 ( )
6
Cofact A Adj A
Luego: 1
1 1
1
21
31
66
A
1
3
2
1
A
Se pide, la suma: 3 2 1 6 Rpta.
6.
Siendo:
3 4 1
3 2 2 0
3 3
x y z
x y z
x y z
Resolviendo por Cramer:
El determinante: ( )zz I
Donde:
3 4 1
3 2 0
1 1 3
z
3 4 1
3 2 2
1 1 3
Calculando , ( ) , tenemos:
2 2 3 2 3 23 ( 4) ( 1)
1 3 1 3 1 1
3( 4) ( 4)(7) ( 1)( 1)
12 28 1 17
Calculando , ( )z , tenemos:
2 0 3 0 3 23 ( 4) (1)
1 3 1 3 1 1z
3( 6) ( 4)(9) (1)( 1)z
18 36 1z 17 z
De ( )I , hallando: 17
117
z
Se pide: 3 31 (1 1)z 8 Rpta.
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -7-
GEOMETRIA 1.
Por propiedad:
90º 60º180º
2x
180º 75ºx
x 105º Rpta.
2.
De la figura y los datos:
Para hallar la longitud de los puntos medios de las diagonales, se calcula dicho valor con la semidiferencia de las bases.
3( 3 1) 3 1
2
a ax
3 3 3 1
2
a ax
x 1 Rpta.
3. Por propiedad de las tangentes exteriores:
(7 ) (6 ) 5x x 13 2 5x
2 8x x 8 Rpta.
4.
De los ángulos: 60º
Se tiene: ( 20º )2
x
x 160º Rpta.
5.
Como: 1 2 3 5 8 12r r
Entonces, las circunferencias son disyuntos exteriores Rpta. 6.
Sea " "n el número de lados del polígono.
Del enunciado: ( ) 8( )nTotalDiag Vertices
Aplicando las fórmulas:( 3)
8( )2
n nn
19n
Analizando, cuantas diagonales se traza por cada vértice. Del análisis se deduce que por 5 vértices consecutivos se trazan un número de diagonales responde a la fórmula:
2( 3) ( 4) ( 5) ( 6)n n n n
5 21 5(19) 21n 74 Rpta.
( 3) diagonalesn
( 3) diagonalesn
( 4) diagonalesn
( 5) diagonalesn
( 6) diagonalesn
60º
37º
x
30º 45º
a
a 3 1
3 1
3( 3 1)
7 x
7 x
x x
6 x
6 x5
67
220º
40º
x
x/2
Academia Antonio Raimondi Siempre los primeros -8-
7. Si el perímetro es 18 3 , cada lado del
hexágono mide 18 3
3 36
es:
Luego, el perímetro del Hexágono circunscrito a la circunferencia es:
6(6) 36 Rpta.
8.
Propiedad: 2 25 16b 2 20 b m
Se pide, el área del cuadrilátero AMEB :
25 20 20 25b b 65 Rpta.
9.
Hacemos un trazo auxiliar, CF
perpendicular a ED . Del dato: El área de la región triangular
CDE es 92cm
( / 2)
92
L L
2 36L L 6 Rpta.
10.
El área de
2 28 8
4 2X
22 8
84
2Z
2 28 8
2 8Z
Sumando las áreas:
2 2 2 28 8 8 8
4 2 2 8X Z
X Z 8 Rpta.
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3 3
6
30º
216m
225m
bb
225b m
A
B C
EM
E
A
B C
E
D
30º
L
/2L
LL
L
F
A
D C
BE
X
F
Z
8 8
8
88
8