Embed Size (px)
Citation preview
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Civil
MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACION NO-LINEAL
PARA LA OPTIMIZACION DE LOS COSTOS DE
FABRICACION DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Graciela Pérez de Mibelli
Tutor: Ing. Néstor López
Caracas, Febrero de 2005
DERECHO DE AUTOR
Quien suscribe, en condición de autor del trabajo titulado “MODELO
MATEMÁTICO DE PROGRAMACION NO-LINEAL PARA LA
OPTIMIZACION DE LOS COSTOS DE FABRICACION DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO”, declara que: Cedo a título gratuito, y en forma pura y
simple, ilimitada e irrevocable a la Universidad Metropolitana, los derechos de autor
de contenido patrimonial que me corresponden sobre el presente trabajo. Conforme a
lo anterior, esta cesión patrimonial sólo comprenderá el derecho para la Universidad
de comunicar públicamente la obra, divulgarla, publicarla o reproducirla en la
oportunidad que ella así lo estime conveniente, así como, la de salvaguardar mis
intereses y derechos que me correspondan como autor de la obra antes señalada. La
Universidad en todo momento deberá indicar que la autoría o creación del trabajo
corresponde a mi persona, salvo los créditos que se deban hacer al tutor o a cualquier
tercero que haya colaborado o fuere hecho posible la realización de la presente obra.
Autor _________________________
C.I. _________________________
En la ciudad de Caracas, a los ______ días del mes de __________ del año ________
APROBACION
Considero que el Trabajo Final titulado
MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACION NO-LINEAL PARA LA
OPTIMIZACION DE LOS COSTOS DE FABRICACIÓN DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO
Elaborado por la ciudadana
Graciela Pérez de Mibelli
Para optar al título de
Ingeniero civil
Reúne los requisitos exigidos por la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad
Metropolitana, y tiene méritos suficientes como para ser sometido a la presentación y
evaluación exhaustiva por parte del jurado examinador que se designe.
En la ciudad de Caracas, a los _____ días del mes de __________ del año ______
Tutor _________________________
ACTA DE VEREDICTO
Nosotros, los abajo firmantes, constituidos como jurado examinador y reunidos en
Caracas, el día _____ del mes de __________ del año ______, con el propósito de
evaluar el Trabajo Final titulado
MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACION NO-LINEAL PARA LA
OPTIMIZACION DE LOS COSTOS DE FABRICACION DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO
presentado por la ciudadana
Graciela Pérez de Mibelli
para optar al titulo de
Ingeniero civil
emitimos el siguiente veredicto
Reprobado Aprobado Notable Sobresaliente
Observaciones: _______________________________________________________
____________________________________________________________________
_________________ _________________ _________________
Jurado Jurado Jurado
AGRADECIMIENTOS
A Dios, por darme la fortaleza para lograr la meta que había comenzado.
A mis hijos, Elbano, Anna Cecilia y Nico, por ser fuente insistente para que su
mamá lograse terminar toda su carrera. En especial a mi hijo Elbano por haberme
prestado su grandiosa ayuda en el manejo de la computadora.
A mi esposo, Gonzalo, por la infinita paciencia que tuvo en ser mi compañero
y segundo tutor durante la realización de mi trabajo.
También estoy muy agradecida por la ayuda y colaboración que recibí de mi
tutor Ing. Néstor López durante la elaboración de mi trabajo.
Me siento orgullosa y contenta de mi misma, por la valentía que he tenido de
volver nuevamente a mi Alma Mater a culminar mis estudios y así sentirme realizada.
CONTENIDO
Páginas
LISTA DE TABLAS Y FIGURAS 1
RESUMEN 3
INTRODUCCION 5
CAPITULO I
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 6
1.2 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 7
1.2.1 Objetivo general 7
1.2.2 Objetivos Específicos 7
CAPITULO II
2.1 ASPECTOS GENERALES SOBRE EL DISEÑO
DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO
SOMETIDOS A FLEXIÓN 9
2.1.1 Diseño de vigas de concreto armado
mediante la teoría de rotura 10
2.2 OPTIMIZACION 13
2.2.1 Antecedentes 13
2.3 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 14
2.3.1 Ventajas del uso de los Modelos en la
Investigación de Operaciones 15
Páginas
2.3.2 Fases para resolver un modelo en
Investigación de operaciones 16
2.4 CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN 17
2.5 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN 22
2.6 PROGRAMACIÓN NO-LINEAL 23
2.7 MODELO MATEMÁTICO PARA OPTIMIZACIÓN DE
SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO ARMADO
MEDIANTE PROGRAMACIÓN NO – LINEAL 40
CAPITULO III
3.1 CARACTERISTICAS METODOLOGICAS 44
3.1.1 Ejemplo 1: Dimensionamiento de una viga por
teoría de rotura 45
3.1.2 Ejemplo 2: Dimensionamiento de una sección de viga
por el método de optimización 49
3.2 VARIABLES Y OPERACIONALIZACIÓN 54
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA 55
3.4 CÁLCULOS DE DISEÑO 55
3.5 LIMITACIONES DE CÁLCULO 56
CAPITULO IV
RESULTADOS Y ANÁLISIS 132
Páginas
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 135
BIBLIOGRAFIA 138
APÉNDICE A
CUADRO DE COMBINACIONES DE CABILLAS 140
ANEXO A
CALCULO EN EXCEL EJEMPLO 1 Y 2 147
ANEXO B
LISTA DE PRECIOS DE CONCRETOS
PREMEZCLADOS Y CABILLAS 149
ANEXO C
ENTREVISTAS A INGENIEROS CIVILES 152
LISTA DE TABLAS Y FIGURAS
Páginas
Fig. 1 – a. Sección rectangular de una viga.
b. Diagrama de deformaciones c. Diagrama de esfuerzo. 11
Fig. 2 – Localización de máximos, mínimos y punto de silla de una
función de dos variables reales. 25
Fig. 3 – Optimización de una función de dos variables 27
Fig. 4 – Tipos de mínimo de una función. 28
Fig. 5 – a. Función estrictamente cóncava.
b. Función estrictamente convexa. 29
Fig. 6 – Gráfico de búsqueda directa de dos variables. 31
Fig. 7 – Función irrestricta de una sola variable. 32
Fig. 8 – Método de búsqueda alterna para una función
de dos variables. 39
Fig. 9 – Sección rectangular de viga a optimizar. 40
Fig. 10 – Sección de viga resultante por el método de rotura. 48
Fig. 11 – Sección genérica de viga con encofrado. 49
Fig. 12 – Sección de viga resultante por método de optimización. 53
Tablas de Resultados de Microsoft© Excel® 57
Tabla 1 – Cuadro comparativo costos de secciones de viga
calculadas por los métodos de teoría de rotura y
por el método de optimización para el momento flector último
de 30.000 Kg-m. 129
Tabla 2 – Cuadro comparativo costos de secciones de viga
calculadas por los métodos de teoría de rotura y
por el método de optimización para el momento flector último
de 60.000 Kg-m. 130
Tabla 3 – Cuadro comparativo costos de secciones de viga
calculadas por los métodos de teoría de rotura y
por el método de optimización para el momento flector último
de 90.000 Kg-m. 131
RESUMEN
MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACION NO-LINEAL PARA LA
OPTIMIZACION DE LOS COSTOS DE FABRICACION DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO
Autor: Graciela Pérez de Mibelli.
Tutor: Ing. Néstor López.
Caracas, Febrero de 2005.
El siguiente trabajo de investigación está dividido en 5 capítulos, en los cuales
se pretende hacer un estudio sobre la optimización de los costos de las secciones de
viga a través de la aplicación de un modelo matemático de programación no-lineal
para lograr conseguir los menores costos o las mayores ganancias de los
inversionistas en proyectos que involucren la utilización de vigas de concreto armado.
En el Capítulo I, se planteará el problema a estudiar y los distintos objetivos
que se pretenden alcanzar para poder llegar a la solución óptima.
En el Capítulo II, se describirán los aspectos teóricos asociados al diseño de
vigas de concreto armado sometidas a flexión pura según la teoría de rotura. También
se expondrán el concepto de optimización, su historia, la programación no-lineal, los
modelos matemáticos asociados a este tipo de programación, hasta llegar a formular
la función objetivo con la cual se conseguirán los objetivos planteados en este trabajo.
En el Capítulo III, se explicarán los pasos a seguir para la realización de los s
necesarios para ambos métodos, los cuales también estarán contenidos en este
capítulo. También se indicarán las variables y las limitaciones que intervienen en el
diseño y las herramientas que se utilizarán para facilitar los cálculos. Además, se
darán ejemplos ilustrativos donde se utilizarán ambos métodos para el cálculo de las
secciones de viga.
En el Capítulo IV, llamado RESULTADOS Y ANÁLISIS, se realizarán las
comparaciones de los costos entre los diseños de las secciones como se hacen en la
práctica y los resueltos mediante optimización.
Por último, en el Capítulo V, se expondrán las conclusiones obtenidas de los
análisis de los resultados y se darán recomendaciones para investigaciones sucesivas
y profesionales que desconozcan estos métodos.
INTRODUCCION
Una de las principales preocupaciones del hombre es y ha sido tratar de
obtener los mejores resultados de cualquier problema que se le plantee.
El propósito de este Trabajo Final consiste en optimizar los costos de las
secciones de vigas de concreto armado sometidas a flexión pura, por medio de la
utilización de un mecanismo de optimización aplicado a ecuaciones con
características no-lineales, mediante la aplicación de un modelo matemático de
programación no-lineal.
La utilización de un mecanismo de optimización aplicado a ecuaciones con
características no-lineales, nos conduce a introducirnos en el complejo proceso de en
este tipo de investigación. Se quiere optimizar para tratar de encontrar la mejor
sección de viga dentro de las alternativas existentes; es decir; tratar de sacar la mejor
combinación posible de los costos de los materiales que se involucran en el diseño.
Este diseño óptimo de una viga de concreto armado se puede lograr a través de un
solo objetivo, el cual es el de minimizar costos por medio del ahorro de los
materiales.
En este trabajo, se tratará de optimizar a través del cálculo infinitesimal de
programación no-lineal, el valor de las variables relacionadas en el diseño de una
sección de viga de concreto armado, es decir su base (b), su altura (h) y su área de
acero a tracción (As), de manera de obtener el menor costo en dicho elemento
estructural.
CAPITULO I
MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN NO-LINEAL PARA LA
OPTIMIZACIÓN DE LOS COSTOS DE FABRICACIÓN DE VIGAS DE
CONCRETO ARMADO.
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El problema que se plantea en esta tesis es encontrar para cualquier sección de
viga de concreto armado, cuál es el menor costo para lograr las mejores ganancias,
obteniendo así el beneficio del inversionista y a la vez satisfaciendo las normas y
especificaciones de la ingeniería de cálculo de dichos elementos estructurales.
¿Cómo se logra el menor costo? Tenemos que hay diversas secciones de vigas
que involucran cantidades y tipos diferentes de concreto y de acero que satisfacen
simultáneamente las cargas actuantes sobre ellas, lo cual implica que se diseñen
diferentes secciones de vigas, que cumplan con los requerimientos de las normas de
proyecto, de arquitectura, etc. y de las cuales habría que calcular la menos costosa. Al
aplicar un modelo matemático de programación no-lineal, se obtendrá de una vez la
sección óptima, es decir, la más económica.
Abarca el estudio de secciones rectangulares de vigas sometidas a flexión
pura, para las cuales se analizará sólo el acero a tracción; tampoco se considera el
estudio del acero transversal proveniente de los esfuerzos cortantes en las vigas
sometidas a flexión pura. Lo que se quiere hacer es optimizar secciones de vigas cuyo
costo de fabricación; que puede suponerse compuesto por el del acero, el del concreto
y el del encofrado necesario, aunque este último puede englobarse en el costo unitario
del concreto; sea el menor posible.
La función objetivo, las variables de diseño y restricciones para la
optimización de las secciones de las vigas estarán gobernadas por los reglamentos y
consideraciones teóricas de vigas de sección rectangular y las normas Covenin-
Mindur (1753-87).
1.2 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
1.2.1 Objetivo general
Desarrollar un modelo matemático de programación no-lineal mediante el
cual se logre o alcance la optimización del costo de viga de concreto armado usando
como premisas los precios de los diferentes materiales que pudieran intervenir en su
diseño, y con el cual podamos obtener la geometría óptima de la sección.
1.2.2 Objetivos Específicos
• Investigar sobre la teoría de modelos matemáticos.
• Seleccionar el modelo matemático de programación no-lineal para el
caso a estudiar.
• Definir las variables que intervienen en el modelo.
• Estudiar los costos de los diferentes materiales que intervienen en la
construcción de vigas de concreto armado.
• Formular el modelo matemático de optimización a utilizar.
• Obtener la sección necesaria de viga con las variables antes
mencionadas.
• Aplicar el modelo matemático de optimización a diferentes casos
reales.
• Obtener la optimización de la viga de concreto armado para los casos
reales del punto anterior.
• Comparar los resultados del cálculo mediante el método de la teoría de
rotura y lo obtenido por la optimización y tomar el menor costo
obtenido.
• Entrevistar a diferentes ingenieros civiles para conocer la forma en que
realizan los s y diseños para estructuras de concreto armado.
CAPITULO II
2.1 ASPECTOS GENERALES SOBRE EL DISEÑO DE ELEMENTOS DE
CONCRETO ARMADO SOMETIDOS A FLEXIÓN
El diseño de concreto armado esta basado en una necesidad del ingeniero para
optimizar. Es por esto que hoy en día se buscan estructuras más económicas que se
adapten a nuestra realidad constructiva, a nuestro presupuesto y que presten un buen
servicio. Para poder lograr esta optimización, es de vital importancia conocer el
comportamiento del mismo lo más cercano a la realidad, con el objeto de obtener el
mayor rendimiento de los materiales que lo conforman (concreto y acero).
El diseño consiste en la determinación de las dimensiones y características de
los elementos de una estructura, en nuestro caso vigas sometidas a flexión, para que
éstas cumplan con su objetivo con un grado de seguridad razonable, comportándose
además adecuadamente en condiciones de servicio. El aspecto fundamental en
cualquier diseño es el dimensionamiento de los elementos estructurales, lo cual
consiste en la determinación de la geometría del elemento (formas y tamaños) y de la
cantidad y colocación del acero de refuerzo.
Las vigas son parte de los elementos estructurales que conforman una
edificación y su función es generalmente la transmisión de las fuerzas provenientes
de las placas o losas a las columnas, para que finalmente las fuerzas lleguen a las
fundaciones de la estructura.
Estas vigas pueden ser de concreto, de acero, de madera, etc. En nuestro caso
estudiaremos las vigas de concreto armado que no es otra cosa que la combinación de
concreto y acero en barras, realizadas en el sitio de la obra ya que pueden existir otros
tipos de vigas de concreto armado como las pre-tensadas o post-tensadas las cuales
no las estudiaremos en este trabajo de tesis.
Es importante conocer la teoría de diseño y las normas o reglamentaciones
vigentes que en el país van relacionadas en ello, en nuestro caso las normas
COVENIN 1753 del año 1.987.
2.1.1 Diseño de vigas de concreto armado mediante la teoría de rotura
Aunque existen dos teorías sobre el diseño de elementos de concreto armado,
la teoría clásica o teoría elástica y la teoría de rotura, plástica o de resistencia última,
usaremos esta última ya que a través de ella se obtienen mejores resultados (secciones
y/o áreas de concreto y acero) en los de diseños de los elementos.1 Se basa en el
mejor conocimiento de las propiedades físicas y mecánicas de los materiales
(concreto-acero) aprovechando su resistencia al máximo posible y en el
desconocimiento de las cargas que actuarán sobre dichos elementos para lo cual se
aplicaran factores de mayoración para obtener el factor de seguridad que siempre
debe existir en un diseño, combinado con factores de reducción y factores de
minoración de resistencia.
A continuación se expone un resumen de las fórmulas a utilizar y
reglamentaciones para las vigas sometidas a flexión. Normalmente en el análisis de 1 Eduardo Arnal - Concreto Armado - Editorial Arte - (1984).
vigas a flexión se obtienen los valores del momento último (Mu) y fuerza cortante
último que se generan por la combinación de las carga actuantes muertas, vivas,
sísmicas, viento u otras ya mayoradas por sus factores correspondientes: 1,4 - 1,7 -
1.9, etc. respectivamente. En forma general en la Figura 1 se representa una sección b
x h sometida a flexión cuyos diagramas de deformación y esfuerzo se representan
como sigue:
a b c
Fig. 1 – a. Sección rectangular de una viga b. Diagrama de deformaciones
c. Diagrama de esfuerzo.2
La siguiente fórmula resulta del estudio de la sección rectangular de la Figura
1, en donde actúa un momento mayorado Mu el cual deberá ser equilibrado por el
momento resistente de la sección, generado por los esfuerzos internos de los
materiales que la componen (acero y concreto) Figura 1. c.
Donde se debe cumplir: Mu ≤ Mr
Mu ≤ Φ·ρ1·Fy · (1 - 0,59·ρ1·Fy / F’c) · b·d2
2 Héctor Dubuc – Apuntes tomados de sus clases de Concreto Armado I y II – UNIMET. (2004)
Donde:
Mr = momento resistente de la sección (Kg.-cm.).
Mu = momento último mayorado Kg.-cm. (momento que debe resistir la viga)
Φ = 0,90 (factor de minoración de resistencia por flexión)
ρ1 = porcentaje máximo de acero para la sección (0,75 ρb)
ρb = porcentaje balanceado de acero para la sección: con el cual se logra que
las deformaciones en el acero a tracción sea igual a las de fluencia del acero.
ρb = 0,85·K3·F’c·Kb / Fy
K3 = 0,85 (para F’c ≤ 280 Kg./cm2) ó K3 = 1,05 - (F’c / 1.400)
Kb = 6.300 / (6.300 + Fy)
Fy = esfuerzo de fluencia del acero Kg. /cm2
F’c = esfuerzo máximo a compresión del concreto Kg. /cm2
b = ancho de la sección (cm.)
d = altura útil de la sección - cm. (altura de la viga - recubrimiento de acero a
tracción)
εs = deformación unitaria del acero
εcu = deformación unitaria última del concreto
εy = deformación unitaria del acero en el punto de fluencia
Los porcentajes de acero, ρ1, ρb, se refieren a la relación de las áreas de acero
a tracción (As) divididas entre el producto de b y d.
Teniendo el momento último, las resistencias del concreto y del acero,
suponiendo diversos valores de “b” y “d” y tomando en cuenta las normas que
regulan las áreas de acero mínimo (ρmin. = 14 / Fy), anchos mínimos de vigas,
diámetro mínimo de las barras de acero (1/2”) y otras restricciones que puedan existir
sobre el elemento, se determina el área de acero a tracción mediante la siguiente
fórmula:
As = [F’c·b·d ± F’c·b · (d2 - 2,62·Mu / F’c·b)½] / 1,18·Fy
2.2 OPTIMIZACION
2.2.1 Antecedentes
Desde el inicio de la humanidad el hombre ha tratado de minimizar sus
problemas de la manera más conveniente. Con el pasar de los años, el hombre cada
vez más tiende a simplificar y llevar de una manera más práctica y cómoda la forma
de resolver los problemas que se le plantean. A partir de la Segunda Guerra Mundial,
con la intervención de los países de EEUU y Gran Bretaña, se empezaron a crear
métodos científicos de toma de decisiones que mejoraron la resolución a problemas
complejos con la aplicación de técnicas e instrumentos cuyo objetivo es la solución
óptima.
Durante la guerra, Gran Bretaña reunió un grupo de especialistas en diversas
áreas de la tecnología para trabajar en un programa de defensa militar en su país. Este
programa se llamó investigación en operaciones militares y originalmente consistía
en estudios para determinar, entre otras cosas, la mejor utilización del poderío aéreo
en combinación con el recientemente inventado radar. A causa del éxito alcanzado
por las investigaciones en operaciones militares, estas técnicas tuvieron rápida
difusión en los campos de la industria, comercio y gobierno. Alrededor del año 1951,
la investigación de operaciones tomó en los EEUU el carácter de ciencia.3
La optimización, como herramienta en la toma de decisiones, se le conoce con
el nombre genérico de “investigación de operaciones”. Una de las características de la
investigación de operaciones, es que se basa en un enfoque común para resolver
problemas mediante la experimentación. Sin embargo la experimentación no es con el
mismo problema, sino con un modelo del mismo. Este concepto es sumamente
importante, pues el modelo no tiene por que ser un modelo físico, tal como sería una
maqueta de un edificio, o de un porta aviones a escala reducida, para experimentar su
comportamiento en relación con la fuerza sísmica o el oleaje respectivamente.4
2.3 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La “Investigación de operaciones” se puede definir como la aplicación de
métodos científicos en la mejora de la efectividad en las operaciones, decisiones y
estrategias que aportan gran ayuda en la resolución de problemas. La principal
característica consiste en construir un modelo científico del sistema del cual se
pueden predecir y comparar los resultados de diversas estrategias, decisiones,
incorporando medidas del azar y del riesgo. El objetivo es ayudar a los profesionales
a determinar estrategias, políticas y actuaciones en forma científica, proporcionando
3 Churchman – Ackoff – Arnof: “Introduction to operations Research”. J. Wiley – NY – 1967. 4 Frank Kelemen. Pert – Graf. Programación gráfica. Pert –cpm.
modelos, métodos y/o técnicas para la toma de decisiones. Se busca la solución
óptima para problemas simples o complejos.5
El problema mayor en “Investigación de Operaciones” es que la solución del
modelo depende en gran medida de la creatividad y la habilidad personal del analista
encargado de tomar la decisión.
Actualmente, la investigación de operaciones sigue teniendo un gran
desarrollo en muchos sectores y se extiende a campos muy amplios, con grandes
avances sobre todo donde con el apoyo de la computación digital y de los
microprocesadores se han podido implementar estas técnicas.
2.3.1 Ventajas del uso de los Modelos en la Investigación de Operaciones
En general, ayudan a tomar 2 tipos de decisiones:
• Decisiones estratégicas.- Es una decisión de una sola vez, que
involucra políticas con consecuencias a largo plazo para la organización. Se
consideran decisiones importantes, considera la incertidumbre y escoge entre varias
alternativas.6
• Decisiones Operacionales.- Es una decisión que implica cuestiones de
planeación a corto plazo que generalmente deben hacerse repetidamente. Se
consideran decisiones de menor importancia y frecuentes por ser dadas para el corto
plazo. Ignoran la incertidumbre y no evita barajar alternativas nuevas.
5 Hiller, F.S., Lieberman, G.J. – Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw Hill. (1997) 6 Taha, H.A. – Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. (1994)
2.3.2 Fases para resolver un modelo en Investigación de operaciones
Las fases para resolver un caso de optimización son:
• Formulación del problema
Consiste en la recolección y análisis de la información que van a definir que
las soluciones proporcionadas, las decisiones adoptadas y conclusiones obtenidas
sean las correctas. La “Formulación del problema” se alcanza a través de lo que se
conoce como función objetivo, que no es otra cosa que la expresión algebraica, en
términos matemáticos, de lo que vamos a resolver. Como su nombre lo indica expresa
el objetivo de la optimización.7
La función objetivo es una función cuyo valor máximo o mínimo se obtiene
mediante un proceso de optimización, y constituye la base de la elección de una de
varias alternativas aceptables de diseño. Es una función escalar de las variables de
diseño, y representa la característica más importante del diseño.
La función objetivo está formada por las variables de diseño, que son todos
aquellos aspectos cuantificables del problema, como pueden ser, por ejemplo, las
dimensiones de los elementos estructurales o algunas propiedades físicas ó
mecánicas del material.
También está sujeta a una serie de restricciones que provienen de la
geometría, comportamiento o cualquier otro factor limitante.
• Construcción del modelo matemático del problema bajo estudio
El segundo paso representa la traducción a términos matemáticos del
problema que se quiere optimizar, definiendo las variables, ecuaciones, función 7 Schrager, L. - Optimization Modeling with LINDO. Duxbury Press. (1997)
objetivo y parámetros. Puede ser una fórmula matemática u otra representación
abstracta que se comporte de una manera similar al problema en estudio. Es obvio
que es mucho más fácil y económico manipular un modelo que trabajar con el
problema real.
• Resolución del modelo
Consiste en determinar los valores de las variables de decisión de modo que la
solución sea óptima y las cuales están sujetas a restricciones. Puede haber distintos
algoritmos y formas de aplicación. La resolución de modelos matemáticos conlleva
la construcción del conjunto bien definido de operaciones que una vez terminadas,
marcan el final e implementación del modelo.8
• Prueba e implementación del modelo
Esta etapa conlleva la eliminación de los errores en la codificación, es decir,
conseguir que el modelo haga lo que se desea. Es necesario comprobar la validez de
las simplificaciones realizadas a través de los resultados obtenidos.
2.4 CONCEPTO DE OPTIMIZACIÓN
La optimización es una parte relevante dentro de la investigación operativa.
Tuvo un progreso algorítmico inicial muy rápido. Muchas técnicas de programación-
lineal, programación no-lineal y programación dinámica, son anteriores a 1960. Por
ejemplo, el método Simples de programación lineal debido a Dantzig es de 1947, el
8 Williams, H.P. – Model Building in mathematical programming. 4th Edition. John Wiley and Sons. (1999).
principio de optimización de Bellman base de la programación dinámica se formuló
en 1957.
En la última década se han producidos avances significativos generados por el
desarrollo en 1984 por parte de Karmarkar de un método de punto interior para
programación lineal. Estos avances han sido tan importantes como los realizados en
el campo de la informática, según la opinión de George L. Nemhauser uno de los
expertos actuales en programación entera. Hoy es posible resolver un problema en
programación lineal de 150000 ecuaciones con 150000 variables y 1000000 de
elementos no nulos en la matriz de restricciones en un PC con suficiente memoria
principal.9
La optimización consiste en la selección de una mejor alternativa, en algún
sentido, de todas las demás alternativas posibles. Es un concepto inherente a toda la
investigación de operaciones, sin embargo, determinadas técnicas propias de la
investigación operativa se recogen de programación matemática. Además de las
técnicas de optimización, la investigación de operaciones incluye también otros
modelos como: modelo de decisión, de grafos, juegos, de colas, etc.
La optimización de cualquier problema se alcanza a través de lo que se conoce
como función objetivo, que es la expresión, en términos matemáticos del problema.
9 Pedro Linares – Andrés Ramos – Pedro Sánchez – Ángel Sarabia – Begoña Vitoriano. Modelos Matemáticos de Optimización. Octubre 2001. ICADE – Madrid.
La función objetivo está formada por las variables de diseño o de decisión, y a
su vez está sujeta a una serie de restricciones que provienen de la geometría,
comportamiento o cualquier otro factor limitante.10
Los pasos para resolver un problema de optimización son los siguientes:
• Función Objetivo
Es una expresión algebraica que expresa el objetivo de la optimización la cual
tiene un valor máximo o mínimo, y constituye la base de la elección de una de varias
alternativas aceptables de diseño. Como ejemplo de función objetivo se pueden
mencionar: la minimización de material utilizado en el diseño de vigas, que es
nuestro caso, la maximización de de los beneficios netos de venta de ciertos
productos, la minimización de los costos de las variables de operación de un sistema
eléctrico, etc.
La función objetivo es una función escalar de las variables de diseño, y en el
siguiente trabajo se designará como Z(x), y se puede expresar así:
Z(x) = Min. / Máx. F(x)
Donde “x” es un vector de n-variables con la característica que no es lineal.
• Variables de diseño
Las variables en un problema de diseño óptimo, puede consistir en el
dimensionamiento de los parámetros que describen su configuración y propiedades
físicas o mecánicas del material que lo constituye, así como de otros aspectos
10 Luemberger, David G. – Programación lineal y no- lineal. Wesley Iberoamericana. - México. (1989).
cuantificables de diseño. Representan las decisiones que se pueden tomar para
afectar el valor de la función objetivo.
Desde un punto de vista funcional se pueden clasificar en variables
independientes o principales o de control y variables dependientes o auxiliares o de
estado, aunque matemáticamente todas son iguales. En el caso de un sistema eléctrico
serán los valores de producción de los grupos de generación o los flujos por las
líneas.11 En el caso de la fabricación o diseño de un producto, sus dimensiones
físicas. De acuerdo a esta jerarquía, la variable de diseño más simple es la dimensión
de un miembro, pudiendo representar el área de una sección, o el momento de inercia
de un miembro a flexión.
• Restricciones
Son los topes del problema. Representan el conjunto de relaciones (expresadas
mediante ecuaciones e inecuaciones) que ciertas variables están obligadas a
satisfacer. Son limitaciones que deben satisfacerse para que el diseño sea aceptable.
Las restricciones pueden tomar la forma de una limitación impuesta indirectamente
sobre una variable o grupo de variables (restricción explícita) o puede representar una
limitación sobre cantidades cuya dependencia en las variables de diseño no pueden
ser establecidas directamente (restricción implícita).
Una restricción de igualdad, la cual puede ser tanto explícita como implícita,
se designará como sigue:
g(xi) = 0; i = 1, 2, 3,……, I
Donde I es el número de restricciones de igualdad. 11 Zangwill, Willard I. – Nonlinear Programming. Prentice Hall. Inc.EEUU. (1969).
En teoría, cada restricción de igualdad es una oportunidad para remover una
variable de diseño del proceso de optimización y de este modo, reducir el número de
las mismas. Sin embargo, el proceso eliminatorio puede ser delicado y
algebraicamente complicado, y por ello no siempre se hace.
Una restricción de desigualdad es de la forma siguiente:
g(xi) ≤ 0; i = 1, 2, 3,……, I
Donde D es el total de restricciones de desigualdad que prevalecen.
La idea de una restricción de desigualdad es muy importante en el diseño
óptimo estructural.
Existe otra división importante la cual comprende las restricciones de borde y
las restricciones de comportamiento.
Una restricción de borde es una limitación específica (máxima o mínima) de
una variable de diseño o una relación que fija el valor relativo de un grupo de
variables de diseño. Las restricciones de borde son entonces restricciones explícitas.
Las restricciones de comportamiento en el diseño estructural son usualmente
limitaciones en los esfuerzos y deformaciones, pero también pueden ser factores
como por ejemplo frecuencias vibratorias. En la práctica pueden encontrarse
restricciones de comportamiento tanto explícitas como implícitas. Unas restricciones
típicas de comportamiento son las especificaciones de diseño.
Cada condición de limitación, representa el lugar geométrico de todos los
puntos de diseño, formando una superficie de restricción.
2.5 MODELOS DE OPTIMIZACIÓN
Los modelos matemáticos son abstracciones de un sistema y nos proporcionan
un enfoque científico eficiente para atacar, resolver, y diseñar en forma óptima la
solución de problemas.12 Un modelo es una representación de la realidad, se le
construye de modo tal que explique el comportamiento de algunos aspectos de la
realidad.
Son muy extensos los campos de modelos matemáticos que abarca la
investigación de operaciones, entre los cuales se encuentran:
a) Modelos de programación lineal.
b) Modelos de programación no-lineal.
c) Modelos de programación dinámicos.
a) Modelos de programación lineal: constituyen una representación
simbólica matemática de un problema totalmente lineal. Se pueden mencionar varios
términos de programación lineal, entre ellos se encuentran: la programación lineal
Standard, programación lineal entera, programación de transporte, y programación de
asignación. Todos consisten en tipos de optimizaciones (maximización o
minimización), que según el caso planteado conducen a soluciones óptimas.13
b) Modelos de programación no-lineal: es aquel que se aplica para la
resolución de un problema donde la función objetivo, y/o una o varias de las
restricciones, son funciones no-lineales de las variables de diseño.
12 Gass, S.L. and Harris, C.M. (eds.) Encyclopedia of Operations Research and Management. Centennial Edition. Kluwer Academy Publishers. (2001). 13 Frazer – Applied Linear Programming – Editorial Prentice Hall.
c) Modelos de programación dinámicos: es aplicable a la optimización de
sistemas determinísticos y estocásticos, continuos y discontinuos, lineales y no
lineales, que posean una estructura serial, es decir que constan de componentes
conectados “cabezas con cola” sin reciclajes o bucles. El ejemplo más común de este
tipo de estructura lo constituyen aquellas cuyos componentes dependen del tiempo.14
En este trabajo se considerará solo la aplicación del método de optimización
mediante el uso de modelos de programación no-lineal.
2.6 PROGRAMACIÓN NO-LINEAL
Constituyen una representación simbólica matemática que se aplica en la
resolución de un problema donde la función objetivo, y/o una o varias de sus
restricciones son funciones no lineales de las variables de diseño. En la práctica, en
muchas situaciones, las relaciones puramente lineales pueden no existir y como
consecuencia inmediata de estos factores, la función tiene comportamiento no-lineal,
o bien una o más de las restricciones de borde tampoco son lineales.
En la programación no-lineal la función a optimizar es una función
matemática no-lineal, es decir, es una función que tiene en sus expresiones
matemáticas términos (cuadráticos, polinomiales, exponenciales, etc.) que hacen que
la función tenga un comportamiento no-lineal.
Desde que apareció el primer artículo sobre programación no-lineal escrito
por Kuhn y Turcker en 1951, se han desarrollado numerosos métodos de solución. A
pesar de los avances importantes que se han realizado actualmente, aún está por 14 López, Néstor A. – Optimización para ingenieros – Escuela de Ingeniería Civil – UNIMET. (1989)
desarrollarse un método eficiente de solución para el problema general de
programación no-lineal.15
En el presente Trabajo final, estudiaremos los conceptos del cálculo
infinitesimal, el cual aplicaremos en los cálculos para optimizar las secciones de las
vigas que queremos optimizar.
2.6.1 Método de optimización mediante el cálculo Infinitesimal
La optimización mediante el cálculo infinitesimal requiere establecer y
recordar las siguientes definiciones:
2.6.1.1 Máximos, Mínimos y Puntos de Silla
Los máximos, mínimos y puntos de silla son fundamentales para la
comprensión de la optimización no-lineal.
Se debe tener cuidado en no confundir los puntos de silla óptimos locales con
el óptimo global.
Sea f(x1, x2) una función de dos variables reales, la cual se puede representar
en el plano mediante curvas de nivel. Una curva de nivel, tal como las indicadas en la
Figura 2, es aquella cuyo valor de f(x) es constante.
Cuando están involucradas dos variables, la graficación de una curva de nivel
nos dará una superficie formada por líneas iso-costos.
15 Néstor A. López. Optimización para Ingenieros. Escuela de Ingeniería Civil - UNIMET. Octubre 1989.
Fig. 2 – Localización de máximos, mínimos y punto de silla de una función de dos variables reales.16
Se puede notar que los puntos A y E, son mínimos locales, ya que pequeñas
perturbaciones en estos puntos, en cualquier dirección (±Δ en una o ambas variables)
resultan en un aumento de la función f(x).
En vista de que, pequeñas perturbaciones en los puntos B y D, conducen a una
disminución de f(x), estos puntos son máximos locales. El punto C es un punto de
silla, ya que perturbaciones en algunas direcciones producen un incremento en f(x),
mientras que en otras direcciones producen una disminución.
El máximo global ocurre en el punto B, y el mínimo global en el punto D,
según lo observado en los valores de las curvas de nivel. En los cinco puntos se
cumple, que la derivada parcial con respecto a las dos variables es nula. Es decir:
∂f / ∂x1 = 0 y ∂f / ∂x2 = 0
16 Néstor A. López. Optimización para Ingenieros. Escuela de Ingeniería Civil - UNIMET. Octubre 1989.
En términos algebraicos, diseñar para minimizar el costo de fabricación de
una sección de viga de concreto armado, se representa como minimizar Z(x), que es
una función objetivo de n variables de diseño x = x1,….., xn, sujetas a las
restricciones:
g (xi) = 0 i = 1, 2,……, I
g (xi) ≤ 0 i = 1, 2,……, D
Representando I las restricciones de igualdad y D las restricciones de
desigualdad.
Si la función objetivo no representa el costo del área de la sección que se
desea optimizar, pero representa una función a ser maximizada como las ganancias
por medio del ahorro del material, el planteamiento del problema es el mismo pero
cambiando el signo de función objetivo Z(x).
En la figura siguiente se muestra la representación geométrica del problema
de optimización en función de dos variables de diseño.
Estas dos variables (x1 y x2), representadas en los ejes de coordenadas, nos
indican que existen restricciones de borde y que el espacio factible no esta constituido
por una serie de puntos (las raíces de una ecuación), sino que es un espacio.
Estas restricciones pueden ser activas o no, es decir, pueden afectar o no la
solución.
Fig. 3 – Optimización de una función de dos variables.17
En la Fig. 3, cada curva representa una superficie de restricción individual y
su conjunto forma una superficie de restricciones compuesta, superficie que pudiera
representar por ejemplo, límites específicos de esfuerzos y deformaciones para cada
alternativa de condición de carga, que serían las restricciones de comportamiento
anteriormente definidas. También se puede observar que están representadas las ya
mencionadas restricciones de borde en forma de líneas paralelas a los ejes de
coordenadas que refieren el valor máximo o mínimo de las variables de diseño.
Un punto de diseño localizado por encima de la superficie compuesta de
restricciones, es decir en el espacio libre, es conocido como punto exterior o punto de
diseño factible. Recíprocamente, un punto de diseño que representa la violación de
una restricción, se denomina como punto inferior o diseño infactible.
17 Duarte R., Álvaro – Rodríguez B., Roberto. Diseño Óptimo de Vigas Electrosoldadas. Tesis UNIMET. Caracas. 1996
En términos geométricos, la figura muestra que el problema de diseño óptimo
consiste en hallar un punto oscilatorio de costo y una superficie de restricciones. Por
tanto, el diseñador debe inicialmente efectuar una estimación del valor inicial de las
variables de diseño.
El objetivo de la escogencia de un algoritmo matemático debe ser entonces,
aquel que permite pasar de esa suposición inicial al punto de diseño óptimo con el
menor esfuerzo computacional posible.
En la Figura 4, se muestra uno de los mayores peligros que se pueden
encontrar al aplicar los métodos de programación matemática, éste es distinguir entre
un mínimo local y el mínimo global.
Fig. 4 – Tipos de mínimo de una función.18
Puede suceder que un procedimiento analítico entre los puntos A y B nos
indique que al llegar al punto B no se puede realizar otros movimientos sin que una
18 Duarte R., Álvaro – Rodríguez B., Roberto. Diseño Óptimo de Vigas Electrosoldadas. Tesis UNIMET. Caracas. 1996
restricción sea violada. Así se puede alcanzar un mínimo local. Pero puede observarse
que existe un mínimo global en el punto C.
Un mínimo local coincide con un mínimo global cuando la superficie de
restricciones es estrictamente convexa.
Resolver un problema de optimización consiste en encontrar el valor que
deben tomar las variables para hacer óptima la función objetivo satisfaciendo el
conjunto de restricciones.19
2.6.1.2 Funciones Cóncavas y Convexas
Se dice que una función es estrictamente cóncava, si toda línea que conecta
cualquier par de puntos de la función, se sitúa por completo por debajo de la función.
Si ocurre lo contrario, decimos que la función es estrictamente convexa.
a b
Fig. 5 – a. Función estrictamente cóncava b. Función estrictamente convexa.20
19 Winston, W.L. Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos. Grupo Editorial Iberoamericana. (1994). 20 Néstor A. López. Optimización para Ingenieros. Escuela de Ingeniería Civil - UNIMET. Octubre 1989.
Cuando se trata de una función de una sola variable, decimos que la función
es estrictamente cóncava si su pendiente es continuamente decreciente o que ∂2f / ∂x2
< 0. Una función es estrictamente convexa, si su pendiente es continuamente
creciente o que ∂2f / ∂x2 > 0.
Estas definiciones se aplican también a funciones de variables múltiples,
aunque existen otros criterios (matriz hessiana), por medio de los cuales se pueden
determinar la concavidad o convexidad de la función.
2.6.1.3. Método de optimización mediante la Búsqueda Directa
Este método exige asumir un punto de partida, es decir, algunos valores
iniciales de prueba para las variables de diseño que tienen que ser optimizadas. A
partir de ello, se intentan mejorar la solución seleccionando una dirección de
búsqueda, a través o hacia el espacio factible, representado por conjuntos sucesivos
de valores para el vector de variables de diseño representado por x = (x1, x2,..., xn)T.
Este método se basa en la evaluación de la función objetivo en la cual se hace
necesario asumir un punto inicial de partida, y a partir de dicho punto, se trata de
mejorar la solución, seleccionando una dirección de búsqueda, a través del intervalo o
hacia la región factible que es la formada por una serie de soluciones factibles.
La efectividad del método puede medirse bien sea mediante el número de
evaluaciones necesarias para llegar a un cierto intervalo, o por el tamaño del intervalo
que se encuentra siguiendo un número prescrito de evaluaciones.
En la Figura 6, se ilustran estas definiciones geométricamente para un caso
sencillo de dos variables. Este medio geométrico se complica cuando hay más de dos
variables o la función objetivo y las restricciones son complejas.
Fig. 6 – Gráfico de búsqueda directa de dos variables.21
El método de búsqueda directa, encuentra la dirección en base a la evaluación
de la función objetivo del punto en estudio, junto con la experiencia ganada de los
puntos de prueba anteriores. Ninguna derivada está involucrada.
Cuando la función objetivo tiene varios picos o valles dentro de la región
factible, la búsqueda debe repetirse desde varios puntos iniciales distintos, para
asegurar la localización del óptimo global. Esta búsqueda no implica calcular
derivadas.
Como el estudio de esta estrategia es algo complejo, se tratará de simplificar
su comprensión, estudiando primero los siguientes casos de funciones:
• Función objetivo de una variable sin restricciones.
• Función objetivo de varias variables sin restricciones.
21 Duarte R., Álvaro – Rodríguez B., Roberto. Diseño Óptimo de Vigas Electrosoldadas. Tesis UNIMET. Caracas. 1996
• Función objetivo de una sola variable con restricciones.
• Función objetivo de varias variables con restricciones.
2.6.1.4. Función Objetivo de una Variable sin Restricciones
La optimización de una función de una sola variable puede lograrse con
relativa facilidad, por medio de la tabulación o de la graficación. Cuando el problema
lo permite, no hay un sustituto de la graficación, no sólo por la posibilidad de obtener
el mínimo por simple inspección ocular, sino porque puede obtenerse una buena idea
de la sensibilidad del costo, ante cualquier cambio en los parámetros de diseño. En la
Fig. 7, se representa una función irrestricta de una sola variable.
Fig. 7 – Función irrestricta de una sola variable.22
Como ya se mencionó, en este método de búsqueda directa, se hace necesario
asumir un punto inicial de partida. En este caso, como se puede ver en la Figura 2.4,
se consideran dos puntos iniciales de partida, Ω y ß y se pondrá que la solución xmín,
22 Armitano, Orlando. Programación No-Lineal. Limusa. México, 1985.
se encuentra dentro de ese intervalo. Ahora, se escogen otros dos puntos, x1 y x2, de
manera que Ω < x1 < x2 < ß y se evalúa la función objetivo de cada uno. Al comparar
estas evaluaciones si se encuentra que Z(x1) < Z(x2), implica que xmín debe
encontrarse entre Ω y x2 y se hace x2 = ß. En cambio, si Z(x1) > Z(x2) entonces xmín
debe encontrarse entre x1 y ß y se hace x1 = Ω, según el caso, se van descartando
segmentos. Este proceso se repite hasta que el intervalo |ß – Ω| sea aceptablemente
pequeño.
La efectividad del método puede medirse bien sea mediante el número de
evaluaciones necesarias para llegar a un cierto intervalo, o por el tamaño del intervalo
que se encuentre siguiendo el número prescrito de evaluaciones. Estas medidas
dependen de la estrategia que se adopte.
2.6.1.5. Función Objetivo de varias Variables sin Restricciones
Se trata de encontrar el conjunto de valores de las variables que determinen el
máximo/mínimo de la función objetivo. Algunas de las técnicas de búsqueda directa
como la tabulación, nos permite evaluar la función objetivo en todas las
combinaciones posibles de las diferentes variables que intervienen, dentro de un
cierto intervalo de incertidumbre.
Este método resulta demasiado caro computacionalmente y puede ser muy
lento si el número de variables involucradas es muy alto.
Otra técnica es la búsqueda al azar, que como su nombre lo indica consiste en
la selección de puntos al azar con el fin de reducir la zona de incertidumbre. Se
asumen valores máximos y mínimos de las variables, y para cada uno de ellos se
distribuyen números al azar uniformemente en un intervalo 0 < Pi < 1. Donde Pi es
un término de penalización.
2.6.1.6. Función Objetivo de una Variable con Restricciones
En general, en los problemas reales es más común tener a la función objetivo
sujeta a una serie de restricciones, las cuales pueden ser tanto de igualdad como de
desigualdad.
El modelo matemático general de la función objetivo de una variable con
restricciones es de la forma:
Máx (Mín) Z = f (xi); i = 1, 2,…, n
Sujeto a: g(xi) ≥ 0, i = 1, 2,…, n
xi ≥ 0
En aquellos casos en que la función objetivo de una sola variable está sujeta a
una restricción de igualdad, esta igualdad establecerá la solución. Este problema se
puede reducir a uno correspondiente sin restricciones, añadiendo las restricciones
correspondientes a la función objetivo, por medio de coeficientes de penalidad. Si la
restricción es de la forma general g (xi) = 0, la solución será la raíz de ésta ecuación.
Pero si existen varias raíces de esta ecuación, entonces se tendrá que evaluar
cada una de ellas y escoger el menor valor de la función objetivo.23
En cambio, cuando existen restricciones de igualdad la región factible no está
constituida por una serie de puntos, sino que forman un espacio. Esta pueden ser
23 . Alan Smith – Ernest Hinton – Roland W. Lewis. Civil Engineering Systems. Analysis and Design. Wiley & Sons. 1983
activas o no, es decir, pueden afectar o no a la solución. Además deben ser resueltas
implícitamente.
Una forma muy generalizada para solucionar éste tipo de problema es aquella
que consiste en la modificación de la función objetivo mediante términos de
penalización que son valores que se establecen proporcionalmente al grado en que las
restricciones sean violadas en el caso que nos interesa, es decir de minimización,
dichos términos son positivos, así, se aleja forzosamente la solución de las regiones
no factibles.
Si tenemos el siguiente modelo matemático:
Min Z(x) = f(x)
Sujeto a: x ≤ xmáx
x ≥ xmin
La función objetivo modificada será:
Min Zmod(x) = Z(x) + 106·(x - xmáx) ·∂1 + 106·(x - xmín) ·∂2
Siendo:
∂1 = 1 cuando (x - xmáx) > 0
∂1 = 0 cuando (x - xmáx) ≤ 0
∂2 = 1 cuando (xmín - x) > 0
∂2 = 0 cuando (xmín - x) ≤ 0
Los términos ∂1 y ∂2 sirven para expresar matemáticamente el hecho de que
los términos (x - xmáx) y (xmín - x) se incluyen si son positivos, es decir, cuando se han
violado las restricciones.
2.6.1.7. Función Objetivo de varias Variables con Restricciones
El siguiente es un modelo matemático que contiene una función objetivo de
varias variables, sujetas a restricciones tanto de igualdad como de desigualdad.
Min Z(x), siendo x = x1, x2,…, xn
Sujeto a: gi (x) = 0 i = 1, 2,………, e
gj (x) ≤ 0 j = 1, 2,………, d
Las restricciones pueden contener cualquier cantidad de las variables de las
variables de diseño, pueden ser lineales o no, explícitas o implícitas. En el caso de las
restricciones de desigualdad estas pueden escribirse “mayor que” o “menor que”
según convenga, con solo cambiar el signo de la función que indica la restricción.24
Cuando se tienen restricciones de igualdad, resulta conveniente observar si
hay la posibilidad de poner una de las variables en función de las demás, o de alguna
constante, y sustituirla en la función objetivo. De esta manera se logra que ésta tenga
menos variables de diseño.
Por supuesto, para poder hacer esto, las funciones de las restricciones deben
ser tales que permitan expresar explícitamente una variable en función de las otras.
Cuando se presenta el caso de restricciones más complejas, hay que recurrir a los
términos de penalización y crear una función objetivo artificial. Como se dijo en el
caso de funciones de una sola variable dichos términos son valores altos y entrarán en
24 Alan Smith – Ernest Hinton – Roland W. Lewis. Civil Engineering Systems. Analysis and Design. Wiley & Sons. 1983
juego solo cuando la restricción es violada. Serán valores positivos en caso de
minimización.25
Los términos de penalización son arbitrarios, pero es conveniente que eleven
el valor de la función objetivo en uno o dos órdenes de magnitud en los alrededores
de la solución. De cualquier forma se recomienda evaluar la función real para el valor
óptimo encontrado.
Si se tiene el modelo:
Min Z(x) = Z(x) sujeto a: g(x) = 0
Entonces el nuevo modelo con la función objetivo modificada y sin
restricciones es el siguiente:
Min Z(x) = Z(x) + p |g(x)|
Donde “p” es el término de penalización. Dicho término tendrá un valor
distinto de cero cuando la restricción no sea satisfecha. Cuando existen restricciones
de desigualdad también se recurre al uso de los términos de penalización.
Cuando se tiene Min Z(x); sujeto a: g(x) ≤ 0
Zmod(x) = Z(x) + δp · g(x)
Siendo p el término de penalización y
δ = 1 cuando g(x) > 0; δ = 0 cuando g(x) ≤ 0
Estos valores de δ indican que g(x) entrará en juego cuando la restricción ha
sido violada, es decir, cuando g(x) > 0.
25 Alan Smith – Ernest Hinton – Roland W. Lewis. Civil Engineering Systems. Analysis and Design. Wiley & Sons. 1983.
2.6.2. Optimización mediante el método del Gradiente
Este método consiste en la selección de un conjunto o secuencias de
direcciones, de acuerdo a alguna estrategia, y, la búsqueda se inicia a lo largo de estas
direcciones. Normalmente se toman previsiones, para variar las direcciones durante el
curso de la búsqueda.26
El más simple de este método es el llamado método de ‘Búsqueda alterna’.
Consiste en seleccionar un punto de inicio y mantener constantes (n-1) de n
variables, mientras que la variable restante varía hasta que se encuentra un máximo o
mínimo de la función objetivo.
Las variables restantes se tratan de la misma manera, una por vez. De manera
que la búsqueda es paralela a cada eje de coordenada, cambiando de dirección cuando
se encuentra un punto máximo o mínimo.
Este ciclo se repite hasta que se haya alcanzado el nivel deseado de
convergencia de la función objetivo, o hasta que el valor de la función objetivo no
pueda ser aumentado o reducido, por la alteración de alguna de las variables.
El método resulta en una búsqueda oscilatoria en zig-zag, como se muestra en
la Figura 8, el cual puede llegar a ser muy lento si uno de los ejes principales de la
función objetiva no es aproximadamente paralelo a uno de los ejes coordenados.
26 Néstor A. López. Optimización para Ingenieros. Escuela de Ingeniería Civil - UNIMET. Octubre 1989.
Fig. 8 – Método de búsqueda alterna para una función de dos variables.27
Al examinar todas estas técnicas es conveniente considerar los problemas no
limitados primero y luego aplicar cualquiera de los métodos antes mencionados para
poder introducir las relaciones o funciones objetivos de los problemas limitantes de
problemas limitados.
El uso de los modelos matemáticos en la investigación y su aplicación
presentan características algo distintas según el plano científico de que se trate. En el
campo de la Ingeniería, son muy usados en la aeronáutica, espacial, mecánica,
eléctrica, etc. y su uso se basa en identificar un número de variables relevantes en una
investigación de cualquier nivel.
27 Alan Smith – Ernest Hinton – Roland W. Lewis. Civil Engineering Systems. Analysis and Design. Wiley & Sons. 1983.
2.7 MODELO MATEMÁTICO PARA OPTIMIZACIÓN DE SECCIONES
RECTANGULARES DE CONCRETO ARMADO MEDIANTE
PROGRAMACIÓN NO - LINEAL:
Fig. 9 – Sección rectangular de viga a optimizar.
La figura 9 nos muestra una sección de viga de concreto armado de
dimensiones “b”, “h”, con acero inferior a tracción “As” sometida a un momento
último mayorado “Mu”.
La función objetivo para la optimización del costo de esta viga de concreto
armado dependerá de las variables anteriormente indicadas asociadas a los costos de
los materiales que involucran: concreto, encofrado y acero.
Función Objetivo para la optimización del diseño de vigas a flexión pura:
El modelo de programación no – lineal, se puede escribir matemáticamente como:
Min (Z): b · h · Cc + As · Cs (Ec.1)
Para un tramo unitario de viga (1 metro)
Donde:
Cc = costo unitario del concreto incluyendo la incidencia del encofrado de
madera (Bolívares/M3).
Cs = costo unitario del acero (Bolívares/M3)
As = área de acero a tracción (M2).
Se puede escribir dicha “función objetivo” de la siguiente manera:
Min (Z) = b · d + C · As
Donde C = Cs/Cc (Costo relativo de los materiales)
Restricciones:
Mu ≤ Mr = Φ · F’c · b · d2 · ω · (1-0,59ω)
dbAs
cFFy
⋅⋅=
'ω donde: ω = cuantía mecánica de la sección
Usaremos el infinitesimal para conseguir la optimización de la función objetivo:
Desarrollo de la derivada de la función objetivo:
Si db
AscF
Fy⋅
⋅='
ω dbFy
cFAs ⋅⋅⋅= )'(ω (Ec. 2)
Llamando CteQFy
cF==
' dbQAs ⋅⋅⋅= ω
Si Mu = Φ · F’c · b · d2 · ω · (1-0,59ω)
)59,0(1
' 2ωω −⋅⋅
⋅Φ=
bcFMud (Ec. 3)
Llamando CteKcF
Mu==
⋅Φ '
)59,0( 2ωω −⋅=
bKd
Si Min (Z) = b · d + C · As
Sustituyendo )59,0()59,0(
)( 22 ωωω
ωω −⋅⋅⋅⋅⋅+
−⋅⋅=
bKbQC
bKbZMin
Resulta )59,0()59,0(
)( 2
2
2
2
ωωω
ωω −⋅⋅
⋅⋅⋅+−⋅⋅
=b
KbQCb
KbZMin
Simplificando y agrupando: )1()59,0(
)( 2 QCKbZMin ⋅⋅+⋅−⋅
= ωωω
Y llamando CteRKb ==⋅ , tenemos =⋅⋅+⋅−
= )1()59,0(
)(2
QCRZMin ωωω
)1()59,0( 2/12 QCR ⋅⋅+⋅⋅−⋅= − ωωω
Derivando respecto de “ω” e igualando a cero:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−⋅⋅−−⋅⋅++⋅⋅⋅−=
∂∂ −− )18,11()59,0(
21)1()()59,0( 2/322/12 ωωωωωω
ωQCRQCRZ
Agrupando y simplificando e igualando a cero la derivada:
02
)59,0()18,11()1()59,0(12
2/12 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+−⋅⋅−=
−− ωωωωωω QCQC
La respuesta a esta ecuación es igualando el segundo termino a cero
02
)59,0()18,11()1( 12
=⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+
−⋅−ωωωω QCQC
Queremos es despejar ω
)59,0()18,11()1(2 2ωω
ωω⋅−
⋅−⋅⋅⋅+=⋅⋅
QCQC
QCQCQCQC ⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ 22 18,118,1118,12 ωωωωω
118,12 =⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅ ωωω QCQC 118,1 =⋅+⋅⋅ ωωQC
1)18,1( =+⋅⋅ QCω 18,1
1*
+⋅==
QCωω
obteniendo así la cuantía mecánica de la sección optimizada (ω*)
18,1'1*
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
FycFC
ω (Ec. 4)
Sustituyendo ω* en (Ec.3) se obtiene el valor de “d” optimizado
))(59,0(1
' 2** ωω −⋅⋅
⋅Φ=
bcFMud (Ec. 5)
Sustituyendo ω* en (Ec. 2) se obtiene el área de acero optimizada
dbFy
cFAs ⋅⋅⋅= )'(*ω (Ec. 6)
Donde ω* es la cuantía mecánica de la sección optimizada.
Aplicaremos estas ecuaciones obtenidas mediante la derivación de la función objetivo
para calcular la sección de viga óptima que se diseñará luego en el Ejemplo 1
CAPITULO III
3.1 CARACTERISTICAS METODOLOGICAS
Para demostrar el desarrollo de los objetivos en este trabajo se utilizará una
investigación que tiene una parte descriptiva debido a que la metodología que se
empleará es de tipo documental, bibliográfica y electrónica; y comparativa porque
serán realizadas entrevistas a profesionales dedicados al cálculo y diseño en la
materia, para poder sustentar los resultados que se hayan encontrado en el estudio
comparativo en la optimización de costos de vigas de concreto armado.
La ejecución del proyecto se caracterizará por la aplicación de un modelo
matemático de programación no-lineal, en este caso utilizaremos el método del
cálculo infinitesimal para que a través de la derivación de la función objetivo
logremos optimizar la altura de la sección de la viga que se estudiará, y esto nos
permitirá alcanzar los objetivos planteados, y para ello se seguirá el siguiente
esquema:
a) Se seleccionará una muestra de vigas de concreto armado sometidas a diferentes
cargas de momentos actuantes mayorados.
b) Se calcularán las secciones de las vigas sometidas a flexión pura, de acuerdo a la
teoría de rotura, con el momento actuante mayorado, determinando las dimensiones
de la sección y las áreas de acero a tracción. Se aplicaran las fórmulas desarrolladas
en el Capítulo II sección 2.1.1
c) Se aplicará un modelo matemático de programación no-lineal, para la muestra
seleccionada combinando costos con la metodología de cálculo por teoría de rotura.
En este trabajo se aplicará el modelo matemático de programación no-lineal
desarrollado en el Capítulo II sección 2.7.
d) Se analizarán para diferentes cuantías de momentos actuantes sobre vigas
sometidas a flexión pura, los diseños para cada una de las secciones resultantes para
diferentes anchos (b) y diferentes tipos de concreto usados normalmente en la
construcción de estructuras aplicando ambos métodos.
A continuación se muestran los ejemplos 1 y 2 donde paso a paso se calculan los
valores de una sección sometida a un momento actuante último, según ambos
métodos.
3.1.1 Ejemplo 1: Dimensionamiento de una viga por teoría de rotura
Una viga de concreto armado simplemente apoyada de longitud 6 m. está
sometida a una carga puntual mayorada en el centro del tramo de 10.000 Kg. El
concreto utilizado en la viga tiene una resistencia máxima a compresión F’c = 280
Kg/cm2. El acero tiene un límite de fluencia de 4.200 Kg./cm2. Suponiendo un ancho
de 25 cm. para la viga, se quiere diseñar la sección más crítica. Considere el peso
propio de la viga.
Peso del concreto = 2.400 Kg. /m3
F’c = 250 Kg. /cm2
Fy = 4.200 Kg. /cm2
Suponiendo una sección de viga 25x50 cm.
Carga del peso propio de la viga: peso unitario del concreto * Ac
q = 2.400 Kg. /m3 · 0,25m · 0,50m = 300 Kg. /m
Momento último actuante:
Mu = (P·L / 4) + (q·L2 / 8) · 1,4
Mu = (10.000 Kg · 6 m / 4) + (300 Kg/m · 36m2 / 8) · 1,4 = 16.890 Kg-m
Cálculo de ρb:
ρb = 0,85·K3 · (F’c / Fy) · Kb
K3 = 0,85 para F’c ≤ 280 Kg/cm2
Kb = 6.300 / (6.300 + Fy) = 6.300 / (6.300 + 4.200 Kg. /cm2) = 0,60
Sustituyendo en la ecuación de ρb:
ρb = 0,85 · 0,85 · (280 / 4.200) · 0,60 = 0,0289
ρ1 = 0,75 ρb
ρ1 = 0,75 · (0,0289) = 0,021675
Momento último actuante:
Mu ≤ Φ·ρ1·Fy · (1 - 0,59·ρ1·Fy / F’c) · b·d2
Mu ≤ 0,90 · 0,021675 · 4.200 · [1 – 0,59 · 0,021675 · 4.200 / 280] · b·d2
b·d2 = 16.890Kg-m · 100cm/m / 66,2151 Kg/cm2 = 25.507,78 cm3
Para b = 25 cm. d = 31,94 ≈ 32 cm.
Tomando como recubrimiento: 3 cm., la altura de la sección es:
h = d + recubrimiento = 32 cm. + 3 cm. = 35 cm.
Por lo tanto las dimensiones de la sección es: 25 x 35 cm.
Cálculo del área de acero:
FybcF
MudbcFdbcFAs
⋅⋅⋅
−⋅⋅−⋅⋅=
18,1'
62,2'' 2
200.418,125280
100890.1662,2)32(252803225280 2
⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅
=As
As+ = 17,24 cm2
Área que equivale en cabillas del mercado a: 3 Ø 1” + 1 Ø de 1/2” = 16,47 cm2. 28
Por norma Covenin 1753-87:
28 Apéndice A – denominación y geometrías de aceros en barras estriadas, algunas combinaciones y anchos requeridos de viga.
Asmin = 14 · b·d / Fy = 14 · 25 · 32 / 4.200 = 2,66 cm2
As+ > Asmin quiere decir que cumple la norma, por lo tanto,
As+ = 16,47 cm2 representa en la realidad de la viga:
Un porcentaje de acero ρviga y un momento resistente M r viga
ρviga = As / b·d = 16,47 / (25 · 32) = 0,020588
Y se cumple la relación: ρviga < ρ1
M r viga = Φ · ρviga · Fy · b · d2 (1-(0,59 · ρviga Fy /F´c) =
=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅
=mCm
CmKg
/100280200.4020588,059,013225200.4020588,090,0 2
M r viga = 16.292,71 Kg.-m
M r viga es menor que el momento actuante de 16.890 K-m en un 3,54 % lo cual se
considera aceptable.
Fig. 10 – Sección de viga resultante por el método de rotura.
Ver Anexo A para la resolución por medio de la hoja de cálculo en Excel®.
3.1.2 Ejemplo 2: Dimensionamiento de una sección de viga por el método de
optimización
Tenemos una sección de una viga de concreto a la cual vamos a optimizar su
altura (h) partiendo de una base determinada (b). La sección a continuación muestra
el encofrado típico de madera para vigas aisladas, es decir aquellas en donde no se
adosan o incorporan las placas estructurales.
Fig. 11 – Sección genérica de viga con encofrado
Según lo escogido en el problema del Ejemplo 1, para b = 25 cm. y aplicando las
ecuaciones obtenidas después de derivar:
Cs = precio promedio del acero x densidad del acero = 1300 Bs./Kg · 7.850 Kg/m3 =
= 10.205.000,00 Bs./m3
Cc = precio unitario (Bs./m3) del concreto 280 Kg/cm2 + incidencia del precio del
encofrado en el concreto (Bs. encofrado/ m3 viga)
Cc = 288.700 Bs./m3 + incidencia del precio del encofrado en el concreto (Bs.
encofrado/ m3 viga)
Cálculo de la incidencia del costo del encofrado en el concreto (Bs. encofrado/ m3
viga):
Se escoge una longitud de 50 cm. de viga según la Figura 11 para calcular el valor
del encofrado de madera, a través de su volumen y de su precio unitario. Así, se
podrá obtener el valor de la madera en esa longitud de viga y su incidencia en el
volumen de concreto en esa misma longitud. No se considerará costo puntal. Se
usarán tablas de saquisaqui y cuartones de aurora. Se usara la altura de viga obtenida
del cálculo por teoría de rotura en Ejemplo 1.
Volumen encofrado de madera = V fondo + V laterales + V refuerzo fondo +
+ V refuerzo laterales + V apoyo fondo + V apoyo puntal
V fondo = 0,25 m · 0,025 m · 0,50 m = 0,003125 m3
V laterales = (0,35 + 0,025) m · 0,025 m · 0,50 m · 2 laterales = 0,009375 m3
V refuerzo fondo = (0,25 + 4 · 0,025) m · 0,025 m · 0,05 m · 1 refuerzo @ 50 cm. =
= 0,000438 m3
V refuerzo laterales = (0,025 m · 0,05 m · (0,35 + 0,025) m) · 2 refuerzos @ 50 cm.
= 0,000938 m3
V apoyo fondo = 0,05 m · 0,10 m · 0,50 m · 2 apoyos = 0,005 m3
V apoyo puntal = 0,05 m · 0,10 m · (0,25 + 0,15) m · 1 apoyo @ 50 cm. = 0,002 m3
V total encofrado en 50 cm. de viga = 0,020876 m3
Precio unitario madera = 1.800.000,00 Bs./m3
Costo de madera en 50 cm. de viga = 0,020876 m3 · 1.800.000,00 Bs./m3 =
= 37.576,80 Bs.
Volumen de concreto en 50 cm. de viga = 0,25 m · 0,35 m · 0,50 m = 0,04375 m3
Incidencia del precio del encofrado en el concreto (Bs. encofrado/ m3 viga) =
Costo de madera en 50 cm. de viga / Volumen de concreto en 50 cm. de viga =
37.576,80 Bs. / 0,04375 m3 = 858.898,28 Bs. / m3
Número de usos del encofrado = 6
Incidencia de la madera / número de usos = 143.149,71 Bs. / m3
Ahora se calcula el costo del concreto con la incidencia del encofrado:
Cc = 288.700 Bs/m3 + 143.149,71 Bs/m3 = 431.849,71 Bs/m3
Cálculo relación de costos relativos del acero y concreto
2463,23/71,849.431/000.205.10
3
3
≈===mBsmBs
CcCsC
Sustituyendo el valor de “C” en la (Ec. 4):
3597,018,1
/200.4/28024
1
2
2* =
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
cmKgcmKg
ω
Cálculo de la altura útil (d) de la sección: (Ec. 3)
759,30)3597,059,03597,0(25
1/28090,0
/100890.1622 =
⋅−⋅⋅
⋅⋅−
=cmcmKg
mcmmKgd cm.
Ahora calculamos la altura de la sección que se obtiene de la siguiente manera:
h = altura útil + recubrimiento (3cm.) = d +d’ = 30,759 cm. + 3 cm. = 33,76
h ≈ 34 cm.
Se calcula ahora la nueva “d” que llamaremos “d ajustada”, debido al redondeo de
“h”
d ajustada = h redondeada – d’ = 34 cm. – 3 cm. = 31 cm.
Con esta “d ajustada” calcularemos el área de acero necesaria, según la Ec.6:
cmcmcmKg
cmKgAs 3125/200.4
/2803597,0 2
2
⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=+ = 18,59 cm²
Equivale en barras de acero del mercado a: 3 Ø 1” + 1 Ø 5/8” que corresponde a
17,18 cm²
Chequeo de los resultados obtenidos:
ρviga = As / b·d = 17,18 / (25 · 31) = 0,022168
Aunque no se cumple la relación: ρviga < ρ1, sobrepasa al ρ1 en solo 2,27% por lo que
lo consideramos aceptable.
ρviga > ρmin también se verifica que se cumple.
M r viga = Φ · ρviga · Fy · b · d2 (1-(0,59 · ρviga Fy /F´c) =
=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅
=mCm
CmKg
/100280200.4022168,059,013125200.4022168,090,0 2
= 16.182,03 Kg.-m
Aunque no se cumple que M r viga > M u lo consideramos aceptable ya que solo
difiere en 4,19%
Fig. 12 – Sección de viga resultante por método de optimización.
Aplicación de la función objetivo:
Min (Z): b · h · Cc + As · Cs (Ec.1)
Min (Z) = Min costo de la viga =
0,25 m · 0,34 m · 431.849,71 Bs./m3 + 0,001718 m² · 10.205.000 Bs./m3 =
= 54.239,42 Bs./m
En la longitud total de viga de 6 m equivale a 325.436,50 Bolívares, lo llamaremos
Cv2
Calculemos ahora el costo de la misma viga calculada por el método de teoría de
rotura sin optimización, lo llamaremos Cv1
Cv1 = 0,25 m · 0,35 m · 431.849,71 Bs./m3 + 0,001647 m² · 10.205.000 Bs./m3 =
= 54.594,48 Bs./m
En la longitud total de viga de 6 m equivale a 327.566,90 Bolívares.
La diferencia entre Cv1 – Cv2 obtenemos el ahorro en costo de la viga.
Cv1 – Cv2 = (327.566,90 – 325.436,50) Bs. = 2.130,40 Bs.
Mientras más se repita esta viga en una o en un grupo de edificaciones se verá
reflejado el ahorro lo cual implicaría beneficios y ganancias al inversionista.
Ver Anexo A para la resolución por medio de la hoja de cálculo en Excel®.
3.2 VARIABLES Y OPERACIONALIZACIÓN
Las variables que intervienen en el desarrollo de este trabajo se resumen en: el
momento último actuante (Mu) y el tramo de viga sobre el cual actúa, la fluencia del
acero (Fy) y su costo (Cs), la resistencia del concreto (F’c) y su costo (Cc) sin incluir
encofrado, la base (b), el recubrimiento del los aceros (d’), la altura útil de la sección
(d), el área de acero a tracción (As), las combinaciones de áreas de cabillas existentes
en el mercado, el costo de la madera para el encofrado y el número de usos de la
madera.
Todas estas variables se interrelacionarán de acuerdo a la teoría de rotura y a
las fórmulas de optimización mediante la utilización interactiva de una hoja de
cálculo programada en Microsoft© Excel®.
3.3 POBLACIÓN Y MUESTRA
Debido a la gran diversidad de momentos últimos actuantes, anchos de viga y
tipos de concreto; se realizarán los cálculos para tres cuantías de momentos últimos
actuantes sobre vigas sometidas a flexión pura, seis diferentes anchos de viga y cuatro
diferentes tipos de concreto usados normalmente en la construcción de estructuras
aplicando ambos métodos de diseño.
Numero de muestras = 3 tipos de momentos últimos actuantes x 6 anchos de viga x 4
tipos de concreto = 72 secciones.
3.4 CÁLCULOS DE DISEÑO
Cada muestra de sección de viga de la población fue analizada en hojas de
cálculo en Excel® donde se aplicaron los métodos tradicionales de la teoría de rotura
(sección media izquierda de la hoja) y por las fórmulas obtenidas del cálculo
infinitesimal de la función objetivo del método de optimización, (sección derecha de
la hoja de cálculo).
El procedimiento utilizado consiste en escoger:
1. Un momento último actuante (Mu): 30.000; 60.000; 90.000 Kg-m.
2. Un valor de fluencia del acero (Fy) y su costo (se asume constante:
4.200 Kg-cm2 y su costo promedio en 1.300 Bs/Kg (ver anexo B)).
3. Un tipo de resistencia de concreto (F’c): 210; 250; 300; 350 Kg/cm2 y
su costo respectivo en Bs/m3. (ver anexo B)
4. Un ancho de viga (b): 25; 30; 35; 40; 45; 50 cm.
5. El recubrimiento para los aceros (d’) en cm (se fija en 3 cm).
6. La combinación de cabillas según el resultado de las áreas de acero
(As) resultantes de los cálculos para ambos métodos.
7. El costo de la madera y el número de usos (se usa un valor promedio
de mercado de 1.800.000 Bs/m3 y un número de usos de 6).
Luego de introducir los datos escogidos en la hoja de cálculo se obtienen los costos
de la sección de viga según ambos métodos y el ahorro relativo al costo por
optimización.
3.5 LIMITACIONES DE CÁLCULO
1. H ≤ 3 · b ; H ≥ 25 cm.
2. b ≥ 25cm.
3. Se acepta ρviga hasta un 5% por arriba del valor ρ1(máx.)
4. Se acepta Mrviga hasta un 5% por abajo Mu
5. ρviga debe ser ≥ ρmin
6. Las alturas de las vigas se calculan con redondeos de 1 cm. en 1 cm.
7. En la hoja de cálculo de Excel “cálculo de vigas a flexión” se utilizan
combinaciones de cabillas provenientes de la hoja “combinaciones de
cabillas” en la cual hay un grupo limitado de las posibles combinaciones.
8. No se tomaron en cuenta los cálculos del acero a compresión ni a corte
en la sección de la viga.
A continuación se presentan las tablas resultantes de cálculos en Microsoft©
Excel® para los momentos de 30.000; 60.000 y 90.000 Kg.-m para concretos 210;
250; 300 y 350 Kg/cm2, y para anchos de vigas 25; 30; 35; 40; 45 y 50 cm.
CAPITULO IV
RESULTADOS Y ANÁLISIS
A continuación se realiza una comparación de costos entre los resultados
obtenidos mediante el método de rotura y el método de optimización.
Las 72 muestras de secciones se analizaron a través de las hojas de cálculo y
se agruparon en tres cuadros independientes, uno para cada tipo de momento actuante
subdivididos por tipo de concreto según el ancho de viga seleccionado. En las tablas
1, 2 y 3 se indican para cada muestra de sección de viga: el ancho de la base (b), su
altura (H), el área de acero (As), el costo total de la viga y su costo unitario por metro
lineal de sección, para cada método.
Los datos que se colocaron en estas tablas provienen de cálculos y análisis
individuales de cada una de las secciones de las muestras.
Las tablas 1, 2, y 3 tienen como objetivo comparar los costos de secciones de
vigas obtenidos al resolver los cálculos por el método de la teoría de rotura y por el
método de optimización indicando como resultado final el ahorro relativo respecto al
método de optimización.
Aquí podemos observar que los costos de las secciones obtenidas por
optimización son menores que por la teoría de rotura, en un rango entre 0,5 y 1%.
Además, las tablas nos indican que los menores costos se obtuvieron con el
menor ancho de la sección de viga, es decir, que las vigas planas o con grandes
anchos son muy costosas.
Si tomamos como ejemplo de análisis la tabla 2, podemos observar el mayor
ahorro obtenido para una sección de viga sometida a un momento último actuante de
60.000 Kg-m:
Costo calculado mediante teoría de rotura: 94.411,41 Bs/m.
Costo calculado mediante optimización: 93.411,41 Bs/m.
El ahorro obtenido es de 94.411,41 – 93.539,69 = 871,72 Bs/m.
En 6 m. de viga: 5.320,32 Bolívares
Si se repite este elemento de viga 6 veces por piso en un edificio de 10 pisos, el
ahorro será: 5320,32 Bs. x 6veces/piso x 10 pisos = 319.219,20 Bolívares.
Un edificio de 6 tramos de viga de 6m. cada una de largo (36m.) x 4 tramos de viga
de 6m. cada una de ancho y de 10 pisos, es decir, donde puede haber una repetición
de 6 unidades de vigas de 6m. de la misma sección por piso para un total de 60
repeticiones de tramos de vigas iguales de 6m., tiene un costo aproximado de ( 36m x
24 m x 10 = 8640 m2 x 1.200.000 Bs/m2 ≈ 10.000.000.000 Bolívares ) ¿Cuánto
significa el ahorro de 319.219,20Bs. por haber repetido la viga 60 veces ?
(319.219,20 Bs. / 10.000.000.000Bs.) x 100 = 0,003192%. de ahorro para el
inversionista.
El ejemplo anterior muestra que los resultados obtenidos no son provechosos
para la práctica común. Pero, los resultados obtenidos no le restan importancia a la
optimización, ya que cuando se trata de producción de elementos a gran escala, como
es el caso de elementos prefabricados, ya no se trata de un número determinado de un
cierto elemento sino una producción continua en el tiempo de un mismo elemento, lo
que hace que la optimización adquiera mayor importancia para minimizar los costos.
En los ejemplos realizados en este trabajo se incluyeron solamente el costo de
los materiales pero hay que saber que existen otros factores que afectan los costos
definitivos, como por ejemplo: la mano de obra o la organización en cuanto al
proceso productivo. Tomarlos en cuenta hubiese complicado demasiado el modelo.
En concreto armado se aplica con mucha frecuencia una regla que se llama
sencillez constructiva. Esto quiere decir que en el diseño de elementos de concreto
armado se trata de estandarizar las dimensiones, la uniformidad en las barras de acero
de refuerzo longitudinal y la geometría de la sección, para lograr un ahorro en tiempo
y en dinero. Por esto en la práctica la sencillez del diseño consiste en la aproximación
de las dimensiones de los elementos a múltiplos de 5 cm. lo cual conlleva a la
facilidad constructiva de los mismos.
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
1. Se obtuvieron ahorros al aplicar el modelo de optimización en la gran
mayoría de las secciones de vigas estudiadas.
2. El ahorro en costo no es muy significativo, llegando a obtenerse
valores en un intervalo entre el 0,5 y 1%.
3. Para poder lograr que el método de optimización diera resultados
positivos se empleó un redondeo de 1 cm. en 1 cm. en las alturas de la
sección, lo cual en la practica no se usa.
4. La geometría de las secciones de vigas normalmente está limitada por
los requerimientos de diseño de Arquitectura, por lo cual no siempre se podrá
obtener la sección menos costosa.
5. De acuerdo al análisis de los resultados de la población de muestras de
secciones de vigas de concreto armado, realizado en el Capitulo anterior entre
el método de optimización y el de rotura se puede concluir que las diferencias
entre los costos no es muy significativa, lo cual no justifica el uso de
programas de optimización en los diseños comunes de concreto armado; esto
es porque el costo se vería aumentado por el tiempo y el personal necesario
para realizar la optimización y por la dificultad de trabajar en obra con
medidas poco usuales en la práctica.
6. La optimización es útil solo si el número de elementos involucrados en
ella es verdaderamente grande. Por ello se recomienda su uso en caso de
producción de elementos prefabricados o en construcciones en grandes
volúmenes, como es el caso de las viviendas de interés social, en los cuales
cualquier ahorro en costos es de suma importancia; ya que es un proceso
donde se producen grandes cantidades y donde no importa que las medidas
resulten poco usuales con respecto a las utilizadas en vaciado “in situ”.
7. Aunque no se obtuvo un ahorro significativo al optimizar los costos en
las secciones de viga de concreto armado, se ha probado en este trabajo que el
método funciona bien y que puede aplicarse a cualquier otro tipo de
problemas que se quiera investigar.
8. Se recomienda la difusión de estos modelos de optimización a
profesionales involucrados en este campo, por ser poco conocidos en el medio
y la implementación de programas de computación que estén al alcance de
todos.
9. La sencillez de la aplicación del método de optimización le da al
proyectista una nueva manera de diseñar vigas de concreto armado sin utilizar
el procedimiento de tanteo.
10. La utilización de los modelos de optimización serán útiles en el futuro
para la realización de cálculos de diseño estructurales en otros planetas.
BIBLIOGRAFÍA
ARMITANO, Orlando. (1985). Programación No-Lineal. México: Limusa.
ARNAL, Eduardo. (1984). Concreto Armado. Editorial Arte.
COVENIN – MINDUR (1753 – 87) (1987). Estructuras de Concreto Armado para
edificaciones. Análisis y Diseño. Venezuela: Fondonorma.
COVENIN – MINDUR (Provisional) (2002 – 88) (1988). Criterio de Acciones
Mínimas para Proyectos de Edificaciones. Venezuela: Fondonorma.
DUARTE R., Álvaro; RODRIGUEZ B., Roberto. (1996). Diseño Óptimo de Vigas
Electrosoldadas. Tesis de grado. Caracas: UNIMET.
DUBUC, Héctor (2004). Apuntes tomados de sus clases de Concreto Armado I y II.
Caracas: UNIMET.
FRAZER. Applied Linear Programming. EE.UU: Prentice Hall.
GALLAGHER, Richard H. (1973). Optimum Structural Design. Theory and
Applications. Londres: John Willey & Sons.
GASS, S.L.; HARRIS, C.M. (eds.) (2001). Encyclopedia of Operations Research and
Management. Centennial Edition. Kluwer Academy Publishers.
HILLER, F.S.; LIEBERMAN, G.J. (1997). Introducción a la Investigación de
Operaciones. EE.UU.: McGraw Hill.
KELEMEN, Frank (ed.) (1975). Pert – Graf. Programación gráfica. Pert – cpm.
Caracas.
LINARES, Pedro; RAMOS, Andrés; SANCHEZ, Pedro; SARABIA, Ángel;
VICTORIANO, Begoña (2001). Modelos Matemáticos de Optimización.
Madrid: ICADE.
LUEMBERGER, David G. (1989). Programación lineal y no-lineal.
México: Wesley Iberoamericana.
LOPEZ, Néstor A. (1989). Optimización Para Ingenieros. Caracas: UNIMET.
PARK R., Paulay T. (1983). Estructuras de Concreto Reforzado. México: Limusa.
SCHRAGER, L. (1997). Optimization Modeling with LINDO. Duxbury Press.
SMITH, Alan; HINTON, Ernest; ROLAND Lewis. (1983). Civil Engineering
Systems. Analysis and Design. Londres: John Willey & Sons.
TAHA, H.A. (1994). Investigación de Operaciones. Una Introducción.
EE.UU.: Prentice Hall.
WILLIAMS, H.P. (1999). Model Building in mathematical programming (4ta
Edición). Londres: John Willey & Sons.
WINSTON, W.L. (1994). Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos.
Grupo Editorial Iberoamericana.
ZANGWILL, Willard I. (1969). Nonlinear Programming. EE.UU.: Prentice Hall.
SABINO, Carlos A. (1994). Cómo hacer una tesis y elaborar todo tipo de escritos
(3ra Edición). Editorial Panapo.
VERA, Asti. (1968). Metodología de la investigación. Buenos Aires: Editorial
Kapelusz.
