Ejemplo: Circuito oscilatorio elctrico

Modelado de sistemas dinmicosMT227-A1Modelado de sistemas dinmicosIntroduccin al modelado. Espacio de estados: Representacin de estado. Ejemplos: Sistemas mecnicos, elctricos, hidrulicos,trmicos. Linealizacin: Modelos lineales en el espacio de estados.2Sistemas y VariablesSistema. Conjunto de elementos que se relacionan entre s con un objetivo.Variables. Conjunto mnimo de magnitudes que definen el comportamiento de un Sistema.Anlisis de un Sistema. Medida externa de algunas (o todas) vars. de un sist. con la finalidad de conocer su comportamiento cuantitativo.Modelado de un Sistema. Conjunto de relaciones formales construidas a travs de leyes fsicas y/o relaciones empricas.

3Representacin de los SistemasUn sistema lineal invariante en el tiempo se puede representar usando descriptores: externos o internos.Descriptores externos: Refleja el comportamiento Entrada-Salida permitiendo ignorar el conocimiento de parte de las variables no accesibles del Sistema. (Funcin o Matriz de transferencia)Despriptores internos. Descripcin del Sistema en que se requiere el conocimiento de todas las variables internas y/o externas que describen su funcionamiento.(Ecuacin de Espacio Estado)

4Descriptor del Espacio de EstadosTeora de Control Moderna (1960) Concepto de Estado.Teora de Control Moderna vs. Teora de Control Clsica.Multivariable vs. Una entrada una SalidaDominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas.Estado: Es el conjunto ms pequeo de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0.Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado de un sistema dinmico.Mtodo del Espacio de EstadosVector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0.Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, Xn,.Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado)

SISOMIMOMtodo del Espacio de EstadosLas ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado:

u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema, y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema,x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema, es decir:

Mtodo del Espacio de Estados

Funcin de TransferenciaDe un IntegradorSist. LTIAnalogias entre un modelo mecnico y elctrico9

Inductor Generalizado/ Inercia10

Es la relacin entre la variable de esfuerzo ( F, T, o V) y la derivada con respecto al tiempo de la variable de flujo (v, w, o i)Capacitor Generalizado

Es la relacin esttica entre la variable de esfuerzo (F, t) y la integral de la variable de flujo (x desplazamiento o q carga )

F=kx V=(1/C)q

Acumulador de energa potencial11Resistencia Generalizada Es la relacin esttica entre la fuerza impulsora (F, V).y la variable de flujo (v, i)

F=cv ( amortiguador) V= Ri ( Resistencia elctrica)12Modelo de Espacio EstadoPasos a seguir:Identificar las variables de entrada y salida del sistemaIdentificar las variables que almacenan energaIdentificar las variables de estadoUsar las leyes de Newton, Kirchhoff o empricas (Euler - Lagrange).13Ejemplo 1: Sistema Elctrico Circuito RLC

Aplicando la Leyes de Kirchhoff:

Ejemplo 1: Sistema Elctrico Circuito RLC

Organizando las ecuaciones:

En forma matricial:ABEjemplo 2:Motor Elctrico Controlado por campo

Motor de corriente continua controlado por campo, con corriente de armadura Constante. Mueve una carga J, Coeficiente de friccin viscosa B con velocidadangular w(t).

La ecuacin es:

Ejemplo 2:Motor Elctrico Controlado por campo

Las Ecuaciones son:

Matricialmente:Ejemplo 2:Motor Elctrico Controlado por campo

Representacin 1 Espacio Estado: Salida w(t)Representacin 1 Espacio Estado: Variables de estado T(t) y W(t)

Relacin entre Funciones de Transferencia y Variables de estadoSistemas SISO la funcin de transferencia es:

Donde A, B, C y D son matrices de:I es la matriz idntica correspondienteEjemplo: Se tiene de un Sistema Mecnico las siguientes matrices:

Ejemplo 3: Circuito oscilatorio elctrico

Ecuaciones de balance :

Con :

Variables:

Parmetros:

Potenciales var. Est.Var. Control o perturb.20Usar

en la ecuacin de balanceEntonces:

Definiendo:

Tambin:

21Ejemplo 4 Modelos Rotacionales: Palanca

Problema:Dados:Entrada:

Salida: posicin de la masa, M(x1(t)) Dibuje el diagrama del cuerpo libre, derive las ecuaciones de movimiento y calcule las ecuaciones de espacio estadoAsunciones Es pequeo ( considerando solamente el mov. horizontal)22Solucin

1. Asuma

Dibujo del diagrama del cuerpo libre Fr es la fuerza de reaccin por la pared en el pivot.2. Aplicando la Ley de DAlembert. Para la masa

Como Fr acta a travs del centro de rotacin, esto hace que no contribuya en la suma de momentos, tal que alrededor del pivot se tiene:

233. Expresar x2, x3 en trminos de las var. de estado y entrada. Como es pequeo;

Eliminando

Usando esta relacin en la ec. (2):

simplificando:

4. Usar (4) en la ec. (1) para obtener:

donde:

24

5. Definiendo los estados del sistema a ser: x1 y v1=dx1/dt

6. Sistema en espacio estado:

25Ejm: Unidad de Cinta de ComputadoraUn esquema simplificado de una unidad de cinta de computadora se muestra a continuacin. Escribir las ecuaciones de movimiento en trminos de los parmetros enumerados a continuacin.

26Diagrama del Cuerpo Libre de la Tensin en el Carrete

donde J1 es la inercia del motor, B1 es la constante de amortiguacin del motor, Tm es el par desarrollado por el motor, T es la tensin de la cuerda.Escribir la ecuacin de equilibrio de par, tenemos

27Cont.

A partir de la figura se puede deducir que:Tambin sabemos que el par desarrollado por el motor es proporcional a la corriente de armadura. Por lo tantoSustituyendo en las ecuaciones anteriores tenemos:28Diagrama del Cuerpo Libre de la Tensin en la Rueda

Escribiendo la ecuacin de Balance de Torques conseguimos:Pero de nuevo:Sustituyendo en ecuacin anterior conseguimos:

A partir de la figura se obtiene:

29Representacin de Espacio Estado

Los estados del sistema se definen como:Sustituyendo en ecuaciones anteriores:30Representacin de Espacio Estado

31Modelo de Flujo incompresible -Altura de un tanque de agua

32Linealizacin

33Linealizacin

34Linealizacin

35Linealizacin

36Linealizacin

37Linealizacin

38Linealizacin

39Analogas de los sistemas Hidrulicos y Trmicos40

Modelo simplificado de una habitacinModelos equivalentesAnaloga de los sistemas41