MODELOS MULTIECUACIONALES Y SERIES DE TIEMPO · PDF fileDEFINICIÓN I: En un sistema con variables retardadas se considera como ... Tenemos un modelo de ecuaciones simultáneas con

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA

E C O N O M E T R I A II

M. Sc. Eco. LUIS A. ROSALES GARCÍA

CASTILLA, OCTUBRE DEL 2009.

CAPITULO I

MODELOS MULTIECUACIONALES 1. EVALUACIÓN DE MODELOS MULTIECUACIONALES 1.1. EXOGENEIDAD

En términos generales: 1º Variable Endógena es aquella cuyo comportamiento pretendemos estimar. 2º Variable exógena es aquella cuyos valores se toman como datos para analizar

el comportamiento de las endógenas.

Para seleccionar variables exógenas se considera el criterio siguiente: DEPARTAMENTAL Se consideran como exógenas aquellas que están

total o parcialmente al margen del sistema (Clima, población, política, tecnología)

CAUSAL Se consideran exógenas aquellas que no están

influidas por las endógenas.

Según Koopmans (1950) la definición estadística de exogeneidad debe ser más estricta que la definición teórica.

DEFINICIÓN I: En un sistema con variables retardadas se considera como

estadísticamente exógenas además de las anteriores las que cumplan las siguientes condiciones:

1º Que sólo intervengan en las ecuaciones estructurales con algún nivel de

retardo. 2º Que aún interviniendo sin ningún nivel de retardo, estás sólo dependan de

variables estrictamente exógenas o de variables retardadas. DEFINICIÓN ESTADÍSTICA: Partimos de la definición de un sistema completo

como:

X X X X uX X X X uX X X X u

t t t rt rt t

it i t i t ri rt it

rt r t r t rr rt rt

1 11 1 21 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

= + + + += + + + += + + + +

α α αα α αα α α

* * ... ** * ... ** * ... *

2

y presentando una función de distribución conjunta de las perturbaciones aleatorias independiente para cada periodo t, así:

En un sistema sin variables retardadas se considera como estadísticamente exógenas aquellas variables cuya función de distribución es independiente de las variables exógenas. Es decir:

1º El conjunto de variables endógenas no intervienen en las ecuaciones de las

endógenas. 2º Las funciones de distribución de las perturbaciones aleatorias son

independientes. 3º El Jacobiano del conjunto de perturbaciones aleatorias con respecto al total de

variables presenta valores nulos en las perturbaciones correspondientes a las variables exógenas con respecto a las variables endógenas.

Por lo general, se distinguen dos conceptos de exogeneidad:

1º Predeterminación Una variable es predeterminada en una ecuación

específica si es independiente de los errores contemporáneo y futuro en tal ecuación. Es decir:

( ) ( ) ( ) .0;0;0 ≠== −+ nttttmtt uXEuXEuXE 2º Exogeneidad Estricta Una variable es estrictamente exógena si es

independiente de los contemporáneo, futuro y pasado en la ecuación relevante. Es decir:

( ) ( ) ( ) .0;0;0 === −+ nttttmtt uXEuXEuXE

Para explicar estos conceptos es preciso considerar un modelo con variables rezagadas; así:

ttttt

ttttt

uXYYXuXYXY

21221212

11121111

+++=+++=

−−

−−

ββαββα

u t1 y u t2 son mutua y serialmente independientes.

En la primera ecuación, si 02 =α entonces tX está predeterminada para tY .

Considerando la segunda ecuación, si 02 =α y 021 =β entonces tX es estrictamente exógena para tY . Si 021 ≠β entonces tX depende de 1,1 tu por medio

),,( 1 rit uuuf LL

3

de 1−tY .

En los modelos no dinámicos y sin correlación serial en los errores, no es necesario hacer esta distinción. Engle, Hendry y Richard sugieren tres conceptos adicionales:

1º Exogeneidad débil.- una variable tX es débilmente exógena para estimar un

conjunto de parámetros si la inferencia sobre condicional en tX no supone una pérdida de información. Es una condición requerida para la estimación eficiente.

Ejemplo: tY y tX tienen una distribución normal bivariada, existen cinco

parámetros: 12221121 ,,,, σσσuu . Es posible transformarlos mediante una transformación unívoca en ( )2,, σβα y ( )222 ,σu . Ambos conjuntos son separados, por lo tanto, para estimar ( )2,, σβα no es necesario información de ( )222 ,σu .

2º Superexogeneidad.- Si tX es débilmente exógena y los parámetros en la

distribución conjunta de tY y tX permanecen sin cambios ante las variaciones en la distribución marginal de tX . Es una condición requerida para propósitos de política.

Ejemplo: Si modificamos 22u y 22σ (parámetros en la distribución

marginal de tX se producen cambios en ( )2,, σβα , entonces no es superexógena.

3º Exogeneidad fuerte.- Si tX es débilmente exógena y no está precedida

por ninguna de las variables endógenas del sistema.

Ejemplo: Se tiene el modelo:

tttt

ttt

uYXXuXY

21211

1

++=+=

−− ααβ

( )tt uu 21 , se distribuye normal bivariada y son serialmente independientes,

( ) ( ) ( ) 1221222111 , σσσ === tttt uuCovatyuVatuVat . Si 012 =α entonces tX es débilmente exógena debido a que la

distribución marginal de tX no involucra a β ni a 11σ . Pero la segunda ecuación demuestra que tY precede a tX , es decir, tX

4

depende de 1−tY ; por lo tanto, tX no es fuertemente exógena. La definición de Engle, Hendry y Richard es en términos de un

concepto llamado causalidad de Granger. Así: "Si tX es débilmente exógena y no es causada en el sentido de Granger por

ninguna de las variables endógenas del sistema, entonces se define como fuertemente exógena".

1.2. PRUEBA DE EXOGENEIDAD

El enfoque de la Fundación Cowles para ecuaciones simultáneas sostiene el punto de vista de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad.

Tenemos un modelo de ecuaciones simultáneas con tres variables endógenas

321 ,, YYY y tres variables exógenas 321 ,, ZZZ . Supongamos que la primera ecuación del modelo es:

ttttt uZYYY 11133221 +++= αββ

se quiere probar si es posible tratar a 32 YyY como exógenas para la estimación de esta ecuación.

Para probar esta hipótesis seguimos el siguiente procedimiento: 1º Obtenemos los valores predichos de 32 YyY , a partir de las ecuaciones en la

forma reducida para estas últimas. 2º Luego se estima el modelo:

ttttttt uYYZYYY 133221133221ˆˆ +++++= γγαββ

empleando mínimos cuadrados ordinarios. 3º Se realiza la prueba de Wald para probar la hipótesis:

0:0:

321

320

≠≠==

γγγγ

HH

si se acepta la hipótesis nula entonces 32 YyY si pueden tratarse como

exógenas en la estimación de la ecuación; y si se rechaza la hipótesis nula entonces 32 YyY no pueden tratarse como exógenas en la estimación de la ecuación.

Se tiene el modelo siguiente:

5

tttt

tttt

ttttt

uCINDDINFuINFDDI

uDDENCIDD

3321

2321

114321

+++=+++=

++++= −

δδδβββ

αααα

Verificaremos que las variables DD e INF se pueden tratar cono exógenas en la segunda ecuación, se tiene el procedimiento siguiente: 1º Estimamos la forma reducida de DD e INF y obtenemos los valores predichos

estáticos de DD e INF, nos da:

Dependent Variable: DD Method: Least Squares Sample: 1992:02 1997:12 Included observations: 71 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 37.82578 11.54381 3.276716 0.0017 DD(-1) 0.686693 0.087386 7.858146 0.0000 ENC -0.400755 0.206661 -1.939190 0.0567 CIN 0.038788 0.010386 3.734700 0.0004 ============================================================ R-squared 0.848166 Mean dependent var 207.9296 ============================================================

DDF ================================================================================ Modified: 1992:02 1997:12 // frdd.fit ddf 1992:01 NA 144.7520 146.4577 147.9097 153.1752 151.2739 1992:07 155.2140 164.7869 156.9519 154.5775 156.8674 157.9472 1993:01 171.6747 164.1451 170.1863 164.5127 158.1686 153.1212 1993:07 164.9365 178.5399 164.1107 167.7566 173.7750 173.9148 1994:01 194.8023 180.7786 182.7720 188.9755 178.1305 179.3825 1994:07 185.6961 219.4566 196.9213 200.7219 201.4028 200.8673 1995:01 239.0520 215.7034 224.6584 236.4655 225.9911 219.8976 1995:07 225.4408 247.7038 230.3212 234.5356 234.8269 230.6908 1996:01 258.3213 233.7957 230.7273 237.7114 241.8207 242.2752 1996:07 236.4521 250.4778 238.3640 235.9629 235.6657 237.1514 1997:01 260.8767 241.0755 244.8116 257.7485 259.6422 261.2410 1997:07 253.4000 279.0850 267.5338 260.7541 266.3076 261.8484 ================================================================================

Dependent Variable: INF Method: Least Squares Sample: 1992:02 1997:12 Included observations: 71 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 5.239088 0.542312 9.660657 0.0000 DD(-1) -0.019710 0.004105 -4.801078 0.0000 ENC 0.053570 0.009709 5.517762 0.0000 CIN -0.001711 0.000488 -3.507769 0.0008 ============================================================ R-squared 0.687070 Mean dependent var 1.652113 ============================================================

6

INFF ================================================================================ Modified: 1992:02 1997:12 // frinf.fit inff 1992:01 3.500000 4.008865 3.872067 3.424886 3.545896 3.490536 1992:07 2.875449 3.159742 3.740656 3.466783 3.676729 2.952576 1993:01 3.270704 2.953143 3.007627 3.047820 3.690561 3.643172 1993:07 2.353319 2.372938 2.984426 2.271774 2.434575 1.733955 1994:01 1.423582 1.805801 1.524053 1.334873 1.867048 1.901173 1994:07 2.005350 0.926592 1.317732 1.282110 1.420033 1.150795 1995:01 0.215221 0.944469 0.608405 0.371529 1.193807 1.102860 1995:07 1.269565 0.729651 1.096230 1.045941 1.129630 1.238353 1996:01 0.811535 1.334264 1.524015 0.831504 0.646067 0.558532 1996:07 1.241294 0.626075 1.364197 0.873296 1.130797 1.108127 1997:01 0.471394 1.091477 1.313852 0.135472 -0.091280 -0.022570 1997:07 0.575497 -0.462633 0.228249 0.256949 0.207520 0.663370 ================================================================================

2º Se estima el modelo extendido, obteniéndose:

Dependent Variable: I Method: Least Squares Sample: 1992:02 1997:12 Included observations: 71 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 26.54475 15.14426 1.752793 0.0843 DD 0.003468 0.050426 0.068765 0.9454 INF 2.088850 1.073380 1.946050 0.0559 DDF -0.042697 0.076812 -0.555866 0.5802 INFF 2.607720 2.241078 1.163601 0.2488 ============================================================ R-squared 0.525173 Mean dependent var 26.14704 ============================================================

3º Realizamos la prueba de Wald para probar la hipótesis:

0:0:

541

540

≠≠==

γγγγ

HH

El Eviews da el resultado siguiente:

Wald Test: Equation: MEI ==================================================== Null Hypothesis C(4)=0 C(5)=0 ==================================================== F-statistic 2.252994 Probability 0.113108 Chi-square 4.505988 Probability 0.105084 ====================================================

se realiza la comparación:

( )66,2,95.01357193449.3252994.2 FF =<=

se acepta la hipótesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden tratarse como exógenas en la segunda ecuación.

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1.3. CAUSALIDAD DE GRANGER

En algunas oportunidades es importante determinar si cambios en una variable causa cambios en otra variable.

El test de causalidad de Granger nos ayuda a determinar si de acuerdo a los

datos (no la teoría) existe una variable cuyos cambios anteceden cambios en otra variable. Es importante que las series sean estacionarias para evitar el riesgo de obtener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esta característica es necesario aplicar alguna transformación para convertirlas en estacionarias, asumiendo que al hacerlo se mantienen las relaciones de causalidad.

Granger se basa en la premisa de que el futuro no puede provocar el presente o el pasado.

Si un evento A ocurre después de un evento B, se sabe que A no puede provocar a B. Al mismo tiempo, si A ocurre antes de B, esto no necesariamente implica que A provoque a B.

Consideremos dos series de tiempo ( )tt XyY , la serie tX fracasa en la causalidad de Granger de tY si en una regresión de tY sobre las Y rezagadas y las X rezagadas los coeficientes de esta última son cero. Es decir, la hipótesis es:

( )0:

,...,2,10:

1

0

≠==

i

i

HkiH

ββ

y se estima el siguiente modelo:

∑∑=

−=

− ++=k

ititi

k

iitit uXYY

11βα

si se acepta la hipótesis nula, entonces tX fracasa en causar a tY , siendo K arbitrario. Si se rechaza la hipótesis nula, es decir X causa Y, entonces cambios en X deben preceder en el tiempo a cambios en Y.

La prueba de causalidad de Granger asume que la información relevante para la predicción de las variables tY y tX está contenida únicamente en los datos de series de tiempo sobre estas variables.

El test dependerá de m (el # de rezagos) y este es arbitrario, es decir uno puede especificar el número de rezagos. Y el resultado de pronto se vería afectado. Entonces uno debería efectuar los tests con diferentes rezagos y asegurarse que la conclusión del test no se afecte por el número de rezagos.

Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiente modelo:

8

ttttt

ttttt

uXYYXuXYXY

21221212

11121111

+++=+++=

−−

−−

ββαββα

escribamos la forma reducida del modelo:

tttt

tttt

vXYXvXYY

2122121

1112111

++=++=

−−

−−

ππππ

para la no causalidad de Granger se requiere que 021 =π . En cambio, para que tX sea predeterminada de tY debe cumplirse que 02 =α . Para que tX sea estrictamente exógena para tY se requiere que 02 =α y 021 =β .

Sabemos que:

21

2111221 1 αα

ββαπ

−+

=

entonces 021 =π no implica que 02 =α y 021 =β . Por lo tanto, la prueba de causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeterminación ni a la prueba de exogeneidad estricta.

1.4. EVALUACIÓN

Mucho de lo establecido para modelos uniecuacionales es directamente aplicable con la inmediata generalización que supone trabajar con g ecuaciones en lugar de con una sola.

La diferencia conceptual al analizar los errores en modelos multiecuacionales, respecto al caso de ecuación única, reside en que ahora los errores en la variable endógena de una ecuación no pueden asignarse directamente a un defectuoso funcionamiento de la misma, sino que frecuentemente vendrán inducidos por errores en otras ecuaciones conexas con la que estamos estudiando.

El proceso de evolución se realiza ecuación por ecuación y siguiendo los mismo criterios que en la evaluación de un modelo multiecuacional; es decir, el criterio económico, criterio estadístico y criterio econométrico.

1.4.1. CRITERIO ECONÓMICO

Consiste en contrastar si los resultados de la estimación cumplen con las restricciones impuestas por la teoría económica.

La evaluación consiste en verificar si las categorías de signo y tamaño son los que la teoría exige. Por lo tanto, existen sólo dos alternativas:

A.- Los parámetros estimados tengan el tamaño y el signo que la teoría señala, o

9

B.- los parámetros estimados no posean las características que la teoría espera.

Tenemos el modelo de determinación de la renta siguiente:

( )tttt

ttttt

ttt

GGIBCPPBIuTIBPBIPBIIB

uPBICP

++=++−+=

++=

− 22110

110

βββαα

La teoría económica determina que:

0010 211 <><< ββα Los resultados econométricos de la estimación del modelo son: Dependent Variable: CP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1950:2 1985:4 Included observations: 143 after adjusting endpoints Instrument list: C PBI(-1) TIB GG ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C -142.1103 10.13736 -14.01848 0.0000 PBI 0.673290 0.004185 160.8802 0.0000 ============================================================ R-squared 0.994587 Mean dependent var 1416.052 Adjusted R-squared 0.994549 S.D. dependent var 484.8804 S.E. of regression 35.79936 Sum squared resid 180704.8 F-statistic 25882.43 Durbin-Watson stat 0.165631 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

Dependent Variable: IB Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1950:2 1985:4 Included observations: 143 after adjusting endpoints Instrument list: C PBI(-1) TIB GG ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 61.22132 48.49890 1.262324 0.2089 PBI-PBI(-1) 7.496991 1.826459 4.104659 0.0001 TIB 35.78810 5.098588 7.019217 0.0000 ============================================================ R-squared -1.225633 Mean dependent var 385.1077 Adjusted R-squared -1.257428 S.D. dependent var 130.6596 S.E. of regression 196.3126 Sum squared resid 5395412. F-statistic 29.63298 Durbin-Watson stat 1.342052 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

La función consumo personal presenta correcto el signo y tamaño del parámetro, mientras la función inversión bruta presenta un signo correcto y el otro cambiado.

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1.4.2. CRITERIO ESTADÍSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN)

Consiste en someter a los parámetros estimados a una serie de test o exámenes para determinar su grado de confiabilidad o certeza.

La investigación aplicada ha centrado todos estos exámenes en el uso del siguiente procedimiento:

A.- Test o Prueba de Hipótesis: Pueden ser pruebas individuales o conjuntas,

dentro de las cuales se encuentran las pruebas de significancia. La regla de decisión es: Si el estadístico calculado supera al valor de la tabla se rechaza la hipótesis nula, es decir, el estadístico calculado cae en la región crítica.

B.- Test de Bondad de Ajuste: de un modelo estimado a través del coeficiente de determinación (R2): El coeficiente de determinación nos indica la proporción o porcentaje de variación total en la variable dependiente que ha sido explicada por los cambios de las variables explicativas del modelo.

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL:

En la función de consumo personal, la propensión marginal a consumir es significativa al 5% (0.0000); mientras que en la función de inversión bruta, el acelerador y el coeficiente de la tasa de interés son significativos al 5 % (0.0001 y 0.0000 respectivamente).

PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL:

La función de consumo personal e inversión bruta en conjunto son estadísticamente significativas al 5 % (0.000000 y 0.000000 respectivamente).

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE:

En la función de consumo personal es aceptable y significa que el 99.4587 % de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la función de inversión bruta no se puede interpretar el resultado porque nos sale negativo.

TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL

Conceptualmente, no es fácil disponer de una medida única integradora de la bondad de un modelo multiecuacional en su conjunto. Se ha propuesto el coeficiente de Determinación de Dhrymes, que se define:

∑∑

=

=

= G

hy

yG

hh

h

hRR

1

2

2

1

22

σ

σ

11

La crítica a este coeficiente se sustenta en que un modelo multiecuacional no es simplemente una unión de ecuaciones individuales, sino que cobra un carácter unitario que exige una evaluación también global.

Incluso aunque todas las ecuaciones individuales se ajusten bien a los datos y sean estadísticamente significativos, no tendremos la garantía de que en su conjunto, cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajustada.

En el ejemplo del modelo de determinación de la renta, el coeficiente de determinación del modelo es positivo aunque el coeficiente de determinación de la función de inversión bruta es negativo, el coeficiente de determinación de Dhrymes se obtiene de la siguiente forma:

844284.0

6596.1308804.4846596.130225633.1

6596.1308804.4848804.484994587.0

2

22

2

22

22

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

R

R

1.4.3. CRITERIO ECONOMÉTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN)

Corresponde a determinar si todos los supuestos del modelo se han cumplido de manera satisfactoria. Hay que detectar si existe un alto grado de multicolinealidad, heterocedasticidad, autocorrelación, observaciones atípicas, normalidad y estabilidad parametrica.

MULTICOLINEALIDAD:

La multicolinealidad es una cuestión de grado, no de existencia. La decisión importante no es entre presencia y ausencia, sino entre los distintos grados de multicolinealidad.

La regla de Klein en su versión de correlaciones indica que existe un alto grado de multicolinealidad si:

YXX Rrji>

donde

ji XXr es el coeficiente de correlación simple entre dos regresores cualquiera y

YR es el coeficiente de correlación múltiple de la ecuación, o la raíz cuadrada de su coeficiente de determinación. O en su versión más empleada, si al menos una correlación entre regresores supera a una correlación de uno de los regresores con la endógena.

La matriz de correlaciones de las variables del modelo son:

12

Correlation Matrix ================================================

PBI-PBI(-1) IB TIB ================================================ PBI-PBI(-1) 1.000000 0.210195 -0.043968 IB 0.210195 1.000000 0.821177 TIB -0.043968 0.821177 1.000000 ================================================

La función de consumo personal no presenta multicolinealidad. La primera y segunda versión de Klein no se puede aplicar para la función de inversión bruta por tener un coeficiente de determinación negativo. La tercera versión de Klein nos indica que existe un bajo grado de multicolinealidad.

HETEROCEDASTICIDAD:

La hipótesis nula es la existencia de homocedasticidad, es decir no existencia de heterocedasticidad. Esta hipótesis se verificará en los siguientes tests:

1º WHITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede

adoptar la heterocedasticidad. Abrimos la estimación del modelo original (para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ White Heteroskedasticity (no cross terms) y el computador nos muestra el resultado.

En nuestro caso para la primera ecuación es:

White Heteroskedasticity Test: ============================================================ F-statistic 4.476687 Probability 0.013045 Obs*R-squared 8.595526 Probability 0.013599 ============================================================

Para la segunda ecuación da:


Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta.

2º WHITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adoptar la heterocedasticidad. Se abre la estimación del modelo original (para cada una de las ecuaciones), luego ejecutamos la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ White Heteroskedasticity (cross terms) y el

13

computador nos muestra para la primera ecuación:


Para la segunda ecuación da:


Observando la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis

alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, existe heterocedasticidad en la función de consumo personal e inversión bruta.

3º HETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha

elegido que el modelo autorregresivo de heterocedasticidad es de primer orden. Después de abrir la estimación del modelo original ejecutamos la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ Arch LM Test ⇒ 1 ⇒ OK y se obtiene para la primera ecuación:

ARCH Test: ============================================================ F-statistic 334.3676 Probability 0.000000 Obs*R-squared 100.0916 Probability 0.000000 ============================================================

El resultado de la segunda ecuación es:



alternativa en la primera ecuación a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden uno en la función de consumo personal. En la función de inversión bruta existe homocedatsicidad.

Ahora, se comprobará heterocedasticidad de segundo orden; siendo los

resultados de la primera ecuación:

14


En la segunda ecuación se obtiene:


De acuerdo a la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis

alternativa en ambos casos a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe heterocedasticidad condicional autorregresiva de orden dos en ambas funciones.

AUTOCORRELACION:

La hipótesis nula es la no existencia de autocorrelación de orden p, es decir ausencia de autocorrelación de orden p. Esta hipótesis se comprobará en los siguientes tests:

1º DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de autocorrelación de primer

orden, por lo tanto, utilizamos el estadístico Durbin-Watson que se tiene en la estimación de la primera ecuación, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y una variable explicativa (excluyendo el intercepto); a continuación aplicamos la regla correspondiente:

{ 2647.172.1165631.00 32143421UL ddDW

Como el DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden.

Para la segunda ecuación utilizamos el estadístico Durbin-Watson de la

estimación, luego buscamos en la tabla de Durbin - Watson a un nivel de significancia del 5 %, la cota superior e inferior para 143 observaciones y dos variables explicativas; a continuación aplicamos la regla correspondiente:

{ 267.1706.1342052.10UL ddDW

32143421

El valor del DW es inferior a la cota inferior entonces se rechaza la

15

hipótesis nula, es decir, existe autocorrelación positiva de primer orden. 2º BREUSCH - GODFREY (LM).- Comprobaremos que no existe

autocorrelación de primer orden. Abrimos la estimación del modelo original y se ejecuta la siguiente instrucción:

View ⇒ Residual Tests ⇒ Serial Correlation LM Test ⇒ 1 ⇒ OK y el EVIEWS nos muestra el siguiente resultado de la primera ecuación:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ F-statistic 737.9106 Probability 0.000000 Obs*R-squared 115.9041 Probability 0.000000 ============================================================

Y nos muestra el siguiente resultado para la segunda ecuación:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ Obs*R-squared 15.37167 Probability 0.000088 ============================================================

Según la probabilidad del estadístico TR2 se acepta la hipótesis

alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal y en la función de inversión bruta.

A continuación, se verificará autocorrelación de segundo orden;

obteniéndose para la primera ecuación:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ F-statistic 379.6381 Probability 0.000000 Obs*R-squared 116.7076 Probability 0.000000 ============================================================

Obtenemos para la segunda ecuación:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ============================================================ Obs*R-squared 15.39034 Probability 0.000455 ============================================================


alternativa en ambas funciones a un nivel de significancia del 1 %; es decir, existe autocorrelación de segundo orden en las funciones de consumo e inversión bruta.

3º BOX – PIERCE.- Verificaremos que no existe autocorrelación de primer

orden y segundo orden. Abrimos la estimación del modelo original y se ejecuta el siguiente comando:

16

View ⇒ Residual Tests ⇒ Correlogram –Q- Statistics ⇒ 2 ⇒ OK y el EVIEWS y el computador nos da el siguiente resultado para la primera ecuación:

Correlogram of Residuals ============================================================== Sample: 1950:2 1985:4 Included observations: 143 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|*******| .|*******| 1 0.899 0.899 118.09 0.000 .|****** | *|. | 2 0.778-0.160 207.14 0.000 ==============================================================

Se tiene:

0:0:

11

10

≠=

ρρ

HH

comparamos:

( )2

1,95.02 84.3572743.115899.0*143 χ=>==BPQ

Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de primer orden en la función de consumo personal.

Para verificar segundo orden, tenemos:

0:0:

211

210

≠≠==

ρρρρ

HH

calculamos:

( ) ( )2

2,95.022 99.5128355.202778.0899.0*143 χ=>=+=BPQ

Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de segundo orden en la función de consumo personal.

A partir de la segunda ecuación se obtiene:

Correlogram of Residuals ============================================================== Sample: 1950:2 1985:4 Included observations: 143 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|** | .|** | 1 0.327 0.327 15.655 0.000 .|* | .|. | 2 0.117 0.011 17.665 0.000 ==============================================================

17

Se tiene:

0:0:

11

10

≠=

ρρ

HH

comparamos:

( )2

1,95.02 84.3290847.15327.0*143 χ=>==BPQ

Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de primer orden en la función de inversión bruta.

Para verificar segundo orden, tenemos:

0:0:

211

210

≠≠==

ρρρρ

HH

calculamos:

( ) ( )2

2,95.022 99.5248374.17117.0327.0*143 χ=>=+=BPQ

Se rechaza la hipótesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, existe autocorrelación de segundo orden en la función de inversión bruta.

NORMALIDAD: Se plantea la siguiente hipótesis:

Ν≠Ν≈

uHuH

::

1

0

se utiliza el estadístico Jarque - Bera, cuya fórmula es:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−= 22 3

41

6KSKNJB

se tiene la siguiente regla de decisión:

( )2

2,95.099.5 χ=<JB entonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribución normal.

El test de normalidad lo obtenemos de la siguiente forma para la primera ecuación:

Abris EQ1 ⇒ View ⇒ Residual Tests ⇒ Histogram-Normality Test ⇒ OK, obteniéndose el siguiente resultado:

18

0

2

4

6

8

10

12

14

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Series: ResidualsSample 1950:2 1985:4Observations 143

Mean 1.02E-12Median -3.450644Maximum 101.6454Minimum -73.31450Std. Dev. 35.67308Skewness 0.333192Kurtosis 3.135286

Jarque-Bera 2.754957Probability 0.252214

a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una distribución normal.

El test de normalidad se obtiene de la siguiente forma para la segunda ecuación:

Abris EQ2 ⇒ View ⇒ Residual Tests ⇒ Histogram-Normality Test ⇒ OK, obteniéndose el resultado siguiente:

0

5

10

15

20

25

30

-600 -400 -200 0 200 400 600 800

Series: ResidualsSample 1950:2 1985:4Observations 143

Mean 4.84E-14Median -9.054948Maximum 764.3070Minimum -643.3132Std. Dev. 194.9253Skewness 0.233754Kurtosis 5.681904

Jarque-Bera 44.15825Probability 0.000000

entonces, a un nivel de significancia del 1 % lo residuos no se aproximan a una distribución normal.

PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS:

Asumimos en el test de Chow como punto de quiebre 1995:2 y en la función consumo personal nos da:

Chow Breakpoint Test: 1975:2 ============================================================ F-statistic 74.94903 Probability 0.000000 ============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hipótesis nula; es decir, existe cambio estructural.

19

Consideramos como punto de quiebre 1980:2, en la función inversión bruta resulta:

Chow Breakpoint Test: 1980:2 ============================================================ F-statistic 0.396361 Probability 0.755822 ============================================================

Observando la probabilidad, concluimos que aceptamos la hipótesis nula; es decir, no existe cambio estructural.

2. SIMULACIÓN

Para simular los efectos de valores alternativos en diferentes variables o parámetros, es preciso disponer de una cierta solución del modelo que la haga factible en un contexto de simultaneidad de las diferentes ecuaciones.

La simulación más habitual es la que supone cuantificar los efectos sobre las endógenas de valores alternativos para las variables exógenas del modelo. Si los datos de las variables exógenas son históricos se tiene una simulación ex - post o histórica; en cambio, si los datos de las variables exógenas son supuestos para el futuro se trata de una simulación ex - ante.

Es posible realizar otras simulaciones que correspondan a variaciones en los términos de error de cada ecuación (factores adicionales) o incluso retoques en algunos de los parámetros (ajuste y afinado).

2.1. OBJETIVOS

Los objetivos de la simulación pueden ser: 1º La evaluación del modelo y la evaluación de la capacidad predictiva del

modelo. 2º La predicción, se trata de determinar los valores de las variables endógenas

del modelo en base a los valores de las variables exógenas. 3º La comparación de políticas alternativas, en base a diferentes escenarios se

puede determinar los diferentes efectos de las políticas y poder elegir la más conveniente.

4º El análisis de las condiciones dinámicas del modelo, consiste en determinar la

estabilidad del modelo.

20

2.2. TIPOS

Se tienen los siguientes tipos de simulación: 1º Simulación Residual.- Para cada ecuación en forma aislada, se da tanto a las

exógenas como a las endógenas explicativas sus valores reales y se comprueban los errores de cada ecuación y las identidades. Es útil realizarla para comprobar que no existen errores de transcripción, redondeo en los valores de los parámetros, etc., en el modelo definitivamente seleccionado. Es decir:

tttt xyyy 41132211ˆ αααα +++= − 2º Simulación Estática.- Se consideran valores reales en las variables

explicativas, excepto las endógenas corrientes de cada ecuación, que se determinan por el propio modelo en forma conjunta. Sirve para un análisis del funcionamiento período a período del modelo, puede conseguirse trabajando simultáneamente con todas las ecuaciones, pero sin conexión dinámica. Tenemos:

tttt xyyy 41132211 ˆˆ αααα +++= −

Resultados satisfactorios no garantizan el que el modelo no se desestabilice o presente errores importantes después de varios periodos de funcionamiento, ya que en este tipo de simulación, en cada nuevo periodo se sustituyen las endógenas desplazadas por sus valores reales y no por los de solución del modelo para periodos anteriores.

3º Simulación Dinámica.- La solución es simultánea para todas las ecuaciones y

sólo se suministra datos (reales del pasado o supuestos) para las exógenas y el valor inicial de partida de las endógenas. Esta es la que permite contrastar la estabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sería:

tttt xyyy 41132211 ˆˆˆ αααα +++= − 4º Simulación Estocástica.- Se trabaja con las distribuciones de probabilidad

tanto de los parámetros como del término de error. Nos permite establecer el grado de incertidumbre sobre los efectos estimados de una determinada política.

2.3. SOLUCIÓN DEL MODELO

La mayor o menor complejidad en la solución del modelo dependerá de la propia forma en que la simultaneidad se manifieste, de la inclusión o no de ecuaciones dinámicas, de la posible coexistencia de relaciones no lineales junto a otras lineales y del tamaño del modelo.

21

La existencia de variables endógenas desplazadas en el modelo, la forma reducida ya no nos permite una solución inmediata del modelo, dado que la simultaneidad afecta también a las variables endógenas desplazadas y no de todas las variables predeterminadas como se hace en la forma reducida.

Theil y Boot propusieron a estos efectos la denominada Forma Final del modelo, donde las variables endógenas corrientes quedan expresadas en función de sólo las exógenas (corrientes y desplazadas), mediante un proceso de eliminación repetitiva de todas las variables endógenas desplazadas en la forma reducida.

La forma reducida del modelo es:

ttY VXY +∏= Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamiento de ∏ de la forma siguiente:

⇒∏ 0 término independiente. ⇒∏ 0 endógenas desplazadas. ⇒∏ 0 exógenas corrientes. ⇒∏ 0 exógenas desplazadas.

Asumimos que sólo existen variables desplazadas un período, entonces la forma reducida se expresa:

ttttt VZZYY +∏+∏+∏+∏= −− 132110 donde tZ sólo incluye las exógenas corrientes del modelo. Si no existen variables desplazadas, es decir:

ttt VZY +∏+∏= 20 entonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden.

Reemplazando 1−tY en la forma reducida nos da:

( ) tttttttt VZZVZZYY +∏+∏++∏+∏+∏+∏∏+∏= −−−−− 1321231221010 simplificando, tenemos:

( ) ( ) ( )112311312222110 −−−− ∏++∏∏+∏+∏∏+∏+∏+∏+∏= ttttttt VVZZZYIY

Repitiendo el proceso s veces, resulta:

( ) ( )( ) ( )st

stttst

sst

sttst

sst

VVVVZZ

ZZYIY

−−−−−−−

−−−+

∏++∏+∏++∏∏+∏∏+∏∏

++∏+∏∏+∏+∏+∏++∏+∏+∏=

122111131

11312

1312211

112110

...

......

22

Cuando s crece indefinidamente supondremos que 01 →∏ s . Luego se anula los coeficientes de 1−−stZ e 1−−stY .

La suma de matrices del término independiente es:

sIS 1211 ... ∏++∏+∏+=

como se trata de una progresión geométrica infinita, nos da igual:

( ) 11

1

−

∞→

∏−=∏−

= II

ISlíms

La forma final del modelo puede resumirse:

( ) ( ) ∑∑∞

=−

∞

=−

−− ∏+∏∏+∏∏+∏+∏−∏=1

11

113122

110

rrt

r

rrt

rtt VZZIY

Esta expresión recoge los siguientes efectos denominados:

1º Multiplicador de impacto.- recoge el efecto inmediato que cualquier cambio

en la variable exógena tiene sobre la variable endógena. En este modelo es 2∏ . .

2º Multiplicador dinámico.- recoge el efecto según pasa uno, dos, ... , s períodos

que cualquier cambio en la variable exógena tienen sobre la variable endógena. En este modelo son: ( ) ( ) ( ) ...;;; 2

13121312312 ∏∏+∏∏∏∏+∏∏∏+∏∏ 3º Multiplicador total a largo plazo.- viene a ser la suma de todos los

multiplicadores. Tenemos: ( ) ( ) ( ) ...2

131213123122 +∏∏+∏∏+∏∏+∏∏+∏+∏∏+∏=MLP sacando factor común, nos queda:

( )( )...2113122 +∏+∏+∏+∏∏+∏= IMLP

reemplazando la suma del término independiente da:

( )( ) 113122

−∏−∏+∏∏+∏= IMLP simplificando tenemos:

( )( ) 1132

−∏−∏+∏= IMLP

23

En caso de trabajar con variaciones en porcentaje tanto de las variables exógenas como de las variables endógenas, podemos hablar en forma equivalente de elasticidad impacto, elasticidad dinámica y elasticidad total a largo plazo.

Si no existen variables rezagadas (endógenas y exógenas), los coeficientes de la forma reducida son directamente los multiplicadores de impacto y son los únicos multiplicadores en el tiempo y coinciden con los multiplicadores totales.

En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un tamaño que resulta incómodo seguir todo este proceso y se busca una solución al modelo mediante algún algoritmo de resolución por tanteo de sistema de ecuaciones, frecuentemente alguna variante del algoritmo de Gauss - Seidel.

2.4. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINÁMICO

Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan ciertas condiciones de convergencia en relación con las matrices de parámetros de las endógenas desplazadas.

La estabilidad del modelo la entendemos en el sentido de que tienda a una nueva solución de equilibrio después de que se haya provocado un cambio inicial en uno o varios de los valores de las exógenas.

Para el caso de un modelo de G ecuaciones simultáneas con variables endógenas retardadas hasta s periodos, podríamos expresar el conjunto de ecuaciones dinámicas fundamentales como una ecuación en diferencias vectoriales con coeficientes consistentes del tipo:

( )tGYAYAYAYA STSTTT =′++′+′+′ −−− .....22110 donde,

⇒′−rtY vector de las variables endógenas (1xG) que se han transpuesto a efectos de post multiplicar la matriz de coeficientes.

⇒rA matriz de los coeficientes de todas las variables endógenas (GxG) para

cada retardo establecido r ( r = 0, 1, .., s) en las diferentes ecuaciones del modelo.

( ) ⇒tG incluye a todas las variables exógenas desplazadas, corrientes y

término de error para las G ecuaciones.

Dhrymes comprobó que la ecuación en diferencias vectoriales de orden s puede reducirse a una de sólo primer orden; por lo tanto:

01 =− −tt AYY

24

la solución de prueba es:

tt cY λ=

donde,

⇒c vector de G componentes. ⇒λ escalar.

Sustituyendo la solución de prueba en la ecuación en diferencias vectoriales de primer orden, da:

( ) 00

1

1

=−

=−−

−

t

tt

cAIAcc

λλ

λλ

La solución trivial es:

001 =⇒=−t

t Yλ nos exige resolver:

( ) 0=− cAIλ la resolución de esta ecuación supone el cálculo del vector c y la raíz característica 8, siendo precisamente 0=− AIλ la ecuación característica.

Para el conjunto de los G pares de raíces características y vectores característicos asociados ( )hh c,λ de A, puede establecerse la solución general de la parte homogénea como:

∑=

=G

h

thhh

Ht cdY

1λ

donde,

⇒hd debe cumplir el conjunto de condiciones iniciales.

También se puede expresar:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=′=

GtG

t

t

GH

t

d

dd

cccdACY...

...00............0...00...0

... 2

1

2

1

21

λ

λλ

25

Si la condición inicial es 00 YY = , reemplazando en la expresión anterior nos da:

010

0 YCdCddCAY −=⇒== si es que C es no singular.

La solución particular se obtiene de sustituir el valor de d en la expresión anterior, resultando:

01YCCAY tH

t−=

cuyo límite, cuando t tiende a infinito, se anulará siempre que las raíces características sean en valor absoluto inferiores a la unidad; es decir:

Ghh ,...,2,11 =<λ 2.5. EJEMPLO Consideremos el modelo de determinación de la renta:

( )tttt

ttttt

ttt

GGIBCPPBIuTIBPBIPBIIB

uPBICP

++=++−+=

++=

− 22110

110

βββαα

Calculemos la forma reducida del modelo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

−

1000078810.35496991.722132.610001103.142

111496991.710673290.001 1

FR

la forma reducida nos da:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

=039465.1991170.4045565.128115.11045565.1630667.1341597.07960.145093900.0360504.3703968.05148.134

FR

Derivemos la forma final de la función consumo personal, se parte de la forma reducida siguiente:

ttttt

ttttt

ttttt

vGGTIBPBIPBIvGGTIBPBIIBvGGTIBPBICP

312111109

287165

143121

++++=++++=++++=

−

−

−

ππππππππππππ

26

en la función consumo personal sustituimos la variable endógena rezagada por su correspondiente forma reducida, así:

tttttttt vGGTIBvGGTIBPBICP 14313112111210921 )( ++++++++= −−−− ππππππππ

nos queda: 132111224111232102921 −−−− ++++++++= tttttttt vvGGGGTIBTIBPBICP ππππππππππππ

Realizamos la segunda sustitución, resultando:

)()(

)(

23102132121210211224

21110211123321029102921

1321112241112

3232122113109102921

−−−−

−−−

−−−

−−−−

++++++++++++=

++++++++++++=

tttttt

ttttt

ttttt

tttttt

vvvGGGGGGTIBTIBTIBPBICP

vvGGGGTIBTIBvGGTIBPBICP

πππππππππππππππππππππππ

ππππππππππππππππ

Generalizando a l sustituciones:

)(

)(

13

121

1

1122

41

111231102

1

1921

1010

1010

∑∑

∑∑

=−

−

=−

−

=−

−−−

=

−

+++

+++++=

l

l

l

l

ll

l

it

it

iit

i

ti

iti

tti

it

vvGG

GGTIBTIBPBICP

πππππ

πππππππππππ

Si 110 <π entonces la forma final de la función consumo personal es:

)()1

(1

31

211

11224

1

11123

10

921 101010 ∑∑∑

∞

=−

−∞

=−

−∞

=−

− ++++++−

+=i

ti

ti

iti

ti

iti

tt vvGGGGTIBTIBCP lπππππππππππππ

π

para nuestro caso no se tiene forma final de la función de consumo personal porque no se cumple la condición.

Calculemos los multiplicadores de impacto:

0.0939003.360504

4

3

−==−==

ππ

MIGGMITIB

Obtengamos los multiplicadores dinámicos:

........102652.0)045565.1)(139465.0(703968.02

0.098179)139465.0(703968.01.......

673722.3)045565.1)(99117.4(703968.02513624.3)99117.4(703968.01

10122

122

10112

112

−=−==−=−==

−===−===

πππππ

πππππ

RGGMDRGGMD

RIBMDRIBMD

27

Por último, calculamos lo multiplicadores totales, a saber:

∞=++++=++++=

∞=++++=++++=

...)1(...

...)1(...210101224

210122101221224

210101123

210112101121123

ππππππππππππππ

ππππππππππππππ

MTGG

MTIB

Deduciremos la condición de estabilidad del modelo:

44444 344444 214434421434210

3124111

2873

1431

1

1

1

10

6

2

000000

100010001

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

ttt

ttt

ttt

t

t

t

A

t

t

I

vGGTIBvGGTIBvGGTIB

PBIIBCP

PBIIBCP

πππππππππ

πππ

aplicando la ecuación característica, tenemos:

( ) 0

000

00

0000000

100010001

102

10

6

2

10

6

2

=−

=−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

πλλ

πλπλπλ

πππ

λ

se obtienen las raíces características siguientes:

10310

212

000

πλπλλλλ=⇒=−

==⇒=

para que el modelo sea estable debe cumplirse que 1<iλ . En el modelo de la

determinación de la renta no se cumple porque 110 >π , por lo tanto el modelo no es estable. El procedimiento para realizar simulación en Eviews es el siguiente:

1º La estimación del modelo tiene que realizarse mediante un sistema de

ecuaciones; es decir debe tener un icono con el nombre de SYS1.

2º Se tiene que crear un modelo siguiendo los siguientes pasos:

Abrir SYS1 ⇒ Procs ⇒ Make Model ⇒ y el computador nos muestra el modelo con el valor de los coeficientes estimados ⇒ Name ⇒ aparece

28

Model1 ⇒ OK.

3º El Eviews realiza las siguientes simulaciones, a saber:

1.- Estructural (Structural), considera el modelo original excluyendo los términos autoregresivos y de promedio móvil, si el modelo los tiene en su especificación.

2.- Predicción (Fit each equation), es una simulación estática y

considerando que cada ecuación actúa sola, es decir, como si se trata de un modelo uniecuacional.

3.- Simulación Estática (Static Solution), de acuerdo a la definición que se

realizó antes.

4.- Simulación dinámica (Dynamic Solution), conforme al concepto desarrollado anteriormente.

Las instrucciones que se siguen para realizar la simulación son:

Abrir Model1 ⇒ Procs ⇒ Solve ⇒ hay que elegir el tipo de simulación y el rango de la simulación ⇒ Name ⇒ aparece en la ventana de trabajo un icono con el nombre de la variables endógena agregándole la letra F.

Simularemos para le periodo 1997:07 – 1997:12 en el modelo siguiente:

tttt

tttt

ttttt

uCINDDINFuINFDDI

uDDENCIDD

3321

2321

114321

+++=+++=

++++= −

δδδβββ

αααα

se abre el sistema y se genera en eviews el modelo siguiente:

ASSIGN @ALL F1 DD=160.6313558-2.403032846*I+0.1805237945*ENC+0.4840412947*DD(-1) I=30.60088905-0.05913999321*DD+4.50263825*INF INF=7.828404177-0.03281394227*DD+0.0004975424753*CIN

solucionamos el modelo para el periodo 1997:07 – 1997:12 y el eviews nos da:

================================================= obs DDF1 IF1 INFF1 ================================================= 1997:07 242.0579 20.00421 0.825882 1997:08 237.2451 21.15004 1.017152 1997:09 235.8924 21.34454 1.042580 1997:10 233.0783 21.96511 1.143442 1997:11 231.3531 22.30405 1.196059 1997:12 232.2516 22.21368 1.187791 =================================================

29

2.6. CRITERIOS PARA EVALUAR LA CAPACIDAD PREDICTIVA DE UN

MODELO El poder predictivo de un modelo se evalúa de distintas formas, a saber: 1º GRÁFICA La más simple es comparar los valores reales que se producen en el

futuro con los que fueron estimados con el modelo. De forma gráfica se presentan estas parejas de puntos ( )$ ,Y YF F en el diagrama predicción

realización.

Los puntos situados sobre la bisectriz de los cuadrantes 1 y 3

corresponden a predicciones perfectas; aquellos puntos del primer cuadrante situados por debajo de esta recta corresponden a predicciones superiores a los valores verdaderos, y los que aparecen encima, a predicciones por debajo de los valores reales.

2º COEFICIENTE DE JANUS Este coeficiente se define:

comparando el poder predictivo del modelo con el ajuste, ya que el denominador es la varianza residual. Si el poder predictivo se conserva como

en el pasado será J 2 1= , y si aumenta será J 2 1< ; un valor ó J 2 1> ,

ìf

Yf

ìf = Yf

( )( )

JH

Y Y

TY Y

SS

f ff T

T H

t tt

Tf

e

2

2

1

2

1

2

2

1

1=

−

−=

= +

+

=

∑

∑

$

$ $

30

indica pérdida de poder adquisitivo. 3º RAÍZ DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO (RECM) Se define como:

Tiene las mismas unidades de medición que las series reportadas. La

función de pérdida implícita con el RCEM es cuadrática, entonces la pérdida asociada con un error aumenta en proporción con el cuadrado del error.

La desventaja de esta medida es que es una medición absoluta, que

depende de las unidades de medida. 4º ERROR ABSOLUTO MEDIO (EMA) Se define como:

Esta medida es apropiada siempre que la función de pérdida es lineal y simétrica

5º MEDIA DEL VALOR ABSOLUTO DEL ERROR PORCENTUAL (EPMA) Se define como:

Es similar al EMA, excepto que es una medida relativa. Presenta un sesgo que favorece a los pronósticos que se encuentran por debajo de los valores reportados.

Indica qué proporción del error verdadero estimado es error de

predicción.

RECMH

ett T

T H

== +

+

∑1 2

1$

EMAe

H

tt T

T H

= = +

+

∑ $1

EPMAH

eY

t

tt T

T H

== +

+

∑11

$

31

6º RAÍZ CUADRADA RELATIVA DEL ERROR MEDIO (RCREM) Se define como:

Es similar a RECM, excepto que es adimensional. Presenta un sesgo que favorece a los pronósticos que se encuentran por debajo del valor reportado. Considerar el resultado satisfactorio si tiene un valor inferior a tres.

7º COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE THEIL Denominado U de Theil (1961), se define:

no está influenciado por problemas de escala. U oscila entre 0 y 1. Si U tiende a cero, el modelo puede ser utilizado para predecir dado

que sus pronósticos serán fiables. Si U tiende a uno, el modelo no sirve para predecir sus pronósticos no

son reales. El U de Theil se descompone: SESGO + VARIANZA + COVARIANZA = 1 1º Sesgo (Bias Proportion) indica la presencia de algún error

sistemático. El sesgo debe ser cero, en caso contrario el pronóstico no es el más confiable.

2º Varianza(Variance Proportion) indica la habilidad del pronóstico

para replicar el comportamiento de la variable real observada. Si esta proporción es grande significa que el modelo posee menor capacidad para replicar el comportamiento de la

RCREMH

eY

t

tt T

T H

== +

+

∑1 2

1

$

UH

Y Y

HY

HY

t tt T

T H

tt T

T H

tt T

T H=

−

+

= +

+

= +

+

= +

+

∑

∑ ∑

1

1 1

2

1

2

1

2

1

( $ )

$

32

serie. 3º Covarianza (Covariance Proportion) si esta medida es alta significa

que el modelo predice bien, pues el error de la predicción se haría pequeño.

Si alguna o varias ecuaciones estructurales no son identificables, y por lo tanto no se estiman, para realizar predicciones de las G variables endógenas se sustituyen las ecuaciones no identificables por las estimaciones de las correspondientes ecuaciones reducidas. Para la evaluación de la capacidad predictiva del modelo tenemos: GRÁFICA

220

240

260

280

300

97:07 97:08 97:09 97:10 97:11 97:12

DD DDF1

19.5

20.0

20.5

21.0

21.5

22.0

22.5

23.0

97:07 97:08 97:09 97:10 97:11 97:12

I IF1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

97:07 97:08 97:09 97:10 97:11 97:12

INF INFF1

220

240

260

280

300

220 240 260 280 300

DD

DD

F1

33

19

20

21

22

23

19 20 21 22 23

I

IF1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

INF

INFF

1

Los gráficos nos sugieren que hay mejor predicción en la variable I, luego en la variable DD y por último en la variable INF. ESTADÍSTICOS

En eviews se sigue las instrucciones siguientes: 1º COEFICIENTE DE JANUS.-

SMPL 1997:07 1997:12 SCALAR NDD = @SUMSQ(DD-DDF1)/6 = 1223.18519502 SCALAR NI = @SUMSQ(I-IF1)/6 = 0.191246394734 SCALAR NINF = @SUMSQ(INF-INFF1)/6 = 0.609459872245 SMPL 1992:02 1997:06 SCALAR DDD = @SUMSQ(DD-DDF)/65 = 2285.10304411 SCALAR DI = @SUMSQ(I-IF)/65 = 122.82160389 SCALAR DINF = @SUMSQ(INF-INFF)/65 = 2.49422475826 SCALAR J2DD = NDD/DDD = 0.535286668219 SCALAR J2I = NI/DI = 0.00155710712674 SCALAR J2INF = NINF/DINF = 0.24434841737 SMPL 1997:07 1997:12 El modelo predice bien porque los coeficientes Janus son menores a 1.

2º ERROR ABSOLUTO MEDIO.-

GENR EMADD = @SUM(ABS(DD-DDF1))/6 = 31.68694 GENR EMAI = @SUM(ABS(I-IF1))/6 = 0.367363

34

GENR EMAINF = @SUM(ABS(INF-INFF1))/6 = 0.702151 3º MEDIA DEL VALOR ABSOLUTO DEL ERROR PORCENTUAL.-

GENR EPMADD = @SUM(ABS(DD-DDF1)/DD)/6 = 0.116265 GENR EPMAI = @SUM(ABS(I-IF1)/I)/6 = 0.017210 GENR EPMAINF = @SUM(ABS(INF-INFF1)/I)/6 = 3.875138 El modelo para las variables DD e I predice bien porque los estadísticos son pequeños.

4º RAIZ CUADRADA RELATIVA DEL ERROR MEDIO.-

GENR RCREMDD = SQR(@SUM((DD-DDF1)^2/DD)/6) = 2.091169 GENR RCREMI = SQR(@SUM((I-IF1)^2/I)/6) = 0.094746 GENR RCREMINF = SQR(@SUM((INF-INFF1)^2/I)/6) = 1.924288 El modelo predice bien porque los estadísticos son menores a 3.

5º RAIZ DEL ERROR CUADRATICO MEDIO

GENR RECMDD = SQR(@SUMSQ(DD-DDF1)/6) = 34.97406 GENR RECMI = SQR(@SUMSQ(I-IF1)/6) = 0.437317 GENR RECMINF = SQR(@SUMSQ(INF-INFF1)/6) = 0.780679

6º COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE THEIL

GENR UDD = SQR(@SUMSQ(DD-DDF1)/6) / (SQR(@SUMSQ(DD)/6) + SQR(@SUMSQ(DDF1)/6)) = 0.069569 GENR UI = SQR(@SUMSQ(I-IF1)/6) / (SQR(@SUMSQ(I)/6) + SQR(@SUMSQ(IF1)/6)) = 0.010225 GENR UINF = SQR(@SUMSQ(INF-IINFF1)/6) / (SQR(@SUMSQ(INF)/6) + SQR(@SUMSQ(INFF1)/6)) = 0.513630

El modelo predice bien para las variables DD e I porque los estadísticos son menores a 0.10.

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MODELOS MULTIECUACIONALES Y SERIES DE TIEMPO · PDF fileDEFINICIÓN I: En un sistema con variables retardadas se considera como ... Tenemos un modelo de ecuaciones simultáneas con