Moderna III - Profe

27/Mayo/14

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Chapter 1

adan

jajajaja

1.1 choms

lol Proposicion: Sea D ZMod un grupo abeliano entonces D esinyectivo es divisible.

Demostracion:

]

Sea D un grupo divisible y sea

0 A f B g C 0una sucesion exacta corta. Como f es monomorfismo podemos suponerS.P.G que A B.Nota: Por el primer teorema de Iso, tenemos que Img(f)/Nuc(f) = Apero el Nuc(f) = 0 por que f es mono. por lo tanto Img(f) = ASea : A D

0 A f B D

Queremos ver que exista una funcion de B a D de tal manera que eldiagrama conmute, para eso

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tomaremos un conjunto H de todas las funciones que extienden a es decirH = {(H, )|A H B , Hom(H,D), |A = }

Observacion: H 6= 0pues (A, ) H, en H definimos un orden de la siguiente manera:

(H1, 1) (H2, 2) H1 H2, 2|H1 = 1Afirmacion: (H,) es un COPO.Reflecividad:

(H1, 1) (H1, 1) lH1 H1, 1|H1 = 1

Antisimetrica:(H1, 1) (H2, 2)

y(H2, 2) (H1, 1)H1 = H2 y 1 = 2

Transitividad:(H1, 1) (H2, 2) (H3, 3)H1 H2 H3 H1 H3

y 3|H2 = 2|H1 = 1 H es un COPO.

Consideremos una cadena C H

C = {(Hi, i)}iISea (H,) C observemos que:sea i j p.a i, j I tenemos que j|Hi = i ademasH = iIHi y : H D, = iIi donde (z) = i(z)si z Hi(H,) es cota superior de CSea (Hi, i), Hi H = iIHi y |Hi = i (H,) es cota superior de C y ademas (H,) Hpues A H B y |A =

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Luego por ZORN H tiene un maximo .

Sea (M, ) un maximo de H

P.d B = M Demostracion por doble contencion.] Por construccion de M ya esta] Si M ( B entonces b B tal que b / MDefinamos a un W =< m, b > con W B

Caso 1: Si M < b >= 0 entonces W = M < b >sea w W tenemos que w se escribe de manera unica como:w = m+ b.

Definamos: : M < b > D,(m+ rb) = (m) + rd p.a d D

Observacion: |M =

Luego:

|A = ( |M)|A = |A =

(W, ) H y ademas (M.) (W, ) !

Caso 2: Si M < b > 6= 0sea W = M+ < b >, como la interseccion es distinta de cero entonces s N tal que sb Msea (sb) = d D

Observacion: t < s, 0 t, t Ntb / M

Entonces sea n N, n = js+ l, con 0 l < s,

nb = j(sb) + lb

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j(sb) M, lb < b > para un w W , lo podemos escribir de la forma

w = m+ tb con 0 t < s

Como d = (sb) D Divisible m N, d D tal que d = mden particular s N d tal que

d = sd (#)

Sea : W D tal que(h+ tb) = (h) + td

P.D que esta bien definida.Sea

h1 + t1d = h2 + t2d

h1 h2 + (t1 t2)d = 0(h1 h2 + (t1 t2)d)

(h1) (h2) + t1d t2d(h1) + t1d

= (h2) + t2d

esta bien definida1

Seah1 + t1b W, t1 Z

Por Alg. De la Div.t1 = sq + t2, 0 t2 < s+ td = (h1 + t1b)

= (h1 + (sq + t2)b)

= (h1 + q(sb) + t2b)

= (h1 + q(sb)) + t2d, h1 + (qs)b M

= (h1) + q(sb) + t2d

1Idea de Victor

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= (h1) + qd+ t2d

= (h1) + qsd + t2d, d = sd, por (#)

= (h1) + (qs+ t2)d

= (h1) + t1d

esta bien definida2

Ambas demostraciones con correctas, la primera es tomando la definicionde siempre para ver que esta bien definida la otra muestra que noimportando si tomas a t1 como sq + t2, se sigue comportando bien.

2Idea de Profe, Que puede ser tomada como un particular para

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Afirmacion: es morfismo de grupos

(sb) = (0) + sd = d = (sb)

Sea((h1 + t1b) + (h2 + t2b))

= (h1 + h2) + (t1 + t2)d

= (h1) + t1d + (h2) + t2d

= (h1 + t1b) + (h2 + t2b)

es morfismo de grupos.

(W, ) H (M, ) (W, )!

M = BEntonces : B D tal que |A =

Demostracion: ]D inyectvoP.d D sea divisible

Sea d D y sea n N con n 6= 0P.D d tal que d = ndSea : nZ D y tenemos la siguiente sucesion exacta corta

0 nZ i Z Zn 0 D

Con morfismocomo D es inyectivo entonces, : Z D tal que,

n(1) = (n) = ( i)(n) = (n) = dpara d D D es divisible

tengo sueno

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