Módulo nº4

Instituto Profesional de ChileIngeniería en sonidoAcústica General

Módulo de Aprendizaje Nº 4

Movimiento Armónico Simple 3

1.- Objetivos de módulo:

Conocer en detalle los conceptos de período y frecuencia de un M.A.S.

Relacionar las variables angulares del movimiento de un objeto que gira en

círculo, con el movimiento armónico simple.

Conocer la ecuación general del movimiento armónico simple y su solución.

2.- Desarrollo de contenido.

2.1.- Período T y frecuencia f de un movimiento armónico simple.

Para poder deducir una ecuación que defina el período de un movimiento

armónico simple, se puede comparar este movimiento con el de una masa que gira en un

círculo, debido a la naturaleza sinusoidal de este tipo de movimiento.

Observe que el movimiento circular del punto P, genera un movimiento horizontal del

sistema masa-resorte.

Al hacer girar una masa sobre una mesa,

describiendo un círculo de radio A y con

1

m

P

Figura1.1: Sistema masa-resorte oscilando a partir de un movimiento circular uniforme.

vo

(a)

y

v

A

x

22 xA

vy

v

y

x

x

(b)

vv


velocidad V0, la vista desde el borde de la

mesa nos mostrará un movimiento armónico

simple (Fig. 1.2 (a)y (b)). Por lo tanto lo que

interesa es la proyección del movimiento

circular en el eje x.

Al calcular la componente x de la velocidad

V0, identificada como v, veremos que es

igual a la encontrada para una masa que

oscila con un movimiento armónico simple.

Como ambos triángulos que se ven en la Fig.1.2 (a) son semejantes, se tiene que:

O (m/s) (1.1)

Por lo que se puede decir que la proyección sobre el eje x de un objeto que gira

en círculo tiene el mismo movimiento que el de una masa que cuelga al extremo de un

resorte.

Con esta analogía podemos ver que el tiempo necesario para un período es igual

al perímetro del círculo descrito, dividido por la velocidad V0.

(s) (1.2)

De las ecuaciones de energía en un sistema oscilador simple, tenemos que:

2

Figura 1.2 (a) Movimiento armónico simple en forma circular vista desde arriba y (b) horizontalmente al plano de la mesa.


Lo que implica que

Por lo tanto, el período de un movimiento armónico simple está dado por la

siguiente expresión:

(s) (1.3)

Se puede observar que el período de pende de la masa m y de la constante del

resorte K, pero no de la amplitud.

Tomando en consideración que la frecuencia es f = 1/T, podemos escribir:

(Hz) (1.4)

2.2.- Ecuación general de un movimiento armónico simple.

Como vimos anteriormente el movimiento

armónico simple descrito por una masa sujeta a un

resorte, es igual a la proyección sobre el eje x de

un objeto que gira en círculo.

También sabemos que para indicar la posición del

objeto en movimiento en cualquier instante de

tiempo, se utiliza el ángulo θ descrito por la

trayectoria del objeto sobre el círculo, respecto del

eje x (Fig. 1.3).

3

r

P

l

x

Fig. 1.3 Ángulo θ formado entre el eje de referencia x y la posición del punto P.


La velocidad angular ω, está dada por la distancia recorrida por el objeto, es

decir, el ángulo descrito θ, dividida por el tiempo t que demore en recorrer dicha

distancia.

(Rad. /s) (1.5)

En trigonometría se define: cos θ = ;

Luego, si reemplazamos por los valores definidos en el triángulo, tendremos que:

De este modo obtenemos que la posición del objeto sobre el eje x es:

(m)

Y reemplazando θ de la ecuación 1.13 tenemos:

x = A cos ωt (m)

O en términos de período: x = A cos 2 /T * t (m)

O en términos de frecuencia: x = A cos 2 f *t (m)

Observe en la ecuación 1.8 que cuando t = T, es decir, después de un tiempo T igual a un período, tendremos que:

4

ω = θ / t

f (x)

x

cos x

20

Fig. 1.4 x(t) = función Acos 2 t/T

A

-A


Luego, el ciclo se repite después de un tiempo T y por lo tanto,

Cos 2 = Cos 0

En resumen: cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, la proyección del objeto sobre el eje x es un Movimiento Armónico Simple cuyo período T se repite cada 2 radianes.

Ahora si las oscilaciones se inician cuando t = 0 segundos, dando a la masa un empuje cuando está en la posición de equilibrio x = 0, la ecuación será:

: x = A sen 2 /T *t (m)

Si observamos ambos gráficos notaremos un corrimiento en la función descrita.

Este corrimiento se conoce como constante de fase y se denota por la letra Esta

constante expresada en radianes permite obtener la posición de la partícula en el instante

inicial t = 0. Finalmente incluyendo el valor de la constante de fase se obtiene la

ecuación general del movimiento armónico simple.

(m) (1.6)

Donde:

X(t): Posición de la partícula con respecto al tiempo (m).

A: Amplitud máxima con respecto a la posición de equilibrio (m).

(t + ): Fase instantánea del movimiento (rad).

: Constante de fase (rad).

: velocidad angular o frecuencia angular (rad/s).

5

T t (s)

X(t)

0

A

-A

Fig. 1.5 función x(t) = A sen 2t/T


t: tiempo (s).

Una aplicación es calcular el valor de la raíz cuadrática media de la amplitud,

que es la raíza cuadrada de la suma de los desplazamientos medios al cuadrado durante

un período. Para una onda sinusoidal, la amplidtud RMS, Xrms. Es 0,707 veces el valor

máximo o peak.

Tenemos:

(1.7)

(1.8)

Por lo tanto para un valor de amplitud máxima igual a 3 el valor RMS es 0,707

veces 3, o sea, 2,12 y el valor promedio de la onda es 1,91.

3.- Evaluación de módulo:

1.- ¿Qué es el período de una oscilación?

2.- ¿Qué es la frecuencia angular?

3.- ¿Qué diferencia hay entre la función seno y coseno?

6

T t (s)

X(t)

0

A

-A

Amax = 3


4.- Se tiene la siguiente función que describe una oscilación simple

x(t) = 20 cos (2 * 550 * t + /2). Encuentre los valores de:

a) Amplitud.

b) Frecuencia.

c) Constante de fase.

d) Período.

4.- Bibliografía:

1.- Recuero López, Manuel – Ingeniería acústica.

2.- SETO – Acústica, Serie Schaum.

3.- Kinsler, Lawrence – Fundame

4.- Sommerhoff, Jorge – Acústica.

7

Documents

Módulo nº4