caos

CIENCIA

CIENCIA EFECTO

Predicción de:eclipseseclipsesperíodos de cometasmareasEtcEtc.

MAREAS(predecibles)

CLIMA(predecible?)(p )

Tablas para varios años

(p )

Horizonte de predectibilidad?

V i bl V i blVariables.

TemperaturaS li id d

Variables.

TemperaturaHh d dSalinidad

PresiónOndas superficiales

Sol y Luna

HhumedadPresiónViento

NubosidadSol y LunaForma costera

profundidad

Nubosidad

Para describir lo que no entendemos introducimos el azar

AZAR

P tid dPartida de dados Mov de un

globo que se desinfla

clima

desinfla

Paradigma clásico

Más y mejor información

predectibilidad

Teoría del Caos(Caos = impredectibilidad)

Si tSistemas simples con

reglas deterministas

impredictibilidad

deterministas

Más informacióninformación

Aleatoriedad es FundamentalEl caos puede

serser determinista?

Visión clásicaVisión clásica

pasado futuro

CaosCaos

Futuro 1

F t 2

incertezaspasado

Futuro 2

Futuro 3incertezasminúsculas

p

Futuro N

Futuro M

Caos – Horizonte de predictabilidad

Reducción histórica del universo del Caos al CCosmos

Más leyes físicas Menos caosverificadas Menos caos

GalileoNewtonNewtonLeibniz

Maxwell… Futuro sin caos?

Una conciencia capaz de conocer las posiciones y velocidades exactas

Demonio de Laplace

las posiciones y velocidades exactas de todos los objetos del universo en

un instante dado, así como las fuerzas que los afectan puedefuerzas que los afectan, puede

calcular cualquier evento pasado o futuro

Atentados al Determinismo

Cuando conocemos el presente Podemos calcular el futuro

Heisemberg

premisa falsa Heisemberg

No podemos conocer todos los detalles del presente p(principio de incerteza)

El Determinismo no se rinde

Lewis F. Richardson, 1922“Wheather Prediction by Numerical Process”

ENIAC, 1940

Centros meteorológicos

ENIAC

Electronic Numerical Integrator And Computer

ENIAC

El Determinismo no se rinde

Admisión de las incertezas peroAdmisión de las incertezas, pero…

Causas casi iguales

Efectos casi igualesiguales iguales

P P

Incerteza del d

ΔeP ΔeF

T T

estado

Hum Hum

presente futuro

Es un caso frecuente, ¿o no?

Leyes físicas MegaCálculos en ordenadores

Misiones espaciales

Pero no es un principio universal

T í d l CTeoría del Caos

Chaos theory is a field of study in mathematics, physics, and philosophystudying the behavior of dynamical systems that are highly sensitive to initial conditions. This sensitivity is popularly referred to as the butterfly effect. y p p y ySmall differences in initial conditions (such as those due to rounding errors in numerical computation) yield widely diverging outcomes for chaotic systems, rendering long-term prediction impossible in general. This happens even though these systems are deterministic, meaning that their future behaviour is fully determined by their initial conditions, with no random elements involved. In other words, the deterministic nature of these systems does not make them predictable. This behavior is known as deterministic chaos, or simply chaos.

Wikipedia

F t l

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular se repite a diferentes escalas El término fue propuesto por el

Fractales

o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

•Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. •Posee detalle a cualquier escala de observación•Posee detalle a cualquier escala de observación. •Es autosimilar (exacta, aproximada o estadística). •Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológicadimensión topológica. •Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

Este enunciado NO tiene validez GENERAL

Un proceso simple puede ser responsable de un patrón muy complejo

P li t dProcesos realimentados

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

…

1:m<1 cámara – monitor sin rotar

No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

1:m>1 cámara – monitor sin rotar

El proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de laEl proceso de retroalimentación puede describirse como una reducción de la imagen hacia un punto interior de la pantalla. Si acercamos la cámara lo suficiente como para que desde su visor sólo observemos pantalla observaremos lo contrario. La imagen se expandirá. Para conseguir imágenes obse a e os o co t a o a age se e pa d á a a co segu áge esque le resultarán hipnóticas atenuaremos el brillo del televisor y aumentaremos el contraste. Tras apagar la luz de la habitación, ajustaremos el zoom de la cámara de modo que la pantalla del televisor quede perfectamente encuadrada q p q psin que aparezca el marco del televisor. Es decir nos encontramos en la región ni demasiado lejos para que la imagen se contraiga, ni demasiado cerca para que la imagen se expanda. En este sencillo sistema se pueden modificar muchas variables como el zoom, el foco o el ángulo con que encaramos la pantalla del televisor.

1. La pantalla se vuelve totalmente blanca o se fija una mancha de luz estable. Este resultado es, en lenguaje de los sistemas dinámicos, un punto fijo.

2. Aparece una mancha de luz pulsante (estado estacionario periódico).3. Asistimos a una frenética aparición y desaparición de manchas de luz sin

orden ni concierto (caos determinista).4. Nuestra pantalla exhibe un patrón organizado o complejo de manchas, de

i i i á i d l ireminiscencias orgánicas, que parecen crecer, decrecer y evolucionar (dinámica compleja o auto-organizada).

1:1 cámara – monitor rotados

1:1 cámara – monitor rotados

Space-time dynamics in video feedbackSpace time dynamics in video feedbackPages 229-245James P. Crutchfield

1:1 cámara – monitor rotados

Reducción realimentada

caso trivial

GaussGauss

Un caso no trivial

Se lo aplicamos a la siguiente figura original

Y conduce a un patrón interesante

Gasket de Sierpinski

Gasket de Sierpinski

Independientemente de la figura inicial, el proceso iterativo lleva siempre al mismo patrón: Gasket de Sierpinskip p p

⇒ estabilidad

autosimilaridad

Este es un proceso de realimentado lineal e isótropo

Otros procesos realimentados

ejemplo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ nn

axx21

1 ⎟⎠

⎜⎝ nx2

Supongamos que a = 2⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+=+ nnaxx 1

1Damos valor inicial de x0 = 3

8333331231⎟⎞

⎜⎛

⎟⎠

⎜⎝

+n

nn x21

833333.13

321 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=x

21 ⎞⎛ 46212121.1833333.1

2833333.121

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=x

41499843.1462121211

246212121.121

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=x

46212121.12 ⎠⎝

41421378124149984311⎟⎞

⎜⎛ + 41421378.1

41499843.141499843.1

24 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=x

⇒= 41421356.12Se aproxima a estabilidad

Realimentación en dos etapas

Corresponde a la expresión

( )11 , −+ = nnn xxgx

Por ejemplo,

( )( ) 11, +− += nnnn xxxxg (F)

Esta serie tiene propiedades y aplicaciones interesantes Por ejemplo, comenzando con

1;0 10 == xx

Da lugar a la secuencia

...,377,233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,0

De la cual se sigue que las razones

/ nn xx /1+

Se aproximan cuando n →∞ al númerop

251...61803398,1 +

=2

Conocido como número de oro o proporción divina.

Esta realimentación en dos etapas en verdad no difiere demasiado de laIteración en una etapa En realidad es la iteración en una etapa de un vectorIteración en una etapa. En realidad es la iteración en una etapa de un vector

de dos componentes

Llamando:

( ) nnnnn yxyxgx +==+1 ,

Llamando:

nn xy =+1

Obtenemos el siguiente proceso de una etapa y dos variables:

Que produce los mismos resultados

Otro ejemplo

( )⎩⎨⎧

+=

imparxsixparxsix

xf nnn 13

2/

⎩ + imparxsix nn 13

Secuencias para diferentes x0

0x

...,1,2,4,1,2,4STOP =

A t t l i lAparentemente la secuencia se alarga para mayor x0 …

270 =x 270x

!oops

negativoxpara 0

00 =xpara

sorteoLa Máquina de la Rueda de la Fortuna…

(aún no bien comprendida)

…y el juego del Caos

Marcar tres puntos en una hoja1

32

x

Usar un dado para seleccionar 1, 2 ó 3

Marcar un punto inicial x 32

Trazar un nuevo punto en el medio del segmento entre el punto inicialy el seleccionado

Reiterar los últimos dos pasos usando el último punto en lugar del puntoinicial

¿qué sale?

Chaos game

juego del Caosj g

al gasket de Sierpinski!

Iteradores cuadráticos

ejemplo

5.0;2 0 =−= xc

16 d i l16 decimalesImporta?

Heinz-Otto Peitgen

Cada vez más decisiones en el desarrollo de la ciencia y la tecnologíay también en economía y política se basan en cálculos y simulaciones agran escalagran escala

Problemas con poblaciones

Suponemos un medio ambiente constanteN es la máxima población que admite el medio ambientePn es la población al tiempo nPn= Pn/N

T d i i tTasa de crecimiento

nnnn ppPP −=

− ++ 11

nn pP

postulamos

( )nnn pr

ppp

−=−+ 11

postulamos

Tasa de crecimientoProporcional a la

np Diferencia entre N y Pn

( )nnnn prppp −+=+ 11 Proceso realimentado

Proceso realimentado

Medidas de pn a lo largo del tiempoMedidas de pn a lo largo del tiempo

pn

( )01.0;3 0 == pr

( )nnnn prppp −+=+ 11

; 0p

más de 12 decimales

Interludio: el experimento de Lorenz

Sin pararSin parar

1956

Parando y reiniciando

diferencia

el experimento de Lorenz aplicado a poblaciones

( )prppp += 1

01.0;3 0 == pr

( )nnnn prppp −+=+ 11

Poblaciones con dos calculadoras

Más confusión?

( )1 prpp −+ ( )( ) 21 1

1

nn

nnnn rppr

prppp

−++

=+ Es lo mismo!

CasioCasio

Mediante cálculos de precisión finita no hay cura para los efectos dañinos del caos

Tarde o temprano la predictibilidad se pierde

Nota:Nota:Es simple demostrar la equivalencia entre las expresiones:

( )1( )nnnn prppp −+=+ 11

Cxx nn +=+2

1

Mediante la transformación lineal

r+1 1 2r Cambio denn rprx −

+=

21

41 rC −

=Cambio de

escala

Estos dos procesos muestran el mismo comportamiento caótico

F C

La culpa la tiene el cuadrado?

21 +=+ cxx nn caótico

5.0;2 0 =−= xccaótico

1;2 0

21

=−=+=+

xccxx nn no caótico

21 +=+ cxx nn óti

2;2 0

1

=−=+

xcnn no caótico

999999,1;2 0

21

=−=+=+

xccxx nn caótico!

La culpa la tiene el cuadrado?2

1 +=+ cxx nn

5.0;1 0

1

=−=++

xccxx nn Caótico?

Predecible!(estable)

CausalPredecible!

Pequeños errores decaen

Pueden despreciarse

(estable) en el procesodespreciarse

Cáótico Pequeños errores se

No pueden Impredecible!

(inestable)

errores se amplifican en

el proceso

despreciarseError ∼ Señal

Realimentación gráfica

( )xaxx 1( )nnn xaxx −=+ 11

( )parábola

( )xaxy −= 1

estable

inestable

a = 4Caos lab

Chau y Gracias