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Liceo Fermın del Real Castill oDepartamento de CienciasProyecto “Epıtom e”

Guıa 5Fısica para PSU: Momentum lineal y colisiones

1. Impulso y momentum.

La segunda ley de Newton habla soble el cambio del momentum . Como ya se menciono en una guıa anterior,el momentum es una cantidad vectorial, que equivale al producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. El

momentum tiene la misma direccion y sentido que la velocidad del cuerpo en cuestion,

p = mv . (1)

Es claro que si trabajamos en la Tierra, la experiencia nos indica que la masa permanece, para los efectos dela mecanica newtoniana, constante. Si ese cuerpo tiene velocidad constante, entonces el momentum tambien esconstante. De otra forma, si sobre el cuerpo no actua una fuerza neta, su momentum es constante, esto es, seconserva.

En la guıa de dinamica, vimos que la segunda ley de Newton parte de la igualdad entre el cambio de momentumy el producto F ∆t, y llega a la expresion F = ma. Ahora, haremos el camino inverso.

Sabemos que la aceleracion es el cambio de velocidad de un cuerpo en el tiempo. Como F = ma, podemosreemplazar a con lo que significa, es decir

F = m∆v

∆t

.

Multiplicando ambos miembros por ∆t, obtenemos la ecuacion

F ∆t = m ∆v . (2)

El primer miembro de esta ecuacion se denomina impulso. El impulso es una cantidad vectorial, cuya direccion ysentido corresponden a la direccion y sentido del vector fuerza. Las unidades de medida del impulso son el newtonsegundo [N s].

Como ya dijimos que la masa en estos casos de estudio permace constante, podemos reemplazar la ecuaci on (1)en la ecuacion (2), y obtenemos la expresion de la segunda ley de Newton

F ∆t = ∆ p . (3)

La ecuacion (3) se denomina teorema del impulso y el momentum. Frecuentemente, la fuerza no es constantedurante el tiempo que dura la interaccion. En ese caso, para el teorema del impulso y el momentum se utiliza lafuerza media.

Algunas consecuencias de la ecuacion (3) son:

Un cambio grande de momentum ocurre solo cuando hay un impulso grande.

Un impulso grande puede ser el resultado de una fuerza grande que actua durante un corto tiempo, o de unafuerza pequena que actua durante un tiempo largo.

Ejemplo 1 Una pelota de beisbol de 0,144 [kg] es lanzada horizontalmente a +38 [m/s]. Despues de ser golpeada por un bate se mueve horizontalmente a −38 [m/s].

a) ¿Que impulso le dio el bate a la pelota?

b) Si la pelota y el bate estuvieron en contacto 0,80 [ms], ¿cu´ al es la fuerza media que ejerci´ o el bate sobre la pelota?

c) Encuentre la aceleraci´ on media de la pelota durante su contacto con el bate.

Indique la direcci´ on del impulso, de la fuerza y de la aceleraci´ on.

Solucion:a)

Vamos a suponer que el movimiento de la bola de beisbol ocurre solo en una dimension, es decir, a lo largo deuna l ınea recta. Con esto, decimos inmediatamente que la bola via ja hacia la derecha antes del golpe, y despues seregresa (viaja hacia la izquierda) por la misma lınea.

Usando la ecuacion (3), tenemos que

F ∆t = ∆ p

= m(vf − vi)

= 0,144[kg] (−38 − (+38) [m/s])

−11

kg ·m

s

.

Significa que el impulso dado a la bola tiene la misma direcci on y sentido que la velocidad final de la bola, es decir,la direccion es la horizontal y el sentido es hacia la izquierda.

Proyecto de mejoramiento del aprendizajede las ciencias e n el aula “Epıtome”.

1




b)Sabemos que la fuerza no es constante a lo largo de todo el tiempo. Pero para los efectos de este calculo,

utilizaremos la fuerza media. Tenemos, por el teorema del impulso y el momentum, que

F =∆ p

∆t

=−11,0[kg · m

s ]

8,0 · 10−4 [s]

−1,4 · 104 [N] .

Significa que la fuerza media ejercida sobre la bola por el bate tiene la misma direcci on y sentido que la velocidadfinal de la pelota, es decir, la direccion es la horizontal y el sentido es hacia la izquierda.

c)Ya se tiene la fuerza media que ejerce el bate sobre la pelota. Ahora, tenemos que conocer la aceleraci on media

de la bola en ese pequeno intervalo de tiempo. Aplicando la expresion F = ma, y despejando a, obtenemos

a = F

m=

−1,4 · 10−4 [N]

0,144[kg]

−9,7 · 104m

s2

.

La aceleracion corresponde a aproximadamente 10000 veces g en la misma direccion y sentido que la velocidad finalde la pelota, es decir, en la direcci on horizontal y con sentido hacia la izquierda.

- - - - - - - - - - - - - - -

2. Conservacion del momentum en una dimension.1

Un sistema cerrado es aquel en que los objetos no entran ni salen de el. Un sistema aislado es aquel endonde no actua una fuerza neta externa.

Proposicion 2.1 (Conservacion del momentum lineal) El momentum de un sistema cerrado y aislado per-manece constante.

No importa cuantos objetos pertenezcan al sistema. Solo es necesario que no entren ni salgan objetos del sistema yque no actue sobre el una fuerza neta externa. El momentum total del sistema es la suma vectorial de los momenta2

lineales de los diferentes cuerpos que forman parte del sistema.Consideremos el siguiente ejemplo. Dos vagones A y B, cada uno con una masa de 3,0 · 105 [kg]. El vagon

B, ubicado a la izquierda del vagon A, se mueve con una velocidad vB(i) = 2,2 x [m/s] mientras que el vagon A

esta en reposo. El sistema es constituıdo por los vagones, y supondremos que no existe roce entre los rieles y lasruedas, con lo que la fuerza externa neta es cero. Luego, los dos vagones forman un sistema cerrado y aislado, y el

momentum del sistema se conserva. Cuando los vagones chocan, se acoplan y se mueven juntos. Podemos utilizarla conservacion del momentum para hallar la velocidad de los vagones acoplados.

Ejemplo 2 Con los datos del p´ arrafo anterior, encuentre la velocidad final del sistema vagones acoplados.

Solucion:Sean mA = mB = m las masas de los vagones. La velocidad inicial de A es vA

(i) = 0, luego el momentum inicialde A es pA

(i) = 0. El momentum inicial de B es pB(i) = m vB

(i) Luego, el momentum inicial del sistema es

P i = pA(i) + pB

(i)

= m vB(i)

Despues del choque, los dos vagones acoplados tienen (evidentemente) la misma velocidad final, vA(f ) = vB

(f ) =

v(f ). Recordando que las masas son iguales, pA(f ) = pB(f ) = mv(f ). Luego, el momentum final del sistema es

P f = pA(f ) + pB

(f )

= 2 mv(f )

1Cuando se hable en las siguientes secciones de

pJ (i) , pJ

(f ) , vJ (i) y vJ

(f ) ,

nos estarenos refiriendo a los vectores momentum inicial y final y a los vectores velocidad inicial y final del cuerpo J , respectivamente,

para cualquier cuerpo J .2El plural de la palabra momentum es momenta.


2




z

x

B(i)v = 2,2 x [m/s]

Av = 0,0 x [m/s](i)

B A B A

Bv = 1,1 x [m/s](f) (f)v = 1,1 x [m/s]

A

x

z

Figura 1: Diagrama para la situacion del ejemplo 2. La figura de la izquierda corresponde a la situacion antes delchoque, y la figura de la derecha corresponde a la situacion despues del choque.

Y, por la ley de conservacion del momentum, tenemos finalmente que

P i = P f

pA(i) + pB(i) = pA(f ) + pB(f ) (4)

m vB(i) = 2 mv

(f )

desde donde tenemos que

v(f ) =

1

2 vB

(i)

Y como vB(i) = 2,2 x [m/s], tenemos que

v(f ) = 1,1 x

m

s

.

- - - - - - - - - - - - - - -

El ejemplo anterior nos muestra un par de hechos importantes. El primero lo ilustra la ecuaci on (4). Para un

sistema cerrado y aislado, esta ecuacion siempre es valida. Puede que el sistema sea un rifle y la bala a disparar, odos bolas de billar que se mueven en la misma recta, o dos vehıculos que van por la misma carretera recta y amboschocan.

El segundo hecho viene de recordar que la diferencia de momentum es el momentum final menos el momentuminicial, y de reacomodar la ecuacion (4) a la forma

pA(f ) − pA

(i) = pB(i) − pB

(f )

∆ pA = −∆ pB (5)

donde se muestra que el momentum ganado por una de las partes del sistema es igual al momentum perdido por laotra parte. De otra manera, el momentum se transfiere.

3. Fuerzas internas. Conservacion del momentum en dos o mas dimen-siones

3.1. Fuerzas internas.

Supongamos por un momento que dos ninas patinadoras sobre hielo estan quietas, paradas una frente a otra. Elsistema esta formado por ambas patinadoras, y es un sistema aislado y cerrado. El movimiento de ambas patinadorassera en una lınea recta. Si una de ellas empuja a la otra, ambas chicas se mueven, pero solo se ha ejercido una fuerzainterna, por lo que el momentum del sistema se conserva. Es relativamente sencillo mostrar (h agalo como ejercicio)que, de acuerdo a la ecuacion (4),

mA vA(f ) = −mB vB

(f ).

Como el momentum inicial del sistema es cero, la suma vectorial de los momenta despues de la colision tambien

es cero. Luego, el sentido de movimiento de una patinadora sera opuesto al sentido de movimiento de la otra. Sinembargo, las velocidades de ambas no seran iguales en magnitud, salvo que ambas patinadoras tengan la mismamasa.

Todo lo expresado antes es verdadero porque el sistema es aislado y cerrado, y consta de ambas patinadoras.Supongamos ahora que nuestro sistema esta formado solo por la patinadora que no empuja. Luego, la patinadoraque sı empuja esta fuera del sistema, y por consiguiente el empujon es una fuerza externa. Con esto, el momentumtotal del sistema habrıa cambiado, y la ecuacion (4) no serıa valida en este caso.

Un ejemplo de conservacion de momentum es un cohete (por ejemplo el transbordador espacial Discovery de laNASA o el Saturn V que llevo al Apollo XI a la Luna). El combustible y el oxidante se combinan quımicamente, ylos gases calientes resultantes son expulsados a gran velocidad por las toberas del cohete. Antes de la combusti on,


3




el cohete con su combustible sin quemar se mueve hacia adelante con una rapidez constante, y su momentum esmv. Despues de iniciada la combustion, la masa de los gases se mueve hacia atras con una alta velocidad relativaal cohete. Dado que el momentum se conserva, el cohete con su masa reducida por el combustible quemado, debemoverse hacia adelante con una mayor velocidad.

Ejemplo 3 Un astronauta A de 84 [kg] de masa en reposo en el espacio enciende un peque˜ no cohete que expele 35[gr] de gas caliente G a 875 [m/s]. ¿Cu´ al es la velocidad del astronauta despues de encender el cohete?

Solucion:Este es un problema de colisiones. Supongamos que el astronauta y los gases se mueven en el eje x (es decir, en

la horizontal). Sea A el astronauta y G el gas del cohete (como ya se ha dicho). Aplicando la ecuaci on (4), podemos

ver inmediatamente que vA(i) = vG

(i) = 0, por lo que pA(i) = pG

(i) = 0, y luego pA(f ) = − pG

(f ). Desde esta ultimaecuacion, tenemos que

mA vA(f ) = −mG vG

(f )

vA(f ) =

−mG vG(f )

mA

y que con los valores numericos de los datos nos queda

vA(f ) −0,36

m

s

,

lo que nos indica que el astronauta sufre un retroceso en la direcci on opuesta al sentido de movimiento del gas.Practicamente, si el sentido de movimiento del gas es hacia +x (hacia adelante), entonces el astronauta se muevecon sentido −x (es decir, hacia atras). Si el gas se mueve en el sentido negativo, entonces el astronauta lo har a enel sentido positivo.

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3.2. Conservacion del momentum en dos dimensiones.

Hemos visto que, en una dimension, el momentum se conserva. Ahora veremos que la ley de conservacion delmomentum es valida para todos los sistemas aislados y cerrados, sin importar las direcciones de las partıculas delsistema antes y despues de los choques entre ellas.

Veremos directamente este caso con un ejemplo.

Ejemplo 4 Una bola A de masa mA = 2,0 [kg] que se mueve con una velocidad vA(i) = 5,00 [m/s], choca con una

bola estacionaria B de masa mB = 2,0 [kg] de masa. Despues del choque la bola A se mueve en una direcci´ on de30◦ a la izquierda de su direcci´ on original. La bola B se mueve en una direcci´ on de 90◦ a la derecha de la direcci´ on

final de A.

a) Dibuje un diagrama vectorial para encontrar el momentum de A y de B despues de la colisi´ on.

b) Encuentre las velocidades de las bolas despues de la colisi on.

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A

2,0 [kg]

5,0 [m/s]

30º

60º

A

A

B

B

Ap (f)

Bp (f)

f P

30º 60º

90º

Figura 2: Situacion fısica y diagrama vectorial para el problema de ejemplo 4. El vector P f corresponde tambien al

vector P i. ¿Puede decir por que?

Solucion:


4




Es claro que, de acuerdo con la ecuacion (4), tenemos que

P i = pA(i) + pB

(i)

= 0 + mA vA(i)

P i = mA vA(i)

y que

P f = pA(f ) + pB

(f )

El punto es saber calcular los vectores momenta final para cada bola. Como el momentum se conserva, la sumavectorial de pA

(f ) y pB(f ) debe ser necesariamente igual a P i. Eso se muestra en la imagen derecha de la figura 2.

Se puede obtener el modulo de los vectores momenta final usando trigonometrıa:

cos30◦ =| pA

(f )|

mA | vA(i)|

y tambien sin 30◦ =| pB

(f )|

mA | vA(i)|

.

Desde allı es sencillo despejar los modulos de los momenta finales de cada bola, encontrandose que

pA(f )

8,7kg m

s

y tambien pB(f )

= 5,0kg m

s

.

Ahora, es solo cuestion de utilizar la definicion de momentum (es decir, | pJ (f )| = m | vJ

(f )|) para encontrar las

magnitudes de las velocidades finales de cada bola. Despejando | vJ (f )| (donde J representa la bola A o la bola B),

tenemos que| vA

(f )| 4,4 [m/s] y tambien | vB(f )| = 2,5 [m/s] .

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4. Colisiones elasticas e inelasticas.

Una colision se dice perfectamente el´ astica si los cuerpos que chocan se separan de manera que la energıacinetica y el momentum lineal se conservan. Por el contrario, una colision perfectamente inel´ astica es aquella enque, despues del choque, los cuerpos permanecen unidos y se produce la maxima perdida posible de energıa cineticacompatible con la conservacion del momentum lineal. La mayorıa de los choques estan entre estos dos extremos.

- - - - - - - - - - - - - - -

Ejercicios:

1. Una bola de bilar en reposo de masa 0,17 [kg] es golpeada por una bola identica que se mueve a 4,0 [m/s].Despues de la colision, la segunda bola se mueve en una direccion de 60◦ a la izquierda de su direccion original.La bola en reposo se mueve en una direcci on de 30◦ a la derecha de la direccion original de la segunda bola.¿Cual es la velocidad de cada bola despues de la colision?

2. Un cohete explota en el aire.

a ) ¿Como afecta esto a su momentum lineal total?

b) ¿Como afecta esto a su energıa cinetica total?

3. Un avion DC-9 tiene una masa de 50000 [kg] y una velocidad de crucero de 700 [km/hr]. Los motores desarrollanun empuje total de 70000 [N]. Si se ignoran la resistencia del aire, el cambio en altitud y el consumo decombustible, ¿que tiempo tarda el avio en alcanzar su velocidad de crucero partiendo del reposo?

4. Un automovil de 1000 [kg] que se dirige hacia el norte a 15 [m/s] choca contra un autom ovil de 1400 [kg] queviaja hacia el oeste a 9 [m/s]. Si despues de la colision los automoviles permanecen pegados, ¿con que velocidady en que direccion se desplazan?

5. Un rifle de 5 [kg] dispara una bala de 15 [gr] que sale del canon con una velocidad de 600 [m/s]. Encuentre lavelocidad de retroceso del rifle.

6. Un patinador de 40 [kg] que viaja a 4 [m/s] alcanza a otro patinador de 60 [kg] que se desplaza a 2 [m/s] en

la misma direccion, y choca con el.

a ) ¿Cual es su velocidad final?

b) ¿Cuanta energıa cinetica se perdio?

7. Ahora, los mismos patinadores mantienen la velocidad, pero se desplazan en sentidos opuestos y chocan defrente.

a ) Si permanecen en contacto, ¿cual es su velocidad final?

b) ¿Cuanta energıa cinetica se perdio?


5




Problemas tipo PSU:

1. Un choque entre dos cuerpos de masas “M” y “m” se llama elastico si cumple con la condicion fundamentalde que

a ) los cuerpos se separan despues del choque.

b) los cuerpos quedan unidos despues del choque.

c) se conserva la velocidad de ambos cuerpos.

d ) se conserva la energıa cinetica total del sistema formado por ambos cuerpos.

e) las masas son iguales en ambos cuerpos.

2. Una pelota de 2 [kg] de masa, provista de movimiento rectilıneo uniforme, viaja con rapidez de 20 [m/s] chocan-do contra una pared y rebotando en la misma direccion con rapidez de 15 [m/s]. De las alternativas siguientes,

la que mejor expresa la cantidad de movimiento (en

kg ·ms

) antes y despues del choque, respectivamente, es:

a ) 40 y 30

b) 30 y 40

c) −40 y −30d ) −30 y 40

e) −40 y 30

3. Si un tenista recibe una pelota de masa “m”, con rapidez “v”, y con su golpe la devuelve con rapidez “3v”en sentido contrario, entonces afirmamos que

I) la variacion de la magnitud del momentum lineal de la pelota es 2mv.

II) en la interaccion, la magnitud de la fuerza que ejerce la raqueta sobre la pelota es mayor que la magnitudde la fuerza que ejerce la pelota sobre la raqueta.

III) la energıa cinetica de la pelota aumento despues de la interaccion.

De las afirmaciones anteriores, es (son) correcta (s):

a ) Solo I.

b) Solo II.

c) Solo III.

d ) Solo I y II.

e) Todas.


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