Morón Señales y sistemas

7/29/2019 Morn Seales y sistemas

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SEALES Y SISTEMAS


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Jos Morn

SEALES Y SISTEMAS


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Universidad Rafael UrdanetaAutoridades Rectorales

Dr. Jess Esparza Bracho, Rector

Ing. Maulio Rodrguez, Vicerrector Acadmico

Ing. Salvador Conde, Secretario

Lic. Nancy Villarroel M.L.S. Directora de Biblioteca

2011 Fondo Editorial Biblioteca Universidad Rafael Urdaneta

Portada: Luz Elena HernndezUniversidad Rafael Urdaneta, Fondo Editorial Biblioteca

Vereda del Lago, Maracaibo, Venezuela.

ISBN: 978-980-7131-06-3

Deposito Legal:lfi2382011620521


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CAPTULO UNO

SEALES Y SISTEMAS

1.1 Introduccin 11.2 Seales y Clasificacin de Seales 21.3 Seales Peridicas y No Peridicas 61.4 Seales de Potencia y de Energa 81.5 Transformaciones de la Variable Independiente 121.6 Escalamiento en el Tiempo 161.7 Seales Pares e Impares 181.8 Seales de Tiempo Continuo Bsicas 21

1.8.1 Seales Exponenciales Complejas 211.8.2 Seales Exponenciales Complejas Generales 261.8.3 La Funcin Escaln Unitario 271.8.4 La Funcin Impulso Unitario 27

1.9 Seales de Tiempo Discreto Bsicas 331.9.1 Secuencias Exponenciales Complejas Generales 331.9.2 Secuencias Exponenciales Reales 331.9.3 Seales Sinusoidales 341.9.4 Seales Exponenciales Complejas Generales 341.9.5 Periodicidad de las Exponenciales Complejas 351.9.6 Periodicidad de la Exponencial Compleja 361.9.7 La Secuencia Escaln Unitario 381.9.8 La Secuencia Impulso Unitario 38

1.10 Sistemas y Clasificacin de Sistemas 391.10.1 Sistemas en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto 401.10.2 Sistemas Con y Sin Memoria 421.10.3 Invertibilidad y Sistemas Inversos 43


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ii

1.10.4 Sistemas Causales 441.10.5 Sistemas Estables 461.10.6 Invariabilidad en el Tiempo 471.10.7 Sistemas Lineales 49

1.11 Interconexin de Sistemas 51Problemas 53

CAPTULO DOS

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN ELTIEMPO

2.1 Introduccin 612.2 Sistemas LIT en Tiempo Discreto 62

2.2.1 La Representacin de Seales de Tiempo Discreto Mediante Impulsos Unitarios 622.3 Sistemas LIT Discretos: la Suma de Convolucin 63

2.3.1 Propiedades de la Suma de Convolucin 732.3.2 Respuesta al Escaln 77

2.4 Sistemas de Tiempo Continuo: la Integral de Convolucin 772.4.1 Propiedades de la Integral de Convolucin 782.4.2 Evaluacin de la Integral de Convolucin 792.4.3 Respuesta al Escaln 83

2.5 Propiedades de los Sistemas LIT 842.5.1 Sistemas LIT Con y Sin Memoria 842.5.2 Causalidad 852.5.3 Estabilidad 872.5.4 Invertibilidad 89

2.6 Funciones Propias de Sistemas LIT de Tiempo Continuo 90


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iii

2.7 Funciones Propias de Sistemas LIT de Tiempo Discreto 912.8 Sistemas Descritos por Ecuaciones Diferenciales 92

2.8.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales con Coeficientes Constantes 932.8.2 Linealidad 942.8.3 Causalidad 952.8.4 Invariabilidad en el Tiempo 952.8.5 Respuesta al Impulso 96

2.9 Sistemas Descritos por Ecuaciones en Diferencias 1012.9.1 Solucin Homognea de la Ecuacin en Diferencias 1042.9.2 La Solucin Particular 1062.9.3 Determinacin de la Respuesta al Impulso 109

2.10 Simulacin de Sistemas 1122.10.1 Componentes Bsicas: Sistemas de Tiempo Continuo 1122.10.2 Diagramas de Simulacin: Sistemas de Tiempo Continuo 1142.10.3 Componentes Bsicas: Sistemas de Tiempo Discreto 116

2.11 Representacin Mediante Variables de Estado: Tiempo Continuo 1202.11.1 Definiciones 1212.11.2 Solucin General de la Ecuacin de Estado 1222.11.3 Solucin de la Ecuacin de Estado Mediante Integracin 1252.11.4 Mtodo de los Valores y Vectores Caractersticos 1272.11.5 Solucin Mediante Diagonalizacin de Matrices 1352.11.6 Solucin por Reduccin a la Forma Cannica de Jordan 138Problemas 147

CAPTULO TRES

ANLISIS DE FOURIER (TIEMPO CONTINUO)

Introduccin 161

3.1 Respuesta de Sistemas LIT a Exponenciales Complejas 163


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iv

3.2 Representacin de Seales Usando Series de Fourier 164

3.2.1 Seales Peridicas y Combinaciones Lineales de Exponenciales Complejas 1643.2.2 Series de Fourier 167

3.2.3. Condiciones para la Convergencia de las Series de Fourier 175

3.3 Propiedades de las Series de Fourier 1813.3.1 Efectos de la Simetra 1813.3.2 Linealidad 1823.3.3 Diferenciacin 1833.3.4 Teorema de la Potencia de Parseval 1843.3.5 Integracin en el Tiempo 1853.3.6 Manipulacin de Seales 186

3.4 Transformadas de Fourier y Espectros Continuos 1873.4.1 La Transformada de Fourier 187

3.4.2 Convergencia de las Transformadas de Fourier 1913.4.3 Ejemplos de Transformadas de Fourier en Tiempo Continuo 193

3.5 La Transformada de Seales Peridicas 1963.5.1 Los Coeficientes de la Serie de Fourier como Muestras de la Transformada 197

3.5.2 La Transformada de Fourier de Seales Peridicas 199

3.6 Propiedades Adicionales de la Transformada de Fourier 2013.6.1 Retardo en el Tiempo y Cambio de Escala 2023.6.2 Diferenciacin en el Dominio del Tiempo 1043.6.3 Integracin en el Dominio del Tiempo 2053.6.4 Dualidad 2053.6.5 La Relacin de Parseval 207

3.7 La Propiedad de Convolucin 2083.7.1 Las Funciones Escaln y Signo 211

3.8 Modulacin 2133.9 Generacin de Otros Pares de Transformadas 215


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v

3.10 Densidad Espectral de Potencia 217

Problemas 222

CAPTULO CUATRO

ANLISIS DE FOURIER (TIEMPO DISCRETO)

4.1 Introduccin 2374.2 Seales Peridicas 2374.3 Serie de Fourier Discreta 238

4.3.1 Secuencias Peridicas 2384.3.2 Representacin en Serie de Fourier Discreta 2394.3.3 Convergencia de la Serie de Fourier Discreta 243

4.4 PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER DISCRETA 243

4.4.1

Periodicidad de los Coeficientes de Fourier 2434.4.2 Dualidad 2434.4.3 Otras Propiedades 2444.4.4 Secuencias Pares e Impares 244

4.5 Teorema de Parseval 2474.6 La Transformada de Fourier Discreta 248

4.6.1 Transformacin de la Serie de Fourier Discreta en la Transformada de Fourier 2484.6.2 Par de Transformadas de Fourier 2504.6.3 Espectros de Fourier 2524.6.4 Convergencia deX() 252

4.7 Propiedades de la Transformada de Fourier 2534.7.1 Periodicidad 2534.7.2 Linealidad 253


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vi

4.7.3 Desplazamiento o Corrimiento en el Tiempo 2534.7.4 Desplazamiento en Frecuencia 2554.7.5 Conjugacin 2564.7.6 Inversin en el Tiempo 2564.7.7 Escalamiento en el Tiempo 2564.7.8 Dualidad 2574.7.9 Diferenciacin en Frecuencia 2584.7.10Diferencias 2584.7.11Acumulacin 2604.7.12Convolucin 2604.7.13Multiplicacin o Modulacin 2624.7.14Propiedades Adicionales 2634.7.15Relacin de Parseval 263

4.8 La Respuesta de Frecuencia de Sistemas LIT Discretos 2644.8.1 Sistemas LIT Caracterizados por Ecuaciones de Diferencias 2654.8.2 Naturaleza Peridica de la Respuesta de Frecuencia 266

4.9 Respuesta del Sistema a Muestras de Sinusoides de Tiempo Continuo 2664.9.1 Respuestas del Sistema 266

4.10 La Transformada de Fourier Discreta 267

4.10.1Definicin 2684.10.2Relacin entre la TFD y la Serie de Fourier de Tiempo Discreto 2704.10.3Relacin entre la TFD y la Transformada de Fourier 2704.10.4Propiedades de la TFD 271Problemas 276

CAPTULO CINCO

LA TRANSFORMACIN DE LAPLACE

5.1 Introduccin 2815.2 Definicin de la Transformada de Laplace 282


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vii

5.3 Condiciones para la Existencia de la Transformada deLaplace 2855.3.1 Funciones Seccionalmente Continuas 2855.3.2 Regin de Convergencia de la Transformada 289

5.4 Teoremas de la Derivada y de la Integral 2895.4.1 La Transformada de Laplace Bilateral 2915.4.2 La Funcin Impulso 2915.4.3 El Teorema de la Derivada 2915.4.4 El Teorema de la Integral 2945.4.5 Traslacin Compleja 295

5.5 El Problema de Inversin 2975.5.1 Inversin de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales) 2985.5.2 Inversin de Funciones Impropias 303

5.6 Los Valores Inicial y Final def(t) a partir deF(s) 3045.6.1 El Teorema del Valor Inicial 3045.6.2 El Teorema del Valor Final 306

5.7 Teoremas Adicionales 3075.7.1 El Teorema de Traslacin Real o de Desplazamiento 3075.7.2 El Teorema de Escala 3095.7.3 Derivadas de Transformadas 3105.7.4 La Transformada de una Funcin Peridica 311

5.8 Aplicacin de la Transformada de Laplace a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3135.9 La Convolucin 3175.10 Propiedades de la Integral de Convolucin 3215.11 Ecuaciones Diferenciales e Integrales 3225.12 Polos y Ceros de la Transformada 327

Problemas 329


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viii

CAPTULO SEIS

LA TRANSFORMADAZ

6.1 Introduccin 3336.2 La TransformadaZ 333

6.2.1. Definicin 3346.2.2. La Regin de Convergencia de la TransformadaZ 3356.2.3. Propiedades de la Regin de Convergencia 338

6.3 TransformadasZ de Secuencias Importantes 3406.3.1. Secuencia Impulso unitario [n] 3406.3.2. Secuencia Escaln Unitario u[n] 3406.3.3. Funciones Sinusoidales 3406.3.4. Tabla de TransformadasZ 341

6.4 Propiedades de la TransformadaZ 3416.4.1 Linealidad 3416.4.2 Desplazamiento (Corrimiento) en el Tiempo o Traslacin Real 3446.4.3 Inversin en el Tiempo 3446.4.4 Multiplicacin por o Corrimiento en Frecuencia 345nz

0

6.4.5 Multiplicacin porn (o Diferenciacin en el Dominio dez) 3466.4.6 Acumulacin 3476.4.7 Convolucin 348

6.5 La TransformadaZ Inversa 3496.5.1. Frmula de Inversin 3496.5.2.

Uso de Tablas de Pares de TrasformadasZ 3496.5.3. Expansin en Series de Potencias 349

6.5.4. Expansin en Fracciones Parciales 3516.6 La Funcin del Sistema: Sistemas LIT de Tiempo Discreto 356

6.6.1. La Funcin del Sistema 3566.6.2. Caracterizacin de Sistemas LIT de Tiempo Discreto 359

Causalidad 359


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ix

Estabilidad 360Sistemas Causales y Estables 361

6.6.3. Funcin del Sistema para Sistemas LIT Descritos por Ecuaciones de Diferencias Linealescon Coeficientes Constantes. 361

6.6.4. Interconexin de Sistemas 3646.7 La TransformadaZ Unilateral 366

6.7.1. Definicin 3666.7.2. Propiedades Bsicas 3676.7.3. La Funcin del Sistema 3676.7.4. Valores Inicial y Final 367

Teorema del Valor Inicial 367Teorema del Valor Final 367

6.8 La Transformada de Laplace y la TransformadaZ 370Pares Ordinarios de TransformadasZ 372

Problemas 373

CAPTULO SIETE

MODULACIN DE AMPLITUD7.1 Introduccin 379

7.1.1 Necesidad de la Modulacin 1807.2 Tipos de Modulacin Analgica 3817.3 Transmisin de Seales de Banda Base Analgicas 381

7.3.1 Distorsin de la Seal en la Transmisin en la Banda Base 3827.3.2 Distorsin Lineal 3837.3.3 Compensacin 3847.3.4 Distorsin No Lineal y Compansin 385

7.4 Esquemas de Modulacin Lineales OC 3867.4.1 Modulacin de Banda Lateral Doble (DSB) 387


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x

7.4.2 Modulacin de Amplitud Ordinaria 3927.4.3 ndice de Modulacin 3937.4.4 Potencia y Ancho de Banda de la Seal Transmitida 3937.4.5 Demodulacin de Seales AM 3967.4.6 Modulacin de Banda Lateral nica (SSB) 4007.4.7 Modulacin de Banda Lateral Residal (VSB) 409

7.5 Conversin de Frecuencias (Mezclado) 4117.6 Multicanalizacin por Divisin de Frecuencias 413

Problemas

Referencias 425


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CAPTULO UNO

SEALES Y SISTEMAS

1.1Introduccin

Los conceptos de seales y sistemas surgen en una gran variedad de campos y las ideas y tcnicasasociadas con estos conceptos juegan un papel importante en reas tan diversas de la ciencia y latecnologa como las comunicaciones, la aeronutica, sistemas de generacin y distribucin de energa,

diseo de circuitos, acstica, etc. En este captulo introducimos la idea bsica sobre la descripcin yrepresentacin matemtica de seales y sistemas y sus clasificaciones. Tambin se definen variasseales bsicas importantes, especialmente sobre sistemas lineales, las cuales son esenciales paranuestros estudios posteriores.

El anlisis de un sistema lineal se facilita frecuentemente utilizando un tipo especfico de seales deexcitacin o una determinada representacin de seales. Por esta razn, es conveniente incluir elanlisis de seales y sus propiedades en un estudio de sistemas lineales. Adems del anlisis nosinteresa tambin la sntesis de sistemas. De hecho, la sntesis o diseo de sistemas constituye la partecreativa de la ingeniera. De aqu que para abordar el diseo de sistemas primero se debe aprender aanalizarlos. Este texto est orientado principalmente al anlisis de ciertos tipos de sistemas lineales; sinembargo, debido a que los tpicos de diseo y anlisis estn ntimamente relacionados, este estudio

proporciona las bases para un diseo elemental.

El anlisis de sistemas puede dividirse en tres aspectos:

1. El desarrollo de un modelo matemtico apropiado para el problema fsico bajo consideracin. Estaparte del anlisis se dedica a la obtencin de ecuaciones dinmicas, condiciones iniciales o defrontera, valores de parmetros, etc. En este proceso es donde el juicio, la experiencia y laaexperimentacin se combinan para lograr el desarrollo de un modelo apropiado. En esta forma,este primer aspecto es el ms difcil de desarrollar formalmente.

2. Despus de obtener un modelo apropiado, se resuelven las ecuaciones resultantes para encontrarsoluciones de diversas formas.

3. Luego, la solucin del modelo matemtico se relaciona o interpreta en funcin del problema fsico.Es conveniente que el desarrollo del modelo sea lo ms exacto posible de manera que se puedanhacer interpretaciones y predicciones significativas concernientes al sistema fsico. No obstante, sedebe sealar que mientras ms exacto sea un modelo, mayor es la dificultad para obtener unasolucin matemtica y una realizacin fsica.


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2

1.2 Seales y Clasificacin de Seales

Los trminos seales y sistemas, en la forma en que se usan generalmente, tienen diferentessignificados. En consecuencia, cualquier intento para dar una definicin general precisa, o una

definicin en el contexto de la ingeniera no sera muy productivo. Normalmente el significado de estostrminos se extrae del contenido del texto. Una seales una funcin de una variedad de parmetros,uno de los cuales es usualmente el tiempo, que representa una cantidad o variable fsica, y tpicamentecontiene informacin o datos sobre la conducta o naturaleza de un fenmeno. Las seales puedendescribir una variedad muy amplia de fenmenos fsicos. Aunque las seales pueden representarse enmuchas formas, en todos los casos, la informacin en una seal est contenida en un patrn que varaen alguna manera. Por ejemplo, el mecanismo vocal humano produce sonidos creando fluctuaciones enla presin acstica. Diferentes sonidos, usando un micrfono para convertir la presin acstica en unaseal elctrica, corresponden a diferentes patrones en las variaciones de la presin acstica; el sistemavocal humano produce sonidos inteligibles, generando secuencias particulares de estos patrones. Otrosejemplos son una imagen monocromtica; en este caso es importante el patrn de variaciones en el

brillo y los diferentes matices existentes entre los colores blanco y negro.Matemticamente, una seal se puede representar como una funcin de una o ms variables

independientes. Por ejemplo, una seal de audio puede representarse mediante la presin acstica enfuncin del tiempo, y una imagen como una funcin del brillo de dos variables espaciales. En estasnotas slo consideraremos seales que involucran una sola variable independiente. Una seal sedenotar porx(t). Por conveniencia, generalmente nos referiremos a la variable independiente como eltiempo, aun cuando ella no represente al tiempo en operaciones especficas. Por ejemplo, las sealesque representan variaciones de cantidades fsicas con la profundidad, tales como la densidad, porosidady resistividad elctrica, se usan en geofsica para estudiar la estructura de la tierra. Tambin, elconocimiento de las variaciones en la presin del aire, la temperatura y la velocidad del viento con laaltitud son de extrema importancia en investigaciones meteorolgicas.

Has dos tipos bsicos de seales: seales en tiempo continuo o seales analgicas y seales entiempo discreto o digitales. Una sealx(t) es una seal en tiempo continuo si la variable independiente tes una variable continua y, por ende, estas seales estn definidas para un continuo de valores de esavariable; es decir, el valor de x(t) es especificado en todo instante tde un intervalo de tiempo dado, yasea mediante una expresin matemtica o grficamente por medio de una curva; en otras palabras, lavariable independiente puede tomar cualquier valor real. Si la variable independiente tes una variablediscreta, es decir,x(t) est definida en puntos del tiempo discretos, entoncesx(t) es una seal en tiempodiscreto, a menudo generada pormuestreo de una seal de tiempo continuo. Como una seal de tiempodiscreto est definida solamente en tiempos discretos, con frecuencia se identifica como una secuenciade nmeros, denotada por {xn} ox[n], donde, para nuestros propsitos, n es un entero. En la Fig. 1.1 seilustran una seal de tiempo continuo y una de tiempo discreto. La msica proveniente de un discocompacto es una seal analgica, pero la informacin almacenada en el disco compacto est en formadigital. sta debe procesarse y convertirse en forma analgica antes de que pueda escucharse.

Una seal de tiempo discreto x[n] puede representar un fenmeno para el cual la variableindependiente es inherentemente discreta. Por ejemplo, el promedio diario de los valores de cierre de labolsa de valores es, por su naturaleza, una seal que evoluciona en puntos discretos en el tiempo (esdecir, el cierre del da). Una seal de tiempo discreto, x[n], tambin puede obtenerse mediante elmuestreo de una seal de tiempo continuox(t) para obtener los valores


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3

Figura 1.1. Seales de tiempo continuo y de tiempo discreto.

0 1( ), ( ), , ( ),nx t x t x t

o en una forma abreviada como[0], [1], , [ ],x x x n

o

0 1, , , ,nx x x

y a los valoresxn se les denomina muestras; el intervalo de tiempo entre muestras se llama el intervalode muestreo. Cuando estos intervalos son iguales (muestreo uniforme), entonces

[ ] [ ]n sx x n x nT

donde la constante Ts es el intervalo de muestreo. Un dispositivo que convierta informacin analgica aforma digital mediante cuantizacin (redondeo) se denomina un convertidor analgico-digital.

Una seal de tiempo discreto con muestreo uniforme puede ser especificada de dos maneras:

1. Podemos especificar una regla para calcular el n-simo valor de la secuencia. Por ejemplo, 12 0[ ]0 0

n

n

nx n x

n

o

1 1 12 4 2{ } ,0,0,1, , , , ,n

nx

2. Podemos dar una lista explcita de los valores de la secuencia. Por ejemplo, la secuencia mostradaen la Fig. 1.1b puede escribirse como

{ } { ,0,0,2,3,3,2,1,0,0, }

nx

o

{ } {2,3,3,2,1}

nx

Se usa la flecha para indicar el trmino correspondiente a n = 0. Se usar la convencin de que sino aparece la flecha, entonces el primer trmino corresponde a n = 0 y todos los valores soniguales a cero para n < 0.

(a) (b)

x(t

x n

n0 1 2 3 4123

3


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4

Ejemplo 1. Dada la seal en tiempo continuo especificada por

1 1 1( )

0 1

t tx t

t

Determine la secuencia de tiempo discreto resultante obtenida mediante muestreo uniforme de x(t) conun intervalo de muestreo de (a) 0.25 s; (b) 0.5 s.

Solucin: Es ms fcil resolver este problema grficamente. La sealx(t) se grafica en la Fig. 1.2a. LasFigs. 1.2b y c muestran grficos de las secuencias de las muestras resultantes obtenidas para losintervalos de muestreo especificados.

Figura 1.2. Las seales para el Ejemplo 1.

(a) Ts = 0.25 s. De la Fig. 1.2b obtenemos[ ] { ,0,0.25,0.5,0.75,1,0.75,0.5,0.25,0, }

x n

(b) Ts = 0.5 s. De la Fig. 1.2c, obtenemos[ ] { ,0,0.5,1,0.5,0, }

x n

Con frecuencia, se procesan seales para producir nuevas seales para diferentes propsitos. Acontinuacin se da un ejemplo de cmo se generan nuevas seales a partir de seales conocidas.

x(t)

1

0 11 1 0 1 2 3 423 nt

n0 2 424

x[n) =x(n/4)

x[n) =x(n/2)

(a) (b)

(c)


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5

Ejemplo 2. Usando las seales de tiempo discreto x1[n] y x2[n] mostradas en la Fig. 1.3, representecada una de las siguientes seales mediante una grfica y mediante una secuencia de nmeros.

(a) 1 1 2[ ] [ ] [ ]y n x n x n ; (b) 2 1[ ] 2 [ ]y n x n ; (c) 3 1 2[ ] [ ] [ ]y n x n x n .

Figura 1.3. Seales para el Ejemplo 2

Solucin:

(a) y1[n] se dibuja en la Fig. 1.4a. A partir ella obtenemos1 [ ] { ,0, 2, 2,3,4,3, 2,0,2,2,0, }

y n

(b)y2[n] se dibuja en la Fig. 1.4b. De ella obtenemos2[ ] { ,0,2,4,6,0,0,4,4,0, }

y n

(c) y3[n] se dibuja en la Fig. 1.4c. De ella obtenemos3 [ ] { ,0,2,4,0, }

y n

Figura 1.4

1 0 1 2 3 4 5 6 7 n

2

3

x1[n] x2[n]

2

12

3 0 1 2

3

4 n

0 1 2

3

4 5 6

123

y1[n]

0 1 2 3 4 5 61

y2[n]

0 1 2 31

y3[n]

(a) (b) (c)

nnn 7


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6

1.3 Seales Peridicas y No-Peridicas

Una seal peridica de tiempo continuax(t) tiene la propiedad de que existe un nmero positivo Tparael cual

para todox t x t T t (1.1)

Figura 1.5

En este caso decimos que la seal x(t) es peridica con perodoT. En la Fig. 1.5 se ilustra un ejemplode esta clase de seales. Observe que una seal peridica repite un mismo patrn durante un tiempomltiplo de Ty contina hacindolo por tiempo infinito.

De la figura se deduce que six(t) es peridica con perodo T, entonces

( ) ( )x t x t mT (1.2)

para todo Ty cualquier entero m. Por ello,x(t) tambin es peridica con perodo 2T, 3T, . Elperodo

fundamental T0 es el mnimo valor de Tpara el cual se cumple la Ec. (1.1). Observe que esta definicinde T0 funciona excepto cuando x(t) es una constante. En este caso, el perodo fundamental no estdefinido puesto que x(t) es peridica para cualquier seleccin de T(es decir, no hay un valor positivomnimo). La Ec. (1.2) dice simplemente que si la seal se desplaza un nmero entero de perodos haciala derecha o hacia la izquierda no cambia la forma de la onda. La frecuencia fundamental(cclica) f0 esel recproco del perodo fundamental, f0 = 1/T0, y se mide en hertz (ciclos por segundo). La frecuenciafundamental en radianes por segundo es 0 = 2f0 = 2/T0. Finalmente, a una seal que no exhibaperiodicidad se le referir como unaseal no peridica o aperidica.

Ejemplos conocidos de seales peridicas son las seales sinusoidales; como ejemplo est la seal

0( ) sen ( )x t A t

dondeA = amplitud.0 = frecuencia angular (rad/s). = ngulo de fase inicial con respecto al origen del tiempo (rad).

Observe que

0 0 0 0sen[ ( ) ] sen ( ) sen( )t T t T t

x(t)

. . . . . .

T 0 T t


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7

si

0 2T m o0

2T m

, m un entero positivo

As que el perodo fundamental T0 dex(t) est dado por

0

0

2T

Ejemplo 3. Sean x1(t) y x2(t) dos seales peridicas con perodos fundamentales T1 y T2,respectivamente. Cules son las condiciones para que la suma z(t) =x1(t) +x2(t) sea peridica y cules el perodo fundamental dez(t)?

Solucin: Puesto quex1(t) yx2(t) son peridicas con perodos fundamentales T1 y T2, respectivamente,se tiene que

1 1 1 1 1( ) ( ) ( )x t x t T x t mT , m un entero positivo

2 2 2 2 2( ) ( ) ( )x t x t T x t nT , n un entero positivo

Entonces,

1 1 2 2( ) ( ) ( )z t x t mT x t nT

Para quez(t) sea peridica con perodo T, se necesita que

1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )z t z t T x t T x t T x t mT x t nT

y entonces se debe cumplir que

1 2mT nT T (1.3)

o

1

2

mero racionalT n

nT m

(1.4)

En otras palabras, la suma de dos seales peridicas es peridica solamente si la relacin entre susperiodos respectivos es un nmero racional. El perodo fundamental es entonces el mnimo comnmltiplo de T1 y T2, y est dado por la Ec. (1.3) si los enteros m y n son primos relativos. Si la relacinT1/T2 es un nmero irracional, entonces las seales x1(t) yx2(t) no tienen un perodo comn y z(t) nopuede ser peridica.

Las seales peridicas de tiempo discreto se definen en forma similar. Especficamente, una seal detiempo discretox[n] esperidica con perodo N, si existe un entero positivoNpara el cual

para todax n x n N n (1.5)


23/434

8

En la Fig. 1.6 se ilustra un ejemplo de este tipo de seal.

Figura 1.6. Una seal de tiempo discreto peridica.

Elperodo fundamentalN0 dex[n] es el menor entero positivo Npara el cual se cumple la Ec. (1.5).cualquier secuencia (seal de tiempo discreto) que no sea peridica se conoce como una secuencia no-peridica (o aperidica).

1.4 Seales de Potencia y de Energa

En muchas aplicaciones, no en todas, las seales que consideraremos estn directamente relacionadascon cantidades fsicas que representan potencia y energa. Por ejemplo, si v(t) e i(t) son,respectivamente, el voltaje y la corriente en un resistor de resistencia R, entonces la potenciainstantneap(t) viene dada por

2 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t v t i t v t Ri tR

(1.6)

La energa totaldisipada en el intervalo de tiempo 1 2t t t est dada por

22 2

1 11

2 21

( ) ( ) ( )

tt t

t tt

p t dt v t dt Ri t dtR

(1.7)

y lapotencia promedio en ese intervalo es

12 1

1 22

2 2

2 1 2 1 2 1

1 1 1 1( ) ( ) ( )

tt t

t tt

p t dt v t dt Ri t dtt t t t R t t

(1.8)

En una forma similar, la potencia disipada por friccin es 2( ) ( )p t bv t , donde v(t) es la velocidad, ypodemos definir la energa y la potencia promedio en un intervalo de tiempo dado en la misma formaque en las Ecs. (1.7) y (1.8).

Se acostumbra usar una terminologa parecida para cualquierseal, ya sea de tiempo continuox(t) ode tiempo discretox[n], normalizando la energa y la potencia promedio de una seal arbitraria (en elcaso de seales elctricas, esto se hace tomando un valor deR = 1 ). Adicionalmente, con frecuencia

n

x[n]

. . .. . .


24/434

9

ser conveniente considerar seales de valores complejos. En este caso, la energa total normalizada enel intervalo 1 2t t t se define como

2

1

2

t

t

x t dt (1.9)

Lapotencia promedio normalizada se obtiene dividiendo la Ec. (1.9) por la longitud o duracin 2 1t t del intervalo. En la misma forma, la energa total normalizada para una seal de tiempo discreto x[n]en el intervalo n1nn2, se define como

2

1

2[ ]

n

n n

x n (1.10)

y al dividir la Ec. (1.10) por el nmero de puntos en el intervalo, 2 1( 1) n n , se obtiene la potenciapromedio en ese intervalo.

Adicionalmente, en muchos sistemas nos interesa examinar la potencia y la energa de seales en un

intervalo de tiempo infinito. En estos casos, definimos la energa total normalizadaE como loslmites de las Ecs. (1.9) y (1.10) conforme el intervalo de tiempo aumenta indefinidamente. Paratiempo continuo, tenemos

2 2lm ( ) ( )

T

T

T

E x t dt x t dt

(1.11)y en tiempo discreto,

2 2lm [ ] [ ]

N

Nn N n

E x n x n

(1.12)

De la misma forma se puede definir lapotencia promedio normalizada en un intervalo infinito como

21lm ( )

2

T

T

T

P x t dtT

(1.13)

para tiempo continuo y

21lm [ ]

2 1

N

Nn N

P x nN

(1.14)

para tiempo discreto.

Con base en las definiciones dadas por las Ecs. (1.11) a (1.14), se pueden definir tres clasesimportantes de seales:

1. Se dice quex[t] ox[n] es unaseal de energa si y slo si 0


25/434

10

2. Se dice que una sealx(t) ox[n] es unaseal de potencia si y slo si 0 0, por necesidad E. Esto tiene sentido, ya que si se tiene unaenerga promedio por unidad de tiempo diferente de cero (es decir, potencia promedio diferente decero), entonces integrando o sumando en un intervalo de tiempo infinito produce una cantidad deenerga infinita.

3. Las seales que no satisfacen ninguna de las dos propiedades anteriores se conocen, por supuesto,como seales que no son ni de energa ni de potencia.

Se deben sealar las propiedades que contemplan una energa nula. Es claro que si x(t) = 0, la energaE es cero, pero lo contrario no es estrictamente cierto. Slo es posible decir que si E = 0, entoncesx(t) es igual a cero casi en todas partes. Desde un punto de vista puramente matemtico, la propied adE = 0 no define una sola seal sino una clase de seales equivalentes. En estas notas no consideramoseste punto de vista, y todos los elementos de esta clase de seales equivalentes son considerados comouna sola seal. Por lo tanto, una seal de energa nula es tambin considerada como una seal igual acero.

Ejemplo 4. Si x(t) es una seal peridica con perodo fundamental T0, entonces la integral en la Ec.(1.13) tiene el mismo valor para cualquier intervalo de longitud T0. Tomando el lmite en una forma talque 2Tsea un mltiplo entero del perodo, es decir, 2T= mT0, entonces la energa total en un intervalode longitud 2Tes m veces la energa en un perodo. Como consecuencia, la potencia promedio es

0 0

2 2

0 00 0

1 1lm ( ) ( )

T T

mP m x t dt x t dt

mT T

Observe que una seal peridica es de potencia si su contenido de energa por perodo es finito.

EJEMPLO 5. Considere las seales en la Fig. 1.7. Se quiere clasificar cada seal calculando la energay la potencia en cada caso.

Figura 1.7. Seales de energa y de potencia.

Solucin: La seal en la Fig. 1.7a es aperidica y su energa total es

x1(t)

A

t t

A

x2(t)

00

)exp( tA

T0t1


26/434

11

2

2

0

exp( 2 )2

AE A t dt

la cual es finita. La potencia promedio es

2 2

2

0

1lm exp( 2 ) lm 02 2

T

T T

AP A t dtT T

En consecuencia, la seal en la Fig. 1.7a es una seal de energa con una energa igual a A2/2 ypotencia promedio cero.

La seal en la Fig. 1.7b es peridica con perodo T0. Su potencia promedio es

0 1

1

22 2 2

2

0 0 00 0

1 1 2( )

T t

t

AP x t dt A dt A dt

T T T

As quex2(t) es una seal de potencia con energa infinita y potencia promedio igual a 2 02A T .

Ejemplo 6. Considere las dos seales aperidicas mostradas en la Fig. 1.8. Estas dos seales sonejemplos de seales de energa.

Figura 1.8. Ejemplos de seales de energa.

La funcin pulso rectangular rect(t/) mostrada en la Fig. 1.8a est estrictamente limitada en eltiempo, ya que x1(t) es igual a cero para t fuera de la duracin del pulso. La otra seal estasintticamente limitada en el sentido de quex(t) 0 conforme t. En cualquiera de los casos, la

potencia promedio es igual a cero. La energa para la sealx1(t) es2

2 2 2

1 1

2

lm ( )

T

T

T

E x t dt A dt A

y parax2(t) es

A

x1 t x t A

00 /2/

t t

(b)(a)

expA a t


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12

2 2

2

1 lm exp( 2 ) lm [1 exp( 2 )]

T

T T

T

A AE A a t dt aT

a a

Puesto queE1 yE2 son finitas, las sealesx1(t) yx2(t) son seales de energa.

Aqu se debe sealar que la energa como la define la Ec. (1.11) o la Ec. (1.12) no indica la energareal de la seal a que la energa de la seal depende no slo de la seal sino tambin de la carga. Lainterpretamos como la energa normalizada disipada en un resistor de 1 ohmio si a ste se le aplicaseun voltajex(t) o si por el pasase una corriente x(t). Observaciones similares aplican a la potencia de laseal definida en la Ec. (1.13) o en la Ec. (1.14). Por lo planteado, las ecuaciones para la energa o lapotencia no tienen las dimensiones correctas. Las unidades dependen de la naturaleza de la seal. Porejemplo, si x(t) es una seal de voltaje, entonces su energa E tiene unidades de V2s (voltios alcuadrado-segundos) y su potenciaPtiene unidades de V2 (voltios al cuadrado)

1.5 Transformaciones de la Variable Independiente

En muchas ocasiones es importante considerar analtica y grficamente seales relacionadas por unamodificacin de la variable independiente, mediante operaciones tales como desplazamiento ocorrimiento e inversin. Por ejemplo, como se ilustra en la Fig. 1.9, la seal x[n] se obtiene a partir dela sealx[n] por una reflexin o inversin en n = 0 (es decir, una inversin de la seal).

Figura 1.9. Inversin en tiempo discreto.

De igual forma, como se muestra en la Fig. 1.10,x(t) se obtiene a partir de la sealx(t) por reflexinen t= 0. Entonces, si x(t) representa una seal de audio en un grabador de cinta, la seal x(t) es lamisma grabacin reproducida en reversa.

Esta operacin se conoce como reflexin y es equivalente a doblar la seal (rotacin de 180) entorno a la lnea 0t o simplemente a intercambiar el pasado y el futuro de la seal de tiempo.Observe que cualquier cosa que suceda en la Fig. 1.10(a) en el instante t tambin ocurre en la Fig.1.10(b) en el instante t.Como esta operacin significa intercambiar el pasado y el futuro, es obvioque ningn sistema fsico puede ejecutarla.

x[n] x[n]

nn

(a) (b)


28/434

13

Figura 1.10. Inversin en tiempo continuo.

Otra operacin es la de desplazamiento. La seal 0( )x t t representa una versin desplazada de x(t),Fig. 1.11. El desplazamiento en el tiempo es t0, donde t0 es un nmero real. Si t0 > 0, entonces la seales retrasada en t0 unidades de tiempo. Fsicamente, t0 no puede tomar valores negativos, pero desde unpunto de vista analtico, x(tt0), t0 < 0, representa una rplica adelantada de la seal x(t). Las sealesque estn relacionadas en esta forma (t0 > 0) surgen en aplicaciones tales como el radar, sonar, sistemasde comunicacin y procesamiento de seales ssmicas. Un sistema cuya seal de salida es idntica a lade su entrada pero retrasada por una constante se denomina una unidad de retardo. Por otra parte, si laseal de salida es idntica a la de entrada pero avanzada por una constante, el sistema se denomina unpredictor. Sin embargo, un sistema que prediga (adivine) es fsicamente imposible de construir.

Figura 1.11. Desplazamiento de una seal de tiempo continuo.

Ejemplo 7. Considere la sealx(t) mostrada en la Fig. 1.12. Se desea graficarx(t 2) yx(t+ 3).

Figura 1.12

Solucin: Es fcil verificar que

x(t)

t1 0 1 2 3

1

x(tt0)x(t)

t1 0 t1 t0t10t t0 + t1t0 t

(a)

(b)

(a) (b)

00 tt0 t0

x(t) x(t)

t


29/434

14

1 1 0

1 0 2( )

3 2 3

0 otros valores de

t t

tx t

t t

t

Para realizar la operacin de desplazamiento, se reemplaza tport 2 en la expresin parax(t):

( 2) 1 1 2 0

1 0 2 2( 2)

( 2) 3 2 2 3

0 otros valores de

t t

tx t

t t

t

o, equivalentemente,

1 1 2

1 2 4( 2)

3 4 5

0 otros valores de

t t

tx t

t t

t

Figura 1.13

La seal x(t) se grafica en la Fig. 1.13a y puede describirse como la funcin x(t) desplazada dosunidades hacia la derecha. En la misma forma se puede demostrar que

4 4 3

1 3 1( 3)

1 0

0 otros valores de

t t

tx t

t t

t

Esta ltima seal se grafica en la Fig. 1.13b y representa una versin de x(t) desplazada tres unidadeshacia la izquierda.

x(t2)

t0 1 2 3 4 5

x(t+3)

t4 3 2 1 0

(a) (b)

1 1


30/434

15

Ejemplo 8. Se desea dibujarx(t) yx(3 t) six(t) es como se muestra en la Fig. 1.14.

Figura 1.14

Solucin: La sealx(t) se puede escribir como

1 1 0

( ) 1 0 2

0 otros valores de

t t

x t t

t

Reemplazando ahora tport, se obtiene

1 1 0 1 0 1

( ) 1 0 2 1 2 0

0 otros valores de 0 otros valores de

t t t t

x t t t

t t

La sealx(t) se muestra en la Fig. 1.15a.

Figura 1.15

En la misma forma se puede demostrar que4 3 4

(3 ) 1 1 30 otros valores de

t t

x t tt

yx(3 t) es como se muestra en la Fig. 1.15b.

La figura esprimero reflejada y luego trasladada. Este resultado se obtiene escribiendo la operacincompleta como

x(t)

t

1

x(3t)

t0 1

1

2 3 4

(a) (b)12 0 1

x(t)

t1 0 1

1

2


31/434

16

(3 ) 3x t x t

Observe que si primero desplazamos la seal y luego reflejamos la seal desplazada, se obtiene comoresultado la sealx(t 3) (Fig. 1.16).

De lo anterior se deduce que las operaciones de inversin y desplazamiento no son conmutativas. No

obstante, una seal puede ser invertida y retardada simultneamente. Las operaciones son equivalentesa reemplazarto n port+ t0 o 0n n . Para ver esto, consideramos una seal de tiempo continuo x(t)que se desea invertir y trasladar por t0 unidades de tiempo. Para producir la seal invertidareemplazamos tportenx(t), lo que resulta enx(t). La seal invertidax(t) es entonces retrasada port0 unidades para obtener 0 0[ ( )] ( )x t t x t t , como se afirm.

Figura 1.16

1.6 Escalamiento en el Tiempo

La operacin de compresin o expansin en el tiempo se conoce como escalamiento en el tiempo.Considere, por ejemplo, las seales x(t), x(3t) yx(t/2), mostradas en la Fig. 1.17. Como se puede ver,x(3t) puede describirse como x(t) comprimida por un factor de 3. En forma similar, x(t/2) puededescribirse como expandida por un factor de 2. Se dice que ambas funciones, x(3t) y x(t/2), son

versiones dex(t) escaladas en el tiempo.

En general, si la variable independiente es escalada por un parmetro , entoncesx(t) es una versincomprimida dex(t) si 1 y es una versin expandida dex(t) si 1 . Si consideramos ax(t) como

si fuese la seal de salida de un grabador de video, por ejemplo, entonces x(3t) se obtiene cuando lagrabacin se reproduce a tres veces la velocidad con la cual fue grabada, y x(t/2) se obtiene cuando lagrabacin se reproduce a la mitad de esa velocidad. Tambin se puede decir, por ejemplo, que lo que lepase ax(t) en el instante t, tambin le suceder ax(t/2) en el instante t/2.

Figura 1.17. Ejemplos de escalamiento en el tiempo.

x(t) x 3t x t/2

1 10 t t t1/3 21/3 0 2

AAA

x(t3)

5 4 3 2 1 0 t

1


32/434

17

Ejemplo 9. Se desea graficar la seal x(3t 6), donde x(t) es la seal del Ejemplo 7. Usando ladefinicin dex(t) dada en el Ejemplo 7, obtenemos

53 5 2

3

1 2 8 3(3 6)8

3 9 33

0 otros valores de

t t

tx t

t t

t

La sealx(3t 6) se grafica en la Fig. 1.18 y puede considerarse como x(t) comprimida por un factorde 3 (o escalada en el tiempo por un factor de 1/3) y luego desplazada dos unidades hacia la derecha;observe que six(t) es desplazada primero y luego escalada por una factor de 1/3, hubisemos obtenidouna seal diferente; en consecuencia, las operaciones de desplazamiento y de escalamiento en el tiempono son conmutativas. El resultado obtenido se puede justificar escribiendo la operacin en la formasiguiente:

(3 6) (3( 2))x t x t

la cual indica que se ejecuta primero la operacin de escalamiento y despus la de desplazamiento.

Figura 1.18

Ejemplo 10. El tiempo que le toma a una seal para alcanzar 90% de su valor final, T90, es unacaracterstica muy importante. Determine T90 para las seales siguientes: (a) x(t); (b) x(2t); x(t/2),donde ( ) 1 tx t e .

Solucin

(a)

El valor final de x(t) es igual a 1. Para hallar el tiempo requerido por la funcin para alcanzar elvalor de 0.90, tenemos que resolver la ecuacin

900.90 1T

e

la cual produce T90 = 2.3.

(b) Para la sealx(2t) tenemos que resolver9020.90 1

Te

x(t)

t0 1

1

2 35/3 8/3


33/434

18

la cual produce T90 = 1.15.

(c) La sealx(t/2) tiene un T90 dado por290190.0

Te

la cual resulta en T90 = 4.6.

Estos resultados eran de esperarse. En la parte (b) comprimimos la seal por un factor de 2, y en laparte (c) la expandimos por el mismo factor.

En conclusin, para cualquier seal general x(t), la transformacin (mltiple) de la variableindependiente en la forma t puede realizarse de la manera siguiente:

( ) ( ( )x t x t

donde se supone que y son nmeros reales. Las operaciones deben ejecutarse en el orden siguiente:

1. Escale por. Si es negativo, refleje tambin con respecto al eje real.2. Desplace hacia la derecha por si y son de signos diferentes y hacia la derecha si tienen el

mismo signo.

El orden de las operaciones es importante. Observe que las operaciones de reflexin y escalamiento enel tiemposon conmutativas, mientras que las de desplazamiento y reflexin o las de desplazamiento yescalamiento, como ya se mencion, no lo son. Observe tambin que no definimos la operacin deescalamiento en el tiempo para una seal de tiempo discreto (por qu?).

1.7 Seales Pares e Impares

Adicionalmente a su uso en la representacin de fenmenos fsicos (como en el ejemplo delgrabador), la reflexin es extremadamente til para examinar las propiedades de simetra que puedaposeer una seal. Una seal x(t) o x[n] se conoce como una seal par si es idntica a su reflexinrespecto del origen, es decir, si

( ) ( )

[ ] [ ]

x t x t

x n x n

(1.15)

lo que equivale a decir que una seal par, x(t) o x[n], es invariante bajo la operacin de reflexin (oinversin) en el tiempo..

Una seal se denomina imparsi( ) ( )

[ ] [ ]

x t x t

x n x n

(1.16)

Observe que una seal impar debe ser necesariamente igual a cero en el origen. En la Fig. 1.19 semuestran ejemplos de una seal par y una impar.


34/434

19

Figura 1.19. Ejemplos de una funcin par y una impar.

Un hecho importante es que cualquier seal, que no sea par ni impar, puede ser expresada como unasuma de dos seales, una de las cuales es la parte par y la otra la parte impar. Para ver esto, considere laseal

1( ) [ ( ) ( )]

2px t x t x t

la cual se conoce como laparte pardex(t). En forma similar, laparte impardex(t) est dada por

1( ) [ ( ) ( )]

2ix t x t x t

Es muy sencillo comprobar que, efectivamente, la parte par es par y que la parte impar es impar, y quex(t) es la suma de las dos. Para el caso de tiempo discreto se cumplen definiciones completamenteanlogas. En resumen, tenemos las siguientes identidades:

( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

p i

p i

x t x t x t

x n x n x n

(1.17)

1( ) [ ( ) ( )]

2

1[ ] [ [ ] [ ]

2

p

p

x t x t x t

x n x n x n

(1.18)

1( ) [ ( ) ( )]

2

1[ ] { [ ] [ ]}

2

i

i

x t x t x t

x n x n x n

(1.19)

Observe que la suma de dos seales pares es par y de dos seales impares es impar, y tambin que elproducto de dos seales pares o dos impares es una seal par y que el producto de una seal par y unaseal impar es una seal impar; tambin se puede demostrar que la derivada de cualquier funcin par esimpar, y la derivada de una funcin par es impar (la demostracin de todo lo anterior se deja como unejercicio).

0 0t n

x(t) x[n]


35/434

20

Ejemplo 11. Considere la sealx(t) definida por

1, 0( )

0, 0

tx t

t

Las partes par e impar de esta seal, conocida como la funcin escaln, estn dadas por

1( )

2p

x t para todo t, excepto en t= 0

1, 0

2( )

1, 0

2

i

t

x t

t

El nico problema aqu radica en el valor de las funciones enx = 0. Si definimos 210 )(x , entonces

1(0) y (0) 0

2p i

x x

Las sealesxp(t) yxi(t) se grafican en la Fig. 1.20.

Figura 1.20. Descomposicin de la funcin escaln en sus partes par e impar.

Ejemplo 12. Considere la seal

exp( ), 0( )

0, 0

A t tx t

t

La parte par dex(t) est dada por

1

21

2

exp( ) 01( ) exp2exp( ) 0

p

A t tx t A t

A t t

y la parte impar por1

2

1

2

exp( ), 0( )

exp( ). 0i

t tx t

t t

Las sealesxp(t) yxi(t) se muestran en la Fig. 1.21.

xp(t) xi(t)

1/21/2

1/2

0 0t t


36/434

21

Figura 1.21

Ejemplo 13. Determine las componentes par e impar de ( ) jtx t e .

Solucin: La parte par es

12( ) cosjt jt

px t e e t

y la parte impar es

12( ) senjt jtix t e e j t

1.8 Seales en Tiempo Continuo Bsicas

En esta seccin se introducen varias seales de tiempo continuo de particular importancia. Estasseales no slo ocurren frecuentemente en la naturaleza, sino que ellas tambin sirven como bloquesbsicos para la construccin de otras seales. En ste y en los captulos subsiguientes encontraremosque al construir seales de esta forma se podrn examinar y comprender ms profundamente las

propiedades de seales y sistemas.

1.8.1 Seales Exponenciales Complejas

Laseal exponencial compleja de tiempo continuo es de la forma

( ) stx t Ae (1.20)

donde A y s son, en general, nmeros complejos. Dependiendo del valor de estos parmetros, la

exponencial compleja puede tomar varias caractersticas diferentes. En el anlisis a continuacin, parasimplificar, se tomarA = 1.

Sis se restringe a ser puramente imaginaria,s =j0 por ejemplo, se obtiene la seal

0

0 0( ) cos senj t

x t e t j t (1.21)

Usando ahora la identidad de Euler, esta seal puede ser definida como

0

0 0( ) cos senj t

x t e t j t (1.22)

xp(tA

0 t

xi tA

0 t

A


37/434

22

O sea que x(t) es una seal compleja cuyas partes real e imaginaria son0

cos t y 0sen t ,respectivamente. Una propiedad importante de la seal exponencial compleja es su periodicidad. Paracomprobar esto, recuerde de la Sec. 1.3 que una funcinx(t) ser peridica con perodo Tsi

( ) ( )x t x t T

o, para la funcin exponencial0 0 ( )j t j t Te e

(1.23)

Puesto que0 0 0( )j t T j t j Te e e

se concluye que para tener periodicidad, se debe cumplir que

0 1j T

e

Si 0 = 0, entonces x(t) = 1, la cual es peridica para cualquier valor de T. Si 0 0 , entonces elperodo fundamentalT0 dex(t) es

0

0

2T

(1.24)

As que las seales 0j te y 0j te tienen el mismo perodo fundamental. Observe tambin que x(t) esperidica para cualquiervalor de 0.

Una seal ntimamente relacionada con la seal exponencial compleja peridica es la sinusoidal

0( ) cos( )x t A t (1.25)

ilustrada en la Fig. 1.22 y ya estudiada en la Seccin 1.3.

Figura 1.22

Las seales sinusoidales y las exponenciales complejas tambin se usan para describir lascaractersticas de muchos procesos fsicosen particular, sistemas fsicos en los cuales se conserva laenerga. Por ejemplo, la respuesta natural de una red constituida solamente por inductores y capacitoreso el movimiento armnico simple de un sistema mecnico consistente de una masa conectada por unresorte a un soporte estacionario. Las variaciones de la presin acstica correspondientes a un solo tonomusical tambin son sinusoidales.

0

2T

cosA A

0 t

x t


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23

Como ya se vio, si se usa la relacin de Euler, la exponencial compleja en la Ec. (1.21) puedeescribirse en trminos de seales sinusoidales con el mismo perodo fundamental, es decir,

0

0 0cos senj te t j t

(1.26)

En forma similar, la seal sinusoidal en la Ec. (1.26) puede escribirse en funcin de exponenciales

complejas peridicas con el mismo perodo fundamental:

0 0

0cos( )2 2

j t j tj jA A

A t e e e e

(1.27)

Observe que las dos exponenciales en la Ec. (1.28) tienen amplitudes complejas. Alternativamente, unasinusoide puede expresarse en funcin de una seal exponencial compleja como

0( )0cos( ) Re j tA t A e (1.28)

donde Aes real y Re se lee la parte real de. Tambin se usar la notacin Im para denotar laparte imaginaria de. Entonces

0( )0sen ( ) Im j tA t A e (1.29)

De la Ec. (1.25) vemos que el perodo fundamental T0 de una seal sinusoidal o de una sealexponencial peridica (ambas funciones de tiempo continuo) es inversamente proporcional a 0 , a la

cual llamaremos la frecuencia fundamental (rad/s). De la Fig. 1.23 vemos grficamente lo que estosignifica. Si disminuimos la magnitud de 0, el ritmo de oscilacin se hace ms lento y, por tanto, elperodo aumenta. Ocurren efectos exactamente opuestos si se aumenta la magnitud de 0. Considereahora el caso cuando 0 = 0. Como ya se mencion, aqu x(t) representa una constante y, por ello, esperidica con perodo Tpara cualquier valor positivo de T, lo que significa que el perodo de una sealconstante no est definido. Por otra parte, no hay ambigedad al definir la frecuencia fundamental deuna constante como igual a cero; es decir, la tasa de oscilacin de una constante es igual a cero (perodoinfinito).

Figura 1.23

tx 11 cos)(

tx 22 cos)(

ttx 33 cos)(

t t

t1 > 2 > 3

T1 < T2 < T3

a b

c


39/434

24

Las seales peridicas y en particular, la seal exponencial compleja en la Ec. (1.21) y la sealsinusoidal en la Ec. (1.26) proporcionan ejemplos importantes de seales con energa total infinitapero potencia promedio finita. Por ejemplo, considere la exponencial peridica de la Ec. (1.21) ysuponga que calculamos la energa total y la potencia promedio en un perodo:

0 0

02

perodo 0

0 0

(1)

T T

j tE e dt dt T

(1.30)

perodo perodo

0

11P E

T (1.31)

Puesto que hay un nmero infinito de perodos conforme t vara de a +, la energa totalintegrada para todo el tiempo es infinita. Sin embargo, cada perodo de la seal es idntico a los dems.Como la potencia promedio de la seal por perodo es igual a 1, promediando en periodos mltiplesproducir un promedio igual a 1; es decir,

021

lm 12

T

j t

T

T

P e dtT

(1.32)

Ejemplo 14. Algunas veces es deseable expresar la suma de dos exponenciales complejas como elproducto de una sola exponencial compleja. Por ejemplo, suponga que se quiere graficar la magnitudde la seal

2 3( ) j t j t x t e e

Para hacer esto, primero extraemos un factor comn del lado derecho de la ecuacin, tomando comofrecuencia de ese factor el promedio de las dos frecuencias de las exponenciales en la suma, y seobtiene

2.5 0.5 0.5( ) ( )j t j t j tx t e e e

la cual, por la relacin de Euler, se puede escribir como

2.5( ) 2 cos0.5j tx t e t

y de aqu se obtiene directamente la expresin para la magnitud de x(t):

( ) 2 cos 0.5x t t

As que ( )x t es lo que se conoce comnmente como una sinusoide rectificada de onda completa,

como se muestra en la Fig. 1.24.


40/434

25

Figura 1.24

Para la seal compleja definida en la Ec. (1.20), si A es real y s = (tambin real), entonces laexpresin para la seal se reduce a

( ) tx t Ae (1.33)

vale decir, x(t) es una funcin exponencial real. Si > 0, entonces x(t) es una exponencial creciente,una forma usada en la descripcin de muchos procesos fsicos diferentes, incluyendo las reacciones encadena en explosiones atmicas y en reacciones qumicas complejas. Si < 0, entonces x(t) es una

exponencial decreciente, la cual tambin se usa para describir fenmenos tales como el proceso dedecaimiento radiactivo y las respuestas de redes elctricas formadas por resistores-capacitores (RC) oresistores-inductores (RL). Observe tambin que para = 0, x(t) es una constante. En la Fig. 1.25 seilustran curvas tpicas para > 0 y < 0.

Figura 1.25

Las exponenciales complejas jugarn un papel importante en mucho de nuestro tratamiento sobreseales y sistemas, principalmente porque sirven como bloques sumamente tiles en la construccin deotras seales. Con frecuencia hallaremos de utilidad el considerar conjuntos de exponencialescomplejas relacionadas armnicamente es decir, conjuntos de exponenciales peridicas con unperodo comn T0. Especficamente, ya vimos que una condicin necesaria para que la exponencialcompleja j te sea peridica con perodo T0 es que

0

1j T

e

lo que implica que T0 debe ser un mltiplo de 2, es decir,

0 2 , 0, 1, 2,T k k (1.34)

Entonces, si definimos lafrecuencia fundamental

x t

2

0 2

. . .. . .

t

AA

x(t) x(t)

t t

> 0 < 0


41/434

26

0

0

2

T

(1.35)

vemos que, para satisfacer la Ec. (1.34), debe ser un mltiplo entero de 0. Es decir, un conjunto deexponenciales complejas relacionadas armnicamente es un conjunto de exponenciales peridicas con

frecuencias fundamentales que son mltiplos de una sola frecuencia positiva 0:0( ) , 0, 1, 2,

jk t

k t e k (1.36)

Para k= 0, ( )k t es una constante, mientras que para cualquier otro valor de k, ( )k t es peridica con

frecuencia fundamental0

k yperodo fundamental

0

0

2T

k k

(1.37)

el k-simo armnico ( )k t todava es peridico con perodo T0, a medida que recorre k de sus

perodos fundamentales durante cualquier intervalo de duracin T0.

1.8.2 Seales Exponenciales Complejas Generales

El caso ms general de una seal exponencial compleja puede expresarse e interpretarse en funcin delos casos examinados hasta ahora: la exponencial real y la exponencial compleja peridica.Especficamente, considere una seal exponencial compleja stAe , dondeA se expresa en forma polar ys en forma rectangular; es decir,

jA A e

ys j

Entonces,

( ) ( )st j j t t j tAe A e e A e e (1.38)

Usando la identidad de Euler, se puede expandir esta relacin para obtener

cos( ) sen ( )st t tAe A e t j A e t (1.39)

As que para = 0, las partes real e imaginaria de una exponencial compleja son seales sinusoidales.Para > 0, ellas corresponden a seales sinusoidales multiplicadas por una exponencial real creciente

y, para < 0, corresponden a seales sinusoidales multiplicadas por una exponencial real decreciente.Ambos casos se ilustran en la Fig. 1.26. Las lneas punteadas representan las funciones tA e . De la

Ec. (1.39) vemos que tA e es la magnitud de la exponencial compleja. As que las lneas de puntos

se comportan como una envolvente para las curvas oscilatorias en la figura, donde los picos de lasoscilaciones justo tocan estas curvas y, de esta manera, la envolvente proporciona una formaconveniente de visualizar la tendencia general en la amplitud de la oscilacin.


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27

Figura 1.26. Seales sinusoidales multiplicadas por seales exponenciales.

Las seales sinusoidales multiplicadas por exponenciales decrecientes comnmente se conocen comosinusoides amortiguadas. Ejemplos de ellas se encuentran en la respuesta de redes elctricascompuestas de resistores-inductores-capacitores (RLC) y en sistemas mecnicos que contienen fuerzasde amortiguamiento y de restauracin (el amortiguamiento de los automviles, por ejemplo). Estossistemas poseen mecanismos que disipan energa (resistores, friccin, etc.).

1.8.3 La Funcin Escaln Unitario

La funcin escaln unitariou(t) se define como

1 0( )

0 0

tu t

t

(1.40)

y se muestra en la Fig. 1.27a. Observe que es discontinua en t = 0 y que el valor en t = 0 no estdefinido. En la misma forma se define la funcin escaln unitario desplazado u(tt0):

0

0

0

1( )0

t tu t tt t

(1.41)

y la cual se muestra en la Fig. 1.27b.

Figura 2.27. La funcin escaln unitario.

1.8.4 La Funcin Impulso Unitario

En aplicaciones de modelado prcticas, con frecuencia encontramos discontinuidades en una seal x(t)de tiempo continuo. Una seal as no posee derivadas finitas en sus discontinuidades. No obstante, por

t

1 1

u(t) u(tt0)

0 tt00

(a) (b)

t

> 0

t

< 0


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28

razones conceptuales y operacionales, es deseable incluir la derivada de la seal x(t) en nuestrasconsideraciones; por lo tanto, introducimos el concepto de la funcin impulso unitario. Esta funcin,tambin conocida como la funcin delta de Dirac, se denota por ( )t y se representa grficamentemediante una flecha vertical, como en la Fig. 1.28.

Figura 1.28

Tradicionalmente, (t) se define como el lmite de una funcin convencional seleccionadaadecuadamente y la cual tiene un rea unitaria en un intervalo de tiempo infinitesimal, como la funcin

ilustrada en la Fig. 1.29.En un sentido matemtico estricto, la funcin impulso es un concepto bastante sofisticado. Sin

embargo, para las aplicaciones de inters es suficiente comprender sus propiedades formales yaplicarlas correctamente. En lo que se expone a continuacin se presentan estas propiedades,recalcando no el rigor sino la facilidad operacional. En las aplicaciones prcticas de algunos modelos,con frecuencia encontramos discontinuidades abruptas en una seal f( t) (como la de la Fig. 1.29). Estaseal no posee derivadas finitas en esas discontinuidades. No obstante, muchas veces es deseableincluir las derivadas de la seal en nuestras consideraciones. Es aqu donde tiene su aplicacin elconcepto de la funcin impulso unitario. Antes de enunciar algunas de las propiedades de la funcinimpulso considere la funcin dada por

0, 0

1( ) , 0

10,

n

t

x t n tn

tn

Para n =1, 2 y 3, los pulsosx1(t), x2(t) y x3(t) se muestran en la Fig. 1.29(b). Conforme n aumenta, laanchura del pulso disminuye y la altura aumenta. Como consecuencia, el rea del pulso para toda n esigual a la unidad:

0

1( ) 1,nx t dt

n

En el lmite, conforme n , para un nmero positivo, tenemos que

0

lm ( ) 1nn

x t dt

t

t0


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29

Figura 1.29. Funciones modelos para obtener una funcin impulso.

lo que nos da una forma de definir lafuncin impulso unitario como

( ) lm ( )nn

t x t

La funcin impulso (t), tambin conocida como funcin delta de Dirac, tiene las siguientespropiedades:

1. Es una seal de rea unitaria con valor cero en todas partes excepto en el origen:

0, 0( )

no est definida en 0

tt

t

(1.42)

( ) 1t dt

(1.43)

Pero una funcin ordinaria que es igual a cero en todas partes excepto en el origen debe teneruna integral de valor cero (en el sentido de la integral de Riemann). As que (t) no puede seruna funcin ordinaria y matemticamente se define por

( ) ( ) (0)t t dt

(1.44)

donde (t) es una funcin continua en el origen. Esta propiedad se conoce como la propiedad

de seleccin o de filtrado de la funcin impulso unitario.Una definicin alterna de (t) est dada por

(0), 0

( ) ( ) 0, 0

no definida, 0 o 0

b

a

ab

t t dt ab

a b

(1.45)

t

t0 1

1

2

4

xn(t)

(a) (b)

f(t)


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30

Observe que la Ec. (1.45) o la Ec. (1.46) es una expresin simblica y no debe ser consideradauna integral de Riemann ordinaria. En este sentido, a (t) se le refiere con frecuencia como unafuncin generalizada y a (t) como unafuncin de prueba. Tome nota que la funcin impulsoes una funcin ficticia con propiedades ideales que ninguna funcin realposee.

2. La funcin delta es la derivada de la funcin escaln unitario, es decir,

( )( )

d u tt

dt (1.46)

La demostracin de esta propiedad se deja como un ejercicio para el lector. Esta ltima ecuacintambin puede usarse para definir la funcin (t) como

( ) ( )

t

d u t (1.47)

Al igual que (t), la funcin delta retrasada, (tt0), se define por

0 0( ) ( ) ( )t t t dt t

(1.48)

A continuacin se presentan algunas consecuencias de las propiedades anteriores:

De la propiedad de la definicin en (1.44), se tiene que la funcin (t) es una funcinpar; es decir,

( ) ( )t t (1.49)Tambin,

1( ) ( )at t

a (1.50)

La funcin (tt0) es la derivada de la funcin escaln unitario retrasado:

0

0

( )( )

d u t t t t

dt

(1.51)

Si (t) es continua en t= 0,

( ) ( ) (0) ( )t t t (1.52)y si es continua en t= t0,

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t (1.53)

Estas dos ltimas ecuaciones representa la propiedad de muestro de la funcin delta, es decir, lamultiplicacin de cualquier funcin (t) por la funcin delta resulta en una muestra de la funcin en losinstantes donde la funcin delta no es cero. El estudio de los sistemas en tiempo discreto se base en estapropiedad.

Unafuncin impulso de nsimo orden se define como la nsima derivada de u(t), es decir

( ) ( ) ( )n

n dt u t

dt (1.54)


46/434

31

La funcin '(t) se denomina doblete, ''(t) triplete, y as sucesivamente.

Usando las Ecs. (1.47) y (1.48), se obtiene que cualquier funcin continua x(t) puede expresarsecomo

( ) ( ) ( )x t x t d

(1.55)Esta identidad es bsica. Diferencindola con respecto a t, se obtiene

( ) ( ) ( )x t x t d

(1.56)

y para t= 0,

(0) ( ) ( )x x d

(1.57)

Puesto que (t) es una funcin par, su derivada ( )t , el doblete, es impar, es decir,

( ) ( )t t (1.58)

por lo que al usar esta propiedad, la Ec. (1.55) se convierte en

( ) ( ) (0)x t t dt x

(1.59)

Tambin se puede demostrar que (hgalo Ud.!)

( ) ( ) ( )x t d x t

(1.60)

Sig(t) es una funcin generalizada, su n-sima derivada generalizada ( ) ( ) ( )n n ng t d g t dt se definemediante la siguiente relacin:

( ) ( )( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

n n nt g t dt t g t dt

(1.61)

donde (t) es una funcin de prueba que puede ser diferenciada un nmero arbitrario de veces y seanula fuera de algn intervalo fijo. Como una aplicacin de la Ec. (1.59) y la Ec. (1.58), si ( ) ( )g t t ,entonces

( ) ( )( ) ( ) ( 1) ( )

n n nt t x dt x

(1.62)

De la Ec. (1.46) se tiene que la funcin escaln unitario u(t) puede expresarse como


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32

( ) ( )

t

u t d

(1.63)

Ejemplo 15. Halle y dibuje la primera derivada de las seales siguientes:(a) ( ) ( ) ( ) 0x t u t u t a a (b) ( ) [ ( ) ( )] 0x t t u t u t a a

Solucin:

(a) Usando la Ec. (1.46), tenemos que( ) ( )u t t y ( ) ( )u t a t a

Entonces,( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t u t u t a t t a

Las sealesx(t) y )(tx se dibujan en la Fig. 1.30.

(b) Usando la regla para la derivada del producto de dos funciones y el resultado de la parte (a), seobtiene

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]x t u t u t a t t t a

Pero, por las Ecs. (1.51) y (1.52),

( ) (0) ( ) 0t t t y ( ) ( )t t a a t a

Y, por ello,

( ) ( ) ( ) ( )x t u t u t a a t a Las sealesx(t) y )(tx se grafican en la Fig. 1.30b.

Figura 1.30

x t x t

t

x' t x' t

1

0 0a a

a

1

(b)

(ta)

a a

ta

t

tt

t0 0

(a)


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33

1.9 Seales de Tiempo Discreto Bsicas

1.9.1 Secuencias Exponenciales Complejas Generales

Igual que en tiempo continuo, una seal importante en tiempo discreto es la secuencia exponencialcompleja

[ ] nx n A (1.64)

dondeA y son, en general, cantidades complejas. Esto podra expresarse alternativamente en la forma

[ ] nx n Ae (1.65)

donde e .

Aunque la forma de la secuencia exponencial compleja dada en la Ec. (1.63) es ms parecida a laforma de la funcin exponencial en tiempo continuo, a menudo es ms conveniente expresarla en laforma de la Ec. (1.62).

1.9.2 Secuencias Exponenciales Reales

Si en la Ec. (1.62) A y son reales, podemos tener diferentes tipos de conducta para las secuencias,como se ilustra en la Fig. 1.31. Si 1 , la magnitud de la seal crece exponencialmente con n,

mientras que si 1 , tenemos una exponencial decreciente. Adicionalmente, si es positiva, todos

los valores de nA tienen el mismo signo, pero si es negativa, entonces los signos de x[n] sealternan. Observe tambin que si = 1, entoncesx[n] es una constante, mientras que si = 1, el valor

dex[n] se alterna entra +A y A. Las exponenciales en tiempo discreto de valores reales con frecuenciase usan para describir el crecimiento de una poblacin en funcin de su tasa de generacin, el retornode una inversin en funcin del da, mes, etc.

Figura 1.31

(a) (b)

(c) (d)

> 1 < 1

1 < < 0


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34

1.9.3 Seales Sinusoidales

Otra exponencial compleja importante se obtiene usando la forma dada en la Ec. (1.63) y restringiendo

a ser puramente imaginaria (de modo que 1 ). Especficamente, considere la expresin

0[ ]j n

x n e (1.66)

Igual que en el caso de tiempo continuo, esta seal est ntimamente relacionada con la seal sinusoidal

0[ ] cos( )x n A n (1.67)

Si tomamos al parmetro n como adimensional, entonces 0 y tienen las dimensiones de radianes. Enla Fig. 1.32 se ilustra un ejemplo de una secuencia sinusoidal.

Figura 1.32

La relacin de Euler nos permite escribir0

0 0cos senj n

e n j n (1.68)

y0 01 1

0 2 2cos( )

j n j nj jA n e e e e (1.69)

Las seales en las Ecs. (1.64) y (1.65) son ejemplos de seales de tiempo discreto con energa total

infinita pero potencia promedio finita. Por ejemplo, puesto que 0 1j ne , toda muestra de la seal en

la Ec. (1.64) contribuye con 1 a la energa de la seal, por lo que la energa total para n esinfinita, mientras que la potencia promedio para algn perodo de tiempo es obviamente igual a 1.

1.9.4 Seales Exponenciales Complejas Generales

La exponencial compleja de tiempo discreto general puede escribirse e interpretarse en funcin deseales exponenciales reales y de seales sinusoidales. Especficamente, si escribimosA y en formapolar,

nnx 6cos][

n12

96

30

6

9


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35

jA A e y

0je

entonces

0 0cos( ) sen ( )n nnA A n j A n (1.70)

As que para 1 , las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial compleja son

sinusoides. Para 1 , ellas corresponden a secuencias sinusoidales multiplicadas por una

exponencial decreciente (Fig. 1.33a), mientras que para 1 , ellas corresponden a secuencias

sinusoidales multiplicadas por exponenciales crecientes (Fig. 1.33b).

Figura 1.33

1.9.5 Periodicidad de las Exponenciales Complejas

Aunque hay muchas semejanzas entre las seales exponenciales de tiempo continuo y las de tiempodiscreto, tambin hay diferencias importantes. Una de ellas se relaciona con la seal 0j ne . En laSeccin 1.8.1 se sealaron las dos propiedades siguientes de su contraparte de tiempo continuo 0j te :(1) Mientras mayor sea la magnitud de 0, ms grande ser la tasa de oscilacin de la seal; y (2)

0j te es peridica para cualquier valor de 0. Ahora se describirn las versiones en tiempo discreto de

estas propiedades y, como se ver, hay diferencias bien definidas entre ellas y sus equivalentes entiempo continuo.

El hecho de que la primera de estas propiedades sea distinta en tiempo discreto, es una consecuenciadirecta de otra diferencia extremadamente importante entre las exponenciales complejas de tiempodiscreto y las de tiempo continuo. Especficamente, considere la exponencial compleja con frecuenciaigual a 0 2k , donde kes un entero:

0 0 0( 2 ) 2j k n j n j nj k ne e e e (1.71)

1

n

1

n

a b


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36

puesto que 2 1j k ne . De la Ec. (1.69) vemos que la secuencia exponencial compleja con frecuencia 0es la misma que las secuencias con frecuencias iguales a 0 02 , 4 , etc. As que tenemos una

situacin muy diferente de la del caso en tiempo continuo, donde las seales 0j te son todasdistintaspara distintos valores de 0. En tiempo discreto, las seales 0

j ne

no son todas distintas. Como loindica la Ec. (1.69); las seales que estn separadas por 2 radianes son idnticas y, por ello, al tratarcon secuencias exponenciales en tiempo discreto, solamente necesitamos considerar un intervalo delongitud 2 en el cual seleccionar0. En la mayora de los casos se usar el intervalo 00 2 o el

intervalo 0 .

Debido a la periodicidad implicada por la Ec. (1.69), la seal 0j ne no tiene una tasa de oscilacinque aumenta continuamente conforme 0 aumenta en magnitud. Ms bien, a medida que aumentamos0 desde 0, obtenemos seales con tasas de oscilacin crecientes hasta alcanzar el valor0 = . De allen adelante, al continuar aumentando 0, disminuye la tasa de oscilacin hasta llegar al valor0 = 2que es la misma que en 0 = 0. el proceso comienza de nuevo!

1.9.6 Periodicidad de la Exponencial Compleja

Para que la seal 0j ne sea peridica con perodoN> 0, se debe cumplir que

0 0( )j n N j ne e

o, equivalentemente, que

0 1j N

e (1.72)

Esta ecuacin se satisface si 0Nes un mltiplo entero de 2, es decir,

0 2N m m un entero positivou

0un nmero racional

2

m

N

(1.73)

Por ello, la secuencia 0j ne no es peridica para cualquier valor de 0; es decir, si 0 satisface lacondicin de periodicidad en la Ec. (1.71), 0 0 y siNy m no tienen factores en comn, el perodofundamentalN0 de la secuencia 0

j ne

est dado por

0

0

2N m

(1.74)

De acuerdo con la Ec. (1.71), la seal 0j ne es peridica si 0/2 es un nmero racional, y no lo espara cualquier otro valor. Estas mismas observaciones tambin son vlidas para sinusoides de tiempodiscreto. Por ejemplo, la secuencia en la Fig. 1.34, 6[ ] cosx n n

, es peridica con perodo

fundamental igual a 12, pero la secuencia dada por [ ] cos 2x n n no lo es.


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37

Figura 1.34

Ejemplo 16. Sea

( 7 9 )[ ] j nx n e

Entonces

0 7 9 7

2 2 18

m

N

As pues,x[n] es peridica y su perodo fundamental, obtenido al hacerm = 7, es igual a 18.

Six[n] es la suma de dos secuencias peridicasx1[n] yx2[n], las cuales tienen periodos fundamentalesN1 yN2, respectivamente, entonces si

1 2mN kN N (1.75)

donde m y kson enteros,x[n] es peridica con perodoN(demustrelo!). Puesto que siempre podemosencontrar enteros m y k que satisfagan la Ec. (1.73), se deduce que la suma de dos secuenciasperidicas es tambin peridica y su perodo fundamental es el mnimo comn mltiplo deN1 yN2.

Igual que en el caso de tiempo continuo, en el anlisis de sistemas y seales en tiempo discretotambin es muy importante considerar conjuntos de exponenciales relacionadas armnicamente esdecir, exponenciales peridicas con un perodo comn N0. De la Ec. (1.71) sabemos que stas sonprecisamente las seales con frecuencias que son mltiplos de 2/N0. Es decir,

0

0

0

2[ ] , , 0, 1, 2,

jk n

kn e k

N

(1.76)

En el caso de tiempo continuo, todas las exponenciales complejas relacionadas armnicamente,0( 2 )j k Te

, 0, 1, 2,k , son distintas. Sin embargo, debido a la Ec. (1.69), ste no es el caso entiempo discreto. Especficamente,

0 0 0

0

( )( 2 ) ( 2 )[ ] [ ]

j k N N n j k N n

k N kn e e n

(1.77)

la cual implica que slo hayN0 exponenciales peridicas distintas en el conjunto dado por la Ec. (1.74)y, por ello, se tiene que

n0 3 9

66

39

6

cos][ nnx


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38

0 0 00 1 1[ ] [ ], [ ] [ ], , [ ] [ ],N N k N kn n n n n n (1.78)

1.9.7 La Secuencia Escaln Unitario

La secuencia escaln unitariou[n] se define como

1, 0[ ]

0, 0

nu n

n

(1.79)

la cual se muestra en la Fig. 1.35a. Observe que el valor de u[n] est definido en n = 0 (a diferencia dela funcin escaln unitario de tiempo continuo, que no lo est en t= 0). En forma similar, la secuenciaescaln unitario desplazado u[n k] se define como

1,[ ]

0,

n ku n k

n k

(1.80)

y se muestra en la Fig. 1.35b.

Figura 1.35

1.9.8 La Secuencia Impulso Unitario

Una de las seales ms sencillas de tiempo discreto es la secuencia impulso unitario (o muestraunitaria), la cual se define como

1 0[ ]

0 0

nn

n

(1.81)

y se ilustra en la Fig. 1.36a. En forma similar, la secuencia impulso unitario desplazado (o muestraunitaria que ocurre en n = k, [n k] se define como

1[ ]

0

n kn k

n k

(1.82)

la cual se muestra en la Fig. 1.36b.

. . . . . . . . . . . .

nn

u[nk]u[n ]

2 1 0 1 2 3 k

(a) (b)

. . .11


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39

Figura 1.36

A diferencia de la funcin impulso unitario de tiempo continuo (t), [n] se define para todos losvalores de n sin complicaciones o dificultades analticas; observe que la magnitud del impulso discretoes siempre finita. A partir de las definiciones (1.79) y (1.80) se ve rpidamente que

[ ] [ ] [0] [ ]x n n x n

[ ] [ ] [ ] [ ]x n n k x k n k

las cuales representan lapropiedad de seleccin de la secuencia impulso unitario, es decir, la secuenciaimpulso unitario puede usarse para tomar muestras de la seal x[n].

La relacin en tiempo discreto entre el impulso y el escaln unitarios viene dada por la llamadaprimera diferencia; ella es

[ ] [ ] [ 1]n u n u n (1.83)

Inversamente, el escaln unitario es lasuma acumulada de la muestra unitaria; es decir,

[ ] [ ]n

m

u n m

(1.84)

Observe en la Ec. (1.82) que la suma acumulada es igual a 0 para n < 0 y 1 para 0n ,Adicionalmente, si se cambia la variable de la sumatoria de m a k= nm, la Ec. (1.82) se convierte en

0

[ ] [ ]k

u n n k

(1.85)En la Ec. (1.83) el valor diferente de cero de ][ kn ocurre cuando k= n, as que de nuevo vemos

que la sumatoria es 0 para n < 0 y 1 para n 0. Una interpretacin de la Ec. (1.83) es verla como unasuperposicin de impulsos retardados, es decir, podemos considerar la ecuacin como la suma de unimpulso unitario [ ]n en n = 0, un impulso unitario [ 1]n en n = 1, otro, [ 2]n en n = 2, etc.

1.10 Sistemas y Clasificacin de Sistemas

Lossistemas fsicos en el sentido ms amplio son un conjunto de componentes o bloques funcionalesinterconectados para alcanzar un objetivo deseado. Para nuestros propsitos, un sistema es un modelomatemtico que relaciona las seales de entrada (excitaciones) al sistema con sus seales de salida(respuestas). Por ejemplo, un sistema de alta fidelidad toma una seal de audio grabada y reproduce esaseal. Si el sistema tiene controles de tono, se puede cambiar la calidad tonal de la seal reproducida;

. . . . . . . . . . . .

nn

[nk][n ]

2 1 0 1 2 3 k

(a) (b)

1 1

1 0 1

. . .


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40

en otras palabras, el sistemaprocesa la seal de entrada. De igual modo, la red sencilla de la Fig. 1.37se puede considerar como un sistema que procesa un voltaje de entrada ve(t) y produce un voltaje desalida vs(t). Un sistema de realzamiento de imgenes transforma una imagen de entrada en una imagende salida con algunas propiedades deseadas como, por ejemplo, un mayor contraste entre los colores.

C

sv

R

e

Figura 1.37

Six yy son las seales de entrada y de salida, respectivamente, de un sistema, entonces el sistema se

considera como una transformacin dex eny. Esta representacin se denota por

]y x T [ (1.86)

donde T es el operadorque representa alguna regla bien definida mediante la cual la excitacin x estransformada en la respuestay. La relacin (1.84) se ilustra en la Fig. 1.38a para el caso de un sistemade una sola entrada y una sola salida. La Fig. 1.38b ilustra un sistema con entradas y salidas mltiples.En estas notas solamente nos ocuparemos de sistemas con una sola entrada y una sola salida.

Figura 1.38

1.10.1 Sistemas en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto

Unsistema en tiempo continuo es un sistema en el cual las seales de entrada y de salida son de tiempocontinuo (Fig. 1.39a). Si las seales de entrada y de salida son de tiempo discreto, entonces el sistemase llama un sistema en tiempo discreto (Fig. 1.40b). Ambos sistemas tambin se denotarnsimblicamente por

( ) ( ) (a)

(b)

x t y t

x n y n

(1.87)

Sistema

T

Sistema

T

x1

xn

y1

yn

.

.

.

.

.

.

(a) (b)


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41

Figura 1.39

Ejemplo 17. Considere la redRCde la Fig. 1.37. Si tomamos al voltaje ve(t) como la seal de entrada yal voltaje vs(t) como la seal de salida, entonces, aplicando la ley de Ohm, la corriente que pasa por elresistorR es

( ) ( )( )

e sv t v t i t

R

Esta corriente est relacionada con el voltaje en el capacitor, vs(t), por

( )( )

sd v ti t C

dt

y de estas dos ltimas relaciones, obtenemos la ecuacin diferencial que conecta la entrada con lasalida:

( ) 1 1( ) ( )

s

s e

d v tv t v t

dt RC RC (1.88)

En general, los sistemas en tiempo continuo en una sola variable estn descritos por ecuacionesdiferenciales ordinarias. En el Ejemplo 17, la ecuacin diferencial ordinaria es una con coeficientesconstantes, lineal y de primer orden, de la forma

( )( ) ( )

d y ta y t b x t

dt

(1.89)

en la cualx(t) es la entrada yy(t) es la salida y a y b son constantes.

Ejemplo 18. Un ejemplo sencillo de un sistema de tiempo discreto, lo da un modelo simplificado parael balance mensual de una cuenta bancaria de ahorros. Especficamente, seay[n] el balance al final deln-simo mes y suponga quey[n] evoluciona mensualmente de acuerdo con la ecuacin

[ ] 1.01 [ 1] [ ]y n y n x n

o[ ] 1.01 [ 1] [ ]y n y n x n (1.90)

donde x[n] representa el depsito neto (es decir, depsitos menos retiros) durante el n-simo mes y eltrmino 1.01y[n] modela el hecho del aporte del 1% de inters mensual

Sistema detiempo continuo

x(t) y(t) y[n]Sistema detiempo discreto

(a) (b)

x[n]


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La Ec. (1.88) es un ejemplo de una ecuacin en diferencias lineal de primer orden y de coeficientesconstantes, vale decir, una ecuacin en diferencias de la forma

[ ] [ 1] [ ]y n a y n b x n

Como lo sugieren los Ejemplos 17 y 18, las descripciones matemticas de sistemas provenientes de

una gran variedad de aplicaciones, con frecuencia tienen mucho en comn, y este hecho es una de lasmayores motivaciones para el desarrollo de herramientas que faciliten el anlisis de seales y sistemas.Aqu la clave del xito est en identificar clases de sistemas que posean dos caractersticas importantes:

1. Los sistemas deben tener propiedades y estructuras que se puedan explotar para obtener una mejorcomprensin de su comportamiento y para desarrollar herramientas efectivas para el anlisis.

2. Los sistemas de importancia prctica deben poder modelarse con la mayor precisin posibleusando modelos tericos bsicos.

La mayor parte de este texto est enfocada en la primera de estas caractersticas y su aplicacin asistemas lineales e invariantes en el tiempo (sistemas LIT). En la prxima seccin se introducirn laspropiedades que caracterizan este tipo de sistemas como tambin otras propiedades bsicas de mucha

importancia.

La segunda caracterstica mencionada es de una importancia obvia para que cualquier tcnica deanlisis tenga valor prctico. Los sistemas que estudiaremos pueden modelar bastante bien una granvariedad de sistemas fsicos. Sin embargo, un punto crtico es que cualquiera sea el modelo utilizadopara analizar un sistema fsico, ese modelo es una idealizacin y, por consiguiente, cualquier anlisisbasado en el modelo ser tan bueno como lo sea el modelo. En el caso de resistores y capacitoresreales, por ejemplo, los modelos idealizados son bastante precisos para muchas aplicaciones yproporcionan resultados y conclusiones tiles, siempre y cuando las variables fsicas voltajes ycorrientespermanezcan dentro de las bandas de operacin establecidas por los modelos. Por ello, esimportante en la prctica de ingeniera tener siempre presente los intervalos de validez de las

suposiciones hechas para elaborar el modelo y tambin asegurarnos que cualquier anlisis o diseo noviola esas suposiciones.

1.10.2 Sistemas Con y Sin Memoria

Se dice que un sistema es instantneo o sin memoria si su salida en cualquier instante dependesolamente de su excitacin en ese instante, no de ningn valor pasado o futuro de la excitacin. Si estono es as, se dice que el sistema tiene memoria. Un ejemplo de un sistema sin memoria es un resistorR;con la entrada x(t) tomada como la corriente y el voltaje tomado como la salida y(t), la relacin deentrada-salida (ley de Ohm) para el resistor es

( ) ( )y t R x t (1.91)

Un sistema que no es instantneo se dice dinmico y que tiene memoria. As pues, la respuesta de unsistema dinmico depende no slo de la excitacin presente sino tambin de los valores de la entradapasada. Un ejemplo de un sistema con memoria es un capacitorCcon la corriente como la entradax(t)y el voltaje como la saliday(t); entonces,


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43

0

1( ) ( )

t

y t x dC

(1.92)

En tiempo discreto, un ejemplo de un sistema con memoria es un acumulador, en el cual las secuenciasde entrada y salida estn relacionadas por

[ ] [ ]

n

k

y n x k

(1.93)

y otro ejemplo es un retardo

[ ] [ 1]y n x n (1.94)

El concepto de memoria en un sistema, expuesto someramente, corresponde a la presencia de algnmecanismo que permite el almacenamiento de informacin sobre los valores de la excitacin entiempos diferentes del presente. Por ejemplo, el retardo en la Ec. (1.92) retiene el valor pasadoinmediato. Del mismo modo, el acumulador de la Ec. (1.91), recuerda la informacin sobre todas las

excitaciones hasta el momento presente; la relacin (1.91) puede escribirse en la forma equivalente1

[ ] { ] [ ]

n

k

y n x k x n

o

[ ] [ 1] [ ]y n y n x n (1.95)

En estas dos ltimas ecuaciones se observa que para obtener la salida en el tiempo presente, elacumulador debe recordar la suma acumulada de los valores previos, y esa suma es exactamente elvalor precedente de la salida del acumulador.

1.10.3 Invertibilidad y Sistemas Inversos

Se dice que un sistema es invertible si excitaciones distintas producen respuestas distintas. Como seilustra en la Fig. 1.40a, si un sistema es invertible, entonces existe un sistema inverso, el cual, al serexcitado con la salida del sistema invertible, reproduce la seal original; es decir, en un sistemainvertible siempre es posible recuperar la entrada si se conoce la salida; si las excitaciones diferentes(nicas) producen respuestas diferentes (nicas), entonces es posible, en principio, si se da la respuesta,asociarla con la excitacin que la produjo.

Un ejemplo de un sistema de tiempo continuo invertible es

( ) 2 ( )y t x t (1.96)

y su inverso es

1

2w t y t (1.97)

Los dos sistemas se ilustran en la Fig. 1.40b.


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Otro ejemplo de un sistema invertible es el acumulador de la Ec. (1.91). En este sistema, la diferenciaentre dos valores sucesivos es precisamente el ltimo valor de la entrada. En consecuencia, para estecaso el sistema inverso es

[ ] [ ] [ 1]w n y n y n (1.98)

como se muestra en la Fig. 1.40c.

Figura 1.40

Ejemplos de sistemas no invertibles son

0y n (1.99)

y

2

( ) ( )y t x t (1.100)En el primer caso, Ec. (1.97), el sistema produce la secuencia cero para cualquier entrada y, en elsegundo caso, Ec. (1.98), no se puede determinar el signo de la funcin de entrada a partir delconocimiento de la seal de salida. Observe que en el primer caso, si y n c , donde c es unaconstante, el sistema no es invertible.

El concepto de invertibilidad es muy importante. Un ejemplo bastante claro proviene de los sistemaspara codificacin utilizados en una gran variedad de aplicaciones en los sistemas de comunicacin. Enesos sistemas, se codifica primero la seal que se va a transmitir; para que el sistema no cometa errores(sistema ideal), debe ser posible recuperar completamente la seal original a partir de la sealcodificada. En otras palabras, el codificador debe ser invertible.

1.10.4 Sistemas Causales

El trmino causalidadconnota la existencia de una relacin causa-efecto. Se dice que un sistema escausalsi su salida en cualquier instante arbitrario depende solamente de los valores de la entrada en eseinstante y en el pasado. Es decir, la salida de un sistema causal en el tiempo presente depende slo de

Sistemainvertible

x(t) y(t) Sistemainvertible

y(t) x(t)

x(t) y(t))(2)( txty

y(t) w(t) =x(t))(

2

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Morón Señales y sistemas