Señales y Sistemas

Módulo 1 / Fundamentación conceptual:Propiedades, características y tipos de señales y sistemas

Señales y Sistemas

Dimas Mavares T.

Periodicidad de la exponencial compleja 1

La periodicidad de una señal se refiere a su repetición al observarla sobre una

determinada variable independiente, de tal forma que se pueden identificar ‘ciclos’,

a los cuales se les denomina períodos. Si dicha variable independiente es el tiempo

continuo, se puede observar que

x(t) = x(t + T ), (1)

donde T es el período de la señal. Al valor más pequeño posible de T (T0) se le llama

período fundamental. De igual forma, para una variable discreta n

x[n] = x[n +N]. (2)

El valor más pequeño posible de N (N0) se le llama período fundamental, y a dife-

rencia de T y T0, sólo puede ser un valor entero, debido a que la variable discreta n

toma sólo valores enteros. Respecto a la periodicidad de la función exponencial com-

pleja de módulo unitario, es necesario diferenciar el caso de la exponencial continua

y la exponencial discreta. La función exponencial continua de módulo unitario puede

expresarse de la siguiente forma:

f(t, ω) = ejωt, (3)

en donde f(t, ω) es una función dependiente de dos variables independientes, t y ω. En

este texto introductorio de análisis de señales se consideran sólo señales dependientes

de una sola variable independiente, de tal forma que se puede dejar fija la frecuencia

1Dimas Mavares T. Visualizando el análisis de señales. Una introducción ala procesameinto de

señales. Trabajo de ascenso presentado como requisito para optar a la categoría de profesor titular.

Barquisimeto, Venezuela: Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre,

2017. isbn: LA2016000013

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Dimas Mavares T.

(haciendo ω = ω0) o el tiempo (haciendo t = t0); de esta forma, se pueden tener

exponenciales en el dominio del tiempo f(t) = ejω0t o en el dominio de la frecuencia

f(ω) = ejωt0 . Así que al preguntarnos por la periodicidad de la exponencial compleja

continua, es necesario distinguir entre estos dos casos:

La exponencial compleja continua ejω0t es siempre periódica en el dominio del

tiempo, con período T = 2πω0

La exponencial compleja continua en el dominio de la frecuencia ejωt0 es no

periódica en el dominio de la frecuencia.

De igual forma, la exponencia compleja discreta de módulo unitario puede ser

función del tiempo o de la frecuencia, y su periodicidad se establece como

La exponencial compleja discreta en el dominio del tiempo ejω0n puede o no

ser periódica, con período N = k 2πω0

. Puedes observar que el período N depende

de una variable k, la cual representa el menor número entero que produce un

N de valor entero. En caso de que no exista un valor de k que produzca un

período entero, la señal será no periódica. Tambien puedes observar que si ω0 es

múltiplo de 2π, la señal será períodica. Debido a que el exponencial complejo

está compuesto por un coseno como su parte real y un seno como su parte

imaginaria, la periodicidad de estas funciones senoidales dependerá de que la

variable independiente n en algún momento coincidan con 2πω0

, y se pueda así

completar el ciclo del coseno o del seno entre 0 y 2π.

La exponencial compleja discreta en el dominio de la frecuencia ejωn0 es

siempre periódica con período W = 2π.

La propiedad de la exponencial compleja discreta de ser siempre periódica en

el dominio de la frecuencia con período 2π será importante al postular las series

discretas de Fourier y la transformada discreta de Fourier.

Otra característica importante de las exponenciales complejas es su pertenen-

cia a una familia de funciones armónicas. Estas familias se caracterizan por ser un

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Dimas Mavares T.

conjunto de señales que guardan una relación entre sí, específicamente tener frecuen-

cias múltiplos todas de una frecuencia llamada frecuencia fundamental. Es decir, los

miembros de la familia serán exponenciales complejas con frecuencias iguales a kω0,

donde ω0 es la frecuencia fundamental, y k es un número natural. Las familias de

exponenciales complejas continuas servirán para representar señales continuas en se-

ries continuas de Fourier, y las familias discretas para representar señales discretas

en series discretas de Fourier. Pero existe una diferencia importante entre las familias

continuas y las familias discretas: las familias continuas tienen infinitos miembros y

las familias discretas un número finito de miembros.

Fíjate que una familia de exponenciales complejas de módulo unitario continuas

con una frecuencia fundamental ω0 tendrá como miembros: ejω0t (primer armónico),

ej2ω0t (segundo armónico), y en general ejkω0t (k-ésimo armónico). El valor de k

puede extenderse sin límites sin que se repitan las señales, así que el número de

señales que forman la familia es infinito. En el caso de una familia de exponenciales

complejas de módulo unitario discretas con una frecuencia fundamental ω0 tendrá

como miembros: ejω0n (primer armónico), ej2ω0n (segundo armónico), hasta ejNω0n

(N-ésimo armónico), donde N representa el período fundamental (es decir, el inverso

de la frecuencia fundamental de la familia multiplicado por 2π). Más alla del miembro

N-ésimo, estos empiezan a repetirse. Por ejemplo,

ej(N+1)ω0n = ejNω0nejω0n = ejNm 2π

Nnejω0n = ej2mπnejω0n = ejω0n,

donde m es un entero positivo usado para calcular el período N . Por lo tanto, la

exponencial discreta con frecuencia ω = (N + 1)ω0 es igual al primer armónico. En

general, la función con frecuencia (k +N)ω0 es igual a la k-ésima armónica

ej(N+k)ω0n = ejNω0nejkω0n = ejNm 2π

Nnejkω0n = ej2mπnejkω0n = ejkω0n.

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Dimas Mavares T.

A continuación utilizaremos algunos ejercicios para familiarizarnos con el con-

cepto de periodicidad de una señal. Determinemos si las siguientes señales son o no

periódicas.

x[n] = cos(π2n) cos(3π

4n)

Sabemos que una exponencial compleja ejω0n es periódica con período

N = k2π

∣ω0∣ , (4)

donde k es un número entero. Necesariamente N debe ser un número entero, debido

a que la variable independiente n no está definida para valores no enteros. En caso

de no existir un k entero que produzca un N entero, la señal será no periódica.

Si expresamos x[n] como

x[n] =m[n]g[n]Procedamos entonces a expresar la función coseno según la relación de Euler:

cos(ω0n) = e−jω0n + ejω0n

2. (5)

Por lo tanto

m[n] = cos(π2n) = e−j

π

2n + ej

π

2n

2,

g[n] = cos(3π4n) = e−j

3π

4n + ej

3π

4n

2.

de tal manera que

x[n] = (12e−j

π

2n +

1

2ej

π

2n)(1

2e−j

3π

4n +

1

2ej

3π

4n) ,

entonces

x[n] = 1

4e−j

5π

4n +

1

4e−j

π

4n +

1

4ej

π

4n +

1

4ej

5π

4n =

1

2cos(5πn

4) + 1

2cos(πn

4)

4

Dimas Mavares T.

Sabemos también que una señal la cual se consigue como la suma de señales

periódicas es necesariamente periódica. Averigüemos entonces el período de cada

exponencial complejo de módulo unitario de la ecuación anterior.

La señal e±j5π

2n es periódica con período

N1 = k2π

∣ω0∣ = k2π

5π/4 =8

5k⇒ N1 =

8

5k∣k=5= 8,

y el período de e±j5π

2n será

N2 = k2π

π/4 = 8k⇒ N1 = 8k∣k=1= 8.

Luego, la suma de dos señales del mismo período es una señal periódica con ese

período, en este caso N = N1 = N2 = 8.

Calculemos ahora el período de x[n] = ejπ(n−1) + ej 3π

4n

En este caso, la señal en cuestión es la suma de dos exponenciales complejas. Si

encontramos que ambas son periódicas, x[n] también lo será. En el caso de ej3π

4n, su

período fundamental es

N2 = k2π

3π/4 =8

3k⇒ N2 =

8

3k∣k=3= 8,

Mientras que la señal ejπ(n−1) podemos descomponerla de la siguiente manera

ejπ(n−1) = ejπne−jπ = (−1)ejπn,

de tal forma que nos falta por conocer sólo el período de ejπn:

N1 =2π

πk = 2k⇒ N1 = 2k∣k=1= 2,

Y podemos concluir que x[n] es periódica con período N = 8, ya que

N =mcm(N1,N2) =mcm(2,8) = 8.

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Dimas Mavares T.

Es decir, N es el mínimo común múltiplo de N1 y N2.

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