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Movimiento de proyectiles Cualquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de proyectiles. Esta forma muy común de movimiento es sorprendentemente simple de analizar si se hacen las siguientes dos suposiciones: 1. La aceleración de caída libre, g, es constante en todo el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo.2. El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse. Con estas suposiciones, se encuentra que la curva que describe un proyectil, y que se conoce como su trayectoria, siempre es una parábola. Si elegimos un sistema de coordenadas tal que el eje y apunte en dirección vertical y positiva hacia arriba, entonces ay = -g, y ax = 0. Supóngase que en t = 0, un proyectil es lanzado desde la posición inicial dada por el vector (x0, y0) con una velocidad inicial cuya magnitud es v0 y formando un ángulo θ0 con la horizontal. Las ecuaciones para la velocidad y la posición del proyectil para cualquier tiempo t son:
En la primera de estas cuatro ecuaciones, se ve que la velocidad horizontal permanece constante debido a que en esa dirección la aceleración es cero. En cambio, la velocidad vertical primeramente es positiva (si el proyectil se lanza hacia arriba) y comienza a disminuir hasta que se hace cero y luego cambia de dirección apuntando hacia abajo. Véase la figura 1, donde se muestra el caso de un proyectil que es lanzado desde el origen con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de disparo de 60o.
Figura 1. Applet para estudiar el movimiento de un proyectil. Si se elimina el tiempo t de las dos últimas ecuaciones se encuentra la ecuación del proyectil en el plano
la cual es válida para ángulos de disparo en el intervalo . Esta expresión es de la forma y = c + ax + bx2, que representa la ecuación de una parábola. Cuando x0 = y0 = 0 dicha parábola pasa por el origen. Nótese que la trayectoria está completamente especificada si se conocen x0, y0, v0 y θ0. Obsérvese que el movimiento de una partícula en dos dimensiones puede considerarse como la superposición del
desplazamiento debido a la velocidad inicial, v0t, y el término , debido a la gravedad. En otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continuaría moviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección
de v0. En consecuencia, la distancia vertical , a través de la cual la partícula "cae" de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que recorrería un cuerpo que cae libremente durante el mismo intervalo de tiempo. Véase la figura 2.
Figura 2. Concluimos que el movimiento de proyectiles es la superposición de dos movimientos: Un movimiento con velocidad constante en la dirección horizontal y Un movimiento de una partícula que cae libremente en la dirección vertical bajo aceleración constante. Applet para estudiar el movimiento de dos proyectiles. Ejemplo del cazador Un cazador ve que un chango se encuentra a una distancia horizontal xc y una altura yc, medidas desde la posición del cazador. Suponga que el cazador le dispara al chango una flecha con una velocidad inicial a un cierto ángulo. ¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad inicial de la flecha y el valor del ángulo de disparo para que el cazador de en el blanco? Respuesta: Para obtener el ángulo de disparo es necesario utilizar la ecuación (1.5). Considerando que x0 = y0 = 0, y que la flecha tiene que pasar por la posición donde se localiza el chango (xc, yc) la ecuación para obtener el ángulo de disparo es
La solución de esta ecuación nos permite calcular el ángulo de disparo. Escribiendo la ecuación anterior de la siguiente manera
se encuentra que tiene la forma y la solución se obtiene mediante la fórmula . Utilizándola, se obtiene
Cuando el discriminante de esta última ecuación se iguala a cero, se obtiene el valor mínimo de la velocidad del proyectil. Haciéndolo, se obtiene la ecuación para la velocidad
Utilizando la misma fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, se obtiene que . La solución que se apega a la situación de los proyectiles es la asociada al signo positivo y entonces la velocidad mínima del proyectil es
Combinando la ecuación (1.9) y la ecuación (1.7), se encuentra que el ángulo de disparo asociado a la velocidad mínima del proyectil esta dado por
Por ejemplo, si el chango se ubica en la posición (50, 5) m, la velocidad mínima que se obtiene de la ecuación (1.9) es v0 = 23.28 m/s y el ángulo de disparo que se obtiene de la ecuación (1.10) es θ0 = 47.85o. Si la velocidad de disparo es menor que 23.28 m/s, independientemente del ángulo de disparo, la flecha nunca dará en el blanco. Si se escoge v0 = 50 m/s, los ángulos de disparo que se obtienen utilizando la ecuación (1.7) son θ1 = 84.28o y θ2 = 11.52o. En la figura 3 se muestran las tres trayectorias que, desde luego, pasan por el punto (50, 5) m.
Figura 3. Applet del proyectil y el blanco fijo. Ejemplo del chango y el cazador Un cazador ve que un chango se encuentra a una distancia horizontal xc y una altura yc, medidas desde la posición del cazador. Suponga que el cazador le dispara al chango una flecha con cierta velocidad inicial a un cierto ángulo. En el momento en que el cazador dispara, el chango se deja caer. ¿Cuál es el valor mínimo de la velocidad inicial de la flecha y el valor del ángulo de disparo para que el cazador de en el blanco? Respuesta: La posición del chango esta descrita por las ecuaciones (1.3) y (1.4) con v0 = 0. Es decir, x(t) = xc y y(t) = yc – gt2/2. El tiempo de caída del chango es
El movimiento de la flecha se puede describir con las ecuaciones
Durante el tiempo de caída del chango, la flecha tiene que recorrer la distancia por lo que la velocidad mínima de la flecha para que haga contacto con el chango es
Sustituyendo , se obtiene
Ángulo de disparo de la flecha
Para que la flecha haga blanco en el chango a media altura, la magnitud de la velocidad debe ser
y el ángulo de disparo debe de ser el mismo. Applet del chango y el cazador Altura máxima y alcance horizontal de un proyectil Supóngase ahora que un proyectil se lanza desde el punto (x0, y0) en t = 0 con una componente vertical, vy, positiva, como se muestra en la figura 4.
Figura 4. Primeramente, nótese que, en el punto de altura máxima, la componente vertical de la velocidad vy = 0. En consecuencia, igualando a cero la ecuación (1.2) se obtiene el tiempo que tarda el proyectil para llegar a su altura máxima
Sustituyendo esta expresión para th en la ecuación (1.4), se obtiene una expresión para calcular la altura máxima que alcanza el proyectil
y tomando y(th) = h, se obtiene la expresión de la altura máxima del proyectil en función de la velocidad inicial y el ángulo de disparo
El alcance, R, es la distancia horizontal recorrida por el proyectil desde que es lanzado. Para calcular R es necesario conocer el tiempo que tarda el proyectil en el aire, hasta caer. Para calcular el tiempo de vuelo, la ecuación (1.4) se iguala a cero y al resolver la ecuación cuadrática para el tiempo t se obtienen dos soluciones:
La solución positiva, corresponde a cuando el proyectil llega al nivel donde y = 0. La solución negativa, corresponde al instante en que se hubiera lanzado el proyectil desde el nivel donde y = 0, de tal manera que el tiempo que dura el proyectil en el aire es
El alcance es por lo tanto
La magnitud de la velocidad con la que el proyectil llega al suelo está dada por
Cuando y0 = 0, como se muestra en la figura 5, los valores del tiempo en la ecuación (1.13) son t = 0, que corresponde a cuando el proyectil es lanzado y
que corresponde a cuando el proyectil llega al nivel donde y = 0. En este caso, el alcance R está dado por
Figura 5.
ya que . La altura máxima la alcanza el proyectil en . Sustituyendo en la ecuación (1.4) se tiene
Es decir, la altura del proyectil esta dada por
La figura 6 muestra las trayectorias de un proyectil que se lanza desde el origen con la misma velocidad inicial pero con diferentes ángulos de disparo.
Figura 6. Lugar geométrico de los máximos de las trayectorias Una propiedad interesante de las trayectorias parabólicas de los proyectiles es la siguiente. Si se unen los puntos de altura máxima de todas las trayectorias, se encuentra que el lugar geométrico de dichos puntos es una elipse. El lugar geométrico de esta elipse se encuentra utilizando la ecuación (1.19) para la altura máxima y la correspondiente posición horizontal que es la mitad del alcance (R/2). Es decir, las ecuaciones paramétricas de la elipse son
donde xm = R/2 y ym = h. Utilizando la identidad se obtiene que
Eliminando se obtiene la ecuación que pasa por todos los máximos de las trayectorias
donde y . En la figura 7 se puede observar la elipse que se forma de unir los puntos máximos de un conjunto de proyectiles lanzados desde el punto (50, 100) m a una velocidad inicial de 50 m/s. Applet para observar la elipse, lugar geométrico de la envolvente de los puntos máximos.
Figura 7. Envolvente de las trayectorias Considere un punto (x, y) donde ocurre una explosión. Los proyectiles que salen de dicha explosión salen disparados en todas direcciones y con diferentes velocidades. Sin embargo si suponemos que todos salen con la misma velocidad inicial pero a diferente ángulo de disparo, se obtiene un conjunto de trayectorias parabólicas que se distribuyen en todo el espacio. En la figura 7 se observa la envolvente para un conjunto de proyectiles lanzados desde el punto (50, 100) m con una velocidad inicial de 50 m/s. En este programa puede ver una simulación de dicho fenómeno y podrá observar que todas las trayectorias también tienen una envolvente descrita por la ecuación
Esta ecuación se obtiene de igualar a cero el discriminante en la ecuación (1.7). Applet donde se estudia la ocurrencia de una explosión en cualquier punto sobre el nivel del suelo y sus envolventes. Caída libre Cuando el proyectil se lanza verticalmente con una velocidad inicial v0 desde una altura y0 = h, tenemos un proyectil en caída libre. En este caso, la posición horizontal del proyectil permanece constante, y su posición vertical está dada por la ecuación (1.4), que después de tomar en cuenta las condiciones anteriores se reduce a
El tiempo que dura el proyectil en el aire, que es un caso particular de la ecuación (1.13), esta dado por
cuando v0 = 0 se reduce a la expresión
Igualmente, cuando v0 = 0, la magnitud de la velocidad con la que llega al suelo el proyectil se obtiene de la ecuación (1.2) y es
Reemplazando ta dada por la ecuación (1.16) se obtiene que
La siguiente tabla agrupa todas las ecuaciones de los proyectiles de las cuales se pueden obtener todos los casos particulares.
Ecuaciones asociadas a un proyectil que se dispara desde el punto (x0, y0)
con una velocidad inicial v0 y un ángulo θ0
Velocidad horizontalVelocidad verticalPosición horizontal
Posición vertical
Tiempo en el aire
Alcance
Tiempo para llegar a la altura máxima
0
Altura máxima
Velocidad al caer
Alcance máximo en el plano horizontal
CinemáticaMovimiento curvilíneoMagnitudes cinemáticasTiro parabólicoComposición demovimientosApuntar un cañón paradar en un blanco fijoBombardear un blancomóvil desde un aviónTiros frontalesa canasta
Alcance máximo en el plano horizontalAlcance máximo en elplano inclinadoOtros máximosDisparo de un proyectilcontra un blanco móvilBarro que se desprendede una ruedaTiro parabólico ymovimiento circularTorpedo a la caza deun submarino
Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo
Se lanza un proyectil desde un péndulo simple
Referencias
Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.
Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθ
vy=v0·senθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0·cosθ·ty= h+v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.
El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.
La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es
La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es
El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.
Alcance máximo
Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
Elevamos al cuadrado y simplificamos
El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale
Sustituyendo cosθ y senθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones
Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es
Teniendo en cuenta la relación trigonométrica
llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo
Rm=h·tan(2θm)
El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm
El alcance máximo sin cálculo de derivadas
Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:
Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ
con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.
Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo
El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.
Velocidad final y velocidad inicial
La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son
La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,
Ejemplo:
La velocidad de disparo v0=60 m/s, La altura inicial del proyectil h=200 m El ángulo de tiro θ=30º.
El alcance R es
El tiempo T de vuelo del proyectil es
El alcance máximo (véase la última figura) se obtiene para el ángulo
El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son, respectivamente
Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=450 m.
Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ
θ1=10.8º, θ2=55.3º, Como vemos θ1<θm<θ2
Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal.
Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale
Rm=h·tan(2θm) θm=42.3º
El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·senθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)
Actividades
Se introduce
La altura h desde la que se dispara el proyectil, actuando en la barra de desplazamiento titulada Altura. El ángulo de tiro θ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo, o bien, introduciendo el valor del ángulo en el
control de edición correspondiente. La velocidad de disparo se ha fijado en el valor v0=60 m/s
Se pulsa el botón titulado Empieza
Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al suelo. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:
tiempo t, las componentes de la velocidad vx y vy, la posición x, e y
Cuando llega al suelo, podemos anotar el alcance x, el tiempo de vuelo t y la velocidad final del proyectil vx y vy, y comprobar estos resultados con los cálculos realizados manualmente.
El programa interactivo representa, la trayectoria actual del proyectil y su trayectoria anterior. Fijada la altura h, vamos cambiando el ángulo de tiro θ. Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.
Se lanza un proyectil desde un péndulo simple
Consideremos un objeto que denominaremos proyectil de masa m que cuelga de una cuerda de longitud l. Cuando se separa de su posición de equilibrio y se suelta comienza a oscilar, tal como estudiaremos en la página dedicada al péndulo simple.
Soltamos el proyectil cuando la cuerda se desvía de la posición de equilibrio un ángulo θ0. Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía de la posición vertical un ángulo θ<|θ0|. El proyectil describe una trayectoria parabólica si se desprecia el rozamiento con el aire, tal como se aprecia en la figura.
Principio de conservación de la energía
El proyectil parte de la posición inicial θ0, con velocidad inicial v=0. Describe un arco de circunferencia y llega a la posición final θ, con velocidad v. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v. Si ponemos el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de la trayectoria
Ecuaciones del tiro parabólico
Para describir el movimiento del proyectil, situamos los ejes X e Y del modo en el que se señala en la figura; el eje X en el suelo, y el eje Y tiene la dirección del péndulo en la posición de equilibrio θ=0.
El proyectil se dispara con una velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal, desde una altura h=H+(l-lcosθ). Siendo H+l la altura del centro de giro del péndulo.
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= l·senθ+v·cosθ·ty= h+v·senθ·t-g·t2/2
Siguiendo los mismos pasos que en la sección anterior. Obtenemos el alcance R, poniendo y=0, en la segunda ecuación, despejando el tiempo de vuelo t, y sustituyéndolo en la primera ecuación de la trayectoria.
Expresamos el alcance R en función del ángulo θ
Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, se tratará de calcular el ángulo θ, para el cual el alcance R es máximo.
Alcance máximo
Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, calcularemos el ángulo θm, para el cual el alcance R es máximo.
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo θ, para θ0=80º. El ángulo θm para el cual R es máximo se obtiene derivando R respecto del ángulo θ, e igualando a cero. Es decir, resolviendo la ecuación dR/dθ=0.
En el segundo artículo citado en las referencias, el alcance máximo se obtiene calculando las raíces reales de la ecuación cúbica.
con x=cosθm
Ejemplo:
Longitud del péndulo l=0.6 m Altura del proyectil en la situación de equilibrio, H=1.0 m Se desvía el péndulo θ0=80º de la posición de equilibrio Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía θ=30º
La velocidad del proyectil cuando se corta la cuerda es
Ecuaciones del movimiento
x= 0.6·sen30+2.85·cos30·ty= 1.0+0.6-0.6·cos30+2.85·sen30·t-9.8·t2/2
El alcance se calcula poniendo y=0. Resolvemos la ecuación de segundo grado en t. La raíz positiva vale t=0.64 s
Calculamos el alcance en la primera ecuación x=1.87 m
También podemos calcular el alcance de forma directa
Para calcular el ángulo θm para el cual el alcance es máximo, se resuelve la ecuación cúbica
x3+a·x2+bx+c=0
con a=2.32, b=0, c=-2.49
Se calcula
Como R2>Q3 entonces la ecuación tiene una raíz real
El ángulo x1=cosθm, θm=28.1º
Este ángulo θm se puede obtener aproximadamente de forma gráfica.
Actividades
Se introduce
El ángulo θ0 que se desvía el péndulo de la posición de equilibrio, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo partida.
La longitud del péndulo se ha fijado en l=0.6 m La altura del proyectil en la posición de equilibrio θ=0 se ha fijado en H=1.0 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
El ángulo θ que forma el péndulo con la vertical cuando se corta la cuerda que sostiene el proyectil, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo final.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Cuando el proyectil llega al suelo, se guardan los pares de datos, (ángulo θ, alcance R) en el área de texto situado en la parte izquierda del applet.
Pulsando el botón titulado Gráfica se representa los resultados “experimentales” como puntos de color rojo sobre la representación gráfica de la función R(θ). El alcance R en función del ángulo final θ. Calcula el ángulo θm que hace que el alcance R sea máximo
Lanzamiento horizontal
Una pelota de béisbol se proyecta horizontalmente en el vacío desde un punto O con velocidad . Si la tierra no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se supone nula la resistencia del aire, la pelota se movería en el vacío y en tiempos t1, t2,t3… ocuparía posiciones tales como A, B, C, D ,… y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante . Sin embargo como la pelota está sometida a la atracción gravitatoria, a la vez que se mueve horizontalmente, cae verticalmente con aceleración constante - y al final de los tiempos indicados, las posiciones de la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,… La curva que une a estos puntos corresponde a una parábola .
La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse como el resultado de dos movimientos: Uno horizontal uniforme a lo largo del eje x y de velocidad
constante , y otro vertical de caída, uniformemente variado a lo largo del eje y
de aceleración constante .
Ecuaciones de la velocidadLa componente horizontal de la velocidad será de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual a . Esto se debe a que el movimiento en esta dirección es con velocidad constante. En toda la trayectoria la componente horizontal ( ) será la misma velocidad inicial; esto es . En módulo:
La componente vertical en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:
La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en módulo por la expresión:
Para determinar la dirección del vector , es decir el ángulo a que forma con el eje x , basta con aplicar la relación trigonométrica
Luego:
Recordar que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita por la partícula
Ecuaciones del desplazamientoComo se puede notar el movimiento tiene simultáneamente un desplazamiento horizontal ( ) y un desplazamiento vertical ( ) en un instante de tiempo cualesquiera.
La ecuación de desplazamiento horizontal(X) en módulo, es la misma del movimiento rectilíneo uniforme puesto que la rapidez en ese sentido es constante
El desplazamiento vertical (y) en módulo se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre
La posición a lo largo del eje y, en el tiempot.
El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por:
La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente
El tiempo de vuelo ( )Es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo.
Recuerde que la cantidad subradical será siempre positiva
El alcance horizontal ( R ) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal, pero con
Ecuación de la TrayectoriaLa idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:
de donde : (a)
Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es:
(b)
Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir t de la ecuación (a) en tde la ecuación (b) quedando:
Como , y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por k, adoptando la expresión la forma siguiente:
que corresponde a la ecuación de una parábola.
Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán:
EjemploUn avión vuela con una velocidad horizontal constante de 600km/h a una altura de 6 km y se dirige hacia un punto que se encuentra directamente arriba de su objetivo ¿ Cuál es el ángulo de mira al que debe arrojarse un paquete de supervivencia para que llegue a su objetivo?
SoluciónSe escoge un referencial fijo respecto de la Tierra con su origen 0 en el punto que se suelta el paquete, cuya velocidad en el momento de ser soltado, es igual a la del avión.
= 600 Km/h = 166,66 m/seg
De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea horizontal y su magnitud sea de 600 Km/h. El ángulo de tiro es cero.
El tiempo de vuelo se calcula con la expresión
= 34,99 seg ( No depende de la rapidez del avión cuando el tiro es horizontal)El alcance horizontal es
R = . = 166,66 m/seg X 34,99 seg
R = 5831,43 m = 5831,4 m = x
De modo que el ángulo de mira f se define como
Lanzamiento inclinado
Consiste en estudiar el caso de una partícula o proyectil que se lanza con una velocidad inicial , formando un ángulo q0 con la dirección horizontal. Su velocidad cambia constantemente debido a la acción del campo gravitatorio.Los componentes rectangulares de la velocidad
inicial y . (Los subíndices se utilizan para indicar los valores iniciales de en cada uno de los ejes). Si no existiera la atracción gravitatoria, en tiempos t1, t2, t3, … ocuparía respectivamente posiciones tales como A, B, C, D, y el movimiento sería rectilíneo uniforme de velocidad constante , Sin embargo como el proyectil está sometido a la fuerza de atracción gravitatoria, a la vez que se mueve según la recta AE, cae verticalmente, y al final de los tiempos indicados las posiciones del proyectil son respectivamente A', B',C,'D' … La curva que une estos puntos determina la trayectoria del proyectil, que corresponde a una parábola .
Cuando el cuerpo es lanzado forma un ángulo q0 con la horizontal y la única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria. Luego en la dirección horizontal no existe aceleración, en tanto que en la dirección vertical el cuerpo está sometido a la acción de la fuerza de la gravedad y por ello, en dicha dirección se manifiesta un movimiento con aceleración constante. Por lo tanto, el movimiento del proyectil será el resultado de la composición de dos movimientos, uno con velocidad constante en el eje x o eje de las abscisas y otro con aceleración constante en el eje y o eje de las ordenadas.
El proyectil en su movimiento ascendente está dotado de un movimiento uniformemente retardado con aceleración = - g. Se observa que la componente de la velocidad a lo largo del eje y ( ), cuando el proyectil sube, va disminuyendo hasta hacerse igual a cero en el punto de máxima altura de la curva. A partir de este punto, cuando el proyectil empieza a bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado = g , luego la componente de la velocidad cambia de sentido y aumenta en magnitud a medida que el cuerpo continúa su caída libre. Se nota que durante todo el movimiento, la componente horizontal de la velocidad a lo largo del eje horizontal (eje x ) se mantiene constante y por consiguiente el movimiento a lo largo de este eje es rectilíneo uniforme.
De acuerdo con lo anterior, como la partícula describe un movimiento que resulta de la superposición de un movimiento rectilíneo uniforme ( = constante) y un movimiento uniformemente variado ( = constante) a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, podemos encontrar las coordenadas de posición ( x,y ) del proyectil en cualquier instante t a partir de las siguientes ecuaciones.
Ecuaciones de la velocidad en el momento del lanzamiento ( t = 0)Se supone que se dispara un proyectil, con una velocidad inicial , formando con la horizontal un ángulo q0.
Las componentes del vector en las direcciones de los ejes vienen dadas en módulo por:
(Componente Horizontal)
(Componente Vertical)
Ecuaciones de la velocidad para un instante después del lanzamientoCuando el proyectil ocupa una determinada posición en un instante t después de haber sido lanzado la velocidad , tendrá una componente horizontal que se llama y una componente vertical que se llama .
Ecuaciones del desplazamientoEl movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que eldesplazamiento horizontal x viene dado por la ecuación:
La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y vendrá dada por:
La magnitud de la componente vertical en cualquier instante viene dada por:
La magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada como:
El ángulo que dicho vector forma con el eje horizontal representa la dirección de la velocidad y viene dado por:
El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación del desplazamiento vertical y vendrá dada por:
Si la anterior ecuación se resuelve para se obtiene:
Esta ecuación es válida para ángulos de lanzamientos ubicados dentro del rango 0 < q0 < p / 2. La ecuación es válida para cualquier punto (x,y) a lo largo de la trayectoria del proyectil. Esta expresión es de la forma y = ax-bx2, que es la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Se advierte que la trayectoria está completamente especificada si se conoce tanto la rapidez inicial como el ángulo de lanzamiento q0.
Ecuación del tiempo máximoSe llama tiempo máximo, al tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima ( ).A medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad hasta llegar un momento en que la misma se hace cero. Para ello hacemos = 0 en la ecuación:
Ecuación de la altura máxima ( )
La altura máxima se obtiene haciendo en la ecuación
Ecuación del tiempo de vuelo ( )El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido por el proyectil desde su punto partida.
Alcance horizontal ( R )Es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.
Ejemplo 2José Manuel Rey, un notable futbolista de la Vinotinto patea el balón con un ángulo de inclinación sobre la horizontal de 37º y con una velocidad inicial de 20 m/seg. A 36 m del punto de partida se encuentra un vertical de la Portería con el cual choca la esférica. ¿A que altura del poste respecto a la horizontal pega el balón?
Solución
= 20 m/seg q0= 37º X = 36 m
La posición se denota por la ecuación:
Y = 2,19 = 2,2 m
Ejemplo 3Un día un Cazador salió a capturar monos. Pronto encontró uno colgado tranquilamente en la rama de un árbol. El cazador no era muy buen físico y pensó que si apuntaba directamente al mono, seguramente le daría. El cazador apunta directamente al mono sin tener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria parabólica y por lo tanto pasará debajo del mono. Pero el mono había visto el cazador y mientras éste apuntaba hacia él, el mono pensaba cuidadosamente que hacer.
Decidió que abandonaría la rama justo cuando viera salir el dardo de la cerbatana, se suelta de la rama y cae del árbol esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado por el dardo independiente de cual sea la velocidad inicial del dardo, con tal que sea suficientemente grande para recorrer la distancia horizontal que hay hasta el árbol.
SoluciónEl mono y el dardo se aceleran hacia abajo en la misma cantidad.La altura del dardo en cualquier instante es:
La altura del mono en cualquier instante es:
Demostrar que H = Voy. t;
Efectivamente el mono es alcanzado por el dardo.Nota: Una colisión puede ocurrir cuando
d es la elevación inicial del blanco sobre el suelo.
http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_Ilustrada/Ciencias/Movimiento_proyectiles2.htm
Lección 8ª: Movimiento de Proyectiles.
Cuando un objeto es lanzado al aire, éste sufre una aceleración debida al efecto del campo gravitacional. El movimiento más sencillo de éste tipo es la caida libre; pero cuando un cuerpo, además de desplazarse verticalmente, se desplaza horizontalmente, se dice que tiene un movimiento de proyectil, también conocido como movimiento parabólico, que es un caso más general de un cuerpo que se lanza libremente al campo gravitacional, y se trata de un movimientobidimensional.
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil*. En éste movimiento, se desprecia el efecto de la resistencia del aire; entonces, el único efecto que un proyectil sufre en su movimiento es su peso, lo que le produce una
aceleración constante igual al valor de la gravedad.
Si la aceleración la definimos como una cantidad vectorial, entonces debería tener componentes en x e y. Pero para el caso, la única aceleración existente en el movimiento es la de la gravedad; como no existe ningún efecto en el movimiento horizontal del proyectil, la aceleración no tiene componente en x, y se limita entonces a ser un vector con dirección en el eje y.
Con lo anterior no quiere decir que la componente en x de la velocidad sea igual a cero (recordando que la velocidad es un vector).
Al analizar el movimiento en el eje x, la aceleración es igual a cero, entonces no existe cambio de la velocidad en el tiempo; por lo tanto, en el eje x se da un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.). Cuando el movimiento del proyectil es completo, es decir, se forma la parábola como se muestra en la figura anterior, el desplazamiento máximo en x (Xmax) se le conoce como el alcance horizontal del movimiento.
En cambio, en el eje y, se tiene una aceleración constante, igual al valor de la gravedad. Como la aceleración es constante, en el eje y se tiene un movimiento igual a una caida libre de un cuerpo. Cuando el movimiento del proyectil forma la parabola que se muestra en la figura anterior, el desplazamiento máximo en y (Ymax) se conoce como la altura máxima del movimiento. Si el movimiento es completo (forma la parábola completa), la altura máxima se da justamente en la mitad del tiempo en el que se llega al alcance horizontal; es decir, a la mitad del tiempo del movimiento completo.
La forma más sencilla de resolver problemas que involucran éste tipo de movimiento es analizar el movimiento en cada eje, encontrando las componentes de la velocidad en cada eje y sus desplazamientos. Las fórmulas que se utilizan son las mismas deducidas para el M.R.U. y la caida libre.
*Definición obtenida de "Fisica Conceptos y Aplicaciones", Tippens, Paúl E. Sexta Edición.
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Lección 9ª: Problemas de Aplicación de Movimiento de Proyectiles I.
Ejemplo. Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de elevación de 30º y una velocidad inicial de 40 m/s sobre un terreno horizontal. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar a la tierra; b) El alcance horizontal del proyectil.
Se tiene el valor de la magnitud de la velocidad inicial y el ángulo de elevación. A partir de ello, se pueden encontrar las componentes de la velocidad inicial Vox y Voy:
Vox = Vo cos θ = (40 m/s) cos (30º) = 34.64 m/s. (Ésta es constante)
Voy = Vo Sen θ = (40 m/s) sen (30º) = 20.0 m/s.
a) Si analizamos el tiempo en el que el proyectil tarda en llegar a la altura máxima, podemos encontrar el tiempo total del movimiento, debido a que es un movimiento parabólico completo. Suponga que tº es el tiempo en llegar a la altura máxima.
En el punto de la altura máxima, Vfy = 0 m/s. El valor de la aceleración de la gravedad, para el marco de referencia en la figura, siempre es negativo (un vector dirigido siempre hacia abajo). De la ecuación de caida libre:
Como tº = t/2, donde t es el tiempo total del movimiento:
t = 2 * (2.04 s) = 4.08 s
b) El tiempo total del movimiento es el mismo tiempo en el que se obtiene el alcance horizontal. De M.R.U.:
d = Xmax = Vx * t = (34.64 m/s) * (4.08 s) = 141.33 m
Lección 10ª: Problemas de Aplicación de Movimiento de Proyectiles II.
Una de las aplicaciones más comunes de éste tipo de movimiento es cuando el movimiento parabólico no es completo. Por ejemplo, una bomba que cae desde un avión describe la mitad de una parábola o cuando una pelota rueda sobre una mesa y cae por el borde. A éste tipo de movimiento se le llama comummente movimiento semiparabólico.
Ejemplo. Un libro que se desliza sobre una mesa a 1.25 m/s cae al piso en 0.4 s. Ignore la resistencia del aire. Calcule: a) La altura de la mesa; b) la distancia horizontal desde el borde de la mesa a la que cae el libro; c) las componentes vertical y horizontal de la velocidad final;d) la magnitud y dirección de la velocidad justo antes de tocar el suelo.
Éste ejemplo comienza su movimiento justo a la mitad de un tiro parabólico completo; por lo tanto, se comienza en la altura máxima de un movimiento de proyectil, con una velocidad inicial en y igual a cero (Voy = 0 m/s).
a) La altura de la mesa es igual a la altura máxima del movimiento. Como la altura es el desplazamiento en el eje y, comenzamos analizando en dicho eje.
De la fórmula: Vfy = Voy + g*t
se obtiene: Vfy = (0 m/s) + (-9.8 m/s^2)*(0.4 s) = - 3.92 m/s
El signo negativo indica el sentido de la velocidad final (hacia abajo). Luego:
El signo negativo muestra que la altura estaba medida desde el borde de la mesa e indica que son 0.784 m hacia abajo.
b) La velocidad en y al principio del tiro semiparabólico es igual a cero, pero la velocidad no, debido a que tiene una componente en x, que es igual a la velocidad con la que llega al borde de la mesa y se cae de ella. La velocidad en x no cambia, entonces:
Si d es la distancia horizontal del movimiento:
d = (1.25 m/s)*(0.4 s) = 0.5 m
c) La componente de la velocidad, en x, no cambia; entonces:
Vfx = 1.25 m/s
La componente de la velocidad, en y, se calculó en el literal a) del ejercicio:
Vfy = 3.92 m/s
d) Obtenidas las componentes, podemos encontrar la magnitud Vf de la velocidad final:
y la dirección está dada por:
Note que la magnitud de un vector siempre es positiva. Un vector representa su sentido por medio del signo a partir de un marco de referencia propuesto, pero cuando es una magnitud que se representa, ésta siempre tiene signo positivo.
Lección 11ª: Problemas de Aplicación de Movimiento de Proyectiles III.
Ejemplo. Una persona arroja una pelota a una velocidad de 25.3 m/s y un ángulo de 42º arriba de la horizontal directa hacia una pared como se muestra en la figura. La pared está a 2.18 m del punto de salida de la pelota. a) ¿Cuánto tiempo estará la pelota en el aire antes de que golpee a la pared?; b) ¿A qué distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared?; c) ¿Cuáles son
las componentes horizontales y verticales de su velocidad cuando golpea a la pared?; d)¿Ha pasado el punto más elevado de su trayectoria cuando la golpea?
Este es un movimiento parabólico general; es decir, no es completo ni semiparabólico, pero tiene el comportamiento parabólico característico.
a) Se conoce la distancia recorrida en x. Con la magnitud y dirección del vector de la velocidad inicial se puede encontrar la componente de velocidad en x. Entonces:
Vx = (25.3 m/s) cos (42º) = 18.80 m/s
El tiempo de vuelo está dado por:
b) La distancia que se pide se mide en el eje y. Analizando el movimiento en ese eje, se puede encontrar la velocidad final, en y, antes de golpear la pared:
Voy = (25.3 m/s) sen (42º) = 16.93 m/s
La velocidad final, en y, es:
Vfy = Voy + g*t = (16.93 m/s) + (-9.8 m/s^2)*(1.16 s) = 5.56 m/s
Note que la velocidad final en y es positiva. El sentido de ésa componente indica que la velocidad apunta hacia arriba.
c) Las componentes verticales y horizontales de la velocidad final se calcularon en literales anteriores:
Vfx = 18.80 m/s
Vfy = 5.56 m/s
d) El punto h se puede comparar con el punto más alto del movimiento, tomando como Vfy = 0 m/s:
Como Ymáx > h; entonces la pelota no ha pasado su punto más alto de la trayectoria parabólica. Esto se puede demostrar también con el sentido de la velocidad, debido a que la velocidad, en y, cuando golpea la pared, es positivo. Esto quiere decir que la pelota estaba subiendo cuando golpea la pared; si ésta no estuviera, la pelota siguiera una trayectoria ascendente hasta llegar a la altura máxima.
http://www.aulafacil.com/curso-fisica-movimiento/curso/Lecc-8.htm
¿ Problema de fisica?necesito tu ayuda
demostrar que la máxima altura que alcanza un proyectil es Y max= (Vo. senθ. )^2 /2g
y demostrar que el alcance horizontal de un proyectil que tiene una velocidad inicial Vo. y que se dispara con un ángulo θ o con respecto a la horizontal es R= (Vo. / g ) sen 2θ o. demostrar después que un ángulo de 45° da el máximo alcance horizontal
muchas gracias
hace 4 años
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detallis...
Mejor respuesta - elegida por quien preguntó
Hipótesis: 1) no hay rozamiento del aire o el tiro se realiza en el vacío (pero con existencia de gravedad);2) la gravedad es constante;3) se dispara al ras del piso sobre una superficie horizontal.
Movimiento horizontal:- - - - - - - - - - - - - - - - -Es M.R.U.o sea a velocidad horizontal constante
la distancia, considerando xo, o sea la distancia inical nula, está dada por:
x = Vox t (distancia = velocidad horizontal por tiempo)
Pero Como se arroja con un ángulo θ la velocidad horizontal será la proyección sobre el eje x de Vo:
x = Vo cos θ t(1)
Movimiento vertical:- - - - - - - - - - - - - - es un M.R.U.A o sea uniformemente acelerado por la gravedad, que llamamos g, pero como g actúa hacia abajo y describimos y como positivo hacia arriba escribimos:a = -g
y = Voy t + ½ a t² = Vo sen θ t - ½ g t²(2)
ya que Voy = proyección de Vo sobre la vertical = Vo sen θ
Si despejamos el tiempo de la ecuación (1):
t = x / ( Vo cos θ )
y lo reemplazamos en la (2):
y = Vo sen θ x / ( Vo cos θ ) - ½ g x² / ( Vo² cos² θ )
y = x tg θ - g x² / ( 2 Vo² cos² θ ) (3)
que describe el movimiento en sus coordenadas y = f(x)
Alcance o distancia máxima:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - El alcance es máximo cuando la ordenada o distancia vertical vuelve a ser cero (lo es en el disparo):
0 = x tg θ - g x² / ( 2 Vo² cos² θ )
x tg θ = g x² / ( 2 Vo² cos² θ )
De las dos raíces posibles descartamos x=0 porque es la del origen entonces x>0 se puede simplificar:
tg θ = g x / ( 2 Vo² cos² θ )
x = 2 Vo² cos² θ tg θ / g = 2 Vo² cos² θ (sen θ / cos θ) / g
x = Vo² 2 cos θ sen θ / g===================(3)
que mide el alcance o x máximo porque se planteó como condición que fuera y=0
Pero recordando la identidad matemática (una de las fundamentales de la trigonometría):
sen θ cos θ = ½ sen 2θ
tenemos que:
2 sen θ cos θ = sen 2θ
y reemplazada en (3) da el ALCANCE como:
xmax = R = Vo² sen 2θ / g======================(5)que es una de las ecuaciones a demostrar (Vo va al cuadrado, fijate que dimensionalmente da correctamente).
Obviamente es lo mismo escribirla como:
R = (Vo² / g) sen 2θ ===============(5')
Altura máxima:- - - - - - - - - - -
Por ser M.R.U.A. la velocidad vertical variará de la forma:
vy = Voy + a t = Vo sen θ - g t(6)
La altura es máxima cuando Vy se hace cero porque es cuando comienza a descender, entonces:
Vy = 0 = Vo sen θ - g t
Vo sen θ = g t
por lo que el tiempo cuando esto ocurre es:
t = Vo sen θ / g
que reemplazado en la ecuación (2) de la altura y da:
y = Vo sen θ t - ½ g t² = Vo sen θ Vo sen θ / g - ½ g Vo² sen² θ / g
y = ½ g Vo² sen² θ / g = ymax = H=========================
Que se puede también escribir como:
H = Vo² sen² θ / 2g = (Vo sen θ)² / 2g=============== ============(7)Ecuación de la altura máxima.
Ángulo que da el máximo alcance:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Volviendo a la ec.(5')
R = (Vo² / g) sen 2θ
dado que el seno de cualquier ángulo varía entre -1 y 1, el máximo alcance será con seno unitario, es decir:
sen 2θ = 1
lo cual se da para
θ = 45º=====porque así 2θ =90º y su seno 1.
Y es lo tercero que se pedía demostrar.
Suerte y saludos.
hace 4 años
