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PROBLEMAS RESUELTOS

MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA: VELOCIDAD

MEDIA E INSTANTÁNEA. ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA. MOVIMIENTO

RECTILÍNEO UNIFORME. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO.

APLICACIONES.

1. Una partícula se mueve en el eje X con velocidad: 𝒗(𝒕) = 𝟔 𝒎𝒔−𝟏 Si el móvil inicia

su movimiento 𝒕 = 𝟎 𝒔 en 𝒙 = +𝟓𝒎, determinar la posición en el instante 𝒕 = 𝟒𝒔

SOLUCIÓN

Obtenemos la posición en el eje x, integrando el vector velocidad,

𝑥(𝑡) = ∫(6)𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 6𝑡 + 𝐶

La posición es x = 5 m en el instante t=0 s

5 = 6(0) + 𝐶

𝐶 = 5

La posición en cualquier instante de tiempo.

𝑥(𝑡) = 6𝑡 + 5

La posición en el instante t = 4 s

𝑥(4) = 6(4) + 5 = 29

La posición en el instante t = 4 s es x = 29 m

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2. Se conoce la ley del movimiento de una partícula que se mueve en el eje “x”.

𝑥(𝑡) = 𝑡3 − 18𝑡 + 20

Donde “t” se mide en segundos y “x” en metros.

a) Determine la velocidad en el instante t = 2 s.

b) Determine la velocidad en el instante t = 3 s.

c) ¿En qué instante la velocidad es nula?

SOLUCIÓN

a) Obtenemos la velocidad en el eje x derivando el vector posición,

𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 18

La velocidad en el instante t = 2 s.

𝑣(2) = −6 𝑚𝑠−1

El signo negativo indica con dirección en el eje –x

b) La velocidad en el instante t = 3 s.

𝑣(3) = −9 𝑚𝑠−1

El signo negativo indica con dirección en el eje –x

c) La velocidad es nula cuando:

𝑣(𝑡) = 3𝑡2 − 18 = 0

3𝑡2 = 18 → 𝑡2 = 6

La velocidad es nula en el instante 𝑡 = √6 𝑠.

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3. Una partícula que se mueve sobre el eje “x” tiene la aceleración variable según la

ley:

𝑎(𝑡) = 𝑡 + 8

Donde “t” se mide en segundos y la aceleración en m.s-2. Para t = 0 la rapidez es V

y para t = 4 s la rapidez es 3V. Determinar la rapidez para t = 6 s

SOLUCIÓN

Obtenemos la velocidad en el eje x, integrando el vector aceleración,

𝑣(𝑡) = ∫(𝑡 + 8)𝑑𝑡 =𝑡2

2+ 8𝑡 + 𝐶1

La velocidad en el instante t =0 segundos es V ms-1

𝑉 = 𝑣(0) =02

2+ 8(0) + 𝐶1

𝑉 = 𝐶1

La velocidad en cualquier instante de tiempo.

𝑣(𝑡) =𝑡2

2+ 8𝑡 + 𝑉

La velocidad en el instante t = 4 segundos es 3V ms-1

3𝑉 =(4)2

2+ 8(4) + 𝑉

Resolviendo obtenemos V = 20

La velocidad en cualquier instante de tiempo:

𝑣(𝑡) =𝑡2

2+ 8𝑡 + 20

Reemplazando para t = 6 segundos, la rapidez será: 86 ms-1

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4. Una partícula se mueve en el eje X cuya aceleración varía con el tiempo con la

siguiente ley:

𝑎(𝑡) = −5 𝑚𝑠−2

En el instante t = 5 s, la velocidad es: 𝟏𝟎𝒊 𝒎𝒔−𝟏

En el instante t = 0 s, la posición es: 𝟏𝟎𝒊 𝒎

Determine la posición en el instante t =10 s

SOLUCIÓN

Obtenemos la velocidad en el eje x integrando el vector aceleración,

𝑣(𝑡) = ∫ −5𝑑𝑡

𝑣(𝑡) = −5𝑡 + 𝐶1

La velocidad en el instante t = 5 segundos es: 𝟏𝟎𝒊 𝒎𝒔−𝟏

𝑣(5) = −5(5) + 𝐶1 = 10

𝐶1 = +20

La velocidad en cualquier instante de tiempo.

𝑣(𝑡) = −5𝑡 + 20

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Obtenemos la posición en el eje x integrando el vector velocidad,

𝑥(𝑡) = ∫(−5𝑡 + 20)𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = −2,5𝑡2 + 20𝑡 + 𝐶2

La posición en el instante t = 0 segundos es: 𝟏𝟎𝒊 𝒎

𝑥(0) = −2,5(0)2 + 20(0) + 𝐶2 = 10

𝐶2 = +10

La posición en cualquier instante de tiempo.

𝑥(𝑡) = −2,5𝑡2 + 20𝑡 + 10

La posición en el instante t = 10 s.

𝑥(10) = −2,5(10)2 + 20(10) + 10 = −40

El signo negativo indica su dirección del eje -X.