Universidad Autónoma de Querétaro

Facultad de Ingeniería

Materia: Laboratorio de Mecánica de solidos 1

Docente: MI. Rubén Ramírez Jiménez

Nombre: “Pandeo en Columnas”

Equipo No. 4:

Josué Misael Acevedo Romero

Raúl Arteaga Trejo

Fecha: lunes 4 de junio del 2012

Siempre que se diseña un miembro, es necesario que se satisfagan requisitos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. Algunos miembros pueden someterse a cargas de compresión, y si estos miembros son largos y esbeltos la carga puede ser suficientemente grande como para ocasionar que se deflexionen lateralmente. Para ser específicos, los miembros sometidos a una fuerza de compresión se llaman columnas, y la deflexión lateral que sufren se llama pandeo.

Con mucha frecuencia el pandeo de una columna puede conducir a una repentina y dramática falla de una estructura o mecanismo y, por tanto, se debe presentar una especial atención en el diseño de columnas de modo que sean capaces de soportar con seguridad sus cargas sin pandearse.

La carga máxima axial que una columna puede soportar cuando está a punto de pandearse se llama carga crítica (Pcr), cualquier carga adicional ocasionará que la columna se pandee y por consiguiente, que se deflexione lateralmente como se ve en la figura (b).

Se considera una columna ideal aquella que permanece perfectamente recta antes de cargarla, de material homogéneo y en la cual al carga se aplica a través del centroide de la sección transversal de la columna.

Como una columna ideal es recta, teóricamente la fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la falla, sea por fractura o por fluencia de material. Sin embargo cuando se alcanza la carga crítica (Pcr), la columna está a punto de volverse inestable, de manera que una pequeña fuerza lateral F ocasionará que la columna permanezca en la posición deflexionada cuando F deje de actuar. Cualquier reducción leve de la carga axial P a partir de Pcr permitirá que la columna se enderece, y cualquier incremento leve de P, más allá de la Pcr ocasionara incrementos adicionales en la deflexión lateral.

Para determinar la carga crítica y la forma pandeada de las columnas se aplicará una ecuación que relaciona el momento interno de una columna con su forma deflexionada:

EI d2v

dx2 M

La deflexión v como el momento interno M se consideran positivos por convención de signos. Si se suman los momentos, el momento interno es M=-Pv, por lo tanto:

EI d2v

dx2 Pv d 2v

dx2 P

EIv 0

Mediante los métodos de las ecuaciones diferenciales o por sustitución directa la ecuacion puede demostrarse que la solución general es

v C1 sin PEIx C2 cos P

EIx

Realizando las operaciones y sustituciones correspondientes obtenemos

Pcr 2EIL2

Pcr 2EAr2L2

PAcr 2E

Lr 2

cr 2E Lr

2

Donde:

cr= esfuerzo critico

E= módulo de elasticidad del material

L= longitud

r= radio de giro mínimo de la columna, determinado por r=I/A

COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE SOPORTE

Las columnas pueden estar soportadas varias maneras, por ejemplo, para el caso de una columna empotrada en su base y libre en la parte superior, la determinación de la carga de pandeo en esta columna

Pcr 2EI4L2

Otras columnas con diferentes tipos de apoyos se analizan más o menos del mismo modo.

Longitud efectiva

Lo anterior se desarrolló para el caso de una columna con extremos articulados o libres para girar. En otras palabras, L en la ecuación representa la distancia sin apoyo entre los puntos de momento cero. Si la columna está soportada de otra manera, entonces puede utilizarse la fórmula de Euler para determinar la carga crítica, siempre que “L” represente la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se conoce como “Longitud efectiva (Le)” de la columna. Obviamente, en el caso de una columna con apoyos articulados, “Le”=”L”. En el caso de un extremo libre y un empotrado, se encontró que la curva de deflexión es la mitad de la de una columna con extremos articulados y cuya longitud es 2L. Por tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es Le=2L.

La columna con extremos empotrados, tiene puntos de inflexión o puntos de momento cero a L/4 de cada apoyo. La longitud efectiva, por consiguiente, esta representada por la mitad de su longitud, es decir Le =0.5L.

Por último, la columna con un extremo articulado y el otro empotrado, tiene un punto de inflexión a 0.7L de su extremo articulado, de modo que Le=0.7L.

En lugar de especificar la longitud efectiva de una columna, muchos reglamentos de diseño proporcionan fórmulas que emplean un coeficiente K adimensional llamado factor de longitud efectiva. K se define mediante

Le=KL

Basándose en esta generalidad, la fórmula de Euler por consiguiente puede escribirse como

Pcr 2EIKL2

cr 2EKL/r2

En este caso (KL/r) es la relación de esbeltez efectiva de la columna.

EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE

Sabemos que es condición necesaria pero no suficiente, para que la configuración tomada por un cuerpo sometido a fuerzas sea permanente, que todas las fuerzas que actúen estén en equilibrio entre sí; y sabemos también que esta condición es suficiente si el equilibrio de las fuerzas es estable.

Si el equilibrio es inestable, la configuración es extremadamente precaria, de modo que si existe una causa perturbadora, el sistema se aparta de esta configuración y ya no la vuelve a tomar. En el caso límite en que el equilibrio es indiferente el sistema puede mantenerse en su configuración o pasar a otras configuraciones muy próximas a la primera, deteniéndose en alguna cualquiera de éstas.

Una forma clásica de determinar si el equilibrio es estable consiste en desviar muy poco el sistema de su configuración mediante una causa perturbadora cualquiera y ver qué sucede cuando ésta cesa. Si el sistema retoma la configuración inicial el equilibrio es estable, si se aleja aún más de ella el equilibrio es inestable; y por último, si el sistema permanece en la posición final el equilibrio es indiferente.