Métodos Numéricos para Ingenieros Químicos Métodos de Resolución de Ecuaciones Trascendentes

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Métodos de resolución de Ecuaciones Trascendentes. En este tema estudiaremos la resolución de ecuaciones, es decir, el

cálculo de sus soluciones o raíces. Nos centraremos en el caso de una

única ecuación con una incógnita.

En tal situación toda ecuación puede ser escrita como:

Siendo f(x) una función real de variable real. Desde este punto de vista el

cálculo de raíces de una ecuación es equivalente al cálculo de los ceros

de una función real dada.

De manera general, incluso en ecuaciones dependientes de una sola

incógnita, no es posible despejar ésta salvo en casos muy concretos.

Evidentemente las ecuaciones lineales de una sola incógnita (es decir,

ecuaciones de la forma ax + b = 0, con a diferente de 0) son triviales,

por lo que el tema está dedicado a las ecuaciones no lineales en general.

Separación de raíces.

El primer problema que nos encontramos al intentar resolver una

ecuación de la forma:

f(x) = 0

Es conocer el número de raíces de la misma y donde están situadas. En

general se dice que las raíces de una ecuación están separadas si

conocemos intervalos cerrados tales que contienen cada uno de ellos a

una sola raíz de la ecuación.

En el caso de nuestro curso un dato será el intervalo donde se encuentra

la raíz.

Tal y como puedes ver en las presentaciones en formato .ppt el primer

método que vemos es el gráfico, siendo éste aproximado y sirve para

encontrar valores semilla que sirven como punto de partida. A

continuación te muestro los métodos que emplearemos, todos son

desarrollados en forma secuencial por lo que el uso de hojas de calculo

es totalmente adecuado.

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Método de Bisección.

El método de la bisección o bipartición es el método más simple y a la

vez robusto de los que describiremos.

El método consiste en lo siguiente: se calcula el punto medio del

intervalo [a; b] que podemos escribir como c = a+b/¨2

Se evalúa la función en dicho punto, pudiendo resultar dos posibilidades:

Si f(c) = f(a+b)/2 = 0 entonces hemos obtenido la raíz buscada r,

pues c = r.

Si f(c) ≠ 0, entonces elegimos, entre [a; c] y [c; b], el intervalo en

el que se satisfagan el cambio de signo.

Tras esto, nos encontramos con un intervalo de longitud la mitad al

inicial, y que contiene la solución que buscamos. Reiterando el proceso

construiremos una sucesión de intervalos encajados que contienen la

solución.

El algoritmo que se emplea es el mismo que aparece en el archivo .ppt:

El siguiente es el procedimiento que seguimos cuando se resuelve una

ecuación trascendente con método de bisección en una hoja de cálculo

del tipo Excel

En el intervalo [a, b] debe cambiar el signo de f(x), esto es: f(a)*f(b) < 0

Se determina la aproximación xi por: xi=(a+b)/2

Se verifica lo siguiente:

•Si f(a)*f(xi)<0 entonces el nuevo intervalo será [a,xi]

•Si f(b)*f(xi)<0 entonces el nuevo intervalo será [xi,b]

Se repiten las iteraciones con xi hasta que se cumpla que: f(x)<ξ y/o │xi-xi-1│<ξ

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1. se construye una tabla con seis columnas:

a b f(a) f(b) xi f(xi)

Fig. 1. Encabezado de tabla para el método de bisección.

2. Luego se colocan los primeros valores de a y b, los cuales son

suministrados en el enunciado, es decir siempre son datos.

3. Ahora se evalúa la función problema en los puntos a y b, en este

caso se trata de la función por lo que las filas f(a) y

f(b) son el resultado de evaluar f(0)=1 y f(1)= -0,6321, tal y como

se muestra en la figura 2.

4. El siguiente paso es calcular el nuevo valor de xi el cual es el

promedio simple entre a y b.

5. Por último se evalúa el nuevo valor de xi en la última columna en

nuestro ejemplo seria f(0,5)= 0,1065

6. Ahora para elegir el nuevo intervalo de estudio observamos donde

hay cambio de signo y hacemos f(a)*f(xi) y f(b)*f(xi). Tal y como

dice el algoritmo establecemos los nuevos límites del intervalo, en

el ejemplo vemos que f(a)*f(xi)>0 y que f(b)*f(xi)<0 por lo tanto

los nuevos límites son [xi, b].

7. Escribimos en la siguiente fila los nuevos valores de a y b.

a b f(a) f(b) xi f(xi) 0,0000 1,0000 1,0000 -0,6321 0,5000 0,1065

0,5000 1,0000

Fig. 2. En azul resaltan los valores provenientes de evaluar la función problema

en los extremos iniciales (paso 3). En verde la ubicación en la tabla de los

nuevos valores del intervalo (paso 7).

8. Por último se llena la tabla hasta que se cumplan los criterios de

parada para el método, mostrados en el algoritmo.

Método de Interpolación o Regula Falsi.

Este método es más rápido en converger Geométricamente une los

puntos f(a) y f(b) mediante una línea recta, donde la intersección de esta

línea con el eje x proporciona una mejor aproximación de la raíz.

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De forma tal que para calcular el valor de xi se realiza un sencillo

calculo. El algoritmo se presenta a continuación.

El procedimiento que seguimos al resolver una ecuación trascendente

con método de interpolación en una hoja de cálculo del tipo Excel

1. Se construye una tabla con ocho columnas:

a b f(a) f(b) xi f(xi) f(a)*f(xi) f(b)*f(xi)

Fig. 3. Encabezado de la tabla que emplearemos en el método de interpolación,

el uso de las últimas dos columnas es alternativo según guste el programador.

2. Tal y como se hace en el método de bisección se llena la tabla con

los valores iniciales, dados en el enunciado.

3. Se evalúan los valores de a y b en la función, estos son los valores

de f(a) y f(b).

4. Se calcula el nuevo valor de xi según la ecuación:

5. Se repiten los pasos 5, 6, 7 y 8 del método anterior.

En el intervalo [a, b] debe cambiar el signo de f(x), esto es: f(a)*f(b) < 0

Se determina la aproximación xi por:

Se verifica lo siguiente:

•Si f(a)*f(xi)<0 entonces el nuevo intervalo será [a,xi]

•Si f(b)*f(xi)<0 entonces el nuevo intervalo será [xi,b]

Se repiten las iteraciones con xi hasta que se cumpla que: f(x)<ξ y/o │xi-xi-1│<ξ

)()(

)()(

)()(

)(

afbf

afbbfa

afbf

abafaxi

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Método de la Secante.

El método de la secante es otra mejora del método de interpolación. No

requiere que los signos de f(x) en el intervalo [a, b] cambien.

Se escogen los dos valores más cercanos a la raíz, según lo indica la

magnitud de la función evaluada en estos puntos.

El algoritmo se presenta a continuación.

Procedimiento:

1. Para este método la tabla que realizaremos es más corta, pues solo

tiene dos columnas.

x f(x) 2. Como ya conocemos los extremos del intervalo de estudio a y b,

serán los valores llamados xi-1 y xi-2 que se piden en la formula.

x1

f(x1)

x0

X -1

f(x -1)

x2

f(x2)

Raíz Exacta

xx3

f(x)

f(x0)

Se selecciona un intervalo [a,b]

Determinar los valores de f(x) para ese intervalo

Se determina un nuevo punto:

El nuevo intervalo será [xi-1, xi], para seguir con la iteración.

Se repiten las iteraciones con xi hasta que se cumpla que: f(x)<ξ y/o │xi-xi-1│<ξ

12

1221

ii

iiiii

xfxf

xfxxfxx

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3. Se calcula el nuevo valor de Xi.

4. Se evalúa en la función hasta que se cumpla el criterio de parada.

x f(x) 0 1

1 0,63212056

Métodos Abiertos.

Basados en fórmulas que requieren de un solo valor de x para iniciar los

cálculos.

Algunas veces divergen, o se alejan de la raíz a medida que crece el

número de iteraciones. Sin embargo, en general, cuando los métodos

abiertos convergen lo hacen mucho más rápido que los métodos

cerrados.

Debido a la posible divergencia de los métodos es preciso determinar el

criterio de convergencia, el cual es particular para cada método y

consiste en una expresión matemática que relaciona los valores

involucrados en la función problema. Esto da como resultado un valor

numérico que debe estar dentro de un rango para que el método converja

o por el contrario se aleje de la raíz con cada iteración.

De aquí la importancia de calcular el criterio de convergencia de los

métodos abiertos.

Método Iterativo.

Descompone la función original f(x) = 0 en la suma (o resta) de dos

funciones.

Si se proporciona una aproximación inicial x0 de la raíz , se puede

definir una secuencia x1, x2, x3,... por la relación recursiva:

xi-2

xi-1

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El valor de la raíz puede determinarse gráfica y numéricamente, tomando

como base el hecho de que la raíz es la intersección de las curvas x y

g(x)

En el caso del método iterativo el calculo del criterio de convergencia

viene dado por la primera derivada de la función g(x) evaluada en el

punto xi:

Si |g’(xi)| < 1, entonces los errores disminuyen con cada iteración

(convergencia).

Si |g’(xi)| > 1, entonces los errores aumentan con cada iteración

(divergencia).

Algoritmo:

En el intervalo [a, b] debe cambiar el signo de f(x), esto es: f(a)*f(b) < 0

Se selecciona un punto xi que se encuentre en el intervalo [a,b]

Se descompone la función problema en f(x)=x-g(x)

se evalúa el criterio de convergencia de la función g(x) seleccionada, esto es: │g'(x)│<1

Se determina un nuevo valor de x: xi+1=g(x)

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Método de Newton Raphson

De los métodos para calcular raíces, el método de Newton-Raphson es el

más popular.

Geométricamente se basa en localizar la raíz a partir de la tangente de la

función f(x) en elpunto xi.

La pendiente de dicha tangente en xi es equivalente a la primera derivada

de f(xi), es decir:

Si se supone que f(xi+1) es cada vez mas cercana a cero entonces se

puede despejar xi+1 obteniéndose la siguiente ecuación:

Y finalmente como todo método abierto tiene un criterio de convergencia

que se calcula con la expresión:

En el intervalo [a, b] debe cambiar el signo de f(x), esto es: f(a)*f(b) < 0

Se selecciona un punto xi que se encuentre en el intervalo [a,b]

se evalúa el criterio de convergencia de la función g(x) seleccionada, esto es: │f(x)f''(x)/(f'(x))^2│<1

Se determina un nuevo valor de x:

Se repiten las iteraciones con xi hasta que se cumpla el criterio de parada

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Actividad:

Para esta actividad a distancia te propongo resolver por todos los

métodos la ecuación:

En el intervalo [0 0,5]

Nota: cuando apliques el método iterativo recuerda que debes hacer

Adjunto a este archivo, estoy enviando de nuevo, la clase en .ppt y la

hoja de Excel que hicimos en clase.