MUESTREO DE SISTEMAS EN ESPACIO DE ESTADOSJuan Salamanca PhD.I. IntroduccinEn esta seccin se ilustra el muestreo de sistemas lineales invariantes con entrada generada mediante retenedor de orden cero. Para este caso modelamos el sistema dinmico por medio espacio de estados. Consideraremos luego el caso de sistemas con retardo de transporte. Finalmente se consideraran sistemas no lineales y la posible forma como podramos muestrearlos. El objetivo en todos los casos es llegar a obtener un modelo en espacios de estado discreto que nos sirva para analizar el sistema desde un punto de vista discreto y disear y aplicar controladores digitales.II. Fundamentos tericosIniciamos con los modelos lineales invariantes en el tiempo.Sea el modelo

El modelo en espacios de estado se puede expresar grficamente como:

C

B AU(t)Y(t)+-

La solucin a la ecuacin en espacio de estados esta dada por:

Es la matriz de transicin de estado

Cuando

Cuando tenemos

Cuando

Por otro lado tenemos

Por comparacin suponiendo invertible

Esto se corrobora por que

Lo anterior se puede generalizar

Cuando

Aplicando la transformada de Laplace

De la ecuacin

Aplicando

Por comparacin

Como aplicando tenemos

La matriz de transferencia se obtiene haciendo

En la mayora de los casos tenemos

III. Entrada generada mediante ZOHSupongamos que ahora el vector de entrada se genera mediante un retenedor de orden cero.

Procedemos ahora a evaluar

Sea

Sea

Para el caso de n = m+1 tenemos:

En resumen se tienePara n m + 2

Si n = m + 1 tendremos:

Para realizar el muestreo del estado procedemos como se indica en el siguiente grafico:

ZOHTm

Figura 2. Muestreo de sistemas en espacios de estado.

Tomamos para este caso se tiene

El modelo discreto se puede escribir como

De forma anloga al caso continuo se puede obtener una matriz de transicin de estado. Para ello hacemos El modelo discreto autnomo queda:

Procediendo de forma recursiva tenemos:

Es la matriz de transicin de estado discreto.Retomando el modelo en espacio de estados con entrada diferente de cero

En forma recursiva tenemos:

Esta expresin es anloga al modelo de tiempo continuo.Retomando el modelo en espacio de estados discreto podemos obtener la matriz de transferencia discreta

Tomando la transformada Z del modelo tenemos

Tomando condiciones iniciales iguales a cero obtenemos

Es la matriz de transferencia discreta del sistema.

Ejemplos1. Consideremos el sistema de tiempo continuo dado por el modelo en espacio de estados continuo

Obtengamos la matriz de transicin de estado continua, la matriz de transicin de estados discreta, el modelo en espacio de estados discreto y la funcin de transferencia discreta.i) Matriz de transicin de estados continuos

ii) Matriz de transicin de estados discreta

Se obtiene a partir de

es la Matriz de transicin discretaiii) Modelo en espacio de estados discreto

El modelo en espacios de estado discreto queda

iv) La funcin de transferencias de pulso queda

2. Servomotor DC

Consideremos el modelo del servomotor dado por su funcin de transferencia

Obtengamos un modelo en espacio de estados continuo, su matriz de transicin de estados continua, la matriz de transicin de estados discreta, in modelo de espacio de estado discreto para entrada generada mediante ZOH y la correspondiente funcin de transferencia discreta. Analicemos los ceros y los polos en tiempo continuo y discreto.Modelo en espacios de estado continuoTomando las variables de estado.

De la funcin de transferencia tenemos:

En el dominio del tiempo tenemos:

El modelo en espacio de estado queda

En forma vectorial matricial tenemos

En forma compacta tenemos

ii). Matriz de transicin de estados continua

De forma sucesiva tenemos

iii) Matriz de transferencia discreta

Un programa en Matlab para obtener el modelo en espacio de estados y la correspondiente funcin de transferencia es el siguiente:clcKc =2.3;Tc = 0.035;Ac = [ 0 1;0 -1/Tc];Bc = [0;Kc/Tc];Cc = [ 1 0;0 1];Dc = [0 0]';Tm = 0.01;[Ad,Bd,Cd,Dd] = c2dm(Ac,Bc,Cc,Dc,Tm,'zoh')sys = ss(Ad,Bd,Cd,Dd,Tm);tf(sys) 3. Modelo de segundo orden

i) Modelo en espacio de estados en tiempo continuo

En el dominio del tiempo tenemos:

Definimos

Aqu se tiene

ii) Matriz de transicin de estados en tiempo discreto

iii) . Modelo discreto en espacios de estado

Sea

Con lo anterior tenemos

El modelo en espacio de estados discreto queda

iv) Funcin de transferencia de pulsosLa funcin de transferencia de pulsos queda

La ecuacin caracterstica discreta queda

Que genera los polos

Con respecto a los ceros tenemos