Desacoplamiento de sistemas en espacio de estado

7/25/2019 Desacoplamiento de sistemas en espacio de estado

1/27

INSTITUTO TECNOLGICO DE LA

LAGUNADivisin de Estudios de Posgrado e

Investigacin

Maestria en Ciencias en Ingenieria Elctrica

Mecatrnica y Control

CONTROL AVANZADO

Tarea 4Desacoplamiento de Sistemas Lineales en su

Representacin en Espacio de Estados

Ing. Ismael Medina LpezM1513050

Catedrtico:Dr. Jos Luis Meza Medina

Torren, Coah. - 11 de diciembre de 2015


2/27

Desacoplamiento de Sistemas Lineales en suRepresentacin en Espacio de Estados

por Ismael Medina Lpez


3/27

NDICE

ndice

1. Introduccin 1

2. Marco Terico 2

2.1. Ecuacin caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Valores Caractersticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3. Vectores Caractersticos, Matriz Modal y Transformacin de Similitud . . . . . . . 52.3.1. Vectores Caractersticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2. Matriz Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.3. Transformacin de Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4. Obtencin de los Vectores Caractersticos y de la Transformacin de Similitud . . . 62.4.1. Mtodo de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5. Transformacin de la Ecuacin de Estado a la Forma Cannica Controlable . . . . 8

3. Programa Desarrollado en el Entorno de Matlab 10

4. Comprobacin 17

5. Conclusiones 21

6. Fuentes de consulta 21

7. Anexos 22

7.1. Comprobacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I Ing. Ismael Medina Lpez


4/27

Desacoplamiento de Sistemas Lineales en su

Representacin en Espacio de Estados

Tecnolgico Nacional de Mxico, Instituto Tecnolgico de la Laguna

Maestra en Ciencias en Ingeniera Elctrica

Mecatrnica y Control

11 de diciembre de 2015

Resumen

El presente trabajo tiene por objetivo realizar un programa en cdigo Matlab capaz de

desacoplar un sistema en su representacin en espacio de estados apoyndonos de la teora

de control avanzado: Ecuaciones, valores y vectores caractersticos. As como lo referente a la

matriz de Vandermonde y la representacin de sistemas en su forma cannica.

1. Introduccin

Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entres de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad

de las expresiones matemticas, adems de recurrir a computadoras que realicen una gran partede los tediosos clculos que son necesarios. Como hemos aprendido en el curso de control avanzadoel enfoque en el espacio de estados para el anlisis de sistemas es el ms conveniente desde estepunto de vista [1].

Mientras la teora de control convencional se basa en la relacin entrada-salida, o funcinde transferencia, la teora de control moderna se basa en la descripcin de las ecuaciones de unsistema en trminos denecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuacindiferencial vectorial de primer orden. El uso de la notacin matricial simplifica enormemente larepresentacin matemtica de los sistemas de ecuaciones. El incremento en el nmero de variablesde estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, elanlisis de sistemas complicados con mltiples entradas y salidas se realiza mediante procedimientos

slo ligeramente ms complicados que los requeridos para el anlisis de sistemas de ecuacionesdiferenciales escalares de primer orden [2].

En el presente trabajo se sigue abordando el anlisis y el diseo de sistemas en el espacio deestados. Sin embargo, se hace nfasis en el desarrollo de un programa en cdigo Matlab capaz dedesacoplar tales sistemas1, para lo cual es importante conocer un poco sobre ciertos fundamentostericos del control moderno o avanzado. Bsicamente el desacoplamiento consiste en una trans-

formacin de similituddel sistema acoplado u original a uno propiamente desacoplado, lo que asu vez consiste en diagonalizar una matriz.

1sistemas de 2 2 y 3 3

1


5/27

2 Marco Terico

2. Marco Terico

Conocidos los valores propios, se sabe que existe una base del sistema para la cual la matrizprincipal del sistema es diagonal, como veremos a continuacin, la matriz que diagonaliza Aes laformada por columnas, por sus vectores propios, por lo que el clculo de la matriz de transformacin

(a la que llamaremos T) se reduce al clculo de los vectores propios [2].En un sistema acoplado (u original) si se pretende modificar ciertos parmetros dados en la

matriz principal del sistema nos daremos cuenta que toda la dinmica del sistema puede ser alteradapuesto que hay una interaccin conjunta de la entrada, los estados y la salida. Sin embargo, si elsistema es desacoplado este pasa a descomponerse en subsistemas de los cuales podemos modificarlos parmetros deseados sin alterar la dinmica total del sistema, esto es, no hay dependencia entreel estado interno del sistema. Lo anterior se logra, como se dijo anteriormente, calculando unamatriz capaz de transformar la matriz principal a su base diagonal.

En lgebra lineal, una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable si es semejante a unamatriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. Eneste caso, la matriz podr descomponerse de la forma A= P DP1. En donde P es una matriz

invertible cuyos vectores columna son vectores propios de A, y D es una matriz diagonal formadapor los valores propios de A.

Como se menciono anteriormente, es importante conocer un poco sobre los fundamentos tericosque darn solucin al principal objetivo del presente trabajo, por lo tanto, a continuacin sepresentan algunas conceptos relevantes antes de desarrollar el programa y verificar la funcionalidaddel mismo con algunos ejemplos a la mano.

2.1. Ecuacin caracterstica

La ecuacin caracterstica puede obtenerse segn la forma en que este representado el sistema.

Cuando el sistema esta representado por una ecuacin de estado cuya forma es:

x= A x+B u (1)

y= C x (2)

Aplicando la transformada de Laplace:

sX(s) X(0) =A X(s) +B U(s) (3)

Y(s) =C X(s) (4)

Suponiendo condiciones iniciales cero y despejandoX(s) en cada ecuacin:

de la ecuacin (3)

s X(s) A X(s) =B U(s)

[sI A] =B U(s)

2 Ing. Ismael Medina Lpez


6/27

2.2 Valores Caractersticos

X(s) = [sI A]1 B U(s) (5)

de la ecuacin (4)

X(s) =C1Y(s) (6)

Igualando las ecuaciones (5) y (6) y despejando Y(s)U(s)

C1Y(s) = [sI A]1 B U(s)

Y(s)

U(s)=C[sI A]1 B

dado que:

A1 = adj |A|

det |A|

tenemos:

Y(s)

U(s)=

C adj |sI A| B

det |sI A| (7)

Igualando el denominador de la matriz de funcin de transferencia a cero se obtiene la ecuacincaracterstica2.

det |sI A| = 0 (8)

En resumen la ecuacin caracterstica de un sistema en espacio de estado se obtiene igualandola matriz |sI A| a cero.

2.2. Valores Caractersticos

Los valores caractersticos (Eigenvalores) son las races de la ecuacin caracterstica, la cual, esobtenida de una ecuacin de estado igualando a cero el determinante de la matriz |sI A|, solopor notacin los valores caractersticos sern descritos por la letra griega lambda minscula () yla ecuacin caracterstica ser el determinante de la matriz |I A| [2].

2.2.1. Propiedades

a) SiA es una matriz cuadrada de ordennel determinante de |I A| producir una ecuacincaracterstica de grado ny, por lo tanto, nvalores caractersticos i

3.

det |I A| =det

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

... ...

. . . ...

an1 an2 . . . ann

2Si los coeficientes de A son reales los coeficientes de det |sIA| tambin sern reales.3Donde i = 1, 2, 3, . . . , n



7/27

2.2 Valores Caractersticos

=n +b0n1 +. . .+bn1+bn = (1+C1) (2+C2) . . . (n+Cn)

b) La multiplicacin de los valores caractersticos i de la matriz |I A| es igual al determi-nante de A.

Sea la matriz cuadrada A de orden n, tal que

(1) (2) . . . (n) =det |A|

c) Si existe un valor caractersticoi= 0, entonces el determinante de A es cero.

SeaA una matriz cuadrada de orden n y 1 = 0

(1) (2) . . . (n) =det |A| = 0

d) A y AT tienen los mismos valores caractersticos i.

Sea AT la transpuesta de la matriz cuadrada A de ordenntal que:

det

a11 a21 . . . an1a12 a22 . . . an2

... ...

. . . ...

a1n a2n . . . ann

= (1+C1) (2+C2) . . . (n+Cn) =

det

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

... ...

. . . ...

an1 an2 . . . ann

e) Si A es una matriz diagonal o triangular los valores caractersticos i de la matriz |I A|son los elementos de la diagonal principal.

1 a11 a12 . . . a1n0 2 a22 . . . a2n... ... . . . ...0 0 . . . i ann

1 a11 0 . . . 00 2 a22 . . . 0... ... . . . ...0 0 . . . i ann

f) Los valores caractersticosi de A son iguales a 1i

enA1.

SeaA una matriz cuadrada no singular de orden ncuyos valores caractersticosi son dadospor:



8/27

2.3 Vectores Caractersticos, Matriz Modal y Transformacin de Similitud

det |I A| = (1+C1) (2+C2) . . . (n+Cn)

Entonces los valores caractersticos de A1 son dados por el inverso de los valores i de A,tal que;

detI A1=

1+

1

C1

2+

1

C2

. . .

n+

1

Cn

2.3. Vectores Caractersticos, Matriz Modal y Transformacin de Si-

militud

2.3.1. Vectores Caractersticos

Un vector caracterstico es cualquier vector Pi, de orden n 1 y distinto de cero, asociado ali esimovalor caracterstico i de A que satisface la ecuacin matricial:

(iI A) Pi = 0 (9)

Los vectores caractersticos Pi asociados a valores caractersticos diferentes de la matriz A sonlinealmente independientes entre si.

La determinacin de los vectores caractersticos (Eeigenvectores) depende de la multiplicidadalgebraica de los valores caractersticos de la matriz A.

Pueden darse tres casos:

1. Todos los valores caractersticos son reales y diferentes.

2. Algunos de los valores caractersticos son reales y repetidos.

3. Algunos de los valores caractersticos son complejos conjugados.

2.3.2. Matriz Modal

La matriz formada por el arreglo de vectores caractersticos Pi asociados a cada valor caracte-rsticoi es llamada matriz modal P, de tal manera que:

P = [P1 P2. . . P i] (10)

Donde la matriz Pes de orden n n y de rangon, por lo que su inversa existe.

2.3.3. Transformacin de Similitud

La matriz modalPsirve para encontrar laTransformacin de Similitudque a su vez sirve paradiagonalizar una matriz (o desacoplar un sistema).

Partiendo de la representacin en espacio de estados:

x= A x+B u

y= C x+D u



9/27

2.4 Obtencin de los Vectores Caractersticos y de la Transformacin de Similitud

Definiendox= P zy x= Pz

Pz= A P z+B u

y= C P z+D u

Como la matriz Pes de rango n, su inversa existe:

z= P1 [A P z+B u]

y= C P z+D u

Por lo tanto:

z= P1 A P z+P1 B u

y= C P z+D u

Definiendo laTransformacin de Similitud como:

=P1AP

z= z+P1 B u

y= C P z+D u

donde:

=P1 A P

Que como ya se haba definido es la Transformada de Similitud, la cual debe su nombre a que laecuacin caracterstica, los valores y vectores caractersticos, as como la funcin de transferenciadel sistema en zy del sistema enxson iguales.

2.4. Obtencin de los Vectores Caractersticos y de la Transformacin

de Similitud

2.4.1. Mtodo de Vandermonde

Este mtodo es utilizado cuando el sistema se encuentra representado en la forma cannicacontrolable de tal manera que A= AC(matriz de compaa), es decir:

A= AC=

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 00 0 0 . . . 1...

... ...

. . . ...

an an1 an2 . . . a1

(11)



10/27

2.4 Obtencin de los Vectores Caractersticos y de la Transformacin de Similitud

Cuando la matriz A es representada por la matriz AClos vectores caractersticos asociados acada valor caracterstico i y la matriz de transformacin son dados por:

Vectores Caractersticos

ti =

11i

2i

...n1i

De esta manera la matriz de transformacin (o matriz de Vandermonde4) es:

T =

1 1 . . . 111

12 . . .

1n

21 22 . . .

2n

... ... . . . ...n11

n12 . . .

n1n

La transformacin de similitud es dada por:

=T1 AC T (12)

Lo que dar como resultado (al igual que con los mtodos anteriores) una matriz diagonal cuyoselementos sern los valores caractersticos:

Transformacin de Similitud (matriz diagonal)

=T1 AC T =

1 0 . . . 00 2 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . n

(13)

El sistema desacoplado estar dado por:

z= z+T1 B u (14)

y= C T z+D u (15)

Para el caso tener valores caractersticos reales y repetidos en nuestro sistema la matriz deVandermonde o matriz modal se define de la siguiente manera para un sistema 3 3

T =

1 0 01 1 0

21 21 1

(16)

4Solo por notacin en este mtodo los vectores caractersticosPisern nombradostiy la matriz de transformacinser llamada To matriz de Vandermonde.



11/27

2.5 Transformacin de la Ecuacin de Estado a la Forma Cannica Controlable

2.5. Transformacin de la Ecuacin de Estado a la Forma Cannica

Controlable

Sea la ecuacin de estado:

x= Ax+Bu (17)Si una matriz

S=

B AB A2B . . . An1B

(18)

es no singular (su determinante es diferente de cero), entonces existe una transformacin nosingular dada por:

v= P x (19)

la cual transforma la ecuacin de estado a la forma cannica controlable.

v= AC v+BC u (20)

La matriz de transformacin P esta dada por:

P =

P1P1A

P1A2

P1A3

...P1A

n1

(21)

donde:

P1= [0 0 0 . . . 1] S1

Dado v= P x, derivando tenemos:

v= P x

x= P1 v

x= P1 v

Sustituyendo en la ecuacin de estado (16) x y x:

P1v= AP1v+Bu

Premultiplicando ambos miembros de la expresin anterior por P, tenemos finalmente:

P P1v= P AP1v+P Bu (22)

La cual corresponde a la ecuacin (19), por lo tanto:

AC=P AP1 (23)



12/27

2.5 Transformacin de la Ecuacin de Estado a la Forma Cannica Controlable

BC=P B (24)



13/27

3 Programa Desarrollado en el Entorno de Matlab

3. Programa Desarrollado en el Entorno de Matlab

De acuerdo a los fundamentos tericos y matemticos de la seccin anterior se ha desarrolladoun programa en cdigo Matlab, el cual, desacopla el sistema en espacio de estado. Para realizarlo anterior primeramente el sistema es transformado a la forma cannica controlable siguiendo el

procedimiento visto anteriormente. El programa es el siguiente:

Listing 1: Codigo Matlab

1

2 f u n c t i o n [Ad,Bd,Cd,Dd,T]=desacoplamiento_a3

4 % La p r e se n t e f u n ci o n r e a l i z a e l d es a co pl a mi en to de u n s i s t em a en s u5 % r e p r e se n t a c i on en e s p a ci o de e st ad os , d e l c u al p ri me ra me nt e s e o b ti e n e s u6 % f or ma c a no n i ca c o n t r o l a b l e .7

8 % Nota : La p r e s e n t e f u n c i o n s o l o p e rm i te o b te n er e l d e s ac o pl a m ie n to9

% de s i st e ma s con 2 o 3 v a r i b l e s de e st ad o ( n) .10

11 f p r i n t f ( ' La p r e se n t e f u nc i o n s o l o p er mi te o bt en er e l d es a co pl a mi e nt o de \n ') ;12 f p r i n t f ( ' de s i s t e m a s d i n am i c os con 2 o 3 v a r i ab l es de e s t a d o \n ') ;13

14 f p r i n t f ( 'C o ns i d er e l a r e p r e s e n t a c i o n en E s pa c io d e E s ta do de un S i st em a \ n') ;15 f p r i n t f ( ' D in am ic o L i n e a l de l a s i g u i n t e f or ma : \ n\ n') ;16 f p r i n t f ( ' xp( t ) = A( t )x ( t ) + B( t )u ( t ) \n ' ) ;17 f p r i n t f ( ' y( t ) = C( t )x ( t ) + D( t )u ( t ) \n\n ' ) ;18

19 f p r i n t f ( ' Donde : \n' ) ;20 f p r i n t f ( ' x ( t ) e s e l v e ct o r de e s ta d o d e l s is te ma , de d im en si on nx1 \n ') ;21 f p r i n t f ( ' u ( t ) e s e l v e ct o r de e nt ra da a l s is te ma , de d im en si on mx1 \n ') ;

22 f p r i n t f ( ' y ( t ) e s e l v ec to r de s a l i d a d el s is te ma , de d im en si on px1 \n ') ;23 f p r i n t f ( 'A( t ) e s l a m at ri z p r i n c i p a l d e l s is te ma , de d im en si on nxn \n ') ;24 f p r i n t f ( 'B( t ) e s l a m a tr i z de e n tr a da a l s i st e ma , de d i me ns i on nxm \ n') ;25 f p r i n t f ( 'C( t ) e s l a m at ri z de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on pxn \n ') ;26 f p r i n t f ( 'D( t ) e s l a m a tr i z de p r e al i m e n ta c i o n , t i e n e d i me ns i on pxm \ n') ;27

28 f p r i n t f ( ' \nDe a cu er do a l o a n t e r i o r : \ n' ) ;29

30 f p r i n t f ( 'I n t ro d u zc a l a M at ri z A ( nxn ) \ n' ) ;31 A = i n p u t( 'A = ') ;32

33 f p r i n t f ( 'I n t r o d u z ca l a M a tr i z B ( nxm ) \ n' ) ;34 B = i n p u t( 'B = ') ;35

36 f p r i n t f ( 'I n t ro d u zc a l a M at ri z C ( pxn ) \ n' ) ;37 C = i n p u t( 'C = ') ;38

39 f p r i n t f ( 'I n t r o d u z ca l a M a tr i z D ( pxm ) \ n' ) ;40 D = i n p u t( 'D = ') ;41

42 [n,m]=s i z e(A) ;43

44 i f n==2



14/27


1

2 % 3 % OBTENCION DE LA FORMA CANONICA CONTROLABLE4 % S ea e l s i s t em a e n E s p ac i o de E s t ad os :5

6 % xp = Ax + Bu 7 % y = Cx + Du 8

9 % S i u na m a t ri z S no s i n g u l a r ( s u d e t er mi na nt e e s d i f e r e n t e de c e ro ) ,10 % E x i s t e una t r a n s f o r m ac i o n n o s i n g u l a r dada p or :11

12 % V = Px 13

14 % La c u a l t ra ns f or m a l a e cu a ci o n d e e s ta do a l a f or ma c an on i ca15 % c o n t r o l a b l e16

17 % Vp = Ac V + Bc u 18

19 % C a lc ul o de l a m at ri z S20 S = [ B AB ] ;21 % O bt en em os s u i n v e r s a22 inv_S = i nv( S) ;23

24 % La M a t r iz d e T r a n sf o r ma c i on e s t a d ad a p or .25 % P = [ P1 ; P 1A;P1A ^ 2 ; . . . ; P1A^{n - 1 } ] ;26

27 % Determinando P128 P1a = [ 0 1 ] ;29 P1 = P1a inv_S ;30

31 % M a t r i z de T r a n s f o r m ac i o n :32 P = [ P 1 ; P1A ] ;33 inv_P = i nv(P) ;34

35 % Obtenemos l a s m a t r i ce s c o r r e s p o n d i e n t e s e n s u f or ma c a n o n ic a36 % c o n t r o l a b l e37 Ac = PAinv_P;38 Bc = PB ;39 Cc = Cinv_P;40 Dc = D;41

42 % 43 %DESACOPLAMIENTO DEL SISTEMA ( Tr an sf or ma ci on de S i m i l i t u d )44

45 % Una ve z o bt en i da l a f orm a c an on i ca c o n t r o l a b l e d e l s i st e ma e s t e p ued e46 % s e r d e sa co pl a do . Dado e l s i st e ma a co pl ad o u o r i g i n a l en l a f orm a47 % canoni ca :48

49 % vp = Ac v + Bc u 50 % y = Cc v + Dc u 51

52 % O bt en er l a t r a n s fo r m a c io n d e s i m i l i t u d o d e s ac o pl a m ie n to d e l mismo :53 % Sist ema Desacoplado :



15/27


1

2 % z p = Ad z + Bd u 3 % y = Cd z + Dd u 4

5 % O btenc ion de l o s v a l or e s c a r a c t e r i s t i c o s o e i g e n va l o r es

6 %7

8 syms L9

10 % M at riz de Vandermonde ( M at riz M odal)11 % Para e l c as o de v a l o r es c a r a c t e r i s t i c o s R ea le s y D i f e re n te s12

13 I = eye( 2) ;14 L I = L I ;15

16 d i f = L I - Ac ;17 d = det( d i f ) ;18

19 v a l_ c ar = s o l v e ( d ) ;20 val_car = double ( val_car ) ;21

22 lambda_1 = val_car (1 ) ;23 lambda_2 = val_car (2 ) ;24

25 % C on di ci on es p ara e l c as o de v a l o r es c a r a c t e r i s t i c o s r e a l e s y r e p et i d os26 i f (lambda_1==lambda_2)27

28 T = [ 1 0 ;29 lambda_1 1 ] ;30

31 e l s e i f (lambda_1=lambda_2)32

33 T = [ 1 1 ;34 lambda_1 lambda_2 ] ;35 en d36

37 inv_T = i nv(T) ;38

39 % O bt en ci on de l a t r a n sf o r m a ci o n de S i m i l i t u d40 Ad = inv_TAcT;41 Bd = inv_TB ;42 Cd = CT;43 Dd = Dc;44

45 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;46 f p r i n t f ( 'S i s t e m a D e s a co p l a d o \ n\ n' ) ;47 f p r i n t f ( 'Ad = \n ') ;48 d i s p(Ad) ;49 f p r i n t f ( ' \n ' ) ;50

51 f p r i n t f ( ' Bd = \n ') ;52 d i s p(Bd) ;53 f p r i n t f ( ' \n ' ) ;



16/27


1 f p r i n t f ( 'Cd = \n ') ;2 d i s p(Cd) ;3 f p r i n t f ( ' \n ' ) ;4

5 f p r i n t f ( 'Dd = \n ') ;

6 d i s p(Dd) ;7 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;8

9 f p r i n t f ( 'V a l or e s C a r a c t e r i s t i c o s ( E i g e n v a l o r es ) \ n\ n') ;10 f p r i n t f ( ' lambda 1 = ') ;11 d i s p( lambda_1) ;12 f p r i n t f ( ' lambda 2 = ') ;13 d i s p( lambda_2) ;14 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;15

16 f p r i n t f ( 'M a t r i z d e V an der mon de ( o M a t r i z M oda l ) \ n') ;17 f p r i n t f ( 'T = \ n ' ) ;18 d i s p(T) ;

19 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;20

21 f p r i n t f ( 'I n v e r s a d e l a M a tr i z d e Vandermonde ( o M a tr i z Modal ) \ n' ) ;22 f p r i n t f ( ' inv_T = \n ') ;23 d i s p(inv_T) ;24 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;25

26 en d27

28 i f n==329

30 % OBTENCION DE LA FORMA CANONICA CONTROLABLE31

32 % S ea e l s i s t em a e s E s p a ci o d e Es ta do s :33

34 % xp = Ax + Bu 35 % y = Cx + Du 36

37 % S i una m a tr i z S = [ B AB A^ ( 2)B . . . A^ (n - 1 ) B ] e s no s i n g u l a r ( s u38 % d e te r mi n an t e e s d i f e r e n t e de c e r o ) , e n t on c e s e x i s t e una t r a n s f o r ma c i o n39 % no s i n g u l a r dada p or :40

41 % V = Px 42

43 % La c u a l t ra ns f or m a l a e cu a ci o n d e e s ta do a l a f or ma c an on i ca44 % c o n t r o l a b l e45

46 % Vp = Ac V + Bc u 47

48 % C a lc ul o de l a m at ri z S49 S = [ B AB AAB ] ;50

51 % O bt en em os s u i n v e r s a52 inv_S = i nv( S) ;53

54 % La M a t r iz d e T r a n sf o r ma c i on e s t a d ad a p or .



17/27


1

2

3 % P = [ P1 ; P 1A;P1A ^ 2 ; . . . ; P1A^{n - 1 } ] ;4

5 % Determinando P1

6 P1a = [ 0 0 1 ] ;7 P1 = P1a inv_S ;8

9 % M a t r i z de T r a n s f o r m ac i o n :10

11 P = [ P 1 ; P1A;P1AA ] ;12 inv_P = i nv(P) ;13

14 % Obtenemos l a s m a t r i ce s c o r r e s p o n d i e n t e s e n s u f or ma c a n o n ic a15 % c o n t r o l a b l e16

17 Ac = PAinv_P;18 Bc = PB ;

19 Cc = Cinv_P;20 Dc = D;21

22 %DESACOPLAMIENTO DEL SISTEMA ( Tr an sf or ma ci on de S i m i l i t u d )23

24 % Una ve z o bt en i da l a f orm a c an on i ca c o n t r o l a b l e d e l s i st e ma e s t e p ued e25 % s e r d e sa co pl a do . Dado e l s i st e ma a co pl ad o u o r i g i n a l en l a f orm a26 % canoni ca :27

28 % vp = Ac v + Bc u 29 % y = Cc v + Dc u 30

31 % O bt en er l a t r a n s fo r m a c io n d e s i m i l i t u d o d e s ac o pl a m ie n to d e l mismo :32 % Sist ema Desacoplado :33

34 % z p = Ad z + Bd u 35 % y = Cd z + Dd u 36

37 % O btenc ion de l o s v a l or e s c a r a c t e r i s t i c o s o e i g e n va l o r es38 %39

40 syms L41

42 % M at riz de Vandermonde ( M at riz M odal)43 % Para e l c as o de v a l o r es c a r a c t e r i s t i c o s R ea le s y D i f e re n te s44

45 I = eye( 3) ;46 L I = L I ;47

48 d i f = L I - Ac ;49 d = det( d i f ) ;50

51 v a l_ c ar = s o l v e ( d ) ;52 val_car = double ( val_car ) ;53

54 lambda_1 = val_car (1 ) ;



18/27


1 lambda_2 = val_car (2 ) ;2 lambda_3 = val_car (3 ) ;3

4 % C on di ci on es p ara e l c as o de v a l o r es c a r a c t e r i s t i c o s r e a l e s y r e p et i d os5 i f ( lambda_1==lambda_2) && ( lambda_1=lambda_3)

6

7 T = [ 1 0 1 ;8 lambda_1 1 lambda_3 ;9 lambda_1^2 2 lambda_1 lambda_3^ 2] ;10

11 e l s e i f ( lambda_1==lambda_3) && ( lambda_1=lambda_2)12

13 T = [ 1 1 0 ;14 lambda_1 lambda_2 1 ;15 lambda_1^2 lambda_2^2 2 lambda_1 ] ;16

17 e l s e i f ( lambda_2==lambda_3) && ( lambda_2=lambda_1)18

19 T = [ 1 1 0 ;20 lambda_1 lambda_2 1 ;21 lambda_1^2 lambda_2^2 2 lambda_2 ] ;22

23 e l s e i f ( lambda_1==lambda_2 ) && ( lambda_1==lambda_3 )24

25 T = [ 1 0 0 ;26 lambda_1 1 0 ;27 lambda_1^2 2 lambda_1 1 ] ;28 e l s e29

30 T = [ 1 1 1 ;31 lambda_1 lambda_2 lambda_3 ;32 lambda_1^2 lambda_2^2 lambda_3^ 2] ;33 en d34

35 i f ( imag (lambda_1)=0) | | ( imag (lambda_2)=0) | | ( imag (lambda_3)=0)36

37 inv_T = i n v(T) ;38 Lambda = inv_TAcT ;39 sigma = r e a l( lambda_2) ;40 omega = imag ( lambda_2) ;41 omega = abs (omega) ;42

43 Q = [ 1 0 0 ;44 0 - 1/ s i gm a -1 i / omega ;45 0 1 /omega - 1 i / s ig ma ] ;46

47 inv_Q = i n v(Q) ;48

49 Ad = inv_QLambdaQ;50 Bd = inv_TB ;51 Cd = CT;52 Dd = Dc;53

54 e l s e



19/27


1

2 inv_T = i n v(T) ;3

4 % O bt en ci on d e l a t r a n sf o r m a ci o n d e S i m i l i t u d5 Ad = inv_TAcT;

6 Bd = inv_TB ;7 Cd = CT;8 Dd = Dc;9

10 en d11

12 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;13 f p r i n t f ( 'S i s t e m a D e s a co p l a d o \ n' ) ;14 f p r i n t f ( 'Ad = \n ') ;15 d i s p(Ad) ;16 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;17

18 f p r i n t f ( ' Bd = \n ') ;

19 d i s p(Bd) ;20 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;21

22 f p r i n t f ( 'Cd = \n ') ;23 d i s p(Cd) ;24 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;25

26 f p r i n t f ( 'Dd = \n ') ;27 d i s p(Dd) ;28 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;29

30 f p r i n t f ( 'V a l or e s C a r a c t e r i s t i c o s ( E i g e n v a l o r es ) \ n\ n') ;31 f p r i n t f ( ' lambda 1 = ') ;32 d i s p( lambda_1) ;33 f p r i n t f ( ' lambda 2 = ') ;34 d i s p( lambda_2) ;35 f p r i n t f ( ' lambda 3 = ') ;36 d i s p( lambda_3) ;37 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;38

39 f p r i n t f ( 'M a t r i z d e V an der mon de ( o M a t r i z M oda l ) \ n') ;40 f p r i n t f ( 'T = \ n ' ) ;41 d i s p(T) ;42 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;43

44 f p r i n t f ( 'I n v e r s a d e l a M a tr i z d e Vandermonde ( o M a tr i z Modal ) \ n' ) ;45 f p r i n t f ( ' inv_T = \n ') ;46 d i s p(inv_T) ;47 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;48

49

50 en d51 en d



20/27

4 Comprobacin

4. Comprobacin

Considrese el siguiente sistema en espacio de estado, el cual ser desacoplado utilizando elprograma anterior.

A= 0 1 00 0 16 11 6

B= 001

C= 1 0 0

Solucin

1

2 La p r e se n t e f u n ci o n s o l o p er mi te o b te ne r e l d es ac op l am i en to de3 d e s i s te m a s d in am ic os con 2 o 3 v a r i a b l e s de e s ta do4 C o ns i de r e l a r e p r e s e n t a c i o n en E s pa ci o d e E s ta do d e un S i st em a5 D i na mi co L i n e a l d e l a s i g u i e n t e f or ma :6

7 xp( t ) = A( t )x ( t ) + B( t )u ( t ) 8 y( t ) = C( t )x ( t ) + D( t )u ( t ) 9

10 Donde :11 x ( t ) e s e l v e ct o r de e s ta do d e l s is te ma , de d im en si on nx112 u ( t ) e s e l v e c t o r d e e n tr a da a l s i st e ma , d e d i me ns i on mx113 y ( t ) e s e l v e ct o r de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on px114 A ( t ) e s l a m at ri z p r i n c i p a l d e l s is te ma , de d im en si on nxn15 B ( t ) e s l a m a tr i z d e e n tr a da a l s i st e ma , d e d i me ns i on nxm16 C ( t ) e s l a m at ri z de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on pxn17 D ( t ) e s l a m a tr i z d e p r e a li m e n ta c i o n , t i e n e d i me ns i on pxm18

19 De a cu er do a l o a n t e r i o r :20 I n t ro d u zc a l a M a tr i z A ( nxn )21 A = [ 0 1 0 ;0 0 1 ; - 6 - 11 - 6]22 I n t r o d u z c a l a M a tr i z B ( nxm )23 B = [ 0 ; 0 ; 6 ]24 I n t ro d u zc a l a M a tr i z C ( pxn )25 C = [ 1 0 0 ]26 I n t r o d u z c a l a M a tr i z D ( pxm )27 D = [ 0 ]28

29

30 S i s t e m a D e s a c op l a d o31 Ad =32 - 3 . 0 0 0 0 0 033 - 0. 00 0 0 - 2 . 0 0 0 0 - 0. 0 0 0 034 0 . 0 0 0 0 0 - 1 . 0 0 0 035

36

37

38 Bd =39 3 . 0 0 0 040 - 6 . 0 0 0 041 3 . 0 0 0 0



21/27

4 Comprobacin

1

2

3 Cd =4 1 1 15

6

7

8 Dd =9 010

11

12

13 V a l o re s C a r a c t e r i s t i c o s ( E i g e n v a l o r e s )14

15 lambda 1 = - 316

17 lambda 2 = - 218

19 lambda 3 = - 120

21

22

23 M at riz de Vandermonde ( o M at riz M odal)24 T =25 1 1 126 - 3 - 2 - 127 9 4 128

29

30

31 I n v e r s a d e l a M a tr i z d e V anderm onde ( o M a tr i z M odal )32 inv_T =33 1 . 0 0 0 0 1 . 5 0 0 0 0 . 5 0 0 034 - 3. 00 0 0 - 4 . 0 0 0 0 - 1. 0 0 0 035 3 . 0 0 0 0 2 . 5 0 0 0 0 . 5 0 0 0

Observaciones:Como se puede observar el programa brinda ademas de las matrices A, B, C,D desacopladas del sistema, tambin los valores de los correspondientes eigenvalores, la matriz deVandermonde y su inversa, con lo cual podemos comprobar matemticamente desarrollando dichoproblema si son los resultados obtenidos por el programa.



22/27

4 Comprobacin

Ahora considrese el siguiente sistema:

A=

0 16 5

B=

01

C=

1 0

1

2 La p r e se n t e f u n ci o n s o l o p er mi te o b te ne r e l d es ac op l am i en to de3 d e s i s te m a s d in am ic os con 2 o 3 v a r i a b l e s de e s ta do4 C o ns i de r e l a r e p r e s e n t a c i o n en E s pa ci o d e E s ta do d e un S i st em a5 D i na mi co L i n e a l d e l a s i g u i e n t e f or ma :6


10 Donde :11 x ( t ) e s e l v e ct o r de e s ta do d e l s is te ma , de d im en si on nx112 u ( t ) e s e l v e c t o r d e e n tr a da a l s i st e ma , d e d i me ns i on mx1

13 y ( t ) e s e l v e ct o r de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on px114 A ( t ) e s l a m at ri z p r i n c i p a l d e l s is te ma , de d im en si on nxn15 B ( t ) e s l a m a tr i z d e e n tr a da a l s i st e ma , d e d i me ns i on nxm16 C ( t ) e s l a m at ri z de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on pxn17 D ( t ) e s l a m a tr i z d e p r e a li m e n ta c i o n , t i e n e d i me ns i on pxm18

19 De a cu er do a l o a n t e r i o r :20 I n t ro d u zc a l a M a tr i z A ( nxn )21 A = [ 0 1 ; - 6 - 5 ]22 I n t r o d u z c a l a M a tr i z B ( nxm )23 B = [ 0 ; 1 ]24 I n t ro d u zc a l a M a tr i z C ( pxn )25 C = [ 1 0 ]26 I n t r o d u z c a l a M a tr i z D ( pxm )27 D = [ 0 ]28

29

30 S i s t e m a D e s a c op l a d o31

32 Ad =33 - 3. 00 00 - 0. 00 0 034 0 - 2 . 0 0 0 035

36

37 Bd =38 - 1 . 0 0 0 039 1 . 0 0 0 040

41

42 Cd =43 - 3 - 244 16 1145

46

47 Dd =48 0



23/27

4 Comprobacin

1 V a l o re s C a r a c t e r i s t i c o s ( E i g e n v a l o r e s )2

3 lambda 1 = - 34 lambda 2 = - 25

6 M at riz de Vandermonde ( o M at riz M odal)7 T =8 1 19 - 3 - 210

11 I n v e r s a d e l a M a tr i z d e V anderm onde ( o M a tr i z M odal )12 inv_T =13 - 2. 00 00 - 1. 00 0 014 3 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0



24/27

5 Conclusiones

5. Conclusiones

En ingeniera de control, y en general en los temas de control automtico, la representacin enespacio de estados como modelo matemtico de sistemas fsicos es una herramienta eficaz para eldiseo de controladores y el anlisis de sistemas, esto debido a las diferentes tcnicas y mtodos con

los que se puede manipular este tipo de representaciones de sistemas dinmicos. Como hemos vistoen este trabajo obtener un sistema desacoplado permite al usuario realizar manipulaciones sobreciertos estados que le interese cambiar a su consideracin, por su puesto, teniendo en cuenta factoresde estabilidad y respuesta del mismo sistema. Objetivo de desacoplar un sistema resulta ser unaestrategia para reducir las iteracciones de los estados internos al sistema con la variable entraday salida que se controla en el sistema. En este trabajo hemos desarrollado una caracterizacinconjunto-terica y por simulacin para demostrar que un sistema acoplado puede transformarsea una forma diagonal con la cual podremos analizar ciertas propiedades del sistema en cuestin,esto puede ser por ejemplo si el sistema es completamente controlable u observable, o solo lo esparcialmente, esto es, que ciertos estados del sistema permiten ser controlados desde la entrada oestimados desde la salida propia del sistema.

6. Fuentes de consulta

Referencias

[1] K. Ogata. Ingeniera de Control Moderna. Pearson, 5ta Ed. 2010.

[2] D. Sergio, C Pascual.Control en Espacio de Estados. Pearson, Prentice Hall, 2da Ed. 2009.



25/27

7 Anexos

7. Anexos

El siguiente programa se realizo con la finalidad de encontrar la forma cannica controlable delsistema en espacio de estado:

1

2 f u n c t i o n [Ac,Bc,Cc,Dc]=sist _can_cont3

4 % La p r e se n t e f u n ci o n r e a l i z a l a c o n ve r si o n de l a e c ua c io n de e st a do de un5 % s i st e ma a l a f orm a c an on i ca c o n tr o l a bl e , l a c ua l , e s i mp or ta nt e cuando s e6 % a n a li z a e l e nf oq ue de u b ic a ci o n de p ol o s pa ra e l d is en o de s i st em a s de7 % c o n t r o l .8

9 % Nota : La p r e s e n t e f u n c i o n s o l o p e rm i te o b te n er l a f or ma c a no n i ca10 % c o n t r o l a b l e de s i s te m a s con 2 o 3 V a r i bl e s de E sta do ( n ) .11

12 f p r i n t f ( ' La p re se nt e fu nc io n s ol o per mi te ob te ne r la forma ca no ni ca \n ') ;13

f p r i n t f ( '

c o n t r o l a b l e de s i s te m a s d in am ic os con 2 o 3 v a r i a b l e s de e s ta do \n'

) ;14

15 f p r i n t f ( 'C o ns i d er e l a r e p r e s e n t a c i o n en E s pa c io d e E s ta do de un S i st em a \ n') ;16 f p r i n t f ( ' D in am ic o L i n e a l de l a s i g u i n t e f or ma : \ n\ n') ;17 f p r i n t f ( ' xp( t ) = A( t )x ( t ) + B( t )u ( t ) \n ' ) ;18 f p r i n t f ( ' y( t ) = C( t )x ( t ) + D( t )u ( t ) \n\n ' ) ;19

20 f p r i n t f ( ' Donde : \n' ) ;21 f p r i n t f ( ' x ( t ) e s e l v e ct o r de e s ta d o d e l s is te ma , de d im en si on nx1 \n ') ;22 f p r i n t f ( ' u ( t ) e s e l v e ct o r de e nt ra da a l s is te ma , de d im en si on mx1 \n ') ;23 f p r i n t f ( ' y ( t ) e s e l v ec to r de s a l i d a d el s is te ma , de d im en si on px1 \n ') ;24 f p r i n t f ( 'A( t ) e s l a m at ri z p r i n c i p a l d e l s is te ma , de d im en si on nxn \n ') ;25 f p r i n t f ( 'B( t ) e s l a m a tr i z de e n tr a da a l s i st e ma , de d i me ns i on nxm \ n') ;

26 f p r i n t f ( 'C( t ) e s l a m at ri z de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on pxn \n ') ;27 f p r i n t f ( 'D( t ) e s l a m a tr i z de p r e al i m e n ta c i o n , t i e n e d i me ns i on pxm \ n') ;28

29 f p r i n t f ( ' \nDe a cu er do a l o a n t e r i o r : \ n' ) ;30

31 f p r i n t f ( 'I n t ro d u zc a l a M at ri z A ( nxn ) \ n' ) ;32 A = i n p u t( 'A = ') ;33

34 f p r i n t f ( 'I n t r o d u z ca l a M a tr i z B ( nxm ) \ n' ) ;35 B = i n p u t( 'B = ') ;36

37 f p r i n t f ( 'I n t ro d u zc a l a M at ri z C ( pxn ) \ n' ) ;38 C = i n p u t( 'C = ') ;39

40 f p r i n t f ( 'I n t r o d u z ca l a M a tr i z D ( pxm ) \ n' ) ;41 D = i n p u t( 'D = ') ;42

43 % S ea e l s i s t em a e s E s pa c io de E st ad os :44 % xp = Ax + Bu 45 % y = Cx + Du 46

47 % S i una m at ri z S n o s i n g u l a r ( s u d et er mi na nt e e s d i f e r e n t e de c e ro ) ,48 % E x i s t e una t r n s f o rm a c i o n no s i n u l a r dada p or :



26/27

7 Anexos

1

2 % V = Px 3

4 % La c u al t ra ns f or ma l a e c ua c io n de e st a do a l a f orm a c an on i ca c o n t r o l a b l e5

6 % Vp = Ac V + Bc u 7

8 % C a lc ul o de l a m at ri z S9 S = [ B AB AAB ] ;10 % O bt en em os s u i n v e r s a11 inv_S = i n v( S) ;12

13 % La M a tr i z d e T r a ns f o rm a ci o n e s t a d ad a p or .14 % P = [ P1 ; P 1A;P1A ^ 2 ; . . . ; P1A^{n - 1 } ] ;15

16 % Determinando P117 P1a = [ 0 0 1 ] ;18 P1 = P1a inv_S ;

19

20 % M a t r i z d e T r a n s f o rm a c i o n :21

22 P = [ P 1 ; P1A;P1AA ] ;23 inv_P = i n v(P) ;24

25 % Obtenemos l a s m a t r i c es c o r r e s p o n d i e n t e s e n s u f or ma c a no n i ca c o n t r o l a b l e26

27 Ac = PAinv_P;28 Bc = PB ;29 Cc = Cinv_P;30 Dc = D;31

32 f p r i n t f ( ' Ac = \n ' ) ;33 d i s p(Ac) ;34 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;35

36 f p r i n t f ( ' B c = \ n ' ) ;37 d i s p(Bc) ;38 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;39

40 f p r i n t f ( ' C c = \ n ' ) ;41 d i s p(Cc) ;42 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;43

44 f p r i n t f ( ' Dc = \n ' ) ;45 d i s p(Dc) ;46 f p r i n t f ( ' \n\n ' ) ;47

48 en d



27/27

7.1 Comprobacin

7.1. Comprobacin

A continuacin se presenta un ejemplo de un sistema el cual ser transformado a su formacannica controlable:

x= 9 1 126 0 124 0 0

x1x2x3

+ 250

, y(t) = 1 2 1 x1x2x3

1

2 La p r e se n t e f u n ci o n s o l o p er mi te o b te ne r l a f orm a c an on i ca3 c o n t r o l a b l e de s i s te m a s d in am ic os c on 2 o 3 v a r i a b l e s de e s ta d o4 C o ns i de r e l a r e p r e s e n t a c i o n en E s pa ci o d e E s ta do d e un S i st em a5 D i na mi co L i n e a l d e l a s i g u i e n t e f or ma :6


10 Donde :11 x ( t ) e s e l v e ct o r de e s ta do d e l s is te ma , de d im en si on nx112 u ( t ) e s e l v e c t o r d e e n tr a da a l s i st e ma , d e d i me ns i on mx113 y ( t ) e s e l v e ct o r de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on px114 A ( t ) e s l a m at ri z p r i n c i p a l d e l s is te ma , de d im en si on nxn15 B ( t ) e s l a m a tr i z d e e n tr a da a l s i st e ma , d e d i me ns i on nxm16 C ( t ) e s l a m at ri z de s a l i d a d e l s is te ma , de d im en si on pxn17 D ( t ) e s l a m a tr i z d e p r e a li m e n ta c i o n , t i e n e d i me ns i on pxm18

19 De a cu er do a l o a n t e r i o r :20 I n t ro d u zc a l a M a tr i z A ( nxn )21 A = [ - 9 1 0 ; - 2 6 0 1 ; - 24 0 0 ]22 I n t r o d u z c a l a M a tr i z B ( nxm )23 B = [ 2 ; 5 ; 0 ]24 I n t ro d u zc a l a M a tr i z C ( pxn )25 C = [ 1 2 - 1]26 I n t r o d u z c a l a M a tr i z D ( pxm )27 D = [ 0 ]28

29 Ac =30 0 1 . 0 0 0 0 -0 . 0 0 0 031 - 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 032 - 24 .0 00 0 - 26 .0 00 0 - 9. 00 0033

34 Bc =35 0 . 0 0 0 036 - 0 . 0 0 0 037 1 . 0 0 0 038

39 Cc =40 2 4 . 00 0 0 3 9 . 00 0 0 1 2 . 00 0 041

42 Dc =43 0

Documents

Desacoplamiento de sistemas en espacio de estado