nia 6 iaa BACHILLERATO atemáticas aplicadas a las Tnia ...selectividad.intergranada.com/Bach/mate2ccss/Anaya_16...1 nia 6 iaa Tnia iain BACHILLERATO atemáticas aplicadas a las iencias

1

Unidad 6. Derivadas.

Técnicas de derivación

BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las

Ciencias Sociales II

Resuelve

Página 155

Función derivada

■ Continúa escribiendo las razones por las cuales g (x) es una función cuyo comportamiento respon-de al de la derivada de f (x).

•Enelintervalo(a,b),f(x)esdecreciente.Portanto,suderivadaesnegativa.Esloquelepasaag(x)en(a,b).

• Laderivadade f en b es0: f '(b)=0. Ytambiénesg(b)=0.

• Engeneral: g(x)=f '(x)=0dondef(x)tienetangentehorizontal.

g(x)=f '(x)>0dondef(x)escreciente. g(x)=f '(x)<0dondef(x)esdecreciente.

y = f (x)

y = g(x) = f '(x)

ab

ab

■ Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba, 1, 2 y 3, pero en otro orden. Explica razonadamente cuál es la de cada una.

1)B2)A3)CLa derivada se anula en los puntos de tan-gentehorizontal,espositivadondelafunciónes creciente,y esnegativadonde la funcióndecrece.

A

1

B

2

C

3

BACHILLERATOUnidad 6. Derivadas. Técnicas de derivación

2

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

1 Derivada de una función en un punto

Página 157

1 Halla, paso a paso, las derivadas siguientes:

a) 4x – x 2 en x0 = 3

b) x 3 en x0 = 2

c) x1 en x0 = 2

d) (x – 3)2 en x0 = 1

a) ( ) ( ) ( ) ( )f f3 3 4 3 3 3 12 4 9 6 3 2hh –

hh – h –

hh – – h – h – –h –

2 2+ = + + = + =

f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+ = l mí

8 0h(–h–2)=–2

b)( ) ( ) ( )f f2 2 2 8 8 12 6 8 6 12

hh –

hh –

hh h h – h h

3 2 3 2+= + = + + + = + +

f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

(h2+6h+12)=12

c)–( ) ( )

( )f f2 2 2

121

2 21

hh –

hh

h–+

= + =+

f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

( )2 21

41

h–

+=

d)( ) ( ) ( ) ( )f f1 1 1 3 4 2 4 4

hh –

hh – –

hh – – h –

2 2+= + = =

f '(1)= l mí8 0h

( ) ( )f f1 1

hh –+

= l mí8 0h

(h–4)=–4

2 Halla, paso a paso, la derivada lateral f ' (0+) de f (x) = x y justifica la respuesta.

Sih>0,( ) ( )f f0 0 10

hh –

hh

h–+

= =

l mí8 0h

( ) ( )f f0 0

hh –+

= l mí8 0h

1h=+∞→Noexistef '(0+).

3 ¿Qué condición debe cumplir una función, f, para ser derivable en el intervalo [1, 5)?

Paraquefseaderivableen[1,5),debeserloenelintervaloabierto(1,5)y,además,debeexistirladerivadalateralf '(1+).


3


Página 159

4 Estudia la derivabilidad en x0 = 3 de la función:

f (x) = ,

,x x x

x x3 3

3 9 3– ≤– >

2*

•Continuidadenx0=3:

( )

( )( ) ( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l ml m f x f

x x

x

3 0

3 9 03 0

–

–

í í

í íí

8 8

8 88

x x

x xx 3

3 3

3 3

2–

=

== =

=

=+

_

`

a

bb

b

Portanto,f(x)escontinuaenx0=3.

•Derivabilidadenx0=3:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m x f

l m f x l m f

2 3 3 3

3 33

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

3 3

3 3

–– –

= = =

= = = ++ +

4 Lasderivadaslateralesexistenycoinciden.

Portanto,f(x)esderivableenx0=3.Además,f '(3)=3.

5 Estudia la derivabilidad en x0 = 0 de la función:

f (x) = ,,

x xx x

xx

5 32 3

00

––

≤>

2

2+

+ +*


( ) (

( ) (( )

)

)

l m f x l m

l m f x l ml m f x

x x

x x

5 3 3

2 3 33

–

–

í í

í íí

8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

2

2

– –=

==

+ =

+ + =+ +

_

`

a

bb

b.Además,f(0)=3.



f '(x)=( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( )

'

'8

x x

x x

l m f x l m x f

l m f x l m x f

2 5 0

2 2 0

2 5 5 0

2 2 2 0

– si

– si

– –

–

í í

í í

<

>

8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

–– –

+

= = =

= + = = ++ +

Z

[

\

]]

]*

Lasderivadaslateralessonfinitasperonocoinciden.Portanto,noesderivableenx0=0.

6 Estudia la derivabilidad de la siguiente función en x = 0:

f (x) = ,

,x

xxx

00

– – ≤>

*


( ) ( )

( ) ( ) ( )l m f x l m

l m f x l ml m f x

x

x

0

0 0– –í í

í íí

8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

– –= =

= = =+ +

_

`

a

bb

b.Además,f(0)=0.



f '(x)=( ) ∞

( ) ∞

'

'8

xx

xx

l m f x l mx

l m f x l mx

21 0

21 0

21

21

–si

si

–í í

í í

<

>

8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

– –= = +

= = ++ +

Z

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

Lasderivadaslateralesnoexistenalserinfinitosloslímites.Portanto,noesderivableenx0=0.


4


7 Calcula m y n para que f (x) sea derivable en :

f (x) = ,

,x mx

x nxx

5 00

––

≤>

2

2+

+*

• Six≠0,lafunciónescontinuayderivable,puesestáformadapordospolinomios.

•Continuidadenx=0:

( ) ( )

( )

l m f x l m x mx

l m l m

f

5 5

0 5

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

0 02

0 02

–= + =

=

+( ) ( )f x x n n–= + =

_

`

a

bbb

bb

Paraquef(x)seacontinuaenx=0,hadeser:n=5.

•Derivabilidadenx=0:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m x m m f

l m f x l m x f

2 0

2 0 0

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

–– –

= = =

= = = ++ +

4 Paraqueseaderivableenx=0,hadeser:–m=0→m=0 Portanto,f(x)esderivableenÁparam=0yn=5.


5


3 Reglas de derivación

Página 163

1 Utiliza las reglas de derivación para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = xx

11 –

+ b) f (x) =

xx

11 –

+

c) f (x) = ln xx

11 –

+ d) f (x) =

tg xtg x

11 –

+

e) f (x) = tg xtg x

11 –

+ f ) f (x) = ln etg x

g) f (x) = 3x 1+ h) f (x) = ( )log cossen x x· 2

i) f (x) = tg 2 x + sen 2 x j) f (x) = cossen x x1 1· –+

k) f (x) = 7sen (x 2 + 1) l) f (x) = ( )sen x x x3 2 2–5 3+

m) f (x) = sen x x 12+ + n) f (x) = ( )cos x x3 –2 23 +

a)f '(x)=( )

· ( ) ( ) ·( ) ( )x

x xx

x xx1

1 1 1 11

1 11

2– – – – – – –2 2 2+

+ =+

+ =+

b)Utilizamoselresultadoobtenidoena):

f '(x)= ·( ) ( ) ( )

xx x x x2 1

11

12

1 11

––

––

2 3

++

=+

c)Utilizamoselresultadoobtenidoena):

f '(x)= ·( ) ( ) ( )

( )

xx x x x

xx

111

12

1 12 1

12

––

––

––

2 2 2

++

=+

+ =

Deotraforma:Sitomamoslogaritmospreviamente:

f(x)=ln(1–x)–ln(1+x).Derivamos:

f '(x)=x x x

x xx1

111

11 1

12

–– –

–– – –

––

2 2+= + =

d)f '(x)=( )

( ) ( ) ( ) · ( )tg x

tg x tg x tg x tg x1

1 1 1 1– – –2

2 2

++ + +

=

=( )

( ) [ ]( )( )

tg xtg x tg x tg x

tg xtg x

11 1 1

12 1– – – –

2

2

2

2

++ +

=++

Deotraforma:Sitenemosencuentaelresultadoobtenidoena):

f '(x)=( )

· [ ]( )

· ( )( )( )

tg xD tg x

tg xtg x

tg xtg x

12

12 1

12 1– – –

2 22

2

2

+=

++ =

++

e)Teniendoencuentaelresultadoobtenidoend):

f '(x)=( )( )

( ) ( )

( )

tg xtg x tg x

tg x

tg x tg x

tg x

2 111

12 1

1 1

1–

·–

–

–2

2

3

2

++

=+

++

Tambiénpodríamoshaberllegadoaesteresultadoutilizandolosresultadosdelapartadoenb).


6


f)f(x)=ln lne etg x2

( )/tg x tg x 2= =

f '(x)=tg x2

1 2+

g)f(x)= 3 3( )/x x1 1 2=+ +

f '(x)=3(x+1)/2· · ·ln ln21 3

23 3x 1= +

h)f(x)= ( · ) [ ( ( )]log cos log log cossen x x sen x x22 = +

f '(x)= · · ··

cosln cos ln ln cos

cossen x

xx

sen xsen x x

x sen x2101

101

102– –2 2

+ = =< F

= ··

··ln cos

cosln

coslnsen x x

x sen xsen x

xtg x10

42 10

422

10 24–2 2

= =

Deotraforma:

f(x)= ( · )log cos logsen x x sen x2222 = d n

f '(x)=( ) /ln

coslnsen x

xtg x

2101

2 22

10 24· ··

=

i) f '(x)= · [ ] · [ ] · ( ) · ( ) ·cos costg x D tg x sen x D sen x tg x tg x sen x x tg x tg x sen x x2 2 2 1 2 2 22+ = + + = + +

j) f '(x)= · · ( )cos cosx

xx

sen xx sen x2 11

2 111 1

–– – –

++ + + =

= · ·cos cosx

xx

sen xx sen x2 11

2 111 1–

–– –

++ +

k)f '(x)=7sen(x2+1)·ln7·D[sen(x2+1)]=7sen(x2+1)·ln7·2x·cos(x 2+1)

l) f '(x)= ( ) ·cos x x x xx x

3 2 2 15 13

2– –5 3 423

3+ +f p

m)f '(x)= · ( )cos cossen x x

x xsen x x

x x2 1

1 22 1

22 2+ +

+ =+ ++

n)f '(x)= ( ) · ( ) ·( ( ))( ) · ( )cos x x sen x x

x xx2 3 3

31 2 3 1– – –

–– –23 23

2 23+ +

++ =: D

=( ) )

( )( ( ) )

( ) · ( ( ) )( ) · ( )cosx x

x xx x

x sen x xsen x x x3 3

2 33 3

5 2 2 33 2 5–

– ––

– –– –2 23

23

2 23

2323

++ =

+++

2 Halla las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:

a) y = x 5b) y = x cos xc) y = sen 3 x + cos 2 x + x

a)y=x5→y'=5x4;y''=20x3;y'''=60x2

b)y=x cos x→y'=cos x–x sen x

y''=–sen x–sen x–x cos x=–2sen x–x cos x

y'''=–2cos x – cos x + x sen x = –3cos x +x sen x


7


c)f '(x)= [ ] [ ]cos cos cos cossen x D sen x x D x sen x x x sen x3 2 1 3 2 1· · · – ·2 2+ + = +

f ''(x)= ·cos cos cossen x x sen x sen x sen x x sen x x sen x sen x6 3 2 2 6 3 2· – · – –2 2 2 2 3+ = +

f '''(x)= [ ] [ ] [ ]cos cos cos cos cosx x sen x x D x sen x D sen x sen x D sen x x6 6 2 9 4 4· · · – · · –2 2+ + =

· · · ·cos cos cos cos cosx sen x x sen x x sen x x x sen x6 12 9 4 4– –3 2 2= + + =

· ·cos cos cosx x sen x x sen x6 21 8–3 2= +

3 Calcula f ' (1) siendo:

f (x) = x

x x e2 3

3 ·25

34

f(x)= ·· ·· · · · · ··

xx e

xx x e e x xx e

2 3 2 33

23

293

/ /

/ / / / / /25

41 5 2 5

1 2 1 3 1 3 4 2 15 4 13 3015

13 303 4

= = =

f '(x)= ·· ·x xe e39

3013

6013 9/

1517 30

1517304 4

– =

Portanto:f '(1)= · e60

13 915 4

4 Calcula f ' 6πb l siendo:

f (x) = (cos 2 3x – sen 2 3x) · sen 6x

f(x)= ( ) · ·cos cosx sen x sen x x sen x sen x3 3 6 6 6212–2 2 = =

f '(x)= cos cosx x2

12 12 6 12=

Portanto:f ' · · ( ) ·π π πcos cos6

66

12 6 2 6 1 6= = = =c m

5 Calcula f ' (0) siendo:

f (x) = ( )ln x x x131 2 1– ·2 2+ + +

f(x)= ( )ln x x x131 2 1–2 2+ + + = ( ) ( )ln x x x

21 1

31 2 1–2 2+ + +

f '(x)= · · ( ) ( )x x

x xx x

x x21

12 1

34 2 1

2 2 22 1

34 2 1– –2

22+ +

+ + =+ ++ + =

= (( )

)x x

x x x xx x

x2 2 2

2 13

8 43

16 24 2 32 2 2

24 3 8– – – – –2

3 2

2+ ++ + = +

+ ++

Portanto:f '(0)=2 33 8–


8


Ejercicios y problemas resueltos

Página 164

1. Función derivada a partir de la definición de derivada

Hazlo tú. Obtén la función derivada de la siguiente función utilizando la definición de derivada:

f (x) = x 1

1+

Representa las gráficas de f y de f '.

f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

f(x+h)=x 1

1h+ +

f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ( ) ( )x x x xx x

x x11 1

1 11 1

1 11h–

h– – h –

h–h

+ + +=

+ + ++ =

+ + +( ) ( )

( ) ( )f x f x

x x1 11

hh –

h–+

=+ + +

f '(x)= l mí8 0h ( ) ( ) ( )x x x1 1

111

h– – 2+ + +

=+

f '(x)

f (x)–1–2–3–4–5

54321 X

1

2

3

4

5

–5

–4

–3

–2

–1

Y

2. Estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos

Hazlo tú. Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

f (x) = x xx

x

xx

x

4 2

3

11 1

1

si –si – ≤ ≤si

<

>

2

3+ +

*Representa las gráficas de f y f '.

f(x)estádefinidaporfuncionespolinómicasenlosintervalos(–∞,–1),(–1,1)y(1,+∞).Portanto,escontinuayderivableenellos.

Enx=–1escontinuaporque l mí8x 1–

f(x)=f(–1)=–1.


9


Enx=1noloesporquenoexiste l mí8x 1

f(x)yaqueloslímiteslateralessondistintos:

íl m x

l m x

1

3 3í8

8

x

x

13

1

–=

=+

*

Nopuedeserderivableenx=1pornosercontinua.

f '(x)= ( )( )

''

8xx

xx

x

ff

2 433

11 1

1

1 21 3

si –si –si

––

<< <

<

2–+=

+ =* * →Noesderivableenx=–1.

Gráficadef(x): Gráficadef '(x):

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

Página 165

3. Reglas de derivación

Hazlo tú. Calcula las derivadas de estas funciones:

a) f (x) = ( )x

x2 3

1––

2

b) f (x) = x3 – 35

c) f (x) = –x 3e 2x

d) f (x) = sen x2

3

e) f (x) = ln ( )x

x3 1 3

3 2·

–x2

2

+f p

a)f '(x)=( )

( ) ( ) · ( ) ·( )

( ) ( )( )x

x x xx

xx

xx2 3

2 3 1 2 2 3 22 3

2 3 4 12 32 1

–– – – –

–– – –

––

4

2

3 3= = +

b)f(x)=(3–x3)1/5→f '(x)= ( ) ( ) ( )( )

x x x xx

x51 3 3 3 3

5 33

5– – – –

––( / ) /3 1 5 1 2 2 3 4 5

3 45

2– –= =

c)f '(x)=–3x2e2x–x3e2x·2=–e2xx2(2x+3)

d)f '(x)= ·cos cosx x21 3 3

23 3=

e)f(x)=ln(3–2x2)–2ln(3x+1)–x ln3→f '(x)= lnxx

x3 24

3 16 3

–– – –2 +


10


4. Función continua y derivable

Hazlo tú. Calcula a y b para que f sea derivable.

f (x) = x

ax bxx

2 1 11

– sisi ≥

<3

2 +*

f '(x)= xax

xx

62

11

sisi

<>

2*

Six≠1lafunciónesderivable.Estudiamosahorasuderivabilidadenx=1.

• fdebesercontinuaenx=1:

f(1)=a+b ; l mí8x 1

f(x)= ( )

( )

l m

l m

x

ax b a b

2 1 1–í

í

8

8

x

x

1

1

3

2

–=

+ = ++

Paraquefseacontinuaenx=1,debecumplirsequea+b=1.

• fdebeserderivableenx=1:

f '(1–)=6

f '(1+)=2a

Paraquefseaderivableenx=1,debecumplirseque2a=6.

Resolviendoelsistemaa ba

12 6+ ==

* ,obtenemoslosvalorespedidos:

2a=6→a=3→3+b=1→b=–2

Portanto,sia=3yb=–2lafunciónesderivable.

Página 166

5. Función derivada

Hazlo tú. Calcula la función derivada de esta función y representa f y f '.

f (x) = | 2 – x | + | x + 1 |

|2–x|= ≥xx

xx

22

22

––

sisi

<+

) |x+1|= ≥x

xxx

11

11

– – si –si –

<+

)

f(x)= ≤≤

x

x

xx

x

1 231 2

11 2

2

–

–

si –si –si

<<

+* →Esunafuncióncontinuaporsersumadefuncionescontinuas.

f '(x)=x

xx

202

11 2

2

– si –si –si

<< <<

*f '(–1–)=–2,f '(–1+)=0→Noesderivableenx=–1.

f '(2–)=0,f '(2+)=2→Noesderivableenx=2.

Gráficadef(x): Gráficadef '(x):

2 4–4 –2

4

6

2

–2

Y

X

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X


11


6. Valor de un parámetro para que f sea derivable

Hazlo tú. Halla el valor que ha de tener a para que la siguiente función f (x) sea derivable en todo Á:

f (x) = ax xx

xx

2 22

00

– ––

si ≤si >

4 2

2*

f(x)estádefinidaporfuncionespolinómicasenlosintervalos(–∞,0)y(0,+∞).Portanto,escontinuayderivableenellos.

Continuidadenx=0:

l mí8x 0

f(x)=f(0)=–2→Lafunciónescontinuaparacualquiervalordea.

Derivabilidadenx=0:

f ' (x)=( )( )

''

88

ax xx

x fx f

4 42

0 0 00 0 0

– sisi

<>

3 – ==+* →f(x)esderivableparacualquiervalordea.

Portanto,lafunciónesderivableenÁparacualquiervalordea.


12


Ejercicios y problemas guiados

Página 167

1. Obtención de los valores de dos parámetros para que la función sea derivableCalcular los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable en x = 1:

f (x) = x

xa b e

x

si x

si x1

2

1

1

· ≤

>

x2 1–+ +

+*

Comoqueremosquelafunciónseaderivableenx=1,primerodebesercontinuaendichopunto.

l mí8x 1

f(x)=·( )

( )

l m l m xxa b e

l m l mx

f x a b

f x1

2 1

1í í

í í

8 8

8 8

x xx

x x

1 12 1

1 1

–– –

+ +

+=

= = + +

=+ +

c m* →1+a+b=1→a+b=0

Además,comof(1)=1+a+b,larelaciónanteriorgarantizalacontinuidadenx=1.

Porotraparte,paraqueseaderivableenx=1,lasderivadaslateralesendichopuntodebenseriguales.

f '(x)=

( )

( )

( )

'

'

8

8

xxa b e

x

x f a b

fx

2

12

1 1 2

1211

– ·

–

si –

si –

<

>

x2

1

2

– –+

+

= +

=+* →2–a+b=–21

Resolvemoselsistemayseobtienenlosvaloresbuscados:

,8a b

a b a b0

25 4

545

– – –+ =

+ = = =4

2. Simplificación de la función antes de derivarla utilizando las propiedades de los logaritmos

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) y = ln cos x3 ·x 3 b) y = ln x 1

4–

x

2

a)y=ln(3xcos3x)1/2= ( ) '8ln ln cos lncos

lnx x yx

sen x tg x21 3 3

21 3 3

23

23– –+ = =c m

b)y=ln4x–ln(x2–1)1/2=xln4– ( ) '8ln ln lnx yx

xx

x21 1 4

21

12 4

1– –

––

–2

2 2= =

3. Puntos de derivada nulaCalcular los puntos de la siguiente función en los que la derivada se anula:

f (x) = 2x · x100 – 2

f(x)= ( )x x x x x x2 100 4 100 400 4– – –2 2 2 2 4= = →f '(x)=x x

x xx xx x

2 400 4800 16

400 4400 8

––

––

2 4

3

2 4

3=

f '(x)=0→400x–8x3=0→x= 50 ,x=– 50 ,x=0(noválidoporqueenesepuntoseanulaeldenominadordeladerivada).

x= ( ) · · ·8 f50 50 2 50 100 50 2 50–= = =100x= ( ) · ( ) · ·8 f50 50 2 50 100 50 2 50 100– – – – – –= = =Lospuntosson ( , )50 100– – y ( , )50 100 .


13


4. Ecuaciones de las rectas tangentes a una función en varios puntosCalcular las ecuaciones de las rectas tangentes de la siguiente función en los puntos de abscisas x = 0 y x = 3:

f (x) = ( )e

x 1–x

2

f(0)=1

f(3)=e43

f '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )e

x e x ee

x xe

x x xe

x x2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 4 3– – – – – – – – – – –x

x x

x x x2

2 2 2 2= = + = +

f '(0)=–3

f '(3)=0

Enx=0larectatangenteesy=1–3x.

Enx=3larectatangenteesy=e43 .


14


Ejercicios y problemas propuestos

Página 168

Para practicar

Definición de derivada

1 Halla la tasa de variación media (T.V.M.) o cociente incremental de las siguientes funciones en los intervalos: [–3, –1]; [0, 2]; [2, 5]; [1, 1 + h].

a) f (x) = x2 + 1 b) f (x) = 7x – 5 c) f (x) = 3 d) f (x) = 2x

¿En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? ¿Qué tipo de funciones son?

a)f(x)=x2+1

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

4– – –

–=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

2–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

7–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1 2 2

hh –

hh h h2+

= + = +

b)f(x)=7x–5

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

7– – –

=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

7–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

7–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1 7 7

hh –

hh+

= =

c)f(x)=3

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

0– – –

=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

0–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

0–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( )f f1 1

0hh –+

=

d)f(x)=2x

En[–3,–1] → T.V.M.=( ) ( )f f

21 3

163– – –

=

En[0,2] → T.V.M.=( ) ( )f f

22 0

23–

=

En[2,5] → T.V.M.=( ) ( )f f

35 2

328–

=

En[1,1+h] → T.V.M.=( ) ( ) ( )f f1 1 2 2 2 2 1

hh –

hh– –1 h h+

= =+

Lafunciónb)f(x)=7x–5esunafunciónlinealylaT.V.M.esconstante.Lafunciónc)f(x)=3esunafunciónlinealylaT.V.M.es0(constante).


15


2 Halla con calculadora el cociente incremental D fh

para x0 = 2 y h = 0,1 de:

a) f (x) = x

b) f (x) = x 2 – 5x + 1

c) f (x) = x1

Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa 2.

a)D fh

=,

( , ) ( ),

, ,f f

0 12 1 2

0 12 1 0 3492– –= =

f '(x)= ( ) ,'8x

f21 2

2 21 0 354= =

b)D fh

=,

( , ) ( ),

, · , ( ) ,f f

0 12 1 2

0 12 1 5 2 1 1 5 0 9

– – – – –2

= + =

f '(x)=2x–5→f '(2)=2·2–5=–1

c)D fh

=–

,( , ) ( )

,, ,

f f0 1

2 1 20 1

2 11

21

0 238–

–= =

f '(x)= ( ) ,'8x

f1 221 0 25– – –2 2= =

3 Halla con calculadora el cociente incremental D fh

para x0 = π/3 y h = 0,01 de:

a) f (x) = sen x

b) f (x) = cos x

c) f (x) = tg x

Compara resultados con las derivadas de estas funciones en el punto de abscisa π/3.

a)D fh

=, ,f senf sen0 01 0 01– –+ +

, , ,

π π π π

0 013

0 013 0 4963 3= =

c c cm m m

f '(x)=cos x→f ' ,π πcos3 3

0 5= =c m

b)D fh

==, ,cos cosf f0 01 0 01– –+ +

, ,,

π π π π3 3

0 01 0 013 3 0 869–= =

c c cm m m

f '(x)=–sen x→f ' ,π πsen3 3

0 866– –= =c m

c)D fh

=, ,f f0 01 0 01– –+ +

, ,,

π π π πtg tg

0 013 3

0 013 3 4 07= =

c c cm m m

f '(x)= ' ,8 ππcos x

f13

3

1 4 02 2= =

cosc m


16


4 El límite l mí8 0h

( )π πsen senhh –+ es la derivada de la función seno en el punto de abscisa π, es

decir, sen' (π). Por tanto, el límite es:

sen' (π) = cos (π) = –1

Calcula análogamente, es decir, a partir de las reglas de derivación que ya conoces, los siguientes límites:

a) l mí8 0h

4 2hh –+ b) l mí

8 0h e e

h–2 2h+

c) l mí8x 3

( )x

x x3

3 1 1–

– –2 + d) l mí8x 4 x

x464

––3

a) l mí8 0h

4 2hh –+ =

2 41

41= b) l mí

8 0he e

h–2 2h+

=e2

c) l mí8x 3

( )x

x x3

3 1 1–

– –2 + =2·3–3=3 d) l mí8x 4 x

x464

––3

=3·42=48

5 Utiliza la definición de derivada para hallar:

a) f ' (3) en cada caso:

f (x) = x7

3 2– f (x) = x 2 – 4 f (x) = x

x2 +

b) f ' (2) en cada caso:

f (x) = xx

11–

+ f (x) = x 2+ f (x) = (x – 5)2

a)• f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+

= l mí8 0h

( / )3 773

hh =

• f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+

= l mí8 0h

6 6hh h2 + =

• f '(3)= l mí8 0h

( ) ( )f f3 3hh –+

= l mí8 0h 9 3

292

h h– h –

2+=

b)• f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

3 92

92

h +=

• f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2

hh –+

= l mí8 0h

4 h

141

2+=

+

• f '(2)= l mí8 0h

( ) ( )f f2 2hh –+

= l mí8 0h

(h–6)=–6

6 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x).

a) f (x) = x2

5 1+ b) f (x) = 3x 2 – 1 c) f (x) = x + x1

d) f (x) = x 2

1–

e) f (x) = x 2 – x f ) f (x) = x 12 +

a)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

–( )x x2

5 12

5 1

h

h+ + += l mí

8 0h25

25

h

h=


17


b)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

[ ( ) ] ( )x x3 1 3 1h

h – – –2 2+ = l mí8 0h

x x3 6 6h

h h2 + =

c)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

x xh – –+ +

x x1 1

hh+ = l mí

8 0h ( )x xx x 1

hh –2

++ =

x1 1– 2

d)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

–x x2

12

1

hh – –+ = l mí

8 0h ( ) · ( ) ·x x2 2– h – h–h+

=

= l mí8 0h

( ) · ( ) ( )x x x2 2

121

– h ––

––

2+=

e)f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

[( ) ( )] ( )x x x xh

h – h – –2 2+ + = l mí8 0h

x x2 2 1h

h h – h –2 + =

f )f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f xhh –+

= l mí8 0h

( )x x1 1h

h –2 2+ + + =

= l mí8 0h

( ( ) )

( ( ) ) ( ( ) )x x

x x x x1 1

1 1 1 1h h

h – h2 2

2 2 2 2

+ + + ++ + + + + + + = l mí

8 0h ( ( ) )( ) ( )

x xx x

1 11 1

h hh –

2 2

2 2

+ + + ++ + + =

= l mí8 0h ( ( ) )x x

x1 1

2h h

h h2 2

2

+ + + ++ = l mí

8 0h ( )x xx1 1

2h

h2 2+ + + +

+ =x

xx

x2 1

212 2+

=+

Reglas de derivación

7 Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) y = xx

33–

2

2

+ b)

( )xx

21

– 2+ c) y =

x xx3 2

+

d) y = , x0 510

–4b l e) y = x3 23 f ) y = ( )x2 3– 7

a)y'=( )

· ( ) ( ) ·( )x

x x x xx

x3

2 3 3 23

12– –2 2

2 2

2 2++ =

+

b)y'=( )

( ) ( ) · ( )( )x

x x xx

x2

2 1 2 22

4–

– ––4

2

3+ + = +

c)y'=· ( ) ·x x x6 3 1– –+

(·

) · ( )x x

x

xx x xx

x x215 62

12 2

2

2

2+= +

+

e o

d)y'= · , · ,x x104 0 5

10 52 0 5

10– – – –

3 3=c cm m

e)y'=D( ) ·x xx

3 3 32

92/ /3 2 3 3 1 3

3 3–= = =

x92

3

f )y'= ( ) · · ( )xx x

x7 2 3 221 7 2 3– –6 6=


18


8 Halla la derivada de estas funciones:

a) y = ( )x

x1 2

3

+ b) y =

xx 12

3+e o

c) y = ( )x

x2 1 3+

d) y = x x

x4 4

1–

–2

2

+

e) y = xx

11 –

/2 3

+c m f ) y =

xx222

+

a)y'=( )

· ( ) · · ( )( )· ( )

xx x x x

xx x

13 1 2 1

13–

4

2 2 3

3

2

++ + =

++

b)y'= · · · ( ) · ·x

xx

x x xx

xx

x3 1 2 1 3 1 1– –2 2

2

2 2 2

2

2+ + = +e eo o

c)y'=( )

( ) · ( )( )

( )( )x

x x xx

x xx

x2 1

2 1 3 2 12 1

2 1 62 11 4– – –

6

3 2

4 4++ + =

++ =

+

d)y'=( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) · ( )x x

x x x x xx

x x x x4 4

2 4 4 1 2 42

2 2 1 2 2–

– – – – ––

– – – – –2 2

2 2

4

2 2

++ = =

=( )

( ) ( ) ·( )x

x x xxx

22 2 1 2

24 2

–– – – –

––

3

2

3=

e)y'= ·( )

· ( ) ( ) ·( )x

xx

x xxx

xx x

32

11

11 1 1

32

11

11 1– – – –

–– – –

/ /1 3

2

1 3

2

– –

+ ++ = +

++ =d dn n

=( ) · ( ) ( ) ( )x x x x3

21 1

23 1 1

4–

–––

/ /1 3 5 3 53+=

+

f )y'= · ·x

xx

x2 121 2 2– –2 2+ = +e o

9 Deriva las funciones siguientes:

a) y = e 4x (x – 1) b) y = ( )e

x1 –x

2

c) y = 2x d) y = ln (2x – 1)

e) y = e ee e

–x x

x x

–

–+ f ) y = 7e –x

a)y'= · · ( ) · · ( )e x e e x4 1 1 4 3– –x x x4 4 4+ =

b)y'= · ( ) · ( ) · · ( ) ( )e

x e x ee

x xe

x x2 1 1 2 1 1 4 3– – – – – – – – – –x

x x

x x2

2 2 2= = +

c)y'= · ·ln ln2 2

2 22

2 2x

x

x

x 1–=

d)y'=x2 12–

e)y'=( )

( ) ( )( ) ( )e e

e e e ee e

e e ee e

3 2 2 4–

– ––

– – – –––

x x

x x x x

x x

x x x x

x x2

2 2

2

2 2 2 2

2–

– –

–

– –

–+ = + =

f )y'=–7e–x


19


10 Deriva estas funciones:

a) y = ln (x 2 – 1) b) y = ln x1 –

c) y = lne

xx

d) y = e x 2 + 1

e) y = ln tgx3c m f ) y = ln ln

x1c m

a)y'=x

x1

2–2

b)y'=( )x

xx1

2 11

2 11

––

–

––=

c)y'=· ·ln lne x e x– –

·· ln

ex

ex

x ex x

1 11 –

x

x x

x x2 = =

d)y'=2x e x 2+1

e)y'=tg

tgx x x tg

tgx

x x

1 1 3 33 1 3

3 3· · – –2

2 2

2

+ =+

d ed

n on

f )y'=ln ln

xx x

xx

111 1

11

1· · – –2 =e o

11 Calcula la derivada de estas funciones:

a) y = sen 2 x b) y = sen x 2

c) y = sen x cos 2 x d) y = cos x

sen x1 2

2

+

e) y = sen 2 x 2 f ) y = cos 3 (2x + 1)

a)y'= · cossen x x sen x2 2=

b)y'= ·cos cosx x x x2 22 2=

c)y'= cos cos cos cos cosx x x sen x sen x x sen x x2 2· – · · –2 3 2= =

= ( )cos cos cos cos cos cos cos cosx x x x x x x x2 1 2 2 3 2– – – –3 2 3 3 3= + =

d)y'=( )

· ( ) ·cos

cos cos cosx

sen x x x x sen x sen x1

2 1 22 2

2 2

++ + =

=( )cos

cos cos cosx

sen x x sen x x x sen x1

2 2 22 2

3 3

++ + =

=( )· ( )

( )coscos cos

coscos

xsen x x x sen x

xsen x x

12 1

14

2 2

2 2

2 2++ + =

+

e)y'= cos cossen x x x x sen x x2 2 4· ·2 2 2 2=

f )y'= ( ) [ ( ) ] ( ) ( )cos cosx sen x sen x x3 2 1 2 1 2 6 2 1 2 1· – · –2 2+ + = + +


20


12 Deriva las funciones siguientes:

a) y = cos 5 (7x 2) b) y = tg x22

c) y = logx1

2

d) y = sen x23 e) y = xx

1 21 2

–+ f ) y = x x+

a)y'= ( ) · ( ( )) · ( ) ( )cos cosx sen x x x x sen x5 7 7 14 70 7 7– –4 2 2 4 2 2=

b)y'= tg x x x x tg x12 2

22

·2 2 2 2+ = +e o

c)y=log21–log2x

y'= ·ln lnx x

121

21– –=

d)y'= · cossen x

x x32

2 23

2

e)y'=·

( )· ( ) ( ) ·

·

( )

( ) ·xx

xx x

xx

x

x xx2 1 2

1 21 2

2 1 2 1 2 2

2 1 21 2

1 24

1 2 1 21 2

2

–

––

–

–

– –

2 2

2+

+ +

=+

=+

=

=( ) · ( ) ( )x x

x x x1 2 1 21 2

21 2 1 2

2

– ––4 3+

=+

f )y'=x x x x x x

xx x x

x2

1 121

42 1

42 1

2++ =

++ =

++e o

13 Calcula la derivada de las siguientes funciones, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos:

a) y = ln xx

11 –

+ b) y = ln (x tg x)2 c) y = ln

xx 1–

2

23f p

d) y = ln (2x · sen 2 x) e) y = lnx

x1+

f ) y = ( )ln sen ex

a)y= [ ( ) ( )]ln ln lnxx x x

11

21 1 1– – –

+= +

y'=x x x

x xx2

111

11

21

11 1

11

–– –

–– – –

––

2 2+= + =< =F G

b)y= ( ) [ ( )]ln ln lnx tg x x tg x22 = +

y'=x tg x

tg xx tg x

tg xx

2 1 12 1 2 2

2+

+= + + => =H G +2cotg x+2tg x

c)y= ( )ln ln ln ln lnx

x x x x x1 131 1 2– – – – –2

2323 2 2= =f p

y'= ·( )

·( )x

xx x

xx3

11

2 2 13 1

2 2–

––

–2 2=


21


d)y= ( ) ( ) ( )ln ln ln ln lnsen x sen x x sen x2 2 2 2x x2 2= + = +

y'= ·ln cos lnsen x

xtg x

2 2 2 2+ = +

e)y= · ( ( ))ln lnx x21 1– +

y'= ·x x x x2

1 11

12 2

1– 2+=

+d n

f )y= ( )ln sen e /x 2

y'=cose e· cos

sen e sen ee e2

1

2·

/

/ //

x

x x

x

x x

2

2 22

=

Página 169

Derivabilidad

14 Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables:

a) b) c)

2

21

12

2

2

21

12

2

2

21

12

2

d) e) f )

2

4

– 242

1

–1

4

2–2

2

4

– 242

1

–1

4

2–2

2

4

– 242

1

–1

4

2–2

¿Alguna de ellas es derivable en todo Á?

a)Noesderivableenx=–1(tieneunpunto“anguloso”),nienx=2(noestádefinidalafunción).

b)EsderivableentodoÁ.

c)Noesderivableenx=0(tieneunpunto“anguloso”).

d)Lafunciónnoesderivablenienx=–2nienx =2porqueenestosvalorestienepuntosangulosos.

e)Lafunciónnoesderivableenx=0porquenoestádefinidaenesepunto.

f )Lafunciónnoesderivableenx=2porquenoestádefinidaenesepunto.

LaúnicafunciónderivableentodoÁesladelapartadob).

15 Esta es la gráfica de una función y = f (x). Calcula, observándola:

f ' (–1), f ' (1) y f ' (3).

¿En qué puntos no es derivable?

•Enx=–1,larectatangenteafeshorizontal;supendientees0.Portanto,f '(–1)=0.

2

2

•Enx=1,fesunafunciónconstante.Luegof '(1)=0.

• Enx=3,fesunarectaquepasaporlospuntos(2,1)y(4,5).Calculamossupendiente:

m=4 25 1–– =2.Portanto,f '(3)=2.

•Noesderivableenx=0nienx=2,yaqueenellosobservamosquef '(0–)≠f '(0+)yf '(2–)≠f '(2+).


22


16 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y represéntalas:

a) f (x) = x

x xxx

3 1 11

– sisi ≥

<2 +) en x = 1 b) f (x) =

xx

xx

00

– sisi ≥

<2

2* en x = 0

c) f (x) = x

xxx

2 14

33

––

sisi ≥

<2) en x = 3 d) f (x) =

xx

xx

3 23 1

22

– si ≤si >+

) en x = 2

a)Continuidadenx=1: Gráfica:

( )

( ) ( )

( )

( )l m f x l m

l m f x l m x x

f

x

2

1 2

3 1 2–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

1

12

1

1

– –=

= + =

=

=

+ + 4 f(x)escontinuaenx=1. Derivabilidadenx=1:

f '(x)= xxx

32 1

11

sisi

<>+

)

( )( )

''

ff

1 31 3

– ==+ 4 f(x)esderivableenx=1yf '(1)=3.

2–2 4

2

4

6

8

10

–4

–2

b)Continuidadenx=0: Gráfica:

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x

x

0

0

0 0

–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

0 0

0 0

2

2

– –= =

=

=

=+ +

4 f(x)escontinuaenx=0. Derivabilidadenx=0:

f '(x)=xx

xx2

200

sisi

– <>

)

2–2–4 4–2

–4

2

4

( )( )

''

ff

0 00 0

– ==+ 4 f(x)esderivableenx=0yf '(0)=0.

c)Continuidadenx=3: Gráfica:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m x

l m f x l m x

f

12 5

4 5

3 5

–

–

í í

í í

8 8

8 8

x x

x x2

3 3

3 3

– –= =

= =

=+ + 4 f(x)escontinuaenx=3.

Derivabilidadenx=3:

f '(x)= xxx2

2 33

sisi

<>

)

( )( )

''

ff

3 23 6

– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=3.

2–2–4 4

2

4

6

8

10

12

–2


23


d)Continuidadenx=2:

( ) ( )

( ) ( )

l m f x l m x

l m f x l m x

3 2 4

3 1 7

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 2

– –= =

= =++ +

4 f(x)noescontinuaenx=2(tieneunadiscontinuidaddesaltofinito).

Derivabilidadenx=2: Comof(x)noescontinuaenx=2,tampocoesderivableenesepunto. Gráfica:

2–2–4 4

2

4

6

8

10

–2

17 Comprueba que la función f (x) es continua pero no es derivable en x = 2:

f (x) = ( )ln x

xxx

13 6

22

––

sisi ≥

<)

• Six≠2,lafunciónescontinuayderivable.

•Continuidadenx=2:

( )

( ) (

( )

( )

)

ln lnl m f x l m

l m f x l m

f

x

x

2 0

1 1 0

3 6 0

–

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 2

–=

=

=

= =

=+ 4 f(x)escontinuaenx=2.

•Derivabilidadenx=2:

( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m fx 11 1 2

3 3 2–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 2

––

= =

= =

=

= ++

4 Lasderivadaslateralesexistenperonocoinciden. f(x)noesderivableenx=2.

18 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones:

a) f (x) = e

x x

xx

x1

3 2

00 3

3–

si ≤sisi ≥

< <

x

2 + +* b) f (x) =

x xxx x

xx

x

2 12 2

8

11 2

2–

si –si – ≤ ≤si

<

>

2

2

+ +++

*

a)Six≠0yx≠3,lafunciónescontinuayderivable. Continuidadenx=0:

( )

( )

( )

l m f x l m e

l m f x l m

f

1

1 1

0 1

í í

í í8 8

8 8

x xx

x x

0 0

0 0

–= =

= =



24


Continuidadenx=3:

( )

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x x

1 1

3 2 2

3 2

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

3 3

3 32

–=

= =

=

=

+ ++ 4 Los límitespor laderechaypor la izquierdano

coinciden.Lafunciónnoescontinuaenx=3.

Derivabilidadenx=0:

( ) ( )

( ) ( )

' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m f

e 1 0

0 0 0

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

x0 0

0 0

––

= =

= =

=

= ++

4 Las derivadas laterales existen pero no coinciden, f(x)noesderivableenx=0.

Derivabilidadenx=3:

Comof(x)noescontinuaenx=3,f(x)noesderivableenx=3.

b)Six≠–1yx≠2,f(x)escontinuayderivable.

Continuidadenx=–1:

( )

( )

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x x

x

2 1 0

2 2 0

1 0–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1

1 1

12

–

– –

– –=

=

=

+ + =

+ =+ 4 f(x)escontinuaenx=–1.

Continuidadenx=2:

( ) ( )

( ) (

( )

)

l m f x l m

l m f x l m

f

x

x x

2 2 6

8 12

2 12

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 2

2 22

– –= =

=

=

+

+ =+ 4 Loslímitesporladerechayporlaizquierdanocoinci-

den,f(x)noescontinuaenx=2.

Derivabilidadenx=–1:

( ) ( )

( ) ( )

( )' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m f

x2 2 0 2

2 2 2

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1

1 1

1 ––

– –

– –= =

= =

+ =

= ++

4 Lasderivadaslateralesexistenperonocoinci-den,f(x)noesderivableenx=–1.

Derivabilidadenx=2:

f(x)noescontinuaenx=2→f(x)noesderivableenx=2.

19 Estudia la continuidad y la derivabilidad de las funciones:

a) f (x) = xx

xx

x

0 00 1

1

sisi ≤si ≥

<<2* b) f (x) =

ex

xx1

00–

si ≤si >

x–)

a)Continuidad:

• Six≠0yx≠1→Escontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.

• Enx=0:

( )

( )

( )

( ) ( ) .

l m f x l m

l m f x l m

f

l mx f x f

0 0

0

0 0

0

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x 0

0 0

0 02

–=

=

=

=

= =+ 4 Portanto,lafunciónescontinuaenx=0.


25


•Enx=1:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

l m f x l m x

l m f x l m x

f

l m f x f

1

1

1 1

1

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x

1 12

1 1 1

–= =

= =

=

=+ 4 →Lafunciónescontinuaenx=1y,portanto,es

continuaenÁ.

Derivabilidad:

• Six≠0yx≠1→Lafunciónesderivable.Suderivadaes,enesospuntos:

f '(x)= xx

xx

021

00 1

1

sisisi

<< <>

*•Enx=0:

f '(0–)=0=f '(0+).Portanto,f(x)esderivableenx=0;yf '(0)=0.

• Enx=1:

f '(1–)=2≠f '(1+)=1.Portanto,f(x)noesderivableenx=1.

LafunciónesderivableenÁ–{1}.Suderivadaes:

f '(x)= ≤xx

xx

021

00 1

1

sisisi

<<

>*

b)Continuidad:

• Enx≠0→Lafunciónescontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuas.

• Enx=0:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

l m f x l m e

l m f x l m x

f

l m f x f

1

1 1

0 1

0–

í í

í í í8 8

8 8 8

x xx

x x x

0 0

0 0 0

––

= =

= =

=

=+ 4 →Lafunciónescontinuaen x=0 y,por

tanto,escontinuaentodoÁ.

Derivabilidad:

• Six≠0→Lafunciónesderivable.Además:

f '(x)= e xx1

00

––

sisi

<>

x–)

•Enx=0:

f '(0–)=–1=f '(0+)

Portanto,f(x)esderivableenx=0yf '(0)=–1.LafunciónesderivableentodoÁ.Suderivadasería:

f '(x)=≥

e xx1

00

––

sisi

<x–)

20 a) Calcula los valores de m y n para que f sea derivable en todo Á:

f (x) = x x m

x nxxx

5 11

––

si ≤si >

2

2+

+*

b) ¿En qué puntos es f ' (x) = 0?

a)Paraqueseaderivable,enprimerlugarhadesercontinua.

• Six≠1,lafunciónescontinua,puesestáformadapordospolinomios.


26


•Enx=1:

( )

( )

( )

( )

( )

l m f x l m

l m f x l m

f

x x m m

x nx n

m1

5 4

1

4

– –

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

2

2

–=

=

=

+ = +

+ = +

++ 4

Paraqueseacontinuaenx=1,hadeser–4+m=–1+n;esdecir:m=n+3.

Derivabilidad:

• Six≠1,lafunciónesderivable.Además:

f '(x)=xx n

xx

2 52

11

––

sisi

<>+

)

•Enx=1:

( )( )

''

ff n

1 31 2

––

– == ++ 4

Paraqueseaderivableenx=1,hadeser–3=–2+n,esdecir,n=–1.

Portanto,lafunciónseráderivableentodoÁsim=2yn=–1.Enestecaso,laderivadasería:

f '(x)= ≥xx

xx

2 52

111

––

sisi–

<)

b)f '(x)=2x–5six<1

2x–5=0→x=25 ;pero

25 1>

f '(x)=–2x–1six≥1

–2x–1=0→x=21– ;pero

21– <1

Portanto,f '(x)noseanulaenningúnpunto.

21 Calcula a y b para que las siguientes funciones sean derivables en todo Á:

a) f (x) = ax xx bx

xx

34

22– –

si ≤si >

2

2+* b) f (x) =

x xax b

xx

00

– si ≤si >

3

+*

a)Paraqueseaderivable,enprimerlugar,hadesercontinua.

• Six≠2→lafunciónescontinua,puesestáformadapordospolinomios.

• Enx=2debecumplirseque íl m8x 2

f(x)=f(2):

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m ax x a

l m f x l m x bx b

f a

3 4 6

4 2

2 4 6

– – –

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

2 22

2 22

–= + = +

= =

= ++ 4

Paraqueseacontinua,hadeser4a+6=–2b ;esdecir,2a+3=–bobienb=–2a–3.

Derivabilidad:

• Six≠2→lafunciónesderivable.Además:

f '(x)=axx b

xx

2 32

22–

sisi

<>

+)


27


•Enx=2debecumplirsequef '(2–)=f '(2+):

( )( )

''

ff

ab

2 4 32 4 –

– ==

++ 4

Paraqueseaderivable,hadeser4a+3=4–b ;esdecir,b=–4a+1.

Teniendoencuentalasdoscondicionesobtenidas:

88b a

b aa a a a

b2 34 1

2 3 4 1 2 4 27

– ––

– – ––

== +

= + = ==

4

Portanto,paraquef(x)seaderivableentodoÁ,hadesera=2yb=–7.b)Continuidad:

• Enx≠0→Lafunciónescontinuapuesestáformadapordospolinomios.

• Enx=0:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m x x

l m f x l m ax b b

f

0

0 0

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

0 03

0 0

– –= =

= + =

=+ + 4

Paraqueseacontinuahadeserb=0.

Derivabilidad:

• Six≠0→Lafunciónesderivable.Además:

f '(x)= xa

xx

3 1 00

– sisi

<>

2*

•Enx=0:

( )( )

''

ff a

0 10

–– ==+ 4

Paraqueseaderivable,hadesera=–1.

Portanto,f(x)serácontinuayderivablesia=–1yb=0.

22 Prueba que la función f (x) = | x + 1 | no es derivable en x = –1.

f(x)=|x+1|=≤≥

xx

xx

11

11

– – si –si –+

)

f(x)esunafuncióncontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuas,six≠–1.• Enx=–1:

( ) ( )

( ) ( )

( )

l m f x l m

l m f x l m b

f

x

x

0

0

1

1

1

– –

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

– –

– –

– –= =

= =

=

++ + 4 fescontinuaenx=–1.

• Suderivada,six≠–1,es:

f '(x)=xx

11

11

– si –si –

<>

)

Lasderivadaslateralesenx=–1son:

( )( )

''

ff

1 11 1–– ––

==

+4 Nocoinciden;portanto,f(x)noesderivableenx=–1.


28


23 Di si es derivable cada una de las funciones siguientes en los puntos que se indican.

Calcula en dichos puntos las derivadas laterales.

a) f (x) = | x | en x0 = 0

b) f (x) = | x 2 – x – 6 | en x0 = –2 y x1 = 3

a)f(x)= ≥x

xxx

00

– sisi

<)

Estudiamosprimerolacontinuidadenx0=0:

( )

( ) ( ) ( )l m f x l m x

l m f x l m x l m f x f0

0 0 0–í í

í í í8 8

8 88

x x

x xx

0 0

0 00

– –= =

= = = =+ +

4 →Escontinua.

f '(x)=( )( )

''

88

x ffx

11

0 0 10 0 1

– si –si

<>

– ==+*

f '(0–)≠f '(0+)→Noesderivableenx0=0.

b)f(x)= ≤≥

x xx x

x x

xx

x

666

22 33

– ––

– –

si –si –si

<<

2

2

2+ +*

LafunciónescontinuaenÁporserelvalorabsolutodeunafunciónpolinómica.

Calculamoslasderivadaslateralesencadapunto:

f '(x)=x

xx

xx

x

22 33

2 12 12 1–

si –si –si

–

–

<<<

>+*

( )( )

''

ff

22

55

––

–– ==+ 4 →f '(–2–)≠f '(–2+)→Noesderivableenx0=–2.

( )( )

''

ff

3 53 5

–– ==+ 4 →f '(3–)≠f '(3+)→Noesderivableenx1=3.

24 Indica en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:

a) f (x) = | x 2 – 4 | b) f (x) = | 2x – 3 |

a)f(x)=|x2–4|

f(x)esunafuncióncontinua,pueseslacomposicióndefuncionescontinuas.Ladefinimosatro-zos:

f(x)= ≤ ≤xx

x

xx

x

444

22 22

––

–

si –si –si

<

>

2

2

2+*

Six≠–2yx≠2,f '(x)esderivableysuderivadaes:

f '(x)=x

xx

xx

x

22 22

222

si –si –si

–<

>< <*

Enx=–2:Hallamoslasderivadaslaterales:

( )( )

''

ff

2 42 4– ––

– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=–2.


29


Enx=2:Hallamoslasderivadaslaterales:

( )( )

''

ff

2 42 4

–– ==+ 4 f(x)noesderivableenx=2.

Portanto,f(x)noesderivableenlospuntos(–2,0)y(2,0).

b)f(x)=|2x–3|=/

≥ /x

xxx

2 32 3

3 23 2

––

sisi

<+)

f(x)esunafuncióncontinuapueseslacomposicióndedosfuncionescontinuas(y=2x–3ey=|x|).

Enx≠23 ,f(x)esderivableysuderivadaes:

f '(x)=//

xx

22

3 23 2

– sisi ≥

<)

Enx=23 ,fnoesderivableporquef '

23 2–

–=d n yf '

23 2=

+d n .

25 ¿Cuántos puntos que no tengan derivada hay en la función y = | x 2 – 6x – 8 |?

x2+6x+8=0→x= ± ± ±2

6 36 322

6 426 2– – – –= =

xx

24

––

==

y= ≤ ≤x xx x

x x

xx

x

6 86 8

6 8

44 2

2– – –

si –si – –si –

<

>

2

2

2

+ +

+ +* y'=

xx

x

xx

x

44 2

2

2 62 62 6–


–<

<><

+

+*

Lafunciónescontinua,pueseselvalorabsolutodeunafuncióncontinua.

Enx=–4→y'(–4–)=–2≠y'(–4+)=2

Enx=–2→y'(–2–)=–2≠y'(–2+)=2

Lafunciónnoesderivablenienx=–4nienx=–2;esdecir,en(–4,0)yen(–2,0).

Sondospuntos“angulosos”.


a) y = | x – 2 |

b) y = | x 2 + 6x + 8 |

c) y = x + | x – 3 |

d) y = x 2 + | x |

a)Definimoslafunciónporintervalos:

f(x)= ≥xxx

x22 2

2–sisi

– <+)

Derivamos:

f '(x)=xx

11

22

– sisi

<>

)

( )( )

''

ff 1

2 12

–– ==+ 4 f '(2–)≠f '(2+)→Noexistef '(2)

LafunciónesderivableenÁ–{2}.


30


b)Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,calculamoslospuntosenlosquey=0:

x2+6x+8=0→x= ± ±2

6 36 3226 2– – –=

xx

42––

==

f(x)= ≤ ≤x xx x

x

x

x xx6 8

6 8

6 8 44 2

2– – –

si –si –si

––

<

>

2

2

2

+ +

+ +* Derivamos:

f '(x)=x

xx

xx

x

44 2

2

2 62 62 6–


–<

>< <

+

+*

( )( )

( )( )

''

ff 4

4 2 4 6 22 4 6 2–

– – –– – –

– ==

+ ==+ 4 f '(–4–)≠f '(–4+)→Noexistef '(–4)

( ) ( )( ) ( )

''

ff

2 2 2 6 22 2 2 6 2– – – – –– – –

– = == + =+ 4 f '(–2–)≠f '(–2+)→Noexistef '(–2)

LafunciónesderivableenÁ–{–4,–2}.

c)Analizamoselsignodex–3paradefinirlafunciónporintervalos:

–x + 3

xx

x – 3

3

( )x xx x x

3 33 2 3

–– –

+ + =+ =

Así:

f(x)=xxx

32 3

33

sisi ≥–

<)

Derivamos:

f '(x)=xx

33

02

sisi

<>

)

( )( )

''

ff 3

3 02

– ==+ 4 f '(3–)≠f '(3+)→Noexistef '(3)


d)Definimoslafunciónporintervalos.

Recordamosque|x|=xx

xx

00

sisi ≥

– <) .

Así:

f(x)=x x

xx

x x 00

sisi ≥

– <2

2

+*

Derivamos:

f '(x)= xxx

x2 1

00

2 1 sisi

– <>+

)

( )( )

··

''

ff

0 2 0 1 10 2 0 1 1

– –– ==

=+ =+ 4 f '(0–)≠f '(0+)→Noexistef '(0)



31


27 a) Comprueba que la siguiente función es derivable y halla f ' (0), f ' (3) y f ' (1):

f (x) = x

x xxx

3 1 11

– sisi ≥

<2 +)

b) ¿Cuál es su función derivada?

c) ¿En qué punto se cumple que f ' (x) = 5?

d) ¿Hay algún punto en el que f ' (x) = –1?

a)Six≠1,lafunciónescontinuayderivable,puesestáformadapordospolinomios.

Continuidadenx=1:

( ) ( )

( ) ( )

l m f x l m x

l m f x l m x x

3 1 2

2

–í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 12

–= =

= + =+

( )f 1 2=

4 f(x)escontinuaenx=1. Derivabilidadenx=1:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

' '

' '

l m f x l m f

l m f x l m x f

3 3 1

2 1 3 1

í í

í í8 8

8 8

x x

x x

1 1

1 1

––

= = =

= + = = ++

4 Lasderivadaslateralesexistenycoinciden. Luegof(x)esderivableenx=1.Además,f '(1)=3.

Así,f(x)escontinuayderivableentodoÁ.

f '(0)=3

f '(3)=2·3+1=7

b)f (x)= ≥xxx

32 1

11

<+

'

c)Sif '(x)=5,entoncesx≥1.Esdecir:

f '(x)=2x+1=5→x= 24 2 1>=

f '(2)=5

d)f '(x)=–1→2x+1=–1→x=–1(noesválidoporquenopertenecealintervalodedefinición).

Nohayningúnpuntoenelqueladerivadasea–1.

Página 170

Para resolver

28 Calcula el valor de la derivada en x = 0 de cada una de las siguientes funciones:

a) g (x) = e sen f (x) si f (0) = 0 y f ' (0) = 1

b) h (x) = [sen f (x)]3 si f (0) = π4

y f ' (0) = 1

c) j (x) = ( )ln f x si f (0) = e y f ' (0) = 1

a)Aplicamoslaregladelacadena:

g'(x)=D[sen f(x)]·e sen f(x)=f '(x)·cos f(x)·e sen f(x)

g'(0)=f '(0)·cosf(0)·e sen f(0)=1·cos0·e sen f(0)=1·1·1=1


32


b)Aplicamoslaregladelacadena:

h'(x)= [ ( )] · [ ( )] [ ( )]sen f x D sen f x sen f x3 32 2= ·f '(x)cos f(x)

h'(0)= [ ( )]sen f3 0 2 ·f '(0)·cos f(0)= · · · ·π πcossen34

14

321 1

21

2 23

43 22 2

= = =e o; Ec)Aplicamoslaregladelacadena:

j'(x)=( )

[ ( )]( )( )

·( )

'lnln

lnf xD f x

f xf x

f x2 21=

j'(0)=( ) ( )

( )'ln lnf f

fe e e e2 0 0

02

12 11

21= = =

29 Considera las siguientes funciones polinómicas:

f (x) = x 2 g (x) = 3x + 1

Calcula:

a) ( f ° g )' (x)

b) ( g ° f )' (x)

c) f ° g' (x)

d) f ' ° g (x)

a)(f°g )' (x)=f '[g(x)]g'(x)

Comof(x)=x2yg(x)=3x+1→f '(x)=2x,g'(x)=3

(f°g )' (x)=2·(3x+1)·3=6(3x+1)=18x+6

Tambiénpodemoshacer:

(f°g ) (x)=f [g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)2

(f°g )' (x)=2·3(3x+1)=18x+6

b)(g°f)'(x)=g'[f(x)]f '(x)=3·2x=6x

Obien:

(g°f)(x)=g[f(x)]=3x2+1→(g°f)'(x)=6x

c)(f°g' )(x)=f[g'(x)]=f(3)=9

d)(f'°g )(x)=2·g(x)=6x+2,yaquef '(x)=2x.

30 Sean f y g dos funciones tales que f (x) = x 2 + 1 y g ' (x) = cos π x2b l y g (0) = 4. Calcula:

a) ( f ° g )' (0)

b) ( g ° f )' (0)

c) (g –1)' (4)

d) ( f –1)' (5)

a)(f°g )'(0)=f '[g(0)]·g'(0)=2·g(0)·g'(0)=2·4·cos0=8

b)(g°f)'(0)=g'[f(0)]·f '(0)=g'(1)·2·0=0

c)(g–1)'(4)=( ( )) ( )' ' cosg g g41

01

01 11– = = =

d)Paraquefseainyectivaysepuedadeterminarlafunciónrecíproca,supondremosquex>0.

(f–1)'(5)=( ( )) ( ) ·' 'f f f5

121

2 21

41

1– = = =


33


31 Considera las siguientes funciones:

f (x) = (x + 1)2 g (x) = x 2

a) Calcula:

f ' (x 2) ( f ° g )' (x) g' [ f (x)] ( g ° f )' (x)

b) Si h es una función cualquiera, halla, en función de h' y de h, las derivadas de:

f [h (x)] f [x + h (x)] g [ f (x + h (x))]

a)f '(x)=2(x+1),g '(x)=2x

f '(x2)=2(x2+1)

(f°g )'(x)=f '[g(x)]·g'(x)=f '(x2)·g' (x)=2(x2+1)·2x=4x(x2+1)

g'[f(x)]=g'[(x+1)2]=2(x+1)2

(g°f)'(x)=g'[f(x)]·f '(x)=2(x+1)2·2(x+1)=4(x+1)3

b)f[h(x)]'=f '[h(x)]·h'(x)=2[h(x)+1]·h' (x)

f[x+h(x)]'=f '[x+h(x)]·[1+h'(x)]=2[x+h(x)+1]·[1+h'(x)]

g[f[x+h(x)]]'=g'[f[x+h(x)]]·(f[x+h(x)])'[1+h'(x)]=

=g'[(x+h(x)+1)2]·(f[x+h(x)])'[1+h'(x)]=

=2(x+h(x)+1)2·2[x+h(x)+1]·[1+h'(x)]=

=4(x+h(x)+1)3·[1+h'(x)]

32 a) Representa la función f (x) = | x + 1 | + | x – 3 |.

Observando la gráfica, di en qué puntos no es derivable.

b) Representa f ' (x).

Ayúdate de la resolución del Ejercicio resuelto 5.

a)f(x)= ≤ ≤ ≤ ≤x x

x xx x

xx

x

x

x

xx

x

1 31 31 3

11 33

2 242 2

11 33

– – ––

–

si –si –si

sisisi

–

–

––

<

>

<

>

++ ++ +

=+

* *4

2

4

–2–4 2 4 6

Noesderivablenienx=–1nienx=3.(Sonpuntos“angulosos”).

b)f '(x)=x

xx

202

11 33

– si –si –si

<< <>

*

2

–2–1 3


34


33 Dada la función f (x) = x · | x | = x

xxx

00

– sisi ≥

<2

2*

a) Halla f ' (x).

b) Halla f '' (x).

Representa gráficamente los resultados.

a)LafuncióndadaescontinuaenÁ.

f '(x)=x x

x x2 0

02– si

si<>

)

Claramentelasderivadaslateralescoincidenenx=0.

Portanto,esderivableyf '(0)=0.

Gráficadef '(x):

2 4–4 –2

4

6

2

–2

Y

X

b)Comosepuedeverenlagráficaanterior,f ' (x)escontinuaenÁ.

f ''(x)=xx

22

00

– sisi

<>

)

Claramentelasderivadaslateralesnocoincidenenx=0.Portanto,noexistef ''(0).

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

34 Las siguientes funciones tienen algún punto donde la derivada no existe. Hállalos en cada caso:

a) f (x) = x23 b) f (x) = x 2+

c) f (x) = x 1–2 d) f (x) = | x – 3 |

e) f (x) = x2

4 5– f ) f (x) = | x 2 – 2x |

a)f(x)=x2/3;Dom f=Á→f '(x)= xx3

232/1 33

– =

f '(x)noexistesix=0;esdecir,f(x)noesderivableenx=0.

b)f '(x)=x2 21+

f '(x)noexistesix=–2;eldominiodef(x)es[–2,+∞).

Portanto,enlospuntosenlosquelafunciónestádefinida,noesderivableenx=–2.

c)Eldominiodelafunciónes(–∞,–1]∪[1,+∞).

f '(x)=x

xx

x2 1

21– –2 2

=

Enlospuntosenlosquef(x)estádefinida,noesderivableenx=–1,nienx=1.


35


d)f(x)= ≥x

xxx

33

33

––

sisi

<+) ;f '(x)=xx

33

11– si

si<>

)

f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=3,puessusderivadaslateralesnocoinciden.

( )( )

''

ff

3 13 1

–– ==+ 4 Sondistintas.

e)f(x)=≥

x

x

x

x

24 5

24 5

45

45

–

–

si

si

<+

* ;f '(x)=//

xx

22

5 45 4

– sisi

<>

)

f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=45 ,puessusderivadaslateralesnocoinciden.

( )( )//

''

ff

5 4 25 4 2


f)f(x)= ≤ ≤x xx x

x x

xx

x

222

00 2

2

––

–

sisisi

<

>

2

2

2+* f '(x)=

xx

x

xx

x

2 22 22 2

00 2

2

––

–

sisisi

<< <>

+* f(x)escontinuaenÁ;peronoesderivableenx=0,nienx=2,puessusderivadaslaterales

nocoinciden:

( )( )

''

ff

22

00

–– ==+ 4 Sondistintas. ( )

( )''

ff

22

22


35 ¿Cuál de los siguientes apartados representa la gráfica de una función f y la de su derivada f ' ? Justifica tu respuesta.

a) b) c)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a)Lafunciónenrojoesunarectaquetienependiente3.Portanto,suderivadaesy=3(larectaverde).

Luegoestasgráficassírepresentanaunafunciónysuderivada.b)La función en rojo es un polinomio de 2.° grado, una parábola. Su derivada es una recta. En

x= 0,lafuncióntieneunmáximo;laderivadaseanula.Paraquelarectafueraladerivada,tendríaquepasarpor(0,0).

Norepresentan,portanto,aunafunciónysuderivada.c)Lafuncióntienequeserunpolinomiode3.ergradoporquetienedosextremosrelativos.Sude-

rivadaseráunpolinomiode2.°grado,unaparábola.Enx=1,lafuncióntieneunmáximo;laderivadaseanula,f '(1)=0,ytendríaquepasarpor(1,0).

Estastampocorepresentanaunafunciónysuderivada.

36 Estas gráficas son las funciones derivadas de f, g, h y j:

2

2

2

22

2

2

f '

g'

j'h'

2

a) ¿Cuáles de esas funciones (f, g, h y j) tienen puntos de tangente horizontal?

b) ¿Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado?


36


c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado?

d) ¿Alguna puede ser polinómica de tercer grado?

e) ¿Alguna de las funciones puede ser y = ln x ?

a)Lospuntosdetangentehorizontalsonlospuntosenlosqueseanulaladerivada.

f tieneunpuntodetangentehorizontalenx=–2,puesf '(–2)=0.

jtienedospuntosdetangentehorizontalenx=1yenx=3,puesj'(1)=j'(3)=0.

gyhnotienenningúnpuntodetangentehorizontal.

b)Laderivadadeunafunciónpolinómicadeprimergradoesunafunciónconstante.Portanto,esg'.

c)Laderivadadeunafunciónpolinómicadesegundagradoesunafunciónpolinómicadeprimergrado.Portanto,esf '.

d)Comoj'tieneformadeparábola,alserunafunciónpolinómicadesegundogrado,lafunciónjespolinómicadetercergrado.

e)D[ln x]=x1 ysecorrespondeconlafunciónh'yaquetieneformadehipérbola.

Portanto,hpuedeserlafunciónlogaritmoneperiano.

37 Averigua para qué valores de x es f ' (x) = 0 en cada una de las siguientes funciones:

a) f (x) = ( )x x123 8–2

b) f (x) = x 4 + 2x 2 c) f (x) = x 1

12 +

d) f (x) = e x (x – 1)

a)f(x)= x x12

3 8–3 2→f '(x)= x x

129 16–2

f '(x)=0→9x2–16x=0→x(9x–16)=0 x

x

0

916

=

=

b)f '(x)=4x3+4x=4x(x2+1)

f '(x)=0→4x(x2+1)=0→x=0

c)f '(x)=( )x

x1

2–2 2+

f '(x)=0→–2x=0→x=0

d)f '(x)=e x(x–1)+e x·1=e x(x–1+1)=e xx

f '(x)=0→x=0

38 Averigua si en las siguientes funciones existen puntos en los que f ' (x) = 0:

a) f (x) = xx

12 3–

+ b) f (x) =

xx

162 +

c) f (x) = ln (x + 1) d) f (x) = 10 – (x – 2)4

a)f '(x)=( )

( ) ( ) ·( ) ( )x

x xx

x xx1

2 1 2 3 11

2 2 2 315– – –

2 2 2++ =

++ + =

+ f '(x)≠0paracualquiervalordex.

b)f '(x)=( )

( ) ·( ) ( )x

x x xx

x xx

x1

6 1 6 21

6 6 121

6 6– – –2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

++ =

++ =

++

f '(x)=0→–6x2+6=0→x2=1 ( , )

( , )8

8xx

1 1 31 1 3– – –=

=c)f '(x)=

x 11+

≠0paracualquiervalordex.

d)f '(x)=–4(x–2)3

f '(x)=0→x=2→(2,10)


37


39 Halla la pendiente de la recta tangente a las siguientes funciones en el punto de abscisa que se indica en cada caso:

a) y = sen x cos x en x = π4

b) y = x ln x en x = e

c) y = ex

x

2 en x = 0 y x = 1 d) y = e x 2 – 1 en x = 1

Debemoshallarladerivadaenlospuntosindicadosencadacaso:a)y'= · ( )cos cos cosx x sen x sen x x sen x– –2 2+ =

y'= π4 2

222 0–

2 2= =c e em o o

b)y'= · ;ln lnx xx

x1 1 1· + = + y'(e)=ln e+1=1+1=2

c)y'=( )

·( )( )

exe x e

ee x x

ex x2 2 2– – –

x

x x

x

x

x2

2

2

2 2= =

y' (0)=0;y'(1)=e1

d)y'=2x e x 2–1;y' (1)=2

Página 171

Cuestiones teóricas

40 ¿Cuántos puntos de derivada nula puede tener una función polinómica de tercer grado? ¿Es po-sible que no tenga ninguno? ¿Es posible que solo tenga uno?

Comoladerivadadeunafunciónpolinómicadetercergradoesunafunciónpolinómicadesegundogrado,tieneunmáximodedospuntosdederivadanula.

Puedeserquenotengapuntosdederivadanula.Porejemplo,lafunciónf(x)=x3+xnotienepun-tosdederivadanulaporquef '(x)=3x2+1nuncaseanula.

Tambiénpuedetenerunúnicopuntoconderivadanula.Porejemplo,lafunciónf(x)=(x–2)3solotieneunpuntodederivadanulaporquef '(x)=3(x–2)2soloseanulacuandox=2.

41 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un punto de tangente horizontal.

Laderivadadeunafunciónpolinómicadesegundogradoesunafunciónpolinómicadeprimergrado.Sif(x)eslafunción,entoncesf '(x)=ax+bcona≠0.

Entalcaso,laecuaciónf '(x)=0→ax+b=0siempretienesoluciónyesaeslaabscisadelpuntodederivadanula.

42 Si una función tiene un punto anguloso en x = a, ¿qué podemos decir de f ' (a)?

f '(a)noexiste.

43 Si la derivada de una función es 0 en todo Á, entonces ¿la función es lineal, constante o cero?

SiladerivadadeunafunciónentodoÁes0,entonceslafunciónesconstante.Laderivadadeunafunciónlinealeselcoeficientedexy,portanto,novale0.

44 ¿Puede haber dos funciones distintas que tengan la misma función derivada? Pon ejemplos de funciones cuya derivada sea f (x) = 2x.

Sí.Porejemplo,lasfuncionesg(x)=x2yh(x)=x2+3tienenlamismaderivada,queeslafunciónf(x)=2x.Sidosfuncionessediferencianenunaconstante,entonceslasderivadassoniguales.


38


45 Supongamos que existe la derivada de f en a. Explica cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas. En el caso de haber alguna falsa, retócala para que sea verdadera:

a) l mí8 0h

( ) ( )f a f a

h– h –

= – f ' (a) b) l mí8 0h

( ) ( )

af f a

h –h –

= f ' (a)

c) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2

hh –+

= 2f ' (a) d) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2

hh – h+ +

= f ' (a)

a) l mí8 0h

( ) ( )f a f a

h– h –

= l mí8 0h

( ) ( )f a f a

––h

– h –e o =–f '(a)→Verdadero.

b)f '(a)= l mí8 0h

( ) ( )

af f a

h –h – →Estaigualdadesfalsaporqueelresultadodellímiteanterior,sia≠ 0

ylafunciónestádefinidaen0,es ( ) ( )a

f f a0–– .Paraqueseaverdadera,tenemosquesustituirh

pora+hyobtenemosquef '(a)= l mí8 0h

( ) ( )f a f a

hh –+ .

Tambiénseríaverdaderasustituyendoapor0,yaquef '(0)= l mí8 0h

( ) ( )f f

00

h –h – .

c) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2hh –+

= l mí8 0h

·( ) ( )f a f a

222hh –+e o =2·f ' (a)→Verdadero.

d) l mí8 0h

( ) ( )f a f a2h

h – h+ += l mí

8 0h

( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a2h

h – – h+ + +=

= l mí8 0h

( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a2

hh –

–hh –+ +e o =

=2·f '(a)–f ' (a)=f ' (a)→Verdadero.

Para profundizar

46 Determina, si es posible, el valor del parámetro a para que la función f sea derivable en todo su dominio de definición:

f (x) = ( )lnx x

a exx1

0 11–

si ≤si

<<x1 –*

Paraquef(x)seaderivable,enprimerlugar,hadesercontinua.• Six>0,x≠1:Lafunciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas.• Enx=1:

( ) ( )

( ) [ ( )]

( )

lnl m f x l m x x

l m f x l m a e

f

1

1 0

1 0

–

í í

í í8 8

8 8

x x

x xx1

1 1

1 1–

–= =

= =


Derivabilidad:• Six>0,x≠1:

Esderivable.Además:f '(x)=ln

xx

aex1 0 11

sisi

< <>x1 –

+)

•Enx=1:

( )( )

''

ff a

1 11

– ==+ 4 f(x)esderivableenx=1sia=1.

Luego,paraquefseaderivableentodosudominiodedefinición,hadesera=1.


39



a) f (x) = | |x1

1+

b) f (x) = | |

xx

1–2

a)Definimoslafunciónporintervalos:

f(x)=≥

x

x

x

x

11

11

0

0

–si

si

<

+*

Continuidad:

• Six≠0:

Escontinua,puesestáformadapordosfuncionescontinuasenlosintervalosenlosqueestándefinidas.

• Six=0:

( )

( )

( )

( ) ( ) .

l m f x l mx

l m f x l mx

f

l m f x f

11 1

11 1

0 1

0

–

–

í í

í í í

8 8

8 8 8

x x

x x x

0 0

0 0 0

–= =

= =

=

=+

4 Escontinuaenx=0.

Portanto,esunafuncióncontinuaenÁ.

Derivabilidad:

• Six≠0:Esderivable.Además:

f '(x)= ( )

( )

x

x

x

x

1

1

0

0

1

1–

si

si

–<

>

2

2+

*•Enx=0:

f '(0–)=1≠f '(0+)=–1→Noesderivableenx=0.

Portanto,esderivableenÁ–{0}.

b)Definimoslafunciónporintervalos:

f(x)=

x

x

x

xx

xx

0

0

1

1

si

si ≥

––

–

<2

2

* EldominiodelafunciónesÁ–{–1,1}.Portanto,enx=–1yenx=1lafunciónnoescontinua

(niderivable).

Continuidad:

• Six≠0,x≠–1,x≠1:

Lafunciónescontinua,puesestáformadaporfuncionescontinuas(enestospuntos).

• Enx=–1yenx=1:

Noescontinua,puesnoestádefinidaenestospuntos.

• Enx=0:

( ) ( ) .f x f 0=

( )

( )

( )

l m f x l mx

x

l m f x l mx

x

f

l m1

0

10

0 0

––

––

í í

í í í8 8

8 8 8

x x

x x x

0 0 2

0 0 2 0

–= =

= =

=

+4 Lafunciónescontinuaenx=0.

Portanto,esunafuncióncontinuaenÁ–{–1,1}.


40


Derivabilidad:• Six≠0,x≠–1,x≠1:Esderivable.Además:

f '(x)= ( )

( )

xx

xx

x

x

11

11

0

0

–

––

si

si–

<

>

2 2

2

2 2

2

+

*•Enx=–1yenx=1:Noesderivable,puesnoestádefinidalafunción.• Enx=0: f '(0–)=1≠f '(0+)=–1→Noesderivableenx=0. Portanto,esderivableenÁ–{–1,1}.

48 Si f (x) = x 2 | x |, halla f ', f '' y f '''.

f(x)=x

xx

x 00

sisi ≥

– <3

3*

Derivando:

f '(x)= x xxx

3 003

– sisi ≥

<2

2*

(Enx=0,tenemosquef '(0–)=f '(0+)=f '(0)=0).

f ''(x)=xx

xx

00

66– si

si ≥<)

(Enx=0,tenemosquef ''(0–)=f '(0+)=f ''(0)=0).

f '''(x)=xx

00

66

sisi

– <>

)

(Enx=0noexistef ''',puestoquef '''(0–)=–6≠f '''(0+)=6).

49 Halla la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

a) y = e ax b) y = x1 c) y = ln (1 + x) d) f (x) = x n

a)y'=a e ax;y''=a2e ax;y'''=a3 e ax;…y n)=a n e ax

Lodemostramosporinducción:(paran=1,2,3secumple).

Siy n–1)=a n–1e ax,derivandoobtenemos:

y n)=a · a n–1e ax=a n e ax,comoqueríamosdemostrar.

b)y'=x1–2 ;y''=

x23 ;y'''= x

6–4;…y n)= ( ) !

xn1–

n

n

1+


Siy n–1)= ( ) · ( ) !x

n1 1– –n

n 1–,derivandoobtenemos:

y n)= ( ) ( ) ! ( ) ( ) · !xn n

xn1 1 1 1– · – – · –

n

n

n

n

1

1

1

–=+ + ,comoqueríamosdemostrar.

c)y'=x1

1+

;y''=( )x1

1–2+;y'''=

( )x12

3+;…y n)=

( )( ) ( ) !

xn

11 1– –

n

n 1–

+



41


Siy n–1)=( )

( ) · ( ) !x

n1

1 2– –n

n

1

2

–

–

+,derivandoobtenemos:

y n)=( )

( ) ( ) ! ( ) ( )( )

( ) · ( ) !x

n nx

n1

1 2 1 11

1 1– · – – – – –n

n

n

n2 1– –

+=

+,comoqueríamosdemostrar.

d)f '(x)=nx n–1

f ''(x)=n(n–1)x n–2

f '''(x)=n (n–1)(n–2)x n–3

…

f n)(x)=n(n–1)(n–2)·…·[n–(n–1)]x n–n=n!

50 Calcula f ' (0) para la siguiente función:

f (x) = ln x

e e2 1x x–

++

Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar.

Hallamosf '(x)ydespuéssustituimosenx=0.

f(x)= [ ( ) ( )]ln lne e x21 2 1–x x–+ +

f '(x)=e ee e

x21

2 12– –x x

x x––

+ +; E

f '(0)= · ( )21 2 1– –=

51 Prueba, utilizando la definición de derivada, que la siguiente función es derivable en x = 1 y no lo es en x = –1:

f (x) = (1 – x) x1 – 2

Eldominiodedefinicióneselintervalo[–1,1].Portanto,elenunciadoserefierealasderivadaslate-ralesenlospuntosdados.

Veamosprimerosiexisteladerivadaporlaizquierdaenx=1:

l mí8 0h –

( ) ( )f f1 1

hh –+

= l mí8 0h –

( ) ( )1 1 1 1 0h

– – h – h –2+ = l mí8 0h –

2h

–h – h – h2 =

= l mí8 0h –

( )2 0– – h – h2 = →Existeladerivadayf '(1–)=0.

Veamosahoralaexistenciadeladerivadalateralporladerechaenx=–1:

l mí8 0h +

( ) ( )f f1 1

h– h –+

= l mí8 0h +

( ) ( )1 1 1 1 0h

– h – – h –2+ + =

= l mí8 0h +

( )2 2h

– h h – h2 = l mí8 0h +

( )2 2– hh

h – h2

2=> H

= l mí8 0h +

( )2 2 1– hh–< F =+∞→Noexistef '(–1+).


42


Autoevaluación

Página 171

1 Halla la función derivada de las siguientes funciones:

a) y = x x3 2 1+ b) y = x5

c) y = ( )x

x2 2+

d) y = xx

11 –

2

+c m

e) y = e 2x + 1 f ) y = ln x3

1+b l

a)y'= ( )x xx x

x xx

x3 2 1 32 2 1

22 1

3 2 1 32 19 3+ +

+=

++ + =

++

b)y'=·5–

xx

x x21

25–=

c)y'=( )

( ) · ( )( ) ( )x

x x xx

x xxx

22 2 2

22 2

22– – –

4

2

3 3++ + =

++ =

++

d)y'=( )

( ) ( )( ) ( )

( )xx

xx x

xx

x xx2

11

11 1 1 2

11

12

14 1– – – – – – – –

2 2 3+ ++ =

+ +=

+d dn n

e)y'=2e2x+1

f)y'=1+

:x

xx

3

31

31

33

31= + =+

2 Aplica las propiedades de los logaritmos para hallar la derivada de estas funciones:

a) f (x) = ln x x5–25 b) f (x) = ln cos xx x3

2 2

3 +

a)f(x)=ln(x2–5x)1/5= ( )ln x x51 5–2 →f '(x)=

( )x xx

x xx

51

52 5

5 52 5

––

––

2 2=

b)f(x)= ( ) ( )lncos

ln ln cosx

x x x x x321 3 2–

/

2 2

3 1 23 2+ = + →

→f '(x)=( )( )

( )( )

cos cosx xx

xsen x x

x xx

xx sen x

x xx x tg x

21

33 3 2

2 33 1 4

2 33 1 42– – ·

3

2

2

2

3

2

2

2

3

22

++ =

++ + =

++ +

3 Aplica la definición de derivada para hallar f ' (x) siendo:

f (x) = x12

f(x)=x12

f(x+h)–f(x)=( ) ( ) ·

( )( )x x x x

x xx x

x1 1 2h

–h

– hh

– h – h2 2 2 2

2 2

2 2

2

+=

++ =

+

f '(x)= l mí8 0h

( ) ( )f x f x

hh –+

= l mí8 0h

( )x xx

xx

x2 2 2

h h– h – h – –2 2

2

4 3+= =


43


4 Dada la función f (x) = | x | + | x 2 + 2x |, defínela por intervalos y obtén:

a) f ' (x)

b) f '' (x)

Representa f (x), f ' (x) y f '' (x).

|x|= ≥xx

xx

00

– sisi

<)

|x2+2x|=≥

x xx x

x x

xx

x

22

2

22 00

– –si –si –si

<< <

2

2

2

+

+*

f(x)=|x|+|x2+2x|= ≤≥

x xx x

x x

xx

x3

3

22 00

– –si –si –si

<<

2

2

2

+

+*

2 4–4 –2–2

4

2

Y

X

Gráficadef(x)

f(x)noesderivableenx=–2yx=0yaquelospuntossonangulosos.Laderivadaes:

f '(x)=x

xx

xx

x

22 00

2 12 32 3

si –si –si

– –<

<<>

+

+*

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

Gráficadef '(x)

Alnoexistirf '(–2)nif '(0),noexistenf ''(–2)nif ''(0).

f ''(x)=x

xx

222

22 00

–si –si –si

<< <>

*

2 4–4 –2–2

4

2

–4

Y

X

Gráficadef ''(x)


44


5 Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función:

f (x) = x x

x

xx

2 1

14

11

– si ≤si >

2 +

+*

f(x)escontinuasix<1ysix>1,porquelasfuncionesqueladefinenloson.

Estudiamoslacontinuidadenx=1.

l mí8x 1

f(x)

( ) ( )

( )

l m f x l m x x

l m f x l mx

2 1 2

14 2

–í í

í í

8 8

8 8

x x

x x

12

1

1

1

– –= + =

=+

=+ +

f(1)=1+2–1=2

Como l mí8x 1

f(x)=f(1)=2,fescontinuaenx=1.

Portanto,fescontinuaenÁ.

Hallamosf '(x)=( )

x

x

x

x

2 2

14

1

1–si

si

<

>2

+

+*

fesderivablesix<1ysix>1.

Estudiamossuderivabilidadenx=1.

( ) ·

( )( )

'

'

f

f

1 2 1 2 4

11 1

4 1– –2

– = + =

=+

=+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).

fesderivableenÁ–{1}.

6 Calcula el valor de los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable:

f (x) = ax bx x

xx3 2

00–

sisi ≥

<2

++

)

Representa la función para los valores hallados de a y b.

Paraquefseaderivableenx=0,debesercontinuaenesepunto.

l mí8x 0

f(x)

( )

( )

l m ax b b

l m x x3 2 2–

í

í

8

8

x

x

0

02

–+ =

+ =+

4Paraque l mí

8x 0f(x)=f(0)=2,debeserb=2.

Sib=2,fescontinuaenÁ.

f '(x)=ax

xx2 3

00–

sisi

<>

)Veamossifesderivableenx=0:

( )( )

''

ff

a3

00 –

– ==+ 4 Paraqueexistaf '(0),debesera=–3.

Sia=–3,fesderivableenÁ.

f(x)= ≥xx

xx x

00

3 23 2

sisi

––

<2

++

) X

Y

1

1


45


7 Indica en qué puntos no es derivable la siguiente función:

f (x) = | x 2 – 4x + 3 |

Justifica tu respuesta.

Definimoslafunciónporintervalos.Paraello,hacemos:

x2–4x+3=0→x= ±2

4 16 12– xx

13

==

f(x)=≤

≥

x xx x

x x

xx

x

4 34 34 3

11 3

3

–– –

–

sisisi

< <

2

2

2

++

+*

Hallamosf '(x):

f '(x)=x

xx

xx

x

11 3

3

2 42 42 4–

sisisi

–

–< <<

>+*

Estudiamosladerivabilidaddefenx=1yenx=3:

( )( )

··

''

ff

1 2 1 4 21 2 1 4 2

– ––

– ==

=+ =+ 4 Comof '(1–)≠f '(1+),noexistef '(1).

( )( )

··

''

ff

3 2 3 4 23 2 3 4 2

– ––

– ==

+ ==+ 4 Comof '(3–)≠f '(3+),noexistef '(3).

fnoesderivablenienx=1,nienx=3.

8 Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es igual a 0 en cada una de las siguien-tes funciones:

a) f (x) = xx

11

–2

2 + b) f (x) = x

x1–2

3

a)f '(x)=( )

( ) ( )( )x

x x x xx

x1

2 1 1 21

4–

– ––

–2 2

2 2

2 2+ =

f '(x)=0→–4x=0→x=0

b)f '(x)=( )

( )( )x

x x x xxx x

13 1 2

13

–– –

––

2 2

2 2 3

2 2

4 2=

f '(x)=0→x4–3x2=0→x2(x2–3)=0→x=0,x= 3 ,x=– 3

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