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NOCIONES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
2.- EQUIVALENCIA FINANCIERA SIMPLE
TANTOS EQUIVALENTES
AÑO COMERCIAL Y AÑO CIVIL O NATURAL
3.- DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN SIMPLE.
DESCUENTO COMERCIAL
DESCUENTO RACIONAL
4.- CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTO
Ley Financiera:
Ley de valoración que nos permite establecer equivalencias financieras entre capitales, para poder valorar una operación financiera.
CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA
Aquella operación en que se realiza un intercambio de capitales no simultáneos (con vencimiento en distintos momentos de
tiempo) y con arreglo a unas norma (ley financiera) acordada por las partes, de manera que el intercambio
favorezca a ambas partes.
Valor del dinero en el tiempo
CAPITAL INICIAL
C0
CN MONTANTE o valor final
momento t0 t
línea del tiempo
LEY DE CAPITALIZACIÓN FINANCIERA
I INTERESES
tn
Ley Financiera de capitalización:
Ley financiera que permite calcular el equivalente financiero de un capital en un momento posterior del tiempo.
CAPITAL INICIAL
C0
CX VALOR ACTUAL
tx t
línea del tiempo
LEY DE DESCUENTO FINANCIERO
D DESCUENTO
t0
Ley Financiera de actualización o descuento:
Ley financiera que permite calcular el equivalente financiero de un capital en un momento anterior del tiempo.
C0
C1
momento 01
I1
C0
C2
2
I C0
C3
3
I C0
CN
n
I
1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
In = C0 x i
Intereses Totales I = C0 x i x n
I3 = C0 x i………
I2 = C0 x i I1 = C0 x i
Interés totalI = C0 x i x n
Interés totalI = C0 x i x n C0
C1
momento 0 1
I C0
C2
2
I C0
C3
3
I C0
CN
n
I
I1
I2
I3
In
MontanteCN = C0 + I
CN = C0 (1 + i x n )
Capital inicialC0 = I / ( i x n )
C0 = CN / (1 + i x n )
Tipo de Interési = I / (C0 x n )i =(CN - C0 ) / (C0 x n )
Tiempon = I / (C0 x i )n =(CN - C0 ) / (C0 x i )
Hacer algunos ejercicios ¿ pg 18-20 McGraw 2011?
1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
2.- TANTOS EQUIVALENTES EN CAP. SIMPLE
CUANDO HABLAMOS DE LEYES FINANCIERAS EL TIPO DE INTERES Y EL TIEMPO SE MIDEN HACIENDO REFERENCIA AL MISMO PERIODO DE TIEMPO:
i=2% mensual n=6 meses CAP. SIMPLE I = C0 x i x n i=10% anual n=3años
i= 4% trimestral n=7 trim.
SI LA INFORMACIÓN QUE NOS DAN ES EN DISTINTA UNIDAD TEMPORAL HAY QUE TRANSFORMAR UNO DE ELLOS, EL TIPO O EN TIEMPO.
• Necesidad de comparar Tipos de Interés referidos a distintas unidades de tiempo. (Sobre todo fracciones de año).
¿Es mejor pagar un 1% mensual o un 12% anual?
•TANTOS EQUIVALENTES:DEFINICIÓN: i e im son tantos equivalentes si aplicando el tanto im a un capital C, durante m períodos produce el mismo capital final Cn que aplicando el tanto i al mismo capital C durante un año.
En capitalización simple:
i = im · m
m
iim
A i se le llama tanto o tipo anual
(o efectivo)
A im se le llama tanto
o tipo franccionado o m-esimo
Si son tipos semestrales valor m = 2 Si son tipos mensuales valor m = 12
Si son tipos cuatrimestrales valor m = 3 Si son tipos semanales valor m = 53
Si son tipos trimestrales valor m = 4 Si son tipos diarios (a.n) valor m = 365
Si son tipos bimensuales valor m = 6 Si son tipos diarios (a.c.) valor m = 360
2.- TANTOS EQUIVALENTES.
i e im son tantos equivalentes si aplicando el tanto im a un capital C, durante m períodos produce el mismo capital final Cn que aplicando el tanto i al mismo capital C durante un año.
– En capitalización simple:
i = im · m
m
iim
Cn = C (1 + i*1)
Cn = C (1+i)
Cn’=C (1 + im * m)= C (1 + (i /m) *m)
Cn’ = C ( 1 + i )
Por lo tanto, en un año los tipos i e im producen el mismo capital final Cn = Cn’
En 1 año un Capital C se convertirá en un Cn:
En m periodos (=1 año) un Capital C se convertirá en un Cn’:
2.- TANTOS EQUIVALENTES.
Aunque la duración del año es de 365 días, en la práctica financiera es frecuente que se simplifique reduciéndolo a 360, en cuyo caso se dice que se usa el año comercial: 12 meses de 30 días cada uno.
AÑO CIVIL O NATURAL
365 Días
Meses naturales
AÑO COMERCIAL
360 Días
12 meses de 30 días
2.- TANTOS EQUIVALENTES.
VALOR NOMINALCN
C0 VALOR EFECTIVO
t0
Tipo de descuento i
3. LEY DE DESCUENTO FINANCIERO SIMPLE
D DESCUENTO
tnDuración de la operación n
DESCUENTO COMERCIAL
D = CN * n * i
DESCUENTO COMERCIAL
D = CN * n * i
DESCUENTO RACIONAL
D = C0 * n * i
DESCUENTO RACIONAL
D = C0 * n * i
Otros manuales
denominan a este tipo como d
Otros manuales
denominan a este tipo como d
A. DESCUENTO COMERCIAL
Dc = Cn · n · i
Co = Cn – Dc Co = Cn - Cn · n · i Co = Cn (1 - n · i)
d
Dc
n0
C0
Cn
¡¡RECORDAR!!El tiempo y el tipo de interés
deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Si
se trabaja con días puede usarse año comercial (360) o
natural (365)
Se calcula el descuento sobre el valor nominal del efecto:
B. DESCUENTO RACIONAL
DR = C0 · n · i i
DR
n0
C0
CnSe calcula el descuento sobre el valor efectivo del efecto:
iDR = [Cn / (1 + n · i)] · n · i = Cn · n · -----------
1 + n · i
Normalmente lo que conocemos es Cn
Cn = C0 + DR Cn = C0 + C0 · n · i Cn = C0 (1 + n · i) C0 = Cn / (1 + n · i)
. El descuento comercial (Dc)
• Descuento comercial: Dc = Cn · n · i
• Efectivo o capital actual: C 0 = Cn · (1 - n· i )
. El descuento racional o actualización (Dr)
• Descuento racional:
• Efectivo o capital actual:
in
CC n
· 10
in
inCinCD n
or · 1
· ·
Resumien
do
Resulta evidente que Dr < Dc
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
C0
C1
momento 0 1
I
C2
2
I
C3
3
I
CN
n
I
C1 = C0 * (1 + i* t1)
C2 = C1 * (1 + i* t2)
C3 = C2 * (1 + i* t3)
……..
4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Cálculo del Montante con interés compuesto
C1 = Co * (1 + i* t1)
C2 = C1 * (1 + i* t2) = Co * (1 + i* t1) * (1 + i* t2)
…………….
Cn = Co * (1 + i x t1 ) * (1 + i x t2 ) * … * (1 + i x tn)Si los períodos son iguales y unitarios t1 = t2 = t3 = .... = tn = 1
Cn = C0 * (1 + i ) n
C0 C1
0 t1I
C2
t2
I
C3
t3
I
CN
tn
I
4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Ecuación básica de la cap. Comp.
Montante
Cn = Co * (1 + i ) n
Montante
Cn = Co * (1 + i ) n
Interés total I = Cn - C0
I = C0 x [(1 + i)n – 1]
Capital inicialC0 = Cn x (1 + i) -n
Tipo de Interés
i =(Cn/C0 )1/n - 1
Tiempo
log Cn - log C0 log [Cn /C0 ]n =---------------- = --------------- log (1 + i ) log (1 + i )
C0 C1
0 t1I
C2
t2
I
C3
t3
I
CN
tn
I
4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Cn = Co x (1 + i) nCapitalización compuesta:
Capitalización simple: Cn = Co x (1 + i · n)
2. COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA
t1t2 t3 tn
CN en capitalización compuesta
C0
t0
CN en capitalización simple
j (m) = m · i(m)
Donde:
j (m) = Representa el tanto nominal anual
m = Es el número de veces que dicho período está incluido en el año.
i(m) = Es el interés efectivo referido al período m, o interés fraccionado
i = (1+ i(m) ) m - 1 Donde:
i = TAE tasa anual equivalente
m = Es el número de veces que dicho período está incluido en el año.
i(m) = Es el interés efectivo referido al período m, o interés fraccionado
j(m) NO ES FINANCIERAMENTE EQUIVALENTE A i
TANTO NOMINAL
TANTO EFECTIVO
i(m) Es el interés referido a un período de tiempo m
TANTO FRACCIONADOEn capitalización compuesta
3. TANTOS EQUIVALENTES
C0 CAPITAL INICIAL
CN CAPITAL FINAL O NOMINAL
momento 0 t
D DESCUENTO
CAPIT. Cn = Co x (1 + i) n
DESCONTAR Co = Cn x (1 + i) DESCONTAR Co = Cn x (1 + i) -n-n
4. DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN COMPUESTOS
línea del tiempo
C1
0 t
5. EQUIVALENCIA FINANCIERA EN C. COMP.
C2
C3
Con la fórmula de la capitalización / descuento compuestos se pueden trasladar capitales de varios tiempos distintos a un mismo momento en el que pueden compararse, sumarse, sustituirse, etc.Los problemas de capitalización compuesta pueden resolverse de dos formas:a)Se trasladan los capitales necesarios, generalmente al momento 0, y se comparan.b) Se trabaja con las fórmulas de equivalencia, vencimientos medio y común para capitalización compuesta.
Con la fórmula de la capitalización / descuento compuestos se pueden trasladar capitales de varios tiempos distintos a un mismo momento en el que pueden compararse, sumarse, sustituirse, etc.Los problemas de capitalización compuesta pueden resolverse de dos formas:a)Se trasladan los capitales necesarios, generalmente al momento 0, y se comparan.b) Se trabaja con las fórmulas de equivalencia, vencimientos medio y común para capitalización compuesta.
- t
C4